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UMA TRAJETÓRIA HIPOTÉTICA DE APRENDIZAGEM PARA O 
ENSINO DE FUNÇÃO AFIM EM UM CURSO DE FORMAÇÃO 
CONTINUADA 
 
 Julio Cezar Rodrigues de Oliveira 
UNESPAR – Campus Apucarana / UEL – Universidade Estadual de Londrina 
julioeconomist@hotmail.com 
 
Romário Tomilhero Frias 
UNESPAR – Campus Apucarana 
tomilhero.matematica@gmail.com 
 
Letícia Barcaro Celeste Omodei 
UNESPAR – Campus Apucarana 
leticiaceleste@hotmail.com 
 
Resumo: 
Nesse trabalho, apresentamos uma trajetória hipotética de aprendizagem (THA) na perspectiva 
da Resolução de Problemas. Nessa THA apresentamos uma proposta que será desenvolvida em 
um curso de formação continuada promovido pela UNESPAR – Campus Apucarana. Esse curso 
tem como objetivo proporcionar aos professores participantes a possibilidade de trabalhar com 
algumas das tendências em Educação Matemática, com o auxílio do software GeoGebra, no 
desenvolvimento de propostas elaboradas pelos acadêmicos do curso de Licenciatura e pelas 
professores orientadoras. A elaboração dessa THA possibilitou que os acadêmicos planejassem 
e antecipassem as possíveis discussões que surgiriam no decorrer da aula, e assim estariam mais 
seguros no desenvolvimento da atividade. 
 
Palavras-chave: Trajetória Hipotética de Aprendizagem. Resolução de Problemas. 
Função Afim. 
 
Introdução 
 
Neste trabalho apresentamos uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem (THA) 
a ser desenvolvida com professores da Educação Básica em um curso oferecido pela 
UNESPAR – Campus Apucarana. Esse curso faz parte do projeto intitulado “O Ensino 
de Matemática com o GeoGebra: uma Abordagem por meio de Tendências em 
Educação Matemática em um Curso de Formação Continuada”. 
mailto:tomilhero.matematica@gmail.com
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática 
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014 
ISSN 2175 - 2044 
 
As propostas desenvolvidas no curso têm por objetivo promover momentos de 
reflexão e discussão sobre conteúdos e metodologias de ensino, pelos quais os 
professores da educação básica podem contribuir com suas experiências para o 
desenvolvimento das propostas, e, em contrapartida, os acadêmicos conduzem os 
encontros pautados em algumas das tendências em Educação Matemática (Resolução de 
Problemas, Investigação Matemática, História da Matemática e Modelagem 
Matemática), com o auxílio do software GeoGebra. 
Para esta THA, optou-se por utilizar a Resolução de Problemas como tendência, 
pois 
Ao se ensinar matemática através da Resolução de Problemas, os 
problemas são importantes não somente como um propósito de se 
aprender matemática mas, também, como um primeiro passo para se 
fazer isso. O ensino-aprendizagem de um tópico matemático começa 
com uma situação-problema que expressa aspectos chave desse tópico 
e são desenvolvidas técnicas matemáticas como respostas razoáveis 
para problemas razoáveis. (ONUCHIC, 1999, p. 207) 
 
Ao planejar uma aula de matemática, o professor deve se questionar a respeito 
do que o estudante já sabe sobre determinado conteúdo, para que assim ele tenha uma 
ideia de como irá conduzir sua aula. Sob esse viés, acreditamos que a THA pode 
representar uma alternativa para que o professor consiga explorar as possíveis dúvidas e 
discussões que podem surgir no decorrer da aula. 
Algumas dissertações de mestrado apontam que as THA representam uma 
alternativa para o professor planejar sua atuação em sala de aula, tais como Angiolin 
(2009), Barbosa (2009), Lima (2009), Luna (2009), Mesquita (2009), Rosenbaum 
(2010), que desenvolveram THA para ser trabalhadas com conteúdos de Ensino 
Fundamental e Médio. Com o objetivo de compreender a teoria proposta por Simon 
(1995), estudamos o seu trabalho buscando compreender o que ele propõe quando 
apresenta a THA. 
 
As Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem nas Aulas de Matemática 
 
A Trajetória Hipotética de Aprendizagem (THA) foi proposta por Simon (1995), 
e pode ser utilizada pelo professor oferecendo-lhe a possibilidade de construir seu 
próprio projeto de decisões, com base em suas melhores suposições de como o 
conhecimento pode ser construído em sala de aula. De acordo com o autor 
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Eu uso o termo “trajetória hipotética de aprendizagem” para me referir 
a previsão do professor como um caminho pelo qual a aprendizagem 
pode ocorrer. É hipotético porque a trajetória real de aprendizagem 
não é conhecida previamente. Ela caracteriza uma tendência esperada. 
A aprendizagem individual dos estudantes ocorre de forma 
idiossincrática, embora frequentemente em caminhos similares. É 
assumido que uma aprendizagem individual tem alguma regularidade, 
que a sala de aula limita a atividade matemática frequentemente de 
formas previsíveis, e que muitos estudantes na mesma sala podem se 
beneficiar da mesma tarefa matemática. Uma trajetória hipotética de 
aprendizagem fornece ao professor uma análise racional para escolher 
um projeto instrucional particular; assim, eu tomo as minhas decisões 
baseado nas minhas melhores suposições de como a aprendizagem 
pode acontecer (SIMON, 1995, p. 135, tradução nossa). 
 
O autor justifica sua escolha pela palavra “trajetória” para referir-se a um 
caminho, e faz uma analogia a uma viagem, considerando que você pretenda fazer uma 
viagem pelo mundo, e não pretende viajar aleatoriamente, mas também não planejou um 
itinerário a ser seguido. Com esse objetivo, você busca o máximo de informações a 
respeito de cada lugar que pretende visitar, formulando um plano. 
A princípio, você pode ter toda a viagem planejada ou apenas parte dela. No 
início da viagem, você seguirá o seu plano, mas no decorrer, devido às condições que 
você encontrar, você tem que ajustar constantemente esse plano de viagem. Dessa forma 
pode ser que você mude a ordem pela qual visitará os lugares ou fique por mais tempo 
em determinados lugares e menos tempo em outros, podendo até deixar de visitar 
alguns deles e visitar outros que não havia planejado. Enfim, o caminho pelo qual você 
viaja é a sua “trajetória”, e o caminho que você havia planejado é a sua “trajetória 
hipotética” (SIMON, 1995). 
Uma das características presentes na THA é a relação entre a compreensão 
matemática do professor e suas hipóteses a respeito do conhecimento dos estudantes. 
Simon refere-se à hipótese sobre o conhecimento dos estudantes para enfatizar que o 
professor não consegue acessar diretamente o conhecimento deles, o que implica que o 
professor pode comparar a sua compreensão de um conceito particular a partir da sua 
construção de entendimentos dos estudantes hipoteticamente, mas não é possível que 
ele conheça de antemão os entendimentos reais dos estudantes. 
O autor concebe a THA em três componentes: o objetivo que o professor 
pretende alcançar com direções claras para a aprendizagem dos estudantes, as atividades 
de aprendizagem, e o processo hipotético de aprendizagem, que representa uma 
previsão de como a compreensão e os pensamentos dos estudantes evoluirão no 
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contexto das atividades de aprendizagem. Além disso, ele ressalta que a criação e a 
modificação constante da THA é a peça central do modelo (Quadro 01). 
 
Quadro 01: Ciclo de Ensino de Matemática (abreviado) - (Simon, 1995, p. 136) 
 
A noção de THA na perspectiva de Simon não impõe que o professor sempre 
busque um objetivo por vez, ou que apenas uma trajetória deve ser considerada, mas 
vale salientar a importância de se ter um objetivo, fazer uma análise racional para a 
tomada de decisões do professor, e a natureza hipotética de tal pensamento. O autor 
chama a atenção para os benefícios da THA ao afirmar que 
[...] o desenvolvimento de um processode trajetória hipotética de 
aprendizagem e o desenvolvimento de atividades de aprendizagem 
têm um relacionamento simbiótico; a geração de ideias para atividades 
de aprendizagem é dependente das hipóteses do professor sobre o 
desenvolvimento do pensamento e da aprendizagem dos estudantes, 
além disso a geração de hipóteses do desenvolvimento conceitual do 
estudante depende da natureza de atividades antecipadas (SIMON, 
1995, p. 136, tradução nossa). 
 
