Transferência de Massa

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DESCRIÇÃO
Conceitos fundamentais e mecanismos da transferência de massa. Lei de Fick e fórmulas para o cálculo da difusão em gases
líquidos e em sólidos. Correlações para transferência de massa por convecção. Noções de transferência simultânea de calor e
massa.
PROPÓSITO
Compreender os mecanismos de transferência de massa e conhecer os modelos matemáticos empregados para diferentes
situações.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo, tenha em mãos papel, caneta, uma calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone/computador. É preciso também ter acesso a um aplicativo de planilha eletrônica (ex.: Google Planilhas, Excel e
OpenOffice Calc.), além da tabela periódica.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever os conceitos e mecanismos de transferência de massa
MÓDULO 2
Calcular a transferência de massa por difusão
MÓDULO 3
Calcular a transferência de massa por convecção
MÓDULO 4
Reconhecer os problemas com transmissão simultânea de calor e de massa
A TRANSFERÊNCIA DE MASSA
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MÓDULO 1
 Descrever os conceitos e mecanismos de transferência de massa
OS MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA E
APLICAÇÕES
FUNDAMENTOS DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA
A transferência de massa é um fenômeno de interesse em diversos processos industriais e equipamentos, além de ser
fundamental na natureza. O estudo e análise do transporte mássico é feito com equações e soluções análogas ao de
transporte de calor, devido aos mecanismos em que ambos se baseiam.
Neste estudo, iremos apresentar conceitos de transferência de calor, adequando os parâmetros para seus correspondentes em
transferência de massa. Ao final, você será capaz de analisar os mecanismos envolvidos em cada situação e resolver
problemas comuns na engenharia.
DEFINIÇÃO E APLICAÇÕES
Transferência de massa é o nome dado ao fenômeno em que ocorre o transporte de substância em um meio gasoso, líquido,
poroso e até mesmo sólido, o que é percebido pela variação da concentração.
Embora o escoamento de fluidos, por si só, seja uma movimentação de substância, como o deslocamento de ar provocado por
um ventilador, esse caso não é chamado de transferência de massa, pois se trata de um problema de fluidodinâmica.
 COMENTÁRIO
Estudaremos aqui apenas os casos em que há uma mistura com duas ou mais substâncias.
O que causa o escoamento de um fluido é a diferença de pressão, além de outras forças (ex.: Gravidade), enquanto a
transferência de calor é provocada pela diferença de temperatura; e a de massa, pela diferença de concentração.
 SAIBA MAIS
A transferência de massa pode ocorrer simultaneamente com escoamento e transferência de calor.
Existem inúmeros exemplos de transferência de massa que podem ser encontrados no dia a dia, em processos industriais e na
natureza, entre eles destacam-se:
 Figura 1. Dispersão de poluentes emitidos por uma chaminé.
Dispersão de gases na atmosfera
 Figura 2. Intrusão de água salgada em aquíferos
Intrusão salina em aquíferos
 Figura 3. Lançamento de efluentes em corpos hídricos (ex.: esgoto em lagoas, rios e mares)
Lançamento e transporte de efluentes em rios, lagoas e mares
 Figura 4. Pluma de contaminação no subsolo
Contaminação da água do solo e medidas de mitigação/remediação
 Figura 5. Agitador para mistura em processos industriais
Processos industriais de mistura
 Figura 6. Pilha de madeira para secagem ao ar livre e deposição de grãos
Secagem de madeira e de grãos
 Figura 7. Lançamento de perfume no ar
Dispersão de odores no ar
GRANDEZAS FÍSICAS
Antes de prosseguirmos para o equacionamento da transferência de massa, devemos ter em mente as definições das
principais grandezas físicas abordadas:
MASSA ESPECÍFICA
Massa específica total da mistura,
ρ
:
Ρ =
M
V
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Em que
m
e V são a massa e o volume total da mistura, respectivamente.
MASSA ESPECÍFICA PARCIAL
Massa específica parcial ou concentração mássica da espécie (substância)
i
,
ρi
:
ΡI =
MI
V
(1)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
ou seja, massa da espécie
i
(
mi
) por volume de mistura (V).
FRAÇÃO MÁSSICA
Fração mássica da espécie
i
,
wi
:
WI =
M1
M =
ΡI
Ρ
(2)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
CONCENTRAÇÃO MOLAR PARCIAL
Concentração molar parcial da espécie
i
,
ci
:
CI =
NI
V =
ΡI
MI
(3)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Em que,
Ni
é o número de mols da substância
i
. Também pode ser obtida a partir da massa molar da substância
i
, definida por
Mi = mi / Ni
.
FRAÇÃO MOLAR
Fração molar da espécie
i
,
xi
:
XI =
NI
N
=
CI
C
(4)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
A massa total da mistura é
m = ∑mi
, que pode ser obtida pelas massas molares, ou seja,
NM = ∑NiMi
. Dividindo-se ambos os lados por
N
, teremos:
M = ∑XIMI
(5)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
A fração molar pode então ser relacionada com a fração mássica por:
WI =
MI
M =
NIMI
NM = XI
MI
M → XI = WI
M
MI
(6)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
PRESSÃO PARCIAL
Pressão parcial da espécie
i
,
pi
:
É definida como a parcela que a espécie
i
contribui para pressão total da mistura, ou seja,
p = ∑pi
. Em se tratando de gases ideais, temos a Lei dos Gases Ideais que estabelece pV = NRT, em que
R = 8.314 , 46J / kmol . K
:
pi
p =
NiRT / V
NRT / V =
Ni
N → xi =
pi
p
(7)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
ou seja, para gases ideais, a razão entre a pressão parcial e a total será igual à fração molar.
Nesse caso, também podemos expressar a concentração a partir da pressão parcial
CI =
PI
RT ; ΡI = MICI =
MIPI
RT E WI =
MI
M
PI
P
(8)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
 EXEMPLO
Calcule a concentração molar e mássica de água no ar a 25°C se a umidade relativa, razão entre pressão parcial e a de vapor,
é de 60,0%. A pressão de vapor a 25°C é 3,17 kPa. Considere o vapor d’água como gás ideal.
Solução:
Para essa umidade, a pressão parcial do vapor de água no ar será:
PA = 0, 6 ⋅ 3, 17 ⋅ 103 = 1, 90 KPA
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Conforme vimos, em se tratando de gás ideal, a concentração molar é calculada pela Equação (8):
CA =
PA
RT =
1, 90 ⋅ 103
8314 ⋅ 298 = 7, 67 ⋅ 10
− 4 KMOL /M3
⇋ Utilize a rolagem horizontal
A partir desse resultado, podemos obter a concentração mássica (massa específica parcial), conforme a Equação (3).
CA =
ΡA
MA
 
⇋ Utilize a rolagem horizontal
A massa molar de água (
H2O
), pode ser obtida pela tabela periódica,
MA = 2 ∗ 1 + 16 = 18kg /kmol
. Desse modo:
ΡA = CAMA = 7, 67 ⋅ 10 − 4 ⋅ 18 = 1, 38 ⋅ 10 − 2 KG /M3
⇋ Utilize a rolagem horizontal
MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA
DIFUSÃO
A difusão é um mecanismo de transporte de massa em misturas caracterizado pelo movimento microscópico do meio (ex.:
Molecular), que causa, naturalmente, a dispersão das espécies (componentes da mistura).
Para ocorrer difusão, basta que haja diferença de concentração no espaço (gradiente).
Existem três tipos de difusão:
DIFUSÃO MOLECULAR
Causada pela agitação molecular; portanto, quanto maior a temperatura, maior será a difusão molecular.
Observamos na figura abaixo um momento inicial, quando do lado esquerdo há uma fração molar da espécie 1 (partículas
vermelhas) de 50%, enquanto do lado direito essa fração é de 0%.
( )
 Figura 8. Difusão em uma mistura com duas substâncias
Devido à agitação das partículas, a concentração da espécie 1 é gradualmente dispersada, até que alcance um valor uniforme
em todo o domínio. No gráfico da Figura 9, é apresentada a distribuição de concentração
c
, dividida pela concentração máxima inicial
c0
, ao longo do espaço para o tempo inicial
t0
, intermediário
t1
e final
t2
.
