ESTRUTURA DE AÇO E MADEIRA

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PROFESSORAS
Me. Anne Caroline Monteiro Diniz 
Me. Camila Barella Luiz
Estrutura de 
Aço e Madeira
FICHA CATALOGRÁFICA
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. 
Núcleo de Educação a Distância. LUIZ, Camila Barella; DINIZ, Anne 
Caroline Monteiro.
Estrutura de Aço e Madeira. Camila Barella Luiz, Anne Caroline 
Monteiro Diniz. Maringá - PR.: Unicesumar, 2021. 
268 p.
ISBN: 978-65-5615-718-4
“Graduação - EaD”. 
1. Estrutura 2. Aço 3. Madeira. EaD. I. Título. 
Impresso por: 
Bibliotecário: João Vivaldo de Souza CRB- 9-1679 Pró Reitoria de Ensino EAD Unicesumar
Diretoria de Design Educacional
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
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PRODUÇÃO DE MATERIAIS
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Odlevati Ferreira Realidade Aumentada Maicon Douglas Curriel Fotos Shutterstock. 
Tudo isso para honrarmos a 
nossa missão, que é promover 
a educação de qualidade nas 
diferentes áreas do conhecimento, 
formando profissionais 
cidadãos que contribuam para o 
desenvolvimento de uma sociedade 
justa e solidária.
Reitor 
Wilson de Matos Silva
A UniCesumar celebra os seus 30 anos de 
história avançando a cada dia. Agora, enquanto 
Universidade, ampliamos a nossa autonomia 
e trabalhamos diariamente para que nossa 
educação à distância continue como uma das 
melhores do Brasil. Atuamos sobre quatro 
pilares que consolidam a visão abrangente do 
que é o conhecimento para nós: o intelectual, o 
profissional, o emocional e o espiritual.
A nossa missão é a de “Promover a educação de 
qualidade nas diferentes áreas do conhecimento, 
formando profissionais cidadãos que contribuam 
para o desenvolvimento de uma sociedade 
justa e solidária”. Neste sentido, a UniCesumar 
tem um gênio importante para o cumprimento 
integral desta missão: o coletivo. São os nossos 
professores e equipe que produzem a cada dia 
uma inovação, uma transformação na forma 
de pensar e de aprender. É assim que fazemos 
juntos um novo conhecimento diariamente.
São mais de 800 títulos de livros didáticos 
como este produzidos anualmente, com a 
distribuição de mais de 2 milhões de exemplares 
gratuitamente para nossos acadêmicos. Estamos 
presentes em mais de 700 polos EAD e cinco 
campi: Maringá, Curitiba, Londrina, Ponta Grossa 
e Corumbá), o que nos posiciona entre os 10 
maiores grupos educacionais do país.
Aprendemos e escrevemos juntos esta belíssima 
história da jornada do conhecimento. Mário 
Quintana diz que “Livros não mudam o mundo, 
quem muda o mundo são as pessoas. Os 
livros só mudam as pessoas”. Seja bem-vindo à 
oportunidade de fazer a sua mudança! 
Aqui você pode 
conhecer um 
pouco mais sobre 
mim, além das 
informações do 
meu currículo.
Me. Camila Barella Luiz
Olá, aluno (a)! Eu me chamo Camila Barella e gostaria de com-
partilhar com você um pouco da minha história. Eu iniciei 
meus estudos na Universidade Estadual de Maringá, onde 
me graduei em Engenharia Civil. A escolha do curso para mim 
foi um tanto complicada, porque, apesar de ser apaixonada 
por construções, eu sempre me dividi entre Arquitetura e 
Engenharia. No final, a paixão pelo cálculo e pela física me 
fez optar pela Engenharia Civil.
Logo que entrei na faculdade, decidi que seguiria para a área 
de Estruturas, o que, de fato, aconteceu. Fiz alguns estágios na 
área de Gestão e Acompanhamento de Obras, porém, assim 
que me formei, fui trabalhar em uma empresa de projetos e 
execução de concreto protendido. Ali, tive a oportunidade de 
me desenvolver muito, além da experiência, fiz cursos de gestão, 
uso de softwares estruturais e o treinamento de protensão não 
aderente do Post-Tensioning Institute. 
Buscando o sonho de lecionar, entrei no programa de pós-
-graduação da Escola de Engenharia de São Carlos, onde concluí 
meu mestrado na área da Confiabilidade Estrutural. Mas, apesar 
de todo este caminho, eu ainda sou apaixonada pela arquitetura, 
o que me leva, nas horas vagas, a fazer longos passeios a pé ou 
de bicicleta, observando diferentes construções. Em toda via-
gem que faço, eu sempre separo um dia para vagar pelas ruas, 
observando a arquitetura da região. 
http://lattes.cnpq.br/5342850272989866
Aqui você pode 
conhecer um 
pouco mais sobre 
mim, além das 
informações do 
meu currículo.
Me. Anne Caroline Monteiro Diniz
Olá, estudante! Eu me chamo Anne Diniz, sou formada em Enge-
nharia Civil, pela Universidade Federal da Paraíba, fiz mestrado 
em Engenharia de Estruturas, na Escola de Engenharia de São 
Carlos (Universidade de São Paulo) e, atualmente, faço o dou-
torado na mesma instituição. Parece que foi ontem que, assim 
como você, estava entre os semestres do curso de Engenharia. 
Eu lhe digo que tudo passa muito rápido e o/a aconselho que 
aproveite cada momento. Confesso que sempre tive um carinho 
especial pela área acadêmica. Assim que consegui meu 1º projeto 
de pesquisa, entrei de cabeça. A experiência me proporcionou 
conhecimentos que foram muito além das descobertas de labo-
ratório. Daí em diante, outras oportunidades foram surgindo. 
Apesar de ter mais afinidade com a área de Estruturas, todas 
elas eram voltadas à hidráulica. Para minha surpresa, no último 
período do curso, uma oportunidade inesperada de estágio 
em um escritório de cálculo de estruturas metálicas apareceu. 
Aquela experiência foi fantástica. Não tive dúvidas. Essa era a 
área que gostaria de atuar. Concluído o curso, decidi, então, unir 
o meu interesse pela academia e pela Engenharia de Estruturas. 
Depois de alguns meses de estudo, realizei o sonho de ingressar 
na pós-graduação que tanto desejava. Dividi um pouquinho da 
minha história com você para lhe dizer que a nossa carreira 
como engenheiro é uma construção. Aproveite cada momento 
do seu curso, dedique-se, desenvolva-se, estude, compartilhe, 
permita-se testar diferentes oportunidades. Tenho certeza de 
que você terá um futuro brilhante na engenharia. Sucesso!
http://lattes.cnpq.br/5218591775663191
Quando identificar o ícone de QR-CODE, utilize o aplicativo Unicesumar 
Experience para ter acesso aos conteúdos on-line. O download do aplicativo 
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Ao longo do livro, você será convidado(a) a refletir, questionar e transformar. Aproveite 
este momento.
PENSANDO JUNTOS
EU INDICO
Enquanto estuda, você pode acessar conteúdos online que ampliaram a discussão sobre 
os assuntos de maneira interativa usando a tecnologia a seu favor.
Sempre que encontrar esse ícone, esteja conectado à internet e inicie o aplicativo 
Unicesumar Experience. Aproxime seu dispositivo móvel da página indicada e vejaos 
recursos em Realidade Aumentada. Explore as ferramentas do App para saber das 
possibilidades de interação de cada objeto.
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Uma dose extra de conhecimento é sempre bem-vinda. Posicionando seu leitor de QRCode 
sobre o código, você terá acesso aos vídeos que complementam o assunto discutido
PÍLULA DE APRENDIZAGEM
Professores especialistas e convidados, ampliando as discussões sobre os temas.
RODA DE CONVERSA
EXPLORANDO IDEIAS
Com este elemento, você terá a oportunidade de explorar termos e palavras-chave do 
assunto discutido, de forma mais objetiva.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/3881
ESTRUTURA DE AÇO E MADEIRA
Imagine que você foi contratado como profissional responsável para a elaboração de um projeto de 
cobertura de um galpão de armazenamento de grãos, no interior de Minas Gerais. Considerando 
a viabilidade econômica, estrutural e construtiva, qual o material você utilizaria?
As coberturas são elementos responsáveis pela proteção das edificações contra as intempéries, 
proporcionando ao usuário conforto térmico e acústico. Este sistema é constituído por elementos 
de vedação: as telhas, assim como elementos estruturais: ripas, caibros e terças (elementos com-
plementares) e as tesouras ou vigas de sustentação (elementos principais).
Os elementos estruturais da cobertura são, comumente, fabricados em aço ou madeira, varian-
do de acordo com o tipo de obra e as características da cobertura. No geral, a escolha do material 
está relacionada a uma rápida execução e montagem, ao peso do telhado e à cobertura e ao seu 
custo, no local da obra. 
Pensando no projeto da cobertura de galpões do qual você foi encarregado, pesquise quais as 
vantagens e as desvantagens do aço e da madeira, na execução de coberturas. Em que casos os 
aços são mais utilizados? E as madeiras? Reflita sobre qual material você utilizaria no seu projeto.
Como você deve ter encontrado em sua pesquisa, a madeira é, usualmente, utilizada na execu-
ção de coberturas, devido à sua resistência, à baixa densidade e à fácil obtenção. Entretanto este 
material, além de escasso (devido ao desmatamento), é suscetível a ataques de agentes biológicos, 
como cupins. Em contrapartida, o aço vem ganhando grande espaço na construção civil. Apresen-
tando preços competitivos, quando comparados à madeira. A arquitetura moderna dos telhados 
embutidos, que permite pequenas inclinações e garante telhas mais leves, também contribuiu para 
o crescimento das estruturas de aço nas coberturas residenciais.
Neste livro, você, futuro(a) engenheiro(a), aprenderá sobre as características e as propriedades 
destes dois materiais estruturais, os aços e as madeiras. Verá os detalhes e as especificações para a 
execução de elementos estruturais de ambos os materiais. Iniciará seu estudo pelas estruturas de 
aço, vendo, detalhadamente, como dimensionar elementos de aço submetido a esforços de tração, 
compressão e flexão. Aprenderá, também, o funcionamento e os dimensionamentos das ligações 
entre os diferentes elementos. 
Em seguida, você estudará as estruturas de madeira, como determinar a resistência de cálculo 
desse material que depende de tantas variáveis. Em seguida, assim como nas estruturas de aço, 
abordaremos, especificamente, o dimensionamento de peças para cada tipo de esforço interno: 
tração, compressão e flexão. 
Ao final, abordaremos os sistemas de coberturas, especificando os diferentes elementos que 
as compõem, assim como um roteiro para o dimensionamento das estruturas de cobertura tanto 
em madeira quanto aço. 
Dessa forma, ao final do livro, você será capaz de dimensionar coberturas (e outras estruturas) 
em aço e em madeira, além de escolher qual o melhor material para cada caso. 
Convido você a embarcar neste aprendizado sobre Estruturas de Aço e Madeira. 
APRENDIZAGEM
CAMINHOS DE
1 2
43
5
11
51
33
93
CARACTERÍSTICAS 
E PROPRIEDADES 
DOS MATERIAIS
6 155
DIMENSIONAMENTO 
DE ESTRUTURAS DE 
MADEIRA: PEÇAS 
TRACIONADAS E 
COLUNAS CURTAS 
COMPRIMIDAS
DIMENSIONAMENTO 
DE ESTRUTURAS 
DE AÇO: LIGAÇÕES
DIMENSIONAMENTO 
DE ESTRUTURAS 
DE AÇO: PEÇAS 
TRACIONADAS
DIMENSIONAMENTO 
DE ESTRUTURAS DE 
AÇO: PEÇAS COM-
PRIMIDAS
DIMENSIONAMENTO 
DE ESTRUTURAS 
DE AÇO: PEÇAS 
FLETIDAS
125
7 175 8 201
DIMENSIONAMENTO 
DE ESTRUTURAS DE 
MADEIRA: LIGAÇÕES
DIMENSIONAMENTO 
DE ESTRUTURAS DE 
MADEIRA: PEÇAS 
FLETIDAS
9 219
PROJETO DE 
COBERTURAS
1
Nesta unidade, você aprenderá um pouco mais sobre as caracterís-
ticas e as propriedades dos aços e das madeiras. Pretendo que, ao 
final desta unidade, você conheça as vantagens e as desvantagens 
de cada um desses materiais, conseguindo elencar as propriedades 
do aço, suas diferentes formas de comercialização e, principalmen-
te, o seu comportamento quando submetido a tensões normais, 
identificando os diferentes patamares do diagrama tensão e defor-
mação desses materiais. Em relação à madeira, você compreende-
rá o comportamento anisotrópico deste material, as causas e os 
defeitos mais comuns encontrados nas peças de madeira, além de 
compreender os diferentes fatores que influenciam na resistência 
destas, como o teor de umidade, por exemplo.
Características e 
Propriedades dos 
Materiais
Me. Camila Barella Luiz
12
UNICESUMAR
Imagine que você foi contratado para construir uma edícula em uma casa de campo, seu cliente possui 
muita madeira proveniente do desmatamento do terreno e gostaria de saber se é possível utilizá-la 
na construção. Contudo a esposa de seu cliente não simpatiza com a ideia de construir a área externa 
da casa, na qual ficará a churrasqueira, em madeira, e gostaria de construir em uma estrutura de aço. 
Neste contexto, você como engenheiro(a) saberia o que aconselhar para o seu cliente? 
Antes de iniciar, de fato, o projeto estrutural de uma obra, é necessário tomar uma série de decisões 
que influenciarão nos custos e na qualidade da edificação. Entre essas escolhas, lista-se a determinação 
dos materiais e do sistema estrutural adequado para garantir a segurança, a economia e a durabilidade 
relativas ao projeto arquitetônico.
A concepção estrutural será guiada pelo projeto arquitetônico, o qual estabelecerá a funcionali-
dade, a estética e, principalmente, os tamanhos dos vãos da edificação. Com estas informações e o 
conhecimento da mão de obra necessária, sua disponibilidade na região da obra e os prazos para sua 
execução, caberá a você, engenheiro(a), definir, de acordo com as características dos materiais dispo-
níveis, a melhor solução para o empreendimento. 
Dessa forma, é fácil perceber a complexidade que envolve a escolha do material ideal para a execução 
de uma estrutura, e que essa escolha não será a mesma para todas as construções. Por isso, você deve 
conhecer as características e as limitações dos materiais disponíveis no mercado brasileiro, buscando 
compreender as aplicações ideais para as suas propriedades. 
Pensando na edícula da casa de campo e com base nos seus conhecimentos sobre as propriedades 
estruturais dos aços e das madeiras, qual dos dois materiais você sugeriria? Você concorda com a es-
posa do seu cliente? Acredita que a madeira por ser um material inflamável, possuirá um desempenho 
inferior ao aço em caso de um incêndio ocorrer? E em relação aos custos de uma estrutura em aço ou 
madeira, qual dos dois seria melhor para este caso? 
13
UNIDADE 1
Buscando resolver estas e outras perguntas que você venha a levantar, pesquise sobre as vantagens 
e desvantagens do uso destes materiais como estruturas. Lembre-se de que cada questão poderá variar 
de acordo com a região do país na qual atuará, pontue isso em suas anotações.
No seu Diário de Bordo, anote o que você encontrar das suas pesquisas e reflita sobre qual material 
você indicaria para o seu cliente.
DIÁRIO DE BORDO
Depois de fazer suas pesquisas e suas anotações, o que você notou? Em sua região, há uma resistência 
cultural a um ou a outro material? Os preços variam muito entre a madeira eo aço? É necessário mão 
de obra especializada? Reflita sobre os pontos que fazem um material interessante, do ponto de vista 
estrutural, como: resistência, peso, homogeneidade, durabilidade, facilidade de montagem, custo.
Devido à importância de se conhecer os materiais que compõem as estruturas, falaremos, agora, 
sobre as características e as propriedades dos aços e das madeiras, materiais estes que usaremos para o 
dimensionamento de estruturas nas unidades seguintes. Comecemos, então, pelos aços estruturais, 
que são uma liga de ferro e carbono na qual podem ser adicionados outros elementos, como cobre, 
manganês, fósforo e titânio, com o intuito de melhorar as propriedades mecânicas do material, po-
dendo ser divididos em aços-carbono e aços de baixa liga. Ambos os aços podem apresentar aumento 
da resistência mecânica se passados por tratamento térmico, todavia a soldagem fica comprometida.
14
UNICESUMAR
 Em relação às propriedades mecânicas, podemos considerar o aço estrutural 
como um material isotrópico, isto é, um material cujas propriedades mecânicas 
não variam com a direção de análise. Sendo assim, os valores limites encontrados no 
diagrama tensão-deformação são os mesmos independentemente da direção que se 
avalia as tensões. O diagrama tensão-deformação obtido por meio do tracionamento 
de uma barra de aço descreve o comportamento do aço quando submetido a cargas 
estáticas. Este comportamento é dividido em regime elástico, regime plástico e ruptura, 
conforme observamos na Figura 1. 
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���������� �����������
�������������� ��
����
uf
yf
yfpf = -�r
y�
�
�
Descrição da Imagem: a figura mostra o gráfico da tensão-deformação do aço, o qual é composto por um 
trecho linear, chamado regime elástico, um patamar de escoamento e um trecho curvo chamado encruamento.
Figura 1 - Diagrama tensão-deformação de uma barra de aço / Fonte: as autoras.
O regime elástico é caracterizado por uma reta cuja inclinação equivale ao módulo de 
elasticidade do material. Nesse trecho do diagrama, a tensão-deformação é governada 
pela lei de Hooke, σ ε= E. , até atingir a tensão limite de proporcionalidade ( f p ). A 
partir deste valor, o material entra no regime plástico, neste estágio, as deformações 
apresentadas pelo material passam a ser permanentes, isto é, não são desfeitas quando 
cessada a aplicação das forças atuantes.
O regime plástico é dividido em duas partes: patamar de escoamento e encrua-
mento. O primeiro caracteriza-se por um aumento crescente das deformações, sem 
variação da tensão aplicada. Isso se deve a uma reestruturação interna do material, 
o que justifica a incapacidade deste em voltar ao seu estado original caso sejam re-
tiradas as cargas aplicadas. A tensão que representa este patamar é conhecida como 
15
UNIDADE 1
resistência ao escoamento e é uma das características mais importantes dos aços. 
Após o escoamento, o aço volta a suportar maiores tenções até atingir sua ruptura, 
respeitando uma relação não linear, e a essa etapa chamamos encruamento. 
A Tabela 1 apresenta as tensões de escoamento e ruptura dos principais aços 
utilizados em estruturas. Os três últimos aços (ASTM 572, A588 e A992) são aços 
de baixa liga, enquanto os demais são do tipo aço-carbono.
Tipo de aço Limite de escoamento 
f y (Mpa)
Resistência de ruptura 
fu (Mpa)
ASTM A7 240 370-500
ASTM A36 250 400-500
ASTM MR250 250 400
ASTM A307 - parafuso - 415
ASTM A325 - parafuso 635 825
EN S235 235 360
ASTM 572 Gr 50 345 450
ASTM A588 345 485
ASTM A992 345 450
Tabela 1 - Resistência dos aços estruturais mais comuns / Fonte: adaptada de Pfeil e Pfeil (2009). 
O regime elástico dos aços trabalha conjuntamente com a propriedade de resiliência 
do mesmo. Esta propriedade é a capacidade de o material absorver por completo 
toda a energia mecânica depositada sobre ele e de voltar ao estado original quando 
interrompido o carregamento. Quando, além do regime elástico, também, nos inte-
ressamos pela absorção da energia mecânica no regime plástico, a propriedade que 
nos interessa é, então, a tenacidade. Esta é fornecida pela área total do diagrama ten-
são-deformação do ensaio de tração simples, apresentado anteriormente, na Figura 1. 
Outra propriedade importante dos aços é a ductilidade, que é a capacidade de 
o material apresentar grandes deformações antes da falha, medida pela deformação 
unitária residual, na ruptura. Cada categoria de aço apresenta limites mínimos de 
alongamento para garantir a ductilidade do material. Esta característica é de grande 
vantagem para o seu emprego em estruturas, uma vez que as deformações servem 
como um alerta da atuação de grandes carregamentos. Todavia deve-se tomar cuidado 
com baixas temperaturas e soldas já que estes são fatores capazes de fazer o aço se com-
portar como um material frágil, isto é, passar a não sofrer grandes alongamentos antes 
da ruptura. Segundo Pfeil e Pfeil (1995), diversos acidentes por ruptura frágil foram 
causados, devido a procedimentos inadequados de solda, em navios e pontes de aço.
16
UNICESUMAR
Perceba que, até agora, falamos de propriedades que são informadas e associadas a ensaios estáti-
cos, contudo as estruturas reais são submetidas a esforços variados, ao longo do tempo. É claro que 
há carregamentos, os chamados permanentes, que não se alterarão ao longo do tempo, entretanto os 
carregamentos mais preocupantes para a falha das estruturas, como ventos e cargas móveis sofrerão 
mudanças ao longo de toda a vida útil da construção. Dessa forma, as peças metálicas serão subme-
tidas a carregamentos e descarregamentos que podem “reduzir” a tensão de ruptura do material, e a 
este comportamento chamamos fadiga. Conhecer a resistência do aço à fadiga é fundamental para 
o dimensionamento de peças submetidas a ações dinâmicas, como é o caso de máquinas e pontes. 
Um contratempo que não deve ser esquecido pelo engenheiro, ao projetar estruturas de aço, é a 
suscetibilidade deste material à corrosão, nome dado ao processo de reação do aço a elementos do 
ambiente que está inserido, como o oxigênio presente no ar. Este processo leva a uma diminuição da 
seção transversal das peças, podendo, assim, levar a estrutura ao colapso. Por isto, a NBR 8800 (ABNT, 
2008) recomenda a utilização de sobrespessura para corrosão, durante o dimensionamento das peças 
de aço ou a proteção das mesmas contra a corrosão. 
Segundo Pfeil e Pfeil (2009), a proteção do aço contra a corrosão é, usualmente, feita por pintura ou 
galvanização, que consiste em um cobrimento da peça por uma camada de zinco. Ambos os processos 
exigem adequada limpeza da peça, antes da execução da proteção. É importante ressaltar que o teor 
de carbono no aço eleva a sua resistência à corrosão, devido ao surgimento de uma película protetora 
produzida pela própria corrosão. 
No mercado brasileiro, os aços são disponibilizados sob diversas formas, sendo elas: chapas, bar-
ras, perfis laminados, cordoalhas e cabos. As chapas são peças laminadas planas, as quais apresentam 
espessura muito menor que as outras dimensões. Elas são divididas em chapas grossas – que apre-
sentam espessura maior que 5mm – e chapas finas – cuja espessura é inferior a 5mm. Essas peças são 
empregadas na fabricação de perfis soldados usados como vigas e colunas, mas também podem passar 
por dobramentos para a produção de perfis formados a frio. 
17
UNIDADE 1
As barras de aço são peças que apresentam duas direções muito menores que o comprimento, e as 
seções transversais são variadas: retangular alongada, quadrada e circular. As barras, também, podem 
ser lisas ou nervuradas. Na construção civil, as barras nervuradas de seção circular, também chamadas 
de vergalhões, são empregadas como armadura passiva do concreto armado. 
Descrição da Imagem: a figura apresenta uma pilha de chapas de aço com diferentes espessuras.
Figura 2 - Chapas de aço laminado em diferentes espessuras
A B
Descrição da Imagem: a figura apresenta, na imagem à esquerda, barras de seção retangularplana, e, na imagem à direita, barras 
de seção circular lisas e nervuradas.
Figura 3 - a) barras de aço planas b) barras de aço circulares lisas e nervuradas
18
UNICESUMAR
Os perfis são divididos em laminados, soldados e dobrados. Os perfis laminados são fabricados a quente, 
nas siderúrgicas, e, portanto, apresentam dimensões padronizadas. No Brasil, os perfis laminados são 
produzidos com aço ASTM A 572, com f MPay = 345 e f MPau = 450 . As seções transversais destes 
perfis são semelhantes a letras, como I, H, U e L, sendo de grande eficiência estrutural. A nomenclatura 
destes perfis segue a seguinte regra: primeiramente, informa-se o tipo de perfil (W, HP, HPP), seguido 
da sua altura total (mm) e de sua massa linear (kg/m).
Descrição da Imagem: a figura mos-
tra as diferentes seções transversais 
dos perfis laminados.
Figura 4 - Perfis de aço Laminado
19
UNIDADE 1
 Os perfis soldados são produzidos pela soldagem de chapas de aço, o que garante uma 
versatilidade nas dimensões desses perfis quando comparados aos perfis laminados. 
Todavia o custo de fabricação dos mesmos também é mais elevado, devido aos custos 
com a soldagem. Os perfis dobrados, também conhecidos como perfis formados a 
frio, assim como os soldados são produzidos a partir de chapas metálicas e podem 
ser fabricados de acordo com as necessidades do projeto. Este tipo de perfil tem 
ganhado espaço, na construção civil, com a execução de estruturas metálicas leves. 
Descrição da Imagem: a figura mostra perfis moldados a frio de seção transversal Cartola.
Figura 5 - Perfis de chapa de aço dobrado
Os cabos de aço são constituídos por fios trefilados, agrupados em arranjos heli-
coidais variáveis. Sendo muito flexíveis. Já as cordoalhas são formadas por sete fios 
entrelaçados entre si, de forma helicoidal. Este material possui módulo de elasticidade 
semelhante e resistência muito superior as barras de aço. 
20
UNICESUMAR
Agora, falaremos um pouco sobre as madeiras, material este que é, muitas vezes, visto, erroneamente, 
como um material de pouca resistência e qualidade. Ao contrário desta visão popular, as madeiras 
apresentam resistências à compressão elevadas, chegando a classes de 60Mpa, sem contar que a resis-
tência dela à tração supera, e muito, as resistências do concreto, por exemplo. 
A B
Descrição da Imagem: a Figura 6 a) mostra a seção transversal de um cabo de aço, e a figura 6 b) a seção transversal de cordoalhas.
Figura 6 - a) cabos de aço; b) cordoalhas
Outra vantagem da madeira em relação aos materiais industriais como o aço e o concreto é a sua 
sustentabilidade. A população olha para a madeira e imagina um grande desmatamento, rotulando 
as construções em madeira como, ecologicamente, incorretas, contudo elas se esquecem de que este 
é um material renovável, que consome carbono da natureza durante todo seu crescimento e, quando 
utilizado como elemento, não devolverá este carbono para o meio ambiente. Sem contar que sua 
produção envolve baixíssimo custo energético quando comparado à produção da mesma quantidade 
de aço e concreto. Materiais estes que necessitam de devastação ambiental para a obtenção de sua 
matéria-prima e são produzidos por um processo altamente poluente. 
21
UNIDADE 1
E para encerrar a defesa da madeira como material estrutural, falaremos do seu comportamento em 
relação ao fogo. A inflamabilidade da madeira, realmente, é uma desvantagem do material, todavia 
a queima desse material acontece, lentamente, de fora para dentro da peça, de modo que apenas a 
superfície da peça perde sua função estrutural no início do incêndio. Sendo assim, toda a seção não 
queimada da madeira continua suportando aos esforços sem nenhum comprometimento. Esta caracte-
rística da madeira faz com que, em muitas situações de incêndio, as estruturas de madeira apresentem 
um desempenho melhor que as estruturas de aço. 
Descrição da Imagem: a figura retrata, de cima, uma mina de exploração de minério, mostrando a destruição ao meio ambiente, 
causada por indústria.
Figura 7 - Exploração de minério
22
UNICESUMAR
Descrição da Imagem: a figura mostra uma estrutura de madeira (vigas e pilares) queimada sob um céu azul. É possível perceber na 
viga inferior, parcialmente descascada, que a madeira interna não sofreu grandes danos.
Figura 8 - Estrutura de madeira queimada
Você sabia que altas temperaturas reduzem a resistência dos materiais e que, além dos esforços 
comuns, peso próprio e sobrecargas, surgem tensões provenientes da deformação térmica 
dos elementos estruturais? O aço quando submetido a temperaturas elevadas apresenta 
uma redução no seu módulo de elasticidade e resistência inferior às madeiras ou ao concreto, 
contudo, em situações de incêndio, os aços atingem temperaturas muito mais elevadas que 
os outros materiais.
Justamente por ser um material que tem sua origem no crescimento natural das árvores, as madei-
ras possuem propriedades anisotrópicas, isto é, as diferentes direções do material (longitudinal, 
tangencial e radial) apresentam propriedades distintas. De modo geral, para o dimensionamento das 
peças de madeira distingue-se as propriedades em duas direções a longitudinal – também chamada 
de direção 0 – e perpendicular – 90 – a qual engloba a direção radial e tangencial. A relação entre a 
resistência longitudinal e transversal de uma espécie pode ser estimada por:
23
UNIDADE 1
f f90 00 25= , .
Já a resistência da madeira na direção de inclinação a em relação às fibras é dada por:
f
f f
f sen fa a a
�
�
0 90
0
2
90
2
.
. .cos
 
As madeiras utilizadas na construção civil são divididas em dois grandes grupos: coníferas e dico-
tiledôneas. As coníferas, também conhecidas como madeiras moles/macias, são provenientes de 
árvores das regiões frias cuja forma lembra um cone e de folhagem perene. Estas plantas apresentam 
crescimento rápido e, consequentemente, menor densidade que as dicotiledôneas. Este grupo é 
classificado em três classes de resistência pela NBR 7190 (ABNT, 1997), como mostra a Tabela 2. É 
importante ressaltar que esta classificação é feita de acordo com a resistência apresentada pela madeira 
na sua direção longitudinal.
A B
Classe
fc k0 
(MPa)
fvk 
(MPa)
Ec m0, 
(MPa)
raparente 
(kg/m³)
C 20 20 4 3500 500
C 25 25 5 8500 550
C 30 30 6 14500 600
Tabela 2 - Classe de resistência para Coníferas – valores para classe de umidade de 12% 
Fonte: ABNT (1997, p. 16).
Descrição da Imagem: a Figura 9 a) mostra uma floresta de típicas coníferas, com pinheiros em forma triangular. Na Figura 9 b), há 
pinheiros do Paraná.
Figura 9 - a) Floresta de coníferas; b) Pinheiros do Paraná
24
UNICESUMAR
As dicotiledôneas são madeiras de crescimento mais lento e de melhor qualidade. Estas 
madeiras são chamadas de madeira dura, devido às suas maiores densidade e resistência. 
Como exemplo, temos, praticamente, todas as espécies da região amazônica, como peroba 
rosa, aroeira, eucaliptos, ipê, jatobá, maracatiara etc. Essas madeiras são classificadas em 
quatro classes de resistência, incluindo a classe de 60MPa, como mostra a Tabela 3.
Descrição da Imagem: a figura mostra uma plantação de Eucaliptos.
Figura 10 - Plantação de Eucaliptos
Classe
fc k0 
(MPa)
fvk 
(MPa)
Ec m0, 
(MPa)
raparente 
(kg/m³)
C 20 20 4 9500 650
C 30 30 5 14500 800
C 40 40 6 19500 950
C 60 60 8 24500 1000
Tabela 3 - Classe de resistência para Dicotiledôneas – valores para classe de umidade de 12%
Fonte: ABNT(1997, p. 16).
A resistência da madeira à tração pode ser estimada pela seguinte equação: 
f fc t= 0 77, . 
Conhecer as propriedades físicas do material é, ainda, mais fundamental quando 
falamos do projeto estrutural em madeira, isso porque são muitos os fatores que 
25
UNIDADE 1
influenciam o comportamento e a resposta desse material. Iniciemos nossa conversa falando do teor 
de umidade da madeira. A quantidade de água presente na madeira depende de um equilíbrio entre 
a umidade do ar e a temperatura doambiente em que se encontra. Segundo Pfeil e Pfeil (2003), este 
valor varia, continuamente, durante a vida da estrutura, sendo definida como a massa percentual de 
água em relação à massa da madeira:
U P P
P
i s
s
(%) . %�
� 100
onde Pi é o peso inicial da madeira, e Ps é o peso da madeira seca em estufa. 
A umidade da madeira tem grande influência na resistência suportada pela mesma, desse modo a 
norma brasileira, NBR 7190 (ABNT, 1997), estabelece a umidade de 12% como padrão para a execu-
ção de ensaios. Além disso, a norma define classes de umidade de acordo com o ambiente de uso da 
estrutura, como mostra a Tabela 4.
Classes de Umidade Umidade relativa do ambiente 
Uamb
Umidade de equilíbrio da 
madeira Ueq
1 ≤ 65% 12%
2 65 75% %� �Uamb 15%
3 75 85% %� �Uamb 18%
4 > 85% durante longos períodos ≥ 25%
Tabela 4 - Classes de umidade / Fonte: ABNT (1997, p. 14).
Uma vez que a umidade influencia a massa da amostra da madeira, são definidas duas densidades distintas 
para as estruturas de madeira. A primeira, chamada densidade básica, dada pela razão da massa seca pelo 
volume saturado da madeira tem por finalidade a comparação de valores apresentados pela literatura. Já a 
densidade aparente utiliza a umidade de referência de 12% para fins de classificação e cálculos estruturais. 
A retração das peças de madeira tem sua origem na retratibilidade do material, isto é, na capacidade 
de o material reduzir suas dimensões quando submetido a uma perda de umidade, assim como na 
sua capacidade de inchar quando absorve umidade. Esta variação nas dimensões da madeira varia de 
acordo com a dimensão analisada. A direção tangencial é a que mais sofre reduções, sendo da ordem 
de 5% a 10% quando comparada à dimensão da peça da madeira verde (PFEIL; PFEIL, 2003). Já a 
direção radial apresenta uma retração equivalente à metade da tangencial, enquanto que as retrações 
longitudinais são muito menos significativas, sendo da ordem de 0,1% a 0,3% da madeira verde.
A durabilidade natural da madeira é outro ponto fundamental na sua escolha. Por ser um material 
natural, este é suscetível a ataques de agentes biológicos, como fungos, cupins, moluscos e crustáceos 
marinhos. Cada espécie de madeira possui determinada resistência a estes tipos de ataques, contudo, 
é possível e imprescindível para estruturas sujeitas a variações de umidade e temperatura, a realização 
de tratamentos para prevenção da deterioração do material. 
26
UNICESUMAR
A eficiência do tratamento da madeira depende, também, da parte da madeira que está sendo tratada. 
Como ilustrado na Figura 10, a seção transversal de uma árvore é constituída por camadas, sendo 
a mais externa constituída por um material morto que serve como proteção, chamada casca. Esta é 
seguida por uma camada de 3 a 5cm de espessura, chamada alburno, responsável pela condução da 
seiva das raízes para as folhas, o que faz dessa madeira mais higroscópica, ou seja, com maior capa-
cidade de absorver umidade e, consequentemente, tratamentos. O cerne da madeira é formado por 
alburnos inativos cuja finalidade é a sustentação da árvore. Esta camada possui mais resistência aos 
ataques dos agentes biológicos quando comparada à do alburno. No centro do tronco, encontra-se 
um tecido macio chamadode medula. 
Raios medulares
Anéis de crescimento anual
 Casca
Alburno ou Branco
Câmbio ou Liber
Cerne ou Durâmen
Medula
Descrição da Imagem: corte transversal de um tronco, descrição da casca ao extremo da seção, passando pelo alburno, seguido do 
cerne e, no centro, a medula. Ao longo do alburno e cerne, é possível visualizar os anéis de crescimento e raios medulares da árvore.
Figura 11 - Seção transversal de uma arvore [refazer] / Fonte: Pfeil e Pfeil (2003, p. 2)
Outra característica que influencia na resistência das estruturas de madeira é a presença de defeitos. 
Por se tratar de um material que tem sua origem no crescimento natural das árvores, é inevitável a 
presença de certos defeitos prejudiciais ao desempenho do elemento estrutural. Dentro dos defeitos 
mais comuns encontrados nas peças de madeira, temos os nós, que são imperfeições presentes na 
madeira onde existiram galhos. Estes são classificados em: vivos, quando apresentam continuidade 
dos tecidos lenhosos; mortos, originados de galhos inativos, sua fixação depende da compressão dos 
tecidos ao seu redor; e soltos, que, como o próprio nome diz, soltam-se após a secagem da madeira, 
devido à grande quantidade de tecidos mortos. Apesar de ser impossível eliminar, completamente, os 
nós presentes nas madeiras, eles podem ser controlados por meio de podas. 
27
UNIDADE 1
Uma secagem muito rápida da madeira verde pode causar o aparecimento de fendas radiais, na 
seção transversal do tronco. Alterações climáticas intensas, como invernos rigorosos ou verão extre-
mamente seco, também, podem causar aberturas, ao longo dos tecidos lenhosos. As peças de madeira, 
a) Nós
b) Fendas
c) Arqueadura
d) Abaulamento
e) Fibras Reversas
Descrição da Imagem: a figura mostra os principais defeitos 
encontrados nas madeiras, sendo eles os nós, as fendas, as 
arqueaduras, o abaulamento e as fibras reversas.
Figura 12 - a) Nós, b) Fendas, c) Arqueadura, d) Abaulamento 
e) Fibras reversas / Fonte: Pfeil e Pfeil (2003, p. 7).
também, podem apresentar encurvamentos em 
determinada direção. Quando a curvatura é na 
direção longitudinal da peça, chamamos de ar-
queadura, quando na direção da largura da peça, 
chamamos de abaulamento. O corte inadequado 
do lenho da madeira pode produzir peças com 
fibras não paralelas ao eixo da peça, o que gera 
uma redução na resistência da madeira, e a este 
defeito nomeamos fibras reversas. 
As construções em madeira podem ser de madeira maciça, que incluem madeira roliça, falquejada e 
serrada, ou de madeiras industrializadas, como a compensada, a laminada colada e a recomposta. A 
industrialização da madeira permite a construção de estruturas modernas de grandes vãos, já que o 
processo de fabricação desse material permite maior controle das propriedades das peças, assim como 
a produção de peças curvas, de alta rentabilidade e menor necessidade de encaixes metálicos. 
Você já ouviu falar sobre as madeiras laminadas coladas? Elas são 
um tipo de madeira industrial que começou a ser utilizado no século 
XIX, porém passou a ter grande importância, no século XX, com o de-
senvolvimento das colas sintéticas. Para saber mais sobre o proces-
so de produção dessas madeiras, sua aplicabilidade, suas vantagens 
e suas desvantagens, assista ao Podcast desta unidade.
28
UNICESUMAR
Ao longo desta unidade, você aprendeu um pouco sobre as carac-
terísticas dos aços e das madeiras quando usados como material 
estrutural. Como futuro(a) engenheiro(a) civil, você terá, muitas 
vezes, que auxiliar seu cliente na escolha de um sistema estrutural 
adequado para determinada obra. Para isso, você deverá comparar 
as características e as especificidades dos diversos materiais dis-
poníveis (aços, madeiras, concreto armado, protendido, alvenaria 
estrutural) com as necessidades do empreendimento em questão, 
entre elas, incluem-se a sua finalidade, a duração, o orçamento 
disponível, a localização, a mão de obra local e os tamanhos dos 
vãos exigidos pelo projeto arquitetônico. A decisão correta será 
aquela que melhor atender aos requisitos específicos da construção.
29
Diante de tudo que vimos até aqui, você consegue esclarecer algumas dúvidas e alguns precon-
ceitos dos seus clientes a respeito das estruturas de madeira? Caso você, realmente, resolva 
construir a edícula com uma estrutura de aço, quais as primeiras informações que você deve 
levantar para iniciar o seu projeto? E se você optar pela estrutura de madeira? Por meio de um 
Mapa Mental, anote as informações necessárias para dar início ao projeto estrutural, de acordo 
com as características de cada material. 
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30
1. O aço é um material muito empregado na construção civil, devido às suas características 
que fazem desse um material ideal para trabalhar sozinho ou em conjunto com outros 
materiais, como no caso do concreto armado. De acordo com os seus conhecimentos 
sobre as propriedades dos aços, avalie as seguintes afirmativas:
I) I. O aço é um material isotrópico, isto é, as tensões e as deformações não mudam 
com a direção analisada. 
II) II. A propriedade que faz dos aços um bom material estrutural, permitindo a este 
sofrer grandes deformações, antes de chegar à ruptura, o que se chama Fragilidade. 
III) III. Outra característica muito importante dos aços é a sua tensão de escoamento. 
Este valor marca o início do regime plástico do material e se caracteriza por uma 
linha horizontal, no diagrama tensão – deformação.
Está correto o que se afirma:
a) Somente na afirmativa I.
b) Somente na afirmativa II.
c) Somente na afirmativa III. 
d) I e III.
e) I e II.
31
2. Os aços são uma liga metálica composta por ferro e carbono de grande resistência e 
ductibilidade. No mercado brasileiro, este material pode ser comprado em diferentes 
formas. A respeito disso, assinale a alternativa correta.
a) As chapas laminadas são peças planas cuja espessura é muito inferior às outras duas 
dimensões, são divididas em chapas finas de espessura inferior a 8mm, e grossas 
superiores a 8mm. 
b) Os perfis laminados, produzidos por meio do dobramento de chapas laminadas, possui 
como uma de suas vantagens a diversificação nas dimensões destes perfis.
c) Os chamados vergalhões são barras de aço de seção circular, utilizadas na produção 
do concreto armado. Essas barras trabalham, de forma passiva, dentro do concreto. 
d) Os perfis moldados a frio são fabricados nas siderúrgicas, em seções transversais, com 
forma de I, H, U e L. Devido à padronização da sua produção, estes perfis possuem 
dimensões limitadas.
e) Uma cordoalha de aço é um conjunto de fios emaranhados que resultam em um mate-
rial mais leve e flexível que as barras de aço, contudo sua resistência é comprometida. 
3. A madeira é um dos mais antigos materiais utilizados nas construções e, também, 
um dos mais desprezados, injustamente. Quando comparada aos outros materiais, a 
madeira apresenta uma excelente relação resistência/peso. Sobre suas propriedades 
como material estrutural avalie as afirmativas:
I) As madeiras são materiais anisotrópicos cuja resistência se modifica com a direção 
das fibras do material. Para fins de projeto, a resistência é diferenciada em resistência 
longitudinal e resistência transversal. 
II) A resistência da madeira varia com o teor de umidade presente em suas fibras. A 
madeira verde, cujo teor de umidade está acima de 30%, possui maior resistência 
que a madeira seca. 
III) As madeiras são divididas em dois grandes grupos: as de madeira mole, chamadas 
de dicotiledôneas, e as de madeira dura, as quais possuem mais resistência e são 
conhecidas como coníferas. 
Está incorreto o que se afirma:
a) Somente na afirmativa I.
b) Somente na afirmativa II.
c) Somente na afirmativa III. 
d) I e III.
e) I e II.
32
2
Nesta unidade, abordaremos os aspectos centrais relacionados ao 
dimensionamento estrutural e à verificação da segurança de peças 
de aço solicitadas à tração axial, dando ênfase aos principais modos 
de falha que devem ser combatidos, nestes elementos. Veremos, 
ainda, como a resistência dos perfis de aço com ligações aparafu-
sadas é afetada em função da quantidade, da dimensão e da dispo-
sição dos furos que acomodam o sistema de conectores. Ao longo 
desta unidade, serão apresentadas as recomendações normativas 
de acordo com as prescrições da norma brasileira NBR 8800 (ABNT, 
2008) para o dimensionamento das estruturas metálicas, de modo 
que, ao final deste estudo, você esteja apto a calcular a resistência 
à tração de perfis que possuam diferentes disposições construtivas.
Dimensionamento 
de Estruturas de Aço: 
Peças Tracionadas
Me. Anne Caroline Monteiro Diniz
34
UNICESUMAR
Como responsável por um projeto estrutural de um galpão, você decide realizar uma visita técnica ao 
local da obra, afinal, você sabe que um levantamento adequado de informações preliminares é fun-
damental para o resultado do projeto. No caminho, você se deparou com um riacho e uma pequena 
passarela de aço. Como estava carregando vários equipamentos, ficou na dúvida se a estrutura suportaria 
aquela sobrecarga. Após caminhar um pouco, você observou que a estrutura havia apresentado uma 
deformação excessiva, e, então, questionando a segurança da passarela, decidiu voltar e fazer alguns 
cálculos, antes de tentar atravessá-la novamente (Figura 1).
Quais verificações simples de cálculo poderiam ser feitas para lhe ajudar a tomar esta decisão? 
Descrição da Imagem: na Figura 1, o engenheiro está analisando as características construtivas da passarela, a fim de obter um paracer 
acerca do motivo pelo qual a estrutura apresentou deflexão excessiva, quando ele caminhou sobre ela.
Figura 1 - Análise visual das características construtivas da passarela / Fonte: as autoras.
Ao retornar para o início da passarela, você examinou a estrutura, cautelosamente. Nesta análise, veri-
ficou que as barras diagonais apresentavam comprimentos, relativamente, curtos, portanto, descartou 
a falha das barras comprimidas por flambagem (tema da nossa Unidade 4). Por outro lado, você per-
cebeu que os banzos da estrutura tinham seções reduzidas, e que as ligações utilizadas para conectar 
estes elementos eram bastante simples. Então, concluiu que a verificação à tração da estrutura seria 
um bom ponto de partida para tomar a sua decisão de seguir, ou não, o trajeto.
Elementos solicitados à tração axial podem ser encontrados em diversas estruturas da engenharia 
civil. Particularmente, nos projetos que incluem sistemas estruturais treliçados, como coberturas, torres 
de transmissão de energia elétrica, contraventamento e cabos. O correto dimensionamento à tração 
é fundamental para garantir o bom funcionamento da estrutura, evitando que falhas comprometam 
a sua segurança e o seu desempenho. Além disso, o conhecimento adequado por parte do projetista 
acerca do dimensionamento das peças tracionadas permitirá, ainda, que estruturas mais racionais 
sejam propostas, tornando o projeto mais econômico.
35
UNIDADE 2
Para entender melhor como os esforços de tração agem sobre os materiais, convi-
do você a executar o seguinte experimento: com uma mola em mãos, segure ambas 
as extremidades e, mantendo uma delas fixa, puxe a outra, alongando a mola até o 
ponto máximo que você conseguir. À força que você aplicou à mola damos o nome 
força de tração, que tende a alongar o elemento, aumentando o seu comprimento. 
O tamanho final da mola será limitado pela resistência à tração do material, ou seja, 
se você aplicar uma muita força, serão geradas tensões maiores que a resistência do 
material, o que fará com que a mola se rompa. Agora, que tal, antes de aprendermos 
sobre o dimensionamento estrutural dos elementos de aço tracionados, analisar-
mos como uma chapa de aço se comporta quando submetida à tração? Pesquise, na 
internet, vídeos que mostrem ensaios experimentais de tração do aço e veja o que 
acontece quando a tensão solicitante atinge o limite de resistência do aço.
Você deve ter percebido que as propriedades do aço à tração são obtidas, experi-
mentalmente, a partir de um corpo de prova com seção transversal cheia (ou bruta), 
isto é, sem fendas ou aberturas. Porém sabemos que, para executar ligações entre os 
elementos estruturais, muitas vezes, são feitos furos para acomodar os parafusos. Neste 
caso, você concorda que a área resistente pode diminuir, consideravelmente? Com base 
no que foi exposto e pensando na segurança estrutural da nossa passarela, você seria 
capaz de listar algumas informaçõesque nós precisaríamos conhecer de antemão para 
avaliarmos a estrutura, adequadamente? Use seu Diário de Bordo para anotações.
36
UNICESUMAR
Os perfis tracionados são elementos estruturais submetidos a forças axiais de tração em uma direção 
que é paralela ao seu eixo longitudinal. Observe novamente a imagem da passarela deformada. Quan-
do você caminha sobre a estrutura, o seu peso somado ao da bagagem gera uma solicitação externa à 
passarela, o que a conduz a uma configuração deformada diferente da inicial (sem solicitação externa). 
Nesta nova configuração, as barras do banzo superior foram comprimidas (em azul), enquanto as barras 
do banzo inferior foram tracionadas (em vermelho) (ver Figura 2). O esforço de tração é justamente 
aquele que tende a dividir a peça em duas partes, como mostra a Figura 2, a seguir. 
DIÁRIO DE BORDO
T T Banzo inferior
Diagonal
Banzo superior
Montante
Descrição da Imagem: configuração deformada da passarela com indicação das tensões normais atuantes nas barras que formam 
o sistema estrutural treliçado. Em azul, estão as barras comprimidas, em vermelho, são destacadas as barras tracionadas, e as barras 
que não sofrem solicitações são mantidas em cinza.
Figura 2 - Configuração deformada da passarela / Fonte: as autoras.
37
UNIDADE 2
No setor da construção civil, perfis tracionados podem ser encontrados em vários tipos de sistemas 
estruturais em aço, tais como em pontes, passarelas, torres e coberturas. Além disso, podem ter seções 
transversais com diferentes formas e dimensões. Esta variabilidade admitida na geometria dos perfis 
é possível, pois para determinado material, a tensão resistente à tração (sR ) varia apenas em função 
da área da sua seção transversal. 
Se os membros de aço tracionados permitem o emprego de diversas 
seções transversais, frente à grande quantidade de opções de perfis 
disponíveis no mercado, como você escolheria as seções dos mem-
bros tracionados de uma estrutura metálica? Será que algum deles 
apresenta vantagens especiais? Para conhecer quais são as opções 
mais utilizadas em projeto, confira o nosso Podcast.
Na disciplina Resistência dos Materiais, nós aprendemos que a tensão solicitante sS em elementos 
axialmente tracionados é dada pela relação entre a força atuante P e a área A sobre a qual essa força 
atua, como mostra a Equação 1. 
sS
P
A
= (Eq. 1)
Portanto, podemos perceber que se sR P A≥ o elemento estrutural tracionado estará seguro. Se a 
seção apresenta furos para acomodação de ligações aparafusadas (como aqueles que você observou na 
estrutura da passarela), é necessário que, no cálculo da área A, seja deduzido o espaço vazio associado 
às aberturas. Essa área reduzida é conhecida como a área efetiva da seção, enquanto a área cheia (sem 
aberturas) é referida como área bruta da seção.
Com base na Equação 1, percebemos que o dimensionamento de elementos de aço tracionados 
consiste, basicamente, na escolha de um perfil cuja área seja suficiente para suportar os esforços soli-
citantes que deverão atuar na estrutura. As diretrizes que regem este cálculo estão disponíveis na NBR 
8800 (ABNT, 2008), destinada ao projeto de estruturas de aço, afirmando que a falha de uma peça 
de aço tracionada pode ocorrer de duas formas: por ruptura do material ou pelo seu escoamento. A 
ruptura do aço em peças tracionadas (Figura 3b) é uma falha estrutural localizada, característica de 
seções com furos. O escoamento (deformação excessiva do material), por sua vez, ocorre de forma 
generalizada, ao longo do comprimento da barra. Na (Figura 3b), é possível observar a configuração 
final de um corpo de prova submetido à tração axial. Observe que, na seção média, houve diminuição 
da seção transversal, antes da ruptura. Essa redução da área, conhecida como estricção, ocorre, devido 
ao escoamento do material, isto é, ao grande alongamento da peça quando submetida a uma tensão, 
praticamente, constante.
38
UNICESUMAR
Portanto, para determinarmos a resistência de cálculo de um elemento de aço sujeito à tração (sRd
), basta calcularmos a resistência da sua seção bruta (sem furos) ao escoamento e à resistência da sua 
seção líquida (com furos) à ruptura, segundo as Equações 2 e 3. O valor a ser considerado para sRd 
será o menor entre aqueles obtidos por meio das Equações 2 e 3. 
a) Resistência ao escoamento da seção bruta:
σ
γRd
g y
a
A f
=
1
 (Eq. 2)
b) Resistência ao escoamento da seção: 
σ
γRd
e u
a
A f
=
2
 (Eq. 3)
A
B
Descrição da Imagem: na Figura 3a, são apresentados corpos de prova de aço ao final de um ensaio experimental de tração. Na seção 
média das peças, houve diminuição da seção transversal, antes da ruptura. Na Figura 3b, vemos a ruptura da seção líquida ocorrida 
em cantoneiras com ligação excêntrica em relação ao eixo da aba conectada e, em cantoneiras com uma aba conectada com uma linha 
de parafusos e duas linhas de parafusos.