O desenvolvimento de uma THA para uma aula é o processo pelo qual o 
professor desenvolve um plano de atividade. Segundo Fernandes e Pires (2013, p. 2), 
neste plano é apresentada “uma descrição detalhada de uma aula hipotética que 
evidencia possíveis dúvidas que possam aparecer, com encaminhamentos e caminhos 
para discussões”. 
Para Simon e Tzur (2004), a seleção das atividades a serem utilizadas e as 
hipóteses sobre o processo de aprendizagem dos estudantes são interdependentes, e, 
subjacentes à elaboração da THA, encontramos os seguintes pressupostos: 
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1. A geração de um THA é baseada na compreensão do conhecimento 
atual dos estudantes envolvidos. 
2. Uma THA é um veículo para o planejamento da aprendizagem de 
conceitos matemáticos particulares. 
3. As atividades matemáticas fornecem ferramentas para promover a 
aprendizagem de conceitos matemáticos particulares e são, portanto, 
uma parte chave para o processo. 
4. Dada a natureza hipotética e inerentemente incerta desse processo, 
o professor está frequentemente envolvido em modificar cada aspecto 
da THA (SIMON e TZUR, 2004, tradução nossa) 
 
Steffe (2004) afirma que uma trajetória de aprendizagem apresenta um modelo 
de conceitos iniciais que os estudantes possuem, e a consideração de mudanças 
observáveis nesses conceitos como o resultado da atividade matemática interativa em 
situações de aprendizagem, além de uma descrição das interações matemáticas que 
estiveram envolvidas nessas mudanças. 
No desenvolvimento da atividade, conforme o professor observa os estudantes e 
interage com eles, uma experiência é constituída coletivamente que pode ser, e 
geralmente é, diferente daquela antecipada pelo professor na THA. Nesse sentido, as 
ideias do professor sobre como os estudantes agiriam hipoteticamente na THA se 
transformam ao passo que ele nota como os estudantes estão desenvolvendo a atividade, 
o que pode fazer com que o professor recrie sua THA, com novas perspectivas para uma 
próxima atividade. 
Gómez, González e Lupiáñez (2007) descrevem como a THA pode oferecer 
subsídios com relação aos planejamentos para o professor em sua formação inicial, por 
meio de uma adaptação do conceito apresentado por Simon (1995) e por Simon e Tzur 
(2004). 
Nessa perspectiva, vamos apresentar nesse trabalho uma THA relacionada ao 
estudo de função afim em um curso de formação continuada, com o auxílio do software 
GeoGebra, ressaltando as discussões desencadeadas no decorrer da THA e destacando 
como o software pode ser utilizado com o intuito de promover a aprendizagem. 
 
O Curso de Formação Continuada e o GeoGebra 
 
O curso intitulado “A Educação Matemática e a prática em sala de aula: ideias e 
possibilidades com o GeoGebra” (parte de um projeto da UNESPAR – Apucarana em 
parceria com o Núcleo Regional de Educação de Apucarana) é voltado para os 
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professores da Educação Básica, a fim de que os professores participantes sejam 
capacitados para utilizarem os laboratórios de informática nas aulas de Matemática, 
trabalhando com o computador como uma ferramenta que pode ser utilizada na 
construção do conhecimento matemático. 
Este curso faz parte de um projeto de iniciação científica, no qual o primeiro 
autor desse trabalho atua como voluntário, e de um projeto de extensão, no qual o 
segundo autor desse trabalho atua como bolsista, ambos coordenados e orientados pela 
terceira autora desse trabalho. 
Neste curso, os acadêmicos do curso de Licenciatura em Matemática – bolsistas 
e voluntários, com o auxílio das professoras coordenadoras, elaboram e colocam em 
prática propostas para serem desenvolvidas com o auxílio do software GeoGebra, 
sempre por meio de uma das tendências em Educação Matemática (Resolução de 
Problemas, Investigação Matemática, História da Matemática e Modelagem 
Matemática). 
O software GeoGebra é gratuito e foi criado em 2001 por Markus Hohenwarter, 
que tinha como meta desenvolver um software voltado para o ensino e a aprendizagem 
de matemática nos vários níveis de conhecimento. Atualmente, o GeoGebra reúne 
recursos de álgebra, geometria e cálculo, possibilitando o trabalho com tabelas, gráficos, 
construções geométricas, probabilidade, matemática financeira, estatística, entre muitos 
outros conteúdos em um único ambiente. 
Nas propostas realizadas, os professores buscaram investigar as questões 
envolvidas para descobrir e justificar suas respostas com a ajuda do software, discutindo 
suas resoluções e como poderiam trabalhar com o GeoGebra em sala de aula. Vamos 
apresentar um THA sobre o estudo de função afim que será desenvolvida nesse curso. 
 