 Figura 9. Difusão - concentração
c
dividida por concentração inicial
c0
ao longo da posição em tempos diferentes.
DIFUSÃO TURBULENTA
Causada pelos turbilhões (pequenos vórtices) presentes em escoamentos turbulentos. Quanto mais turbulento for o
escoamento, mais intensa será a dispersão da mistura.
(a)
(b)
 Figura 10.Escoamento laminar (a) e turbulento (b)
A intensidade da turbulência é medida pelo número de Reynolds, adimensional calculado por
Re = ρVL /μ
, em que
V
é a velocidade do escoamento,
L
é a dimensão de referência (ex.: Diâmetro do duto) e
μ
é a viscosidade do fluido.
DISPERSÃO HIDRÁULICA
Quando um fluido atravessa um meio poroso (ex.: Solo), o que é caracterizado pela velocidade macroscópica, a passagem
pelos caminhos disponibilizados nos vazios provoca variações pontuais de direção e intensidade da velocidade
microscópica (Figura 11).
CAMINHOS DISPONIBILIZADOS NOS VAZIOS
A difusão ocorre pela movimentação de moléculas/ partículas/impurezas, por vazios existentes na rede cristalina hospedeira.
javascript:void(0)
 Figura 11. Difusão hidráulica em meio poroso
Essa trajetória variável ocasiona a dispersão de substâncias tanto na direção transversal quanto longitudinal à da velocidade
macroscópica. Nesse caso, a difusão dependerá da velocidade, direção e característica dos poros.
ADVECÇÃO
A advecção é a transferência de massa causada pelo movimento macroscópico do meio, que leva as substâncias consigo
(Figura 12).
 EXEMPLO
Quando há um escoamento de fluido com temperatura muito baixa, ocorre apenas advecção.
 Figura 12. Transporte de massa por advecção
Nesse exemplo, determinada quantidade de substância (partículas vermelhas) é transportada junto ao meio fluido (partículas
azuis). O resultado da concentração ao longo do espaço para essa situação é representado na próxima figura.
 Figura 13. Advecção - concentração
c
dividida por concentração inicial
c0
ao longo da posição em tempos diferentes
Outra situação possível é quando há uma fonte que injeta continuamente a substância no meio (ex.: Vazamento de
reservatório), conforme ilustrado nas Figuras 14 e 15.
 Figura 14. Transporte de massa por advecção com fonte
 Figura 15. Advecção com fonte - concentração
c
dividida por concentração inicial
c0
ao longo da posição em tempos diferentes
CONVECÇÃO – TRANSPORTE POR DIFUSÃO E
ADVECÇÃO SIMULTÂNEAS
A situação mais comum na natureza é quando há a sobreposição dos mecanismos de difusão e advecção, o que é chamado
de convecção. Isso significa que, além do transporte macroscópico da substância, caracterizado pelo deslocamento do centro
de massa, haveria uma dispersão (diluição) ao longo do tempo, suavizando os gradientes de concentração.
O resultado da situação da Figura 12 com a inclusão de difusão é mostrado na Figura 16.
 Figura 16. Advecção e difusão - concentração
c
dividida por concentração inicial
c0
ao longo da posição em tempos diferentes
 EXEMPLO
Como seria o gráfico de concentração versus posição para diferentes instantes se, no caso da Figura 14 — transporte de
massa a partir de uma fonte —, houvesse também a difusão?
Solução:
O resultado da concentração versus posição sem efeito de difusão é apresentado na Figura 15. A difusão causaria uma
diluição, suavizando o gradiente de concentração, principalmente onde ele é maior, conforme vimos na Figura 9. Adicionando,
então, essa diluição gradual e progressiva ao longo do tempo (difusão) à advecção (deslocamento do centro de massa),
teremos um comportamento semelhante ao representado na Figura 17.
 Figura 17. Advecção e difusão com fonte - concentração
c
dividida por concentração inicial
c0
ao longo da posição em tempos diferentes
Assim como na convecção de calor, a convecção de massa pode ser natural ou forçada:
CONVECÇÃO NATURAL
Quando o movimento do fluido ocorre devido à diferença da massa específica (aumento ou diminuição do peso) causada pela
variação da concentração de uma espécie, a convecção é classificada como natural.
Exemplo: O fato de que o ar mais úmido é mais pesado.
CONVECÇÃO FORÇADA
Quando há um agente externo causando o escoamento, a convecção é forçada.
Exemplo: ventilador
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
A FIGURA ILUSTRA UM DISPOSITIVO RELATIVAMENTE SIMPLES PARA
MEDIR A TRANSFERÊNCIA DE MASSA, CHAMADO DE CÉLULA DE
DIFUSÃO DE ARNOLD:
javascript:void(0)
javascript:void(0)
 Figura 18. Célula de difusão de Arnold
NO FUNDO DE UM TUBO, É COLOCADO UM LÍQUIDO VOLÁTIL (ESPÉCIE
A), PORTANTO A PRESSÃO PARCIAL DESSA SUBSTÂNCIA,
IMEDIATAMENTE ACIMA DA SUPERFÍCIE LÍQUIDA, É IGUAL A PRESSÃO
DE VAPOR. NO TOPO DO TUBO, UMA CORRENTE LEVE DE AR (ESPÉCIE
B) GARANTE QUE A PRESENÇA DA ESPÉCIE A SEJA DESPREZÍVEL.
CONSIDERE QUE ESSE EXPERIMENTO SERÁ FEITO COM ETANOL,
CUJAS PROPRIEDADES SÃO LISTADAS ABAIXO:
Fórmula:
C2H5OH
Massa molar:
46, 07kg /kmol
Pressão de vapor na temperatura ambiente:
5, 9kPa
CONSIDERE QUE A MISTURA DE AR COM ETANOL TEM
COMPORTAMENTO PRÓXIMO AO DE GÁS IDEAL. PARA UM LOCAL EM
QUE A PRESSÃO ATMOSFÉRICA É DE 101,3 KPA E DADO QUE A MASSA
MOLAR DO AR É DE, APROXIMADAMENTE, 29 KG/KMOL, DETERMINE:
Os mecanismos de transferência de massa envolvidos nesse experimento.
A fração molar da mistura de etanol com ar junto à superfície líquida.
Considerando uma distribuição linear de fração molar ao longo da altura, a fração mássica no meio.
RESOLUÇÃO
MEDIÇÃO DA DIFUSÃO PELA CÉLULA DE ARNOLD
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Calcular a transferência de massa por difusão
DIFUSÃO DE MASSA
LEI DE FICK E EQUAÇÃO DA DIFUSÃO
LEI DE FICK
Conforme vimos no Módulo 1, a difusão molecular de massa é uma consequência do gradiente de concentração (variação ao
longo do espaço) com a agitação das moléculas (movimento microscópico).
A quantificação da difusão da espécie A numa mistura binária com A e B é dada pela Lei de Fick:
→
JA = − DAB∇CA
(9)
Em que:
→
JA
é o fluxo difusivo molar (número de mols por tempo por área)
DAB
é o coeficiente de difusão da espécie A na mistura com A e B (no S.I., m2/s)
cA
é a concentração molar de A, ou seja, número de mols de A por volume de mistura (Módulo 1).
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Em caso de problema unidimensional, basta calcular o fluxo na direção
x
:
JA = − DAB
∂CA
∂X 
(10)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
O sinal negativo indica que o fluxo tem sentido contrário ao do gradiente de concentração, ou seja, o transporte de massa se
dá do ponto de maior para o de menor concentração. Se ao invés da concentração molar
cA
, utilizássemos a concentração mássica
ρA
, teríamos o fluxo de massa
nA
, do lado esquerdo da equação.
Há uma analogia entre a Lei de Fick (difusão de massa) e a Lei de Fourier (difusão de calor), sendo essa última definida por
q = − k ∂T /∂x
, em que q é o fluxo de calor,
k
é a condutividade térmica e
T
a temperatura.
Portanto, ao comparar um problema de difusão de calor com um de massa, o fluxo de calor é equivalente ao de massa, a
condutividade térmica ao coeficiente de difusão mássica e a temperatura à concentração.
Essa analogia mostra que, em termos matemáticos, podemos aplicar as mesmas soluções para ambos os casos.