Figura 3 - Modos de falha de uma peça de aço com furos tracionada: a) escoamento da seção bruta; b) ruptura da seção líquida
Fonte: a) Shutterstock; b) Bezerra et al. (2021, p. 111).
39
UNIDADE 2
Na Equação 2, Ag é a área bruta da seção transversal da barra; f y é a resistência ao escoamento do aço; 
e ga1 é o coeficiente de ponderação da resistência, definido como 1,10 pela NBR 8800 (ABNT, 2008) 
para a falha por escoamento do material. Na Equação 3, Ae é a área líquida efetiva da seção transver-
sal da barra; fu é a resistência à ruptura do aço; e ga2 é o coeficiente de ponderação da resistência, 
definido como 1,35 pela NBR 8800 (ABNT, 2008) para a falha por ruptura do elemento. Os valores de 
ga1 e ga2 aqui apresentados estão associados às combinações normais de ações. Os valores típicos das 
resistências ao escoamento f y e à ruptura fu dos aços comerciais podem ser consultados na norma.
Área líquida
Área bruta
Resistência de projeto x Resistência característica: as normas de dimensionamento de 
estruturas definem coeficientes de segurança, como o ga1 ega2 , de modo a minorar a resis-
tência efetiva (ou característica) do elemento estrutural. Esta diminuição da resistência tem por 
objetivo considerar uma série de incertezas que envolvem os modelos de cálculos utilizados 
para o dimensionamento, os ensaios de laboratório feitos para determinação das proprieda-
des dos materiais e a própria variabilidade das tensões que ocorrem no material. Assim, na 
etapa de dimensionamento estrutural, são utilizados os valores de projeto (com coeficientes 
de segurança), enquanto, na etapa de verificação, em que se deseja conhecer o quanto aquele 
elemento, efetivamente, suporta, os valores característicos (sem coeficiente de segurança, isto 
é, com coeficiente de segurança igual a 1) são adotados.
A Figura 4 ilustra a área bruta e a área líquida de uma cantoneira com uma das abas aparafusadas.
Descrição da Imagem: na imagem, há dois perfis: um perfil U e uma cantoneira (perfil L), ambos com seções com furos. Com linhas 
pontilhadas pretas e vermelhas, destacam-se, respectivamente, as seções bruta (sem furos) e a seção líquida (com furos.
Figura 4 - Áreas bruta (linha pontilhada 
preta) e área líquida (linha pontilhada 
vermelha) de uma cantoneira e de um 
perfil U
Fonte: as autoras.
40
UNICESUMAR
Note quem na Equação 3, o parâmetro Ae refere-se à área líquida efetiva que é diferente da área líquida 
geométrica An , apresentada na Figura 4. A área líquida efetiva é menor que a área líquida geométrica, 
pois é afetada por um coeficiente de redução chamado Ct . Para entender o papel do fator Ct , observe 
a Figura 5, a seguir, e tente imaginar o que ocorre com as tensões na região próximas aos furos.
�
Descrição da Imagem: na imagem, é ilustrado o efeito de concentração de tensões que ocorre na região próxima dos furos, em uma 
barra (neste caso, um perfil L ou cantoneira) tracionada. Este fenômeno é ilustrado a fim de justificar o uso do parâmetro de norma Ct, 
o qual tem por objetivo compensar este efeito negativo, reduzindo a árearesistente da barra.
Figura 5 - Concentração de tensões na 
região próxima aos furos de uma barra 
tracionada / Fonte: as autoras.
Quando o perfil de aço possui uma ligação aparafusada, as tensões atuantes tendem a se concentrar 
na região próxima ao furo, o que gera o aumento de tensões naquela região, tornando-a mais propen-
sa à falha. Para considerar este efeito negativo nos cálculos, a princípio, deveríamos definir quanto 
vale esse aumento de tensões na região dos furos, o que nem sempre é uma tarefa fácil. A NBR 8800 
(ABNT, 2008) prevê uma forma alternativa para considerarmos o efeito da concentração das tensões 
junto aos furos, que consiste na diminuição da área resistente, por meio do coeficiente de redução Ct
. Assim, basta que multipliquemos a área líquida geométrica ( An ) por Ct e utilizemos o valor obtido 
(área líquida efetiva, Ae ) nos cálculos, como mostra a Equação 4.
A C Ae t n� � (Eq. 4)
Para perfis com ligações aparafusadas e seções abertas, como os perfis I, as cantoneiras ou as seções 
U, Ct , calcula-se em função da distância ec entre o plano da ligação e o centro de gravidade da seção, 
CG, (ou da parte da seção que resiste ao esforço transferido) e do comprimento da ligação lc , da 
seguinte forma (NBR 8800):
C e
lt
c
c
� � �1 0 6, (Eq. 5)
A Figura 6 mostra alguns exemplos de seções com ligações aparafusadas e os respectivos valores da 
excentricidade ec , bem como a distância lc de referência. 
41
UNIDADE 2
Na Figura 6, os perfis L e U apresentam apenas um plano de ligação, de modo que todos os furos estão 
alinhados. Neste caso, ec é a distância entre o plano de furos e o centro de gravidade de toda a seção. 
Para o perfil I, não faria sentido considerar a excentricidade medida até o centro de gravidade da seção, 
pois, nesta condição, o seu valor seria nulo (o centro de gravidade está sobre a linha de furos). Assim, 
quando o perfil I está conectado por meio da alma, a seção transversal é tratada como a composição 
de dois perfis U justapostos e, com isto, o CG de referência será aquele de uma das seções. Quando 
as ligações são feitas em mais de um plano, como ocorre no perfil I conectado pelas mesas, a seção 
transversal é tratada como a união de duas seções T (uma seção T inferior e uma seção T superior) e, 
portanto, o CG de referência passa a ser o da seção T.
Com base na Equação 5, note que, para ligações muito curtas, ou seja, ligações em que a distância 
entre os eixos dos parafusos mais afastados é compacta, Ct se torna reduzido, o que diminui, consi-
deravelmente, a área resistente da seção. Analogamente, ligações com grande excentricidade geram 
valores baixos de Ct , reduzindo a capacidade resistente do perfil. Ainda sobre as ligações aparafusadas, 
é importante ressaltar que, se a força for transmitida, diretamente, para todos os elementos da seção 
transversal da barra, o efeito de concentração de tensões pode ser desconsiderado, e Ct pode ser 
considerado igual a 1. Portanto, se as mesas e a alma de um perfil I, por exemplo, estiverem, simulta-
neamente conectadas, o fator Ct não precisa ser calculado e pode ser assumido igual a 1.
Para perfis com ligações soldadas, antes de calcular o valor de Ct , deve-se analisar a disposição 
das soldas utilizadas na ligação. 
CG
CG
CG
CG
C
Ce
Ce
Ce Ce
Descrição da Imagem: a imagem mostra como definir os parâmetros ec e lc utilizados no cálculo do coeficiente para cálculo da área 
líquida efetiva em seções com furos, Ct , em perfis de seção aberta, especificamente, perfis com seção U, L e I. As partes hachuradas 
ilustram a metodologia de cálculo indicada ao longo do texto.
Figura 6 - Parâmetros ec e lc utilizados no cálculo do coeficiente para cálculo da área líquida efetiva em seções com furos, Ct , em perfis de seção aberta.
Fonte: as autoras.
42
UNICESUMAR
Se a solda estiver apenas na direção transversal da peça (isto é, se não foi aplicada 
solda na direção do comprimento do perfil), Ct pode ser estimado conforme a 
Equação 6 (PFEIL; PFEIL, 2009): 
C A
At
c
g
= (Eq. 6) 
Na Equação 6, Ac é a área do segmento do perfil que está conectado por solda, e 
Ag é a área bruta da seção. Se a solda estiver apenas na direção longitudinal da peça 
(isto é, solda na direção do comprimento do perfil), Ct pode ser estimado com base 
na relação entre o comprimento da solda Ls e a largura bp da peça conectada, da 
seguinte forma (PFEIL; PFEIL, 2009): 
Ls ≥ 2bp 1 5 2, b L bp s p≥ > 1 1 5b L bp s p≥ > ,
Ct = 1 Ct = 0 87, Ct = 0 75,
Conhecido o valor de Ct , precisamos calcular o valor da área líquida An da seção. 
Com base na Figura 4, é possível perceber que An é obtido subtraindo a área referente 
aos furos que cortam a seção de referência da área bruta da seção ( Ag ). Sendo Ag 
obtido pelo produto entre a largura (bp ) e a espessura ( t p ) do perfil. Já a área do 
furo, nada mais é que o diâmetro do furo (d f ) multiplicado pela espessura do perfil 
( t p ). Aqui, é importante pontuar que, como tolerância construtiva, isto é, tolerância 
necessária à montagem adequada dos elementos estruturais em obra, os furos nos 
perfis de aço devem ser executados com uma folga de 1,5 mm em relação ao diâmetro 
Solda
Solda
Ac
pb
pbsL >
Descrição da Imagem: a imagem ilustra os parâmetros utilizados no cálculo da área líquida efetiva em seções 
com ligação soldada, conforme a Equação 6. Na Figura 7, Ac é a área do segmento do perfil que está conectado 
por solda; Ls é o comprimento da solda, e bp é a largura da peça conectada.
Figura 7- Parâmetros utilizados no cálculo da área líquida efetiva, em seções com ligação soldada
Fonte: as autoras.
43
UNIDADE 2
nominal do parafuso. Esse furo com diâmetro alargado em relação ao diâmetro nominal do parafuso 
é chamado furo-padrão. Além disso, inevitavelmente, durante a furação das peças, ocorrem danos nas 
bordas dos furos, o que tende aumentar ainda mais o diâmetro da abertura. Para considerar o efeito 
dos danos nas bordas, além do acréscimo de 1,5 mm, deverá ser considerado um novo aumento de 2 
mm ao diâmetro nominal do parafusado. Portanto, o diâmetro do furo d f considerado é, na verdade, 
o diâmetro nominal do parafuso ( dn ) mais 3,5 mm.
O cálculo da área de furos fica claro quando as aberturas estão alinhadas entre si, e a linha de furos 
está paralela (ou perpendicular) às bordas do perfil (furação reta), como ocorre no exemplo apresen-
tado na Figura 4. Agora, observe o caso ilustrado na Figura 8, em que a linha de furos está inclinada 
em relação às bordas do perfil (furação enviesada). Neste caso, a seção resistente (plano que cruza 
a seção transversal do perfil) resultará inclinada segundo o eixo A-A, indicado na Figura 8. Assim, 
para obtermos a área líquida da seção da Figura 8, precisaríamos considerar os cálculos a área bruta, 
segundo o eixo A-A, ou seja, a área bruta inclinada. Correto?
g
S
A
A
Na verdade, a NBR 8800 (ABNT,2008) nos fornece um procedimento mais prático, onde Ag continua 
sendo obtida pelo produto entre a largura (bp) e a espessura (tp) do perfil. Para considerarmos o efei-
to dos furos enviesados sobre a área líquida da seção, a norma propõe apenas que somemos uma 
parcela empírica ∑s2/4g ao valor de An , o qual pode ser calculado por meio da Equação 7:
A A A s
gn g f
� � ��
2
4
 (Eq. 7)
Na expressão apresentada, s e g são as distâncias horizontal e vertical entre dois furos, respectivamente. 
Agora, imagine um conjunto de furações enviesadas, como na Figura 9, onde temos uma peça de aço 
com furos dispostos em zigue-zague. Se uma força de tração T, suficientemente elevada para causar 
a ruptura da peça, for aplicada na extremidade desse elemento, você saberia dizer ao longo de que 
plano de ligação ocorreria a falha? 
Descrição da Imagem: a imagem mostra um exemplo de furação enviesada, isto é, inclinada em relação às paredes do perfil. Os parâ-
metros g e s, em destaque, são variáveis utilizadas no cálculo da Área Líquida Efetiva, os quais foram convenientemente apresentados 
aolongo do texto.
Figura 8 - Chapa com furos inclinados / Fonte: as autoras.
44
UNICESUMAR
Na verdade, é possível que a ruptura do material ocorra segundo qualquer um desses 
percursos. Para que possamos prever qual será o caminho crítico de falha, ou seja, 
aquele para o qual há mais chances de ocorrência, precisamos pesquisar os diversos 
trajetos possíveis de ruptura e, assim, escolher aquele que apresenta o menor valor 
da seção líquida (Equação 7). Lembre-se: quanto menor a área resistente, maior 
serão as chances da ocorrência de falha. No final desta unidade, convido você a 
analisarmos uma ligação como essa e definirmos o caminho crítico de ruptura nos 
exercícios propostos. 
Vimos, até aqui, que, no dimensionamento de perfis submetidos à tração, devemos 
garantir que a seção bruta (sem furos) não escoe, e que a seção líquida (com furos) não 
rompa. Tais análises são suficientes para garantir a segurança estrutural do elemento, 
mas não impedem que problemas, como a vibração excessiva durante o uso da peça 
ou, ainda, deformações elevadas durante a sua montagem possam vir a ocorrer. Para 
reduzir esses efeitos, a NBR 8800 (ABNT, 2018) recomenda que as peças tracionadas 
(exceto tirantes de barras redondas pré-tracionadas) tenham esbeltez máxima igual 
a 300. A mesma recomendação é válida para os elementos tracionados formados 
pela união de perfis justapostos. Neste caso, a distância máxima entre duas chapas 
espaçadoras deve garantir que a esbeltez de um único perfil fique limitada a 300.
1 2
1 3
3
1 2 3
1
�� ��
2
Descrição da Imagem: na imagem, há chapas emendadas por transpasse com parafusos dispostos de forma 
inclinada em relação às paredes do perfil. As linhas pontilhadas indicam os possíveis caminhos de ruptura da 
peça, quando submetida à tração.
Figura 9 - Chapas emendadas por transpasse com furação enviesada e mais de um caminho crítico de falha
Fonte: as autoras.
45
UNIDADE 2
Nesta unidade, nós demos ênfase ao dimensionamento estrutural das peças tracionadas conectadas 
por ligações aparafusadas e às considerações necessárias ao cálculo das peças soldadas, sendo estes 
sistemas de conexões os mais utilizados na indústria da construção civil. Além do uso de conectores 
e de soldagem, as ligações das extremidades de peças tracionadas podem ser feitas, por meio de rosca 
e porca no caso das barras rosqueadas.
Para as barras com diâmetro igual ou superior a 12 mm (1/2”), o dimensionamento é determina-
do pela ruptura da seção da rosca. Conforme Pfeil e Pfeil (2009), para os tipos de roscas comumente 
utilizadas, comercialmente, a relação entre a área efetiva à tração na rosca e a área bruta da barra varia 
dentro de uma faixa restrita (0,73 a 0,80), sendo possível calcular a resistência das barras tracionadas 
em função da área bruta Ag , com um coeficiente médio igual 0,75. Nestas condições, a resistência de 
projeto de barras rosqueadas pode ser obtida por meio da Equação 8.
σ
γ γRd
g u
a
g y
a
A f A f
� �
0 75
2 1
,
 (Eq. 8)
Na Equação 8, Ag , fu , ga2 , f y e ga1 são, respectivamente: a área bruta, a tensão última, o coeficiente 
de redução da resistência associado à falha por ruptura, a tensão de escoamento e o coeficiente de 
redução da resistência associado ao escoamento. Os valores de ga1 e ga2 são os mesmos definidos 
anteriormente para a análise das barras aparafusadas.
Todas as diretrizes para o projeto de elementos de aço tracionados estão reunidas na norma NBR 
8800: Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios, elaborada pela 
Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Lá você encontrará recomendações de cálculo, 
orientações construtivas e uma série de informações adicionais para uma gama de situações de pro-
jeto. Tenha sempre este documento em mãos quando for elaborar os seus projetos estruturais. Para 
complementar os seus estudos, você pode, ainda, consultar algumas literaturas que apresentam uma 
série de casos práticos. O livro Estruturas de aço: conceitos, técnicas e linguagem, escrito pelo Luis 
Andrade de Mattos Dias é uma ótima referência:
Lembre-se de que a esbeltez de uma barra é calculada dividindo o seu comprimento (medido 
entre os pontos de apoio lateral) pelo seu raio de giração mínimo. O raio de giração (r) é uma 
propriedade da seção que depende apenas da sua geometria. O valor de r em relação a de-
terminado eixo é obtido pela razão entre o momento de inércia do eixo de referência e a área 
da seção transversal. Para perfis padronizados, as tabelas dos fabricantes fornecem os valores 
de r para as seções comercializadas.
46
UNICESUMAR
Título: Estruturas de aço: conceitos, técnicas e linguagem 
Autor: Luís Andrade de Mattos Dias
Editora: Zigurate
Sinopse: este livro tem como público-alvo estudantes dos cursos de estru-
turas de aço das grades de Engenharia e Arquitetura e profissionais pro-
jetistas. Neste livro, o autor procura, de forma prática, abordar os diversos 
temas relacionados às estruturas de aço. Ao longo de doze capítulos bem 
ilustrados, o autor aborda os vários assuntos relativos ao projeto de estru-
turas, que vão desde as características do aço e das suas propriedades até a temáticas práticas 
que envolvem corrosão, sistemas de pintura, segurança contra incêndio e sismos.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
Nesta unidade, nós discutimos o comportamento e o projeto dos elementos de aço tracionados e fatores 
importantes a serem considerados na avaliação da resistência à tração, como a redução da resistência, 
devido aos furos dos parafusos, que foram apresentados. Concluímos que a resistência ao escoamento 
da área bruta ou a resistência final da área líquida pode governar a resistência à tração desses elementos. 
Agora que você já sabe como analisar a segurança estrutural de perfis de aço tracionados, retorne à 
pergunta feita no início da unidade e liste, novamente, as informações de que precisamos conhecer para 
verificar a estrutura da passarela. Com a nova lista em mãos, descreva o procedimento de verificação 
da estrutura em etapas. Este procedimento lhe dará subsídio para dimensionar e verificar elementos 
tracionados que compõem estruturas de treliças de cobertura (Figura 10a), cabos de pontes (Figura 
10b) ou em sistemas de contraventamento em estruturas de torres (Figura 10c), por exemplo.
A B C
Descrição da Imagem: na imagem, há exemplos de estruturas que são caracterizadas pela presença de uma grande quantidade de 
elementos tracionados e ilustram quais são os tipos de projeto em que as discussões e os procedimentos de cálculo, apresentados 
neste capítulo, podem ser utilizados. Entre as estruturas apresentadas estão: a) as treliças de uma cobertura metálica; b) sistemas de 
cabos que suportam uma ponte; c) uma torre de energia elétrica (destaque para o sistema de contraventamento das barras).
Figura 10 - a) Estruturas de treliças de cobertura; b) cabos de pontes; c) sistemas de contraventamento em estruturas de torres
47
Que tal reunir todas as etapas de cálculo para o dimensionamento de uma peça de aço tracionada 
em uma única imagem? Preencha os campos vazios do Mapa Mental a seguir com os principais 
dados de projeto e tenha um resumo ilustrado que ajudará você, sempre que precisar.
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������������������������������������
��
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��
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	���	� ��� ��� ���
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�����
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����
���������������������������
��������������������
������������������������������������
����������������
����
��� � �
�����é a tensão de escoamento
do aço utilizado?
Com os dados em mãos, basta utilizar as equações apresentadas ao longo do capítulo e preencher 
as lacunas a seguir: “O valor da tensão resistente de cálculo para o escoamento da seção bruta 
é __________________. Já o valor da tensão resistentede cálculo para a ruptura da seção líquida é 
__________________. Portanto, a tensão máxima que pode atuar no elemento é __________________.
48
Você foi encarregado de verificar uma estrutura treliçada feita em aço ( f y = 25 kN/cm2;
fu = 40 kN/cm2. A Figura 11 a seguir mostra três dos sistemas de ligações aparafusadas 
que compõem a estrutura. 
Descrição da Imagem: na imagem, vemos o desenho do detalhamento das estruturas parafusadas. À esquerda, vemos 
uma estrutura cúbica com a indicação de uma flecha para cima mostrando a direção da força, Ns, e a cota indicando a 
dimensão 150mm. Na figura da direita, temos uma estrutura conectada a outra, com uma flecha indicando Ns, a força 
atuante, ambas retangulares, com a indicação de seis hexágonos representando parafusos com a cota, referindo-se à sua 
dimensão 120mm. Ao lado desta cota, vemos o detalhe em corte da duas estruturas aparafusadas.
Abaixo, vemos um detalhe do posicionamento de parafusos em uma placa cujas forças atuantes estão na horizontal, 
indicadas por duas flechas Ns.
Figura 11- Sistemas de ligações aparafusadas / Fonte: as autoras
Após analisá-los, você precisou solucionar os seguintes problemas para atestar a se-
gurança estrutural: (Dica: utilize o Mapa Mental apresentado para organizar os dados 
dos problemas).
1 2
1 3
3
1 2 3
1
�� ��
2
Ns Ns
Ns Ns
120 mm
U 203x17,1
150 mm
N°1 N°2
1 2 3
1 2 3
1
a 75 75 75 75
2 3
N°3
50
50
50
50
50
50
(mm)
49
1. Inicialmente, você foi encarregado de elaborar um breve relatório apresentando o me-
morial descritivo e de cálculo da sua análise técnica. No tópico sobre as peças traciona-
das, quais foram os Estados Limites Últimos que você deveria destacar no seu estudo?
2. Qual é a espessura necessária para que a chapa retangular na peça nº 1, sujeita a um 
esforço axial de 150 kN, mantenha-se em segurança? Observe que a chapa não apre-
senta furações e possui 150 mm de largura.
a) 2,2 mm.
b) 3,3 mm.
c) 4,4 mm.
d) 5,5 mm.
e) 6,6 mm.
3. Qual é a força máxima resistida pela ligação indicada no sistema de ligação nº 2? Após 
analisar os carregamentos que devem atuar na estrutura, você concluiu que uma força 
de cálculo igual a 400 kN é prevista. Qual é o seu parecer técnico quanto à segurança 
desta ligação, sabendo que <<Eqn093.eps>> = 0, e que o diâmetro nominal dos para-
fusos é 19 mm? O perfil U 203 x 17,1 tem área igual 21,8 cm² e espessura de 5,6 mm.
a) 392,7 KN.
b) 495,5 KN.
c) 508,9 KN.
d) 621,6 KN.
e) 700,1 KN.
4. Qual é o valor da área líquida da seção apresentada da conexão nº 3 cuja ligação é 
composta por duas chapas de comprimento 300 mm e espessura 20 mm, emendadas 
por transpasse, por meio de parafusos de 19 mm de diâmetro? 
a) 51,0 cm².
b) 53,25 cm².
c) 60,0 cm².
d) 62,25 cm².
e) 65,0 cm².
50
3
A redução no tempo e o elevado nível de controle são alguns dos 
pontos fortes das construções em estruturas metálicas quando 
comparadas a outros sistemas estruturais. Tais vantagens estão, 
diretamente, relacionadas à eficiência do seu sistema de conexões, 
o qual permite uma construção pré-fabricada de alta qualidade. 
Nesta unidade, aprenderemos, com base nas prescrições da NBR 
8800, destinada ao projeto de estruturas metálicas, sobre os tipos 
usuais de ligações em estruturas metálicas, suas principais caracte-
rísticas, vantagens e desvantagens, recomendações construtivas e 
métodos de dimensionamento. Focaremos nas ligações parafusadas 
e soldadas — sistemas mais utilizados, atualmente.
Dimensionamento 
de Estruturas de Aço: 
Ligações
Me. Anne Caroline Monteiro Diniz
Imagine que, após realizar a visita técnica ao local da obra onde será construído o 
galpão cujo projeto estrutural é de sua responsabilidade, você decide estudar qual 
será a solução mais viável para a montagem da estrutura: ligações feitas por meio de 
parafusos ou de solda? Para responder essa pergunta, você começa a pensar a respeito 
de diversas questões: Qual delas deverá gerar uma construção mais rápida? Será que 
é necessário algum tipo de infraestrutura especial para executá-las? Em relação ao 
custo, qual seria a escolha mais econômica? A escolha do tipo de ligação irá a rigidez 
ou a resistência da estrutura?
Durante a visita ao local da obra, você fez uma série de anotações onde registrou 
informações importantes para a elaboração do projeto. Dentre as observações feitas, 
você verificou que: 
• A mão de obra disponível na região não tem experiência com construções 
que empregam ligações soldadas;
• As fontes de energia para o eventual uso de máquinas de soldagem são pre-
cárias;
• Como o galpão poderá ser utilizado para comportar uma ponte rolante, as 
ligações deverão resistir bem a fadiga.
Diante dos pontos levantados, você optou inicialmente por projetar a estrutura con-
siderando o uso de ligações parafusadas. Definido o sistema de ligação, você poderá 
dimensioná-la e especificá-la. Estas etapas envolvem a definição do material dos 
meios de ligação, das dimensões das chapas de ligação, da quantidade de parafusos 
utilizados, além da elaboração de desenhos e demais detalhes de projeto e da indi-
cação de especificações construtivas.
52
UNICESUMAR
Observe que a sua escolha, foi baseada em aspectos que levam em conta sobretudo as vantagens 
construtivas da ligação parafusada. No que se refere ao custo de implantação, será que essa solução 
seria a mais viável? Você consegue pensar em outros aspectos relevantes para a escolha entre a ligação 
soldada e a ligação parafusada?
Pesquise a respeito do custo associado ao projeto de estruturas metálicas com uso ligações com 
parafuso e solda. Compare as informações obtidas e avalie se, no caso do galpão metálico, em parti-
cular, as vantagens econômicas afetariam a sua escolha.
DIÁRIO DE BORDO
Com base nos dados coletados, você deve ter concluído que o custo das ligações parafusadas e 
soldadas variam de acordo com as particularidades de cada projeto, porém, normalmente, as ligações 
parafusadas se tornam a opção mais econômica. Isto se deve, entre outros, ao processo automatizado 
de fabricação (e simples de instalação) das ligações com parafusos, em detrimento ao custo elevado 
associado à mão de obra especializada requerida pela ligação soldada. Apesar das vantagens apresen-
tadas, a ligação parafusada não deve ser considerada superior à soldada. Existem situações de projeto 
em que a maior rigidez das ligações com soldas pode gerar maiores vantagens, tornando a escolha por 
este sistema de ligação mais viável e, até mesmo, mais econômica. 
Os perfis de aço estrutural, normalmente, são comercializados com dimensões padronizadas, de 
modo que, para os utilizar, segundo as características de cada projeto, devem ser previstos cortes e 
formas de conectá-los. O cálculo e o detalhamento de tais conexões são de fundamental importância, 
pois, quando mal dimensionadas, as ligações podem se tornar o “elo mais fraco” em uma estrutura, 
gerando falhas estruturais prematuras e graves. 
53
UNIDADE 3
Entende-se por ligação todo detalhe construtivo que promove a união das partes da estrutura entre si 
(união entre uma viga e uma coluna, por exemplo) ou a união de uma parte da estrutura com elementos 
externos a ela, como a união entre as chapas de base que apoiam colunas e a fundação da estrutura. 
Atualmente, as principais ligações em estruturas metálicas são feitas por meio da soldagem ou do 
aparafusamento (com parafusos comuns ou de alta resistência) das peças. As conexões podem, ainda, 
ser feitas por meio de rebites, contudo, desde 1951, quando a primeira especificação sobre ligações 
foi publicada pelo Research Council of Riveted and Bolted Structural Joints, seu uso se tornou obso-
leto. A especificação previu a substituição de rebites por parafusos de alta resistência na base de um 
para um. Essa autorização gerou uma completa migração das ligações rebitadas para as parafusadas 
(SEGUI, 2017). 
i) não é necessária uma 
quali�cação especí�ca para 
instalar parafusos de alta 
resistência(enquanto a 
rebitagem requer pro�ssio-
nais quali�cados).
ii) o procedimento de 
execução de ligações 
parafusadas é mais seguro e 
rápido.
iii) em geral, as ligações 
rebitadas têm menor 
resistência mecânica. 
Ao menos três pontos podem ser citados para justi�car a escolha pelos
 parafusos de alta resistência em substituição aos rebites: 
54
UNICESUMAR
Como resultado dessas vantagens, desde meados da década de 50, os parafusos de alta resistência têm 
ganhando popularidade na indústria da construção civil. 
A escolha pelo emprego de ligações soldadas ou parafusadas é de fundamental importância para garantir 
um processo construtivo ágil e econômico. De maneira geral, quando as ligações são feitas em fábrica, 
é preferível o uso da solda, enquanto, nas ligações executadas em campo, os parafusos configuram 
a melhor solução (CBCA, 2011). Contudo isto não deve ser tomado como regra geral, cabendo ao 
projetista analisar os aspectos específicos de cada obra e avaliar a melhor solução.
55
UNIDADE 3
Fatores como local de montagem da estrutura (“Existe acesso para aparafusamento? Haverá mui-
ta repetição? Qual dos tipos de ligação é mais simples de executar?”), infraestrutura disponível (“É 
possível usar equipamentos automáticos?”) e grau de dificuldade de fabricação e montagem da peça 
(“Existem limitações construtivas? É possível instalar suportes provisórios?”) são alguns dos aspectos 
(e dos questionamentos) que devem nortear a decisão do projetista. 
Pensando nos pontos de análise listados, o Quadro 1 apresenta algumas das vantagens e das des-
vantagens das ligações parafusadas e soldadas que poderão auxiliar sua escolha.
Aspectos de análise Ligação soldada Ligação parafusada
Quanto à economia Vantagem: economia no consumo de 
material.
Desvantagem: quando comparadas 
às ligações parafusadas, geram maior 
consumo de energia.
Vantagem: economia no consumo de 
energia.
Desvantagem: quando comparadas 
às ligações soldadas, geram maior 
consumo de material.
Quanto ao processo 
construtivo
Vantagem: facilidade em corrigir erros 
de montagem.
Desvantagem: pode haver limitação 
dos locais de montagem, devido à ne-
cessidade de energia elétrica.
Desvantagem: requer maior tempo de 
montagem em campo.
Vantagem: necessidade de poucos 
montadores sem grandes qualifica-
ções. Rapidez na fabricação das peças 
e nas ligações no campo.
Desvantagem: maior dificuldade de 
realizar ajustes e modificações em 
campo.
Quanto ao comporta-
mento mecânico
Vantagem: apresentam elevada rigi-
dez.
Desvantagem: requer maiores cuida-
dos nas análises de fadiga.
Vantagem: melhor resposta à fadiga. 
Desvantagem: são, em geral, menos 
rígidas que as soldadas.
Quadro 1 - Vantagens e desvantagens das ligações parafusadas e soldadas / Fonte: as autoras.
Retorne ao início da unidade e reflita a respeito do projeto de ligações do galpão que você 
deverá projetar. Com base nas informações apresentadas no Quadro 1, aponte quais das 
vantagens e das desvantagens apresentadas apoiam (ou não) a sua escolha pela adoção da 
ligação parafusada.
Definido o tipo de ligação adotada, devemos estudar, sobretudo, três assuntos básicos a respeito de 
cada uma delas: 
c) Principais características sobre o comportamento mecânico e sobre os materiais que compõem 
o meio de ligação (soldas ou parafusos). 
d) Disposições construtivas. 
e) Modelos de cálculo para o dimensionamento estrutural.
56
UNICESUMAR
Vamos começar com as ligações parafusadas. De antemão, é importante salientar que as ligações 
parafusadas se enquadram em um grupo maior de conexões, chamada conexões com conectores. 
Entende-se por conector o meio de união pelo qual são feitos furos nas peças, logo, este grupo inclui 
tanto os parafusos quanto os rebites. Embora estejam em desuso, algumas estruturas mais antigas ainda 
apresentam ligações rebitadas, então, trataremos sobre este tipo de conexão brevemente.
Os rebites são conectores instalados a quente, que, após o resfriamento, se contraem (encolhem), 
apertando as chapas da ligação entre si. Como produto final, surgem extremidades protuberantes, 
como as ilustradas na Figura 1a, que servem como o fechamento da ligação. A Figura 1b mostra uma 
ponte ferroviária feita em aço cujas ligações foram projetadas com rebites.
Destaca-se que a tensão de aperto gerada nas chapas da ligação, após o resfriado do rebite, tem uma 
alta variabilidade, o que dificulta a confirmação dos valores assumidos nos cálculos. Por este e outros 
motivos (citados anteriormente), as estruturas modernas dispensam o uso de rebites. As ligações 
parafusadas caracterizam-se pela união de chapas ou perfis, por meio de parafusos, os quais podem 
ser do tipo comum (também conhecidos como parafusos de baixo carbono) ou de alta resistência. 
Os parafusos comuns são, comumente, forjados com aços carbono de baixo teor de carbono, o que 
lhes confere uma resistência mecânica limitada se comparada a dos parafusos de alta resistência. Suas 
características mecânicas os tornam recomendáveis em sistemas com estruturas mais simples, subme-
tidos a esforços secundários, e em estruturas que não sofrem altos impactos ou vibrações constantes. O 
parafuso comum mais empregado, usualmente, é o ASTM A-307 cuja resistência à ruptura é de 415 Mpa. 
A Figura 2 mostra, em detalhes, as partes que compõem a estrutura de um parafuso comum, são elas: 
a cabeça, o fuste e a rosca. A cabeça pode ser do tipo quadrada ou sextavada. Na extremidade oposta 
à cabeça, são adicionadas, ainda, uma rosca e uma porca, que servem para a instalação do parafuso. 
Descrição da Imagem: na Figura 1a, é apresentado um esquema ilustrativo de uma conexão feita com rebite. Na Figura 1b, é apresen-
tada uma estrutura real com ligações rebitadas.
Figura 1 - Ligações com rebites: a) Esquema ilustrativo de uma rebitada; b) Ponte ferroviária de aço com ligações rebitadas
Fonte: Ghafoori et al. (2014, p. 1104) e Shutterstock.
A B
57
UNIDADE 3
Os parafusos comuns são instalados, manualmente, com chave manual comum e sem controle de 
rotação (torque). Neste caso, diz-se que a instalação ocorre por aperto. Como esta tensão de aperto é 
bastante variável, assim como ocorre nas ligações rebitadas, existe dificuldade na quantificação das 
tensões de atrito mobilizadas na peça e, consequentemente, na determinação das tensões resistentes 
exigidas no projeto. Portanto, não é possível considerar a resistência por atrito entre as chapas no 
cálculo das ligações com parafusos comuns e, como consequência, deve ser prevista a possibilidade 
de movimentação dos elementos conectados. 
A falta de controle sobre a rigidez da ligação é a principal razão associada à limitação do emprego dos 
parafusos comuns ao projeto de estruturas mais simples (guarda-corpos, longarinas, terças, corrimãos, 
por exemplo) e à sua inadequação na aplicação de estruturas submetidas a vibrações excessivas ou a 
carregamentos cíclicos, como foi dito anteriormente. Apesar de apresentarem menor custo quando 
comparados aos parafusos de alta resistência, nem sempre os parafusos comuns são a solução mais 
econômica. Por possuírem menor resistência e rigidez, o número de parafusos necessários pode se 
tornar elevado, onerando a obra e prejudicando a montagem. 
Para atingir resistências superiores (da ordem de 560 a 630 MPa), as dos parafusos comuns, os 
parafusos de alta resistência são produzidos com um aço de médio carbono tratado termicamente. 
A maior resistência do material gera projetos com menor número de parafusos e chapas de ligação 
menores, reduzindo o consumo de aço. O tipo mais usual de parafuso de alta resistência é o ASTM 
A325 de aço-carbono temperado. Além da maior resistência, outra vantagem dos parafusos de alta 
resistência, quando comparados aos parafusos comuns, é a rigidez da ligação. A instalação de para-
fusos de alta resistência é feita com um aperto controlável (torque), o que, normalmente, é precedido 
de um aperto com chave manual. Como o torque gerado é quantificável, é possível consideraras 
tensões de atrito entre as chapas no dimensionamento dessas ligações e desconsiderar a existência de 
deslocamentos entre as chapas.
Descrição da Imagem: a imagem 
mostra um parafuso e uma porca 
sextavada conectada a ele.
Figura 2 - Parafuso com porca sextava-
da e arruelas
58
UNICESUMAR
Um aspecto importante a ser destacado é que, embora os pa-
rafusos de alta resistência possam gerar ligações com elevada rigi-
dez, nem sempre esta condição é requerida em projeto. Quando 
pequenos deslizamentos entre as chapas conectadas são tolerados, 
os parafusos de alta resistência podem ser instalados apenas com 
aperto manual, isto é, sem controle de torque. 
Com base na aplicação ou não de um torque controlado (pro-
tensão), as ligações parafusadas podem ser classificadas em dois 
tipos: por atrito ou por aperto. Quando a instalação da ligação é 
feita com protensão, os esforços são transferidos pelo atrito gerado 
entre as peças conectadas. Este tipo de conexão é dito do tipo atrito. 
Como vimos, esta é uma condição exclusiva dos parafusos de alta 
resistência. Por outro lado, quando os parafusos são instalados 
sem protensão inicial, os esforços solicitantes são transferidos por 
meio do cisalhamento do corpo do parafuso, e este tipo de conexão 
é dito do tipo contato. Note que, tanto parafusos comuns, quanto 
parafusos de alta podem ser do tipo contato. As Figuras 3a e 3b 
ilustram o funcionamento das ligações do tipo contato e do tipo 
apoio, respectivamente, quando há uma força de tração P que atua 
sobre as chapas.
59
UNIDADE 3
Observe na Figura 3ª, que a força solicitante P gera tensões normais entre cada uma das chapas e o 
fuste do parafuso. Essas tensões apresentam sentidos contrários, gerando, assim, uma tensão de cisa-
lhamento na seção transversal do parafuso. O surgimento das tensões normais só é possível, devido à 
folga que existe entre o fuste do parafuso e as chapas. Lembre-se de que uma vez que a ligação foi feita 
apenas com aperto manual, é possível que as peças deslizem entre si e, por contato, sejam geradas tais 
tensões normais. 
Quando o parafuso de alta-resistência é instalado com protensão inicial, as peças que compõem 
a ligação ficam submetidas a uma tensão inicial (componentes verticais na Figura 3b), e não existe 
liberdade para o deslizamento entre as partes. Desse modo, a transferência da força P entre as chapas 
ocorre, totalmente, por atrito (não surgem tensões normais) e, como consequência, o parafuso resul-
tará submetido apenas à tração. 
Agora que já sabemos como se comportam os parafusos comuns e os de alta resistência quanto 
ao nível resistência mecânica, ao modo de instalação, à mobilidade, ao deslizamento e ao tipo de aço 
utilizado, vamos aprender qual é a maneira correta de distribuí-los nas ligações. O modo como posi-
cionamos os parafusos, é fundamental para garantir a segurança da estrutura e a economia do projeto 
estrutural. Pensando nisso, uma série de recomendações sobre a disposição (espaçamentos mínimos 
e máximos) dos parafusos entre si e sobre a furação das chapas serão apresentadas.
Preferencialmente, as ligações são projetadas de forma padronizada, isto é, as características dos 
furos e dos espaçamentos entre parafusos são projetadas de modo que apresentem o mínimo de 
(a) (b)Chapa B
Chapa A
Chapa A
Chapa A
Chapa A
Chapa B
Chapa B
Diagrama de corpo livre do
 parafusos, mostrando a 
transferência de forças
 através do cisalhamento
Chapa B
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
� �
��
�
�
�
�
 ��
 ����
� = Força de tração 
no parafuso
 = resistência ao atrito
 = coe�ciente de atrito
 ��
�
Parafuso 
pré-tensionadoParafuso
2
14
F
d
�
�
�
a
F
dt
� �
Descrição da Imagem: a figura mostra ligações do tipo apoio em a) e do tipo atrito em b), destacando o esquema da ligação e o dia-
grama de forças nas chapas e no parafuso.
Figura 3 - Análise das tensões atuantes em ligações do tipo: (a) contato e (b) atrito
Fonte: adaptada de Salmon et al. (2009, p. 114 e 115).
60
UNICESUMAR
variações possível. Esta situação é preferível, pois permite que furações múltiplas sejam feitas já em 
fábrica, diminuindo, assim, os custos do projeto. Além da economia, a padronização das ligações torna 
o processo construtivo mais ágil, ao permitir automatização das linhas de produção. A Figura 4 mostra 
um exemplo de gabarito de furação. Na imagem, são apresentadas as distâncias entre os furos e entre 
os furos e a borda, em cantoneiras de abas iguais com diferentes dimensões. 
Nota: Dimensões em mm.
��
��
��
��
�
�
Aba 203 178 152 127 102 89 76 64
102 90 76 64 50 44 35
64 57 50
64 44
114
76
76 76
Descrição da Imagem: gabarito para furação de cantoneiras de abas iguais metálicas com vários tamanhos.
Figura 4 - Gabarito de furação para cantoneiras de abas iguais, conforme padrão americano
Fonte: Pfeil e Pfeil (2009, p. 68).
Para a instalação adequada dos parafusos, os furos devem ser feitos considerando uma folga para 
a montagem das peças. Para parafusos comuns, a folga mínima deve ser de 1,5 mm em relação ao 
diâmetro dos parafusos. Se a chapa de aço onde será feita a furação tiver uma espessura (t) menor ou 
igual ao diâmetro nominal dos parafusos (dn) mais 3 mm, isto é, t ≤ dn + 3 mm, é possível realizar o 
furo, por meio do puncionamento. Este procedimento destaca-se pela economia quando comparado 
aos demais método de furação (PFEIL; PFEIL, 2009). A desvantagem do puncionamento é que esse 
método de furação danifica um pouco as laterais do furo, o que leva à necessidade de se considerar 
um diâmetro ainda maior nos cálculos. Nesse caso, além da folga de 1,5 mm, deverá ser adicionado 
um valor de 2 mm ao diâmetro nominal do parafuso para que se obtenha o diâmetro do furo. Logo, 
para os parafusos instalados por puncionamento, o diâmetro do furo resulta dn + 3,5 mm. Para chapas 
mais grossas (t ≥ dn + 3 mm), o puncionamento deve ser seguido de alargamento com broca, ou o furo 
pode ser feito, diretamente, com a broca.
Para fornecer mais flexibilidade na montagem e nos eventuais ajustes que a estrutura possa vir a 
necessitar, é possível ainda que os furos sejam feitos com uma geometria diferente da habitual (circun-
ferência). Neste caso, os furos podem ser alongados (além das folgas) com o aumento da dimensão 
na direção perpendicular da força solicitante, ou, ainda, alargados com o aumento de todo o furo. A 
Figura 5 a seguir mostra as dimensões dos furos: padrão, alargado, pouco alargado e muito alargado 
bem como às tolerâncias dos diâmetros nominais onde cada situação é admitida. Os valores apresen-
tados estão de acordo com as exigências da NBR 8800 (ABNT, 2008).
61
UNIDADE 3
Os furos alargados são restritos às ligações por atrito, já os furos pouco ou muito alargados podem ser 
utilizados em ligações por atrito e por contato, desde que atendidas as limitações previstas na Tabela 
13 da NBR 8800 (ABNT, 2008). Quanto aos critérios de furação, a NBR 8800 (ABNT, 2008) apresenta 
uma série de recomendações acerca das distâncias mínimas e máximas que devem ser respeitadas 
entre os furos e entre os furos e as bordas. O Quadro 2 mostra, resumidamente, as recomendações 
normativas, em função do diâmetro do parafuso (db) e as características construtivas.
Owens e Cheal (1989) elencaram algumas das razões pelas quais as distâncias mínimas apresen-
tadas no Quadro 2 devem ser respeitadas, entre elas: 1) garantir o espaço suficiente para o aperto dos 
parafusos; 2) impedir que ocorram interações indesejáveis entre tensões de contato de parafusos vizi-
nhos; e 3) evitar a tendência à falha próxima à região da borda em decorrência do puncionamento. Por 
outro lado, caso as peças fiquem muito afastadas entre si ou até as bordas, devem combater problemas 
relacionados à corrosão e ao empenamento da ligação (VALENCIANI, 1997). 
Padrão 
�
�+1,5 mm
�+5 mm (d<24)
�+8 mm (d=27)
�+8 mm (d>30)
�+6 mm (d<24)
�+
1,
5 
m
m
�+
1,
5 
m
m
�+8 mm (d=27)
�+9,5 mm (d>30)
2,5�
Alargado
�
Pouco alargado 
�
Muito alargado 
�(a) (b) (c) (d)
Descrição da Imagem:a figura apresenta as principais geometrias dos furos utilizados em ligações aparafusos.
Figura 5 - Geometria dos furos usuais: a) furo-padrão, b) furo alargado, c) furo pouco alongado, d) furo muito alongado 
Fonte: Pfeil e Pfeil (2009, p. 67).
62
UNICESUMAR
Distâncias mínimas
Entre os centros de furos (padrão, alargados ou alongados): 
2,7 db, preferivelmente, 3,0 db.
Entre as bordas de dois furos consecutivos: 
1 db.
Entre o centro do furo padrão e qualquer borda da parte ligada: 
varia em função de db e do tipo de borda, conforme a Tabela 14 da NBR 8800 (ABNT, 2008).
Entre centro de um furo alargado ou alongado e qualquer borda de uma parte ligada: 
varia em função de db e do tipo de borda, conforme a Tabela 14 da NBR 8800 (ABNT, 2008). O valor 
indicado na Tabela 14 deve ser acrescido de βdb, sendo β definido no item 6.3.11.2 da norma.
Distâncias máximas
Entre os centros dos furos, em elementos pintados ou não sujeitos à corrosão: 
24 vezes a espessura da parte ligada menos espessa ou 300mm.
Entre os centros dos furos, em elementos sujeitos à corrosão atmosférica, executados em aços resis-
tentes à corrosão, não pintados: 
14 vezes a menor espessura entre os elementos ligados ou 180mm.
Entre o centro do furo padrão e qualquer borda da parte ligada: 
 12 vezes a espessura da parte ligada, e não mais que 150mm.
Quadro 2 - Distâncias mínimas e máximas entre furos e entre furos e bordas, conforme NBR 8800 (ABNT, 2008) 
Fonte: as autoras. 
Antes de iniciarmos a nossa terceira e última etapa do estudo sobre as ligações parafusadas, referente 
ao dimensionamento estrutural, precisamos tratar de outras classificações importantes deste tipo 
de ligação. Além da classificação quanto ao modo de transferência entre os esforços (por contato ou 
por atrito), as ligações parafusadas podem ser classificadas quanto ao tipo de esforço solicitante da 
seguinte forma: 1) ligação por corte (força cortante); 2) ligação por tração; ou 3) ligação por corte e 
tração (ou viga-coluna). 
63
UNIDADE 3
Retornando à classificação das ligações em função dos esforços solicitantes, temos que, na ligação por 
corte (cisalhamento), a força solicitante atua perpendicularmente ao fuste do parafuso, como ilustram 
as Figuras 6a e 6b. Esse tipo de ligação é típico de peças tracionadas formadas por placas justapostas. 
Observe que, a depender da posição relativa entre a força solicitante e o centro de gravidade da ligação, 
as ligações podem ser submetidas a cisalhamento centrado (Figura 6a) ou excêntrico (Figura 6b).
Na Figura 6c, a força solicitante atua paralelamente ao fuste do parafuso, de modo que as ligações 
estão sujeitas à tração axial, caracterizando a ligação por tração. Por fim, na Figura 6d, o momento 
gerado pela força aplicada V e pela excentricidade e faz com que a linha de parafusos superior resulte 
tracionada, evidenciando um tipo de solicitação composta com esforço normal de tração e de cisalha-
mento. Observe que a diferença entre as ligações parafusadas apresentadas nas Figuras 6b e 6c, está 
na posição do fuste do parafuso em relação à direção da força solicitante.
As ligações parafusadas também podem ser classificadas quanto à 
sua rigidez à rotação, como rígidas, semirrígidas ou flexíveis, a de-
pender do seu nível de rotação quando submetida a um momento 
fletor. Tal comportamento afeta, diretamente, o comportamento 
estrutural das edificações. Portanto, é importante que as considera-
ções feitas em projeto sejam reproduzidas na obra. Para saber mais 
detalhes sobre a classificação das ligações quanto à rigidez e como 
isso afeta o projeto de estruturas, ouça o nosso Podcast.
 i) ligação por corte 
(força cortante).
ii) ligação 
por tração.
iii) ligação por corte e 
tração (ou viga-coluna). 
64
UNICESUMAR
O dimensionamento das ligações parafusadas submetidas aos esforços cortantes e/ou de tração no 
Estado Limite Último (condição de análise em que se garante a segurança estrutural) deve garantir 
que a resistência de cálculo (Rd ) seja maior ou igual ao esforço solicitante de cálculo. A resistência de 
cálculo de uma ligação parafusada é determinada assumindo o valor mínimo necessário para que a 
ligação não apresente nenhum dos seguintes modos de falha (CBCA, 2011):
a) Falha por cisalhamento do corpo do parafuso (Figura 7a).
b) Falha por deformação excessiva da parede do furo (esmagamento) (Figura 7b).
c) Falha por cisalhamento da chapa (rasgamento) (Figura 7c).
d) Ruptura da chapa por tração na seção líquida (Figura 7d).
(a) (b)
(c) (d)
Seção
Descrição da Imagem: a figura apresenta os tipos de ligação parafusadas em função do esforço solicitante.
Figura 6 - Tipos de ligação: a) por corte centrada; b) por corte excêntrica; c) por tração; d) por corte e por tração 
Fonte: Segui (2017, p. 379).
(a) (c)
(d)(b)
(a) (c)
(d)(b)
Descrição da Imagem: a figura 
apresenta os modos de falhas críti-
cos em ligações parafusadas.
Figura 7 - Modos de falhas possíveis em 
ligações parafusadas: a) ruptura por ci-
salhamento do fuste; b) ruptura por es-
magamento; c) ruptura por rasgamento; 
d) ruptura por tração da chapa na seção 
transversal líquida.
Fonte: Salmon et al. (2009, p. 379).
65
UNIDADE 3
Para evitar a ocorrência dos modos de falhas apresentados na Figura 7, a NBR 8800 (ABNT, 2008) 
prevê a determinação de quatro valores de resistência de cálculo (Rd ):
1. Resistência ao cisalhamento (Rdv ).
2. Resistência à tração (Rdt ).
3. Resistência à pressão de contato em furos (Rdc ).
4. Resistência à tração e ao cisalhamento combinados.
Sabe-se que as resistências de cálculo Rd consistem em valores de resistências nominais ( Rn ) mi-
norados de um fator de segurança (g ). Assim, este parâmetro aparecerá, com frequência, ao longo 
das expressões apresentadas a seguir. Nesse sentido, para as solicitações originadas de combinações 
normais de ações, temos que ga1 1 10= , e ga2 1 35= , (ABNT, 2008). As resistências nominais, por 
vezes, estão associadas às tensões últimas ( fu ) ou de escoamento ( f y ) do material. Esses parâmetros 
também aparecerão, de forma recorrente, nas expressões de cálculo. Sempre que tais valores forem 
necessários, deve-se consultar a anexo A da NBR 8800 (ABNT, 2008). Isto posto, podemos seguir para 
o cálculo das resistências.
Para evitar a falha por cisalhamento do corpo do parafuso (Figura 7a), deve-se garantir que o 
esforço solicitante de cálculo não exceda a resistência ao cisalhamento de cálculo (Rdv ), calculada 
conforme a Equação 1.
R
A f
dv
v g u
a
=
φ
γ 2
 (1)
Onde fv é igual a, aproximadamente, 0,40 para parafusos em geral (considerando a situação o plano 
de corte, passando pela rosca do parafuso), ou 0,50 para os parafusos de alta resistência com plano 
de corte fora da rosca (ou seja, no fuste); Ag é a área da seção do fuste, e fu é resistência à ruptura à 
tração do aço do parafuso. Conforme Pfeil e Pfeil (2009), quando a posição do plano de corte não for 
conhecida, deve-se considerar a situação mais desfavorável. Esta ocorre quando o plano de corte passa 
pela rosca. A Equação 1 é válida para os parafusos do tipo contato e do tipo atrito. Contudo, no caso 
deste último, para garantir a segurança ao cisalhamento, é necessário verificar, ainda, a resistência ao 
deslizamento da ligação.
Para garantir que não ocorra o esmagamento do furo (Figura 7b) ou rasgamento da chapa (Figura 
7c) nas ligações parafusadas, as forças solicitantes de cálculo não devem exceder à resistência de cálculo 
à pressão de contato na parede de um furo Rdc dada pela Equação 2.
