Quantidade de Movimento Linear e Corpo em Repouso

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MECÂNICA DOS FLUIDOS 
AULA 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Francielly Elizabeth de Castro Silva 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Nesta etapa, vamos estudar o princípio da quantidade de movimento 
linear e angular. Esses assuntos são muito importantes no projeto de estruturas 
hidráulicas, como comportas, bombas e turbinas. Vamos falar ainda sobre 
equipamentos e máquinas encontrados em indústrias como hélices, turbinas, 
turbojatos e alguns tipos de turbomáquinas. 
TEMA 1 – QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR: CORPO EM REPOUSO 
Quando um fluido escoa, ele pode bater em um objeto, provendo assim 
uma força sobre ele. No projeto de estruturas hidráulicas, como comportas e 
anteparos para o desvio do escoamento, além de equipamentos como bombas 
e turbinas, a dinâmica depende das forças que o fluido exerce sobre os objetos. 
Aplicando a segunda lei de Newton, do movimento, e considerando um 
escoamento em regime permanente, a equação da quantidade de movimento 
linear pode ser escrita da seguinte forma: 
�𝑭𝑭 = � 𝒗𝒗𝜌𝜌𝒗𝒗𝑑𝑑𝑨𝑨
𝑆𝑆𝑆𝑆
 (1) 
Temos que 𝑆𝑆𝑆𝑆 corresponde à superfície de controle, 𝒗𝒗 é o vetor 
velocidade e 𝑑𝑑𝑨𝑨 é à área da seção transversal ao escoamento. 
No caso de um fluido perfeito, onde 𝜌𝜌 é constante e o escoamento é 
invíscido, a velocidade será distribuída de modo uniforme pelas superfícies de 
controle abertas. A integral apresentada na Equação 1 fica da seguinte forma: 
�𝑭𝑭 = �𝒗𝒗𝜌𝜌𝒗𝒗𝑨𝑨 (2) 
1.1 Aplicações para corpos em repouso 
Algumas situações (como dutos, tubos e outros tipos de condutos) sofrem 
influência das forças do fluido, pois a direção do fluido pode mudar. Nesses 
casos, a partir das equações supracitadas, podemos determinar a força 
resultante que um fluido em movimento exerce sobre uma superfície fixa. 
Exemplo 1: a extremidade de um tubo é tampada com um redutor, como 
mostra a Figura 1. Se a pressão da água dentro do tubo em A é de 200 kPa, 
determine a força de cisalhamento que a cola nas laterais do tubo exerce sobre 
o redutor para mantê-lo na posição. Considere 𝜌𝜌á𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 = 1000 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚³. 
 
 
3 
Figura 1 – Tubo para aplicação do exemplo 1 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
Solução: para este problema, temos o diagrama de corpo livre da figura 
a seguir. 
Figura 2 – Diagrama de corpo livre: problema do exemplo 1 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
 
 
4 
Como a seção B está aberta para a atmosfera, temos 𝑃𝑃𝐵𝐵 = 𝑃𝑃𝐴𝐴. 
Considerando valores em pressão manométrica, temos 𝑃𝑃𝐵𝐵 = 0. Pelo somatório 
de forças, temos: 
�𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0; 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 − 2
𝐹𝐹𝑅𝑅
2
= 0 → 200.103.𝜋𝜋0,052 − 𝐹𝐹𝑅𝑅 = 0 
𝐹𝐹𝑅𝑅 = 1570,8 𝑁𝑁 
Porém, neste caso não estamos considerando a força da água nas 
paredes do tubo a partir da conservação do movimento linear. Pelo princípio da 
conservação da massa, temos: 
�𝑄𝑄𝑒𝑒 = �𝑄𝑄𝑠𝑠 
𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑣𝑣𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 → 𝑣𝑣𝐵𝐵 =
𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐴𝐴𝐵𝐵
 → 𝑣𝑣𝐵𝐵 =
𝑣𝑣𝐴𝐴(𝜋𝜋. 0,05𝟐𝟐)
(𝜋𝜋. 0,0125𝟐𝟐)
 
𝑣𝑣𝐵𝐵 = 16𝑣𝑣𝐴𝐴 
Aplicando a equação de Bernoulli, considerando que a carga pela 
diferença de altura não está sendo considera, ou seja, 𝑧𝑧𝐴𝐴 = 𝑧𝑧𝐵𝐵, e sabendo que 
𝑃𝑃𝐵𝐵 = 0, como discutido anteriormente, temos: 
𝑃𝑃𝐴𝐴
𝛾𝛾
+
𝑣𝑣𝐴𝐴²
2𝑘𝑘
+ 𝑧𝑧𝐴𝐴 =
𝑃𝑃𝐵𝐵
𝛾𝛾
+
𝑣𝑣𝐵𝐵²
2𝑘𝑘
+ 𝑧𝑧𝐵𝐵 
𝑃𝑃𝐴𝐴
𝛾𝛾
+
𝑣𝑣𝐴𝐴²
2𝑘𝑘
=
𝑣𝑣𝐵𝐵²
2𝑘𝑘
 → 
200.10³
9,81.1000
+
𝑣𝑣𝐴𝐴²
2.9,81
=
(16𝑣𝑣𝐴𝐴)²
2.9,81
 
200 =
256𝑣𝑣𝐴𝐴𝟐𝟐 − 𝑣𝑣𝐴𝐴2
2
 → 200 =
255
2
𝑣𝑣𝐴𝐴2 → 𝑣𝑣𝐴𝐴 = �
200
127,5
 
𝑣𝑣𝐴𝐴 = 1,252 𝑚𝑚/𝑠𝑠 
Como 𝑣𝑣𝐵𝐵 = 16𝑣𝑣𝐴𝐴, 𝑣𝑣𝐵𝐵 = 16.1,252. Portanto, 𝑣𝑣𝐵𝐵 = 20,04 𝑚𝑚/𝑠𝑠. 
Aplicando a equação 2 da quantidade de movimento linear, temos: 
�𝑭𝑭 =�𝒗𝒗𝜌𝜌𝒗𝒗𝑨𝑨 → −𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 − 2
𝐹𝐹𝑅𝑅
2
 = 𝑣𝑣𝐵𝐵𝜌𝜌𝑣𝑣𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 − 𝑣𝑣𝐴𝐴𝜌𝜌𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 
200.103.𝜋𝜋0,052 − 𝐹𝐹𝑅𝑅 = 20,04.1000.20,04.𝜋𝜋. 0,0125𝟐𝟐 − 1,252.1000.1,252.𝜋𝜋. 0,052 
1570,8 − 𝐹𝐹𝑅𝑅 = 197,14 − 12,31 → 𝐹𝐹𝑅𝑅 = 1570,8 − 184,83 
𝐹𝐹𝑅𝑅 = 1385,97 𝑁𝑁 
Considerando que a força da água, proveniente da conservação do 
movimento linear, é de 184,83 𝑁𝑁, a força resultante é menor do que o caso de 
um problema simples da estática. Assim, temos uma força resultante de 𝐹𝐹𝑅𝑅 =
1570,8 𝑁𝑁 para 𝐹𝐹𝑅𝑅 = 1385,97 𝑁𝑁. 
 