EQUAÇÃO DA DIFUSÃO
Considere um volume de controle infinitesimal, com dimensões
dx
,
dy
e
dz
, representado na figura a seguir. A taxa de número de mols que entra e sai pode ser expressa pela Lei de Fick, Equação (10),
multiplicada pela área.
 Figura 19. Entrada e saída da espécie A, medida em mols, na direção x em um elemento infinitesimal
A diferença entre a taxa de mols que entram e saem equivale à quantidade que varia no interior do volume de controle; caso
não haja nenhuma fonte interna
jf
(ex.: Reação química), será:
∂NA
∂T = ṄAE − ṄAS = AXDAB
∂CA
∂X X + DX
−
∂CA
∂X X
=
DAX
⏞
DYDZDAB
∂ CA
∂ X X + DX
-
∂ CA
∂ X X
DX DX =
DV
⏞
DXDYDZDABLIM
ΔX → 0 
∂ CA
∂ X X + ΔX
-
∂ CA
∂ X X
ΔX
→
∂ NA
∂ t = dVDAB
∂
∂ x
∂ cA
∂ x = dV DAB
∂2cA
∂ x2
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Passando o volume dV para o lado esquerdo, teremos a divisão entre número de mols,
NA
, e volume, o que corresponde à concentração molar
cA
:
( | | )
( | | ) [ ( | | ) ]
( )
∂2CA
∂X2
=
1
DAB
∂CA
∂T 
(11)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Essa expressão corresponde à aplicaçãodo princípio da conservação de massa (ou de número de mols) e é chamada de
equação da difusão, válida quando ocorre transferência de massa apenas por difusão (não há advecção), ou seja, em meio
estacionário (parado).
O primeiro passo para a solução dessa equação consiste em se determinar as condições de contorno e iniciais. Para a maioria
das situações reais, não há solução analítica ou, se houver, ela não é prática para calcular. Veremos a seguir, uma exceção.
DIFUSÃO UNIDIMENSIONAL PARA REGIME PERMANENTE
Em regime permanente, não há variação ao longo do tempo, consequentemente o lado direito da Equação (11) será nulo,
resultando em:
D2CA
DX2
= 0 → 
DCA
DX = A = CTE → CA(X) = AX + B
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Temos, assim, duas conclusões dessa situação: O gradiente da concentração é constante ao longo do meio e a distribuição de
concentrações é linear (gráfico de reta). Aplicando essa informação na Lei de Fick, Equação (10), teremos:
JA = − DAB
ΔCA
L
(12)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Em que
ΔcA
se refere à diferença de concentração ao longo do comprimento
L
.
DIFUSÃO UNIDIMENSIONAL PARA MEIO SEMI-INFINITO
EM REGIME TRANSIENTE
Para algumas situações específicas simplificadas, há solução analítica para a Equação (11). Por exemplo, para as condições
de contorno:
Condição inicial:
cA(t = 0) = cA0
Fonte com concentração constante:
cA(x = 0; t > 0) = cA , f
Domínio com dimensão muito grande (infinito), ou seja, sem limitação para
x
.
Para esse caso, a solução será:
CA(T) − CA , 0
CA , F − CA , 0
= 1 − ERF
X
2 DABT
(13)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Em que
erf(ξ)
é a função erro, definida por
erf(ξ) =
1
√π ∫
ξ
− ξe
− t2dt
.
( √ )
 SAIBA MAIS
A função erro pode ser facilmente calculada com planilhas eletrônicas, como, por exemplo, no Excel, utilize ‘=FUNERRO(A1)’
e, no Google Planilhas, ‘=FUNCERRO(A1)’ para calcular o resultado da função erro para o valor contido na célula A1.
Vejamos o resultado da Equação (13) com base em parâmetros adimensionalizados:
 Figura 20. Resultado da difusão unidimensional transiente
Conforme observamos, só há alteração significativa da temperatura (penetração) até, aproximadamente,
x /2 DABt ≅ 2
, o que significa:
Δ(T) ≅ 4 DABT
(14)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Em que
δ
é definido como a profundidade de penetração, ou seja, até que ponto a concentração foi impactada pela fonte.
DIFUSÃO EM GASES E LÍQUIDOS
√
√
COEFICIENTE DE DIFUSÃO EM MISTURAS GASOSAS
Devido à complexidade do fenômeno de difusão (movimentação molecular), os coeficientes são normalmente obtidos através
de experimentos, ou seja, formulações empíricas (ÇENGEL; GHAJAR, 2012).
 SAIBA MAIS
Há fórmulas e valores tabelados para diversas combinações disponíveis na literatura.
Para facilitar a obtenção de
DAB
, podemos aplicar a extrapolação a partir de condições para as quais o seu valor é conhecido, através da relação:
DAB T2, P2
DAB T1, P1
=
P1
P2
T2
T1
3 / 2
(15)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Válida para
p < 25
atm.
 RESUMINDO
O aumento da temperatura causa um aumento da difusão, enquanto um aumento de pressão tem efeito contrário.
 EXEMPLO
O coeficiente de difusão de álcool etílico no ar para pressão atmosférica e temperatura de 25°C é
D = 0, 93x10 − 5m2 /s
. Qual seria o valor para a mesma pressão e temperatura de -10°C?
Solução
( )
( ) ( )
Aplicando a Equação (15), lembrando-se de converter a temperatura para Kelvin:
DAB T1, P1
DAB T2, P2
=
P2
P1
T1
T2
3
2
→ DAB(263 K, 1 ATM) = 0, 93 ⋅ 10
− 5 ⋅
1
1
298
263
3
2 = 1, 1 ⋅ 10 − 5 M2 /S
⇋ Utilize a rolagem horizontal
No caso de vapor de água em ar, devido à sua importância, ressaltamos a formulação proposta por Marrero e Mason (1972):
DH20 , AR = 1, 87 ⋅ 10
− 10 T
2 , 072
P
 ; PARA 282 K ≤ T ≤ 450 K
(16)
Em que:
A temperatura
T
deve ser aplicada em Kelvin
A pressão
p
em atm
⇋ Utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
( )
( ) ( )
( )
( )
O erro de resultados experimentais para essa equação é de cerca de 10%.
Na Tabela 1, são apresentados os valores de difusividade para diversas substâncias diluídas em ar. A conversão para outras
condições de pressão e temperatura pode ser feita pela Equação (16).
Substância A T (K)
DAB
ou
DBA
(m2/s)
Substância A T (K)
DAB
ou
DBA
(m2/s)
Acetona 273 1, 1 × 10 − 5
Hidrogênio,
H2
298 7, 2 × 10 − 5
Amoníaco,
NH3
298 2, 6 × 10 − 5
Iodo,
I2
298 0, 83 × 10 − 5
Benzeno 298 0, 88 × 10 − 5 Metanol 298 1, 6 × 10 − 5
Dióxido de carbono 298 1, 6 × 10 − 5 Mercúrio 614 4, 7 × 10 − 5
Cloro 273 1, 2 × 10 − 5 Naftalina 300 0, 62 × 10 − 5
Álcool etílico 298 1, 2 × 10 − 5
Oxigênio,
O2
298 2, 1 × 10 − 5
Hélio, He 298 7, 2 × 10 − 5 Vapor de água 298 2, 5 × 10 − 5
Éter etílico 298 0, 93 × 10 − 5
Metano,
CH4
293 2, 1 × 10 − 5
Naftaleno 303 0, 86 × 10 − 5
Gás sulfídrico,
H2S
298 1, 6 × 10 − 5
⇋ Utilize a rolagem horizontal
 Tabela 1. Coeficiente de difusão para substâncias diluídas em ar (substância B) a 1 atm
Extraída de Çengel e Ghajar (2012) e Lienhard e Lienhard (2020)
COEFICIENTE DE DIFUSÃO EM LÍQUIDOS
O coeficiente de difusão em líquidos é cerca de 3 ordens de grandeza menores do que em gases, conforme observado na
comparação entre a Tabela 1 e a Tabela 2. Porém, em ambos, a temperatura mantém uma influência direta na difusão, ou seja,
quanto mais quente, maior a troca de massa.
