Aula 02 - Leis de Kirchhoff

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DESCRIÇÃO
Introdução ao estudo em eletricidade aplicada para análise de circuitos elétricos em corrente
contínua (CC) com base na Lei de Kirchhoff das correntes (LKC) e Lei de Kirchhoff das tensões
(LKT).
PROPÓSITO
Compreender os conceitos fundamentais de grandezas elétricas em CC e das leis básicas de
Kirchhoff, assim como a aplicação dessas leis na solução de problemas com circuitos elétricos.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta para anotações e, se possível,
uma calculadora científica para facilitar seus cálculos na solução das equações de circuitos
elétricos.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Analisar circuitos elétricos por meio da Lei de Kirchhoff das correntes
MÓDULO 2
Analisar circuitos elétricos por meio da Lei de Kirchhoff das tensões
INTRODUÇÃO
NOÇÕES DE ELETRICIDADE BÁSICA – LEIS
DE KIRCHHOFF
AVISO: orientações sobre unidades de medida.
javascript:void(0)
AVISO
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por
questões de tecnologia e didáticas. No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um
espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais
materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de separação dos números e
das unidades.
MÓDULO 1
 Analisar circuitos elétricos por meio da Lei de Kirchhoff das correntes
LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES
PRIMEIRAS PALAVRAS
Os conceitos básicos envolvidos na teoria de circuitos elétricos são essenciais em cursos de
Engenharia. Dificilmente alguma área técnica não abordará grandezas e leis que regem os
princípios da eletricidade básica, já que os circuitos elétricos também são de utilidade para a
modelagem de sistemas diversos de energia em virtude das técnicas matemáticas aplicadas e
de suas configurações físicas envolvidas.
A partir da modelagem dos componentes, como resistores, indutores e capacitores, bem como
do conhecimento das principais grandezas envolvidas em circuitos elétricos (tensão, corrente e
potência elétrica), é possível analisar o comportamento desses elementos tendo como suporte
as leis básicas que regem o funcionamento dos circuitos elétricos.
A primeira lei estudada em eletricidade básica é a de Ohm, que permite relacionar a tensão e a
corrente elétrica em um elemento do circuito; ainda por meio dessa lei, é possível derivar
outras relações essenciais, como as de potência elétrica dissipada pelos elementos.
No entanto, nem sempre a Lei de Ohm é suficiente para solucionar completamente as
grandezas de um circuito elétrico – principalmente no caso de circuitos que contêm diversos
componentes interligados.
O comportamento dos elementos de um circuito elétrico é regido por duas relações algébricas
muito importantes entre as grandezas tensão e corrente (conhecidas na teoria de circuitos
como Leis de Kirchhoff).
A LKT E A LKC, ENUNCIADAS POR GUSTAV
KIRCHHOFF EM 1848, SÃO NADA MAIS QUE A
APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO
DA ENERGIA PRESENTE EM UM CIRCUITO
ELÉTRICO, COMO SERÁ DEMONSTRADO AO
LONGO DESTE MATERIAL.
Para compreender as Leis de Kirchhoff e suas aplicações na solução de circuitos, é necessário
entender alguns conceitos básicos relacionados à topologia de redes elétricas, ou seja, a forma
como os elementos são conectados entre si. Dessa forma, é fundamental que sejam definidos
os seguintes conceitos:
RAMO
Representação de um elemento único conectado entre dois nós. Um exemplo de ramo pode
ser um resistor, um indutor ou uma fonte de tensão a ser conectada entre dois nós.

NÓ
É o ponto de conexão entre ramos, ou seja, a junção de dois ou mais ramos (elementos) do
circuito. Se um fio (condutor) ideal conecta dois nós, esses nós constituem um único nó (curto-
circuito).

LAÇO
É o caminho fechado em um circuito (circuito fechado). Um laço inicia-se em um nó, percorre
uma série de outros nós e retorna ao nó de partida sem passar por qualquer outro mais de uma
vez. O laço também é conhecido por malha de um circuito.
A quantidade de nós e laços (malhas) de um circuito depende de sua topologia, de modo que é
possível estabelecer uma relação entre tais quantidades e o número de ramos presentes. Essa
relação é o teorema fundamental da topologia de rede descrito pela equação 1:
B = L + N - 1
(1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação 1 relaciona a quantidade de b ramos, n nós e l laços independentes que devem
satisfazer ao teorema da topologia de rede.
A partir da topologia de rede, pode-se dizer que:
Dois ou mais componentes da rede são ligados em série se eles compartilham exclusivamente
um único nó e, portanto, estão submetidos à mesma corrente elétrica.
