Lista de exercícios _Calculo I

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
MTM3100 - Pré-cálculo
1a lista de exerćıcios (versão principal) - Representações e operações com conjuntos
Semana 1 (05/08/2019 a 09/08/2019)
1. Representar por enumeração, os conjuntos abaixo.
(a) A = {x ∈ N | x < 6}. (b) B = {x ∈ Z | − 3 < x ≤ 4}.
(c) C = {x ∈ N | x < 11 e x é par}. (d) D = {x ∈ N | x é divisor de 12}.
(e) E = {x ∈ N | x < 30 e x é múltiplo de 7}.
2. Representar, através de uma propriedade conveniente, os conjuntos abaixo.
(a) A = {0, 5, 10, 15, 20, . . .}. (b) C = {. . . ,−5,−3,−1, 1, 3, 5, 7, . . .}.
(c) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. (d) F = {4, 5, 6, 7, 8, 9}.
3. Considere A = {1,∅, {1, 5}, {1}, 5} e determine se é verdadeiro ou falso.
(a) 1 ∈ A. (b) {1} ∈ A. (c) 5 ∈ A. (d) {5} ∈ A.
(e) {{1}} ∈ A. (f) {5, 1} ∈ A. (g) ∅ /∈ A. (h) {∅} /∈ A.
4. Considere A = {0, 1, 2, 3} e diga se é verdadeiro ou falso.
(a) 1 ∈ A. (b) 4 ∈ A. (c) 2 /∈ A. (d) 5 /∈ A.
(e) 1 ⊂ A. (f) {1} ⊂ A. (g) {1, 3} ⊂ A. (h) ∅ ⊂ A.
(i) A 6⊂ A. (j) {1, 2, 3, 4} ⊂ A. (k) {2, 5, 6} 6⊂ A. (l) {0, 5} ⊂ A.
(m){4, 5} 6⊂ A. (n) {0} ∈ A. (o) {0} ⊂ A. (p) {1} /∈ A.
(q) {1} 6⊂ A. (r) {0, 1, 2, 3} ⊂ A. (s) {1, 2} ⊂ A. (t) {1, 2} ∈ A.
5. Considere o conjunto A = {1,∅, {1, 5}, {1}, 5} e diga se é verdadeiro ou falso.
(a) 1 ∈ A. (b) 1 ⊂ A. (c) {1} ∈ A.
(d) {1} ⊂ A. (e) {5} ∈ A. (f) {5} ⊂ A.
(g) ∅ ∈ A. (h) ∅ ⊂ A. (i) {1, 5} ∈ A.
(j) {1, 5} ⊂ A. (k) {1, {1}} ⊂ A. (l) {1, {1, 5}, {5}} ⊂ A.
6. Considere os conjuntos A = {1, 2, 5}, B = {2, 4, 5, 6, 8} e o conjunto universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Desenhar um diagrama de Venn-Euler representando esses conjuntos.
7. Observando o diagrama do exerćıcio anterior, escreva por enumeração os conjuntos abaixo.
(a) C = {x | x ∈ A e x ∈ B}. (b) D = {x | x ∈ A ou x ∈ B}.
(c) E = {x | x ∈ B e x /∈ A}. (d) F = {x ∈ U | x /∈ A e x /∈ B}.
8. Considere A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9} e determine por enumeração os conjuntos
abaixo.
(a) A ∩B. (b) A ∪B. (c) A−B. (d) B − A.
1
9. Considere os conjuntos A = {1, 5, 9}, B = {1, 6, 7, 8, 9} e o conjunto universo U = {x ∈ N | 0 < x <
14} e determine por enumeração os conjuntos abaixo.
(a) A ∩B. (b) A ∪B. (c) A ∪B. (d) A ∩B.
As respostas iguais obtidas em cada par de itens acima são apenas coincidência ou acontecem para
quaisquer conjuntos A e B? Observação. Lembre-se de que X denota o complementar de X, isto é
X = {x ∈ U | x /∈ X}.
10. Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 7, 9, 12, 13}, B = {0, 1, 2, 5, 8, 9, 10}, C = {0, 2, 4, 7, 8} e o
conjunto universo U = {x ∈ N | x < 14} e determine por enumeração os conjuntos abaixo.
(a) X = [(A ∩B)− C] ∪ (A ∪B ∪ C).
(b) Y = {[(B ∩ C)− A] ∪ [(A ∩ C)− (A ∩B)]} ∪ (A ∩B ∩ C) ∪ [C − (A ∪B)].
(c) X ∩ Y .
11. No diagrama de Venn-Euler ao lado, cada região
foi denominada com um número entre parênteses.
Indicar as regiões que determinam os conjuntos
abaixo.
(a) A ∩B. (b) A ∪B.
(c) A−B. (d) A.
(e) B. (f) A ∩B.
(g) A ∪B. (h) A−B.
(i) B − A.
U
(1)
(4)
(2) (3)
A B
12. Considere o diagrama de Venn-Euler do exerćıcio anterior. Usando apenas os conjuntos A, B e seus
complementares e apenas a operação de intersecção, caracterize cada uma das quatro regiões do
diagrama. Exemplo. A região (1) é dada por A ∩B.
13. Dizer se é verdadeiro ou falso. No caso de ser verdadeiro, justifique e, no caso de ser falso, corrija a
sentença.
(a) Se A ⊂ B, então A ∩B = A. (b) Se A ∩B = A, então A ⊂ B.
(c) Se A ⊂ B, então A ∪B = B. (d) Se A ∪B = B, então A ⊂ B.
(e) Se A ⊂ B, então A−B = A. (f) Se A−B = A, então B = ∅.
(g) Se A ⊂ B, então B − A = ∅. (h) Se A ∩B = ∅, então A−B = A.
(i) A ∩∅ = A, ∀ A. (j) A ∪∅ = A, ∀ A.
(k) Se A∩B = ∅, então n(A∪B) = n(A)+n(B).(l) ∅ ⊂ A, ∀ A.
14. Para cada um dos conjuntos abaixo, determinar por enumeração o conjunto das partes e o seu número
de elementos.
(a) A = {2, 3}. (b) B = {5}. (c) C = {2, 4, 6}.
15. Determine o número de subconjuntos de {x ∈ N | 1 ≤ x ≤ 8}.
16. Determine todas as possibilidades para o conjunto A sabendo que {4, 5} ⊂ A ⊂ {0, 4, 5, 6}.
17. Sabe-se que A é um conjunto com 30 elementos. É posśıvel que A seja o conjunto das partes de
algum outro conjunto?
2
18. Considere A = {1, 2} e B = {3, 4, 5} e determine por enumeração os conjuntos abaixo.
(a) A×B. (b) B × A. (c) A2 = A× A. (d) A×∅.
19. Sejam A e B subconjuntos de E tais que: n(A) = 2549, n(B) = 1217, n(A∩B) = 412 e n(E) = 3614.
Determine n(E−(A∪B)). Sugestão. Represente os conjuntos em um diagrama de Venn-Euler.
20. Sejam A e B subconjuntos de U tais que n(A) = 80, n(B) = 60, n(A ∪ B) = 117 e n(U) = 200.
Determine o que se pede.
(a) n(A ∪B). (b) n(A−B). (c) n(B − A). (d) n(A ∩B).
21. Sejam A e B subconjuntos de U tais que: n(A) = 31, n(B) = 16, n(U) = 130 e n(A ∪B) = 83.
Determine n(A ∩B).
22. Em um grupo de 29 pessoas, sabe-se que 10 são sócias de um clube A, 13 são sócias de um clube B
e 6 são sócias de ambos.
(a) Quantas pessoas do grupo não são sócias de A e nem de B?
(b) Quantas pessoas do grupo são sócias apenas do clube A?
(c) Quantas pessoas do grupo são sócias de A ou de B?
Sugestão. Utilize a mesma ideia dos exerćıcios anteriores.
23. Em uma escola com 450 alunos, sabe-se que: 217 jogam vôlei, 276 jogam futebol e 29 não praticam
vôlei nem futebol. Nessas condições, determinar quantos alunos praticam futebol e vôlei.
24. Sobre três conjuntos A, B e C, sabe-se que: n(A ∩ B ∩ C) = 4, n(A ∩ B) = 6, n(A ∩ C) = 7,
n(B ∩ C) = 14, n(A) = 15, n(A ∪B) = 34, n(B ∪ C) = 41. Determine o que se pede.
(a) n(B). (b) n(C). (c) n(A ∪B ∪ C).
(d) n(A−B). (e) n(C − A). (f) n((A ∩B)− C).
25. Em um universo de 1000 pessoas, foi feita uma
pesquisa a respeito do consumo de três produtos
A, B e C, obtendo-se os resultados da tabela ao
lado. Determine quantas pessoas
(a) consomem somente o produto A?
(b) consomem A ou B?
(c) consomem A ou B ou C?
(d) não consomem nenhum dos três produtos?
Produto(s) Consumidores
A 430
B 560
C 470
A e B 265
A e C 275
B e C 300
A, B e C 230
26. Em uma escola de idiomas, 80 alunos cursam Inglês, 90 cursam Francês e 55 cursam Espanhol.
Sabe-se que 32 alunos cursam Inglês e Francês, 23 cursam Inglês e Espanhol, 16 cursam Francês e
Espanhol e 8 alunos cursam os três idiomas citados. Além disso, 38 alunos não cursam nenhuma das
três ĺınguas citadas. Qual é a porcentagem destes alunos que não cursa nenhuma das três ĺınguas
citadas?
27. Em certo semestre, os alunos de Pré-Cálculo da UFSC tinham à disposição monitorias, atendimentos
com professores e aulas de resolução de exerćıcios. Foram observados os seguintes fatos:
(i) 50 alunos frequentavam regularmente as monitorias e atendimentos, mas não compareciam às
aulas de resolução de exerćıcios.
(ii) 80 alunos compareciam apenas às aulas de resolução de exerćıcios, 100 apenas às monitorias e
150 apenas aos atendimentos.
3
(iii) 100 alunos não participavam de nenhuma dessas atividades.
(iv) Havia 520 matriculados.
Verificou-se também que os únicos alunos aprovados na disciplina foram os que participaram de pelo
menos duas dessas atividades. Quantos foram aprovados?
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
A. Z. Aranha e M. B. Rodrigues – Exerćıcios de Matemática - vol. 1, Revisão de 1o grau. Segunda
edição, Editora Policarpo, São Paulo, 1998.
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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
MTM3100 - Pré-cálculo
2a lista de exerćıcios (versão principal) - Conjuntos numéricos e operações básicas
Semana 2 (12/08/2019 a 16/08/2019)
1. Resolva as expressões abaixo.
(a) −2− (−3− 2(2− 3)− 2(−3(−2 + 4)− 4(−5 + 6)− 5)− 3(−2 + 6)− 2)− 2(5− 3).
(b)
4− 2(3− 1)− 2(−3 + 2(5− 7)− 3(12− 15)− 1)− 2(−3)(−2)
(−3− 2(5− 1) + 4/(3− 1))/(−12/(−1− 6/2)) + 10
÷ −2(−3)(4)
144/(24/2)
.
Observação. Se você não consegue resolver essa questão, faça a lista complementarprimeiro. Há
vários exerćıcios com dificuldade gradual para, aos poucos, você se sentir confortável com essas
expressões.
2. Em cada um dos itens abaixo, coloque as frações em ordem crescente.
(a)
1
3
,
5
12
,
1
4
,
1
6
,
5
6
,
2
3
. (b) 2,
3
5
,
4
3
,
5
3
,
3
2
.
3. Resolva as expressões abaixo.
(a)
3
5
/
7
4
. (b)
6
5
/
21
5
. (c)
21
5
/14.
(d) 12/
16
7
. (e)
4
9
5
7
. (f)
12
8
3
.
(g)
12
8
3
. (h)
−10
19
15
38
. (i)
(
3
4
− 5
6
)
/
(
1
2
− 1
3
)
.
(j)
(
5
8
+
7
16
)
/
(
−5
6
− 5
8
)
. (k)
5
4
− 1
6
−1 + 5
8
. (l)
−2− 3
4
−4− 3
2
.
4. Transforme em fração e simplifique até que o numerador e o denominador não possuam fatores
comuns.
(a) 0,25. (b) 1,25. (c) 0,136.
5. Escreva como número decimal.
(a)
173
100
. (b)
21
125
. (c)
11
32
.
6. Escreva como número decimal.
(a)
1
3
. (b)
25
11
. (c)
23
18
.
7. Escreva na forma de fração.
(a) 0,3 = 0,333 . . .. (b) 0,27. (c) 0,135.
8. Escreva na forma de fração.
(a) 0,16. (b) 0,1257. (c) 1,9.
1
9. Resolva as expressões abaixo.
(a)
1
2
− 3
(
1
4
− 0,3
)
+ 0,125
0,16−
(
0,25− 3
4
)
+ 1
. (b)
3
5
− 3
(
0,6− 0,6
)
− 1
2− 2
5
(0,49− 4)− 0,9
.
10. Siga o modelo do item (a) para completar os próximos itens.
(a) Q+ = {x ∈ Q | x ≥ 0} = racionais não negativos.
(b) Q− = {x ∈ Q | x ≤ 0} =
(c) Q∗+ = {x ∈ Q | x > 0} =
(d) Q∗− = { } = racionais negativos.
(e) Q∗ = { } = racionais não nulos.
(f) R∗ = {x ∈ R | x 6= 0} =
(g) R+ = { } =
(h) R∗+ = { } = reais positivos.
(i) R− = { } =
(j) R∗− = { } =
11. Dizer se é verdadeira ou falsa cada uma das sentenças abaixo.
(a) 5 ∈ Q. (b) −3 ∈ Q. (c) 3
4
∈ Q.
(d) −11
12
∈ Q. (e) 0,7 ∈ Q. (f) 0,333 . . . ∈ Q.
(g) −0,131313 . . . ∈ Q. (h) 0,999 . . . ∈ Q. (i)
√
2 ∈ Q.
(j)
√
4 ∈ Q. (k) 0,202002000 . . . ∈ Q. (l) 0 ∈ Q.
(m)0 ∈ Q∗. (n) −3 ∈ Q+. (o) −2 ∈ Q−.
(p) 0 ∈ Q−. (q)
√
9 ∈ Q−. (r) π ∈ Q.
12. Reescrever os conjuntos abaixo usando a notação de intervalo e, a seguir, representá-los grafica-
mente.
(a) A = {x ∈ R | x > 2}. (b) B = {x ∈ R | 0 < x ≤ 3}.
(c) C = {x ∈ R | x ≤ −4}. (d) D = {x ∈ R | 3
4
< x < 1}.
(e) E = {x ∈ R | − π ≤ x ≤ −3}. (f) F = {x ∈ R |
√
2 ≤ x < 3
2
}.
(g) G = {x ∈ R | 2 < x < 1}. (h) H = {x ∈ R | x < 7
3
ou x > 3}.
(i) I = {x ∈ R | x ≤ −3 ou 0 < x ≤ 5}. (j) J = {x ∈ R | 0 < x < 1 ou 2 ≤ x ≤ 3}.
(k) K = {x ∈ R | x ≤ −2 ou x > 1}. (l) L = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ −2}.
(m)M = {x ∈ R |x < 0 ou
√
2 < x < e ou x > π}.
Observação. e representa o número neperiano cujo valor aproximado é 2,71828.
13. Representar os conjuntos abaixo, dados graficamente pela parte pintada em vermelho, usando a
notação de intervalo e a notação de desigualdades.
(a)
2 6
(b)
2 6
2
(c)
2
3
(d)
−12
(e)
−1 5
(f)
0
(g)
0
(h)
−6 −3 −1
(i)
0 1 2 3
(j)
0 1 2 3
(k)
3 π 4
(l)
1
√
2 2
√
5 3
14. Dados os conjuntos A =]−2, 3] e B =]0, 4], efetuar as operações pedidas, dar as respostas na notação
de intervalo e representar graficamente.
(a) A ∩B. (b) A ∪B. (c) A−B.
(d) B − A. (e) A. (f) B.
Observação. Sempre que o conjunto universo não for mencionado, estará subentendido que será R.
15. Repita o exerćıcio acima para os conjuntos A =
[
−1
2
,
15
7
]
e B =
]
−1
3
, 2
]
.
16. Dados os conjuntos A = {x ∈ R | − 2 < x < 1 ou 2 < x < 4}, B = {x ∈ R | − 3 ≤ x ≤ 0 ou x = 5}
e C = {x ∈ R | − 1 < x ≤ 3}, escreva na notação de intervalo e represente graficamente o conjunto
M = [(A ∩B ∩ C) ∪ (B ∪ C)]− A.
17. Representar graficamente, no plano cartesiano, os seguintes pares ordenados.
(a) A = (2, 3). (b) B = (−1, 4). (c) C = (−3,−1). (d) D = (4,−2).
(e) E = (0, 0). (f) F = (3, 3). (g) G = (−2,−2). (h) H = (4,−4).
(i) I = (4, 0). (j) J = (−2, 0). (k) K = (
√
2, 0). (l) L = (0, 3).
(m)M = (0, π). (n) N = (0,−9
2
). (o) O = (3
7
,−8
5
). (p) P = (−3,7 , 2,45).
Atenção! Tome cuidado com as notações. Quando estamos falando de intervalos, (1, 3) representa
o conjunto de todos os números reais entre 1 e 3. Por outro lado, no contexto de pares ordenados,
(1, 3) representa o elemento de R2 de abscissa 1 e ordenada 3.
18. Dizer onde se localizam os pontos do plano cartesiano que
(a) possuem abscissa nula.
(b) possuem ordenada nula.
(c) possuem abscissa igual à ordenada.
(d) possuem abscissa oposta à ordenada.
19. Representar graficamente, no plano cartesiano, o produto cartesiano A×B nos casos abaixo.
(a) A = {1, 3} e B = {1, 2, 4}. (b) A =]− 1, 1[ e B =]− 2, 2[.
(c) A =]− 1, 1[ e B = [−2, 2]. (d) A = [−1, 1[ e B = [−2, 2].
(e) A =]− 1, 1] e B = [−2, 2[. (f) A = {−1, 2, 3} e B = [−1, 4].
(g) A =]2, 5[ e B = {−1, 0, 2, 3}. (h) A = [−2, 3] e B = {x ∈ R | x > 1}.
(i) A = {x ∈ R | x ≥ −2} e B = (−∞, 3). (j) A = [−2,−1] e B = R.
3
20. Representar graficamente, no plano cartesiano, os conjuntos abaixo.
(a) A = {(x, y) ∈ R2 | x = 2}. (b) E = {(x, y) ∈ R2 | y < 3}.
(c) F = {(x, y) ∈ R2 | − 1 < x ≤ 2}. (d) G = {(x, y) ∈ R2 | y = 2x}.
21. Dados os conjuntos A = [1, 3], B =]1, 5], C = [2, 4[, D =]3, 6[, represente graficamente, no plano
cartesiano os conjuntos abaixo.
(a) (A×B)− (C ×D). (b) (A×B) ∩ (C ×D).
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
A. Z. Aranha e M. B. Rodrigues – Exerćıcios de Matemática - vol. 1, Revisão de 1o grau. Segunda
edição, Editora Policarpo, São Paulo, 1998.
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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
MTM3100 - Pré-cálculo
3a lista de exerćıcios (versão principal) - Módulo, potenciação e radiciação
Semana 3 (19/08/2019 a 23/08/2019)
1. Resolva as expressões abaixo.
(a) |5|. (b) |0|. (c)
∣∣∣∣−12
∣∣∣∣.
(d) |0,36|. (e) |7− 5|. (f) |5− 7|.
(g) |a| , com a ≥ 0. (h) |a| , com a < 0. (i)
∣∣2−√3∣∣.
(j)
∣∣2 +√3∣∣. (k) ∣∣√3− 2∣∣. (l) ∣∣−2−√3∣∣.
Alerta!!! No restante dessa lista, você trabalhará com potenciações e ráızes. Estas operações não
se dão bem com adição e subtração. Praticamente todas as propriedades que você acha que são
verdadeiras, não são! Por exemplo,
a2 + a3 6= a5, (a− b)2 6= a2 + b2 e
√
a− b 6=
√
a−
√
b.
Não caia nessas tentações!!
2. Resolva as expressões abaixo.
(a) 24. (b) 73. (c) 05. (d) 113. (e) (−1)6.
(f) (−1)7. (g) (−2)4. (h) −24. (i) (−5)3. (j) −53.
(k) (−13)4. (l) (−14)3. (m)((−1)4)3. (n) ((−1)3)4. (o)
(
1
2
)5
.
(p)
(
2
3
)2
. (q)
(
−5
2
)2
. (r)
(
−1
4
)3
. (s)
(
−2
3
)4
.
3. Usando as propriedades de potenciação, simplifique e dê a resposta na forma de potências de números
primos.
(a)
125 · 203
304
. (b)
(
−84 · 322
22 · 410
)3
. (c)
30 · 3 · 35
(32)4
.
(d) [(−2)6]3. (e) (−135)2. (f) (−116)4.
(g) (−88)5. (h) [(−28)2]3. (i) (−16)23 .
(j) (3 · 25 · 213)2. (k)
−(36 · 632 · (42)4
272 · 2
)23.
1
4. Usando as propriedades de potenciação, simplifique e dê a resposta na forma de uma única potên-
cia.
(a) a5 · a7. (b) a3 · a−4. (c) 3
4
36
. (d) (72)3. (e) 72
3
.
(f) 8−3/2−5. (g) 46/165. (h) (24 · 2)/26. (i) (−5a3)7.
5. Dizer, em cada caso, se a igualdade é verdadeira ou falsa.
(a) (2 · 3)2 = 22 · 32. (b) (3 + 4)2 = 32 + 42. (c) 25/23 = 22.
(d) (a− b)2 = a2 − b2. (e)
(a
b
)2
= a2 − b2. (f) a
2
b2
= a2 − b2.
(g)
a2
b2
=
(a
b
)2
. (h) (a2)3 = a2
3
. (i) −24 = (−2)4.
(j)
142
72
= 4. (k) 53 · 23 = 103. (l) a3 · a2 = a6.
(m)73 · 43 = 283. (n) x15/x5 = x3. (o) (a2 + b3)4 = a8 + b12.
(p) (2 + 5)2 = 22 + 52. (q) (94)6 = 924. (r)
a8
a4
= a4.
(s) (5− 4)2 = 52 − 42. (t) 23 · 52 = 105.
Observação. Alguns itens acima não fazem sentido para situações particulares das variáveis. Por
exemplo, os itens (e), (f) e (g) não estão definidos no caso b = 0. Nesses itens, faça a análise da
igualdade nos casos em que a expressão faz sentido (por exemplo, em (e), (f) e (g) diga se o item é
verdadeiro ou falso já assumindo que b 6= 0).
6. Resolva as expressões abaixo, indicando as que não estão definidas em R.
(a) 3
√
8. (b) 3
√
−27. (c) 3
√
0. (d) 7
√
−128. (e)
√
−9. (f) 4
√
625.
(g) 3
√
125. (h)
√
36. (i) 5
√
−1. (j) 4
√
−81. (k) 7
√
0. (l)6
√
0.
(m)
√
144. (n) 12
√
1. (o) 8
√
−1. (p) 7
√
1. (q) 15
√
−1. (r)
√
−121.
7. Simplifique as expressões abaixo, indicando as que não estão definidas em R.
(a)
√
(−7)2. (b)
√
−32. (c) 3
√
(−2)3. (d) 3
√
−23.
(e) 4
√
(−3)4. (f) 14
√
56. (g) 5
√
(
√
8− 3)5. (h) 6
√
(
√
8− 3)6.
(i)
√
a2. (j)
3
√
m3. (k) n
√
an, com n ∈ N∗. (l)
(
3
√√
3
√
220
)5
.
8. Em cada item, reescreva todos os números usando ráızes de mesmo ı́ndice (e que este seja o menor
posśıvel).
(a)
√
3, 3
√
4 e 6
√
5. (b) 4
√
2, 3
√
3 e 6
√
6.
9. Utilize o exerćıcio anterior e efetue as multiplicações.
(a)
√
3 3
√
4 6
√
5. (b) 4
√
2 3
√
3 6
√
6.
10. Sem usar calculadora, coloque em ordem crescente os números: 1, 2, 3,
√
2, 3
√
2,
√
3, 3
√
3 e
√
5.
11. Simplifique as expressões abaixo, dando a resposta na forma de uma única potência e, também, na
forma de radicais.
(a) 3−1 · 31/5. (b) 9−1/4 · 31/3. (c) 3
−1
31/5
. (d)
9−1/4
31/3
.
2
12. Reescreva as expressões abaixo e dê a resposta na forma de produto de potências e, também, produto
de radicais. Tente resolver por dois métodos: (1) manipulando diretamente radicais e (2) reescrevendo
como potência e manipulando a seguir.
(a)
12
√
58. (b)
30
√
x18, x ∈ R. (c) 3
√
1121.
(d) 6
√
1024. (e)
7
√
x16. (f)
7
√
256 a8 b5 c24.
(g)
6
√
64 a8 b16. (h)
4
√
512x6. (i)
3
√
6 a9b8c16.
13. Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. No caso de a afirmação ser falsa, dê um exemplo
para justificar.
(a) 3
√
a + b = 3
√
a + 3
√
b, ∀ a, b ∈ R. (b) 4
√
a · b = 4
√
a · 4
√
b, ∀ a, b ∈ R+.
(c) 4
√
a · b = 4
√
a · 4
√
b, ∀ a, b ∈ R. (d)
√
a√
b
=
√
a
b
, ∀ a, b ∈ R∗+.
(e)
√
a√
b
=
√
a
b
, ∀ a, b ∈ R. (f) 5
√
a− 5
√
b = 5
√
a− b, ∀ a, b ∈ R.
(g) 6
√
x3 · y = √x · y, ∀x, y ∈ R. (h)
√
(a− b)2 = a− b, ∀ a, b ∈ R.
(i)
√
(a− b)2 = a− b, se a > b. (j) 3
√
(a− b)3 = a− b, ∀ a, b ∈ R.
(k)
√
64 +
√
36 =
√
100. (l)
√
a2 + b2 = a + b, ∀ a, b ∈ R.
(m)
12
√
a4b5 =
3
√
ab5, ∀ a, b ∈ R. (n) 10
√
25 =
√
5.
(o) 3
√
a3 + b3 = a + b, ∀ a, b ∈ R. (p)
√
(a + b)2 = a + b, se a + b ≥ 0.
(q) 4
√
x
16
=
4
√
x
2
, se x ≥ 0. (r) 5
√
a5 − b = a− 5
√
b, ∀ a, b ∈ R.
(s)
20
√
28 x12 =
5
√
4x3, ∀x ∈ R+. (t) 12
√
16 = 3
√
2.
(u) 3
√
2a = 3
√
2 · 3
√
a, ∀ a ∈ R. (v)
√
x
49
=
√
x
7
, se x ≥ 0.
(w)
√
8 = 2
√
2. (x)
√
4 · 9 =
√
4 ·
√
9.
(y)
√
(−4) · (−9) =
√
−4 ·
√
−9. (z)
√
(−4) · (−9) =
√
4 ·
√
9.
14. Passe os coeficientes (fatores) para dentro dos radicais.
(a) 2
√
5. (b) a 4
√
x. (c)
1
a
3
√
b. (d) a3
5
√
b2.
15. Sejam x e y números reais positivos. Reescreva as expressões e dê a resposta utilizando uma única
raiz.
(a) 5
√
2x · 5
√
3x2 · 5
√
x. (b)
(
4
√
8x3 · 4
√
4x3
)
/ 4
√
2x.
16. Simplifique as expressões e dê a resposta na forma de produto de potências.
(a)
21/3 · 31/4 · (−4)−2
33 · 91/3 · 8−1/6
. (b)
(2
3
)3/2
(3
4
)−4/3
.
17. Seja a um número real positivo. Simplifique as expressões abaixo e dê a resposta na forma de uma
única potência de a e, também, na forma de um radical de a.
(a)
a3a2/3a−1
a−1/4a−2a1/2
. (b)
(a−3)
1
4a−
1
3
(a
1
2 )−3a
1
5a2
.
18. Simplifique as expressões abaixo efetuando somas de radicais sempre que posśıvel.
(a) 3
√
2 + 2 3
√
2− 7 3
√
2 + 3
√
2. (b) 5
√
4 + 10 5
√
8− 4 5
√
16− 5
√
22 + 5
5
√
24 − 9 5
√
23.
(c) 1
6
3
√
3− 1
4
3
√
3 +
√
3− 2
3
3
√
3− 1
2
4
√
9. (d) 6
√
3− 1
5
√
75 + 1
2
√
48− 4
√
12 + 1
3
√
27.
3
19. Simplifique a expressões abaixo.
(a)
32x−1 − 9x · 5 + 2 · 9x−1
9x + 27 · 32x−3 − 2 (3x−1)2
. (b)
5 · 8x−1 − 16 3x4 + 12
3 · 64x2− 56 − 3
4
· 512x+13
.
(c)
2n+4 + 2n+2 + 2n−1
2n−2 + 2n−1
. (d)
3 · 2−2x+6 − 2−2x+5 − 9 · 2−2x+4
5 · 2−2x+2 − 2−2x+4 − 3 · 2−2x
.
20. As propriedades envolvendo ráızes e potências devem ser usadas com cuidado. Explique os itens
abaixo.
(a) Onde está o erro em
√
x2 = (x2)1/2 = x2/2 = x1 = x ? Como corrigir?
(b) Por que não há erro em (
√
x)2 = (x1/2)2 = x ?
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
A. Z. Aranha e M. B. Rodrigues – Exerćıcios de Matemática - vol. 1, Revisão de 1o grau. Segunda
edição, Editora Policarpo, São Paulo, 1998.
4
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Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
MTM3100 - Pré-cálculo
4a lista de exerćıcios (versão principal) - Manipulação algébrica, fatoração e
racionalização
Semana 4 (26/08/2019 a 30/08/2019)
1. Calcule o valor numérico da expressão
x2 − x + 2
x2 + x− 2
nos casos abaixo.
(a) x = 0. (b) x = −1. (c) x = −1
2
. (d) x =
√
2. (e) x = 1.
2. Diga qual o grau dos polinômios abaixo.
(a) 3x2y. (b) 5x2yz3. (c) 3x2y3 + 22x3y2. (d) 3x4y2 − 5x2 + 3y7.
(e) 3x5 − 2x3 − 6x− 1.(f) 0x3 + 2x2 − 3x− 2. (g) 8. (h) 0.
3. Simplifique as expressões abaixo.
(a) 3x− 2y + x− 4y + 5x− y.
(b) 5x2 − 3xy + 4y2 − 3x2 + xy − y2.
(c) 2x2 − 3x− 4− 7x2 + 3x− 1− 5x2 − 2x + 4 + 14x2 + 8x + 8.
(d) (−3x2 + 7x + 1) + (3x2 − 4x + 7).
(e) −2x− (−3x− 2− (−5x + 3− (3x− 5)− (−3x− 5))− 2x− 1).
(f)
2
3
x2y − 1
2
xy2 + 3x2y − xy2.
4. Efetue as multiplicações.
(a) (−3x3y5)(−2x2y3). (b) 2xy(3x2y).
(c) −4ax(−3by). (d) (3ab3c)(2a2bc3)(5ab2c5).
(e) 3x2y3(2x3 − 4xy − 5y2). (f)
(
−2
3
a2b
)(
−3
5
ab3
)
.
(g) (3xnyn−1)(2x2n+1yn+1). (h) (x + 3)(x + 7).
(i) (x− 5)(x− 4). (j) (x−
√
3)(x− 3
√
3).
(k) (3x− 7)(2x2 + 5x− 3). (l) (2x2 − 3x + 2)(3x2 + 2x− 5).
(m)(3x− 2)(−x + 1)(−2x− 1).
5. Simplifique as expressões abaixo.
(a) 2x− 2x2(2x− 3(2x− 2x(x + 3))− 6x2)− 3x.
(b) −2x− 2x(2x− 3)(3x− 1)− 3(x− 1)(4x− 1)(−x− 1).
1
6. Efetue as divisões.
(a) (−30x5)/(−6x2). (b) (28x6y7)/(−4x2y).
(c)
−6x4y3
4x
. (d)
36x3y2
−27x2y
−3x
.
(e)
a6 + a5 + a4
a2
. (f) (25x6 − 30x3)/(5x2).
7. Efetue as multiplicações utilizando produtos notáveis.
(a) (x + 6)(x− 6). (b) (3x + 4)(3x− 4).
(c) (4x4 + 3y5)(4x4 − 3y5). (d) (3
√
x + yn)(3
√
x− yn).
8. Desenvolva os quadrados utilizando produtos notáveis.
(a) (2x + 3y)2. (b) (3x− 5y)2. (c) (x− 5)2.
(d) (−7x− 5y)2. (e) (−6x6y5 − 4x4y3)2. (f)
(
x +
1
x
)2
.
9. Efetue as multiplicações utilizando produtos notáveis.
(a) (3x− y)(9x2 + 3xy + y2). (b) (5x3 + 1)(25x6 − 5x3 + 1).
10. Desenvolva os cubos utilizando produtos notáveis.
(a) (a− b)3. (b) (x− 3y)3. (c) (3x + 2y)3. (d) (x− 2)3.
11. Simplifique a expressão −2(2x− 1)3 − (2x + 3)(4x2 − 6x + 9) + 3(2x + 3)3 − (x− 3)2.
12. Utilize o binômio de Newton para desenvolver as potências abaixo.
(a) (x + 1)4. (b) (3x− 2y)5. (c) (a + b)8. (d) (x3 + x−4)7.
13. Racionalize os denominadores das frações abaixo.
(a)
1
7
√
23
. (b)
10
4
√
5
. (c)
1√
3
. (d)
6
√
3√√
3
.
(e)
1√
3 +
√
2
. (f)
−1√
3− 2
. (g)
9
√
2
2
√
2 +
√
5
. (h)
3
4
√
5− 4
√
2
.
(i)
1
4
√
3 + 4
√
2
. (j)
1
4
√
2 + 1
. (k)
2
3
√
5− 3
√
3
. (l)
1
1 + 3
√
2
.
14. Fatore as expressões abaixo.
(a) mx + my. (b) x2 − xy. (c) x2y3 − x3y2.
(d) 6ax4y − 9bx3y2 + 12cx2y3. (e) 2xn−1yn+1 + 4xn+1yn−1. (f) mx + my + ax + ay.
(g) mn−mp− n + p.
15. Fatore as expressões abaixo.
(a) a2 − b2. (b) x2 − 9. (c) 4x2 − 25.
(d) x2 − 5. (e) a2 −
√
2. (f) x4 − y4.
16. Fatore as expressões abaixo.
(a) x2 + 6xy + 9y2. (b) x2 − 12xy + 36y2. (c) 4x2 − 12x + 9. (d) y2 + 8y + 16.
17. Fatore as expressões abaixo.
(a) a3 + 8. (b) x3 + 27. (c) 343x3 + 8. (d) 216x6 − 125y3.
2
18. Fatore as expressões abaixo.
(a) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. (b) x3 − 3x2y2 + 3xy4 − y6. (c) 27x3 − 54x2 + 36x− 8.
19. Complete o quadrado nos trinômios abaixo, isto é, reescreva a expressão ax2 + bx + c na forma
a(x + u)2 + v, em que u e v são números. Observe o item (a).
(a) x2 − 4x + 7 = x2 − 4x + 4 + 3 = (x− 2)2 + 3.
(b) x2 + 2x + 2. (c) x2 − 8x− 13. (d) −x2 − 2x− 9. (e) −5x2 + 3x− 3.
(f)
1
3
x2 − 2x + 7
2
. (g) x2 − 3
4
x +
1
8
. (h) 2x2 − 6x− 4.
20. Fatore as expressões abaixo.
(a) x2 + 7x + 10. (b) a2 + 9a + 8. (c) y2 + 3y − 10. (d) x2 − 3x− 18.
(e) x2 + x− 2. (f) x2 + 4x− 5. (g) x2 − 10x + 21. (h) 2x3 − 2x2 − 24x.
Lista de exerćıcios parcialmente retiradae adaptada de
A. Z. Aranha e M. B. Rodrigues – Exerćıcios de Matemática - vol. 1, Revisão de 1o grau. Segunda
edição, Editora Policarpo, São Paulo, 1998.
3
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MTM3100 - Pré-cálculo
5a lista de exerćıcios (versão principal) - Manipulação algébrica envolvendo frações,
divisão de polinômios e estudo do sinal de expressões de primeiro e segundo graus
Semanas 5 e 6 (02/09/2019 a 13/09/2019)
1. Em cada item, encontre o mı́nimo múltiplo comum das expressões.
(a) a3b2c ; a2b3d ; a2b4f .
(b) 108x2y3z ; 72x3y.
(c) 8a2b ; 10b2c ; 12ac2.
(d) 2x(x + y)2 ; 4x2(x + y)(x− y) ; 6y(x + y)(x2 − xy + y2).
(e) x2 − y2 ; y2 − x2 ; x2 + 2xy + y2 ; x− y.
(f) 2x2 + 2xy ; x3 + 2x2y + xy2 ; 3x3 − 3xy2.
2. Em cada item, reescreva as frações com o menor denominador comum.
(a)
3b
2a2
;
2a
3b2
;
3
4ab
. (b)
a− b
(a + b)2
;
b + c
a2 − b2
;
a− b
(a + b)(b + c)
.
(c)
ab
a2 − b2
;
a− b
a2 + ab
;
a + b
ab− b2
.
3. Simplifique as frações.
(a)
2x(a− b)
4xy(a + b)
. (b)
x2 − xy
xy − y2
. (c)
4x2 − 6x
4x2 − 9
.
(d)
x2 − 3x− 10
x2 + 4x + 4
. (e)
x3 + y3
x3 − x2y + xy2
. (f)
5xn−1yn
15xnyn−2
.
(g)
2a2b(a− b)2
6a2(a2 − b2)
. (h)
x2 − y2
x2 + 2xy + y2
.
4. Efetue as multiplicações e, se posśıvel, simplifique o resultado.
(a)
3x− 2
5x + 3
· 4x− 1
3x + 2
. (b)
(x− y)2
x + y
· (x + y)
2
x2 − y2
.
(c)
9x2 − 1
2x + 4
· 6x + 12
15x + 5
. (d)
2x3 − 6x2 + 4x
3x2 − 3
· 6x
2 − 6x− 12
12x2 + 24x
.
(e)
x2 − 4
x2 − 3x
· x
3 − 9x
x2 − 4x + 4
.
5. Efetue as divisões e, se posśıvel, simplifique o resultado.
(a)
2x
3y
3y2
4x3
. (b)
x3 − 4x
x3 − 27
2x2 − 2x− 12
2x2 − 12x + 18
.
1
6. Escreva as expressões abaixo na forma de uma única fração sem fatores comuns, seguindo o exemplo
abaixo.
Exemplo:
1
x− 1
− 2
x2 − 1
=
(x + 1)− 2
x2 − 1
=
x− 1
x2 − 1
=
1
x + 1
.
(a)
x + 1
x− 1
− 1
x2 − 1
. (b) − 4xy
x2 − y2
− x− y
x + y
− x + y
x− y
.
(c)
x + 2
x2 + x
− x + 1
x2 + 2x + 1
− 1
x
. (d)
a− 3
a + 4
− a− 5
3− a
− a
2 − 9a− 3
a2 + a− 12
.
(e)
2x− 1
3x
+
1− 2x
2x
− x− 1
4x
. (f) 2x− 8x
x + 2
.
(g)
1
1− x
− 2
1 + x
+
3
1− x2
.
7. Simplifique as expressões abaixo sob a forma de uma única fração sem fatores comuns.
(a)
1 + x
1− x
− 1
1− 1
1 + x
. (b)
 x
2
(
1 + x
1− x
− 1− x
1 + x
)
(
1 + x
1− x
− 1
)(
1− 1
1 + x
) − 2
 · (x + 1).
8. Efetue as divisões de polinômios (encontrando quociente e resto) e escreva as duas identidades asso-
ciadas à divisão, conforme exemplo abaixo.
Exemplo: (2x2 − 5x + 7)÷ (x− 4).
Quociente: 2x + 3; Resto: 19;
Identidade (forma 1): 2x2 − 5x + 7 = (x− 4)(2x + 3) + 19;
Identidade (forma 2):
2x2 − 5x + 7
x− 4
= 2x + 3 +
19
x− 4
.
(a) (x3 − x2 + x + 1)÷ (x− 1). (b) (x3 − x2 + x + 1)÷ (x2 − 1).
(c) (x3 − 9x2 + 26x− 24)÷ (x2 − 5x + 6). (d) (x5 − 3x4 − 2x3 + 4x2 − 3)÷ (x4 − x2 − 1).
9. Existe uma forma “prática” para calcular a divisão entre polinômios no caso em que o divisor é da
forma x−a, em que a é um número. Este processo se chama Algoritmo de Briot-Ruffini (ou Disposi-
tivo de Briot-Ruffini). Pesquise sobre esse processo e utilize-o para efetuar as divisões abaixo.
(a) (x3 − x + 3)÷ (x− 2). (b) (x2 − 3x + 2)÷ (x− 1). (c) (x5 + x2 + 1)÷ (x + 3).
10. Descobrir os divisores de um dado polinômio não é uma tarefa fácil. Existe um teorema que diz
quando um dado polinômio é ou não diviśıvel por x − a (e este teorema só vale quando o divisor
é dessa forma). O teorema diz que um dado polinômio é diviśıvel por x − a exatamente quando o
polinômio dado se anula ao substituir a letra x pelo número a. Por exemplo, o polinômio x2− 5x+ 6
é diviśıvel por x−3 pois se trocarmos o x por 3, obtemos 32−5 ·3+6 = 0. Por outro lado, x2−5x+6
não é diviśıvel por x− 1, pois 12− 5 · 1 + 6 = 2 6= 0. Utilize esse racioćınio para, sem fazer a divisão,
dizer se as divisões abaixo são ou não são exatas.
(a) (x2 − 4x + 4)÷ (x− 1). (b) (x2 − 4x + 4)÷ (x− 2).
(c) (x2 − 4x + 4)÷ x. (d) (x2 − 4x + 4)÷ (x + 1).
(e) (x3 − 5x + 7)÷ (x− 1). (f) (x2 − 9)÷ (x− 3).
(g) (x2 − 9)÷ (x + 3). (h) (x2 − 9)÷ (x + 7).
2
11. A ideia da questão anterior pode nos ajudar a procurar os divisores de um polinômio (e, conse-
quentemente, encontrar sua fatoração). Por exemplo, imaginemos que nosso objetivo seja fatorar o
polinômio x3− 9x2 + 26x− 24. Como já dissemos, encontrar seus divisores não é uma tarefa fácil. O
teorema da questão anterior diz que descobriremos um divisor da forma x− a quando encontrarmos
algum número a que substitúıdo no polinômio x3 − 9x2 + 26x− 24 resulte no valor 0. Ainda assim,
encontrar números que fazem o resultado da expressão x3− 9x2 + 26x− 24 ser 0 continua não sendo
uma tarefa fácil. Novamente, recorreremos a um teorema: se algum número em Z anula a expressão
x3 − 9x2 + 26x − 24, então esse número é um divisor do termo independente do polinômio (nesse
caso, divisor de −24). Os divisores inteiros de −24 são: 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, 6, −6, 8, −8, 12,
−12, 24 e −24. Neste caso, testaremos “apenas” essas possibilidades. Substituindo diretamente (ou
usando Briot-Ruffini), verificamos que x3−9x2 + 26x−24 dá resultado 0 quando x é substitúıdo por
2. Com isso, descobrimos que x3−9x2+26x−24 é diviśıvel por x−2. Efetuando a divisão, chegamos
a x3−9x2 + 26x−24 = (x−2)(x2−7x+ 12). Ainda podemos nos perguntar se x2−7x+ 12 também
pode ser fatorado. Como agora o polinômio tem grau 2, temos o recurso da fórmula de Bhaskara. Por
Bhaskara, conclúımos que 3 e 4 são números que fazem x2−7x+ 12 ser 0. Isso diz que x2−7x+ 12 é
diviśıvel por x−3 e por x−4. De fato, é fácil verificar que x2−7x+ 12 = (x−3)(x−4). Voltando à
igualdade x3−9x2 +26x−24 = (x−2)(x2−7x+12), podemos substituir a fatoração de x2−7x+12
para concluir que x3−9x2 +26x−24 = (x−2)(x−3)(x−4). E isso finaliza nossa fatoração. Aplique
esse raciońınio para fatorar os polinômios abaixo.
(a) x3 + 3x2 − 13x− 15. (b) x4 + x3 − 7x2 − x + 6.
O procedimento acima nem sempre funciona, pois os números que anulam um polinômio (esses
números são chamados ráızes do polinômio) podem não ser números inteiros. Nesses casos, o pro-
cedimento acima não conduzirá às ráızes e nem à fatoração. Para polinômios de grau 2, a fórmula
de Bhaskara é responsável por encontrar as ráızes (nessa fórmula, não é necessário ficar “chutando”
valores). Existem fórmulas similares à de Bhaskara para polinômios de graus 3 e 4, chamada de
fórmulas de Cardano (ou Tartaglia-Cardano). Para polinômios de grau maior que 4, está provado
matematicamente que não existe fórmula para determinar as ráızes.
12. Utilize as respostas da questão anterior para simplificar as frações.
(a)
x3 + 3x2 − 13x− 15
x + 5
. (b)
x4 + x3 − 7x2 − x + 6
x3 + 3x2 − 13x− 15
.
13. Analise o sinal dos polinômios de primeiro grau abaixo, seguindo o exemplo abaixo.
Exemplo: 2x− 4.
• Se x > 2, então 2x− 4 > 0 (ou se x ∈ (2,∞), então 2x− 4 > 0).
• Se x = 2, então 2x− 4 = 0 (ou se x ∈ {2}, então 2x− 4 = 0).
• Se x < 2, então 2x− 4 < 0 (ou se x ∈ (−∞, 2), então 2x− 4 < 0).
Observação. Há uma forma visual de representar as três sentenças acima:
2
2x− 4
− +
(a) 3x + 6. (b) −x + 4. (c) 2x + 3.
14. Analise o sinal dos polinômios de segundo grau abaixo, seguindo o exemplo abaixo.
Exemplo: x2 − 5x + 6.
• Se x ∈ (−∞, 2) ∪ (3,∞), então x2 − 5x + 6 > 0.
• Se x ∈ {2, 3}, então x2 − 5x + 6 = 0.
3
• Se x ∈ (2, 3), então x2 − 5x + 6 < 0.
Observação. Há uma forma visual de representar as três sentenças acima:
2 3
x2 − 5x + 6
+ − +
(a) x2 − 6x + 5. (b) x2 − 4. (c) −x2 − 5x + 14.
(d) x2 − 2x + 1. (e) x2 + x + 3. (f) −x2 + x− 3.
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
A. Z. Aranha e M. B. Rodrigues – Exerćıcios de Matemática - vol. 1, Revisão de 1o grau. Segunda
edição, Editora Policarpo, São Paulo, 1998.
4
Universidade Federal de Santa Catarina
Centrode Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
MTM3100 - Pré-cálculo
6a lista de exerćıcios (versão principal) - Equações, solução, conjunto solução, domı́nio
de definição, noções de implicação e equivalência, resolução de equações de primeiro e
segundo graus
Semana 7 (16/09/2019 a 20/09/2019)
1. Em cada item, verifique se o valor fornecido é uma solução da equação
1
x
− 1
x− 4
= 1.
(a) x = 2. (b) x = 4. (c) x = 0. (d) x = −5.
2. Em cada item, escreva (sem resolver) o conjunto solução associado ao que se pede, conforme exemplo
abaixo.
Exemplo. Soluções reais da equação x3 − 3x+ 7 = 4: S = {x ∈ R | x3 − 3x+ 7 = 4}.
(a) Soluções racionais da equação x5 +
√
x = 3x2.
(b) Soluções reais da equação x2 + x4 = −x.
3. Em cada um dos itens, determine o maior subconjunto de R sobre o qual a equação faz sentido,
conforme exemplos abaixo.
Exemplo 1.
√
x = x2 − 1: x ∈ [0,∞).
Exemplo 2.
x
x− 1
=
x2 − 1
x+ 1
: x ∈ R− {−1, 1} = (−∞,−1) ∪ (−1, 1) ∪ (1,∞).
Exemplo 3.
x+ 3
7
= x2 − x+ 18: x ∈ R.
(a)
x+ 1
x− 1
+
2x− 3
2x− 4
=
1
x2 − 1
. (b)
√
x− x+ 1
x− 1
+
2x− 3
2x− 4
=
1
x2 − 1
.
(c)
x
x
= x2 − 3. (d) x
2
x2 + 1
= x2 + x4.
4. Diga se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
(a) Adicionar o mesmo número a cada lado de uma equação sempre conduz a uma equação equi-
valente.
(b) Multiplicar cada lado de uma equação por um mesmo número sempre conduz a uma equação
equivalente.
(c) Elevar ao quadrado ambos os lados de uma equação sempre conduz a uma equação equivalente.
(d) Elevar ao cubo ambos os lados de uma equação sempre conduz a uma equação equivalente.
(e) Assumindo que ambos os lados de uma equação são números não negativos, extrair a raiz
quadrada de ambos os lados da equação sempre conduz a uma equação equivalente.
(f) Extrair a raiz cúbica em ambos os lados de uma equação sempre conduz a uma equação equi-
valente.
(g) Aplicar módulo a ambos os lados de uma equação sempre conduz a uma equação equivalente.
1
5. Em cada item, diga se a passagem efetuada é uma implicação ou uma equivalência (considerando R
como universo de solução), conforme exemplos abaixo.
Exemplo 1. De 2x− 4 = 0 para 2x = 4:
É uma equivalência, pois é posśıvel obter qualquer uma das equações a partir da outra. Neste caso,
usamos a notação 2x− 4 ⇐⇒ 2x = 4.
Exemplo 2. De 2x = 4 para 4x2 = 16:
É uma implicação (da esquerda para a direita), pois a equação 2x = 4 ser verdadeira obriga que
4x2 = 16 também seja verdadeira, mas o oposto não ocorre. Por exemplo, a equação 4x2 = 16 possui
x = −2 como solução, que não é solução de 2x = 4. Neste caso, usamos a notação 2x = 4 =⇒
4x2 = 16. Observação. Note que essas equações não são equivalentes no universo R, mas seriam
equivalentes, por exemplo, em R+.
(a) De
√
x2 = 4 para x = 4. (b) De
3x− 3
x− 1
= x+ 2 para 3 = x+ 2.
(c) De
3x− 3
x− 1
= x+ 2 para 3 = x+ 2 e x 6= 1. (d) De |2x−6| = 7 para 2x−6 = 7 ou 2x−6 = −7.
6. Qual é a utilidade do exerćıcio anterior ao resolver uma equação?
7. Resolva as equações abaixo.
(a) 2x+ 7 = 31. (b) 3 +
1
3
x = 5. (c) −7w = 15− 2w.
(d)
1
2
y − 2 = 1
3
y. (e)
√
3x+
√
12 =
x+ 5√
3
. (f)
3x− 3
x− 1
= x+ 2.
(g) 2x− 3(x− 4) = −x+ 6. (h) 2x− 3(x− 4) = −x+ 12. (i) (x+ 2)(x− 1)
x− 1
= x+ 2.
8. Para resolver equações de segundo grau, há diferentes métodos: fórmula de Bhaskara, completamento
do quadrado, pré-conhecimento de uma fatoração, soma e produto, entre outros. Entender os métodos
ajuda muito a aprender conceitos mais complexos futuramente. Abaixo, há exemplos sendo resolvidos
por cada um dos métodos.
Exemplo 1 (resolução pela fórmula de Bhaskara). x2 − 2x − 15 = 0 ⇐⇒ x = 2−
√
64
2
ou x =
2 +
√
64
2
⇐⇒ x = −3 ou x = 5.
Exemplo 2 (resolução por completamento do quadrado). x2 + 4x = 0 ⇐⇒ (x + 2)2 = 4 ⇐⇒
x+ 2 = 2 ou x+ 2 = −2 ⇐⇒ x = 0 ou x = −4.
Exemplo 3 (resolução por pré-conhecimento de uma fatoração). x2+x−12 = 0 ⇐⇒ (x−3)(x+4) =
0 ⇐⇒ x− 3 = 0 ou x+ 4 = 0 ⇐⇒ x = 3 ou x = −4.
Exemplo 4 (resolução por soma e produto). 2x2 − 14x + 24 = 0 ⇐⇒ S = 7 e P = 12 ⇐⇒
x = 3 ou x = 4.
Observação. Há várias formas de se dar a resposta para um problema do tipo “resolva a equação”.
Neste último exemplo, todas estas opções estão corretas: (1) x = 3 ou x = 4, (2) As soluções são 3
e 4, (3) S = {3, 4}, (4) x ∈ {3, 4}. Por outro lado, dizer que “x = 3 e x = 4” está incorreto. Esta
expressão significa o conjunto vazio (pois não é posśıvel ambas serem verdadeiras ao mesmo tempo).
Você consegue justificar por que usar “e” no lugar de “ou” no item (1) está incorreto e usar “e” no
item (2) está correto?
Resolva as equações abaixo e tente utilizar todos os métodos citados.
(a) x2 + 3x− 4 = 0. (b) x2 − 7x+ 12 = 0. (c) 4x2 − 4x− 15 = 0. (d) 6x(x− 1) = 21− x.
(e) 2x2 = 8. (f) (3x+ 2)2 = 10. (g) w2 = 3(w − 1). (h) 25x2+70x+49 = 0.
2
9. Apenas analisando o discriminante, diga quantas soluções (reais) cada equação abaixo possui.
(a) x2 − 6x+ 1 = 0. (b) 3x2 = 6x− 9. (c) 4x2 + 5x+ 13
8
= 0.
10. Resolva as equações abaixo.
(a)
1
x− 1
+
1
x+ 2
=
5
4
. (b)
10
x
− 12
x− 3
+ 4 = 0. (c)
x2
x+ 100
= 50.
(d)
1
x− 1
− 2
x2
= 0. (e)
x+ 5
x− 2
=
5
x+ 2
+
28
x2 − 4
. (f)
x
2x+ 7
− x+ 1
x+ 3
= 1.
11. Seja m 6= 0. Determine os valores de m para os quais a equação mx2 +(m+1)x+(m+1) = 0 possui
uma única raiz real.
12. As soluções da equação 2x2 − 2mx + 3 = 0 são positivas e uma é o triplo da outra. Determine
m.
13. Em cada item, obtenha uma equação de segundo grau cujas soluções estão indicadas.
(a) 2 e −3. (b) 1
2
e −3
2
.
14. Nas fórmulas abaixo, resolva para a variável indicada, isto é, isole a variável pedida.
(a) PV = nRT para R. (b) F = G
mM
r2
para m. (c) P = 2l + 2w para w.
(d)
1
R
=
1
R1
+
1
R2
para R1. (e)
ax+ b
cx+ d
= 2 para x. (f) V =
1
3
πr2h para r.
15. Se F é a distância focal de uma lente convexa e um objeto é colocado a uma distância x da lente,
então sua imagem estará a uma distância y da lente, em que F , x e y estão relacionados pela equação
1
F
=
1
x
+
1
y
.
Suponha que a distância focal da lente seja 4,8 cm e que a imagem de um objeto está 4 cm mais
próxima da lente do que o próprio objeto. Qual é a distância do objeto à lente?
16. A população de peixes em um certo lago é dada pela fórmula
F = 1000(30 + 17t− t2),
em que F é o número de peixes e t é o número de anos a partir de 01/01/2002.
(a) Em qual data a população de peixes será a mesma de 01/01/2002?
(b) A partir de que data todos os peixes do lago estarão mortos?
17. Um empresário encontrou uma fórmula para calcular seu lucro ao vender x unidades do seu produto.
A fórmula é dada por P =
1
10
x(300−x), em que P representa o lucro e a fórmula só é válida para 0 ≤
x ≤ 200. Qual deve ser a quantidade de unidades vendidas para que o lucro seja R$ 1.250,00?
18. Uma companhia de aluguel de carros cobra R$ 30,00 por dia alugado e mais R$ 0,15 para cada
quilômetro percorrido. Eliane alugou um carro por dois dias e sua conta foi R$ 108,00. Quantos
quilômetros Eliane percorreu?
19. Maria recebeu uma herança de R$ 100.000,00 e investiu em duas aplicações. Uma das aplicações rende
6% e a outra 4,5% de juros ao ano. Se, após um ano, Maria teve um rendimento de R$ 5.025,00 de
juros, qual foi a quantia investida em cada aplicação?
3
20. A diferença entre as dimensões de um terreno retangular é 8m. Sabendo que a área é 2900m2,
determine as dimensões do terreno.
21. Uma pessoa com 1,8m de altura deseja encontrar a altura de um edif́ıcio. Ela mediu o comprimento
de sua sombra e da sombra do edif́ıcio ao mesmo tempo e obteve 1,05m e 8,4m, respectivamente.
Qual é a altura do prédio?
22. Um fabricante de refrigerantes diz na embalagem de seu refrigerante de laranja que 5% do volume do
produto é de suco natural de laranja. Porém, uma novaregulamentação federal indicou que todos os
refrigerantes desse tipo devem conter, no mı́nimo, 10% de suco. Qual é a quantidade de suco natural
que deve ser adicionada a 900ml de refrigerante para que este passe a ter 10% de suco?
23. Uma mulher ganha 15% a mais que seu companheiro. Sabendo que os dois juntos ganham R$ 69.875,00
por ano, qual é o salário anual da mulher?
24. Dois barcos de pesca partem ao mesmo tempo do mesmo local com velocidades constantes. Um deles
viaja no sentido sul e o outro no sentido leste. O barco rumo ao leste está 3 km/h mais rápido que
o outro barco. Sabe-se que após duas horas, a distância entre os barcos é de 30 km. Determine as
velocidades dos dois barcos.
25. Um bambu de 5m de comprimento é fixado ao solo na vertical e quebrado em uma dada altura
de modo que a parte superior cai até tocar o solo formando um triângulo com o solo (os lados do
triângulo são os dois pedaços do bambu e o solo). Sabendo que a distância no solo entre as duas
partes é de 1,5m, qual é o comprimento de cada parte?
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
[1] A. Z. Aranha e M. B. Rodrigues – Exerćıcios de Matemática - vol. 1, Revisão de 1o grau. Segunda
edição, Editora Policarpo, São Paulo, 1998.
[2] J. Stewart, L. Redlin, S. Watson – Precalculus, Mathematics for Calculus. 6a ed., Brooks/Cole
Cengage Learning, Belmont, 2014.
4
Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
MTM3100 - Pré-cálculo
7a lista de exerćıcios (versão principal) - Resolução de equações por substituição de
variável, equações modulares, equações radiciais e problemas aplicados
Semana 8 (23/09/2019 a 27/09/2019)
1. Resolva em R as equações abaixo.
(a) (2x− 4)(x− 3) = 0. (b) (2x− 4)(2x2 − 8) = 0.
(c) (x2 − 7x + 10)(x2 − 25)(−x + 5) = 0.
2. Resolva em R os sistemas de equações abaixo.
(a)
{
2x− 4 = 0
x− 3 = 0. (b)
{
2x− 4 = 0
2x2 − 8 = 0. (c)