Substância A (soluto) Substância B (solvente) T (K)
DAB
(m2/s)
Amônia Água 285 1, 6 × 10 − 9
Benzeno Água 293 1, 0 × 10 − 9
Dióxido de carbono Água 298 2, 0 × 10 − 9
Cloro Água 285 1, 4 × 10 − 9
Etanol Água 283 0, 84 × 10 − 9
Etanol Água 288 1, 0 × 10 − 9
Etanol Água 298 1, 2 × 10 − 9
Glicose Água 298 0, 69 × 10 − 9
Hidrogênio Água 298 6, 3 × 10 − 9
Metano Água 275 0, 85 × 10 − 9
Metano Água 293
1, 5 × 10 − 9
Substância A (soluto) Substância B (solvente) T (K)
DAB
(m2/s)
Metano Água 333 3, 6 × 10 − 9
Metanol Água 288 1, 3 × 10 − 9
Nitrogênio Água 298 2, 6 × 10 − 9
Oxigênio Água 298 2, 4 × 10 − 9
Sal (NaCl) Água 298 1, 6 × 10 − 9
⇋ Utilize a rolagem horizontal
 Tabela 2. Coeficiente de difusão para substâncias em água a 1 atm
Extraída de Çengel e Ghajar (2012), Lienhard e Lienhard (2020), Cussler (2009) e Cremasco (2019)
Apesar de termos levantado diversas analogias entre transporte de calor e massa, há uma diferença importante a se destacar:
Ao contrário da temperatura, a concentração nos dois lados de uma interface (líquido-gás, sólido-gás e sólido-líquido) não é a
mesma:
 Figura 21. Descontinuidade da concentração em interfaces
Isso se deve ao fato da concentração (quantidade de matéria por volume) ser influenciada pela solubilidade da espécie em
cada meio e da densidade do meio, o que pode mudar expressivamente em interfaces (a massa específica de um sólido é
muito maior do que a de um gás).
Em interfaces entre gás e líquido (ou sublimação de sólido para gás), se o líquido (ou sólido) tiver elevada concentração da
espécie
i
(
xi
próximo de
1
), a pressão parcial dela na fase gasosa,
pi
, pode ser obtida pela Lei de Raoult:
PI = PSAT , IXI
(17)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Em que
psat , i
é a pressão de saturação (pressão máxima de vapor) para a temperatura da interface. A partir da pressão parcial, podemos
calcular a concentração da espécie
i
.
 EXEMPLO
Numa panela com água a 25°C, qual é a pressão parcial do vapor d’água no ar em contato com a água? Considerando o
vapor d’água como fluido ideal, calcule também a concentração em massa dele.
Solução
Nesse caso, é válida a Lei de Raoult, pois a concentração de água no lado líquido da interface é
xH2O = 1
(água pura). Conforme a Equação (17):
PH2O = PSAT , H2OXH2O = PSAT , H2O
⇋ Utilize a rolagem horizontal
A pressão de saturação de água no ar (pressão máxima de vapor) a 25°C é 3,17 kPa.
Portanto, a pressão parcial de vapor d’água no ar em contato com a água na panela será
pH2O = 3, 17kPa
.
Conforme vimos em Grandezas físicas (Módulo 1), em se tratando de fluidoideal, podemos utilizar a Equação (8), sendo a
massa molar de água
MH2O = 18kg /kmol
:
ΡI =
MIPI
RT
=
18 ⋅ (3, 17 ⋅ 103)
8314 ⋅ 298 = 0, 023 KG /M
3
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Ainda sobre interface líquido-gás, caso a espécie de interesse esteja diluída no líquido (
xi < 1
), a pressão parcial na fase gasosa pode ser calculada pela Lei de Henry,
pi = Hxi
, em que
H
é uma constante.
EXEMPLO DA CONSTANTE
H
PARA
H2
N2
javascript:void(0)
E
O2
Lei de Henry
Gás 0°C 60°C
H2 1,72 1,21
N2 1,86 0,874
O2 3,98 1,211,57
⇋ Utilize a rolagem horizontal
DIFUSÃO EM SÓLIDOS
A difusão em sólidos é cerca de várias ordens de grandeza menor do que em gases, conforme observado pela comparação
entre a Tabela 1 e Tabela 3. Isso se deve à proximidade das moléculas, o que dificulta o transporte de massa por meio delas.
Mesmo assim, o processo de difusão em sólidos é de grande relevância para diversos processos industriais e de fabricação de
materiais.
Substância A (soluto) Substância B (solvente) T, K DAB,
m2
s
Dióxido de carbono Borracha natural 298 1, 1 × 10 − 10
Nitrogênio Borracha natural 298 1, 5 × 10 − 10
Oxigênio Borracha natural 298 2, 1 × 10 − 10
Hélio Pyrex® 773 2, 0 × 10 − 12
Hélio Pyrex® 293
4, 5 × 10 − 15
Substância A (soluto) Substância B (solvente) T, K DAB,
m2
s
Hélio Dióxido de silício 298 4, 0 × 10 − 14
Hidrogênio Ferro 298 2, 6 × 10 − 13
Hidrogênio Níquel 358 1, 2 × 10 − 12
Hidrogênio Níquel 438 1, 0 × 10 − 11
Cádmio Cobre 293 2, 7 × 10 − 19
Zinco Cobre 773 4, 0 × 10 − 18
Zinco Cobre 1273 5, 0 × 10 − 13
Antimônio Prata 293 3, 5 × 10 − 25
Bismuto Chumbo 293 1, 1 × 10 − 20
Mercúrio Chumbo 293 2, 5 × 10 − 19
Cobre Alumínio 773 4, 0 × 10 − 14
Cobre Alumínio 1273 1, 0 × 10 − 10
Carbono Ferro 773 5, 0 × 10 − 15
Substância A (soluto) Substância B (solvente) T, K DAB,
m2
s
Carbono Ferro 1273 3, 0 × 10 − 11
⇋ Utilize a rolagem horizontal
 Tabela 3. Coeficiente de difusão para sólidos a 1 atm
Extraída de Çengel e Ghajar (2012)
A respeito do salto de concentração ilustrado na Figura 21, para calcular a concentração no lado sólido, podemos utilizar a
expressão (ÇENGEL e GHAJAR 2012)
CI , LADO S Ó LIDO = S PI , LADO GASOSO
(20)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Em que
S
é a solubilidade do gás no sólido, medida em número de mols por volume por pressão.
 RELEMBRANDO
A concentração em massa do lado sólido pode então ser obtida pela relação
ρi = ciMi
, vista no Módulo 1.
 EXEMPLO
Uma câmera de borracha é preenchida por nitrogênio a 2,7 bar. Qual será a concentração mássica de N2 na borracha, junto à
superfície? Dados: Solubilidade de N2 na borracha a
298 K : 0, 00156 kmol /m3. bar
.
Solução
Conforme a Equação (18), a concentração molar da interface, no lado da borracha (sólido), será:
CN2 , LADO S Ó LIDO = S PN2 , LADO GASOSO = 0, 00156 ⋅ 2, 7 = 0, 0042 KMOL /M
3
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Sendo a massa molar do nitrogênio
MN2 = 28kg /kmol
, a concentração mássica é obtida por
ΡN2 , LADO S Ó LIDO = CN2 , LADO S Ó LIDOMI = 0, 0042 ⋅ 28 = 0, 12 KG /M
3
⇋ Utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
O produto
SDAB
(solubilidade vezes difusividade) é denominado permeabilidade
P
.
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
EM NAVIOS, SÃO UTILIZADOS DUTOS DE ENTRADA DE AR (FIGURAS A
SEGUIR) PARA PERMITIR A RENOVAÇÃO E REFRIGERAÇÃO DO AR NOS
COMPARTIMENTOS INTERNOS:
UM DOS GASES QUE CAUSA GRANDE PREOCUPAÇÃO EM ANÁLISES
DE RISCOS É O
H2S
(SULFETO DE HIDROGÊNIO), CONHECIDO COMO “GÁS DA MORTE”.
ESSA SUBSTÂNCIA OCORRE EM INSTALAÇÕES DE EXPLORAÇÃO DE
PETRÓLEO, GÁS NATURAL E EM ESTAÇÕES DE TRATAMENTO DE
ESGOTO.