Dois ou mais componentes da rede são ligados em paralelo se eles estão conectados aos
mesmos dois nós e, desse modo, estão submetidos à mesma tensão elétrica entre eles.
EXEMPLO 1
O circuito da figura 1 demonstra visualmente a presença de três laços (malhas). Com base na
equação do teorema fundamental da topologia de rede, encontre o número de laços a partir da
identificação dos ramos e dos nós presentes nesse circuito.
 Figura 1. Ilustração de um circuito elétrico com três malhas.
Pela topologia do circuito, é possível observar que estão presentes 6 ramos (5 resistores e 1
fonte de tensão) e 4 nós. A partir da equação 1, tem-se o seguinte:
L = 6 – 4 + 1
L = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, conforme observado, o circuito contém três laços (ou malhas).
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES
(LKC)
A primeira Lei de Kirchhoff, direcionada à relação de correntes no circuito (LKC), também
conhecida como Lei dos Nós, diz que a soma algébrica das correntes que entram em um nó
deve ser zero, ou seja, a soma daquelas que entram em um nó deve ser igual à das correntes
que saem dele, conforme ilustra a figura 2. Normalmente, consideram-se as correntes que
chegam a um nó como positivas e as que saem dele como negativas.
 Figura 2. Lei de Kirchhoff das correntes.
Matematicamente, a LKC pode ser descrita pela equação 2:
∑ NN = 1IN = 0 → ∑ IENTRADA = ∑ ISAÍDA
(2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que N é o número de ramos conectados ao nó e In é a enésima corrente que entra (ou sai)
desse nó. Na figura 2, a corrente I1 está entrando no nó (sinal positivo), enquanto as correntes
I2 e I3 estão saindo dele (sinal negativo).
Portanto:
I1 – I2 – I3 = 0
I1 = I2 + I3
(3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante destacar que a Lei de Kirchhoff das correntes também pode ser aplicada a um
segmento fechado de circuito, conforme ilustra a figura 3, pois um nó genericamente é uma
superfície fechada reduzida a um ponto. Dessa forma, de acordo com a equação 2, a corrente
total que entra pela superfície fechada é igual à total que sai dessa superfície.
 Figura 3. Correntes em uma superfície fechada.
DIVISOR DE CORRENTE
Sabe-se que a corrente elétrica sempre buscará o caminho de menor resistência para
percorrer. No entanto, quando o circuito apresenta vários caminhos com resistência, essa
corrente se divide entre esses ramos. Evidentemente, pela Lei de Ohm, os caminhos com
menor resistência apresentarão as maiores parcelas da corrente dividida. Pelo mesmo
raciocínio, se os ramos apresentarem resistências iguais, a corrente elétrica se dividirá
igualmente entre os elementos.
 RESUMINDO
Pode-se dizer, portanto, que a razão entre os valores das correntes em dois ramos será
inversamente proporcional àquela entre suas resistências.
Considere o circuito ilustrado na figura 4 composto por uma fonte de tensão e dois resistores
ligados em paralelo: R1 e R2. Por estarem ligados em paralelo, os resistores estão submetidos
à mesma tensão.
 Figura 4. Circuito divisor de corrente.
V = I1R1 =I2R2
I1 =
V
R1
 I2 =
V
R2
(4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a LKC no nó a, obtém-se a corrente total que vem da fonte:
I = I1 + I2
(5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Substituindo a equação 4 na 5, tem-se:
I =
V
R1
+
V
R2
= V
1
R1
+
1
R2
=
V
REQ( )
(6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Em que Req é denominada resistência equivalente dos resistores ligados em paralelo.
1
REQ
=
1
R1
+
1
R2
 → 
1
REQ
=
R1 + R2
R1R2
(7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

A resistência equivalente de dois resistores ligados em paralelo é dada pelo produto
dessas resistências dividido pela sua soma.
REQ =
R1R2
R1 + R2
(8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Geralmente, é mais conveniente utilizar a condutância do elemento em vez da resistência para
se lidar com componentes ligados em paralelo a fim de evitar operações matemáticas com
frações. A partir da equação 7, a condutância equivalente para um circuito com N resistores
ligados em paralelo é dada por:
GEQ = G1 + G1 + G2 + … + GN
EM QUE GEQ = 1 ⁄ REQ, G1 = 1 ⁄ R1, G2 = 1 ⁄ R2,
G3 =
1
R1
 GN = 1 ⁄ RN.
(9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A condutância equivalente de resistores ligados em paralelo é dada pela soma de suas
condutâncias individuais.
Dessa forma, a condutância equivalente dos resistores ligados em paralelo pode ser
encontrada da mesma forma que a resistência equivalente para aqueles ligados em série.
