Circuitos Elétricos I

Prévia do material em texto

CIRCUÍTOS 
ELÉTRICOS I
Erica de Oliveira Sales
Conceito de p.u.
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir o sistema p.u.
 � Aplicar os conceitos do sistema p.u.
 � Identificar as vantagens dos cálculos p.u.
Introdução
Na análise de circuitos elétricos, quando são utilizadas variáveis elétricas 
“reais”, há certa dificuldade em termos de ordem de grandeza para essas 
variáveis. Isso também ocorre, quando há presença de transformadores 
no circuito.
Assim, os valores por unidade correspondem à mudança de escala 
das principais grandezas (tensão, corrente, potência e impedância) em 
sistemas elétricos, de modo a facilitar o cálculo de redes, principalmente 
quando há transformadores nos sistemas em estudo. 
Neste capítulo, você vai aprender a definir o sistema por unidade. 
Além disso, vai ver em que situações é aplicado e, por fim, compreender 
as vantagens desses cálculos p.u.
Definição do sistema por unidade (p.u.)
Em determinadas aplicações da área de engenharia, é necessário escalar ou 
normalizar quantidades com dimensão tornando-as adimensionais. Isso ocorre 
pois, muitas vezes os componentes que integram determinado sistema físico 
apresentam diferentes valores nominais. Portanto, torna-se conveniente obter 
a representação do sistema com uma base comum.
Assim, o sistema por unidade é a definição de valores de base para as 
grandezas de tensão, corrente, potência, entre outras. Essa definição é se-
guida da substituição dos valores das variáveis e constantes (expressas no 
sistema internacional de unidades) pelas suas relações com os valores de base 
predeterminados.
De maneira prática, você pode considerar que o sistema por unidade permite 
a combinação dos elementos de circuito de um sistema em que estão presentes 
diferentes níveis de tensão. Nessa combinação, não é necessária a conversão 
de impedâncias cada vez que se deseja uma resposta em um nível diferente 
de tensão. Assim, quando um transformador é analisado usando as grandezas 
exatas ou dimensionais de seus parâmetros, não é claro o seu desempenho se 
comparado a seu similar projetado para diferente tensão e potência nominal. 
Por outro lado, se tais parâmetros forem expressos em relação a valores de 
base predefinidos, e em geral aos valores nominais do próprio equipamento, 
as comparações entre equipamentos de mesma natureza podem ser esta-
belecidas. Por exemplo, quando se fala que o enrolamento primário de um 
transformador é 10 Ω, esse valor de resistência pode ser bastante elevado para 
um transformador ou muito baixo para outro. Por outro lado, se é dito que a 
resistência de primário é 0,1 p.u., isso representa que a queda de tensão na 
resistência para a corrente nominal será de 10% da tensão nominal. Assim, 
esse valor tem significado independentemente de quais sejam a tensão e as 
correntes nominais do transformador (PAULA, s.d).
Dessa forma, você pode definir uma grandeza em p.u. da seguinte maneira:
p.u. = Valor dimensionalValor base
O valor dimensional é o valor real da grandeza. Esse valor real depende 
das condições operacionais. Por outro lado, o valor de base apresenta a mesma 
dimensão do valor dimensional.
Além disso, uma grandeza em p.u. pode ser expressa percentualmente 
simplesmente por meio da equação:
Valor em % = Valor em p.u. × 100
Os valores que são expressos em p.u. apresentam vantagens com relação 
aos valores expressos em percentuais. Afinal, o produto ou quociente de duas 
grandezas expressas em p.u. resulta em outra grandeza também em p.u. Por 
outro lado, o produto ou quociente de duas grandezas expressas em porcen-
tagem, deve ser dividido ou multiplicado por 100 para que possa produzir o 
resultado final. 
Conceito de p.u.2
O sistema p.u. possui as seguintes características:
 � grandeza adimensional;
 � valor dimensional que pode ser complexo;
 � valor base que é sempre um número real;
 � ângulo da grandeza complexa que não é normalizado.
Para exercitar o que você viu até agora. Obtenha as grandezas a seguir em p.u. e em 
percentual. 
V1 = 500 kV, adote como valor de base 120 kV.
V1 =
V1 = 4,17 × 100 = 417%
500
120
= 4,17 p.u.
I1 = 10 kV, adote como valor de base 50 A.
I1 =
I1 = 0,2 × 100 = 20%
10
50
= 0,2 p.u.