A MISTURA DELA COM O AR, QUE TEM COEFICIENTE DE DIFUSÃO
MOLECULAR
DH2S , AR = 0, 16CM
2 /S
, ALÉM DE EXPLOSIVA, PODE CAUSAR DANOS À SAÚDE E ATÉ LEVAR À
MORTE. (BRASIL, 2018) ESTIPULA TOLERÂNCIA DE CONCENTRAÇÕES
ATÉ
100ΜG /M3
, EM CURTO PERÍODO DE EXPOSIÇÃO (1 A 14 DIAS), E
20ΜG /M3
EM LONGO PERÍODO (ATÉ 90 DIAS).
CONSIDERE O CENÁRIO EM QUE OCORRE UM VAZAMENTO DE H2S NO
DECK DE UMA EMBARCAÇÃO, FAZENDO COM QUE SUA
CONCENTRAÇÃO NA ENTRADA DO DUTO DE REFRIGERAÇÃO SE
MANTENHA CONSTANTE A
5000ΜG /M3
. O SISTEMA DE ALARME DETECTA O GÁS E DESLIGA,
INSTANTANEAMENTE, O SISTEMA DE VENTILAÇÃO E REFRIGERAÇÃO
(O AR NO DUTO FICA IMÓVEL), NO ENTANTO, UMA FALHA IMPEDE QUE
AS COMPORTAS SE FECHEM, O QUE MANTÉM UMA LIGAÇÃO DIRETA
AO LONGO DA TUBULAÇÃO, QUE TEM UM TOTAL DE 50M.
A UMA DISTÂNCIA DE 10M DA ENTRADA DO DUTO, HÁ UMA SAÍDA PARA
O ALOJAMENTO.
Após o início do vazamento, em quanto tempo o alojamento deve ser evacuado antes que o limite de tolerância para
curto período de exposição seja alcançado? Comente as hipóteses simplificadoras e demais considerações adotadas.
Avalie o que ocorreria caso um escoamento residual de 10cm/s permanecesse no interior do duto de ar, que tem 30cm
de diâmetro.
RESOLUÇÃO
TRANSPORTE DE GASES TÓXICOS EM DUTOS DE AR
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Calcular a transferência de massa por convecção
CONVECÇÃO DE MASSA
TRANSPORTE POR ADVECÇÃO E DIFUSÃO
EQUAÇÃO DO TRANSPORTE DE MASSA
No Módulo 2, analisamos a transferência de massa quando ocorre apenas por difusão, conforme a definição dos mecanismos
apresentada no Módulo 1 em Mecanismos de transferência de massa. Nessa situação (sem movimento do meio), o modelo
matemático é representado pela Equação (11), válida para transferência unidimensional. Se houver escoamento
incompressível, o efeito da advecção causado pela velocidade u do meio deve ser adicionado, resultando em:
∂CA
∂T + U
∂CA
∂X − DAB
∂2CA
∂X2
= 0
(19)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Em que
u
é a velocidade do meio.
SOLUÇÃO ANALÍTICA DA EQUAÇÃO DO TRANSPORTE
DE MASSA
A solução da Equação (19) vai depender das condições iniciais e de contorno. Um exemplo simples é definido por:
FONTE (CONTORNO PARA
X = 0
):
cA(0, t) = c0
, ou seja, concentração na fonte constante e igual a
c0
INICIAL
cA(x, 0) = 0
, ou seja, concentração inicial nula para
x > 0
CONTORNO PARA
X → ∞
cA(∞, t) = 0
, concentração nula em pontos muito distantes da fonte
Para esse caso, a solução analítica é apresentada por Ogata e Banks (1961):
C
C0
=
1
2 ERFC
X − U T
2 DABT
+ E
U X
DABERFC
X + U T
2 DABT
(20)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Em que
erfc(ξ) = 1 − erf(ξ)
[ ( √ ) ( √ )]
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
é a função erro complementar da função erro, cuja definição já vimos no Módulo 2,
erf(ξ) =
1
√π ∫
ξ
− ξe
− t2dt
.
 SAIBA MAIS
A função erro complementar pode ser facilmente calculada com planilhas eletrônicas. Por exemplo, no Excel, utilize
‘=FUNERROCOMPL(A1)’ e, no Google Planilhas, ‘=FUNERROCOMPL(A1)’ para calcular o resultado da função erro
complementar do valor contido na célula A1.
Podemos reescrever a Equação (20) adimensionalizada como:
C
C0
=
1
2 ERFC
PEX
4Τ − Τ + E
PEXERFC
PEX
4Τ + Τ
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Em que:
PEX =
XU
DAB
 E Τ =
UT
2 DABT
=
U
2
T
DAB
(21)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Sendo
Pex
denominado número de Peclet.
Observa-se, pelo comportamento da concentração com a evolução do tempo (Figura 22), a sobreposição dos efeitos de
advecção (translação do centro de massa) e difusão (suavização da concentração), conforme discutido no Módulo 1:
[ ( ) ( )]
√ √
 Figura 22. Transferência de massa transiente unidimensional por advecção e difusão
A penetração
δ
se dá até a profundidade
Pex = 8τ + 4τ
2
, ou seja:
Δ = 4 DABT + UT
(22)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Em que a primeira parcela corresponde à contribuição dada pela difusão e a segunda pela advecção.
 ATENÇÃO
Esse tipo de solução é necessária quando ambos os mecanismos (difusão e advecção) são relevantes.
A relação entre eles é medida pelo número de Peclet:
PEL =
LV
DAB
(23)
√
Em que:
V
é a velocidade do meio (
u
, se unidimensional)
L
é o comprimento característico (ex.: Comprimento do duto)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Se
Pe
formuito elevado, significa que apenas a advecção é relevante, enquanto um valor muito baixo indica o contrário (apenas
difusão). Valores intermediários mostram que ambos os mecanismos devem ser considerados.
COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA POR
CONVECÇÃO
Uma situação de interesse é quando ocorre transferência de massa entre uma superfície e um fluido em movimento. O
transporte de massa ocorrerá, então, tanto por difusão quanto advecção, o que caracteriza a convecção.
Próximo da superfície, a concentração irá variar de
cA , s
até
cA , ∞
, ao longo de uma região denominada camada limite de concentração. A espessura dessa camada,
δc
, é comumente definida como a distância da parede em que resta apenas 1% da diferença de concentração para a da corrente
livre.
 Figura 24. Camada limite de concentração
Percebe-se a complexidade desse processo, visto que devemos considerar o fenômeno de fluidodinâmica, transferência de
massa e, possivelmente, de transferência de calor; o que inviabiliza a aplicação da Equação (19).
Por simplificação, o fluxo convectivo molar (número de mols por tempo por área),
JA
, pode ser calculado por:
JA = H̄M CA , S − CA , ∞
(24)
Em que:
cA , s
é a concentração molar da espécie
A
na superfície
cA , ∞
na corrente livre (afastado da superfície)
O parâmetro
h̄m
( )
(no S.I, em m/s) é o coeficiente convectivo de massa médio ao longo de toda superfície, normalmente obtido por
correlações empíricas (baseadas em dados experimentais)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Alternativamente, essa equação pode ser reescrita para fornecer a vazão mássica convectiva (massa trocada por tempo),
ṁconv
:
ṀCONV = AH̄M ΡA , S − ΡA , ∞ = AΡH̄M WA , S − WA , ∞
(25)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Em que
A
é a área por meio da qual há troca de massa,
ρA
e
wA
são a massa específica parcial e fração mássica da espécie
A
(Módulo 1) e os índices
s
e
∞
se referem à superfície e à corrente livre, respectivamente.
MODELOS PARA A TRANSFERÊNCIA DE MASSA EM
INTERFACES
De forma análoga ao número de Nusselt (transferência de calor), o Número de Sherwood faz a razão entre a transferência
convectiva e difusiva:
( ) ( )
SHL =
H̄ML
DAB
(26)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Em que
L
é o comprimento característico. Em caso de cilindro ou esfera,
ShD = h̄mD /DAB
.
Seguindo a analogia entre transferência de calor e de massa, o número de Prandtl (razão entre difusão de momentum e de
calor) é substituído pelo número de Schmidt, definido pela razão entre difusão de momentum e de massa:
SC =
Ν
DAB
(27)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Sendo assim, teremos as mesmas correlações entre os adimensionais correspondentes.