THA: Estudando Função Afim por meio da Resolução de Problemas 
 
A THA desse trabalho é destinada a professores da Educação Básica em um 
curso de formação continuada, com o objetivo de levantar a discussão a respeito do 
conceito de função afim por meio de uma situação-problema. Nela vamos investigar, 
com o auxílio do GeoGebra, como é possível determinar o domínio, a imagem, e em 
quais intervalos é mais interessante escolher uma ou outra proposta de pagamento, e, 
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por fim, analisaremos o fato de termos uma função discreta, que pode ser representada 
por uma progressão aritmética (PA), um caso particular de função afim. 
A proposta apresentada foi adaptada de uma questão de vestibular da 
Universidade de Brasília. Nessa aula, os conceitos serão abordados conforme as 
discussões se desenvolverem e, partindo da lei de associação, estudaremos quais são os 
componentes das funções estudadas e como podemos compará-las. 
No desenvolvimento desta THA as falas dos professores participantes do curso 
iniciarão pela letra Pn, sendo que cada n representa um possível professor, e as falas do 
acadêmico responsável por ministrar a aula iniciarão com a letra A. 
A princípio, será explicado aos professores que seria interessante que eles 
testassem suas ideias, ao construir os gráficos no software GeoGebra, para também 
poderem analisar graficamente o que estão investigando. 
É importante ressaltar que nosso objetivo com este trabalho não está no 
aprofundamento das instruções de como realizar construções no GeoGebra, mas sim nas 
possibilidades que o software traz para o desenvolvimento de propostas que visam a 
aprendizagem dos estudantes, por meio de discussões a respeito dos conteúdos 
envolvidos. 
O papel do acadêmico responsável pela aula será de questionar as sugestões dos 
professores, com o objetivo de fazê-los refletir sobre o que estão considerando e se a 
rota pela qual eles estão seguindo é interessante, pensando ainda nos possíveis 
obstáculos de aprendizagem que podem ser gerados, dependendo de como eles estão 
resolvendo essa proposta. A proposta será abordada em grupo, e sua resolução ocorrerá 
seguindo as sugestões dos professores, para que assim, por meio dessa construção 
coletiva, eles consigam resolvê-la e discutir os conceitos envolvidos. 
 A proposta a ser apresentada é a seguinte: 
O Parque de Diversões (Unb 97 - Adaptado) 
Cada bilhete vendido em um parque de diversões dá direito à utilização de apenas um 
brinquedo, uma única vez.Esse parque oferece aos usuários três opções de pagamento: 
 I: R$ 3,00 por bilhete; 
 II: Valor fixo de R$ 15,00, acrescidos R$ 0,40 por bilhete; 
 III: Valor fixo de R$ 30,00 com direito a 10 bilhetes mais R$ 0,20 por bilhete 
excedente. 
a) Quais as expressões que definem as funções das opções I, II e III? Esboce seus 
respectivos gráficos no GeoGebra. 
b) Julio está com a família e pretende usar 15 bilhetes. Qual opção é mais 
vantajosa para ele? 
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c) Existe algum ponto que torna indiferente a escolha entre as opções II e III? 
d) Emily, seu marido e seus três filhos foram ao parque no dia em que o parque 
estava comemorando seu aniversário. Nesse dia, as crianças pagavam apenas 
R$ 2,00 por bilhete e os adultos escolheram a opção I. Sabendo que eles 
gastaram R$ 13,00, e cada um utilizou um bilhete, determine quantas crianças o 
casal tem. 
Quadro 02: Proposta do Parque de Diversões 
 