R l tfdc c c u
a
=
φ
γ 2
 (2)
Onde lc é a distância livre, na direção da força, entre as bordas mais próximas de dois furos consecu-
tivos ou da borda do furo até a extremidade livre da chapa e t é a espessura da parte ligada. Já o fator 
fc varia com o tipo de furo, da seguinte forma:
66
UNICESUMAR
• fc = 1 2, : grupo 1 = furos-padrão, furos alargados, furos pouco alongados em qualquer direção 
e furos muito alongadosna direção da força quando a deformação no furo para forças de serviço 
for uma limitação de projeto.
• fc = 1 5, : grupo 2 = furos-padrão, furos alargados, furos pouco alongados em qualquer direção 
e furos muito alongados na direção da força quando a deformação no furo para forças de serviço 
não for uma limitação de projeto.
• fc = 1 0, : grupo 3 = furos muito alongados na direção perpendicular à da força.
A Equação 2 está, diretamente, relacionada à falha por rasgamento da ligação. Para levar em consi-
deração a resistência ao esmagamento, em cada um dos casos anteriores, a NBR 8800 (ABNT, 2008) 
define limites máximos de resistência em função do tipo de furo do seguinte modo:
• R d tfdc máx b u
a
,
,
=
2 4
2g
, para o grupo 1.
• R d tfdc máx b u
a
,
,
=
3 0
2g
, para o grupo 2.
• R d tfdc máx b u
a
,
,
=
2 0
2g
, para o grupo 3.
Onde db é o diâmetro nominal do parafuso. Observem que a depender da geometria da ligação, ha-
verá maior tendência ao esmagamento ou ao rasgamento. Quando lc é menor que 2 0, db , a falha por 
rasgamento será crítica. Caso contrário, o esmagamento controlará o dimensionamento da ligação 
(PFEIL e PFEIL, 2009). A resistência de cálculo para parafusos tracionados ( Rdt ) pode ser obtida sim-
plesmente multiplicando a resistência à ruptura do aço do parafuso ( fu ) pela área efetiva do fuste do 
parafuso, dada pela razão entre a área efetiva da parte rosqueada e a área bruta do fuste. Para parafusos 
com diâmetro nominal igual ou superior a 12 mm, Rdt é calculada da seguinte forma (Equação 3):
R A fdt be u
a
=
g 2
 (3)
Na Equação 3, a área efetiva do fuste do parafuso Abe pode ser assumida como 75% da área bruta do 
fuste do parafuso Ag .
Quando uma ligação é submetida à tração e ao cisalhamento, simultaneamente, podemos garantir 
a segurança da ligação, desde que se verifique a Equação 4:
T
R
V
R
sd
dt
Sd
dv
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
2 2
1 (4)
Onde Tsd e VSd são, respectivamente, as tensões solicitantes de cálculo associadas à força de tração 
e de cisalhamento atuantes nos parafusos, respectivamente. Os valores de Rdv eRdt são calculadas a 
partir das Equações 1 e 3, respectivamente. 
67
UNIDADE 3
Variando os valores das razões T
R
sd
dt
 e V
R
Sd
dv
 entre 0 e 1, podemos representar a Equação 4 na forma 
de um gráfico cuja curva descreve ¼ de circunferência. Para simplificar este modelo de cálculo, a NBR 
8800 (ABNT, 2008) prevê um procedimento de análise alternativo no qual essa curva de segurança na 
forma de ¼ de circunferência é aproximada por três trechos retilíneos, e a verificação dos esforços 
solicitantes se limita à verificação da tensão de tração solicitante de cálculo, conforme a Tabela 11 da 
Norma (item 6.3.3.4). Neste caso, as análises isoladas de tração e de cisalhamento, conforme apresen-
tado anteriormente, também devem ser realizadas.
Como mencionado anteriormente, para dimensionarmos parafusos que trabalham por atrito, 
precisamos verificar, adicionalmente, à resistência da peça ao deslizamento. A depender do tipo de 
furo (padrão, alargados, pouco alongados ou muito alongados) e da direção do esforço solicitante em 
relação à maior dimensão do furo, a resistência ao deslizamento deverá ser considerada como um 
Estado Limite Último (condição básica para a segurança estrutural) ou como um Estado Limite de 
Serviço (condição básica para a utilização adequada da estrutura). 
Nas ligações por atrito com furos do tipo: 1) padrão; e 2) furos alongados, com alongamento na 
direção perpendicular à força (reveja a Figura 5), o deslizamento configura um Estado Limite de Ser-
viço. Neste caso, a resistência característica correspondente a um parafuso por plano de deslizamento 
pode ser calculada conforme a Equação 5:
R PCfk h= 0 80, µ α (5)
Na Equação 5, P é a menor força de protensão dada nas Tabelas A5.2, do Anexo A da NBR 8800 (ABNT, 
2008); Ch é um fator de redução que depende do tipo de furo, sendo igual a 1 para furos do tipo padrão; 
0,85 para furos alargados ou pouco alongados; e 0,70 para furos muito alongados; e µα é o coeficiente médio 
de atrito em função da superfície de contato. Para superfícies laminadas, limpas, isentas de óleos ou graxas e 
sem pintura µα vale 0,35. Para mais um plano de deslizamento,Rfk deverá ser multiplicado pelo corresponde 
número de planos (ns ). Destaca-se ainda, que a Equação 5 é válida para as ligações por atrito submetidas 
apenas à força de tração longitudinal (P). Na ocorrência simultânea de tração transversal (T), o valor de Rfk 
calculado, conforme a Equação 5, deverá ser multiplicado pela seguinte expressão (Equação 6):
1
0 80
−
T
P,
 (6)
Para as ligações com furos: 3) alargados, 4) pouco alongados, e 5) muito alongados com alongamento 
paralelo à força, o deslizamento deve ser considerado um Estado Limite Último. Observe que, quando 
comparados aos furos do tipo (1) e (2), o grupo (3), (4) e (5) é mais susceptível a deslocamentos maio-
res, de modo que a condição de deslizamento é mais crítica que no caso anterior. Assim, a análise no 
nível apenas das cargas de serviço poderia não ser suficiente, quando os carregamentos associados ao 
Estado Limite Último fossem considerados. Neste caso, a força resistente de cálculo de um parafuso 
ao deslizamento é dada por (Equação 7):
68
UNICESUMAR
R PC n T
Pfd
h s
e
� ��
�
�
�
�
�
1 13 1
1 13
,
,
µ
γ
 (7)
Onde o coeficiente de ponderação ge vale 1,2 para as combinações normais, especiais 
ou de construção. Os demais parâmetros são definidos como apresentado, anterior-
mente, para as Equações 5 e 6. Observe que, na Equação 7, já está incluindo a redução 
da força de protensão referente à aplicação de uma força de tração transversal T.
Sabe-se que uma ligação parafusada é composta tanto por parafusos quanto 
por elementos auxiliares, como chapas de emendas e chapas gusset. Por meio das 
Equações 1 a 7, nós podemos determinar a resistência dos parafusos comuns e de 
alta resistência (seja do tipo contato seja do tipo atrito). O dimensionamento das 
chapas, por sua vez, é função do tipo de esforço solicitante a qual estão submetidas. 
Se estiverem comprimidas, as expressões de cálculo serão baseadas na esbeltez do 
elemento, como veremos em nossos estudos sobre as peças de aço, submetidas à 
compressão, na Unidade 4. Para as chapas tracionadas, a dimensionamento estrutural 
deve considerar, além das recomendações de cálculo apresentadas na Unidade 2, a 
análise do fenômeno conhecido como cisalhamento de bloco (Figura 8). 
Área tracionada 
Área Cisalhada 
tA
tAvA
vA
Descrição da Imagem: a figura apresenta os modos de falhas críticos em ligações parafusadas. 
Figura 8 - Falha por cisalhamento de bloco / Fonte: Pfeil e Pfeil (2009, p. 54).
O cisalhamento de bloco é um modo de falha característico de chapas finas que 
combina uma ruptura por tração em determinado plano e uma ruptura por cisa-
lhamento em um plano perpendicular. A resistência ao cisalhamento de bloco pode 
ser calculada, conforme a Equação 8 (PFEIL; PFEIL, 2009):
R f A C f A f A C f Ad
a
u nv ts u nt
a
y gv ts u nt� �� � � �� �1 0 6 1 0 6
2 2g g
, , (8)
69
UNIDADE 3
Na Equação 8, Anv e Agv são, respectivamente, as áreas líquida e bruta 
cisalhadas; Ant é a área líquida tracionada; Cts é 1, quando a tensão de 
tração na área Ant é uniforme e 0,5, quando a tensão não é uniforme.
No início desta unidade, discutimos que as ligações parafusadas 
podem ser classificadas quanto ao esforço solicitante (ligação por 
corte, ligação por tração ou ligação por corte) e quanto à rigidez da 
ligação (rígida, semi-rígida e flexível). O tipo de esforço que atua 
sobre a ligação e o modo como o sistema de conexão se comporta 
em relação à flexibilidade às deformações (rigidez) são fatores im-
portantes para que possamos compreender como as forças atuantes 
se distribuem ao longo dos parafusos. 
Na verdade, a distribuição das tensões solicitantes é um assunto 
complexo, pois aspectos que não são totalmente controlados, comoas 
tensões residuais e as imperfeições de geometria, também, têm papel 
fundamental neste processo. Nesse sentido, a nível de cálculo, algumas 
simplificações básicas são assumidas, de modo que, para as geometrias e 
as dimensões usuais das peças, considere-se que os elementos da ligação 
são rígidos, e que os parafusos se deslocam em função do movimento 
relativo entre as peças que compõem a ligação (PFEIL; PFEIL, 2009). 
Com base nestas hipóteses, analisaremos como estas simplificações 
afetam o cálculo de ligações com vários parafusos.
Em ligações por cisalhamento com vários parafusos, de modo 
geral, admite-se que o esforço transmitido se distribua, igualmente, 
entre os parafusos. Como em ligações longas, esta hipótese é com-
prometida, e a NBR 8800 (ABNT, 2008) recomenda que a força 
cortante solicitante de cálculo seja multiplicada por 1,25, quando a 
distância entre os parafusos mais distantes da ligação exceder 1720 
mm. Desse modo, desde que não ocorra a esmagamento do furo 
(situação em que se altera a distribuição uniforme dos esforços), a 
resistência ao cisalhamento de um grupo de n parafusos pode ser 
obtida multiplicando-se resistência de um único parafuso por n.
Nas ligações por cisalhamento com vários parafusos, a força 
cortante deve, preferencialmente, estar alinhada ao Centro de Gra-
vidade (CG) do grupo de parafusos, gerando, assim, uma ligação do 
tipo centrada (Figura 6a). Todavia, nem sempre esta configuração 
é praticável em projeto. No caso das ligações por cisalhamento 
com força excêntrica em relação ao CG da ligação (Figura 6b), o 
grupo de parafusos fica sujeito a uma força excêntrica que tende a 
rotacionar a ligação, como ilustra a Figura 9.
70
UNICESUMAR
Em nível de cálculo, a força excêntrica é deslocada de modo que a sua linha de ação 
coincida com a linha que passa pelo centro de gravidade da ligação. O valor de F 
é, então, dividido, igualmente, para cada parafuso que compõe a ligação. A excen-
tricidade da força é compensada pela consideração de um momento fletor M cujo 
valor é igual ao produto entre a força F e a excentricidade “e” (distância entre F e o 
CG da ligação). O momento fletor M produz uma força de cisalhamento adicional 
R nos parafusos cujos componentes Rx e Ry podem ser calculados, conforme as 
Equações 9 e 10:
R M
r
yx �
� 2
 (9)
R M
r
xy �
� 2
 (10)
Nas Equações 9 e 10, r é a distância do centro de rotação da placa (que coincide com o 
CG da ligação); x e y são as coordenadas em relação ao CG. Destaca-se que os valores 
obtidos por meio das Equações 9 e 10 para Rx e Ry , respectivamente, consistem em 
valores característicos (e não de cálculo). No caso das ligações solicitadas apenas à 
tração (Figura 6c), a distribuição dos esforços entre os parafusos é função da rigidez 
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R kr �� �
r ��
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Descrição da Imagem: a figura ilustra o comportamento de uma ligação excêntrica por corte, detalhando o 
método de análise para dimensionamento. 
Figura 9 - Métodologia de análise de uma ligação excêntrica por corte: combinação de esforços de cisa-
lhamento centrado e de momento fletor
Fonte: Pfeil e Pfeil (2009, p. 75).
71
UNIDADE 3
à flexão da parte conectada. A Figura 10 ilustra tal comportamento. Observe que, se a mesa do perfil 
I for, suficientemente, rígida, os parafusos ficam submetidos, unicamente, à tração. Porém, se a mesa 
apresentar deformações excessivas e tender a se afastar do elemento conectado, surgirão esforços 
adicionais de flexão sobre os parafusos. Este fenômeno é conhecido como efeito alavanca. 
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�a
a
�����
�����
�
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2
F
Descrição da Imagem: a figura compara as ações de apoio em uma ligação aparafusada solicitada à tração, quando não ocorre o efeito 
alavanca e quando o efeito alavanca está presente.
Figura 10 - Ligação submetida à tração: a) pura; b) com esforços adicionais gerados, devido ao efeito alavanca
Fonte: Pfeil e Pfeil (2009, p. 76).
Em linhas gerais, a norma permite o uso de um procedimento de análise simplificado, no qual pode-
-se assumir que o efeito alavanca está, adequadamente, considerado se, na escolha das espessuras das 
chapas ligadas, for empregado: 1) o momento resistente plástico e a força de tração resistente de cálculo 
for reduzida em 33%; ou 2) o momento resistente elástico e a força de tração resistente de cálculo for 
reduzida em 25%. Mais detalhes acerca do dimensionamento de peças que sofrem o efeito alavanca 
podem ser encontrados no item 6.3.5 da NBR 8800 (ABNT, 2008). 
Em última análise, vimos que é possível a ocorrência simultânea de esforços de cisalhamento e de 
tração na mesma ligação (Figura 6d). Quanto à distribuição desses esforços, podemos assumir que 
a tensão de cisalhamento é, igualmente, distribuída entre os parafusos, enquanto o mecanismo de 
distribuição da tensão de tração variará em função do tipo de ligação. Na ligação por contato (Figura 
11a), a resistência à tração pode ser calculada, conforme a Equação 11. Nesta Equação, o valor da 
resistência obtida refere-se ao parafuso mais solicitado. 
f M
by t h y
yti
c
c
t�
� �
3
3
3 3
( )
 (11)
72
UNICESUMAR
Os parâmetros descriminados na Equação 11 podem ser extraídos da Figura 11a. 
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Descrição da Imagem: a figura mostra como ligações sujeitas a corte e tração se comportam, mecanicamente, 
destacando o diagrama de tensão em cada uma delas.
Figura 11 - Distribuição de esforços em ligações submetidas à corte e à tração: a) sem protensão inicial; 
b) com protensão inicial / Fonte: Pfeil e Pfeil (2009, p. 77-78).
Quando as ligações têm parafusos de alta resistência protendidos (Figura 11b), as 
chapas estão pré-comprimidas ( fco , na Figura 11b), de modo que a tensão máxima 
de tração ( ft , na Figura 11b) que surge, devido ao momento, apenas reduz a pré-
-compressão ( fc na Figura 11b). Neste caso, entende-se que a ligação estará, ade-
quadamente, verificada desde que tensão de tração no topo da chapa ft ultrapasse 
a tensão de pré-compressão fco (PFEIL; PFEIL, 2008).
Até aqui, discutimos aspectos importantes sobre os tipos de parafusos, apren-
demos como deve ser feita a disposição dos furos nas ligações, vimos que ligações 
parafusadas podem ser classificadas de diversas formas e, finalmente, conhecemos 
a metodologia de dimensionamento de ligações com parafusos e como os esforços 
atuantes se distribuem nas ligações. Agora, conversaremos um pouco a respeito das 
ligações feitas por soldagem. 
73
UNIDADE 3
Mas, afinal, o que é e como é feita a soldagem? A soldagem pode ser definida como uma operação que 
visa unir dois ou mais elementos, assegurando a continuidade de propriedades físicas e mecânicas dos 
materiais na junta soldada. O processo de soldagem é obtido pela inserção de um material adicional 
entre as partes e a aplicação de energia, de modo a produzir a fusão do material de adição (eletrodo 
metálico) e do material de base (perfil metálico), como mostra a Figura 12.
Descrição da Imagem: detalhe da 
junta de ligação de uma conexão 
soldada.
Figura 12 - Ligação soldada
74
UNICESUMAR
Em geral, a soldagem é feita a partir de uma fonte de energia elétrica 
que gera o calor necessário para unir duas partes metálicas com boa 
soldabilidade. O CBCA (2011) define a soldabilidade como sendo a 
facilidade da execução de uma junta, por meio do processo de soldagem 
sem a ocorrência de defeitos e livre de fissuras ou falhas. A soldabilidade 
do aço está, diretamente, relacionada à sua composição química, logo a 
análise do material que compõe perfil metálico é fundamental durante 
a etapa de planejamento do projeto de ligações.
Recapitulando algumas das informações apresentadas no Qua-
dro 1, nós vimos que, se comparada à ligação com parafusos, a 
ligação soldada apresenta como vantagens: diminuição do consu-
mo de aço, já que as ligações soldadas são mais compactas que as 
parafusadas; aumento rigidez das ligações; e facilidadede limpeza, 
pintura e execução, tornando o processo de acabamento da estru-
tura mais ágil. Por outro lado, dificuldades associadas à execução 
das soldas, à desmontagem das peças e ao controle de qualidade 
são alguns dos pontos negativos desse sistema de conexão. Diante 
do exposto, cabe ao projetista avaliar se o uso da solda será mais 
proveitoso, ou não, para o projeto em desenvolvimento. 
Caso a solda seja considerada a melhor opção, deve-se especificar 
qual será a metodologia de soldagem empregada em obra. Nesse sen-
tido, a NBR 8800 (ABNT, 2008) recomenda que sejam consideradas as 
disposições contidas no Structural Welding Code da American Welding 
Society (AWS), onde são apresentados quatro processos de soldagem:
1. Soldagem com eletrodo revestido ou “Shield Metal Arc 
Welding” - SMAW
2. Soldagem com proteção gasosa ou “Gas Metal Arc Welding” 
- GMAW
3. Soldagem com fluxo no núcleo ou “Flux Cored Arc Wel-
ding” - FCAW
4. Soldagem a arco submerso ou “Submerged Arc Welding” 
- SAW
Devido à versatilidade construtiva, à elevada qualidade das ligações 
geradas e ao baixo custo, a solda de eletrodo revestido ou “Shield 
Metal Arc Welding” (SMAW) é a mais utilizada na indústria. A 
soldagem SMAW é um processo no qual a união dos metais é obtida 
pelo aquecimento destes com um arco elétrico estabelecido entre 
um eletrodo especial revestido e a peça (Figura 13). 
75
UNIDADE 3
Na Figura 13, o eletrodo consiste em um arame de aço consumível com cerca de 250 a 500 mm de com-
primento (2), revestido por uma camada de minerais e/ou outros materiais (1). No processo de soldagem, 
o arame fundido transforma-se no material de união (4 e 6), que preenche o vazio entre as peças metálicas 
(5), soldando-as; e o revestimento (1) transforma-se em escória (7), protegendo a região soldada da cor-
rosão atmosférica. Os gases de proteção (3) são gerados de modo a proteger a área de soldagem dos gases 
atmosféricos. Conforme especificações da AWS, os eletrodos devem ser identificados por um conjunto 
alfanumérico composto pela letra “E” e um conjunto de algarismos, como mostra a Figura 14.
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�������
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Descrição da Imagem: a figura mos-
tra como ligações sujeitas a corte e à 
tração se comportam mecanicamen-
te, destacando o diagrama de tensão 
em cada uma delas.
Figura 13 - Soldagem com eletrodo re-
vestido ou “Shield Metal Arc Welding” 
- SMAW 
Fonte: Wikimedia Commons (2011).
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SOBRECABEÇA
VE
RT
IC
A
L
HORIZONTAL
PLANA
Descrição da Imagem: a figura explica como são 
formados os códigos alfanuméricos que identifi-
cam as soldas, conforme as recomendações da 
AWS e as posições de soldagem.
Figura 14 - Código alfanumérico de identificação 
(nomenclatura) dos eletrodos, conforme a AWS, e 
posições de soldagem
Fonte: CBCA (2011, p. 17).
76
UNICESUMAR
Como mencionado anteriormente, no projeto de ligações soldadas, deve-se levar 
em consideração as características do elemento base (perfil metálico) e do eletrodo. 
Conforme Pfeil e Pfeil (2009), os aços-carbono (tipo de aço mais produzido) que pos-
suem até 0,25% de Carbono e 0,80% Manganês são soldáveis sem cuidados especiais, 
enquanto aqueles com teores de Carbono superiores a 0,30% requerem tratamento 
prévio do material. Já os aços de baixa liga (aços que recebem elementos de liga na 
composição química para melhorar suas propriedades) são, em geral, soldáveis com 
ou sem tratamento térmico. 
Além da soldabilidade do elemento base, deve-se avaliar se o eletrodo é compa-
tível com o aço que compõe o elemento que será conectado. A interação adequada 
entre o perfil metálico e o eletrodo é fundamental para garantir uma ligação soldada 
isenta de defeitos. Nesse sentido, para peças feitas com aço A36, a norma brasileira 
recomenda que se utilizem eletrodos E60XX e E70XX do tipo comum ou baixo hi-
drogênio. Enquanto para os elementos feitos com os aços de baixa liga (A242, A44l, 
A572) sugerem-se eletrodos E70XX ou E80XX do tipo baixo hidrogênio. Orientações 
sobre os diversos tipos de aço estão disponíveis na Tabela 7 (Compatibilidade do 
metal-base com o metal da solda) da NBR 8800 (ABNT, 2008).
Quando a soldabilidade é não tratada adequadamente, é possível que ocorram 
descontinuidades na região da junta da ligação. Porosidade, inclusão de escória na 
solda, mordedura, penetração incompleta, fusão incompleta da solda e fissuras são, 
entre outras, algumas das falhas construtivas que geram tais descontinuidades.
Solda ideal Fissuras Porosidade 
Excesso de preenchimento
 das bordas Inclusão de escória Mordeduras
Fusão incompleta Penetração incompleta 
Respingos
Descrição da Imagem: a figura mostra os principais defeitos em soldas que geram desconitnuidades.
Figura 15 - Falhas construtivas em soldas
77
UNIDADE 3
Quanto às características e às causas dos principais defeitos listados, podemos dizer que: a po-
rosidade é caracterizada por pequenos vazios (normalmente esféricos) que surgem no metal 
de solda, em decorrência da absorção de gás na junta de solda fundida, durante o resfriamento 
da solda; as mordeduras, por sua vez, são fendas na imediata vizinhança da solda que, prova-
velmente, ocorrem quando é produzido aquecimento insuficiente no metal. Já a inclusão de 
escória é comum em soldas feitas em camadas, quando não se remove totalmente a escória em 
cada camada. A penetração incompleta pode ser observada quando a solda não se estende até a 
profundidade especificada em projeto. Por fim, as fissuras podem surgir tanto no resfriamento 
(fissuras a frio), quanto no aquecimento (fissuras a quente) da peça. As fissuras a frio ocorrem, 
devido ao resfriamento rápido, onde há tendência à formação de microestruturas mais frágeis 
do que as do aço original. Já as fissuras a quente ocorrem durante a solidificação da solda e são 
devidas à presença de impurezas que se solidificam antes do aço (PFEIL; PFEIL, 2009).
Para garantir a qualidade da solda, a norma brasileira NBR 8800 (ABNT, 2008) prevê o controle do 
processo de execução, por meio de inspeção visual, em estruturas convencionais; e por meio de ensaios 
não destrutivos, em estruturas de grande porte e na indústria de perfis soldados. Neste último caso, 
inspeções por meio de partícula magnética, radiográfica com raio X e raio Gama ou ultrassonografia 
e o uso de líquidos penetrantes são alguns dos métodos de ensaios que podem ser utilizados.
Quanto à classificação, as soldas podem ser analisadas segundo três aspectos: 1) a sua posição em 
relação ao material-base; 2) a posição relativa entre as peças soldadas; e 3) a posição de soldagem. 
Quanto à sua posição em relação ao material-base, os tipos mais usuais de solda são as de entalhe 
ou chanfro) (Figura 16a) e as de filete (Figura 16b). Segundo Salmon e Johnson (1996), as soldas de 
filete constituem 80% das ligações utilizadas nas construções soldadas, enquanto as soldas em chanfro 
totalizam 15%. Os 5% remanescentes correspondem a outros tipos menos empregados. 
solda
solda
linha de fusão
metal base
zona afetada pelo calor
���������������� ��������������
���� ���
Descrição da Imagem: a figura mos-
tra os principais tipos de soldas: de 
entalhe e de filete.
Figura 16 - a) Solda de entalhe e b) Solda 
de filete
Fonte: SteelConstruction.info (2012).
Como pode ser visto na Figura 16b, as soldas de filete apresentam uma seção transversal, aproximadamente, 
triangular e se caracterizam por unir superfícies que não estão no mesmo plano. A facilidade e a versatilidade 
de execução são as principais razõesque motivam a sua escolha. Além disso, por necessitarem de menor 
precisão na fabricação, são mais vantajosas para soldagem em campo (SALMON; JOHNSON, 1996).
78
UNICESUMAR
Para efeito de cálculo, as soldas de filete (Figura 16b) são, efetivamente, analisadas com seção transversal 
triangular, e as partes que compõem este triângulo retângulo são definidas, como apresentado na Figura 17:
Onde as seguintes partes podem ser assim discriminadas:
• Face de fusão: região delimitada na superfície do metal base, onde ocorreu a fusão entre o metal 
base e do metal da solda.
• Raiz da solda: segmento comum às duas faces de fusão. 
Metal da solda
Ga
rg
an
ta 
efe
tiv
a Áre
a ef
etiv
a
Com
prim
ent
o e
feti
vo
Perna
Face de fusão
Pe
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a
Raíz
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Ga
rg
an
ta Face
Raíz da solda
1 2
2 2
1 2
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b b�
1
2
b
b b
b
Descrição da Imagem: a figura mostra os principais tipos de soldas: de entalhe e de filete.
Figura 17 - Solda de entalhe e de filete
Fonte: adaptada de Siderbrás (apud VALENCIANI, 1997, p. 160).
• Perna do filete ( b ): menor dos lados, medidos nas faces de fusão, do maior triângulo inscrito 
dentro da seção transversal da solda cujo valor não deve ser inferior àqueles apresentados na 
Tabela 1.
• Garganta ( t ): menor distância entre a raiz da solda e a hipotenusa do triângulo inscrito.
• Comprimento da solda ( L ): comprimento total da solda de dimensão uniforme, incluindo os 
retornos nas extremidades (exceto no caso de filetes longitudinais de peças sob esforço axial). 
• Comprimento efetivo da solda ( l ): comprimento de solda L minorado por um fator b (para 
soldas longas), calculado conforme a Equação 12.
• Área efetiva da solda ( Aw ): área associada à resistência da solda, obtida pelo produto entre a 
garganta efetiva e o comprimento efetivo.
79
UNIDADE 3
O fator b se aplica a soldas cujo comprimento L excede em 100 vezes ou mais o tamanho da perna 
b (soldas longas). A redução do comprimento L tem como objetivo considerar, no cálculo, o efeito 
da não uniformidade na distribuição de tensões que ocorre, nas soldas longas. Lembre-se de que esse 
efeito já foi discutido anteriormente e, também, foi considerado no cálculo das ligações parafusadas.
b � �1 2 0 002, , L
b
 (12)
O valor mínimo predefinido pela norma para a perna do filete de solda, apresentado na Tabela 1, tem 
por objetivo assegurar a fusão completa entre as partes conectadas. 
Espessura da chapa mais fina na junta de 
ligação (mm)
Dimensão mínima da 
perna do filete (mm)
Até 6,3 3
Entre 6,3 e 12,5 5
Entre 12,5 e 19 6
Acima de 19 8
Tabela 1- Dimensão nominal mínima da perna do filete de solda / Fonte: as autoras. 
Além de fixar um limite mínimo para a perna da solda, a norma brasileira também indica a dimensão 
máxima para os lados do filete. Se a espessura da chapa mais fina (t), na junta de ligação, for inferior 
a 6,3 mm, a perna poderá ter dimensão máxima igual a t. Caso contrário, o valor máximo da perna 
deverá respeitar o limite (t – 1,5 mm). Os valores máximos para a perna do filete são definidos de 
modo a evitar que ocorra a fusão da quina superior da chapa, isto acarretaria a redução da perna e da 
garganta de solda, como mostra a Figura 18. 
Aresta aparente 
da chapa Aresta real da chapa antes da soldagem
Garganta da 
solda aparente
Aresta real da chapa 
é reconhecível
Garganta da 
solda real Garganta real da solda
 é reconhecível
Descrição da Imagem: a figura ilus-
tra o motivo pelo qual se deve consi-
derar um folga de 1,5 mm em chapas 
de espessura superior a 6,3 mm.
Figura 18 - Diminuição da perna e da 
garganta da solda de filete, devido à 
não consideração da folga em chapas 
com espessura superior a 6,3 mm.
Fonte: Valenciani (1997, p. 166).
80
UNICESUMAR
Quanto às dimensões mínimas das partes da solda, a NBR 8800 (ABNT, 2008) con-
sidera, também, que: 1) o comprimento mínimo de um filete não pode ser inferior 
a quatro vezes o valor da sua perna b, nem inferior a 40 mm; e 2) em ligações de 
extremidade de peças tracionadas, constituídas apenas com soldas de filete longitu-
dinais, o comprimento de cada filete deve ser maior ou igual à largura a da chapa.
Agora, falaremos um pouco sobre as soldas de entalhe, também conhecidas como 
soldas do tipo chanfro. As soldas de entalhe (Figura 16a) caracterizam-se por unir 
elementos que estão alinhados sobre o mesmo plano. Quando comparadas às de filete, 
são mais eficientes, pois requerem menor deposição de metal de solda, eliminam a 
necessidade de elementos adicionais na ligação (como cobre juntas), e apresentam 
maior resistência à fadiga e ao impacto (CBCA, 2011). Na Figura 19, são apresentados 
parâmetros importantes para a caracterização das soldas de entalhe.
�
�
�� =
f f
r ss
Descrição da Imagem: a figura mostra a nomenclatura das principais partes de uma ligação soldada.
Figura 19 - Partes de uma ligação soldada de entalhe
Fonte: Modenesi et al. (2005, p. 32).
Quanto ao comprimento efetivo ( l ) e à área efetiva ( Aw ), para as soldas de entalhe, 
tais dimensões devem coincidir, respectivamente, com a largura da peça ligada e com 
produto entre a garganta efetiva (cujo conceito e método de análise serão apresentados 
nos próximos parágrafos) e o comprimento efetivo. 
Quanto à profundidade que a solda atinge nas juntas, as soldas de entalhe são 
classificadas como: de penetração total ou de penetração parcial. Em geral, as soldas 
de entalhe são projetadas para total preenchimento do espaço entre as partes liga-
das. Neste caso, a seção da chapa de menor espessura é tomada como referência nos 
cálculos. Fala-se, então, que a espessura efetiva da solda (garganta de solda) é igual 
à espessura da chapa mais fina. 
81
UNIDADE 3
Alternativamente, é possível que nem todo espaço seja preenchido. Na penetração parcial, a solda é 
(propositalmente) depositada de modo que a penetração seja inferior à espessura das chapas. Neste 
caso, a espessura efetiva da solda (garganta de solda) é função do tipo de entalhe e da posição de sol-
dagem. Para soldas de entalhe em J ou U e entalhe em bisel ou em V com ângulo de abertura superior 
ou igual a 60°, a espessura efetiva coincide com a profundidade do entalhe, já para entalhes em bisel 
ou em V com ângulo de abertura superior ou igual entre 45° e 60º, a garganta de solda equivale à pro-
fundidade do entalhe reduzida de 3 mm. Para mais detalhes, indica-se a consulta da Tabela 5 da NBR 
8800 (ABNT, 2008). A Figura 20 mostra os tipos de entalhes mencionados anteriormente.
2 a 4 mm 
sem chanfro entalhe em V simples entalhe em V duplo
3 mm 
bisel simples Entalhe em J Entalhe em U
2 mm 
45° a 60° 
Descrição da Imagem: a figura ilustra alguns tipos de entalhe que podem ser utilizados em soldas de penetração total.
Figura 20 - Tipos de entalhe em soldas de penetração total / Fonte: CBCA (2011, p. 166).
Mencionamos, anteriormente, que as soldas podem ser classificadas em relação a, pelo menos, três 
aspectos relacionados à posição da solda e ao processo de soldagem. Até aqui, discutimos sobre a 
primeira classificação, onde diferenciamos as soldas de filete e as soldas de entalhe. Agora, conver-
saremos um pouco sobre as demais classificações. Quanto à posição de soldagem, isto é, em função 
da posição relativa entre a solda e o soldador, as soldas podem ser classificadas como planas (Figura 
21a1), horizontais (Figura 21a2), verticais (Figura 21a3) ou sobre-cabeça (Figura 21a4). 
82
UNICESUMAR
A posição de soldagem é escolhida em função das condições de trabalho disponíveis. A posição pla-
na é a condição, preferencialmente, adotada, pois produz soldas de melhor qualidade. As posições 
horizontal e vertical configuram a condição intermediária entre a plana e a sobre cabeça, em termos 
de facilidade de execução e risco de defeitos. Já a posição sobre cabeça é a mais difícil de executar e a 
mais susceptível a defeitos, devendo ser evitada, sempre que possível. Observe que a Figura 14 ilustra, 
claramente, a posição do soldadorquando as soldas ilustradas na Figura 21a são executadas.
Quanto à posição relativa entre as peças soldadas, as soldas podem ser classificadas como: de ex-
tremidade, sobreposição, te, canto e borda, como ilustra a Figura 21b. A solda de extremidade (Figura 
21b1) é usada, sobretudo, para conectar as bordas de chapas de mesma espessura ou com espessuras, 
relativamente, próximas que estão no mesmo nível. As soldas de sobreposição (Figura 21b2) unem 
peças justapostas por meio de soldas de filete. A solda do tipo “T” (Figura 21b3) é utilizada para fa-
bricar perfis, como o próprio perfil “T”, e o perfil “I” para fixação de enrijecedores. As soldas de canto 
(Figura 21b4) são, convencionalmente, utilizadas na fabricação de perfis vazados. As soldas de borda 
(Figura 21b5) são, em geral, empregadas sem fins estruturais, quando se deseja manter duas ou mais 
chapas em determinada posição ou em determinado alinhamento (VALENCIANI, 1997).
Já deu para notar que o projeto das ligações soldadas pode apresentar uma grande quantidade de 
detalhes construtivos, não é? Imagina só quantas especificações deverão ser feitas para uma estrutura 
Chanfro Filete Chanfro Filete
Chanfro Filete
Chanfro Filete
(a1) (a2)
(a3) (a4)
(b1) (b2)
(b3) (b4) (b5)
Descrição da Imagem: a figura mostra a classificação das ligações soldadas, segundo a posição de soldagem e os tipos de juntas.
Figura 21 - Classificação das soldas de entalhe, em função da: (a) posição do instalador e (b) dos tipos de juntas 
Fonte: adaptada de Gaylord et al. (1992 apud VALENCIANI,1997, p. 87).
83
UNIDADE 3
inteirinha com ligações soldadas. Pensando nisto, a norma brasileira NBR 8800 
(ABNT, 2008) recomenda que um método simples e eficiente, baseado em um sistema 
padronizado de especificações (nomenclaturas específicas compostas por símbolos 
ideográficos), seja utilizado para a comunicação entre o projetista e o executor. A 
Figura 22 apresenta um resumo da simbologia das soldas proposta pela AWS (Ame-
rican Welding Society), na qual a NBR 8800 (ABNT, 2008) se baseia. Nesta imagem, 
estão compiladas as principais regras para a representação gráfica dos tipos de soldas.
�
�
�
�
Simbologia de Solda
Contra-
solda
Chapa de 
espera
Tipo de acabamento Símbolo do acabamento
Ângulo de chanfro
Abertura da raiz
Comprimento do cordão
Omitir quando 
não houver 
particularidade
Especi�cações
Símbolos básicos da solda
 ou referência de detalhes 
(Ambos os lados)
Dimensão
A
m
bo
s 
os
 la
do
s
La
do
pr
óx
im
o
La
do
di
st
an
te
Passo (espaçamento centro a 
centro das soldas)
Símbolo da solda de campo
Símbolo de solda em toda a volta
Extremidade da seta
 indica o local da solda
Linha de referência
Pernas verticais sempre à esquerda 
As soldas dos lados próximos e distante têm a mesma dimensão, salvo especi�cação nos dois lados
� �����
�
�
�
�
�����
Solda em
 toda a volta
Solda de 
campo
Acabamento
Plano Convexo
Filete Tampão
Entalhe
Sem 
chanfro v Bisel U J
M
Descrição da Imagem: a figura apresenta, de forma resumida, regras para a representação gráfica dos tipos de 
soldas. A simbologia apresentada esta de acordo com as recomendações da AWS (American Welding Society).
Figura 22 - Resumo das regras para a representação gráfica dos tipos de soldas, conforme a American 
Welding Society / Fonte: Pfeil e Pfeil (2009, p. 96).
84
UNICESUMAR
A Figura 23 mostra o exemplo de um desenho de projeto onde uma ligação soldada é detalhada. 
Viga da esquerdaViga da esquerda
Viga da esquerda
Viga da esquerda
Pormenor das cartelas (1/2 IPE270)
Secção D-DSecção A-A
Secção E-ESecção C-C
Secção B-B
Pormenor de soldaduras dos rigidores
do pilar 
Viga da esquerda
Cartela
Cartela
CartelaCartela
Cartela
Cartela
Cartela
Cartela
Pilar
Pilar
Pilar
Pilar
Pilar
Viga Viga
Viga
Viga
Viga
Viga
Viga da direita
Viga da direitaViga da direita
Viga da direita
Viga da direita
Rigidi�cador
Rigidi�cador
Rigidi�cadorRigidi�cador
Rigidi�cadorRigidi�cador
Rigidi�cador
Rigidi�cador
Rigidi�cador Rigidi�cador
Secção E-E
188x100x11188x100x11
188x100x11188x100x11
IPE270
IPE270IPE270
IPE270IPE270
IPE270
IPE270
1/2IPE2701/2IPE270 1/2IPE270
1/2IPE2701/2IPE270 1/2IPE270
1/2IPE270
1/2IPE270
1/2IPE270
1/2IPE270
HEA120HEA120
HEA120 HEA120
HEA120
HEA120
HEB220
HEB220HEB220
HEB220
1/2IPE270
IPE270
188x100x11
188x100x11 188x100x11188x100x11
188x100x11
188x100x11
188x100x11
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
7
7
135
1357 135
7 135
156
156
156
232
232
232
240
240
240
240
232
156
5
5
5
5
5
5
8
8
8
8
8
8
5
5
5
55
55
55
55
55
55
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Viga da esquerdaViga da esquerda
Viga da esquerda
Viga da esquerda
Pormenor das cartelas (1/2 IPE270)
Secção D-DSecção A-A
Secção E-ESecção C-C
Secção B-B
Pormenor de soldaduras dos rigidores
do pilar 
Viga da esquerda
Cartela
Cartela
CartelaCartela
Cartela
Cartela
Cartela
Cartela
Pilar
Pilar
Pilar
Pilar
Pilar
Viga Viga
Viga
Viga
Viga
Viga
Viga da direita
Viga da direitaViga da direita
Viga da direita
Viga da direita
Rigidi�cador
Rigidi�cador
Rigidi�cadorRigidi�cador
Rigidi�cadorRigidi�cador
Rigidi�cador
Rigidi�cador
Rigidi�cador Rigidi�cador
Secção E-E
188x100x11188x100x11
188x100x11188x100x11
IPE270
IPE270IPE270
IPE270IPE270
IPE270
IPE270
1/2IPE2701/2IPE270 1/2IPE270
1/2IPE2701/2IPE270 1/2IPE270
1/2IPE270
1/2IPE270
1/2IPE270
1/2IPE270
HEA120HEA120
HEA120 HEA120
HEA120
HEA120
HEB220
HEB220HEB220
HEB220
1/2IPE270
IPE270
188x100x11
188x100x11 188x100x11188x100x11
188x100x11
188x100x11
188x100x11
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
7
7
135
1357 135
7 135
156
156
156
232
232
232
240
240
240
240
232
156
5
5
5
5
5
5
8
8
8
8
8
8
5
5
5
55
55
55
55
55
55
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Viga da esquerdaViga da esquerda
Viga da esquerda
Viga da esquerda
Pormenor das cartelas (1/2 IPE270)
Secção D-DSecção A-A
Secção E-ESecção C-C
Secção B-B
Pormenor de soldaduras dos rigidores
do pilar 
Viga da esquerda
Cartela
Cartela
CartelaCartela
Cartela
Cartela
Cartela
Cartela
Pilar
Pilar
Pilar
Pilar
Pilar
Viga Viga
Viga
Viga
Viga
Viga
Viga da direita
Viga da direitaViga da direita
Viga da direita
Viga da direita
Rigidi�cador
Rigidi�cador
Rigidi�cadorRigidi�cador
Rigidi�cadorRigidi�cador
Rigidi�cador
Rigidi�cador
Rigidi�cador Rigidi�cador
Secção E-E
188x100x11188x100x11
188x100x11188x100x11
IPE270
IPE270IPE270
IPE270IPE270
IPE270
IPE270
1/2IPE2701/2IPE270 1/2IPE270
1/2IPE2701/2IPE270 1/2IPE270
1/2IPE270
1/2IPE270
1/2IPE270
1/2IPE270
HEA120HEA120
HEA120 HEA120
HEA120
HEA120
HEB220
HEB220HEB220
HEB220
1/2IPE270
IPE270
188x100x11
188x100x11 188x100x11188x100x11
188x100x11
188x100x11
188x100x11
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
7
7
135
1357 135
7 135
156
156
156
232
232
232
240
240
240
240
232
156
5
5
5
5
5
5
8
8
8
8
8
8
5
5
5
55
55
55
55
55
55
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Descrição da Imagem: exemplo de um desenho de projeto onde se detalha uma ligação soldada.
Figura 23 - Exemplo de desenho de projeto de uma ligação soldada / Fonte: CYPE (2021).
85
UNIDADE 3
Que tal recapitularmos um pouco do que vimos até agora sobre as ligações solda-
das? Nesta unidade, aprendemos sobre a definição e os tipos solda; conhecemos a 
classificação das soldas quanto à posição relativa das peças ligadas; conversamos 
a respeito das características das soldas de filete e de entalhe, destrinchando cada 
partezinha que as compõe; discutimos o conceito de soldabilidade e tratamos sobre 
controle de qualidade de soldas, destacando quais são os principais defeitos que po-
dem surgir neste tipo de ligação; aprendemos o que são soldas planas, horizontais, 
verticais, sobre-cabeça, de extremidade, de sobreposição, de borda, “T” e de canto; 
e, finalmente, vimos as formas de identificar e apresentar as ligações soldadas no 
projeto de estruturas de aço. Ufa! Bastante coisa! Agora que vocêjá detém todo este 
conhecimento sobre as ligações soldadas, só nos resta aprender a dimensioná-las. 
Conforme o CBCA (2011), a resistência de uma ligação soldada está, diretamen-
te, relacionada ao menor dos seguintes valores: 1) resistência à ruptura da solda na 
seção efetiva; e 2) escoamento do metal-base na face de fusão. Em hipótese alguma, 
a resistência da solda poderá ser considerada superior à resistência do metal-base na 
ligação. Quanto ao cálculo da resistência à ruptura da solda, na seção efetiva nas soldas 
de filete, admitimos que a resistência de cálculo da solda para tração ou compressão 
(solicitação típica de soldas que ligam perfis submetidos a momento fletor) é a mesma 
do metal-base. Portanto, desde que seja utilizado um metal de solda compatível com 
o metal-base, apenas a análise da resistência aos esforços de cisalhamento é suficiente, 
sendo assim, a verificação à tração e/ou à compressão negligenciável. 
A Equação 13 apresenta a expressão de cálculo para determinação da resistência 
à ruptura na seção efetiva das soldas de filete, a qual é, diretamente, relacionada à 
resistência ao cisalhamento:
R
A f
w dv
w
w
w
,
,
=
0 6
2g
 (13)
Na Equação 13, A
w 
é a área efetiva da solda de filete (produto entre o comprimento 
e a garganta de solda) ; fw é a resistência mínima à tração do metal da solda (para 
metal de solda de classe 6 ou 60 (AWS), fw = 415; para metal de solda de classe 7 ou 
70 (AWS), fw = 485; já para metal de solda de classe 8 ou 80, fw = 550); e gw2 é igual 
a 1,35 para combinações normais, especiais ou de construção.
Como consequência da desconsideração da análise dos esforços de tração e com-
pressão nas soldas de filete, todos os esforços solicitantes que atuam em uma direção 
qualquer em relação ao plano perpendicular ao eixo longitudinal da solda são conside-
rados, para efeito de cálculo, como esforços cisalhantes (PFEIL; PFEIL, 2009). Portanto, 
a Equação 13 deve ser garantir a segurança da solda em relação à resultante vetorial 
de todas as forças de cálculo na junta de ligação, quer produzam tensões normais, 
quer produzam tensões de cisalhamento na superfície de contato das partes ligadas.
86
UNICESUMAR
Para as soldas de entalhe, a resistência à ruptura na seção efetiva varia em função 
do tipo de penetração (parcial ou total) e do tipo de esforço solicitante (cisalhante 
ou normal de tração ou compressão). Quando a penetração é parcial, a resistência à 
ruptura na seção efetiva assume o valor calculado por meio da Equação 14.
R
A f
w d
w
w
w
,
,
=
0 6
g
 (14)
Na Equação 14, gw refere-se a gw2 (1,35 para combinações normais, especiais ou 
de construção), quando a solicitação é de cisalhamento paralelo ao eixo da solda; 
ou gw1(1,25 para combinações normais, especiais ou de construção), nos casos 
de tração ou compressão normal à seção efetiva da solda. Na penetração total, o 
dimensionamento se restringe à análise do escoamento do metal-base na face de 
fusão. Nesse sentido, para análise da resultante da soma vetorial de cisalhamento, 
o cálculo da resistência é feito a partir da Equação 15, enquanto para os esforços de 
compressão e tração (normais à seção efetiva da solda) deve-se utilizar a expressão 
apresentada na Equação 16.
R
A f
d
y
a
MB=
0 6,
g
 (15)
R
A f
d
y
a
MB=
g
 (16)
Nas Equações 15 e 16, AMB é área teórica da face de fusão, dada pelo produto da 
menor perna do filete pelo comprimento da solda, ega refere-se a ga1 (1,10 para 
combinações normais, especiais ou de construção em soldas de penetração total). 
Para as soldas de penetração total, as componentes paralelas ao eixo da solda não 
precisam ser verificadas (CBCA, 2011). Para as soldas de penetração parcial e de 
filete, as Equações 15 e 16 também são válidas para a verificação do escoamento do 
metal-base na face de fundão, desde que sejam considerados os seguintes ajustes: 
a) Para soldas de penetração parcial: 
• A Equação 15 é aplicável para esforços de cisalhamento paralelo ao eixo 
da solda, e ga é igual a ga2 .
• A Equação 16 é aplicável para esforços de compressão e tração (normais 
à seção efetiva da solda), e ga é igual a.
b) Para soldas de filete: 
• A Equação 15 é aplicável para esforços de cisalhamento (resultante vetorial 
de todas as forças de cálculo), e ga é igual aga1 .
• A Equação 16 não se aplica.
87
UNIDADE 3
Um último adendo é feito em relação às ligações mistas que utilizam soldas e parafusos, de forma 
simultânea. Conforme a NBR 8800 (ABNT, 2008), o dimensionamento das ligações parafusadas não 
deve ser feito, considerando o trabalho conjunto com soldas, exceto no caso de ligações por cisalha-
mento, nas quais parafusos com furos-padrão ou pouco alongados com a maior dimensão transversal 
na direção da força podem ser considerados, trabalhando em conjunto com soldas longitudinais de 
filete. Neste caso, a contribuição dos parafusos deve ser limitada a 50% da força resistente de cálculo 
do grupo de parafusos.
Título: Dimensionamento de Elementos e Ligações em Estruturas de Aço
Autor: Alex Sander Clemente de Souza
Editora: EdUFSCcar
Sinopse: este livro discute o comportamento das estruturas em aço, as 
particularidades do projeto e as recomendações da norma brasileira de 
projeto de estruturas metálicas NBR 8800:2008. O seu foco é a análise e o 
dimensionamento de elementos estruturais e de ligações. A cada capítulo 
são apresentados exemplos de aplicações práticas. Este material é uma 
ótima fonte de pesquisa para a elaboração do projeto de ligações em aço.
Bem, aluno(a), aqui, concluímos nossa jornada de estudos sobre as ligações em estruturas metálicas. 
Ao longo desta unidade, foram apresentados conceitos e procedimentos de cálculo que lhe darão uma 
base para o desenvolvimento do projeto de ligações em diversos tipos de estruturas da engenharia 
civil. Quanto aos sistemas de ligações formados por parafusos ou solda, finalizo, reforçando a ideia 
de que não existe uma solução melhor que a outra, o que, de fato, existe é uma solução mais factível 
para cada projeto. Com base no levantamento das características de interesse (apresentadas no início 
da unidade) do seu projeto e das discussões apresentadas nesta unidade, tenho certeza de que em seus 
projetos, você proporá uma solução econômica, segura e eficiente.
88
UNICESUMAR
89
UNIDADE 3
Que tal fazermos um super resumo de tudo aquilo que aprendemos sobre as ligações em estru-
turas metálicas? Vamos juntos?! Eu o(a) guiarei na organização das principais ideias, e você me 
ajuda, completando as informações pendentes, ok? 
As respostas podem ser encontradas na imagem a seguir, mas não vale olhar. Então, vamos lá!
Os principais tipos de ligações metálicas são feitos, por meio do emprego de _________ e ______. 
Embora as ligações ____________ sejam, normalmente, mais econômicas e gerem uma construção 
mais ágil, estas apresentam, em geral, menor rigidez que as ligações _______. As ligações parafu-
sadas podem ser classificadas como do tipo ______ e _____ a depender da consideração ou não da 
protensão na instalação. Os parafusos __ ____ ________ podem ser dos dois tipos, já os parafusos 
_______ limitam-se aos do tipo contato. Os parafusos apresentam ______ modos de falha típicos. 
Assim, para dimensioná-los, precisamos verificar as resistências relacionadas aos esforços de 
___________ e ______, além da resistência à _______ __ ________ __ _____ e combinação de tração e 
cisalhamento.
As ligações soldadas são uma alternativa às ligações parafusadas cujo método de conexão se baseia 
na união de duas partes, por meio da fusão do material de adição ao ________ __ ____. Para que a 
ligação tenha uma boa qualidade, é necessário que o procedimento de solda seja executado de 
forma adequada, e que o aço tenha uma boa ______________, caso contrário, podem surgir defeitos 
na peça, tais como _________, ________, _________, entre outros. Quanto à posição da solda em relação 
ao material base, as soldas podem ser de _______ ou de _______. Em ambosos casos, a área resis-
tente é função do comprimento da solda e da __________ (menor distância entre a raiz e a face da 
solda). O dimensionamento das soldas baseia-se na verificação da _______________________________ 
e do ___________________________; e as expressões de cálculo variam para as soldas de filete e de 
entalhe. Para o cálculo das soldas de entalhe, deve ser discriminado, ainda, o caso de soldas com 
penetração _____ ou _____.
90
91
Ao longo de toda a Unidade 3, discutimos aspectos teóricos importantes a respeito das 
ligações metálicas. De fato, uma base sólida é fundamental para o dimensionamento 
racional das estruturas. Sabemos que, hoje em dia, diversos softwares estão disponíveis 
para o cálculo estrutural de ligações metálicas, mas é papel do engenheiro projetista 
escolher os parâmetros de entrada adequados, analisar os resultados obtidos e avaliar, 
de forma crítica, a solução gerada. Para adquirir estas habilidades, é fundamental que 
você desenvolva alguns desses cálculos à mão. Vamos ver, na prática, como o dimen-
sionamento das ligações é feito? Com base nos procedimentos de cálculo apresentados 
ao longo dessa unidade, proponho que você dimensione, ou verifique a segurança das 
seguintes conexões: 
1. Ligação parafusada da Figura 24a.Considere que as chapas são feitas de aço ASTM 
A36, e os parafusos são comuns do tipo A307, com diâmetro de 22 mm (5/8”). A força 
atuante corresponde ao valor de projeto.