Para a convecção forçada em regime laminar acima de um plano horizontal:
SHL = 0, 664 RE
1 / 2
L SC
1 / 3 ; PARA REL < 2 ⋅ 105 E SC > 0, 6
(28)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Para regime turbulento (
ReL > 5 ⋅ 10
5
):
SHL = 0, 037 RE
4 / 5
L − 871 SC
1 / 3 ; PARA SC > 0, 5
(29)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
A convecção forçada no interior de dutos em regime laminar (
ReD < 2.300
) será:
SHD = 3, 66
(30)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Em regime turbulento, para
0, 7 < Pr < 160, ReD > 10.000
:
SHD = 0, 023 RE
0 , 8
D PR
0 , 4
(31)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
A convecção forçada ao redor de uma esfera é dada, para
ReD < 48000
, por:
SHD = 2 + 0, 552 RE
0 , 53
D SR
1 / 3
(32)
( )
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Assim como em calor, em caso de convecção natural, é necessário considerar o número de Grashof, que para transferência de
massa é definido por:
GR =
G Ρ∞ − ΡS L
3
ΡΝ2
=
GΒ TS − T∞ L
3
Ν2
(33)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Em que:
L
é o comprimento característico (área dividido por perímetro)
ν
é a viscosidade cinemática
β
é o coeficiente de dilatação térmica
 ATENÇÃO
A segunda igualdade só é válida para fluidos homogêneos ou nos quais a concentração de um soluto não interfere na massa
específica.
Se a convecção natural em superfície plana horizontal estiver embaixo e a massa específica do fluido
ρs
for menor do que a massa específica de corrente livre,
ρ∞
(afastado da superfície), temos:
( ) ( )
105 < GR SC < 2 ⋅ 107 →
¯
SHL = 0, 54 (GR SC)
1 / 4
2 ⋅ 107 < GR SC < 3 ⋅ 1010 →
¯
SHL = 0, 14 (GR SC)1 / 3
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Caso contrário
3 ⋅ 105 < GR SC < 1010 →
¯
SHL = 0, 27 (GR SC)
1 / 4
⇋ Utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Existe uma limitação para analogia entre transferência de calor e de massa, feita pelas equações anteriores.
A transferência de calor não causa variação de massa na camada limite. Por outro lado, em transferência de massa, a
quantidade que atravessa a interface passa a compor o total de fluido na camada limite.
Portanto, a analogia dará resultados aceitáveis apenas a baixas taxas de transferência, comparadas com a velocidade do
escoamento. Isso não é válido, por exemplo, em caso de caldeiras condensadoras e outras situações com temperatura
elevada.
A condição de baixa taxa de transferência pode ser verificada por:
BW , A =
WA , S − WA , ∞
1 − WA , S
< 0, 2
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Em que
Bw , A
representa a força motriz para transferência de massa.
{
COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA
Uma situação em particular que é de interesse neste conteúdo, é quando ocorre a passagem de determinada espécie através
de uma membrana.
Esse processo é utilizado para separação, concentração e purificação na indústria de saneamento, química, alimentar,
farmacêutica e biotecnológica.
Para atravessar a membrana, primeiramente, ocorre a transferência por convecção entre o fluido 1 (gás ou líquido) e a
membrana (
Jconv1
), seguida da transferência por difusão através da membrana (
Jdif
) e, por fim, uma segunda convecção entre a membrana e o fluido 2 (
Jconv2
):
 Figura 25. Transferência de massa através de uma membrana
Considerando regime permanente e unidimensional, os fluxos molares podem ser calculados conforme vimos no Módulo 2 em
Equação da difusão unidimensional permanente, Equação (12), e no Módulo 3 em Coeficiente de transferência de massa
por convecção, Equação (24):
JCONV , 1 = H̄1 CA , ∞1 − CA , S1 → CA , ∞1 − CA , S1 =
JCONV , 1
H̄1
( )
JDIF = − DAM
CA , M2 − CA , M1
L
 → CA , M1 − CA , M2 =
L JDIF
DAM
JCONV , 2 = H̄2 CA , ∞2 − CA , S2 → CA , ∞2 − CA , S2 =
JCONV , 2
H̄2
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Vamos expressar a concentração no lado da membrana a partir do lado fluido em cada interface por
cA , m1 = mcA , ∞1
e
cA , m2 = mcA , ∞2
, em que m é um coeficiente relacionado com a constante de Henry,
H
por
m = H /p
. Pela conservação da massa
JA = Jconv , 1 = Jdif = Jconv , 2
. A soma das três equações anteriores resultará em:
CA , ∞1 − CA , S2 = JA
1
¯
H1
+
L
MDAM
+
1
¯
H2
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Ou, em termos globais:
( )
( )
( )
JA = K CA , ∞1 − CA , S2
(34)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Em que:
1
K
=
1
¯
H1
+
L
MDAM
+
1
¯
H2
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Sendo
K
o coeficiente global de transferência de massa.
 ATENÇÃO
Observe a analogia que há entre
1/K
e a resistência térmica equivalente, obtida pela soma das parcelas de resistência de convecção e difusão (condução).
 EXEMPLO
Um aparato experimental foi montado com o intuito de avaliar uma nova membrana para seleção de nitrogênio. Mantendo-se
de um lado a concentração de
N2
igual a
0, 10kmol /m3
( )
( )
e do outro lado igual a
0, 04kmol /m3
, foi obtido um fluxo molar de
1, 2 × 10 − 4
kmol
s ⋅ m2
.
Calcule o coeficiente global de transferência de massa e a parcela correspondente à difusão na membrana.
Dados: Coeficiente convectivo do
N2
em ambos os lados,
h̄ = 0, 008m /s
; espessura da membrana igual a
200μm
.
Solução:
Conforme a Equação (34),
JA = K CA , ∞1 − CA , S2
⇋ Utilize a rolagem horizontal
e o coeficiente global
→ K =
JA
CA , ∞1 − CA , S2
=
1, 2 ⋅ 10 − 4KMOL /S ⋅ M2
(0, 10 − 0, 04)KMOL/M3
= 2, 0 ⋅ 10 − 3M /S
⇋ Utilize a rolagem horizontal
A parcela de difusão será:
( )
1
K =
1
H̄1
+
L
MDAM
+
1
H̄2
 
→ 
L
MDAM
=
1
K
− 2
1
H̄
=
1
2 ⋅ 10 − 3
− 2
1
0, 008 = 250
MDAM
L = 4 ⋅ 10
− 3 M /S
⇋ Utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
O PROCESSO DE OXIGENAÇÃO MAIS UTILIZADO EM PEQUENOS
AQUÁRIOS É POR MEIO DA INJEÇÃO DE BOLHAS.
( )
O CONSUMO DE OXIGÊNIO DO PEIXE PODE CHEGAR ATÉ CERCA DE
1000 MG/KG/H (BRETT, 1972), ESTANDO A UNIDADE RELACIONADA À
MILIGRAMA DE
O2
POR QUILOGRAMA DE MASSA DO PEIXE POR HORA.
CONSIDERE UM SISTEMA QUE GERA BOLHAS COM VELOCIDADE DE
SUBIDA DE 0,20M/S E DIÂMETRO CONSTANTE DE 5,0MM, EM QUE A
CONCENTRAÇÃO DE OXIGÊNIO NA ÁGUA É DE 1,5 MG/L E A
TEMPERATURA É 25°C. QUANTAS BOLHAS DEVEM ESTAR NO AQUÁRIO
PARA SUPRIR A DEMANDA DE 3 PEIXES COM 5,0G CADA UM?
DESPREZE A ENTRADA DE OXIGÊNIO PARA A SUPERFÍCIE D’ÁGUA.
DADOS: CONSTANTE DE HENRY PARA
O2
NA ÁGUA A 25°C,
H = 45.000ATM
; PRESSÃO PARCIAL DE OXIGÊNIO NO AR
= 0, 21ATM
.
RESOLUÇÃO
OXIGENAÇÃO DE LÍQUIDOS
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 4
 Reconhecer os problemas com transmissão simultânea de calor e de massa
TRANSFERÊNCIA SIMULTÂNEA DE CALOR E MASSA
TRANSFERÊNCIAS DE CALOR E MASSA
Até aqui, nos limitamos ao estudo de transferência de massa em sistemas isotérmicos, ou seja, quando não há transferência
de calor. No entanto, há muitas situações importantes para engenharia em que ocorre transporte simultâneo de calor e massa,
como:
TORRES DE RESFRIAMENTO
Para o resfriamento de ambientes e de fluidos em diversos processos químicos e usinas termonucleares.