A normatização convencional por unidade das grandezas dos sistemas 
elétricos sempre foi utilizada como propósito de simplificar os cálculos numé-
ricos, embora a complexidade da resolução dos cálculos tenha diminuído em 
decorrência do avanço da tecnologia, a representação por unidade do sistema 
continua bastante atrativa. Dessa maneira, acompanhe algumas aplicações 
dos conceitos do sistema por unidade.
Aplicação dos conceitos do sistema por unidade
O sistema por unidade pode ser utilizado em qualquer ramo da ciência. Es-
pecificamente no setor da engenharia elétrica, a sua utilização simplifica a 
modelagem, a resolução de problemas. Os valores em p.u. podem ser encon-
trados em especificações e dados de placas de equipamentos elétricos (por 
3Conceito de p.u.
exemplo, geradores, transformadores, etc.). Além disso, são utilizados em 
programas computacionais para cálculos e simulações de sistemas elétricos 
de potência, entre outros. Acompanhe a seguir algumas de suas aplicações.
Valores em p.u. em sistemas monofásicos
Em sistemas elétricos, a mudança para p.u. requer a definição de duas grande-
zas como bases. Essas duas grandezas definem as outras grandezas de base.
O ângulo de fase não é alterado quando se usa p.u.
O mais frequente é definir uma tensão de base Vb (V) e uma potência 
de base Sb (VA). Onde Vb é a tensão fase-neutro e Sb é a potência aparente 
monofásica. Então, se define:
Corrente base Ib (A):
Ib =
Sb
Vb
Impedância base Zb (Ω):
Zb =
Vb
Ib
ou
Zb =
Vb
Sb
2
Conceito de p.u.4
Admitância base Yb (S):
Yb =
Sb
Vb
2
Considerando:
 
p.u. = Valor dimensionalValor base
Tem-se os valores em p.u. de qualquer uma das grandezas em estudo. S, 
V, I, Z e Y são definidas como:
Spu =
S
Sb
Vpu =
V
Vb
Ipu =
I
Ib
Zpu =
Z
Zb
Ypu =
Y
Yb
5Conceito de p.u.
Em determinado sistema, foram definidos como valores base: Vb = 10 kV e Sb = 1 MVA. 
Expresse em pu.
a) V =12 < 30° kV c) Z = 80 + j2,0 Ω
b) I = 14 + j3,0 A d) S = 200 + j100 kVA
Solução:
Como valores base, você tem:
Ib =
Sb
Vb
=
1000 × 103
10 × 103
= 100 A
Zb =
V2b
Sb
=
100002
1 × 106
= 100 Ω
1. Vpu =
12 < 30° kV
10kV
= 1,2 < 30° pu 
2. Ipu =
14 + j3,0
100
= 0,14 + j0,03 pu 
3. Zpu =
80 + j2,0
100
= 0,8 + j0,02 pu 
4. Spu =
(200 + j100) × 103
1000 × 103
= 0,2 + j0,1 pu 
Valores em p.u. em sistemas trifásicos equilibrados
Os circuitos trifásicos, quando equilibrados (as amplitudes e o defasamento 
das três fases são idênticos entre si), são resolvidos como uma fase, com 
retorno pelo neutro, ou seja, como um circuito monofásico. No diagrama de 
impedâncias, as bases são a potência aparente por fase, em kVA, e a tensão 
de fase (entre a linha e o neutro), em kV. Em sistemas trifásicos, em geral são 
fornecidas a potência aparente trifásica e a tensão de linha (entre linhas). Isso 
pode ocasionar uma confusão entre uma tensão de linha p.u. e uma tensão de 
fase p.u. Embora uma tensão de linha possa ser a base, a tensão a ser utilizada 
no circuito monofásico equivalente é ainda a tensão de fase.
Conceito de p.u.6
Neste link, você pode entender um pouco mais sobre tensão de linha e tensão de fase:
https://goo.gl/4A2qBp
Assim, para um sistema trifásico equilibrado, há entre as tensões de linha 
(VL) e a tensão de fase (VF) a relação:
VF =
1
√3
× VL
Dessa maneira, para as bases, há a seguinte relação:
VF,b =
1
√3
× VL,b
E para a tensão p.u.:
Vpu =
VF
VF,b
VL
VL,b
=
Isso significa que o valor p.u. de uma tensão de fase, cuja base corresponde 
a uma tensão de fase, é igual ao valor p.u. da tensão de linha correspondente, 
cuja base é a tensão de linha correspondente à base anterior.
Considere:
VL,b = 8 kV
Você tem:
VF,b =
1
√3× 8 = 4,62 kV
Para uma tensão de linha, considere:
VL = 3,01 kV
7Conceito de p.u.