Os professores farão a leitura dessa proposta antes de dar início a resolução. 
A: Como podemos pensar no problema do parque? 
P1: Como esse problema envolve o conceito de funções afins, basta 
encontrarmos as funções que definem cada uma das opções de pagamento do parque, 
para, em seguida, respondermos as questões propostas. 
P2: Para a primeira opção, a expressão que define a função f é dada por f(x)= 3x. 
A: Além da lei de associação, o que mais definiria a função que representa a 
opção I? 
P1: Como assim? 
A: Pense em funções de um modo geral. Para definir uma função, o que 
precisamos conhecer? 
P1: Ah, sim. Precisamos dos conjuntos que definem o domínio e o 
contradomínio. Nesse caso, o domínio seria representado pela quantidade de bilhetes a 
ser comprada, e a imagem seria determinada pelo preço que pagaremos. Vamos 
considerar, nesse caso, que o conjunto que define o contradomínio seja o conjunto dos 
números reais. 
A: O que vocês acham da sugestão de P1? 
P3: É interessante, mas como podemos traçar esse gráfico no GeoGebra, porque 
eu digitei no campo de entrada “f(x) = 3x”, mas o gráfico apresentado é uma reta, e nele 
também é considerado os valores da função para x < 0. 
P4: Se conseguirmos restringir o domínio para x > 0, com x real, seria possível 
traçar o gráfico dessa função. Para isso, podemos digitar no campo de entrada 
“Função[3x,0,∞]”, assim, conseguimos apresentar a expressão que define a função, e o 
intervalo no qual ela é definida. 
A: Plotando esse gráfico, agora podemos afirmar que ele descreve a forma de 
pagamento caso escolhermos a opção I? 
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P3: Muito bem, se cada bilhete nos dá direito a utilização de um único 
brinquedo, observando esse gráfico pressupõe-se que ½ bilhete dá direito a utilização de 
½ brinquedo já que consideramos o domínio como o conjunto dos números reais 
maiores que 0, correto? Mas isso não faz sentido. 
P5: Então temos que repensar no domínio, como ele é definido pela quantidade 
de bilhetes a ser comprada, teremos que o domínio é representado pelo conjunto dos 
Números Naturais. Mas como o software poderá ajudar a plotar esse gráfico? 
A: É nisso que temos que pensar, muitas vezes o software pode trazer alguns 
obstáculos, por isso temos que compreender de fato como representamos o domínio da 
função, para que o gráfico não seja mal interpretado. Felizmente podemos utilizá-lo para 
definir essa função, embora tenhamos que restringir o domínio. Digamos então que a 
quantidade de bilhetes esteja entre 0 e 120, e assim podemos utilizar o comando 
“Sequência” para definir o domínio dessa função como um subconjunto dos números 
naturais. 
 
 
 
 
Gráfico da função definida por 
f(x) = 3x, com Dom = {x > 0}, 
com x real 
 
Gráfico da função definida por f(x) = 3x, com Dom = {0 ≤ x ≤ 
120}, com x natural 
Quadro 03 – Gráficos que podem ser construídos para supostamente representar a Opção I 
Fonte: Do autor. 
 