 
5 
Exemplo 2: o ar escoa pelo duto mostrado na Figura 3, de modo que, em 
A, ele tem uma temperatura de 30°C e uma pressão absoluta de 300 kPa. Devido 
ao resfriamento, em B temos uma temperatura de 10°C e uma pressão absoluta 
de 298,5 kPa. Se a velocidade média do ar em A é de 3m/s, calcule a força de 
cisalhamento resultante que atua ao longo das paredes do duto entre os dois 
locais. 
Figura 3 – Tubo para aplicação do exemplo 2 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
Solução: neste exemplo, temos um escoamento em regime permanente, 
mas de um fluido viscoso e compressível. Vamos considerar o ar com um gás 
perfeito. O seguinte diagrama de corpo livre pode representar esse problema. 
Figura 4 – Diagrama de corpo livre referente ao problema do exemplo 2 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
 
 
6 
Aplicando a equação 8 da lei dos gases ideais, com 𝑅𝑅 = 286,9 𝐽𝐽/𝑘𝑘𝑘𝑘.𝐾𝐾, 
temos: 
𝑃𝑃𝐴𝐴 = 𝜌𝜌𝐴𝐴𝑅𝑅𝑇𝑇𝐴𝐴 → 300.103 = 𝜌𝜌𝐴𝐴286,9. (273 + 30) 
𝜌𝜌𝐴𝐴 =
300.103
286,9. (273 + 30)
 → 𝜌𝜌𝐴𝐴 = 3,451 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚³ 
𝑃𝑃𝐵𝐵 = 𝜌𝜌𝐵𝐵𝑅𝑅𝑇𝑇𝐵𝐵 → 298,5.103 = 𝜌𝜌𝐵𝐵286,9. (273 + 10) 
𝜌𝜌𝐵𝐵 =
298,5.103
286,9. (273 + 10)
 → 𝜌𝜌𝐵𝐵 = 3,676 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚³ 
Considerando as velocidades como médias, ou seja, um escoamento 
invíscido com perfil de velocidade uniforme, podemos determinar a velocidade 
do ar em B aplicando a equação da conservação de massa para um fluido 
compressível: 
��̇�𝑚𝑒𝑒 = ��̇�𝑚𝑠𝑠 
𝜌𝜌𝐴𝐴𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝜌𝜌𝐵𝐵𝑣𝑣𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 → 𝑣𝑣𝐵𝐵 =
𝜌𝜌𝐴𝐴𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
𝜌𝜌𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵
 → 𝑣𝑣𝐵𝐵 =
3,451.3
3,676
 
𝑣𝑣𝐵𝐵 = 2,816 𝑚𝑚/𝑠𝑠 
Aplicando a equação da conservação do movimento linear, considerando 
o sinal positivo do ponto A para o ponto B, temos: 
�𝑭𝑭 =�𝒗𝒗𝜌𝜌𝒗𝒗𝑨𝑨 → 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴−𝑃𝑃𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 − 𝐹𝐹 = 𝑣𝑣𝐵𝐵𝜌𝜌𝐵𝐵𝑣𝑣𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 − 𝑣𝑣𝐴𝐴𝜌𝜌𝐴𝐴𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 
300.103. 0,3.0,1 − 286,9.103. 0,3.0,1 − 𝐹𝐹 = 2,816.3,451.2,816.0,3.0,1 − 3.3,676.3.0,3.0,1 
𝐹𝐹 = 0,3.0,1(300.103 − 298,5.103 − 27,37 + 33,08) 
𝐹𝐹 = 0,3.0,1.1505,71 → 𝐹𝐹 = 45,17 𝑁𝑁 
TEMA 2 – QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR: CORPO EM 
MOVIMENTO 
No tópico anterior, vimos como aplicar a equação da quantidade de 
movimento linear para um corpo em repouso. Neste tópico, vamos analisar o que 
acontece quando o corpo está em movimento, como é o caso da pá de um rotor. 
Nessa situação, os termos de velocidade e vazão mássica na equação da 
quantidade de movimento (equação 1 e 2) são medidos em relação a cada 
superfície de controle, de modo que o escoamento parece estar em regime 
permanente, com relação ao volume de controle. 
Exemplo 3: a caminhonete mostrada na Figura 5 se move da esquerda 
para direita a 5 m/s, contra um jato d’água com 50 mm de diâmetro, que 
 
 
7 
apresenta uma vazão de 8 L/s. Calcule a força dinâmica que o jato exerce sobre 
a caminhonete se ele for desviado pelo para-brisa, conforme mostra a Figura 5. 
Figura 5 – Tubo para aplicação do exemplo 3 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
Solução: o volume de controle pode ser representado pelo diagrama de 
controle a seguir. 
Figura 6 – Diagrama de corpo livre: exemplo 3 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
Considerando a água como um fluido perfeito, podemos usar as 
velocidades médias, pois o cisalhamento é desprezível, além de 𝜌𝜌á𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 =
1000 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚³. Com a vazão volumétricado jato, podemos determinar a sua 
velocidade: 
𝑄𝑄 = 𝑣𝑣𝐴𝐴 → 𝑣𝑣 =
𝑄𝑄
𝐴𝐴
 → 𝑣𝑣 =
8. 10−3
(𝜋𝜋. 0,025²)
 → 𝑣𝑣 = 4,074 𝑚𝑚/𝑠𝑠 
 
 
8 
Em relação ao volume de controle (ou ao motorista), a velocidade da água 
em A é dada pela soma da velocidade do jato com a velocidade do carro, 
portanto: 
𝑣𝑣 = 4,074 + 5 → 𝑣𝑣 = 9,074 𝑚𝑚/𝑠𝑠 
Conhecendo a velocidade do fluido, podemos determinar as forças de 
reação 𝐹𝐹𝑥𝑥 e 𝐹𝐹𝑦𝑦. Aplicando o somatório das forças em x e em y, pois se trata de 
um escoamento nessas duas direções, e considerando a equação da quantidade 
de movimento linear (equação 2), temos: 
�𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0; → −𝐹𝐹𝑥𝑥 = 𝑣𝑣𝐵𝐵𝜌𝜌𝐵𝐵𝑣𝑣𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 − 𝑣𝑣𝐴𝐴𝜌𝜌𝐴𝐴𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 
𝐹𝐹𝑥𝑥 = 𝑣𝑣𝐴𝐴𝜌𝜌𝐴𝐴𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝑣𝑣𝐵𝐵𝜌𝜌𝐵𝐵𝑣𝑣𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 
𝐹𝐹𝑥𝑥 = 9,074.1000.9,074.𝜋𝜋. 0,0252 − 9,074. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠40°. 1000.9,074.𝜋𝜋. 0,0252 
𝐹𝐹𝑥𝑥 = 161,67 − 123,85 → 𝐹𝐹𝑥𝑥 = 37,82 𝑁𝑁 
�𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0; → 𝐹𝐹𝑦𝑦 = 𝑣𝑣𝐵𝐵𝜌𝜌𝐵𝐵𝑣𝑣𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 − 𝑣𝑣𝐴𝐴𝜌𝜌𝐴𝐴𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 
𝐹𝐹𝑦𝑦 = 9,074. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠40°. 1000.9,074. 𝜋𝜋. 0,0252 − 0 → 𝐹𝐹𝑦𝑦 = 103,92 𝑁𝑁 
Portanto, a força dinâmica resultante que atua sobre a caminhonete é 
dada por: 
𝐹𝐹𝑅𝑅 = �𝐹𝐹𝑥𝑥2 + 𝐹𝐹𝑦𝑦² → 𝐹𝐹𝑅𝑅 = �37,822 + 103,92² → 𝐹𝐹𝑅𝑅 = 110,59 𝑁𝑁 
Exemplo 4: o jato d’água mostrado na Figura 7, com área de seção 
transversal igual a 2. 10−3 m², escoa a uma velocidade de 45 m/s e atinge uma 
pá de turbina que se move a 20m/s. Determine a força dinâmica da água sobre 
a pá e a sua potência resultante. 
Figura 7 – Sistema para aplicação do exemplo 4 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
 