x2 − 7x + 10 = 0
x2 − 25 = 0
−x + 5 = 0.
3. Resolva em R as equações abaixo.
(a) (2x− 4)2 + (x− 3)2 = 0. (b) (2x− 4)2 + (2x2 − 8)2 = 0.
(c) (x2 − 7x + 10)2 + (x2 − 25)2 + (−x + 5)2 = 0.
Sugestão. Analise com cuidado antes de sair fazendo um monte de contas!
4. Resolva em R as equações abaixo.
(a) x4 − 13x2 + 40 = 0. (b) 2x4 + 4x2 + 1 = 0.
(c) x6 − 8x3 + 7 = 0. (d) (x− 3)8 − 8(x− 3)4 + 7 = 0.
5. Resolva em R as equações abaixo.
(a) |x + 2| = 3. (b) |3x− 1| = 2. (c) |x2 − 3x− 1| = 3.
6. Resolva em R as equações abaixo.
(a) |3x + 2| = |x− 1|. (b) |x2 + x− 5| = |4x− 1|.
7. Resolva em R as equações abaixo.
(a) |x− 2| = 2x + 1. (b) |3x + 2| = 2x− 3. (c) |2x− 5| = x− 1.
8. Resolva em R as equações abaixo.
(a) |x|2 + |x| − 6 = 0. (b) |x− 3|2 − 5|x− 3|+ 6 = 0.
9. Resolva em R as equações abaixo.
(a) |2x− 3|+ |x + 2| = 4. (b) |x− 2|+ |x− 5| = 3.
10. Resolva em R as equações abaixo.
(a)
√
2x− 3 = 5. (b)
√
1− 2x = 3.
(c)
√
1− 2x = 0. (d)
√
1− 2x = −3.
(e)
√
x2 − 5x + 13 = 3. (f)
√
2x2 − 7x + 6 = 2.
(g)
√
x2 + 5x + 1 + 1 = 2x. (h)
√
5x + 10 = 17− 4x.
1
11. Resolva em R as equações abaixo.
(a)
√
2x + 1 +
√
2x− 4 = 5. (b)
√
x + 1 +
√
x− 1 = 1.
12. Resolva em R as equações abaixo.
(a) 3
√
2x + 1 = 3. (b) 3
√
3x− 5 = 1. (c) 3
√
2x + 5 = −3.
13. Resolva em R as equações abaixo.
(a) ( 3
√
x)2 − 3 3
√
x + 2 = 0. (b) 4
√
x + 2
√
x− 1 = 0.
(c) x− 5
√
x + 6 = 0. (d) 9x + 12
√
x− 5 = 0.
(e)
√
x− 4
√
x− 6 = 0. (f) x1/3 + x1/6 − 2 = 0.
(g) 4(x + 1)1/2 − 5(x + 1)3/2 + (x + 1)5/2 = 0.
14. A população de peixe de um certo lago é dada pela fórmula P = 3t + 10
√
t + 140, em que P é o
número de peixes e t é o número de dias contados a partir de uma data inicial. Após quantos dias a
partir da data inicial a população de peixe atingirá 500?
15. Se um segmento imaginário é desenhado ligando os centros da Terra e da Lua, então a força gravi-
tacional F agindo sobre um objeto situado sobre este segmento e a uma distância x do centro da
Terra é dada por
F = −K
x2
+
0,012K
(382,4− x)2
,
em que K > 0 é uma constante e a distância x é medida em milhares de quilômetros. A que distância
x da Terra está o ponto sobre o segmento no qual a força gravitacional é nula?
16. Um método para determinar a profundidade de um poço é largar uma pedra e medir o tempo que
o som do impacto no fundo leva para ser ouvido. Se d é a profundidade do poço (em metros) e t1
é o tempo de queda da pedra, então d = 4,9t21 e, portanto, t1 =
√
d/2,21 (aproximadamente). Se t2
é o tempo que o som leva para viajar de volta, então t2 = d/340, pois a velocidade do som no ar é
340m/s. Com isso, o tempo total entre o largar da pedra e o momento que o som é ouvido é igual a
t1 + t2 =
√
d
2,21
+
d
340
.
Qual é a profundidade de um tanque em que o tempo total é de 3 s?
17. Uma aeronave voa de Nova Iorque para Los Angeles, cuja distância é 4200 km. Ao fazer o trajeto
oposto (de Los Angeles para Nova Iorque), a velocidade da aeronave é 100 km/h mais rápida que o
voo de ida. Se o tempo total de uma viagem de ida e volta é 13h, qual é a velocidade da aeronave
no trecho de ida?
18. Quando um objeto é solto de uma altura de 100m em relação ao solo, sua altura h após t segundos
é dada por h = 100− 5t2.
(a) Quanto tempo o objeto levará para atingir o solo?
(b) Quanto tempo o objeto levará para atingir metade da distância até o solo?
19. Ao consultar a previsão do tempo e verificar que uma tempestade se aproxima, os funcionários de
uma hidrelétrica verificaram a necessidade de abrir as comportas para diminuir em um metro a altura
da água. Sabe-se que ao abrir a comporta A, são necessárias 4h para completar a tarefa. Por outro
lado, se a comporta B for aberta, são necessárias 6h. Quanto tempo levará para diminuir a altura
da água em um metro se ambas as comportas A e B forem abertas?
2
20. Um fazendeiro construirá um cercado retangular para criar seus animais. O comprimento do cercado
será dobro da largura. Sabendo que o cercado terá 800m2 e que o preço por metro de comprimento
da cerca é R$ 100,00, determine quanto o fazendeiro gastará com o cercado.
21. Ao sair de casa, Rodolfo descobre que pode chegar ao seu compromisso na hora certa se dirigir a
uma velocidade média de 60 km/h. Depois de dirigir 40% da distância original, ele descobre que
estava trafegando a uma velocidade média de apenas 50 km/h. A que velocidade média ele deve
viajar deste momento em diante para chegar na hora certa?
22. Um lojista colocou à venda um produto com 40% de acréscimo em relação ao preço de fábrica.
(a) Como as vendas estavam baixas, no mês seguinte o lojista reduziu o preço do produto em 20%.
Qual é o acréscimo percentual do novo preço do produto em relação ao preço de fábrica?
(b) Considerando o preço do produto após a redução descrita no item (a), qual deve ser o desconto
percentual aplicado para que o produto volte ao preço de fábrica?
23. Uma empresa produz e vende determinado tipo de produto. A quantidade que ela consegue vender
varia conforme o preço, da seguinte forma: a um preço y ela consegue vender x unidades do produto,
de acordo com a equação y = 50 − x
2
. Sabendo que a receita (quantidade vendida vezes o preço de
venda) obtida foi R$ 1.250,00, quantas unidades do produto foram vendidas?
24. Um atleta fará um treino para sua próxima competição da seguinte forma: ele percorrerá uma
distância d a uma velocidade constante de 6 km/h, após isso percorrerá uma mesma distância d
a 12 km/h e, por fim, percorrerá mais 15 km a 12 km/h. Sabendo que o objetivo é que a sua
velocidade média no percurso total seja de 10 km/h, determine o valor de d para que o objetivo seja
alcançado.
25. Quando um objeto é lançada para cima a partir do solo com uma velocidade inicial de 30m/s, sua
altura h após t segundos é dada por h = 30t− 5t2.
(a) Quanto tempo o objeto levará para atingir a altura de 40m?
(b) O objeto atingirá a altura de 50m?(c) Qual a altura máxima atingida pelo objeto?
(d) Quanto tempo o objeto leva para para atingir a altura máxima?
(e) Quanto tempo o objeto leva para para retornar ao solo?
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
[1] G. Iezzi, C. Murakami – Fundamentos de Matemática Elementar. 7a ed., Atual Editora, São
Paulo, 2004.
[2] J. Stewart, L. Redlin, S. Watson – Precalculus, Mathematics for Calculus. 6a ed., Brooks/Cole
Cengage Learning, Belmont, 2014.
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Departamento de Matemática
MTM3100 - Pré-cálculo
8a lista de exerćıcios (versão principal) - Inequações, solução, conjunto solução, noções
de implicação e equivalência, resolução de inequações de primeiro grau, resolução por
análise de sinal, resolução de inequações de segundo grau
Semana 9 (30/09/2019 a 04/10/2019)
1. Em cada um dos itens abaixo, verifique quais elementos do conjunto A =
{
−2,−1, 0, 1
2
, 1,
√
2, 2, 4
}
são soluções das inequações abaixo.
(a) 3− 2x ≤ 1
2
. (b) 2x− 1 ≥ x.
2. Em cada item, escreva (sem resolver) o conjunto solução associado ao que se pede, conforme exemplo
no item (a).
(a) Soluções reais da inequação x3 − 3x + 7 > 4.
S = {x ∈ R | x3 − 3x + 7 > 4}.
(b) Soluções naturais da inequação x5 +
√
x ≤ 3x2.
(c) Soluções reais da inequação 2x− 4 > 0.
(d) Soluções naturais da inequação 2x− 4 > 0.
(e) Soluções inteiras da inequação 2x− 4 > 0.
3. Explicite os conjuntos soluções dos itens (c), (d) e (e) do exerćıcio anterior.
4. Resolva em R as inequações abaixo.
(a) 2x ≤ 7. (b) −4x ≥ 10.
(c) 2x− 5 > 3. (d) 3x + 11 < 5.
(e) 7− x ≥ 5. (f) 5− 3x ≤ −16.
(g)
1
2
x− 2
3
> 2. (h)
2
3
− 1
2
x ≥ 1
6
+ x.
(i) 2(7x− 3) ≤ 12x + 6. (j) x + 2
3
− x− 1
2
≥ x.
(k) (3x+1)(2x+1) ≤ (2x−1)(3x+2)− (4−5x).
5. Resolva em R as inequações simultâneas abaixo.
(a) 2 ≤ x + 5 < 4. (b) −1 < 2x− 5 < 7. (c) −2 < 8− 2x ≤ −1.
(d)
1
6
<
2x− 13
12
≤ 2
3
. (e) x + 1 ≤ 7− 3x < x
2
− 1.
6. Resolva em R as inequações abaixo.
(a) (3x + 3)(5x− 3) > 0. (b) (6x− 1)(2x + 7) ≥ 0.
(c) (5x + 2)(2− x)(4x + 3) > 0. (d) (3− 2x)(4x + 1)(5x + 3) ≥ 0.
(e) −x(x− 1)(2− x)(x− 3)(4− x) > 0.
1
7. Resolva em R as inequações abaixo.
(a) (x− 3)4 > 0. (b) (3x + 8)3 < 0.
(c) (4− 5x)6 < 0. (d) (5x + 1)35 ≤ 0.
(e) (3x + 1)3(2− 5x)5(x + 4)8 > 0. (f) (2x− 4)2(3x− 5)3(x− 3)4 ≤ 0.
8. Resolva em R as inequações abaixo.
(a)
2x + 1
x + 2
> 0. (b)
3x− 2
3− 2x
< 0. (c)
x + 1
−3x− 3
< 0.
(d)
5x− 2
3x + 4
< 2. (e)
3x− 5
2x− 4
≤ 1. (f) x + 1
x− 2
≥ 4.
(g)
3x + 1
(2x + 5)(5x + 3)
< 0. (h)
1− 2x
(5− x)(3− x)
≤ 0. (i) 1
x− 1
<
2
x− 2
.
(j)
x + 5
3x + 2
≤ x− 2
3x + 5
. (k)
2
3x− 1
≥ 1
x− 1
− 1
x + 1
.
9. Resolva em R as inequações abaixo.
(a) x2 − 2x + 2 > 0. (b) −2x2 + 3x + 2 ≥ 0. (c) −x2 + x + 6 > 0.
(d) −x2 + 3
2
x + 10 ≥ 0. (e) 4x2 − 4x + 1 > 0. (f) −4x2 + 12x− 9 ≥ 0.
(g) x2 + 3x + 7 > 0. (h) x2 + 3x + 7 < 0.
10. Determine para que valores de x as expressões abaixo fazem sentido (em R).
(a)
√
2x− 4. (b) 1√
2x− 4
. (c) 4
√
−1− x
−2 + x
. (d)
4
√
−1− x
4
√
−2 + x
.
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
[1] G. Iezzi, C. Murakami – Fundamentos de Matemática Elementar. 7a ed., Atual Editora, São
Paulo, 2004.
[2] J. Stewart, L. Redlin, S. Watson – Precalculus, Mathematics for Calculus. 6a ed., Brooks/Cole
Cengage Learning, Belmont, 2014.
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9a lista de exerćıcios (versão principal) - Resolução de inequações por análise de sinal
e substituição de variável, resolução de inequações modulares e radiciais
Semana 10 (07/10/2019 a 11/10/2019)
1. Resolva em R as inequações abaixo.
(a) (x2 − x− 2)(−x2 + 4x− 3) > 0. (b) (2x2 − 7x + 6)(2x2 − 7x + 5)(3x− 1) ≤ 0.
2. Resolva em R as inequações abaixo.
(a)
4x2 + x− 5
2x2 − 3x− 2
> 0. (b)
−9x2 + 9x− 2
3x2 + 7x + 2
≤ 0. (c) x
2 + 3x− 16
−x2 + 7x− 10
≥ 1.
(d)
2x2 + 4x + 5
3x2 + 7x + 2
< −2. (e) x− 3
x− 2
≤ x− 1. (f) x
x + 1
− x
x− 1
≥ 0.
3. Resolva em R as inequações simultâneas abaixo.
(a) 4 < x2 − 12 ≤ 4x. (b) x2 + 1 ≤ 2x2 − 3 < −5x.
4. Resolva em R as inequações abaixo.
(a) |x| > 2. (b) |x| ≤ 3. (c) |3x− 2| < 4. (d) |3x + 4| ≤ 0.
(e) |2x + 4| < −3. (f) |x2 − 5x + 5| < 1. (g) |x2 − 5x| ≥ 6. (h)
∣∣∣∣2x− 33x− 1
∣∣∣∣ > 2.
5. Resolva em R as inequações abaixo.
(a) |x− 1| − 3x + 7 ≤ 0. (b) |2x + 1|+ 4− 3x > 0. (c) |x2 − 4x| − 3x + 6 ≤ 0.
(d) |2x− 6| − |x| ≤ 4− x. (e) |x− 2| − |x− 3| > x. (f) |x−2|−|x+3| ≤ x2−4x+3.
(g) ||2x + 1| − 3| ≥ 2.
6. Resolva em R as inequações abaixo.
(a)
√
2x + 5 ≤ 3. (b)
√
x2 − x− 2 < 2. (c)
√
4− 3x ≤ x.
(d)
√
x + 5 < x− 1. (e)
√
2x2 − x− 6 ≤ x. (f)
√
3x− 5 ≥ 2.
(g)
√
4x− 3 > −2. (h)
√
4x2 − 13x + 7 > 2. (i)
√
6− x ≥ x.
(j)
√
6x2 + x− 1 > 2x + 1.
7. Resolva em R as inequações abaixo.
(a) 3
√
x2 + 5x + 5 ≤ −1. (b) 5
√
2x− 5 > 2. (c) 3
√
x2 − x + 1 < 3
√
3x− 2.
8. Resolva em R as inequações abaixo.
(a) x4 − 10x2 + 9 ≤ 0. (b) x6 − 7x3 − 8 ≥ 0. (c) |x|2 − |x| − 6 > 0. (d) x− 8
√
x− 9 ≥ 0.
1
9. Determine para que valores de x as expressões abaixo fazem sentido (em R).
(a)
√
−x2 + 1
x2 − 2x− 15
. (b)
√
(x− 3)(x2 + 2x− 8)
x2 + 4x + 3
.
(c)
√
−x2 + 1
x2 − 2x− 15
−
√
(x− 3)(x2 + 2x− 8)
x2 + 4x + 3
.
Comentário sobre os exerćıcios a seguir. É comum não reconhecer quando um enunciado de um
problema aplicado dá origem a uma inequação. Vamos observar o exerćıcio abaixo como exemplo.
O problema pede a nota para ser aprovado. Note que, para isso, a média não precisa ser igual a 7,0,
precisa ser maior ou igual a 7,0. Assim, a interpretação correta do problema é: que nota deve ser
tirada na terceira avaliação para que sua média seja maior ou igual a 7,0. Ao resolver essa inequação,
descobrimos que a nota deve ser “maior ou igual a” um certo valor. Isto é completamente diferente
de dizer que a nota deve ser um certo valor. Apesar de que nesse problema é óbvio que quanto mais
alta a nota, melhor, há muitos problemas em que essa intuição não se aplica.
10. Em uma escola, a nota final é a média ponderada de três avaliações, sendo a primeira avaliação
com peso 1, a segunda com peso 2 e a terceira com peso 3. Para ser aprovado, um aluno deve ter
média maior ou igual a 7,0. Se um aluno teve notas 6,3 e 4,5 na primeira e segunda avaliações,
respectivamente, qual deverá ser a sua nota na terceira avaliação para que seja aprovado?
11. Duas unidades de medida de temperatura são graus Celsius (◦C) e graus Fahrenheit (◦ F ). Sabe-se
que 0◦C = 32◦ F , 100◦C = 212◦ F e que a conversão é feita de forma linear.
(a) Qual é a faixa de temperatura em graus Fahrenheit que corresponde à faixa de 20◦C a 30◦C?
(b) Qual é a faixa de temperatura em graus Celsius que corresponde à faixa de 50◦ F a 95◦ F?
12. Uma empresa de telefonia móvel oferece dois planos mensais em suas linhas.
• Plano A. Mensalidade de R$ 60,00 mais R$ 0,05 para cada minuto utilizado.
• Plano B. Mensalidade de R$ 25,00 mais R$ 0,12 para cada minuto utilizado.
Descreva as situações em que cada plano é mais vantajoso de acordo com o número de minutos
utilizados.
13. A força gravitacional F exercida pela Terra sobre um objeto de massa 100 kg é dada por
F =
4 · 106
d2
,
em que d é a distância (em km) do objeto até o centro da Terra e a força F é medida em Newtons. Para
quais distâncias a força gravitacional exercida sobre o objeto está entre 4 · 10−4N e 10−2N?
14. Nas proximidades de uma fogueira, a temperatura T medida em ◦C a uma distância de x metros a
partir do centro do fogo é dada por
T =
600000
x2 + 300
.
Para quais distâncias a temperatura é menor ou igual a 500◦C?
15. A eficiência E de um dado automóvel, medida em km/l, é dada por E = 4,2 + 0,24v − 0,0017v2,
em que v é a velocidade do automóvel medida em km/h e a fórmula é válida para velocidades de15 km/h a 120 km/h. Para que faixa de velocidade a eficiência do automóvel é maior ou igual a
12,5 km/l?
2
16. Se uma empresa vende x unidades de um certo produto, então a receita R e o custo C (em reais)
são dados por R = 20x e C = 2000 + 8x +
x2
400
. Sabendo que o lucro é a diferença entre a receita
e o custo, determine quantas unidades a empresa deve vender para que seu lucro seja, no mı́nimo,
R$ 2.400,00.
17. Para a criação de ovelhas, as normas recomendam que o espaço destinado tenha, no mı́nimo, 10m2
de área para cada animal. Observação. Este valor é fict́ıcio, não corresponde à realidade.
(a) Em um terreno retangular de dimensões 36m e 14m, qual é a quantidade de ovelhas que podem
ser criadas dentro das normas?
(b) José deseja cercar um terreno retangular para criar 3000 ovelhas. Sabendo que o comprimento
do terreno terá 50 metros a mais do que a largura, determine quantos metros de cerca José
precisará para se adequar às normas.
18. Renan e Tháıs possuem dois filhos: André e Bianca. Tháıs tem 15 anos a mais que Renan e Bianca
possui 10 anos a menos que André. Além disso, André tem a metade da idade de seu pai e o quadrado
da idade de Bianca é maior que a idade de sua mãe. Quais são os posśıveis valores para a idade de
André?
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
[1] G. Iezzi, C. Murakami – Fundamentos de Matemática Elementar. 7a ed., Atual Editora, São
Paulo, 2004.
[2] J. Stewart, L. Redlin, S. Watson – Precalculus, Mathematics for Calculus. 6a ed., Brooks/Cole
Cengage Learning, Belmont, 2014.
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MTM3100 - Pré-cálculo
10a lista de exerćıcios (versão principal) - Definição de função, domı́nio,
contradomı́nio, imagem, gráfico, funções elementares (constante, afim, quadrática,
potência, radicial, definida por partes, modular), operações com funções, paridade,
injetividade, sobrejetividade, bijetividade, função inversa, técnicas para construção de
gráficos
Semanas 11 a 13 (14/10/2019 a 01/11/2019)
1. Sejam A e B conjuntos. Defina o que é uma função de A em B. Como são chamados os conjuntos
A e B? Defina conjunto imagem.
2. Diga quais das tabelas abaixo representam uma função com domı́nio A = {−1, 0, 2, 4} e contrado-
mı́nio B = N. Nos casos que são funções, determine o conjunto imagem.
(a)
−1 1
0 3
2 −1
4 0
(b)
−1 1
0 0
2 3
4 0
(c)
−1 1
0 3
2 3
4 0
0 0
(d)
−1 1
2 3
4 0
(e)
0 5
4 2
2 9
−1 2
(f)
4 5
1 2
2 9
−1 2
0 0
3. Diga quais dos conjuntos abaixo representam uma função com domı́nio A = {−1, 0, 1, 2, 4} e contra-
domı́nio B = Z. Nos casos que são funções, determine o conjunto imagem.
(a) {(−1, 2), (2, 3), (1, 2), (4, 0), (0, 4)}. (b) {(−1, 2), (2, 3), (1, 2), (4, 0), (0, 4), (2, 0)}.
(c) {(−1, 2), (2, 3), (1, 2), (0, 4)}. (d) {(−1, 2), (2, 3), (1,−2), (4, 0), (0, 4)}.
(e) {(−1, 2), (2, 3), (1, 2), (4, 2/3), (0, 4)}. (f) {(−1, 2), (2, 3), (1, 2), (4, 2), (0, 4), (3, 3)}.
(g) {(x, x + 1) | x ∈ A}.
4. Diga quais dos gráficos abaixo representam uma função com domı́nio A = {−2,−1, 0, 1, 2} e contra-
domı́nio B = Z. Nos casos que são funções, determine o conjunto imagem.
(a)
1
1
x
y
(b)
1
1
x
y
(c)
1
1
x
y
1
(d)
1
1
x
y
(e)
1
1
x
y
(f)
1
1
x
y
5. Diga quais dos gráficos abaixo representam alguma função. Nos casos que são funções, determine o
domı́nio.
(a)
1
1
x
y
(b)
1
1
x
y
(c)
1
1
x
y
(d)
1
1
x
y
(e)
1
1
x
y
(f)
1
1
x
y
(g)
1
1
x
y
(h)
1
1
x
y
6. Os gráficos abaixo representam funções. Determine o domı́nio e a imagem de cada uma delas.
(a)
1
1
x
y
(b)
1
1
x
y
(c)
1
1
x
y
(d)
1
1
x
y
2
7. Em cada um dos itens abaixo, calcule o que se pede.
(a) f : R −→ R dada por f(x) = x2 − 6. Calcule f(−3), f(3), f(0), f(1
2
), f(10).
(b) f : R −→ R dada por f(x) = 2x + 1. Calcule f(1), f(−2), f(1
2
), f(�), f(a), f(−a), f(a + b).
8. Em cada um dos itens abaixo, diga se estão ou não bem definidos (isto é, se são ou não funções).
(a) f : R −→ R+ dada por f(x) = 1− x2.
(b) f : R −→ R dada por f(x) = 1− x2.
(c) f : [−1, 1] −→ R+ dada por f(x) = 1− x2.
(d) f : R −→ R dada por f(x) =
√
3x− 5− 3.
(e) f : [5/3,∞) −→ R dada por f(x) =
√
3x− 5− 3.
(f) f : [4,∞) −→ R dada por f(x) =
√
3x− 5− 3.
(g) f : [5/3,∞) −→ [−3,∞) dada por f(x) =
√
3x− 5− 3.
Observação. Para explicações sobre como fazer, veja a versão complementar da lista.
9. Encontre o domı́nio das funções nos itens abaixo.
(a) f(x) = 3x + 2. (b) f(x) =
1
x + 2
. (c) f(x) =
√
x− 1.
(d) f(x) =
1√
x + 2
. (e) f(x) =
1√
x + 2− 1
. (f) f(x) =
x2
x2 − 1
−
√
x + 1
x− 1
.
Observação. Para explicações sobre como fazer, veja a versão complementar da lista.
10. Faça o gráfico das funções abaixo.
(a) f(x) = −3. (b) f(x) =
√
2.
11. Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaixo.
(a) f(x) = 2x− 1. (b) f(x) = 2x− 3
2
. (c) f(x) = −3x− 4. (d) f(x) = 4− 3x
2
.
(e) f : (−∞, 2) −→ R dada por f(x) = 2x− 1.
12. Para as funções do exerćıcio anterior, determine os pontos do eixo das abscissas e do eixo das
ordenadas que pertencem ao gráfico.
13. Em cada item, encontre um equação para a reta que passa pelos pontos dados.
(a) (2, 3) e (3, 5). (b) (1,−1) e (−1, 2).
14. Encontre a regra de formação das funções representadas nos gráficos abaixo.
(a)
1
1
x
y
(b)
1
1
x
y
3
15. Seja f uma função afim, isto é, f(x) = ax+b. Sabendo que f(−1) = 3 e f(1) = 1, calcule f(3).
16. Determine uma equação para a reta que passa por (−2, 4) e tem coeficiente angular igual a −3.
17. Determine uma equação para a reta que passa por (−2, 1) e tem coeficiente linear igual a 4.
18. Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaixo. Identifique os pontos em que o
gráfico intersecta os eixos coordenados e os pontos nos quais há uma mudança no comportamento
do gráfico (por exemplo, um vértice de uma parábola).
(a) f(x) = x2. (b) f(x) = −x2. (c) f(x) = x2 − 2x.
(d) f(x) = −3x2 − 3. (e) f(x) = −x2 − 2x + 1. (f) f(x) = x2 − 4x + 4.
19. Determine a função quadrática f que satisfaz f(−1) = −4, f(1) = 2 e f(2) = −1.
20. Determine a função quadrática f com ráızes −2 e 3 e que satisfaz f(1) = −6.
21. Faça o gráfico das funções f(x) = xn e g(x) = n
√
x, para n ∈ {1, 2, 3, 4, 5}. Você consegue encontrar
algum padrão de formação nesses gráficos que possa ser usado para outros valores de n?
22. Para cada uma das funções abaixo, determine o domı́nio, calcule f(1) (se 1 pertencer ao domı́nio),
faça o gráfico e determine o conjunto imagem.
(a) f(x) =
{
1, se x ≤ 1
x + 1, se x ≥ 2. (b) f(x) =

−1, se x < −1
x, se − 1 ≤ x ≤ 1
1, se x > 1.
(c) f(x) =
{
3x− 2, se − 3 ≤ x < 0
x2 − 4, se 0 < x ≤ 3.
23. Faça o gráfico das funções abaixo.
(a) f(x) = |x|. (b) f(x) = |5x− 3|. (c) f(x) = |x− 2|+ |x− 5|.
24. Nas equações abaixo, diga se a variável y pode ser escrita como função de x.
(a) x2 + 2y = 4. (b) 3x + 7y = 21. (c) x = y2. (d) x2 + (y − 1)2 = 4.
(e) x2y + y = 1. (f)
√
x + y = 12. (g) x = y3. (h) x = y4.
Observação. Para explicações sobre como fazer, veja a versão complementar da lista.
25. Em cada item, determine as funções f + g, f − g, fg, f/g e 2f e encontre seus domı́nios.
(a) f(x) = x− 3 e g(x) = x2. (b) f(x) =
√
4− x2 e g(x) =
√
x + 1.
Observação. Para explicações sobre como fazer, veja a versão complementar da lista.
26. Considere as funções f(x) = 3x− 5 e g(x) = 2− x2. Calcule o que se pede.
(a) f(g(0)). (b) g(f(0)). (c) f(f(4)). (d) g(g(3)). (e) f(2− x2). (f) f(g(x)).
27. Considere as funções f e g cujos gráficos estão representados abaixo. Calcule o que se pede (se fizer
sentido).
1
1
g
f
x
y
4
(a) f(g(2)). (b) g(f(0)). (c) g(f(4)). (d) f(g(0)).
(e) g(g(−2)). (f) f(f(4)). (g) g(f(−1)). (h) g(f(6)).
28. Nos itens abaixo, determine as funções f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f e g ◦ g eseus domı́nios.
(a) f(x) = 2x + 3 e g(x) = 4x− 1. (b) f(x) = x3 + 2 e g(x) = 3
√
x.
(c) f(x) = x2 e g(x) =
√
x− 3. (d) f(x) = x
x + 1
e g(x) = 2x− 1.
Observação. Para explicações sobre como fazer, veja a versão complementar da lista.
29. Nos itens abaixo, determine a regra de formação da função f ◦ g ◦ h (não é necessário encontrar o
domı́nio).
(a) f(x) = x− 1, g(x) =
√
x e h(x) = x− 1. (b) f(x) = 1
x
, g(x) = x3 e h(x) = x2 + 2.
30. Expresse as funções abaixo como f ◦ g.
(a) F (x) = (x2 − 1)4. (b) F (x) =
√
x + 1.
Observação. Para explicações sobre como fazer, veja a versão complementar da lista.
31. Complete o gráfico da função em que uma parte do gráfico está desenhada abaixo, sabendo que:
1
1
x
y
(a) A função é par. (b) A função é ı́mpar.
Observação. Para explicações sobre como fazer, veja a versão complementar da lista.
32. Determine quais funções são pares, quais são ı́mpares ou nem uma nem outra.
(a) f(x) = x2 + x. (b) f(x) = x4 − 2x2 + 2.
(c) f(x) = x5 − x3. (d) f(x) = 3x3 + 2x2 + 1.
Observação. Para explicações sobre como fazer, veja a versão complementar da lista.
33. Ao gráfico de uma função, qual é a vantagem de saber previamente se uma função é par ou ı́m-
par?
5
34. Diga quais das funções abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras, considerando R como contra-
domı́nio para todas elas.
(a)
x
y
(b)
x
y
(c)
x
y
(d)
x
y
(e)
x
y
(f)
x
y
35. Determine quais das funções abaixo são injetoras. Se a resposta for positiva, determine o conjunto
imagem e encontre a função inversa (para isso, considere o contradomı́nio igual à imagem).
(a) f(x) = −2x + 4. (b) f(x) =
√
x. (c) f(x) = −
√
x. (d) f(x) = x2 − 2x.
36. Todas as funções abaixo são injetoras (verifique!). Encontre a inversa dessas funções (assumindo
contradomı́nio igual ao conjunto imagem).
(a) f(x) = 2x + 1. (b) f(x) = 5− 4x3.
(c) f(x) =
x− 2
x + 2
. (d) f(x) =
4x− 2
3x + 1
.
(e) f(x) = x2 + x, com x ≥ −1/2. (f) f(x) =
√
9− x2, com 0 ≤ x ≤ 3.
37. Nos itens abaixo, faça o gráfico da inversa da função cujo gráfico está representado.
(a)
x
y
(b)
x
y
6
38. Considere g(x) = 3x− 2 e h(x) = x2 − 3x + 4.
(a) Encontre uma função f tal que g ◦ f = h. (b) Encontre uma função f tal que f ◦ g = h.
39. Como você resolveria o exerćıcio anterior de forma genérica? Por exemplo, no item (a), dadas funções
g e h, qual é a função f que satisfaz g ◦ f = h?
40. Nos itens abaixo, explique como obter o gráfico da função g a partir do gráfico da função f .
(a) f(x) = x2 e g(x) = x2 + 2. (b) f(x) = x2 e g(x) = (x + 2)2.
(c) f(x) = |x| e g(x) = |x + 2| − 2. (d) f(x) = |x| e g(x) = |x− 2|+ 2.
(e) f(x) =
√
x e g(x) = −
√
x + 1. (f) f(x) =
√
x e g(x) =
√
−x + 1.
41. Use o gráfico da função f(x) = x2 para desenhar o gráfico das funções abaixo.
(a) g(x) = x2 + 1. (b) g(x) = (x− 1)2. (c) g(x) = −x2. (d) g(x) = (x− 1)2 + 3.
42. Use o gráfico da função f(x) =
√
x para desenhar o gráfico das funções abaixo.
(a) g(x) =
√
x− 2. (b) g(x) =
√
x + 1. (c) g(x) =
√
x + 2 + 2. (d) g(x) = −
√
x + 1.
43. Faça o gráfico das funções abaixo relacionando o gráfico procurado com um gráfico já conhecido.
(a) f(x) = x2 − 1. (b) f(x) = 3
√
x + 1. (c) f(x) = (x− 5)2.
(d) f(x) =
√
x + 4. (e) f(x) = −x3. (f) f(x) = −|x|.
(g) f(x) = 4
√
−x. (h) f(x) = 3
√
−x. (i) f(x) =
√
x + 4− 3.
(j) f(x) = 3− 1
2
(x− 1)2. (k) f(x) = 2−
√
x + 1.
44. Associe os gráficos dos itens (I)-(IV) às funções dos itens (a)-(d).
x
y(I)
x
y(II)
x
y(III)
x
y(IV)
7
(a) f(x) = |x + 1|. (b) g(x) = |x− 1|. (c) h(x) = |x| − 1. (d) k(x) = −|x|.
45. Nos itens abaixo, o gráfico da função f está em vermelho e o da função g em azul. Encontre a regra
de formação de g a partir de f .
(a) f(x) = x2.
x
y
(b) f(x) = |x|.
x
y
(c) f(x) =
√
x.
x
y
(d) f(x) = x2.
x
y
46. Nos itens abaixo, diga os intervalos de crescimento e decrescimento das funções.
(a)
1
1
x
y
(b)
1
1
x
y
(c)
1
1
x
y
Observação. Para explicações sobre como fazer, veja a versão complementar da lista.
47. Encontre a taxa de variação média das funções abaixo entre os valores indicados.
(a) f(x) = x2 − 4x + 3, a = 0, b = 3. (b) f(x) = x2 − 4x + 3, a = 0, b = 4.
Observação. Para explicações sobre como fazer, veja a versão complementar da lista.
48. No item (a) da questão anterior, encontre a equação da reta que passa pelos pontos (a, f(a)) e
(b, f(b)). Você notou alguma relação entre essa reta e a taxa de variação média calculada? Essa
relação vale sempre?
8
49. Para cada uma das funções abaixo, calcule e simplifique (se posśıvel) o quociente
f(a + h)− f(a)
h
.
Considere a, a + h ∈ Dom(f) e h 6= 0. Observe o exemplo abaixo.
Exemplo. f(x) = 3x + 2.
Solução. Note que f(a) = 3a + 2 e que f(a + h) = 3(a + h) + 2. Assim,
f(a + h)− f(a)
h
=
3(a + h) + 2− (3a + 2)
h
=
3h
h
= 3.
(a) f(x) = x2 + 1. (b) f(x) =
√
x.
50. Para as mesmas funções do exerćıcio anterior, calcule e simplifique (se posśıvel) o quociente
f(x)− f(a)
x− a
.
Considere x, a ∈ Dom(f) e x 6= a. Observe o exemplo abaixo.
Exemplo. f(x) = 3x + 2.
Solução. Note que f(x) = 3x + 2 e que f(a) = 3a + 2. Assim,
f(x)− f(a)
x− a
=
3x + 2− (3a + 2)
x− a
=
3(x− a)
x− a
= 3.
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
[1] G. Iezzi, C. Murakami – Fundamentos de Matemática Elementar. 7a ed., Atual Editora, São
Paulo, 2004.
[2] J. Stewart, L. Redlin, S. Watson – Precalculus, Mathematics for Calculus. 6a ed., Brooks/Cole
Cengage Learning, Belmont, 2014.
9
Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
MTM3100 - Pré-cálculo
11a lista de exerćıcios (versão principal) - Função exponencial, logaritmo, função
logaŕıtmica, equações e inequações exponenciais e logaŕıtmicas
Semanas 14 e 15 (04/11/2019 a 15/11/2019)
1. Considere f(x) = 5x. Calcule f(1), f(2), f(3), f(0), f(−1), f(−3), f(1/2) e f(−3/5).
2. Associe os gráficos (I)-(IV) às funções (a)-(d).
x
y
(I)
x
y
(II)
x
y
(III)
x
y
(IV)
(a) f(x) = 2x. (b) g(x) = 2−x. (c) h(x) = −2x. (d) k(x) = −2−x.
3. Faça o gráfico das funções abaixo montando uma tabela de valores. Se necessário, use uma calcula-
dora.
(a) f(x) = 3x. (b) f(x) =
(
1
2
)x
.
1
4. Em cada item, faça o gráfico das funções em um mesmo plano.
(a) f(x) = 2x e g(x) = 2−x. (b) f(x) = 4x e g(x) = 7x.
5. Em cada item, encontre a função exponencial f(x) = ax cujo gráfico está representado.
(a)
1
(2, 9)
x
y
(b)
1 (2, 1/16) x
y
6. Utilize as técnicas de construção de gráficos para fazer o gráfico das funções abaixo.
(a) f(x) = −3x. (b) f(x) = 10−x. (c) f(x) = 2x − 3. (d) f(x) = 2x−3.
(e) f(x) = 4 +
(
1
2
)x
. (f) f(x) = 6− 3x. (g) f(x) = 1− ex. (h) f(x) = −ex−1 − 2.
7. Uma cultura de bactérias contém, inicialmente, 1500 bactérias e dobra de população a cada hora.
(a) Encontre uma função que modela o número de bactérias após t horas.
(b) Encontre o número de bactérias após 24 horas.
8. Seu professor de matemática pediu para fazer o gráfico da função f(x) = 2x para x de 0 a 40 usando
uma escala de 10 unidades para cada cent́ımetro da folha. Quais são as dimensões da folha necessária
para o gráfico?
9. Quando um certo medicamento é administrado a um paciente, o número de miligramas do medi-
camento na corrente sangúınea do paciente após t horas da aplicação é dado por D(t) = 50e−0,2t.
Quantos miligramas do medicamento restarão na corrente sangúınea 3 horas após a aplicação?
10. Uma certa espécie de ratos foi introduzida em uma pequena ilha com uma população inicial de 320
ratos. Medições indicam que a população de ratos dobra a cada ano.
(a) Encontre uma função que modela o número de ratos após t anos.
(b) Encontre o número de ratos após 8 anos.
11. R$ 100.000,00 foram aplicados em um fundo com rendimento de 8% aoano. Determine o valor
resgatado após 6 anos.
12. Generalize o problema anterior considerando C o capital aplicado, i a taxa de rendimento por peŕıodo,
n o número de peŕıodos e M o montante resgatado após n peŕıodos.
13. Qual é a taxa de rendimento anual equivalente a uma taxa de rendimento mensal de 0,7%?
14. Qual é a taxa de rendimento mensal equivalente a uma taxa de rendimento anual de 10%?
15. Uma substância radioativa decai de tal forma que o número de quilogramas remanescentes após t
dias é dado por m(t) = 13e−0,015t.
2
(a) Qual é a massa no instante inicial?
(b) Qual é a massa remanescente após 45 dias?
(c) Quanto de massa decaiu em 45 dias?
16. Reescreva as identidades abaixo utilizando logaritmos.
(a) 53 = 125. (b) 10−4 = 0,0001. (c) ex+1 = 0,5. (d) e0,5x = t.
17. Reescreva as identidades abaixo utilizando a forma exponencial.
(a) log5 25 = 2. (b) log5 1 = 0. (c) ln(x + 1) = 2. (d) ln(x− 1) = 4.
18. Calcule o valor das expressões abaixo.
(a) log3 3. (b) log3 1. (c) log3 3
2. (d) log7 7
10. (e) log
√
10.
(f) log5 0,2. (g) log9
√
3. (h) 10log 5. (i) ln e4. (j) ln
1
e
.
19. Utilize a definição do logaritmo para determinar x.
(a) log2 x = 5. (b) log 0,1 = x. (c) log3 x =
3
5
. (d) lnx = 3. (e) logx 3 =
1
3
.
20. Diga quais itens são verdadeiros ou falsos (assuma que todas as variáveis abaixo são números posi-
tivos).
(a) log
x
y
=
log x
log y
. (b) log2(x− y) = log2 x− log2 y.
(c) log5
a
b2
= log5 a− 2 log5 b. (d) log 2z = z log 2.
(e) (logP )(logQ) = logP + logQ. (f)
log a
log b
= log a− log b.
(g) (log2 7)
x = x log2 7. (h) loga a
a = a.
(i) log(x− y) = log x
log y
. (j) − ln 1
A
= lnA.
21. Utilize as propriedades dos logaritmos para determinar o valor das expressões abaixo.
(a) log3
√
27. (b) log 4 + log 25. (c) log4 192− log4 3.
22. Utilize as propriedades dos logaritmos para expandir as expressões abaixo.
(a) log2(2x). (b) log2(x(x− 1)). (c) log2(AB2).
(d) log2(xy)
10. (e) ln
3
√
3r2s. (f) log
√
x2 + 4
(x2 + 1)(x3 − 7)2
.
23. Utilize as propriedades dos logaritmos para combinar as expressões abaixo.
(a) log3 5 + 5 log3 2. (b) log2A + log2B − 2 log2C.
(c) log5(x
2 − 1)− log5(x− 1). (d) 4 log x−
1
3
log(x2 + 1) + 2 log(x− 1).
24. Simplifique (log2 5)(log5 7).
25. Encontre o domı́nio das funções abaixo.
(a) f(x) = log(x + 3). (b) f(x) = log3(x
2 − 1).
(c) f(x) = ln x + ln(2− x). (d) f(x) = logx−3(x2 − 1).
3
26. Encontre a função logaŕıtmica f(x) = loga x cujo gráfico está representado.
(a)
1
(5, 1)
x
y
(b)
1 (2,−1)
x
y
27. Utilize as técnicas para construção de gráficos para fazer o gráfico das funções abaixo.
(a) f(x) = log2(x− 4). (b) f(x) = − log x. (c) f(x) = log5(−x). (d) f(x) = ln(x + 2).
28. A idade de um artefato antigo pode ser determinada pela quantidade de carbono-14 remanescente.
Se D0 é a quantidade original de carbono-14 e D é a quantidade remanescente, então a idade A (em
anos) do artefato pode ser calculada por
A = −8267 ln
(
D
D0
)
.
Determine a idade de um objeto cuja quantidade de carbono-14 remanescente é 73% da quantidade
original.
29. Calcule log 1, log 10, log 100, etc. e observe que o resultado é uma unidade a mais que o número de
algarismos do número de entrada. Considere, agora, um número qualquer, por exemplo 32516. Como
a função logaritmo é crescente, então log 10000 < log 32516 < log 100000 e, portanto, 4 < log 32516 <
5. Seguindo este racioćınio, conclúımos que se um número inteiro N possui n algarismos, então
n− 1 ≤ logN < n. Utilize essa ideia para descobrir quantos algarismos possui o número 2200.
30. Resolva as equações abaixo.
(a) 2x = 32. (b) 2x =
1
4
. (c) 2x = 5
√
4. (d) 2x = 1.
(e) 2x = −2. (f) ( 3
√
5)x =
1
4
√
125
. (g) 10x = 25. (h) e−2x = 7.
(i) 21−x = 3. (j) 5x = 4x+1. (k) 7x/2 = 51−x. (l)
50
1 + e−x
= 4.
31. Resolva as equações abaixo.
(a) e2x − 3ex + 2 = 0. (b) ex − 12e−x − 1 = 0.
(c) x22x − 2x = 0. (d) x210x − x10x = 2 · 10x.
32. Resolva as equações abaixo.
(a) lnx = 10. (b) ln(2 + x) = 1.
(c) log x = −2. (d) log(x− 4) = 3.
(e) log2(x
2 − x− 2) = 2. (f) log2 3 + log2 x = log2 5 + log2(x− 2).
(g) log5(x + 1)− log5(x− 1) = 2. (h) ln(x− 1) + ln(x + 2) = 1.
(i) log2(log3 x) = 4.
4
33. Resolva as inequações abaixo.
(a) 2x < 3. (b)
(
1
3
)2x−1
≤ 4. (c) 4−x < −1.
(d) lnx ≥ 3. (e) log1/4 x > −1. (f) x2ex − 2ex < 0.
34. Encontre a inversa das funções abaixo.
(a) f(x) = 22x. (b) f(x) = log2(x− 1).
35. A pressão atmosférica P (medida em kPa) a uma altura h (medida em km) é dada pela fórmula
ln
(
P
P0
)
= −h
k
,
em que k = 7 km e P0 = 100 kPa são constantes.
(a) Determine P (h), isto é, escreva P em função de h.
(b) Utilize o item (a) para determinar a pressão a uma altura de 4 km.
36. Suponha que você esteja dirigindo o seu carro em um dia muito frio (temperatura ambiente de 5◦C)
e o motor do seu carro superaqueceu (chegou a 105◦C). Você estaciona e espera o motor esfriar. A
equação que governa a temperatura T (em ◦C) do motor após t minutos parado é dada por
ln
(
T − 5
100
)
= −0,11t.
(a) Determine T (t), isto é, escreva T em função de t.
(b) Utilize o item (a) para determinar a temperatura do motor após 20 minutos.
37. Um circuito elétrico é formado por uma bateria de 60V , um resistor de 10 Ω e um indutor de 5H
colocados em série. Usando cálculo e as leis f́ısicas que governam o sistema, é posśıvel mostrar que
a corrente I (em A) t segundos após o circuito ser ligado é dada por
I =
60
13
(1− e−13t/5).
(a) Determine t(I), isto é, escreva t em função de I.
(b) Após quantos segundos a corrente será de 2A?
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
J. Stewart, L. Redlin, S. Watson – Precalculus, Mathematics for Calculus. 6a ed., Brooks/Cole
Cengage Learning, Belmont, 2014.
5
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Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
MTM3100 - Pré-cálculo
12a lista de exerćıcios (versão principal) - Funções, identidades, equações e inequações
trigonométricas
Semanas 16 e 17 (18/11/2019 a 29/11/2019)
1. Converta de graus para radianos ou vice-versa.
(a) 72◦. (b) −45◦. (c) 7π
6
rad. (d) −5π
4
rad.
2. Sabendo que os pontos abaixo pertencem ao ćırculo unitário, determine a componente que está
faltando.
(a) P =
(
−3
5
, y
)
e P pertence ao 3o quadrante. (b) P =
(
x,− 7
25
)
e P pertence ao 4o quadrante.
(c) P = (1, y). (d) P = (x,−1).
3. Determine o ponto terminal dos valores de t abaixo.
(a) t = 3π. (b) t = 0. (c) t = −π. (d) t = 3π
2
.
(e) t =
5π
6
. (f) t = −3π
2
. (g) t =
2π
3
. (h) t = −3π
4
.
4. Determine o número de referência dos valores de t abaixo.
(a) t =
4π
3
. (b) t = −2π
3
. (c) t =
7π
3
. (d) t =
13π
6
. (e) t = −11π
3
. (f) t = −41π
4
.
5. Determine o ponto terminal de t̄ e t do exerćıcio 4..
6. Sabe-se que o ponto terminal de t é
(
3
5
, 4
5
)
. Determine o ponto terminal de:
(a) π − t. (b) π + t. (c) −t. (d) 2π + t.
7. Determine (se fizer sentido) sen t, cos t, tg t, cotg t, sec t e cossec t para os valores de t abaixo.
(a) t = 0. (b) t =
π
2
. (c) t = −π
2
.
8. Determine sen t, cos t, tg t, cotg t, sec t e cossec t para os valores de t abaixo.
(a) t =
π
4
. (b) t =
3π
4
. (c) t =
5π
4
.
9. Determine sen t, cos t, tg t, cotg t, sec t e cossec t para os valores de t abaixo.
(a) t =
π
6
. (b) t =
5π
6
. (c) t =
7π
6
.
10. Determine sen t, cos t, tg t, cotg t, sec t e cossec t para os valores de t abaixo.
(a) t =
π
3
. (b) t =
2π
3
. (c) t =
4π
3
.
11. Em cada item, determine o valor das outras funções trigonométricas em t sabendo o valor de uma
delas e o quadrante do ponto terminal de t.
1
(a) sen t = 3/5 com terminal de t no segundo quadrante.
(b) cos t = −1/5 com terminal de t no terceiro quadrante.
(c) tg t = −7 com terminal de t no quarto quadrante.
12. Sabendo que o ponto terminal de t está no segundo quadrante, escreva cos t e tg t em função de
sen t.13. Faça o gráfico das funções senx, cosx, tg x, cotg x, secx e cossecx. Determine o domı́nio, a imagem,
o peŕıodo e a paridade de cada uma delas.
14. Usando a paridade das funções trigonométricas observada nos gráficos acima, reescreva as expressões
abaixo.
(a) sen(−x). (b) cos(−x). (c) tg(−x). (d) cotg(−x). (e) sec(−x). (f) cossec(−x).
15. Utilize as técnicas de construção de gráficos para fazer o gráfico das funções abaixo.
(a) f(x) = 1 + cosx. (b) f(x) = 4− 2 senx.
16. Utilize as técnicas de construção de gráficos para fazer o gráfico das funções abaixo, determinando o
peŕıodo, a amplitude e a imagem.
(a) f(x) = cos
(
x− π
2
)
. (b) f(x) = −2 sen
(
x− π
6
)
.
(c) f(x) = 3 sen
(
1
2
(
x+
π
4
))
. (d) f(x) = 1 + cos
(
3x+
π
2
)
.
17. Resolva as equações abaixo.
(a) senx = 0. (b) senx = 1. (c) senx =
1
2
.
(d) senx = 0, x ∈ [−π/2, π/2]. (e) senx = 1, x ∈ [−π/2, π/2]. (f) senx = 1
2
, x ∈ [−π/2, π/2].
18. A função f : [−π/2, π/2] −→ [−1, 1] dada por f(x) = senx é bijetora (verifique através gráfico) e,
portanto, possui inversa. Sua inversa f−1 : [−1, 1] −→ [−π/2, π/2] é denotada por f−1(x) = arcsen x
(às vezes também é denotada por f−1(x) = sen−1 x). Por exemplo, arcsen(−1) é igual ao único
número pertencente [−π/2, π/2] cujo seno é igual a −1 e, portanto, arcsen(−1) = −π/2. Como
outros exemplos, temos arcsen 0 = 0 e arcsen(1/2) = π/6 (compare com as equações resolvidas no
exerćıcio anterior). Calcule o que se pede.
(a) arcsen 1. (b) arcsen(
√
3/2). (c) arcsen(
√
2/2).
(d) arcsen(−1/2). (e) arcsen(−
√
2/2). (f) arcsen(−
√
3/2).
19. Faça o gráfico da função f(x) = arcsen x.
20. Calcule o que se pede.
(a) sen(arcsen(−1/2)). (b) sen(arcsen(1/5)). (c) arcsen(sen(π/6)). (d) arcsen(sen(4π/3)).
21. Resolva as equações abaixo.
(a) cosx = 0. (b) cosx = 1. (c) cosx = −
√
2
2
.
(d) cosx = 0, x ∈ [0, π]. (e) cosx = 1, x ∈ [0, π]. (f) cosx = −
√
2
2
, x ∈ [0, π].
2
22. A função f : [0, π] −→ [−1, 1] dada por f(x) = cosx é bijetora (verifique!). Sua inversa f−1 :
[−1, 1] −→ [0, π] é denotada por f−1(x) = arccos x (às vezes também é denotada por f−1(x) =
cos−1 x). Calcule o que se pede.
(a) arccos 1. (b) arccos(
√
3/2). (c) arccos 0. (d) arccos(−1/2).
23. Faça o gráfico da função f(x) = arccos x.
24. Calcule o que se pede.
(a) cos(arccos(−1/2)). (b) cos(arccos(1/34)). (c) arccos(cos(π/6)). (d) arccos(cos(4π/3)).
25. Resolva as equações abaixo.
(a) tg x = 0. (b) tg x = 1. (c) tg x =
√
3.
(d) tg x = 0, x ∈ (−π/2, π/2). (e) tg x = 1, x ∈ (−π/2, π/2). (f) tg x =
√
3, x ∈ (−π/2, π/2).
26. A função f : (−π/2, π/2) −→ R dada por f(x) = tg x é bijetora (verifique!). Sua inversa f−1 : R −→
(−π/2, π/2) é denotada por f−1(x) = arctg x (às vezes também é denotada por f−1(x) = tg−1 x).
Calcule o que se pede.
(a) arctg
√
3. (b) arctg 1. (c) arctg(−
√
3/3). (d) arctg(−1).
27. Faça o gráfico da função f(x) = arctg x.
28. Baseado no gráfico acima, qual é o valor aproximado de arctg(10000000)?
29. Calcule o que se pede.
(a) tg(arctg
√
3). (b) tg(arctg(−361)). (c) arctg(tg(π/6)). (d) arctg(tg(−2π/3)).
30. Reescreva as expressões abaixo usando apenas seno e cosseno e, em seguida, simplifique.
(a) cosx tg x. (b) senx secx. (c) tg2 x− sec2 x.
(d) senx+ cotg x cosx. (e)
secx− cosx
senx
. (f)
senx secx
tg x
.
(g) cos3 x+ sen2 x cosx. (h)
secx− cosx
tg x
. (i)
1 + sen x
cosx
+
cosx
1 + sen x
.
31. Verifique que as igualdades abaixo são identidades trigonométricas (já estamos afirmando que são
identidades, basta demonstrar).
(a)
cosx
secx senx
= cossecx− senx. (b) cotg x secx
cossecx
= 1.
(c)
1− senx
1 + sen x
= (secx− tg x)2. (d) sen4 x− cos4 x = sen2 x− cos2 x.
32. Utilize as fórmulas trigonométricas para soma de arcos para calcular o que se pede.
(a) sen 75◦. (b) cos 105◦. (c) tg 15◦.
(d) sen(19π/12). (e) cos(17π/12). (f) tg(−π/12).
33. A partir das informações em cada item, calcule sen(2x), cos(2x) e tg(2x).
(a) senx =
5
13
e x pertence ao primeiro quadrante.
(b) tg x = −4
3
e x pertence ao segundo quadrante.
34. Utilize sa fórmulas para a metade do arco para calcular o que se pede.
(a) sen 15◦. (b) tg 15◦. (c) sen 22,5◦. (d) sen(3π/8).
3
35. Resolva as equações abaixo.
(a)
√
2 senx+ 1 = 0. (b) 4 cosx+ 1 = 0. (c) 3 tg2 x− 1 = 0.
(d) 9 sen2 x− 1 = 0. (e) (tg2 x− 3)(2 cosx+ 1) = 0. (f) 3 sen2 x− 7 senx+ 2 = 0.
36. Estrelas variáveis são aquelas cujo brilho varia periodicamente. Uma das mais viśıveis é a R Leonis,
cujo brilho b é modelado pela função
b(t) = 7,9− 2,1 cos
( π
156
t
)
,
em que t é medido em dias.
(a) Determine o peŕıodo da R Leonis.
(b) Determine os brilhos máximo e mı́nimo.
37. O matemático grego Eratosthenes (276-195 a.C.) mediu o raio da Terra usando um experimento
similar ao que vem a seguir. Em um certo dia e horário do ano, os raios de luz emitidos pelo Sol são
perpendiculares à superf́ıcie da Terra na cidade de Florianópolis. No mesmos dia e horário, os raios
formam um ângulo de 2,7◦ com relação à perpendicular à superf́ıcie na cidade de Curitiba. Conside-
rando que Florianópolis e Curitiba estão a uma distância de 300 km determine, aproximadamente, o
raio da Terra.
38. Uma pessoa, sobre uma colina, avista um prédio de 100m. O segmento ligando seus olhos ao topo
do prédio e à base do prédio formam ângulos de 18◦ e 14◦, respectivamente. Determine a distância
(horizontal) entre a pessoa e o prédio.
39. Uma pessoa mediu o ângulo de inclinação em relação à horizontal entre sua posição e o topo de uma
montanha e obteve 32◦. Ao se aproximar 300m da montanha, o ângulo é novamente medido e o
resultado obtido é 35◦. Determine, aproximadamente, a altura da montanha.
40. Toda vez que o coração bate, a pressão sangúınea aumenta e então decresce à medida que o coração
relaxa entre as batidas. As pressões sangúıneas máxima e mı́nima são denominadas pressão sistólica e
diastólica, respectivamente. A leitura da pressão é escrita na forma sistólica/diastólica. Por exemplo,
a leitura 120/80 é considerada normal. A pressão sangúınea p de uma certa pessoa é modelada pela
função
p(t) = 115 + 25 sen(160πt),
em que t é medido em minutos e p(t) em mmHg (miĺımetros de mercúrio).
(a) Determine o peŕıodo de p.
(b) Determine a leitura da pressão deste indiv́ıduo.
(c) Determine o número de batidas por minuto do coração.
41. Os sistemas de alimentação elétrica que chegam às nossas casas são sistemas de corrente alternada.
Pode-se modelar a tensão pela função
E(t) = E0 cos(ωt),
em que t é medido em segundos, E(t) é medido em volts, E0 é o maior valor posśıvel para a tensão e
o peŕıodo da função é 2π/ω. A tensão nominal em cada região (110V ou 220V ) representa a média
quadrática do valor máximo da tensão, que é calculada dividindo o valor máximo da tensão por
√
2.
Já a frequência nominal em cada região (50Hz ou 60Hz) é o inverso do peŕıodo. Qual é a função E(t)
em Florianópolis, onde a tensão e frequência nominais são 220V e 60Hz, respectivamente?
4
42. Quando um projétil é lançado a uma velocidade v0 formando um ângulo θ com a horizontal, seu
alcance (isto é, a distância horizontal percorrida) é dada por
R(θ) =
v20 sen(2θ)
g
,
em que g é a aceleração da gravidade. Se v0 = 30m/s, qual deve ser o ângulo θ para que o alcance
seja de 79,5m? Utilize g = 9,8m/s2.
AAA Você sabia que AAA
• cos π
5
=
1 +
√
5
4
e que
• cos 2π
17
=
1
16
(
−1 +
√
17 +
√
34− 2
√
17 + 2
√
17 + 3
√
17−
√
34− 2
√
17− 2
√
34 + 2
√
17
)
?
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
J. Stewart, L. Redlin, S. Watson – Precalculus, Mathematics for Calculus. 6a ed., Brooks/Cole
Cengage Learning, Belmont, 2014.
5
Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
MTM3100 - Pré-cálculo
12a lista de exerćıcios (versão complementar) - Funções, identidades,equações e
inequações trigonométricas
Semanas 16 e 17 (18/11/2019 a 29/11/2019)
1. Converta de graus para radianos ou vice-versa.
(a) 54◦. (b) 1080◦. (c) 15◦. (d) −735◦.
(e)
11π
3
rad. (f) 3 rad. (g)
5π
18
rad. (h) −13π
12
rad.
2. Sabendo que os pontos abaixo pertencem ao ćırculo unitário, determine a componente que está
faltando.
(a) P =
(
x,−1
3
)
e P pertence ao 3o quadrante. (b) P = (x, 1).
(c) P = (−1, y). (d) P =
(
2
5
, y
)
e P pertence ao 1o quadrante.
(e) P =
(
x,−2
7
)
e P pertence ao 4o quadrante. (f) P =
(
−2
3
, y
)
e P pertence ao 2o quadrante.
Explicação de conteúdo. Considere o ćırculo de raio desenhado no plano cartesiano com centro
na origem. Quando caminhamos uma distância t sobre o ćırculo a partir do ponto (1, 0) no sentido
anti-horário, o ponto final do trajeto é denominado ponto terminal de t. Por exemplo, como o ćırculo
tem comprimento 2π, então o ponto terminal de t = 2π é (1, 0), o ponto terminal de t = π é (−1, 0)
e o ponto terminal de t = π/2 é (0, 1). Se t é negativo, devemos andar no sentido horário. Por
exemplo, o ponto terminal de t = −π/2 é (0,−1).
3. Demonstre que o ponto terminal de t = π/4 é
(√
2
2
,
√
2
2
)
.
4. A partir de um triângulo equilátero com lado medindo 1 e do Teorema de Pitágoras, deduza que que
o ponto terminal de t = π/6 é
(√
3
2
, 1
2
)
e que o ponto terminal de t = π/3 é
(
1
2
,
√
3
2
)
.
5. Determine o ponto terminal dos valores de t abaixo.
(a) t = −π
2
. (b) t =
7π
6
. (c) t =
5π
3
. (d) t =
11π
6
.
Explicação de conteúdo. Seja P o ponto terminal de t. A distância (caminhando sobre o ćırculo
unitário) de P até o eixo das abscissas é denominada número de referência de t e é denotada por
t̄. Por exemplo, se t = π/3 então t̄ = π/3, se t = 2π/3 então t̄ = π/3, se t = π então t̄ = 0 e se
t = −5π/6 então t̄ = π/6.
6. Determine o número de referência dos valores de t abaixo.
(a) t =
3π
4
. (b) t = −7π
6
. (c) t =
13π
4
. (d) t =
7π
6
. (e) t =
17π
4
. (f) t =
31π
6
.
7. Através de exemplos, verifique que t̄ ∈ [0, π/2] e o ponto terminal de t e t̄ possuem as mesmas
componentes, exceto, possivelmente, pelo sinal.
1
8. Determine o ponto terminal de t̄ e t do exerćıcio 6..
9. Sabe-se que o ponto terminal de t é
(
3
5
, 4
5
)
. Determine o ponto terminal de:
(a) 4π − t. (b) t− π. (c) π/2 + t. (d) t− π/2.
10. Determine (se fizer sentido) sen t, cos t, tg t, cotg t, sec t e cossec t para os valores de t abaixo.
(a) t = π. (b) t =
3π
2
. (c) t = 2π.
(d) t = 2kπ, em que k ∈ Z. (e) t = π
2
+ 2kπ, em que k ∈ Z.
11. Determine sen t, cos t, tg t, cotg t, sec t e cossec t para os valores de t abaixo.
(a) t =
7π
4
. (b) t = −3π
4
. (c) t =
π
4
+ 2kπ, em que k ∈ Z.
12. Determine sen t, cos t, tg t, cotg t, sec t e cossec t para os valores de t abaixo.
(a) t =
11π
6
. (b) t = −5π
6
. (c) t=
11π
6
+2kπ, em que k ∈ Z.
13. Determine sen t, cos t, tg t, cotg t, sec t e cossec t para os valores de t abaixo.
(a) t =
5π
3
. (b) t = −5π
3
. (c) t =
4π
3
+2kπ, em que k ∈ Z.
14. Em cada item, determine o valor das outras funções trigonométricas em t sabendo o valor de uma
delas e o quadrante do ponto terminal de t.
(a) cotg t = 2/3 com terminal de t no primeiro quadrante.
(b) sec t = −2 com terminal de t no segundo quadrante.
(c) cossec t = −5/4 com terminal de t no quarto quadrante.
15. Sabendo que o ponto terminal de t está no terceiro quadrante, escreva sen t, tg t e cotg t em função
de cos t.
16. Sabendo que o ponto terminal de t está no primeiro quadrante, escreva sen t, cos t, cotg t, sec t e
cossec t em função de tg t.
17. Utilize o ćırculo trigonométrico para verificar que sen(t + π) = − sen t, que cos(t + π) = − cos t, e
tg(t+ π) = tg t.
18. As funções tg t, cotg t, sec t e cossec t podem ser definidas algébrica e geometricamente. Por exemplo,
podemos definir tg t =
sen t
cos t
ou como a ordenada do ponto de intersecção entre a reta vertical x = 1
e a reta que passa pela origem e pelo ponto terminal de t. Pesquise sobre a definição geométrica
destas 4 funções e mostre que as definições algébricas e geométricas são equivalentes.
19. Seja θ ∈ (0, π/2). Mostre que as definições das funções trigonométricas de θ dadas a partir do ćırculo
trigonométrico coincidem com as definições dadas a partir de um triângulo retângulo em que um dos
ângulos internos mede θ. Sugetão. Utilize semelhança de triângulos.
20. Você já percebeu que os gráficos das funções trigonométricas são dois a dois parecidos? Por exem-
plo, seno e cosseno possuem o mesmo formato, exceto por um deslocamento horizontal. O mesmo
ocorre para tangente e cotangente, secante e cossecante. Observe os gráficos e deduza as igualdades
abaixo.
(a) sen(π/2− x) = cos x. (b) cos(π/2− x) = senx. (c) tg(π/2− x) = cotg x.
(d) cotg(π/2− x) = tg x. (e) sec(π/2− x) = cossec x. (f) cossec(π/2− x) = secx.
(g) sen(x+ π/2) = cos x. (h) cos(x− π/2) = senx.
2
21. Utilize as técnicas de construção de gráficos para fazer o gráfico das funções abaixo.
(a) f(x) = − senx. (b) f(x) = 3 cosx. (c) f(x) = | senx|.
22. Utilize as técnicas de construção de gráficos para fazer o gráfico das funções abaixo, determinando o
peŕıodo, a amplitude e a imagem.
(a) f(x) =
1
2
− 1
2
cos
(
2x− π
3
)
. (b) f(x) = 2 sen
(
x+
π
3
)
.
(c) f(x) = 3 cos
(
x+
π
4
)
. (d) f(x) = 2 sen
(
2
3
x− π
6
)
.
(e) f(x) = 3 cos
(
π
(
x+
1
2
))
.
23. Utilize as técnicas de construção de gráficos para fazer o gráfico das funções abaixo.
(a) f(x) = tg(2x+ π). (b) f(x) = cotg
(
2x− π
2
)
.
(c) f(x) = 2 sec
(
1
2
x− π
3
)
. (d) f(x) = 2 cossec
(
πx− π
3
)
.
24. Utilize um software matemático para fazer, no mesmo plano, o gráfico das três funções em cada
item.
(a) f(x) =
√
x senx, g(x) =
√
x e h(x) = −
√
x. (b) f(x) = x cosx, g(x) = x e h(x) = −x.
25. Calcule o que se pede.
(a) sen(arcsen(1/2)). (b) sen(arcsen(
√
3/2)). (c) sen(arcsenx).
(d) arcsen(sen(−π/2)). (e) arcsen(sen(−7π)). (f) arcsen(sen(20π/17)).
(g) arcsen(senx).
26. A função f : [0, π] −→ [−1, 1] dada por f(x) = cosx é bijetora (verifique!). Sua inversa f−1 :
[−1, 1] −→ [0, π] é denotada por f−1(x) = arccos x (às vezes também é denotada por f−1(x) =
cos−1 x). Calcule o que se pede.
(a) arccos(
√
2/2). (b) arccos(1/2). (c) arccos(−
√
2/2).
(d) arccos(−
√
3/2). (e) arccos(−1).
27. Calcule o que se pede.
(a) cos(arccos(
√
3/2)). (b) cos(arccosx). (c) arccos(cos(−π/2)).
(d) arccos(cos(20π/17)). (e) arccos(cosx).
28. A função f : (−π/2, π/2) −→ R dada por f(x) = tg x é bijetora (verifique!). Sua inversa f−1 : R −→
(−π/2, π/2) é denotada por f−1(x) = arctg x (às vezes também é denotada por f−1(x) = tg−1 x).
Calcule o que se pede.
(a) arctg(
√
3/3). (b) arctg 0. (c) arctg(−
√
3).
29. Calcule o que se pede.
(a) tg(arctg(−1)). (b) tg(arctg x). (c) arctg(tg(4π/3)).
(d) arctg(tg(20π/17)). (e) arctg(tg x).
30. Seja x ∈ [−1, 1]. Determine o valor das expressões abaixo.
(a) cos(arcsenx). (b) sen(arccosx).
3
31. A partir da fórmula sen2 x+ cos2 x = 1, deduza as seguintes abaixo.
(a) sec2 x = 1 + tg2 x. (b) cossec2 x = 1 + cotg2 x.
32. Seja x ∈ [−1, 1]. Determine o valor das expressões abaixo.
(a) tg(arcsen x). (b) cotg(arcsen x). (c) sec(arcsenx). (d) cossec(arcsenx).
33. Seja x ∈ R. Determine o valor das expressões abaixo.
(a) sen(arctg x). (b) cos(arctg x).
34. Determine o valor das expressões abaixo.
(a) tg(arcsen(−1/3)). (b) cos(arctg 2).
35. Durante este curso, você estudou diversas situações em que fazer uma mudança de variável simplifi-
cava o problema em questão. Este recurso é utilizado com frequência em matemática e muitas das
substituições importantes envolvem funções trigonométricas. Nos itens abaixo, reescreva as expres-
sões utilizando a expressão indicada. Use o exemplo abaixo como modelo.
Exemplo 1.
x√
1− x2
, x = sen t, com 0 ≤ t < π/2.
Solução. Inicialmente, observemos que, como sen2t + cos2 t = 1, então cos2 t = 1 − x2 e, portanto,
cos t =
√
1− x2 (aqui escolhemos a raiz positiva pois t está no primeiro quadrante, onde o cosseno é
positivo). Esse passo preliminar foi para identificar como ficaria o denominador da expressão após a
substituição. Por fim, a expressão reescrita após a substituição é
x√
1− x2
=
sen t
cos t
= tg t.
(a)
√
1 + x2, x = tg t, com 0 ≤ t < π/2. (b)
√
x2 − 1, x = sec t, com 0 ≤ t < π/2.
(c)
x√
4 + x2
, x = 2 tg t, com 0 ≤ t < π/2. (d)
√
9− x2, x = 3 sen t, com 0 ≤ t < π/2.
Explicação de conteúdo. Expressões envolvendo funções trigonométricas possuem diversas escritas
equivalentes. Por exemplo, usando as relações básicas, é posśıvel reescrever a função cotangente de
diversas formas:
cotg x =
cosx
senx
=
1
tg x
=
cossecx
secx
.
Um posśıvel caminho para encontrar outras escritas expressões é reescrever toda a expressão em
termos de seno e cosseno e depois simplificar. Como exemplo, simplifiquemos a expressão cosx +
tg x senx.
Solução. cosx+ tg x senx = cosx+
(senx
cosx
)
senx =
cos2 x+ sen2 x
cosx
=
1
cosx
= secx.
36. Reescreva as expressões abaixo usando apenas seno e cosseno e, em seguida, simplifique.
(a)
2 + tg2 x
sec2 x
− 1. (b) tg x cossecx. (c) secx
cossecx
.
(d) cos2 x(1 + tg2 x). (e)
cotg x
cossecx senx
. (f)
1 + cos x
1 + sec x
.
(g)
tg x
sec(−x)
. (h)
sec2 x− 1
sec2 x
. (i)
1 + cossec x
cosx+ cotg x
.
(j) tg x cosx cossecx.
4
Explicação de conteúdo. Quando uma igualdade com incógnitas é fornecida, podemos perguntar
sobre o conjunto solução da equação. Quando esse conjunto solução corresponde a todos os posśıveis
valores das incógnitas, dizemos que a igualdade fornecida é uma identidade. Por exemplo, a igualdade
cos2 x = 1 − sen2 x é verdadeira para todo x ∈ R e, portanto, é uma identidade matemática. Por
outro lado, a igualdade senx = cosx não é uma identidade pois, por exemplo, não é verdadeira para
x = 0. Um dos caminhos para se verificar uma identidade é manipular um dos lados da igualdade até
obter o outro; por outro lado, para mostrar que uma igualdade não é uma identidade, basta encontrar
substituições numéricas para as incógnitas para as quais a igualdade não é verdadeira (observe os
exemplos abaixo).
Exemplo 1. cosx(secx− cosx) = sen2 x.
Solução. Vamos manipular o lado esquerdo da igualdade até chegar ao lado direito.
cosx(secx− cosx) = cos x
(
1
cosx
− cosx
)
= cosx
(
1− cos2 x
cosx
)
= 1− cos2 x = sen2 x.
Exemplo 2. 2 cosx+ senx = tg x.
Solução. Se tentássemos uma abordagem semelhante ao exemplo anterior, não chegaŕıamos a lugar
nenhum. Qualquer reescrita de 2 cosx+sen x nunca será igual a tg x. Isso é um bom indicativo de que
a igualdade recebida não é uma identidade trigonométrica. Para confirmar, devemos encontrar um
valor de x que substitúıdo na igualdade torna o resultado do lado esquerdo diferente do resultado do
lado direito. Um posśıvel valor é x = 0: com este valor de x, obtemos 2 cosx+senx = 2 cos 0+sen 0 =
2 e tg x = tg 0 = 0, ou seja, as expressões 2 cos x+ senx e tg x não são idênticas.
37. Verifique que as igualdades abaixo são identidades trigonométricas (já estamos afirmando que são
identidades, basta demonstrar).
(a) (senx+ cosx)2 = 1 + 2 senx cosx. (b)
tg x
cossecx
= secx− cosx.
(c) senx+ cosx cotg x = cossecx. (d) cossecx(cossecx+ sen(−x)) = cotg2 x.
(e) (1− cos2 x)(1 + cotg2 x) = 1. (f) 1 + tg
2 x
1− tg2 x
=
1
cos2 x− sen2 x
.
(g)
sen3 x+ cos3 x
senx+ cosx
= 1− senx cosx. (h) tg x+ tg y
cotg x+ cotg y
= tg x tg y.
(i) secx cossecx(tg x+ cotg x) = sec2 x+ cossec2 x.
38. Este exerćıcio tem como objetivo deduzir a fórmula para o cosseno da soma de arcos:
cos(a+ b) = cos a cos b− sen a sen b.
Para isso, denote por P0 = (1, 0) a origem do ćırculo trigonométrico, por P1 o ponto terminal de
a+ b, por Q1 o ponto terminal de b e por Q0 o ponto terminal de −a (faça um desenho para facilitar
a compreensão).
(a) Utilize a definição do ponto terminal e conclua que P1 = (cos(a+b), sen(a+b)), Q1 = (cos b, sen b)
e Q0 = (cos(−a), sen(−a)).
(b) Utilize as propriedades das funções seno e cosseno para verificar que Q0 = (cos a,− sen a).
(c) Observe que o arco que liga os pontos P0 e P1 possui o mesmo comprimento que o arco que liga
Q0 a Q1 (os dois arcos medem a+ b). Com isso, conclua que os segmentos de reta P0P1 e Q0Q1
possuem o mesmo comprimento.
(d) Utilize a fórmula para a distância entre dois pontos e conclua que√
(cos(a+ b)− 1)2 + (sen(a+ b)− 0)2 =
√
(cos b− cos a)2 + (sen b+ sen a)2.
5
(e) Na igualdade acima, eleve os dois lados ao quadrado, desenvolva os quadrados e simplifique. Se
tudo correr bem, no final você obterá
cos(a+ b) = cos a cos b− sen a sen b.
(f) Deduza a fórmula para o seno da soma de arcos,
sen(a+ b) = sen a cos b+ cos a sen b,
a partir do item anterior e do exerćıcio 20..
(g) Deduza a fórmula para a tangente da soma de arcos,
tg(a+ b) =
tg a+ tg b
1− tg a tg b
,
a partir dos dois itens anteriores e usando que tg x =
senx
cosx
.
39. Utilize as fórmulas trigonométricas para soma de arcos para calcular o que se pede.
(a) sen 15◦. (b) cos 195◦. (c) tg 165◦.
(d) sen(−5π/12). (e) cos(11π/12). (f) tg(7π/12).
40. Utilize as fórmulas para soma de arcos para verificar as igualdades abaixo.
(a) sen(x− π/2) = − cosx. (b) tg(x− π) = tg x.
(c) cos(x+ π/6) + sin(x− π/3) = 0. (d) tg(x− π/4) = tg x− 1
tg x+ 1
.
41. Seja f(x) = senx. Mostre que
f(x+ h)− f(x)
h
=
senh
h
(
cosx− senx senh
cosh+ 1
)
.
Sugestão. Utilize a fórmula para o seno da soma de arcos e observe que (1 − cosh)(1 + cosh) =
sen2 h.
42. Seja f(x) = cos x. Mostre que
f(x+ h)− f(x)
h
=
senh
h
(
− senx− cosx senh
cosh+ 1
)
.
43. A partir das fórmulas para a soma de arcos, deduza as fórmulas abaixo.
(a) sen(2x) = 2 senx cosx. (b) cos(2x) = cos2 x− sen2 x.
(c) cos(2x) = 2 cos2 x− 1. (d) cos(2x) = 1− 2 sen2 x.
(e) tg(2x) =
2 tg x
1− tg2 x
. (f) cos(3x) = 4 cos3 x− 3 cosx.
(g) cos2 x =
1 + cos(2x)
2
. (h) sen2 x =
1− cos(2x)
2
.
(i) sen(x/2) = ±
√
1− cosx
2
, em que o sinal é escolhido de acordo com o quadrante ao qual x/2
pertence.
(j) cos(x/2) = ±
√
1 + cos x
2
, em que o sinal é escolhido de acordo com o quadrante ao qual x/2
pertence.
6
44. A partir das informações em cada item, calcule sen(2x), cos(2x) e tg(2x).
(a) cosx =
4
5
e cossecx < 0. (b) cossecx = 4 e tg x < 0.
45. Utilize sa fórmulas para a metade do arco para calcular o que se pede.
(a) cos 15◦. (b) cos 165◦. (c) cos(π/8). (d) tg(5π/12).
46. A partir das informações em cada item, calcule sen(x/2), cos(x/2) e tg(x/2).
(a) senx =
3
5
e x pertence ao primeiro quadrante.(b) cosx = −4
5
e x pertence ao terceiro qua-
drante.
47. Utilize os itens (g) e (h) do exerćıcio 43. para reescrever as expressões abaixo usando apenas cossenos
(e sem potências). Observe o exemplo abaixo.
Exemplo 1. sen4 x.
Solução.
sen4 x = (sen2 x)2 =
(
1− cos(2x)
2
)2
=
1
4
− cos(2x)
2
+
cos2(2x)
4
=
1
4
− cos(2x)
2
+
1 + cos(4x)
8
=
3
8
− cos(2x)
2
+
cos(4x)
8
.
(a) cos4 x. (b) cos2 x sen2 x.
48. A partir das fórmulas para soma de arcos, outras relações podem ser deduzidas: as fórmulas para
transformação de soma em produto e vice-versa. Estas fórmulas são úteis para resolver certos tipos
de equações e também para resolver problemas nas disciplinas de Cálculo. O objetivo desse exerćıcio
é mostrar como obtê-las (lembre-se de que aprender o caminho para obter tais fórmulas dá a você
o direito de não precisar decorá-las, pois toda vez que alguma delas for necessária, basta seguir as
ideias da demonstração). Considere as fórmulas abaixo (já conhecidas):
(i) sen(a+ b) = sen a cos b+ cos a sen b;
(ii) cos(a+ b) = cos a cos b− sen a sen b.
Faça o que se pede nos itens abaixo.
(a) A partir da fórmula (i), mostre que
sen(a− b) = sen a cos b− cos a sen b.
(b) A partir da fórmula (ii), mostre que
cos(a− b) = cos a cos b+ cos a cosb.
(c) Some as fórmulas (ii) e (a) e conclua que
sen a cos b =
1
2
[sen(a+ b) + sen(a− b)] .
Esta fórmula é usada quando temos um produto de um seno por um cosseno e precisamos
reescrever como uma soma.
7
(d) Siga a mesma ideia do item anterior para mostrar as seguintes fórmulas:
cos a sen b =
1
2
[sen(a+ b)− sen(a− b)] ;
cos a cos b =
1
2
[cos(a+ b) + cos(a− b)] ;
sen a sen b =
1
2
[cos(a− b)− cos(a+ b)] .
(e) Agora faremos o procedimento inverso: desenvolver uma fórmula que transforme uma soma
de senos ou cossenos em um produto. Para isso, considere a fórmula do item (c) e crie novas
variáveis: x = a + b e y = a − b. Em seguida, reescreva toda a equação nas letras x e y para
obter
senx+ sen y = 2 sen
(
x+ y
2
)
cos
(
x− y
2
)
.
(f) Siga a mesma ideia do item anterior para mostrar as seguintes fórmulas:
senx− sen y = 2 cos
(
x+ y
2
)
sen
(
x− y
2
)
;
cosx+ cos y = 2 cos
(
x+ y
2
)
cos
(
x− y
2
)
;
cosx− cos y = −2 sen
(
x+ y
2
)
sen
(
x− y
2
)
.
49. Reescreva os produtos como somas.
(a) cos(5x) cos(3x). (b) sen(4x) cosx.
50. Reescreva as somas como produtos.
(a) sen(x)− sen(4x). (b) cos(9x) + cos(2x).
51. Resolva as equações abaixo.
(a) 2 cos2 x+ senx = 1. (b) tg2 x− 2 secx = 2. (c) 2 cos(3x) = 1.
(d) tg(x/4) +
√
3 = 0. (e) 3 cos
(
3x− 3π
2
)
=
3
2
. (f) sen(2x) + cos x = 0.
(g) senx+ sen(3x) = 0.
Sugestão. No último item, utilize a fórmula para transformar soma em produto.
52. Resolva as inequações abaixo.
(a) senx >
1
2
. (b) cosx ≤ 0.
53. Do topo de um farol de 350m de altura avista-se um navio a um ângulo de 30◦ com a horizontal. A
que distância (da base) do farol o navio está?
54. Considere um sistema massa mola ideal (isto é, sem atrito). Denote por m a massa do sistema e por
k a constante elástica da mola. A mola é esticada a uma distância a do seu ponto de repouso e, então,
é solta. Usando Cálculo e as leis f́ısicas, é posśıvel mostrar que a posição x do objeto (considerando
o ponto de repouso como origem) em função do tempo t é dada por
x(t) = a cos
(√
k
m
t
)
.
8
(a) Determine a equação em um sistema em que m = 0,01 kg, k = 3 kg/s2 e a = 0,05m.
(b) Determine a frequência em termos de k e m.
(c) O que acontece com a frequência à medida que a massa aumenta?
(d) O que acontece com a frequência à medida que a rigidez da mola aumenta (isto é, k aumenta)?
55. Uma escada de comprimento 6m é apoiada a uma parede (perpendicular ao solo). Sabendo que a
distância entre a base da escada e a parede é de 2m, determine o ângulo de elevação da escada.
56. Dois diapasões idênticos são colocados para vibrar, um deles uma fração de tempo após o outro. Os
sons produzidos por eles podem ser modelados por f1(t) = C sen(ωt) e f2(t) = C sen(ωt + α). As
duas ondas sofrem interferência uma da outra dando origem a uma única onda descrita por
f(t) = f1(t) + f2(t) = C sen(ωt) + C sen(ωt+ α).
(a) Utilize a fórmula para o seno da soma de arcos e mostre que f(t) pode ser escrita na forma
f(t) = f1(t) + f2(t) = A sen(ωt) +B cos(ωt),
em que A e B dependem apenas de C e α.
(b) A Suponha que C = 10 e que α = π/3. Determine constantes k e φ tais que f(t) = k sen(ωt+φ).
57. Um retângulo ABCD é inscrito em uma circunferência de raio 10 cm. Denote por θ o ângulo entre
o lado AB e a diagonal AC.
(a) Mostre que a área do retângulo é A = 200 sen(2θ).
(b) Mostre que dentre todos os retângulos inscritos na circunferência, a maior área posśıvel é
200 cm2.
58. A maior parte dos sistemas oscilatórios pode ser modelada por funções trigonométricas. Alguns destes
sistemas possuem caráter oscilatório mas também possuem variação na sua amplitude. Por exemplo
devido à resistência do ar e outros atritos, um pêndulo diminui sua amplitude de movimento a cada
ciclo. Neste caso, classificamos o sistema como harmônico amortecido. Em termos matemáticos, tais
sistemas são modelados por funções da forma f(t) = ke−ct sen(ωt) ou f(t) = ke−ct cos(ωt), em que
k, c > 0 e ω são constantes e c é denominada constante de amortecimento.
Uma corda de um violão é puxada 0,5 cm a partir da sua posição de repouso e, então, é solta,
iniciando sua vibração. Sabe-se que a corda produziu a nota musical sol (frequência aproximada de
200Hz) e que sua constante de amortecimento é 1,4 s−1 (segundos elevado a −1). Determine uma
função que descreva o movimento do ponto a partir do qual a corda foi puxada.
59. Uma corda de uma guitarra é puxada em um ponto P a uma distância de 3 cm a partir da sua posição
de repouso e, então, é solta, iniciando sua vibração. Sabe-se que a corda vibrou a uma frequência de
165Hz e que, após dois segundos, a amplitude máxima do ponto P foi de 0,6 cm.
(a) Determine a constante de amortecimento.
(b) Determine uma equação que descreva a posição do ponto P a partir da sua posição de repouso.
Especifique as unidades de medida utilizadas.
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
J. Stewart, L. Redlin, S. Watson – Precalculus, Mathematics for Calculus. 6a ed., Brooks/Cole
Cengage Learning, Belmont, 2014.
9
Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
MTM3100 - Pré-cálculo
1a lista de exerćıcios (versão complementar) - Representações e operações com
conjuntos
Semana 1 (05/08/2019 a 09/08/2019)
1. Representar por enumeração, os conjuntos abaixo.
(a) F = {x ∈ N | 0 · x = 5}. (b) G = {x ∈ N | 0 · x = 0}.
(c) H = {x ∈ Z | x é ı́mpar}. (d) I = {x ∈ N | x2 = 9}.
(e) J = {x ∈ Z | x2 = 1}. (f) K = {x ∈ Z | x > 4 e x < −3}.
(g) L = {x ∈ Z | x > 4 ou x < −3}.
2. Representar, através de uma propriedade conveniente, os conjuntos abaixo.
(a) B = {1, 2, 3, 6}. (b) D = {1,−1, 2,−2, 4,−4}.
(c) G = {−4,−3,−2,−1, 0, 1}. (d) H = {6, 7, 8, 9, 10, . . .}.
(e) I = {3, 2, 1, 0,−1, . . .}. (f) J = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}.
3. Representar por enumeração, os conjuntos abaixo.
(a) A = {x ∈ N | 5 < x < 2}. (b) B = {x | x = 2m e m ∈ N}.
(c) C = {x | x = 2m + 1 e m ∈ N}. (d) D = {x | x = 3m e m ∈ N}.
(e) E = {x | x = 5m− 1 e m ∈ N}. (f) F = {x ∈ N | 7 < 2x < 11}.
(g) G = {x ∈ N | 5 < 2x− 3 < 13}. (h) H = {x ∈ N | 21 < 5x− 3 < 25}.
(i) I = {x ∈ N | 19 < 5x− 7 < 22}.
Observação: O conjunto B acima também pode ser escrito como B = {2m | m ∈ N}. Tente
reescrever C, D e E da mesma forma.
4. Dizer se é verdadeira ou falsa cada uma das sentenças abaixo.
(a) 2 ∈ {1, 2, 3, 4}.(b) 0 ∈ {1, 2}. (c) 5 /∈ {1, 2}. (d) 1 /∈ {1, 2, 3}. (e) ∅ = {0}.
(f) ∅ = {∅}. (g) 4 = {4}. (h) 5 ∈ N. (i) 1 /∈ N. (j) −4 ∈ N.
(k) 0 /∈ Z. (l) −1 ∈ Z. (m)−2 /∈ Z. (n) ∃ x | x ∈ ∅. (o) @ x | x ∈ ∅.
(p) 3 ∈ {3}. (q) {3} ∈ 3. (r) 0 ∈ ∅. (s) 2 ∈ ∅. (t) 0 /∈ ∅.
5. Considere o conjunto A = {1, 2, {2}, 3} e diga, para cada uma das sentenças abaixo, se é verdadeira
ou falsa.
(a) 1 ∈ A. (b) 2 ∈ A. (c) {2} ∈ A. (d) 3 ∈ A.
(e) {3} ∈ A. (f) {1} /∈ A. (g) ∅ /∈ A.
6. Considere B = {∅, 4, {4}, 5, 3} e diga se é verdadeiro ou falso.
(a) 4 /∈ B. (b) {4} ∈ B. (c) 5 ∈ B. (d) {5} ∈ B. (e) ∅ ∈ B.
(f) 2 /∈ B. (g) {∅} ∈ B. (h) {3} ∈ B. (i) 3 /∈ B.
1
7. Considere A = {∅, 1, 2, {2}, {1, 2}} e diga se é verdadeiro ou falso.
(a) ∅ ∈ A. (b) ∅ ⊂ A. (c) 1 ∈ A.
(d) 2 /∈ A. (e) {2} ⊂ A. (f) {2} ∈ A.
(g) {1, 2} 6⊂ A. (h) {1, 2} /∈ A. (i) {1} ∈ A.
(j) {1} ⊂ A. (k) {∅, 1, {2}} ⊂ A. (l) {{2},∅, {1, 2}} 6⊂ A.
(m){∅, {1}, {2}} ⊂ A.
8. Diga se é verdadeiro ou falso.
(a) {1, 4, 5, 6} ⊃ {1, 4}. (b) {1, 3} 6⊃ ∅. (c) {2} ⊂ ∅. (d) 1 ⊂ {1, {1}}.
(e) 1 ∈ {1, {1}}. (f) {1} ⊂ {1, {1}}. (g) {1} ∈ {1, {1}}. (h) ∅ ∈ {∅, {1}}.
9. Diga se é verdadeiro ou falso.
(a) ∅ ⊂ {∅, {1}}. (b) ∅ ⊂ {1, {2}}. (c) ∅ ∈ {1, {2}}.
(d) {1} /∈ {1, {2}}. (e) {2} /∈ {1, {2}}. (f) {4, 5, {4}} ⊃ {4, 5}.
(g) {4, 5, {4}} ⊃ {4, {4}}. (h) {4, {5}, {4}} ⊃ {5}. (i) {4, {5}, {4}} ⊃ {4,∅}.
10. Observando o diagrama de Venn-Euler ao
lado, escrever por enumeração os conjuntos
abaixo.
(a) C = {x | x ∈ A e x ∈ B}.
(b) D = {x | x ∈ A ou x ∈ B}.
(c) E = {x | x∈ A e x /∈ B}.
(d) F = {x | x ∈ U e x /∈ A}.
(e) G = {x | x ∈ U e x /∈ B}.
(f) H = {x | x ∈ B e x /∈ A}.
(g) I = {x | x ∈ A ou x ∈ U}.
(h) J = {x | x ∈ U e x /∈ D}.
U
a
f
b
e
c
h
d
g
iA B
11. Determine o número de elementos de cada um dos conjuntos A, B, C, . . ., J do exerćıcio ante-
rior.
12. Observando o diagrama de Venn-Euler ao
lado, escrever por enumeração os conjuntos
abaixo.
(a) A.
(b) B.
(c) Elementos que pertencem a A e B.
(d) Elementos que pertencem a A ou B.
(e) Elementos que pertencem a A e não a B.
(f) Elementos que pertencem a B e não a A.
3
7
11
2
5
1
4
10
20
A B
2
13. Observando o diagrama ao lado, escrever por enu-
meração os conjuntos abaixo.
(a) A.
(b) D = {x | x ∈ A e x ∈ B}.
(c) E = {x | x ∈ A ou x ∈ C}.
(d) F = {x | x ∈ A, x ∈ B e x ∈ C}.
(e) G = {x | x ∈ B e x /∈ C}.
(f) H = {x | x ∈ U e x /∈ B}.
U
a
b c
d
e f
g
h
i
j
l
m
no
p
x
y
z
A B
C
14. Observando o diagrama do exerćıcio anterior, determine o que se pede.
(a) n(B), lembrando que n(X) representa o número de elementos do conjunto X.
(b) n(J), em que J = {x | x ∈ A ou x ∈ B ou x ∈ C}.
(c) n(L), em que L = {x | x ∈ B e x ∈ C}.
(d) n(M), em que M = {x | x ∈ C ou x ∈ B}.
(e) n(P ), em que P = {x | x ∈ A e x /∈M} e M é dado acima.
(f) n(Q), em que Q = {x | x ∈ A e x ∈M} e M é dado acima.
(g) n(R), em que R = {x | x ∈ U e x /∈M} e M é dado acima.
15. Considere A = {a, b, c} e B = {m,n, p, q} e determine por enumeração os conjuntos abaixo.
(a) A ∩B. (b) A ∪B. (c) A−B.
(d) B − A. (e) A ∩∅. (f) B ∪∅.
16. Considere A = {x ∈ N | 2 ≤ x < 8} e B = {3, 4, 6} e determine por enumeração os conjuntos
abaixo.
(a) A ∩B. (b) A ∪B. (c) A−B. (d) B − A.
Atenção. Os conjuntos A = {x ∈ N | x < 10}, B = {0, 2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 7} e D =
{−2,−1, 0, 2, 3, 5} são válidos para os exerćıcios 17. até 23..
17. Determine por enumeração os conjuntos abaixo.
(a) A ∩D. (b) A ∩B. (c) B ∩ C.
(d) C ∩∅. (e) A ∩B ∩ C ∩D.
18. Determine por enumeração os conjuntos abaixo.
(a) A ∪D. (b) A ∪B.
(c) B ∪∅. (d) B ∪ C ∪D.
19. Determine por enumeração os conjuntos abaixo.
(a) A−B. (b) B − A. (c) A−∅.
(d) ∅− A. (e) B − C. (f) C −B.
3
20. Determine por enumeração os conjuntos abaixo.
(a) A− (B ∪ C). (b) {(C∩A)A . (c) A− (B ∩ C).
Observação. {YX = X − Y .
21. Dados conjuntos X e Y , o conjunto X M Y = (X − Y )∪ (Y −X) é denominado diferença simétrica
de X e Y . Determine por enumeração os conjuntos abaixo.
(a) B M D. (b) (B ∪D)− (B ∩D).
As respostas iguais obtidas acima são apenas coincidência ou acontecem para quaisquer conjuntos?
22. Determine por enumeração os conjuntos abaixo.
(a) B ∩ (C ∪D). (b) (B ∩ C) ∪ (B ∩D).
As respostas iguais obtidas acima são apenas coincidência ou acontecem para quaisquer conjuntos?
23. Determine por enumeração os conjuntos abaixo.
(a) A ∪ (B ∩D). (b) (A ∪B) ∩ (A ∪D).
As respostas iguais obtidas acima são apenas coincidência ou acontecem para quaisquer conjuntos?
24. No diagrama de Venn-Euler ao lado, pinte as re-
giões que determinam o conjunto A M B (ver de-
finição no exerćıcio 21.).
U
A B
25. Observando o diagrama de Venn-Euler ao
lado, determine por enumeração os conjuntos
abaixo.
(a) A. (b) B.
(c) A ∩B. (d) A ∪B.
(e) A−B. (f) B − A.
(g) A ∩B.
Observação. Lembre-se de que X denota o com-
plementar de X, isto é X = {x ∈ U | x /∈ X}.
U
e
g
h
a
f
d
c
j
b
i
A B
26. Considere A = {0, 1, 4, 6, 7, 8, 9}, B = {0, 1, 2, 3, 6} e o conjunto universo U = {x ∈ N | x ≤ 10}.
Faça um diagrama e, em seguida, determine o que se pede.
(a) n(A ∩B). (b) n(A ∪B). (c) n(A).
(d) n(B). (e) n(A ∩B). (f) n(A ∪B).
4
27. No diagrama de Venn-Euler abaixo, cada região
foi denominada com um número entre parênteses.
Indicar as regiões que determinam os conjuntos
abaixo.
(a) A. (b) A ∩B.
(c) A ∩ C. (d) B ∩ C.
(e) A ∩B ∩ C. (f) A ∪B.
(g) A ∪ C. (h) B ∪ C.
(i) A ∪B ∪ C. (j) U .
(k) A. (l) B.
(m)A ∩B. (n) B ∩ C.
(o) A ∪ C. (p) A ∪B.
(q) A ∩B ∩ C. (r) A ∪B ∪ C.
U
(5) (7)
(6)
(8)
A B
C
(1)
(2)
(3) (4)
28. Considerando o diagrama de Venn-Euler do exerćıcio anterior, indicar as regiões que determinam os
conjuntos abaixo.
(a) X = [(A ∩B)− C] ∪ (A ∪B ∪ C). (b) Y = [(B ∩ C)− A] ∪ [(A ∩ C)− (A ∩B)].
(c) Z = (A ∩B ∩ C) ∪ [C − (A ∪B)]. (d) Y ∪ Z.
(e) X ∩ (Y ∪ Z).
29. Considere o diagrama de Venn-Euler do exerćıcio 27.. Usando apenas os conjuntos A, B, C e
seus complementares e apenas a operação de intersecção, caracterize cada uma das oito regiões do
diagrama.
30. Se fosse posśıvel desenhar um diagrama de Venn-Euler envolvendo quatro conjuntos A, B, C e D
(mais o conjunto universo U), quantas regiões ficariam determinadas? Você consegue generalizar sua
resposta para mais conjuntos?
31. Utilizando-se do diagrama da questão 27., verifique que a igualdade n(A∪B ∪C) = n(A) + n(B) +
n(C)− n(A ∩ B)− n(A ∩ C)− n(B ∩ C) nem sempre é verdadeira. Em seguida, corrija-a de modo
que ela se torne sempre verdadeira, quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C.
32. Nos diagramas seguintes, pintar as regiões que determinam o conjunto A∩B, em cada caso.
(a)
U
A B
(b)
A
B
U
(c)
B
A
U
(d)
A B
U
33. Faça o mesmo nas figuras do exerćıcio acima para A ∪B, A−B e B − A.
5
34. No diagrama de Venn-Euler abaixo, pinte a região
que determina o conjunto
(B −D) ∪ {[(C ∩A) ∪ (A ∩B)]−D} ∪ (D−A).
Observação. A configuração ao lado não é a mais
geral posśıvel envolvendo quatro conjuntos (ver
exerćıcio 30.).
B C
A
D
U
35. Para cada um dos conjuntos abaixo, determinar por enumeração o conjunto das partes e o seu número
de elementos.
(a) D = ∅. (b) E = {0, 1, 2, 3}.
36. Determine o número de subconjuntos de {x ∈ N | 1 ≤ x < 40}.
37. Determinar todos os subconjuntos do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} que tenham exatamente 3 elemen-
tos.
38. Considere os conjuntos A = {1, 3}, B = {−2, 1, 2} e C = {−1, 0, 1, 4} e determine por enumeração
os conjuntos abaixo.
(a) A×B × C. (b) A3.
39. Sejam A e B subconjuntos de U tais que n(A) = 9, n(B) = 11, n(A∩B) = 5 e n(U) = 22. Determine
o que se pede.
(a) n(A ∪B). (b) n(A−B). (c) n(B − A). (d) n(A ∪B).
40. Sejam A e B conjuntos tais que n(A) = 30, n(A ∪ B) = 60 e n(A ∩ B) = 20. Determine o que se
pede.
(a) n(B). (b) n(B − A). (c) n(A−B).
41. Em uma classe com 50 alunos sabe-se que: 26 falam francês, 31 falam inglês, 8 não falam francês e
nem inglês.
(a) Quantos falam francês ou inglês? (b) Quantos falam as duas ĺınguas?
42. Em uma pesquisa com 40 pessoas sobre o uso de cosméticos das marcas A e B, constatou-se que
23 pessoas usam produtos da marca A, 17 usam da marca B e 11 usam produtos de ambas as
marcas.
(a) Quantas pessoas usam somente produtos da marca A?
(b) Quantas pessoas não usam produtos de nenhuma das duas marcas?
(c) Quantas pessoas usam produtos da marca A ou da marca B?
43. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(A) = 17, n(B) = 20, n(C) = 15, n(A ∩B) = 7, n(A ∩C) = 5,
n(B ∩ C) = 6 e n(A ∪B ∪ C) = 36. Determine o que se pede.
(a) n(A ∩B ∩ C). (b) n(A−B). (c) n(A− (B ∪ C)). (d) n(A− (B ∩ C)).
44. Sobre três conjuntos A, B e C, sabe-se que: A∩B∩C = ∅, n(A) = 15, n(C ∩B) = 5, n(A∩B) = 3,
n(C − A) = 9, n(B − A) = 10 e n((A ∪B)− C) = 12. Determine o que se pede.
(a) n(C). (b) n(A ∪B ∪ C). (c) n(A− C).
6
45. Em uma turma de 45 alunos, 21 estudam matemática, 17 estudam f́ısica e 11 estudam qúımica. Há
5 alunos que estudam matemática e f́ısica, 7 alunos que estudam f́ısica e qúımica e 3 alunos que
estudam matemática e f́ısica mas não estudam qúımica. Sabe-se também que o número de alunos
que estudam apenas matemática é o triplo do número de alunos que estudam matemática e qúımica
mas não estudam f́ısica. Quantos alunos não estudam nenhuma das três disciplinas?
46. Um colégio oferece atividades extracurriculares de Robótica, Escotismo e Teatro. Cada aluno pode
se inscrever em até, no máximo, duas atividades. Sabe-se que:
• O colégio tem um total de 80 alunos. Todos estão inscritos em pelo menosuma atividade.
• 10 alunos fazem Robótica e Teatro.
• 20 alunos fazem Teatro e Escotismo.
• 20 alunos fazem Robótica e Escotismo.
• 40 alunos fazem Teatro.
• O número de alunos que fazem apenas Robótica é o quádruplo dos que fazem apenas Escotismo.
(a) Quantos alunos estão inscritos em Robótica?
(b) Quantos alunos fazem apenas Teatro?
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
A. Z. Aranha e M. B. Rodrigues – Exerćıcios de Matemática - vol. 1, Revisão de 1o grau. Segunda
edição, Editora Policarpo, São Paulo, 1998.
7
Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
MTM3100 - Pré-cálculo
2a lista de exerćıcios (versão complementar) - Conjuntos numéricos e operações básicas
Semana 2 (12/08/2019 a 16/08/2019)
1. Resolva as expressões abaixo.
(a) 13 + 11. (b) 35− 18.
(c) −3− 4. (d) −9 + 2.
(e) −5 + 7. (f) +7− 3.
(g) +2− 8. (h) +9− 9.
(i) −8 + 8. (j) 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.
(k) −3− 4− 6− 7− 10. (l) −1− 2− 3 + 4 + 5 + 6.
(m)4 + 5 + 7− 3− 9− 8. (n) −11 + 8− 13 + 7− 15 + 9.
(o) −(−3) + (−7). (p) +(−5)− (−8).
(q) (−7)− (−9). (r) (−6) + (−10).
(s) (−8)− (+10). (t) (−5)− (−3) + (−2)− (+7).
(u) −(−2)− (−3) + (+5)− (−9). (v) +(−2) + (−7)− (−3)− (+8).
(w) (−2 + 7)− (−5 + 9). (x) −(−3 + 4)− (−5 + 6).
(y) −(−2 + 7)− [−2 + (−3− 1)]− 8. (z) −3−2−(−4+2−(3−1−(+5−6)+2)−5)−6.
2. Resolva as expressões abaixo.
(a) (+5)(+8). (b) (−5)(−7).
(c) (−5) · (−7). (d) (−8)(+6).
(e) (+3)(−4). (f) −5(−3).
(g) −5(5). (h) −5 · 5.
(i) +7(−8). (j) +8(+9).
(k) 0(−13). (l) 13 · 17.
(m)(−2)(−5)(−3). (n) −2 · 5(−3).
(o) −2(−1)(−7)(−3). (p) (−2 + 9)(−1− 7).
(q) (−5− 1− 2)(−4 + 9). (r) −2(−1 + 3)(−5 + 1)(7− 5).
(s) −3(−2)(−1− 2)(−5 + 6− 4).
3. Resolva as expressões abaixo. Observação. Os śımbolos /, : e ÷ representam divisão.
(a) (−16)/(−8). (b) (−20) : (+5).
(c) (+18)÷ (−9). (d) 32/(−4).
(e) −26÷ (−13). (f) −8
−4
.
1
(g)
−48
16
. (h)
48
−16
.
(i) −−48
16
. (j)
72
18
.
(k)
−144
−36
. (l)
100/(−5)
−4
.
(m)
−120÷ 5
108÷ (−36)
. (n)
−54/(−27)
−17/17
÷ 60/(−5)
−216/36
.
(o) 34/(24/(−144/(−12))). (p) (−5− 7)/(−5 + 1).
(q)
−5− 7
−3 + 1
. (r) − 5− 7
−3 + 1
.
(s) (−20 + 2)/(−2− 7).
4. Resolva as expressões abaixo.
(a) −2(−1 + 5) + 3(−4 + 1)− 2(−1 + 2)− 3(−1− 3).
(b) 3(−4/(−3 + 1)− 8/(6/(−5 + 3)− 12/(−5 + 9)− 72/(−21 + 3))).
(c)
−216
12
/74
37
144
−24/
−102
51
÷ 12/(−8/2)−27
9
/3
.
5. Fatore em primos os números abaixo.
(a) 30. (b) 720. (c) 2250.
(d) 546. (e) 2499. (f) 9009.
6. Encontre todos os divisores positivos dos números abaixo.
(a) 12. (b) 18. (c) 50.
(d) 90. (e) 100. (f) 150.
7. Determine os máximos divisores comuns (mdc) e os mı́nimos múltiplos comuns (mmc) abaixo.
(a) mdc(24, 60). (b) mdc(70, 99). (c) mdc(108, 144).
(d) mdc(504, 540). (e) mdc(54, 72, 75). (f) mdc(150, 180, 240).
(g) mmc(24, 60). (h) mmc(70, 99). (i) mmc(108, 144).
(j) mmc(504, 540). (k) mmc(54, 72, 75). (l) mmc(150, 180, 240).
8. Simplifique as frações abaixo até que o numerador e o denominador não possuam fatores comuns.
(a)
4
6
. (b)
8
20
. (c)
12
18
. (d)
36
45
. (e)
30
75
. (f)
54
72
.
(g)
75
50
. (h)
138
46
. (i)
210
−126
. (j)
−51
153
. (k)
−126
294
.
9. Em cada um dos itens abaixo, reduza as frações ao menor denominador comum.
(a)
1
2
,
2
3
,
3
4
,
5
6
. (b) 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
. (c) 2,
2
3
,
1
5
,
5
6
.
10. Em cada um dos itens abaixo, coloque as frações em ordem crescente.
(a)
1
2
,
1
4
,
1
3
,
2
3
. (b)
7
10
,
1
2
,−2
3
,
5
6
,
3
5
,− 7
10
,
2
3
,−3
5
,
3
4
,−5
8
,
5
8
.
2
11. Resolva as expressões abaixo.
(a)
1
5
+
2
5
. (b)
5
9
− 1
9
. (c)
5
12
− 13
12
.
(d) − 7
15
− 2
15
. (e)
1
5
+
2
5
. (f) 3 +
1
4
.
(g) 5− 3
4
. (h) −2− 2
3
. (i)
5
2
− 1.
(j) −3
4
− 2. (k) 5
6
+
3
4
. (l)
5
9
− 7
12
.
(m)− 7
15
− 3
10
. (n)
1
2
− 3
4
+
2
3
− 5
6
. (o)
5
6
− 4
5
− 7
15
+
1
2
+
1
3
.
(p) 3− 1
2
− 1
4
− 1
5
− 1
6
.
12. Resolva as expressões abaixo.
(a)
3
4
· 5
7
. (b)
2
9
· 4
3
. (c)
(
−2
9
)
·
(
−4
3
)
.
(d) −7
6
· 6
7
. (e) −5
7
· 2
5
. (f) 5 · 2
3
.
(g) −18 · 4
27
. (h)
1
2
· 3
4
· 5
6
· 7
8
· 9
10
. (i)
(
−5
6
)(
−8
7
)(
14
15
)(
−9
4
)
.
(j)
(
2
3
− 3
4
)
·
(
1
2
+
3
4
)
. (k)
(
3
4
− 1
6
)
·
(
5
6
+
4
9
)
. (l)
(
2
5
− 3
)(
8
13
− 1
)
.
13. Resolva a expressão
2
3
÷ 4
9
1
3
÷ 5
6
÷
1÷ 5
4
6
10
÷ 5
2
23
÷ 1
46
7÷ 7
2
÷
3÷ 1
17
2÷ 1
34
÷ 9
64
.
14. Transforme em fração decimal, isto é, em uma fração cujo denominador é uma potência de 10.
(a) 0,13. (b) 0,113. (c) 2,32. (d)
3
5
. (e)
5
2
.
(f)
3
4
. (g)
1
125
. (h)
3
20
. (i)
23
40
.
15. Transforme em fração e simplifique até que o numerador e o denominador não possuam fatores
comuns.
(a) 2,5. (b) 4,04. (c) 13,04.
16. Escreva como número decimal.
(a)
123
10
. (b)
13
10000
. (c)
7
50
.
(d)
13
25
. (e)
33
16
. (f)
17
125
.
(g)
13
64
.
3
17. Escreva como número decimal.
(a)
2
3
. (b)
5
3
. (c)
58
33
.
18. Escreva na forma de fração.
(a) 0,6. (b) 0,12. (c) 0,185.
19. Escreva na forma de fração.
(a) 1,35. (b) 2,34599.
20. Resolva as expressões abaixo.
(a) 23,57− 11,42. (b) 132,5− 3,143. (c) 5 + 3,142.
(d) 1,34 + 13,415. (e) 5− 2,132. (f) 1,7− 13,17.
(g) 2,431 · 10. (h) 0,0132 · 1000. (i) 0,34 · 1000.
(j) 12,5 · 20. (k) 0,75 · 32. (l) 12,5 · 2,2.
(m)15,5 · 0,11. (n) 10,03 · 5,2. (o) 234,5/10.
(p) −341,2/1000. (q) 345/100. (r) 12,5/2.
(s) 4,53/3. (t) 17,1/5. (u) 12,8/0,4.
(v) 7,42/0,07. (w) 2/0,05. (x) 3/0,6.
(y) 13,546/1,3. (z) 21,528/1,04.
21. Reescreva as porcentagens abaixo tanto na forma de número decimal quanto na forma de fra-
ção.
(a) 50%. (b) 25%. (c) 10%. (d) 100%.
(e) 300%. (f) 2,3%. (g) 0,001%.
22. Escreva os números abaixo na forma de porcentagem.
(a) 0,5. (b)
1
4
. (c) 1. (d) 10.
(e) 0,1. (f) 0,0001. (g) 0,000000001. (h) 0,29.
23. Calcule o que se pede.
(a) 50% de 100. (b) 100% de 10.
(c) 25% de 25. (d) 10% de 1.
(e) 10% de 50%. (f) 30% de 30%.
(g) 100% de 100%. (h) 50% de 30% de 100.
24. Utilize uma calculadora para resolver as expressões abaixo.
(a)