Analogamente, a condutância equivalente para os ligados em série pode ser encontrada da
mesma forma que a resistência equivalente para os ligados em paralelo.
Uma forma genérica de encontrar a condutância equivalente é dada pela equação 10:
1
GEQ
=
1
G1
+
1
G2
+
1
G31
+ … +
1
GN
(10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da corrente total i que entra no nó a, é possível obter as correntes i1 e i2.
V = IREQ =
IR1R2
R1 + R2
(11)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao combinar as equações 4 e 8, vê-se que:
I1 =
R2I
R1 + R2
 , I2 =
R1I
R1 + R2
(12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Percebe-se, portanto, que a corrente total é compartilhada pelos resistores de forma
inversamente proporcional às resistências. Esse comportamento ilustra o princípio denominado
divisão de corrente. O circuito da figura 4 é conhecido por circuito divisor de corrente.
EXEMPLO 2
Considere o circuito ilustrado na figura 5 composto por uma fonte de corrente e dois resistores
ligados em paralelo. Determine o valor da corrente elétrica que circula pelos resistores R1 e
R2.
 Figura 5. Circuito do exemplo 2.
Inicialmente, esse problema pode ser entendido sem a necessidade das equações do princípio
de divisão de corrente. Basta lembrar que a corrente será dividida entre os resistores do
circuito de forma inversamente proporcional à sua respectiva resistência ao longo de todo o
circuito paralelo.
Como o valor da resistência de R2 é duas vezes maior que a de R1, sabe-se que a corrente
que circula por R2 é duas vezes menor (metade) do que a que circula por R1.
I2 = 0,5I1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Utilizando agora o princípio de divisão de corrente, obtém-se:
Para o resistor R1
I1 =
4
8 + 46 = 2 A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o resistor R2
I2 =
8
8 + 46 = 4 A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A soma das duas correntes deve ser igual à corrente da fonte para estar de acordo com a Lei
de Kirchhoff das correntes:
IT = 6 = I1 + I2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÉTODO DOS NÓS PARA CIRCUITOS COM
FONTE DE CORRENTE
A partir dos conceitos fundamentais sobre o comportamento de circuitos elétricos com base na
Lei de Kirchhoff das correntes (LKC) e da Lei de Ohm, apresentaremos nesta seção uma
importante técnica para a resolução de circuitos elétricos.
O MÉTODO DOS NÓS, TAMBÉM CONHECIDO
POR LEI DOS NÓS OU ANÁLISE NODAL,
BASEIA-SE NA LKC PARA FORMULAR O
PROBLEMA A SER RESOLVIDO
MATEMATICAMENTE, O QUE PERMITE
INCLUSIVE SUA SOLUÇÃO POR PROGRAMAS
COMPUTACIONAIS DE SIMULAÇÃO.
É importante destacar que são duas as Leis de Kirchhoff: de correntes (LKC) e tensões (LKT).
No entanto, o objetivo deste módulo concentra-se nos estudos da primeira lei, a LKC, de modo
que as análises referentes à segunda lei (LKT) serão feitas no módulo 2 deste material.
A aplicação do Método dos Nós permite a solução de qualquer circuito linear a partir da
resolução simultânea de um conjunto de equações lineares. Tendo em vista o princípio de
conservação de energia regido pela Lei de Kirchhoff das correntes e das relações da Lei de
Ohm, esse método utiliza as tensões nodais como variáveis do problema e determina as
equações para a solução dos circuitos.
 DICA
A utilização de tensões nodais é conveniente, pois reduz o número de equações que devem
ser resolvidas.
Para iniciar o Método dos Nós, é necessário adotar um nó de referência no circuito. Apesar de
não ser uma regra, normalmente adota-se o nó de terra (GND) como referência, que é
designado com potencial zero.
A figura 6 ilustra as simbologias tradicionalmente utilizadas para indicar um nó de referência:
 Figura 6. Simbologia comum para nó de referência.
Quando o potencial da terra é usado como referência, utiliza-se a simbologia de (a) e (b). Se o
potencial de referência for a carcaça de um equipamento, por exemplo, será utilizada a
simbologia de (c).
Dessa forma, em um circuito contendo N nós, ao definir um como referência, tem-se N -1 nós
cujas tensões são variáveis do problema a serem determinadas, ou seja, N -1 equações devem
ser escritas para a solução do circuito.
Os passos para aplicação do Método dos Nós são:
Determinar um nó como referência e atribuir a variável de tensão (v1,v2,...,vn-1) para os N -1
nós restantes.

Aplicar a Lei de Kirchhoff das correntes em cada um dos N -1 nós, exceto o de referência.