 
9 
Solução: o volume de controle pode ser representado pelo diagrama de 
controle a seguir. 
Figura 8 – Diagrama de corpo livre: exemplo 4 
 
Fonte: Hibbeler, 2016 
Observe, no diagrama de corpo livre, a direção do escoamento do jato 
d’água e do movimento da pá. Observe que ambos estão no mesmo sentido. 
Logo, a velocidade resultante é dada pela velocidade do escoamento menos a 
velocidade da pá: 
𝑣𝑣 = 45 − 20 → 𝑣𝑣 = 25 𝑚𝑚/𝑠𝑠 
Conhecendo a velocidade do fluido, podemos determinar as forças de 
reação 𝐹𝐹𝑥𝑥 e 𝐹𝐹𝑦𝑦, aplicando a equação da quantidade de movimento linear, dada 
por: 
�𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0; → −𝐹𝐹𝑥𝑥 = 𝑣𝑣𝐵𝐵𝜌𝜌𝐵𝐵𝑣𝑣𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 − 𝑣𝑣𝐴𝐴𝜌𝜌𝐴𝐴𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 
𝐹𝐹𝑥𝑥 = 𝑣𝑣𝐴𝐴𝜌𝜌𝐴𝐴𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝑣𝑣𝐵𝐵𝜌𝜌𝐵𝐵𝑣𝑣𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 
𝐹𝐹𝑥𝑥 = 25.1000.25.2. 10−3 − (−25. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠30°. 1000.25.2. 10−3) 
𝐹𝐹𝑥𝑥 = 1250 + 1082,53 → 𝐹𝐹𝑥𝑥 = 2332,53 𝑁𝑁 
�𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0; → −𝐹𝐹𝑦𝑦 = 𝑣𝑣𝐵𝐵𝜌𝜌𝐵𝐵𝑣𝑣𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 − 𝑣𝑣𝐴𝐴𝜌𝜌𝐴𝐴𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 
𝐹𝐹𝑦𝑦 = 𝑣𝑣𝐴𝐴𝜌𝜌𝐴𝐴𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝑣𝑣𝐵𝐵𝜌𝜌𝐵𝐵𝑣𝑣𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 
𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0 − (−25. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠30°. 1000.25.2. 10−3) → 𝐹𝐹𝑦𝑦 = 625 𝑁𝑁 
Portanto, a força dinâmica resultante que atua sobre a pá é dada por: 
𝐹𝐹𝑅𝑅 = �𝐹𝐹𝑥𝑥2 + 𝐹𝐹𝑦𝑦² → 𝐹𝐹𝑅𝑅 = �2332,53 2 + 625² → 𝐹𝐹𝑅𝑅 = 2414,81 𝑁𝑁 
 
 
10 
Nesse problema, a força na direção x sobre a pá faz com que ela gire com 
a velocidade de 20 m/s. Logo, a potência é dada por: 
𝑊𝑊 = 𝐹𝐹𝑣𝑣 → 𝑊𝑊 = 2332,53.20 → 𝑊𝑊 = 46620,6 𝑊𝑊 
TEMA 3 – QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR 
O momento da quantidade de movimento linear de um fluido em torno de 
um eixo nos fornece a quantidade de movimento angular. Em regime 
permanente, a quantidade de movimento angular é dada pelo seguinte produto 
vetorial: 
�𝑴𝑴 = �(𝒓𝒓 x 𝒗𝒗)𝜌𝜌𝒗𝒗𝑨𝑨 (3) 
Temos que 𝒓𝒓 corresponde ao vetor posição que se estende a partir do 
ponto de giro, 𝑂𝑂, até o jato. Para problemas bidimensionais, a equação pode ser 
resolvida com uma simples multiplicação. 
O resultado da equação serve para determinar o torque no eixo de uma 
bomba ou turbina e as forças de reação ou os momentos de binário sobre uma 
estrutura estática sujeita a escoamento em regime permanente. 
Exemplo 5: o regador automático de água mostrado na Figura 9 gira com 
uma velocidade angular 𝜔𝜔 = 100 𝑟𝑟𝑠𝑠𝑣𝑣/𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠. Esse movimento é causado pela 
água que entra no centro do regador com uma vazão de 3 L/s, saindo pelos dois 
bocais de diâmetro de 20 mm. Calcule o torque friccional sobre o eixo do braço. 
Figura 9 – (a) Regador automático e (b) Sistema de regador para aplicação do 
exemplo 5 
(a) (b) 
Fonte: arturnichiporenko/Schutterstock; Hibbeler, 2016. 
 