A: Uma vez definido o domínio da função, qual será o conjunto imagem? 
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P6: O conjunto imagem é dado pelos números 0, 3, 6, 9, ..., 360, considerando o 
conjunto que restringimos para plotar o gráfico da função. Ou poderíamos também dizer 
que o conjunto imagem é representado pelos múltiplos de 3, de 0 a 360. 
A: E agora, conseguimos determinar os elementos da função que representa o 
quanto vamos pagar pelos bilhetes caso escolhermos a opção I? 
P1: Agora temos todos os elementos que definem a função: a lei de associação, o 
domínio e o contradomínio. Mas, se pararmos para pensar, o domínio das funções que 
representam as opções II e III será o mesmo, pois também estaremos relacionando a 
quantidade de bilhetes comprada com o total a ser pago. 
P3: Então para determinar a função que define a opção II fica fácil, porque temos 
um valor fixo de R$ 15,00, mais R$ 0,40 por bilhete, teremos que o coeficiente angular 
da função será 0,4, que representa o quanto o preço aumentará a cada unidade a mais de 
bilhete que comprar, e o coeficiente linear será igual a 15, que é a taxa fixa. Logo, 
temos uma função g definida por g(x) = 0,4x+15, e a imagem dessa função é um 
subconjunto dos racionais. 
P7: Mas e a função h que define a opção III? Como vamos determinar a lei? 
P8: Essa função é definida em dois intervalos diferentes, sendo o primeiro deles 
definido pelo conjunto dos números naturais de 0 a 10, no qual a função será igual a 30, 
ou seja, uma constante. 
P9: Então a segunda parte é definida no conjunto dos naturais maiores que 10, e 
a lei de formação será h(x) = 30 + 0,2x. 
P10: Mas então quer dizer que a segunda parte da função h intercepta o eixo das 
ordenadas no ponto (0,30)? Isso não parece fazer sentido, parece? 
A: Se comprarmos 11 bilhetes, escolhendo a opção III, quanto pagaríamos? 
P5: Temos que pagar R$ 30,20, sendo que os R$ 30,00 é a parte fixa, e R$ 0,20 
por um bilhete excedente. 
A: E se substituirmos x por 11 na função sugerida, ou seja, h(x) = 30+0,2x, o 
que vamos encontrar? 
P9:Assim concluiríamos que h(11) = 32,20. É, não vai dar certo. Então não é 
essa lei que determina a função para o segundo intervalo. 
P6: Mas como sabemos que f (11) = 30,2, e que o acréscimo é de 0,20 centavos 
por cada unidade extra, podemos substituir esses valores na função afim y = ax+b. E 
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assim descobriremos o valor de b e teremos a lei que define a função para o segundo 
intervalo. 
P4: Fazendo essas substituições, temos que a função h é definida por 
h(x)=28+0,2x. E o domínio dessa função é o conjunto dos números naturais, mas a 
imagem pode ser representada por um subconjunto dos números racionais. E essa última 
função é uma função por partes, pois temos que considerar duas leis de formação, uma 
para cada um dos intervalos. 
 P11: Mas, como os domínios dessas funções afins que encontramos são os 
números naturais, podemos considerar que cada uma dessas funções pode ser 
representada por uma progressão aritmética (PA), não podemos? 
A: O que vocês acham? 
P13: Podemos sim, até pela definição de PA, na qual a diferença entre dois 
termos consecutivos é uma constante real, e se considerarmos, por exemplo, a primeira 
opção como uma PA, teríamos que o primeiro termo (a1) seria 3 e a razão seria 3, 
deixando de lado o termo zero, ou ainda considerando a0 = 0. Dessa forma, o termo 
geral seria dado por: nnnrnaan 33333).1(3).1(1  , onde n é o 
número de bilhetes comprados e an o quanto pagaremos por n bilhetes. 
P10: É interessante observar que as progressões aritméticas podem ser tratadas 
como um caso particular das funções afins. 
P13: E, damesma forma, poderíamos definir a função g por meio de uma PA. No 
caso da função h, teríamos duas progressões aritméticas, no primeiro intervalo teríamos 
uma PA de razão igual a zero, e na segunda uma PA de razão 0,2. 
 P3: Então conseguimos definir as funções que representam cada uma das opções 
fornecidas pelo parque, são elas: 
 
Opção I: IRINf : definida por xxf 3)(  
Opção II: IRINg : definida por 154,0)(  xxg 
Opção III: IRINh : definida por 






10,282,0
10,30
)(
xsex
xse
xh 
Quadro 04: As funções que representam as três opções de pagamento 
Graficamente, temos: 
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Quadro 05: Gráficos que representam as três opções de pagamento 
Fonte: do autor 
 