Utilize a Lei de Ohm para expressar as correntes nos ramos em termos de tensões nodais.

Resolver as equações simultâneas para obter as tensões nodais.
O exemplo a seguir ilustra a aplicação do Método dos Nós em um circuito elétrico:
EXEMPLO 3
Considere o circuito da figura 7. Utilizando o Método dos Nós, encontre as equações
necessárias para determinar as tensões nodais no circuito.
 Figura 7. Circuito para o exemplo 3.
Após a definição do nó de referência (nó 0, em que v = 0), é necessário atribuir as tensões
nodais nos N -1 nós restantes. O circuito possui outros dois nós, de modo que são atribuídas
respectivamente as tensões v1 e v2
ESSAS TENSÕES SÃO DADAS EM RELAÇÃO AO
NÓ DE REFERÊNCIA, OU SEJA, CADA TENSÃO
NODAL É A ELEVAÇÃO DELA A PARTIR DA
TENSÃO DO NÓ DE REFERÊNCIA.
A partir da aplicação da LKC nos nós 1 e 2, é possível expressar a relação entre as correntes
das fontes (I1 e I2) e as que circulam pelos resistores R1, R2 e R3. Essas correntes são
facilmente encontradas na figura 8.
 Figura 8. Correntes no circuito do exemplo 3.
LKC do nó 1:
I1 = I2 + I1 + I2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
LKC do nó 2:
I2 + I2 = I3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, basta aplicar a Lei de Ohm para representar essas correntes em termos de tensões
nodais. É importante lembrar que, em elementos passivos como resistores, a corrente flui do
maior para o menor potencial, o que pode ser feito por:
I =
V + - V -
R
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da equação utilize a rolagem horizontal
As correntes que circulam pelos resistores R1, R2 e R3 são dadas por:
I1 =
V1 - 0
R1
I2 =
V1 - V2
R2
I3 =
V2 - 0
R3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo as expressões de corrente, vê-se que:
I1 = I2 +
V1
R1
+
V1 - V2
R2
I2 +
V1 - V2
R2
=
V2
R3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para finalizar a análise do circuito, basta resolver as equações lineares encontradas
simultaneamente por meio da utilização de qualquer método matemático padrão de solução de
sistemas lineares. Um método muito utilizado é o de Cramer, que utiliza uma formulação
matricial para representar as equações.
A solução para esse circuito também pode ser encontrada em termos das condutâncias dos
elementos. Dessa maneira, as expressões são representadas por:
I1 = I2 + G1V1 + G2 V1 - V2
I2 + G2 V1 - V2 = G3V2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A representação matricial do sistema de equações obtidas é dada por:
G1 + G2 -G2
-G2 G2 + G3
V1
V2
=
I1 - I2
I2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução fornecerá as tensões v1 e v2 dos nós do circuito.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÉTODO DOS NÓS PARA CIRCUITOS COM
FONTES DE TENSÃO
Em circuitos elétricos contendo fontes de tensão, a aplicação do Método dos Nós requer uma
atenção especial. Das duas possibilidades que podem ocorrer, uma delas pode facilitar a
análise.
São elas:
POSSIBILIDADE 1
Circuitos em que a fonte de tensão está conectada entre o nó de referência e outro nó qualquer
(que não seja de referência).
Na figura 9, por exemplo:
( )
( )
[ ][ ] [ ]
V1 = 10 V 13
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Figura 9. Circuito com superno.
Percebe-se, portanto, que, nesse caso, a tensão do nó 1 já é automaticamente conhecida. Isso
facilita a análise e reduz o número de equações a serem solucionadas.
POSSIBILIDADE 2
Circuitos em que a fonte de tensão está conectada entre dois nós que não são de referência.
Nesses casos, em que se denomina a existência de um supernó, também é necessária a
aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões (LKT), a qual, como frisamos, será detalhada no
módulo 2. É importante retornar a esta seção ao final dos estudos das duas Leis de
Kirchhoff para um melhor entendimento.
( )
UM SUPERNÓ OCORRE QUANDO UMA FONTE
DE TENSÃO É CONECTADA ENTRE DOIS NÓS
QUE NÃO SÃO NÓS DE REFERÊNCIA E
QUAISQUER ELEMENTOS LIGADOS EM
PARALELO COM ELE.
Na figura 9, os nós 2 e 3 formam um supernó. Com base nos mesmos passos demonstrados
para o Método dos Nós para circuitos com fontes de corrente, é possível solucionar o circuito.
Deve-se observar que, para aplicar a Lei de Kirchhoff das correntes, é necessário conhecer as
correntes em cada elemento do circuito; no entanto não é possível, a princípio, conhecer a
corrente que circula por uma tensão nodal.
