Questões Cálculo

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5.1 Derivadas direcionais
1. Considere um ponto sobre a superfície de equação f (x, y)= 2xy - y3  no ponto  P(5, 5). Ao deslocar esse ponto ao longo da superfície, é possível observar que ele se move em taxas de valores diferentes, dependendo da direção do deslocamento. Determine a taxa na qual o ponto se desloca na direção do versor.
· C. 58.
 
2. A derivada direcional indica o quanto a função varia em uma dada direção, ou seja, indica a taxa de variação da função. Determine a taxa variação da função ​​​​​​​ f (x,  y,  z ) = xy + yz + zx no ponto P(1, -1, 2) e na direção do vetor.
· A. 3.
 
3. Dado um ponto no espaço definido por uma função, existem infinitas direções nas quais é possível deslocar e determinar a taxa cuja função varia naquela direção. Mas existe, em um dado ponto, uma única direção na qual a função cresce mais rapidamente. Encontre a direção na qual a função f(x, y) = x2+ xy + y2 aumenta mais rapidamente no ponto (-1, 1). Encontre a derivada direcional de f nessa direção.
· E. 
 
4. Dada uma função, podemos determinar a direção na qual a função apresenta a menor variação possível. Tal direção é unicamente determinada, juntamente com a taxa mínima de variação. Encontre a direção na qual a função ​​​​​​​ diminui mais rapidamente no ponto (4, 1, 1). Encontre a derivada direcional de f nessa direção.
· D. 
 
5. Suponha que a temperatura varie em certa região de acordo com a função T(x, y) = x3- y3+ xy. Determine a direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente no ponto (2,1).
· B. 
5.2 Integrais de linha
1. Encontre a massa total do arame no formato de parábola y = x2, ao longo de1 ≤ x ≤ 4, que tem densidade de massa δ = y/x.
· C. 42,74
 
 
2. Resolva a integral na qual C é o semicírculo centrado na origem, com raio 3 e rotação no sentido horário.​​​​​​​​​​​​​​
· D. –108
 
 
 
3. Resolva a integral de linha na qual C é o segmento de reta de (3,6) a (1,–1).
· B. 
4. Calcule na qual C é o caminho y = x2 de x = –1 a x = 2, no sentido do aumento do valor da coordenada x.
· E. 
 
 
 
5. Calcule o trabalho realizado por uma partícula no campo vetorial F(x,y) = (x2 – 2xy)i + (y2 – 2xy)j, ao percorrer o trajeto C, definido pela parábola y = x2, do ponto (–1,1) ao ponto (1,1), no sentido do crescimento das ordenadas.
· D. 
 
 
5.3 Integrais de superfície de campos vetoriais
1. Considere F = < y, z, x > e S a superfície orientada parametrizada por Φ (u,v) = (u2 – v, u + v, v2). Marque a alternativa que contém o produto escalar F.n em termos dos parâmetros u e v.
A. 2u3+u2+2v2−4uv3−v
2. O componente normal de um campo vetorial F num ponto P de uma superfície orientada é o produto escalar F(P)⋅en(P)=||F(P)||cos(θ), onde θ é o ângulo entre F(P) e en(P). Considere F = < y, z, x > e S a superfície orientada parametrizada por Φ (u,v) = (u2 – v, u + v, v2). Marque a alternativa que contém o componente normal de F à superfície S em P = (3,3,1) = Φ(2,1).
· C. 
3. Considere F = < y, z, x > e S a superfície orientada parametrizada por Φ (u,v) = (u2 – v, u + v, v2) ao longo de 
Marque a alternativa que contém 
· B. 24.
4.
· E. -4
5. Uma das aplicações da integral de superfície de campos vetoriais é no cálculo do fluxo do fluido através de uma superfície S. Considere F = < x, y, 2z > e S a porção da superfície z = 1 – x2 – y2 acima do plano xy, orientada com normal apontando para cima. Marque a alternativa que contém o fluxo do campo vetorial F através de S.
· D. 2π