(
6− 9
2
)
÷ 0,003((
61
20
− 2,65
)
4
)
÷ 1
5
−
(
0,3− 3
20
)
· 3
2(
1,88 + 2 +
3
25
)
· 1
8
÷ (62 + 120
)
+
17,81
0,0137
.
4
(b)
36/0,18−
1− 1− 0,1
0,6
0,43
+
8
25
÷ 0,02
0,083−
1,6
(
1
2
+ 0,25
)
− 0,249(
0,05− 1
0,583− 0,3
)
÷ 71
−
46
(
0,416− 0,5÷ 6
7
)
0,83−
(
2
5
− 0,3
) .
Observação. Há softwares matemáticos (e algumas calculadoras) que são capazes de resolver uma
expressão grande de uma única vez (basta digitar corretamente). Além de resolver na calculadora,
seria interessante você aprender a mexer em algum software e resolver as expressões acima pelo
software. Como sugestões, estão o Wolfram Alpha, o Scilab e o Matlab. Estas ferramentas serão
úteis no decorrer da sua graduação.
25. Dizer se é verdadeira ou falsa cada uma das sentenças abaixo.
(a) N ⊂ Z. (b) N ⊂ Q. (c) N ⊂ R. (d) N ⊂ Z∗.
(e) N∗ ⊂ Z. (f) R ⊂ Q. (g) (R−Q) ⊂ R. (h) Z+ = N.
(i) Z∗+ = N. (j) Z ⊂ Q. (k) Z ⊂ N. (l) Z ⊂ R.
(m)Q ⊂ N. (n) Q ⊂ Z. (o) Q ⊂ R.
26. Dizer se é verdadeira ou falsa cada uma das sentenças abaixo.
(a) 5 ∈ N. (b) −3 ∈ N. (c) 3
4
∈ N.
(d)
10
5
∈ N. (e) 0,7 ∈ N. (f) 0,333 . . . ∈ N.
(g) 0,999 . . . ∈ N. (h)
√
2 ∈ N. (i)
√
4 ∈ N.
(j) 0,202002000 . . . ∈ N. (k) 0 ∈ N. (l) 0 ∈ N∗.
27. Dizer se é verdadeira ou falsa cada uma das sentenças abaixo.
(a) 5 ∈ Z. (b) −3 ∈ Z. (c) 3
4
∈ Z.
(d)
10
5
∈ Z. (e) 0,7 ∈ Z. (f) 0,333 . . . ∈ Z.
(g) −0,131313 . . . ∈ Z. (h) 0,999 . . . ∈ Z. (i)
√
2 ∈ Z.
(j)
√
4 ∈ Z. (k) 0,202002000 . . . ∈ Z. (l) 0 ∈ Z.
(m)0 ∈ Z∗. (n) −3 ∈ Z+. (o) −2 ∈ Z−.
(p) 0 ∈ Z−. (q)
√
9 ∈ Z−.
28. Dizer se é verdadeira ou falsa cada uma das sentenças abaixo.
(a) −2 ∈ Z− N. (b) 0 ∈ Z− N. (c)
√
2 ∈ R−Q.
(d) π ∈ R−Q∗−. (e)
3
4
/∈ N− Z. (f) 0,1717 . . . ∈ Q− Z.
(g) −21
3
∈ Q− Z. (h) −10 ∈ N ∩Q. (i) 7
8
∈ Z ∪Q.
(j)
1
6
∈ R−Q∗+. (k)
1
6
∈ R−Q−.
5
29.Dados os conjuntos A = {x ∈ R |
√
2 < x < 3} e B = {x ∈ R | 3 ≤ x ≤ π}, efetuar as operações
pedidas, dar as respostas na notação de intervalo e representar graficamente.
(a) A ∩B. (b) A ∪B. (c) A−B.
(d) B − A. (e) A. (f) B.
Observação. Sempre que o conjunto universo não for mencionado, estará subentendido que será R.
30. Repita o exerćıcio acima para os conjuntos A =
(
−3,−1
3
)
∪
[π
5
,∞
)
e B =
(
−∞,−2
3
)
∪(√
3
3
,
√
2
2
]
.
31. Dados os conjuntos A = [0, 2], B = (1, 4] e C = (3, 4], efetuar as operações pedidas, dar as respostas
na notação de intervalo e representar graficamente.
(a) A ∩B. (b) A ∪B. (c) A−B. (d) B − A.
(e) A. (f) A ∩ C. (g) A ∪ C. (h) A− C.
(i) C − A. (j) B. (k) B ∩ C. (l) B ∪ C.
(m)B − C. (n) C −B. (o) C. (p) C − A ∩B.
32. Dados os conjuntos A =
{
x ∈ R
∣∣ x ≥ 17
10
}
, B = {x ∈ R |
√
5 < x ≤ e ou x > π}, C ={
x ∈ R
∣∣ √3 < x ≤ √5 ou 5
2
< x < π
}
e U = R, escreva na notação de intervalo e represente gra-
ficamente o conjunto M = (A− C)− (A−B).
33. Representar graficamente, no plano cartesiano, o produto cartesiano A×B nos casos abaixo.
(a) A = {−3,−1, 2} e B = {1, 2, 3, 4}. (b) A = {−1, 1, 3} e B = {−4,−2, 0}.
(c) A =
{
−3
2
,
√
2
}
e B = {0, 1, π}. (d) A =
[
−3
2
, π
[
e B = {−3,−1, 1, 3, 5}.
(e) A = {x ∈ R | x ≤ 2} e B = (−3,−1]. (f) A = {−1, 1, 2} e B = {x ∈ R | x < 2}.
(g) A = [−3,+∞) e B = {0, 2}. (h) A = R e B = [1, 4[.
(i) A = {2, 3, 5} e B = R. (j) A = R e B = (−∞, 1).
(k) A = R∗+ e B = {−3,−2,−1, 0}. (l) A = R e B = R.
34. Representar graficamente, no plano cartesiano, os conjuntos abaixo.
(a) B = {(x, y) ∈ R2 | x = −3}. (b) C = {(x, y) ∈ R2 | y = 1}.
(c) D = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ −2}.
35. Dados os conjuntos A = [1, 3], B =]1, 5], C = [2, 4[, D =]3, 6[, represente graficamente, no plano
cartesiano os conjuntos abaixo.
(a) (C ×D)− (A×B). (b) (A×B) ∪ (C ×D).
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
A. Z. Aranha e M. B. Rodrigues – Exerćıcios de Matemática - vol. 1, Revisão de 1o grau. Segunda
edição, Editora Policarpo, São Paulo, 1998.
6
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Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
MTM3100 - Pré-cálculo
3a lista de exerćıcios (versão complementar) - Módulo, potenciação e radiciação
Semana 3 (19/08/2019 a 23/08/2019)
1. Resolva as expressões abaixo.
(a) |a− b|, com a > b. (b) |a− b|, com a < b. (c) |a− b|, com a = b.
(d) |a− 1|, com a ≥ 1. (e) |a− 1|, com a ≤ 1. (f) |a− 1|, com a > 3.
(g) |a− 1|, com a < −2. (h)
∣∣1
3
− 1
2
∣∣. (i) |π − 3|.
(j) |3− π|. (k) |
√
2− 1|. (l) |1−
√
2|.
2. Explique o significado da afirmação
“Se a e b são números reais, então |a− b| é a medida da distância entre a e b.”
3. Simplificar o quanto for posśıvel, dando as respostas na forma de potências de 10.
(a) 1. (b) 100. (c) 0,000001.
(d) 1003. (e) (−0,1)−3. (f) −0,016.
(g) −(−1000)3. (h) 10002 · 0,012. (i) (−100)4/(−10)5.
(j) (0,001)−3/(−100)−2.
4. Simplifique a expressão
1003 · (−0,1)−3 · (−0,001)−4 · [−(−1000)3]
−0,016 · (−10000)−5
.
5. Tornar verdadeiras as igualdades seguintes, multiplicando os segundos membros por potências de 10
convenientes (seguir o modelo do item (a)).
(a) 0,00092 = 0,92 · 10−3. (b) 5100 = 5,1 · (c) 0,0483 = 483 ·
(d) 127000 = 127 · (e) 201 = 2,01 · (f) 80,21 = 80210 ·
6. Efetuar as operações seguintes, dando as respostas em notação cient́ıfica (isto é, a resposta escrita
com um número entre 1 e 10 multiplicado por uma potência de 10).
(a) 1002 · 10−1 + 32 · 10−5. (b) 25− 12 · 10−3.
(c) 5 · 1040 + 9 · 1042. (d) 9,43 · 10−13 − 0,0001025 · 10−8.
(e) (0,0809 · 1032) · (0,37 · 1045). (f) (1,311 · 10−41)/(5700 · 10−30).
7. Simplifique e dê as respostas na forma de potências de 2.
(a) −(−0,5)−3. (b) (−0,1252)−3. (c) 0,03125−5.
(d) 84 · 0,53. (e) (−0,25)−2 · (−32)−3. (f) (−0,125)−3/(−0,25)−4.
1
8. Resolva as expressões abaixo e dê a resposta em forma de fração.
(a) 0,53. (b) 0,12. (c) 0,120. (d) (−0,0625)4.
Observação. Tente resolver por dois métodos: (1) resolver as potências na forma decimal e depois
converter para fração e (2) converter a base da potência para fração e depois efetuar a potência.
9. Resolva as expressões abaixo e dê a resposta na forma decimal.
(a) (0,2)2. (b) 1,32. (c) −0,422. (d) (−0,15)2.
Observação. Tente resolver por dois métodos: (1) resolver as potências na forma decimal e (2)
converter a base da potência para fração, efetuar a potência e depois converter para escrita decimal.
10. Simplifique as expressões abaixo, indicando as que não estão definidas em R.
(a)
3
√
712. (b)
3
√
x3, com x ∈ R.
(c) p
√
an·p, com a ∈ R e n, p ∈ N. (d) 5
√
25 · 23.
(e)
3
√
23 · 2 · 312. (f) 3
√
56 · 5 · a9 · a2 · x15 · x3, com a, x ∈ R.
(g)
10
√
25a6, com a ∈ R. (h) 21
√
128a14, com a ∈ R.
(i)
√
72x5y4, com x, y ∈ R e x ≥ 0. (j) 8
√
(a− b)8, com a ≥ b.
(k) 4
√
(x− y)4.
11. Simplifique as expressões abaixo e dê a resposta utilizando uma única raiz (se necessário).
(a)
5
√
4
√
2. (b)
(
6
√
a
)13
. (c)
√
3
√
58. (d)
3
√√
5
√
1024.
(e)
(
16 4
√
8
)2
. (f)
(
2
√
x
)3
. (g)
(
3
√
6√
510
3√
52
)4
. (h)
(
3
√
7
√
8x3
)14
.
12. Simplifique as expressões abaixo, dando a resposta na forma de uma única potência e, também, na
forma de radicais.
(a) 22 · 22/3. (b) 43 · 2− 27 . (c) 2
2
22/3
. (d)
43
2−
2
7
.
13. Reescreva as expressões abaixo e dê a resposta na forma de produto de potências e, também, produto
de radicais. Tente resolver por dois métodos: (1) manipulando diretamente radicais e (2) reescrevendo
como potência e manipulando a seguir.
(a)
√
7. (b) n
√
6, n ∈ N∗.
(c)
√
a2 a b6 b c4, com a ≥ 0 e b ≥ 0. (d) 4
√
24 32 x8 x3, com x ≥ 0.
(e) 3
√
432. (f)
3
√
a3b2.
(g)
3
√
23a6. (h)
5
√
215a2.
(i)
4
√
256a3, com a ≥ 0. (j)
√
32a5b, com a ≥ 0 e b ≥ 0.
(k)
4
√
1250x10. (l)
√
32.
(m)
√
27x2y5, com y ≥ 0.
14. Passe os coeficientes (fatores) para dentro dos radicais.
(a)
a2
b3
√
b5
a3
. (b)
4
5
5
√
625
8
. (c)
√
8 · 3
√
5
2
. (d) 2 · 3
√
3
4
·
√
2
3
. (e) 2
√
2
√
2
√
2−7.
2
15. Sejam x e y números reais positivos. Reescreva as expressões e dê a resposta utilizando uma única
raiz.
(a) 3
√
144/ 3
√
6. (b)
(√
162 · 1600/
√
12
)
/
√
15. (c)
15
√
x2 · 10
√
x3.
(d) 4
√
x/ 12
√
x. (e)
24
√
8x2y5
16
√
4xy2
. (f)
15
√
x2 · 20
√
x17
30
√
x11
.
16. Simplifique e dê as respostas na forma de potências de 2.
(a) (−1282)32 · (−642)(−3)2 · (5123)−32 . (b)
[
(0,125−2)
3 · (0,0625−1)2
]2
/(0,25)−2.
(c) (0,0625)
1
4/
[
(−0,125)6 · (−1024)−2 · (0,4853)0
]−2
.
17. Simplifique e dê as respostas em forma de radicais (quando necessário).
(a) 16
1
8 . (b) −49 12 . (c) −27− 13 . (d)
(
1
625
)−4−1
.
(e) 256−
1
2 . (f) (0,111 . . . )−1/2. (g)
[(
− 1
64
)2]0,0625
. (h)
[
5(−9)
2]−3−6
.
18. Simplifique as expressões abaixo efetuando somas de radicais sempre que posśıvel.
(a) 4
√
7−
[
9
√
5−
(
2
√
7−
√
5
)]
−
[
8
√
5−
(
6
√
5−
√
7
)]
.
(b) 5
√
2 +
5
√
26 − 3 5
√
211.
(c) −2 3
√
25− 0,4 3
√
625 + 3
4
3
√
320 + 1
3
3
√
675.
(d)
2 4
√
512
3
− 3
4
√
1250
4
+
4
√
162
2
.
19. Resolva as expressões abaixo.
(a) 4 · (0,5)4 +
√
0,25 + 8−
2
3 . (b) − 3
√
−8 + 16− 14 − (−1
2
)−2 + 8−
4
3 .
20. Simplifique a expressões abaixo.
(a)
10 · 0,01 + 0,2 · 10−3
0,005
− 4 · 10
−3 · 3 · 10−5
0,0005 · 10−3
. (b)
32
x
15
+ 3
5 + 3 ·
(
1
8
)−x
9
− 2
3
− 9 · 4x6+ 12
2
x
3
+4 + 9 ·
(
1
2
)−x
3
−1
− 2x3+5
.
(c)
{[
0,1−2 ·
(
0,0001−
1
4
)5]
/
1
(1000−2)
1
6
}
·
[
(100−2)
3 · (0,13)−4
]
.
21. Sejam a, b e c números reais positivos. Simplifique e reescreva utilizando uma única fração.
(a)
(
9
8
√
32a4b2c · 6 12
√
8a4b5c3
)
/
(
27
6
√
16a5b3c2
)
. (b)
3bc
4a
· 3
√
2a2
9bc2
9b
2a
· 4
√
3b2
8ac
.
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
A. Z. Aranha e M. B. Rodrigues – Exerćıcios de Matemática - vol. 1, Revisão de 1o grau. Segunda
edição, Editora Policarpo, São Paulo,1998.
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MTM3100 - Pré-cálculo
4a lista de exerćıcios (versão complementar) - Manipulação algébrica, fatoração e
racionalização
Semana 4 (26/08/2019 a 30/08/2019)
1. Simplifique as expressões abaixo.
(a) 2a− 3b− 5a + 7b + 8a− 4b.
(b) 6x2 − 3x + 2− 4x2 − 6x− 1 + 7x− 3.
(c) (3x2 − 3xy + y2)− (−5x2 + 7xy − 2y2).
(d) −3x2 − (−4x2 − 2x− (−5x2 − 3x− 1− (2x2 − 5x− 2))− (−x2 − x− 1)) + 8x2 − 2x.
2. Efetue as multiplicações.
(a) −2a2b(−3b2c)(−4a3c2). (b) −3x2(−5x2 − 4xy + 6y2).
(c) (−2ax)(−3a2x3)(5ab). (d) (x + 7)(x− 5).
(e) (a + 2)(a− 9). (f)
(
y − 1
2
)(
y − 1
3
)
.
(g) (x2 − 8)(x2 + 2). (h) (x + 3m)(x− 7m).
(i) (x + p)(x + q). (j) (2x− 3y)(3x2 + 2x− 5).
(k) (x2 − xy + y2)(x2 + 2xy − y2). (l) (3x− 1)(2x− 3)(3x− 2)(x + 4).
3. Efetue as divisões.
(a) ((−144x7y)/(−4x5))/(9xy). (b) (−8x4y3 + 12x3y4)/(−4x3y3).
(c)
16x2my3m+1
2x2m−3y3m−1
. (d)
4
15
x3y − 6
25
x2y2 − 3
10
xy3
−12
35
xy
.
4. Efetue as multiplicações utilizando produtos notáveis.
(a) (4x + 5)(4x− 5). (b) (5x− 6)(5x + 6). (c) (6− 7y)(6 + 7y).
(d) (a + b)(a− b). (e) (
√
x +
√
3)(
√
x−
√
3).
5. Desenvolva os quadrados utilizando produtos notáveis.
(a) (3x + 2y)2. (b) (3y − 4x)2. (c) (−
√
3x−
√
12y)2.
(d) (a + b)2. (e)
(
3
5
x3 +
5
3
)2
. (f) (5y3m−2 − 72m+3)2.
6. Efetue as multiplicações utilizando produtos notáveis.
(a) (a + b)(a2 − ab + b2). (b) (x− a)(x2 + ax + a2).
(c) (4x4 − 5)(16x8 + 20x4 + 25). (d) (16x2 + 12x + 9)(4x− 3).
1
7. Desenvolva os cubos utilizando produtos notáveis.
(a) (a + b)3. (b) (3a2b− 2ab2)3. (c)
(
2
3
x− 1
4
y
)3
. (d) (x
√
x− y√y)3.
8. Simplifique as expressões abaixo.
(a) (x + 5)(x− 3)− 2(2x− 1)2 − (2x− 4)(4x2 + 8x + 16)− (−3x− 1)(3x− 1).
(b) (a + b)2 − (a− b)2 − (a + b)(a− b).
(c) (a + b + c)2 − (a + b)2 − (a + c)2 − (b + c)2 − (a + b)(a− b).
9. Utilize o binômio de Newton para desenvolver as potências abaixo.
(a)
(
1
2
x− 3
)6
. (b) (
√
x− 3
√
x2)5. (c) (1 + 1)7. (d) (1− 1)7.
Observação. Nos dois últimos itens, você encontrará uma relação matemática envolvendo somas de
números binomiais.
10. Encontre o coeficiente da potência x10 no desenvolvimento das potências abaixo.
(a) (x + 3)15. (b) (x2 + 4)7. (c) (2x + x3)6.
(d) (2x2 − x−1)8. (e) (
√
x− 3
√
x2)25.
11. Racionalize os denominadores das frações abaixo.
(a)
7
3
√
49
. (b)
1
5
√
ab2
. (c)
120√
2 3
√
3
. (d)
15
10 3
√
3
.
(e) − 30
3
√
18
. (f)
6√
5−
√
2
. (g)
√
2− 3
1−
√
2
. (h)
12
4
√
10− 4
√
4
.
(i)
121
− 4
√
3−
√
5
. (j)
10
3
√
5 + 3
√
7
. (k)
2
2− 3
√
7
. (l)
1
3
√
4 + 3
√
2 + 1
.
(m)
1√
3 +
√
2−
√
6
.
12. Racionalize os numeradores das seguintes frações.
(a)
7
√
23
5
. (b)
√
3 +
√
2. (c)
√
5−
√
2
9
.
(d)
√
3− 2√
3 + 2
. (e)
√
4 + h− 2
h
. (f)
√
x + 2−
√
3
3x− 3
.
Comentário. Você deve estar achando estranho um exerćıcio para racionalizar o numerador. Por
acaso você já se perguntou por que racionalizamos o denominador de uma fração? Por que não
podemos deixar ráızes no denominador? De fato, não há nenhum mal em deixar ráızes no denomi-
nador. O importante na racionalização é o processo utilizado e saber que uma mesma fração pode
ser reescrita de diversas formas.
13. Fatore as expressões abaixo.
(a) 5a− 5b. (b) 8x− 12y. (c) x3 + x2 + x.
(d) 34xy − 85z. (e) (a + b)x + (a + b)y. (f) x2 − xy + ax− ay.
(g) ax + ay − bx− by. (h) 2x2 − 4xy − 3x + 6y. (i) x3 − x2 + x− 1.
2
14. Fatore as expressões abaixo.
(a)
x2
36
− 121
y2
. (b) a2 − 0,09. (c) 49x6y2 − 1. (d) x4 − 144.
(e) 100a4 − 64a2b2. (f) (a + b)2 − c2. (g) x2 − (y − z)2.
15. Fatore as expressões abaixo.
(a) x6 + 14x3y + 49y2. (b) 9x2 − 6x + 1. (c) a2 + 2ab + b2. (d) x2 − 10xy + 25y2.
(e) y2 + 289x2 + 34xy. (f) x2 + 2 +
1
x2
. (g) x2 + x−2 + 2. (h)
9
4
x2 +
4
9
y2 − 2xy.
(i) 2x3 + 8x2y + 8xy2. (j) 16x4 − 72x2 + 81.
16. Fatore as expressões abaixo.
(a) x4 − 8x. (b) x4y + xy4. (c) 24x5 − 3x2.
(d) 64x6 + 216x3y3. (e) x9 − 512. (f) x6 − y6.
(g) x6 − 8. (h) x3n + y3n. (i) x3 − 1
8
y3.
17. Fatore as expressões abaixo.
(a) 8x3 + 60x2 + 150x + 125. (b) 27x6 + 1 + 27x4 + 9x2.
(c) 16x4 + 72x3 + 108x2 + 54x. (d) 64x6 − 96x5 + 48x4 − 8x3.
18. Fatore as expressões abaixo.
(a) a4 + 11a2 + 24. (b) x2 − 10ax− 24a2. (c) x4 − 29x2 + 100. (d) 6x2 − 13x + 6.
(e) 6x2 + 5x + 1. (f) 2x2 + 5x− 3. (g) 2x2 − 2x− 12. (h) 12x2 − 11ax + 2a2.
(i) −4x2 − 6x + 18. (j) x2 − 2x + 4. (k) 12x3 − 34x2 + 10x.
19. Observe as fatorações dos itens (a), (b) e (c) e encontre uma forma semelhante para os outros
itens.
(a) x2 − y2 = (x− y)(x + y). (b) x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2).
(c) x4 − y4 = (x− y)(x3 + x2y + xy2 + y3). (d) x5 − y5.
(e) xn − yn. (f) xn − 1.
(g) x10 − 1. (h) x11 + 1.
20. Complete o quadrado, conforme exemplos nos itens (a) e (b).
(a) x2 + y2 − 2x + 4y − 15 = (x2 − 2x + 1) + (y2 + 4y + 4)− 20 = (x− 1)2 + (y + 2)2 − 20.
(b) −x2 + 3y2 − 4x− 6y + 20 = −(x2 + 4x + 4) + 3(y2 − 2y + 1) + 21 = −(x + 2)2 + 3(y − 1)2 + 21.
(c) 9x2 + 16y2 + 54x− 128y + 193. (d) 9x2 + 5y2 − 18x− 20y − 151.
(e) x2 − y2 + 6x + 25. (f) 3x2 + 3y2 − 4x + 6y + 2.
(g) 9y2 − 25x2 − 90y − 50x− 25.
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
A. Z. Aranha e M. B. Rodrigues – Exerćıcios de Matemática - vol. 1, Revisão de 1o grau. Segunda
edição, Editora Policarpo, São Paulo, 1998.
3
Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
MTM3100 - Pré-cálculo
5a lista de exerćıcios (versão complementar) - Manipulação algébrica envolvendo
frações, divisão de polinômios e estudo do sinal de expressões de primeiro e segundo
graus
Semanas 5 e 6 (02/09/2019 a 13/09/2019)
1. Escreva as expressões abaixo na forma de uma única fração sem fatores comuns, seguindo o exemplo
abaixo.
Exemplo:
1
x− 1
− 2
x2 − 1
=
(x + 1)− 2
x2 − 1
=
x− 1
x2 − 1
=
1
x + 1
.
(a)
a
(a− b)(a− c)
+
b
(b− a)(b− c)
+
c
(c− a)(c− b)
.
(b)
x + 3
2x
− 9x
2 − 4x3
6x2
− 2x− 3
3
.
(c) x +
xy
x− y
.
(d)
x
x− 1
+
x + 2
x− 2
.
2. Simplifique as expressões abaixo sob a forma de uma única fração sem fatores comuns.
(a)
(
3
1− 2x
− 7
1 + 2x
− 5− 22x
4x2 − 1
)
·
(
x− 2
x + 2
+
5
2x + 4
)
.
(b)
a + b
a− b
(
2a− b
a + b
− a− b
a
)
a− b
a + b
− a + b
a
+
a2 + 2ab + b2
a2 + ab
.
3. Efetue as divisões de polinômios (encontrando quociente e resto) e escreva as duas identidades asso-
ciadas à divisão, conforme exemplo abaixo.
Exemplo: (2x2 − 5x + 7)÷ (x− 4).
Quociente: 2x + 3; Resto: 19;
Identidade (forma 1): 2x2 − 5x + 7 = (x− 4)(2x + 3) + 19;
Identidade (forma 2):
2x2 − 5x + 7
x− 4
= 2x + 3 +
19
x− 4
.
(a) (x3 − 3)÷ (x4 + 5x + 7). (b) (−3x2 − 14x + 17)÷ (x2 − 3).
(c) (x3 − 3x + 7)÷ (2x− 4). (d) (x6 − 1)÷ (x− 1).
(e) (25x6 − 30x3)÷ (5x2).
1
4. Analise o sinal dos polinômios de primeiro grau abaixo, seguindo o exemplo abaixo.
Exemplo: 2x− 4.
• Se x > 2, então 2x− 4 > 0 (ou se x ∈ (2,∞), então 2x− 4 > 0).
• Se x = 2, então 2x− 4 = 0 (ou se x ∈ {2}, então 2x− 4 = 0).
• Se x < 2, então 2x− 4 < 0 (ou se x ∈ (−∞, 2), então 2x− 4 < 0).
Observação. Há uma forma visual de representar as três sentenças acima:
2
2x− 4
− +
(a) 2x− 3. (b) 6− 3x. (c) 3
5
x− 2
7
.
5. Analise o sinal dos polinômios de segundo grau abaixo, seguindo o exemplo abaixo.
Exemplo: x2 − 5x + 6.
• Se x ∈ (−∞, 2) ∪ (3,∞), então x2 − 5x + 6 > 0.
• Se x ∈ {2, 3}, então x2 − 5x + 6 = 0.
• Se x ∈ (2, 3), então x2 − 5x + 6 < 0.
Observação. Há uma forma visual de representar as três sentenças acima:
2 3
x2 − 5x + 6
+ − +
(a) x2 + 5x + 6. (b) −x2 + 6x− 5. (c) x2 − x.
(d) x2 − 3. (e) x2. (f) 2x2 − 5x + 2.
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
A. Z. Aranha e M. B. Rodrigues – Exerćıcios de Matemática - vol. 1, Revisão de 1o grau. Segunda
edição, Editora Policarpo, São Paulo, 1998.
2
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MTM3100 - Pré-cálculo
6a lista de exerćıcios (versão complementar) - Equações, solução, conjunto solução,
domı́nio de definição, noções de implicação e equivalência, resolução de equações de
primeiro e segundo graus
Semana 7 (16/09/2019 a 20/09/2019)
1. Em cada item, verifique se o valor fornecido é uma solução da equação 4x+ 7 = 9x− 3.
(a) x = −2. (b) x = 2. (c) x = 0. (d) x =
√
2. (e) x = π. (f) x = 250.
2. Em cada item, verifique se o valor fornecido é uma solução da equação
x3/2
x− 6
= x− 8.
(a) x = 4. (b) x = 8. (c) x = 3. (d) x = −1.
3. Em cada item, escreva (sem resolver) o conjunto solução associado ao que se pede, conforme exemplo
abaixo.
Exemplo. Soluções reais da equação x3 − 3x+ 7 = 4: S = {x ∈ R | x3 − 3x+ 7 = 4}.
(a) Soluções reais da equação 2x− 3 = 0.
(b) Soluções racionais da equação 2x− 3 = 0.
(c) Soluções inteiras da equação 2x− 3 = 0.
(d) Soluções irracionais da equação x3 − 2x = 0.
4. Explicite os conjuntos soluções dos itens (a), (b) e (c) do exerćıcio anterior. Como seria o enunciado
dos exerćıcios que teriam essas respostas?
5. Em cada item, escreva (sem resolver) o conjunto solução associado ao que se pede, conforme exemplo
abaixo.
Exemplo. Soluções em R2 de x− y = 0: S = {(x, y) ∈ R2 | x− y = 0}.
(a) Soluções em R2 de y = x2. (b) Soluções em R2 de y = x2 + 1.
(c) Soluções em R2 de x2 + y2 = 1.
6. Desenhe, no plano cartesiano, os conjuntos soluções do exerćıcio anterior.
7. Em cada item, escreva (sem resolver) o conjunto solução associado ao que se pede.
(a) Soluções em R3 de x+ y + z = 1. (b) Soluções em R3 de x+ y = 1.
8. Utilize seus conhecimentos de Geometria Anaĺıtica para desenhar os conjuntos soluções do exerćıcio
anterior.
9. Em cada item, escreva (sem resolver) o conjunto solução associado ao que se pede.
(a) Soluções reais do sistema de equações
{
2x2 − 1 = x
2x+ 4 = 0.
1
(b) Soluções reais do sistema de equações