2. Ligação soldada da Figura 24b. Considere solda de filete. Admita o aço ASTM A36 e o 
eletrodo E60. 
3. Ligação soldada da Figura 24b. Considere solda de entalhe com penetração total. Ad-
mita o aço ASTM A36 e o eletrodo E60. 
(a)
(b)
Descrição da Imagem: a imagem ilustra as ligações foco das Questões 1 a 3.
Figura 24 - a) Ligação parafusada (Questão 1); b) Ligação soldada (Questões 2 e 3) / Fonte: as autoras.
92
4
Na Unidade 4, você será apresentado aos principais conceitos, às discussões 
e aos procedimentos de cálculo relacionados ao comportamento estru-
tural de barras de aço solicitadas à compressão axial. Inicialmente, você 
será confrontado com o principal problema associado à falha estrutural 
de perfis de aço comprimidos: a flambagem, um modo de falha típico de 
barras esbeltas caracterizado por deslocamentos excessivos na direção 
perpendicular ao eixo longitudinal da barra. Para entender como este 
fenômeno afeta o desempenho das estruturas, uma série de exemplos 
(casos práticos, vídeo e uma divertida experiência) serão utilizados como 
ferramenta para que você compreenda o efeito da flambagem sobre uma 
estrutura. Na sequência, serão discutidas as bases da Teoria de Flamba-
gem de Euler que fundamentam as regras de cálculo recomendadas pelos 
procedimentos normativos vigentes. Finalmente, será apresentado o pro-
cedimento normativo segundo a NBR 8800:2008 para o dimensionamento 
de peças de aço comprimida, faremos a distinção entre os fenômenos de 
flambagem local e global e discutiremos os principais aspectos relacionados 
à flambagem global por flexão, por torção pura e por flexo-torção. Ao final 
da unidade, você avaliará a eficiência estrutural e econômica de diversos 
tipos de perfis e dimensionará as colunas de uma edificação residencial.
Dimensionamento 
de Estruturas de Aço: 
Peças Comprimidas
Anne Caroline Monteiro Diniz
94
UNICESUMAR
Depois de alguns meses após a sua primeira visita ao local da obra do galpão, aquele que você foi convi-
dado a construir, lá na Unidade 2, lembra? Você decide realizar uma segunda vistoria para acompanhar 
as primeiras etapas da construção. No caminho, você se deparou, novamente, com aquela pequena 
passarela de aço cuja segurança estrutural era um tanto quanto duvidosa e percebeu que vários reparos 
haviam sido feitos nela. Um aspecto da nova estrutura lhe chamou atenção: o montante vertical, no 
centro da treliça, havia sido retirado. Será que esta alteração poderá afetar a segurança da estrutura?
T T
C C
Banzo inferior
Diagonal
Banzo superior
Montante
Descrição da Imagem: na Figura 1, o engenheiro está analisando uma estrutura treliçada da nova passarela, sem o montante central.
Figura 1 - Nova passarela sem o montante central / Fonte: as autoras
Se nós trouxermos à memória a configuração deformada (apresentada na Unidade 2) da antiga pas-
sarela, perceberemos que a barra retirada era solicitada por uma força de compressão, assim como a 
barra horizontal superior (banzo superior). Além disso, o montante retirado servia como apoio para 
o banzo superior, dividindo o seu vão livre em duas partes. Na nova estrutura, o banzo apresenta um 
comprimento duas vezes maior, o que pode acarretar problemas, devido ao fenômeno de flambagem. 
Descrição da Imagem: configuração deformada da antiga passarela com indicação das tensões normais atuantes nas barras. Em azul, estão 
as barras comprimidas, em vermelho são destacadas as barras tracionadas. As barras que não sofrem solicitações são mantidas em cinza.
Figura 2 - Configuração deformada da antiga passarela / Fonte: as autoras.
95
UNIDADE 4
Devido à elevada resistência mecânica do aço, os perfis estruturais feitos com este 
material podem ser fabricados com seção transversal de dimensão reduzida (quando 
comparada ao comprimento), conferindo-lhes uma alta esbeltez. Como barras esbel-
tas são, particularmente, susceptíveis a grandes deformações e, consequentemente, 
à falha por flambagem, normalmente, a capacidade resistente à compressão dos 
perfis de aço são limitadas por este fenômeno. A Figura 3 mostra uma das possíveis 
condições de falha do banzo superior da passarela, onde a seta em vermelho indica 
um deslocamento excessivo, devido à flambagem por flexão da barra.
Note que o fenômeno da flambagem é caracterizado por um deslocamento (indicado 
na Figura 3 pela seta em vermelho) que ocorre, perpendicularmente, à direção da 
força axial de compressão, e não na direção da força (gerando um encurtamento), 
como esperado. Que tal analisarmos esse fenômeno na prática? 
Podemos observar a flambagem de uma peça quando aplicamos uma força de 
compressão em uma régua de plástico, como ilustra a Figura 4. 
Descrição da Imagem: Configura-
ção deformada do banzo superior 
da passarela reformada.
Figura 3 - Falha por flambagem do ban-
zo superior / Fonte: as autoras.
96
UNICESUMAR
Neste caso, a régua (que é um elemento esbelto) tenderá a se deslocar na direção perpendicular à força 
aplicada, assim como ocorre em barras comprimidas que falham por flambagem.
É intuitivo presumir que o deslocamento (perpendicular à direção da força) que a régua sofre será 
maior à medida que a força P solicitante aumenta. Esse deslocamento deverá variar em função da geo-
metria (comprimento da área da seção transversal) da régua e da rigidez do material da régua. Se, em 
vez de plástico, a régua fosse feita de alumínio, você acha que o deslocamento seria menor ou maior? 
E se a régua tivesse o dobro do comprimento, como o deslocamento transversal seria modificado? Por 
fim, se a régua fosse três vezes mais espessa, a flambagem seria maior ou menor? Pense em como cada 
um dos parâmetros alteraria a configuração deformada da Figura 4. Enuncie suas hipóteses utilizando 
seu Diário de Bordo. A resposta para cada uma das perguntas anteriores poderá ser encontrada nas 
equações de cálculo de flambagem, apresentadas e discutidas ao longo dessa Unidade.
� ���
��
��
��
������
Descrição da Imagem: ilsutração do experimento para visualização da flambagem em uma régua.
Figura 4 - Flambagem de uma régua / Fonte: as autoras.
DIÁRIO DE BORDO
97
UNIDADE 4
No setor da construção civil, os elementos de aço comprimidos podem ser encontrados em vários 
sistemas estruturais, tais como passarelas, pontes, barras de contraventamento, coberturas, torres e 
edificações. Entre os elementos estruturais comprimidos, o mais comum é a coluna. Popularmente 
conhecida como pilar (Figura 5), a coluna é um membro vertical cuja função principal é suportar 
cargas verticaisde compressão.
Conceitualmente, barras comprimidas são elementos estruturais sujeitos a forças de compressão que 
atuam sobre o Centro de Gravidade (CG) da seção, na direção paralela ao seu eixo longitudinal. Para 
entender como este esforço atua em um perfil estrutural, analise mais uma vez a passarela deformada 
na Figura 2. 
Vimos, na Unidade 2, que, enquanto você caminhava sobre a estrutura, o seu peso somado ao da 
sua bagagem gerava uma solicitação externa à passarela tal que as barras do banzo superior resultavam 
comprimidas (em azul), e as barras do banzo inferior eram tracionadas (em vermelho). Com base na 
Figura 2, podemos perceber que, ao contrário dos esforços de tração que tendem a “separar” a barra 
em duas partes, tornando-a ainda mais reta, o esforço de compressão tende a “esmagar” a barra. 
Descrição da Imagem:a figura mostra uma série de colunas em uma edificação feita em aço.
Figura 5 - Colunas em uma edificação feita em aço
98
UNICESUMAR
Por meio do exemplo prático ilustrado na Figura 4, podemos perceber que, quando a força solici-
tante de compressão atinge determinado valor limite, deslocamentos transversais em relação ao eixo 
longitudinal da barra deverão ocorrer, desencadeando a falha por flambagem. Devido aos grandes 
deslocamentos gerados sobre a peça, a flambagem reduzirá, de forma considerável, a resistência do 
elemento. Esta implicação se estende aos perfis de aço comprimidos cuja capacidade resistente à com-
pressão se torna, normalmente, bem menor, quando comparada à sua resistência à tração. 
Devido à sua grande influência sobre a capacidade resistente das barras solicitadas à compressão, é 
importante que conversemos um pouco a respeito da flambagem em colunas de aço, antes de apresen-
tarmos, efetivamente, os procedimentos de normativos acerca do dimensionamento desses elementos.
Se você está com a memória afiada, deve se lembrar que “Flambagem” foi um dos conteúdos 
abordados na disciplina de Resistência dos Materiais (caso já tenha estudado). Na ocasião, 
você deve ter aprendido que a flambagem nada mais é que o deslocamento lateral que uma 
coluna sofre quando perde a capacidade de suportar uma força de compressão, tornando-se 
instável. Confira o vídeo indicado no Qr-Code e relembre como a flambagem da barra gera 
uma configuração deformada crítica para colunas.
Com a contínua modernização da construção civil, os projetos estruturais têm se tornado, ano após 
ano, mais arrojados. Compare as características construtivas de uma estrutura típica dos séculos VII 
a.C e IV a.C (Figura 6a) e de uma estrutura moderna (Figura 6b). 
A B
Descrição da Imagem: as imagens visam ilustrar a evolução dos sistemas construtivos da engenharia civil. Na primeira imagem, temos 
uma estrutura robusta e pesada, enquanto na segunda (em aço), temos uma sistema estrutural leve e esbelto.
Figura 6 - Evolução dos modelos construtivos: a) estrutura típica dos séculos VII a.C e IV a.C (robusta e pesada); b) estrutura 
moderna (esbelta e leve)
99
UNIDADE 4
Devido às limitações dos materiais disponíveis na época, estruturas mais antigas 
(Figura 6a) eram tipicamente robustas e pesadas. Com a evolução da tecnologia dos 
materiais de construção, as estruturas mais recentes, como a representada na Figura 
6b, têm se tornado cada vez mais leves e esbeltas. Apesar das diversas vantagens 
das estruturas modernas, o baixo peso específico e as seções transversais reduzidas 
fazem com que esses sistemas estruturais apresentem uma baixa rigidez. Por isso, 
uma análise de estabilidade adequada no dimensionamento estrutural dos novos 
sistemas estruturais é primordial.
A Figura 7 mostra algumas seções transversais de perfis de aço disponíveis no 
mercado. Observe como a seção transversal dos diversos tipos de perfis apresentam 
dimensões (largura e espessura) reduzidas se comparadas ao comprimento da barra. 
Quanto maior a diferença entre as dimensões principais da barra (comprimento, lar-
gura e espessura da seção transversal) maior será a facilidade da barra a se encurvar, 
ou seja, será mais vulnerável à flambagem. 
O parâmetro geométrico que quantifica a relação entre as dimensões principais de 
uma barra é chamado índice de esbeltez. Como veremos mais adiante, o índice de 
esbeltez pode ser avaliado no nível global ou local. A esbeltez global é uma medida 
relacionada ao comprimento da barra e às dimensões da sua seção transversal, já a 
esbeltez local define a relação entre largura e espessura de uma placa que compõe 
a seção transversal do perfil. Um longo cano de PVC, por exemplo, tem, simultanea-
mente, elevada esbeltez global e local.
Descrição da Imagem: a figura mostra perfis de aço com diferentes seções transversais (perfis I, cantoneira, 
seções retangulares e tubulares).
Figura 7 - Seções transversais típicas de perfis metálicos
100
UNICESUMAR
Um perfil apresenta elevada esbeltez global quando o seu comprimento é muito 
maior que a sua seção transversal. Perfis com elevada esbeltez global são, particular-
mente, susceptíveis à flambagem global da coluna, na qual deslocamentos ocorrem 
ao longo de todo o seu comprimento. Já os perfis com alta esbeltez local possuem 
elevada razão entre a largura e a espessura. Estes perfis são vulneráveis à flambagem 
localizada, que ocorre no nível da seção transversal. A flambagem global pode ocor-
rer devido à flexão e/ou torção da barra. A princípio, vamos nos ater à flambagem 
global por flexão. De modo geral, a flambagem global por flexão é caracterizada 
pelo deslocamento lateral da coluna, em torno de um dos eixos principais de inércia, 
resultando no movimento de corpo rígido da seção transversal no seu próprio plano. 
A Figura 8 mostra uma visão geral da configuração deformada de uma coluna que 
sofre flambagem global por flexão. Note que, na configuração flambada, as paredes 
dos perfis permanecem retas, e o ângulo entre elas permanece inalterado.
Flambagem global por �exão
Seção transversal a meio vão
Descrição da Imagem: a figura como um perfil I se comporta quando sofre flambagem global por flexão.
Figura 8 - Flambagem global por flexão / Fonte: as autoras.
A flambagem global por flexão foi descrita, matematicamente (Equação 1), para 
colunas bi-rotuladas (bi-apoiadas), por Leonhardt Euler (1707- 1783). Ao estudar a 
condição de equilíbrio de uma barra comprimida em uma posição deformada com 
deslocamentos laterais (PFEIL; PFEIL, 2009), Euler definiu que a configuração de 
equilíbrio, representada na Figura 8, é mantida quando a força aplicada é igual à força 
crítica de flambagem Ne, obtida da seguinte forma:
N EI
Le
=
p2
2 (Eq. 1)
101
UNIDADE 4
Na Equação 1, a força crítica de flambagem por flexão (Ne), também conhecida como 
Flambagem de Euler, é função do módulo de elasticidade do material da coluna (E); 
do momento de inércia I da seção em relação ao eixo de flambagem; e do compri-
mento de flambagem (L). Em termos práticos, a força crítica de Euler nada mais é que 
a força máxima de compressão que uma barra apoiada entre rótulas pode suportar 
sem que sofra deslocamento transversal excessivo, isto é, sem que sofra flambagem. 
Em nível de projeto, é comum discutirmos a resistência de barras comprimidas 
em termos de tensões, portanto, comumente falamos de tensão crítica de flambagem 
(Equação 2). Esse parâmetro é obtido, simplesmente, dividindo a força crítica de 
flambagem (Equação 1) pela área da seção transversal da barra.
σ
π π π
λ
e
eN
A
EI
L A
E
L
i
E
� � �
�
�
�
�
�
�
�
2
2
2
2
2
2 (Eq. 2)
Onde σe é tensão crítica de flambagem, dada pela razão entre a força crítica de flam-
bagem Ne, e a área A; é o índice de esbeltez da barra, que também pode ser repre-
sentado pela letra grega λ; e i é o raio de giração da seção transversal, em relação ao 
eixo de flambagem. Este último pode ser, diretamente, consultado nas tabelas das 
propriedades geométricas dos perfis, disponibilizadas pelos fabricantes. 
A relação geométrica L/i, conhecida como índice de esbeltez, é uma medidada 
flexibilidade da coluna, que serve para classificá-la como longa, intermediária ou 
curta. Um procedimento muito comum em normas e manuais de projeto consiste 
na representação das tensões limites de colunas em função do índice de esbeltez, por 
meio de curvas. A Figura 9 mostra a curva da tensão crítica de flambagem de Euler 
(Equação 2), representada, graficamente, em função da esbeltez. 
40
36
30
27
20
10
40
50 100 150 200
60.5 89
Aço estrutural 
Liga de alumínio
( =27 ksi)
( =36 ksi)
e�
�
yf
yf
Descrição da Imagem: a figura como a 
resistência à flambagem de barras com-
primidas se comporta em função da es-
beltez.
Figura 9 - Gráfico σ versus λ: comporta-
mento de barras comprimidas em função 
da esbeltez
Fonte: adaptado de Hibbeler (2017).
102
UNICESUMAR
Analisando a Figura 9, podemos verificar que as barras curtas 
(barras com baixo índice de esbeltez) apresentam tensão crítica de 
flambagem (linhas pontilhadas que são suprimidas para níveis de 
esbeltez reduzidos) elevada, enquanto as barras longas estão asso-
ciadas a tensões críticas de flambagem bem menores. Esta análise 
permite-nos verificar que:
A resistência de uma 
coluna (tensão máxima 
suportada) é o menor 
valore entre: tensão 
crítica de �ambagem e 
tensão de escoamento; 
Colunas longas tendem 
a falhar por �ambagem, 
enquanto as colunas 
muito curtas tendem a 
falhar por escoamento 
do material. 
As barras longas apresentam valores 
reduzidos de tensão crítica de 
�ambagem, o que lhes confere uma 
capacidade resistente à compressão 
limitada, devido à tendência de falha 
prematura por �ambagem. Diz-se que 
a falha é prematura, pois embora o 
aço apresente uma resistência ao 
escoamento muito maior que a 
tensão crítica de �ambagem, o per�l 
não irá suportar tensões solicitantes 
elevadas (próximas a fy), uma vez que 
a �ambagem irá comprometer o 
desempenho estrutural da coluna.
As barras muito curtas, como as 
colunas de aço e de alumínio com 
esbeltez inferior a 89 e 60,5, 
respectivamente, da Figura 9, 
possuem tensão crítica de �ambagem 
muito elevada, as quais superam a 
tensão de escoamento do material. 
Neste caso, a coluna deverá entrar em 
colapso quando a tensão solicitante 
atingir a tensão de escoamento e, 
portanto, não há ocorrência de 
�ambagem.
� �
Descrição da Imagem: a figura apresenta discussões e conclusões extraídas a partir 
da análise do gráfico da Figura 9. 
Figura 10 - Análise do gráfico da Figura 9: principais observações e conclusões / 
Fonte: as autoras.
Embora a equação de Euler seja, até hoje, utilizada como referência 
para o cálculo da resistência à flambagem, nos cursos de Resistência 
dos Materiais, é importante compreendermos até que ponto esta 
expressão é capaz de traduzir a realidade. Para tanto, devemos ter 
em mente que, ao propor a Equação 1, Euler baseou-se em algumas 
hipóteses, entre elas:
103
UNIDADE 4
Como as considerações acima se afastam do comportamento real das barras, diz-se 
que a equação de Euler é válida, apenas, para as colunas “ideais” ou “perfeitas”. Na 
prática, as hipóteses assumidas por Euler são em menor ou maior grau irreais. Vamos 
entender o porquê.
Embora uma série de pré-requisitos de qualidade associados à fabricação dos per-
fis metálicos seja exigida por norma, inevitavelmente, as colunas “reais” apresentam 
imperfeições geométricas, como falta de retilineidade, torção, empenamento, entre 
outros. Portanto, a consideração destes defeitos no cálculo da resistência à compressão 
dos perfis de aço é fundamental para que valores de força resistente mais próximos 
da realidade sejam obtidos em projeto. Além das imperfeições no nível da geometria, 
colunas reais também apresentam “má conformação” no nível do material. Durante 
as etapas de resfriamento e aquecimento associados à fabricação de peças laminadas e 
soldadas, respectivamente, podem surgir tensões residuais na peça. Conforme Alpsten 
e Tall (1970), a tensão residual nas peças de aço é a principal causa da não-linearidade 
do diagrama tensão versus deformação, comprometendo, assim, a segunda hipótese 
definida por Euler, na proposição da Equação 1.
�����������������������������
�����
���������������������
��������
��������������
����	
������������������
A coluna não apresenta 
imperfeições geométricas ou 
tensões residuais; 
A força de compressão deve 
estar perfeitamente alinhada 
em relação ao Centro 
Geométrico (CG) da seção;
O material deve possuir as 
mesmas propriedades físicas, 
independentemente da 
direção considerada, e deve 
ter comportamento 
linear-elástico.
Descrição da Imagem: a figura apresenta três hipóteses básicas assumidas por Euler, na proposição da Equa-
ção da força crítica de flambagem por flexão.
Figura 11 - Principais hipóteses assumidas por Euler, na proposição da equação da força crítica de flam-
bagem (Equação 1) / Fonte: as autoras.
104
UNICESUMAR
Ainda sobre as características do material idealizadas por Euler, deve-se ter em mente 
que o comportamento elástico-linear do aço é garantido apenas até o seu limite de 
proporcionalidade (para relembrar o conceito de limite de proporcionalidade, confira 
o gráfico da Figura 1 da Unidade 1). O comportamento não-linear do material é 
mais um fator que tende a afastar a expressão de Euler da realidade. Por fim, em 
situações reais de projeto, durante a montagem da estrutura, é, praticamente, impos-
sível garantir o perfeito alinhamento entre força aplicada e o CG da seção transversal 
do perfil, o que compromete a última hipótese de Euler, apresentada na Figura 11.
Embora não configure uma hipótese, propriamente dita, é importante destacar 
que a equação da força crítica de flambagem (Equação 1) foi proposta considerando, 
ainda, o comportamento de uma barra com extremidades rotuladas. Na prática, sa-
bemos que este tipo de vinculação não ocorre de forma perfeita, mas que podemos 
sim simular situações muito próximas a ela, assim como outros tipos de vinculações. 
Para as condições de apoio diferentes da bi-rotulada, faz-se necessário corrigir a 
formulação de Euler. Isto é feito considerando um fator K, referido como coeficiente 
de flambagem, multiplicado ao comprimento L, na Equação 1. Ao multiplicarmos 
L pelo fator K, podemos estender a equação da carga crítica de Euler para as várias 
condições de extremidade utilizadas na prática. O produto entre K e L é conhecido 
como comprimento efetivo de flambagem Le. A Figura 12 apresenta os valores teó-
ricos e práticos dos coeficientes de flambagem K. 
O que são tensões residuais? 
São tensões que surgem em chapas de aço e perfis estruturais durante o 
processo de fabricação, devido ao resfriamento não uniforme, após a lami-
nação ou a soldagem da peça. Se nenhuma técnica de alívio de tensões for 
utilizada, essas tensões permanecem no material, diminuindo sua capacidade 
resistente. Em casos extremos, as tensões residuais podem atingir o mesmo 
nível de grandeza da tensão de escoamento do material.
105
UNIDADE 4
Os parâmetros K teóricos são resultados de análise teóricas e assumem os valores utilizados na disci-
plina de Resistência dos Materiais. Já os parâmetros K práticos, como o próprio nome sugere, incluem 
as incertezas associadas à prática de projeto, sendo, portanto, recomendados por manuais de cálculo e 
normas. Observem que os valores recomendados (práticos), apresentados na Figura 12, são um pouco 
maiores que os valores teóricos. Assim, a força crítica de flambagem obtida com o valor normativo de 
K resulta inferior àquela calculada com base no valor teórico.
É importante ressaltar que o comprimento de flambagem L coincide com o próprio comprimento 
da barra, quando a coluna é analisada de forma isolada. Na realidade, é comum que as extremidades 
dos perfis de aço sejam unidas, formando, assim, um sistema contínuo, o qual será fixado em alguns 
pontos ao longo do conjunto. Esses pontos de fixação constituem as contenções laterais. Portanto, 
assume-se, na prática, que o comprimento L é a distância entre as contençõeslaterais que impedem 
a flambagem do sistema (Figura 13). A distância entre duas contenções laterais é conhecida como 
comprimento destravado Lb da barra.
Descrição da Imagem: a figura apresenta valores teóricos e para o coeficiente de flambagem Kx e Ky, indicando as condições de apoio 
relacionadas.
Figura 12 - Valores teóricos e práticos para o coeficiente de flambagem Kx e Ky / Fonte: Pfeil e Pfeil (2009, p. 124).
106
UNICESUMAR
Note que, embora o perfil I disposto, verticalmente, na Figura 13, 
possua determinado comprimento L, como uma barra horizontal, 
é fixada à meia altura do seu comprimento segundo o eixo y, o 
comprimento livre para flambagem (comprimento destravado), na 
direção y, corresponde apenas à metade do comprimento real da 
barra. Por outro lado, segundo a direção x, nenhuma barra hori-
zontal está apoiada na coluna vertical, de modo que, na direção x, 
o comprimento destravado coincide com o comprimento da barra. 
Conforme o item 4.9.6.1 da NBR 8800 (ABNT, 2008), podem ser 
considerados pontos de contenção lateral:
I. Um nó de uma barra de uma subestrutura de contraventa-
mento formada por um treliçado ou por um pórtico cuja a 
estabilidade é assegurada pela rigidez à flexão das barras e 
pela capacidade de transmissão de momentos das ligações;
II. Um ponto qualquer das subestruturas de contraventamentos 
citadas em (i) devidamente ligado a um nó dessas subestruturas.
Rotação da seção
em torno de X
Rotação da seção
em torno de Y
Deformada 
na direção Y
Deformada 
na direção X
Estrutura 
real
Y
x
L b,x
L b,x
L b,y
Iy, ry
Y
X
I x r x,
Z
Y
X
Descrição da Imagem: a figura mostra como obter o comprimento de flambagem 
destravada Lb em uma situação de projeto, onde um pilar metálico apresenta trava-
mentos em duas direções.
Figura 13 - Idealização do comprimento de flambagem destravado Lb em uma 
estrutura real / Fonte: adaptada de Argenta (2016, p. 7).
107
UNIDADE 4
Diante das limitações que o modelo de cálculo de Euler apresenta na representação 
de colunas reais, ao longo dos anos, vários estudiosos têm utilizado a Equação 1 como 
base para a proposição de novas equações de projeto que descrevam, de forma mais 
precisa, o comportamento dos perfis de aço submetidos à compressão centrada. 
A Figura 14 mostra uma curva de dimensionamento (linha contínua), na qual as 
características reais são levadas em consideração, e ela é conhecida como curva de 
resistência à compressão com flambagem ou curva de flambagem. Notem que a 
curva de flambagem nada mais é que a curva de Euler “penalizada” (rebaixada) em 
função da consideração das imperfeições das colunas reais.
1
x x x
x
x x xx x
x x
x x x
x x x
x x x x
x
Curva de �ambagem
Coluna ideal (Euler)
CurvasColunas com tensões 
residuais e com 
imperfeições 
geométricas
c
yf
�
e
yf
�
/ ( )i ��2
yf
� �
Note que, quando as tensões residuais e imperfeições geométricas são consideradas, 
as curvas de dimensionamento resultam no “rebaixamento” da curva de Euler. Obser-
ve, ainda, que a curva da Figura 14 é semelhante àquela apresentada na Figura 9. A 
diferença está nos parâmetros que descrevem os eixos dos gráficos. No eixo vertical 
da Figura 14, as tensões máximas ou últimas (σc) são escritas, de forma parametri-
zada, em função da tensão do escoamento do material (fy), isto é, na forma σc/fy. A 
representação parametrizada das tensões apresentada na Figura 14 é muito útil para 
se reunir informações de aços feitos de diferentes materiais (diferentes valores de fy), 
em um único gráfico, sendo bastante utilizada nos manuais e nas normas de projeto 
de estruturas metálicas. 
Descrição da Imagem: a figura mostra, graficamente, a variação de resistência de uma coluna comprimida, 
em função do índice de esbeltez.
Figura 14 - Comportamento à compressão de colunas reais (resultados experimentais), ideias ou de Euler 
(linha pontilhada) de projeto (linha contínua) em função da esbeltez
Fonte: Pfeil e Pfeil (2009, p. 123)
108
UNICESUMAR
No eixo horizontal da Figura 14, é representada a esbeltez da coluna λ cujo valor limite entre o trecho 
reto e parabólico da curva pode ser extraído da Equação 3a:
λ
π π
0 2 2
= =
KL
i
E
f
KL
i
f
E
b
y
b y (Eq. 3a)
De forma alternativa, o índice de esbeltez reduzido λ0 pode ser escrito da seguinte forma (Equação 3b):
λ
π
π
π
0 2
2
2� � � �
KL
i
f
E
EA
N
f
E
A f
N
b y g
e
y g y
e
 (Eq. 3b)
Para os aços MR250 (aço de média resistência, com tensão de escoamento, fy=250 MPa e fu=400 Mpa) 
e AR350 (aço de alta resistência, com tensão de escoamento, fy=350 MPa e fu=410 Mpa), amplamente 
utilizados na construção civil, λ0 vale 0,0113.KLb/i e 0,0133.KLb/i, respectivamente (PFEIL; PFEIL, 2009). 
Sobre a esbeltez λ, deve-se mencionar que, para evitar o uso de barras, excessivamente, esbeltas, 
a NBR 8800 (ABNT, 2008) recomenda que λ não ultrapasse 200, em projetos de edificações. Esta 
verificação deve ser feita para ambos os eixos de inércia da seção transversal, isto é, considerando os 
dois valores de raio de giração que caracterizam a geometria da seção, e seu comprimento efetivo de 
flambagem corresponde (destravado). 
Neste instante, é importante chamarmos a atenção para as barras com seção transversal múltipla 
- uma solução construtiva muito usual na prática de projeto (Figura 15a). 
A A
l
l
Corte A-A R mín
Descrição da Imagem: a Figura a) 
mostra uma barra composta por 
duas cantoneiras de abas iguais, no 
contraventamento de uma estrutu-
ra. Na Figura b) são destacados os 
parâmetros de geometria utilizados 
para a verificação de esbeltez con-
forme a Equação 4.
Figura 15 - a) Barra composta, formada 
por duas cantoneiras de abas iguais, 
conectadas a meio vão; b) propriedades 
geométricas da barra composta
Fonte: adaptada de Pfeil e Pfeil (2009).
109
UNIDADE 4
As barras com seção múltipla, também conhecidas como barras compostas, consistem na união de 
dois ou mais perfis metálicos que trabalham em conjunto. Neste caso, a NBR 8800 (ABNT, 2008) ad-
mite que essas barras podem ser analisadas como barras isoladas, desde que sejam previstas ligações 
entre os perfis, em intervalos l tais que o índice de esbeltez entre duas ligações adjacentes, l
rmín máx
�
�
�
�
�
�, atenda à seguinte condição:
l
r
KL
rmín máx
b
máx
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
1
2
 (Eq. 4)
Onde l é o maior comprimento entre ligações (ou entre chapas espaçadoras); rmin é o raio de giração 
mínimo de um dos perfis do conjunto (aquele que tiver menor valor); K o coeficiente de flambagem 
da barra composta; Lb é o comprimento destravado da barra composta; e r é o raio de giração da seção 
composta em torno do eixo perpendicular à direção do comprimento destravado Lb. Os parâmetros 
L e rmín são ilustrados na Figura 15b.
Considerando os aspectos discutidos até então, a norma brasileira destinada ao dimensionamento 
de estruturas metálicas NBR 8800 (ABNT, 2008) propõe que a força máxima resistente de cálculo 
suportada por uma barra solicitada à compressão centrada (Nc,Rd) seja obtida, por meio da seguinte 
expressão (Equação 5):
N
QA f
c Rd
g y
a
, =
χ
γ 1
 (Eq. 5)
Na Equação 5, χ e Q são parâmetros adimensionais relacionados às flambagens global e local, respec-
tivamente; fy é a tensão de escoamento do material; Ag é área bruta da seção transversal da coluna; e 
ga1 é fator de segurança admitido como 1,10 para as combinações normais de ações.
Observe que, tomando os parâmetros χ e Q iguais a 1 (o que implica assumir que a falha da coluna 
por flambagem global e local não são fatores condicionantes para a segurança da estrutura), a resis-
tência à compressão de uma barra de aço sob compressão centrada resulta na própria resistência ao 
escoamento (Agfy) do material minorada por ga1 . Como discutimos anteriormente, este comportamento 
é característico de barras muito curtas (baixa esbeltez global) e compactas (baixa esbeltez local). Por 
outro lado, barras esbeltas apresentam resistência à compressão por flambagem inferior à resistência aoescoamento do material. Esta diferença será mais significativa, quanto menores forem os fatores χ e Q.
Os valores assumidos, atualmente, pela norma brasileira para o parâmetro χ foram obtidos a partir 
de uma grande quantidade de ensaios experimentais, considerando perfis com diferentes seções, tipos 
de aço e processos de fabricação. A partir dos dados coletados, experimentalmente, foram obtidas 
múltiplas curvas (semelhantes àquela em linha contínua, apresentada na Figura 14), as quais, após 
ajustes que levavam em conta um parâmetro médio de imperfeição geométrica, deram origem à se-
guinte equação (Equação 6):
110
UNICESUMAR
χ
λ
λ
λ
λ
�
�
�
�
�
�
�
�
0 658 1 5
0 877 1 5
0
2
0
0
2 0
, , ,
, , ,
se
se
 (Eq. 6)
A Equação 6, referida como curva 2P do SSRC, é, atualmente, recomendada pela NBR 8800 (ABNT, 
2008). A Figura 16 ilustra a variação de χ em função de λ0 (Equação 3b), segundo a Equação 6. 
1,000
0,900
0,800
0,700
0,600
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
0,000
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
�
0
�
Descrição da Imagem: a figura apresenta a curva de dimensionamento estrutural de barras de aço solicitadas à compressão centrada, 
segundo a NBR 8800 (ABNT, 2008).
Figura 16 - Valor de χ em função do índice de esbeltez reduzido λ0 / Fonte: NBR 8800 (ABNT, 2008, p. 45).
A expressão que define o parâmetro χ tem sido estudada há déca-
das e, até hoje, para alguns casos, continua sendo investigada, por 
meio de ensaios em laboratório. Pesquisas experimentais são uma 
excelente estratégia para analisar o comportamento estrutural de 
determinados elementos e obter vantagens construtivas e econô-
micas, a partir das conclusões obtidas, por isso, são, amplamente, 
utilizadas pela indústria e pela academia como ferramenta de otimi-
zação e inovação dos produtos da indústria da construção. Estudos 
experimentais envolvem uma série de etapas preliminares e poste-
riores aos ensaios propriamente ditos. Vamos conversar um pouco 
a respeito das pesquisas experimentais? Confira o nosso Podcast e 
entenda como ensaios experimentais podem contribuir para o de-
senvolvimento da indústria da construção metálica e quais são as 
bases destes estudos.
111
UNIDADE 4
Quando apresentamos a expressão de λ0 (Equação 3b), nosso foco estava dedicado ao estudo da flam-
bagem global por flexão. Agora, é importante ampliarmos a aplicação da Equação 3b para os demais 
tipos de flambagem global, o que é feito por meio do parâmetro Ne. Como vimos, para a flambagem 
global por flexão Ne, é a própria força crítica de flambagem de Euler. Ao estendermos a análise para 
os demais tipos de flambagem global (por torção e por flexo-torção), o parâmetro Ne é, normalmente, 
referido como força axial de flambagem elástica. Conceitualmente, a força axial de flambagem elástica 
pode ser entendida como a máxima força axial de compressão que pode ser aplicada à barra, sem que 
a flambagem global ocorra.
Além da flambagem global por flexão, barras esbeltas submetidas à compressão podem, ainda, 
apresentar tendência ao giro em torno do seu eixo longitudinal, caracterizando, assim, a flambagem 
global por torção. Quando a posição do eixo longitudinal da barra não é alterada, o fenômeno é 
definido como flambagem global por torção pura. Por outro lado, quando a torção é acompanhada 
pelo deslocamento lateral da barra, trata-se de um caso de flexo-torção. Ambos os fenômenos são 
ilustrados na Figura 17.
Seção transversal a meio vão
Flambagem global por torção Flambagem global por �exo-torção
Seção transversal a meio vão
Descrição da Imagem: a figura como um perfil em cruz e um perfil C comporta-se quando sofrem flambagem global por torção e por 
flexo-torção, respectivamente.
Figura 17 - Flambagem global por torção e flexo-torção / Fonte: as autoras.
O tipo de flambagem global (flexão, torção ou flexo-torção) que governará o comportamento da barra, 
isto é, será condicionante para a falha da estrutura, é função das características geométricas da barra. 
De modo geral, pode-se dizer que a força axial de flambagem elástica, Ne, é o menor entre os valores:
a) Para colunas com seção transversal duplamente simétricas (exemplo: perfil I):
• Flambagem por flexão em torno do eixo de inércia x da seção transversal:
 N
EI
K L
ex
x
x x
�
� �
p2
2 (Eq. 7a)
112
UNICESUMAR
• Flambagem por flexão em torno ao eixo de inércia y da 
seção transversal:
N
EI
K L
ey
y
y y
�
� �
p2
2 (Eq. 7b)
• Flambagem por torção em relação ao eixo longitudinal x:
N
r
GJ EC
K L
ez
w
z z
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
1
0
2
2
2
p
 (Eq. 7c)
No conjunto de Equações 7:
Ix e Iy: momentos de inércia em torno dos eixos x e y, respecti-
vamente. 
E: módulo de elasticidade do aço.
KxLx e KyLy: comprimentos efetivos de flambagem por flexão em 
relação aos eixos x e y, respectivamente.
KzLz: comprimento efetivo de flambagem por torção em relação 
ao seu eixo longitudinal z.
Lx, Ly e Kz: comprimentos destravados nas direções x, y e z, res-
pectivamente.
r0: raio de giração polar da seção.
G: módulo de cisalhamento do aço.
J: momento de inércia à torção da seção transversal. 
Cw: constante de empenamento da seção transversal.
O raio de giração polar da seção pode ser obtido da seguinte 
forma:
r x y r rx y0 0
2
0
2 2 2� � � � (Eq. 8)
Onde x0 e y0 são as coordenadas do Centro de Cisalhamento (CC) 
em relação ao Centro Geométrico (CG) da seção rx e ry são os raios 
de giração em torno do eixo x e y respectivamente.
O coeficiente de flambagem Kz leva em consideração dois tipos 
de torção que a coluna pode vir a sofrer: 
113
UNIDADE 4
Torção livre 
É caracterizada pela rotação da seção transversal no seu 
próprio plano, isto é, em torno do eixo longitudinal.
�
Empenamento: 
É caracterizado pela rotação da seção transversal fora do 
seu plano, isto é, por deslocamentos na direção do eixo 
longitudinal.
O efeito do empenamento em um corpo pode ser facilmente observado por meio de uma 
experiência simples. Pegue uma folha de papel ou uma cartolina, dobre-a, suavemente, unindo 
as suas extremidades até que se forme um cilindro. Agora que o papel assumiu a forma de um 
tubo, aplique um giro nas extremidades, tentando torcê-lo. O empenamento é justamente o 
deslocamento relativo, na direção do eixo longitudinal do tubo, que ocorreu entre os pontos 
da seção transversal de topo e de base.
Descrição da Imagem: Distinção entre os tipos de torção: torção livre e empenamento.
Figura 18 - Torção livre e empenamento de um perfil I / Fonte: as autoras.
114
UNICESUMAR
Descrição da Imagem: a figura mostra um papel dobrado na 
forma de um tubo e a sua configuração final ao aplicarmos 
um giro nas suas extremidades.
Figura 19 - Empenamento em uma folha de papel
Fonte: as autoras.
Conforme a NBR 8800 (ABNT, 2008), Kz é igual a:
• Kz = 1: quando ambas as extremidades da barra possuem rotação em torno do eixo longitudinal 
impedida e empenamento livre. 
• Kz = 2: quando uma das extremidades da barra possuir rotação em torno do eixo longitudinal 
e empenamento livres e, a outra extremidade, rotação e empenamento impedidos.
b) Para colunas com seção transversal com um único eixo de simetria (seção monossimétrica) 
(exemplo: perfil T):
Considerando o eixo y como o de simetria:
• Flambagem por flexão em torno do eixo x (Equação 7.a).
• Flambagem por flexo-torção.
N
y
r
N N N N y
reyz ey ez ey ez
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �� � � � �
�
�
�1
2 1
4 1
0
0
2
2 0
0 ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
N Ney ez
 (Eq. 8)
A partir das equações anteriores, podemos determinar o fator χ associado à flambagem global seja ela 
por flexão, por torção seja por uma combinação dos dois fenômenos (flexo-torção). Agora, precisamos 
aprender como considerar o efeito da flambagem que ocorre no nível das chapas que compõem o per-
fil, ou seja, a flambagem local. A princípio, entenderemos o que seria, efetivamente, essa flambagem 
localizada.
115
UNIDADE 4
A flambagemlocal é um fenômeno característico de barras solicitadas à compressão cujas placas 
que compõem a sua seção transversal possuem razão entre a largura (b) e a espessura (t) (razão b/t ou 
esbeltez local) elevada. Devido a essa elevada esbeltez local, existe a tendência de que deslocamentos 
ocorram, perpendicularmente ao seu plano, na forma de ondulações (Figura 19), caracterizando a 
flambagem local.
A Figura 20 apresenta, de forma resumida, as principais diferenças entre a flambagem puramente 
global e a flambagem puramente local.
Descrição da Imagem: a figura mostra a configuração deformada de barras (perfil I e perfil tubular quadrado) de aço quando da 
ocorrência de flambagem local.
Figura 20 - Flambagem local: a) na alma de um perfil I; b) nas paredes de uma seção tubular quadrada
Fonte: a) Vellasco e Hobbs (2001, [s. p.],); (b) Wang et al. (2017, p. 24)
BA
116
UNICESUMAR
Para considerar a ocorrência de flambagem local no cálculo da resistência à compressão de barras com 
esbeltez local elevada, a NBR 8800 (ABNT, 2008) estabelece que a resistência ao escoamento do aço 
(Agfy) deve ser minorada pelo fator Q cujo valor depende das características das placas que compõem 
a seção transversal. Para definir se a esbeltez da placa que compõe determinado perfil é considerada 
elevada ou não, a norma brasileira estabelece limites para a razão b/t em função da geometria do perfil e 
das características da placa. No total, seis expressões para b/tlimite são definidas pela norma na Tabela F.1. 
Há a deformação da barra como 
um todo 
Há a deformação da barra como 
um todo 
Os deslocamentos são perpendiculares
 as partes que compõem a seção
 transversal da barra
As partes que compõem a seção 
transversal (e.g. mesa e alma) podem 
sofrer deformações no seu plano 
(ondulações), sem a ocorrência de 
movimento de corpo rígido
Os deslocamentos são perpendiculares
 ao eixo do longitudinal (comprimento)
 da barra
As partes que compõem a seção 
transversal (e.g. mesa e alma)
 apresentam movimento de corpo 
rígido, isto é, são rotacionadas em 
torno do seu eixo longitudinal sem a
 ocorrência de deformações 
(ondulações) no seu plano
�������������������������� �������������������������
u
�
�
Descrição da Imagem: a figura ilustra as principais diferenças entre a flambagem global e a local.
Figura 21 - Flambagem global versus Flambagem local
Fonte: as autoras.
Para acessar as equações, acesse o QR-code a seguir. 
117
UNIDADE 4
A Figura 22 ilustra como as características das placas que compõem 
cada perfil deverão influenciar na análise da flambagem local das 
barras. Nesta figura, é apresentado um perfil U cuja seção é com-
posta por três placas. 
Elemento AA
Extremidade apoiada
Extremidade apoiada
Borda Livre
Borda Livre
Elementos AL
Descrição da Imagem: a figura mostra como identificar elementos AA e AL em um 
perfil metálico.
Figura 22 - Elementos AA e AL / Fonte: as autoras. 
Note que as placas horizontais possuem uma borda livre, e a outra 
apoiada sobre a placa vertical. Já para a placa vertical, podemos 
considerar que ambas as extremidades estão apoiadas sobre as 
placas horizontais. Em função das condições de apoio descritas, as 
placas horizontais são ditas não enrijecidas ou Apoiadas e Livres 
(AL), enquanto a placa vertical é referida como enrijecida ou do 
tipo AA (Apoiada-Apoiada). Com base na classificação da placa 
(AA ou AL), a NBR 8800 indica expressões de cálculo para Qa 
(para placas AA) e Qs (placas AL), sendo Q (exceto para as seções 
tubulares circulares) o produto entre Qa e Qs. 
118
UNICESUMAR
Para os grupos de 3 a 6, apresentados na Figura 21, que contemplam os perfis do tipo AL, a norma 
brasileira estabelece expressões de cálculo de Qs para diferentes faixas de esbeltez local b/t. Todas as 
equações podem ser encontradas, detalhadamente, no tópico F.2 Elementos comprimidos AL, do 
Anexo F da norma. Para acessá-las, rapidamente, utilize o link ou o QR code da Figura 21. Para os 
elementos AA, inseridos nos grupos 1 e 2, se a esbeltez local de alguma das placas que compõe o perfil 
superar o valor limite estabelecido na Tabela F.1 da norma, o fator o fator Qa deve ser calculado da 
seguinte forma (Equação 9):
Q
A
A
A b b t
Aa
ef
g
g i i ef i
i
n
g
� �
� �
�
� ( ),
1 (Eq. 9)
Onde:
Aef é a área efetiva da seção transversal.
Ag é a área bruta da seção transversal.
bi é a largura do elemento AA i da seção transversal, de acordo com o disposto na Tabela F.1 para 
o seu respectivo grupo.
bi,ef é a largura efetiva do elemento AA i da seção transversal, calculada como na Equação 10.
ti é a espessura do elemento AA i da seção transversal, de acordo com o disposto na Tabela F.1 para 
o seu respectivo grupo.
b t E c t
b
E bb if i a i
i
i, ,� �
�
�
��
�
�
�� �1 92 1s s
 (Eq. 10)
Na Equação 10, ca é um coeficiente igual a 0,38 para mesas ou almas de seções tubulares retangulares 
e 0,34 para os demais elementos; e σ é a tensão máxima que o elemento analisado é capaz de suportar. 
O valor de σ pode ser calculado assumindo Q = 1, de modo que σ =χfy ou, de forma mais simples e 
direta, pode-se adotar σ = fy, a favor da segurança. 
As seguintes considerações adicionais podem ser feitas acerca do fator Q:
• Caso a razão b/t de nenhuma das placas do perfil analisado não ultrapasse os limites estabele-
cidos na Tabela F.1 da norma, assume-se Q = 1.
• Se, em uma mesma seção transversal, existirem dois ou mais elementos AL com fatores de redu-
ção Qs diferentes ou dois ou mais elementos AA com fatores de redução Qa diferentes, deve-se 
adotar o menor valor de Qs e o menor valor de Qa encontrados, de modo que, para cada seção 
transversal, exista apenas um valor de Qs e um valor de Qa representativos. 
• Se a seção transversal possuir apenas elementos AA (como os perfis tubulares quadrados) ou 
AL (como as cantoneiras), Q será o menor entre os valores de Qa ou Qs, respectivamente. 
119
UNIDADE 4
Agora que conhecemos os procedimentos para a determinação de χ e de Q, já estamos habilitados 
a calcular a força máxima de compressão que um perfil de aço pode suportar. Esta análise se faz 
necessária no dimensionamento ou na verificação da segurança de barras comprimidas de sistemas 
estruturais treliçados e pilares sob carregamento centrado, por exemplo. Galpões industriais, como 
aquele ilustrado na Figura 23, exemplificam bem os casos citados.
O GBTul é um programa gratuito que realiza análises de flambagem 
e de vibração. A partir desse programa, você pode determinar a força 
crítica de flambagem elástica (Ne) para colunas de aço (ou de outros 
materiais) de seções transversais diversas. Além dos valores de Ne, 
o GBTul permite a visualização da configuração deformada da barra
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
Descrição da Imagem: a figura mostra um exemplo de estrutura metálica onde são encontrados elementos comprimidos.
Figura 23 - Galpão de armazenagem
Entre outras estruturas metálicas em que os elementos comprimidos são muito comuns, podemos 
citar: as estruturas treliçadas das pontes e passarelas, torres em geral e pilares em diversos tipos de 
edificações. Em todos estes casos, os procedimentos de cálculo apresentados nesta unidade são úteis 
para o dimensionamento estrutural à compressão.
120
Com base nos conhecimentos adquiridos e nos procedimentos de cálculos apresentados ao longo 
desta unidade, desafio você a propor uma marcha de cálculo ilustrada para o dimensionamento à com-
pressão de uma das barras do banzo superior da treliça da Figura 23, bem como para um dos pilares. 
Para tanto, considere que, para a treliça, foram utilizados perfis do tipo C, e, para o pilar, um perfil I. 
Esta foi a minha proposta para o nosso desafio:Coe�ciente de �ambagem (Q)
Coe�ciente de �ambagem global(x)
/ / ?i i amb t b t� 1Q �
sQi
aQi a sQ Q xQ�
:eQ seções monossimétricas
exzN eyN
.{ , }e exz eyN mín N N�
Coe�ciente de �ambagem local (Q)
Coe�ciente de �ambagem global(x)
/ / ?i i amb t b t� 1Q �
sQi
aQi a sQ Q xQ�
:eQ seçõesduplamente simétricas
ezNeyN
.{ , }e exz eyN mín N N�
y
x
1K �
,
1
g y
e Rd
xQA f
N
a�
�
0,7K �
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
Q
Q
Sim
Não
Sim
Não
1,000
0,900
0,800
0,700
0,600
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
0,000
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
�
0
�
1,000
0,900
0,800
0,700
0,600
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
0,000
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
�
0
�
Descrição da Imagem: a figura mostra um exemplo de estrutura metálica onde são encontrados elementos comprimidos, além 
da marcha de cálculo para dimensionamento de pilares com seção I e banzo com seção U.
Figura 24 - Marcha de cálculo para dimensionamento à compressão de pilares com seção I e banzo com seção U em um 
galpão de armazenagem / Fonte: as autoras e Shutterstock.
Fique à vontade para complementar o desenho como achar conveniente.
121
122
Você foi encarregado pela escolha e aquisição de perfis de aço que seriam utilizados 
como barras comprimidos em determinada estrutura. O fornecedor do material mos-
trou-lhe sete opções de perfis com seções transversais distintas, porém todos com 
áreas, praticamente, iguais. As opções disponíveis são apresentadas na Figura 25. 
1 2 3 4 5
6 7
6,3 6,3
70 62,1
208 130 (mm)
200 400159
9,5 15,8
Descrição da Imagem: a imagem mostra diversos perfis de aço com diferentes seções trasnversais.
Figura 25 - Perfis de aço MR 250 com diferentes seções transversais / Fonte: as autoras.
Considere que todos os perfis são feitos de aço MR 250 (fy= 25 kN/cm
2) e possuem área 
da seção, aproximadamente, igual a Ag = 38,5 cm
2. Admita, ainda, que o comprimento 
de flambagem (KLb) dos perfis é igual a 3,50 m em relação aos dois eixos de flambagem. 
Com base nestas informações, responda as questões de 1 a 3.
1. Compare a eficiência estrutural dos perfis à compressão.
2. Quanto à recomendação normativa acerca do índice de esbeltez limite, todos os perfis 
apresentados poderiam ser utilizados em projeto?
3. Quanto à flambagem local, para quais dos perfis apresentados não é necessário realizar 
o estudo da flambagem local? Qual dos perfis apresenta maior tendência à flambagem 
local?
123
4. Compare a resistência de cálculo à compressão dos perfis W150 × 37,1 feito de aço 
MR-250 (fy= 250 MPa) com comprimento de 3 metros, apresentados na Figura 26a, 
quando o perfil está confinado entre as paredes da residência (Figura 26b) e quando 
não existe contenção lateral alguma (Figura 26c). Considere que as extremidades do 
perfil estão rotuladas.
Descrição da Imagem: as imagens mostram uma edificação domilicar feita em estrutura metálica. Na sequência, são 
ilustrados perfis metálicos contidos entre as paredes e sem contenção lateral.
Figura 26 - Análise estrutural de instabilidade de pilares metálicos: a) Edificação domiciliar em estrutura metálica; 
b) Pilar contido, lateralmente; c) Pilar sem contenção lateral / Fonte: as autoras.
124
5
A Unidade 5 terá como foco o estudo das vigas de aço submetidas 
à flexão simples. Nas estruturas convencionais, as vigas têm por 
função delimitar vãos na edificação e transmitir os carregamentos 
das lajes para os pilares, por meio de esforços normais e cisalhan-
tes. Cabe, portanto, ao engenheiro projetista prever tais esforços e 
propor soluções estruturais seguras. Nesta unidade, veremos como 
determinar os valores de momento fletor e força cortante máximos 
suportados por vigas de aço em diferentes situações de projeto, 
conforme as regras da norma brasileira NBR 8800 (ABNT, 2008).