Assim, a partir do conceito de supernó, tem-se o seguinte:
I1 + I4 = I2 + I3
V1 - V2
2 +
V1 - V3
4 =
V2 - 0
8 +
V3 - 0
6
(14)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com auxílio da Lei de Kirchhoff das tensões para o supernó, o circuito da Figura 9 pode ser
redesenhado conforme a Figura 10.
 Figura 10. Aplicação da LKT em um superno.
−V2 + 5 + V3 = 0 → V2 − V3 = 5
(15)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a partir das equações 13, 14 e 15, é possível obter as tensões nodais.
 ATENÇÃO
Em um supernó, a fonte de tensão fornece uma equação de restrição necessária para
encontrar as tensões nodais.
Um supernó não possui tensão própria.
Na análise de circuitos com supernó, deve-se aplicar tanto a LKC como a LKT.
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Considere o circuito da Figura 17, que contém três fontes de corrente ligadas em direções
distintas entre si. Com base na Lei de Kirchhoff das correntes, a expressão que melhor
representa o valor da corrente elétrica resultante total a circular pelos nós ab será de:
 Figura 17. Circuito elétrico para a teoria na prática.
RESOLUÇÃO
Uma interessante aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes em circuitos práticos é a
possibilidade de associação de diversas fontes de corrente em paralelo, de modo que a
corrente resultante na carga será dada pela soma algébrica das correntes individuais
fornecidas pelas respectivas fontes.
IT + I2 + I3 = I1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, a corrente total que circula pelos nós ab é de :
IT = I1 - I2 - I3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante observar que, em um circuito série, jamais haverá duas correntes diferentes, a
menos que ambas sejam iguais (I1 = I2). Correntes diferentes em um circuito série violam o
princípio fundamental da primeira Lei de Kirchhoff, a LKC.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Analisar circuitos elétricos por meio da Lei de Kirchhoff das tensões
LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES
PRIMEIRAS PALAVRAS
Conforme destacamos no módulo 1, as Leis de Kirchhoff são essenciais para representar o
comportamento de circuitos elétricos e estabelecer relações entre correntes e tensões nos
diversos elementos de rede, como, por exemplo, resistores, capacitores, indutores e até
mesmo fontes de alimentação, como as fontes de tensão e as de corrente.
Inicialmente, apresentamos a primeira Lei de Kirchhoff conhecida como Lei de Kirchhoff das
correntes (LKC). Neste módulo, falaremos sobre a segunda lei: a Lei de Kirchhoff das tensões
(LKT).
 ATENÇÃO
Os conceitos de ramo, nó e laço (malha) são igualmente importantes e necessários para o
entendimento da segunda Lei de Kirchhoff.
LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES (LKT)
A partir do conceito de laço ou malha, a segunda Lei de Kirchhoff permite avaliar as variáveis
de um circuito a partir de caminhos fechados, ou seja, a análise começa em determinado
ponto, desloca-se pelos elementos presentes na malha e retorna ao ponto de partida original.
Por exemplo, na Figura 20, um caminho fechado será observado se a corrente elétrica deixar o
ponto d até o ponto a percorrendo a fonte de tensão e, em seguida, seguindo de b até c
através do resistor até retornar ao ponto d. Percebe-se que a soma resultante de elevações e
quedas de tensão será igual a zero.
 Figura 20. Lei de Kirchhoff das tensões.
Considerando que as elevações de tensão sejam representadas por um sinal positivo e as
quedas de tensão, por um negativo, a sequência da Figura 20 resulta matematicamente na
equação 16:
+E - V1 - V2 = 0
(16)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação 16 deixa evidente que a tensão aplicada em um circuito de CC em série é igual à
soma das quedas de tensão nos elementos conectados ao longo do circuito. A Lei de Kirchhoff
das tensões (LKT) expressa que a soma algébrica das tensões ao longo de um caminho
fechado, ou malha, é zero.
Matematicamente, a LKT pode ser representada pela equação 17:
∑ VELEVAÇÕES = ∑ VQUEDAS → ∑
M
N = 1VM = 0
EM QUE M É O NÚMERO DE TENSÕES NA MALHA E
VM, A M-ÉSIMA TENSÃO.
(17)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 1
Considere o circuito da figura 21. Os sinais nas tensões de cada elemento dizem respeito à
polaridade do terminal encontrado quando a corrente elétrica percorre a malha
independentemente de tal circulação se dar no sentido horário ou no anti-horário.
 Figura 21. Circuito de um laço ilustrando a LKT.