3x− 6 = 3
4x− 2 = 2
x− 3 = 0.
(c) Soluções em R2 do sistema de equações
{
2x− 3y = 1
4x+ 2y = 10.
10. Explicite os conjuntos soluções dos itens (b) e (c) do exerćıcio anterior.
11. Em cada um dos itens, determine o maior subconjunto de R sobre o qual a equação faz sentido,
conforme exemplos abaixo.
Exemplo 1.
√
x = x2 − 1: x ∈ [0,∞).
Exemplo 2.
x
x− 1
=
x2 − 1
x+ 1
: x ∈ R− {−1, 1} = (−∞,−1) ∪ (−1, 1) ∪ (1,∞).
Exemplo 3.
x+ 3
7
= x2 − x+ 18: x ∈ R.
(a) x5/2 − x3 = 7. (b)
√
−x
x+ 1
=
1
x− 3
.
(c)
√
−x+
√
x = x3. (d) |x2 − 1|+
√
|3x− 4| −
√
x− 3 = 1√
7− x
.
12. Em cada item, diga se a passagem efetuada é uma implicação ou uma equivalência (considerando R
como universo de solução), conforme exemplos abaixo.
Exemplo 1. De 2x− 4 = 0 para 2x = 4:
É uma equivalência, pois é posśıvel obter qualquer uma das equações a partir da outra. Neste caso,
usamos a notação 2x− 4 ⇐⇒ 2x = 4.
Exemplo 2. De 2x = 4 para 4x2 = 16:
É uma implicação (da esquerda para a direita), pois a equação 2x = 4 ser verdadeira obriga que
4x2 = 16 também seja verdadeira, mas o oposto não ocorre. Por exemplo, a equação 4x2 = 16 possui
x = −2 como solução, que não é solução de 2x = 4. Neste caso, usamos a notação 2x = 4 =⇒
4x2 = 16. Observação. Note que essas equações não são equivalentes no universo R, mas seriam
equivalentes, por exemplo, em R+.
(a) De 3
√
x− 3 = x2 − 6x+ 7 para x− 3 = (x2 − 6x+ 7)3.
(b) De x2 − 3 = x+ 1
x− 1
para |x2 − 3| =
∣∣∣∣x+ 1x− 1
∣∣∣∣.
(c) De |x3 − x+ 4| = |x2 − 6| para x3 − x+ 4 = x2 − 6.
13. Resolva as equações abaixo.
(a) 5x− 3 = 4. (b) 1
2
x− 8 = 1. (c) 5t− 13 = 12− 5t.
(d)
z
5
=
3
10
z + 7. (e) 2(1− x) = 3(1 + 2x) + 5. (f) 2
3
y +
1
2
(y − 3) = y + 1
4
.
(g) 2x− x
2
+
x+ 1
4
= 6x. (h)
1
x
=
4
3x
+ 1. (i)
2x− 1
x+ 2
=
4
5
.
(j)
3
x+ 1
− 1
2
=
1
3x+ 3
. (k)
4
x− 1
+
2
x+ 1
=
35
x2 − 1
. (l) (t− 4)2 = (t+ 4)2 + 32.
14. Para resolver equações de segundo grau, há diferentes métodos: fórmula de Bhaskara, completamento
do quadrado, pré-conhecimento de uma fatoração, soma e produto, entre outros. Entender os métodos
ajuda muito a aprender conceitos mais complexos futuramente. Abaixo, há exemplos sendo resolvidos
por cada um dos métodos.
2
Exemplo 1 (resolução pela fórmula de Bhaskara). x2 − 2x − 15 = 0 ⇐⇒ x = 2−
√
64
2
ou x =
2 +
√
64
2
⇐⇒ x = −3 ou x = 5.
Exemplo 2 (resolução por completamento do quadrado). x2 + 4x = 0 ⇐⇒ (x + 2)2 = 4 ⇐⇒
x+ 2 = 2 ou x+ 2 = −2 ⇐⇒ x = 0 ou x = −4.
Exemplo 3 (resolução por pré-conhecimento de uma fatoração). x2+x−12 = 0 ⇐⇒ (x−3)(x+4) =
0 ⇐⇒ x− 3 = 0 ou x+ 4 = 0 ⇐⇒ x = 3 ou x = −4.
Exemplo 4 (resolução por soma e produto). 2x2 − 14x + 24 = 0 ⇐⇒ S = 7 e P = 12 ⇐⇒
x = 3 ou x = 4.
Observação. Há várias formas de se dar a resposta para um problema do tipo “resolva a equação”.
Neste último exemplo, todas estas opções estão corretas: (1) x = 3 ou x = 4, (2) As soluções são 3
e 4, (3) S = {3, 4}, (4) x ∈ {3, 4}. Por outro lado, dizer que “x = 3 e x = 4” está incorreto. Esta
expressão significa o conjunto vazio (pois não é posśıvel ambas serem verdadeiras ao mesmo tempo).
Você consegue justificar por que usar “e” no lugar de “ou” no item (1) está incorreto e usar “e” no
item (2) está correto?
Resolva as equações abaixo e tente utilizar todos os métodos citados.
(a) x2 + 8x+ 12 = 0. (b) 2y2 + 7y + 3 = 0. (c) 3x2 + 5x = 2. (d) 3x2 − 27 = 0.
(e) (2x− 1)2 = 8. (f) x2 − 6x− 11 = 0. (g) x2 + 3x− 7
4
= 0. (h) 2x2 + 8x+ 1 = 0.
(i) 3x2 − 6x− 1 = 0. (j) 4x2 − x = 0. (k) x2 = 3
4
x− 1
8
. (l) x2 + 5x− 6 = 0.
(m)x2 − 7x+ 10 = 0. (n) x2 + 30x+ 200 = 0.
15. Apenas analisando o discriminante, diga quantas soluções (reais) cada equação abaixo possui.
(a) x2 + 2,2x+ 1,21 = 0. (b) x2 + 2,21x+ 1,21 = 0. (c) x2 + rx− s = 0, com s > 0.
16. Sejam r1 e r2 as soluções da equação ax
2 + bx+ c = 0. É posśıvel demonstrar que
a(x− r1)(x− r2) = ax2 + bx+ c
(você consegue demonstrar??). Usando esse resultado, caracterize S = r1 + r2 e P = r1r2 em termos
de a, b e c.
17. Obtenha um resultado análogo ao exerćıcio anterior para a equação ax3 +bx2 +cx+d = 0 com ráızes
r1, r2 e r3. Você consegue generalizar esse resultado para polinômios quaisquer? Essas relações são
conhecidas como relações de Girard (aproveite para pesquisar sobre essas relações.)
18. Em cada item, obtenha uma equação de segundo grau cujas soluções estão indicadas.
(a) 0,4 e 5. (b) 1 e −
√
2. (c) 1 +
√
3 e 1−
√
3.
19. Nas fórmulas abaixo, resolva para a variável indicada, isto é, isole a variável pedida.
(a) a− 2(b− 3(c− x)) = 6 para x. (b) a2x+ (a− 1) = (a+ 1)x para x.
(c)
a+ 1
b
=
a− 1
b
+
b+ 1
a
para a. (d) F = G
mM
r2
para r.
(e) a2 + b2 = c2 para b. (f) A = P
(
1 +
i
100
)2
para i.
20. Resolva a equação ax2 + bx + c = 0 pelo método do completamento do quadrado e, a partir disso,
deduza a fórmula de Bhaskara.
3
21. O exerćıcio acima sugere que as fórmulas matemáticas são obtidas quando resolvemos um problema
(que aparece muitas vezes) em sua forma genérica (isto é, trocando os números por letras). Nesse
exerćıcio, construiremos nossa própria fórmula. Imagine que nosso objetivo seja resolver as equações
1
x− 4
= 7,
3
x+ 1
= 10 e
−3
x+ 3
= −3. Note todas elas são parecidas, mudando apenas alguns
números. Em vez de resolver todas elas, uma a uma, resolva a forma geral
a
x+ b
= c e encontre uma
“fórmula” para x. Após isso, substitua os valores de a, b e c de cada equação na fórmula obtida para
encontrar as soluções.
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
[1] A. Z. Aranha e M. B. Rodrigues – Exerćıcios de Matemática - vol. 1, Revisão de 1o grau. Segunda
edição, Editora Policarpo, São Paulo, 1998.
[2] J. Stewart, L. Redlin, S. Watson – Precalculus, Mathematics for Calculus. 6a ed., Brooks/Cole
Cengage Learning, Belmont, 2014.
4
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Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
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MTM3100 - Pré-cálculo
7a lista de exerćıcios (versão complementar) - Resolução de equações por substituição
de variável, equações modulares, equações radiciais e problemas aplicados
Semana 8 (23/09/2019 a 27/09/2019)
1. Resolva em R as equações abaixo.
(a) (x2 + x− 12)(x2 + 8x + 12)(4x2 − x)(2x− 24) = 0.
(b)
(x2 + x− 12)(x2 + 8x + 12)(4x2 − x)(2x− 24)
x2 − 9
= 0.
Sugestão. Analise com cuidado antes de sair fazendo um monte de contas!
2. Resolva em R as equações abaixo.
(a) x4 − 5x2 + 4 = 0. (b) x6 − 2x3 − 3 = 0. (c) x8 − 8x4 + 7 = 0.
3. Resolva em R as equações abaixo.
(a) |4x− 5| = 0. (b) |2x− 3| = −1.
(c)
∣∣∣∣x2 − 52x− 14
∣∣∣∣ = 54. (d) |x2 − 4x + 5| = 2.
4. Resolva em R as equações abaixo.
(a) |4x− 1| − |2x + 3| = 0. (b) |x2 + 2x− 2| = |x2 − x− 1|.
(c) |x| = | − x|.
5. Resolva em R as equações abaixo.
(a) |2x2 + 15x− 3| = x2 + 2x− 3. (b) |3x− 2| = 3x− 2.
(c) |4− 3x| = 3x− 4.
6. Resolva em R as equações abaixo.
(a) −|x2|+ 3|x| − 2 = 0. (b) |x2 − 1|2 − 5|x2 − 1|+ 6 = 0.
7. Resolva em R as equações abaixo.
(a) |x + 1| − |x| = 2x + 1. (b) |x|
x
=
|x− 1|
x− 1
.
8. Resolva em R as equações abaixo.
(a)
√
3x− 2 = 4. (b)
√
3x2 − 7x + 4 = 2.
(c)
√
16 +
√
x + 4 = 5. (d)
√
5 +
√
3 + x = 3.
(e) x +
√
25− x2 = 7. (f) x−
√
25− x2 = 1.
(g) 2− x− 2
√
x + 1 = 0. (h)
√
x4 + 2x2 − x + 1 = 1− x2.
1
9. Resolva em R as equações abaixo.
(a)
√
x + 1−
√
x− 1 = 1. (b)
√
x− 9−
√
x− 18 = 1.
(c)
√
x + 1 =
√
2x + 1. (d)
√
2x + 2−
√
x− 1 = 2.
10. Resolva em R as equações abaixo.
(a) 3
√
4x + 1 = 2. (b) 3
√
x2 − x− 4 = 2.
(c) 3
√
4x2 + 9x + 1 = x + 1. (d) 3
√
x + 1 = 2x + 1.
11. Resolva em R as equações abaixo.
(a) x3 − 3x
√
x + 2 = 0. (b) 6x + 7
√
x + 2 = 0.
(c)
3
√
x2 − 6 3
√
x + 5 = 0. (d) 9
4
√
x3 − 8
√
x3 − 1 = 0.
(e) x4/3 − 5x2/3 + 6 = 0. (f) x1/2 + 3x−1/2 = 10x−3/2.
12. A Resolva em R as equações abaixo.
(a)
√
x + 10−
√
x + 3 =
√
4x− 23. (b)
√
x− 2 +
√
x− 7 =
√
x + 5 +
√
x− 10.
(c)
2
x +
√
2− x2
+
2
x−
√
2− x2
= x. (d)
√
x2 + 3x + 6− 3x = x2 + 4.
(e) 3
√
x + 49− 3
√
x− 49 = 2. (f) x
√
x =
√
xx.
(g) x1/2 − 3x1/3 = 3x1/6 − 9.
13. Uma grande caixa (em formato de paraleleṕıpedo reto) tem volume de 180m3. Sabendo que a largura
é 9m maior que a altura e que a profundidade é 4m menor que a altura, determine as dimensões da
caixa.
14. Três esferas de ouro, com raios 2mm, 3mm e 4mm foram derretidas e uma única esfera foi formada
a partir delas. Qual é o raio da nova esfera?
15. Uma caixa com base quadrada e sem tampa é constrúıda a partir de um peça quadrada de papelão
cortando um quadrado de 4 cm em cada um dos quatro vértices e dobrando os lados. Qual deve ser
o tamanho do lado do papelão para que a caixa constrúıda possua volume de 100 cm3?
16. Os televisores antigos possuem uma proporção largura:altura dada por 4:3, enquanto os televisores
modernos possuem proporção 16:9. Em ambos os modelos, o número de polegadas do aparelho
representa o comprimento da diagonal da tela. Um senhor possui um televisor modelo antigo com
32 polegadas e deseja trocar por um modelo moderno que tenha uma tela 20% maior (em área).
Quantas polegadas deve ter o novo televisor? Observação. Uma polegada corresponde a 2,54 cm,
mas essa informação não é necessária para resolver o problema.
17. O tanque de um Boeing 737-800 comporta 27 mil litros de combust́ıvel. Em voo de cruzeiro, o
consumo de QAV (querosene de aviação) é de aproximadamente 2700 litros por hora. A fase com
maior gasto de combust́ıvel é a subida, onde o consumo dobra quando comparado ao voo de cruzeiro.
Já na descida, o consumo corresponde a 1/3 do voo de cruzeiro. Suponha que em uma viagem o
avião passou 15% do tempo total subindo, 5% do tempo descendo e 80% em cruzeiro. Considere
ainda que ele decolou com o tanque cheio e pousou, em seu destino, com 6 mil litros no tanque. Qual
foi, aproximadamente, a duração total da viagem? Observação. Voo de cruzeiro significa o peŕıodo
em que o avião não está nem em decolagem e nem em aterrizagem.
18. Um grupo de pessoas gastou 120 reais em uma lanchonete. Quando foram pagar a conta, notaram
que duas pessoas foram embora sem deixar dinheiro e as que ficaram tiveram que pagar cinco reais a
mais do que pagariam se a conta fosse dividida igualmente entre todos os membros do grupo inicial.
Quantas pessoas havia no grupo inicial?
2
19. Carla vai ao teatro com seus irmãos e dispõe de R$ 150,00 para comprar os ingressos (o seu e o de seus
irmãos). Há dois tipos de ingressos dispońıveis, dependendo da área do teatro: ingressos de R$20,00
e de R$25,00. Se Carla comprar ingressos de R$20,00 para todos, sobrará dinheiro; se comprar
ingressos de R$25,00 para todos, faltará dinheiro. Com quantos irmãos Carla foi ao teatro?
20. Um ônibus saiu da estação com x pessoas. Na primeira parada desceram 2 pessoas e subiram 4; na
segunda desceram 6 pessoas e subiu uma quantidade de pessoas que dobrou o número de pessoas no
ônibus; na terceira desceu 1 pessoa e não subiu ninguém; por fim, na última parada, desceram todas
as 53 pessoas do ônibus. Quantas pessoas havia no ônibus no começo da viagem?
21. Dois trabalhadores, A e B, trabalhando juntos cortam toda a grama de um campo de futebol em 3
horas. Trabalhando sozinho, A realiza o trabalho em 4 horas. Quanto tempo leva para o trabalhador
B sozinho cortar a grama do campo de futebol?
22. Na moldagem de barras de concreto, o comprimento da barra muda conforme o concreto está úmido
ou seco. A barra diminui de tamanho à medida que o concreto seca. Se ω é a densidade de água
(medida em kg/m3) utilizada no preparo do concreto, então a barra encolherá por um fator
S =
0,032ω − 2,5
10000
,
em que S representa a fração do comprimento original que desaparece após a barra encolher. Uma
barra de concreto com 12,025m de comprimento foi constrúıda com concreto com densidade de água
250 kg/m3. Qual é o fator de encolhimento S? Qual é o comprimento da barra após encolher?
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
[1] G. Iezzi, C. Murakami – Fundamentos de Matemática Elementar. 7a ed., Atual Editora, São
Paulo, 2004.
[2] J. Stewart, L. Redlin, S. Watson – Precalculus, Mathematics for Calculus. 6a ed., Brooks/Cole
Cengage Learning, Belmont, 2014.
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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
MTM3100 - Pré-cálculo
8a lista de exerćıcios (versão complementar) - Inequações, solução, conjunto solução,
noções de implicação e equivalência, resolução de inequações de primeiro grau,
resolução por análise de sinal, resolução de inequações de segundo grau
Semana 9 (30/09/2019 a 04/10/2019)
1. Em cada um dos itens abaixo, verifique quais elementos do conjunto A =
{
−2,−1, 0, 1
2
, 1,
√
2, 2, 4
}
são soluções das inequações abaixo.
(a)
1
x
≤ 1
2
. (b) x2 + 2 ≤ 4.
(c) x4 − x2 + 3 > 2x3 − 1. (d)
√
|x| ≤ 3.
2. Em cada um dos itens abaixo, verifique quais elementos do conjunto A =
{
−2,−1, 0, 1
2
, 1,
√
2, 2, 4
}
são soluções das inequações simultâneas abaixo.
(a) 1 < 2x− 4 ≤ 7. (b) −2 ≤ 3− x < 2. (c) 3 ≤ x2 − 1 ≤ 5.
3. Em cada item, escreva (sem resolver) o conjunto solução associado ao que se pede, conforme exemplo
no item (a).
(a) Soluções em R2 de x− y > 0.
S = {(x, y) ∈ R2 | x− y > 0}.
(b) Soluções em R2 de x− y ≥ 0.
(c) Soluções em R2 de x− y ≤ 0.
4. Desenhe, no plano cartesiano, os conjuntos soluções do exerćıcio anterior.
5. Em cada item, escreva (sem resolver) o conjunto solução associado ao que se pede.
(a) Soluções reais do sistema de inequações
{
2x2 − 1 > x
2x + 4 < 0.
(b) Soluções reais do sistema de inequações
{
3x− 6 > 3
3x− 6 < 10.
6. Explicite o conjunto solução do item (b) do exerćıcio anterior.
7. Diga se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.Justifique.
(a) Se uma desigualdade é verdadeira, então adicionar o mesmo número a ambos os lados da
desigualdade sempre conduz a uma desigualdade verdadeira.
(b) Se uma desigualdade é verdadeira, então multiplicar cada lado da desigualdade por um mesmo
número sempre conduz a uma desigualdade verdadeira.
(c) Se uma desigualdade é verdadeira, então multiplicar cada lado da desigualdade por um mesmo
número positivo sempre conduz a uma desigualdade verdadeira.
1
(d) Se uma desigualdade é verdadeira, então multiplicar cada lado da desigualdade por um mesmo
número negativo e inverter o sentido da desigualdade do resultado sempre conduz a uma desi-
gualdade verdadeira.
(e) Se uma desigualdade é verdadeira, então elevar ao quadrado ambos os lados da desigualdade
sempre conduz a uma desigualdade verdadeira.
(f) Se uma desigualdade é verdadeira e ambos os lados são números não negativos, então elevar ao
quadrado ambos os lados sempre conduz a uma desigualdade verdadeira.
(g) Se uma desigualdade é verdadeira, então elevar ao cubo ambos os lados da desigualdade sempre
conduz a uma desigualdade verdadeira.
(h) Se uma desigualdade é verdadeira e ambos os lados são números não negativos, então extrair a
raiz quadrada de ambos os lados sempre conduz a uma desigualdade verdadeira.
(i) Se uma desigualdade é verdadeira, então extrair a raiz cúbica em ambos os lados da desigualdade
sempre conduz a uma desigualdade verdadeira.
(j) Se uma desigualdade é verdadeira, então aplicar módulo em ambos os lados da desigualdade
sempre conduz a uma desigualdade verdadeira.
(k) Se uma desigualdade é verdadeira, então inverter os dois lados da desigualdade sempre conduz
a uma desigualdade verdadeira (isto é, se a < b, então 1
a
< 1
b
).
(l) Se uma desigualdade é verdadeira e ambos os lados são números positivos, então inverter os
dois lados e inverter o sentido da desigualdade do resultado sempre conduz a uma desigualdade
verdadeira (isto é, se a < b e a e b são positivos, então 1
b
< 1
a
).
8. Diga se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
(a) Adicionar o mesmo número a cada lado de uma inequação sempre conduz a uma inequação
equivalente.
(b) Multiplicar cada lado de uma inequação por um mesmo número sempre conduz a uma inequação
equivalente.
(c) Multiplicar cada lado de uma inequação por um mesmo número positivo sempre conduz a uma
inequação equivalente.
(d) Multiplicar cada lado de uma inequação por um mesmo número negativo e inverter o sentido
da desigualdade do resultado sempre conduz a uma inequação equivalente.
(e) Elevar ao quadrado ambos os lados de uma inequação sempre conduz a uma inequação equiva-
lente.
(f) Elevar ao cubo ambos os lados de uma inequação sempre conduz a uma inequação equivalente.
(g) Assumindo que ambos os lados de uma inequação são números não negativos, extrair a raiz
quadrada de ambos os lados da inequação sempre conduz a uma inequação equivalente.
(h) Extrair a raiz cúbica em ambos os lados de uma inequação sempre conduz a uma inequação
equivalente.
9. Resolva em R as inequações abaixo.
(a) 2x + 1 < 0. (b) 0 < 5− 2x.
(c) 3x + 11 ≤ 6x + 8. (d) 6− x ≥ 2x + 9.
(e)
2
5
x + 1 <
1
5
− 2x. (f) x
3
+ 2 <
x
6
− 1.
(g) 4− 3x ≤ −(1 + 8x). (h) 5(x + 3)− 2(x + 1) ≤ 2x + 3.
(i) 3(x + 1)− 2 ≥ 5(x− 1)− 3(2x− 1). (j) (3x− 2)2 − (3x− 1)2 > (x + 2)2 − (x− 1)2.
2
10. Resolva em R as inequações simultâneas abaixo.
(a) 5 ≤ 3x− 4 ≤ 14. (b) 1 < 3x + 4 ≤ 16.
(c) −3 ≤ 3x + 7 ≤ 1
2
. (d) −1
2
≤ 4− 3x
5
≤ 1
4
.
11. Resolva em R os sistemas de inequações abaixo.
(a)
{
3− 2x ≤ 1
3x− 1 ≤ 5. (b)

3x + 2 ≥ 5x− 2
4x− 1 > 3x− 4
3− 2x < x− 6.
12. Resolva em R as inequações abaixo.
(a) (4− 2x)(5 + 2x) < 0. (b) (5− 2x)(−7x− 2) ≤ 0.
(c) (3x + 2)(−3x + 4)(x− 6) < 0. (d) (5− 3x)(7− 2x)(1− 4x) ≤ 0.
13. Resolva em R as inequações abaixo.
(a) (1− 7x)5 > 0. (b) (3x + 5)2 ≥ 0.
(c) (5x + 4)4(7x− 2)3 ≥ 0. (d) −x2(x− 1)3(2− x)4(x− 3)5(4− x)6 < 0.
14. Resolva em R as inequações abaixo.
(a)
3− 4x
5x + 1
≥ 0. (b) −3− 2x
3x + 1
≤ 0. (c) 5x− 3
3x− 4
> −1.
(d)
x− 1
x + 1
≥ 3. (e) 6x
x + 3
< 5. (f)
(1− 2x)(3 + 4x)
4− x
> 0.
(g)
(5x + 4)(4x + 1)
5− 4x
≥ 0. (h) 1
x− 4
<
2
x + 3
. (i)
x + 1
x + 2
≥ x + 3
x + 4
.
(j)
1
x− 1
+
2
x− 2
− 3
x− 3
< 0.
15. Resolva em R as inequações abaixo.
(a) x2 − 2x + 1 ≤ 0. (b) x2 − 3x + 2 > 0. (c) −3x2 − 8x + 3 ≤ 0.
(d) 8x2 − 14x + 3 ≤ 0. (e) x2 − 6x + 9 ≥ 0. (f) −1
3
x2 +
1
2
x− 1
4
> 0.
16. Explicite os conjuntos A ∩ B, A ∪ B, A − B e B − A, sendo A = {x ∈ R | x2 − 3x + 2 ≤ 0} e
B = {x ∈ R | x2 − 4x + 3 > 0}. Dê as respostas na notação de intervalo.
17. Sejam a, b e c números reais positivos. Resolva em R as inequações abaixo.
(a) a(bx− c) ≥ bc. (b) a ≤ bx + c < 2a.
18. Sejam a, b, c e d números reais positivos que satisfazem
a
b
<
c
d
. Mostre que
a
b
<
a + c
b + d
<
c
d
.
19. Determine para que valores de x as expressões abaixo fazem sentido (em R).
(a)
√
4− 2x. (b) 3
√
x2 − x + 2. (c) 6
√
x2 − 5x + 6.
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
[1] G. Iezzi, C. Murakami – Fundamentos de Matemática Elementar. 7a ed., Atual Editora, São
Paulo, 2004.
[2] J. Stewart, L. Redlin, S. Watson – Precalculus, Mathematics for Calculus. 6a ed., Brooks/Cole
Cengage Learning, Belmont, 2014.
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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
MTM3100 - Pré-cálculo
9a lista de exerćıcios (versão complementar) - Resolução de inequações por análise de
sinal e substituição de variável, resolução de inequações modulares e radiciais
Semana 10 (07/10/2019 a 11/10/2019)
1. Resolva em R as inequações abaixo.
(a) (1− 4x2)(2x2 + 3x) > 0. (b) (x2 + x− 6)3(−x2 − 2x + 3) ≥ 0.
(c) (2x2 − 9x− 5)5(x2 − 2x + 2)3(3x− 4)6(2− x)7 < 0.
2. Resolva em R as inequações abaixo.
(a)
x2 + 2x
x2 + 5x + 6
≥ 0. (b) 2− 3x
2x2 + 3x− 2
< 0. (c)
6x2 + 12x + 17
−2x2 + 7x− 5
≥ −1.
(d)
(x + 1)3 − 1
(x− 1)3 + 1
> 1. (e)
x + 1
x2 − 3x + 2
≥ 0. (f) x + 1
x
≤ −2.
(g)
x2 + 2x− 1
x2 − 1
≥ 1
x + 1
.
3. Resolva em R as inequações simultâneas abaixo.
(a) 0 ≤ x2 − 3x + 2 ≤ 6. (b) 4x2 − 5x + 4 < 3x2 − 6x + 6 < x2 + 3x− 4.
4. Resolva em R os sistemas de inequações abaixo.
(a)
{
x2 + x− 2 > 0
3x− x2 ≤ 0. (b)
{
1 + 2x ≥ 0
−4x2 + 8x < 3.
5. Resolva em R as inequações abaixo.
(a) x3 − 2x2 − x + 2 > 0. (b) 2x3 − 6x2 + x− 3 ≤ 0. (c) x
x3 − x2 + x− 1
≥ 0.
6. Resolva em R as inequações abaixo.
(a) |x| < 0. (b) |x| > −4. (c) |2x− 3| ≤ 1. (d) |4− 3x| ≤ 5.
(e) |3x− 5| > 0. (f) 1 < |x− 1| ≤ 3. (g) |x2 − x− 4| > 2. (h)
∣∣∣∣ x + 12x− 1
∣∣∣∣ ≤ 2.
7. Resolva em R as inequações abaixo.
(a) |3x− 2|+ 2x− 3 ≤ 0. (b) |x + 1| − x + 2 ≥ 0. (c) |x2 − 6x + 5|+ 1 < x.
(d) |3x + 2| − |2x− 1| > x + 1. (e) |x− 2| − |x + 4| ≤ 1− x. (f) |x + 2|+ |2x− 3| < 10.
(g) |x + 2|+ |2x− 2| > x + 8. (h) ||x| − 2| > 1. (i) ||2x− 1| − 4| ≤ 3.
8. Resolva em R as inequações abaixo.
(a)
√
3x− 2 < 2. (b)
√
x2 − 3x < 2. (c)
√
x2 − 3x ≤ −1.
(d)
√
3x2 − 5x + 2 ≤ 2. (e)
√
x2 + x + 3 < 1. (f)
√
2x + 9 < x− 3.
1
(g)
√
2x + 5 ≤ x + 1. (h)
√
x + 1 < 3− x. (i)
√
x2 − 3x + 3 < 2x + 1.
(j)
√
2x + 3 > 5. (k)
√
3x + 7 ≥ 1. (l)
√
x2 − 2x + 7 ≥ 3.
(m)
√
3x− 2 > x. (n)
√
x2 − 6x + 5 > x− 2.
9. Resolva em R as inequações abaixo.
(a)
√
5x + 3
x
<
√
2. (b)
√
x + 2
x
≥ 1.
(c)
√
3x− 2 ≥
√
2x− 3. (d)
√
5− x <
√
2x + 7.
10. Resolva em R as inequações abaixo.
(a) x4 − 3x2 − 4 > 0. (b) x4 − 8x2 − 9 < 0.
(c) (x2 − 1)2 − 6(x2 − 1) + 5 < 0. (d) −x2/3 − 4x1/3 − 4 < 0.
11. Sejam Y e Z expressões algébricas em na variável x e considere os conjuntos A = {x ∈ R | Y = Z},
B = {x ∈ R | Y 6= Z}, C = {x ∈ R | Y < Z}, D = {x ∈ R | Y > Z}, E = {x ∈ R | Y ≤ Z}
e F = {x ∈ R | Y ≥ Z}. Diga quais itens são verdadeiros ou falsos, corrigindo os itens falsos.
Observação. Assuma que Y e Z estão definidas para todo número real x.
(a) A ∩B = ∅. (b) C ∩D = ∅.(c) E ∩ F = ∅. (d) C ∩ F = ∅.
(e) A ⊂ C. (f) A ⊂ F . (g) D ⊂ F . (h) E ⊂ F .
(i) F ⊂ B. (j) D ⊂ B. (k) A = E ∩ F . (l) A = E ∪ F .
(m)B = C ∪D. (n) B = E ∪D. (o) A = B. (p) C = E.
(q) E = F . (r) D = E. (s) A ∪B = R. (t) A ∪ C ∪D = R.
(u) F − A = D. (v) C − A = E.
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
[1] G. Iezzi, C. Murakami – Fundamentos de Matemática Elementar. 7a ed., Atual Editora, São
Paulo, 2004.
[2] J. Stewart, L. Redlin, S. Watson – Precalculus, Mathematics for Calculus. 6a ed., Brooks/Cole
Cengage Learning, Belmont, 2014.
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MTM3100 - Pré-cálculo
10a lista de exerćıcios (versão complementar) - Definição de função, domı́nio,
contradomı́nio, imagem, gráfico, funções elementares (constante, afim, quadrática,
potência, radicial, definida por partes, modular), operações com funções, paridade,
injetividade, sobrejetividade, bijetividade, função inversa, técnicas para construção de
gráficos
Semanas 11 a 13 (14/10/2019 a 01/11/2019)
1. Diga quais dos conjuntos abaixo representam uma função com domı́nio A = N e contradomı́nio
B = N. Nos casos que são funções, determine o conjunto imagem.
(a) {(t, t+ 1) | t ∈ N}. (b) {(x, x− 1) | x ∈ N}.
(c) {(x, x+ 1) | x ∈ Z}. (d) {(x, (x− 1)2) | x ∈ N}.
(e) {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), . . .}. (f) {(x− 1, x) | x ∈ N∗}.
2. Diga quais dos gráficos abaixo representam alguma função. Nos casos que são funções, determine o
domı́nio.
(a)
1
1
x
y
(b)
1
1
x
y
(c)
1
1
x
y
(d)
1
1
x
y
(e)
1
1
x
y
(f)
1
1
x
y
(g)
1
1
x
y
3. Os gráficos abaixo representam funções. Determine o domı́nio e a imagem de cada uma delas.
1
(a)
1
1
x
y
(b)
1
1
x
y
(c)
1
1
x
y
(d)
1
1
x
y
(e)
1
1
x
y
(f)
1
1
x
y
(g)
1
1
x
y
(h)
1
1
x
y
4. Em cada um dos itens abaixo, calcule o que se pede.
(a) f : R −→ R dada por f(x) = x3 + 2x. Calcule f(−2), f(1), f(0), f(1
3
), f(0,2).
(b) f : R −→ R dada por f(x) = x2 + 3x− 4. Calcule f(0), f(1), f(
√
2), f(x+ 1), f(−x), f(x2).
(c) f : R∗ −→ R dada por f(x) = |x|
x
. Calcule f(−3), f(−2), f(2), f(3), f(−2342552), f(23498755).
5. Em cada um dos itens abaixo, escreva matematicamente a função representada pelo texto, conforme
exemplo abaixo. Em todos os itens, utilize R como contradomı́nio.
Exemplo. A função que a cada número real associa o seu quadrado.
Solução. f : R −→ R dada por f(x) = x2.
(a) A função que a cada número inteiro associa o seu módulo mais 3.
(b) A função que a cada número natural associa a raiz quadrada do seu módulo.
(c) A função que, a cada número real, adiciona 3 e, em seguida, eleva ao quadrado.
(d) A função que, a cada número real, eleva ao quadrado e, em seguida, adiciona 3.
(e) A função que, a cada número real não negativo, extrai a raiz quadrada, adiciona 8 e multiplica
por 1/3.
6. Faça o caminho inverso do exerćıcio anterior, conforme exemplo abaixo.
Exemplo. f : R −→ R dada por f(x) = 1 + x2.
Solução. A função que, a cada número real, eleva ao quadrado e adiciona 1.
(a) f : R −→ R dada por f(x) = (1 + x)2. (b) f : {−1, 0, 1} −→ R dada por f(x) = x3 − 3
4
.
(c) f : R −→ R dada por f(x) = 2(x− 1)2 − 3.
2
Explicação de conteúdo. Ao criar uma função (ou definir uma função, usando o linguajar matemá-
tico), devemos especificar o domı́nio, o contradomı́nio e a regra de formação (ou regra de associação)
da função. Por exemplo, f : R+ −→ R dada por f(x) = x + 1 tem domı́nio R+, contradomı́nio R e
regra de formação f(x) = x + 1. Porém, nem sempre essas três informações fornecem uma função.
Por exemplo, g : R −→ R dada por g(x) = 1
x
não é uma função, pois a regra não pode ser aplicada
a todos os elementos do domı́nio. Neste caso, dizemos que g não está bem definida (caso fosse uma
função, diŕıamos que g está bem definida).
7. Em cada um dos itens abaixo, diga se estão ou não bem definidos (isto é, se são ou não funções).
(a) f : R −→ R dada por f(x) = x
2 − 1
x2 − 2x+ 1
.
(b) f : R −→ R dada por f(x) = 2(x− 1)
x− 1
.
(c) f : R− {1} −→ R dada por f(x) = 2(x− 1)
x− 1
.
(d) f : R −→ R dada por f(x) é o número cujo quadrado é x.
Explicação de conteúdo. Sempre que uma função não está bem definida (conforme exerćıcio
anterior), podemos fazer certas alterações de forma que a mesma fique bem definida. Há, basicamente,
três formas fazer isso: (A) restringir o domı́nio, (B) aumentar o contradomı́nio ou (C) modificar a
regra de formação. Observe os exemplos.
Exemplo. f : R −→ R+ dada por f(x) = 1− x2.
Solução. A expressão acima não está bem definida pois quando a regra é aplicada para todos os
números do domı́nio, alguns dos resultados obtidos não estão no contradomı́nio. Vamos corrigir esse
problema usando os métodos acima.
Método (A). Os elementos do domı́nio cujas imagens não estão no contradomı́nio são os números
menores que −1 e os maiores que 1. Descartando estes elementos do domı́nio, a função fica bem
definida. Nesse caso, a forma corrigida pode ser f : [−1, 1] −→ R+ dada por f(x) = 1− x2.
Método (B). Notemos que a ausência dos números negativos no contradomı́nio é que gera o problema
na definição. Assim, podemos corrigir colocando-os no contradomı́nio. Nesse caso, a forma corrigida
pode ser f : R −→ R dada por f(x) = 1− x2.
Método (C). Já sabemos que o problema está no fato que os números menores que −1 e os maiores
que 1 possuem imagens que não estão no contradomı́nio. Assim, podemos redefinir a função nesses
números para que suas imagens pertençam ao contradomı́nio. Por exemplo, uma posśıvel correção
seria f : R −→ R+ dada por
f(x) =

−x, se x < −1
1− x2, se − 1 ≤ x ≤ 1
x, se x > 1.
Observemos que a regra de formação de f foi preservada nos elementos em que a imagem pertence
ao contradomı́nio R+ (que são os elementos do intervalo [−1, 1]). Nos outros elementos, fizemos uma
escolha arbitrária para a regra de formação de f (tomando o cuidado para que a escolha fizesse com
que as imagens pertencessem a contradomı́nio R+). Notemos que há várias maneiras de corrigir a
função dessa forma.
8. Para cada um dos itens abaixo, corrija a definição utilizando um (ou mais de um) dos três métodos
acima.
3
(a) f : R −→ R dada por f(x) =
√
3x− 5− 3. (b) f : R −→ R dada por f(x) = x
2 − 1
x2 − 2x+ 1
.
(c) f : R −→ R dada por f(x) = 2(x− 1)
x− 1
.
Explicação de conteúdo. Normalmente, o caminho para se definir uma função é escolher o domı́nio,
o contradomı́nio e, por fim, a regra de formação. Porém, em certas situações, a regra de formação
é escolhida inicialmente. Nesse caso, fica a pergunta de que escolhas podemos fazer para o domı́nio
e o contradomı́nio de forma que se obtenha uma função bem definida. Por exemplo, para a regra
de formação f(x) =
√
x podemos escolher R+ como domı́nio e R como contradomı́nio. Obviamente,
há infinitas escolhas que funcionam nesse caso. Convencionou-se, nos cursos de Cálculo que, quando
uma regra de formação é fornecida (sem domı́nio e contradomı́nio), o domı́nio é o maior subconjunto
de R de forma que a regra de formação possa ser calculada dentro do conjunto dos números reais
e que o resultado também seja um número real. Por exemplo, o maior subconjunto de R para o
qual a expressão f(x) =
√
x pode ser calculada usando número reais é R+. Com isso, dizemos que
o domı́nio da função f(x) =
√
x é R+. Observe os exemplos abaixo.
Exemplo 1. f(x) =
x− 1
x2 − 9
−
√
4− 2x+ 3.
Solução. Observemos que a expressão acima só poderá ser calculada nos números reais se o denomi-
nador x2−9 for diferente de 0 e o número 4−2x que está dentro da raiz for maior ou igual a 0. Assim,
o domı́nio é o conjunto solução do sistema
{
x2 − 9 6= 0
4− 2x ≥ 0 , cuja solução é S = (−∞,−3) ∪ (−3, 2].
Portanto, o domı́nio é (−∞,−3) ∪ (−3, 2]. Costuma-se escreverD(f) = (−∞,−3) ∪ (−3, 2] ou
Dom(f) = (−∞,−3) ∪ (−3, 2].
Exemplo 2. f(x) =
√
x√
x
.
Solução. Uma abordagem errada nesse exerćıcio seria, antes de encontrar o domı́nio, simplificar a
fração e dizer que a expressão é igual a f(x) = 1, fazendo com que o domı́nio seja R. Devemos analisar
a expressão original sem qualquer simplificação. Neste caso, o denominador deve ser diferente de 0 e o
que está dentro de cada raiz deve ser maior ou igual a 0. Com isso, descobrimos que Dom(f) = (0,∞).
Observação. Não há uma convenção absoluta para o contradomı́nio quando este não é especificado.
As duas convenções mais usadas são usar R ou o conjunto imagem como contradomı́nio.
9. Encontre o domı́nio das funções nos itens abaixo.
(a) f(x) =
x− 1
x2 − 4
. (b) f(x) =
√
x− 1 +
√
x− 1.
(c) f(x) =
√
x+ 2
x− 2
. (d) f(x) = 3
√
2x− 1.
(e) f(x) =
1
3
√
2x+ 3
. (f) f(x) = |x2 − 3|+ |x− 1|.
(g) f(x) =
x2 − 3
|x− 2| − 3
. (h) f(x) =
4
√
−x2 + 1√
x2 − 3x+ 2
.
(i) f(x) =
√
−x2 + 1
x2 − 2x− 15
. (j) f(x) =
√
(x− 3)(x2 + 2x− 8)
x2 + 4x+ 3
.
(k) f(x) =
√
−x2 + 1
x2 − 2x− 15
−
√
(x− 3)(x2 + 2x− 8)
x2 + 4x+ 3
.
Sugestão. Para os três últimos, relembre o exerćıcio 9 da versão principal da lista de exerćıcios 9.
4
Explicação de conteúdo. Sejam f : A −→ B e g : C −→ D funções. Dizemos que f e g são iguais
se A = C, B = D e f(x) = g(x) para todo x no domı́nio. Em outras palavras, duas funções são
iguais quando possuem o mesmo domı́nio, o mesmo contradomı́nio e a mesma regra de formação.
Dizemos que f é uma restrição de g (ou que g é uma extensão de f) se A ⊂ C, B = D e f(x) = g(x)
para todo x ∈ A. Em outras palavras, f é uma restrição de g se possui domı́nio contido no domı́nio
de g e coincide com g em seu domı́nio. Dizemos que f é uma correstrição de g (ou que g é uma
coextensão de f) se A = C, B ⊂ D e f(x) = g(x) para todo x no domı́nio. Em outras palavras, f é
uma correstrição de g se possuem o mesmo domı́nio, coincidem em todo o domı́nio e o contradomı́nio
de f está contido no contradomı́nio de g.
Exemplo 1. A função f : {−1, 0, 1} −→ R dada por f(x) = x é igual à função g : {−1, 0, 1} −→ R
dada por g(x) = x3, pois possuem mesmo domı́nio, mesmo contradomı́nio e coincidem em todos os
elementos do domı́nio (note que x3 = x se x ∈ {−1, 0, 1}).
Exemplo 2. A função f : R −→ R dada por f(x) = x2 é uma extensão da função g : R+ −→ R dada
por g(x) = x2.
Exemplo 3. A função f : R −→ R+ dada por f(x) = x2 é uma correstrição da função g : R −→ R
dada por g(x) = x2.
Exemplo 4. A função f : R+ −→ R dada por f(x) = x2 é uma restrição e coextensão da função
g : R −→ R+ dada por g(x) = x2.
Exemplo 5. As funções f : R −→ R dada por f(x) = x e g : R −→ R dada por g(x) = x2 não são
comparáveis sob nenhuma das classificações acima.
10. Em cada um dos itens abaixo, digas as relações (conforme explicação acima) entre as funções apre-
sentadas (se houver).
(a) f : {0, 1, 2} −→ R dada por f(x) = x2 e g : {0, 1, 2} −→ R dada por g(y) = y2.
(b) f : {0, 1, 2} −→ R dada por f(x) = x2 e g : {0, 1, 2} −→ R dada por g(x) = x.
(c) f : {0, 1, 2} −→ R dada por f(x) = x2 e g : {0, 1} −→ R dada por g(x) = x.
(d) f : {0, 1} −→ R dada por f(x) = x2 e g : {0, 1} −→ R dada por g(x) = x.
(e) f : {0, 1, 2} −→ R+ dada por f(x) = x2 e g : {0, 1} −→ R dada por g(x) = x.
(f) f : R −→ R dada por f(x) = x+ 1 e g : R− {1} −→ R dada por g(x) = x
2 − 1
x− 1
.
(g) f : R −→ R dada por f(x) = |x| e g : R −→ R dada por g(x) =
√
x2.
(h) f : R −→ R dada por f(x) = |x| e g : R −→ R+ dada por g(x) =
√
x2.
(i) f : [0, 1] −→ R dada por f(x) = 2x2 − 3 e g : [4, 8] −→ R dada por g(x) = 2x2 − 3.
(j) f : R −→ R dada por f(x) = 3 e g : R− {4} −→ R dada por g(x) = 6x− 24
2x− 8
.
11. É posśıvel que duas funções diferentes possuam exatamente o mesmo gráfico? Justifique.
12. Qual é a informação de uma função não é posśıvel descobrir a partir do seu gráfico?
13. Faça o gráfico das funções abaixo, encontrando alguns dos pontos pertencentes ao gráfico e tentando
deduzir o restante. O objetivo aqui é mostrar que existe uma forma de fazer o gráfico de qualquer
função, basta encontrarmos diversos pontos pertencentes ao seu gráfico. Obviamente, esse método
é entediante, mas é importante utilizá-lo uma vez na vida. Ao longo desse curso, aprenderemos
técnicas para encontrar o gráfico de certas funções sem precisar recorrer ao método desse exerćıcio.
Futuramente, em Cálculo 1, você aprenderá mais técnicas para traçar o gráfico de funções.
(a) f : R −→ R dada por f(x) = 2x− 4. (b) f : [−2, 3) −→ R dada por f(x) = 2x− 4.
5
(c) f : R −→ R dada por f(x) = −x+ 3. (d) f : R −→ R dada por f(x) = −1.
(e) f : R −→ R dada por f(x) = x2 − 4. (f) f(x) = 4x2 − x4.
(g) f(x) =
√
x. (h) f(x) =
√
−x.
(i) f(x) = |x+ 1|. (j) f(x) = x
|x|
.
(k) f(x) =
1
x
.
Observação. Quando o domı́nio não é mencionado, a convenção utilizada é a do exerćıcio 9..
14. Faça o gráfico das funções abaixo.
(a) f(x) = 2. (b) f(x) = 0.
(c) f : [−2, 0) ∪ (1, 3) ∪ {4} −→ R dada por f(x) = 1.
15. Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaixo.
(a) f(x) = x+ 2. (b) f(x) = 3x+ 2.
(c) f(x) = −x+ 1. (d) f(x) = −2x+ 3.
(e) f : [1,∞) −→ R dada por f(x) = x+ 2. (f) f : [−1, 1] −→ R dada por f(x) = −x+ 1.
16. Para as funções do exerćıcio anterior, determine os pontos do eixo das abscissas e do eixo das
ordenadas que pertencem ao gráfico.
17. Em cada item, encontre um equação para a reta que passa pelos pontos dados.
(a) (3,−2) e (2,−3). (b) (1, 2) e (2, 2).
18. Encontre a regra de formação das funções representadas nos gráficos abaixo.
(a)
1
1 x
y
(b)
1
1 x
y
(c)
1
1 x
y
(d)
1
1 x
y
6
19. Determine uma equação para a reta com coeficiente angular igual a −1
2
e que passa por (−3, 1).
20. Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaixo. Identifique os pontos em que o
gráfico intersecta os eixos coordenados e os pontos nos quais há uma mudança no comportamento
do gráfico (por exemplo, um vértice de uma parábola).
(a) f(x) = 2x2. (b) f(x) = −2x2.
(c) f(x) = −2x2 − 4x. (d) f(x) = x2 − 2x+ 4.
(e) f(x) = x2 + x+ 1. (f) f(x) = −1
2
x2 + x− 7.
(g) f : (−∞, 2) −→ R dada por f(x) = x2 − 1. (h) f : [1,∞) −→ R dada por f(x) = x2 + 1.
(i) f : (−3, 1/2] −→ R dada por f(x) = 2x2 + 6x+ 1.
21. Determine a função quadrática f que satisfaz f(1) = 4, f(2) = 0 e f(3) = −2.
22. Seja m 6= 1. Determine os valores de m para que a função quadrática f(x) = (m−1)x2+(2m+3)x+m
possua duas ráızes reais distintas.
23. Seja m 6= 1. Determine os valores de m para que a função quadrática
f(x) = (m− 1)x2 + (2m+ 3)x+ (m− 1)
não possua ráızes reais.
24. Para cada uma das funções abaixo, determine o domı́nio, calcule f(1) (se 1 pertencer ao domı́nio),
faça o gráfico e determine o conjunto imagem.
(a) f(x) =
{
0, se x < 2
1, se x ≥ 2. (b) f(x) =
{
2, se x ≤ −1
x2, se x > −1.
(c) f(x) =
{
0, se |x| < 2
3, se |x| ≥ 2. (d) f(x) =