SECADORES
Utilizados na indústria extrativista para secagem de madeira; na indústria agroalimentícia para secagem de farinhas, grãos e
fibras; na indústria química, para secagem de polímeros, corantes, resinas e fertilizantes; e, na indústria de minas, para
secagem de produtos de mineração.
CÂMERAS DE COMBUSTÃO E INCINERADORES
Utilizados para geração de energia e queima de resíduos.
O acoplamento entre transferência de massa e calor ocorre quando o primeiro envolve a mudança de fase (ex.: Evaporação,
sublimação, condensação e fusão).
Na evaporação de um líquido e fusão ou sublimação de um sólido (vazão mássica
ṁconv , 1
), conforme ilustrado na Figura 26, a absorção do calor latente (
Q̇latente
) causa a redução da temperatura na interface até que haja uma estabilização
(Q̇conv , 2 = 0
ou
Q̇cond = 0
, para líquido ou sólido), caracterizada por temperatura permanente (constante no tempo). Nessa situação, o calor requerido
para a evaporação será provido por convecção e/ou radiação (
Q̇conv , 1
e/ou
Q̇rad
).
 Figura 26. Transferência simultânea de massa e calor em interfaces
Portanto, na condição permanente, o balanço energético fornece:
ṀHFG
⏞
QLATENTE = Q̇CONV , 1 + Q̇RAD
(35)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Em que
hfg
é o calor latente.
 ATENÇÃO
Para calcular o calor transferido por convecção, devemos avaliar se o fluxo de massa emanado da interface interferirá no perfil
de velocidades na camada limite, ou seja, se se trata de uma taxa de transferência de massa baixa ou elevada.
Se for um fluxo baixo, a convecção de calor poderá ser calculada como se não houvesse transferência da massa. Isso ocorre
quando a condição (Módulo 3) for atendida:
BW , A =
WA , S − WA , ∞
1 − WA , S
< 0, 2
(36)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Em que
Bw , A
representa a força motriz para transferência de massa.
EXEMPLO
Avalie se a evaporação que ocorre na superfície da água na mesma temperatura do ambiente, 25°C, com umidade relativa de
50% pode ser considerada como de baixo fluxo de massa. Dado: Pressão máxima de vapor de água a 25°C,
pv = 3, 2kPa
; massa específica do ar a 25°C,
ρ = 1, 18kg /m3
. Considere o vapor d’água como gás ideal.
Solução:
Conforme vimos em Grandezas físicas (Módulo 1), para gases ideais, a concentração mássica é obtida pela Equação (8):
ΡI = MICI =
MIPI
RT
⇋ Utilize a rolagem horizontal
De acordo com a Lei de Raoult (Módulo 2), a pressão parcial do vapor junto à superfície do líquido será igual à pressão
máxima de vapor (saturação),
pA , s = 3, 2kPa
.
ΡA , S =
MAPA , ∞
RT =
18 ⋅ (3, 2 ⋅ 103)
8314 ⋅ 298 = 0, 0232 KG /M
3
⇋ Utilize a rolagem horizontal
E no ar
ΡA , ∞ = 50
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Como a concentração de água é muito pequena comparada à do ar, podemos assumir que a massa específica da mistura é
igual à do ar seco e as frações mássicas são calculadas por:
WA , S =
ΡA , S
Ρ
=
0, 0232
1, 18 = 0, 0197
⇋ Utilize a rolagem horizontal
e
WA , ∞ =
ΡA , ∞
Ρ
=
0, 0116
1, 18 = 0, 0098
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Então, a força motriz, Equação (36), será:
BW , A =
WA , S − WA , ∞
1 − WA , S
=
0, 0197 − 0, 0098
1 − 0, 197 = 0, 012 < 0, 2
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Portanto, o fluxo de massa (evaporação) é classificado como baixo e não interfere na convecção de calor.
TRANSPORTE SIMULTÂNEO DE CALOR E MASSA EM
BAIXA VAZÃO MÁSSICA
Continuando a Equação (35), incluindo a Lei do Resfriamento de Newton, a Equação (25) e desprezando a radiação:
H̄M ΡA , S − ΡA , ∞ HFG = H̄C T∞ − TS
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Sendo
h̄m
e
h̄c
( ) ( )
os coeficientes convectivos de massa e calor, respectivamente. Esses dois coeficientes são relacionados pela analogia de
Chilton-Colburn:
H̄C = ΡCPH̄MLE
2 / 3
(37)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Em que o número de Lewis definido pela razão entre difusão de calor e massa,
Le = α /DAB
, e
α
é a difusividade de calor
α = k /ρcp
.
Adicionando essa informação na equação anterior, fornece:
¯
HM ΡA , S − ΡA , ∞ HFG = ΡCP
¯
HMLE
2 / 3 T∞ − TS
→ TS = T∞ −
HFG
CPLE
2 / 3
ΡA , S − ΡA , ∞
Ρ
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Como
wi = ρi /ρ
e assumindo que a massa específica
ρ
da mistura gasosa não sofre influência significativa da presença do soluto:
( ) ( )
( )
TS = T∞ −
HFG
CPLE
2 / 3 WA , S − WA , ∞
(38)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Em caso de gás ideal, conforme vimos em Grandezas físicas (Módulo 1), pelas Equações (6) e (7),
wA = MA /M pA /p
:
TS = T∞ −
HFG
CPLE
2 / 3
MA
M
PA , S − PA , ∞
P
Em que:
LE =
Α
DAB
=
K
ΡCPDAB
(39)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
No problema para o qual essa equação foi desenvolvida,
Ts
não é conhecida e, consequentemente, também não saberemos o valor de
pA , s
, o que impossibilita uma solução direta.
( )
( )( )
( )
Alternativamente, a solução pode ser obtida por processo iterativo, arbitrando-se um valor
Ts
para determinação de
pA , s
, atualizando ambos em cada iteração. Para o cálculo de Le, as propriedades devem ser tomadas na temperatura média entre
a superfície e o fluido
T = (Ts + T∞) /2
.
Em caso de água, a relação entre a pressão máxima de vapor e a temperatura é exibida na figura a seguir:
 Figura 27. Pressão máxima de vapor de água para diferentes temperaturas
EXEMPLO
Calcule a temperatura após atingida a estabilização do exemplo anterior (umidade do ar de 50% e
patm = 101, 3kPa
), desprezando a variação das propriedades e pressão parcial com a temperatura.
Dados a 25°C: Calor latente de evaporação da água,
hfg = 2443kJ /kg
; calor específico do ar,
cp = 1006J /kg. K
; condutividade térmica do ar,
k = 0, 0262W /m. K
; massa específica do ar,
ρ = 1, 18kg /m3
; difusividade do vapor d’água no ar,
DH2O , ar = 2, 5x10 − 5m
2 /s
; massa molar do ar
Mar = 29kg /kmol
; massa molar da água
MH2O = 18kg /kmol
; pressão parcial máxima do vapor de água,
pv = 3, 2kPa
; pressão atmosférica,
patm = 101, 3kPa
.
Solução
Trata-se de um problema com baixa taxa de transferência de massa, condição para validade da Equação (39).
Primeiramente, devemos calcular o número de Lewis:
LE =
K
ΡCPDAB
=
0, 0262
1, 18 ⋅ 1006 ⋅ (2, 5 ⋅ 10 − 5)
= 0, 883
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Então
TS = T∞ −
HFG
CPLE
2 / 3
MA
M
PA , S − PA , ∞
P
( )
= 298 −
2443 ⋅ 103
1006 ⋅ (0, 883)2 / 3
1829
PA , S − 0, 5 ⋅ 3, 2 ⋅ 10
3
101, 3 ⋅ 103
→ TS = 298 − 16, 2 PA , S − 1, 6 (I)
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Conforme a Lei de Raoult, a pressão na superfície será igual à máxima de vapor,
pA , s = pv = f(T)
. Para encontrar a solução, vamos traçar uma reta (azul) junto com a curva da Figura 27.