Dimensionamento 
de Estruturas de Aço: 
Peças Fletidas
Me. Anne Caroline Monteiro Diniz
126
UNICESUMAR
Nas Unidades 2 e 4, nós estudamos as barras de aço tracionadas e as de aço comprimidas, respecti-
vamente. Na ocasião, aprendemos como cada uma se comporta quando são submetidas às forças de 
tração e de compressão. As barras tracionadas tendem a se alongar, podendo falhar, devido ao escoa-
mento do material na seção bruta ou à ruptura nas seções líquidas, já as barras comprimidas têm forte 
tendência à falha por instabilidade. 
E se nós uníssimos duas barras de seção T, uma comprimida e outra tracionada, transformando-as 
em um único elemento, como ilustrado na Figura 1? Como você acha que o novo perfil (de seção I) 
se comportaria tendo parte da sua estrutura comprimida e parte tracionada?
Barra de aço
comprida
Barra de aço
tracionada
Viga de aço
Descrição da Imagem: a imagem 
ilustra o comportamento estrutural 
de uma viga, a partir da análise de 
barras de aço comprimida e tracio-
nada.
Figura 1 - Barras de aço de seção T com-
primida e tracionadas unidas formando 
uma viga única de seção I
Fonte: as autoras.
127
UNIDADE 5
A Figura 1 ilustra, de forma clara, o comportamento estrutural de barras submetidas à flexão, onde 
parte da seção resulta comprimida, e a outra parte fica tracionada. No estudo das vigas, os conceitos 
associados ao comportamento das peças comprimidas e tracionadas são, agora, combinados, e um 
novo tratamento é dado à0 análise de flexão. Quanto à concepção, as vigas podem ser de alma cheia, 
treliçadas, alveolares, do tipo Vienrendeel e mistas. Na prática, as vigas de perfil I representam o caso 
mais comum nas estruturas de aço. A Figura 2 mostra uma edificação cuja estrutura é feita de aço. 
Laje
Viga
Pilar
Descrição da Imagem: a Figura 2 mostra uma edificação feita 
em estrutura metálica, além de um detalhe do sistema estru-
tural em que viga, pilar e laje são destacadas.
Figura 2 - Edificação com estrutura metálica 
Fonte: as autoras.
Em detalhe na Figura 2, é possível analisar o sistema estrutural composto pela laje, vigas e pilares. 
Quando submetidas ao carregamento gerado pela laje, as vigas tenderão a sofrer deformações, as quais 
deverão alterar a sua configuração inicial. Com base nos esforços atuantes sobre uma viga (reveja a 
Figura 1), como deverá ser a configuração deformada final desse elemento?
Para visualizar melhor o efeito dos esforços de flexão em uma viga, faça o seguinte experimento: 
posicione as extremidades de uma régua sobre dois apoios fixos e aplique uma força no centro da régua. 
128
UNICESUMAR
Observe que a régua se encurva, de modo que a face superior resulta comprimida, e a face inferior 
tracionada, caracterizando a deformada de flexão. A resposta da régua à força transversal aplicada 
sobre o seu centro é a mesma esperada para vigas como aquelas da Figura 1. Desde que a viga tenha 
rigidez suficiente, as deflexões sofridas não deverão causar danos consideráveis à estrutura.
Na Unidade 3, discutimos a respeito do comportamento estrutural e do dimensionamento das peças 
de aço solicitadas à compressão axial. Dentre os elementos estruturais comprimidos mais utilizados 
na construção civil, destacamos os pilares. Nesta unidade, vamos nos ater às peças solicitadas à flexão 
simples, dando ênfase àquelas que, na maioria dos casos, são projetadas para atuarem sobre os pilares: 
as vigas. As vigas são elementos lineares (comprimento > demais dimensões) cuja principal função é 
delimitar os vãos de uma estrutura. Em uma edificação, as vigas, normalmente, recebem as cargas das 
lajes (ou da cobertura), e as transmitem para os pilares, como ilustra a Figura 3.
DIÁRIO DE BORDO
129
UNIDADE 5
O carregamento distribuído w resultante sobre a viga gera, então, momentos fletores e a esforços 
cortantes, como ilustra a Figura 3. Portanto, o dimensionamento das vigas consiste, basicamente, no 
cálculo do momento fletor (MSd) e do esforço cortante (VSd) máximos solicitantes de cálculo e na sua 
comparação com os respectivos valores de momento fletor (MRd) e esforço cortante (VRd) resistentes 
de cálculo. 
O procedimento descrito no parágrafo anterior é válido para o caso de flexão simples. Na flexão 
composta, onde, além de momento fletor e força cortante, há, também, a presença de força normal, a 
análise deve levar em consideração o efeito da flexo-compressão ou flexo-tração. Como o nosso cursoé limitado à flexão simples, define-se que o Estado Limite Último (condição de segurança) das peças 
fletidas é atendido quando:
M MSd Rd≤ (Eq. 1)
V VSd Rd≤ (Eq. 2)
Diagrama de momentos �etores 
Diagrama de esforços cortantes 
�
Descrição da Imagem: a Figura 3 
mostra os esforços internos em uma 
viga de aço solicitada por um carre-
gamento distribuído w, ao longo do 
seu comprimento.
Figura 3 - Diagramas de momentos fle-
tores e esforços cortantes gerados em 
resposta ao carregamento distribuído 
sobre uma viga de aço
Fonte: as autoras.
130
UNICESUMAR
Nosso estudo sobre o dimensionamento estrutural das vigas metálicas será, portanto, 
dividido em duas etapas. Na primeira etapa, dedicaremos a nossa atenção ao dimen-
sionamento à flexão (Equação 1). Na sequência, discutiremos os aspectos relevantes 
para a verificação dos esforços cortantes (Equação2). Para iniciarmos o estudo sobre 
as barras de aço submetidas a momentos fletores, analisaremos o comportamento 
da viga apresentada na Figura 4. Considerando que as suas extremidades estão, 
simplesmente, apoiadas, imaginemos que essa viga será submetida a um carrega-
mento distribuído w crescente que, por sua vez, gerará momentos fletores M cada 
vez maiores, no centro do elemento.
� M
M
�
pM
yM
yf yf
yf
yf
yf� �
Descrição da Imagem: a figura descreve o comportamento estrutural de uma viga submetida carregamentos distribuídos w crescentes, 
em termos das deformações geradas no centro da viga.
Figura 4 - Análise do comportamento estrutural, em termos de deformação, de uma viga submetida a carregamentos cres-
centes: a) configuração deformada; b) evolução de M em função de ø / Fonte: as autoras.
A B
131
UNIDADE 5
Como mostra a Figura 4, o carregamento distribuído w gera momentos fletores ao 
longo do comprimento do perfil que, por sua vez, provocam a curvatura da peça em 
relação ao seu eixo central. A deformação da viga fletida, representada pelo parâmetro 
ø, na Figura 4, surge em resposta às tensões normais σ geradas pelo momento fletor 
M. Da Resistência dos Materiais, você deve se lembrar que as tensões normais σ 
(aquelas que agem, perpendicularmente, à face de um elemento) podem ser geradas 
tanto por forças normais de compressão ou de tração como por momentos fletores 
M. Sendo para estes últimos, calculada por meio da seguinte relação:
s =
My
I
 (Eq. 3)
Onde I é o eixo principal de inércia em torno do qual se dá a flexão, e y é a distância 
perpendicular entre o eixo neutro (eixo sobre o qual as tensões resultam nulas) e o 
ponto onde se deseja calcular σ. Com base na Eq. 3, é fácil perceber que σ assume 
valor máximo nas bordas externas do perfil, isto é, no ponto onde y é máximo (ymáx). 
O ponto ymáx permite-nos definir uma propriedade geométrica importante dos 
perfis metálicos: o módulo de resistência elástico W. Este parâmetro é definido pela 
razão entre o momento de inércia I e a distância ymáx. da seguinte forma (Equação 4):
smáx
máx
máx
My
I
M
W
W I
y
� � � � (Eq. 4)
O gráfico da Figura 4b mostra como as deformações ø na viga ilustrada na Figura 
4a se comportam à medida que momentos fletores M, cada vez maiores, atuam 
sobre ela. Nota-se, a princípio, que com o aumento de M, ø também cresce, sendo 
esta relação linear até determinado valor limite My. Define-se o momento de início 
de plastificação My como sendo o momento fletor para o qual a tensão normal σ se 
iguala à tensão de escoamento do material fy. 
Como a tensão σ é máxima para os pontos da seção da viga mais afastados do eixo 
neutro (Eq. 3), as fibras externas são as primeiras a atingirem a tensão de escoamento, 
de modo que, no início da plastificação, o diagrama de tensões normais segue uma 
distribuição linear, variando de zero até o valor máximo fy. Se, após, as fibras externas 
atingirem o escoamento (σ = fy), o momento solicitante M continuar a aumentar, 
pontos mais internos do perfil, também, atingirão a tensão máxima (tensão de es-
coamento do material fy). Como consequência, a partir do início da plastificação, 
a relação entre M e ø deixa de ser linear, e a viga apresentará deformações cada vez 
maiores, caracterizando o escoamento do material. 
132
UNICESUMAR
A evolução das deformações ocorrerá até que toda a seção esteja submetida a fy. Neste instante, o 
momento fletor atingirá o seu valor máximo Mp, referido como momento de plastificação total, e o 
diagrama de tensões assumirá a forma de dois retângulos de base fy, indicando que toda a seção está 
submetida à tensão de escoamento, isto é, toda a seção sofreu plastificação. Na situação de plastificação 
total, as tensões normais que formam o diagrama de tensões da Figura 5 mantêm a seção em equilí-
brio, por meio das forças resultantes de compressão (Fc) e de tração (FT), associadas a cada parcela do 
diagrama retangular. 
Na Figura 5, as forças Fc e FT (que são paralelas entre si e têm sentidos opostos) se equilibram com o 
momento solicitante Mp da seguinte forma:
M A f y A f y M A y A y f Zfp c y c t y t p c c t t y y� � �� � � �� � � � � �� �� � (Eq. 5)
Na Equação 5, Ac e AT correspondem às áreas comprimida e tracionada do perfil (Figura 5), as quais 
resultam iguais quando ocorre a plastificação total da seção; yc e yT são as distâncias entre os centros 
de gravidade de Ac e AT, respectivamente, até o eixo que define separação entre a área comprimida e 
a área tracionada do perfil, chamada Linha Neutra Plástica (LNP) (ou eixo de igual área). Note que, 
como a LNP divide a seção plastificada em áreas iguais, ela só coincidirá com o eixo neutro ou a Linha 
Neutra Elástica (LNE), no caso de seções simétricas.
Ainda sobre a Equação 5, o somatório dos produtos entre áreas comprimidas e tracionadas e suas 
respectivas distâncias à LNP define o módulo de resistência plástico Z da seção. Assim como o Módulo 
de Resistência Elástico W, Z é função da geometria do perfil. A razão entre Z e W é conhecida como 
coeficiente de forma (α) da seção. Para seções retangulares α é igual 1, já para seções I, seu valor é, 
aproximadamente, igual a 1,12. Observe, ainda, que α, também, pode ser obtido, por meio da razão 
entre o momento de plastificação total e o momento de início de plastificação. 
Área comprimida
Área tracionada
LNE LNP
yf yf
yM pM
tF
cF
ty
ty
Descrição da Imagem: a figura apresenta uma distinção entre a distribuição das tensões normais em uma viga em regime elástico e 
plástico, destacando os momentos de início de plastificação e de plastificação total.
Figura 5 - Momento de início de plastificação (Linha Neutra Elástica) e de plastificação total (Linha Neutra Plástica)
Fonte: as autoras.
133
UNIDADE 5
É importante destacar que, nem sempre, o momento máximo suportado por uma viga atinge o momento 
de plastificação total. Assim como as barras solicitadas à compressão axial, as vigas também estão sujeitas 
ao fenômeno de instabilidade. Portanto, a depender das suas características geométricas, momentos fletores 
inferiores a Mp podem conduzir à falha por flambagem global ou local. No caso das vigas, a configuração 
deformada do perfil que sofre flambagem global é caracterizada por uma combinação de deslocamentos 
laterais com torção, como ilustra a Figura 6a. A flambagem local, por sua vez, ocorre na forma de desloca-
mentos perpendiculares ao plano das paredes (mesa ou alma) do perfil, como mostra a Figura 6b.
Que tal aplicarmos os conhecimentos adquiridos até aqui, na prática? Na Questão 1 dos pro-
blemas propostos ao final desta unidade convido você a calcular o coeficiente da forma de um 
perfil de aço com seção I. Qualquer dúvida, basta consultar a resolução comentada.
�
F
F
Antes da 
�ambagem 
Depois da 
�ambagem
L
Podemos listar, portanto, os três modos de falha esperados para uma viga: 
• Plastificação total da seção.
• Instabilidade global: Flambagem Lateral com Torção (FLT).
• Instabilidade local: Flambagem Local da Mesa (FLM) e/ou Flambagem Local da Alma (FLA).
Descrição da Imagem: configuração deformada de vigas devido à(a) flambagem global e (b) local. 
Figura 6 - Flambagem de vigas: a) modo global; b) modo local / Fonte: as autoras.
134
UNICESUMAR
Para cada modo de falha existe um momento fletor associado, sendo o nosso objetivo determinar 
qual deles assume o menor valor entre os três, definindo, assim, o momento resistente da viga. Antes 
de apresentarmos as equações destinadas ao cálculo dos momentos associados à FLT, FLM e FLA, é 
importante conversarmos a respeito do uso de contenções laterais contínuas junto às vigas em projeto 
e da classificação das vigas quanto à sua capacidade de plastificação. Ambos os aspectos têm influência 
direta sobre o modo de falha condicionante.
A contenção lateral contínua é uma condição construtiva na qual se restringe o deslocamento la-
teral e a rotação de uma viga, impedindo, assim, a ocorrência da FLT. Vigas podem ser consideradas 
contidas, lateralmente, quando:
a) A mesa comprimida está embebida na laje de concreto (Figura 7a).
b) A mesa comprimida está conectada à laje de concreto, por meio de conectores (Figura 7b).
Nestes casos, descarta-se a ocorrência de FLT, de modo que apenas FLA, FLM e a plastificação total 
da seção precisam ser verificadas.
(A) (B)
Descrição da Imagem: Métodos de 
contenção lateral contínua de vigas 
para estruturas metálicas.
Figura 7 - Contenção lateral contínua 
com: a) embebimento da mesa da viga 
na laje; b) uso de conectores
Fonte: as autoras.
O segundo aspecto que tem grande influência sobre o modo falha de uma viga de aço é a sua capacidade 
de plastificação, isto é, de sofrer grandes deformações antes da falha. Vamos analisar as seções a seguir:
135
UNIDADE 5
Intuitivamente, você consegue prever qual delas poderia suportar momentos fletores mais elevados 
sem a ocorrência de flambagem local? Acertou se escolheu a seção número 2. De fato, perfis cujas 
seções transversais têm relações menores entre largura e espessura (seções menos esbeltas) conseguem 
absorver maior nível de deformações e, com isto, suportar momentos fletores mais elevados até que se 
atinja o momento de plastificação. Por outro lado, devido à forte tendência à flambagem local, perfis 
com paredes finas (esbeltas) possuem capacidade resistente limitada. Nesse sentido, em função da 
capacidade de plastificação das vigas, podemos classifica-las em três grupos:
• Vigas de seção compacta: classes 1 e 2 da Figura 9. Desenvolvem distribuição de tensões, total-
mente, plástica, atingindo Mp, sem a ocorrência de instabilidade local.
• Vigas de seção semi-compacta: classe 3 da Figura 9. Desenvolvem distribuição de tensões, 
parcialmente, plástica. Antes de se atingir a plastificação total, há a ocorrência de flambagem 
local (regime inelástico).
• Vigas de seção esbelta: classe 4 da Figura 9. Não desenvolvem distribuição de tensões plástica. 
Antes de atingir o momento de início de plastificação, há a ocorrência de flambagem local 
(regime elástico). 
(A) (B)
Descrição da Imagem: a figura mos-
tra vigas de aço deseção I com seção 
formada por paredes grossas e finas, 
respectivamente. 
Figura 8 - Vigas de aço deseção I com 
seção: a) compacta; b) esbelta
Fonte: adaptada de Shutterstock.
136
UNICESUMAR
Notem que a Figura 9 nada mais é que uma extensão da curva da Figura 4 para o caso das vigas com 
seção semi-compacta (classe 3) e esbelta (classe 4), onde a “queda” da curva momento (M) versus 
rotação (ø), abaixo do nível do momento de plastificação total, verificada para as classes de 2 a 4, é 
associada a ocorrência da flambagem local.
Para descobrirmos em que grupo determinada viga se enquadra, devemos calcular o seu índice 
de esbeltez local λl e compará-lo com os valores limites λp e λr. Os intervalos de esbeltez que definem 
cada classe são apresentados na Tabela 1. 
Classe Esbeltez local (λl) Momento resistente Momento nominal (Mn)
Compactas l ll p≤ Mres = Mp Mp = Zfy
Semi-compactas l l lp l r� � Mres > My
Interpolação linear entre Mp 
e Mr (vide Figuras 9 e 10)
Esbelta l ll r> Mres < My Mn = Mcr = Wfcr
Plástico
Ineslático
Elástico
M
pM
yM
�
M
�
1
23
4
rM
Descrição da Imagem: Comporta-
mento de vigas com seções compac-
ta, semicompacta e esbelta em ter-
mos de deformação. A figura ilsutra 
aspetos debatidos ao longo do texto.
Figura 9 - Comportamento de vigas 
com seções compacta, semicompacta 
e esbelta / Fonte: as autoras.
Descrição da Imagem: Classificação das vigas entre compacta, semi-compacta e esbelta, em função da esbeltez local.
Tabela 1 - Classificação das vigas quanto à esbeltez local / Fonte: as autoras.
Em linhas gerais, o índice de esbeltez local (λl) indica o quão esbelta a parede de um perfil é. Seu valor 
assume a razão entre a maior e a menor dimensão de cada chapa que compõe a seção transversal do 
perfil metálico. Os valores de esbeltez limite, λr e λp, por sua vez, são definidas pela NBR 8800 (ABNT, 
2008), conforme as Figura 10 e 11.
137
UNIDADE 5
Momento nominal resistente de vigas I ou H com efeito de Flambagem Local da Mesa (FLM)
Seção compacta
Seção semi-compacta
Seção esbelta
nM
( )
b p
n p p r
r p
M M M M
� �
� �
� ��
� �� �� ��� �pM
rM
( )r c y r t yM W f W f�� � �
2
0,69
c
n
b
WM E
�
�
2
0,69
c
n
b
WM E
M
�
�
2
c
n
b
W0,90Ek
�
�
0,38 /p yE f� � / (0,7 /r y cC E f k� �
1
2
f
b
f
b
t
� �
10,7p� � 9,1p� �
28r� � 24r� �
0
0
4
0,95 ,0,35 0,76c cC k kh
t
� � � �0,83 1cC k� �
yf
Cl
as
se
 1
Cl
as
se
 2
Cl
as
se
 3
Cl
as
se
 4
p yM Zf�
MR250
MR250
AR350
AR350
per�l
laminado
per�l soldado
Per�l laminado
Per�l soldado
Momento resistente nominal
Momento de plasti�cação
Momento de início de plasti�cação
considerando as tensões residuais
Módulo plástico da seção.
Módulos elásticos referidos às �bras
mais comprimidas e tracionadas,
respectivamente.
Tensão residual de compressão nas 
mesas tomando igual a 0,3
Tensão de escoamento do material.
Limite de esbeltez entre seção 
compacta e semi-compacta.
Limite de esbeltez entre semi-
compacta e esbelta.
Esbeltez local da mesa.
fb fcb
ftb
ohoh whwh
ft fct
ftt
ot ot
=
nM
pM
rM
Z
,c tW W
r�
yf
p�
r�
b�
*Vigas carregadas no plano da alma, admite-se contenção lateral contínua
Descrição da Imagem: Gráfico de dimensionamento à flexão de vigas I ou H, com efeito de Flambagem Local da Mesa (FLM).
Figura 10 - Momento nominal resistente de vigas I ou H com efeito de Flambagem Local da Mesa (FLM)
Fonte: as autoras 
138
UNICESUMAR
Momento nominal resistente de vigas I ou H com efeito de Flambagem Local da Alma (FLA)
Seção compacta
Seção semi-compacta
Seção esbelta
nM
( )
b p
n p p r
r p
M M M M
� �
� �
� ��
� �� �� ��� �pM
rM
Cl
as
se
 1
Cl
as
se
 2
Cl
as
se
 3
Cl
as
se
 4
p yM Zf�
MR250
(dupla 
simetria)
(dupla 
simetria)
AR350 MR250 AR350
106p� � 90p� �
161r� � 136r� �
w
b
o
h
t
� �
� �
1
2
/
0,54
0,09
c p
p
r
h h
D
M
M
�
� �
� ��� �
, para per�s 
monossimétricos
Momento resistente nominal.
Momento de plasti�cação.
Momento de início de plasti�cação
considerando as tensões residuais
Módulo plástico da seção.
Módulos plásticos referidos às �bras
mais comprimidas e tracionadas,
respectivamente.
Tensão de escoamento do material.
Limite de esbeltez entre seção 
compacta e semi-compacta.
Limite de esbeltez entre semi-
compacta e esbelta.
Esbeltez local da alma.
Razão entre as áreas da alma e da 
mesa comprimida (menor ou igual a 1)
Dobro da distância entre o centro
geométrico da seção e a face interna
da mesa comprimida.
fb fcb
ohoh whwh
ft fct
ftt
ot ot
=
pM
rM
Z
,c tW W
yf
p�
r�
b�
nM
ra
ra
ftb
*Vigas carregadas no plano da alma, admite-se contenção lateral contínua
r yM Wf�
.{ ; }n t y c yM mín W f W kf�
1 5,7 /
1200 300
cr
r o
hak E fy
a t
� �� �
� � �� �� ��� �� �
1
/p D E fy� � 5,7 /r E fy� �
Descrição da Imagem: Gráfico de dimensionamento à flexão de vigas I ou H, com efeito de Flambagem Local da Alma (FLA).
Figura 11 - Momento nominal resistente de vigas I ou H com efeito de Flambagem Local da Alma(FLA)
Fonte: as autoras. 
139
UNIDADE 5
Comentários adicionais acerca do dimensionamento à flexão:
• Se as partes que compõem uma mesma viga (mesas e alma em um perfil I, 
por exemplo) forem classificadas em grupos distintos quanto à compacidade, 
a viga como um todo será classificada, segundo o caso mais desfavorável para 
a flambagem local.
• Nas seções com alma e mesa esbeltas, o momento resistente é calculado com 
fórmulas que consideram a interação das flambagens locais das duas chapas 
encontradas no Anexo H, da NBR 8800 (ABNT, 2008).
• Quando o cálculo dos esforços solicitantes é feito com base no comportamento 
elástico, o momento resistente de projeto fica limitado a:
M W
f
Rd mín
y
a
≤ 1 5
1
,
g
 (Eq. 6)
Onde Wmín é o módulo de resistência elástico mínimo da seção transversal da barra 
em relação ao eixo de flexão. 
• Se a viga for conectada a outros perfis, por meio de ligações parafusadas, o 
momento fletor resistente de cálculo pode ser determinado com base nas 
propriedades da seção bruta, isto é, sem a consideração dos furos, desde que:
f A Y f Au fe t y fg≥ (Eq. 7)
Onde é Afe e Afg são, respectivamente, a área líquida e bruta da mesa tracionada e Yt 
é um coeficiente igual a 1, quando a tensão de escoamento é menor ou igual a 80% 
da tensão última e 1,1, caso contrário. 
Se a relação da Equação 7 não for verificada, o momento fletor resistente da viga 
com furos não poderá exceder o seguinte valor (PFEIL; PFEIL, 2009):
M
A
A
W fRd
ef
fg
t
u
a
≤
g 1
 (Eq. 8)
Sendo Wt o módulo de resistência elástico do lado tracionado da viga.
140
UNICESUMAR
Título: Dimensionamento de Elementos Estruturais de Aço e Mistos de 
Aço e Concreto
Autor: Ana Lydia Reis de Castro e Silva, Ricardo Hallal Fakury e Rodrigo 
Barreto Caldas
Editora: Pearson
Sinopse: o livro Dimensionamento de Elementos Estruturais de Aço e 
Mistos de Aço e Concreto baseia-se na norma brasileira NBR 8800 (ABNT, 
2008) para tratar sobre o projeto de estruturas de aço, por meio de uma 
série de exemplos práticos resolvidos, detalhadamente. Para complementar os conhecimentos 
adquiridos nesta unidade sobre os elementos de aço solicitados à flexão, indico a leitura do 
Capítulo 8 sobre barras de aço fletidas deste livro.
A partir das considerações a respeito da influência da contenção lateral contínua e da compacidade 
da seção sobre a capacidade resistente das vigas, apresentadas nos parágrafos anteriores, podemos 
retornar a nossa discussão sobre os modos críticos de falha de uma viga e delinear as seguintes con-
clusões apresentadas na Tabela 2:
Tem contenção lateral contí-
nua? A seção é compacta? Modo de falha previsto
Sim Sim Plastificação total da seção
Sim Não FLM ou FLA
Não Sim Plastificação total ou FLT*
Não Não FLM, FLA ou FLT*
Descrição da Imagem: aTabela 2 apresenta uma forma simples de prever os modos de falha possíveis em vigas de aço, por meio da 
análise da contenção lateral contínua e da compacidade da seção.
Tabela 2 - Modo de falha previsto em vigas em função da presença de contenção lateral contínua e da compacidade da seção 
transversal (*Exceto as vigas curtas sem contenção lateral contínua) / Fonte: as autoras.
Agora que já sabemos prever quais modos de falha podem ser críticos para o dimensionamento das vigas 
de aço, resta-nos aprender como calcular o momento resistente de projeto (Equação 9) para cada caso. 
M Mdres n
a
=
g 1
 (Eq. 9)
141
UNIDADE 5
O momento nominal (Mn) de perfis I ou H, com um ou dois eixos de simetria, fletidos em torno do 
eixo de maior inércia, pode ser obtido, por meio das expressões já apresentadas nas Figuras 10 e 11, 
para o caso de vigas contidas, lateralmente, de forma contínua. Caso não seja prevista contenção lateral, 
deve-se proceder a análise de FLT.
Para entendermos melhor o fenômeno da Flambagem Lateral com Torção (FLT), imaginemos a 
seguinte situação: suponha que a coluna de seção T, ilustrada na Figura 12a, é submetida a uma força de 
compressão superior à força crítica de flambagem. A configuração deformada final da barra é marcada 
por deslocamentos u em torno do eixo y, caracterizando a flambagem global por flexão.
y
�
�
y
�
� �
�u
x
M
M
Flambagem por �exão de coluna
Flambagem lateral de viga
Empenamento
da seção do apoio
Descrição da Imagem: fenômeno de Flambagem Lateral com Torção, ilustrado em etapas, para o caso de uma viga I com apoio simples.
Figura 12 - Flambagem Lateral com Torção (FLT) de uma viga simplesmente apoiada
Fonte: adaptada de Pfeil e Pfeil (2009).
142
UNICESUMAR
Considere, agora, que outro perfil com a mesma seção T é submetido à tração, e que ele é unido pela 
alma àquele da Figura 12a, formando uma nova seção do tipo I (Figura 12b). Vamos imaginar como 
as seções T atuariam, conjuntamente.
Neste caso, a parte tracionada dificultará o deslocamento u da parte comprimida, de modo que o 
movimento vertical ocorre acompanhado de torção. Sob o efeito da torção, as seções transversais da 
viga sofrem rotações (no plano da seção) acompanhadas de deformações longitudinais (fora do plano 
da seção), causando a torção e o empenamento do perfil (PFEIL; PFEIL, 2009). Note que o novo perfil 
(seção I) comporta-se de forma semelhante a uma viga sujeita à flexão simples, sendo o comportamento 
ilustrado na Figura 12b uma descrição clara do fenômeno da Flambagem Lateral por Torção (FLT).
No caso das vigas que não possuem contenção lateral contínua, deve-se avaliar, cuidadosamente, 
a disposição construtiva adotada em projeto. Em geral, apoios laterais, como os da Figura 13, são 
utilizados como forma de conferir a rigidez necessária sistema. Estes mecanismos trabalham em 
contato com a mesa comprimida e funcionam como um tipo de contenção lateral pontual, definindo 
o comprimento de flambagem lateral da viga Lb.
Descrição da Imagem: Três sistemas de contenção lateral discreta em vigas de aço.
Figura 13 - Sistemas de contenção lateral discreta em vigas de aço com seção I
Fonte: adaptada de Pfeil e Pfeil (2009).
As vigas sem contenção lateral contínua são classificadas em função do comprimento entre os pontos 
de contenção lateral discreta (ou comprimento de flambagem lateral Lb), em três categorias: 
• Curtas. 
• Intermediárias. 
• Longas. 
As vigas curtas não atingem o estado limite de Flambagem Lateral com Torção, de modo que a análise 
da FLT pode ser desconsiderada, e o momento resistente é definido com base nos momentos associados 
ao escoamento ou à flambagem local da seção. Já as vigas intermediárias e longas atingem o estado 
limite de flambagem lateral, sendo que, para as primeiras, a FLT ocorre para momentos fletores mais 
elevados (regime inelástico), enquanto para as últimas, a FLT se desenvolve já no regime elástico, sob 
ação de momentos fletores, relativamente, baixos. A Figura 14 ilustra o comportamento do momento 
nominal (Mn) de vigas curtas, intermediárias e longas em função do comprimento de flambagem lateral 
(Lb) para vigas com seção I duplamente simétricas.
143
UNIDADE 5
� �
1
y rf W
Ej
�
�
�
� � �2
4
y
w f
l
C h t� � � �r x y rM W f �� �
� �3 301 2
3
f f oj b t h t� �
12,5
3
2,5 3 4 3
máx
b
máx A B C
C
M M M
� �
� � �
Momento nominal resistente * de vigas I com efeito de Flambagem Lateral com Torção (FLT)
Escoamento
Flambagem
inelástica
Flambagem
elástica
Viga curta Viga intermediária Viga longa
MR250 AR350
pM
rM
nM
b rC M
p yM Zf� � �l pn b p p r
r p
M C M M M
� �
� �
� �� ��
� � �� �� �� ��� �� 
� �
2 2
0,039
1
y w b
n cr b
b y w
El C jLM M C
L l C
 � �
� � �� �
� 
1bC 	
1bC �
1,76 /p yE f� �
2
1
1
1,38 27
1 1
y
r
y
l j C
r j
��
�
� � �
b
l
y
L
r
� �
50p� � 42p� �
AM BM CM
1bC 	
1bC 	
(FLT)
Diagrama de momentos �etores
M
Momento resistente nominal.
Momento de plasti�cação.
Momento de início de plasti�cação
incluindo tensões residuais.
Módulo plástico da seção.
Tensão de scoamento do material.
Raio de giração em torno do eixo de
menorinércia.
Comprimento da viga.
Momento de inércia em torno do eixo y.Constante de torção pura (Saint-Venant)
Constante de empenamento.
Módulo de cisalhamento.
Limite de esbeltez entre vigas curtas e
intermediárias.
Limite de esbeltez entre vigas 
intermediárias e esbeltas.
Esbeltez lateral da viga.
pM
rM
Z
yf
nM
Momento máximo (valor absoluto)
no trecho bl
yr
l
yl
j
wC
G
máxM
p�
r�
t�
Descrição da Imagem: Gráfico de dimensionamento à flexão de vigas I com efeito de Flambagem Lateral com Torção (FLT).
Figura 14 - Momento nominal resistente de vigas I com efeito de Flambagem Lateral com Torção (FLT)
Fonte: as autoras. 
144
UNICESUMAR
Na Figura 14, a resistência calculada com Cb = 1 se refere ao caso fundamental, no qual 
a viga é submetida a um momento constante M. Este modelo de cálculo foi utilizado 
como base para proposição das equações de dimensionamento, porém, em muitos 
casos, não traduz a condição real de carregamento das vigas, as quais são, normal-
mente, submetidas a momentos fletores que variam ao longo do seu comprimento. 
Para considerar esta distribuição não uniforme de tensões, a resistência básica deve 
ser multiplicada pelo fator Cb cuja expressão, também, é apresentada na Figura 14.
Considerações adicionais sobre o modelo de cálculo da Figura 14:
• Os momentos fletores MA, MB e MC correspondem ao valor absoluto dos 
momentos situados às distâncias de Lb/4, Lb/2 e 3Lb/4 de um dos dois pontos 
de contenção lateral da viga.
• A expressão de Cb, apresentada na Figura 14, é válida para seção com as duas 
mesas sem contenção lateral contínua e para cargas aplicadas ao longo do 
Centro de Torção (CT) da seção (Figura 15b).
CT CT CT
Efeito tombador Indiferente Efeito restaurador
 
1 2 3
cr cr crM M M� �
1 2 3
Descrição da Imagem: posição de aplicação do carregamento transversal em vigas: sobre a mesa, sobre o 
Centro de Torção e a sua influência sobre o momento resistente.
Figura 15 - Posição de aplicação do carregamento transversal em vigas e a sua influência sobre o momento 
resistente / Fonte: as autoras.
Quando o carregamento é aplicado sobre a mesa comprimida (Figura 15a), existe um 
efeito “tombador” sobre a viga, o que leva à redução do valor de Cb. Se o carregamento 
é aplicado por meio da mesa tracionada (Figura 15c), o efeito é contrário, isto é, existe 
uma tendência de estabilização do perfil produzir um aumento no momento fletor 
crítico (GALAMBOS, 1998).
145
UNIDADE 5
• Em geral, Cb pode ser tomado, conservadoramente, igual a 1, exceto em alguns casos de vigas 
sem pontos de contenção lateral entre apoios e carregadas, transversalmente, por meio da mesa 
comprimida (AISC, 2005 apud PFEIL; PFEIL, 2009).
• Adota-se Cb igual a 1, nos trechos em balanço entre o extremo livre e uma seção com desloca-
mento lateral e torção restringidos (PFEIL; PFEIL, 2009).
Em algumas situações de projeto, os perfis metálicos podem ser submetidos a carregamentos inclina-
dos em relação aos seus eixos principais de inércia, gerando, no caso de elementos fletidos, um caso 
de flexão oblíqua (ou assimétrica). Veja o exemplo das terças que compõem a cobertura do galpão 
ilustrado na Figura 16. 
P
Descrição da Imagem: viga sob 
flexão oblíqua. Detalhe de terças de 
um galpão metálico submetida à fle-
xão, em torno dos eixos x e y.
Figura 16 - Flexão oblíqua em terças 
metálicas / Fonte: as autoras.
Na Figura 16, as terças são os elementos estruturais responsáveis pela sustentação das telhas do galpão. 
Devido à inclinação da cobertura, normalmente, estes elementos são projetados de forma inclinada em 
relação aos carregamentos gravitacionais (por exemplo, o peso próprio das telhas), configurando um 
caso de flexão oblíqua. Neste caso, o carregamento P pode ser decomposto, segundo os eixos principais 
de inércia do perfil, sendo a análise da seção feita a partir da superposição das duas componentes de 
flexão da seguinte forma:
M
M
M
M
d x
d resx
d y
d resy
,
,
,
,
� � 1 (Eq. 10)
Onde Md,x e Md,y são os momentos fletores solicitantes de cálculo, e Md,resx e Md,resy os momentos 
resistentes de cálculo em torno dos eixos x e y, respectivamente, considerando-se os estados limites 
apropriados.
146
UNICESUMAR
De posse das equações de projeto apresentadas até aqui, e conhecidas as propriedades geométricas 
e de material do perfil, podemos, facilmente, determinar o momento resistente de uma viga de aço 
como aquela ilustrada no início desta Unidade (Figura 3). Contudo, para que a segurança estrutural 
deste elemento seja, plenamente, garantida, resta-nos, ainda, determinar se a tensão de cisalhamento 
máxima gerada pelo carregamento distribuído w pode ser suportada pela viga. 
Da Resistência dos Materiais, aprendemos que a tensão de cisalhamento (τ), gerada por uma força 
cortante V é função do momento estático da seção (Q), da dimensão do trecho onde se deseja calcu-
lar τ (b) e do momento de inércia (I) em relação ao eixo perpendicular à ação da força V, conforme a 
expressão apresentada na Figura 17.
Momento
Estático
Largura
da seção
Momento
de Inércia
Força
cortante
VQ
bI
� �
� � �
Descrição da Imagem: Fórmula da tensão de cisalhamento e diagrama de esforços cortantes para seções I, retangular e circular.
Figura 17 - Distribuição da tensão de cisalhamento em seções I, retangular e circular / Fonte: as autoras.
Em função da geometria da seção transversal, cada perfil apresenta uma distribuição de tensões de 
cisalhamento particular, como ilustra a Figura 17. No caso dos perfis I, devido à grande variação da 
variável b (associada à variação das dimensões da largura da mesa e da alma), na Equação de t , as 
tensões de cisalhamento atuantes sobre o perfil são quase, em sua totalidade, absorvidos pela alma. 
Por simplificação, a tensão de cisalhamento de projeto (td ) pode ser associada ao valor médio de 
t , definida pela relação:
td
d
w
V
A
= (Eq. 11)
Na Equação 11, Vd é a força cortante solicitante de cálculo, e Aw é área efetiva de cisalhamento, dada 
por: h0/t0 em perfis de Seção I (ver Figuras 10 e 11). Para perfis com seção retangular cheia, circular 
cheia e tubular, Aw assume uma parcela da área bruta igual a 2/3; 3/4 e 1/2, respectivamente.
Quanto ao estado limite último das peças submetidas às tensões cisalhantes, este envolve a plas-
tificação total da alma por cisalhamento ou a flambagem local por cisalhamento. No caso de perfis 
I cuja alma é pouco esbelta (relação h0/t0 moderada), normalmente, inibe-se a flambagem local, e a 
resistência é determinada pelo escoamento do material para o caso de cisalhamento puro (fv). Neste 
caso, a força cortante de plastificação Vpl pode ser calculada da seguinte forma:
V A A fpl w y w y= =t 0 6, (Eq. 12)
147
UNIDADE 5
Note que a resistência ao escoamento associado ao cisalhamento puro (referido como τy na Eq. 12) é 
da ordem de 60% da resistência ao escoamento fy. Esta relação pode ser, facilmente, obtida com base 
no critério de falha de Von Misses, discutido na disciplina de Resistência dos Materiais. O valor de Vpl 
corresponde ao patamar da curva da Figura 20, característico das vigas de alma compacta.
Força cortante nominal resistente de vigas I
viga de alma esbelta
viga de alma intermediária
viga de alma compacta
nV
pV
rV
0,6p w yV A f�
p
n w p cr plV A V
�
� �
�
� �
2
1, 24
p
n w cr plV A V
�
�
�
� �
� � � �
� �
w
o
h
t
� �
1,10 /p v yk E f� � 1,37 /r v yk E f� �
w o oA h t� 0,8 0,8(0,6 )p y yf� �� �
2
2
212(1 )
cr v
w
o
Ek
hv
t
�� �
� �
� � �
� �
2
5
5v
w
k
a
h
� �
� �
� �
� �
fb fcb
ohoh whwh
ft fct
ftt
ot ot
=
ftb
yf
p�
r�
Força cortante resistente nominal
Força cortante de plasti�cação
Força cortante de início de plasti�cação
incluindo tensões residuais
Área efetiva de cisalhamento
Tensão de escoamento do material
Coe�ciente de redução
Tensão crítica de �ambagem por
cisalhamento
Distância entre enrijecedores
intermediários
Tensão de escoamento por cisalhamento
limite de esbeltez entre vigas de alma
compacta e intermediária
limite de esbeltez entre vigas de alma
intermediáriae esbelta
Esbeltez da alma
nV
pV
rV
wA
vC
cr�
a
y�
�
Descrição da Imagem: gráfico de dimensionamento ao cortante de vigas I.
Figura 18 - Força cortante normal resistente de vigas I / Fonte: as autoras. 
148
UNICESUMAR
Para as vigas com alma semi-compacta e esbelta, há a tendência de falha por flambagem local da 
alma, de modo que a tensão de cisalhamento atuante é função da tensão crítica de flambagem local 
tcr calculada conforme Equação apresentada na Figura 18. Na Equação de tcr , k é o coeficiente de 
flambagem local por cisalhamento. Este fator considera as condições de contorno da alma, a partir 
da relação de a (distância entre os enrijecedores da viga) e hw (altura da alma), ilustrada na Figura 20.
Os enrijecedores são chapas posicionadas junto ao perfil metálico (em geral, soldadas à alma) 
com objetivo de aumentar a sua resistência à flambagem. Essas chapas são distribuídas, ao longo do 
comprimento do perfil, dividindo-as em painéis, como mostra as Figura 19a e 19b 
A B
Descrição da Imagem: a figura mostra duas fotografias. Em a, vemos uma viga de cor laranja, com enrijecedores transversais sendo 
erguida com auxílio de guindastes, sendo posicionada sobre os pilares pré-moldados. No primeiro plano, vemos dois elevadores 
móveis com os profissionais que trabalham no posicionamento da viga. Ao fundo vemos uma viga já posicionada. Na figura b, vemos 
uma viga com enrijecedores transversais de cor laranja presa por cordas aos eixos de um caminhão, sendo transportada em uma via.
Figura 19 - Vigas metálicas com enrijecedores transversais
Além de melhorar a resistência das vigas ao fenômeno de instabilidade, quando soldados ao perfil, os 
enrijecedores servem de apoio transversal para a mesa comprimida, melhorando, também, a resistência 
à torção do perfil (PFEIL; PFEIL, 2009). A Figura 20 mostra um esquema com três enrijecedores utili-
zados junto à alma de um perfil I, sendo dois enrijecedores de borda e um enrijecedor intermediário. 
149
UNIDADE 5
Com base nos parâmetros apresentados na Figura 20, os seguintes aspectos construtivos e de cálculo 
sobre o projeto de vigas com enrijecedores devem ser destacados:
• Para almas sem enrijecedores ou com relação a/h0 superior a 3 ou a [260/(h/tw)]
2, o coeficiente 
de flambagem local por cisalhamento k pode ser assumido igual a 5.
• Para evitar a flambagem local do enrijecedor, recomenda-se que a relação largura-espessura 
dele não exceda 0 56, E fy .
• Enrijecedores intermediários podem ser interrompidos junto à mesa tracionada. Pfeil e Pfeil 
(2009) destacam que, no lado tracionado, não há necessidade de contato do enrijecedor com a 
mesa, podendo-se parar a chapa do enrijecedor de modo que o cordão de solda alma-enrijece-
dor fique a uma distância da solda alma-mesa tracionada entre quatro e seis vezes a espessura 
da alma.
• O momento de inércia I da seção de um enrijecedor unilateral ou de um par de enrijecedores 
(um de cada lado da alma), em relação ao eixo no plano médio da alma deve atender à relação:
I at
a
h
at
w
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�0
3
2 0
32 5 2 0 5, ,
 Eq. (13)
a a
o wh h�
ot
Enrijecedor
Mesa 
tracionada
Mesa 
comprimida
ot(4 a 6)
Descrição da Imagem: na imagem, são destacados os parâmetros de cálculo utilizados no dimensionamento ao cisalhamento de vigas 
I com enrijecedores transversais.
Figura 20 - Viga metálica de seção I com enrijecedores transversais / Fonte: as autoras.
150
UNICESUMAR
Agora que você conhece os procedimentos de cálculo envolvidos no projeto estrutural das barras de 
aço fletidas, é possível aplicá-los no dimensionamento das vigas em diferentes aplicações, entre elas: 
prédios, viadutos, casas, pontes, passarelas, galpões e outros. 
No início desta unidade, vimos que o dimensionamento das peças 
fletidas envolve a análise dos esforços de flexão propriamente di-
tos, mas também de esforços cortantes. Com base no estudo que 
desenvolvemos, ao longo deste capítulo, podemos perceber que a 
geometria da seção transversal do perfil de aço tem influência sig-
nificativa na sua capacidade resistente à flexão e ao cortante. Note 
que a maior parte das expressões de cálculo apresentadas nesta 
unidade refere-se aos perfis I ou H. Diante dos conhecimentos ad-
quiridos ao longo desta unidade, você saberia explicar o motivo pelo 
qual esses perfis são, preferencialmente, utilizados como vigas em 
estruturas de aço? Em nosso Podcast, apresento a você a resposta 
para esta pergunta e lhe mostro quando vigas diferentes destas po-
dem se tornar vantajosas na construção civil.
151
UNIDADE 5
152
Que tal reunirmos todo os possíveis modos de falha para vigas I com diferentes características 
geométricas e em diferentes situações de projeto em um único fluxograma? O fluxograma é uma 
representação gráfica que permite ilustrarmos a sequência das etapas de um processo. Em nosso 
caso, o processo em questão é o dimensionamento de uma viga, e as etapas são as verificações 
das características do perfil e dos procedimentos construtivos. Este fluxograma lhe permitirá 
realizar a análise de dos limites e fronteiros do procedimento de cálculo das vigas, fornecendo 
uma visão global do processo. Vamos juntos?
A seguir está a minha proposta para o fluxograma proposto. E aí? Qual é a sua? 
sim
simsim
sim
sim
não
nãonão
não
não
Dimensionamento de 
vigas I de aço
Momento
resistente deve ser veri�cada:
Flambagem local
Tem
contenção
lateral
contínua?
A seção é
compacta?
O escoamento da
seção deve ser
condicionante
Devem ser veri�cadas:
FLM e FLA
Devem ser veri�cadas:
FLM e FLA
Devem ser veri�cadas:
FLT, FLM e FLA
O escoamento da seção
deve ser condicionante
Força cortante
resistente
A alma é
compacta?
O escoamento 
da seção deve ser 
condicionante
A viga é
curta?
A seção é
compacta?
Descrição da Imagem: a figura mostra um fluxograma que direciona o aluno para previsão dos modos de falha críticos, em vigas 
de aço com seção I.
Figura 21 - Fluxograma dos modos de falha críticos, em vigas de aço com seção I / Fonte: as autoras.
153
O seu grande amigo Arthur está construindo um novo empreendimento feito em es-
trutura metálica. Sabendo que você é um excelente engenheiro, Arthur mostrou-lhe 
o projeto estrutural e pediu sua opinião a respeito da solução proposta. Analisando 
um dos desenhos técnicos, determinada viga (Figura 22) chamou-lhe a atenção. Para 
conferir a segurança estrutural deste elemento, você decidiu fazer uma verificação 
rápida da sua capacidade resistente (FAKURY et al., 2016).
350
850 8
19
AR 350 - VS 850 X 155
(mm)
2
182,6gA cm�
4
214961xI cm�
3
5374xW cm�
4
10380yI cm�
4
159,7j cm�
34,31xr cm�
7,54 yr cm�
6
15823,202 wC cm�
1,67bC �
500 bL cm�
3
5910 xZ cm�
Considere as informações apresentadas na Figura 22 e informe ao Arthur: 
(Dica: utilize os gráficos de dimensionamento das Figuras 10, 11, 14 e 18)
1. O valor do momento resistente de cálculo, associado ao efeito de Flambagem Local 
da Mesa (FLM).
a) 213007 kNcm.
b) 216530 kNcm.
c) 217795 kNcm.
d) 540 kNcm.
e) 539 kNcm.
Descrição da Imagem: a figura mostra o desenho de um esquema da seção transversal de uma viga I com a indicação das 
propriedades geométricas e características construtivas delas, indicadas por setas. À esquerda, vemos a viga I com uma 
seta de cota indicando a altura 850, a largura longitudinal 350, a espessura da base 19, e, do centro, 8. Abaixo, indica-se 
que as medidas das cotas estão em milímetro. Abaixo, há a indicação do tipo de ação AR 350- VS 850X155. À direitoa, 
vemos outras características Ag = 182,6 cm², Ix= 214961 cm4, Wx= 5374cm³,ly=10380 cm4, J= 159,7 cm4, rx= 34,31 cm, 
Zx=5910 cm³, ry, 7,54cm, Cw= 15823,202 cm6, Cb= 1,67 e Lb= 50 cm.
Figura 22 - Seção transversal, propriedades geométricas e características construtivas da viga VS 850 × 155 (aço 
AR 350) / Fonte: as autoras.
154
2. O valor do momento resistente de cálculo associado ao efeito de Flambagem Local da 
Alma (FLA).
a) 213007kNcm.
b) 216530 kNcm.
c) 217795 kNcm.
d) 540 kNcm.
e) 539 kNcm.
3. O valor do momento resistente de cálculo associado ao efeito de Flambagem Lateral 
com Torção (FLT).
a) 213007 kNcm.
b) 216530 kNcm.
c) 217795 kNcm.
d) 540 kNcm.
e) 539 kNcm.
4. O valor do força cortante resistente de cálculo.
a) 213007 kN.
b) 216530 kN.
c) 217795 kN.
d) 540 kN.
e) 539 kNcm.
6
Nesta unidade, você iniciará os estudos do dimensionamento de 
estruturas de madeira. Primeiramente, você aprenderá como de-
terminar a resistência de cálculo das madeiras, sabendo diferenciar 
o coeficiente de minoração do coeficiente de moderação e as in-
formações necessárias para defini-los. Em um segundo momento, 
você aprenderá um pouco mais sobre as peças tracionadas e como 
definir as tensões de solicitação para verificação da segurança desse 
tipo de carregamento. Por último, aprenderá a classificação das 
peças comprimidas e como verificar a segurança das peças curtas. 
Dimensionamento de 
Estruturas de Madeira: 
Peças Tracionadas 
e Colunas Curtas 
Comprimidas 
Me. Camila Barella Luiz
156
UNICESUMAR
Imagine que, durante uma viagem por São Diego nos EUA, você e sua família decidem passar uma 
tarde no parque de diversões Belmont Park. Lá, você se depara com a icônica montanha russa de 
madeira, uma das mais antigas do mundo ainda em atividade, construída em 1925. Intrigado com a 
idade da construção e sua segurança, você começa a analisar a estrutura percebendo que ela é treliçada. 
Como você, provavelmente, já aprendeu em outras disciplinas, as treliças são estruturas constituídas 
por barras rotuladas submetidas apenas a esforços de tração e compressão. Querendo determinar a 
máxima força normal suportada por cada barra da treliça, quais as informações de que você precisaria 
levantar nessa análise? 
Descrição da Imagem: a figura mostra uma das mais antigas montanha russa de madeira ainda em atividade, na atualidade. Na foto, 
observamos uma vista aérea da locação da montanha russa, toda a extensão da estrutura treliçada em madeira, os telhados dos prédios 
em frente, uma praça e um lago ao fundo.
Figura 1 - Montanha russa em madeira do Belmont Park – São Diego, Califórnia, EUA
Uma dessas informações seria a identificação da madeira usada na montanha russa. Como vimos 
anteriormente, o material terá grande influência no carregamento suportado pela estrutura, devido à 
sua tensão última de ruptura. Já que, quanto maior for essa tensão, maior será a força necessária para 
romper a barra. As madeiras provêm das árvores existindo, portanto, diversas espécies que são divi-
157
UNIDADE 6
didas em sete classes de resistência, das quais três compreendem as 
madeiras macias e quatro as madeiras duras. Os tipos de esforços 
da barra avaliada, também, serão de suma importância para esta 
análise, já que o comportamento de uma barra esbelta submetida à 
compressão não é igual ao dessa mesma barra quando tracionada. 
Para que você compreenda as diferenças entre os esforços de 
tração e compressão em barras esbeltas, convido você a executar o 
seguinte experimento utilizando uma daquelas borrachas caneta. 
Primeiramente, aplique sobre a borracha um esforço de tração, isto 
é, segurando nas extremidades, estique a borracha. Em seguida, a 
partir das extremidades, tente comprimir a borracha.
Perceba que, ao aplicar um esforço de tração, a borracha sofreu 
um alongamento enquanto que a sua seção transversal sofreu uma 
redução. Caso você continuasse aumentando a força até alcançar 
a força de ruptura do material, a borracha seria dividida em duas 
partes. Já quando você aplicou uma compressão na mesma borra-
cha, ela iniciou uma compressão, contudo, logo sofreu um deslo-
camento lateral, criando uma barriga. Com o crescimento da força 
de compressão, a borracha sofre instabilidade, que, neste exemplo, 
corresponde ao encontro das suas duas mãos.