P8: Uma vez plotado o gráfico das três funções, fica tranquilo para responder as 
perguntas do problema: a letra a) está feita. No caso da letra b), basta calcular f(15), 
g(15) e h(15), e verificar qual dos três valores será o mais baixo. 
P6: Mas, podemos ver também pelo gráfico que, se traçarmos a reta vertical 
definida por x=15, a função g é a que intercepta essa reta no menor valor de y. Logo, a 
opção II é mais vantajosa para Julio. 
P13: No caso da letra c), graficamente temos que as funções g e h aparentemente 
se interceptam em apenas um ponto. Para descobrir as coordenadas desse ponto, 
igualamos a função g à parte da função h cujo coeficiente angular é 0,2, pois é nessa 
semirreta que temos a interseção de ambas as funções. Temos que: 
65132,0282,0154,0  xxxx . Assim, se resolvêssemos comprar 
65 bilhetes, a escolha entre a opção II e opção III seria indiferente. E podemos ter 
certeza disso ao calcular g(65) e h(65). 
P14: Em relação à letra d), eu penso que o enunciado está dando a resposta, pois 
se Emily vai ao parque com seu marido e seus três filhos, fica implícito que o número 
de crianças é três, não fica? 
A: Mas será que os três filhos do casal são crianças? 
P14: É verdade, isso não está escrito no enunciado. Bom, mas se for assim então 
podemos pensar em um sistema? 
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A: Como você sugere? 
P14: Considerando que o número total de pessoas seja cinco e temos x adultos e y 
crianças, teríamos a equação 5 yx . E como eles escolheram a opção I, todos 
pagariam R$ 3,00 por bilhete, mas, como as crianças pagam R$ 2,00 por bilhete nesse 
dia, temos que o total pago pode ser representado pela equação 1323  yx . 
P15: Agora existem várias formas de resolver, mas eu resolveria por substituição, 
isolando x ou y na primeira equação e substituindo na segunda. 
A: É interessante que a resolução de um sistema de equações lineares pode ser 
feita de várias formas. Graficamente, como poderíamos interpretar essa solução? 
P10: Se considerarmos os gráficos das retas dadas por cada uma das equações 
que montamos, o ponto de interseção dessas retas, quando elas são concorrentes, 
determina a sua solução. Plotando os gráficos no GeoGebra, podemos observar com 
mais facilidade: 
 
Quadro 06: Representação Gráfica do Sistema de Equações de Reta 
 
P10: Dessa forma, o número de adultos é 3, e juntos eles pagaram R$ 9,00, e o 
número de crianças é 2, e eles pagaram R$ 4,00, totalizando R$ 13,00. 
P11: O GeoGebra pode ajudar na interpretação das respostas encontradas quando 
resolvemos um sistema linear, porque quando o sistema não possui solução, as retas 
seriam paralelas, e fica fácil de observar esse detalhe. 
Ao finalizar a THA, o professor não somente planejou todo o conteúdo que 
pretende abordar em sala de aula e a metodologia pela qual irá trabalhar, mas também se 
colocou no lugar do estudante ao imaginar as possíveis dúvidas que viriam a surgir no 
decorrer da aula. Além disso, o professor simulou as possíveis discussões que podem 
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ser geradas conforme eles buscam uma resolução para o problema apresentado, podendo 
antecipar qual será a sua postura perante cada uma dessas situações, ou seja, como ele 
agirá como um mediador no processo de ensino e aprendizagem. 
 
Considerações Finais 
 
A elaboração de uma THA para o projeto do qual fazemos parte constituiu-se 
como uma diferente alternativa para planejarmos o trabalho com os professores 
participantes do curso, antecipar e promover reflexões relacionadas aos conteúdos 
estudados e trabalhar com as possibilidades que o GeoGebra oferece para o ensino de 
matemática. 
A THA pode oferecer mais segurança ao professor, pois se ele antecipou as 
possíveis situações que podem ocorrer em sala de aula, ele também já estruturou como 
será a sua reação à determinada dúvida ou discussão que surgir, e se por acaso surgir 
alguma dúvida que o professor não havia antecipado, ele poderá esclarecer essa dúvida 
do estudante e complementar a sua THA. 
Segundo Steffe (2004) 
A construção de trajetórias hipotéticas de aprendizagem dos 
estudantes é um dos problemas mais difíceis, porém urgentes que a 
educação matemática enfrenta atualmente. É também um dos 
problemas mais empolgantes porque é nela que podemos construir 
uma compreensão da matemática dos estudantes e como nós 
professores podemos afetar de forma rentável essa matemática 
(STEFFE, 2004, p. 130, tradução nossa). 
 
Corroboramos com o autor, pois ao elaborar a THA, foi necessário que 
refletíssemos sobre como os professores pensariam ao tentar resolver o problema 
apresentado, e que dúvidas poderiam surgir. Para tanto, nos pautamos nas dissertações 
sobre as THA que encontramos na literatura, e por meio dessa pesquisa construímos 
uma THA a ser desenvolvida com professores em um curso de formação continuada. 
Enquanto estudantes de licenciatura, acreditamos que as THA oferecem um 
suporte à formação inicial do professor, e por meio dela é possível descrever algumas 
situações de aprendizagem que podem surgir no decorrer de uma aula, de forma a 
melhor preparar o professor para trabalhar em sala de aula. 
 
 
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática 
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014 
ISSN 2175 - 2044 
 
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