 
11 
Solução: podemos reduzir o problema para um ambiente bidimensional. 
O primeiro passo é transformar a rotação para o SI, ou seja, para rad/s. Nesse 
caso, basta multiplicar o numerador por 2𝜋𝜋 e dividir por 60: 
𝜔𝜔 = 100.
2𝜋𝜋
60
 → 𝜔𝜔 = 10,47 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑/𝑠𝑠 
Essa rotação faz com que os bocais tenham uma velocidade dada por: 
𝑣𝑣 = 𝜔𝜔𝑟𝑟 → 𝑣𝑣 = 10,47.0,3 → 𝑣𝑣 = 3,141 𝑚𝑚/𝑠𝑠 
A velocidade com que o fluido sai do bocal é obtida considerando a vazão 
volumétrica e a área do bocal. Para isso, precisamos obter a vazão em unidades 
do SI, ou seja, em m³/s. Para isso, basta multiplicar o numerador por 10−3: 
𝑄𝑄 = 3. 10−3 𝑚𝑚3/𝑠𝑠 
𝑄𝑄 = 𝑣𝑣𝐴𝐴 → 𝑣𝑣 =
𝑄𝑄
𝐴𝐴
 → 𝑣𝑣 =
(3. 10−3/2) 
𝜋𝜋. 0,012
 → 𝑣𝑣 = 4,775 𝑚𝑚/𝑠𝑠 
A vazão foi dividida por dois, pois a água está saindo por dois bocais. 
Observe que o eixo rotaciona o regador em determinada direção, de modo que 
o vetor de velocidade aparece “entrando” no bocal. Já a velocidade de saída do 
fluido parece sair do bocal. Portanto, as velocidades apresentam sentidos 
opostos. A velocidade resultante corresponde à velocidade do bocal menos a 
velocidade provocada pela rotação do eixo: 
𝑣𝑣 = 4,775 − 3,141 → 𝑣𝑣 = 1,634 𝑚𝑚/𝑠𝑠 
Substituindo o termo da velocidade resultante na equação 3, temos: 
�𝑀𝑀 = �𝑟𝑟𝑣𝑣𝜌𝜌𝑣𝑣𝐴𝐴 → 𝑀𝑀𝑆𝑆 = 2(0,3.1,634.1000.1,634.𝜋𝜋. 0,012) 
𝑀𝑀𝑆𝑆 = 0,503 𝑁𝑁.𝑚𝑚 
O momento foi multiplicado por 2, pois o jato d’água sai por dois orifícios 
com a mesma distância em relação ao centro em C (eixo). Se não houvesse 
torque friccional, haveria um limite de rotação do braço. Nesse caso, a 
velocidade resultante é dada por: 
𝑣𝑣 = 4,775 − 𝜔𝜔0,3 
Substituindo os dados na equação da quantidade de movimento angular 
para 𝑀𝑀 = 0, temos: 
�𝑀𝑀 = �𝑟𝑟𝑣𝑣𝜌𝜌𝑣𝑣𝐴𝐴 → 0 = 2(0,3. (4,775 − 𝜔𝜔0,3). 1000. (4,775 − 𝜔𝜔0,3).𝜋𝜋. 0,012) 
0 = 2(0,3. (4,775 −𝜔𝜔0,3)². 1000.𝜋𝜋. 0,012) → 0 = 2(0,0942. (4,775 − 𝜔𝜔0,3)²) 
0 = 2�0,0942. (22,80 − 𝜔𝜔2,865 + 𝜔𝜔20,09)� 
0 = 2(2,148 −𝜔𝜔0,27 + 0,0085𝜔𝜔2) → 0 = 4,296 − 𝜔𝜔0,54 + 0,017𝜔𝜔2 
 
 
12 
Encontramos as raízes da equação da equação acima, por meio do 
Python, através da plataforma Google Colab, conforme a figura a seguir. 
Figura 10 – Raízes da equação 
 
No código da figura, utilizamos o comando de fator para fatorar a equação, 
ou seja, para resolver todos os produtos, e posteriormente o comando expand 
para expandir o polinômio e encontrar a forma apresentada na primeira linha de 
resposta. Com esse polinômio, tomamos os coeficientes para poder extrair a raiz. 
O resultado é apresentado na segunda linha. Como a função é um polinômio de 
segundo grau, a solução traz dois valores: ambos são 15,92. Portanto, a rotação 
máxima do eixo, para um problema sem fricção, é de 𝜔𝜔 = 15,92 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑/𝑠𝑠. 
Exemplo 6: a água escoa pelo hidrante de incêndio mostrado na Figura 
11 a uma vazão de 2 pés³/s. Se a pressão no tubo em A é de 35 psi, calcule as 
reações no engaste para manter o hidrante no lugar. Considere 𝛾𝛾á𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 =
62,4 𝑙𝑙𝑙𝑙/𝑝𝑝é𝑠𝑠³ e 𝑘𝑘 = 32,2 𝑝𝑝é𝑠𝑠/𝑠𝑠². 
Figura 11 – HidranteFonte: Hibbeler, 2016 
 
 
13 
Solução: vimos no estudo de princípios de mecânica que o engaste de 
uma estrutura exerce três reações de apoio: duas de translação, 𝐹𝐹𝑥𝑥 e 𝐹𝐹𝑦𝑦 e uma 
reação de rotação, 𝑀𝑀𝐴𝐴. A Figura 12 mostra o diagrama de corpo livre do hidrante. 
Figura 12 – Diagrama de corpo livre do hidrante 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
Conhecendo a vazão volumétrica do escoamento, podemos determinar a 
velocidade na entrada do hidrante em A e na saída em B: 
�𝑄𝑄𝑒𝑒 = �𝑄𝑄𝑠𝑠 
𝑄𝑄 = 𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 → 𝑣𝑣𝐴𝐴 =
𝑄𝑄
𝐴𝐴𝐴𝐴 
 → 𝑣𝑣𝐴𝐴 =
2
(𝜋𝜋(2/12)²)
 → 𝑣𝑣𝐴𝐴 = 22,92 𝑝𝑝é𝑠𝑠/𝑠𝑠 
𝑄𝑄 = 𝑣𝑣𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 → 𝑣𝑣𝐵𝐵 =
𝑄𝑄
𝐴𝐴𝐵𝐵 
 → 𝑣𝑣𝐵𝐵 =
2
(𝜋𝜋(1,5/12)²)
 → 𝑣𝑣𝐵𝐵 = 40,74 𝑝𝑝é𝑠𝑠/𝑠𝑠 
Podemos aplicar a equação de Bernoulli, reconhecendo que o ponto B 
está aberto para a atmosfera, e considerando ainda o Datum em A: 
𝑃𝑃𝐴𝐴
𝛾𝛾
+
𝑣𝑣𝐴𝐴²
2𝑘𝑘
+ 𝑧𝑧𝐴𝐴 =
𝑃𝑃𝐵𝐵
𝛾𝛾
+
𝑣𝑣𝐵𝐵²
2𝑘𝑘
+ 𝑧𝑧𝐵𝐵 → 𝑃𝑃𝐴𝐴 = �
𝑣𝑣𝐵𝐵2 − 𝑣𝑣𝐴𝐴²
2𝑘𝑘
+ 𝑧𝑧𝐵𝐵� 𝛾𝛾 
𝑃𝑃𝐴𝐴 = �
40,74 ² − 22,92²
2.32,2
+ 2�62,4 → 𝑃𝑃𝐴𝐴 = (17,62 + 2)62,4 
𝑃𝑃𝐴𝐴 = 1224 𝑙𝑙𝑙𝑙/𝑝𝑝é𝑠𝑠³ 
Sabendo a pressão no ponto A, podemos determinar as forças de 
pressão: 
𝐹𝐹𝑃𝑃 = 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 → 𝐹𝐹𝑃𝑃 = 1224. (𝜋𝜋(2/12)²) → 𝐹𝐹𝑃𝑃 = 106,81 𝑙𝑙𝑙𝑙 
Aplicando as equações de equilíbrio de força, considerando ainda a 
equação da quantidade de movimento linear, temos: 
 