No sentido anti-horário, as tensões seriam, na ordem, - v1, + v2, + v3, - v4 e + v5. Dessa
forma, a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT) para esse circuito é representada por:
-V1 + V2 + V3 - V4 + V5 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equaçãoutilize a rolagem horizontal
Reorganizando os termos, verifica-se que:
V2 + V3 + V5 = V1 + V4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Este exemplo ilustra de forma clara que a soma das quedas de tensão é igual, conforme
descrevemos anteriormente, à soma das elevações de tensão.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando um circuito contiver fontes de tensão conectadas em série, a Lei de Kirchhoff das
tensões poderá ser utilizada para encontrar a tensão total equivalente mediante a soma
algébrica de cada tensão individual. No circuito da Figura 22, por exemplo, as três fontes
V1, V2 e V3 podem ser substituídas por uma fonte equivalente Vab após a aplicação da LKT
no trecho ab.
 Figura 22. Fontes de tensão em série e circuito equivalente.
DIVISOR DE TENSÃO
A Lei de Kirchhoff das tensões demonstra que a soma das tensões por meio dos elementos do
circuito será sempre igual à das tensões aplicadas, ou seja, das fontes de alimentação. Além
disso, essa tensão será dividida entre os resistores do circuito de forma proporcional à sua
respectiva resistência ao longo de todo o circuito em série. Desse modo, quanto maior for a
resistência do elemento, maior será a tensão à qual estará submetido.
O circuito ilustrado na Figura 24 representa um circuito com uma fonte de tensão e dois
resistores ligados em série, de modo que apenas a corrente i circula por ambos (uma única
corrente de malha).
 Figura 24. Circuito de uma malha com dois resistores em série.
Ao aplicar a Lei de Ohm para cada um dos resistores, obtém-se o seguinte:
V1 = IR1 , V2 = IR2
(18)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões à malha e arbitrando que a corrente circule no sentido
horário, vê-se que:
-V + V1 + V2 = 0
(19)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Relacionando as equações 18 e 19:
V = V1 + V2 = I R1 + R2
I =
V
R1 + R2
(20)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

A equação 20 pode ser modificada, pois os dois resistores podem ser substituídos por um
resistor equivalente:
V = IREQ
(21)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
Em que:
REQ = R1 + R2
(21)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

A resistência equivalente em um circuito com N resistores ligados em série é a soma
algébrica das resistências individuais desses elementos.
Para N resistores:
REQ = R1 + R2 + … + RN = ∑
N
N = 1RN
(22)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

As tensões individuais em cada resistor podem ser encontradas substituindo a equação 18 na
20:
V1 =
R1
R1 + R2
V , V2 =
R2
R1 + R2
V
(23)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante observar que a tensão da fonte v foi dividida entre as resistências de forma
proporcional à sua resistência conforme demonstramos anteriormente. Esse equacionamento é
conhecido como divisão de tensão, de modo que o circuito da figura 24 é conhecido como
circuito divisor de tensão.
Se o circuito tiver N resistores ligados em série, a tensão sob o n-ésimo resistor será dada
genericamente por:
VN =
RN
R1 + R2 + … + RN
V
(24)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Considere o circuito ilustrado na Figura 25 composto por uma fonte de tensão e dois resistores
ligados em série. Determine o valor da queda de tensão nos resistores R1 e R2.
 Figura 25. Circuito em série do exemplo 2.
Inicialmente, esse problema pode ser entendido sem a necessidade das equações do princípio
de divisão de tensão. Basta lembrar que a tensão será dividida entre os resistores do circuito
de forma proporcional à sua respectiva resistência ao longo de todo o circuito em série.
Como o valor da resistência de R2 é três vezes maior que a resistência de R1, verifica-se que a
tensão em R2 será três vezes maior que a encontrada em R1:
V2 = 3V1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Utilizando agora o princípio de divisão de tensão, tem-se:
Para o resistor R1
V1 =
20
20 + 6064 V = 16 V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o resistor R2
V2 =
60
20 + 6064 V = 48 V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A soma das duas tensões deve ser igual à tensão da fonte para se estar de acordo com a Lei
de Kirchhoff das tensões:
E = V1 + V2 = 16 + 48 = 64 V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
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MÉTODO DAS MALHAS PARA CIRCUITOS
COM FONTES DE TENSÃO
De modo semelhante ao Método dos Nós demonstrado no módulo 1, o Método das Malhas é
outra maneira de solucionar circuitos elétricos a partir da segunda Lei de Kirchhoff. No Método
das Malhas, utilizam-se as correntes circulantes como variáveis do problema.
Como as variáveis são as correntes de malha, e não as correntes dos elementos, o número de
equações a ser resolvido torna-se substancialmente menor, facilitando a análise do circuito
elétrico.