O ponto de encontro nos fornece
T ≅ 291 K = 18 °C
.
NOÇÕES DE SECAGEM E CRISTALIZAÇÃO
SECAGEM
( )
( )
A retirada de líquido em um sólido molhado é uma operação com diversas aplicações na engenharia. Trata-se de um
fenômeno com transferência de massa (retirada do líquido), calor (evaporação) e de escoamento do gás para o qual o líquido é
retirado. A transferência de massa ocorre tanto por difusão, no interior do sólido, quanto por convecção, da interface para o
gás.
 EXEMPLO
Os exemplos vão desde a secagem de roupa no varal, passando por secagem de madeira e grãos em estufas até processos
industriais que utilizam secadores de larga escala.
 Figura 28. Secagem de uva e pilha de secagem de madeira
 ATENÇÃO
Devido à complexidade do processo, ele deve ser devidamente dimensionado para garantir os requisitos do produto final. A
secagem de madeira, por exemplo, se ocorrer de forma não uniforme, pode causar rachadura e empenamento.
Para avaliar a evolução desse processo, previamente, é importante ter em mente as trocas já discutidas no início deste
módulo.
Numa primeira etapa, o desequilíbrio entre a saída de calor latente,
Q̇latente
e a entrada por convecção térmica,
Q̇conv , 1 (Q̇latente > Q̇conv , 1
), causa redução de temperatura do sólido,
Ts
, o que é acompanhado de uma variação na taxa de evaporação,
ṁ
, correspondente à inclinação do gráfico no trecho AB da Figura 29.
Quando a estabilidade é alcançada,
Q̇latente = Q̇conv , 1
, o valor de
Ts
e a taxa de variação da umidade passam a ser permanentes (não varia no tempo), conforme o trecho BC. Nessa situação, é
válida a Equação (39).
Ao se aproximar da concentração (teor de umidade) de equilíbrio,
X̄E
, a taxa de evaporação (saída de calor) diminui gradativamente, o que é evidenciado pelo trecho CD, causando desequilíbrio
com a transferência térmica convectiva (entrada de calor) e, consequentemente, aumento do
Ts
. Após esse trecho (após D), as variações temporais se tornam muito baixas.
 Figura 29. Teor de umidade versus tempo num processo típico de secagem
 EXEMPLO
Com base no conhecimento abordado sobre processo de secagem, esboce o gráfico de taxa de evaporação versus tempo.
Solução
O processo de secagem pode ser dividido nas fases ilustradas pela figura anterior. A taxa de evaporação está diretamente
relacionada com a variação da umidade, ou seja, da derivada do gráfico umidade versus tempo.
Então, o gráfico taxa de secagem versus tempo será:
CRISTALIZAÇÃO
A cristalização é um processo de transferência de massa de uma solução supersaturada (concentração acima da saturação)
para um sólido em configuração de cristal, o que constitui o sentido contrário dos exemplos que abordamos anteriormente. Um
dos objetivos dessa operação é a eliminação das impurezas, pois os cristais terão uma elevada concentração do soluto.
 Figura 30. Cristais de açúcar
Como há mudança de fase, esse processo envolverá também a troca de calor latente, com liberação de calor na solidificação.
Nesse sentido, existem os seguintes tipos de cristalizadores (FOUST et al., 1982), de acordo com a forma de cristalização:
PELO RESFRIAMENTO DE SOLUÇÃO QUENTE
PELA EVAPORAÇÃO DA SOLUÇÃO
PELA EVAPORAÇÃO ADIABÁTICA E RESFRIAMENTO
A troca de massa e possíveis trocas de calor envolvidos são representados na figura a seguir:
 Figura 31. Troca de massa e calor em operação de cristalização
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
TORRES DE RESFRIAMENTO DE ÁGUA SÃO AMPLAMENTE UTILIZADAS,
COM APLICAÇÕES QUE VÃO DESDE REDE DE ÁGUA FRIA EM
PROCESSOS DA INDÚSTRIA QUÍMICA ATÉ USINAS TERMONUCLEARES.
 Figura 32. Torre de resfriamento de água com vista externa e interna
O TIPO MAIS SIMPLES CONSISTE NA QUEDA DE GOTAS D’ÁGUA
CONTRA UM FLUXO ASCENDENTE DE AR. CONSIDERANDO QUE, AO
FINAL DA QUEDA, HÁ UM REGIME PERMANENTE DE TROCA DE MASSA
E CALOR ENTRE AS GOTAS E O AR QUE ENTRA A 30°C COM 50% DE
UMIDADE EM PRESSÃO ATMOSFÉRICA DE 1 BAR, CALCULE:
A velocidade terminal (em relação ao ar) das gotas se elas têm formato esférico, diâmetro de 2,0mm e
CD = 0, 4
, lembrando que a força de arrasto é calculada por
FD = 0, 5 CDρV
2A
, sendo
A = πR2
;
A temperatura final das gotas, ou seja, de saída da água;
A taxa de calor dissipado, se a água entra com temperatura de 40°C e vazão de 100 L/s.
ASSUMA QUE O NÚMERO DE LEWIS, CALOR LATENTE DE
EVAPORAÇÃO E CALOR ESPECÍFICO SÃO, APROXIMADAMENTE,
CONSTANTES PARA A FAIXA DE TEMPERATURA ENVOLVIDA E IGUAIS A
LE = 0, 85
,
HFG = 2435KJ /KG
E
CP = 1006J /KG. K
.
RESOLUÇÃO
TORRES DE RESFRIAMENTO DE ÁGUA
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste estudo, vimos a definição dos mecanismos de transferência de massa e sua influência, quando ocorrem separadamente
ou em sobreposição. Estudamos a difusão de massa em meio estacionário, o impacto da pressão e temperatura no seu
coeficiente, além de particularidades da difusão em gases, líquidos, sólidos e o comportamento da concentração nas
interfaces.
Apresentamos o equacionamento para a difusão em meio com velocidade (difusão e advecção) e a solução analítica para um
caso simplificado. Com as correlações para a transferência de massa convectiva, vimos formulações para solucionar uma
grande variedade de problemas.
Por fim, abordamos o efeito da transferência simultânea de massa e calor, com noções sobre processos de secagem e
cristalização.
 PODCAST
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BIRD, R.B. et. al. Fenômenos de Transporte. 2. ed. Grupo GEN, 2004.
BRAGA, F.W. Fenômenos de Transporte para Engenharia, 2. ed. Grupo GEN, 2012.
BRASIL. CONAMA. Resolução n. 491, de 19 de novembro de 2018. Diário Oficial da União.
BRETT, J.R. The metabolic demand for oxygen in fish, particularly salmonids, and a comparison with other vertebrates.
Respiration Physiology, v. 14, n. 1, p. 151–170, 1972.
ÇENGEL, Y.A.; GHAJAR, A.J. Transferência de Calor e Massa – Uma abordagem prática, 4. ed. Porto Alegre: Mc Grall-hill,
2012.
CREMASCO, M.A. Difusão Mássica. 1. ed. Blucher, 2019.
CUSSLER, E. L. Diffusion - Mass Transfer in Fluid Systems. 3. ed. Cambridge University Press, 2009.
DIAS, L.C S. et al. Coeficiente de transferência de massa na cristalização de sacarose. In: II Encontro de Desenvolvimento
de Processos Agroindustriais. Uberaba: 2018.
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FOUST, et al. Princípios das Operações Unitárias. 2. ed. LTC, 1982.
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LIENHARD, J.H. A Heat Transfer Textbook. 5. ed. Cambridge, MA: Phlogiston Press, 2020.
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PELEG, M.; BAGLEY, E.B. Physical Properties of Foods. AVI, Westport, Connecticut. 1983.
POHLMANN, L.C. Fundamentos de Fenômenos de Transporte - Um Texto para Cursos Básicos, 2. ed. LTC, 2012.
WELTY, G. et al. Fundamentos de Transferência de Momento, de Calor e de Massa, 6. ed. LTC, 2017.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste conteúdo, leia:
Transferência de calor e massa durante o aquecimento de uma garrafa de cerveja. Monteiro et al, 2010.
CONTEUDISTA
Gabriel de Carvalho Nascimento
 CURRÍCULO LATTES
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