−x, se x ≤ 0
9− x2, se 0 < x ≤ 3
x− 3, se x > 3 e x 6= 4
−1, se x = 4.
25. Faça o gráfico das funções abaixo.
(a) f(x) = |x|+ 1. (b) f(x) = |x+ 1|. (c) f(x) = |2x− 3|+ |x+ 2|.
Explicação de conteúdo. A toda equação, é posśıvel associar um conjunto solução. No caso de
a equação possuir duas variáveis, esse conjunto solução é um subconjunto de R2. Por exemplo, o
conjunto solução da equação y − x = 0 consiste de todos os pares ordenados em que a primeira
entrada é igual à segunda. Este conjunto de pares pode ou não determinar uma função. Neste
exemplo da equação y − x = 0, o conjunto solução determina uma função e, quando isso acontece,
dizemos que y pode ser escrito como função de x.
26. Nas equações abaixo, diga se a variável y pode ser escrita como função de x.
(a) x+ y2 = 9. (b) x2 + y = 9. (c) 2|x|+ y = 0. (d) 2x+ |y| = 0.
Explicação de conteúdo. Em matemática, após aprendermos um novo objeto deestudo, aprende-
mos operações com esse objeto. Por exemplo, após aprendermos os números, fomos apresentados às
operações matemáticas: adição, subtração, multiplicação e divisão. Com o passar do tempo, apren-
demos novos objetos matemáticos, como matrizes, por exemplo. Junto com as matrizes, vieram as
operações com matrizes. De uma forma geral, toda vez que um novo objeto matemático é estudado,
operações são definidas entre estes objetos. Acabamos de aprender funções, então seria natural fa-
zer operações com funções também. Uma operação pode ser interpretada da seguinte forma: ela
7
“recebe” dois objetos e dá como resposta um terceiro objeto. Por exemplo, a adição de números
recebe dois números e o resultado é um novo número. Em matrizes, a adição recebe duas matrizes
e o resultado é uma nova matriz. Com isso em mente, criaremos operações entre funções que, de
modo geral, recebem duas funções e dão como resposta uma nova função. Abaixo, veremos cinco
operações com funções: adição, subtração, multiplicação, divisão e multiplicação por escalar. Fixe-
mos, nas explicações abaixo, as seguintes funções: f : {−1, 0, 1, 2, 3} −→ R dada por f(x) = 2x− 1,
g : {0, 1, 2, 3, 4} −→ R dada por g(x) = x− 1, h(x) = x2 e k(x) = 2x− 4.
Adição de funções. A adição de funções é feita a partir das tabelas das funções envolvidas na
operação. Por exemplo, vamos efetuar a soma entre as funções f e g. As tabelas correspondentes
são:
função f
−1 −3
0 −1
1 1
2 3
3 5
e
função g
0 −1
1 0
2 1
3 2
4 3
.
A soma dessas funções é dada pela tabela
função f + g
0 −1 + (−1)
1 1 + 0
2 3 + 1
3 5 + 2
=
função f + g
0 −2
1 1
2 4
3 7
.
A tabela foi constrúıda usando apenas as linhas correspondentes aos elementos que estão na intersec-
ção dos domı́nios de f e g e o lado direito nada mais é do que a soma das imagens de f e g. Note que
os resultados dessa tabela obedecem à regra f(x)+g(x) = 2x−1+x−1 = 3x−2. Com isso, podemos
dizer que a soma das funções f e g é a função f + g : {0, 1, 2, 3} −→ R dada por f + g (x) = 3x− 2
(aqui, f + g é o nome da nova função criada e o que essa função faz em x é f + g (x); normalmente
utilizamos (f + g)(x) ou [f + g](x) para frisar que é a função f + g aplicada em x). Como outro
exemplo, façamos a soma h+ k. Como ambas possuem domı́nio igual a R, então o domı́nio da soma
também será R. Assim, h+ k : R −→ R é dada por (h+ k)(x) = x2 + 2x− 4. Curiosidade. Quando
tentamos definir a adição de funções de forma abstrata, a definição fica (f+g)(x) = f(x)+g(x). Para
quem lê isso, parece que não há nada de útil escrito. Porém, a expressão (f + g)(x) = f(x) + g(x)
está correta e possui a seguinte interpretação: o valor da função f +g em x (que é o que está do lado
esquerdo) é definido como a soma do valor de f em x com o valor de g em x (que é o lado direito).
Subtração de funções. A subtração é feita de forma análoga à adição, substituindo apenas a soma
das regras pela diferença das regras das funções. Para as funções acima, f − g : {0, 1, 2, 3} −→ R
é dada por (f − g)(x) = f(x) − g(x) = 2x − 1 − (x − 1) = x e h − k : R −→ R é dada por
(h− k)(x) = h(x)− k(x) = x2 − (2x− 4) = x2 − 2x+ 4.
Multiplicação de funções. Segue a mesma lógica acima. O nome dado à função obtida pela multipli-
cação de f e g é fg. Para as funções acima, fg : {0, 1, 2, 3} −→ R é dada por (fg)(x) = f(x)g(x) =
(2x−1)(x−1) = 2x2−3x+1 e hk : R −→ R é dada por (hk)(x) = h(x)k(x) = x2(2x−4) = 2x3−4x2.
Divisão de funções. Também segue a mesma lógica acima. Há, apenas, um cuidado adicional que
devemos ter com a divisão de funções, pois não faz sentido dividir f(x) por g(x) quando g(x) = 0.
Assim, serão exclúıdos do domı́nio de f/g os elementos x para os quais g(x) = 0. Para as funções
acima, f/g : {0, 2, 3} −→ R é dada por (f/g)(x) = f(x)/g(x) = 2x− 1
x− 1
e h/k : R − {2} −→ R é
dada por (h/k)(x) = h(x)/k(x) =
x2
2x− 4
.
8
Multiplicação por escalar. Esta é uma operação que envolve um número e uma função (e não duas
funções como nos casos anteriores). Por exemplo, a função 3f é a função que, quando avaliada
em x, tem como resultado o valor f(x) multiplicado por 3. Usando a função f acima, temos que
3f : {−1, 0, 1, 2, 3} −→ R é dada por (3f)(x) = 3f(x) = 3(2x− 1) = 6x− 3. Como outro exemplo,
−2k : R −→ R é dada por (−2k)(x) = −2k(x) = −2(2x − 4) = −4x + 8. Comentário. A palavra
escalar é um sinônimo para número em alguns contextos matemáticos. Quando estamos falando de
funções (ou de matrizes), um escalar representa um número.
27. Em cada item, determine as funções f + g, f − g, fg, f/g e 2f e encontre seus domı́nios.
(a) f(x) = x2 + 2x e g(x) = 3x2 − 1. (b) f(x) =
√
9− x2 e g(x) =
√
x2 − 4.
(c) f(x) =
2
x
e g(x) =
4
x+ 4
. (d) f(x) =
2
x+ 1
e g(x) =
4
x+ 1
.
28. Considere as funções f(x) = 3x− 5 e g(x) = 2− x2. Calcule o que se pede.
(a) f(2). (b) f(g(−2)). (c) g(f(−2)). (d) f(f(−1)). (e) g(g(2)).
(f) f(x+ 1). (g) g(f(x)). (h) f(f(x)). (i) g(g(x)).
Explicação de conteúdo. Há mais uma operação entre funções que devemos aprender: a composi-
ção de funções. Esta operação é melhor compreendida quando representamos as funções envolvidas
na forma de diagrama de Venn. Para exemplificar, considere as funções g : C −→ D e f : A −→ B
dadas pelos diagramas
0
1
2
3
-3
0
1
2
4
-2
0
2
5
-5
1
6
C D A B
g f
.e
Podemos pensar que a função f oferece caminhos para partir de um elemento de A e chegar a um
elemento de B, assim como g faz o mesmo para os conjuntos C e D. Nosso objetivo é encontrar
caminhos que saem de C e terminam em B. Para isso, interpretaremos os conjuntos A e D como
partes de um conjunto maior e mesclaremos os dois diagramas acima, obtendo
0
1
2
3
-3
1
4
0
2
-2
5
-5
1
6
C D A B
.
Note que há, exatamente, dois caminhos posśıveis partindo de C e chegando a B: um deles parte
de 0 e chega a 6 (passando por 2) e o outro parte de 2 e chega a 6 (passando por 2). Estes dois
caminhos compõem uma nova função, denotada por f ◦ g e denominada composição de f com g. O
diagrama de Venn desta função é
9
0
2
-5
1
6
E B
f ◦ g
.
Observe que o domı́nio de f ◦ g é um novo conjunto E = {0, 2} e o contradomı́nio é o mesmo da
função f . Além disso, note também que (f ◦ g)(0) = 6 e que (f ◦ g)(2) = 6. Nosso objetivo agora
é descobrir tudo sobre a função f ◦ g usando apenas as informações sobre f e g. Para isso, vamos
analisar uma versão genérica do exemplo acima, ilustrada no diagrama
x y = g(x) f(y) = f(g(x))
(f ◦ g)(x)
C D A B
g f
f ◦ g
.
O caminho direto de C para B é feito pela função f ◦ g, isto é, um elemento x é mandado em
(f ◦ g)(x). Este mesmo caminho pode ser feito partindo de x, aplicando g e, em sequência, aplicando
f . Nesse processo, conclúımos que x é mandado em f(g(x)). Como os dois caminhos terminam no
mesmo elemento, conclúımos que (f ◦ g)(x) = f(g(x)). Dessa forma, deduzimos a regra de formação
da função f ◦g: o valor da função f ◦g em x é igual ao valor de f em g(x). Por fim, resta determinar
para quais valores de x faz sentido calcular (f ◦ g)(x). Notemos que ao aplicar g em x, o valor obtido
g(x) deve estar no domı́nio de f para que faça sentido calcular f neste valor. Assim, o domı́nio de
f ◦ g é formado pelos elementos do domı́nio de g cujas imagens estão do domı́nio de f (compare com
o exemplo anterior para se convencer disso).
Vamos aplicar esse racioćınio a um exemplo. Considere as funções f(x) =
√
x e g(x) = x − 2. A
regra de formação da função f ◦ g é dada por (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x − 2) =
√
x− 2. Falta
determinar o domı́nio de f ◦ g. Para isso, devemos descobrir quais são os elementos em Dom(g) = R
cujas imagens estão em Dom(f) = R+. Isso equivale a encontrar x ∈ R tal que g(x) ∈ R+, isto é, os
valores de x ∈ R tais que x− 2 ≥ 0. Isso nos diz que x ∈ [2,∞) e, portanto,Dom(f ◦ g) = [2,∞).
Façamos um outro exemplo. Sejam f(x) = x2 e g(x) =
√
x e calculemos a função f ◦ g. A regra
de formação é dada por (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(
√
x) = (
√
x)2 = x. Para determinar o domı́nio,
devemos encontrar x ∈ Dom(g) = R+ tal que g(x) ∈ Dom(f) = R. Isso nos diz que Dom(f ◦g) = R+.
Como resposta final para o exerćıcio, podemos escrever f ◦ g : R+ −→ R dada por (f ◦ g)(x) = x.
29. Nos itens abaixo, determine as funções f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f e g ◦ g e seus domı́nios.
(a) f(x) = 6x− 5 e g(x) = x
2
. (b) f(x) = x2 e g(x) = x+ 1.
(c) f(x) = |x| e g(x) = 2x+ 3. (d) f(x) = x
x+ 1
e g(x) =
1
x
.
30. Nos itens abaixo, determine a regra de formação da função f ◦ g ◦ h (não é necessário encontrar o
domı́nio).
(a) f(x) = x4 + 1, g(x) = x− 5 e h(x) =
√
x. (b) f(x) =
√
x, g(x) =
x
x− 1
e h(x) = 3
√
x.
10
Explicação de conteúdo. A composição de funções, vista nos exerćıcios acima, tem uma in-
terpretação mais natural em contextos aplicados. Por exemplo, imagine um objeto de massa 4 kg
movendo-se sobre uma linha reta com velocidade em função do tempo é dada por v(t) = t2 − 1. Sa-
bemos que a energia cinética deste objeto, em termos da velocidade, é dada por K(v) = 1
2
mv2 = 2v2.
Uma pergunta natural aqui seria determinar a energia cinética em função do tempo. Isso é fácil de
fazer, basta substituir o valor de v, isto é, K(t) = 2(t2 − 1)2. Apesar de não parecer, fizemos uma
composição de funções aqui. Traduzindo para o contexto matemático, pensemos que as duas funções
envolvidas (escritas na variável x) são v(x) = x2 − 1 e K(x) = 2x2. A composição de K com v tem
como resultado (K ◦ v)(x) = K(v(x)) = 2(x2 − 1)2 que é o mesmo resultado obtido acima, apenas
com o nome da variável diferente. Em resumo, a composição f ◦ g pode ser interpretada como se a
função g fizesse o papel da variável da função f , da mesma forma que v era a variável da função K.
31. Em cada item, determine o que se pede.
(a) Dados τ = I · α e α(t) = 2t3, determine τ(t).
(b) Dados F =
Gm1m2
r2
e r(t) =
√
3t2 + 1, determine F (t).
(c) Dados K = 1
2
Iω2 e ω(f) = 2πf , determine K(f).
Explicação de conteúdo. O processo de composição de funções pode ser pensado de forma reversa,
isto é, descobrir as funções iniciais a partir do resultado da composição. Por exemplo, descubra
funções f e g de modo que a composição f ◦ g seja igual a F (x) = (x − 9)5. Uma posśıvel solução
é escolher f(x) = x5 e g(x) = x − 9. Assim, (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x − 9) = (x − 9)5 = F (x).
Observação. Esta escolha de f e g não é única.
32. Expresse as funções abaixo como f ◦ g.
(a) F (x) = |x3 − x+ 3|. (b) F (x) =
√
1 +
√
x.
33. Expresse as funções abaixo como f ◦ g ◦ h.
(a) F (x) = 3
√
(x− 4)4 + 3. (b) F (x) = (4 + 3
√
x+ 1)9. (c) F (x) =
2
(3− x+ x3)6
.
34. Encontre uma função I tal que g ◦ I = g para qualquer outra função g (considere g uma função com
domı́nio e contradomı́nio subconjuntos de R).
35. Encontre uma função I tal que I ◦ g = g para qualquer outra função g (considere g uma função com
domı́nio e contradomı́nio subconjuntos de R).
Explicação de conteúdo. Seja f uma função com um domı́nio simétrico em relação à origem (por
exemplo, um domı́nio da forma [−a, a]). Dizemos que f é uma função par se f(−x) = f(x) para todo
x ∈ Dom(f). Se f(−x) = −f(x) para todo x ∈ Dom(f), dizemos que f é uma função ı́mpar. Por
exemplo, f(x) = x4 é uma função par pois, para qualquer x ∈ R, f(−x) = (−x)4 = x4 = f(x). A
função f(x) = x3−x é uma função ı́mpar pois, para todo x ∈ R, f(−x) = (−x)3−(−x) = −x3+x =
−(x3−x) = −f(x). A função f(x) = x2+x não é nem par nem ı́mpar, pois f(−x) = (−x)2+(−x) =
x2 − x e essa expressão não é igual a f(x) = x2 + x para todo x. O gráfico das funções pares possui
a propriedade de ser simétrico em relação ao eixo das ordenadas (isto é, a metade esquerda e a
metade direita do gráfico são espelhadas). O gráfico das funções ı́mpares possui a propriedade de ser
simétrico em relação à origem (isto é, se o ponto (x, y) pertence ao gráfico, então o ponto (−x,−y)
também pertence).
11
36. Determine quais funções são pares, quais são ı́mpares ou nem uma nem outra.
(a) f(x) = x4. (b) f(x) = x3. (c) f(x) = 1− 3
√
x. (d) f(x) = x+
1
x
.
37. Seja n um número natural positivo. Mostre que f(x) = xn é uma função par se n é par e que
f(x) = xn é ı́mpar se n é ı́mpar. Comentário. Isso parece uma boa justificativa para a nomenclatura
par e ı́mpar de funções, não parece?
38. Sejam f e g duas funções pares. Mostre que f + g é par e que a · f também é par para qualquer
número real a. Mostre que um resultado análogo também é verdadeiro para funções ı́mpares. Utilize
esse exerćıcio e o anterior para concluir que toda função polinomial em que há apenas potências
pares de x (e possivelmente um termo independente) é uma função par e que toda função polinomial
em que há apenas potências ı́mpares de x é uma função ı́mpar.
39. Mostre que toda função pode ser escrita como a soma de uma função par com uma função ı́mpar.
Mostre também que essa escrita é única. O que esse exerćıcio significa quando nos restringimos a
funções polinomiais?
40. Sejam f e g funções. Mostre que se g é par, então f ◦ g também é par. Mostre que se f é par e g é
ı́mpar, então f ◦ g é par. Mostre que se f e g são ı́mpares, então f ◦ g é ı́mpar.
41. Determine quais das funções abaixo são injetoras. Se a resposta for positiva, determine o conjunto
imagem e encontre a função inversa (para isso, considere o contradomı́nio igual à imagem).
(a) f(x) = |x|. (b) f(x) = x3 + 8;
(c) f(x) = x4 + 5. (d) f(x) = x4 + 4, com 0 ≤ x ≤ 2.
42. Todas as funções abaixo são injetoras (verifique!). Encontre a inversa dessas funções (assumindo
contradomı́nio igual ao conjunto imagem).
(a) f(x) =
1
x2
, com x > 0. (b) f(x) =
1
x+ 2
. (c) f(x) =
√
2x+ 5.
(d) f(x) = 4− x2, com x ≤ 0. (e) f(x) = 1 +
√
1 + x.
43. Nos itens abaixo, faça o gráfico da inversa da função cujo gráfico está representado.
(a)
x
y
(b)
x
y
44. Qual é a diferença entre f−1(x) e f(x)−1?
45. Seja f uma função inverśıvel (isto é, que possui inversa) e suponha que f(1) = 3 e que f(3) = 7.
Determine f−1(3) e f(3)−1.
46. Suponha que seja conhecido o gráfico de uma função f . Em cada item, descreva como obter o gráfico
da função g a partir do gráfico da função f .
(a) g(x) = f(x)− 5. (b) g(x) = f(x− 5). (c) g(x) = f(x+ 7).
12
(d) g(x) = f(x) + 7. (e) g(x) = −f(x). (f) g(x) = f(−x).
(g) g(x) = −2f(x). (h) g(x) = −1
2
f(x). (i) g(x) = −f(x) + 5.
(j) g(x) = 3f(x)− 5. (k) g(x) = f(x− 4) + 3
4
. (l) g(x) = f(x+ 4)− 3
4
.
(m)g(x) = 2f(x+ 1)− 3. (n) g(x) = 3− 2f(x). (o) g(x) = f(4x).
(p) g(x) = f(1
4
x). (q) g(x) = 2f(1
2
x). (r) g(x) = f(|x|).
(s) g(x) = |f(x)|. (t) g(x) = |f(|x|)|.
47. Em cada item, uma função f é dada e uma sequência de operações é realizada sobre seu gráfico.
Determine a regra de formação da função g cujo gráfico é obtido após as operações.
(a) f(x) = x2; o gráfico é transladado 3 unidades para cima.
(b) f(x) = x3; o gráfico é transladado 1 unidade para baixo.
(c) f(x) =
√
x; o gráfico é transladado 2 unidades para a esquerda.
(d) f(x) = 3
√
x; o gráfico é transladado 1 unidade para a direita.
(e) f(x) = |x|; o gráfico é transladado 3 unidades para a direita e 1 para cima.
(f) f(x) = 4
√
x; o gráfico é refletido em relação ao eixo y e transladado 1 unidade para cima.
(g) f(x) = x2; o gráfico é transladado 2 unidades para a esquerda e refletido em relação ao eixo x.
(h) f(x) = x2; o gráfico é esticado verticalmente por um fator 2, transladado 2 unidades e para
baixo e 3 para a direita.
(i) f(x) = |x|; o gráfico é encolhido verticalmente por um fator 1
2
, transladado uma unidade para
a esquerda e 3 para cima.
(j) f(x) = 2x− 3; o gráfico é refletido em relação à retay = x.
48. Faça o gráfico das funções abaixo.
(a) f(x) = |x2 − 6x+ 5|. (b) f(x) = |x2 + x+ 1|. (c) f(x) = |x|2 − 6|x|+ 5.
49. Nos itens abaixo, o gráfico da função f está em vermelho e o da função g em azul. Encontre a regra
de formação de g a partir de f .
(a) f(x) = x3.
x
y
(b) f(x) = |x|.
x
y
Explicação de conteúdo. Sejam f uma função e I um intervalo contido no domı́nio de f . Dizemos
que f é crescente em I se f(x2) > f(x1) para quaisquer x1, x2 ∈ I com x2 > x1. Em outras palavras,
o valor de f(x) aumenta à medida que x aumenta. Similarmente, dizemos que f é decrescente em I
se f(x2) < f(x1) para quaisquer x1, x2 ∈ I com x2 > x1. Quando dizemos que f é crescente (sem
mencionar intervalo), significa que f é crescente em todo o seu domı́nio (o mesmo se aplica para f
decrescente). Por exemplo, considere a função cujo gráfico é dado pelo figura abaixo.
13
1
1
x
y
Note que a função é crescente em (−∞,−2], em [0, 2] e em [4,∞) e é decrescente em [−2, 0] e em [2, 4].
Observação. Dependendo do livro, às vezes você verá a definição de crescente como f(x2) ≥ f(x1) se
x2 > x1. Quando a definição é feita dessa forma, utiliza-se estritamente crescente para f(x2) > f(x1)
se x2 > x1. O mesmo se aplica para decrescente.
50. Nos itens abaixo, diga os intervalos de crescimento e decrescimento das funções.
(a)
1
1
x
y
(b)
1
1
x
y
(c)
1
1
x
y
Explicação de conteúdo. Considere a função f cujo gráfico está na explicação de conteúdo anterior.
Observe que, próximo ao ponto (−2, f(−2)), todos os outros valores de f(x) são menores ou iguais
a f(−2). Nesse caso, dizemos que f(−2) é um máximo local para f . Da mesma forma, f(2) também
é um máximo local. Com um racioćınio análogo, dizemos que f(0) e f(4) são mı́nimos locais. Outra
forma de expressar é dizer que f possui máximos locais em −2 e 2 e mı́nimos locais em 0 e 4.
51. Nos itens abaixo, determine os máximos e mı́nimos locais, assim como os valores de x nos quais são
atingidos.
14
(a)
1
1
x
y
(b)
1
1
x
y
(c)
1
1
x
y
52. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das funções abaixo.
(a) f(x) = 3x− 2. (b) f(x) = −x+ 1.
(c) f(x) = x2 − 4x+ 3. (d) f(x) = −x2 + 4.
Observação. Por enquanto não possúımos ferramentas suficientes para determinar os intervalos de
crescimento e decrescimento de uma função qualquer (sem ter à disposição o gráfico). No curso de
Cálculo 1, aprenderemos novas ferramentas para isso.
53. Nos itens do exerćıcio anterior, determine os máximos e mı́nimos locais, assim como os valores de x
nos quais são atingidos.
Observação. Também não possúımos ferramentas suficientes para determinar os máximos e mı́nimos
de uma função qualquer (sem ter à disposição o gráfico). Também aprenderemos ferramentas para
isso no curso de Cálculo 1.
Explicação de conteúdo. Suponha que você esteja dirigindo um carro em uma rodovia em que há
placas indicando em qual quilômetro da rodovia você está. Com essas marcações, você montou uma
tabela com sua posição em cada instante de tempo e obteve o gráfico abaixo.
1
30
tempo (h)
p
os
iç
ão
(k
m
)
Pelo gráfico, percebemos que a viagem iniciou no quilômetro 30 da rodovia, que após uma hora
a posição é 60 km, após duas horas é 150 km e que após 5 horas a posição é 300 km. Com essas
15
informações, podemos concluir, por exemplo, que a velocidade média entre os instantes 2h e 5h é
vm =
300− 150
5− 2
= 50 km/h.
Para isso, o que fizemos foi calcular a diferença entre as posições (final e inicial) e dividir pelo tempo
transcorrido (que é a diferença entre os tempos final e inicial). De denominarmos a função do gráfico
acima por s(t), podemos escrever que a velocidade média entre os instantes 2h e 5h é
s(5)− s(2)
5− 2
.
De forma mais geral, se o tempo final é b e o inicial é a, a velocidade média ficaria
s(b)− s(a)
b− a
.
A expressão acima não precisa mais estar ligada à velocidade média: podemos pensar que s é uma
função e b e a são valores do seu domı́nio. Com isso em mente, faremos uma definição. Sejam f uma
função e a e b números em seu domı́nio, com b > a. Definimos a taxa de variação média de f entre
a e b como
taxa de variação média =
variação em f
variação em x
=
f(b)− f(a)
b− a
.
A motivação para a nomenclatura “taxa de variação média” é inspirada no próprio significado da
velocidade média. No exemplo anterior, a velocidade média igual a 50 km/h significa que, em média,
a posição aumentou 50 km a cada hora, isto é, medimos o quanto a posição variou em média. Em
outras palavras, a velocidade média mede a variação média da posição.
54. Encontre a taxa de variação média das funções abaixo entre os valores indicados.
(a) f(x) = 3x− 2, a = 1 e b = 4. (b) f(x) = 3x− 2, a e b quaisquer.
55. Para cada uma das funções abaixo, calcule e simplifique (se posśıvel) o quociente
f(a+ h)− f(a)
h
.
Considere a, a+ h ∈ Dom(f) e h 6= 0. Observe o exemplo abaixo.
Exemplo. f(x) = 3x+ 2.
Solução. Note que f(a) = 3a+ 2 e que f(a+ h) = 3(a+ h) + 2. Assim,
f(a+ h)− f(a)
h
=
3(a+ h) + 2− (3a+ 2)
h
=
3h
h
= 3.
(a) f(x) = 5. (b) f(x) =
1
x+ 1
. (c) f(x) =
x
x+ 1
.
(d) f(x) =
2x
x− 1
. (e) f(x) = 3− 5x+ 4x2. (f) f(x) = x3.
56. Para as mesmas funções do exerćıcio anterior, calcule e simplifique (se posśıvel) o quociente
f(x)− f(a)
x− a
.
Considere x, a ∈ Dom(f) e x 6= a. Observe o exemplo abaixo.
Exemplo. f(x) = 3x+ 2.
Solução. Note que f(x) = 3x+ 2 e que f(a) = 3a+ 2. Assim,
f(x)− f(a)
x− a
=
3x+ 2− (3a+ 2)
x− a
=
3(x− a)
x− a
= 3.
16
Explicação de conteúdo. Aprenderemos agora um pouco sobre o gráfico de funções polinomiais
quaisquer (o exerćıcio apenas dá uma ideia não muito precisa; em Cálculo 1 você terá mais recursos
para fazer tais gráficos). A ideia será ilustrada através de um exemplo. Considere a função f(x) =
2x5−6x4−18x3 +62x2−72. A primeira coisa a fazer aqui é encontrar as ráızes (para isso, temos que
usar divisão polinomial) e fatorar o polinômio. Nesse caso, já fiz a fatoração (faça você também!!) e
descobri que f(x) = 2(x+ 3)(x+ 1)(x− 2)2(x− 3). Agora, vamos usar essa fatoração para estudar
o sinal de f(x). Fazendo análise de sinal (faça você também!!), conclúımos que f(x) é negativa em
(−∞,−3)∪(−1, 2)∪(2, 3) e positiva em (−3,−1)∪(3,∞). Agora, devemos pensar da seguinte forma:
sabemos onde f(x) vale 0, onde é positivo e onde é negativo. Basta “imaginar” um gráfico com esse
comportamento (essa é a parte imprecisa do método, nem sempre a parte de imaginar funciona).
Por exemplo, sabemos que f(x) = 0 em x = −3 e que f é negativa se x < −3, isso nos diz que
(provavelmente) f(x) cresce em (−∞,−3) até atingir o eixo x em −3. Em (−3,−1), f(x) é positiva,
mas f(−3) = f(−1) = 0. Isso nos diz que (provavelmente) f(x) cresce um pouco e depois decresce
no intervalo (−3,−1). Continuando análise, f(x) (provavelmente) decresce um pouco e depois cresce
(−1, 2). O mesmo (provavelmente) ocorre em (2, 3). Por fim, f(x) (provavelmente) cresce em (3,∞).
Com isso, o gráfico (provavelmente) tem o comportamento abaixo.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
x
y
57. Utilize a ideia acima para esboçar o gráfico das funções abaixo.
(a) f(x) = (x− 2)2(x+ 2)(x− 5). (b) f(x) = x3 − 9x2 + 26x− 24.
58. Após aprendermos funções, podemos relacionar esse conteúdo com equações e inequações. Por exem-
plo, se chamarmos a expressão do lado esquerdo de uma equação de f(x) e a do lado direito de
g(x), a equação se reduz a f(x) = g(x). O mesmo argumento pode ser relacionado com inequações
obtendo, por exemplo f(x) > g(x). Essas equações e inequações possuem relações importantes com
os gráficos das funções envolvidas. Sejam f e g funções cujos gráficos estão representados abaixo.
17
a b
f
g
x
y
Descreva cada um dos conjuntos abaixo, conforme exemplo no item (a).
(a) {x ∈ R | f(x) < g(x)}.
Solução.{x ∈ R | f(x) < g(x)} = (a, b).
(b) {x ∈ R | f(x) = g(x)}.
(c) {x ∈ R | f(x) > g(x)}. (d) {x ∈ R | f(x) ≤ g(x)}.
(e) {x ∈ R | f(x) ≥ g(x)}.
59. Considere as mesmas funções f e g do exerćıcio anterior. Pinte, no plano cartesiano, as regiões
representadas pelos conjuntos abaixo.
(a) {(x, y) ∈ R2 | y < f(x)}. (b) {(x, y) ∈ R2 | y > f(x)}.
(c) {(x, y) ∈ R2 | y ≤ f(x)}. (d) {(x, y) ∈ R2 | y = f(x)}.
(e) {(x, y) ∈ R2 | f(x) < y < g(y)}. (f) {(x, y) ∈ R2 | g(x) < y < f(y)}.
(g) {(x, y) ∈ R2 | a < x < b e y > g(x)}. (h) {(x, y) ∈ R2 | a < x < b e y ≤ f(x)}.
60. Refaça os dois exerćıcios anteriores (exceto os dois últimos itens do exerćıcio anterior) para as funções
f(x) = 2x− 3 e g(x) = −x.
61. Resolva, graficamente, as equações e inequações abaixo.
(a) x2 − 1 = 2x+ 4. (b) x2 − 1 > 2x− 4. (c) x2 − 1 ≤ 2x− 4. (d) x2 − 1 = −x2 + 1.
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
[1] G. Iezzi, C. Murakami – Fundamentos de Matemática Elementar. 7a ed., Atual Editora, São
Paulo, 2004.
[2] J. Stewart, L. Redlin, S. Watson – Precalculus, Mathematics for Calculus. 6a ed., Brooks/Cole
Cengage Learning, Belmont, 2014.
18
Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
MTM3100 - Pré-cálculo
11a lista de exerćıcios (versão complementar) - Função exponencial, logaritmo, função
logaŕıtmica, equações e inequações exponenciais e logaŕıtmicas
Semanas 14 e 15 (04/11/2019 a 15/11/2019)
1. Considere f(x) = 3x. Utilize uma calculadora para determinar, aproximadamente, f(π), f(
√
2),
f(34/439) e f(−33/8). Arredonde com duas casas decimais.
2. Faça o gráfico das funções abaixo montando uma tabela de valores. Se necessário, use uma calcula-
dora.
(a) f(x) = 8x. (b) f(x) = (1,1)x.
3. Em cada item, faça o gráfico das funções em um mesmo plano.
(a) f(x) = 3−x e g(x) =
(
1
3
)x
. (b) f(x) =
(
2
3
)x
e g(x) =
(
4
3
)x
.
4. Em cada item, encontre a função exponencial f(x) = ax cujo gráfico está representado.
(a)
1
(−1, 1/5)
x
y
(b)
1
(−3, 8)
x
y
5. Compare o crescimento das funções f(x) = x2 e g(x) = 2x avaliando-as em x = 0, 1, 2, 3, 4,
5, 10, 15, 20, 30.
6. Considere f(x) = ax. Mostre que
f(x+ h)− f(x)
h
= ax
(
ah − 1
h
)
.
7. Considere f(x) = ex. Utilize uma calculadora para determinar f(3), f(0,23), f(−2) e f(1). Arre-
donde com 3 casas decimais.
1
8. Utilize as técnicas de construção de gráficos para fazer o gráfico das funções abaixo.
(a) f(x) = 10x+3. (b) f(x) = −
(
1
5
)x
. (c) f(x) = 5−x + 1. (d) f(x) = 1− 3−x.
(e) f(x) = 3− 10x−1. (f) f(x) = 2x−4 + 1. (g) f(x) = −ex. (h) f(x) = e−x − 1.
(i) f(x) = −e−x. (j) f(x) = ex−2. (k) f(x) = ex−3 + 4. (l) f(x) = ex+1 − 3.
9. Sabemos que um objeto em queda livre tem sua velocidade dada por v(t) = v0 + gt, em que v0 é a
velocidade inicial e g é a aceleração da gravidade. Porém, esse resultado é válido quando desprezamos
a resistência do ar. Em uma situação mais fiel, onde a resistência do ar é considerada, a modelagem
é bem diferente. Você verá em Cálculo 1 que quando a resistência do ar é modelada proporcional à
velocidade do objeto, então uma expressão t́ıpica da formulação da velocidade de queda é dado por
v(t) = 25(1− e−0,2t),
em que t está medido em segundos e v(t) em metros por segundo. Considerando esta equação,
determine o que se pede.
(a) Qual é a velocidade inicial?
(b) Qual é a velocidade após 5 s e após 10 s?
(c) Faça o gráfico de v em função de t.
(d) A velocidade máxima que um objeto em queda livre com resistência do ar pode atingir é
denominada velocidade terminal. Utilize o gráfico do item anterior para determinar a velocidade
terminal nessa situação. Comentário. Perceba a grande diferença entre este caso e o modelo
sem resistência do ar: sem resistência, a velocidade aumenta linearmente, sem um limitante
superior; com resistência, existe um limitante superior para a velocidade.
10. A função cosseno hiperbólico é definida como coshx =
ex + e−x
2
.
(a) Calcule cosh 0, cosh 1 e cosh(−2).
(b) Qual é o domı́nio desta função?
(c) Verifique que esta função é par.
(d) Faça o gráfico. Sugestão. Faça o gráfico de
ex
2
e
e−x
2
e utilize a adição de gráficos.
11. A função seno hiperbólico é definida como senhx =
ex − e−x
2
.
(a) Calcule senh 0, senh 1 e senh(−2).
(b) Qual é o domı́nio desta função?
(c) Verifique que esta função é ı́mpar.
(d) Faça o gráfico. Sugestão. Faça o gráfico de
ex
2
e
e−x
2
e utilize a subtração de gráficos.
12. Mostre que, para qualquer x ∈ R, cosh2 x− senh2 x = 1.
13. Mostre que, para qualquer x ∈ R, senh(2x) = 2 senhx coshx.
14. As outras funções hiperbólicas são definidas como abaixo.
Tangente hiperbólica. tghx =
senhx
coshx
.(I) Cotangente hiperbólica. cotghx =
coshx
senhx
.(II)
Secante hiperbólica. sechx =
1
coshx
.(III) Cossecante hiperbólica. cossechx =
1
senhx
.(IV)
2
Determine o domı́nio de cada uma dessas funções.
15. Aproximações para o número e podem ser calculadas a partir da expressão
(
1 +
1
n
)n
para valores
grandes de n. Encontre uma aproximação para e (com 5 casas decimais) calculando o valor da
expressão anterior com n = 1.000.000 (use uma calculadora).
16. Reescreva as identidades abaixo utilizando logaritmos.
(a) 103 = 1000. (b) 811/2 = 9. (c) 8−1 =
1
8
. (d) 2−3 =
1
8
.
(e) 4−3/2 = 0,125. (f) ex = 2. (g) e3 = y.
17. Reescreva as identidades abaixo utilizando a forma exponencial.
(a) log 0,1 = −1. (b) log8 512 = 3. (c) log8 2 =
1
3
. (d) log2
1
8
= −3.
(e) log3 81 = 4. (f) log8 4 =
2
3
. (g) ln 5 = x. (h) ln y = 5.
18. Calcule o valor das expressões abaixo.
(a) log6 36. (b) log3
1
27
. (c) log49 7. (d) 2
log2 37. (e) 3log3 8.
(f) eln
√
5. (g) log5 5
4. (h) log4 64. (i) log3 9. (j) log9 81.
(k) log2 32. (l) log8 8
17. (m) log6 1. (n) log5 125. (o) e
lnπ.
(p) 10log 87. (q) log8 0,25. (r) log4
√
2. (s) log4
1
2
. (t) log4 8.
19. Utilize a definição do logaritmo para determinar x.
(a) log2 16 = x. (b) log5 x = −1. (c) log x = −
2
3
. (d) logx 16 = 4.
(e) logx 6 =
1
2
. (f) logx 25 = 2. (g) logx 3 = −
1
3
.
20. Utilize uma calculadora para determinar com quatro casas decimais as expressões abaixo.
(a) log 2. (b) log
2
3
. (c) log
√
2. (d) ln 5. (e) ln 25,3. (f) ln(1 +
√
3).
21. Utilize as propriedades dos logaritmos para determinar o valor das expressões abaixo.
(a) log2 160− log2 5. (b) log
1√
1000
. (c) log12 9 + log12 16.
(d) log2 6− log2 15 + log2 20. (e) log3 100− log3 18− log3 50. (f) log4 16100.
(g) log2 8
33. (h) log(log 1010000). (i) ln(ln ee
200
).
22. Utilize as propriedades dos logaritmos para expandir as expressões abaixo.
(a) log3(5y). (b) log5
x
2
. (c) log3(x
√
y).
(d) loga
(
x2
yz3
)
. (e) log2
(
x(x2 + 1)√
x2 − 1
)
. (f) ln
(
ex
x(x2 + 1)(x4 + 2)
)3
.
(g) log 610. (h) ln
√
z. (i) log6
4
√
17.
(j) log5
3
√
x2 + 1. (k) ln
√
ab. (l) log
(
x3y4
z6
)
.
(m) log
(
a2
b4
√
c
)
. (n) log5
√
x− 1
x+ 1
. (o) ln
(
x
√
y
z
)
.
3
(p) ln
3x2
(x+ 1)10
. (q) log 4
√
x2 + y2. (r) log
(
x
3
√
1− x
)
.
(s) ln
√
x
√
y
√
z. (t) ln
(
x3
√
x− 1
3x+ 4
)
.
23. Utilize as propriedades dos logaritmos para combinar as expressões abaixo.
(a) log 12 +
1
2
log 7− log 2. (b) ln(a+ b) + ln(a− b)− 2 ln c.
(c) ln 5 + 2 lnx+ 3 ln(x2 + 5). (d) 2(log5 x+ 2 log5 y − 3 log5 z).
(e)
1
3
log(x+ 2)3 +
1
2
[log x4 − log(x2 − x− 6)2]. (f) loga b+ c loga d− r loga s.
24. Utilize a fórmula de mudança de base e uma calculadora para determinar o valor das expressões
abaixo. Aproxime com quatro casas decimais.
(a) log2 5. (b) log5 2. (c) log6 532. (d) log1/3 45,6.
25. Faça o gráfico das funções abaixo montando uma tabela de valores. Se necessário, use uma calcula-
dora.
(a) f(x) = log3 x. (b) g(x) = log1/2 x.
26. Encontre o domı́nio das funções abaixo.
(a) f(x) = ln(x− x2). (b) f(x) =
√
x− 2− log5(10− x).
(c) f(x) =
√
log(x2 − 1). (d) f(x)= log3(x
2 − 4x+ 3)
log2(2x− 8)− 1
.
(e) f(x) = log2(log x). (f) f(x) = ln(ln(ln x)).
27. Associe os gráficos (I)-(V) às funções (a)-(e).
x
y
(I)
x
y
(II)
4
x
y
(III)
x
y
(IV)
x
y
(V)
(a) f(x) = log2 x. (b) g(x) = log2(−x). (c) h(x) = − log2(x).
(d) k(x) = − log2(−x). (e) l(x) = log2 |x|.
28. Encontre a função logaŕıtmica f(x) = loga x cujo gráfico está representado.
(a)
1
(1/9,−2)
x
y
(b)
1
(3, 1/2)
x
y
29. Utilize as técnicas para construção de gráficos para fazer o gráfico das funções abaixo.
(a) f(x) = 2 + log3 x. (b) f(x) = log3(x− 1)− 2. (c) f(x) = 1− log x.
(d) f(x) = 1 + ln(−x). (e) f(x) = | ln(x)|. (f) f(x) = ln |x|.
5
30. O número 10100 é denominado googol e o número 10googol é denominado googolplex. Calcule
(a) log(log(googol)). (b) log(log(log(googolplex))).
31. Resolva as equações abaixo.
(a) 2x = 0. (b) 0,252x−3 = 43x−2. (c) 2x = 0,125. (d)
(
1
2
)3x2−1
= 32.
(e) 3x =
1
27
. (f) 10−x = 4. (g) e3x = 12. (h) 32x−1 = 5.
(i) 3ex = 10. (j) 4 + 35x = 8. (k) 23x = 34. (l) 2e12x = 17.
(m)e1−4x = 2. (n) 4(1 + 105x) = 9. (o) 5−x/100 = 2. (p) e3−5x = 16.
(q) 3x/14 = 0,1. (r) e2x+1 = 200. (s)
(
1
4
)x
= 75. (t) 101−x = 6x.
(u) 23x+1 = 3x−2. (v)
10
1 + e−x
= 2. (w) 100(1,04)2t = 300. (x) 1,0062512t = 2.
32. Resolva as equações abaixo.
(a) e2x − ex − 6 = 0. (b) e4x + 4e2x − 21 = 0.
(c) 4x3e−3x − 3x4e−3x = 0. (d) x2ex + xex − ex = 0.
33. Resolva as equações abaixo.
(a) log(3x+ 5) = 2. (b) log3(2− x) = 3.
(c) 4− log(3− x) = 3. (d) 2 log x = log 2 + log(3x− 4).
(e) log x+ log(x− 1) = log(4x). (f) log5 x+ log5(x+ 1) = log5 20.
(g) log3(x+ 15)− log3(x− 1) = 3. (h) log2 x+ log2(x− 3) = 2.
(i) log x+ log(x− 3) = 1. (j) log9(x− 5) + log9(x+ 3) = 1.
(k) 22/ log5 x =
1
6
.
34. Utilize os gráficos das funções envolvidas para determinar o número de soluções das equações abaixo.
(a) lnx = 3− x. (b) log x = x2 − 2. (c) ex = −x. (d) 2−x = x− 1.
35. Resolva as inequações abaixo.
(a) 4−x > 0. (b) 2 < 10x < 5. (c) 3 ≤ log2 x ≤ 4.
(d) log(x− 2) + log(9− x) < 1. (e) (3x2 − 1)e−x < 0.
36. Encontre a inversa das funções abaixo.
(a) f(x) = 33+x. (b) f(x) = ln(3x).
37. Encontre a inversa da função f(x) =
2x
1 + 2x
. Qual o domı́nio da inversa?
38. Encontre a inversa da função f(x) = coshx para x ≥ 0. A função inversa encontrada é denotada
por f−1(x) = arccosh x.
39. Encontre a inversa da função f(x) = senh x. A função inversa encontrada é denotada por f−1(x) =
arcsenhx.
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
J. Stewart, L. Redlin, S. Watson – Precalculus, Mathematics for Calculus. 6a ed., Brooks/Cole
Cengage Learning, Belmont, 2014.
6
Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 1.1 - Limites: noção intuitiva, definição e interpretação geométrica.
Última atualização: 17 de abril de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Estime algebricamente o valor do limite lim
x→2
x2 − 2x
x2 − x− 2
usando os valores de x fornecidos. Use uma
calculadora.
x 1 1,5 1,9 1,9999
f(x)
x 2,5 2,1 2,01 2,0001
f(x)
P2. Considere a função f cujo gráfico está representado abaixo. Faça o que se pede.
x
y
2
4
−2
−4
−6 −4 −2 2 4 6
(a) Determine o domı́nio de f .
(b) Estime f(4), determine se o limite lim
x→4
f(x) existe e, caso ele exista, calcule-o.
(c) Estime f(2), determine se o limite lim
x→2
f(x) existe e, caso ele exista, calcule-o.
(d) Determine f(0), se o limite lim
x→0
f(x) existe e, caso ele exista, calcule-o.
(e) Estime f(−2), determine se o limite lim
x→−2
f(x) existe e, caso ele exista, calcule-o.
(f ) Estime f(−4), determine se e o limite lim
x→−4
f(x) existe e, caso ele exista, calcule-o.
(g) O que se pode dizer sobre a existência do limite nos pontos −5, −1, 3,95 e 7/3?
1
P3. Considere a função
f(x) =

x+ 5, se x < −2
−x2 − 2x+ 3, se − 2 ⩽ x < 1
−x+ 2, se x ⩾ 1 e x ̸= 3
2, se x = 3.
(a) Faça o gráfico de f .
(b) Utilize o gráfico do item (a) para determinar se o lim
x→1
f(x) existe e, caso ele exista, calcule-o.
(c) Utilize o gráfico do item (a) para determinar se o lim
x→−2
f(x) existe e, caso ele exista, calcule-o.
(d) Utilize o gráfico do item (a) para determinar se o lim
x→3
f(x) existe e, caso ele exista, calcule-o.
(e) Utilize o gráfico do item (a) para determinar se o lim
x→−1
f(x) existe e, caso ele exista, calcule-o.
(f ) Utilize o gráfico do item (a) para determinar se o lim
x→2,99
f(x) existe e, caso ele exista, calcule-o.
Exerćıcios Complementares
C1. Estime algebricamente o valor do limite lim
x→0
ex − 1− x
x2
usando os valores de x fornecidos. Use uma
calculadora.
x −0,5 −0,1 −0,0001 −0,00001
f(x)
x 0,5 0,1 0,0001 0,00001
f(x)
C2. Utilize a definição de limite para mostrar que lim
x→1
(2x+ 1) = 3.
C3. Utilize a definição de limite para mostrar que lim
x→1
−4x+ 3 = −1.
C4. Utilize a definição de limite para mostrar que lim
x→2
2x ̸= 5.
C5. Utilize a definição de limite para mostrar que lim
x→4
3x+ 1 ̸= 12.
2
Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Gabarito da Lista 1.1
Limites: noção intuitiva, definição e interpretação geométrica.
Última atualização: 17 de abril de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. lim
x→2
x2 − 2x
x2 − x− 2
=
2
3
.
P2.
(a) R− {−4} = (−∞,−4) ∪ (−4,∞).
(b) f(4) ∼= 3,5 e lim
x→4
f(x) não existe.
(c) f(2) ∼= 4,5 e lim
x→2
f(x) não existe.
(d) f(0) = 4 e lim
x→0
f(x) = 4.
(e) f(−2) = 4 e lim
x→−2
f(x) não existe.
(f ) −4 não pertence ao domı́nio de f e lim
x→−4
f(x) ∼= 3.
(g) Todos existem.
P3.
(a)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
(b) lim
x→1
f(x) não existe.
(c) lim
x→−2
f(x) = 3.
1
(d) lim
x→3
f(x) = −1 existe e, caso ele exista, calcule-o.
(e) lim
x→−1
f(x) = 4.
(f ) lim
x→2,99
f(x) = −0,99.
Exerćıcios Complementares
C1. lim
x→0
ex − 1− x
x2
=
1
2
.
C2. Rascunho da solução. O gráfico abaixo ilustra a situação que temos e nos dará ideias de como
resolver.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Para mostrar que o limite é 3, devemos iniciar com um valor de ε > 0 genérico e encontrar um δ
associado a esse ε. A figura acima mostra que se ε = 1, podemos escolher δ = 0,5. Porém, isso
deve ser feito de forma genérica. Observe que ao fixar o valor de ε, a vizinhança de 3 considerada
é (3 − ε, 3 + ε). Uma conta rápida mostra que se x = 1 − ε/2, então f(x) = 3 − ε (basta igualar
2x + 1 = 3 − ε e isolar x). De forma similar, x = 1 + ε/2, então f(x) = 3 + ε. Como a função
f é crescente, se 1 − ε/2 < x < 1 + ε/2, então 3 − ε < f(x) < 3 + ε. Em outras palavras,
se x ∈ (1 − ε/2, 1 + ε/2), então f(x) ∈ (3 − ε, 3 + ε). Geometricamente, isso significar que se
escolhermos como faixa verde o intervalo (1−ε/2, 1+ε/2), os valores de f(x) ficam contidos na faixa
azul. Como a faixa verde que procuramos é da forma (1− δ, 1 + δ), então uma boa escolha para δ é
δ = ε/2. Observação sobre esse rascunho: a rigor, quando escrevemos x ∈ (1− ε/2, 1+ ε/2), bastava
considerar x ∈ (1− ε/2, 1 + ε/2) com x ̸= 1. Vamos à escrita oficial da solução.
Solução. Seja ε > 0 e escolha δ = ε/2. Assim, para qualquer x ∈ (1 − δ, 1 + δ) com x ̸= 1, como f
é crescente, tem-se 3− ε = f(1− δ) < f(x) < f(1 + δ) = 3 + ε e, com isso, |f(x)− 3| < ε. Como a
escolha inicial de ε foi arbitrária, então lim
x→1
(2x+ 1) = 3.
C3. Seja ε > 0 e escolha δ = ε/4. Assim, para qualquer x que satisfaz 0 < |x − 1| < δ (isto é,
x ∈ (1− δ, 1)∪ (1, 1+ δ)), tem-se | − 4x+3− (−1)| = | − 4x+4| = 4|x− 1| < 4δ = 4 ε
4
= ε. Como a
escolha inicial de ε foi arbitrária, então lim
x→1
−4x+ 3 = −1.
Comentário. Nesta resolução, omitimos o rascunho. Mas, em geral, fazemos o rascunho para saber
qual é uma boa escolha para δ e depois escrevemos a solução.
2
C4. Rascunho da solução. O gráfico abaixoilustra a situação que temos e nos dará ideias de como
resolver.
−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
Para mostrar que o limite não é 5, devemos encontrar um valor de ε > 0 que não possua nenhum
δ > 0 de modo que a condição da definição de limite seja satisfeita. Escolhendo, por exemplo, ε = 0,5
(esta não é a única escolha posśıvel aqui), vemos pela figura que é imposśıvel encontrar uma faixa
vertical (verde) ao redor de a = 2 (excluindo a = 2) de modo que o gráfico de f nesta faixa verde
fique contido na faixa em azul. Em outras palavras, para ε = 0,5, não existe δ > 0 de modo que a
condição aconteça. Algumas contas serão feitas aqui no rascunho para serem usadas na solução final.
Qualquer que seja o δ escolhido, e qualquer que seja a escolha de x no conjunto (2 − δ, 2), tem-se
f(x) = 2x < 4 e, portanto |f(x)− 5| > 0,5 = ε. Para ver que f(x) = 2x < 4 se x ∈ (2− δ, 2), basta
observar que se x < 2 então 2x < 4. Vamos à escrita oficial da solução.
Solução. Escolha ε = 0,5, seja δ > 0 qualquer e escolha x ∈ (2− δ, 2). Para esse valor de x, tem-se
f(x) < 4 e, portanto, |f(x)− 5| > 1 > 0,5 > ε. Logo, lim
x→2
2x ̸= 5.
C5. Escolha ε = 0,5, seja δ > 0 qualquer e escolha x ∈ (4, 4 + δ). Para esse valor de x, tem-se f(x) > 13
e, portanto, |f(x)− 12| > 1 > 0,5 > ε. Logo, lim
x→4
3x+ 1 ̸= 12.
3
Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 1.2 - Limites: unicidade e propriedades.
Última atualização: 24 de agosto de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Utilizando apenas as propriedades de limite, que lim
x→2
x = 2 e que lim
x→2
1 = 1, calcule lim
x→2
x3 − x
x+ 1
.
Comentário 1. Você deve estar se perguntando qual a necessidade desse exerćıcio, já que bastava ter
“trocado”x por 2. Daqui algumas aulas aprenderemos uma lista de funções em que podemos calcular
limite dessa forma, apenas trocando o x. Essas funções serão chamadas de cont́ınuas. Porém, como
ainda não sabemos quem são elas, resolvemos limites com as ferramentas que temos (por enquanto,
as propriedades de limites, que lim
x→x0
x = x0 e que lim
x→x0
c = c, em que x0 e c não números fixados).
Comentário 2. Imagine que um exerćıcio com enunciado análogo ao que você acabou de fazer peça
para usar as propriedades para calcular o limite lim
x→−3
(
x2 − x
3 − 1
x2 + x
)
. Você iria pensar: preciso fazer
um monte de etapas como antes para verificar que era só substituir x por −3. Nesse pensamento,
você mentalmente usou as propriedades para chegar a essa conclusão de que poderia calcular o limite
apenas substituindo x. Esse é o objetivo do próximo exerćıcio: dizer se você pode ou não resolver o
limite apenas substituindo (lembre de pensar se as propriedades funcionam no item analisado).
P2. Em cada item, diga se as propriedades permitem que o limite possa ser calculado apenas substituindo
x. Se a resposta for sim, calcule o limite. Use as propriedades vistas na videoaula.
(a) lim
x→−1
(x2 − 3x+ 4). (b) lim
x→8
3
√
x.
(c) lim
x→3
x2 − 9
x− 3
. (d) lim
x→1
ex − lnx
x2 + x+ 1
.
(e) lim
x→−2
3x. (f) lim
x→2
x3 + x− cosx
2x− 4
.
(g) lim
x→3
x+ 1
x+ sen(πx)
. (h) lim
x→5
3
√
x2 + x− 3 log2(x− 1).
Alerta de spoiler ! Não leia esse comentário sem ter feito o exerćıcio anterior! Você deve ter
percebido que o limite lim
x→3
x2 − 9
x− 3
não pode ser calculado apenas substituindo x (em outras palavras,
não foi posśıvel usar as propriedades). O problema nesse caso foi que a propriedade que trata do limite
da divisão não pode ser aplicada quando o limite do denominador é 0. Mas isso não significa que o
limite não existe ou que não pode ser calculado. Sua tarefa no próximo exerćıcio é calcular alguns
limites desse tipo. Consulte a videoaula para alguns exemplos (no gabarito há alguns resolvidos).
P3. Calcule os limites abaixo, se existirem.
(a) lim
x→2
x3 − 8
x2 − 4
. (b) lim
x→3
x2 − 9
x− 3
. (c) lim
x→−1
x3 + 1
x2 − 1
.
1
(d) lim
x→0
3x3 − x2 + 5x+ 1
x(2x2 + x− 2)
. (e) lim
x→4
√
x− 2
x− 4
. (f) lim
x→0
√
1 + x−
√
1− x
x
.
(g) lim
x→4
3−
√
5 + x
1−
√
5− x
. (h) lim
x→2
x2 + 3x− 10
3x2 − 5x− 2
. (i) lim
x→−2
3x3 − 4x2 + x− 1
x2 + x− 2
.
(j) lim
x→0
(4 + x)2 − 16
x
. (k) lim
x→0
(
1
x
− 1
x2 + x
)
. (l) lim
x→1
√
x− 1
x− 1
.
(m) lim
x→1
x− 1
3
√
x− 1
. (n) lim
x→0
3
√
8 + x− 2
x
. (o) lim
x→1
3
√
x− 1
4
√
x− 1
.
(p) lim
x→2
(
x2 − 4
x− 2
+ log3(x
2 + 5)
)
.
Comentário. A notação lim
x→a
segue padrões semelhantes a outras notações matemáticas. Por exemplo,
se você quer calcular o seno de x+π, você escreve sen(x+π) e não senx+π, pois a segunda notação
é lida como o seno de x e o resultado deste seno é somado a π. O mesmo vale para limites: se você
quer falar do limite da função x2 + x, você deve escrever lim
x→a
(x2 + x), pois a notação lim
x→a
x2 + x é
lida como o limite de x2 e o resultado do limite é somado com x. Apesar dessa convenção, muitas
vezes os parênteses não são usados.
P4. Encontre valores de a, b ∈ R para que tenhamos lim
x→5
x2 − a
x− 5
= b.
P5. Sabe-se que lim
x→2
f(x) = 4 e que lim
x→2
(4f(x) + 2g(x)) = 22. Determine lim
x→2
g(x).
P6. Sabendo que lim
x→−2
f(x)
x2
= 1, calcule os limites abaixo.
(a) lim
x→−2
f(x). (b) lim
x→−2
f(x)
x
. (c) lim
x→−2
(x+ 2)f(x).
Exerćıcios Complementares
C1. Calcule os limites abaixo, sabendo que lim
x→x0
f(x) = 5 e que lim
x→x0
g(x) = −2.
(a) lim
x→x0
f(x)g(x). (b) lim
x→x0
(f(x) + 3g(x)).
(c) lim
x→x0
f(x)
f(x)− g(x)
. (d) lim
x→x0
[g(x)]3 · 2f(x)+g(x).
C2. Para c > 0 fixado, encontre valores de a, b ∈ R para que tenhamos lim
x→c
x2 − a
x− c
= b.
C3. Sabendo que lim
x→1
f(x) = lim
x→1
g(x) = 3 calcule
L = lim
x→1
f(x)4 − g(x)4
f(x)2 − g(x)2
.
C4. Determine a > 0 sabendo que lim
x→0
(
1
3ax
− 1
x2 + 3ax
)
=
1
18
.
C5. Dada a função f(x) =
√
24x− 63, calcule
lim
x→3
f(x)− f(3)
x− 3
.
2
Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Gabarito da Lista 1.2
Limites: unicidade e propriedades.
Última atualização: 24 de agosto de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Pelas propriedades de limite, obtemos
lim
x→2
(x3 − x) = lim
x→2
x3 − lim
x→2
x = (lim
x→2
x)3 − lim
x→2
x = 23 − 2 = 6, e
lim
x→2
(x+ 1) = lim
x→2
x+ lim
x→2
1 = 3.
Como este segundo limite é diferente de 0, então
lim
x→2
x3 − x
x+ 1
=
lim
x→2
(x3 − x)
lim
x→2
(x+ 1)
=
6
3
= 2.
P2.
(a) Sim. lim
x→−1
(x2 − 3x+ 4) = 8.
(b) Sim. lim
x→8
3
√
x = 2.
(c) Não. (Isso não significa que não podemos calcular o limite de outra forma).
(d) Sim. lim
x→1
ex − lnx
x2 + x+ 1
=
e
3
.
(e) Sim. lim
x→−2
3x =
1
9
.
(f ) Não.
(g) Sim. lim
x→3
x+ 1
x+ sen(πx)
=
4
3
.
(h) Sim. lim
x→5
3
√
x2 + x− 3 log2(x− 1) = 6.
P3.
(a) Ainda estamos iniciando nosso aprendizado sobre limites, mas já podemos adiantar algumas
informações que vão aparecendo aos poucos. Esse limite que está aqui poderia ser calculado
usando as propriedades se o limite do denominador não fosse igual 0. Isso funciona como um
alerta: se o limite do denominador é 0, é necessário procurar outro caminho para resolver o
limite. Em breve, veremos que, nessa situação em que o limite do denominador é 0, o resultado
do limite do numerador nos dá um pista do que fazer. Sendo mais preciso, se o limite do
1
numerador é diferente de 0 e do denominador é igual a 0, é posśıvel provar que o limite não
existe no sentido formal (nas próximas aulas definiremos uma noção informal de limite). Por
outro lado, se ambos os limites do numerador e do denominador são iguais a 0, o limite pode
existir e, nesse caso, cabe a nós encontrar uma forma de resolver o limite. Essa situação é
normalmente chamada de indeterminação em limites do tipo 0/0. Ok, vamos à solução do
item! Usando as propriedades,vemos que tanto o limite do numerador quanto do denominador
são iguais a 0. Isso nos diz que devemos procurar algum método alternativo de solução. E
esses métodos alternativos é que tornam a resolução de limites um problema não tão fácil de
resolver: cada tipo de função necessita de um método diferente e nem sempre esses métodos são
óbvios. Vejamos como resolver esse exemplo. Primeiro, notemos que 2 é uma raiz de ambos os
polinômios x3−8 e x2−4. Logo, ambos são diviśıveis por x−2. Ao fazer a divisão, descobrimos
as seguintes fatorações: x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4) e x2 − 4 = (x − 2)(x + 2). Com isso,
conclúımos que
x3 − 8
x2 − 4
=
(x− 2)(x2 + 2x+ 4)
(x− 2)(x+ 2)
=
x2 + 2x+ 4
x+ 2
.
Do ponto de vista de funções, descobrimos que as funções
x3 − 8
x2 − 4
e
x2 + 2x+ 4
x+ 2
são quase
idênticas, a única diferença é que a primeira não possui o 2 no seu domı́nio e a segunda possui.
Se a única diferença é no ponto 2, então elas são idênticas à esquerda e à direita do 2 e, portanto,
devem possuir o mesmo limite no ponto 2. Em outras palavras,
lim
x→2
x3 − 8
x2 − 4
= lim
x→2
x2 + 2x+ 4
x+ 2
.
Mas esse último limite pode ser calculado usando as propriedades. Assim
lim
x→2
x3 − 8
x2 − 4
= lim
x→2
x2 + 2x+ 4
x+ 2
=
22 + 2 · 2 + 4
2 + 2
= 3.
Você não precisa escrever tudo isso na solução, o objetivo aqui foi explicar todos os detalhes.
Como solução, basta escrever
lim
x→2
x3 − 8
x2 − 4
= lim
x→2
(x− 2)(x2 + 2x+ 4)
(x− 2)(x+ 2)
= lim
x→2
x2 + 2x+ 4
x+ 2
=
22 + 2 · 2 + 4
2 + 2
= 3.
(b) 6.
(c) −3/2.
(d) Não existe.
(e) Usando as propriedades, vemos que tanto o limite do numerador quanto do denominador são
iguais a 0. Isso nos diz que devemos procurar algum método alternativo de solução. Nesse caso,
lim
x→4
√
x− 2
x− 4
= lim
x→4
(
√
x− 2)(
√
x+ 2)
(x− 4)(
√
x+ 2)
= lim
x→4
1√
x+ 2
=
1√
4 + 2
=
1
4
.
(f ) 1.
(g) −1/3.
(h) 1.
(i) Não existe.
(j) 8.
(k) 1.
(l) 1/2.
2
(m) Este limite pode ser resolvido usando racionalização (se você souber como racionalizar expressões
com ráızes cúbicas). Porém, ilustraremos um outro método aqui: o método da mudança de
variável. Este método consiste em reescrever a expressão do limite em uma nova variável de
modo que a nova expressão facilite o cálculo do limite. Neste exemplo, a mudança de variável
que torna o problema mais simples é y = 3
√
x. Com essa escolha,
x− 1
3
√
x− 1
=
y3 − 1
y − 1
(observe
que se y = 3
√
x, então x = y3). Sempre que uma mudança de variável é feita, a letra antiga deve
desaparecer da expressão e apenas a variável nova deve permanecer (em nosso caso, x sumiu e a
nova expressão tem apenas a letra y). A segunda mudança que devemos fazer é trocar “x → 1”
por “y → ?”. Para isso, olhamos para a relação entre y e x e nos perguntamos o que acontece
com o valor de y à medida que x se aproxima de 1. Como y = 3
√
x, então y se aproxima de
3
√
1 = 1 à medida que x se aproxima de 1. Portanto, “x → 1” deve ser trocado por “y → 1”.
Assim,
lim
x→1
x− 1
3
√
x− 1
= lim
y→1
y3 − 1
y − 1
e, com isso, nosso limite inicial foi transformado em um outro que pode ser resolvido da mesma
forma que o exemplo 2. Finalizando,
lim
x→1
x− 1
3
√
x− 1
= lim
y→1
y3 − 1
y − 1
= lim
y→1
(y − 1)(y2 + y + 1)
y − 1
= lim
y→1
(y2 + y + 1) = 12 + 1 + 1 = 3.
(n) 1/12.
(o) 4/3.
(p) Como lim
x→2
x2 − 4
x− 2
= 4 e lim
x→2
log3(x
2 + 5) = 2, segue das propriedades de limite que
lim
x→2
(
x2 − 4
x− 2
+ log3(x
2 + 5)
)
= 4 + 2 = 6.
A ideia de separar em dois limites surgiu porque a parcela log3(x
2 + 5) pode ter seu limite
calculado apenas usando as propriedades; e a parcela
x2 − 4
x− 2
não possui o ponto 2 em seu
domı́nio mas vimos como calcular seu limite usando fatoração de polinômios. Dessa forma,
conhecendo o limite de cada uma das parcelas, o uso das propriedades nos dá o resultado do
limite.
P4. Como o denominador se anula quando x = 5, para que esse limite tenha chance de existir é necessário
que o numerador também se anule quando x = 5 (pense no por que disso ser verdade). Assim
25− a = 0, ou seja, a = 25. Agora, quando a = 25 temos
lim
x→5
x2 − 25
x− 5
= lim
x→5
(x+ 5)(x− 5)
x− 5
= lim
x→5
(x+ 5) = 10,
e, portanto, b = 10.
P5. lim
x→2
g(x) = 3.
P6.
(a) 4. (b) −2. (c) 0.
Exerćıcios Complementares
3
C1.
(a) −10. (b) −1. (c) 5
7
. (d) −64.
C2. a = c2 e b = 2c.
C3. L = 18.
C4. a =
√
2.
C5. lim
x→3
f(x)− f(3)
x− 3
= 4.
4
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Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 1.3 - Teorema do Confronto
Última atualização: 30 de abril de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Calcule os limites abaixo, se existirem.
(a) lim
x→0
x2 sen
(
1
x
)
. (b) lim
x→0
x cos
(
1
x3
)
.
(c) lim
x→0
(
x cos
(
1
x
)
+ ae2x+2
)
, em que a ∈ R. (d) lim
x→0
cos
(
1
x
)
.
P2. Seja f : R → R uma função que satisfaz −x2 + 3x ⩽ f(x) < x
2 − 1
x− 1
para todo x ̸= 1. Calcule
lim
x→1
f(x).
P3. Seja f : R → R uma função limitada. Calcule os limites abaixo, se existirem.
(a) lim
x→0
x5f(x). (b) lim
x→3
2x2 − f(x) sen(x− 3)
x2 − 2x+ 2
.
P4. Seja f uma função que satisfaz
(i) 11 + 9x ⩽ f(x) ⩽ 2 + 6x, para todo x < −3,
(ii) 2 + 6x ⩽ f(x) ⩽ 11 + 9x, para todo x > −3.
Determine lim
x→−3
f(x).
Exerćıcios Complementares
C1. Sejam f, g : R → R funções tais que g(x)2 + f(x)2 = 9 para todo x ∈ R. Calcule os limites abaixo,
se existirem, e justifique as suas respostas.
(a) lim
x→0
x5g(x). (b) lim
x→3
f(x) sen(x− 3).
C2. Seja f : R → R uma função satisfazendo |f(x)| ⩽ x2 para todo x ∈ R. Mostre que
lim
x→0
f(x) = 0 e lim
x→0
f(x)
x
= 0.
Podemos dizer alguma coisa sobre lim
x→0
f(x)
x2
?
C3. Sejam a, b ∈ R e assuma que |ax+ b| ⩽ x2 para todo x ∈ R. Mostre que a = b = 0.
C4. Encontre o valor de a ∈ R tal que
lim
x→5
(
a(x2 − 25)
x2 − 4x− 5
+ (x− 5)3 sen
(
1
x− 5
))
= 5.
1
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Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Gabarito parcial da Lista 1.3
Teorema do Confronto
Última atualização: 30 de abril de 2022.
Exerćıcios Principais
P1.
(a) Como lim
x→0
x2 = 0 e a função sen
(
1
x
)
é limitada, segue do segundo teorema visto na videoaula
que lim
x→0
x2 sen
(
1
x
)
= 0. Aqui, usamos que o resultado do seno de qualquer número pertence a
[−1, 1] e, com isso,
∣∣sen ( 1
x
)∣∣ ≤ 1 para qualquer x ̸= 0.
(b) 0.
(c) ae2.
(d) Não existe.
P2. 2.
P3.
(a) 0. (b)
18
5
.
P4. lim
x→−3
f(x) = −16.
Exerćıcios Complementares
C1.
(a) 0, pois o limite de uma função limitada multiplicada por uma que vai a zero é igual a zero.
(b) 0, pois o limite de uma função limitada multiplicada por uma que vai a zero é igual a zero.
C2.
C3.
C4. a = 3.
1
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Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 1.4 - Limites laterais
Última atualização: 30 de abril de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Considere a função f cujo gráfico está representado abaixo. Determine o que se pede.
x
y
2
4
−2
−4
−6 −4 −2 2 4 6
(a) Os limites lim
x→4−
f(x) e lim
x→4+
f(x).
(b) Os limites lim
x→2−
f(x) e lim
x→2+
f(x).
(c) Os limites lim
x→0−
f(x) e lim
x→0+
f(x).
(d) Os limites lim
x→−2−
f(x) e lim
x→−2+
f(x).
(e) Os limites lim
x→−4−
f(x) e lim
x→−4+
f(x).
(f) O que se pode dizer sobre a existência dos limites laterais nos pontos −5, −1, 3,95 e 7/3?
P2. Considere a função
f(x) =

x+ 5, se x < −2
−x2 − 2x+ 3, se − 2 ⩽ x < 1
−x+ 2, se x ⩾ 1 e x ̸= 3
2, se x = 3.
(a) Determine f(1) e todos os limites de f no ponto 1.
(b) Determine f(0) e todos os limites de f no ponto 0.
(c) Determine f(−2) e todos os limites de f no ponto −2.
1
(d) Determine f(3) e todos os limites de f no ponto 3.
(e) Determine f(−1) e todos os limites de f no ponto −1.(f ) Determine f(2,99) e todos os limites de f no ponto 2,99.
P3. Calcule os limites abaixo, se existirem.
(a) lim
x→−1+
x2ex
x+ 3
. (b) lim
x→2−
x2 + 3x− 10
3x2 − 5x− 2
.
(c) lim
x→2+
x2 − 5x+ 6
x2 − 12x+ 20
. (d) lim
x→3−
|x− 3|
x− 3
.
(e) lim
x→3+
|x− 3|
x− 3
. (f) lim
x→3
|x− 3|
x− 3
.
(g) lim
x→2+
|x2 − 4|
x− 2
. (h) lim
x→5−
3
√
x2 + x− 3 log2(x− 1).
(i) lim
x→0+
(
1
x
− 1
|x|
)
.
P4. Sejam f(x) = −4x + 4, g(x) =
{
−x, x ⩽ −2
1− x, x > −2 e h(x) = f(x)g(x). Determine limx→−2− h(x) e
lim
x→−2+
h(x).
Exerćıcios Complementares
C1. Para a função f cujo gráfico é mostrado a seguir, determine o valor de cada quantidade, se ela existir.
Se ela não existir, explique por quê.
x
y
−3
1
2
4
−2 4
(a) lim
x→−2−
f(x). (b) lim
x→−2+
f(x). (c) lim
x→−2
f(x). (d) f(−2).
(e) lim
x→0−
f(x). (f) lim
x→0+
f(x). (g) lim
x→0
f(x). (h) lim
x→4
f(x).
2
C2. Considere a função
h(x) =
 x, x ⩾ 3x2
3
, x < 3
e calcule os seguintes limites.
(a) lim
x→3−
h(x)− h(3)
x− 3
. (b) lim
x→3+
h(x)− h(3)
x− 3
. (c) lim
x→3
h(x)− h(3)
x− 3
.
C3. Esboce o gráfico de uma função f : R → R que satisfaça todas as seguintes condições: lim
x→3+
f(x) = 4,
lim
x→3−
f(x) = 2, lim
x→−2
f(x) = 2, f(3) = 3 e f(−2) = 1.
C4. Determine a e b para que lim
x→−1
f(x) e lim
x→1
f(x) existam, em que f é a função dada por
f(x) =