A potência aparente trifásica corresponde ao triplo da potência aparente 
por fase, isto é:
Strif = 3S
Assim, de maneira semelhante, você tem para as bases:
Strif,b = 3Sb
Resultando em:
Spu =
Strif
Strif,b
S
Sb
=
O valor p.u. da potência aparente trifásica, cuja base corresponde a uma 
potência aparente trifásica, é igual ao valor p.u. da potência aparente por fase 
correspondente, cuja base é a potência aparente por fase correspondente à base 
anterior. Para entender melhor, acompanhe o exemplo a seguir.
Considere a base igual a:
Strif,b = 60.000 kVA
Você tem:
Sb =
60.000
3 = 20.000 kVA
A tensão de fase será igual a:
VF =
1
√3
× 3,01 = 1,74 kV
O que resultará no valor de:
Vpu =
3,01
8
= 1,74
4,62 
= 0,38
Conceito de p.u.8
Para uma potência, considere:
Strif = 48.000 kVA
A potência por fase será igual a:
S = 48.0003 = 16.000 kVA
Desse modo:
Spu =
48.000
60.000 =
16.000
20.000 = 0,8 p.u.
Você também deve notar que em sistemas trifásicos é comum serem ado-
tadas como bases a potência aparente trifásica em kVA e a tensão de linha em 
kV. Assim, para as demais grandezas, você tem:
A corrente-base em ampères:
Ib (A): Ib =
Sb (kVA)
√3Vb (kV)
A impedância-base em ohms:
Zb (Ω): Zb =
Vb
2
Sb
Observe que uma mesma expressão pode ser utilizada para determinar a 
impedância-base em circuitos monofásicos e trifásicos. Entretanto, você deve 
saber que em um sistema monofásico a tensão-base, Vb (kV), é a tensão de 
fase, e a potência-base, Sb (kV), a potência por fase. Por outro lado, no sistema 
trifásico, esses mesmos símbolos indicam, respectivamente, a tensão de linha 
e a potência trifásica.
Além disso, a admitância base, Yb, é novamente o inverso de Zb. E a im-
pedância por unidade, Zpu, pode ser obtida diretamente de:
Zpu =
ZΩ
Zb
Zpu = ZΩ ×
Sb
Vb
2
9Conceito de p.u. 9
Mudança de base
Há casos em que a impedância em p.u. de determinado equipamento do sis-
tema elétrico é expressa em uma base diferente daquele usada na parte do 
sistema na qual o elemento está localizado. Desse modo, como nos cálculos 
é necessário que todas as impedâncias sejam expressas na mesma base, você 
deve converter impedâncias em p.u. de uma base para outra.
Assim, suponha que uma impedância Zpuvelha na base Vbvelha, Sbvelha deva ser 
convertida para Zpunova na nova base Vbnova, Sbnova.
Como:
Zpu =
ZΩ
Zb
Você tem:
Zpuvelha = ZΩ ×
Sbvelha
Vbvelha
2
Zpunova = ZΩ ×
Sbnova
Vbnova
2
Dessa maneira, você obtém ZΩ de Zpuvelha e em seguida efetua a conversão 
ZΩ para Zpunova. Ou, então, Zpunova pode ser diretamente obtida dividindo a 
expressão de baixo pela equação de cima, resultando em:
Zpunova = Zpuvelha ×
Vbvelha
Vbnova
×
Sbnova
Sbvelha
2
( )
Você também deve saber que, para os equipamentos como transformadores 
e máquinas girantes, os fabricantes normalmente fornecem impedâncias (ou 
reatâncias) em porcentagens cujas bases são a potência e a tensão nominais 
dos equipamentos.
Como você pôde verificar, existem inúmeras aplicações para o método do 
valor por unidade. Assim, é importante conhecer quais seriam as vantagens 
de sua utilização. Para isso, acompanhe a seção a seguir.
Conceito de p.u.10
As vantagens dos cálculos por unidade
O engenheiro de sistemas de potência prefere representar impedâncias, cor-
rentes, tensões e potências em valores por unidade em vez, de utilizar ohms, 
ampères, quilovolts e megawatts. 
Uma das vantagens mais significativas da utilização do sistema por uni-
dade está relacionada à presença de transformadores no circuito. Nesse caso, 
as impedâncias do primário e do secundário, que em valores ôhmicos estão 
relacionadas pelo número de espiras, são expressas pelo mesmo número no 
sistema p.u (FITZGERALD, 2006).