MÉTODO DOS NÓS
Utiliza-se a Lei de Kirchhoff das correntes para encontrar as varáveis de tensão nodal.
MÉTODO DAS MALHAS
Emprega-se a Lei de Kirchhoff das tensões para determinar as variáveis de correntes de
malha.
É importante destacar que, para que o método agora apresentado possa ser efetivamente
aplicado, o circuito elétrico não deverá ter cruzamento de ramos entre si, configurando-se como
um circuito denominado planar. A Figura 26 ilustra dois circuitos, sendo que o primeiro é
caracterizado como planar e o segundo, por sua vez, como não planar.
 Figura 26. Circuito planar e não planar.
No segundo circuito, percebe-se que não existe uma maneira de redesenhá-lo sem que haja
um cruzamento de ramos, o que faz com que ele seja configurado como não planar. Apesar de
não ser possível utilizar o Método de Malhas, os circuitos não planares podem ser
solucionados normalmente mediante o emprego do Método dos Nós.
No Método das Malhas, o interesse está em aplicar a Lei de Kirchhoff das tensões em circuitos
planares sem a presença de fontes de corrente. Casos especiais em que o circuito pode conter
essas fontes serão tratados mais adiante.
Para um circuito contendo N malhas, são necessários os seguintes passos:
Atribuir as correntes de malha i1, i2, i3, ....in para todas as n malhas do circuito.

Aplicar a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT) para cada malha n.

Utilizar a Lei de Ohm para expressar as tensões nos elementos em termos da corrente de
malha.

Resolver as n equações simultâneas para obter as correntes de malha.
Para entender o método das malhas, considere o exemplo a seguir:
EXEMPLO 3
O circuito da figura 27 contém duas fontes de tensão (V1 e V2 e R3) e três resistores (R1, R2)
alocados em duas malhas. Aplique o método das malhas para encontrar as correntes de malha
i1 e i2.
 Figura 27. Circuito do exemplo 3.
Seguindo os passos a serem aplicados no Método das Malhas, primeiramente deve-se atribuir
as correntes elétricas às duas malhas do circuito: i1 e i2. De forma arbitrária, essas correntes
circulam no sentido horário (importante: pode-se arbitrar que as correntes circulem no sentido
anti-horário desde que todas as correntes do circuito sejam invertidas na análise).
No segundo passo, aplica-se a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT) em cada malha:
Malha 1
-V1 + R1I1 + R3 I1 - I2 = 0
R1 + R3 I1 - R3I2 = V1
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Malha 2
R2I2 + V2 + R3 I2 - I1 = 0
-R3I1 + R2 + R3 I2 = - V2
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Rearranjando os termos nas expressõesdescritas para reduzir as equações de malha, é
possível escrevê-las na forma matricial:
R1 + R3 -R3
-R3 R2 + R3
I1
I2
=
V1
-V2
( )
( )
( )
( )
[ ][ ] [ ]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O último passo é a solução das equações simultâneas utilizando qualquer método matemático
padrão de solução de sistemas lineares. Um método muito usado é o de Cramer, que emprega
uma formulação matricial para representar as equações.
Se um circuito possui n nós, b ramos e l malhas independentes, então tem-se o seguinte:
L = B - N + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, são necessárias l equações simultâneas para solucionar o circuito a partir do
Método das Malhas.
 ATENÇÃO
As correntes nos ramos serão diferentes das correntes de malha – exceto se a malha for
isolada. Considerando i como corrente de malha e I como corrente de ramo para a figura 27,
verifica-se que:
I1 = I1 , I2 = I2 , I3 = I1 - I2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
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MÉTODO DAS MALHAS PARA CIRCUITOS
COM FONTES DE CORRENTE
Apesar de, a princípio, parecer uma análise mais difícil, aplicar o Método das Malhas a circuitos
contendo fontes de corrente poderá ser mais fácil que na forma anteriormente demonstrada.
A análise contendo esse tipo de fonte pode ser feita para duas situações distintas:
SITUAÇÃO 1
Circuitos em que existe fonte de corrente em apenas uma malha.
 Figura 28. Circuito com fonte de corrente.
Ao atribuir as correntes de malha, percebe-se que diretamente tem-se a corrente i2 = - 5A. As
equações das malhas são facilmente obtidas. Por substituição, a corrente i1 pode ser
encontrada.
−10 + 4I1 + 6(I1 − I2) = 0 → I1 = − 2A
(25)
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SITUAÇÃO 2
Circuitos em que a fonte de corrente está presente em duas malhas. Nesse caso, tem-se a
chamada supermalha.
Uma supermalha ocorre quando duas malhas possuem uma fonte de corrente em comum.