Diante das suas observações deste experimento, você acredita 
que o dimensionamento das barras tracionadas e das barras com-
primidas da treliça foi executado da mesma forma? Em seu Diário 
de Bordo, liste o que você acredita ser necessário para o correto 
dimensionamento de cada uma dessas barras.
158
UNICESUMAR
DIÁRIO DE BORDO
Você já deve ter aprendido, em resistência dos materiais, que, para um elemento estrutural suportar as 
ações aplicadas sobre ele, a máxima tensão interna da sua seção transversal deve ser inferior à tensão 
admissível suportada por este material, como mostra a equação:
s sS adm≤ (1.1)
A tensão admissível, chamada, nos projetos estruturais, de resistência de cálculo, está relacionada 
com a resistência do material e o coeficiente de segurança, o qual considera as incertezas na definição 
dos parâmetros de cálculo. No caso das madeiras, a resistência de cálculo, fd , é dada por:
f k fd k
w
= mod. g
 (1.2)
sendo kmod o coeficiente de modificação, gw o coeficiente de minoração da madeira, e fk a resis-
tência característica da madeira. 
A resistência característica de um material equivale à resistência cuja probabilidade de não ser 
alcançada por determinado lote equivale a 5%. Este valor é menor que a resistência média do material. 
Justamente por conta da aleatoriedade na determinação da resistência da madeira, a NBR 7190 (ABNT, 
1997) sugere a utilização do coeficiente de minoração, gw , que varia com o tipo do carregamento 
estudado. Para a verificação do estado limite último das peças de madeira submetidas à tração paralela, 
as fibras desse coeficiente vale gw = 1 8, , já para peças compridas paralelas a fibras, temos gw = 1 4, . 
159
UNIDADE 6
Na verificação do estado limite de utilização, usa-se gw = 1 0, independentemente do carregamento.
O coeficiente de modificação considera aspectos que influenciam as propriedades da madeira e 
não são levados em conta no coeficiente de minoração. Sendo assim, esse coeficiente é definido pelo 
produto de três coeficientes parciais, como mostra a seguinte expressão:
k k k kmod mod mod mod. .= 1 2 3 (1.3)
O primeiro coeficiente parcial de modificação, kmod1 , depende da classe de carregamento da 
estrutura avaliada, definida na Tabela 1, e do tipo de material utilizado. Seu valor é definido de 
acordo com a Tabela 2.
Classe de carregamento
Ação variável principal da combinação
Duração acumulada
Ordem de grandeza da duração 
acumulada da ação característi-
ca
Permanente Permanente Vida útil da construção
Longa duração Longa duração Mais de seis meses
Média duração Média duração Uma semana a seis meses
Curta duração Curta duração Menos de uma semana
Duração instantânea Duração instantânea Muito curta
Tabela 1 - Classes de carregamento / Fonte: ABNT (1997, p. 8).
Classe de carregamento
Tipos de madeira
Madeira serrada 
Madeira laminada colada 
Madeira compensada
Madeira recomposta
Permanente 0,60 0,30
Longa duração 0,70 0,45
Média duração 0,80 0,65
Curta duração 0,90 0,90
Instantânea 1,10 1,10
Tabela 2 - Valores para o coeficiente parcial de modificaçao 1 - kmod1 / Fonte: ABNT (1997, p. 18).
O segundo coeficiente parcial de modificação, kmod2 , leva em consideração a classe de umidade da 
madeira. Como visto no primeiro capítulo, a umidade influencia a resistência da madeira. Seu valor é 
determinado pela Tabela 3. Especificamente para madeiras serradas submersa, o kmod2 adotado é 0 65, .
160
UNICESUMAR
Classes de umidade
Madeira serrada 
Madeira laminada colada 
Madeira compensada
Madeira recomposta
(1) e (2) 1,00 1,00
(3) e (4) 0,80 0,90
Tabela 3 - Valores para o coeficiente parcial de modificaçao 2 - kmod2 / Fonte: ABNT (1997, p. 18).
O terceiro e último coeficiente parcial de modificação, kmod3 , refere-se à qualidade da madeira 
empregada, isto quer dizer que a madeira é de primeira ou segunda categoria. As classificadas como 
de primeira categoria são aquelas isentas de defeitos cuja rigidez é homogênea por toda a peça. Esta 
condição deve ser comprovada por método visual normalizado e classificação mecânica. Nesse caso, 
a norma admite kmod ,3 10= , contudo, para as madeiras de segunda categoria, esse coeficiente é re-
duzido para kmod ,3 0 80= , e as coníferas sempre estarão neste grupo. As peças de madeira laminada 
colada que apresentam curvatura devem ter seu coeficiente kmod3 estimado por:
k t
rmod3
2
1 2000� � �
�
�
�
�
� (1.4)
sendo t a espessura das lâminas, e r o menor raio de curvatura.
Diante de tudo que vimos sobre as madeiras, a equação 1.1 pode ser escrita como:
σ
γsd
k
w
k k k f≤ mod mod mod. . .1 2 3 (1.5)
onde a tensão de solicitação interna, ssd , depende do tipo de esforço atuante na estrutura. Veremos, 
agora, como determiná-la nos casos de peças tracionadas. 
As peças tracionadas são aquelas que apresentam solicitações normais de tração axial. Essas estão 
presentes em diversos sistemas estruturais, como tirantes, também chamados de pendurais; contra-
ventamento de pórticos, e barras de treliça. Nestas peças, a tensão de solicitação equivale à razão entre 
a força de cálculo aplicada na peça, Fd , e a sua área líquida, Aliq . 
ssd
d
liq
F
A
= (1.6)
Assim, como vimos, para barras metálicas, as seções críticas para o dimensionamento dessas peças en-
contram-se nas ligações e/ou emendas. Isto porque, justamente, nestas regiões é que a área transversal 
da seção sofre uma redução, devido à presença de parafusos ou entalhes responsáveis pela conexão 
de duas ou mais peças. Logo, ao verificar a segurança de peças tracionadas, precisamos nos atentar 
ao tipo de ligações e à presença de emendas, ao longo da peça. Observados estes pontos, devemos 
determinar a área transversal líquida, isto é, a área que, de fato, resistirá a força normal para cada uma 
dessas regiões. Falaremos, aqui, do cálculo da área líquida de ligações comuns em peças de madeira. 
161
UNIDADE 6
• Ligações com prego: segundo a EUROCODE 5 (normativa europeia), ligações com pregos de 
diâmetro até 6mm sem pré-furação para instalação, a área líquida é igual à área bruta da peça, 
não havendo redução. Já para pregos de diâmetro superior a 6mm, a área líquida é igual às das 
ligações parafusadas (PFEIL; PFEIL, 2003).
A A hbliq total= = . (1.7)
• Ligação com parafuso: nas ligações que apresentam um único parafuso ao longo da seção 
transversal, a área líquida será igual à área total da seção transversal, h b. , reduzida pela área 
ocupada pelo parafuso ou furo do parafuso, d b'. . 
A hb d bliq � �. '. (1.8)
d’
d’
b
n g
A =A - b d'
Descrição da Imagem: desenho de 
uma peça de madeira com ligação 
realizada por um único parafuso. À 
direita, temos o desenho da seção 
transversal no local do parafuso, 
onde a área líquida é mostrada ha-
churada.
Figura 2 - Ligação com um parafuso / 
Fonte: Pfeil e Pfeil (2003, p. 87).
• Ligação com conector de anel: nas ligações em que se utiliza conector de anel, além da área 
referente ao parafuso, é necessário descontar, também, a área do entalhe para acomodação do 
anel. Sendo assim, a área líquida fica:
A hb D t d b tliq � � � �. . '.( ) (1.9)
Furo para parafuso
Entalhe para conector de anel
 'd
t
D
b
'
( )n gA A Dt b t d� � � �
Descrição da Imagem: desenho de 
uma peça de madeira com ligação 
realizada por um único parafuso 
mais conector de anel. À direita, te-
mos o desenho da seção transversal 
no local do parafuso, onde a área lí-
quida é mostrada hachurada.
Figura 3 - Ligação com um parafuso 
mais conector de anel / Fonte: Pfeil e 
Pfeil (2003, p. 87).
162
UNICESUMAR
• Ligação com mais de um parafuso alinhado: nas ligações onde um número n de parafusos 
encontra-se alinhado ao longo da seção transversal da peça, a área líquida da seção é dada pela 
subtração da área dos n parafusos, n d b. '. , da área bruta da seção transversal.
A hb n d bliq � �. . '. 
 'd
B
B
b
( )a
• Presença de entalhe ou indentação: nas peças com entralhes ou endentações submetidas à 
tração, a área líquida será igual à área bruta da seção menos a área correspondente ao entalhe. 
É importante mencionar que, para garantir que não haja excentricidade na aplicação da força 
na seção de entalhe, é necessário que ele seja feito dos dois lados da peça. 
Descrição da Imagem: desenho de uma peça de madeira 
com ligação realizada por mais de um parafuso. À direita, 
temos o desenho da seção transversal no local dos parafusos, 
onde a área líquida é mostrada hachurada.
Figura 4 - Ligação com mais de um parafuso / Fonte: Pfeil e 
Pfeil (2003, p. 88).
C
a b
2.h c�
Descrição da Imagem: desenho de 
uma peça de madeira com inden-
tação, de espessura c, distante da 
ligação com pinos.
Figura 5 - Peça de madeira com inden-
tação / Fonte: as autoras.
Para saber um pouco mais sobre os tipos de emendas das peças 
de madeira, assim como as seções transversais de uso corrente no 
Brasil, acesse o QRCode e ouça o Podcast da unidade. 
163
UNIDADE 6
Estudados os critérios de dimensionamento de peças submetidas à tração, veremos isto na prática. 
Iniciemos pela verificação da segurança de um pendural de madeira serrada de segunda catego-
ria cujas dimensões transversais são 20x4 cm (Figura 6). A madeira desta peça classifica-se como 
dicotiledônia de classe 30Mpa, em ambiente de classe de umidade 2. Os parafusos de ligação, as talas 
metálicas possuem diâmetro igual a 25mm e furos de 27mm. A força normal de cálculo suportada 
pela peça é igual a 32kN do tipo cargas de média duração.
N
d=25mm
d’=27mmh=20,00 cm
5 5 5 5 cm
chapas
metálicas
d’
22
1 1
b=
4,0
0 c
m
10
 c
m
Descrição da Imagem: a figura mostra um pendural de ma-
deira ligado a duas chapas metálicas, por meio de quatro 
parafusos alinhados de dois em dois. 
Figura 6 - Esquema da ligação do pendural de madeira às 
chapas metálicas 
Fonte: adaptada Pfeil e Pfeil (2003, p. 89).
Como vimos, a verificação de uma peça estrutural é feita pela equação 1.1, de modo que, para a estru-
tura estar segura, as tensões de solicitação devem ser inferiores, ou iguais, às tensões resistentes pelo 
material usado. Sendo assim, comecemos nosso exercício pela determinação da resistência de cálculo 
do pendural, para isso, utilizaremos a equação 1.2. 
f k fd k
w
= mod. g
 (2.0)
164
UNICESUMAR
Por se tratar de uma peça submetida à tração longitudinal às fibras, temos que o coeficiente de mino-
ração gw equivale a 1,8. Já a resistência de tração característica pode ser estimada, visto no capítulo 
1, pela resistência característica à compressão paralela às fibras, que, no caso das madeiras de classe 
30, equivale a 30MPa. Logo, temos:
f fc k t k0 00 77= , .
f ft k c k0 00 77
30
0 77
= =
, ,
f MPat k0 38 96= ,
Da Tabela 2, temos que, para um carregamento de média duração para madeiras serradas, kmod ,1 0 8= . 
Na Tabela 3, obtemos kmod ,2 0 8= para uma madeira em ambiente de classe de umidade 3. Já o terceiro 
coeficiente parcial de modificação equivale a 0,8, kmod ,3 0 80= , pois a madeira utilizada é de segunda 
categoria. Dessa forma, temos que a resistência de cálculo do pendural é:
f k k k ft d t k
w
0 1 2 3
0= mod mod mod. . . g
ft d0 0 8 0 8 0 8
38 96
1 8
= , . , . , .
,
,
f MPat d0 11 08= ,
Encontrada a resistência de cálculo do material, vamos, agora, determinar a tenção de solicitação 
de cálculo. Para isso, precisamos da solicitação normal de cálculo, dada no enunciado como 32kN e 
a área líquida da seção transversal crítica, a qual é a seção da ligação. Neste caso, temos que a seção 
transversal possui área líquida igual a:
 'd
B
B
b
( )a
A b h b dliq � �. . . '2
Aliq � �20 4 2 4 2 7. . . ,
A cmliq = 58 4
2,
165
UNIDADE 6
Logo, temos que a tensão de solicitação do pendural é:
ssd
d
liq
F
A
=
ssd � �
32000
58 4 10 4, .
ssd MPa= 5 48,
ssd t df≤ 0
5 48 11 08, ,MPa MPa<
Portanto, temos que a tensão de solicitação é muito inferior à resistência da peça, atendendo o critério 
de segurança. O próximo passo seria verificar a resistência da ligação do pendural com as chapas me-
tálicas. Veremos isso nos próximos capítulos. Agora, voltemos ao nosso problema inicial: como você 
determinará a máxima cargasuportada pelas barras tracionadas da treliça? Após a inspeção inicial, 
você verificou que a treliça foi construída com pinho brasileiro cuja resistência característica à tração 
vale f MPat k0 65 00= , . As ligações entre as barras foram realizadas por pregos de diâmetro inferior a 
6mm. A seção transversal é 10x5 cm. Por estar localizada em região litorânea, você admitiu uma classe 
de umidade igual a 3, e, por não ter informações sobre ensaios para classificação da madeira, adotou 
que esta é de segunda categoria. A classe do carregamento procurado é permanente. 
Como já vimos a condição de segurança para as peças tracionadas é:
ssd t df≤ 0
N
A
fd
liq
t d≤ 0
Dessa forma, para determinar a máxima força suportada pela barra, devemos isolar Nd , de modo que:
N f Ad t d liq≤ 0 .
166
UNICESUMAR
Sendo assim, para solucionar o problema você precisará determinar a resistência da 
madeira e a área liquida da seção transversal. Iniciando seu cálculo pelo cálculo da 
resistência de cálculo do material, a partir das Tabelas 2 e 3 e das informações obti-
das, você obtém: kmod ,1 0 6= , kmod ,2 0 8= e kmod ,3 0 8= . Como a avaliação é de 
uma barra tracionada, o coeficiente de minoração gw equivale a 1,8. Assim, tem-se:
f k k k ft d t k
w
0 1 2 3
0= mod mod mod. . . g
ft d0 0 6 0 8 0 8
65 00
1 8
= , . , . , .
,
,
f MPat d0 13 87= ,
Como você já aprendeu, as peças cuja ligação é feita por pregos inferiores a 6mm, 
instalados sem pré-furação, não sofrem redução da sua área bruta, nas verificações 
de cálculo. Logo, tem-se que a área transversal é:
 A Aliq bruta=
A b hliq = =. .5 10
A cmliq = 50
2
Portanto, a máxima carga suportada pelas barras tracionadas da montanha-russa 
equivale a:
N f Ad t d liq≤ 0 .
Nd �
�13 87 10 50 106 4, . . .
N kNd = 69 35,
Vamos, agora, estudar as barras submetidas a esforços de compressão. Como você 
observou no experimento sugerido, as barras comprimidas, quando esbeltas, tendem 
a um deslocamento lateral que pode gerar instabilidade na peça, caso a força aplica-
da seja maior que uma força normal crítica. Para barras birrotuladas de comprimen-
to l e rigidez a flexão EI a força crítica é dada pela equação 1.11.
N EI
lcrit
=
p2
2
 (1.11)
167
UNIDADE 6
 A esta instabilidade damos o nome de flambagem, já estudada por você em resis-
tência dos materiais. Dessa forma, é possível que peças comprimidas sejam instáveis, 
mesmo que a sua seção transversal suporte as tensões normais da carga axial. Tam-
bém, é possível que ocorram deslocamentos laterais e que a tensão crítica não seja 
atingida, nesse caso, a peça é submetida a um esforço de momento fletor cujo valor 
equivale à força normal multiplicada pelo deslocamento lateral, gerando, portanto, 
uma flexocompressão na coluna. 
P
A
B
P
A
B
L
Devido a este comportamento, as barras comprimidas são classificadas em: colunas 
curtas, colunas medianamente esbeltas e colunas esbeltas. Esta classificação é feita 
de acordo com o índice esbeltez, l , do elemento estrutural que é dado por:
l =
l
r
f
min
 (1.12)
onde l f é o comprimento de flambagem da barra, e rmin o menor raio de giração 
da coluna. 
O comprimento de flambagem de uma coluna é igual ao comprimento entre dois 
pontos de momento nulo dessa coluna, isto quer dizer que, para barras birrotuladas, 
ele equivale ao comprimento da barra, entretanto, quando há mudança nos apoios 
dessa coluna, o comprimento de flambagem, também, é alterado. Na Figura 8, temos 
diferentes tipos de apoios e seus respectivos comprimentos de flambagem. 
Descrição da Imagem: a figura 
mostra o efeito da flambagem em 
pilares esbeltos, que, quando sub-
metidos a esforços de compressão, 
apresentam um deslocamento late-
ral, causando uma “barriga” na peça, 
inicialmente, reta. 
Figura 7 - Instabilidade de pilares – 
Flambagem / Fonte: Beer et al. (2011, 
p. 630).
168
UNICESUMAR
O raio de giração depende das propriedades geométricas do elemento estrutural e deve ser avaliado 
para as duas direções paralelas à seção transversal, isto é, para o pilar da Figura 9, devemos avaliar o 
raio de giração ao redor do eixo z e do eixo y. Seu valor é dado por:
r I
Ai
i= (1.13)
sendo i o eixo avaliado, Ii o momento de inércia para o eixo i , e A , a área transversal da coluna. 
0,7ftL L�
0,5ftL L�
Engaste mais 
extremidade livre
Biapoiada Engaste mais
 apoio simples
Biengastada
P
A
B
P
A
B
PP
A
B
ftL L�2ftL L�
A
B
L
Descrição da Imagem: a figura apresenta os diferentes comprimentos de flambagem para cada tipo de apoio. Os pilares engastados 
possuem comprimento de flambagem igual a duas vezes o comprimento do pilar; já os biapoiados apresentam comprimento de flamba-
gem igual ao comprimento do pilar; os pilares engastados em uma extremidade e apoiados na outra possuem comprimento de flamba-
gem igual 0,70 o comprimento do pilar; e pilares biengastados têm comprimento de flambagem igual à metade do comprimento do pilar. 
Figura 8 - Comprimentos de Flambagem 
Fonte: Beer et al. (2011, p. 637).
P
A
B
b
a
z y
L
x
Descrição da Imagem: a imagem apresenta o posicionamen-
to do pilar em relação aos eixos x, y e z.
Figura 9 - Pilar submetido a compressão 
Fonte: Beer et al. (2011, p. 638).
169
UNIDADE 6
Agora que você já lembrou de como calcular o índice de esbeltez de 
uma coluna, podemos falar, especificamente, da classificação feita 
pela NBR 7190 (ABNT, 1997) para as peças comprimidas. 
• Peças curtas: compreendem as peças cujo índice de esbeltez 
é igual ou inferior a 40, l ≤ 40 . Essas peças são aquelas a 
que a norma permite a desconsideração dos efeitos de flexão, 
sendo avaliadas como uma compressão simples.
• Peças medianamente esbeltas: são aquelas de índice de 
esbeltez maior que 40 e igual ou inferior a 80, 40 80� �l
. Nestas peças, deve-se considerar, além da força de com-
pressão, um momento causado pela excentricidade da peça.
• Peças esbeltas: estas apresentam índice de esbeltez entre 80 
e 140, 80 140� �l , sendo proibido o uso de pilares com 
esbeltez superior a 140 nos projetos estruturais de madeira. 
Assim como das peças medianamente esbeltas, essas também 
consideram os efeitos do momento fletor no seu dimensio-
namento. 
Nesta unidade, não abordaremos o dimensionamento das barras 
esbeltas e medianamente esbeltas, elas serão estudadas na sequência, 
juntamente com as vigas.
 As colunas classificadas como curtas são submetidas apenas 
à compressão simples e possuem tensão de solicitação de cálculo 
igual a:
ssd
d
liq
F
A
= (1.16)
onde Fd é a força normal de compressão, e Aliq , a área líquida da 
seção transversal. 
Novamente, então, voltemos à treliça da montanha russa. Para 
a estimativa da carga máxima de tração, você já havia obtido a se-
ção transversal das barras, 10x5 cm, agora, você também mediu o 
comprimento das barras comprimidas, que é igual a 50 cm. Dessa 
forma, você, primeiramente, descobrirá se as barras compridas 
da treliça se classificam como curtas ou esbeltas, para isso, você 
precisará determinar o índice de esbeltez. 
170
UNICESUMAR
Lembre-se de que você deve determinar o índice de esbeltez para as duas direções 
paralelas a seção transversal. Assim, tem-se: 
A cm= =5 10 50 2.
I cmx = =
5 10
12
416 67
3
4.
,
I cmy = =
10 5
12
104 17
3
4.
,
r I
A
cmx x= = =
416 67
50
2 89, ,
r
I
A
cmy
y= = =
104 17
50
1 44, ,
lx
x
L
r
� � � �
50
2 89
17 32 40
,
,
ly
y
L
r
� � � �
50
1 44
34 64 40
,
,
Para ambas as direções, o índice de esbeltez é inferior a 40, portanto, as barras da 
treliça são classificadas como curtas, isto é, serão solicitadas apenas por compressão 
simples. Desse modo, assim como as barras tracionadas, a máxima carga de com-
pressão suportada pela barra será dada pela relação:
N f Ad c d liq≤ 0 .
Note que a máxima carga só não será a igual à de tração, devido à resistência da ma-
deira à compressão ser diferente da tração, sendo o valor característico para o pinho 
brasileiro, aproximadamente, igual a 50MPa. Nesse caso, determinaremosa resistên-
cia de cálculo à compressão da madeira utilizada. Os coeficientes de modificação 
parciais não sofrerão alteração, logo, kmod ,1 0 6= , kmod ,2 0 8= e kmod ,3 0 8= . Já o 
coeficiente de minoração gw será igual a 1,4 já que o esforço avaliado é compressão.
171
UNIDADE 6
f k k k fc d c k
w
0 1 2 3
0= mod mod mod. . . g
fc d0 0 6 0 8 0 8
50 00
1 4
= , . , . , .
,
,
f MPac d0 13 71= ,
Diante disso, tem-se que a máxima carga de compressão suportada pelas barras da treliça equivale a:
N f Ad c d liq≤ 0 .
Nd �
�13 7110 50 106 4, . . .
N kNd = 68 57,
A NBR 7190:1997 estabelece todas as diretrizes que você deverá seguir para 
executar um projeto de estruturas de madeira. Contudo, para um aprofun-
damento teórico sobre os critérios adotados pela norma, eu indico o livro 
Estruturas de Madeira, de Walter Pfeil e Michele Pfeil, publicado pela LTC.
Ao longo desta unidade, você aprendeu sobre os parâmetros necessários para determinar a resistência 
de projeto da madeira, estes que serão usados para o dimensionamento de qualquer elemento estru-
tural de madeira, independentemente da sua solicitação. Este é um conteúdo fundamental para você, 
engenheiro(a), que pretende trabalhar com a execução de projetos estruturais. 
Além disso, estudamos o comportamento das peças tracionadas e suas seções críticas. Também 
iniciamos o estudo das peças submetidas à compressão, vimos que, devido à flambagem, as peças 
comprimidas devem ser classificadas de acordo com sua esbeltez (curtas, medianamente esbeltas 
e esbeltas) e que as solicitações de carregamento variarão para cada tipo de coluna. Nesta unidade, 
vimos, especificamente, os casos de peças curtas, que são submetidas apenas à compressão simples. 
Com isso, você foi capaz de avaliar a máxima carga suportada pela estrutura da montanha russa, assim 
como será capaz de dimensionar peças de treliças, pendurais. 
172
Diante de tudo que vimos até aqui, você consegue resumir todos os passos para o dimensiona-
mento de peças de madeira submetidas à tração? E para peças curtas, índice de esbeltez menor 
que 40, quando submetidas à compressão? Tente, sozinho, fazer seu próprio Mapa Mental, depois, 
compare com o meu. Boa atividade!
�����������������������
������
��
����
����������������
���� 
����
	������������������
�������
����
	����������
����
���
tração/ compressão/cisalhamento
��������
��������������
��������
���������������
�����������������
���������������
��������
�����
����������
���������
��������
���������������
���������
Classe de
carregamento
Classe de
umidade
Classe de umidade
classe de
carregamento
Permanente
Longa duração
Média duração
Curta duração
Intantânea
tração paralela as �bras
qualidade da madeira
1° categoria
2° categoria
compressão paralela as �bras
depende do tipo de 
carregamento
�
����
����
�����
1° Área líquida
da seção
1° índice de esbeltez
2° Classi�cação da peça
Peça curta
Peça medianamente
esbelta
Peça esbelta
��������
�
Compressão
simples
2° Força
normal de 
cálculo
Tipos de madeira
Madeira serrada
Madeira laminada colada
Madeira compensada
Madeira serrada
Madeira laminada colada
Madeira compensada
Madeira recomposta
Madeira recomposta
0,60
1,00
0,80
1,00
0,90
0,30
0,45
0,65
0,90
1,10
0,70
0,80
0,90
1,10
(1) e (2)
(3) e (4)
mod
k
d
w
ff k
�
�
1,0
0,8
sd df� �
d
sd
bg
F
A
� �
min
fl
r
� �
40� �
40 80�� �
80 140�� �
d
sd
bg
F
A
� �
mod mod1 mod2 mod3
k =k k k
173
1. Determine a máxima solicitação de cálculo suportada por pilar de Peroba Rosa, de seção 
transversal circular de diâmetro igual a 15cm. Considere uma resistência característica 
à compressão paralela à fibra igual a 50Mpa, uma classe de umidade local 2, e que o 
carregamento será de classe permanente. 
15
 c
m
L=
17
0 
cm
dN
Descrição da Imagem: a figura apresenta um pilar de ma-
deira engastado em uma extremidade e apoiado na outra, 
de comprimento igual a 170 cm. O pilar apresenta seção 
circular de diametro igual a 15cm.
Fonte: as autoras.
2. Verifique a segurança do banzo inferior da treliça de madeira dura de classe 40Mpa. O 
carregamento de cálculo da estrutura equivale a 60kN cuja classe é de longa duração. 
O ambiente possui classe de umidade 1. A seção transversal tem dimensões 12x5 cm 
e a ligação entre o banzo superior e o inferior é feito por parafusos de 25mm, com 
pré-furo de 27mm, alinhados verticalmente de dois em dois. 
Descrição da Imagem: a figura apresenta uma tesoura de cobertura e em detalhe, no canto esquerdo, a ligação do 
banzo superior com o inferior.
Fonte: as autoras.
174
3. Determine a espessura necessária para uma emenda de tirante, formada por duas talas 
de madeira ligadas por parafusos, como mostra a figura a seguir. Para isso, considere 
que a madeira é de classe de resistência 60, classe de umidade 2, pré furos de 20mm 
para os parafusos, largura da tala de 12cm, e força solicitante de cálculo de 70kN.
dN
dN
dN
dN
Descrição da Imagem: a figura mostra a emenda de uma barra tracionada por uma força de 70Kn. a ligação das talas 
com as barras é feita por três parafusos alinhados, longitudinalmente, às peças.
Fonte: as autoras.
7
Nesta unidade, você aprenderá sobre o dimensionamento de pilares 
classificados como medianamente esbeltos e esbeltos. Descobrirá 
como determinar o momento fletor responsável pela flexão dessas 
peças e a determinar as tensões normais de solicitação geradas 
pela atuação conjunta do esforço normal mais o momento fletor. 
Ao final da unidade, você estudará o dimensionamento de vigas 
submetidas à flexão simples, descobrirá as diferentes verificações 
de estado limite para estes elementos e a determinar as tensões de 
solicitação para cada um dos casos de ruptura possíveis.
Dimensionamento de 
Estruturas de Madeira: 
Peças Fletidas
Me. Camila Barella Luiz
176
UNICESUMAR
Muitas vezes, vemos a madeira ser empregada como 
material para produção de treliças ou escoras, con-
tudo você sabia que este material também pode ser 
utilizado para executar estruturas de edifícios altos? 
O edifício Mjøstårnet, localizado na Noruega, às 
margens do lago Mjosa, é o edifício mais alto cons-
truído em madeira do mundo. Este arranha-céu pos-
sui 18 andares alcançando uma altura de 85,4m. A 
sua estrutura é inteiramente em madeira, as colunas 
e as vigas são de madeira laminada colada, e seu 
núcleo, paredes entorno dos elevadores e escadarias, 
de madeira laminada cruzada. 
Ao contrário das treliças, os sistemas estrutu-
rais do tipo pórtico recebem carregamento per-
pendicular às barras que o constituem, causando 
esforços de flexão e cisalhamento. Muitas vezes, os 
pilares pertencentes a estes pórticos, também, são 
submetidos a momentos fletores, devido a excen-
tricidades de projeto. Dessa forma, você futuro(a) 
engenheiro(a), saberia dizer o que estes esforços 
causarão nos elementos estruturais?
Pensando que você foi contratado para execu-
tar um pórtico de madeira, você consegue ima-
ginar os passos necessários para dimensionar os 
pilares e as vigas desta estrutura? Quais as verifi-
cações necessárias para este dimensionamento? 
Como determinar o momento fletor dos pilares 
esbeltos? Em seu Diário de Bordo, anote os pas-
sos que você acredita serem fundamentais para o 
dimensionamento destes elementos estruturais.
177
UNIDADE 7
DIÁRIO DE BORDO
Após fazer suas anotações, faça uma pesquisa rápida sobre os tipos de solicitações de esforços atuantes 
nas vigas e nos pilares de um edifício. Reflita sobre quais tensões internas são geradas nessas estruturas 
e como elas se distribuem ao longo da seção transversal dos elementos. Sabendo que essas tensões 
não serão constantes ao longo de toda seção, como você determinaria o ponto para as verificações de 
estado último? 
Se você ficou curioso sobre grandes construções em estruturas de 
madeira, aperte o play. No Podcast desta unidade, falaremos sobre 
características, curiosidades construtivas, localidade e projeto das 
principais obras em madeira no mundo.178
UNICESUMAR
A flexão de uma peça estrutural gera, internamente, tensões normais que variam, linearmente, ao 
longo da seção, como mostrado na Figura 1. A seção transversal é dividida pela chamada linha neutra, 
a qual apresenta tensão normal nula quando submetida apenas à flexão pura. Acima desta linha, um 
momento fletor positivo gera tensões normais de compressão enquanto, abaixo, a peça sofre tração. 
Bordo comprimido
Bordo tracionado
b
h
cy
ty
dM
Descrição da Imagem: a figura 
apresenta a distribuição linear das 
tensões normais na seção transver-
sal, causada por um momento fletor.
Figura 1 - Distribuição de tensões na 
seção transversal de uma peça fletida
Fonte: as autoras.
A tensão normal proveniente de um momento Md é determinada pela seguinte fórmula:
sd
dM c
I
=
.
 (1.1)
na qual, c equivale à distância da linha neutra ao ponto analisado, e I , o momento de inércia da 
seção. Perceba que a tensão normal máxima, seja tração seja compressão, causada por uma flexão 
pura, ocorre nas extremidades da seção. Para seções simétricas em relação à linha neutra, como as 
retangulares e circulares, a distância c equivale à metade da altura da seção. 
Você sabia que a flexão de uma barra pode ser classificada em pura, simples e composta? A 
chamada flexão pura se dá quando a estrutura está submetida apenas a esforço de momento 
fletor. Na flexão simples, há a atuação de momento fletor e cortante na estrutura, logo, as ten-
sões normais ao longo da seção transversal provêm apenas do momento fletor sendo igual a 
das peças submetidas à flexão pura. Este carregamento é muito comum em vigas. Já a flexão 
composta ocorre quando atuam, simultaneamente, momento fletor e esforço normal. Neste 
caso, comum nas estruturas aporticadas, a distribuição das tensões normais na seção se dá 
por uma combinação das distribuições de uma flexão pura com um esforço normal simples. 
Isto deve-se ao efeito das superposições dos esforços.
179
UNIDADE 7
Na unidade anterior, você aprendeu que as colunas com índice de esbeltez superior a 40, l > 40 , de-
vem sempre ser dimensionadas para flexocompressão, mesmo quando submetidas apenas a esforços 
de compressão. Isto significa que a coluna sofre, simultaneamente, esforço normal e momento fletor. 
Logo, a tensão de solicitação da peça comprimida será formada pela soma das tensões provenientes 
da compressão simples com a máxima tensão de compressão causada pela flexão. Para uma coluna 
de seção retangular, temos: 
ssd
d dF
A
M h
I
� �
.
.2
 (1.2)
O momento fletor, Md , atuante na coluna, é determinado pela seguinte equação:
M F e F
F Fd d d
cr
cr d
�
�
. . (1.3)
onde Fd é o esforço normal atuante, ed é a excentricidade de cálculo, a qual depende da classificação 
da peça (medianamente esbelta ou esbelta), e Fcr é a força crítica de flambagem calculada por:
F
E I
Lcr
c ef
f
=
p2 0
2
. ., (1.4)
sendo I o momento de inercia, Lf o comprimento de flambagem, e Ec ef0, é o módulo de elasticidade 
efetivo determinado pelo produto do módulo de elasticidade paralelo às fibras, E0 , com o coeficiente 
de modificação, kmod . 
As peças classificadas como medianamente esbeltas, que possuem índice de esbeltez entre 40 e 80 
( 40 80� �l ), apresentam uma excentricidade de cálculo composta por duas parcelas: a acidental 
e a inicial. A excentricidade acidental, ea , representa as imperfeições geométricas das peças dada a 
impossibilidade de produzir uma peça completamente alinhada. Segundo a NBR 7190 (ABNT, 1997), 
a excentricidade acidental deve ser adotada como:
e
L
a
f=
300
 (1.5)
A excentricidade inicial ocorre nas barras que estão submetidas à flexocompressão em situação de 
projeto, ou seja, além do esforço normal, Fd prevê-se um momento fletor M d1 atuando na peça. Esta 
excentricidade representa o deslocamento lateral provocado pelo momento M d1 na coluna, dado por:
e
M
Fi
d
d
= 1 (1.6)
Sendo assim, a excentricidade de cálculo para as colunas medianamente esbeltas equivale a:
e e ed a i� � (1.7)
180
UNICESUMAR
Veja, agora, um exemplo de dimensionamento de uma coluna medianamente esbelta. Sendo uma 
coluna roliça de diâmetro igual a 16cm, feita com madeira de eucalipto cuja resistência característica 
à compressão equivale a 40 MPa e modulo de elasticidade de 18.500 MPa. Verifique a segurança do 
estado limite último dessa coluna, sabendo que ela está submetida a uma força normal de cálculo igual 
a 115 Kn, e seu comprimento equivale a 300 metros, conforme mostra a Figura 2. Considere uma 
combinação de ações de longa duração e uma classe 2 de umidade. 
16
 c
m
L=
30
0 
cm
115kN
Descrição da Imagem: a figura apresenta um pilar de madei-
ra roliça, de diâmetro igual a 16cm. O pilar é biapoioado com 
comprimento igual a 300cm e recebe uma força de 115kN.
Figura 2 - Pilar de madeira roliça – Exemplo 1 
Fonte: as autoras.
A primeira coisa que você deve calcular em um problema de colunas é o índice de esbeltez das mes-
mas. Para isso, você precisa das propriedades geométricas da seção: área e momento de inércia. Para 
o caso de uma seção circular, o momento de inércia para as duas direções normais à seção é igual. 
Dessa forma, temos:
I I d cmx y= = = =
p p. .
,
4 4
4
64
16
64
3216 99
A d cm= = =p p. . ,
2 2
2
4
16
4
201 06
Com estes dados você determina o raio de giração:
r I
A
cmi i= = =
3216 99
201 06
4 00,
,
,
181
UNIDADE 7
Sabendo que o comprimento de flambagem é igual ao comprimento da peça para pilares biapoiados, 
temos que o índice de esbeltez é:
l = = =
l
r
f
min ,
300
4 00
75
Perceba que você chegou a um valor de l , que pertence a intervalo de 40 a 80, logo, a coluna é clas-
sificada como medianamente esbelta e, por isso, o procedimento de cálculo descrito anteriormente é 
aplicado a ela. 
Antes de determinar a tensão de solicitação, determinaremos a resistência de cálculo da madeira. 
Assim como o índice de estabilidade, você aprendeu sobre este procedimento na Unidade 6. 
f k k k fc d c k
w
0 1 2 3
0= mod mod mod. . . g
kmod1 →Classe de carregamento – Longa duração kmod ,1 0 7=
kmod2 →Classe de umidade – classe 2 kmod ,2 1 0=
kmod3 → Qualidade da madeira – 2° categoria kmod ,3 0 8=
gw → Tipo de carregamento – compressão gw = 1 4,
fc k0 → Resistência de compressão paralela as fibras - f MPac k0 40=
f MPac d0 0 7 1 0 0 8
40
1 4
16 00= =, . , . , .
,
,
Agora sim, sabendo o tipo de coluna que estamos verificando, no caso medianamente esbelta, pode-
mos iniciar a determinação das tensões de solicitação. Esta tensão é composta por duas parcelas: uma 
proveniente da força, Fd , e outra do momento,Md , que deve ser determinado. Para isso, deve-se 
calcular as excentricidades e a força crítica de flambagem. Observe que não há um momento de projeto 
atuando na coluna, portanto ei = 0 .
e
L
cma
f= = =
300
300
300
1 00,
e e e cmd a i� � � � �1 00 0 00 1 00, , ,
Para a determinação da força crítica, é necessária a determinação do módulo de elasticidade efetivo. 
F
E I
Lcr
c ef
f
=
p2 0
2
. .,
E k Ec ef c0 0 0 56 18500 10360, mod. , .= = =
 
F kNcr � �
�p2 3 8
2
10360 10 3216 99 10
3
365 48. . . , . ,
182
UNICESUMAR
Logo, temos que o momento de cálculo atuante na peça é:
M F e F
F Fd d d
cr
cr d
�
�
. .
M kN md � �
�115 0 01 365 48
365 48 115
1 68. , . ,
,
, .
Podemos, então, calcular a tensão de solicitação:
ssd
d dF
A
M h
I
� �
.
.2
ssd MPa� � �� �
115
201 06 10
1 68 0 16
2 3216 99 10
9 894 8
, .
, . ,
. , .
,
Como visto anteriormente, para que uma estrutura suporte determinado carrega-
mento, as tensões de solicitação devem ser inferiores à resistência admissível do ma-
terial desta estrutura. Assim, temos que a tensão de solicitação (9,89MPa) é inferior 
à resistência à compressão do eucalipto (16,00MPa), e, portanto, a coluna apresenta 
segurança quanto ao estado limite último.
ssd cdf≤
9 89 16 00, ,<
No caso das peças esbeltas cujo índice de esbeltez está entre 80 e 140 ( 80 140� �l ), 
além das excentricidades acidental e inicial,é necessário adicionar a excentricidade 
ec , a qual considera fluência da madeira. Esta excentricidade é determinada por:
e e e
F F
F F Fc ig a
gk qk
cr gk qk
� �
� �� �� �
� � �� �� �
�
�
�( ). exp
. .
.
φ ψ ψ
ψ ψ
1 2
1 2��
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
1 (1.8)
na qual eig representa a excentricidade inicial do momento de cálculo permanente (
e M Fig gd gd= 1 ); Fgk e Fqk são, respectivamente, as forças características perma-
nente e variável; y1e y2 são os fatores de utilização, dados pela Tabela 1, devendo 
ser sua soma inferior a 1; e f representa o coeficiente de fluência, determinado pela 
Tabela 2.
183
UNIDADE 7
Ações em estruturas correntes y0 y1 y2
- Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local. 0,6 0,5 0,3
- Pressão dinâmica do vento. 0,5 0,2 0,0
Cargas acidentais dos edifícios y0 y1 y2
- Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos fixos, nem 
de elevadas concentrações de pessoas.
0,4 0,3 0,2
- Locais onde há predominância de pesos de equipamentos fixos ou de elevadas 
concentrações de pessoas.
0,7 0,6 0,4
- Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens. 0,8 0,7 0,6
Cargas móveis e seus efeitos dinâmicos y0 y1 y2
- Pontes de pedestres. 0,4 0,3 0,2*
- Pontes rodoviárias. 0,6 0,4 0,2*
- Pontes ferroviárias (ferrovias não especializadas). 0,8 0,6 0,2*
* admite-se y2 =0,0 quando a ação variável principal corresponde a efeito sísmico.
Tabela 1 - Fatores de combinação e utilização / Fonte: ABNT (1997, p. 9).
Classe de carregamento
Classe de umidade
(1) e (2) (3) e (4)
Permanente ou de longa duração 0,8 2,0
Média duração 0,3 1,0
Curta duração 0,1 5,0
Tabela 2 - Coeficiente de fluência / Fonte: ABNT (1997, p. 26).
Você conhece os diferentes tipos de combinações de ações de uma 
estrutura? Sabe o porquê dessas combinações? Para entender um 
pouco mais sobre as combinações e suas aplicações, acesse o QR-
code.
184
UNICESUMAR
Dessa forma, a excentricidade de cálculo para as colunas esbeltas equivale a:
e e e ed a i c� � � (1.9)
Vamos praticar novamente? Para a verificação do pilar de madeira, apresentado na 
Figura 3, considere um carregamento característico permanente de 40Kn, centrali-
zada na seção transversal. O pilar será produzido com dicotiledônea de classe 60 e 
será instalado em ambiente de classe 3. Para a determinação da força de cálculo, 
considere gg = 1 4, .
25
 c
m
10
L=
35
0 
cm
x
y
dF
Descrição da Imagem: a figura 
apresenta um pilar de madeira, 
engastado na base e apoioado na 
extremidade superior. O pilar apre-
senta seção retangular 10x25cm.
Figura 3 - Pilar seção retangular – 
Exemplo 2 / Fonte: as autoras.
Novamente você deve iniciar o problema verificando o tipo da coluna que você está ava-
liando. Para isso, você deve determinar o índice de esbeltez da peça. Lembre-se de que 
você deve avaliar a esbeltez em torno dos dois eixos (x e y) normais à seção transversal.
I b h cmx = = =
. .
,
3 3
4
12
10 25
12
13020 83
I b h cmy = = =
. .
,
3 3
4
12
25 10
12
2083 33
A b h cm= = =. . ,10 25 250 00 2
185
UNIDADE 7
Com base no momento de inércia ao redor de eixo x e y, você sabe 
que o menor raio de giração será na direção y e terá valor de:
r
I
A
cmy
y= = =
2083 33
250 00
2 89,
,
,
Logo, índice de esbeltez equivale a:
l = = =
l
r
f
min
, .
,
,
0 7 350
2 89
84 9
Atenção! O comprimento de flambagem, neste caso, equivale a 70% 
do comprimento real da coluna, e este valor vem do tipo de apoio 
do pilar. Mais detalhes você encontra na Unidade 6. Note que o l 
obtido pertence ao intervalo de 80 a 140, o que clarifica a coluna 
como esbelta. 
Determinando as propriedades da madeira empregada, temos: 
f k k k fc d c k
w
0 1 2 3
0= mod mod mod. . . g
kmod1 →Classe de carregamento – Permanente kmod ,1 0 6=
kmod2 →Classe de umidade – classe 3 kmod ,2 0 8=
kmod3 → Qualidade da madeira – 2° categoria kmod ,3 0 8=
gw → Tipo de carregamento – compressão gw = 1 4,
fc k0 → Resistência de compressão paralela as fibras - 
f MPac k0 60=
f MPac d0 0 6 0 8 0 8
60
1 4
16 46= =, . , . , .
,
,
E k E MPac ef c0 0 0 38 24 500 9408 00, mod. , . ,= = =
Os valores de kmod e gw foram obtidos das tabelas da Unidade 
6, enquanto o valor da resistência característica e do módulo de 
elasticidade são apresentados na tabela 3 da Unidade 1. Para a deter-
minação das tensões de solicitação, é necessária a determinação da 
força normal de cálculo e do momento de cálculo, o qual depende 
da excentricidade acidental e de fluência. Neste exemplo, não há 
excentricidade inicial, já que a força normal atuante é aplicada no 
eixo do pilar. 
186
UNICESUMAR
F Fd g gk= g
F kNd = =1 4 40 00 56 00, . , ,
F
E I
Lcr
c ef
f
=
p2 0
2
. .,
F kNcr � �
�p2 3 8
2
9408 0 10 2083 33 10
2 45
102 58. , . . , .
,
,
e
L
cma
f= = =
300
0 7 350
300
0 82, . ,
Perceba que o pilar não está submetido à força variável, portanto, y y1 2�� �.Fqk é nulo. 
O coeficiente de fluência para uma carga permanente em classe de umidade 3 é 2,0. 
e e e
F F
F F Fc ig a
gk qk
cr gk qk
� �
� �� �� �
� � �� �� �
�
�
�( ). exp
. .
.
φ ψ ψ
ψ ψ
1 2
1 2��
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
1
e cmc � �
�
��
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�0 82 2 0 40
102 58 40
1 2 12, . exp , .
,
,
e e e e cmd a i c� � � � � � �0 93 0 00 2 12 2 93, , , ,
Logo, temos que o momento de cálculo atuante na peça é:
M F e F
F Fd d d
cr
cr d
�
�
. .
M kN md � �
�56 0 0293 102 58
102 58 56
3 62. , . ,
,
, .
Podemos, então, calcular a tensão de solicitação:
ssd
d dF
A
M h
I
� �
.
.2
ssd MP� �
�
�
�
�
�
� �� �
�56 0
250 10
3 62 0 1
2 2083 33 10
10 10 924 8
3,
.
, . ,
. , .
. , aa
Logo, temos que a tensão de solicitação (10,92MPa) é inferior à resistência à com-
pressão do eucalipto (16,46MPa), e, portanto, a coluna apresenta segurança quanto 
ao estado limite último.
187
UNIDADE 7
ssd cdf≤
10 92 16 46, ,<
Além das colunas medianamente esbeltas e esbeltas, as vigas são elementos estruturais submetidos 
à flexão. Quando sujeitas à flexão simples, a verificação do estado limite último das vigas é realizado 
pelas seguintes etapas:
• Verificação das tensões normais de flexão
A flexão de uma viga gerará esforços de tração e compressão nos bordos opostos. Sendo assim, deve-se 
verificar a resistência da madeira para estes dois tipos de esforços:
std tdf≤ (1.10)
scd cdf≤ (1.11)
A tensão máxima de tração e compressão causada por um momento fletor Md é determinada pela 
equação 1. Nas vigas de seção transversal com eixo de simetria na linha neutra, isto é, seções com 
y yt c= , a verificação da compressão passa a ser determinante, já que as madeiras apresentam re-
sistência à tração superior à compressão ( f fck tk= 0 77, . ). O momento fletor Md utilizado para a 
verificação das tensões normais deve ser o momento fletor máximo atuante na viga. Para as vigas 
biapoiadas submetidas a um carregamento distribuído de cálculo qd , este momento dá-se no meio 
do vão, e seu valor é dado por:
M q Ld d=
. 2
8
 (1.12)
188
UNICESUMAR
O vão teórico L deve ser adotado como o menor valor entre: a distância de eixo a eixo dos apoios; o 
vão livre acrescido à altura da seção transversal; ou o vão livre acrescido 10cm. 
L
L
L h
L
� �
�
�
�
�
�
�
0
10
'
'
 (1.13)
h
'L
oL
Descrição da Imagem: a figura apresenta uma viga bipoiada em dois pilares e os diferentes comprimentos que medimos da viga: L0 
distância de eixo a eixo dos pilares, e L’ distância entre as faces internas dos pilares.
Figura 4 - Vão teórico de viga biapoiada / Fonte: as autoras.
• Verificação das tensões cisalhantes
As vigas submetidas à flexão simples, também, devem ser verificadas quanto às tensões de cisalha-
mento uma vez que estas são geradas pelo esforço cortante da viga. Como você já viu em resistência 
dos materiais, as tensões de cisalhamento em uma peça de altura constante são dadas por:
td
dV Q
b I
=
.
.
 (1.14)
na qual Vd é a cortante máxima atuante na viga; Q é o momento estático referente à área da seçãocompreendida por um dos bordos da seção e o ponto avaliado; b é a largura da seção transversal no 
ponto avaliado; e I é o momento de inercia da seção. 
A distribuição das tensões cisalhantes ao longo da seção transversal retangular se dá como 
mostrado na Figura 5, sendo a máxima tensão cisalhante obtida na linha neutra. Para seções 
com mudanças de largura, como seções T e I, é recomendado a verificação do cisalhamento nas 
ligações entre a mesa e alma. 
189
UNIDADE 7
Para as vigas de seção retangular, a equação 14 pode ser reescrita como:
td
dV
b h
=
3
2
.
.
 (1.15)
A norma permite que os esforços cortantes aplicados a uma distância a do apoio seja reduzido para 
os casos em que a h≤ 2 .
V V a
hred d
= .
2
 (1.16)
Da mesma forma que para as tensões normais, a verificação do estado limite último ao cisalhamento 
se dá pela comparação das tensões solicitantes com a resistência de cálculo da madeira. 
td vdf≤ (1.17)
• Verificação do esmagamento das fibras nos apoios
Os esforços cortantes, situados próximos ao apoio da viga são transferidos a este, por meio de cisalha-
mento e, também, por compressão. Dessa forma, é necessário verificar se a tensão de compressão normal 
à fibra, causada pela reação sobre o apoio é inferior à resistência à compressão da madeira, na direção 
normal as fibras, fc d90 . 
sc d c df90 90≤ (1.18)
A tensão sc d90 é determinada por:
sc d
d
apoio
R
A90
= (1.19)
onde Rd é a reação de apoio, e Aapoio é a área do apoio. 
'A
b
'y
h �
Descrição da Imagem: a figura 
apresenta distribuição parabólica 
das tensões de cisalhamento ao 
longo de uma seção retangular. Ob-
serve que a tensão de cisalhamento 
máxima ocorre no centro da seção.
Figura 5 - Distribuição das tensões ci-
salhantes ao longo da seção transversal 
Fonte: as autoras.
190
UNICESUMAR
Quando a força normal às fibras é aplicada em uma pequena área da madeira, a norma permite 
a amplificação da resistência da madeira por meio de an . Nestes casos, a resistência à compressão 
normal às fibras é dada por:
f fc c n90 00 25= , . .a (1.20)
onde an é obtido na Tabela 3.
Extensão da carga normal às fibras – medida 
paralelamente a estas em cm αn
1 2,00
2 1,70
3 1,55
4 1,40
5 1,30
7,5 1,15
10 1,10
15 1,00
Tabela 3 - Valores de an / Fonte: ABNT (1997, p. 21).
Fique atento: vigas muito esbeltas podem sofrer instabilidade lateral, e, para impedir este 
problema, é necessária a realização de amarrações laterais, chamadas de contraventamentos, 
que impeçam a torção da viga. Segundo a NBR 7190:1997, é dispensada a verificação da flam-
bagem lateral de vigas retangulares quando há: impedimento de rotação por torção nos apoios 
extremos; conjunto de contenção lateral afastados entre si L1, respeitando a seguinte relação:
L
b
E
f
c ef
M c d
1 0
0
≤ ,
,.b
 
sendo bM dado pelas Tabela 4.
h b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
bM
6,0 8,8 12,3 15,9 19,5 23,1 26,7 30,3 24,0 37,6 41,2 44,8 48,5 52,1 55,8
Tabela 4 - Coeficiente de correção bM / Fonte: adaptada de ABNT (1997).
191
UNIDADE 7
Analisemos, agora, uma viga biapoiada de madeira, apresentada na Figura 6. Pretende-se utilizar uma 
viga de seção 20x10cm de conífera C 30 em ambiente de classe 2. Esta estará submetida a um carrega-
mento, uniformemente, distribuído de cálculo igual a 3,5 kN/m, classe longa duração. Os pilares de 
apoio apresentam seção transversal de 10x10 cm.
3,5 /kN m
3,5 /kN m
400 cm 10 cm
20 cmh
0
L
L
. .D M F
. .D E C
2
max
.
8
q LM �
max
.