 
14 
�𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0; → 𝐹𝐹𝑥𝑥 = 𝑣𝑣𝐵𝐵𝜌𝜌𝐵𝐵𝑣𝑣𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 − 𝑣𝑣𝐴𝐴𝜌𝜌𝐴𝐴𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 
Como o vetor velocidade em A está na direção vertical, não haverá força 
proveniente do fluido nesse ponto. Vamos considerar somente o efeito da força 
em B: 
𝐹𝐹𝑥𝑥 = 40,74.
62,4
32,2
. 40,74.�𝜋𝜋 �
1,5
12��
− 0 → 𝐹𝐹𝑥𝑥 = 157,88 𝑙𝑙𝑙𝑙 
�𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0; → 𝐹𝐹𝑃𝑃 − 𝐹𝐹𝑦𝑦 = 𝑣𝑣𝐵𝐵𝜌𝜌𝐵𝐵𝑣𝑣𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 − 𝑣𝑣𝐴𝐴𝜌𝜌𝐴𝐴𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 
Como o vetor velocidade em B aparece na direção horizontal, não haverá 
força proveniente do fluido nesse ponto: 
𝐹𝐹𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝑃𝑃 + 𝑣𝑣𝐴𝐴𝜌𝜌𝐴𝐴𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 
𝐹𝐹𝑦𝑦 = 106,81 + 22,92 .
62,4
32,2
. 22,92 . (𝜋𝜋(2/12)²) 
𝐹𝐹𝑦𝑦 = 106,81 + 88,84 → 𝐹𝐹𝑦𝑦 = 195,65 𝑙𝑙𝑙𝑙 
Sabemos que momento é força vezes distância. Para determinar a reação 
de momento, vamos calcular o momento em A, considerando a força em B, com 
uma distância de 2 pés desse ponto. As forças de reação 𝐹𝐹𝑥𝑥 e 𝐹𝐹𝑦𝑦 não entram 
nesse cálculo, pois estão sobre o ponto A. O mesmo vale para a força do jato 
em A e para a força de pressão, que também está em A. É importante lembrar 
que, por convenção de sinais, assumimos que o momento é positivo quando o 
sentido do giro é anti-horário. Nesse caso, partimos da equação da quantidade 
de movimento angular: 
�𝑀𝑀𝐴𝐴 = �𝑟𝑟𝑣𝑣𝜌𝜌𝑣𝑣𝐴𝐴 → −𝑀𝑀𝐴𝐴 = 𝑟𝑟𝑣𝑣𝐵𝐵𝜌𝜌𝐵𝐵𝑣𝑣𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 − 0 
𝑀𝑀𝐴𝐴 = −2.40,74.
62,4
32,2
. 40,74.�𝜋𝜋 �
1,5
12��
 → 𝑀𝑀𝐴𝐴 = −2.157,88 
𝑀𝑀𝐴𝐴 = −315,76 𝑙𝑙𝑙𝑙.𝑝𝑝é𝑠𝑠 
O sinal negativo indica que o sentido adotado do momento 𝑀𝑀𝐴𝐴 no 
diagrama de corpo livre, é o oposto. Observe que, no desenho, temos o sentido 
horário, mesmo sentido do momento provocado pelo jato em B. Logo, para 
manter o equilíbrio, o momento deve estar no sentido oposto, ou seja, anti-
horário. Esse fato corrobora com o sinal do cálculo. Portanto, o sentido correto 
da reação de momento 𝑀𝑀𝐴𝐴 é o anti-horário. 
 
 
 
 
15 
TEMA 4 – HÉLICES, TURBINAS E TURBOJATOS 
As hélices e turbinas eólicas atuam como um eixo com pás montas. No 
caso de ventiladores, propulsores de barco, hélices de helicóptero e avião, o eixo 
está acoplado a um motor que aplica um torque, gerando uma quantidade de 
movimento linear do fluido na frente da hélice, que aumenta enquanto ele escoa 
nas pás. No caso de barcos, helicópteros e aviões, a mudança da quantidade de 
movimento promove uma força reativa que empurra o objeto para frente (Figura 
13). 
Figura 13 – Hélices: navio e helicóptero 
(a) (b) 
Crédito: Denys Yelmanov/Shutterstock; Evgenii Panov /Schutterstock. 
A turbina eólica funciona de modo oposto, pois a ação do vento sobre as 
pás da hélice (que transforma a energia cinética em energia mecânica) faz com 
o eixo gire. Este último está conectado a um gerador, que transforma a energia 
mecânica em elétrica. A Figura 14 apresentar algumas turbinas eólicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
Figura 14 – Turbinas eólicas 
 
Crédito: chaiviewfinder/Schutterstock. 
O projeto desses dispositivos se baseia nos mesmos princípios usados 
para os projetores aerofólios. 
4.1 Hélices 
Na hélice da Figura 15, o fluido entra no bocal do ventilador a uma 
velocidade uniforme 𝑣𝑣1. Do ponto 1 para o 3, o fluido é acelerado, produzindo 
uma velocidade 𝑣𝑣, que praticamente não muda após a passagem pelas pás 
(ponto 4). O aumento de pressão entre o lado direito da hélice empurra o 
escoamento e o acelera ainda mais do ponto 4 para o 2. Aplicando a equação 
da quantidade de movimento linear (Equação 2), a força da hélice é dada por: 
�𝑭𝑭 = �𝒗𝒗𝜌𝜌𝒗𝒗𝑨𝑨 
�𝐹𝐹 = 0; → 𝐹𝐹 = 𝑣𝑣2𝜌𝜌2𝑣𝑣2𝐴𝐴2 − 𝑣𝑣1𝜌𝜌1𝑣𝑣1𝐴𝐴1 
 
 
 
 
 
17 
Figura 15 – Volume de controle de uma hélice 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
Pela conservação da massa ∑𝑄𝑄𝑒𝑒 = ∑𝑄𝑄𝑠𝑠, temos que 𝑄𝑄 = 𝑣𝑣1𝐴𝐴1 = 𝑣𝑣2𝐴𝐴2 =
𝑣𝑣𝐴𝐴 = 𝑣𝑣𝜋𝜋𝑅𝑅². Sabemos que 𝑅𝑅 corresponde ao raio da hélice, logo: 
𝐹𝐹 = 𝑄𝑄𝜌𝜌(𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣1) 
𝐹𝐹 = 𝑣𝑣𝜋𝜋𝑅𝑅²𝜌𝜌(𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣1) (4) 
Vimos que 𝑣𝑣3 ≈ 𝑣𝑣 ≈ 𝑣𝑣4, logo, não há mudanças na quantidade de 
movimento nos pontos entre a entrada e saída da hélice. A força da hélice 
também pode ser calculada pela diferença de pressão em cada lado da hélice, 
ou seja, 𝐹𝐹 = (𝑃𝑃4 − 𝑃𝑃3)𝜋𝜋𝑅𝑅². Nesse caso, a equação 4 pode ser reescrita: 
(𝑃𝑃4 − 𝑃𝑃3)𝜋𝜋𝑅𝑅² = 𝑣𝑣𝜋𝜋𝑅𝑅²𝜌𝜌(𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣1) 
𝑃𝑃4 − 𝑃𝑃3 = 𝑣𝑣𝜌𝜌(𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣1) (5) 
Podemos aplicar a equação de Bernoulli aos pontos 1 e 3 e aos pontos 4 
e 2. Desconsiderando qualquer mudança de elevação, ou seja, 𝑧𝑧1 = 𝑧𝑧2 = 𝑧𝑧3 =
𝑧𝑧4, e considerando as pressões 𝑃𝑃1 = 𝑃𝑃2 = 0 (𝑚𝑚𝑟𝑟𝑠𝑠) e que 𝑣𝑣3 ≈ 𝑣𝑣 ≈ 𝑣𝑣4, temos: 
𝑃𝑃1
𝛾𝛾
+
𝑣𝑣1²
2𝑘𝑘
+ 𝑧𝑧1 =
𝑃𝑃3
𝛾𝛾
+
𝑣𝑣3²
2𝑘𝑘
+ 𝑧𝑧3 
𝑃𝑃3 =
(𝑣𝑣12 − 𝑣𝑣²)
2𝑘𝑘
 𝛾𝛾 
𝑃𝑃4
𝛾𝛾
+
𝑣𝑣4²
2𝑘𝑘
+ 𝑧𝑧1 =
𝑃𝑃2
𝛾𝛾
+
𝑣𝑣2²
2𝑘𝑘
+ 𝑧𝑧3 
𝑃𝑃4 =
(𝑣𝑣22 − 𝑣𝑣²)
2𝑘𝑘
 𝛾𝛾 
Substituindo 𝑃𝑃3 e 𝑃𝑃4 na equação 5, temos: 
�
(𝑣𝑣22 − 𝑣𝑣²)
2𝑘𝑘
 𝛾𝛾�−�
(𝑣𝑣12 − 𝑣𝑣²)
2𝑘𝑘
 𝛾𝛾� = 𝑣𝑣𝜌𝜌(𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣1) 
 