(x− 2)2 − b, se x < −1
x3 − ax+ 7, se − 1 ⩽ x ⩽ 1
x2 − (b+ 1)x+ b
x− 1
, se x > 1.
3
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Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Gabarito da Lista 1.4
Limites laterais
Última atualização: 30 de abril de 2022.
Exerćıcios Principais
P1.
(a) lim
x→4−
f(x) formalmente não existe e lim
x→4+
f(x) ∼= 3,5.
(b) lim
x→2−
f(x) ∼= 1,5 e lim
x→2+
f(x) = f(2) ∼= 4,5.
(c) lim
x→0−
f(x) = 4 e lim
x→0+
f(x) = 4.
(d) lim
x→−2−
f(x) = 4 e lim
x→−2+
f(x) = 2.
(e) lim
x→−4−
f(x) ∼= 3 e lim
x→−4+
f(x) ∼= 3.
(f) Todos existem.
P2.
(a) Pela definição da função, f(1) = −1 + 2 = 1. Para calcular lim
x→1−
f(x) devemos nos perguntar
como o gráfico de f se comporta à esquerda e próximo do ponto 1. À esquerda do ponto 1, f às
vezes se comporta como x+ 5 e às vezes como −x2 − 2x+ 3. Porém, próximo ao ponto 1, f se
comporta como −x2 − 2x+3. Portanto, lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
(−x2 − 2x+3) = −12 − 2 · 1+ 3 = 0.
De forma similar, para calcular lim
x→1+
f(x) devemos observar que f se comporta como −x+ 2 à
direita e próximo de 1. Logo, lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
(−x+2) = −1+2 = 1. Como os limites laterais
são diferentes, então lim
x→1
f(x) não existe.
(b) Pela definição da função, f(0) = 02 − 2 · 0 + 3 = 3. Observe que, tanto à esquerda quanto à
direita e próximo do ponto 0, f se comporta como −x2− 2x+3. Logo lim
x→0−
f(x) = lim
x→0+
f(x) =
−02 − 2 · 0 + 3 = 3 e, com isso, lim
x→0
f(x) = 3.
(c) lim
x→−2−
f(x) = lim
x→−2+
f(x) = lim
x→−2
f(x) = f(−2) = 3.
(d) f(3) = 2 e lim
x→3−
f(x) = lim
x→3+
f(x) = lim
x→3
f(x) = −1.
(e) lim
x→−1−
f(x) = lim
x→−1+
f(x) = lim
x→−1
f(x) = f(−1) = 4.
(f) lim
x→2,99−
f(x) = lim
x→2,99+
f(x) = lim
x→2,99
f(x) = f(2, 99) = −0,99.
P3.
(a)
1
2e
. (b) 1.
1
(c) 1/8. (d) −1.
(e) 1. (f) Não existe.
(g) 4. (h) 6.
(i) 0.
P4. lim
x→−2−
h(x) = 24 e lim
x→−2+
h(x) = 36.
Exerćıcios Complementares
C1.
(a) 0. (b) 1. (c) Não existe. (d) 0
(e) 4. (f) 4. (g) 4. (h) 2.
C2.
(a) 2. (b) 1. (c) Não existe.
C3. Há infinitas respostas posśıveis. Uma delas está abaixo.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
C4. a = 5 e b = −2.
2
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 1.5 - Continuidade: definição e propriedades
Última atualização: 30 de abril de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Considere a função f cujo gráfico está representado abaixo. Determine os pontos de continuidade e
descontinuidade de f .
x
y
2
4
−2
−4
−6 −4 −2 2 4 6
P2. Seja f uma função cont́ınua (isto é, cont́ınua em todos os pontos do seu domı́nio). Sabe-se que
f(0) = 3, f(2) = 0 e f(3) = −2. Calcule os limites lim
x→0
f(x), lim
x→2−
f(x) e lim
x→3+
f(x).
P3. Sabe-se que f e g são funções cont́ınuas, f(3) = 5 e lim
x→3
(2f(x)− g(x)) = 4, encontre g(3).
P4. Em cada item, use as propriedades de continuidade para explicar por que a função é cont́ınua em
seu domı́nio.
(a) f(x) = (x2 − 3x+ 4)ex. (b) f(x) = 2 senx− x
2 − 9
x− 3
.
P5. Use a continuidade das funções do exerćıcio anterior para calcular os limites abaixo.
(a) lim
x→1
(x2 − 3x+ 4)ex. (b) lim
x→0−
(
2 senx− x
2 − 9
x− 3
)
.
P6. Sejam a e b números reais tais que a função
f(x) =

x3 − ax2 + bx
x+ 5
, x ̸= −5
15, x = −5
é cont́ınua. Calcule f(6).
1
P7. Considere a função
f(x) =

2x3 − 2
3x2 − 3
se x < 1
α se x = 1
β(x2 − 1)
x− 1
se 1 < x < 2
γ(x2 + 1)
2x
se x ⩾ 2.
Encontre valores reais para α, β e γ tais que a função f seja cont́ınua nos pontos x0 = 1 e x0 =
2.
Exerćıcios Complementares
C1. Determine a e b sabendo que a função
f(x) =

x2 − ax+ 4
x+ 4
, x < −4
−x+ b, x ⩾ −4
é cont́ınua.
C2. Considere a função
f(x) =

