Prévia do material em texto

Diagrama de Venn 
O diagrama de Venn é uma forma gráfica que representa os elementos de um conjunto. 
Para fazer essa representação utilizamos formas geométricas. 
Para indicar o conjunto universo, normalmente usamos um retângulo e para representar 
subconjuntos do conjunto universo empregamos círculos. Dentro dos círculos são 
incluídos os elementos do conjunto. 
Quando dois conjuntos possuem elementos em comum, os círculos são desenhados com 
uma área de intersecção. 
 
O diagrama de Venn recebe esse nome em homenagem ao matemático britânico John 
Venn (1834-1923) e foi concebido para representar operações entre conjuntos. 
Além de ser aplicado em conjuntos, o diagrama de Venn é empregado nas mais diversas 
áreas do conhecimento como por exemplo lógica, estatística, ciências da computação, 
ciências sociais, entre outras. 
Relação de inclusão entre conjuntos 
Quando todos os elementos de um conjunto A também são elementos de um conjunto B, 
dizemos que o conjunto A é subconjunto de B, ou seja, o conjunto A é parte do conjunto 
B. 
Indicamos este tipo de relação por e lemos "A está contido em B". Podemos usar 
ainda que representa "B contém A". 
Para representar a relação de inclusão através do diagrama de Venn, colocamos um 
círculo dentro de um outro círculo para indicar que um conjunto é subconjunto do outro. 
Exemplo 
O conjunto B dos meses do ano que começam com a letra J é um subconjunto do conjunto 
A dos meses do ano. Assim, podemos representar esses conjuntos através do diagrama de 
Venn, conforme imagem abaixo: 
 
Operações entre conjuntos 
 
Diferença 
A diferença entre dois conjuntos corresponde a operação de escrever um conjunto, 
eliminando os elementos que também fazem parte de um outro conjunto. 
Essa operação é indicada por A - B e o resultado será os elementos que pertencem a A 
mas que não pertencem a B. 
Para representar esta operação através do diagrama de Venn, desenhamos dois círculos e 
pintamos um deles excluindo a parte em comum dos conjuntos, como indicado abaixo: 
 
União 
A operação de união representa a junção de todos os elementos que pertencem a dois ou 
mais conjuntos. Para indicar essa operação usamos o símbolo . 
No diagrama de Venn essa operação é indicada pintando-se toda a parte interna das 
circunferências que representam os conjuntos, de acordo com a imagem seguinte: 
 
A intersecção entre conjuntos significa os elementos comuns, ou seja, todos os elementos 
que pertençam ao mesmo tempo a todos os conjuntos. 
Assim, dados dois conjuntos A e B, a intersecção entre eles será denotada por e 
indicada no diagrama de Venn pela pintura da parte comum, conforme indicado abaixo: 
 
Número de elementos de um conjunto 
O diagrama de Veen é uma ótima ferramenta para ser usada em problemas que envolvam 
reunião de conjuntos. 
Através do uso do diagrama, fica mais fácil identificar as partes comuns (intersecção) e 
assim, descobrir o número de elementos da união. 
Exemplo 
Foi feita uma pesquisa entre 100 estudantes de uma escola sobre o consumo de três marcas 
de refrigerantes: A, B e C. O resultado obtido foi: 38 estudantes consomem a marca A, 
30 a marca B, 27 a marca C; 15 consomem a marca A e B, 8 as marcas B e C, 19 as 
marcas A e C e 4 consomem os três refrigerantes. 
Considerando os dados da pesquisa, quantos estudantes consomem apenas uma dessas 
marcas? 
Solução 
Para resolver esse tipo de questão, vamos começar desenhando um diagrama de Venn. 
Cada marca de refrigerante será representada por um círculo. 
Vamos começar colocando o número de estudantes que consomem as três marcas 
simultaneamente, ou seja, a intersecção da marca A,B e C. 
Note que o número que consome as três marcas também está embutido no número que 
consome duas marcas. Então, antes de colocar esses valores no diagrama devemos tirar 
esses estudantes em comum 
Devemos fazer o mesmo para o número que consome cada marca, pois aí também está 
repetido as partes comuns. Todo esse processo está apresentado na imagem abaixo: 
 
Agora que conhecemos o número de cada parte do diagrama, podemos calcular o número 
de estudantes que consome apenas uma dessas marcas, somando os valores de cada 
conjunto. Assim, temos: 
Nº de pessoas que consome apenas uma das marcas = 11 + 8 + 4 = 23