 Figura 29. Circuito com: (a) duas malhas e fonte de corrente comum; (b) supermalha.
A supermalha ocorre a partir do compartilhamento do ramo que contém a fonte de corrente das
malhas 1 e 2. A análise de malhas requer o conhecimento da tensão em cada ramo; no
entanto, não é possível, a princípio, conhecer a tensão em uma fonte de corrente.
Desse modo, aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT) na supermalha, sabe-se que:
−20 + 6I1 + 10I2 + 4I2 = 0
6I1 + 14I2 = 20
(26)
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Com o auxílio da Lei de Kirchhoff das correntes (LKC) aplicada ao nó de interseção das
malhas, tem-se:
−20 + 6I1 + 10I2 + 4I2 = 0
I2 = I1 + 6
(27)
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Resolvendo as equações 26 e 27, obtém-se o seguinte resultado:
I1 = − 3, 2 A , I2 = 2, 8 A
(28)
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 ATENÇÃO
Em uma supermalha, a fonte de corrente fornece uma equação de restrição necessária para
encontrar as correntes de malha.
Uma supermalha não possui corrente própria.
Na análise de circuitos com supermalha, deve-se aplicar tanto a LKT como a LKC.
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Considere o circuito da Figura 35. Com o auxílio da Lei de Kirchhoff das tensões, o valor da
tensão no resistor R1 é de:
 Figura 36. Circuito elétrico para a teoria na prática.
RESOLUÇÃO
A Lei de Kirchhoff das tensões é um conceito muito importante na solução de problemas com
circuitos elétricos. Com base no princípio de conservação de energia e conhecimento das
tensões ao longo de uma malha, é possível encontrar grandezas nos elementos do circuito.
Para o circuito da Figura 23, a tensão desconhecida referente ao resistor R1 pode ser obtida
simplesmente aplicando o conceito elementar da Lei de Kirchhoff das tensões em torno de
um caminho fechado, o que inclui as duas fontes de tensão:
∑ VELEVAÇÕES = ∑ VQUEDAS → ∑
M
N = 1VM = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando o sentido horário para corrente de malha, verifica-se que:
VS1 - VR1 - VR2 - VS2 = 0
VR1 = VS1 - VR2 - VS2
VR1 = 15 - 3,2 - 10 = 1,8 V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível observar que, utilizando a LKT, não é necessário conhecer o valor dos resistores
ou da corrente que circula para determinar uma tensão se os valores das outras quedas de
tensão estão disponíveis.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A solução de circuitos elétricos é essencial para o entendimento de diversas disciplinas de
Engenharia. A aplicação da eletricidade básica em circuitos parte essencialmente das leis
básicas de circuito, como a Lei de Ohm e as Leis de Kirchhoff.
Tendo isso em vista, apresentamos neste conteúdo os conceitos básicos relacionados à Lei de
Kirchhoff das correntes (LKC) e à de Kirchhoff das tensões (LKT). A partir do conhecimento
dessas leis elementares, salientamos que é possível equacionar os circuitos elétricos para o
cálculo de grandezas de interesse, como tensão, corrente elétrica e potência elétrica nos
elementos.
Demonstramos ainda a aplicação das Leis de Kirchhoff na solução de circuitos por meio dos
métodos de análise que se baseiam nas correntes dos nós e tensões de malhas. A análise
nodal tem como princípio básico a Lei de Kirchhoff das correntes e dispõe que o somatório das
correntes em um nó de circuito deve ser zero. De forma semelhante, a de malhas tem como
princípio a Lei de Kirchhoff das tensões e estabelece que o somatório das tensões em uma
malha precisa ser zero.
Por fim, observamos que, com base no princípio de conservação de energia e desses métodos
de análise, formulam-se as equações lineares dos circuitos que podem ser matematicamente
solucionadas para a obtenção das variáveis do circuito.
 PODCAST
Agora a especialista Isabela Oliveira Guimarães encerra o tema falando sobre as Leis de
Kirchhoff.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. Fundamentos de circuitos elétricos. AMGH Editora,
2013.
BOYLESTAD, R. L.; NASCIMENTO, J. L. do. Introdução à análise de circuitos. Pearson
Education, 2004.
IRWIN, J. D. Análise de circuitos em engenharia. Pearson Education do Brasil, 2010.
JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. . Fundamentos de análise de circuitos
elétricos. Livros Técnicos e Científicos, 1994.
NILSSON, J. W., RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. 8. ed. Pearson, 2008.
EXPLORE+
Para se aprofundar no assunto aqui abordado, leia a obra Eletricidade básica – circuitos
em corrente contínua (2014), de Eduardo C. A. Cruz.
CONTEUDISTA
Isabela Oliveira Guimarães