x+ 5, se x < −2
−x2 − 2x+ 3, se − 2 ⩽ x < 1
−x+ 2, se x ⩾ 1 e x ̸= 3
2, se x = 3.
Determine os pontos de descontinuidade de f e diga quais são remov́ıveis.
C3. A afirmação
“se lim
x→x+0
f(x) = lim
x→x−0
f(x) então f é cont́ınua em x0”
é verdadeira ou falsa? Justifique.
C4. Seja f uma função. Sabe-se, por algum teorema ou resultado prévio, que f é cont́ınua no ponto
a. Como essa informação lhe ajuda no cálculo dos limites lim
x→a
f(x), lim
x→a−
f(x) e lim
x→a+
f(x)? Essa
informação também ajuda a calcular o limite lim
x→b
f(x), em que b ̸= a?
C5. Em cada item, explique por que f é descont́ınua em x0.
(a) f(x) = ln |x− 2| em x0 = 2.
(b) f(x) =
 x
2 − 4x+ 3
x− 3
se x ̸= 3
5 se x = 3
em x0 = 3.
2
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Gabarito da Lista 1.5
Continuidade: definição e propriedades
Última atualização: 30 de abril de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. f é cont́ınua em R−{−4,−2, 2, 4} = (−∞,−4)∪(−4,−2)∪(−2, 2)∪(2, 4)∪(4,∞) e descont́ınua em
{−4,−2, 2, 4}. Observação. Dependendo da definição dada, o ponto −4 pode ou não ser um ponto
de descontinuidade de f . Algumas definições tratam de continuidade e descontinuidade apenas para
os pontos no domı́nio da função. Como −4 não está no domı́nio, nessa definição −4 não entraria
na lista de descontinuidades. Em nosso curso, consideramos pontos fora do domı́nio como pontos de
descontinuidade. Assim, em nossa definição, −4 é um ponto de descontinuidade.
P2. lim
x→0
f(x) = f(0) = 3, lim
x→2−
f(x) = f(2) = 0 e lim
x→3+
f(x) = f(3) = −2.
P3. g(3) = 6.
P4.
(a) Como funções exponenciais e polinomiais são cont́ınuas e o produto de funções cont́ınuas é
cont́ınua, então f é cont́ınua.
(b) Como sen x é cont́ınua e número vezes função cont́ınua gera uma nova função cont́ınua, então
2 senx é cont́ınua. Como x2 − 9 e x− 3 são cont́ınuas (por serem polinomiais), então x
2 − 9
x− 3
é
cont́ınua onde o denominador não se anula (em outras palavras, em R − {3} que é o domı́nio
da função). Por fim, como diferença de funções cont́ınuas é cont́ınua, então 2 sen x − x
2 − 9
x− 3
é
cont́ınua em R− {3}, que é seu domı́nio.
P5.
(a) lim
x→1
(x2 − 3x+ 4)ex = 2e. (b) lim
x→0−
(
2 senx− x
2 − 9
x− 3
)
= −3.
P6. f(6) = 48.
P7. α = 1, β = 1/2 e γ = 6/5.
Exerćıcios Complementares
C1. a = −5 e b = −7.
C2. f é descont́ınua em 1 e 3 e 3 é uma descontinuidade remov́ıvel.
1
C3. Falsa.
C4. A informação de que a função f é cont́ınua no ponto a garante que o limite lim
x→a
f(x) existe e que
o resultado é f(a). Pela existênciado limite, então os limites laterais também existem e também
são iguais a f(a). Logo, lim
x→a
f(x) = lim
x→a−
f(x) = lim
x→a+
f(x) = f(a). A informação de continuidade
em um determinado ponto nada diz sobre a continuidade em outro. Logo, saber a continuidade no
ponto a não ajuda em nada no cálculo do limite no ponto b.
C5.
(a) f não satisfaz nenhuma das condições de continuidade: f não está definida em x0, limite de f
em x0 não existe (no sentido formal) e o limite não pode ser igual a f(x0) porque nem o limite
e nem f(x0) existem.
(b) f(x0) = 5 ̸= 2 = lim
x→x0
f(x).
2
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Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 1.6 - Continuidade: mais propriedades e Teorema do Valor Intermediário
Última atualização: 1 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Em cada item, use as propriedades de continuidade para explicar por que a função é cont́ınua em
seu domı́nio.
(a) f(x) = arcsen(x2 − 1). (b) f(x) = 6 + sen(x+ senx)
x2
.
P2. Use a continuidade das funções do exerćıcio anterior para calcular os limites abaixo.
(a) lim
x→ 1√
2
arcsen(x2 − 1). (b) lim
x→π
6 + sen(x+ senx)
x2
.
P3. Mostre que a função f(x) = x3 + x+ 1 possui, pelo menos, uma raiz real.
P4. Mostre que a função f(x) = x6−6x+1 possui, pelo menos, uma raiz real no intervalo [−1, 1].
P5. Seja f : [0, 2] → R uma função cont́ınua que satisfaz f(0) = 16, f(1) = k e f(2) = 18. Para qual dos
valores de k abaixo a equação f(x) = 15 possui, com certeza, pelo menos duas ráızes reais distintas?
(a) k = 14. (b) k = 15. (c) k = 16. (d) k = 17. (e) k = 18.
Exerćıcios Complementares
C1. Mostre que a equação cosx = x possui pelo menos uma solução real.
C2. Aplique o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação x3 − 4x + 1 = 0 tem três
ráızes reais distintas.
C3. Classifique cada item abaixo como verdadeiro ou falso.
(a) Pelo Teorema do Valor Intermediário, é posśıvel concluir que a função f(x) =
x4 + x2 + 1
x2 − 6x+ 5
possui pelo menos uma raiz real no intervalo [0, 2].
(b) Pelo Teorema do Valor Intermediário, é posśıvel concluir que a função f(x) =
x− cos(πx)
x2 + 1
possui pelo menos uma raiz real no intervalo [0, 1].
(c) Seja f(x) = x +
√
x2 + 9. Pelo Teorema do Valor Intermediário, é posśıvel concluir que existe
x0 ∈ [0, 4] tal que f(x0) = 7.
(d) A função f(x) = −2x5 + 3x4 − 4x3 − 2x2 + x+ 1 possui, pelo menos, uma raiz real.
(e) Toda função cont́ınua possui, pelo menos, uma raiz real.
1
C4. A função f(x) = 1/x satisfaz f(−1) = −1 e f(1) = 1, isto é, f(−1) e f(1) possuem sinais opos-
tos. É posśıvel usar o Teorema do Anulamento para concluir que f possui uma raiz no intervalo
(−1, 1)?
C5. Seja f uma função cont́ınua no intervalo [a, b] e suponha que f(a) e f(b) possuam sinais opostos.
Sabemos pelo Teorema do Anulamento que f possui pelo menos uma raiz no intervalo (a, b). Descubra
uma estratégia que possa ser implementada em um computador para encontrar essa raiz.
C6. Seja I ⊂ R um intervalo. Mostre que se f : I → R é uma função cont́ınua que não se anula no
intervalo I então ou f(x) > 0 para todo x ∈ I ou f(x) < 0 para todo x ∈ I.
2
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Gabarito parcial da Lista 1.6
Continuidade: mais propriedades e Teorema do Valor Intermediário
Última atualização: 1 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1.
(a) Como senx é cont́ınua e inversa de cont́ınuas é cont́ınua, então arcsen(x) é cont́ınua (em seu
domı́nio). Como x2 − 1 (polinomial) é cont́ınua e composição de cont́ınuas é cont́ınua, então f
é cont́ınua (em seu domı́nio). Você sabe dizer qual é esse domı́nio?
(b) Como sen x e x (polinomial) são cont́ınuas e soma de cont́ınuas é cont́ınua, então x + senx é
cont́ınua. Como composição de cont́ınuas é cont́ınua, então sen(x + senx) é cont́ınua. Como
6 é cont́ınua e soma de cont́ınuas é cont́ınua, então 6 + sen(x + sen x) é cont́ınua. Como x2 é
cont́ınua e divisão de cont́ınuas é cont́ınua onde o denominador não se anula, então f é cont́ınua
em R− {0} que é o seu domı́nio.
P2.
(a) lim
x→ 1√
2
arcsen(x2 − 1) = −π
6
.
(b) lim
x→π
6 + sen(x+ senx)
x2
=
6
π2
.
Curiosidade. Você sabia que, ao escolher dois números naturais positivos de forma aleatória, a
probabilidade de esses dois números serem primos entre si (isto é, não possúırem fatores primos
em comum) é
6
π2
? Não tem nada a ver com a questão, o comentário é só porque o resultado do
limite lembrou esse fato. : )
P3. Encontrar uma raiz, significa encontrar um número c tal que f(c) = 0. Nós podemos procurar exa-
tamente tal c, mas o exerćıcio pede apenas para mostrar que existe tal c. O Teorema do Anulamento
tem o poder de fornecer uma raiz, mas é preciso encontrar um intervalo [a, b] para usar o teorema.
Esse intervalo tem que ter valores f(a) e f(b) de sinais opostos. Chutando alguns valores, podemos
ver, por exemplo, que f(−1) = −1 e f(0) = 1. Usando a = −1, b = 0 e lembrando que f é cont́ınua,
então o Teorema do Anulamento nos garante que f possui uma raiz (o teorema ainda garante que
existe uma raiz no intervalo (−1, 0)).
P4. Similar à solução do exerćıcio anterior.
P5. Item (a) k = 14.
Exerćıcios Complementares
1
C1. Considere a função f(x) = x− cosx. Note que f(0) = −1 e f(π/2) = π/2 possuem sinais opostos e
f é cont́ınua, portanto existe c ∈ [0, π/2] tal que f(c) = 0. Mas dizer que f(c) = 0 é o mesmo que
dizer que c é solução da equação cosx = x.
C2.
C3.
(a) Falso. (b) Verdadeiro. (c) Verdadeiro. (d) Verdadeiro. (e) Falso.
C4. Não é posśıvel usar o teorema pois a função não é cont́ınua no intervalo [−1, 1], pois 0 não pertence
ao domı́nio de f .
C5. Pesquise por Método da bissecção.
C6.
2
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 1.7 - Indeterminações e limites infinitos
Última atualização: 10 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Nesse exerćıcio, vamos revisitar alguns limites que já apareceram em listas anteriores. Como agora
temos à disposição a noção de limites infinitos, podemos nos perguntar se limites que antes eram
classificados simplesmente como não existentes agora podem ser classificados como iguais a −∞ ou
+∞. Classifique os limites abaixo agora usando a noção generalizada que inclui −∞ ou +∞ como
resposta.
(a) lim
x→0+
3x3 − x2 + 5x+ 1
x(2x2 + x− 2)
, lim
x→0−
3x3 − x2 + 5x+ 1
x(2x2 + x− 2)
e lim
x→0
3x3 − x2 + 5x+ 1
x(2x2 + x− 2)
.
(b) lim
x→−2+
3x3 − 4x2 + x− 1
x2 + x− 2
, lim
x→−2−
3x3 − 4x2 + x− 1
x2 + x− 2
e lim
x→−2
3x3 − 4x2 + x− 1
x2 + x− 2
.
(c) lim
x→0+
cos
(
1
x
)
, lim
x→0−
cos
(
1
x
)
e lim
x→0
cos
(
1
x
)
.
(d) lim
x→3
|x− 3|
x− 3
.
(e) lim
x→4−
f(x), lim
x→4
f(x), lim
x→2
f(x) e lim
x→−2
f(x), em que f é a função cujo gráfico é dado abaixo:
x
y
2
4
−2
−4
−6 −4 −2 2 4 6
P2. Calcule, se existirem, os limites abaixo, usando a generalização de limites infinitos.
(a) lim
x→3+
x
x− 3
. (b) lim
x→3−
x
x− 3
. (c) lim
x→3
x
x− 3
.
(d) lim
x→2+
x− 3
x2 − 2x
. (e) lim
x→2−
x− 3
x2 − 2x
. (f) lim
x→1
x2 − 3x+ 3
x3 − 2x2 + x
.
1
(g) lim
x→2
2x− x2
x3 − 6x2 + 12x− 8
. (h) lim
x→1
x2 − 3x
|x− 1|
. (i) lim
x→π−
x− 3
(x2 − π2) senx
.
(j) lim
x→3+
ln(x2 − 9).
P3. Calcule, se existirem, os limites abaixo.
(a) lim
x→−2
x3 + 4x2 + 4x
(x+ 2)(x− 3)
. (b) lim
x→5/2
2x2 − 3x− 5
2x− 5
. (c) lim
x→a
x2 + (1− a)x− a
x− a
.
(d) lim
x→2
3x3 − 14x2 + 20x− 8
x4 − 8x2 + 16
. (e) lim
x→4
3x2 − 17x+ 20
4x2 − 25x+ 36
. (f) lim
x→−1
x2 + 6x+ 5
x2 − 3x− 4
.
Exerćıcios Complementares
C1. Calcule, se existirem, os limites abaixo.
(a) lim
x→−1
x2 − 1
x2 + 3x+ 2
. (b) lim
x→2
x2 − 4
x− 2
. (c) lim
x→0(2 + x)4 − 16
x
.
(d) lim
x→0
√
25 + 3x− 5
x
. (e) lim
x→−4
√
2(x2 − 8) + x
x+ 4
. (f) lim
x→0
√
1 + x− 1
−x
.
C2. As definições de limites infinitos possuem versões formais semelhantes às que vimos para o limite
usual. Escreva a definição precisa para cada tipo de limite infinito depois pesquise se sua definição
está correta.
C3. Determine a e b sabendo que
lim
x→−4
(x+ 4)(a− x2)
x2 + 8x+ 16
= b.
2
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Departamento de Matemática
Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Gabarito da Lista 1.7
Indeterminações e limites infinitos
Última atualização: 10 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1.
(a) lim
x→0+
3x3 − x2 + 5x+ 1
x(2x2 + x− 2)
= −∞, lim
x→0−
3x3 − x2 + 5x+ 1
x(2x2 + x− 2)
= +∞ e lim
x→0
3x3 − x2 + 5x+ 1
x(2x2 + x− 2)
não
existe.
(b) lim
x→−2+
3x3 − 4x2 + x− 1
x2 + x− 2
= +∞, lim
x→−2−
3x3 − 4x2 + x− 1
x2 + x− 2
= −∞ e lim
x→−2
3x3 − 4x2 + x− 1
x2 + x− 2
não
existe.
(c) Nenhum dos três existe.
(d) Não existe.
(e) lim
x→4−
f(x) = −∞, lim
x→4
f(x) não existe, lim
x→2
f(x) não existe e lim
x→−2
f(x) não existe.
P2.
(a) +∞. (b) −∞. (c) Não existe.
(d) −∞. (e) +∞. (f) +∞.
(g) −∞. (h) −∞. (i) −∞.
(j) −∞.
P3.
(a) 0. (b) 7/2. (c) a+ 1.
(d) 1/4. (e) 1. (f) −4/5.
Exerćıcios Complementares
C1.
(a) −2. (b) 4. (c) 32.
(d) 3/10. (e) −1. (f) −1/2.
C2. Definição (limite lateral à esquerda infinito). Sejam f uma função e a ∈ R tal que existe r > 0 de
modo que (a − r, a) ⊂ Dom(f). Dizemos que o limite da função f à esquerda do ponto a é ∞ se,
∀M > 0, ∃ δ > 0 tal que, para todo x que satisfaz 0 < a−x < δ, f(x) > M . Notação: lim
x→a−
f(x) = ∞.
Os outros casos lim
x→a+
f(x) = ∞, lim
x→a
f(x) = ∞, lim
x→a−
f(x) = −∞, lim
x→a+
f(x) = −∞ e lim
x→a
f(x) = −∞
possuem definições similares.
1
C3. a = 16 e b = 8.
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 1.8 - Limites no infinito
Última atualização: 10 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Calcule, se existirem, os limites abaixo.
(a) lim
x→+∞
(x2 + x). (b) lim
x→+∞
(x2 − x). (c) lim
x→−∞
x3 − 3x2 − x+ 1
2x3 − x+ 7
.
(d) lim
x→+∞
(2x3 + x) lnx. (e) lim
x→+∞
(3x3 + 4x2 − 1). (f) lim
x→−∞
(x4 + x5).
(g) lim
x→+∞
(
2− 1
x
+
4
x2
)
. (h) lim
x→+∞
x+ 1
x2 + 1
. (i) lim
x→−∞
x+ 1
x2 + 1
.
(j) lim
x→+∞
x2 − 2x+ 3
2x2 + 5x− 3
. (k) lim
x→+∞
2x5 − 3x3 + 2
−x2 + 7
. (l) lim
x→−∞
3x5 − x2 + 7
2− x2
.
(m) lim
x→−∞
−5x3 + 2
7x3 + 3
. (n) lim
x→+∞
x
√
x+ 3x− 10
x3
. (o) lim
x→+∞
senx
x
.
(p) lim
x→+∞
x(2x− 7 cosx)
3x2 − 5 senx+ 1
. (q) lim
x→+∞
√
x2 + 1
x+ 1
. (r) lim
x→−∞
√
x2 + 1
x+ 1
.
(s) lim
x→+∞
(
√
x2 + 1−
√
x2 − 1). (t) lim
x→+∞
x(
√
x2 − 1− x) (u) lim
x→+∞
√
2x2 − 7
x+ 3
.
P2. Determine a sabendo que
lim
x→+∞
(
√
x2 + ax−
√
x2 + 12x) = 2.
Exerćıcios Complementares
C1. Calcule, se existir, o limite lim
x→0+
arctg(ln x).
C2. Sejam f(x) e g(x) funções polinomiais. Baseado nos exerćıcios já resolvidos, formule um teorema
que indique o resultado dos limites lim
x→+∞
f(x)
g(x)
e lim
x→−∞
f(x)
g(x)
.
C3. As definições limites no infinito possuem versões formais semelhantes às que vimos para o limite usual.
Tente formular uma definição precisa para todos os tipos de limites no infinito e depois pesquise se
sua definição está correta.
C4. Mostre que toda função polinomial de grau ı́mpar possui pelo menos uma raiz real. Ao final de
sua demonstração, explique por que o mesmo argumento não funciona para funções polinomiais
de grau par. Sugestão. Seja f uma função polinomial de grau ı́mpar. Utilize seus conhecimentos
1
de limite para mostrar que lim
x→+∞
f(x) = +∞ e lim
x→−∞
f(x) = −∞ ou que lim
x→+∞
f(x) = −∞ e
lim
x→−∞
f(x) = +∞. Com esse resultado, utilize o significado de limite para concluir a existência de
a, b ∈ R tais que f(a) < 0 e f(b) > 0. Por fim, aplique um teorema visto nas aulas para concluir o
resultado.
2
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Gabarito da Lista 1.8
Limites no infinito
Última atualização: 10 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1.
(a) lim
x→+∞
(x2 + x) = ∞2 +∞ = ∞+∞ = ∞.
(b) Se tentarmos resolver como no item anterior, esbarramos em uma expressão não permitida:
lim
x→+∞
(x2 + x) = ∞2 −∞ = ∞−∞. Isso quer dizer que esta solução não funciona e devemos
procurar um outro método. Normalmente, estes outros métodos são obtidos reescrevendo a
expressão de uma forma que, ao substituir x por ∞, nenhuma expressão proibida aparece.
Neste exemplo, escrevamos x2 − x = x(x − 1). Nessa nova escrita fica posśıvel calcular sem
obter expressões proibidas:
lim
x→+∞
(x2 − x) = lim
x→+∞
x(x− 1) = ∞(∞− 1) = ∞ ·∞ = ∞.
(c) Se tentarmos substituir diretamente, teremos expressões proibidas. Apesar de pouco comum, a
reescrita mais útil para resolver esse limite é, em cada polinômio, colocar a potência de maior
grau em evidência:
x3 − 3x2 − x+ 1 = x3
(
1− 3
x
− 1
x2
+
1
x3
)
e 2x3 − x+ 7 = x3
(
2− 1
x2
+
7
x3
)
.
Substituindo a expressão original por essas reescritas, obtemos
lim
x→−∞
x3 − 3x2 − x+ 1
2x3 − x+ 7
= lim
x→−∞
x3
(
1− 3
x
− 1
x2
+ 1
x3
)
x3
(
2− 1
x2
+ 7
x3
) = lim
x→−∞
1− 3
x
− 1
x2
+ 1
x3
2− 1
x2
+ 7
x3
=
1− 3−∞ −
1
(−∞)2 +
1
(−∞)3
2− 1
(−∞)2 +
7
(−∞)3
=
1− 3−∞ −
1
∞ +
1
−∞
2− 1∞ +
7
−∞
=
1− 0− 0 + 0
2− 0 + 0
=
1
2
.
(d) +∞.
(e) +∞.
(f ) −∞.
(g) 2.
(h) 0.
(i) 0.
(j) 1/2.
1
(k) −∞.
(l) +∞.
(m) −5/7.
(n) 0.
(o) 0.
(p) 2/3.
(q) 1.
(r) −1.
(s) 0.
(t) −1/2.
(u)
√
2.
P2. a = 16.
Exerćıcios Complementares
C1. −π/2
C2. Se f e g são polinômios de mesmo grau, então ambos os limites têm como resultado a divisão entre
os coeficientes dos termos de maior grau dos polinômios. Se o grau de g é maior que o grau de f ,
então ambos os limites são iguais a 0. Se o grau de f é maior que o grau de g, então ambos os
limites terão como resultado −∞ ou +∞. Os sinais serão determinados pelos sinais dos coeficientes
dos termos de maior grau de cada polinômio e também pela paridade da diferença dos graus de f e
g.
C3. Definição (limite no infinito). Seja f uma função tal que existe R > 0 de modo que (R,∞) ⊂
Dom(f) e seja L ∈ R. Dizemos que o limite da função f no infinito pela direita é L se, ∀ ε > 0,
∃N > 0 tal que, para todo x que satisfaz x > N , |f(x)− L| < ε. Notação: lim
x→∞
f(x) = L.
Definição (limite infinito no infinito). Seja f uma função tal que existe R > 0 de modo que
(R,∞) ⊂ Dom(f). Dizemos que o limite da função f no infinito pela direita é ∞ se, ∀M > 0,
∃N > 0 tal que, para todo x que satisfaz x > N , f(x) > M . Notação: lim
x→∞
f(x) = ∞.
Os outros casos lim
x→−∞
f(x) = L, lim
x→∞
f(x) = −∞, lim
x→−∞
f(x) = ∞ e lim
x→−∞
f(x) = −∞ possuem
definições similares.
C4. Se f é uma função polinomial de grau ı́mpar, podemos escrever f na forma
f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn,
onde an ̸= 0 e n é um inteiro positivo ı́mpar. Assumimos que an > 0. Assim, obtemos
lim
x→∞
f(x) = lim
x→∞
xn
( a0
xn
+
a1
xn−1
+ · · ·+ an−1
x
+ an
)
= +∞ · an = +∞,
já que an > 0. De maneira análoga, obtemos lim
x→−∞
f(x) = −∞, pois, como n é ı́mpar, temos
lim
x→∞
xn = −∞.
2
Como lim
x→∞
f(x) = +∞, deve existir b ∈ R para o qual f(b) > 0 (pela definição de limite infinito
no infinito). Do mesmo modo, deve existir a ∈ R para o qual f(a) < 0, pois lim
x→−∞
f(x) = −∞.
Portanto, como a função f é cont́ınua em R (pois é uma função polinomial) segue do Teorema do
Anulamento (ou do Teorema do Valor Intermediário) que existe um c ∈ R entre a e b tal que f(c) = 0,
isto é, c é uma raiz real de f .
No caso em que an < 0, a ideia da prova é a mesma, só notando que lim
x→∞
f(x) = −∞ e lim
x→−∞
f(x) =
∞.
Para funções de grau par, o resultadonão é válido (note que f(x) = x2 +1, por exemplo, não possui
ráızes reais). O mesmo argumento não pode ser usado pois para grau par, ou temos
lim
x→∞
f(x) = lim
x→−∞
f(x) = ∞ ou lim
x→∞
f(x) = lim
x→−∞
f(x) = −∞,
e não podemos garantir que existam a, b ∈ R tais que f(a) < 0 e f(b) > 0.
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Lista 1.9 - Asśıntotas
Última atualização: 10 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Para cada uma das funções abaixo, determine as asśıntotas horizontais e verticais.
(a) f(x) =
4
x− 4
. (b) f(x) =
2x− 6
x2 − 4x+ 3
. (c) f(x) = x2 − x.
(d) f(x) = 1 +
1√
x+ 4
. (e) f(x) =
2x2√
x2 − 16
. (f) f(x) =
x√
x2 + x− 12
.
(g) f(x) = 3 + e1/x. (h) f(x) = ln x. (i) f(x) = tg x.
(j) f(x) = arctg x. (k) f(x) = cos x. (l) f(x) = cossec x.
Exerćıcios Complementares
C1. Em F́ısica, é comum que se peça para analisar movimentos desprezando o atrito, o que é uma boa
aproximação em muitos casos. Em diversas situações, no entanto, é necessário levar o atrito do ar,
por exemplo, em conta. O modelo mais simples para o atrito em um fluido é aquele no qual se
assume que a força de atrito a cada instante de tempo sobre um ponto material é proporcional à sua
velocidade naquele instante. Em um modelo assim, pode-se mostrar que o módulo v da velocidade
de um objeto em queda próximo à superf́ıcie da Terra caindo do repouso e sujeito ao atrito com o
ar varia com o tempo t de acordo com a função
v(t) =
mg
k
(1− e−
kt
m ),
em que m é a massa do objeto, g é a aceleração da gravidade, e k > 0 é uma constante de proporcio-
nalidade com dimensões de massa/tempo. Nessa situação, se o objeto pudesse cair indefinidamente,
sua velocidade se aproximaria de um certo valor constante, chamado de velocidade terminal. No
gráfico de v(t), essa velocidade é representada por uma asśıntota horizontal. Qual é ela?
1
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Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Gabarito da Lista 1.9
Asśıntotas
Última atualização: 10 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1.
(a) y = 0 e x = 4.
(b) y = 0 e x = 1.
(c) Não há.
(d) y = 1 e x = −4.
(e) x = −4 e x = 4.
(f ) y = −1, y = 1, x = −4 e x = 3.
(g) y = 4 e x = 0.
(h) x = 0.
(i) x = π/2 + kπ, k ∈ Z.
(j) y = −π/2 e y = π/2.
(k) Não há.
(l) x = kπ, k ∈ Z.
Exerćıcios Complementares
C1. v =
mg
k
.
1
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 1.10 - Limites fundamentais
Última atualização: 10 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Calcule os limites abaixo.
(a) lim
x→0
(2x2 + 3) senx
x2 + 2x
. (b) lim
x→0
sen(5x)
x
. (c) lim
x→0
(2x2 + 3) sen(5x)
x2 + 2x
.
(d) lim
x→0
1− cosx
x2
. (e) lim
x→π
senx
x− π
. (f) lim
x→3
2x − 8
x− 3
.
(g) lim
x→2
3
2x−4
5 − 1
sen[4(x− 2)]
. (h) lim
x→0
tg x
x
. (i) lim
x→−1
tg3
(
x+1
4
)
(x+ 1)3
.
(j) lim
x→0
6x− sen(2x)
2x+ 3 sen(4x)
. (k) lim
x→0
cos(2x)− cos(3x)
x2
. (l) lim
x→0
x− senx
x+ senx
.
(m) lim
x→0
2x − 3x
x
. (n) lim
x→1
ex−1 − 2x−1
x2 − 1
. (o) lim
x→−3
4
x+3
5 − 1
x+ 3
.
(p) lim
x→0
e−x − e−2x
x
. (q) lim
x→+∞
(
1 + 10
x
)x
. (r) lim
x→0
(1 + x)1/x.
Exerćıcios Complementares
C1. Calcule os limites abaixo.
(a) lim
x→0
sen(ax)
x
. (b) lim
x→0
sen(10x)
tg(7x)
. (c) lim
x→0
1− cosx
x
.
(d) lim
x→∞
(
1 + 1
x
)5x
. (e) lim
x→∞
(
1 + 5
x
)x
. (f) lim
x→2
10x−2 − 1
x− 2
.
(g) lim
x→0
senhx
x
. (h) lim
x→0
e5x − e3x
sen(5x)− sen(3x)
. (i) lim
x→3π/2
(1 + cos x)1/ cosx.
(j) lim
x→∞
(
2x+ 3
2x+ 1
)x+1
.
C2. Calcule os limites abaixo. Observação. Não há conteúdo novo nesse exerćıcio, são limites dos tipos
já estudados todos misturados.
(a) lim
x→3
√
x+ 13− 4
x2 − 9
. (b) lim
x→∞
(
x− 1
x
)x
.
(c) lim
x→−1
x3 + x2 − x− 1
x3 − x2 − 5x− 3
. (d) lim
x→−∞
−4x2 − x− 5
3x2 + 4x+ 1
.
1
(e) lim
x→−1
2x+ 2 + 3 sen(4x+ 4)
x2 + x
. (f) lim
x→2−
2x− 5
x2 − 4x+ 4
.
(g) lim
x→1
3
√
x− 1
4
√
x− 1
. (h) lim
x→0
ex cos(3x)
2x2 + sen(x+ π/2)
.
(i) lim
x→4
log2 x− 2
x− 4
. (j) lim
x→1+
x2 − 3
x3 − x+ 1
.
2
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Gabarito da Lista 1.10
Limites fundamentais
Última atualização: 10 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1.
(a) Primeiramente, devemos perceber que apesar de a função ser cont́ınua, 0 não está no domı́nio,
indicando que não basta só substituir. Após isso, percebemos que a substituição leva ao caso
0/0, mostrando que devemos procurar métodos alternativos para resolver. A terceira percepção
aqui é que este é um caso 0/0 e que envolve funções trigonométricas. Não é uma regra geral,
mas esta última percepção é um bom indicativo de que será necessário usar o primeiro limite
fundamental na solução. Visto isso, devemos procurar uma reescrita da função (ou alguma
mudança de variável) para fazer aparecer exatamente o limite fundamental. Observemos que
(2x2 + 3x) senx
x2 + x
=
2x2 + 3
x+ 2
· senx
x
,
isto é, escrevemos nossa função como produto de outras duas. De cada uma dessas duas em
separado, nós sabemos o limite no ponto 0 (a primeira por ser cont́ınua no 0 e a segunda pelo
limite fundamental) e, portanto, segue da propriedade de que o limite do produto é o produto
dos limites (lembre que a propriedade só vale quando os limites existem) que
lim
x→0
(2x2 + 3) senx
x2 + 2x
= lim
x→0
2x2 + 3
x+ 2
· lim
x→0
senx
x
=
3
2
· 1 = 3
2
.
(b) Como anteriormente, percebemos que estamos numa situação de 0/0 envolvendo trigonometria,
dando fortes ind́ıcios de que teremos que usar o limite fundamental. Um posśıvel caminho seria
usar as fórmulas trigonométricas para escrever sen(5x) em termos de senx e cosx, mas isso
daria um trabalho considerável (e que seria impraticável fazer na mão se fosse sen(100x), por
exemplo). A abordagem correta aqui é reescrever esse limite em uma nova variável focando em
fazer aparecer exatamente o limite fundamental. Façamos a substituição y = 5x. Perceba que,
x = y/5 e que, quando x → 0, então y → 0. Assim,
lim
x→0
sen(5x)
x
= lim
y→0
sen y
y/5
= lim
y→0
5 · sen y
y
= 5 · lim
y→0
sen y
y
= 5.
(c) Usando um processo análogo ao item (a) e aproveitando o resultado do limite do exemplo 2,
obtemos
lim
x→0
(2x2 + 3) sen(5x)
x2 + 2x
= lim
x→0
2x2 + 3
x+ 2
· lim
x→0
sen(5x)
x
=
3
2
· 5 = 15
2
.
É importante perceber aqui que, à medida que vamos calculando limites mais simples, conse-
guimos resolver outros mais complexos nos aproveitando desses resultados simples (como se os
1
previamente resolvidos fossem um kit de ferramentas à disposição). Por outro lado, também é
importante perceber que uma das formas de atacar um limite complicado é, às vezes, separá-lo
em limites menores e resolver cada um deles separadamente.
(d) Como nos itens acima, estamos no caso 0/0 envolvendo trigonometria. Temos que, de alguma
forma, fazer aparecer o limite fundamental. Aqui entra o conhecimento de formas de manipu-
lação algébrica e também das identidades trigonométricas (e um pouco de criatividade e muito
treino). Observe:
lim
x→0
1− cosx
x2
= lim
x→0
(1− cosx)(1 + cos x)
x2(1 + cos x)
= lim
x→0
1− cos2 x
x2(1 + cos x)
= lim
x→0
sen2 x
x2(1 + cos x)
=
lim
x→0
[(senx
x
)2
· 1
1 + cos x
]
=
(
lim
x→0
senx
x
)2
· lim
x→0
1
1 + cos x
= 12 · 1
2
=
1
2
.
(e) Como nos itens acima, estamos no caso 0/0 envolvendo trigonometria. Porém, neste caso,
nossa variável não está tendendo a 0. Isso diz que a única forma de fazermos aparecer o limite
fundamental é com uma mudança de variável. Com a mudança y = x−π, temos que x = y+π
e que y → 0. Assim,
lim
x→πsenx
x− π
= lim
y→0
sen(y + π)
y
= lim
y→0
sen y cosπ + cos y sen π
y
= lim
y→0
−sen y
y
= −1.
(f ) Como antes, estamos numa situação de 0/0. Como há funções exponenciais, provavelmente será
necessário usar o segundo limite fundamental. Fazendo a mudança y = x− 3, obtemos
lim
x→3
2x − 8
x− 3
= lim
y→0
2y+3 − 8
y
= lim
y→0
8(2y − 1)
y
= 8 · lim
y→0
2y − 1
y
= 8 ln 2.
(g) Observemos que estamos no caso 0/0 e que também há funções exponenciais e trigonométricas.
Assim, é bem provável que tenhamos que usar os dois limites fundamentais. Para isso, o melhor
a fazer é separar em dois limites que têm possibilidades de serem resolvidos por cada um dos
limites fundamentais:
3
2x−4
5 − 1
sen[4(x− 2)]
=
3
2x−4
5 − 1
x− 2
· x− 2
sen[4(x− 2)]
.
Usando mudanças de variável coerentes, conclúımos que (faça as contas e verifique os resultados
abaixo)
lim
x→2
3
2x−4
5 − 1
x− 2
=
2 ln 3
5
e lim
x→2
x− 2
sen[4(x− 2)]
=
1
4
.
Portanto,
lim
x→2
3
2x−4
5 − 1
sen[4(x− 2)]
= lim
x→2
3
2x−4
5 − 1
x− 2
· lim
x→2
x− 2
sen[4(x− 2)]
=
2 ln 3
5
· 1
4
=
ln 3
10
.
(h) 1.
(i) 1/64.
(j) 2/7.
(k) 5/2.
(l) 0.
(m) ln(2/3) = ln 2− ln 3.
(n) (1− ln 2)/2.
2
(o)
2 ln 2
5
.
(p) 1.
(q) e10.
(r) e.
Exerćıcios Complementares
C1.
(a) a.
(b) 10/7.
(c) 0.
(d) lim
x→∞
(
1 + 1
x
)5x
= lim
x→∞
[(
1 + 1
x
)x]5
=
[
lim
x→∞
(
1 + 1
x
)x]5
= e5.
(e) Fazendo a mudança de variável y = x/5, obtemos que 5/x = y, x = 5y e y → ∞ quando
x → ∞. Assim,
lim
x→∞
(
1 +
5
x
)x
= lim
y→∞
(
1 +
1
y
)5y
= e5.
(f ) ln(10).
(g) 1.
(h) 1.
(i) e.
(j) e.
C2.
(a) 1/48. (b) e−1 = 1/e.
(c) 1/2. (d) −4/3.
(e) −14. (f) −∞.
(g) 4/3. (h) 1.
(i)
1
4 ln 2
. (j) −2.
3
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 2.1 - Reta tangente e velocidade instantânea
Última atualização: 10 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Em cada um dos itens abaixo, determine uma equação para a reta tangente ao gráfico da função f
no ponto de abscissa x0.
(a) f(x) =
x2
4
, x0 = 2. (b) f(x) = x
3 − 2x+ 7, x0 = −3.
(c) f(x) = x2 − 1, x0 = 1. (d) f(x) = x2 − 1, x0 = 0.
(e) f(x) = x2 − 1, x0 = −1. (f) f(x) = x2 − 1, x0 = 10.
(g) f(x) = x2 − 1, x0 qualquer. (h) f(x) = 3x+ 2, x0 = 5.
(i) f(x) = x5 + x, x0 = 0. (j) f(x) =
√
x, x0 = 4.
(k) f(x) =
1
x+ 1
, x0 = 2. (l) f(x) = e
x, x0 = 2.
(m) f(x) = sen x, x0 = 0. (n) f(x) = cos x, x0 = 0.
P2. Para os itens (a), (h), (j), (k) e (m) da questão anterior, faça o gráfico da função e da reta obtida.
Verifique que, de fato, a reta obtida se comporta como reta tangente ao gráfico da função.
P3. A posição s(t) (em metros) de um objeto em função do tempo t (em segundos) é dada por s(t) =
t3 − t+ 1. Determine a posição e a velocidade do objeto no instante t = 2 s.
P4. Determine a reta que é tangente ao gráfico de f(x) = x4 e paralela à reta y = 4x+ 3.
P5. Determine uma equação para a reta que passa por (2, 5) e tem coeficiente linear igual a 1.
Observação. Se você estiver com dificuldade em fazer esses exerćıcios, inicie pela lista complementar
que trabalha conceitos preliminares.
Exerćıcios Complementares
C1. Encontre uma equação para a reta que passa pelos pontos (2, 3) e (3, 5).
C2. Determine uma equação para a reta que passa por (−2, 4) e tem coeficiente angular igual a −3.
C3. Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (x1, y1) e (x2, y2) (assuma que x1 ̸=
x2)?
C4. Considere a função f(x) =
x2
4
.
1
(a) Faça o gráfico de f .
(b) Marque os pontos do gráfico de f de abscissas 2 e 6 e desenhe a reta que passa por esses pontos.
(c) Determine o coeficiente angular da reta desenhada no item anterior.
(d) Determine uma equação para a reta do item (b).
C5. Refaça o exerćıcio anterior para a mesma função f(x) =
x2
4
e com as abscissas 2 e 2,1.
C6. Na figura abaixo, há o gráfico da função f(x) =
x2
4
e de quatro retas que passam pelo par ordenado
(2, 1). Qual dessas retas você escolheria para chamar de reta tangente ao gráfico de f no ponto (2, 1)?
1
1
r1r2
r3
r4
x
y
C7. Entre as retas dos exerćıcios C4. e C5., qual é a mais parecida com a reta tangente escolhida no
exerćıcio C6.? O que mudou entre os exerćıcios C4. e C5. para que uma dessas retas fosse mais
parecida com a reta tangente? Como você faria para encontrar uma outra reta ainda mais parecida
com a reta tangente?
C8. Por que, ao repetir o exerćıcio C4. com abscissas repetidas 2 e 2, não obtemos como resposta a reta
tangente ao gráfico de f?
C9. Refaça o item (c) do exerćıcio C4. com uma função genérica f e abscissas genéricas x0 e x. Sugestão.
Você já fez isso no exerćıcio C3., basta observar que o ponto do gráfico de f de abscissa a qualquer
é (a, f(a)).
C10. Refaça o item (c) do exerćıcio C4. com uma função genérica f e abscissas genéricas x0 e x0+h.
C11. Usando as ideias dos exerćıcios C8., C9. e C10., explique de maneira informal por que o coeficiente
angular da reta tangente ao gráfico de uma função f no ponto de abscissa x0 é
m = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
= lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
.
C12. A reta normal ao gráfico de uma função em um ponto P é definida como a reta que passa por P e
é perpendicular à reta tangente ao gráfico da função em P . Ache uma equação da reta normal ao
gráfico de f(x) = 1− x2 no ponto de abscissa x0 = 2.
2
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Gabarito da Lista 2.1
Reta tangente e velocidade instantânea
Última atualização: 10 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1.
(a) Estamos procurando por uma equação de reta, então estamos procurando por uma equação da
forma y = mx+ n (essa equação não é válida para retas verticais). Nosso trabalho é encontrar
m e n.
Etapa 1 (calcular m). Pelo que vimos em aula, m = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
. Para calcular esse
limite, precisamos encontrar a expressão
f(x)− f(x0)
x− x0
. Em nosso caso, f(x) =
x2
4
, x0 = 2 e
f(x0) = f(2) =
22
4
= 1. Substituindo os valores, obtemos
f(x)− f(x0)
x− x0
=
x2
4
− 1
x− 2
=
x2 − 4
4(x− 2)
.
Assim,
m = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
= lim
x→2
x2 − 4
4(x− 2)
= lim
x→2
(x− 2)(x+ 2)
4(x− 2)
= lim
x→2
x+ 2
4
=
2 + 2
4
= 1.
Etapa 2 (calcular n). Já sabemos que a reta procurada é y = x+ n (pois já vimos que m = 1).
Para determinar n, vamos usar a informação de que essa reta passa pelo ponto de tangência
(x0, f(x0)) que, nesse exemplo, é (2, f(2)) = (2, 1). Assim, 1 = 2 + n e, portanto, n = −1.
Finalizando o exerćıcio, uma equação para a reta tangente ao gráfico de f(x) =
x2
4
no ponto de
abscissa x0 = 2 é y = x− 1.
(b)
Etapa 1 (calcular m). Observe que x0 = −3 e que f(x0) = f(−3) = (−3)3− 2 · (−3)+7 = −14.
Assim,
m = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
= lim
x→−3
x3 − 2x+ 7− (−14)
x+ 3
= lim
x→−3
x3 − 2x+ 21
x+ 3
=
lim
x→−3
(x+ 3)(x2 − 3x+ 7)
x+ 3
= lim
x→−3
(x2 − 3x+ 7) = (−3)2 − 3 · (−3) + 7 = 25.
Etapa 2 (calcular n). Já sabemos que a reta procurada é y = 25x + n. Para determinar n,
vamos usar a informação de que essa reta passa pelo ponto de tangência (x0, f(x0)) que, nesse
exemplo, é (−3, f(−3)) = (−3,−14). Assim, −14 = 25 · (−3) + n e, portanto, n = 61.
1
Finalizando o exerćıcio, uma equação para a reta tangente ao gráfico de f(x) = x3 − 2x+ 7 no
ponto de abscissa x0 = −3 é y = 25x+ 61.
(c) y = 2x− 2.
(d) y = −1.
(e) y = −2x− 2.
(f ) y = 20x− 101.
(g) y = (2x0)x− (x20 + 1).
(h) y = 3x+ 2.
(i) y = x.
(j) y =
x
4
+ 1.
(k) y = −x
9
+
5
9
.
(l) y = e2x− e2.
(m) y = x.
(n) y = 1.
P2.
(a)
1
1 x
y
(h) O gráfico de f e a reta encontrada coincidem.
2
1
1 x
y
(j)
1
1 x
y
(k)
3
1
1 x
y
(m)
1
1 x
y
P3. s(2) = 7m e v(2) = 11m/s.
P4. y = 4x− 3.
P5. y = 2x+ 1.
Exerćıcios Complementares
C1. y = 2x− 1.C2. y = −3x− 2.
C3.
y2 − y1
x2 − x1
.
C4.
4
(a)
1
1 x
y
(b)
1
1 x
y
(c) 2.
(d) y = 2x− 3.
C5.
5
1
1 x
y
Mesmo gráfico com “zoom”:
1
1
x
y
Coeficiente angular: 1,025.
Equação da reta: y = 1,025x− 1,05.
C6. A reta r2.
C7. A reta do exerćıcio C5. é mais parecida. No exerćıcio C4., a abscissa 6 é mais distante de 2 do que a
abscissa 2,1 do exerćıcio C5.. Para obter uma reta ainda mais parecida com a reta tangente, bastaria
trocar 2,1 do exerćıcio C5. por algum número que esteja mais próximo de 2, por exemplo, 2,01.
C8. Porque o procedimento usado nos exerćıcios C4. e C5. com abscissas repetidas não leva a uma
solução (ou obtemos um sistema com infinitas soluções ou obtemos divisão por zero, dependendo do
caminho escolhido).
C9.
f(x)− f(x0)
x− x0
.
6
C10.
f(x0 + h)− f(x0)
h
.
C11. Pelo exerćıcio C9., o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (x0, f(x0)) e (x, f(x)) com
x ̸= x0 é
f(x)− f(x0)
x− x0
. Pelo exerćıcio C8., vimos que quanto mais próximo x estiver de x0, o
coeficiente angular obtido estará mais próximo do coeficiente angular da reta tangente (visualizamos
isso nos exerćıcios C4. a C7.). Resumindo tudo até aqui: (1) temos uma função f e um ponto
(x0, f(x0)) do gráfico de f , (2) procuramos pelo coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f
no ponto (x0, f(x0)), (3) fixamos um outro ponto (x, f(x)) do gráfico de f e vimos que o coeficiente
angular da reta que passa por (x0, f(x0)) e (x, f(x)) é
f(x)− f(x0)
x− x0
, (4) vimos que este coeficiente
f(x)− f(x0)
x− x0
fica cada vez mais próximo do coeficiente angular da reta tangente quando x está cada
vez mais próximo de x0. Juntando todas essas informações, conclúımos que
coeficiente angular da reta tangente = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
.
Se repetirmos o mesmo racioćınio com o C10., obtemos a segunda fórmula. Esta segunda fórmula
também pode ser obtida fazendo a mudança de variável h = x− x0 no limite acima (tente!).
C12. y =
x
4
− 7
2
.
7
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Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 2.2 - Derivada: definição
Última atualização: 10 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x0 indicado. Observação. Em muitos
exerćıcios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos
eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na
questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(a) f(x) = x2, x0 = 3 (b) f(x) = 3
√
x, x0 = 8
(c) f(x) =
√
x, x0 = 4 (d) f(x) =
√
x, x0 = 1
(e) f(x) = x4, x0 = 2 (f) f(x) = tg x, x0 = 0
(g) f(x) = 4
x+3
5 , x0 = −3 (h) f(x) = sen(5x), x0 = 0
(i) f(x) = sen x, x0 = π (j) f(x) = 2
x, x0 = 3
(k) f(x) = sen(ax), x0 = 0 (l) f(x) = 10
x−2, x0 = 2
(m) f(x) = senhx, x0 = 0
P2. Em cada item abaixo, determine f ′(x).
(a) f(x) = −4. (b) f(x) = 3x− 1. (c) f(x) = x3.
(d) f(x) = x−1
x+2
. (e) f(x) = ex. (f) f(x) = 1.
P3. Dois objetos A e B movem-se sobre uma linha reta e suas posições em função do tempo são dadas,
respectivamente, por sA(t) = 5t + 1 e sB(t) = 5t
3 + 1, sendo as posições medidas em metros e o
tempo em segundos.
(a) Determine as posições iniciais dos objetos, em t0 = 0 s.
(b) Determine as posições dos objetos, em t = 1 s.
(c) Determine as velocidades médias dos objetos entre os instantes t0 = 0 s e t = 1 s.
(d) Determine as velocidades dos objetos no instante t0 = 0 s.
(e) Determine as velocidades dos objetos no instante t = 1 s.
(f ) Em qual instante de tempo entre 0 s e 1 s os dois objetos possuem a mesma velocidade?
P4. Considere a função f cujo gráfico está representado abaixo.
1
1
1
x
y
Estabeleça a ordem de crescimento dos números 0, f ′(−2), f ′(0), f ′(3/2), f ′(2), f ′(3) e f ′(4).
P5. Considere a função g dada por
g(x) =
{
x2 + 2, x ⩽ 1
ax+ 1, x > 1.
Determine a para que g seja diferenciável em x = 1.
P6. Sabendo que a reta 2y + 3x + 7 = 0 é tangente ao gráfico da função diferenciável f em x = 3,
determine f(3) e f ′(3).
Exerćıcios Complementares
C1. Seja f(x) = |x− 3|. Mostre que f não é diferenciável em x0 = 3.
C2. Mostre que a função
h(x) =
 x, x ⩾ 3x2
3
, x < 3
não é diferenciável em x0 = 3.
C3. Sabemos que a velocidade de um objeto em um determinado instante t0 é o coeficiente angular da
reta que é tangente na abscissa t0 ao gráfico da posição s(t) em função do tempo t. Com isso,
definimos derivada e esta tem a mesma fórmula que usamos para o cálculo do coeficiente angular.
Assim, a derivada da posição é a velocidade (em fórmula, isso fica v(t) = s′(t)).
(a) O movimento retiĺıneo uniforme (MRU) é caracterizado por ser um movimento com velocidade
constante. Considerando o instante inicial de movimento como t0 = 0, a posição inicial como
s0 e a velocidade como sendo v0, a fórmula que foi passada na escola para a posição do objeto
é s(t) = s0 + v0t. Utilize seu conhecimento recém aprendido de derivada para mostrar que um
objeto que possui a equação de movimento s(t) = s0+v0t tem velocidade v(t) = v0 em qualquer
instante t (concluindo que o movimento possui, de fato, velocidade constante).
2
(b) O movimento retiĺıneo uniforme variado (MRUV) é caracterizado por ser um movimento com
aceleração constante (nesse caso a velocidade pode variar, mas de maneira uniforme). Consi-
derando o instante inicial de movimento como t0 = 0, a posição inicial como s0, a velocidade
inicial como sendo v0 e a aceleração como a, a fórmula que foi passada na escola para a posição
do objeto é s(t) = s0+ v0t+
1
2
at2 e para a velocidade é v(t) = v0+ at. Utilize seu conhecimento
recém aprendido de derivada para mostrar que um objeto que possui a equação de movimento
s(t) = s0 + v0t+
1
2
at2 tem velocidade v(t) = v0 + at (concluindo que as fórmulas para o MRUV
são válidas).
3
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Departamento de Matemática
Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Gabarito da Lista 2.2
Derivada: definição
Última atualização: 10 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Variamos as notações de derivada nas respostas para você acostumar com elas.
(a) Sabemos que f ′(3) = lim
x→3
f(x)− f(3)
x− 3
= lim
x→3
x2 − 9
x− 3
= 6. Logo, f ′(2) = 6.
(b) Sabemos que f ′(8) = lim
h→0
f(8 + h)− f(8)
h
= lim
h→0
3
√
8 + h− 2
h
= 1
12
. Logo, f ′(8) = 1
12
.
(c) Dxf(4) =
1
4
.
(d) Dxf(1) =
1
2
.
(e)
df
dx
(2) = 32.
(f )
df
dx
(0) = 1. Apesar de não ser correto, é comum omitir o ponto no qual a derivada foi calculada
e escrever apenas
df
dx
. Nessa notação, a resposta ficaria
df
dx
= 1.
(g) df/dx(−3) = 2 ln 2
5
.
(h) df/dx(0) = 5. Apesar de não ser correto, é comum omitir o ponto no qual a derivada foi
calculada e escrever apenas df/dx. Nessa notação, a resposta ficaria df/dx = 5.
(i) f ′(π) = −1.
(j) f ′(3) = 8 ln 2.
(k) Dxf(0) = a.
(l)
df
dx
(2) = ln 10.
(m) df/dx(0) = 1.
P2.
(a) f ′(x) = 0. (b) f ′(x) = 3. (c) f ′(x) = 3x2.
(d) f ′(x) =
3
(x+ 2)2
. (e) f ′(x) = ex. (f) f ′(x) = 0.
P3.
(a) sA(0) = sB(0) = 1m.
1
(b) sA(1) = sB(1) = 6m.
(c) v̄A = v̄B = 5m/s.
(d) vA(0) = s
′
A(0) = 5m/s e vB(0) = s
′
B(0) = 0m/s.
(e) vA(1) = s
′
A(1) = 5m/s e vB(1) = s
′
B(1) = 15m/s.
(f ) t = 1√
3
s ∼= 0,577 s.
P4. f ′(0) < f ′(3/2) < 0 = f ′(−2) = f ′(2) < f ′(3) < f ′(4).
P5. a = 2.
P6. f(3) = −8 e f ′(3) = −3
2
.
Exerćıcios Complementares
C1. Sabemos que f ′(3) = lim
x→3
f(x)− f(3)
x− 3
= lim
x→3
|x− 3|
x− 3
. Mas já sabemos que esse limite não existe.
Logo, f ′(3) não existe e, portanto, f não é diferenciável em x0 = 3.
C2. Na lista de limites laterais, vimos que lim
x→3
h(x)− h(3)
x− 3
não existe. Mas esse limite é exatamente o
limite que define h′(3). Logo, h não é diferenciávelem x0 = 3.
C3.
(a) Acabamos de ver que v(t) = s′(t). Usando a fórmula para s′(t), temos
v(t) = s′(t) = lim
h→0
s(t+ h)− s(t)
h
= lim
h→0
s0 + v0(t+ h)− (s0 + v0t)
h
= lim
h→0
v0h
h
= lim
h→0
v0 = v0.
(b) Acabamos de ver que v(t) = s′(t). Usando a fórmula para s′(t), temos
v(t) = s′(t) = lim
h→0
s(t+ h)− s(t)
h
= lim
h→0
s0 + v0(t+ h) +
1
2
a(t+ h)2 − (s0 + v0t+ 12at
2)
h
=
lim
h→0
s0 + v0t+ v0h+
1
2
at2 + 1
2
a · 2ht+ 1
2
ah2 − s0 − v0t− 12at
2
h
= lim
h→0
v0h+ aht+
1
2
ah2
h
=
lim
h→0
(v0 + at+
1
2
ah)h
h
= lim
h→0
(v0 + at+
1
2
ah) = v0 + at+
1
2
a · 0 = v0 + at.
2
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 2.3 - Derivadas laterais
Última atualização: 10 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Seja f(x) = |x− 3|. Determine f ′+(3) e f ′−(3).
P2. Considere a função
h(x) =
 x, x ⩾ 3x2
3
, x < 3.
Determine h′+(3) e h
′
−(3).
P3. Para f(x) =
√
9− x2, mostre que f ′+(−3) e f ′−(3) não existem.
P4. Considere a função g dada por
g(x) =
{
x2 + 2, x ⩽ 1
ax+ 1, x > 1.
Determine a para que g seja diferenciável em x = 1.
1
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Gabarito da Lista 2.3
Derivadas laterais
Última atualização: 10 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. f ′+(3) = 1 e f
′
−(3) = −1.
P2. h′+(3) = 1 e h
′
−(3) = 2.
P3. Os limites associados às derivadas laterais são infinitos.
P4. a = 2.
1
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 2.4 - Diferenciabilidade e continuidade
Última atualização: 18 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Considere a função f cujo gráfico está representado abaixo. Determine os pontos em que f não é
diferenciável.
x
y
2
4
−2
−4
−6 −4 −2 2 4 6
P2. Considere a função f cujo gráfico está representado abaixo. Determine os pontos no intervalo (−4, 6)
em que f não é diferenciável.
x
y
1
1
P3. Seja f : (−4, 6) → R a função cujo gráfico está abaixo.
1
x
y
1
1
(a) Em quais pontos do domı́nio f não é cont́ınua?
(b) Em quais pontos do domı́nio f não é diferenciável?
(c) Represente graficamente f ′.
P4. Seja f : [−2, 5] → R uma função que satisfaz as seguintes condições:
(i) f é cont́ınua.
(ii) f(−2) = 2.
(iii) O gráfico da derivada de f é dado pela figura abaixo.
x
y
1
1
Faça o gráfico de f .
P5. Mostre que a função f(x) = |x− 5| não é diferenciável em x0 = 5. Encontre uma fórmula para f ′ e
esboce seu gráfico.
P6. Sabendo que f é diferenciável em x = 3 e que
lim
x→3
x2f(x)− 45
x− 3
= 21,
determine f(3) e f ′(3).
2
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Gabarito da Lista 2.4
Diferenciabilidade e continuidade
Última atualização: 18 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. f não é diferenciável em {−4,−2, 0, 2, 4}. Observação. Dependendo da definição dada, o ponto −4
pode ou não ser um ponto em que f não é diferenciável. Algumas definições tratam diferenciabilidade
apenas para os pontos no domı́nio da função. Como −4 não está no domı́nio, nessa definição −4
não entraria na lista. Em nosso curso, consideramos pontos fora do domı́nio como pontos em que a
função não é diferenciável. Assim, em nossa definição, −4 é um ponto em que a função do enunciado
não é diferenciável.
P2. f não é diferenciável em {−2, 0, 4}.
P3.
(a) Nenhum.
(b) f ′ não é diferenciável em x = −1, x = 1 e x = 3.
(c)
x
y
1
1
P4.
1
x
y
1
1
P5. f não é diferenciável em x0 = 5 pois o limite f
′(5) = lim
h→0
f(5 + h)− f(5)
h
não existe. f ′(x) = −1 se
x < 5 e f ′(x) = 1 se x > 5.
x
y
1
1
P6. f(3) = 5 e f ′(3) = −1.
2
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Lista 2.5 - Derivada como uma função
Última atualização: 18 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Utilize a definição da derivada para encontrar a derivada de f(x) = 2x2 + ex. Observação. Quando
se pede uma derivada sem mencionar o ponto, subentende-se que o exerćıcio está pedindo a derivada
como função, isto é, f ′(x).
P2. Determine o que se pede.
(a) Se uma função f possui derivada f ′(x) = 2x2 − 1, calcule f ′(−1), f ′(0) e f ′(
√
3).
(b) Se uma função f possui derivada f ′(x0) = 5x0 − 3 senx0, calcule f ′(0) e f ′(π2 ).
(c) Calcule f ′(−4), f ′(0) e f ′(1), em que f(x) = −4.
(d) Calcule f ′(0) e f ′(2), em que f(x) = 3x− 1.
(e) Calcule f ′(2), em que f(x) = x3.
(f ) Use o item anterior para encontrar uma equação para a reta que é tangente ao gráfico da função
f(x) = x3 no ponto de abscissa 2.
Nas videoaulas, você viu o ińıcio da construção da tabela de derivadas (veja quadro abaixo).
Função Derivada Função Derivada
f(x) = c, c ∈ R f ′(x) = 0 f(x) = xn, n ∈ R f ′(x) = nxn−1
f(x) = sen x f ′(x) = cos x f(x) = cos x f ′(x) = − senx
f(x) = ex f ′(x) = ex f(x) = ax, a > 0 e a ̸= 1 f ′(x) = (ln a) · ax
f(x) = ln x f ′(x) =
1
x
f(x) = loga x, a > 0 e a ̸= 1 f ′(x) =
1
(ln a) · x
Utilize essa tabela para resolver o próximo exerćıcio.
P3. Determine o que se pede.
(a) Para f(x) = 5, determine f ′(x) e f ′(7). (b) Para f(x) = x, determine f ′(x) e f ′(−1).
(c) Para f(x) = x6, determine f ′(x) e f ′(−1). (d) Para f(x) =
√
x, determine f ′(x) e f ′(9).
(e) Para f(x) =
3
√
x2, determine f ′(x) e f ′(2). (f) Para f(x) =
1
x3
, determine f ′(x) e f ′(−2).
(g) Para f(x) =
1
5
√
x3
, determine f ′(x) e f ′(1). (h) Para f(x) =
√
2, determine f ′(x) e f ′(1).
(i) Para f(x) = senx, determine f ′(π
2
). (j) Para f(x) = cos x, determine f ′(π
2
).
1
(k) Para f(x) = ex, determine f ′(2). (l) Para f(x) = 3x, determine f ′(x) e f ′(1
2
).
(m) Para f(x) = ln x, determine f ′(5). (n) Para f(x) = log5 x, determine f
′(x) e f ′(2).
P4. Sabe-se que a reta y = 10x−12 é tangente ao gráfico da função f(x) = x
3
3
+2x2+14x+d. Determine
d.
Exerćıcios Complementares
C1. Sejam f uma função quadrática e r a reta tangente ao gráfico de f no ponto (6, 6). Sabendo que f
e r intersectam o eixo y nos pontos (0, 18) e (0,−18), respectivamente, determine f(−1).
C2. Na Unidade 1, aprendemos o que é limite. Vimos que a maior parte dos limites é fácil de calcular
(quando a função é cont́ınua no ponto no qual o limite é calculado, basta substituir), mas alguns
exigem técnicas de manipulação algébrica (mudança de variável, multiplicação pelo conjugado, colo-
cação da maior potência em evidência, limites fundamentais, propriedades e teoremas sobre limites,
etc.) que nem sempre são triviais. Na semana passada, vimos a definição de derivada, que estará
presente em todas as disciplinas de Cálculo, na maior parte das disciplinas de F́ısica e em algumas
outras. Como vimos, para calcular a derivada de uma função f em x0 precisamos resolver um dos
dois limites
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
= lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
.
Invariavelmente, os limites dessa forma não podem ser calculados só substituindo (notem que o
denominador sempre se anula). Em outras palavras, para calcular uma derivada, devemos resolver
um limite que não é do tipo fácil. O objetivo dos estudos dessa semana e parte da próxima é tornar o
processo de calcular derivada rápido e prático, sem precisar resolver limites complicados. Vamos lá!
Observemos que a derivada depende de uma função f e um ponto x0. Assim, uma mesma função tem
derivadas em vários pontos: f ′(1), f ′(−2), f ′(7), etc.. Cada uma dessas derivadas requer o cálculo
de um limite. A primeira estratégia é: ao invés de calcular a derivada de f em um ponto espećıfico(por exemplo, x0 = 2), calculamos de forma genérica, obtendo assim o valor de f
′(x0) para qualquer
x0 que queiramos. Resolvemos um único limite e com isso temos a resposta da derivada de f em
todos os pontos. Como exemplo, consideremos f(x) = x2. Aplicando a definição de f ′(x0) com x0
genérico, obtemos
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
= lim
x→x0
x2 − x20
x− x0
= lim
x→x0
(x− x0)(x+ x0)
x− x0
= lim
x→x0
(x+ x0) = x0 + x0 = 2x0.
Com isso, ganhamos a derivada de f(x) = x2 em qualquer ponto: por exemplo, f ′(50) = 2 ·50 = 100.
Essa expressão obtida, f ′(x0) = 2x0, quando renomeamos x0 para x, fica f
′(x) = 2x e é chamada
de função derivada de f . Ela guarda dentro dela o resultado da derivada de f em cada ponto x.
Repetindo esse processo para outras funções, podemos tabelar esses resultados para usar futuramente.
A ideia de tabelar uma função derivada f ′ para cada função f existente parece promissora, mas tem
um problema: existem infinitas funções e precisamos tabelar uma infinidade de derivadas. Para
contornar esse problema, o que faremos é desenvolver uma tabela de funções básicas e, futuramente,
descobrir métodos para encontrar novas derivadas a partir das derivadas já conhecidas. Esses métodos
são chamados de regras de derivação e serão vistos a partir da próxima lista de exerćıcios. Nessa
2
lista de exerćıcios vamos desenvolver a seguinte tabela de derivadas:
Função Derivada Função Derivada
f(x) = c, c ∈ R f ′(x) = 0 f(x) = xn, n ∈ R f ′(x) = nxn−1
f(x) = sen x f ′(x) = cos x f(x) = cos x f ′(x) = − senx
f(x) = ex f ′(x) = ex f(x) = ax, a > 0 e a ̸= 1 f ′(x) = (ln a) · ax
f(x) = ln x f ′(x) =
1
x
f(x) = loga x, a > 0 e a ̸= 1 f ′(x) =
1
(ln a) · x
Esse exerćıcio e os próximos vão guiar você na construção dessa tabela.
Seja c um número real fixado e considere a função constante f(x) = c. Aplique a definição de limite
e verifique que f ′(x) = 0.
C3. Seja n um número real fixado e considere a função f(x) = xn. A tabela nos diz que f ′(x) = nxn−1.
Nesse exerćıcio vamos deduzir esta fórmula apenas no caso em que n é um número natural positivo.
Se você tiver curiosidade, pesquise ou pergunte a dedução nos outros casos (ou tente por conta
própria!).
(a) Verifique que os produtos abaixo são verdadeiros:
� 1 · (x− x0) = x− x0;
� (x+ x0) · (x− x0) = x2 − x20;
� (x2 + xx0 + x
2
0) · (x− x0) = x3 − x30;
� (x3 + x2x0 + xx
2
0 + x
3
0) · (x− x0) = x4 − x40;
� (xn−1 + xn−2x0 + · · ·+ xxn−20 + xn−10 ) · (x− x0) = xn − xn0 .
(b) Verifique que na expressão xn−1 + xn−2x0 + · · ·+ xxn−20 + xn−10 há n parcelas na soma.
(c) Considere f(x) = xn e, usando o item (a), mostre que
f(x)− f(x0)
x− x0
= xn−1 + xn−2x0 + · · ·+ xxn−20 + xn−10 ,
sempre que x for diferente de x0.
(d) Mostre que f ′(x) = nxn−1.
C4. Neste exerćıcio vamos mostrar que se f(x) = sen x, então f ′(x) = cos x.
(a) Mostre que
f(x+ h)− f(x)
h
=
2 cos(x+ h
2
) sen(h
2
)
h
.
Sugestão. Utilize que sen(a+ b)− sen(a− b) = 2 cos a sen b.
(b) Mostre que f ′(x) = cos x.
C5. Neste exerćıcio vamos mostrar que se f(x) = cos x, então f ′(x) = − senx.
(a) Mostre que
f(x+ h)− f(x)
h
= −
2 sen(x+ h
2
) sen(h
2
)
h
.
Sugestão. Utilize que cos(a+ b)− cos(a− b) = −2 sen a sen b.
(b) Mostre que f ′(x) = − senx.
3
C6. Considere a função exponencial f(x) = ax, em que a > 0 e a ̸= 1.
(a) Mostre que
f(x+ h)− f(x)
h
=
(
ah − 1
h
)
· ax.
(b) Mostre que f ′(x) = (ln a)ax.
(c) O que acontece com a derivada quando a = e, isto é, quando a função é f(x) = ex ?
C7. Considere a função logaŕıtmica f(x) = loga x, em que a > 0 e a ̸= 1.
(a) Mostre que
lim
y→y0
y − y0
ay − ay0
=
1
(ln a)ay0
.
(b) Mostre que para x, x0 > 0 temos
f(x)− f(x0)
x− x0
=
y − y0
ay − ay0
, em que y = loga x e y0 = loga x0.
(c) Mostre que f ′(x) =
1
(ln a)x
.
(d) O que acontece com a derivada quando a = e, isto é, quando a função é f(x) = ln x ?
4
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Gabarito da Lista 2.5
Derivada como uma função
Última atualização: 18 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. f ′(x) = 4x+ ex.
P2.
(a) f ′(−1) = 2 · (−1)2 − 1 = 1, f ′(0) = 2 · 02 − 1 = −1 e f ′(
√
3) = 2 · (
√
3)2 − 1 = 5.
(b) f ′(0) = 0 e f ′(π
2
) = 5π
2
− 3.
(c) f ′(−4) = 0, f ′(0) = 0 e f ′(1) = 0.
(d) f ′(0) = 3 e f ′(2) = 3.
(e) f ′(2) = 12.
(f ) y = 12x− 16.
P3.
(a) f ′(x) = 0 e f ′(7) = 0. (b) f ′(x) = 1 e f ′(−1) = 1.
(c) f ′(x) = 6x5 e f ′(−1) = −6. (d) f ′(x) = 1
2
√
x
e f ′(9) =
1
6
.
(e) f ′(x) =
2
3 3
√
x
e f ′(2) =
2
3 3
√
2
. (f) f ′(x) = − 3
x4
e f ′(−2) = − 3
16
.
(g) f ′(x) = − 3
5
5
√
x8
e f ′(1) = −3
5
. (h) f ′(x) = 0 e f ′(2) = 0.
(i) f ′(π
2
) = 0. (j) f ′(π
2
) = −1.
(k) f ′(2) = e2. (l) f ′(x) = (ln 3)3x e f ′(1
2
) = (ln 3)3
1
2 =
√
3 ln 3.
(m) f ′(5) =
1
5
. (n) f ′(x) =
1
(ln 5)x
e f ′(2) =
1
2 ln 5
.
P4. d = −28
3
.
Exerćıcios Complementares
C1. f(−1) = 27.
C2. f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
c− c
h
= lim
h→0
0
h
= lim
h→0
0 = 0.
1
C3.
(a)
(b)
(c)
f(x)− f(x0)
x− x0
=
xn − xn0
x− x0
=
(xn−1 + xn−2x0 + · · ·+ xxn−20 + xn−10 ) · (x− x0)
x− x0
=
xn−1 + xn−2x0 + · · ·+ xxn−20 + xn−10 .
(d)
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
= lim
x→x0
(xn−1 + xn−2x0 + · · ·+ xxn−20 + xn−10 ) =
xn−10 + x
n−2
0 x0 + · · ·+ x0xn−20 + xn−10 = xn−10 + xn−10 + · · ·+ xn−10 + xn−10︸ ︷︷ ︸
n parcelas
= nxn−10 .
Renomeando x0 para x, obtemos f
′(x) = nxn−1.
C4.
(a) Observe que
f(x+ h)− f(x)
h
=
sen(x+ h)− senx
h
. Na diferença de senos no numerador, ao
fazer a+ b = x+h e a− b = x, obtemos a = x+ h
2
e b = h
2
e, usando a fórmula para a diferença
de senos, obtemos
f(x+ h)− f(x)
h
=
sen(x+ h)− senx
h
=
2 cos(x+ h
2
) sen(h
2
)
h
.
(b) f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
2 cos(x+ h
2
) sen(h
2
)
h
=
(
lim
h→0
2 cos(x+ h
2
)
)(
lim
h→0
sen(h
2
)
h
)
=
(2 cosx) · 1
2
= cosx.
C5.
(a) Como no exerćıcio anterior, ao fazer a + b = x + h e a − b = x, obtemos a = x + h
2
e b = h
2
e,
usando a fórmula para a diferença de cossenos, obtemos
f(x+ h)− f(x)
h
=
cos(x+ h)− cosx
h
= −
2 sen(x+ h
2
) sen(h
2
)
h
.
(b) f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
−
2 sen(x+ h
2
) sen(h
2
)
h
=
(
lim
h→0
−2 sen(x+ h
2
)
)(
lim
h→0
sen(h
2
)
h
)
=
(−2 senx) · 1
2
= − senx.
C6.
(a)
f(x+ h)− f(x)
h
=
ax+h − ax
h
=
ax(ah − 1)
h
=
(
ah − 1
h
)
· ax.
(b) f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
(
ah − 1
h
)
· ax = (ln a)ax.
(c) Como ln e = 1, então a derivada de f(x) = ex é f ′(x) = (ln e)ex = ex.
C7.
2
(a) Fazendo a mudança z = y − y0, obtemos,
lim
y→y0
y − y0
ay − ay0
= lim
z→0
z
ay0+z − ay0
= lim
z→0
z
ay0(az − 1)
= lim
z→0
1
ay0
(
az − 1
z
)−1
(⋆)
=
1
ay0
(ln a)−1 =
1
(ln a)ay0
,
onde em (⋆) utilizamos o fato de que a função h(x) = 1
x
é cont́ınua no ponto x = ln a (pois
0 < a ̸= 1 e, portanto, ln a ̸= 0).
(b)
f(x)− f(x0)
x− x0
=
loga x− loga x0
x− x0
=
y − y0
ay − ay0
.
Observação. Note que denotando y = loga x e y0 = loga x0, então segue da definição de logaritmo
que x = ay e x0 = a
y0 .
(c) Observe que
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
= lim
x→x0
loga x− loga x0
x− x0
.
Fazendo a mudança de variável y = loga x e provisoriamente chamando loga x0 de y0, o novo
limite na variável y fica
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
(⋆)
= lim
y→y0
y − y0
ay − ay0
=
1
(ln a)ay0
,
onde, em (⋆), usamos que a função loga x é cont́ınua para x > 0 e, portanto, y = loga x tende
a y0 = loga x0 quando x tende a x0 (isto é, y → y0). Já vimos no item anterior que ay0 = x0.
Voltando para a letra original x0, a resposta fica f
′(x0) =
1
(ln a)x0
. Por fim, trocando o nome
da letra da função de x0 para x, chegamos a f
′(x) =
1
(ln a)x
.
(d) Como ln e = 1, então a derivada de f(x) = ln x é f ′(x) =
1
(ln e)x
=
1
x
.
3
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Centrode Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 2.6 - Regras de derivação
Última atualização: 18 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Nas videoaulas, você viu as primeiras regras de derivação (veja quadro abaixo). Sejam f , g e h
funções e c um número real.
Função Derivada Função Derivada
h(x) = cf(x) h′(x) = cf ′(x) h(x) = f(x)g(x) h′(x) = f ′(x)g(x) + g′(x)f(x)
h(x) = f(x) + g(x) h′(x) = f ′(x) + g′(x) h(x) =
f(x)
g(x)
h′(x) =
f ′(x)g(x)− g′(x)f(x)
(g(x))2
h(x) = f(x)− g(x) h′(x) = f ′(x)− g′(x) h(x) = 1
g(x)
h′(x) = − g
′(x)
(g(x))2
Utilize essa tabela e a tabela da lista de exerćıcios 2.5 na resolução dos exerćıcios (veja na parte de
exerćıcios complementares para outras escritas dessa tabela).
Determine a derivada das funções abaixo.
(a) f(x) = 17x− 65. (b) f(s) =
√
3(s3 − s2).
(c) f(x) = (1 +
√
x)2. (d) g(x) =
1
x4
+ 2x− x−4.
(e) f(x) = 4 x250. (f) f(x) =
3x3 − 2x2 + 4
4x3 + 5x2
.
(g) f(x) =
x
x+ 3
x
. (h) f(x) =
ex
x5 + 2x
.
(i) f(x) = 5x + log3 x+ 5x
2 lnx. (j) f(x) =
x+ 4
x lnx
.
(k) f(x) = sec x. (l) f(x) = cotg x.
(m) f(x) =
cosx cotg x
secx− cosx
. (n) f(x) = x3 cosx(3 + ln x+ senx).
(o) f(x) =
x3 + senx
x3 − senx
. (p) f(x) = ( 3
√
x+
√
x)ex cotg x.
P2. Determine uma equação para a reta que é tangente ao gráfico de f(x) = x4 − 3 e paralela à reta
y = 4x+ 3.
P3. Ache os pontos sobre a curva y = 2x3+3x2−12x+1 para os quais a reta tangente é horizontal.
P4. Sejam f e g funções e suponha que f(5) = 1, f ′(5) = 6, g(5) = −3 e g′(5) = 2. Determine o que se
pede.
(a) (f + g)′(5). (b) (2f − g)′(5). (c) (fg)′(5). (d) (f/g)′(5). (e) (g/f)′(5).
1
P5. Se f(x) =
√
xg(x), g(4) = 8 e g′(4) = 7, determine f ′(4).
P6. Encontre a derivada das funções abaixo de duas formas (aplicando diretamente uma regra ou simpli-
ficando/multiplicando primeiro e aplicando outra regra) e verifique que o resultado é o mesmo.
(a) f(x) =
x4 − 5x3 +
√
x
x2
. (b) f(x) =
(
1
x2
− 3
x4
)
(x+ 5x3).
P7. Sejam f e g funções cujos gráficos estão abaixo.
1
1
f
g
x
y
Determine h′(−2), h′(1) e h′(3), em que h(x) = f(x)g(x).
Exerćıcios Complementares
C1. Nas videoaulas, você viu as primeiras regras de derivação (veja quadros abaixo com três posśıveis
escritas). Sejam u e v funções de x e c um número real.
Função Derivada Regra Regra
f(x) = cv f ′(x) = cv′ (cv)′ = cv′
d(cv)
dx
= c
dv
dx
f(x) = u± v f ′(x) = u′ ± v′ (u± v)′ = u′ ± v′ d(u± v)
dx
=
du
dx
± dv
dx
f(x) = uv f ′(x) = u′v + v′u (uv)′ = u′v + v′u
d(uv)
dx
= v
du
dx
+ u
dv
dx
f(x) =
u
v
f ′(x) =
u′v − v′u
v2
(u
v
)′
=
u′v − v′u
v2
d
dx
(u
v
)
=
v du
dx
− u dv
dx
v2
f(x) =
1
v
f ′(x) = − v
′
v2
(
1
v
)′
= − v
′
v2
d
dx
(
1
v
)
= −dv/dx
v2
Utilize essa tabela e a tabela da lista de exerćıcios 2.5 na resolução dos exerćıcios.
Determine a derivada das funções abaixo.
(a) f(x) = cossec x. (b) f(x) = tg x.
2
(c) f(x) = 5 cossecx+ cotg x+ x5 tg x. (d) f(x) =
2 cosx
x2 + 1
2
x+ 1
.
(e) f(x) =
cosx+ senx
x2 + 1
. (f) f(x) =
x4 + 2x
x senx
.
(g) f(x) = (x2 + 3)(2x− 5)(3x+ 2). (h) f(x) = ax+ b
cx+ d
.
C2. Mostre que a curva y = 6x3 + 5x− 3 não tem reta tangente com inclinação 4.
C3. Encontre os pontos (x0, y0) do gráfico da função f(x) =
41 + 3x
x− 3
nos quais a reta tangente ao gráfico
é paralela à reta y = −2x+ 3.
C4. As curvas y = x2 + ax+ b e y = cx− x2 têm uma tangente em comum no ponto (1, 0). Encontre a,
b e c.
C5. Uma das regras de derivação é a regra do produto, que diz que (uv)′ = u′v + v′u.
(a) Aplique a fórmula acima duas vezes em sequência e encontre uma regra para a derivada do
produto uvw de três funções.
(b) Estenda seu racioćınio para encontrar uma fórmula para a derivada do produto f1f2 · · · fn de n
funções.
(c) Utilize a fórmula descoberta para calcular a derivada de f(x) = x2ex senx lnx.
C6. A reta normal à função f no ponto de abscissa x0 é definida como a reta que passa por (x0, f(x0))
e é perpendicular à reta tangente a f em (x0, f(x0)). Ache uma equação da reta normal à função
f(x) = 1− x2 no ponto de abscissa 2.
C7. Sejam f e g funções e suponha que f(4) = 2, f ′(4) = 6, g(4) = 5 e g′(4) = −3. Em cada item,
determine h′(4).
(a) h(x) = 3f(x) + 8g(x). (b) h(x) =
g(x)
f(x) + g(x)
.
C8. Seja g uma função diferenciável. Determine uma expressão para a derivada das funções abaixo.
(a) y = xg(x). (b) y =
x
g(x)
. (c) y =
g(x)
x
.
C9. Determine a função afim f que satisfaz f(2) = 5, f ′(2) = 3.
C10. Calcule o limite lim
x→1
x1000 − 1
x− 1
.
C11. As funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico são definidas como senhx =
ex − e−x
2
e coshx =
ex + e−x
2
, respectivamente.
(a) Mostre que, para qualquer x ∈ R, cosh2 x− senh2 x = 1.
(b) Calcule a derivada de f(x) = senh x.
(c) Calcule a derivada de f(x) = cosh x.
C12. As outras funções hiperbólicas são definidas como abaixo.
� Tangente hiperbólica. tghx =
senhx
coshx
.
3
� Cotangente hiperbólica. cotghx =
coshx
senhx
.
� Secante hiperbólica. sechx =
1
coshx
.
� Cossecante hiperbólica. cossechx =
1
senhx
.
Calcule o que se pede.
(a) A derivada de f(x) = tgh x. (b) A derivada de f(x) = cotgh x.
(c) A derivada de f(x) = sechx. (d) A derivada de f(x) = cossechx.
4
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Gabarito da Lista 2.6
Regras de derivação
Última atualização: 18 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Uma mesma expressão matemática pode ser escrita de diversas formas. As respostas indicadas aqui
apresentam uma ou mais escritas posśıveis.
(a) f ′(x) = 17.
(b) f ′(s) =
√
3(3s2 − 2s) = 3
√
3s2 − 2
√
3s.
(c) f ′(x) = 1 +
1√
x
=
1 +
√
x√
x
.
(d) g′(x) = 2, para x ̸= 0.
(e) f ′(x) = 1000 x249.
(f ) f ′(x) =
23x4 − 48x2 − 40x
(4x3 + 5x2)2
=
23x3 − 48x− 40
x3(4x+ 5)2
.
(g) f ′(x) =
6x
(x2 + 3)2
, para x ̸= 0.
(h) f ′(x) =
ex(x5 − 5x4 + 2x− 2)
(x5 + 2x)2
.
(i) f ′(x) = (ln 5)5x +
1
(ln 3)x
+ 10x lnx+ 5x.
(j) f ′(x) =
−4 lnx− x− 4
(x lnx)2
= −4 lnx+ x+ 4
(x lnx)2
.
(k) f ′(x) = secx tg x.
Observação. Sempre que você calcula a derivada de uma função “elementar”, você pode acres-
centar à sua tabela mental de derivadas para não precisar calcular de novo.
(l) f ′(x) = − cossec2 x.
(m) f ′(x) = − 3
(secx− cosx)2
= −3 cotg2 x cossec2 x.
(n) f ′(x) = 3x2 cosx(3 + ln x+ senx)− x3 senx(3 + ln x+ senx) + x3 cosx
(
1
x
+ cosx
)
.
(o) f ′(x) =
2x3 cosx− 6x2 senx
(x3 − senx)2
.
(p) f ′(x) =
(
1
3
3
√
x2
+
1
2
√
x
)
ex cotg x+ ( 3
√
x+
√
x)ex cotg x− ( 3
√
x+
√
x)ex cossec2 x.
1
P2. y = 4x− 6.
P3. x = 1 e x = −2.
P4.
(a) (f + g)′(5) = 8. (b) (2f − g)′(5) = 10. (c) (fg)′(5) = −16.
(d) (f/g)′(5) = −20
9
. (e) (g/f)′(5) = 20.
P5. f ′(4) = 16.
P6.
(a) f ′(x) = 2x− 5− 3
2
√
x5
. (b) f ′(x) = 5 +
14
x2
+
9
x4
.
P7. h′(−2) = 1, h′(1) = −1
2
e h′(3) = 2.
Exerćıcios Complementares
C1. Uma mesma expressão matemática pode ser escrita de diversas formas. As respostas indicadas aqui
apresentam uma ou mais escritas posśıveis.
(a) f ′(x) = − cossecx cotg x.
Observação. Sempre que você calcula a derivada de uma função “elementar”, você pode acres-
centar à sua tabela mental de derivadas para não precisar calcular de novo
(b) f ′(x) = sec2 x.
(c) f ′(x) = −5 cossecx cotg x− cossec2 x+ 5x4 tg x+ x5 sec2 x.
(d) f ′(x) =
−2 senx
(
x2 +
1
2
x+ 1
)
− 2 cosx
(
2x+
1
2
)
(
x2 +
1
2
x+ 1
)2 .
(e) f ′(x) =
(cosx− senx)(x2 + 1)− 2x(cosx+ senx)
(x2 + 1)2
=
(x− 1)2 cosx− (x+ 1)2 senx
(x2 + 1)2
.
(f ) f ′(x) =
3x2 senx− (x3 + 2) cosx
sen2 x
.
(g) f ′(x) = 2(x2 + 3)(3x+ 2) + 3(x2 + 3)(2x− 5) + 2x(2x− 5)(3x+ 2) = 24x3 − 33x2 + 16x− 33.
(h) f ′(x) =
ad− bc
(cx+ d)2
.
C2. A equação f ′(x) = 18x2 + 5 = 4 não possui solução real.
C3. (−2,−7) e (8, 13).
C4. a = −3, b = 2 e c = 1.
C5.
(a) (uvw)′ = u′vw + uv′w + uvw′.
(b)(f1f2 · · · fn)′ = f ′1f2 · · · fn + f1f ′2 · · · fn + · · ·+ f1f2 · · · f ′n.
(c) f ′(x) = 2xex senx lnx+ x2ex senx lnx+ x2ex cosx lnx+ xex senx.
2
C6. y =
x
4
− 7
2
.
C7.
(a) h′(4) = −6. (b) h′(4) = −36
49
.
C8.
(a) y′ = g(x) + xg′(x). (b) y′ =
g(x)− xg′(x)
(g(x))2
. (c) y′ =
xg′(x)− g(x)
x2
.
C9. f(x) = 3x− 1.
C10. lim
x→1
x1000 − 1
x− 1
= 1000.
C11.
(a) cosh2 x− senh2 x =
(
ex + e−x
2
)2
−
(
ex + e−x
2
)2
=
(
e2x + 2 + e−2x
4
)
−
(
e2x − 2 + e−2x
4
)
=
e2x + 2 + e−2x − e2x + 2− e−2x
4
=
4
4
= 1.
(b) f ′(x) = coshx.
(c) f ′(x) = senhx.
C12.
(a) f ′(x) = sech2 x. (b) f ′(x) = − cossech2 x.
(c) f ′(x) = − sechx tghx. (d) f ′(x) = − cossechx cotghx.
3
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 2.7 - Regra da cadeia
Última atualização: 25 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Nas videoaulas, você viu mais uma regra de derivação: a regra da cadeia. Cada linha da tabela
abaixo é uma escrita da regra da cadeia, em diferentes notações.
Regra da cadeia
Se h(x) = (f ◦ g)(x), então h′(x) = (f ′ ◦ g)(x)g′(x)
Se h(x) = f(g(x)), então h′(x) = f ′(g(x))g′(x)
(u ◦ v)′ = (u′ ◦ v)v′
du
dt
=
du
dx
dx
dt
Utilize essa em conjunto com as tabelas das listas de exerćıcios 2.5 e 2.6 na resolução dos exerćıcios.
Nos itens abaixo, identifique funções f e g de modo que h(x) = f(g(x)).
Nota: cada item dessa questão pode ter mais de uma solução correta.
(a) h(x) = 3
√
1 + 4x. (b) h(x) = (2x3 + 5)4.
(c) h(x) = tg(πx). (d) h(x) = sen(cotg x).
(e) h(x) =
√
senx. (f) h(x) = sen
√
x.
P2. Determine a derivada das funções abaixo.
(a) f(x) = sen(10x+ 3). (b) f(x) = ex
2+x−1.
(c) f(x) = ln(cos x). (d) f(x) = (2x3 − tg x)32.
(e) f(x) =
√
1 + x2. (f) f(x) = cos(x3).
(g) f(x) = cos3 x. (h) f(x) =
√
x+ 2 +
6
x3 + 2x
.
(i) f(x) =
√
1 +
√
1 + x. (j) g(x) =
3
√
x2 − 3
6x2 + 3
.
(k) g(x) = ex
3
ln(3 +
√
x). (l) f(x) = ln(x+ cosx).
(m) y = cos(senx). (n) y = ln(cossecx+ cotg x).
(o) y = sen[(2t+ 5)−2/3]. (p) f(x) =
cosx
sen4 x
.
1
P3. Sejam f e g funções e suponha que f(−2) = 8, f ′(−2) = 4, f ′(5) = 3, g(5) = −2 e g′(5) = 6. Se
h(x) = f(g(x)), determine h′(5).
P4. A composição de funções tem uma interpretação mais natural em contextos aplicados. Por exemplo,
imagine um objeto de massa 4 kg movendo-se sobre uma linha reta com velocidade em função do
tempo dada por v(t) = t2−1. Sabemos que a energia cinética deste objeto, em termos da velocidade,
é dada por K(v) = 1
2
mv2 = 2v2. Uma pergunta natural aqui seria determinar a energia cinética em
função do tempo. Isso é fácil de fazer, basta substituir o valor de v, isto é, K(t) = 2(t2− 1)2. Apesar
de não parecer, fizemos uma composição de funções aqui. Traduzindo para o contexto matemático,
pensemos que as duas funções envolvidas (escritas na variável x) são v(x) = x2 − 1 e K(x) = 2x2.
A composição de K com v tem como resultado (K ◦ v)(x) = K(v(x)) = 2(x2 − 1)2 que é o mesmo
resultado obtido acima, apenas com o nome da variável diferente. Essa interpretação é útil para
analisarmos a regra da cadeia sob um outro ponto de vista. Nesse exemplo, dK/dv = 4v e dv/dt = 2t.
Curiosamente, a derivada da composição K ◦ v pode ser vista como
dK
dt
=
dK
dv
dv
dt
= 4v · 2t = 8tv.
Você pode dizer prontamente que isso não dá a mesma coisa que usar a regra da cadeia. Lembremos
que v, na verdade, tem uma escrita em termos de t. Substituindo, obtemos dK/dt = 8tv = 8t(t2−1),
que é a resposta dada pela regra da cadeia. Em resumo, a regra da cadeia escrita da forma
du
dt
=
du
dx
dx
dt
(última linha da tabela no ińıcio da lista) está correta, entendendo que o termo
du
dx
será escrito em
termos de t após substituir x.
Em cada item, determine o que se pede.
(a) Dados τ = I · α, onde I é constante em t e α(t) = 2t3, determine dτ/dt.
(b) Dados F =
Gm1m2
r2
, onde G, m1, m2 são constantes em t e r(t) =
√
3t2 + 1, determine dF/dt.
(c) Dados K = 1
2
Iω2, onde I é constante em t e ω(f) = 2πf , determine dK/df .
Sugestão. Faça a questão acima por três métodos diferentes: (1) escrevendo as funções com o mesmo
nome de variável e aplicando a regra da cadeia padrão; (2) Substituindo a segunda função dentro
da primeira e já trabalhando com a primeira função na variável sobre a qual queremos derivar e (3)
usando a fórmula
du
dt
=
du
dx
dx
dt
, obtendo uma escrita h́ıbrida com x e t e depois substituir x pelo seu
valor em termos de t.
P5. A posição de uma part́ıcula sobre uma corda vibrante é dada pela equação s(t) = 10+ 1
4
sen(10πt), em
que s(t) é medido em cent́ımetros e t em segundos. Determine a função velocidade da part́ıcula.
P6. Uma equação em que a incógnita é uma função é chamada de equação funcional. Quando há derivadas
nessa equação, chamamos de equação diferencial. Assim como para equações tradicionais, uma função
é uma solução da equação se, ao ser substitúıda no lugar da incógnita torna a igualdade verdadeira
(igualdade do ponto de vista de funções, válida para todo valor de x). Mostre que y = 2x2−1 é uma
solução da equação 3xy′ − 6y = 6.
P7. Sejam a, b, c ∈ R tais que f(x) = (ax + b)e4x2+4x+1 e f ′(x) = (16x2 + 56x + c)e4x2+4x+1. Determine
a, b e c.
P8. Sejam f(x) =
a
x
+
b
x2
e g(x) = a sen(5x)+bxe−x+6 ln(x+1). Determine a, b ∈ R tais que f ′(1) = −11
e g′(0) = 25.
2
Exerćıcios Complementares
C1. Seja f : R → [0,+∞) uma função tal que f(2) = 16 e f ′(2) = 8. Determine g′(2), em que
g(x) = xf(x) +
f(x)
x
+
√
f(x).
C2. Sejam f a função cujo gráfico está abaixo.
1
1
x
y
Determine g′(−2), em que g(x) = (x2 + f(x))5.
C3. Determine a derivada das funções abaixo.
(a) H(z) = (z3 − 3z2 + 1)−3. (b) F (x) = (5x− 8)
−2
(x2 + 3)−3
.
(c) f(x) =
7
√
x3 + 101−x
2
. (d) f(x) = 4
√
x− 2
x+ 2
.
(e) y =
√
x4 + e
√
x. (f) f(x) = e2x ln
(
x senx+
e−x
x5 + 1
)
.
(g) y = etg
2 x. (h) f(t) =
te2 sen t
ln(3t+ 1)
.
(i) g(x) = (7x2 + 6x)7(3x− 1)4.
C4. Se h(x) =
√
4 + 3f(x), f(1) = 7 e f ′(1) = 4, determine h′(1).
C5. Muitas tabelas de derivadas não vêm com a regra da cadeia de forma expĺıcita, ela aparece em-
butida nas fórmulas das derivadas elementares. Por exemplo, é muito comum você encontrar
(senu)′ = u′ cosu no lugar de (senx)′ = cosx. Nesse exerćıcio vamos aprender esse outro tipo
de formulação.
(a) Sejam f(x) = senx e g(x) = u (pense aqui que u é uma função de x em que omitimos o
parênteses com x) e considere h(x) = f(g(x)). Escreva quem é h(x) explicitamente.
3
(b) Nas mesmas condições do exerćıcio acima, determine h′(x), deixando a resposta em termos de
u.
(c) Juntando os itens (a) e (b) você descobriu que (senu)′ = u′ cosu. Essa fórmula pode ser lida
como “a derivada do seno de alguma coisa é a derivada da coisa vezes o cosseno da coisa”.
Sem passar pela formulação da regra da cadeia original, utilize essa fórmula para determinar a
derivada de f(x) = sen(x2 − x+ 1).
(d) Como você pode reobter a fórmula (sen x)′ = cosx a partir de (senu)′ = u′ cosu ?
(e) Utilize um racioćınio análogo com f(x) = xn e g(x) = u e descubra que (un)′ = nu′un−1.
(f) Usando a resposta do item anterior, calcule a derivada de f(x) = (2x3 − x2 + 2)700.
(g) Repita a ideia para as derivadas elementares que você conhece e construa sua nova tabela de
derivadas já com a regra da cadeia embutida. Após concluir o resultado, perceba que todas
elas são constrúıdas da mesma forma: substitui-se na fórmula original x por u e multiplica-se a
derivada por u′.
C6. Já vimos que a função |x| não é diferenciável em x = 0, mas que a derivada existe em todos os outros
pontos (igual a −1 se x é negativo e 1 se x é positivo). Nesse exerćıcio vamos usar um artif́ıcio para
trabalhar com a derivada de funções com módulo sem ter que separar em partes.
(a) Verifique que |x| =
√
x2 para todo x ∈ R.
(b) Pelo item (a), a função h(x)= |x| é a composição das funções f(x) =
√
x e g(x) = x2. Use
isso e a regra da cadeia para encontrar h′(x). Verifique que sua resposta está de acordo com o
esperado.
(c) Utilize a fórmula descoberta no item anterior e a regra da cadeia para calcular a derivada de
f(x) = |3x− 1|ex.
C7. A equação geral da posição de um objeto em movimento harmônico simples é dada por s(t) =
A cos(ωt+ ϕ), em que A, ω e ϕ são constantes. Determine v(t).
C8. Muitas vezes quando vamos modelar um problema f́ısico, uma equação diferencial é obtida. Por
exemplo, ao aplicar as leis da F́ısica ao problema de um objeto em queda livre em que supõe-se que
a resistência do ar é proporcional à velocidade, a equação diferencial obtida para a velocidade do
objeto é mv′(t) + kv(t)−mg = 0, em que m é a massa do objeto, g é a aceleração da gravidade e k
é a constante de proporcionalidade associada à resistência do ar. Mostre que v(t) = mg
k
(1− e− ktm ) é
uma solução para a equação.
C9. A regra da cadeia diz que (u ◦ v)′ = (u′ ◦ v)v′.
(a) Aplique a fórmula acima duas vezes em sequência e encontre uma regra para a derivada da
composição u ◦ v ◦ w de três funções.
(b) Estenda seu racioćınio para encontrar uma fórmula para a derivada da composição f1◦f2◦· · ·◦fn
de n funções.
(c) Utilize a fórmula descoberta para calcular a derivada de f(x) = sen(1+cos(1+tg(1+x+x2))).
C10. Utilize a regra da cadeia para provar as afirmações abaixo.
(a) A derivada de uma função par é uma função ı́mpar.
(b) A derivada de uma função ı́mpar é uma função par.
C11. Nenhuma das regras de derivação que vimos até agora é capaz de, diretamente, resolver a derivada
de uma função elevada a outra função, por exemplo f(x) = xsenx. Use que uv = ev lnu para mostrar
que
(uv)′ = uv
(
u′v
u
+ v′ lnu
)
.
4
C12. Use a fórmula do exerćıcio anterior para determinar a derivada das funções abaixo.
(a) g(x) = (3 + tg x)x. (b) y = (lnx)x.
(c) f(x) = xπ + xx
x
. (d) f(x) = (5 + cos(5x))x
2
.
5
Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Gabarito parcial da Lista 2.7
Regra da cadeia
Última atualização: 25 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. A escolha de f e g aqui não é única, mas essa que está no gabarito é a mais útil para usar no cálculo
da derivada de h pois as derivadas de f e g podem ser calculadas por métodos já conhecidos.
(a) f(x) = 3
√
x e g(x) = 1 + 4x. (b) f(x) = x4 e g(x) = 2x3 + 5.
(c) f(x) = tg x e g(x) = πx. (d) f(x) = senx e g(x) = cotg x.
(e) f(x) =
√
x e g(x) = sen x. (f) f(x) = senx e g(x) =
√
x.
P2. Uma mesma expressão matemática pode ser escrita de diversas formas. As respostas indicadas aqui