2
q LV �
redV
2.h
Antes de determinar as tensões de solicitação atuante na viga, determinaremos as propriedades 
do material. A Tabela 2 da Unidade 1 traz os valores característicos para as coníferas de dife-
rentes classes de resistência, a C30 apresenta uma resistência à compressão paralela às fibras e 
resistência ao cisalhamento de:
Descrição da Imagem: a figura 
apresenta um viga biapoiada com 
distância entre as faces internas dos 
pilares igual a 400cm e carregamen-
to linearmente distribuído igual a 
3,5kN/m. A seção da viga é retangu-
lar e igual a 10x20cm. A figura apre-
senta os diagramas de momento fle-
tor e cortante, mostrando, também, 
a redução deste nos apoios.
Figura 6 - Viga biapoiada com carrega-
mento uniforme – Exemplo 3 
Fonte: as autoras.
192
UNICESUMAR
 f MPac k0 30=
f MPavk = 6
A resistência normal das fibras de uma madeira pode ser estimada por:
f f n90 00 25= , . .a 
onde an é igual a 1,10, já que a extensão de aplicação da carga, largura do pilar, equivale a 10cm. 
Logo, a resistência característica normal à compressão para a conífera C30 é:
f f MPac k c k90 00 25 1 1 8 25= =, . . , ,
Conhecendo as resistências características, precisamos, agora, determinar as resistências de cálculo, como 
vimos na unidade 6. Para isso determinamos os coeficientes de moderação ( k k kmod mod mod, ,1 2 3 ) e o 
de minoração (gw ) que varia com o tipo de carregamento. Para uma viga com carregamento de longa 
duração em ambiente de classe 2, temos: 
kmod1 →Classe de carregamento – longa duração kmod ,1 0 7=
kmod2 →Classe de umidade – classe 2 kmod ,2 1 0=
kmod3 → Qualidade da madeira – 2° categoria kmod ,3 0 8=
gw → Tipo de carregamento – compressão gw = 1 4,
gw → Tipo de carregamento – cisalhamentogw = 1 8,
Logo, a resistência de cálculo à compressão normal, paralela e de cisalhamento é:
f k k k fc d c k
w
0 1 2 3
0= mod mod mod. . . g
f MPac d0 0 7 1 0 0 8
30
1 4
12= =, . , . , .
,
f k k k
f
c d
c k
w
90 1 2 3
90= mod mod mod. . . g
f MPac d90 0 7 1 0 0 8
8 25
1 4
3 3= =, . , . , . ,
,
,
 
f k k k fvd vk
w
= mod mod mod. . .1 2 3 g
f MPavd = =0 7 1 0 0 8
6
1 8
1 87, . , . , .
,
,
 
193
UNIDADE 7
Uma vez que já determinamos as tensões suportadas pela viga, agora, determinaremos as tensões que 
atuam sobre essa viga e verificaremos se serão suportadas pela estrutura, ou causarão ruptura. 
• Verificação das tensões normais de flexão
Primeiramente, avaliemos as tensões normais atuantes na viga, para isso precisamos determinar 
o comprimento L da viga biapoaiada, necessário para a determinação dos esforços da viga: reações, 
momento fletor máximo no centro do vão e o esforço cortante reduzido. Segundo a norma, temos que: 
L
L
L h
L
� �
�
�
�
�
�
�
0
10
'
'
onde L0 é a distância entre os eixos dos pilares de apoio, e L
' o vão livre da viga, isto é, de face a face 
dos pilares. Para a viga do exemplo temos:
L
L cm
L h cm
L cm
�
� � �
� � � �
� � � �
�
�
�
�
�
�
0 400 10 410
400 20 420
10 400 10 410
'
'
LL cm� 410
Definido L como 4,10m, podemos, então, determinar o momento fletor máximo atuante na viga:
M q Ld d=
. 2
8
M kN md = =
3 5 4 1
8
7 35
2
, . ,
, .
Conhecendo o momento fletor atuante na viga, podemos, assim, definir as tenções normais máximas 
atuantes na estrutura. Isto porque, em uma viga biapoiada submetida a uma carga vertical, há atuação 
apenas do momento fletor e da força cortante. Logo, as tensões normais provem, unicamente, do 
momento fletor. 
Para uma seção retangular, temos que as tensões de tração e compressão causadas por um momento 
fletor são iguais. Portanto, dado que as madeiras possuem resistência à compressão inferior à tração, 
avaliaremos apenas as tensões de compressão. 
sd
dM h
I
=
.
.2
 
sd MPa� ��
7 35 0 20
2 6 67 10
11 035
, . ,
. , .
,
Sendo assim, a tensão de solicitação normal é inferior à resistência da madeira e, portanto, não haverá 
ruptura da viga por flexão.
194
UNICESUMAR
sc d c df0 0≤
11 03 12 00, , !� � ok
• Verificação das tensões cisalhantes
Para a verificação das tensões de cisalhamento, precisamos determinar o esforço 
cortante máximo atuante na viga, as reações de apoio. Contudo, como vimos anterior-
mente, devido às características de transferência do esforço cortante para os apoios 
da viga, a norma permite que as forças aplicadas até 2h dos apoios sejam reduzidas. 
Dessa forma, o diagrama dos esforços cortantes fica como mostrado na Figura 6, de 
modo que a cortanteutilizada será: 
V R h
Lred d
� ��
�
�
�
�
�1 4
V kNred � �
�
�
�
�
�
� �
3 5 4 1
2
1 4 0 20
4 1
5 775, . , ,
,
,
A tensão cisalhante de solicitação é:
td
redV
b h
=
3
2
.
.
td MPa= =
3
2
5 775
10 20
0 43. ,
.
,
Isso significa que não haverá ruptura por cisalhamento já que a tensão de solicitação 
cisalhante é inferior à resistente. 
td vdf≤
0 43 1 87, , !� � ok
• Verificação do esmagamento das fibras nos apoios
Por último, avaliamos o esmagamento das fibras da madeira nos apoios. Sabendo 
que a reação de apoio da viga é:
R q Ld d=
.
2
 
R kNd = =
3 5 4 1
2
7 175, . , ,
195
UNIDADE 7
Logo, a tensão de compressão normal às fibras geradas sobre os apoios é:
sc d
d
apoio
R
A90
=
sc d MPa90
7 175
0 10 1
0 72= =,
, . ,
,
Diante disso, podemos concluir que a viga, também, não sofrerá esmagamento nos apoios e, portanto, 
está, corretamente, dimensionada para suportar o carregamento de 3,5kN/m. 
sc d c df90 90≤
0 72 3 30, , !� � ok
Em algumas situações de projeto, como é o caso das terças de cobertura, as vigas são submetidas a 
momento fletor em duas direções distintas. A este tipo de flexão chamamos flexão oblíqua. Para estes 
carregamentos, as tensões de solicitação normais equivalem ao maior das combinações a seguir:
s
s s
s ssd
Mxd M Myd
M Mxd Myd
k
k
�
�
�
�
�
�
��
.
.
 (1.21)
onde sMxd e sMyd equivalem às tensões normais geradas pelos momentos da direção x e y, respec-
tivamente; kM corresponde a um coeficiente de correção igual a 0,5 para seções retangulares, e 1,0 
para outros tipos de seções. 
E chegamos ao final de mais uma unidade, na qual demos continuidade ao conteúdo iniciado na 
Unidade 6. Nela, falamos com mais detalhes sobre o dimensionamento dos elementos que, direta ou 
indiretamente, estão submetidos a esforços de flexão. 
Primeiramente falamos sobre o dimensionamento de colunas medianamente esbeltas e esbeltas, 
que necessitam ser dimensionadas para flexo compressão mesmo quando não há momento fletor 
atuando sobre elas, na situação de projeto. Nestes casos, o projetista deve estimar um momento 
fletor que será causado por irregularidades do alinhamento das peças e pela fluência da madeira. 
Em um segundo momento, você aprendeu as três verificações necessárias para o dimensionamento 
de vigas submetidas a carregamento vertical. Diante disso, podemos dizer que o conteúdo visto 
nessa unidade auxiliará você no projeto de pórticos de madeira, vigas e pilares. Mesmo sendo 
improvável que você fará um projeto de edifício de madeira no Brasil, você usará os conceitos 
de flexão, aprendidos nesta unidade, no dimensionamento das terças de cobertura, presentes em 
toda cobertura de madeira. As vigas de pontes de madeira, comuns nas regiões rurais, também 
utilizam os conhecimentos aprendidos nesta unidade.
196
Para fechar esta unidade, você consegue resumir todos os passos para o dimensionamento de 
peças de madeira submetidas à compressão? Quanto às vigas, você consegue esquematizar as 
diferentes verificações de estado limite necessárias para este elemento estrutural? Como primeira 
atividade, peço que você retorne ao Mapa Mental da Unidade 6 e o complete com os conhecimentos 
adquiridos nesta unidade para o dimensionamento de peças medianamente esbeltas e esbeltas. 
Em seguida, utilize o espaço a seguir para fazer um Mapa Mental para o dimensionamento de vigas. 
h
0
L
L
. .D M F
. .D E C
2
max
.
8
q LM �
max
.
2
q LV �
redV
2.h
'L
dq
dq
'
' 10
oL
L L h
L
� �
�
'A
b
'y
h�
Bordo comprimido
Bordo tracionado
b
h
cy
ty
dM
90
90 mod1 mod 2 mod3
. . .
c k
c d
w
ff k k k
�
�90 dc d
apoio
R
A
� �
90 90c d c df� �
���������������������
�������
������
���	���������������
�������
�������
������
���	���������������	��
�������
������
�����������	��
���
���������������
��������	�
������	����	���
cd cdf� �
.d c
d
M y
I
� � 0
0 mod1 mod 2 mod3
. . .
c k
c d
w
ff k k k
�
�
3
.
2 .
d
d
V
b h
� �
d vdf� �
mod1 mod 2 mod3
. . .
vk
vd
w
ff k k k
�
�
Figura 7- Mapa Mental / Fonte: as autoras.
197
1. Verifique a segurança do pilar mostrado na Figura 7, sabendo que este será construído 
com dicotiledônea C60, em ambiente de classe de umidade 3. A coluna, em situação 
de projeto recebe uma força normal de cálculo de 35kN e um momento fletor de cál-
culo de 1kN.m. Para a resolução do problema, considere o carregamento como per-
manente e F F kNgk qk� �� � �y y1 2 25. .
15
 c
m
15 cm
L=
40
0 
cm
x
y
35 kN
1 .kN m
Descrição da Imagem: a figura apresenta um pilar de madeira biapoiado de comprimento igual a 400cm. O pilar apre-
senta seção quadrada 15x15cm.
Figura 8 - Viga biapoiada com carregamento uniforme – Atividade 1 / Fonte: as autoras.
198
2. Avalie a segurança do pilar engastado, apresentado na Figura 8. Para a verificação, 
considere um carregamento de cálculo para longa duração igual a 175 kN aplicada no 
centro de gravidade da seção transversal. O pilar será produzido com dicotiledônea de 
1° categoria cuja classe de resistência é C40 e será instalado em ambiente de classe 2.
25
 c
m
5 510
25
0 
cm x
y
dF
Descrição da Imagem: a figura apresenta um pilar de madeira engastado na base com comprimento igual a 250cm. A 
seção transversal do pilar é composta por duas peças de madeira 5x25cm, distanciadas 10cm uma da outra.
Figura 9 - Viga biapoiada com carregamento uniforme – Atividade 2 / Fonte: as autoras.
199
6,5 /kN m
350 cm 12 cm
h
0
L
 h cm
3. Determine a altura mínima da viga biapoiada, apresentada na Figura 9. A seguir, con-
sidere que ela será produzida com conífera C25 em ambiente de classe 1, e que a sua 
largura será de 12cm. O carregamento vertical linearmente distribuído apresenta valor 
de cálculo igual a 6,5 kN/m, e classe de longa duração. Os pilares de apoio apresentam 
seção transversal de 12x12 cm.
Descrição da Imagem: a figura apresenta uma viga biapoiada com distância entre as faces internas dos pilares igual a 
350cm, e caregamento de 6,5kN/m. Sua seção é retangular com base igual a 12cm.
Figura 10 - Viga biapoiada com carregamento uniforme – Atividade 3 / Fonte: as autoras.
200
8
Nesta unidade, falaremos sobre as ligações entre os diferentes 
elementos que constituem determinada estrutura. Você aprenderá 
o funcionamento de ligações com pinos, seus modos de ruptura e 
como determinar a carga máxima suportada por estas ligações. 
Também entenderá as diferenças entre as ligações parafusadas e 
pregadas e suas disposições construtivas. Por último, estudará o 
comportamento das ligações por entalhes, assim como verificará 
a segurança dessas ligações.
Dimensionamento de 
Estruturas de Madeira: 
Ligações
Me. Camila Barella Luiz
202
UNICESUMAR
Cada elemento estrutural possui um ou mais esforços predominantes para os quais precisamos veri-
ficar o estado limite último, isto é, se o material será capaz de resistir às máximas tensões geradas por 
esforços de tração, compressão, cortante e momento fletor atuantes. Nas unidades anteriores, você 
aprendeu a dimensionar e a verificar as estruturas de madeira submetidas a cada um desses esforços. 
Contudo você já parou para pensar em como é executada a união de vigas e pilares ou das diferentes 
barras de uma treliça? 
Você sabe classificar os diferentes elementos estruturais presentes 
nas construções? Quais são e quais os principais esforços atuantes 
nos mesmos? Aperte o play e venha saber um pouco mais no Pod-
cast da unidade. 
203
UNIDADE 8
A esta união damos o nome de ligações. Valle et al. (2012) define as ligações como todo dispositivo que 
garanta a transmissão dos esforços entre dois ou mais elementos de uma estrutura. Devido às limitações 
nas dimensões das peças de madeira, geradas pelo tamanho das árvores que lhes deram origem, ou pela 
logística de transporte das mesmas, é, muitas vezes, necessário ligar duas peças de madeira para compor um 
único elemento estrutural, o que chamamos de emendas. As emendas são ligações que unem peças cuja 
solicitação é amesma, enquanto que o termo ligação é de uso genérico, podendo se referir a uma emenda 
ou à ligação de elementos cujos esforços são distintos, exemplo: união de uma viga a um pilar. 
Pensando em tudo que você sabe sobre os esforços atuantes em cada tipo de elemento estrutural, 
como você acredita ser a transmissão destes esforços para os elementos adjacentes? Você acredita que 
o tipo de ligação interferirá nesta transmissão? Para ajudar você a responder estas perguntas, faça uma 
pesquisa rápida na internet, buscando encontrar diferentes construções em madeira, e preste atenção 
nas junções dos seus elementos. Quais as características dessas ligações? Todas possuem os mesmos 
elementos? Anote, em seu Diário de Bordo, os diferentes tipos de ligações de estruturas de madeira que 
você encontrou e os elementos que a constituem. Veja, na Figura 1 a seguir, dois exemplos diferentes. 
DIÁRIO DE BORDO
204
UNICESUMAR
O que você observou nas estruturas e que encontrou na sua pesquisa? Você, com certeza, deve ter 
observado diferentes tipos de ligações, sendo elas divididas em ligações por contato, aderência e pe-
netração. Refita sobre como você acredita ser o funcionamento de cada uma das ligações encontradas 
e, também, quais verificações você precisará fazer para garantir a segurança da ligação. 
As ligações das estruturas de madeira podem ser classificadas em três tipos: ligação por aderência, 
contato ou penetração. As primeiras, ligações por aderência, são aquelas em que as peças são unidas, 
por meio de um adesivo/cola. Os esforços são transferidos de uma peça para outra por superfícies, rela-
tivamente, grandes formadas pelas áreas das peças em contato com a cola. Este tipo de ligação somente 
pode ser utilizado em juntas longitudinais de madeira laminada colada. As ligações por penetração 
caracterizam-se pela presença de um elemento de ligação responsável pela transferência de esforços de 
uma peça para a outra. Estes elementos podem ser anéis metálicos, parafusos ou pregos. Já nas ligações 
de contato os esforços são transmitidos, por meio do contado das peças, por isso, esse tipo de ligação 
só é possível em elementos submetidos a esforços de compressão. Uma vez que a transferência dos 
esforços de cada ligação é distinta, os modos de falha e as verificações de segurança para cada tipo de 
ligação também serão. Por isso, mais adiante, falaremos, detalhadamente, sobre o funcionamento e o 
dimensionamento dos principais tipos de ligações usados para unir peças de madeira. 
De modo geral, devemos prestar atenção em dois requisitos principais: resistência e rigidez. Em 
relação à resistência, você deverá verificar se a ligação é capaz de transferir os esforços de cada peça 
sem sofrer falhas. Já a rigidez da ligação avalia o deslizamento entre as peças, o qual deve ser restringido 
Descrição da Imagem: a figura apresenta diferentes tipos de ligações de elementos de madeira; na imagem da direita, vemos uma 
ligação por contato, enquanto que, na da esquerda, os esforços são transmitidos por meio de parafusos, ligações por penetração.
Figura 1 - Ligações Estruturais
205
UNIDADE 8
para não prejudicar o funcionamento da ligação e, também, da estrutura como um 
todo. A rigidez das ligações deve estar de acordo com as adotadas no projeto para 
que não haja transferências de esforços não previstos. 
As ligações axiais por corte, do tipo apresentado na Figura 2, podem ser executa-
das com pregos ou parafusos. Para melhor compreensão do funcionamento dessas 
ligações irei me referir, genericamente, a elas como ligações por pinos metálicos, 
porém entenda que este se estende para as ligações de pregos e parafusos. 
/ 2F
/ 2F
F
F
1
t
d
b
1
�
1
�
2
�
Descrição da Imagem: a figura apresenta uma ligação por pino metálico com duplo corte. Nela, você observa 
as tensões geradas sobre o pino pela ligação de peças tracionadas.
Figura 2 - Ligação por pino / Fonte: as autoras.
Nestas ligações, a força normal F é transmitida, por meio de uma flexão simples do 
pino ligante. A flexão é causada devido ao apoio do pino nas peças de madeira, con-
forme mostrado na Figura 2. Esse apoio também provoca uma compressão localizada 
nas peças de madeira, após o pino até sua extremidade. Dessa forma, as ligações por 
pinos podem sofrer dois tipos de falha: por flexão do pino ou por embutimento da 
madeira, causado pela compressão localizada. Segundo a NBR 7190 (ABNT,1997), 
a determinação do mecanismo de falha de determinada ligação é definido pela 
comparação dos parâmetros b e blim . 
O parâmetro b depende das dimensões dos elementos da ligação, sendo deter-
minado por:
b =
t
d
 (1.1)
206
UNICESUMAR
onde d corresponde ao diâmetro do pino, e t à espessura convencional da madeira igual à menor 
espessura, t e t1 2 , de penetração do pino em cada um dos elementos da ligação. Já o parâmetro limite 
blim é determinado com relação às propriedades dos materiais da ligação, e seu cálculo é dado por:
blim , .= 1 25
f
f
yd
ed
 (1.2)
onde fed é a resistência ao embutimento da madeira, e f yd é a resistência de cálculo ao escoamento 
do pino metálico dado por f fyd yk= 1 1, . 
A NBR 7190 (ABNT,1997) determina que a resistência de embutimento da madeira, quando não 
conhecido seu valor por ensaio, pode ser estimada por:
f fe d c d0 0= (1.3)
f fe d c d e90 00 25= , . .a (1.4)
sendo ae dado pela Tabela 1. 
Diâmetro do pino (em cm) Coeficiente αe
≤ 0 62, 2,50
0,95 1,95
1,25 1,68
1,6 1,52
1,9 1,41
2,2 1,33
2,5 1,27
3,1 1,19
3,8 1,14
4,4 1,10
5,0 1,07
≥ 7 5, 1,00
Tabela 1- Valores de ae / Fonte: ABNT (1997, p. 21).
Nos casos em que b b≤ lim , o mecanismo de falha da ligação será o embutimento da madeira. Dessa 
forma, a resistência do pino a determinada seção de corte, Rvd ,1 , é dada por:
R t fvd ed, , . .1
2
0 40=
b
 (1.5)
207
UNIDADE 8
No entanto, quandob b> lim , a falha ocorrerá devido à flexão do pino. Nestes casos, a norma determina 
que a resistência do pino deve ser calculada por:
R d fvd yd,
lim
, . .1
2
0 625=
b (1.6)
A resistência total do pino será igual ao somatório das resistências de cada seção de corte do mesmo, 
e a resistência da ligação igual à soma das resistências de cada pino, desde que o número de pinos da 
ligação seja inferior a oito. Quando as ligações possuem mais de oito pinos, a resistência da ligação 
equivale à soma de oito pinos mais 2/3 da resistência dos pinos sobressalentes. 
Uma vez determinada a resistência da ligação, você deve compará-la ao esforço atuante na mesma, 
de modo que este não ultrapasse sua resistência. Caso contrário, haverá ruptura da ligação. 
Você sabe como determinar o tipo de rigidez de uma ligação? De acordo com a NBR 7190 
(ABNT, 1997), a rigidez é definida pelo número de pinos presente na ligação. As ligações cons-
truídas com até três pinos devem ser consideradas deformáveis, podendo ser empregadas 
apenas em estruturas isostáticas. Nesses casos, é necessário executar uma contraflecha igual 
a L 100 , sendo L o comprimento do vão teórico da estrutura. Para se ter ligações rígidas, é 
necessária a utilização de, pelo menos, quatro pinos na ligação e que se respeite os diâmetros 
de pré-furação. 
Agora que você já aprendeu a fazer a verificação das ligações por pinos, falaremos sobre as disposições 
construtivas dessas ligações:
• Ligações Pregadas: os pregos utilizados nas ligações são produzidos com arame de aço-doce e 
de diversos tamanhos, há, também, pregos de aço-duro e superfície helicoidal, que apresentam 
maior resistência ao arrancamento (PFEIL; PFEIL, 2003). Segundo a NBR 7190, (ABNT, 1997), 
os pregos devem ser fabricados com aço de resistência ao escoamento não inferior a 600 MPa. 
Quanto ao diâmetro dos pregos utilizados nas ligações de estruturas de madeira, estes são, em 
geral, de valor entre 18 a
1
10 de t , que equivale à menor espessura atravessada. A norma 
estabelece um diâmetro mínimo para os pregos de 3 mm e não superior a t 5 . Na Tabela 2, é 
apresentada uma relação depregos disponíveis no mercado brasileiro. 
208
UNICESUMAR
Número 
Comercial
Diâmetro d 
(mm)
Comprimento 
(mm)
Representação
17x21 3,00 48
26x84 7,60 190
26x72 7,60 165
25x72 7,00 165
24x60 6,4 138
23x60 5,90 138
22x54 5,40 124
22x48 5,40 110
22x45 5,40 103
22x42 5,40 96
21x45 4,90 103
21x36 4,90 83
20x42 4,40 96
20x36 4,40 83
20x30 4,40 69
19x36 3,90 83
19x33 3,90 76
19x30 3,90 69
19x27 3,90 62
18x30 3,40 69
18x27 3,40 62
18x24 3,40 55
17x27 3,00 62
17x24 3,00 55
Tabela 2 - Pregos com cabeça – comerciais / Fonte: adaptada de Catálogo Gerdau ([s. d.], p. 2-4).
209
UNIDADE 8
A inserção de pinos na madeira pode provocar um afastamento de suas fibras, causando o que cha-
mamos de fendilhamento. Para evitar este problema, a NBR 7190 (ABNT, 1997) estabelece que as 
ligações por pinos metálicos devem sofrer pré-furação. No caso das ligações pregadas, o diâmetro do 
furo deve ser igual a 85% do diâmetro do prego para coníferas, e igual a 98% do diâmetro para as di-
cotiledôneas. No caso exclusivo de ligações pregadas, a norma permite a não execução de pré-furação 
como prevenção ao fendilhamento, desde que sejam para estruturas provisórias de madeiras macias, 
coníferas, de massa específica inferior a 600kg/m³ e diâmetro do prego não superior a 16 da menor 
espessura das peças da ligação. Para evitar o fendilhamento, também, é necessário garantir um dis-
tanciamento mínimo entre os pinos. No caso de pregos, estas distâncias são apresentadas na Figura 3. 
F
F
1,5d
1,5d
1,5d
3d
1,5d
1,5d
3d
1,5d
6d
6d
6d
7d Peça Tracionada
Face solicitada 
para F de tração
Peça horizontal
Comprimida
Tracionada
4d Peça Comprimida
4d 
4d 
Descrição da Imagem: a figura 
apresenta as distâncias mínimas 
entre os pregos, exigidas pela nor-
ma. As ligações de peças na mesma 
direção devem apresentar distâncias 
longitudinais iguais a 6d entre os 
pregos, e igual a 7d entre o último 
prego e extreminade da peça tracio-
nada. No caso de peça comprimida, 
esta distância pode ser reduzida 
para 4d. A direção transversal à dis-
tância entre os pregos deve ser 3d, e 
entre o prego e a extremidade igual 
a 1,5d. 
Figura 3 - Distâncias mínimas de li-
gações pregadas / Fonte: Pfeil e Pfeil 
(2003, p. 62).
210
UNICESUMAR
Por fim, as ligações pregadas só são consideradas resistentes quando há uma penetração mínima igual 
a 12d ou à espessura da peça mais distante de sua cabeça. 
• Ligações Parafusadas: os parafusos podem ser de dois tipos: autoatarraxantes ou de porca e 
arruela. Em ligações de elementos estruturais, apenas é permitido o uso de parafusos de porca 
e arruela, os quais atravessam a ligação. Estes parafusos não devem apresentar resistência ao 
escoamento inferior a 240MPa. 
Descrição da Imagem: a figura 
apresenta parafusos autoatarracha-
nes sendo utilizados em madeiras. 
Estes, apesar de muito usados em 
móveis, não devem ser empregados 
em ligações estruturais.
Figura 4 - Parafuso autoatarrachantes
A instalação dos parafusos deve ser executada de modo que a folga não ultrapasse 1mm, caso contrário, 
as ligações devem ser consideradas flexíveis. As arruelas posicionadas entre a madeira e a cabeça do 
parafuso auxiliam na distribuição da força de aperto do parafuso ou do esforço de tração solicitante. 
Dessa forma, elas podem ser dimensionadas para transferir uma força arbitrária à madeira sem gerar 
tensões superiores à resistência à compressão normal às fibras. Segundo Pfeil e Pfeil (2003), as arruelas 
podem ser divididas em leves e pesadas, de acordo com o percentual da carga de tração admissível do 
parafuso que transferem à madeira. As primeiras, leves, são responsáveis por transferir de 10 a 20% 
da carga, enquanto as pesadas a transferem, integralmente.
A norma brasileira NBR 7190 (ABNT, 1997) estabelece que todas as porcas das ligações estruturais 
devem ser consideradas pesadas e devem possuir espessura mínima de 6mm para obras comuns e 9mm 
para pontes. Já para os parafusos ela define um diâmetro mínimo igual a 10mm e não superior a t 2 , 
onde t é a espessura da peça mais delgada. Para proteção das peças de madeira em relação ao fendi-
lhamento, as ligações parafusadas devem receber pré-furação não superior ao diâmetro do parafuso 
mais 0,5mm, nos casos em que não se cumpra esta especificação, as ligações devem ser consideradas 
deformáveis. A Figura 5 apresenta os espaçamentos mínimos entre parafusos exigidos pela norma.
211
UNIDADE 8
As ligações por entalhes são, facilmente, encontradas na união entre os banzos superior e inferior 
de tesouras de cobertura. Estas ligações são do tipo de contato, nas quais os esforços de uma peça 
para outra são transmitidos por apoio nas interfaces das peças. Sendo assim, estas ligações devem 
ser realizadas com precisão para que as peças estejam se tocando antes mesmo do carregamento. No 
caso de haver folga, a ligação se deformará até que haja o contato das peças. É comum a utilização 
de parafusos, pinos ou talas laterais para restringir os deslocamentos laterais das peças unidas. Estes 
elementos, apesar de presentes, não são considerados na verificação da capacidade da ligação. 
Vamos, agora, entender melhor como acontece a transmissão dos esforços entre os banzos da treliça 
apresentada na Figura 6. Perceba que a ligação apresentada possui um único dente, o qual está em 
esquadro com o eixo do banzo superior (peça inclinada). Será, justamente, por este dente, ou entalhe, 
(a)
(b)
Parafuso com folga
Parafuso ajustado
Parafuso com folga
Parafuso ajustado
Peça horizontal
Tracionada
Comprimida
Peça tracionada
Peça comprimida
1,5d
3d
1,5d
1,5d
1,5d
1,5d
3d
1,5d
7d
4d
4d
4d
4d
6d
4d
6d
4d
6d
Descrição da Imagem: a figura 
apresenta as distâncias mínimas 
entre os parafusos, exigidas pela 
norma. As ligações de peças na 
mesma direção devem apresentar 
distâncias longitudinais iguais a 6d 
entre os parafusos ajustados, ou 4d 
quando houver folgas. Para as pe-
ças tracionadas, a distância entre o 
último parafuso e a extreminade da 
peça deve ser de 7d. No caso de peça 
comprimida, esta distância pode ser 
reduzida para 4d. A direção transver-
sal, a distância entre os parafusos 
deve ser 3d e, entre o parafuso e a 
extremidade, igual a 1,5d.
Figura 5 - Distâncias mínimas de liga-
ções parafusadas / Fonte: Pfeil e Pfeil 
(2003, p. 66).
212
UNICESUMAR
que a escora inclinada transmitirá seu esforço normal para o banzo inferior, causando uma compres-
são das fibras da peça de apoio na direção q correspondente ao ângulo formado pelos banzos. Outro 
esforço gerado nessa ligação é o de corte. Originado pela componente horizontal da força normal 
Nsup do banzo superior, atua na seção que compreende o ponto inferior do dente à extremidade do 
banzo inferior. E, por último, o componente vertical de Nsup gera uma compressão normal às fibras 
da peça de apoio que podem levar ao esmagamento das mesmas. 
C
e
�
dR
su
pN
inf
N
su
pN
Descrição da Imagem: a figura re-
presenta o esquema de uma ligação 
por entalhe com um único dente. 
Nela, é possiível observar a transfe-
remcia da força de compressão do 
banzo superior para o banzo infe-
rior, por meio da área do dente de 
altura igual a e.
Figura 6 - Ligação por entalhe com um 
dente / Fonte: as autoras.
Dessa forma, você já percebeu que, para verificarmos a segurança das ligações por entralhes, preci-
samos verificar a resistência da peça em relação aos três esforços atuantes: compressão inclinada, 
compressão normal e cisalhamento. Como você já viu nas unidades anteriores, quando falamos em 
verificação de estado último, caímos na antiga fórmula da resistência dos materiais na qual as tensões 
de solicitação sofridas pelo material devem der menor ou igual à resistência do mesmo para aquele 
tipo de solicitação. Na Unidade 6, você já aprendeu a determinar as resistências de cálculo da madeira, 
então, agora, falaremos apenas da determinação das tensões de solicitação para cada um dos esforços:
• Verificação do cisalhamentodireto: a tensão de cisalhamento atuante na ligação por entalhe 
é causada pela componente horizontal da força normal atuante no banzo superior, Nsup . Logo, 
a força cortante da ligação é:
V Nsd = sup.cosq (1.7)
 A área que resiste ao cisalhamento coincide com o plano paralelo às fibras, formado pela largura 
b da seção transversal e pelo comprimento c , chamado de comprimento resistente ao corte. 
A c bci = . (1.8)
Portanto, a tensão de cisalhamento atuante na ligação é determinada por:
213
UNIDADE 8
τ
θ
sd
N
c b
= sup
.cos
.
 (1.9)
• Verificação da compressão inclinada às fibras: a tensão 
de compressão na direção inclinada às fibras é dada por:
σ θc d
c
N
A
= sup (1.10)
onde Ac corresponde à área de contato do entalhe. Para en-
talhe em esquadro com o banzo superior, a área é calculada 
por:
A b ec = .
cosq (1.11)
sendo b a largura do banzo, q a inclinação, e e a profun-
didade do entalhe. 
• Verificação da compressão normal às fibras: as tensões 
normais às fibras da madeira ocorrem nas regiões de apoio e/
ou aplicação de forças perpendiculares às fibras. No caso da 
ligação da Figura 6, essas tensões são causadas pela parcela 
vertical da força normal do banzo superior, sendo a área 
crítica de aplicação dessa carga igual à área apoiada sobre 
o apoio. Desse modo, temos que a tensão de compressão 
normal às fibras, nessa ligação, equivale a:
σ
θ
c d
apoio
N sen
b l90
= sup
.
.
 (1.12)
onde b é a largura do banzo, lapoio a largura do apoio, q a 
inclinação, e Nsup a força normal do banzo superior. 
214
UNICESUMAR
Nessa unidade, você conheceu os diferentes tipos 
de ligações possíveis para unir diferentes peças de 
madeira. Viu, com mais detalhes, o funcionamen-
to das ligações por pinos, seus diferentes modos 
de ruptura e como determinar a máxima carga 
suportada por cada pino, individualmente e pela 
ligação como um todo. Você, também, aprendeu 
as diferentes exigências da norma em relação à 
execução de ligações de pregos e de parafusos. 
Por último, estudou as ligações por entalhes, nas 
quais, os esforços de compressão são transferidos, 
por meio do contato das peças. 
Os conhecimentos adquiridos nesta unidade são 
fundamentais para o dimensionamento qualquer 
estrutura de madeira, isto porque, para o correto fun-
cionamento das estruturas, é necessário que a trans-
ferência dos esforços de um elemento para outro 
deva ser realizado, corretamente. Temos, também, 
as limitações das dimensões das peças disponíveis 
no mercado que o levarão a precisar de emendas, 
nos elementos estruturais. Logo, não há como você 
projetar uma estrutura de madeira sem avaliar as 
suas ligações e suas emendas que são, muitas vezes, 
os pontos mais frágeis das estruturas. 
215
Com tudo o que aprendeu nesta unidade, você consegue diferenciar as ligações por pinos das 
ligações por sambladuras? Sabe o que é necessário para a verificação da segurança de cada uma 
delas? No espaço a seguir, complete o Mapa Mental, anotando aquilo que você considera im-
portante sobre cada tipo de ligação, como as disposições construtivas e os tipos de verificações. 
/ 2F
/ 2F
F
1
t
d
C
e
�
dR
su
pN
inf
N
apoiol
������������
����������������
���
��������
	����
���������������������
�����������������
����
	�
����������
	�
Embutimento da
madeira
Flexão do pino
Veri�cações:
���������������������
����������	�����������
����������	��������
��� ­���
�������������������
������
Pré-furação
Distâncias
 mínimas
���������
Pré-furação
Distâncias
 mínimas
sup
.cos
.
sd
N
c b
�
� �
sup
90
.
.
c d
apoio
N sen
b l
�
� �
su
pN
216
1. Verifique a segurança da ligação por entalhe dos banzos superior e inferior de uma 
treliça, como mostra a figura. A treliça foi construída com madeira de 2° categoria, de 
classe C60, em ambiente de classe de umidade 2 e carregamento de longa duração. A 
inclinação entre os banzos equivale a 25°, e o esforço normal de cálculo N kNd1 2 30� � � .
�
su
pN
inf
N
20 cm
3 cm
12
cm
6 cm
12 cm
6 cm
11 cm
1
2N �
1 10
N �
Descrição da Imagem: a figura apresenta uma ligação por entalhe do banzo superior com o banzo inferior de uma 
tesoura. O entalhe é de um único dente de altura igual a 3cm, distante 20cm da extremidade do banzo inferior. A seção 
das peças de ligação é de 6x12 cm. 
Fonte: as autoras.
2. Dada a emenda da tesoura apresentada na Figura 8, verifique se a quantidade de pa-
rafusos indicada é suficiente para suportar o esforço solicitante de cálculo de 17,5kN. 
Para isso, considere que a tesoura é constituída por peças de 2° categoria de madeira 
conífera, classe C25, instaladas em ambiente de classe de umidade 3, submetidas a 
carregamento de longa duração. Para a emenda, serão utilizados parafusos de 12,5mm 
de diâmetro e tensão de escoamento igual a 250MPa. 
dN dN
10
2,5 cm
2,5 cm
2,5 cm
2,5 cm
7,5 cm
5 cm
105 5 5
Descrição da Imagem: a figura apresenta uma emenda parafusada de peças tracionadas. A ligação é de duplo corte com 
seis parafusos. A espessura das peças centrais é igual a 7,5cm, e do elemento de ligação de 2,5cm.
Fonte: as autoras.
217
3. Determine a força máxima suportada pela emenda pregada, apresentadas na Figura 
9. Para isso, considere que as peças são de madeira classe C30 de 2 ° categoria. A 
estrutura possui combinação de cargas correspondente à longa duração e classe de 
umidade igual a 4. A ligação foi feita com pré-furação e se usaram pregos 21x45 cuja 
tensão de escoamento equivale a 600MPa. 
40
2,0 cm
2,0 cm
2,5 cm
2,5 cm
5,0 cm
3,5 cm
4030
Descrição da Imagem: a figura apresenta uma emenda pregada de peças tracionadas. A ligação é de duplo corte com 
quatro pregos que atravessam, completamente, as três peças da emenda. A espessura das peças centrais é igual a 5,0cm, 
e do elemento de ligação de 2,5cm.
Fonte: as autoras.
218
9
Nesta unidade, você estudará todos os elementos constituintes de 
um telhado. Primeiramente, aprenderá a nomenclatura das par-
tes presentes em uma cobertura, saberá distinguir os elementos 
de fechamento dos estruturais. Referente ao dimensionamento 
das estruturas, você aprenderá os espaçamentos usuais entre os 
elementos e os tipos mais comuns de tesouras utilizadas para as 
coberturas de madeira ou aço. Também, serão descritas, aqui, as 
etapas do dimensionamento de cada uma das partes da estrutura. 
Por fim, você aprenderá sobre os estados limites de serviço e os 
deslocamentos máximos permitidos para cada um dos materiais 
empregados.
Projeto de 
Coberturas
Me. Anne Caroline Monteiro Diniz
Me Camila Barella Luiz
Todos os dias você anda pelas ruas da sua cidade, seja indo e voltando do trabalho seja indo ao super-
mercado. Neste caminho, você passa por inúmeras construções de diferentes épocas e estilos, contudo 
todas possuem determinada cobertura. Você já prestou atenção nos diferentes tipos de coberturas da 
sua região? Já se questionou sobre os elementos que os constituem? E sabe qual o material é empregado? 
As coberturas têm a função de proteger o interior das edificações das intempéries (chuva, sol, neve), 
entretanto elas, também, são influenciadas pela arquitetura da região. Há alguns anos, as coberturas de 
inúmeras águas com telhas coloniais ou de cimento eram as mais empregadas nos projetos residenciais. 
Hoje, por sua vez, vemos o crescente uso das coberturas embutidas, aquelas que ficam escondidas atrás 
das platibandas, são as queridinhas da arquitetura atual. 
Esta mudança estética fez com que as estruturas de aço, comumente empregadas nas coberturas 
industriais, ganhasse espaço dentro das construções residenciais. Com base nisso, faça uma rápida 
pesquisa sobre as coberturas de aço e madeira. Anote, em seu Diário de Bordo, as vantagens e as des-
vantagens de cada uma, suas aplicabilidades e os seus elementos.
220
UNICESUMAR
Após a sua pesquisa, o que você encontrou? Os preços variam muito de um material para outro? Os 
elementos que constituem uma cobertura de aço são diferentes dos queconstituem as madeiras? E 
quanto ao dimensionamento dessas estruturas, quais os carregamentos aplicados nas coberturas? Com 
base em todo o conhecimento que você adquiriu até aqui, reflita sobre as etapas do dimensionamento 
das peças estruturais desses projetos.
Nas estruturas convencionais, a proteção contra as intempéries bem como o conforto térmico e 
acústico dos usuários são garantidos pelo sistema de cobertura adotado. Devido ao baixo peso e à 
excelente durabilidade, as coberturas com telhados são, amplamente, aceitas em diversos tipos de 
edificações, especialmente aquelas com grandes vãos, como os galpões industriais. As coberturas 
com telhados podem ser definidas como sistemas de fechamento da estrutura, caracterizados por um 
ou mais planos inclinados (águas) de diferentes formatos, cobertos por revestimentos descontínuos 
e estanques — as telhas —, que são apoiados ou fixados sobre uma estrutura feita de material leve, 
como o aço ou a madeira. 
DIÁRIO DE BORDO
221
UNIDADE 9
Por se tratar de um material resistente, de baixo peso específico e de fácil obtenção, a madeira é, 
usualmente, utilizada em coberturas de obras convencionais da construção civil. Frequentemente, 
emprega-se a peroba ou o pinho brasileiro no madeiramento dos telhados, contudo o aumento do custo 
dessas madeiras, dada a diminuição da sua disponibilidade, tem propiciado a substituição delas pelas 
de reflorestamento, como o eucalipto. O uso deste material como elemento estrutural exige adequado 
tratamento, devido à sua vulnerabilidade a ataques de agentes biológicos como cupins.
As coberturas metálicas, por sua vez, apresentam-se como alternativas às coberturas de madeira, 
sendo, amplamente, utilizadas em edificações industriais e galpões. Além da elevada resistência me-
cânica e do baixo peso específico, o aço garante um sistema construtivo ágil e de excelente qualidade. 
Como ponto negativo, destacam-se a necessidade de tratamento e os cuidados especiais para combate 
da corrosão. 
A Figura 1 apresenta as principais partes que constituem as coberturas. Os elementos apresentados 
nessa figura podem ser divididos em dois grandes grupos: elementos de vedação e fechamento e 
elementos estruturais.
Mas, se 1 plano inclinado corresponde a 1 água, afinal, o que significa um telhado “meia água”? 
Na verdade, pensando no significado da palavra “água”, a expressão “meia água” não está 
correto. Popularmente, este termo é utilizado para se referir a um telhado que possui apenas 
1 plano inclinado, então, o correto seria telhado 1 água, em vez de “meia água”. Fica a dica!
222
UNICESUMAR
As telhas são os principais representantes do primeiro grupo. Materiais, como aço, alumínio, zinco, 
madeira, cerâmica e fibrocimento podem ser utilizados na fabricação de telhas de diferentes dimensões 
e geometrias. Alguns tipos de telhas disponíveis no mercado são apresentados na Figura 2. 
Cumieira Terças
Calha
Aprox
. 2m
Dist
ânc
ia e
ntre
 Ter
ças
Distância entre 
Vigas
Distância entre Tesouras 
ou Vigas de Terça
Dist
ânc
ia e
ntre
 Rip
as
Vão 
de Te
sour
a
5,00 
(máx
imo)
Ripa Tesoura
Banzo Superior
Parede de Apoio
Diagonal
Banzo Inferior
Montante
Tesoura
Terça
Viga
Descrição da Imagem: a figura superior mostra um cobertura, com destaque para os principais elementos estruturais. Na figura 
inferior, são destacados alguns detalhes construtivos.
Figura 1 - Principais partes de uma cobertura metálica e seus detalhes construtivos / Fonte: as autoras.
223
UNIDADE 9
Os elementos estruturais da cobertura, por sua vez, têm por função sustentar e fixar 
as telhas e transmitir os esforços solicitantes para os demais elementos estruturais 
da edificação. Dentre eles, destacam-se: as ripas, os caibros, as terças, as tesouras e os 
contraventamentos. Os três primeiros constituem as chamadas tramas cuja função é 
acomodar e sustentar as telhas, transferindo as ações provenientes do seu peso e as 
possíveis sobrecargas até a estrutura principal da cobertura (tesouras). 
As ripas são peças de pequenas dimensões, dispostas longitudinalmente ao te-
lhado, nas quais as telhas são acomodadas e fixadas. O espaçamento entre uma ripa 
e outra, chamado, comumente, de “galga”, depende do tipo e do tamanho da telha 
utilizada e equivale, em geral, a 35 cm. Transversalmente às ripas, têm-se os caibros, 
responsáveis pela sustentação destas. Usualmente, são dispostos a cada 50 cm, po-
dendo variar entre 40 e 60 cm de acordo com o tipo de telha e a resistência das ripas. 
As terças são vigas paralelas às ripas, responsáveis por suportar os caibros e 
transmitir o carregamento da cobertura até as tesouras. Em relação ao espaçamento 
entre as terças, não se indica o emprego de distâncias superiores a 1,5m para evitar 
flechas excessivas nos caibros. Nos telhados cuja cobertura é executada com telhas de 
fibrocimento, alumínio ou PVC as ripas e caibros são dispensados, e, nestes casos, o 
espaçamento entre as terças pode ser da ordem dos 2,0 metros. Este tipo de disposição 
é muito comum nos telhados de aço.  
Descrição da Imagem: na figura, são apresentadas telhas feitas com diferentes materiais, entre os quais: aço, 
fibrocimento, cerâmica e revestimento asfáltico.
Figura 2 - Diferentes tipos de telhas que podem ser utilizadas em sistemas de cobertura
224
UNICESUMAR
A tesoura é um arranjo plano de vigas de ma-
deira em forma de treliça, também, chamada de 
viga-mestra. Sua finalidade é transmitir o carre-
gamento do telhado até os pilares ou as paredes. 
Esta estrutura é constituída por banzo superior, 
banzo inferior, barras verticais e horizontais. Mais 
adiante falaremos sobre os tipos e as característi-
cas das tesouras mais utilizadas nas construções.
Por último, tem-se a estrutura de contraven-
tamento formada por barras cruzadas cuja fina-
lidade é absorver ações que atuem perpendicu-
larmente ao plano das tesouras. Em geral, estas 
ações são provenientes da ação do vento sobre a 
edificação.
225
UNIDADE 9
Além dos elementos já mencionados, as coberturas apresentam outros elementos construtivos cuja 
definição é necessária uma vez que estarão presentes no seu dia a dia como engenheiro (a). Diante 
disso, segue uma lista das terminologias mais usuais:
• Água do telhado: compreende uma área plana inclinada, responsável pelo escoamento da 
água da chuva até as calhas. O número de águas de um telhado determina a sua complexidade 
e, consequentemente, o seu custo.
• Cumeeira: é o ponto mais elevado do telhado, que faz a divisão entre duas águas.
• Espigão: pode ser entendido como uma cumeeira inclinada. Presente nas diagonais dos telha-
dos, o espigão é uma aresta saliente que separa duas águas.
• Rincão: também conhecido como água furtada, o rincão também se encontra nas diagonais 
dos telhados sendo, contudo, o oposto do espigão. O rincão é responsável por receber as vazões 
provenientes de duas águas, funcionando como uma calha.
• Oitão: corresponde à parede do telhado, acima do forro ou laje. Nos telhados de duas águas, 
são as paredes em forma triangular paralelas às tesouras.  
• Lanternim: compreende uma abertura logo abaixo da cumeeira para melhorar a iluminação 
e a ventilação da edificação. Muito empregado em edificações industriais. 
• Beiral: é o prolongamento do telhado além das paredes da 
construção. Servem como uma proteção das construções, 
evitando que as águas escorram pelas paredes externas ou 
entrem pelas portas e janelas. Eles podem ser aparentes ou 
revestidos. Os beirais sem revestimentos não são indicados 
por possibilitarem o levantamento das telhas dada a ação 
do vento.  
• Platibanda: utilizadas para esconder, ou embutir os telha-
dos, as platibandas são um prolongamento das paredes exter-
nas. Elas devem ser sempre contornadas por calhas ou rufos. 
• Calhas: são peças instaladas nos pontos mais baixos dos 
telhados, responsáveis por receber e escoar as águas que 
caem sobre o telhado. 
• Rufos: são peças responsáveis pela vedação do encontro das 
telhascom a platibanda, sua função é impedir que a água 
infiltre para dentro da construção.
E aí? Ficou curioso para ver na prática cada um destes elementos 
e descobrir, passo a passo, como é feito um sistema de cober-
tura? Acesse a realidade aumentada e veja a montagem de uma 
cobertura metálica. 
REALIDADE
AUMENTADA
Componentes da 
Cobertura - Madeiramento e Telhas 
226
UNICESUMAR
Agora que você já aprendeu sobre os elementos de uma cobertura, falaremos, mais 
especificamente, sobre o dimensionamento das suas estruturas. Independentemente 
da solução construtiva adotada (estrutura em madeira ou em aço), o dimensionamen-
to dos elementos estruturais que compõem o sistema de cobertura deverá atender 
aos requisitos dos regulamentos pertinentes. Para as estruturas de madeira, a norma 
técnica de referência é a NBR 7190 (ABNT,1997), para as estruturas feitas em aço, a 
NBR 8800 (ABNT, 2008) deve ser utilizada como guia. Ambas as normas apresentam 
equações de projeto para o cálculo dos esforços resistentes de diferentes elementos 
estruturais, além de indicações sobre o método de cálculo das ações solicitantes. Os 
valores dos carregamentos atuantes sobre a cobertura (bem como para outras edifi-
cações, sejam elas de aço sejam de madeira) podem ser encontrados na NBR 6123 
(ABNT, 1988), dedicada ao cálculo das forças, devido ao vento, bem como na norma 
técnica NBR 6120 (ABNT, 2019), regulamento que define as cargas que devem ser 
consideradas em projeto.
De posse dos procedimentos normativos de referência, o primeiro passo para a 
elaboração do projeto de coberturas é a análise dos detalhes construtivos da edifi-
cação, delineados no projeto arquitetônico. Nesta etapa, o projetista deve analisar, 
cautelosamente, as informações técnicas e os detalhes construtivos apresentados no 
projeto executivo. A partir da análise e da interpretação do projeto arquitetônico, 
escolhas importantes deverão ser feitas no projeto estrutural.
Feita a análise adequada do projeto arquitetônico, dá-se início ao projeto estru-
tural. Para o dimensionamento das coberturas, além das dimensões da edificação, é 
importante conhecer, ainda, as características do local da obra e definir, previamente, 
a geometria do telhado e o tipo de telha que será utilizado. De forma resumida, o 
dimensionamento das coberturas se dá, por meio da verificação de peças padroni-
zadas para os carregamentos e as especificações da obra. As verificações partem das 
estruturas de menor carregamento para as de maior carregamento, logo, podemos 
dividir este processo em três grandes partes: projeto das tramas, projeto das vigas 
principais e definição do sistema de contraventamento. 
Para as estruturas de madeira, emprega-se, usualmente, peças de madeira serrada 
cujas dimensões comerciais são apresentadas na Tabela 1. De acordo com Moliterno 
(2011), as peças múltiplas devem apresentar área transversal maior ou igual a 35cm² 
cada,e espessura não inferior a 2,5cm para peças principais; ou 1,8cm, no caso de 
peças secundárias. Já as peças isoladas, vigas ou barras das tesouras, devem ter es-
pessura de no mínimo 5cm e área transversal igual ou superior a 50cm². No caso das 
secundárias, estes limites caem para 2,5cm e 18cm², respectivamente. 
227
UNIDADE 9
Tipo de peça
Medida Transversal
(cm x cm)
Comprimento
(m)
Ripas
1,2x5,0
Básico: 4,40
1,5x5,0
Caibros
5,0x6,0
Médio: de 2,00 a 4,00
6,0x6,0
Vigas
6,0x12,0
Básico: 4,00
6,0x16,0
Tábuas
2,5x20,0
Básico: 4,002,5x25,0
2,5x30,0
Tabela 1 - Dimensões comerciais de madeira serrada para coberturas / Fonte: adaptada de Moliterno (2011).
Como discutimos anteriormente, as tramas são constituídas pelas ripas, pelos caibros e pelas terças e 
servem de apoio para os componentes de vedação da cobertura. Portanto, no dimensionamento desses 
elementos, deve ser considerado, além do seu peso próprio, o carregamento associado ao peso próprio 
das telhas e dos elementos neles apoiados. Destaca-se, ainda, que, no caso das terças, seu peso próprio 
deve levar em conta a contribuição do peso próprio do sistema de contenção lateral utilizado junto 
às terças. Como todos esses carregamentos devem ser estimados no início do projeto (quando ainda 
não se conhece, efetivamente, os perfis que serão utilizados na estrutura), alguns valores podem ser 
extraídos como referência da literatura. Para telhas termoacústicas do tipo sanduíche, por exemplo, 
considera-se um peso próprio da ordem de 0,12 kN/m²; para as terças de perfil laminado (com con-
tenção lateral inclusiva), carregamentos da ordem de 0,05 a 0,10 kN/m² são aceitáveis.