 
18 
𝛾𝛾
2𝑘𝑘
[(𝑣𝑣22 − 𝑣𝑣²) − (𝑣𝑣12 − 𝑣𝑣²)] = 𝑣𝑣𝜌𝜌(𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣1) 
𝛾𝛾
2𝑘𝑘
[𝑣𝑣22 − 𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣12 + 𝑣𝑣²] = 𝑣𝑣𝜌𝜌(𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣1) → 
𝜌𝜌
2
(𝑣𝑣22 − 𝑣𝑣12) = 𝑣𝑣𝜌𝜌(𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣1) 
𝑣𝑣 =
𝜌𝜌
2 (𝑣𝑣2
2 − 𝑣𝑣12)
𝜌𝜌(𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣1)
 → 𝑣𝑣 =
(𝑣𝑣22 − 𝑣𝑣12)
2(𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣1)
 
Racionalizando esse termo, ficamos com: 
𝑣𝑣 =
(𝑣𝑣22 − 𝑣𝑣12)
2(𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣1)
(𝑣𝑣2 + 𝑣𝑣1)
(𝑣𝑣2 + 𝑣𝑣1)
 → 𝑣𝑣 =
(𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣1)(𝑣𝑣2 + 𝑣𝑣1)(𝑣𝑣2 + 𝑣𝑣1)
2(𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣1)(𝑣𝑣2 + 𝑣𝑣1)
 
Portanto: 
𝑣𝑣 =
(𝑣𝑣2 + 𝑣𝑣1)
2
 (6) 
A equação 6 indica que a velocidade na hélice é aproximadamente a 
velocidade média entre os pontos 1 e 2. Substituindo esse resultado na equação 
4, temos: 
𝐹𝐹 = �
(𝑣𝑣2 + 𝑣𝑣1)
2
�𝜋𝜋𝑅𝑅²𝜌𝜌(𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣1) → 𝐹𝐹 =
𝜋𝜋𝑅𝑅²𝜌𝜌
2
(𝑣𝑣2 + 𝑣𝑣1)(𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣1) 
𝐹𝐹 =
𝜋𝜋𝑅𝑅²𝜌𝜌
2
(𝑣𝑣22 − 𝑣𝑣12) (7) 
Portanto, não precisamos conhecer a velocidade nas pás doventilador 
para determinar a força desenvolvida pela hélice sobre o fluido. 
Considerando o fluido em repouso e a hélice fixa em um avião que se 
move para frente como 𝑣𝑣1, a potência de saída da hélice é dada por: 
�̇�𝑊0 = 𝐹𝐹𝑣𝑣1 (8) 
A taxa de trabalho necessária para manter o aumento de velocidade de 
𝑣𝑣1 para 𝑣𝑣2 é caracterizada pela potência de saída. Nesse caso, é necessário que 
o fluido apresente uma velocidade 𝑣𝑣 na hélice. Assim, temos: 
�̇�𝑊𝑖𝑖 = 𝐹𝐹𝑣𝑣 (9) 
A razão entre a potência de saída e a de entrada nos fornece a eficiência 
do sistema, dada por: 
𝑠𝑠 =
�̇�𝑊0
�̇�𝑊𝑖𝑖
 → 𝑠𝑠 =
𝐹𝐹𝑣𝑣1
𝐹𝐹𝑣𝑣
 
𝑠𝑠 =
2𝑣𝑣1
(𝑣𝑣2 + 𝑣𝑣1)
 (10) 
De forma geral, quanto maior a velocidade do objeto, avião ou barco, 
maior será a eficiência real do sistema, embora ela nunca alcance 100%, por 
conta de perdas pelos efeitos viscosos do fluido. Entretanto, a partir da 
 
 
19 
velocidade do som, a eficiência começa a cair. Testes experimentais em hélices 
de avião mostram eficiências reais entre 60% a 80%, enquanto os barcos 
apresentam eficiência na faixa de 40% a 60%, porque as suas hélices, de forma 
geral, são menores. Além disso, os efeitos viscosos da água são muito maiores 
que do ar. 
4.2 Turbina eólicas 
Em sistemas do tipo turbina eólica, as equações são semelhantes às 
obtidas para as hélices. Porém, podemos manipulá-las de forma um pouco 
diferente, buscando obter a força no rotor da turbina. Considere, para essa 
análise, a Figura 16. Observe que, nas turbinas eólicas, a velocidade diminui na 
passagem pelo rotor. 
Figura 16 – Volume de controle de uma turbina eólica 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
Nesse caso, a velocidade no rotor é dada por: 
𝑣𝑣 =
(𝑣𝑣1 + 𝑣𝑣2)
2
 (11) 
Comparando esse sistema com a hélice, a força no rotor da turbina eólica 
é dada por: 
𝐹𝐹 =
𝜋𝜋𝑅𝑅²𝜌𝜌
2
(𝑣𝑣12 − 𝑣𝑣22) (12) 
Em turbinas, a área da quantidade de ar que entra nas pás é 𝐴𝐴 = 𝜋𝜋𝑅𝑅² e 
atinge uma velocidade 𝑣𝑣. Assim, a potência de saída pode ser descrita da 
seguinte forma: 
 
 
20 
�̇�𝑊0 = 𝐹𝐹𝑣𝑣 → �̇�𝑊0 =
1
2
𝜌𝜌𝑣𝑣𝐴𝐴(𝑣𝑣12 − 𝑣𝑣22) (13) 
A potência na entrada de uma turbina eólica é dada por: 
�̇�𝑊𝑖𝑖 =
1
2
𝜌𝜌𝐴𝐴𝑣𝑣1(𝑣𝑣12) (14) 
Nesse caso, a eficiência da turbina eólica é dada por: 
𝑠𝑠 =
�̇�𝑊0
�̇�𝑊𝑖𝑖
 → 𝑠𝑠 =
1
2𝜌𝜌𝑣𝑣𝐴𝐴(𝑣𝑣1
2 − 𝑣𝑣22) 
1
2𝜌𝜌𝐴𝐴𝑣𝑣1(𝑣𝑣1
2)
 