apresentam uma ou mais escritas posśıveis.
(a) f ′(x) = 10 cos(10x+ 3).
(b) f ′(x) = (2x+ 1)ex
2+x−1.
(c) f ′(x) = − tg x.
(d) f ′(x) = 32(6x2 − sec2 x)(2x3 − tg x)31.
(e) f ′(x) =
x√
1 + x2
.
(f ) f ′(x) = −3x2 sen(x3).
(g) f ′(x) = −3 cos2 x senx.
(h) f ′(x) =
1
2
√
x+ 2
− 18x
2 + 12
(x3 + 2x)2
.
(i) f ′(x) =
1
4
√
1 + x
√
1 +
√
1 + x
.
(j) g′(x) =
(4x3 + 2x)(x2 − 3)−2/3 − 12x(x2 − 3)1/3
(6x2 + 3)2
.
(k) g′(x) = 3x2ex
3
ln(3 +
√
x) +
ex
3
2
√
x(3 +
√
x)
.
(l) f ′(x) =
1− senx
x+ cosx
.
(m) y′ = − sen(senx) cosx.
(n) y′ = − cossecx.
(o) y′ = −4
3
(2t+ 5)−5/3 cos[(2t+ 5)−2/3].
1
(p) f ′(x) = −sen
2 x+ 4 cos2 x
sen5 x
= −1 + 3 cos
2 x
sen5 x
.
P3. h′(5) = 24.
P4.
(a) dτ/dt = 6It2. (b) dF/dt = −6tGm1m2
(3t2 + 1)2
. (c) dK/df = 4π2If .
P5. v(t) = s′(t) =
5π
2
cos(10πt).
P6. Notemos que y′ = 4x. Assim, 3xy′ − 6y = 3x(4x)− 6(2x2 − 1) = 12x2 − 12x2 + 6 = 6.
P7. a = 2, b = 6 e c = 26.
P8. a = 3 e b = 4.
Exerćıcios Complementares
C1. g′(2) = 33.
C2. g′(−2) = −10.
C3. Uma mesma expressão matemática pode ser escrita de diversas formas. As respostas indicadas aqui
apresentam uma ou mais escritas posśıveis.
(a) H ′(z) = (−9z2 + 18z)(z3 − 3z2 + 1)−4 = −9z
2 + 18z
(z3 − 3z2 + 1)4
.
(b) F ′(x) =
6x(x2 + 3)2
(5x− 8)2
− 10(x
2 + 3)3
(5x− 8)3
.
(c) f ′(x) =
3
7
7
√
x4
− 2(ln 10)x101−x2 .
(d) f ′(x) =
1
(x− 2)3/4(x+ 2)5/4
.
(e) y′ =
1
2
√
x4 + e
√
x
(
4x3 +
e
√
x
2
√
x
)
.
(f ) f ′(x) = 2e2x ln
(
x senx+
e−x
x5 + 1
)
+ e2x
senx+ x cosx− (x
5 + 5x4 + 1)e−x
(x5 + 1)2
x senx+
e−x
(x5 + 1)
.
(g) y′ = 2 tg x sec2 xetg
2 x.
(h) f ′(t) =
(e2 sen t + 2t cos te2 sen t)
ln(3t+ 1)
− 3te
2 sen t
(3t+ 1)[ln(3t+ 1)]2
.
(i) g′(x) = 7(14x+ 6)(7x2 + 6x)6(3x− 1)4 + 12(7x2 + 6x)7(3x− 1)3 =
(7x2 + 6x)6(3x− 1)3(378x2 + 100x− 42).
C4. h′(1) =
6
5
.
C5.
2
(a) h(x) = senu.
(b) h′(x) = u′ cosu.
(c) Com u = x2 − x + 1, a função f se torna f(x) = senu e sua derivada fica f ′(x) = u′ cosu =
(2x− 1) cos(x2 − x+ 1).
(d) Basta usar u = x. Nesse caso, u′ = 1 e a fórmula volta a ser a que t́ınhamos inicialmente. Em
outras palavras, a fórmula (senu)′ = u′ cosu abrange tanto a versão original quanto todas as
outras que podem ser constrúıdas a partir da composição do seno com outra função.
(e) h(x) = f(g(x)) = un e h′(x) = nun−1u′ = nu′un−1.
(f) Com u = 2x3 − x2 + 2, a função f se torna f(x) = u700 e sua derivada fica f ′(x) = nu′un−1 =
700(6x2 − 2x)(2x3 − x2 + 2)699.
(g) Seja u uma função de x, c, n e a números reais com a > 0 e a ̸= 1.
Função Derivada Função Derivada
f(x) = c f ′(x) = 0 f(x) = un f ′(x) = nu′un−1
f(x) = senu f ′(x) = u′ cosu f(x) = cosu f ′(x) = −u′ senu
f(x) = tg u f ′(x) = u′ sec2 u f(x) = cotg u f ′(x) = −u′ cossec2 u
f(x) = secu f ′(x) = u′ secu tg u f(x) = cossecu f ′(x) = −u′ cossecu cotg u
f(x) = eu f ′(x) = u′eu f(x) = au f ′(x) = (ln a)u′ · au
f(x) = lnu f ′(x) =
u′
u
f(x) = loga u f
′(x) =
u′
(ln a)u
C6.
(a)
(b) h′(x) =
x
|x|
.
(c) f ′(x) =
3(3x− 1)ex
|3x− 1|
+ |3x− 1|ex = (9x
2 + 3x− 2)ex
|3x− 1|
.
C7. v(t) = s′(t) = −Aω sen(ωt+ ϕ).
C8. Observemos que v′(t) = mg
k
k
m
e−
kt
m = ge−
kt
m . Assim,
mv′(t) + kv(t)−mg = mge−
kt
m + k
mg
k
(1− e−
kt
m )−mg = mge−
kt
m +mg −mge−
kt
m −mg = 0.
C9.
(a) (u ◦ v ◦ w)′ = (u′ ◦ v ◦ w)(v′ ◦ w)w′.
(b) (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fn)′ = (f ′1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fn)(f ′2 ◦ · · · ◦ fn) · · · (f ′n−1 ◦ fn)f ′n.
(c) f ′(x) = −(1 + 2x) cos(1 + cos(1 + tg(1 + x+ x2))) sen(1 + tg(1 + x+ x2)) sec2(1 + x+ x2).
C10.
(a) Seja f uma função par, isto é, f(x) = f(−x). Derivando os dois lados da igualdade, obtemos
f ′(x) = −f ′(−x), ou seja, f ′ é ı́mpar.
3
(b) Seja f uma função ı́mpar, isto é, f(x) = −f(−x). Derivando os dois lados da igualdade,
obtemos f ′(x) = −(−1)f ′(−x) = f ′(−x), ou seja, f ′ é par.
C11.
C12.
(a) g′(x) = (3 + tg x)x
[
ln(3 + tg x) +
x sec2 x
3 + tg x
]
.
(b) y′ = (lnx)x
[
1
lnx
+ ln(lnx)
]
.
(c) f ′(x) = π xπ−1 + xx
x
[
xx(lnx+ ln2 x) +
xx
x
]
.
(d) f ′(x) = (5 + cos(5x))x
2
[
2x ln(5 + cos(5x))− 5x
2 sen(5x)
5 + cos(5x)
]
.
4
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Departamento de Matemática
Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 2.8 - Derivada da função impĺıcita
Última atualização: 25 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Em cada item: (1) determine y′ implicitamente, (2) encontre y explicitamente, (3) derive o resultado
obtido em (2) para encontrar y′ em termos de x, (4) substitua y encontrado em (2) na expressão
encontrada em (1) e verifique que a resposta é consistente com o (3).
(a) 9x2 − y2 = 1. (b) 2x2 + x+ xy = 1.
(c)
√
x+
√
y = 1. (d)
2
x
− 1
y
= 4.
P2. Encontre dy/dx por derivação impĺıcita.
(a)
√
xy = 1 + x2y. (b)
y
x− y
= 2 + x2.
(c) x2y2 + x sen y = 4. (d) x3 + x2y + 4y2 = 6.
P3. Encontre uma equação da reta tangente à curva 16x4 + y4 = 32 no ponto (1, 2).
P4. Determine uma reta que seja paralela à reta y = −x+ 1 e que seja tangente à curva x2 + xy + y2 =
3.
P5. Seja y = f(x) uma função diferenciável tal que, para todo x ∈ Df , o ponto (x, f(x)) é solução da
equação xy3 + 2xy2 + x = 4. Sabendo que f(1) = 1, calcule f ′(1).
P6. Sabendo que o ponto(1,−1) pertence à curva x2y + ay2 = b e que a equação da reta tangente à
curva nesse ponto é dada por 3y + 2x = −1, determine a e b.
Exerćıcios Complementares
C1. Encontre dy/dx por derivação impĺıcita.
(a) sen(x+ y) = y2 cosx. (b) cos2(x+ y) = 1/4.
(c)
√
2x+ y +
√
x+ 2y = 6. (d) e2x = sen(x+ 3y).
C2. Encontre uma equação da reta tangente à curva x2 − xy − y2 = 1 no ponto (2, 1).
C3. Encontre uma equação da reta tangente à curva x2 + y2 = (2x2 + 2y2 − x)2 no ponto (0, 1
2
).
C4. Sabe-se que f é uma função tal que y = f(x) é solução da equação xy2 + y + x = 1. Determine
f ′(x).
1
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Gabarito da Lista 2.8
Derivada da função impĺıcita
Última atualização: 25 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1.
(a)
(1) y′ =
9x
y
.
(2) y = ±
√
9x2 − 1.
(3) y′ = ± 9x√
9x2 − 1
.
(b)
(1) y′ = −4x+ 1 + y
x
.
(2) y =
1
x
− 2x− 1.
(3) y′ = − 1
x2
− 2.
(c)
(1) y′ = −
√
y
√
x
.
(2) y = (1−
√
x)2.
(3) y′ = 1− 1√
x
.
(d)
(1) y′ =
2y2
x2
.
(2) y =
x
2− 4x
.
(3) y′ =
2
(2− 4x)2
.
P2.
(a)
dy
dx
=
4xy
√
xy − y
x− 2x2√xy
. (b)
dy
dx
= 2(x− y)2 + y
x
.
(c)
dy
dx
= − 2xy
2 + sen y
2yx2 + x cos y
. (d)
dy
dx
= −3x
2 + 2xy
8y + x2
.
P3. y = −2x+ 4.
P4. y = −x+ 2 ou também y = −x− 2.
P5. f ′(1) = −4
7
P6. a = 2 e b = 1.
Exerćıcios Complementares
1
C1.
(a)
dy
dx
=
y2 senx+ cos(x+ y)
2y cosx− cos(x+ y)
. (b)
dy
dx
= −1.
(c)
dy
dx
= −2
√
x+ 2y +
√
2x+ y
2
√
2x+ y +
√
x+ 2y
. (d)
dy
dx
=
2e2x − cos(x+ 3y)
3 cos(x+ 3y)
.
C2. y =
3
4
x− 1
2
.
C3. y = x+
1
2
.
C4. f ′(x) = − 1 + [f(x)]
2
2xf(x) + 1
.
2
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Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 2.9 - Derivada da função inversa
Última atualização: 25 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Uma nova regra de derivação foi deduzida nesse tópico: a derivada da função inversa. A tabela da
esquerda representa três formas de escrever a mesma regra, apenas em notações diferentes. A tabela
da direita apresenta a derivada das inversas das funções seno, cosseno e tangente (já com a regra da
cadeia embutida).
Derivada da função inversa Função Derivada
(f−1)′(x) =
1
f ′(f−1(x))
f(x) = arcsenu f ′(x) =
u′√
1− u2
(u−1)′ =
1
u′ ◦ u−1
f(x) = arccosu f ′(x) = − u
′
√
1− u2
dx
du
=
(
du
dx
)−1
=
1
du/dx
f(x) = arctg u f ′(x) =
u′
1 + u2
Utilize a tabela para determinar a derivada das funções abaixo
(a) f(x) = arcsen
(
3x+ 1
x
)
. (b) f(x) = arccos
(
x√
1− x2
)
.
(c) f(x) = x2 arctg(2x). (d) y =
sen(3x)
arctg(4x)
.
(e) y = e3x arcsen(2x).
Exerćıcios Complementares
C1. Verifique que
d
dx
[
x arcsenx+
√
1− x2
]
= arcsenx.
C2. Verifique que
d
dx
[
x arctg x− 1
2
ln(1 + x2)
]
= arctg x.
C3. Seja y =
√
x para x ⩾ 0. Escreva y2 = x e derive implicitamente para confirmar que y′ = 1
2
√
x
para
x > 0. Aplique o processo análogo à função y = lnx, para x > 0, para confirmar que y′ = 1
x
para
x > 0.
1
C4. Seja R > 0 um número real fixado. Mostre que
d
dx
[
1
2
(
R2 arcsen
( x
R
)
+ x
√
R2 − x2
)]
=
√
R2 − x2.
C5. A derivada da função inversa escrita na notação de Leibniz (última linha da tabela do exerćıcio
P1.) pode confundir um pouco a nossa cabeça pois nem aparece uma função inversa efetivamente na
fórmula. A explicação para isso é que essa fórmula está adaptada para a situação que normalmente
usamos em problemas aplicados. Imagine um objeto cuja velocidade em função do tempo é dada por
v(t) = 5e−2t.
(a) Calcule
dv
dt
.
(b) Isole t e determine t(v).
(c) Calcule
dt
dv
.
(d) A resposta do item (a) para
dv
dt
ficou em função de t, enquanto a resposta do item (c) para
dt
dv
ficou em função de v. Como sabemos que v e t estão relacionados pela função do enunciado
ou pela resposta ou item (b), podemos escrever
dv
dt
em função de v e
dt
dv
em função de t. Use
alguma dessas escritas para confirmar que
dt
dv
=
1
dv/dt
.
2
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Gabarito parcial da Lista 2.9
Derivada da função inversa
Última atualização: 25 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1.
(a) f ′(x) = − 1
x2
√
−x2
8x2 + 6x+ 1
.
(b) f ′(x) = − 1
(1− x2)
√
1− 2x2
(c) f ′(x) = 2x arctg(2x) +
2x2
1 + 4x2
.
(d) y′ =
3 (1 + 16x2) cos(3x) arctg(4x)− 4 sen(3x)
(1 + 16x2) (arctg(4x))2
.
(e) y′ = e3x
[
3 arcsen(2x) +
2√
1− 4x2
]
.
Exerćıcios Complementares
C1. Veja que, usando a regra do produto, temos
d
dx
(x arcsenx) = arcsen x+ x
d
dx
arcsenx.
Pela derivada da função inversa, temos
d
dx
arcsenx =
1√
1− x2
,
e, portanto,
d
dx
(x arcsenx) = arcsen x+
x√
1− x2
. (1)
Ainda mais
d
dx
√
1− x2 = − x√
1− x2
. (2)
Somando as expressões em (1) e (2), obtemos o resultado.
C2.
1
C3.
C4.
C5.
(a)
dv
dt
= −10e−2t.
(b) t(v) = − ln(v/5)
2
.
(c)
dt
dv
= − 1
2v
.
(d)
2
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 2.10 - Derivadas de ordens superiores
Última atualização: 25 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Nos itens abaixo, calcule a derivada até a ordem n indicada.
(a) f(x) = 3x4 − 2x, n = 5. (b) f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, n = 3.
(c) f(x) = 3− 2x2 + 4x5, n = 10. (d) f(x) = 1
x− 1
, n = 4.
(e) f(x) = e2x+1, n = 2. (f) f(x) =
1
ex
, n = 4.
(g) f(x) = sen(ax), n = 7.
P2. Mostre que se f(x) = eax, então f (n)(x) = aneax.
P3. A equação do movimento de um objeto é dada por s(t) = 2t3 − 3t2 − 12t, t ≥ 0, em que s está em
metros e t em segundos.
(a) Determine a velocidade v(t) em m/s.
(b) Determine a aceleração a(t) em m/s2.
(c) Determine a aceleração no instante t = 1 s.
(d) Determine a aceleração no(s) instante(s) em que a velocidade é igual a 0.
P4. Encontre os valores de λ para os quais y = eλx satisfaz a equação y′′ − 3y′ + 2y = 0.
P5. Encontre b > 0 para que y(x) = e6x cos(bx) seja solução da equação diferencial y′′ − 12y′ + 45y =
0.
P6. Determine A,B,C ∈ R para que a função y(x) = Ax2 +Bx+ C seja solução da equação diferencial
3y′′ + 8y′ + 4y = −2x2 + 3x.
Observação. Nos próximos exerćıcios você vai aplicar as leis f́ısicas para encontrar equações de
movimento em situações comuns na F́ısica. Caso você não saiba fazer, consulte os gabaritos iniciais.
P7. [Movimento retiĺıneo uniforme.] O movimento retiĺıneo uniforme (MRU) é caracterizado por um
movimento que não possui aceleração, em outras palavras, a(t) = 0. Fixando condições iniciais
s(0) = s0 e v(0) = v0, essa situação é matematicamente resumida por: determine a função s(t) que
satisfaz 
s′′(t) = 0,
s(0) = s0,
s′(0) = v0.
1
(a) Mostre que, para quaisquer números A e B, a função s(t) = A+Bt satisfaz s′′(t) = 0.
(b) Mostre que, para s(t) = A+Bt satisfazer s(0) = s0 e s
′(0) = v0, então s(t) = s0 + v0t.
(c) Determine v(t) para a função obtida no item anterior para confirmar que, em um movimento
em que a aceleração é igual a 0, a velocidade é constante.
P8. [Movimento retiĺıneo uniformemente variado.] Omovimento retiĺıneo uniformemente variado (MRUV)
é caracterizado por uma aceleração constante, isto é, a(t) = a. Atribua as condições iniciais s(0) = s0
e v(0) = v0.
(a) Mostre que essa situação pode ser descrita por encontrar uma função s(t) que satisfaz
s′′(t) = a,
s(0) = s0,
s′(0) = v0.
(b) Mostre que, para quaisquer números A e B, a função s(t) = A+Bt+ 1
2
at2 satisfaz s′′(t) = a.
(c) Mostre que, para s(t) = A+Bt+ 1
2
at2 satisfazer s(0) = s0 e s
′(0) = v0, então s(t) = s0+v0t+
1
2
at2.
(d) Mostre que v(t) = v0 + at.
P9. Considere um movimento em que a aceleração é dada por a(t) = a0 + kt e atribuaas condições
iniciais s(0) = s0 e v(0) = v0.
(a) Mostre que essa situação pode ser descrita por encontrar uma função s(t) que satisfaz
s′′(t) = a0 + kt,
s(0) = s0,
s′(0) = v0.
(b) Mostre que, para quaisquer números A e B, a função s(t) = A + Bt + 1
2
a0t
2 + 1
6
kt3 satisfaz
s′′(t) = a0 + kt.
(c) Mostre que, para s(t) = A + Bt + 1
2
a0t
2 + 1
6
kt3 satisfazer s(0) = s0 e s
′(0) = v0, então s(t) =
s0 + v0t+
1
2
a0t
2 + 1
6
kt3.
(d) Mostre que v(t) = v0 + a0t+
1
2
kt2.
Exerćıcios Complementares
C1. Determine a derivada de ordem 100 das funções abaixo.
(a) f(x) = sen x. (b) f(x) = cos x.
C2. Mostre que y = ex cosx satisfaz a equação y′′ − 2y′ + 2y = 0.
C3. Um cabo pendurado entre dois postes toma a forma de uma curva que é o gráfico de uma função
y(x) que satisfaz a equação diferencial
d2y
dx2
=
ρg
T
√
1 +
(
dy
dx
)2
,
em que ρ é a densidade linear (massa por unidade de comprimento) do cabo, g é a aceleração da
gravidade e T é a tensão do cabo no ponto mais baixo. Mostre que a função y(x) =
T
ρg
cosh
(ρg x
T
)
é uma solução da equação diferencial acima.
2
C4. [Queda livre com resistência do ar.] Considere um objeto de massa m que é largado em queda livre
numa situação em que a força de resistência que o ar oferece é diretamente proporcional à velocidade
do objeto com constante de proporcionalidade k.
(a) Coloque a origem do eixo de coordenadas na posição inicial do objeto e com sentido positivo
na direção do movimento. Use a segunda lei de Newton para concluir que ma(t) = mg− kv(t).
(b) Mostre que essa situação pode ser descrita por encontrar uma função s(t) que satisfaz
ms′′(t) = mg − ks′(t),
s(0) = 0,
s′(0) = 0.
(c) Mostre que, para quaisquer números A e B, a função s(t) = Ae−
kt
m +B+ mg
k
t satisfaz a equação
ms′′(t) = mg − ks′(t).
(d) Mostre que, para s(t) = Ae−
kt
m + B + mg
k
t satisfazer s(0) = 0 e s′(0) = 0, então s(t) =
mg
k
t− m2g
k2
(1− e− ktm ).
(e) Mostre que v(t) = mg
k
(1− e− ktm ).
C5. [Sistema massa-mola ideal.] Considere um sistema massa-mola sem atrito em que a massa do sistema
é m e a constante de elasticidade da mola é k.
(a) Coloque a origem do eixo de coordenadas na posição de repouso do sistema e use a segunda lei
de Newton e a lei de Hooke para para concluir que ma(t) = −ks(t).
(b) Assuma posição inicial e velocidade inicial são s0 e v0, respectivamente, e mostre que essa
situação pode ser descrita por encontrar uma função s(t) que satisfaz
ms′′(t) = −ks(t),
s(0) = s0,
s′(0) = v0.
(c) Mostre que, para quaisquer números A e B, a função s(t) = A cos(ωt) + B sen(ωt) satisfaz
ms′′(t) = −ks(t), em que ω =
√
k
m
.
(d) Mostre que, para s(t) = A cos(ωt) + B sen(ωt) satisfazer s(0) = s0 e s
′(0) = v0, então s(t) =
s0 cos(ωt) +
v0
ω
sen(ωt).
(e) Mostre que v(t) = v0 cos(ωt)− s0ω sen(ωt).
(f ) Determine s(t) para s0 = 0 e v0 = 0. Interprete o resultado fisicamente.
(g) Determine s(t) para s0 = L > 0 e v0 = 0. Interprete o resultado fisicamente.
3
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Gabarito parcial da Lista 2.10
Derivadas de ordens superiores
Última atualização: 25 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1.
(a) f ′(x) = 12x3 − 2; f ′′(x) = 36x2; f (3)(x) = 72x; f (4)(x) = 72; f (5)(x) = 0.
(b) f ′(x) = 3ax2 + 2bx+ c; f ′′(x) = 6ax+ 2b; f (3)(x) = 6a.
(c) f ′(x) = −4x+20x4; f ′′(x) = −4+80x3; f (3) = 240x2; f (4)(x) = 480x; f (5)(x) = 480; f (k)(x) = 0
para k ≥ 6.
(d) f ′(x) = − 1
(x− 1)2
; f ′′(x) =
2
(x− 1)3
; f (3)(x) = − 6
(x− 1)4
; f (4)(x) =
24
(x− 1)5
.
(e) f ′(x) = 2e2x+1; f ′′(x) = 4e2x+1.
(f ) f ′(x) = − 1
ex
; f ′′(x) =
1
ex
; f (3)(x) = − 1
ex
; f (4)(x) =
1
ex
.
(g) f ′(x) = a cos(ax); f ′′(x) = −a2 sen(ax); f (3)(x) = −a3 cos(ax); f (4)(x) = a4 sen(ax); f (5)(x) =
a5 cos(ax); f (6)(x) = −a6 sen(ax); f (7)(x) = −a7 cos(ax).
P2.
P3.
(a) v(t) = 6t2 − 6t− 12 m/s.
(b) a(t) = 12t− 6 m/s2.
(c) a(1) = 6m/s2.
(d) a(2) = 18m/s2.
P4. λ = 1 ou λ = 2.
P5. b = 3.
P6. A = −1
2
, B = 11
4
e C = −19
4
.
P7.
(a) s′(t) = B e s′′(t) = 0.
(b) Como s(0) = A = s0 e s
′(0) = B = v0, então s(t) = s0 + v0t.
(c) v(t) = s′(t) = v0, indicando que a velocidade é igual à velocidade inicial em todo o movimento.
P8.
1
(a) Basta lembrar que a aceleração é a derivada segunda de s.
(b) s′(t) = B + at e s′′(t) = a.
(c) Como s(0) = A = s0 e s
′(0) = B = v0, então s(t) = s0 + v0t+
1
2
at2.
(d) v(t) = s′(t) = v0 + at.
P9.
(a) Basta lembrar que a aceleração é a derivada segunda de s.
(b) s′(t) = B + a0t+
1
2
kt2 e s′′(t) = a0 + kt.
(c) Como s(0) = A = s0 e s
′(0) = B = v0, então s(t) = s0 + v0t+
1
2
a0t
2 + 1
6
kt3.
(d) v(t) = s′(t) = v0 + a0t+
1
2
kt2.
Exerćıcios Complementares
C1.
(a) f (100)(x) = sen x. (b) f (100)(x) = cos x.
C2. y′ = (cosx− senx)ex e y′′ = −2ex senx. Assim,
y′′ − 2y′ + 2y = −2ex senx− 2(cosx− senx)ex + 2ex cosx = 0.
C3.
C4.
(a) A segunda lei de Newton nos diz que, para cada instante de tempo t, a força resultante que
atua no objeto é igual ao produto de sua massa (que é constante) pela aceleração, isto é,
F (t) = ma(t) para cada t. Assim, devemos descrever as forças que atuam sobre o objeto em um
instante de tempo genérico t. Durante o movimento do objeto, duas forças atuam: (1) a força
peso que é constante durante todo o movimento, possui módulo igual a mg e aponta para baixo
(como usamos o sentido para baixo como positivo, então usaremos mg em nossas contas) e (2)
a força de resistência do ar que tende a frear o objeto, tem módulo kv(t) (essa informação foi
passada no enunciado) e tem sentido para cima (portanto usaremos −kv(t) em nossas contas).
Com isso, a força resultante é F (t) = mg − kv(t). Usando a segunda lei de Newton, obtemos
ma(t) = F (t) = mg − kv(t). Essa equação junto com as condições iniciais tem o poder de
descrever todo o movimento.
(b) Basta substituir aceleração por derivada segunda da posição, velocidade por derivada primeira
da posição e observar que, segundo o enunciado, o objeto é largado, indicando que a velocidade
inicial é 0.
(c) s′(t) = −Ak
m
e−
kt
m + mg
k
e s′′(t) = Ak
2
m2
e−
kt
m . Assim,
mg − ks′(t) = mg − k
(
−Ak
m
e−
kt
m +
mg
k
)
=
Ak2
m
e−
kt
m = ms′′(t).
(d) Como s(0) = A+B = 0 e s′(0) = −Ak
m
+ mg
k
= 0, então A = m
2g
k2
e B = −m2g
k2
. Substituindo em
s(t), obtemos s(t) = mg
k
t− m2g
k2
(1− e− ktm ).
(e) v(t) = s′(t) = mg
k
(1− e− ktm ).
2
C5.
(a) Assumindo que o sistema está sobre uma superf́ıcie em que a força peso e a normal se cancelam,
então em um instante de tempo qualquer do movimento do sistema apenas a força elástica da
mola atua (lembre que estamos desconsiderando o atrito). Pela lei de Hooke, a força exercida
pela mola (mola ideal com deformação dentro da região em que a lei de Hooke se aplica) é
proporcional à deformação da mola, de módulo ks(t). Como essa força atua sempre em sentido
contrário à posição (mola contráıda: posição negativa e força positiva; mola estendida: posição
positiva e força negativa), então a força resultante do sistema é F (t) = −ks(t). Agora, aplicando
a segunda lei de Newton, obtemos ma(t) = F (t) = −ks(t).
(b) Basta substituir a aceleração pela derivada segunda da posição.
(c) s′(t) = −Aω sen(ωt)+Bω cos(ωt) e s′′(t) = −Aω2 cos(ωt)−Bω2 cos(ωt). Observe que ω =
√
k
m
e, portanto, mω2 = k. Assim,
ms′′(t) = m
[
−Aω2 cos(ωt)−Bω2 cos(ωt)
]
= −mω2 [A cos(ωt) +B cos(ωt)] = −ks(t).
(d) Como s(0) = A = s0 e s
′(0) = Bω = v0, então s(t) = s0 cos(ωt) +
v0
ω
sen(ωt).
(e) v(t) = s′(t) = v0 cos(ωt)− s0ω sen(ωt).
(f ) s(t) = 0. Em um sistema massa-mola em que a posição inicial é a de repouso da mola e o
sistema está parado, então continuará parado pois não há forças atuando.
(g) s(t) = L cos(ωt). A posição inicial indica que a mola foi esticada até a posição L e a equação
de movimento indicaque o sistema oscilará entre as posições −L e L indefinidamente.
3
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 3.1 - Diferencial
Última atualização: 27 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Encontre a diferencial das funções abaixo.
(a) f(x) = xe−4x. (b) y = ln(1 + t4).
P2. Determine a diferencial das funções abaixo, com os valores de x e dx indicados.
(a) y = ex/10, x = 0, dx = 0,1. (b) f(x) = cos(πx), x = 1
3
, dx = −0,02.
(c) f(x) =
√
3 + x2, x = 1, dx = −0,1.
P3. Determine ∆f e df para as funções abaixo, com os valores de x e dx = ∆x indicados.
(a) f(x) = x2 − 4x, x = 3, dx = 0,5. (b) f(x) =
√
x− 2, x = 3, dx = 0,8.
(c) f(x) = ex, x = 0, dx = 0,5.
P4. Use diferencial para aproximar as quantidades abaixo.
(a) (1,999)4. (b)
1
4,002
. (c) 3
√
1001. (d) e0,1.
P5. Use diferencial para estimar o volume de tinta necessário para pintar uma grande esfera com raio
50m com uma camada de 1mm de tinta.
P6. A aresta de um cubo mede 10 cm ± 0,05 cm, indicando que a margem de erro na medida da aresta
é 0,05 cm, para mais ou para menos. Determine o volume e a área da superf́ıcie do cubo com suas
respectivas incertezas nas medidas (use diferenciais para estimar a incerteza).
P7. Ao estudar o movimento de um pêndulo simples, os f́ısicos costumam aproximar sen θ por θ quando
θ é um ângulo pequeno (próximo de 0). Justifique essa aproximação.
P8. Considere f(x) = eax cos(bx). Sabe-se que, para x = 0, df = 5dx e df ′ = 16dx. Determine a e
b.
P9. Interprete, geometricamente, o que significa dV = 3a2da, em que V é o volume de um cubo de aresta
a. Também interprete geometricamente o diferencial da área de um quadrado.
1
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Gabarito parcial da Lista 3.1
Diferencial
Última atualização: 27 de maio de 2022.
Exerćıcios Principais
P1.
(a) df = (1− 4x)e−4xdx. (b) dy = 4t
3
1 + t4
dt.
P2.
(a) dy = 0,01. (b) df =
π
√
3
100
.
(c) df = −0,05.
P3.
(a) df = 1 e ∆f = 1,25. (b) df = 0,4 e ∆f =
√
1,8− 1 ∼= 0,34.
(c) df = 0,5 e ∆f = e0,5 − 1 ∼= 0,65.
P4.
(a) Usando a função f(x) = x4, x = 2 e dx = −0, 001, e lembrando que df = f ′(x)dx = 4x3dx,
temos
(1,999)4 = f(x+ dx) ∼= f(x) + df = 16− 0, 032 = 15, 968.
Portanto, (1,999)4 ∼= 15,968.
(b)
1
4,002
∼= 0,249875.
(c) 3
√
1001 ∼=
3001
300
∼= 10,00333.
(d) e0,1 ∼= 1,1.
P5. 10πm3 ∼= 31,4m3.
P6. V = 1000 cm3 ± 15 cm3 e A = 600 cm2 ± 6 cm2.
P7. Seja f(x) = senx. Observe que df = (cosx)dx e que, para x = 0, df = dx. Para valores pequenos
de dx, tem-se ∆f ∼= df = dx. Como ∆f = f(dx + 0) − f(0) = sen(dx) − sen 0 = sen(dx), então
sen(dx) ∼= dx para valores pequenos de dx. Trocando o nome de dx para θ, conclúımos que sen θ ∼= θ
para valores pequenos de θ.
P8. a = 5 e b = 3 ou b = −3.
P9.
1
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Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 3.2 - Taxa de variação
Última atualização: 6 de julho de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Um fabricante produz peças de tecido. O custo, em reais, da produção de x metros de um certo
tecido é C(x).
(a) Qual é o significado de C ′(x)? Qual é a unidade de medida de C ′(x)?
(b) O que significa dizer que C ′(500) = 10?
P2. A posição de uma part́ıcula sobre uma linha reta graduada em metros no instante t segundos, é dada
por s(t) = t3 − 6t2 + 9t.
(a) Determine v(t).
(b) Determine a(t).
(c) Em quais instantes a part́ıcula está em repouso?
(d) Quando a part́ıcula está se movendo para frente? E quando está se movendo para trás?
(e) Qual é o deslocamento da part́ıcula entre os instantes 0 e 5 s?
(f) Qual é a distância percorrida pela part́ıcula entre os instantes 0 e 5 s?
(g) Para que valores de t tem-se a(t) = 0? Para quais valores de t tem-se a(t) < 0? Para quais
valores de t tem-se a(t) > 0?
(h) Quando a part́ıcula está acelerando ou freando (isto é, quando está aumentando ou diminuindo
sua velocidade em módulo)?
P3. A quantidade de carga Q, medida em coloumbs, que passou por um determinado ponto em um
fio até o instante t segundos é dada por Q(t) = ke−at cos(ωt), em que k, a, b e ω são constantes.
Determine a corrente neste ponto do fio no instante t. Quais são as unidades de medida da corrente
encontrada?
P4. A Lei da Gravitação de Newton diz que a intensidade F da força exercida por um corpo de massa
m1 sobre um corpo de massa m2 é dada por F =
Gm1m2
r2
, em que G é a constante gravitacional e
r é a distância entre os corpos. Calcule dF/dr e interprete seu significado. O que o sinal de menos
indica?
P5. O número de células de levedura em uma cultura de laboratório é dado por
n(t) =
a
1 + be−0,7t
,
em que t é medido em horas e a e b são constantes. Sabe-se que no tempo t = 0 a população é 20
células e que está crescendo a uma taxa de 12 células/hora. Encontre a e b e diga o que acontece
com a população da levedura após muito tempo.
1
P6. Um caminhão descarrega areia a uma taxa de 3m3/min de tal forma que a areia descarregada tem
um formato de cone em que a altura é igual ao diâmetro da base. Determine a taxa de crescimento
da altura da pilha quando a altura é igual a 3m.
P7. Quando dois resistores de resistências R1 e R2 são conectados em paralelo, então a resistência equi-
valente R é calculada por
1
R
=
1
R1
+
1
R2
.
Se as taxas de variação de R1 e R2 são 0,3Ω/s e 0,2Ω/s respectivamente, qual é a taxa de variação
de R quando R1 = 80Ω e R2 = 100Ω?
P8. Uma escada de 8m está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada
do pé da parede a uma velocidade constante de 2m/s, com que velocidade a extremidade superior
estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3m da parede?
P9. Uma part́ıcula se desloca ao longo da parábola y = x2 no primeiro quadrante de modo que sua
coordenada x (medida em metros) aumente a uma velocidade constante de 10m/s. Qual é a taxa de
variação em relação ao tempo do ângulo de inclinação θ da reta que liga a part́ıcula à origem quando
x = 3m.
Exerćıcios Complementares
C1. Um homem anda ao longo de um caminho reto no plano, sobre o eixo y e no sentido y positivo, a
uma velocidade de 2m/s. Um holofote, que está localizado sobre o eixo x positivo a 20m da origem,
focaliza o homem. Seja θ o menor ângulo que o holofote faz com o eixo x. Qual é a taxa de variação
de θ com relação ao tempo quando o homem está a 20m da origem?
C2. Quando um prato circular de metal é aquecido em um forno, seu raio aumenta a uma taxa (isto é, a
derivada do raio com relação ao tempo) de 0,01 cm/min. Qual é a taxa de variação da área do prato
quando seu raio é 50 cm?
C3. Uma quantidade bastante conhecida na F́ısica é o momento, que é dado pelo produto da massa pela
velocidade: p = mv. A força agindo sobre o objeto é a taxa de variação do momento em relação
ao tempo: F = dp/dt. Assumindo a massa do objeto como constante, temos F = d(mv)/dt =
mdv/dt = ma, que é a Segunda Lei de Newton. No contexto de mecânica relativ́ıstica, a massa
do objeto não é constante e varia conforme sua velocidade: m = m0/
√
1− v2/c2, em que m0 é a
massa de part́ıcula em repouso e c é a velocidade da luz. Usando que F = dp/dt e que a massa varia
conforme a mecânica relativ́ıstica, mostre que
F =
m0a
(1− v2/c2)3/2
.
C4. No estudo de ecossistemas, o modelo predador-presa é muitas vezes usado para estudar a interação
entre espécies. Seja T (t) o número de tigres de uma região no instante de tempo t (medido em
anos) e seja A(t) o número de ant́ılopes na mesma região no instante t. A interação entre essas duas
espécies é modelada pelas equações
A′(t) = aA(t)− bA(t)T (t) e T ′(t) = −cT (t) + dA(t)T (t),
em que a, b, c e d são constantes.
(a) Como caracterizarmatematicamente a afirmação de que o número de indiv́ıduos das duas
espécies é constante ao longo do tempo?
2
(b) Como caracterizar matematicamente a extinção dos ant́ılopes?
(c) Considere a = 0,05, b = 0,001, c = 0,05 e d = 0,0001. Sabendo que as espécies estão convivendo
em equiĺıbrio (isto é, o número de indiv́ıduos é constante ao longo do tempo) e que não estão
extintas, determine o número de indiv́ıduos de cada espécie.
C5. É muito comum falarmos em taxa de crescimento usando porcentagens: por exemplo, a população
cresce 1% ao ano. Essa medida é uma medida relativa comparada ao seu valor prévio: a população do
ano seguinte é 1% maior que a população do ano atual. Apesar de não parecer, essa afirmação pode
ser traduzida matematicamente usando a noção de taxa de variação média: se P (t) é a população
no ano t, então essa afirmação pode ser escrita como
P (t+ 1)− P (t)
(t+ 1)− t
= 0,01P (t).
O denominador da fração do lado esquerdo é 1, mas colocamos na forma de (t+ 1)− t para ilustrar
o quociente que representa a taxa de variação média. E se a informação da taxa de crescimento
relativa não for “média”, mas sim “instantânea”? Neste caso, o lado esquerdo da igualdade é trocado
por P ′(t) e ficamos com
P ′(t) = 0,01P (t).
(a) Mostre que P (t) = P0e
0,01t, em que P0 é a população no instante de tempo 0, é solução da
equação acima.
(b) Mostre que P (t) = P0e
kt, em que P0 é a população no instante de tempo 0, é solução da equação
P ′(t) = kP (t).
(c) Justifique a afirmação: “Em uma população modelada pela função P (t) = 10000e0,005t, em que
t é medido em anos, a taxa de crescimento anual é 0,5%.”
(d) Determine a taxa de crescimento anual de uma população que cresce proporcionalmente ao seu
tamanho e que, em 10 anos, saltou de 2,56 bilhões para 3,04 bilhões de habitantes.
C6. Cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6 cm/s. A que taxa a área do quadrado
está aumentando quando a área do quadrado é 16 cm2?
C7. Um tanque ciĺındrico com raio 5m está sendo enchido com água a uma taxa de 3m3/min. Qual é a
taxa de crescimento da altura da água no tanque?
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Gabarito da Lista 3.2
Taxa de variação
Última atualização: 6 de julho de 2022.
Exerćıcios Principais
P1.
(a) C ′(x) representa a taxa com que o custo de produção varia quando a produção é de x metros.
A unidade de medida de C ′(x) é R$/m. Observação. Na economia, a derivada do custo C ′(x)
é chamada de custo marginal. Definições análogas se aplicam à receita marginal e ao lucro
marginal.
(b) Significa que, quando a produção está em 500m, a taxa de variação do custo é 10R$/m. Usando
aproximações por diferenciais, isso também significa dizer que o custo de produção do 501º metro
é, aproximadamente, R$ 10,00.
P2.
(a) v(t) = s′(t) = 3t2 − 12t+ 9.
(b) a(t) = v′(t) = s′′(t) = 6t− 12.
(c) t = 1 s e t = 3 s.
(d) A part́ıcula se move para frente quando 0 ≤ t < 1 s ou t > 3 s. A part́ıcula se move para trás
quando 1 s < t < 3 s.
(e) 20m.
(f) 28m.
(g) a(t) = 0 se t = 2 s, a(t) < 0 se 0 ≤ t < 2 s e a(t) > 0 se t > 2 s.
(h) Freia quando 0 ≤ t < 1 s ou 2 s < t < 3 s; acelera quando 1 s < t < 2 s ou t > 3 s.
P3. I(t) = Q′(t) = −k(a cos(ωt) + ω sen(ωt))e−at. A corrente, sendo a taxa de variação da carga pelo
tempo, é medida neste exemplo em C/s; esta unidade C/s recebe o nome de ampere (A).
P4. dF/dr = −2Gm1m2
r3
indica a taxa de variação da força de atração entre os corpos quando a distância
é r. O sinal de menos indica que quanto maior a distância, menor a força.
P5. a = 140 e b = 6. Como o lim
t→∞
n(t) = a = 140, então o número de células tende a estabilizar em 140
células.
P6. 4/(3π)m/min.
P7. dR/dt =
107
810
Ω/s ∼= 0,132Ω/s.
1
P8. − 6√
55
m/s.
P9.
dθ
dt
= 1 rad/s.
Exerćıcios Complementares
C1.
dθ
dt
=
1
20
rad/s.
C2.
dA
dt
= π cm2/min.
C3.
C4.
(a) A(t) e T (t) são constantes ao longo do tempo ou, equivalentemente, A′(t) = 0 e T ′(t) = 0 para
todo t.
(b) A(t) = 0 para algum valor de t (e, consequentemente, para todo t a partir deste, a menos que
haja imigração de outra região).
(c) 500 ant́ılopes e 50 tigres.
C5.
(a) P (0) = P0e
0 = P0 e P
′(t) = 0,01P0e
0,01t = 0,01P (t).
(b) P (0) = P0e
0 = P0 e P
′(t) = kP0e
kt = kP (t).
(c)
(d) k =
1
10
ln
(
3,04
2,56
)
∼= 0,017 = 1,7%.
C6. 48 cm2/s.
C7. 3/(25π)m/min.
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Lista 3.3 - Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio
Última atualização: 22 de junho de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Em cada um dos itens abaixo, verifique que a função f satisfaz as três condições do Teorema de
Rolle no intervalo indicado. Em seguida, encontre todos os números c que satisfazem a conclusão do
Teorema.
(a) f(x) = 2x2 − 4x+ 5, [−1, 3].
(b) f(x) = sen(x/2), [π/2, 3π/2].
P2. Seja f(x) = 1 − x2/3. Verifique que f é cont́ınua em [−1, 1], que f(−1) = f(1), mas que não existe
c ∈ (−1, 1) tal que f ′(c) = 0. Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?
P3. Seja f(x) = tg x. Verifique que f(0) = f(π) mas que não existe c ∈ (0, π) tal que f ′(c) = 0. Por que
isso não contradiz o Teorema de Rolle?
P4. Em cada um dos itens abaixo, verifique que a função f satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor
Médio no intervalo indicado. Em seguida, encontre todos os números c que satisfazem a conclusão
do Teorema.
(a) f(x) = x3 − 3x+ 2, [−2, 2].
(b) f(x) =
x
x+ 2
, [1, 4].
P5. Seja f(x) = (x− 3)−2. Mostre que não existe c ∈ (1, 4) tal que f(4)− f(1) = f ′(c)(4− 1). Por que
isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?
P6. Seja f(x) = 2 − |2x − 1|. Mostre que não existe c ∈ (0, 3) tal que f(3) − f(0) = f ′(c)(3 − 0). Por
que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?
P7. Às 14h o veloćımetro de um carro marca 50 km/h. Às 14h10min, marca 65 km/h. Prove que em
algum momento entre 14h e 14h10min a aceleração do carro era exatamente 90 km/h2.
P8. Dois corredores iniciam uma corrida da mesma posição e no mesmo instante e terminam empatados.
Prove que, em algum momento da corrida, os dois corredores tinham a mesma velocidade.
1
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Gabarito da Lista 3.3
Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio
Última atualização: 22 de junho de 2022.
Exerćıcios Principais
P1.
(a) c = 1.
(b) c = π.
P2. Porque f não é derivável em (−1, 1): a derivada não existem em x = 0.
P3. f não está definida em π/2.
P4.
(a) c = − 2√
3
ou c =
2√
3
.
(b) c = 3
√
2− 2.
P5. A função f não está definida em x = 3.
P6. A função f não é diferenciável em x = 1/2.
P7. Veja que a aceleração média do carro entre 14h e 14h10 é dada por
am =
velocidade final - velocidade inicial
tempo decorrido (em horas)
=
65 km/h− 50 km/h
1/6 h
= 90 km/h2.
Segue então do Teorema do Valor Médio que em algum instante entre 14h e 14h10, a aceleração do
carro a = dv
dt
foi igual à sua aceleração média de 90 km/h2.
P8.
1
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Lista 3.4 - Crescimento e decrescimento de funções
Última atualização: 22 de junho de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Considere a função f : R → R cujo gráfico está representado abaixo.
1
1
x
y
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f .
P2. Para cada uma das funções abaixo, determine os intervalos de crescimento e decrescimento.
(a) f(x) = x3 − 3x2 − 9x+ 4. (b) f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5.
(c) f(x) =
2x2
x2 − 1
. (d) f(x) = senx+ cosx, 0 ⩽ x ⩽ 2π.
(e) f(x) =xeax, a < 0.
P3. Determine b ∈ R sabendo que a função f(x) = (3x+ b)ex7+3 é decrescente em (−∞,−11] e crescente
em [−11,+∞).
Exerćıcios Complementares
C1. Para cada uma das funções abaixo, determine os intervalos de crescimento e decrescimento.
(a) f(x) = x2 − 6x+ 5. (b) f(x) = x+ 1
x
.
(c) f(x) =
x2
x2 + 3
. (d) f(x) = e−x
2
.
1
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Gabarito da Lista 3.4
Crescimento e decrescimento de funções
Última atualização: 22 de junho de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. f é crescente em (−∞,−2], em [0, 2] e em [4,∞) e é decrescente em [−2, 0] e em [2, 4].
P2.
(a) Crescente nos intervalos: (−∞,−1] e [3,∞); decrescente no intervalo: [−1, 3].
(b) Crescente nos intervalos: [−1, 0] e [2,∞); decrescente nos intervalos: (−∞,−1] e [0, 2].
(c) Crescente nos intervalos: (−∞,−1) e (−1, 0]; decrescente nos intervalos: [0, 1) e (1,∞).
(d) Crescente nos intervalos: [0, π/4] e [5π/4, 2π]; decrescente no intervalo: [π/4, 5π/4].
(e) Crescente no intervalo: (−∞,−1/a]; decrescente no intervalo: [−1/a,∞).
P3. b = 12.
Exerćıcios Complementares
C1.
(a) Crescente no intervalo: [3,∞); decrescente no intervalo: (−∞, 3].
(b) Crescente nos intervalos: (−∞,−1] e [1,+∞); decrescente nos intervalos: [−1, 0) e (0, 1].
(c) Crescente no intervalo: [0,∞); decrescente no intervalo: (−∞, 0].
(d) Crescente no intervalo: (−∞, 0]; decrescente no intervalo: [0,+∞).
1
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Lista 3.5 - Máximos e mı́nimos
Última atualização: 1 de agosto de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Em cada item abaixo, identifique todos os pontos de máximo/mı́nimo locais/absolutos e todos os
máximos/mı́nimos locais/absolutos da função h cujo gráfico é apresentado.
(a)
1
1 x
y
(b)
a b c d
e f g x
y
(c)
a b c d e f
x
y
(d)
a b c d e
x
y
P2. Faça o gráfico de cada uma das funções abaixo e, a partir do gráfico, determine (quando houver)
pontos de máximo/mı́nimo locais/absolutos e máximos/mı́nimos locais/absolutos.
1
(a) f(x) = ex. (b) f(x) = ex, x ⩾ 0. (c) f(x) = ex, x > 0.
(d) f(x) = ex, 0 ⩽ x ⩽ 2. (e) f(x) = 1/x. (f) f(x) = 1/x, x ⩾ 1.
(g) f(x) = sen x, 0 < x ⩽ π/2.
P3. Dê um exemplo de uma função com domı́nio [0, 1] que não possua nem máximo e nem mı́nimo
absolutos. Por que essa função não contraria o Teorema de Weierstrass?
P4. Para que o Teorema de Weierstrass possa ser aplicado, é necessário que a função seja diferenciável
no intervalo considerado?
2
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Gabarito da Lista 3.5
Máximos e mı́nimos
Última atualização: 1 de agosto de 2022.
Exerćıcios Principais
P1.
(a) Não há máximos nem mı́nimos absolutos. Os pontos de máximo locais são −2 e 2 e os pontos
de mı́nimo locais são 0 e 4. Os máximos locais são h(−2) e h(2) e os mı́nimos locais são h(0) e
h(4).
(b) Os pontos de máximo locais são a, c e g. Os pontos de mı́nimo locais são b e f . Os máximos
locais são h(a), h(c) e h(g). Os mı́nimos locais são h(b) e h(f). O ponto de máximo absoluto
é a e o máximo absoluto é h(a). O ponto de mı́nimo absoluto é f e o mı́nimo absoluto é
h(f). Observação. Em alguns livros, a e g, que são os extremos do domı́nio da função, não são
considerados pontos de máximo ou mı́nimo locais
(c) Os pontos de máximo locais são b e e Os pontos de mı́nimo locais são d e f . Os máximos locais
são h(b) e h(e). Os mı́nimos locais são h(d) e h(f). O ponto de máximo absoluto é e e o máximo
absoluto é h(e). A função não possui mı́nimo absoluto.
(d) O ponto de máximo local é c e o máximo local é h(c). Os pontos de mı́nimo locais são b e e e
os mı́nimos locais são h(b) e h(e). A função não possui máximo absoluto. O ponto de mı́nimo
absoluto é e e o mı́nimo absoluto é h(e).
P2.
(a) Não possui nenhum tipo de máximo ou mı́nimo.
(b) x = 0 é ponto de mı́nimo local e absoluto. f(0) = 1 é mı́nimo local e absoluto. Não possui
máximo.
(c) Não possui nenhum tipo de máximo ou mı́nimo.
(d) x = 0 é ponto de mı́nimo local e absoluto. f(0) = 1 é mı́nimo local e absoluto. x = 2 é ponto
de máximo local e absoluto. f(2) = e2 é máximo local e absoluto.
(e) Não possui nenhum tipo de máximo ou mı́nimo.
(f) x = 1 é ponto de máximo local e absoluto. f(1) = 1 é máximo local e absoluto. Não possui
mı́nimo.
(g) x = π/2 é ponto de máximo local e absoluto. f(π/2) = 1 é máximo local e absoluto. Não
possui mı́nimo.
P3. Por exemplo, a função f dada por f(x) = x para 0 < x < 1 e f(0) = f(1) = 1/2. Não contraria
o Teorema de Weierstrass porque o teorema garante a existência de máximos e mı́nimos absolutos
em intervalos fechados apenas para funções cont́ınuas, mas o exemplo fornecido não é uma função
cont́ınua.
1
P4. Não, basta que a função seja cont́ınua.
2
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Lista 3.6 - Critérios para determinar máximos e mı́nimos
Última atualização: 22 de junho de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Nos itens abaixo, para a função h cujo gráfico é mostrado, identifique todos os pontos cŕıticos, os
valores cŕıticos e os pontos do domı́nio nos quais a derivada não existe.
(a)
1
1 x
y
(b)
a b c d
e f g x
y
(c)
a b c d e f
x
y
(d)
a b c d e
x
y
P2. Em cada item, determine os pontos cŕıticos.
(a) f(x) = 3x− 5. (b) f(x) = 3x2 − 12x+ 5.
1
(c) f(x) = x3 − 3x+ 1. (d) f(x) = x4.
(e) f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 1. (f) f(x) = x+ 1
x
.
(g) f(x) =
x
x2 − x+ 1
. (h) f(x) = x− 3
√
x.
(i) f(x) = 2 cosx+ sen 2x. (j) f(x) = x− 2 arctg x.
(k) f(x) = xex/2. (l) f(x) = ln(x2 + x+ 1).
P3. Determine os pontos cŕıticos da função f(x) = xn(1− x)m, em que m,n > 0.
P4. Considere a função f(x) = (x2 + bx+ c)ex. Sabe-se que −1 é o único ponto cŕıtico de f . Determine
b e c.
P5. Considere a função f(x) = x2 + bx+ c. Sabe-se que −3 é ponto cŕıtico e que −16 é valor cŕıtico de
f . Determine b e c.
P6. Para cada item do exerćıcio P2., utilize o critério da derivada primeira para determinar se esses
pontos cŕıticos são pontos de máximo/mı́nimo locais ou nenhum dos dois.
P7. Repita o exerćıcio acima, agora testando os pontos cŕıticos pelo teste da derivada segunda.
P8. Em todos os itens abaixo, você já encontrou os pontos cŕıticos no exerćıcio P2. e já verificou se são
máximos ou mı́nimos locais nos exerćıcios P6. e P7.. Determine o máximo/mı́nimo absoluto e o(s)
ponto(s) de máximo/mı́nimo absoluto nos intervalos considerados.
(a) f(x) = 3x− 5, [−2, 3]. (b) f(x) = 3x2 − 12x+ 5, [0, 3].
(c) f(x) = x3 − 3x+ 1, [0, 3]. (d) f(x) = x4, [−2, 2].
(e) f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 1, [−2, 3]. (f) f(x) = x+ 1
x
, [1
5
, 4].
(g) f(x) =
x
x2 − x+ 1
, [0, 3]. (h) f(x) = x− 3
√
x, [−1, 4].
(i) f(x) = 2 cosx+ sen 2x, [0, π/2]. (j) f(x) = x− 2 arctg x, [0, 4].
(k) f(x) = xex/2, [−3, 1]. (l) f(x) = ln(x2 + x+ 1), [−1, 1].
P9. Encontre dois números maiores ou iguais a 0 cuja soma é 16 e cujo produto é o maior posśıvel.
P10. Um empresário deseja abrir uma pequena fábrica. Segundo um estudo feito por ele, se x funcionários
forem contratados, seu lucro L(x) anual em reais será de
L(x) = 90x2 − x3, 0 ⩽ x ⩽ 80.
O estudo considera a possibilidade de contratar até 80 funcionários. Quantos funcionários devem ser
contratados para que o lucro anual seja o maior posśıvel? E qual o valor desse lucro?
Exerćıcios Complementares
C1. Considere a função f(x) = (x− 11)5(x+ 11)6 + 8.
(a) Sejam p1, p2, . . ., pn todos os pontos cŕıticos de f . Determine a soma p1 + p2 + · · ·+ pn.
(b) Sejam q1, q2, . . ., qm todos os pontos de máximo/mı́nimo locais de f. Determine a soma
q1 + q2 + · · ·+ qm.
2
C2. Um fio de comprimento m é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um ćırculo e com o
outro um quadrado.
(a) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas figuras seja
mı́nima?
(b) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas figuras seja
máxima?
3
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Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Gabarito da Lista 3.6
Critérios para determinar máximos e mı́nimos
Última atualização: 22 de junho de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Neste exerćıcio e nos próximos, estamos usando que pontos cŕıticos são os pontos em que a derivada
é igual a 0. Uma outra definição usada em alguns livros é considerar pontos cŕıticos os pontos do
domı́nio da função em que a derivada é igual a 0 ou a derivada não existe.
(a) Os pontos cŕıticos são −2, 0, 2 e 4. Os números cŕıticos são h(−2), h(0), h(2) e h(4). Não há
pontos nos quais a derivada não existe.
(b) Os pontos cŕıticos são c e f . Os números cŕıticos são h(c) e h(f). A derivada não existe em
a, b e g. Observação. Nos pontos a e g, existem derivadas laterais à direita e à esquerda,
respectivamente. Dependendo do livro, às vezes considera-se que a função é derivável nesses
pontos pois eles são os extremos do seu domı́nio e h é derivável pelo lado em que é posśıvel
calcular a derivada.
(c) O ponto cŕıtico é d. O número cŕıtico é h(d). A derivada não existe em b, c, e e f .
(d) O ponto cŕıtico é c. O número cŕıtico é h(c). A derivada não existe em b e e.
P2.
(a) Não há. (b) 2.
(c) −1 e 1. (d) 0.
(e) −1, 0 e 2. (f) −1 e 1.
(g) −1 e 1. (h) − 1
3
√
3
e
1
3
√
3
.
(i)
π
6
+2kπ,
5π
6
+2kπ e
3π
2
+2kπ, em que k ∈ Z.(j) −1 e 1.
(k) −2. (l) −1
2
.
P3. 0 é ponto cŕıtico se n > 1. 1 é ponto cŕıtico se m > 1.
n
n+m
sempre é ponto cŕıtico.
P4. b = 0 e c = 1.
P5. b = 6 e c = −7.
P6.
(a)
1
(b) 2 é ponto de mı́nimo local.
(c) 1 é ponto de mı́nimo local e −1 é ponto de máximo local.
(d) 0 é ponto de mı́nimo local.
(e) −1 e 2 são pontos de mı́nimo locais e 0 é ponto de máximo local.
(f ) 1 é ponto de mı́nimo local e −1 é ponto de máximo local.
(g) −1 é ponto de mı́nimo local e 1 é ponto de máximo local.
(h)
1
3
√
3
é ponto de mı́nimo local e − 1
3
√
3
é ponto de máximo local.
(i) Para todo k ∈ Z, 5π
6
+ 2kπ é ponto de mı́nimo local e
π
6
+ 2kπ é ponto de máximo local. Para
todo k ∈ Z, 3π
2
+ 2kπ não é nem ponto de máximo nem ponto de mı́nimo.
(j) 1 é ponto de mı́nimo local e −1 é ponto de máximo local.
(k) −2 é ponto de mı́nimo local.
(l) −1
2
é ponto de mı́nimo local.
P7. As respostas estão no item anterior. Mas cabe ressaltar aqui que este método seria inconclusivo no
item (d) e também nos pontos da forma
3π
2
+ 2kπ no item (i).
P8.
(a) Ponto de mı́nimo absoluto −2 e mı́nimo absoluto f(−2) = −11. Ponto de máximo absoluto 3
e máximo absoluto f(3) = 4.
(b) Ponto de mı́nimo absoluto 2 e mı́nimo absoluto f(2) = −7. Ponto de máximo absoluto 0 e
máximo absoluto f(0) = 5.
(c) Ponto de mı́nimo absoluto 1 e mı́nimo absoluto f(1) = −1. Ponto de máximo absoluto 3 e
máximo absoluto f(3) = 19.
(d) Ponto de mı́nimo absoluto 0 e mı́nimo absoluto f(0) = 0. Pontos de máximo absolutos −2 e 2
e máximo absoluto f(−2) = f(2) = 16.
(e) Ponto de mı́nimo absoluto 2 e mı́nimo absoluto f(2) = −31. Ponto de máximo absoluto −2 e
máximo absoluto f(−2) = 33.
(f ) Ponto de mı́nimo absoluto 1 e mı́nimo absoluto f(1) = 2. Ponto de máximo absoluto 1
5
e
máximo absoluto f(1
5
) =
26
5
.
(g) Ponto de mı́nimo absoluto 0 e mı́nimo absoluto f(0) = 0. Ponto de máximo absoluto 1 e
máximo absoluto f(1) = 1.
(h) Ponto de mı́nimo absoluto
1
3
√
3
e mı́nimo absoluto f( 1
3
√
3
) = − 2
3
√
3
. Ponto de máximo absoluto
4 e máximo absoluto f(4) = 4− 3
√
4.
(i) Ponto de mı́nimo absoluto π/2 e mı́nimo absoluto f(π/2) = 0. Ponto de máximo absoluto π/6
e máximo absoluto f(π/6) =
3
√
3
2
.
(j) Ponto de mı́nimo absoluto 1 e mı́nimo absoluto f(1) = 1 − π
2
. Ponto de máximo absoluto 4 e
máximo absoluto f(4) = 4− 2 arctg(4).
(k) Ponto de mı́nimo absoluto −2 e mı́nimo absoluto f(−2) = −2
e
. Ponto de máximo absoluto 1 e
máximo absoluto f(1) = e1/2.
2
(l) Ponto de mı́nimo absoluto −1
2
e mı́nimo absoluto f(−1
2
) = ln(3/4). Ponto de máximo absoluto
1 e máximo absoluto f(1) = ln 3.
P9. Ambos iguais a 8.
P10. 60 funcionários e o lucro anual será de R$ 108.000,00.
Exerćıcios Complementares
C1.
(a) p1 + p2 + · · ·+ pn = 1
(b) q1 + q2 + · · ·+ qm = −10
C2.
(a) Para que a área seja mı́nima o pedaço usado para a circunferência deve medir
mπ
4 + π
e o pedaço
usado para o quadrado m− mπ
4 + π
.
(b) Para que a área seja máxima o fio deve ser usado inteiramente para a circunferência. Vejamos,
abaixo, a resolução completa desse exerćıcio.
Dividimos o fio em duas partes, uma de tamanho x que será usada pra a circunferência (que
terá um raio r =
x
2π
), e outra de tamanho m − x, que será usada para o quadrado (que terá
lado ℓ =
m− x
4
).
Assim a soma das áreas á dada por
A = πr2 + ℓ2 =
x2
4π
+
(m− x)2
16
,
a assim A = A(x) á uma função de x, para 0 ⩽ x ⩽ m. Aplicaremos o Método do Intervalo
Fechado para a função A(x).
Passo 1. Encontrar os pontos cŕıticos de A(x) em (0,m).
Temos
A′(x) =
x
2π
− m− x
8
,
e assim A′(x) = 0 quando x = mπ
4+π
. Como π < 4+ π, segue que
π
4 + π
< 1 e assim 0 <
mπ
4 + π
<
m. Em outras palavras, o ponto cŕıtico encontrado está no intervalo considerado.
Passo 2. Temos A(0) =
m2
16
, A(m) =
m2
4π
e
A
( mπ
4 + π
)
=
m2
4(4 + π)
.
Como 4π < 16 < 4(4 + π), segue que
1
4(4 + 4π)
<
1
16
<
1
4π
e portanto
m2
4(4 + 4π)
<
m2
16
<
m2
4π
,
ou seja
A
( mπ
4 + π
)
< A(0) < A(m).
Assim a função A(x) tem máximo global em x = m e mı́nimo global em x =
mπ
4 + π
. Isto é,
• a soma máxima das áreas é pegar todo o fio para a circunferência (x = m),
• a soma mı́nima das áreas é cortar o fio no ponto x = mπ
4 + π
para fazer a circunferência e usar
o restante, m− x = 4m
4 + π
, para fazer o quadrado.
3
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Departamento de Matemática
Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 3.7 - Concavidade e pontos de inflexão
Última atualização: 22 de junho de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Nos itens abaixo, dado o gráfico da função h, determine as concavidades e os pontos de inflexão.
Caso algum ponto necessário não esteja explicitamente marcado na figura, dê um nome a esse ponto
e escreva sua resposta utilizando-o.
(a)
1
1 x
y
(b)
a b c d
e f g x
y
(c)
a b c d e f
x
y
(d)
a b c d e
x
y
P2. Determinar as concavidades e os pontos de inflexão das funções abaixo.
(a) f(x) = 3x− 5. (b) f(x) = 3x2 − 12x+ 5.
1
(c) f(x) = x3 − 3x+ 1. (d) f(x) = x4.
(e) f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 1. (f) f(x) = x+ 1
x
.
(g) f(x) =
x
x2 − x+ 1
. (h) f(x) = x− 3
√
x.
(i) f(x) = 2 cosx+ sen 2x. (j) f(x) = x− 2 arctg x.
(k) f(x) = xex/2. (l) f(x) = ln(x2 + x+ 1).
P3. Um economista anunciou que os juros estão crescendo, mas a uma taxa decrescente. Interprete essa
afirmação em termos de derivadas.
2
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Gabarito da Lista 3.7
Concavidade e pontos de inflexão
Última atualização: 22 de junho de 2022.
Exerćıcios Principais
P1.
(a) Os pontos de inflexão estão próximos de −1, 1 e 3, vamos chamá-los de a, b e c, respectivamente.
h é convexa em [a, b] e [c,∞). h é côncava em (−∞, a] e [b, c].
(b) O único ponto de inflexão é e. h é convexa em [e, g]. h é côncava em [a, b] e [b, e]. Observe que
mesmo sendo côncava em [a, b] e [b, e], h não é côncava em [a, e].
(c) Não há pontosde inflexão (em definições que não exigem nem continuidade para poder classificar
pontos de inflexão, teŕıamos um ponto de inflexão em c, pois é côncava à esquerda e convexa à
direita de c). h é convexa em [c, e] e [e, f ]. h é côncava em (a, b] e (b, c).
(d) Não há pontos de inflexão (em definições que não exigem nem continuidade para poder classificar
pontos de inflexão, teŕıamos um ponto de inflexão em b, pois é convexa à esquerda e côncava à
direita de b.). h é convexa em (a, b). h é côncava em [b, d]. Em [d, e], o gráfico de h é uma linha
reta; nesses casos é comum dizer que h não possui concavidade neste intervalo.
P2.
(a) Sem concavidades definidas e sem pontos de inflexão.
(b) Convexa em R e sem pontos de inflexão.
(c) Convexa em [0,∞), côncava em (−∞, 0] e ponto de inflexão em 0.
(d) Convexa em R e sem pontos de inflexão.
(e) Convexa em (−∞, 1−
√
7
3
] e [1+
√
7
3
,∞), côncava em [1−
√
7
3
, 1+
√
7
3
] e pontos de inflexão em
1−
√
7
3
e
1 +
√
7
3
.
(f ) Convexa em (0,∞), côncava em (−∞, 0) e sem pontos de inflexão.
(g) Ao calcular a derivada segunda de f e após simplificar as contas, obtemos f ′′(x) =
2(x3 − 3x+ 1)
(x2 − x+ 1)3
.
Fazer a análise de sinal dessa função não é uma tarefa simples. Com o aux́ılio de um software,
descobrimos que f ′′(x) = 0 em x1 ∼= −1,8794, x2 ∼= 0,3473 e x3 ∼= 1,5321, que f ′′(x) > 0 em
(x1, x2) e (x3,∞) e que f ′′(x) < 0 em (−∞, x1) e (x2, x3). De posse desses resultados, con-
clúımos que f é convexa em [x1, x2] e [x3,∞), côncava em (−∞, x1] e [x2, x3] e com pontos de
inflexão em x1, x2 e x3.
(h) Convexa em [0,∞), côncava em (−∞, 0] e sem pontos de inflexão.
1
(i) Este exerćıcio também não é tão fácil de resolver na mão. Você precisa saber resolver equa-
ções e inequações trigonométricas. Caso você tenha dificuldade com esse conteúdo, procure as
videoaulas de Pré-cálculo em nosso material complementar. f é convexa em todos os interva-
los da forma [π/2 + 2kπ, π + arcsen(1/4) + 2kπ] e [3π/2 + 2kπ, 2π − arcsen(1/4) + 2kπ] em
que k ∈ Z. f é côncava em todos os intervalos da forma [− arcsen(1/4) + 2kπ, π/2 + 2kπ] e
[π + arcsen(1/4) + 2kπ, 3π/2 + 2kπ] em que k ∈ Z. Os pontos de inflexão são todos os pontos
da forma π/2 + kπ, π + arcsen(1/4) + 2kπ e − arcsen(1/4) + 2kπ, em que k ∈ Z. Observe os
gráfico de f , f ′ e f ′′ abaixo.
-7-7
-6-6
-5-5
-4-4
-3-3
-2-2
-1-1
11
22
33
44
55
66
77
88
00
(j) Convexa em [0,∞), côncava em (−∞, 0] e ponto de inflexão em 0.
(k) Convexa em [−4,∞), côncava em (−∞,−4] e ponto de inflexão em −4.
(l) Convexa em [−
√
3+1
2
,
√
3−1
2
], côncava em (−∞,−
√
3+1
2
] e [
√
3−1
2
,∞) e pontos de inflexão em
−
√
3 + 1
2
e
√
3− 1
2
.
P3. Seja I(t) a função que mede os juros em função do tempo. Dizer que I está crescendo é o mesmo
que dizer que I ′(t) > 0. Dizer que a taxa (de crescimento) é decrescente é o mesmo que dizer que
I ′(t) é decrescente, que por sua vez quer dizer que I ′′(t) < 0.
2
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 3.8 - Esboço de gráficos
Última atualização: 23 de junho de 2022.
Exerćıcios Principais
Importante! Esta lista não possui gabarito. Você pode conferir suas respostas usando algum software
gráfico. Uma sugestão é a ferramenta gráfico do Geogebra, dispońıvel em https://www.geogebra.
org/graphing?lang=pt. Quando estiver fazendo algum gráfico usando funções trigonométricas, você
pode ir nas configurações e, nas abas dos eixos, opção “distância”, você pode trocar a escala para
múltiplos de π. Pode-se usar também a ferramenta Desmos, dispońıvel em https://www.desmos.
com.
P1. Utilize o roteiro passado em aula para esboçar o gráfico das funções abaixo.
(a) f(x) = x3 + 6x2 + 9x.
(b) f(x) =
x
x2 − 4
.
(c) f(x) = 2
√
x− x.
(d) f(x) =
√
x2 + x− 2.
(e) f(x) = sen3 x.
(f ) f(x) = senx+
√
3 cosx, −2π ≤ x ≤ 2π.
(g) f(x) = (1 − x)ex. Observação. Você pode usar aqui que lim
x→−∞
p(x)ex = 0 para qualquer
polinômio p(x). Veremos este resultado no tópico 3.10.
(h) f(x) = ln(1 + x2).
Exerćıcios Complementares
C1. Utilize o roteiro passado em aula para esboçar o gráfico das funções abaixo.
(a) f(x) = 2− 15x+ 9x2 − x3.
(b) f(x) =
x2 − 4
x2 − 2x
. Observação. Os métodos computacionais não costumam acertar o gráfico
dessa função pois desenham como se 2 pertencesse ao domı́nio.
(c) f(x) = (x− 4) 3
√
x. Observação. Dependendo da configuração, alguns softwares computacionais
não desenham gráficos com ráızes de ı́ndice ı́mpar de forma correta. O que acontece é que
em alguns usam o mesmo padrão para ráızes de ı́ndice par: não permitir ráızes de números
negativos.
(d) f(x) =
√
x2 + x− x.
1
https://www.geogebra.org/graphing?lang=pt
https://www.geogebra.org/graphing?lang=pt
https://www.desmos.com
https://www.desmos.com
(e) f(x) = x+ cosx.
(f ) f(x) = x tg x, −π/2 < x < π/2.
(g) f(x) = e−x − e−2x.
(h) f(x) =
lnx
x2
.
2
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Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 3.9 - Problemas de maximização e minimização
Última atualização: 22 de junho de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Um fabricante de um determinado produto sabe que se x produtos forem produzidos, cada um poderá
ser vendido por 1000 − x reais. Sabe-se que o custo de produção de x produtos é de C(x) = 200x.
Quantos produtos o fabricante deve produzir para obter um lucro máximo, e qual será o valor desse
lucro?
P2. Encontre o ponto P da curva y =
3
x
, x > 0, que está mais próximo da origem.
P3. Um fabricante de latas ciĺındricas de conservas recebe um pedido muito grande de latas com deter-
minado volume V0. Quais as dimensões que minimizarão a área total da superf́ıcie de uma lata como
esta e, portanto de metal necessário para fabricá-la?
P4. Duas part́ıculas P e Q movem-se, respectivamente, sobre os eixos x e y. A função de posição P é
x =
√
t e a de Q, y = t2 − 3/4, t ⩾ 0. Determine o instante em que a distância entre P e Q é a
menor posśıvel.
P5. Encontre dois números positivos cuja soma é 16 e cujo produto é o máximo posśıvel.
P6. Ao preço de R$ 1,50, um vendedor pode vender 500 unidades de uma certa mercadoria que custa
R$ 0,70 cada. Para cada centavo que o vendedor abaixa no preço, a quantidade vendida aumenta em
25 unidades. Que preço de venda maximizará o lucro?
P7. Um homem lança seu bote em um ponto A na margem de um rio reto, com uma largura de 3 km, e
deseja atingir tão rápido quanto posśıvel um ponto B na outra margem, 8 km rio abaixo. Ele pode
dirigir seu barco para o outro lado de forma perpendicular ao sentido do rio, chegando até um ponto
C e então seguir andando até B, ou remar diretamente para B, ou remar até algum ponto D entre
C e B e então andar até B. Se ele pode remar a 6 km/h e andar a 8 km/h, onde ele deveria aportar
para atingir B o mais rápido posśıvel? (Estamos supondo que a velocidade da água é despreźıvel
comparada com a velocidade na qual o homem rema.)
P8. Dois produtos A e B são manufaturados em uma determinada fábrica. O custo total de produção é
C = x2 +14y, em que x é o número de máquinas usadas para produzir A e y o número de máquinas
para produzir B. Com 5 máquinas em funcionamento, determine quantas destas máquinas devem
produzir A e quantas B, para que o custo total seja mı́nimo.
P9. Determine o número real positivo cuja soma com o inverso do seu quadrado seja mı́nima.
P10. Um jardim retangular de 50m2 de área deve ser protegido contra animais. Se um lado do jardim
já está protegido por uma parede de celeiro, quais devem ser as dimensões do jardim para que o
comprimento de cerca usado seja mı́nimo?
1
P11. Um sólido será constrúıdo acoplando-se a um cilindro circular reto, de altura h e raio r, uma se-
miesferade raio r, conforme figura abaixo. Deseja-se que a área da superf́ıcie do sólido seja 5π.
Determine r e h para que o volume do sólido seja máximo.
r
h
P12. Uma caixa com base quadrada e sem tampa tem um volume de 32.000 cm3. Encontre as dimensões
da caixa que minimizam a quantidade de material usado.
2
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Gabarito da Lista 3.9
Problemas de maximização e minimização
Última atualização: 22 de junho de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Para que o lucro seja máximo o fabricante deverá produzir 400 unidades e o valor do lucro será
R$ 160.000,00.
P2. (
√
3, 3√
3
).
P3. r = 3
√
V0
2π
e h =
V0
(πr2)
.
P4. t = 0.
P5. Ambos iguais a 8.
P6. R$1,20.
P7. O homem deve aportar o bote no ponto
9√
7
km (aproximadamente 3,4 km) rio abaixo a partir do
ińıcio.
P8. x = 5 e y = 0.
P9. x = 3
√
2.
P10. 10m para a medida que usa o celeiro como um dos lados e 5m para a outra medida.
P11. r = 1 e h = 1.
P12. Base com lado igual a 40 cm e altura 20 cm.
1
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Lista 3.10 - Regras de L’Hospital
Última atualização: 22 de junho de 2022.
Exerćıcios Principais
P1. Calcule os limites abaixo.
(a) lim
x→−1
x2 − 1
x+ 1
. (b) lim
x→∞
lnx
x
.
(c) lim
x→0+
x e
1
x . (d) lim
x→∞
e−3x lnx.
(e) lim
x→0+
(1− cos x) lnx. (f) lim
x→0+
(cos 3x)
1
sen x .
(g) lim
x→∞
(
x
x2 + 1
)x
. (h) lim
x→1
x100 − x2 + x− 1
x10 − 1
.
(i) lim
x→∞
√
x2 + 2√
2x2 + 1
. (j) lim
x→0
x− tg x
x3
.
(k) lim
x→∞
(√
x2 + x− x
)
. (l) lim
x→5
(
4x
x− 5
− 4
ln(x/5)
)
P2. Sejam m,n > 0. Calcule lim
x→∞
(xn + 1)
1
ln(xm+1) .
P3. Seja f uma função polinomial. Mostre que lim
x→∞
f(x)e−x = 0.
P4. Sabendo que lim
x→0+
(erx + 3x)−10/x = e−120, determine r.
P5. Encontre n > 0 sabendo que lim
x→1
xn − x4
x9 − x3
= 5.
1
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Gabarito da Lista 3.10
Regras de L’Hospital
Última atualização: 22 de junho de 2022.
Exerćıcios Principais
P1.
(a) −2 (b) 0 (c) ∞ (d) 0
(e) 0 (f) 1 (g) 0 (h) 99/10
(i)
1√
2
(j) −1
3
(k)
1
2
(l) 2
P2. e
n
m .
P3. Se f é a função nula ou uma outra função constante, não há nenhuma indeterminação no cálculo do
limite e é imediato verificar que o resultado é 0. Se f não é constante, seja n o grau de f . Como
todas as derivadas de f até a ordem n − 1 são polinômios não constantes, então é posśıvel aplicar
repetidas vezes a regra de L’Hôpital para obter
lim
x→∞
f(x)e−x = lim
x→∞
f(x)
ex
= lim
x→∞
f ′(x)
ex
= lim
x→∞
f ′′(x)
ex
= · · · = lim
x→∞
f (n−1)(x)
ex
= lim
x→∞
f (n)(x)
ex
= 0.
O último limite é igual a 0 pois f (n)(x) é constante.
P4. r = 9.
P5. n = 34.
1
Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
Cálculo 1 (MTM3101 e MTM3110)
Lista 3.11 - Tópico especial: modelagem uma epidemia
Última atualização: 22 de junho de 2022.
Exerćıcios Principais
Instruções. O conteúdo desta lista de exerćıcio não será cobrado nas avaliações. Mesmo assim,
encare essa lista como um exemplo completo de uma aplicação prática: definições, hipóteses,
formulação do problema, dedução das equações, resolução do problema, interpretação das soluções
e formas de atuação para obter resultados desejados. Além disso, nenhum assunto é mais atual
do que uma epidemia.
P1. Definições iniciais e hipóteses. Uma patologia dissemina-se em uma população de tamanho N , o
qual é suposto constante durante o peŕıodo analisado. Vamos supor que a patologia não é capaz de
infectar um indiv́ıduo mais de uma vez, isto é, indiv́ıduos que se recuperam não voltam a contrair a
patologia. Em cada instante de tempo t, a população N é dividida em 3 grupos: S(t), I(t) e R(t).
S(t) representa o grupo de suscet́ıveis, isto é, o número de indiv́ıduos no instante t que estão aptos a
contrair a patologia. I(t) representa o grupo de infectados, isto é, o número de indiv́ıduos no instante
t que estão infectados com a patologia. R(t) representa o grupo de removidos, isto é, o número
de indiv́ıduos no instante t que não estão suscet́ıveis a uma infecção. Estão neste último grupo:
indiv́ıduos já recuperados de uma infecção, mortos pela infecção (não vamos entrar nos detalhes de
taxa de mortalidade aqui, quando esse dado é levado em consideração, cria-se um quarto grupo de
mortos) e indiv́ıduos que possuem alguma imunidade prévia (por exemplo, indiv́ıduos vacinados).
Outras hipóteses usadas são: (1) novas infecções são geradas somente por (algum tipo) de contato
com indiv́ıduos infectados, (2) um indiv́ıduo infectado sempre evolui para recuperado ou morto (isto
é, ninguém permanece para sempre no grupo de infectados) e (3) apesar de o número de indiv́ıduos
ser uma quantidade inteira, vamos considerar que os resultados das funções S, R e T podem ser
números não inteiros para podermos trabalhar com derivadas e limites.
(a) Como traduzir matematicamente que a população é constante durante o peŕıodo analisado?
(b) Como você definiria as condições iniciais do problema (isto é, S(0), I(0) e R(0)) em uma situação
de uma nova patologia em que ninguém possui imunidade (dizemos que a população é virgem
para a patologia considerada)? A menos que se diga o contrário, assumiremos daqui para frente
que as condições iniciais são de uma população virgem.
(c) Que quantidade mede, no instante t, o número de indiv́ıduos já infectados pela patologia?
(d) Justifique por que os limites lim
t→∞
S(t), lim
t→∞
I(t) e lim
t→∞
R(t) existem. Calcule lim
t→∞
I(t). Daqui
para frente, usaremos as notações S∞ = lim
t→∞
S(t) e R∞ = lim
t→∞
R(t).
(e) Que quantidade caracteriza o número indiv́ıduos que irá se infectar até que a patologia se
extinga?
(f ) Qual é o significado de S ′(t), I ′(t) e R′(t)? O que se pode afirmar sobre o sinal dessas derivadas?
Mostre que S ′(t) + I ′(t) +R′(t) = 0.
1
P2. Modelagem. Neste exerćıcio, deduziremos as equações que descrevem as funções S, I e R. Fixe
uma unidade de tempo padrão (por exemplo dias). A partir daqui, todas as medidas que envolvem
tempo estarão nesta unidade padrão. Para facilitar a escrita, usaremos explicitamente a unidade
“dias”.
(a) O aumento de indiv́ıduos no grupo R se dá por indiv́ıduos que deixaram o grupo I (ao se
recuperarem ou morrerem). É natural supor que esse aumento é proporcional à quantidade de
infectados (quanto mais infectados, mais novos indiv́ıduos recuperados/mortos). Suponha que
essa proporção seja constante igual a α. Que equação envolvendo R e I descreve essa situação?
Quais são as unidades de α?
(b) Após estudar a patologia, infectologistas mediram T dias como o tempo entre o ińıcio da infecção
até a recuperação completa (aqui, T é um tempo médio, observando vários casos). Qual é a
relação entre T e α?
(c) A partir deste item, vamos encontrar as equações que regem a evolução dos casos de infecção.
Seja k o número médio de contatos por dia que um indiv́ıduo tem com outros indiv́ıduos.
A definição do que é um contato depende da patologia observada: em doenças sexualmente
transmisśıveis, um contato é uma relação sexual; em doenças transmisśıveis pelo ar, um contato
é estar perto de outro indiv́ıduo de acordo com uma distância limite medida por estudos sobre
a doença. Fixe um intervalo de tempo pequeno ∆t (sempre medido em dias). Quantos contatos
um indiv́ıduo tem no intervalo de tempo ∆t?
(d) Fixe um instante de tempo t e considere o intervalo de tempo de t até t + ∆t. Dos contatos
obtidos no item acima, quantos deles são contatos com indiv́ıduos suscet́ıveis?(e) Os valores obtidos nos dois itens acima são válidos para um indiv́ıduo qualquer, em particu-
lar para um indiv́ıduo infectado. Qual é o número de contatos entre indiv́ıduos infectados e
suscet́ıveis no intervalo de tempo de t até t+∆t?
(f ) Nem todo contato entre infectado e suscet́ıvel gera uma infecção. Denote por p a probabilidade
de um contato entre um infectado e um suscet́ıvel gerar uma infecção no indiv́ıduo suscet́ıvel.
Dos contatos obtidos no item anterior, quantos (em média) gerarão uma infecção?
(g) O valor obtido no item anterior é a quantidade de indiv́ıduos que se infectou entre os instantes
t e t + ∆t. Todos estes indiv́ıduos devem sair do grupo S e migrar para o grupo I. Expresse
S(t+∆t)− S(t) em termos da quantidade obtida no item anterior.
(h) Reescreva a resposta do item anterior e tome limite com ∆t tendendo a 0 para concluir que
S ′(t) = −βS(t)I(t), em que β = pk
N
.
(i) Junte as respostas dos itens (a) e (h) e monte um sistema de equações para S ′, I ′ e R′.
Um resumo até agora. As quantidades S, I e R estão relacionadas pelas condições e equações:
(i) S(t) + I(t) +R(t) = N , para todo t;
(ii) S(0) = N − 1, I(0) = 1 e R(0) = 0;
(iii) S ′(t) = −βS(t)I(t);
(iv) I ′(t) = βS(t)I(t)− αI(t);
(v) R′(t) = αI(t);
em que N é a população total, α =
1
T
, β =
pk
N
, T é o tempo médio de duração da infecção, k é o
número médio de contatos por dia de um indiv́ıduo e p é a probabilidade de um contato entre um
infectado e um suscet́ıvel gerar uma nova infecção. Este modelo é chamado de modelo SIR e foi
proposto pela primeira vez por Kermack e McKendrick em 1927.
2
P3. Soluções para as equações. Resolver equações diferenciais nem sempre é uma tarefa fácil. Você verá
algumas dessas técnicas na disciplina de Cálculo 2. O que faremos aqui é fornecer a solução e apenas
verificar que elas satisfazem as equações.
(a) Verifique que a equação I(t) =
α
β
lnS(t) − S(t) + C, em que C é uma constante, define impli-
citamente uma solução para as equações envolvendo I e S.
(b) Utilize as condições iniciais e também o limite com t tendendo ao infinito para concluir que
C = N − α
β
ln(N − 1) = S∞ −
α
β
lnS∞.
P4. Interpretações práticas das quantidades. No instante t, o número médio de novos infectados gerados
por um único infectado durante seu peŕıodo de infecção é denominado número de reprodução efetivo e
é denotado por R(t). Quando este número é calculado em t = 0, é chamado de número de reprodução
básico e pode ser denotado por R(0) ou R0 (não confunda este R com R de removidos). Observe que
R0 é o número médio de novos infectados gerados por um único infectado no ińıcio da disseminação
da patologia.
(a) Mostre que R(t) = pkTS(t)
N
=
βS(t)
α
e que R0 ∼= pkT =
βN
α
.
(b) Mostre que R(t) é uma função decrescente.
(c) Uma patologia é denominada epidêmica se o número de infectados é crescente no ińıcio da
disseminação. Mostre que a disseminação é uma epidemia exatamente quando R0 > 1.
(d) Suponha que R0 > 1. Neste caso, já sabemos que a função I(t) é inicialmente crescente. Mas
também sabemos que lim
t→∞
I(t) = 0. Com isso, obrigatoriamente I(t) possui máximo absoluto.
Seja t∗ o instante de tempo em que o máximo absoluto é atingido. Mostre que R(t∗) = 1.
(e) Utilize os itens (a) e (b) do exerćıcio 3 para concluir que o valor máximo da função I é
I(t∗) ∼= N
(
1− 1
R0
− lnR0
R0
)
.
(f ) Outra quantidade fundamental para se medir é o número total de infectados ao longo da epide-
mia. Já vimos que esse número é igual a R∞ = lim
t→∞
R(t). Utilize as duas caracterizações para
C dadas no item (b) do exerćıcio 3 para concluir que R∞ satisfaz
R∞
N
+
ln
(
N−R∞
N
)
R0
= 0.
Não provaremos aqui, mas R∞ é a única solução não nula y da equação
y
N
+
ln
(
N−y
N
)
R0
= 0.
P5. Um pouco de gráficos. Acesse o link https://www.geogebra.org/graphing/h9eak6f9 e verifique
os gráficos de S, I e R. Você pode selecionar lá os valores de R0, T , N e o número de dias para
analisar a solução. Ao mudar esses valores, espere um pouco até a página atualizar os gráficos. No
eixo y você tem o número de indiv́ıduos e no eixo x o número de dias a partir da data inicial. Para a
Covid-19, T é próximo de 14 dias e R0, dependendo da região, foi medido entre 2 e 6. Varie o valor
de R0 e veja como este afeta o pico de infectados e também a quantidade total de infectados após a
estabilização dos valores.
3
https://www.geogebra.org/graphing/h9eak6f9
P6. Métodos de controle. Se estamos interessados em controlar a epidemia, basicamente queremos
diminuir R(t) (quanto menor R(t), menos infectados novos são gerados). Um caso particular de
controle de R(t) é tomar atitudes antes do (ou no) ińıcio da epidemia, diminuindo assim R(0) = R0.
Lembremos que R(t) = pkTS(t)
N
= pkT
S(t)
N
. Como R(t) é um produto de fatores, nossos métodos
serão concentrados em: diminuir p, diminuir k, diminuir T e diminuir
S(t)
N
.
(a) Métodos de prevenção. Uma das formas de diminuir o valor de R(t) é diminuir a probabilidade
p. Lembremos que p é a probabilidade de um contato entre um infectado e um suscet́ıvel gerar
uma infecção. Uma das formas de diminuir esse número é o uso de métodos de prevenção de
infecção no caso de um contato. Por exemplo, em DST’s, o uso de preservativo. No caso da
Covid-19, a higiene constante, o uso de máscara e ambientes bem ventilados são os métodos de
prevenção mais adequados. Não há nada a resolver aqui, apenas observar que a medida tem
que ser permanente se não quisermos fazer com o valor de R(t) volte a aumentar.
(b) Redução dos contatos (parte 1). Deste item em diante, trataremos de medidas voltadas di-
retamente para a Covid-19. Outra forma de diminuir R(t) é diminuir k. Lembremos que k é
o número médio de contatos diários de um indiv́ıduo. Uma das formas de diminuir k é redu-
zir artificialmente a circulação de pessoas fechando setores da economia e impondo restrições
de movimentação. Mais uma vez não há o que fazer aqui, apenas observar que, ao desfazer
medidas, R(t) volta a aumentar.
(c) Redução dos contatos (parte 2). Outra forma de diminuir k é mantendo o distanciamento f́ısico
entre indiv́ıduos. Apesar de não haver uma distância exata para ser chamada de segura, evitar
proximidades diminui o número de contatos e, portanto, diminui R(t). Mais uma vez não há o
que fazer aqui, apenas observar que, para o efeito sobre R(t) se manter, as medidas devem ser
permanentes.
(d) Redução dos contatos (parte 3). Os únicos contatos que realmente podem gerar infecções são
contatos entre infectados e suscet́ıveis. Assim, se conseguirmos identificar os infectados e isolá-
los em quarentena, reduzimos k e também R(t). O processo de identificação de infecções é
feito através de testagem em massa junto a uma complexa organização envolvendo autoridades
sanitárias. Como nas outras medidas, o efeito sobre R(t) se perde assim que o procedimento
não é mais aplicado.
(e) Métodos de tratamento. Outro fator que altera R(t) é o tempo médio de infecção T . Este
tempo é determinado pela doença em si, mas caso sejam desenvolvidos tratamentos que possam
diminuir esse tempo, automaticamente o valor de R(t) diminui. Mais uma vez não há o que
fazer aqui, mas é importante observar que esses tratamentos deveriam chegar à maioria dos
infectados para poder fazer diferença significativa.
(f) Vacinação (parte 1). Outra estratégia para diminuir R(t) (ou mesmo R0 se ocorrer antes do
ińıcio da disseminação) é a vacinação. A vacinação tem o poder de alterar o fator
S(t)
N
pois
retira indiv́ıduos do grupo de suscet́ıveis e os coloca no grupo de removidos. Como
S(t)
N
é um
dos fatores de R(t), então a vacinação diminui S(t)
N
e, portanto, R(t). Vamos aproveitar o
assunto de vacinação para definir mais um conceito. A proporção de imunidade de rebanho ou
proporção