Os carregamentos descritos no parágrafo anterior formam o grupo de ações que atuarão de forma 
permanente na estrutura. Quanto às ações acidentais, o anexo B da NBR 8800 (ABNT, 2008) estabelece 
que, nas coberturas comuns, isentas do acúmulo de quaisquer materiais e, na ausência de especifica-
ções, deve ser prevista uma sobrecarga de 0,25 kN/m2. A norma brasileira menciona, ainda, que, para 
o dimensionamento das terças, alternativamente, pode-se considerar uma carga concentrada de 1kN 
(equivalente a um homem trabalhando com ferramentas) aplicada no meio do vão, como carrega-
mento acidental. Uma solução racional seria, então, considerar o caso mais desfavorável entre o efeito 
da sobrecarga de 0,25 kN/m² e da força concentrada de 1 kN.
Finalmente, deve ser considerado o efeito do vento sobre a cobertura. As ações devido ao vento 
sobre as estruturas de aço são denominadas cargas especiais, conforme orientação da NBR 8800. 
Outras ações, como as provenientes de pontes rolantes (estrutura comum em galpões industriais 
utilizada para içamento e movimentação de peças), também estão incluídas no grupo das cargas 
especiais. Como mencionado anteriormente, o procedimento de cálculo para obtenção das cargas 
de vento é descrito na NBR 6123.
228
UNICESUMAR
Estimados os carregamentos permanente, acidental e especial, que atuam sobre 
as terças, os valores obtidos deverão ser ponderados e combinados, conforme as 
recomendações na norma NBR 8800 (ABNT, 2008) no caso das coberturas de aço, 
ou conforme a NBR 7190 (ABNT, 1197), no caso das madeiras, para determinação 
dos esforços solicitantes de cálculo. Então, esses valores deverão ser comparados 
com os esforços resistentes de cálculo, obtidos a partir dos procedimentos de cálculo 
apresentados na Unidade 5 (Dimensionamento de estruturas de aço: Peças Fletidas) 
ou na Unidade 7 (Dimensionamento de estruturas de madeira: Peças Fletidas).
As coberturas com telhas pequenas, como as cerâmicas ou de concreto, necessi-
tam de ripas e caibros que, por simplificação e segurança, são dimensionadas como 
vigas simplesmente apoiadas. Este dimensionamento parte da adoção de dimensões 
padrões e, em seguida, uma verificação das peças adotadas para os esforços aplicados. 
É comum que, nas coberturas metálicas, sejam dispensados o uso de caibros e ripas 
partindo, diretamente, para o dimensionamento das terças. Como discutido nas 
unidades anteriores, as terças devem ser verificadas com relação a flexão obliqua, 
isto é, a flexão segundo dois eixos principais de inércia. Na Figura 3, é ilustrado o 
comportamento de uma terça de perfil laminado com seção U.
Detalhe 1
Detalhe 2
Detalhe 3
Detalhe 4
DMF
DMF
Descrição da Imagem: a figura mostra detalhes construtivos e de cálculo associados ao projeto de terças de 
aço.
Figura 3 - Projeto de terças de aço / Fonte: as autoras.
229
UNIDADE 9
Com base na Figura 3, as seguintes considerações e hipóteses de cálculo podem ser admitidas no 
projeto das terças metálicas:
• O espaçamento típico entre terças é da ordem de 2 metros.
• Para a condição de apoio simplesmente apoiada (detalhe 1 da Figura X), a faixa usual do vão 
das terças é de até L = 8 m; considerando a continuidade do apoio (detalhe 2 da Figura X), a 
faixa usual do vão aumenta variando entre: 8 m < L < 15 m.
• Se as telhas utilizadas forem leves, e a inclinação do telhado for, relativamente, pequena (menor 
que 15°), pode-sedesconsiderar a flexão oblíqua. Neste caso, assume-se que a componente qy 
na Figura X é zero e recai em um caso de flexão normal. 
• A depender do carregamento atuante sobre a estrutura e da solução construtiva adotada, a mesa 
superior do perfil trabalhará sob compressão ou sob tração, como ilustram os detalhes 3 e 4 da 
Figura X. O mesmo vale para a mesa inferior.
• No dimensionamento à flexão da mesa superior comprimida (detalhe 3 da Figura X), se as 
telhas estiverem aparafusadas a ela, admite-se contenção lateral contínua.
• No dimensionamento à flexão da mesa inferior comprimida (detalhe 4 da Figura X), deve-se 
verificar a Flambagem Lateral com Torção (FLT), admitindo o comprimento destravado Lb 
(detalhe 3 da Figura X), definido em projeto. Normalmente, assume-se Lb como sendo metade 
(para L < 5 m) ou 1/3 (para L > 5 m) do comprimento do vão da terça (L).
Uma alternativa às terças de perfil laminado são aquelas feitas com chapa de aço dobrada (ou perfil 
formado a frio). Os perfis formados a frio são fabricados com espessura muito pequena (da ordem de 
0,4mm a 8mm, usualmente). Tais perfis oferecem algumas vantagens em relação aos perfis laminados, 
entre elas: 1) mais flexibilidade de formas (geometrias não-convencionais podem ser, exclusivamente, 
fabricadas a fim de atender às demandas de projeto); 2) baixo custo de fabricação; e 3) para cargas e 
vãos médios, as estruturas com perfis formados a frio resultam mais leves e, por consequência, mais 
econômicas. Perfis formados a frio com seções U simples, U enrijecido, Z enrijecido a 90° e Z enrijecido 
a 45° são soluções bastante utilizadas.
Logo, podemos resumir o dimensionamento das tramas de cobertura nos seguintes passos:
1. Definição dos elementos constituídos da trama, segundo o tipo de cobertura executada bem 
como os espaçamentos entre os elementos.
2. Adoção de dimensões usuais para coberturas, de acordo com o material utilizado e os perfis 
disponíveis no mercado.
3. Levantamento das ações atuantes nas estruturas dos telhados, incluindo peso próprio, ações 
variáveis e vento. 
4. Verificação das ripas submetidas à flexão oblíqua. 
5. Verificação dos caibros submetidos à flexão oblíqua. 
6. Verificação das terças submetidas à flexão oblíqua.
230
UNICESUMAR
Agora que já aprendemos sobre o dimensionamento das tramas, falemos das estruturas principais, as 
vigas, ou tesouras. As vigas sustentam as terças e os elementos de vedação e transmitem os esforços 
solicitantes para os pilares. Vigas em treliça ou com alma cheia podem ser utilizadas como solução 
estrutural.
As vigas em treliça são constituídas de segmentos de barras unidas em pontos específicos (nós), 
formando uma estrutura estável de base triangular, como ilustra a Figura 4. 
(a)
(a) Viga Pratt
(c) Viga Warren (d) Viga Warren com montantes
treliças com banzo superior inclinado
Treliças com banzos paralelos
(b) Viga Howe
(b)
Na Figura 4, as barras que estão na parte superior da viga formam o banzo ou a corda superior, as 
barras, na parte inferior, formam o banzo ou corda inferior. Os banzos superior e inferior, por sua 
vez, confinam as diagonais (barras inclinadas) e os montantes (barras verticais), no interior da treliça. 
Observem ainda que as vigas treliçadas podem ter banzos superiores inclinados em relação aos infe-
riores, ou banzos inferiores e superiores paralelos. As primeiras são, comumente, chamadas “tesouras”.
Devido ao peso próprio reduzido, as vigas em treliça, seja com banzos inclinados sejam paralelos, 
são, preferencialmente, adotadas em estruturas de aço, quando comparadas às vigas de alma cheia. 
Perfis laminados, soldados ou formados a frio podem ser utilizados na fabricação das vigas em treliça, 
sendo as seções apresentadas na Figura 5 as mais utilizadas. 
Descrição da Imagem: na figura, há exemplos de vigas treliças, com diferentes características geométricas.
Figura 4 - Tipos de vigas treliçadas / Fonte: as autoras.
231
UNIDADE 9
As vigas treliçadas com menor peso específico, como aquelas utilizadas em coberturas, são formadas, 
comumente, por cantoneiras ligadas por solda ou parafuso. Os perfis com seção I ou com seções 
fechadas (tubular ou circular) têm estruturas mais pesadas e são, geralmente, utilizadas em sistemas 
estruturais treliçados de pontes. Para as treliças leves de dimensões intermediárias, o uso de perfis 
compostos, como a dupla cantoneira, é uma solução interessante.
Note que, em função da disposição dos montantes e das diagonais, as vigas treliçadas apresentadas 
na Figura 5, recebem nomes especiais. As treliças do tipo Warren, Pratt e Howe são as mais utilizadas 
nas estruturas civis, diferenciando-se entre si, sobretudo, quanto ao desempenho estrutural. Quando 
submetida a carregamentos gravitacionais, a treliça Howe apresenta diagonais comprimidas e mon-
tantes tracionados; na treliça do tipo Pratt, as diagonais são tracionadas e os montantes comprimidos; 
enquanto na treliça do tipo Warren, parte das diagonais é comprimida, e parte é tracionada. Como as 
diagonais são, normalmente, as barras de maior comprimento da treliça e, portanto, as mais suscetíveis 
ao fenômeno de flambagem, por vezes as treliças do tipo Pratt são escolhidas nas estruturas em aço.
Quanto ao cálculo das vigas treliçadas, o primeiro passado consiste no pré-dimensionamento das 
barras, isto é, na escolha das dimensões das seções transversais das barras que comporão a treliça. Essa 
escolha pode ser feita com base em critérios de esbeltez da seguinte forma:
• Para as barras que constituem os banzos da viga, a esbeltez máxima deve se manter entre 80 e 140.
• Para as diagonais e montantes da viga, o intervalo de esbeltez máxima recomendado é 100 a 160.
Os intervalos de esbeltez apresentados consistem em valores usuais de projeto. Para a solução com 
dupla cantoneira, as esbeltezes indicadas configuram perfis com aba de 64mm e 102mm, para os 
banzos; e 44mm e 76mm, para as diagonais e montante. Quanto à espessura das cantoneiras, indica-se 
y y
y
yyy y
y y
y
y
yy
y
y
yy
y
x x x x x x x x x x
xxxxxxxx
(a) (b) (c) (d) (e)
(i)(h)(g)(f )
Descrição da Imagem: na figura, há exemplos de vigas treliças com diferentes características geométricas.
Figura 5 - Tipos de vigas treliçadas / Fonte: adaptada de Bellei (2000).
232
UNICESUMAR
utilizar a primeira ou a segunda série de perfis listados na tabela do fabricante, associada às dimensões 
citadas anteriormente.
As seções definidas na etapa de pré-dimensionamento podem, então, ser utilizadas como ponto 
de partida para a verificação da capacidade resistente (ELU) da viga treliça. A análise do ELU é feita, 
individualmente, para cada barra que compõe a viga. A verificação das barras tracionadas e compri-
midas, conforme a norma técnica NBR 8800, envolve os procedimentos apresentados anteriormente, 
nas Unidades 1 e 3, respectivamente. Além da análise da capacidade resistente das barras, o projeto 
estrutural das vigas treliçadas envolve o dimensionamento das ligações entre as barras, as quais podem 
ser feitas, por meio de solda ou parafuso. Quando as ligações são feitas por meio de parafusos, é comum 
que os nós das treliças sejam constituídos por chapas Gusset (Figura 6a) nas quais se prendem as barras. 
Nas vigas treliçadas com ligações soldadas (Figura 6b), as chapas Gusset podem ser utilizadas, ou não. 
Em geral, para treliças de pequeno porte, como as utilizadas em coberturas, as ligações com solda são 
feitas em fábrica, e as aparafusadas, em campo. Quanto ao dimensionamento das ligações em estru-
turas de aço, seja ela parafusada seja com solda, o método de cálculo previsto pela NBR 8800 segue o 
procedimento apresentado anteriormente, na Unidade 2.
A Figura 6 mostra uma solução estrutural alternativa às vigas treliçadas, com vigas de aço de alma 
cheia. Devido ao maior peso e ao consumo de material, normalmente, esta solução não oferece gran-
des vantagens em estruturas de coberturas se comparada às treliças. As vigas de alma cheia podem se 
tornaruma solução interessante no caso do reaproveitamento de perfis utilizados em outras partes da 
estrutura, como nos pilares, por exemplo.
Descrição da Imagem: nas figuras, são apresentadas imagens de vigas treliçadas em aço cujas ligações são, respectivamente, feitas 
com parafusos e solda.
Figura 6 - Treliças de aço com ligações: a) parafusadas; e b) soldadas 
A B
233
UNIDADE 9
Além da escolha e do pré-dimensionamento das terças e das vigas principais, é importante que 
sistemas de contraventamento sejam previstos na cobertura. Tais sistemas são constituídos por barras, 
normalmente, na forma de X, utilizados, sobretudo, para fornecer estabilidade estrutural à cobertura, 
diminuir o comprimento de flambagem das barras e distribuir os esforços, devido ao vento. Para tanto, 
os contraventamentos devem estar, devidamente, posicionados entre as vigas de cobertura (treliças de 
banzos paralelos ou tesouras), ligando os banzos superiores e inferiores.
A Figura 7 mostra um exemplo de sistema de contraventamento horizontal utilizado em um sistema 
de cobertura de galpão metálico.
Descrição da Imagem: a figura 
mostra, em destaque, o contraven-
tamento em X, na cobertura de um 
galpão metálico.
Figura 7 - Contraventamento em X na 
cobertura de um galpão metálico 
Fonte: as autoras.
Assim como as barras que compõem a treliça da viga principal, os contraventamentos podem trabalhar 
sob esforços axiais de tração ou compressão. Nas obras de médio porte, entretanto, é recomendável que 
esses elementos estruturais sejam dimensionados somente a esforços de tração. Normalmente, barras 
de ferro redondo cujo diâmetro mínimo recomendado para os galpões de porte médio é de 12,5mm, 
são utilizados nestes sistemas. Quanto à disposição das barras no contravento da estrutura, existem 
diversas formas de propô-la. Em geral, mantêm-se o padrão para o plano dos banzos superiores e 
inferiores (NETO, 2007).
Nas unidades destinadas ao estudo das peças de aço e madeira comprimidas, tracionadas e fletidas, 
nosso foco esteve em apresentar os procedimentos de cálculo associados ao Estado Limite Último 
(ELU), isto é, à condição de segurança estrutural dos elementos relativa ao esgotamento da capaci-
dade resistente das peças. Desse modo, verificados os limites de ELU estabelecidos pelas respectivas 
normas, as peças de aço e madeira podem ser consideradas seguras quanto aos seus modos típicos de 
falha estrutural. 
234
UNICESUMAR
Para o dimensionamento efetivo das estruturas de aço e madeira, além da análise dos esforços resistentes 
de cálculo no ELU, é necessário garantir que as condições adequadas de uso (durabilidade, aparência, 
conforto do usuário e funcionada) sejam, também, atendidas. Ao conjunto de verificações associados 
ao bom desempenho das estruturas dá-se o nome de Estados Limites de Serviço (ELS). A verificação 
dos ELS estabelecidos pelas respectivas normas garante, portanto, que os elementos estruturais de aço 
e de madeira não apresentarão deslocamentos excessivos, vibrações desproporcionais e danos locais 
que comprometerão o seu funcionamento.
A Tabela 2 apresenta os deslocamentos máximos para o ELS de diferentes tipos de estruturas me-
tálicas, definidos pela NBR ABNT 8800, incluindo as terças e as vigas de cobertura, tratadas ao longo 
desta unidade. Os valores estabelecidos são definidos em função do parâmetro L, definido como sendo 
o vão teórico entre apoios para as vigas bi-apoiadas. Já os limites de deslocamentos das estruturas de 
madeira segundo a NBR ABNT 7190 são apresentados na Tabela 3.
O AcadFrame é uma ferramenta computacional de análise estrutural, 
gratuita, dedicada ao projeto de pórticos e treliças planas. Em projetos 
de sistemas estruturais de coberturas, este software pode ser utilizado 
para análises preliminares, por meio da modelagem de sistemas 2D 
e verificação dos esforços solicitantes nos elementos. Mais detalhes 
sobre as ferramentas disponíveis no programa, bem como o link para 
o download gratuito podem ser encontrados acessando o QR-code a seguir.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
235
UNIDADE 9
Elemento Estrutural Esforço/ação Ymáx
 (1)
Travessa de fechamento (ou 
tapamento)
Flexão no plano do fechamento L/180
Flexão no plano perpendicular ao fechamento, devido 
ao vento - valor raro L/120
Terça de cobertura em geral
Combinação rara de serviço para cargas de gravidade + 
sobrepressão de vento L/180
Sucção de vento - valor raro L/120
Viga de cobertura
Em geral Combinação quase-permanente
L/250
Telhado de 
pouca declivi-
dade(2)
Combinação frequente
Com forros 
frágeis
Combinação rara de ações posterio-
res à colocação do forro
Vigas de piso
Em geral Combinação quase-permanente L/350
Com paredes 
sobre ou sob a 
viga
Combinação rara de ações posterio-
res à colocação da parede
L/350 E 
15 mm
Edifícios de n pavimentos - deslocamento horizontal do topo em relação à base
n = 1; 
H/300
n > 1; 
H/400
(1) L é o vão teórico entre apoios para vigas bi-apoiadas: L é o dobro do vão em balanço: H é a altura total do pilar.
(2) Para evitar o empoçamento em coberturas com inclinação inferior a 5%.
Tabela 2 - Deslocamentos Máximos para Estados Limites de Serviço, conforme NBR 8800
Fonte: adaptada de Pfeil e Pfeil (2003). 
Tipo de Construção Ação a considerar Ymáx
Construções Correntes
Permanentes + variáveis 
em combinação de longa 
duração
Em um vão L entre apoios L
200
Em balanço de vão Lb
Lb
100
Construções com ma-
teriais frágeis não-es-
truturais
Permanentes + variáveis 
em combinação de média 
ou curta duração
Em um vão L entre apoios
L
350
Em balanço de vão Lb
Lb
175
Variáveis em combinação 
de média ou curta duração
Em um vão L entre apoios
L mm
300
15≤
Em balanço de vão Lb
L mmb
150
15≤
Tabela 3 - Deslocamentos Máximos para Estados Limites de Serviço, conforme NBR 7190
Fonte: Pfeil e Pfeil (2003, p. 48).
236
UNICESUMAR
É importante ressaltar que, para o dimensionamento dos estados limites de serviço, é necessário veri-
ficar o comportamento destes elementos sob ação de carregamentos “em serviço”. Portanto, uma nova 
combinação de esforços solicitantes (diferente daquela utilizada nas verificações do ELU), associada 
à utilização da estrutura, deve ser considerada. Como mostra a Tabela 2, a norma brasileira destinada 
às estruturas de aço define três combinações de esforços (quase-permanente, frequente e rara), a par-
tir das quais, os deslocamentos máximos dos diferentes elementos estruturais devem ser avaliados. 
Detalhes acerca do cálculo dos carregamentos no ELS em terças de aço podem ser encontradas no 
tópico 4.7.73 da NBR 8800 (ABNT, 2008).
Quanto às verificações de estado de serviço, nas estruturas de madeira, a NBR 7190 (ABNT, 1997) 
estabelece quatro tipos de combinações, sendo elas: longa duração, média duração, curta duração e 
instantânea. Nestas combinações, para avaliação do ELS, o coeficiente de ponderação das ações deve 
ser adotado como 1,0. 
Nesta disciplina, aprendemos os principais aspectos relacionados 
ao projeto e ao dimensionamento de estruturas de aço e madeira, 
materiais consagrados na construção civil. Assim como a madeira 
e o aço, os diferentes tipos de materiais utilizados na engenharia 
apresentam particularidades que serão consideradas vantagens ou 
desvantagens a depender das características do projeto em ques-
tão. Nas estruturas de coberturas com grandes vãos e baixo peso 
específico, o aço se mostra mais vantajoso que a madeira. Contu-
do, se a edificação for construída em locais onde a estrutura será 
exposta a ambientes corrosivos (como as regiões costeiras), a es-
trutura em aço exigirá uma série de cuidados especiais da etapa de 
projeto, além de manutenções constantes, durante a vida útil. Uma 
alternativa interessante nestes casos são os perfis feitos de Polímero 
Reforçado com Fibra de Vidro (PRFV). Os perfis em PRFV possuem re-
sistência igual ou maior que a do aço e não apresentam problemas 
de corrosão. Para conhecer um pouco mais a respeito deste novomaterial, escute o nosso Podcast.
Chegamos ao fim da nossa última unidade, com a qual você aprendeu um pouco mais sobre os 
projetos de cobertura. Agora, você, futuro(a) engenheiro(a), consegue identificar e nomear as partes 
constituintes de um telhado, sabendo diferenciar quais possuem função de fechamento e vedação e 
quais são estruturais. 
Nesta unidade, mostramos que todo o conteúdo estudado nas unidades anteriores deve ser apli-
cado em um projeto de cobertura. Dessa forma, o conhecimento adquirido, ao longo desta matéria, 
será fundamental para você, engenheiro(a), pois todas as obras necessitam de projetos de cobertura. 
237
UNIDADE 9
Para avaliar o que você aprendeu até aqui, complete o Mapa Mental de projetos de cobertura. 
Se você preferir, anote as equações de verificações para cada elemento estrutural do telhado, 
como visto nos capítulos anteriores.
Qual sua função?
Quais os tipos?
Quais os tipos?
TESOURAS
CONTRAVENTAMENTO
1. De�nição dos elementos constituídos
da trama, segundo o tipo de cobertura
executada, bem como os espaçamentos
entre os elementos;
2. Adoção de dimensões usuais para cobertu-
ras, de acordo com o material utilizado e os 
per�s disponíveis no mercado;
3. Levantamento das acções atuantes nas 
estruturas dos telhados, incluindo peso 
próprio, ações variáveis e vento;
4. Veri�cação das ripas submetidas a �exão 
oblíqua;
5. Veri�cação dos caibros submetidos a �exão;
6. Veri�cação das terças submetidas a �exão 
oblíqua.
espaçamento:
����� - variando conforme telha
espaçamento:
����� - variando conforme telha e resistência das ripas
FECHAMENTO E VEDAÇÃO
ESTRUTURA 
PROJETO DE
COBERTURAS
DIMENSIONAMENTO
• Tramas
• Ripas
• Contraventamento• Tesouras
• Caibros
• Terças
espaçamento:
at������ - para tramas com ripas e caibros ������ para 
coberturas com telhas maiores-tipo �brocimento/
alumínio que não utilizam
238
Imagine que, no seu estágio, o engenheiro estrutural lhe convidou para analisar o pro-
jeto estrutural de um galpão. Com as pranchas dos desenhos técnicos em mãos, vocês 
começam a conversar sobre as soluções estruturais adotadas e surgem as seguintes 
discussões:
1. Ao analisar o projeto estrutural de um galpão, você percebeu que, além dos elementos 
estruturais básicos, como os pilares e as vigas, foram adicionadas barras inclinadas 
formando um grande X tanto na cobertura, quanto nas fachadas. Quando o engenhei-
ro responsável lhe explicou que se tratava de sistemas de contraventamento, você se 
lembrou que contraventar a estrutura é fundamental para:
a) Melhorar o fluxo de vento na estrutura.
b) Promover a estabilização da estrutura.
c) Aumentar o comprimento de efetivo de flambagem das barras que compõem a es-
trutura.
d) Promover uma barreira natural para a fluxo de vento na estrutura.
e) Apenas fins estéticos.
2. Para avaliar o seu entendimento técnico sobre os conceitos teóricos por trás do dimen-
sionamento dos elementos estruturais que compõem o galpão, o engenheiro menciona 
que o cálculo das terças requer atenção especial, já que elas estão são submetidas a 
um carregamento inclinado em relação aos seus eixos principais de inércia. Entenden-
do onde ele queria chegar, você, prontamente, responde que, neste caso, se deve ter 
atenção, pois as terças são submetidas a esforços de: 
a) Tração.
b) Compressão.
c) Flexão reta.
d) Flexão oblíqua.
e) Torção.
239
3. Em seguida, vocês começaram a conversar sobre a solução estrutural utilizada na 
viga principal. Complete o seguinte discurso utilizado pelo engenheiro para justificar a 
solução adotada: “As vigas principais de coberturas podem ser __________ ou _________. 
As primeiras são mais utilizadas e se destacam pela ____________”. 
a) Treliçadas; de alma cheia; leveza. 
b) Simples; compostas; baixo custo.
c) De alma cheia; de alma vazada; elevada resistência mecânica. 
d) Compostas; simples; baixo custo.
e) De alma cheia; treliçadas; leveza. 
4. Após avaliarem os desenhos técnicos, o engenheiro pede que você pegue o memorial 
de cálculo, exame a seção que trata dos Estados Limites de Serviço (ELS) e explique 
a importância daquele tópico no projeto como um todo. De imediato, você diz que a 
análise dos ELS é fundamental para assegurar um empreendimento:
a) Funcional.
b) Confortável.
c) Durável.
d) Com boa aparência.
e) Todas as alternativas anteriores estão corretas.
240
Unidade 1 
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MOLITERNO, A. Caderno de projetos de telhados em Estruturas de Madeira. 4. ed. São Paulo: 
Editora Blucher, 2011.
NETO, A. C. N. Estruturas Metálicas II. Notas de aulas. Campinas: PUC, 2007.
PFEIL, W.; PFEIL, M. Estruturas de Madeira. 6. ed. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2003.
243
https://www2.gerdau.com/sites/gln_gerdau/files/downloadable_files/catalogo-pregos.pdf
https://www2.gerdau.com/sites/gln_gerdau/files/downloadable_files/catalogo-pregos.pdf
Unidade 1
1. D.
I) Verdadeira: a isotropia é como chamamos um material que não apresenta mudança nas suas 
propriedades de acordo com a direção de análise. 
II) Falsa: a propriedade que faz dos aços um bom material estrutural, permitindo com que este 
sofra grandes deformações antes de chegar à ruptura chama-se Ductibilidade.
III) Verdadeira: a tensão de escoamento é uma característica muito importante dos aços, a qual 
indica o início do regime plástico do material e se caracteriza por uma linha horizontal no 
diagrama tensão – deformação.
2. C.
a) Falsa. As chapas laminadas são peças planas cuja espessura é muito inferior às outras duas di-
mensões, são divididas em chapas finas de espessura inferior a 5mm e grossas superiores a 5mm. 
b) Falsa. Os perfis dobrados ou moldados a frio produzidos por meio do dobramento de chapas 
laminadas, possuem como uma de suas vantagens a diversificação nas dimensões destes perfis.
c) Verdadeira. Os chamados vergalhões são barras de aço de seção circular utilizadas na produção 
do concreto armado. Essas barras trabalham, de forma passiva, dentro do concreto. 
d) Falsa. Os perfis laminados são fabricados nas siderúrgicas, em seções transversais, com forma de 
I, H, U e L. Devido à padronização da sua produção, estes perfis possuem dimensões limitadas.
e) Falsa. Uma cordoalha de aço é um conjunto de fios emaranhados que resultam em um material 
mais leve e flexível que as barras de aço. Sua resistência é altamente superior às barras, sendo 
empregadas como armadura ativa. 
3. A. Verdadeira: As madeiras são materiais anisotrópicos cuja resistência se modifica com a di-
reção das fibras do material. Para fins de projeto, a resistência é diferenciada em resistência 
longitudinal e resistência transversal.
 II) Falsa. A resistência da madeira varia com o teor de umidade presente em suas fibras. A madeira 
verde cujo teor de umidade está acima de 30% possui menor resistência que a madeira seca. 
III- Falsa. As madeiras são divididas em dois grandes grupos: as de madeira mole, chamadas 
de coníferas, e as de madeira dura, as quais possuem mais resistência e são conhecidas como 
dicotiledôneas.
Unidade 2 
1. Uma peça de aço com furos solicitada à tração apresentará falha por escoamento da seção bruta 
ou ruptura da seção líquida. Portanto, estes serão os Estados Limites Últimos foco da sua análise.
2. C. A área bruta e a espessura necessárias podem ser obtidas da seguinte forma:
A N
f
t
g
Sd
y a
= = =
= =
g 1
150
25 1 1
6 60
6 60
15
0 44
,
,
, ,
cm
cm ou 4,4 mm
2
244
3. B. Primeiramente, calcularemos a área líquida geométrica da seção:
A A d t
d
A
A
n g f
f
g
n
� �
� � � �
�
� � �
2
19 1 5 2 22 5
21 8
21 8 2 2 25
mm mm mm mm
cm2
, ,
,
, , �� �0 56 19 28, , cm2
Para obtermos a área líquida efetiva, basta multiplicar An pelo valor Ct fornecido, assim:
A C A
A
e t n
e
� �
� � �0 9 19 28 17 35, , ,cm cm2 2
Agora, analisaremos a força máxima resistente para que a falha ocorra por escoamento da 
seção bruta:
N
f A
Rd
y g
a
� �
�
�
g 1
25 21 8
1 1
495 5,
,
, kN
O mesmo procedimento é feito considerando a falha caso ocorra por ruptura da seção líquida:
N f ARd u e
a
� �
�
�
g 2
40 17 35
1 35
514 1,
,
, kN
Logo, a força máxima resistida pela ligação é 495,5 kN. Como a força solicitante é inferior a este 
valor, a ligação está segura.
4. A. Para calcularmos o valor da área efetiva, precisamos, inicialmente, conhecer o diâmetro dos 
furos e a área bruta da seção:
d f � � � �19 1 5 2 22 5mm mm mm mm, ,
Ag � � �30 2 60cm
2
A área líquida desejada é aquela que assume o menor valor entre aquelas obtidas nos diferen-
tes percursos de falha possíveis. Desse modo, devemos pesquisar o valor de An para os se-
guintes percursos: 
1 1 1 60 2 2 25 2 51
2 2 2 60 4 2 25 2 2 7 5
4 5
2
� � � � � � �
� � � � � � � �
�
�
A
A
n
n
( , )
( ,
,
cm2
22 53 25
3 3 3 60 5 2 25 2 4 7 5
4 5
2 60
2
) ,
( ,
,
)
�
� � � � � � � �
�
� �
cm
cm
2
2An
245
Unidade 3 
1. Inicialmente, precisamos verificar quais esforços devem ser levados em consideração na análise 
da ligação. A conexão em questão trata-se de um caso típico de ligação parafusada submetida 
apenas a esforço cortante, sendo, portanto, necessário verificar a resistência ao corte, à pres-
são de contato na parede dos furos e ao cisalhamento de bloco. Desse modo, a resistência de 
cálculo será o menor dentre os valores:
• Resistência ao cisalhamento
R
A f
kNdv
v g u
a
� �
�
��
�
��
�
�
���
� � �� �
φ
γ
π
2
2
0 4 2 2
4
41 5
1 35
46 7 6 2
, , ,
,
,
Observe que 46,7 kN é o valor da resistência de um parafuso com um plano de corte. Como a 
ligação é composta por 6 parafusos com 2 planos de corte cada, é necessário multiplicar 46,7 
kN por 12. Assim, temos que:
R kNdv = 560 91,
O valor da forca solicitante de cálculo (430 kN) é menor que a forca resistente, portanto, a ligação 
atende a este critério.
• Pressão de apoio e rasgamento das chapas
Para os furos externos, temos que:
R l tf kdc c c ua
�
� � � � � �
�
φ
γ 2
1 2 5 1 0 5 2 2 0 15 1 27 40
1 35
177 23, ( , , ( , , )) ,
,
, NN
Observe que, na expressão apresentada, calculamos lc (distância livre, na direção da força, da 
borda do furo até a extremidade livre da chapa), subtraindo da distância livre 51 mm, metade 
do diâmetro do furo (22 mm + folga de 1,5 mm). 
Lembre-se, ainda, de que precisamos verificar se o valor da resistência encontrada atende ao 
limite máximo fixado pela NBR 8800 (ABNT, 2008):
R d tf kNdc máx b u
a
,
, , , ,
,
,� � � � � �2 4 2 4 2 2 1 27 40
1 35
198 68
2g
Como R Rdc dc máx≤ , , para os furos externos, a resistência associada à pressão de apoio e ao 
rasgamento das chapas é 177,23 kN.
O mesmo procedimento deve ser realizado para os furos internos:
R l tf kdc c c u
a
�
� � � � � �
�
φ
γ 2
1 2 7 0 0 5 2 2 0 15 1 27 40
1 35
209 97, ( , , ( , , )) ,
,
, NN
246
R d tf kNdc máx b u
a
,
, , , ,
,
,� � � � � �2 4 2 4 2 2 1 27 40
1 35
198 68
2g
Como R Rdc dc máx> , , para os parafusos internos, a resistência associada à pressão de apoio e 
ao rasgamento das chapas é 198,68 kN.
Como a ligação é composta por 6 parafusos, sendo 3 internos e 3 externos, temos que a resis-
tência da ligação é: 
R kNdc � � � � �177 23 3 198 68 3 1127, ,
Novamente, verifica-se que o valor da força solicitante de cálculo (430kN) é menor que a força 
resistente, logo, a ligação atende a este critério.
• Ruptura por cisalhamento do bloco 
Para a análise da ruptura por cisalhamento de bloco, precisamos verificar se a força solicitante 
não excede o valor cálculo, segundo a seguinte expressão:
R f A C f A f A C f Ad
a
u nv ts u nt
a
y gv ts u nt� �� � � �� �1 0 6 1 0 6
2 2g g
, ,
Onde
d mm
A mm mm t n c
furo
gv
� � � �
� � � � � � � �
22 1 5 2 25 5
70 51 12 1 1 27 2 30 7
, ,
( ) , , , mm
A mm mm d t n cnv furo
2
70 51 1 5 12 1 1 5 2 55 1 27 2 21� � � � � � � �� �� � �( , ) , , , , mm
A mm mm d t n cmnt furo
2
264 64 2 12 8 2 2 55 1 27 9 7� � � � � � � � �� �� �( ) , , , ,
Para Cts igual a 1:
R
R
d
d
� � � � � �� � � � � � � �� �1
1 35
0 6 40 21 1 40 9 7 1
1 35
0 6 25 30 7 1 40 9 7
,
, ,
,
, , ,
�� �
�
659 628
628
kN kN
R kNd
Mais uma vez verificamos que o valor da força solicitante de cálculo (430kN) é inferior à força 
resistente, de modo que a ligação atende a este critério.
Destaca-se que, para uma análise completa da ligação, o escoamento da seção bruta e a ruptura 
da seção efetiva das chapas submetidas à tração deveriam ser verificados, conforme o proce-
dimento já estudado na Unidade 2.
247
2. O metal de solda, na solda de filete, poderá suportar uma força solicitante de cálculo de até:
R
A f
kNw dv
w
w
w
,
, , , ,
,
� �
� � �� ��
�
0 6 0 6 2 10 0 5 41 5
1 35
129
2g
3. A solda de entalhe com penetração total poderá suportar uma força solicitante de cálculo de até:
R
A f
kNd
y
a
MB� �
� �
�
g
10 1 2 25
1 10
272,
,
Unidade 4 
1. A eficiência dos perfis metálicos pode ser avaliada, por meio do próprio fator χ , que relacio-
na a força máxima de flambagem com a resistência do material ao escoamento. Quando χ é 
próximo a 1, isto significa que grande parte da capacidade resistente do material está sendo, 
efetivamente, utilizada, o que é, economicamente, vantajoso. A tabela a seguir apresenta os 
valores de χ para os perfis apresentados na Figura 25, além de outros parâmetros que foram 
utilizados para o seu cálculo.
Perfil 1 2 3 4 5 6 7
Imín (cm
4) 1800,13 1497,98 117,87 123,93 2,77 668,34 249,7
Ag (cm
2) 38,34 38,48 38,49 38,56 38,4 38,62 38,81
rmín (cm) 6,85 6,24 1,75 1,79 0,27 4,16 2,54
KLb 51,08 56,1 200 195,23 1303,15 84,13 137,98
Q 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 0,75 1,0
Ne (kN) 2901,42 2414,42 189,98 199,75 4,46 1077,22 402,46
λ0 0,57 0,63 2,25 2,20 14,66 0,82 1,55
χ 0,87 0,85 0,17 0,18 0,0041 0,75 0,36
Os perfis 1 e 2 são os de maior eficiência (χ próximo a 1). Note que esses perfis possuem um raio 
de giração, consideravelmente, maior que o da maioria dos outros perfis. 
2. A norma brasileira NBR 8800 (ABNT, 2008) estabelece como limite índice de esbeltez igual a 200. 
O perfil 5 não atende a este requisito.
3. Para os perfis 3, 4 e 5, não se aplica o conceito de flambagem local, pois são seções maciças. O 
perfil 6, certamente, apresentará problemas de flambagem local (Q < 1).
4. Vamos avaliar a resistência de cálculo à compressão, considerando a presença ou não da con-
tenção lateral:
• Perfil com contenção lateral
O perfil da Figura 26a está contido, lateralmente, pelas paredes de alvenaria ao longo de todo 
o seu comprimento. Portanto, a flambagem só poderá ocorrer em torno do eixo x-x. Vamos 
verificar, inicialmente, se o comprimento de flambagem em torno do eixo x atende aos requi-
sitos normativos:
248
KL
r
b x
x
,
,
,� � � � �200 1 300
6 85
43 8 200
Como a esbeltez em torno do eixo x está abaixo do valor máximo (200) definido pela norma, 
podemos seguir com o cálculo da resistência. Para tanto, devemos calcular os parâmetros Q e 
χ associados à flambagem local e global, respectivamente. 
O perfil I apresenta tanto elemento AA (alma), quanto AL (mesas). Vamos determinar Qa para 
a alma (Grupo 2):
l
l
l l
e
w
e
y
e
b
t
h
t
E
f
� � � �
� � �
�
0 139
8 1
17 2
1 49 1 49 20000
25
42 14
,
,
, , ,,lim
ee aQ,lim ,� � 1 0
Para as mesas (Grupo 4), temos Qs:
l
l
e
f
f
e
y
b
t
b
t
E
f
� � �
�
�
� � �
2 154
2 11 6
6 64
0 56 0 56 20000
25
15 84
,
,
, , ,,lim
ll le e sQ� � �,lim ,1 0
Portanto, Q é dado por:
Q Q Qa s� � � � �1 0 1 0 1 0, , , 
Podemos partir, agora, para o cálculo de χ:
N EI
K L
kN
QA f
N
ex
x
x x
g y
e
�
� �
�
� �
�� �
�
�
π π
λ
2
2
2
2
0
20000 2244
1 300
4921 64,
xx
�
� �
�
� � � � �
1 47 8 25
4921 64
0 49
1 5 0 658 0 658 0 900
0 490
2 2
,
,
,
, , , ,,λ χ λ
Neste caso, a força crítica de flambagem à torção Nex não precisa ser calculada, pois a contenção 
lateral, também, restringe a instabilidade por torção.
Conhecidos os parâmetros Q e χ, podemos determinar a resistência à compressão de cálculo 
da seguinte forma:
N
QA f
kNc Rd
g y
a
,
, , ,
,
,� � � � � �
χ
γ 1
0 90 1 0 47 8 25
1 1
977 73
249
• Perfil sem contenção lateral 
Verificaremos, inicialmente, se o comprimento de flambagem em torno do eixo y atende aos 
requisitos normativos:
 
KL
r
b y
y
,
,
,� � � � �200 1 300
3 84
78 125 200
Como a esbeltez, segundo o eixo de flambagem y, está em conformidade à exigência normativa, 
podemos seguir com a análise.
O valor de Q se mantém o mesmo, calculado anteriormente, já χ deve ser recalculado para a 
nova condição de análise. 
Sem a contenção lateral, a coluna poderá flambar em torno do eixo x, y ou z. A força crítica 
de flambagem Ne é o menor entre os três valores Nex, Ney e Nez. Como já calculamos Nex , basta 
obtermos Ney e Nez:
N
EI
K L
kNey
y
y y
�
� �
�
� �
�� �
�
p p
2
2
2
2
20000 707
1 300
1551 03,
N
r
GJ EC
K L
ez
w
z z
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �1 1
6 85 3 84
7700 20 58
0
2
2
2 2
2p p
( , , )
,
�� �
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�20000 39930
1 300
3990 152 , kN
Como Ney é o menor entre os três valores, este é o valor crítico que será utilizado para o cálculo 
de χ: 
λ
λ χ λ
0
0
0
1 47 8 25
1550 62
0 88
1 5 0 658 0 6580
2
� �
� �
�
� � � �
QA f
N
g y
ex
,
,
,
, , , ,888
2
0 72� ,
Conhecidos os parâmetros Q e χ, podemos determinar a resistência à compressão 
de cálculo da seguinte forma:
N
QA f
kNc Rd
g y
a
,
, , ,
,
,� � � � � �
χ
γ 1
0 72 1 0 47 8 25
1 1
782 18
250
Unidade 5 
1. B.
λ
λ
λ
b
f
f
p
y
b
b
t
E
f
� � �
�
�
�
�
� �
� � �
�
1
2
350 2
19
9 21
0 38 0 38 20000
35
9 10
/
,
, , ,
99 21 9 10 0 95
0 7
4 4
812 8
0 40
0
0 0
, , ,
/ ( , )
/ /
,
,
� � � �
� � �
�
λ λ
λ
p r
y
c
c
r
E f
k
k
h t
995 20000 0 40
24 5
17 17
9 10 9 21 17 17
�
�
� � � � � � � � �
,
,
,
, , ,λ λ λp b r n p pM M M Mrr
b p
r p
p y
r y r c
M Zf kNcm
M f W
� � �
�
� � � �
� � � �
λ λ
λ λ
σ
6845 35 239575
24 5 6( ) , 2243 152954239575 239575 152954 9 21 9 10
17 17 9 1
�
� � �� � �
�
kNcm
Mn
, ,
, , 00
238183
1 1
216530M kNcmRd � �
,
2. A.
l
l
l l l
b
w
p AR
b p r
h
t
� �
� �
� �
�
� � � �
0
350
850 2 19
8
812
8
101 5
90
101 50 90
,
,
,
,AAR
p AR b r AR
p yM Zf
350
350 350
136
90 101 5 136
6845 35
�
� � � � �
� � � �
l l l, ,,
2239575
6243 35 218505
239575 239575 21850
kNcm
M Wf kNcm
M
r y
n
� � � �
� � � 55 101 50 90
136 90
234290
234296
1 1
213006 8182
� � �
�
�
� �
,
,
,
kNcm
M kNcRd mm
251
3. C.
λ
λ
λ
l
b
y
p AR
p y
l
b
y
L
r
M Zf kNcm
L
r
� � �
�
� �
� �
500
8 28
60 39
42
239575
5
350
,
,
,
000
8 28
60 39 42
1 38
1 27350
1
1
2
1
,
,
,
,� � � � � �
�
�
λ λ
β
β
β
p AR r
y
y
w
y
y
I J
r J
C
I
f σσ
λ
r
r
W
EJ
cm
� �
�
�
�
�
�
�
24 5 6243
20000 174 2
0 044
1 38 13581 174 2
8
,
,
, /
, ,
,228 174 2 0 044
1 1 27 23439 511 0 044
13581
108 64
350
� �
� �
� �
�
�
, ,
, ,
,
,λp AR 442 60 39 108 64� � � � � � � �� �
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
�λ λ
λ λ
λ λ
, ,r n b p p r
l p
r p
M C M M M
��
�
�
�
� �� � � � �
� �
M
M f W kNcm
M
p
r y r
n
σ 24 5 6243 152954
1 67 239575 239
,
, 5575 152954 60 39 42
108 64 42
360281 2�� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
,
,
kNcm M p 339575
239575
1 1
217795
kNcm
M kNcmRd � �
,
4. D.
l
l
l l
b
w
p
c
y
p
h
t
k E
f
� �
� �
�
�
� � �
0
101 5
1 1 1 1 5 20000
35
58 80
101 50 58
,
, , ,
, ,880 1 37 5 20000
35
73 23
101 50 73 23 1 24
� �
�
�
� � � � �
�
�
�
�
l
l l
l
l
r
r n
pV
, ,
, , ,
��
�
� � � � � �
�
2
0 60 0 60 85 0 80 35 1428
1 24 58 80
101 50
V
V A f kN
V
p
p w y
n
, , ,
, ,
,
��
�
�
�
�
� �
� �
2
1428 594 25
594 25
1 1
540 23
,
,
,
,
kN
V kNRd
252
Unidade 6 
1. 1. Neste exercício, devemos obter a máxima força de compressão suportada por uma coluna 
de madeira. Por se tratar de esforço de compressão, precisamos, antes de tudo, saber qual a 
esbeltez a peça avaliada:
1° Determinação do índice de esbeltez:
Por se tratar de uma seção transversal circular, temos que o momento de inér-
cia é igual para o eixo x e y. 
I I d cmx y= = = =
p p. .
,
4 4
4
64
15
64
2485 05
A d cm= = =p p. . ,
2 2
2
4
15
4
176 71
r I
A
cmi i= = =
2485 05
176 71
3 75,
,
,
L L cmf = = =0 7 0 7 170 119, . , .
l = = =
l
r
f
min ,
,
119
3 75
31 73
O índice de esbeltez é inferior a 40 e, portanto, o pilar estará submetido apenas à compressão 
simples. 
2° Determinação da resistência a compressão de cálculo paralela as fibras
f k k k fc d c k
w
0 1 2 3
0= mod mod mod. . . g
kmod1 → Classe de carregamento – Tabela 2 – permanente kmod ,1 0 6=
kmod2 → Classe de umidade – Tabela 3 – classe 2 kmod ,2 1 0=
kmod3 → Qualidade da madeira – 2° categoria kmod ,3 0 8=
gw → Tipo de carregamento – compressão gw = 1 4,
fc k0 → Resistência de compressão paralela as fibras - f MPac k0 50=
f MPat d0 0 6 1 0 0 8
50
1 4
22 86= =, . , . , .
,
,
3° Determinação da máxima carga suportada
253
Para compressão simples, temos:
ssd cdf≤
N
A
fd cd≤
N f Ad cd≤ .
N f A kNd máx cd� � �
�
. , . . , . ,22 86 10 176 7110 403 926 4
2. 1° Determinação da resistência a compressão de cálculo paralela as fibras
f k k k fc d c k
w
0 1 2 3
0= mod mod mod. . . g
kmod1 → Classe de carregamento – Tabela 2 – longa duração kmod ,1 0 7=
kmod2 → Classe de umidade – Tabela 3 – classe 1 kmod ,2 1 0=
kmod3 → Qualidade da madeira – 2° categoria kmod ,3 0 8=
gw → Tipo de carregamento – compressão gw = 1 4,
ft k0 → Resistência de tração paralela as fibras - f fc k t k0 00 77= , .
f ft k c k0 00 77
=
,
f MPat k0
40
0 77
51 95= =
,
,
f MPat d0 0 7 1 0 0 8
51 95
1 8
16 16= =, . , . , . ,
,
,
2° Determinação da solicitação de cálculo 
Esta já foi dada no enunciado e equivale a 60kN.
3° Determinação da área mínima da seção
A A Aliq total furo� �
Aliq � �0 12 0 05 2 0 027 0 05, . , . , . ,
A mliq �
�3 30 10 3, . ²
254
4° Verificação da segurança
ssd tcdf≤
N
A
fd
liq
tcd≤
60 10
3 30 10
16 16 10
3
3
6.
, .
, .� �
18 18 16 16, ,MPa MPa>
O banzo da treliça não suporta o carregamento de 60kN, dessa forma, é preciso aumentar a 
sua seção transversal. Utilizando uma seção 15x5, temos:
A mliq �
�4 80 10 3, . ²
ssd
d
liq
N
A
MPa� � ��
60 10
4 80 10
12 50
3
3
.
, .
,
12 50 16 16, ,≤
A peça de 15x5 suporta a carga de 60kN.
3. Neste problema, temos que determinar uma espessura mínima para as talas do tirante supor-
tarem a força de tração igual a 70kN. Como todo exemplo de dimensionamento, partimos da 
seguinte inequação:
ssd df≤
N
A
fd
liq
d≤ 
A N
fliq
d
d
≥
Dessa forma, devemos encontrar primeiro a área mínima e, com ela, definimos a espessura. 
255
1° Determinação da resistência a tração de cálculo da madeira
f k k k ft d t k
w
0 1 2 3
0= mod mod mod. . . g
kmod1 → Classe de carregamento – Tabela 2 – permanente kmod ,1 0 6=
kmod2 → Classe de umidade – Tabela 3 – classe 1 kmod ,2 1 0=
kmod3 → Qualidade da madeira – 2° categoria kmod ,3 0 8=
gw → Tipo de carregamento – tração gw = 1 8,
ft k0 → Resistência de tração paralela as fibras - f fc k t k0 00 77= , .
f ft k c k0 00 77
=
,
f MPat k0
60
0 77
77 92= =
,
,
f MPat d0 0 6 1 0 0 8
50
1 4
22 86= =, . , . , .
,
,
2° Determinação da solicitação de cálculo 
Esta já foi dada no enunciado e equivale a 70kN.
3° Determinação da área mínima para suportar a solicitação
A N
f
mmínima d
d
� � � �
70 10
20 78 10
3 37 10
3
6
3.
, .
, . ²
4° Determinação da espessura mínima
Perceba que a área mínima calculada compreende a área das duas talas juntas, superior e 
inferior. Assim, a área líquida de uma única tala é:
A A mliq mín� � �
�
�
2
3 37 10
2
1 68 10
3
3, .
, . ²
Essa área é referente à seção da tala que passa pelos furos, tendo seu valor dado por:
A A Aliq total furo� �
1 68 10 0 12 0 023, . , . , .� � �t t 
t m ou cm� �
�
�1 68 10
0 1
1 68 10 1 68
3
2, .
,
, . ,
256
Unidade 7 
1. 1° Determinação das propriedades das madeiras
Da Tabela 3 da Unidade 1, temos para dicotiledônia C60:
f MPac k0 60=
E MPac m0 24500=
Das tabelas da Unidade 6, obtemos:
kmod1 → Classe de carregamento – permanente kmod ,1 0 6=
kmod2 → Classe de umidade – classe 3 kmod ,2 0 8=
kmod3 → Qualidade da madeira – 2° categoria kmod ,3 0 8=
gw → Tipo de carregamento – compressão gw = 1 4,
f k k k f MPac d c k
w
0 1 2 3
0 0 6 0 8 0 8 60
1 4
16 46= = =mod mod mod. . . , . , . , .
,
,
g
E k k k E MPaef c m0 1 2 3 0 0 6 0 8 0 8 24500 9408= = =mod mod mod. . . , . , . , .
2° Determinação do índice de esbeltez
Por se tratar de uma seção transversal quadrada, temos que o momento de inércia é igual para 
o eixo x e y. 
I I b h cmx y= = = =
.
,
3 4
4
12
15
12
4218 75
A b h cm= = =. .15 15 225 2
r I
A
cmi i= = =
4218 75
225
4 33, ,
L L cmf = = 400
l = = =
l
r
f
min ,
,
400
4 33
92 38
O índice de esbeltez está entre 80 e 140, classificando o pilar como esbelto. 
3° Determinação da tensão de solicitação e verificação do ELU
257
a) Determinação da força crítica
F
E I
L
kNcr
c ef
f
� � �
�p p
2
0
2
2 3 8
2
9408 10 4218 75 10
4
77 93
. . . . . , .
,
,
b) Determinação das excentricidades
• Excentricidade acidental
e
L
cma
f= = =
300
400
300
1 33,
• Excentricidade inicial
e
M
F
cmi
d
d
= = =1
1 0 100
35
2 89, . ,
• Excentricidade fluência 
Da Tabela 2, temos que f = 2 
e e e
F F
F F Fc i a
gk qk
cr gk qk
� �
� �� �� �
� � �� �� �
�
�
�
�
( ). exp
. .
.
φ ψ ψ
ψ ψ
1 2
1 2
��
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
� �
�
�
��
�
��
�
�
�
�
�
1 1 33 2 89 2 0 25
77 93 25
1( , , ) exp , .
,
��
�
� 6 59, cm
• Excentricidade total
e e e e cmd a i c� � � � � � �1 33 2 89 6 59 10 78, , , ,
c) Determinação do momento real atuante
M F e F
F F
kN md d d cr
cr d
�
�
�
�
�. . . , .
,
,
, .35 0 1078 77 93
77 93 35
6 85
d) Determinação das tensões
ssd
d dF
A
M h
I
� �
.
.2
ssd MPa� �
�
�
�
�
�
� �� �
�35
225 10
6 85 0 15
2 4218 75 10
10