𝑠𝑠 =
𝑣𝑣(𝑣𝑣12 − 𝑣𝑣22)
𝑣𝑣13
 (15𝑟𝑟) 
Ou ainda, substituindo a equação 11 em 15a, temos: 
𝑠𝑠 =
(𝑣𝑣1 + 𝑣𝑣2)
2
(𝑣𝑣12 − 𝑣𝑣22)
𝑣𝑣13
 → 𝑠𝑠 =
(𝑣𝑣13 − 𝑣𝑣1𝑣𝑣22 + 𝑣𝑣2𝑣𝑣12 − 𝑣𝑣23)
𝑣𝑣13
 
𝑠𝑠 =
1
2 �
1 − �
𝑣𝑣22
𝑣𝑣12
�� �1 + �
𝑣𝑣2
𝑣𝑣1
�� (15𝑙𝑙) 
Uma turbina eólica pode extrair até 59,3% da potência total do vento 
(Hibbeler, 2016). 
4.3 Turbojatos e turbofan 
As turbinas de avião são sistemas do tipo motor turbojato e turbofan. A 
diferença entre esses dois é que, no motor turbofan, há um ventilador acrescido 
na frente da turbina. Esse sistema recebe o ar em sua frente, com aumento de 
pressão quando passa por uma série de rotores, o que é conhecido como 
conjunto de compressor (Figura 17). 
Figura 17 – (a) Turbina real e (b) Modelo didático 
(a) (b) 
Fonte: aappp/Schutterstock; Hibbeler, 2016. 
 
 
21 
Quando o ar está com alta pressão, o combustível é injetado, com a 
decorrente ignição na câmara de combustão. Os gases se expandem e se 
movem em alta velocidade pela turbina. Uma parte da energia do gás é usada 
para girar o eixo da turbina, enquanto a outra parte impulsiona o avião à medida 
que o gás é ejetado pelo bocal exaustor. A Figura 18 mostra a velocidade do 
volume de controle (objeto), 𝑣𝑣𝑉𝑉𝑆𝑆, a vazão mássica do ar na entrada da turbina, 
�̇�𝑚𝑔𝑔, e a vazão máxima proveniente da queima do combustível, �̇�𝑚𝑓𝑓. Ainda na 
mesma figura, vemos o diagrama de corpo livre desse tipo de sistema, 
considerando a força peso da turbina, 𝑊𝑊, e a força de arrasto, 𝐹𝐹𝐴𝐴. 
Figura 18 – (a) Volume de controle e (b) Diagrama de corpo livre 
(a) (b) 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
Aplicando o somatório das forças na direção da turbina, temos: 
−𝑊𝑊𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑊𝑊 − 𝐹𝐹𝐴𝐴 = �̇�𝑚𝑔𝑔𝑣𝑣𝑉𝑉𝑆𝑆 − ��̇�𝑚𝑔𝑔 + �̇�𝑚𝑓𝑓�𝑣𝑣𝑒𝑒 
Sabemos que 𝑣𝑣𝑒𝑒 corresponde à velocidade da exaustão. Portanto, a força 
de arrasto pode ser obtida por: 
𝐹𝐹𝐴𝐴 = −𝑊𝑊𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑊𝑊 − �̇�𝑚𝑔𝑔𝑣𝑣𝑉𝑉𝑆𝑆 + ��̇�𝑚𝑔𝑔 + �̇�𝑚𝑓𝑓�𝑣𝑣𝑒𝑒 (16) 
A força de empuxo é o resultado dos termos do lado direito da equação 
do somatório das forças. Assim, temos: 
𝑇𝑇 = �̇�𝑚𝑔𝑔𝑣𝑣𝑉𝑉𝑆𝑆 − ��̇�𝑚𝑔𝑔 + �̇�𝑚𝑓𝑓�𝑣𝑣𝑒𝑒 
 TEMA 5 – TIPOS DE TURBOMÁQUINAS 
As bombas e turbinas são turbomáquinas que transferem energia entre o 
fluido e as pás dos rotores. Sabemos que bombas, ventiladores, compressores 
e sopradores acrescentam energia ao fluido, enquanto as turbinas retiram 
energia. 
 
 
22 
Se o escoamento ocorre ao longo do eixo da máquina, ela é chamada de 
máquina de escoamento axial. Exemplos desse tipo de máquina são os 
compressores e a turbina (Figura 19). 
Figura 19 – Turbina a vapor industrial 
 
Crédito: Hywit Dimyadi/Schutterstock. 
Quando o escoamento é direcionado na direção radial, em relação às pás, 
ele é conhecido como máquina de escoamento radial. Um exemplo é a bomba 
centrífuga (Figura 20). 
Figura 20 – (a) Bomba centrífuga em corte e (b) Simulação numérica 
(a) (b) 
Crédito: Itsanan/Shutterstock; Shishir Gautam/ Schutterstock. 
 
 
23 
5.1 Bombas de escoamento axial 
As bombas de escoamento axial podem ser utilizadas em sistemas que 
demandam altas vazões. Entretanto, fornecem escoamentos com pressão 
relativamente baixa. São aplicadas para remover água em baixa profundidade, 
sendo projetadas para que o escoamento não sofra mudanças de direção. Ou 
seja, o fluido entra e sai da bomba na direção axial, como mostra a Figura 21. 
Figura 21 – Escoamento em bomba axial 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
A energia é adicionada ao fluido através do rotor (ou impelidor), que 
consiste em um eixo com pás ou palhetas. O funcionamento desse elemento 
pode ser observado na Figura 22. Quando o fluido é direcionado para cima pelo 
rotor, a remoção de fluido reduz a pressão, e assim mais fluido é elevado para 
cima (direção axial) com uma velocidade 𝑣𝑣𝑔𝑔. O fluido entra na pá com uma 
velocidade 𝒗𝒗𝟏𝟏 e sai com uma velocidade 𝒗𝒗𝟐𝟐. Pela equação da continuidade 
(conservação da massa), temos que 𝑣𝑣𝑔𝑔1 = 𝑣𝑣𝑔𝑔2 = 𝑣𝑣𝑔𝑔, o que indica que a 
velocidade na direção axial é constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
Figura 22 – Escoamento nas palhetas do rotor axial 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
O toque aplicado ao fluido é dado por: 
𝑇𝑇 = 𝜌𝜌𝑄𝑄𝑟𝑟𝑚𝑚(𝑣𝑣𝑡𝑡2 − 𝑣𝑣𝑡𝑡1) (17) 
Temos que 𝑟𝑟𝑚𝑚 corresponde ao raio médio do rotor (medido no meio da pá 
do rotor), enquanto 𝑣𝑣𝑡𝑡1 e 𝑣𝑣𝑡𝑡2 correspondem à velocidade tangencial na entrada 
e na saída da pá do rotor. Essa equação é chamada de equação de 
turbomáquina de Euler. 
A potência do eixo é definida por: 
�̇�𝑊𝑏𝑏𝑏𝑏𝑚𝑚𝑏𝑏𝑔𝑔 = 𝑇𝑇𝜔𝜔 = 𝜌𝜌𝑄𝑄𝑟𝑟𝑚𝑚(𝑣𝑣𝑡𝑡2 − 𝑣𝑣𝑡𝑡1)𝜔𝜔 (18) 
Temos que 𝜔𝜔 corresponde à velocidade angular do rotor (rotação). 
A perda de carga da bomba pode ser determinada por: 
ℎ𝑏𝑏𝑏𝑏𝑚𝑚𝑏𝑏𝑔𝑔=
𝑈𝑈(𝑣𝑣𝑡𝑡2 − 𝑣𝑣𝑡𝑡1)
𝑘𝑘
 (19) 
Temos que 𝑈𝑈 corresponde à velocidade no centro da pá, calculada por 
𝑈𝑈 = 𝜔𝜔𝑟𝑟𝑚𝑚. 
5.2 Bombas de escoamento radial 
Provavelmente, você está familiarizado com a bomba de escoamento 
radial, pois trata-se do tipo mais comum de bomba utilizado na indústria. Ela 
opera em rotações menores em comparação às bombas axiais, o que significa 
que a sua vazão é menor. Porém, ela pode trabalhar com pressões mais altas. 
O fluido entra na bomba pela parte frontal (direção axial), no centro da bomba, e 
sai pela direção radial (Figura 23). 
 
 
25 
Figura 23 – Escoamento em bomba radial 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
Por conta da sua rotação, o líquido é transferido para cima através das 
pás do rotor. Quando o líquido escoa para fora de cada pá do rotor, ele segue a 
direção demonstrada pela palheta guia. Posteriormente, segue para fora dela no 
entorno da voluta da bomba (carcaça), conforme mostra a Figura 24. O fluido 
encontra o escape da carcaça na tubulação por onde o fluido será direcionado. 
Figura 24 – Funcionamento do escoamento em bomba radial 
 
Fonte: Hibbeler, 2016. 
O fluido escoa na borda de ataque a uma velocidade 𝑈𝑈1 = 𝜔𝜔𝑟𝑟1 e na borda 
de fuga com uma velocidade mais alta, de 𝑈𝑈2 = 𝜔𝜔𝑟𝑟2. O ângulo 𝛽𝛽 está entre a 
direção da velocidade na borda de ataque ou de fuga e a sua respectiva 
 
 
26 
velocidade relativa 𝒗𝒗𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓. Podemos estabelecer o ângulo entre a velocidade do 
fluido 𝒗𝒗 e 𝑼𝑼. Neste contexto, a velocidade do fluido é dada por: 𝒗𝒗 = 𝑼𝑼 + 𝒗𝒗𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓, ou, 
por trigonometria, considerando a velocidade tangencial e radial: 𝒗𝒗 = 𝒗𝒗𝒕𝒕 + 𝒗𝒗𝒓𝒓. 
Pelo princípio da continuidade (conservação da massa), temos que: 
𝑣𝑣𝑟𝑟1𝑟𝑟1 = 𝑣𝑣𝑟𝑟2𝑟𝑟2 (20) 
O raio na saída do rotor, 𝑟𝑟2, é maior que que na entrada, 𝑟𝑟1. Logo, para ter 
essa igualdade, temos que 𝑣𝑣𝑟𝑟1 > 𝑣𝑣𝑟𝑟2. 
O torque sobre o eixo do rotor é dado por: 
𝑇𝑇 = 𝜌𝜌𝑄𝑄(𝑟𝑟2𝑣𝑣𝑡𝑡2 − 𝑟𝑟1𝑣𝑣𝑡𝑡1) (21) 
Temos que 𝑣𝑣𝑡𝑡1 e 𝑣𝑣𝑡𝑡2 são, respectivamente, a velocidade tangencial na 
borda de ataque (entrada do rotor) e na borda de fuga (saída do rotor). Por 
relações trigonométricas, a equação 21 pode ser reescrita da seguinte forma: 
𝑇𝑇 = 𝜌𝜌𝑄𝑄(𝑟𝑟2𝑣𝑣𝑟𝑟2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑘𝑘𝛼𝛼2 − 𝑟𝑟1𝑣𝑣𝑟𝑟1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑘𝑘𝛼𝛼1) (22) 
Temos que 𝛼𝛼 corresponde ao ângulo entre o vetor velocidade tangencial, 
𝑣𝑣𝑡𝑡, e o vetor velocidade resultante, 𝑣𝑣. 
A potência desenvolvida na bomba é também chamada de potência de 
eixo, pois é a potência real que o motor terá que realizar para movimentar o eixo 
da bomba e transmitir o torque e a velocidade desejados. Essa potência pode 
ser calculada por: 
�̇�𝑊𝑏𝑏𝑏𝑏𝑚𝑚𝑏𝑏𝑔𝑔 = 𝑇𝑇𝜔𝜔 = 𝜌𝜌𝑄𝑄(𝑈𝑈2𝑣𝑣𝑟𝑟2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑘𝑘𝛼𝛼2 − 𝑈𝑈1𝑣𝑣𝑟𝑟1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑘𝑘𝛼𝛼1) (23) 
Ou ainda: 
�̇�𝑊𝑏𝑏𝑏𝑏𝑚𝑚𝑏𝑏𝑔𝑔 = 𝜌𝜌𝑄𝑄(𝑈𝑈2𝑣𝑣𝑡𝑡2 − 𝑈𝑈1𝑣𝑣𝑡𝑡1) (24) 
A perda de carga da bomba pode ser determinada por: 
ℎ𝑏𝑏𝑏𝑏𝑚𝑚𝑏𝑏𝑔𝑔 =
(𝑈𝑈2𝑣𝑣𝑡𝑡2 − 𝑈𝑈1𝑣𝑣𝑡𝑡1)
𝑘𝑘
 (25𝑟𝑟) 
Ou ainda: 
ℎ𝑏𝑏𝑏𝑏𝑚𝑚𝑏𝑏𝑔𝑔 =
𝑈𝑈22
𝑘𝑘
−
𝑈𝑈2𝑄𝑄𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑘𝑘𝛽𝛽2
2𝜋𝜋𝑟𝑟2𝑙𝑙𝑘𝑘
 (25𝑙𝑙) 
Temos que 𝑙𝑙 corresponde à espessura da pá. 
FINALIZANDO 
Nesta etapa, estudamos algumas equações importantes para o cálculo da 
força proveniente do escoamento de um fluido. Nesse contexto, analisamos 
equipamentos muito utilizados no transporte, na indústria, no fornecimento de 
água e na geração de energia. Você aprendeu a calcular a força ou o torque em 
 
 
27 
dispositivos do tipo hélice e turbina, bem como determinar a sua potência e 
eficiência. Por fim, aprendemos a determinar o torque, a potência e a perda de 
carga em bombas, considerando os parâmetros geométricos do rotor. 
Lembre-se sempre de que você pode esclarecer as suas dúvidas com o 
seu professor/tutor, que estará pronto a ajudar, através do ícone Tutoria. Nos 
encontramos na próxima. Bons estudos! 
 
 
 
28 
REFERÊNCIAS 
HIBBELER, R. C. Mecânica dos fluidos. 1. ed. São Paulo: Pearson, 2016. 
	Conversa inicial
	FINALIZANDO
	REFERÊNCIAS