Um transformador de 1000 kVA = 13800 / 380 V apresenta uma impedância do secun-
dário de 0,8 Ω. O seu valor em p.u. nos lados primário e secundário do transformador 
é o mesmo, isto é, Vb = 380 V e Pb = 1000 kVA. Dessa forma:
Zb =
Vb
2
Pb
=
3802
1000000
= 0,14 Ω
Impedância no secundário:
Zb =
138002
1000000
= 190,44 Ω
ZΩ1 =
V1
V2( )
2
× ZΩ2
ZΩ1 =
13800
380( )
2
× 0,8 = 1055,06Ω
Zpu1 =
ZΩ1
Zb
=1055,06
190,4
= 5,54 p.u.
Há ainda outras vantagens significativas do sistema por unidade. Como 
exemplo, você deve considerar as apresentadas a seguir (ELGERD, 1976; 
PAULA, s.d.):
11Conceito de p.u.
1. A representação com valores por unidade resulta em dados mais signi-
ficativos e facilmente correlacionáveis, uma vez que todos os valores 
em p.u. estão relacionados ao mesmo percentual.
2. Há menor chance de confundir tensões de fase com tensões de linha, 
potências monofásicas com trifásicas e, no caso de transformadores, 
tensões primárias com secundárias.
3. Todos os transformadores do circuito são considerados com a relação 
de transformação 1:1. Sendo assim, não precisam ser representados no 
diagrama de impedância.
4. Só é preciso saber o valor da impedância do transformador em p.u. ou 
porcentagem, sem identificar a que lado se refere.
5. Dependendo do nível da tensão, o valor da impedância ôhmica varia, 
ao mesmo tempo em que varia a impedância base, resultando sempre 
na mesma impedância em p.u.
6. A potência base é selecionada para todo o sistema.
7. Os parâmetros dos equipamentos expressos em p.u. tendem a situar-se 
em uma faixa estreita de valores, o que possibilita a fácil identificação 
dos erros.
8. A tensão base é selecionada para determinado nível de tensão do 
sistema (normalmente adota-se como base as tensões nominais do 
transformador).
9. Em p.u., é mais fácil verificar quando os valores de grandezas como as 
tensões e potências se afastam dos valores nominais. Por exemplo, as 
tensões em qualquer barramento podem variar em ± 5% em relação à 
tensão nominal. Dessa forma, a tensão mínima será 0,95 p.u. e a tensão 
máxima, 1,05 p.u. em relação à tensão nominal, não importando qual 
seja ela. 
10. As impedâncias de equipamentos como transformadores do mesmo tipo, 
mas com impedâncias diferentes apresentam quase sempre o mesmo 
valor quando expressas em p.u ou em percentual. 
11. O circuito trifásico é analisado como um circuito monofásico.
Neste capítulo, você viu o conceito do sistema por unidade, bem como 
constatou que sua utilização gera expressões menos desordenadas e apresen-
tam de forma econômica a natureza física essencial do sistema. Por isso, esse 
sistema é bastante utilizado em engenharia de potência.
Conceito de p.u.12
ELGERD, O. I. Introdução à teoria de sistemas de energia elétrica. São Paulo: McGraw-
-Hill, 1976.
FITZGERALD, A. E. Máquinas elétricas: com introdução à eletrônica de potência. 6. ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2006.
PAULA, R. P. Introdução a sistema de energia elétrica: definição de sistema por unidade 
(pu). [s.d.] Disponível em: <http://sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downlo-
ads/fot_13500tema_1_pdf_TEMA_1.pdf>. Acesso em: 26 jan. 2018.
Leituras recomendadas
CAMACHO, J. R. Quantidades por-unidade (p.u.). Uberlândia: Universidade Federal de 
Uberlândia, [s.d.]. Disponível em: <http://www.camacho.prof.ufu.br/GEE074/pu.pdf>. 
Acesso em: 26 jan. 2018.
CHAPMAN, S. J. Fundamentos de máquinas elétricas. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
COTRIM, A. M. B. Instalações elétricas. 5. ed. Sao Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.
MAMEDE FILHO, J. Instalações elétricas industriais. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
MEDEIROS, C. Grandezas em pu e representação de elementos do sistema elétrico. Goiâ-
nia: PUCGO, 2017. Apostila da disciplina Sistemas elétricos da Escola de Engenharia. 
Disponível em: <https://pt.scribd.com/document/345990860/03-SistEletricosCap03-
-Pu-e-Elementos>. Acesso em: 26 jan. 2018.
RAMOS, A. Sistema de energia elétrica. Belém, PA: Universidade Federal do Pará, 2011. 
Apostila do curso de Engenharia Elétrica.
13Conceito de p.u.
Conteúdo: