Trabalho lajes

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CENTRO UNIVERSITÁRIO ESTÁCIO DE SANTA CATARINA 
 
 
 
 
 
 
Concreto Armado 
 
 
 
 
 
Anderson Dias Braga 
Bruno Natalino de Paiva Santos 
Vinicius Gabriel Rego da Silva 
 
 
SUMÁRIO 
1. OBJETIVO DO RELATÓRIO ................................................................................. 3 
2. ESPECIFICAÇÕES .................................................................................................. 3 
3. FORMA ESTRUTURAL .......................................................................................... 4 
4. DESENHO UNIFILAR............................................................................................. 4 
5. ANÁLISE DOS VÍNCULOS ................................................................................... 5 
5.1. Análise e definições dos vínculos .......................................................................... 5 
5.2. Classificação das lajes ........................................................................................... 7 
6. CARGAS DAS LAJES ............................................................................................. 7 
7. REAÇÕES DE APOIO ............................................................................................. 9 
7.1. Laje L1 ................................................................................................................. 11 
7.2. Laje L2 ................................................................................................................. 11 
7.3. Laje L3 ................................................................................................................. 12 
7.4. Laje L4 ................................................................................................................. 13 
7.5. Resultados das reações de apoios ........................................................................ 14 
8. COMPATIBILIZAÇÃO DOS MOMENTOS FLETORES .................................... 16 
8.1. Momentos L1 e L2 .............................................................................................. 17 
8.2. Momentos L3 e L2 .............................................................................................. 18 
8.3. Momentos L1 e L3 .............................................................................................. 19 
8.4. Momentos L2 e L4 .............................................................................................. 19 
9. DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS NEGATIVAS DAS LAJES ........ 21 
9.1. Vínculos L1 e L2 - L3 eL2 .................................................................................. 21 
9.2. Vínculo L1 e L3 ................................................................................................... 22 
9.3. Vínculo L2 e L4 ................................................................................................... 23 
9.4. Resumo armaduras negativas .............................................................................. 24 
9.5. Armaduras negativas de distribuição ................................................................... 24 
9.6. Armadura negativa de borda de laje .................................................................... 25 
10. DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS POSITIVAS DAS LAJES ....... 26 
10.1. Laje L1 ............................................................................................................. 26 
10.2. Laje L2 ............................................................................................................. 27 
10.3. Laje L3 ............................................................................................................. 28 
10.4. Laje L4 ............................................................................................................. 30 
10.5. Resumo armaduras positivas ........................................................................... 30 
11. CONCLUSÃO ..................................................................................................... 30 
 
1. OBJETIVO DO RELATÓRIO 
O presente Relatório Técnico tem por objetivo descrever o desenvolvimento do 
dimensionamento de lajes maciças de acordo com o projeto apresentado na Figura 1. 
 
Figura 1: Planta baixa. 
 
 
2. ESPECIFICAÇÕES 
As especificações foram adotadas com base na solicitação do cliente referente ao uso do 
empreendimento, utilizando a NBR 6120 (2019), sendo elas: 
 Peso próprio das lajes de 3kN/m²; 
 Peso do piso e revestimento em 1,5kN/m²; 
 Sobre as lajes há paredes cujo peso próprio é 1,2kN/m², exceto laje em 
balanço; 
 As lajes devem suportar carga variável de 3kN/m² e a laje em balanço 
4kN/m²; 
 A laje em balanço possui uma mureta na sua extremidade formando um 
guarda-corpo com altura de 130cm, peso próprio 1,9kN/m², carga acidental 
2kN/m, ainda, deve-se considerar uma fora horizontal de 1,1kN/m atuando 
na extremidade superior dessa mureta. 
 
3. FORMA ESTRUTURAL 
A Figura 2 apresenta a forma estrutural, composta por nove pilares, seis vigas e quatro 
lajes (L1, L2, L3 e L4), estando a laje L4 em balanço. Os pilares e viga foram pré-
dimensionados levando em consideração a NBR 6118 (2014). 
 
Figura 2: Planta de forma. 
 
 
4. DESENHO UNIFILAR 
O desenho unifilar aborda as medidas de vãos livres das lajes, em prol da segurança 
optou-se por considerar a medida de eixo a eixo das vigas, como pode ser visto na Figura 
3. A Tabela 1 apresenta de forma clara esses dados, onde as medidas 𝑙𝑥 e 𝑙𝑦, representam 
o menor e o maior vão de cada laje respectivamente. 
 
Tabela 1: Vãos das lajes. 
Lajes 𝑙𝑥 (𝑐𝑚) 𝑙𝑦 (𝑐𝑚) 
L1 404 409 
L2 519 835 
L3 409 431 
L4 144,5 519 
 
Figura 3: desenho unifilar. 
 
 
5. ANÁLISE DOS VÍNCULOS 
As bordas das lajes externas são consideradas lajes simplesmente apoiadas, a laje L4 
como não tem apoio em duas extremidades é considerada laje de balanço, sendo assim, 
contém uma extremidade engastada na laje L2, mas a L2 é apoiada nessa extremidade. 
Para descobrir o vínculo entre as lajes L1 e L2; L1 e L3; L2 e L3, realizou-se os cálculos 
conforme apresentado a seguir. 
 
5.1. Análise e definições dos vínculos 
 Lajes L1 e L2 
Laje menor vão (L1): 
𝑙𝑥 = 4,04𝑚 
2 × 𝑙𝑥2 = 2 × 4,042 = 32,64 
 
Laje maior vão (L2): 
𝑙𝑥 = 5,19𝑚 
𝑙𝑥2 = 5,192 = 26,94 
 
Vínculo entre L1 e L2: 
32,64 > 26,94 ∴ 𝐸𝑛𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎𝑑𝑎𝑠 
 Lajes L1 e L3 
Laje menor vão (L1): 
𝑙𝑥 = 4,04𝑚 
2 × 𝑙𝑥2 = 2 × 4,042 = 32,64 
 
Laje maior vão (L3): 
𝑙𝑥 = 4,09𝑚 
𝑙𝑥2 = 4,092 = 16,73 
 
Vínculo entre L1 e L3: 
32,64 > 16,73 ∴ 𝐸𝑛𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎𝑑𝑎𝑠 
 
 Lajes L2 e L3 
Laje menor vão (L3): 
𝑙𝑥 = 4,09𝑚 
2 × 𝑙𝑥2 = 2 × 4,092 = 33,45 
 
Laje maior vão (L2): 
𝑙𝑥 = 5,19𝑚 
𝑙𝑥2 = 5,192 = 26,94 
 
Vínculo entre L2 e L3: 
33,45 > 26,94 ∴ 𝐸𝑛𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎𝑑𝑎𝑠 
 
Na Figura 04, tem-se a representação dos vínculos entre as lajes. 
 
Figura 4: Vínculo entre as lajes. 
 
5.2. Classificação das lajes 
A lajes podem ser classificadas de acordo com seu tipo de vinculação. A tabela 2 
classifica a lajes objetos de estudo. 
Tabela 2: Classificação de vinculação. 
LAJE CASO VINCULAÇÃO 
L1 3 
 
L2 2B 
 
L3 3 
 
 
6. CARGAS DAS LAJES 
Conforme descrito no item 2, a Tabela 3 descreve as cargas presentes nas lajes L1, L2 e 
L3. 
Sabe-se que a carga permanente (g) é todo peso permanente da estrutura, ou seja, é a soma 
do peso próprio da laje, com o piso e revestimento e com as paredes acima das lajes. 
 
𝑔 = 3 + 1,5 + 1,2 = 5,7𝑘𝑁/𝑚² 
 
A carga total (p) atuante na laje é a soma da carga permanente com a carga variável 
adotada para o uso. 
 
𝑝 = 𝑞 + 𝑔 = 3 + 5,7 = 8,7𝑘𝑁/𝑚² 
 
Tabela 3: Carga das Lajes L1, L2 e L3.. 
Lajes L1 L2 L3 
Ações 
(kN/m²) 
Peso próprio 3 
Piso + revestimento 1,5 
Paredes 1,2 
Carga permanente (g) 5,7 
Carga variável (q) 3 
Carga total (p) 8,7 
 
 
A Laje L4 é classificada como laje em balanço poispossui apoio somente em duas 
extremidades estando as outras duas sem sustentação. 
A carga permanente (g) da laje L4 contabiliza somente o peso próprio da laje somado 
com o piso e o revestimento. Já a carga total (p) soma da carga permanente com a carga 
variável (q) que nesse caso é 4kN/m², sendo assim: 
 
𝑔 = 3 + 1,5 = 4,5𝑘𝑁/𝑚² 
𝑝 = 𝑞 + 𝑔 = 4 + 4,5 = 8,7𝑘𝑁/𝑚² 
 
A Figura 5 apresenta um croqui da Laje L4, nota-se que na extremidade da laje que não 
há apoio, possui um guarda-corpo com altura igual 1,30m (Figura 6), esse por sua vez 
possui um peso próprio de 1,9kN/m², uma carga acidental de 2kN/m e uma carga 
horizontal de 1,1kN, conforme Figura 7. 
Figura 5: Croqui laje L4. 
 
 
Figura 6: Representação laje L4. 
 
 
Figura 7: Forças/cargas exercidas sobre a mureta. 
 
 
A carga permanente desse guarda-corpo é a multiplicação do peso próprio pela altura. 
𝑔2 = 1,9 × 1,30 = 2,47𝑘𝑁/𝑚 
 
Sendo a carga total (p2), a soma da carga permanente com a carga acidental. 
𝑝2 = 𝑞2 + 𝑔2 = 2 + 2,47 = 4,47𝑘𝑁/𝑚 
 
A Tabela 4 apresenta um resumo das cargas existentes na laje L4. 
 
Tabela 4: Carga da laje L4. 
Lajes L4 und 
Ações 
Peso próprio 3 kN/m² 
Piso + revestimento 1,5 kN/m² 
Carga permanente (g) 4,5 kN/m² 
Carga variável (q) 4 kN/m² 
carga total (p1) 8,5 kN/m² 
Peso próprio mureta 1,9 kN/m² 
Carga permanente (g2) 2,47 kN/m 
Carga acidental (q2) 2 kN/m 
Carga total (p2) 4,47 kN/m 
Força horizontal 1,1 kN 
 
7. REAÇÕES DE APOIO 
Para calcular as reações de apoio, primeiramente deve-se verificar se as lajes são armadas 
em uma ou duas direções, esse cálculo é realizado através da equação: 
λ =
ly
lx
 
A Tabela 5 exibe os valores encontrados para cada laje. Como todos valores foram 
inferiores a 2, significa que todas as lajes são armadas em duas direções. 
Tabela 5: Calculo para definição do sentido da armadura. 
Lajes L1 L2 L3 
Características 
Tipo 3 2B 3 
lx (m) 4,04 5,19 4,1 
ly (m) 4,09 8,35 4,3 
λ =
ly
lx
 1,01 1,61 1,1 
 
Através das tabelas 2.2a e 2.2b da NBR 6118 (2014), consegue obter-se as reações de 
apoio em lajes com carga uniforme, porém, para as lajes L1 e L2 houve a necessidade de 
interpolar os valores para determinar um resultado correto de vx, v’x, vy e v’y, conforme 
exemplo abaixo. Os demais cálculos foram realizados no Excel e estão apresentados na 
Tabela 6, os termos em negrito são os resultados finais. 
vx − 2,17
1,01 − 1,00
=
2,27 − 2,17
1,05 − 1,00
→
𝑣𝑥 − 2,17
0,01
= 2 → 𝑣𝑥 = (2 × 0,01) + 2,17 = 2,19 
 
Tabela 6: reação de apoio em lajes com carga uniforme. 
Laje L1 Laje L2 Laje L3 
 1,01 1,00 1,05 1,61 1,60 1,65 1,1 
vx 2,19 2,17 2,27 vx 3,35 3,34 3,37 vx 2,36 
v'x 3,20 3,17 3,32 v'x 4,90 4,89 4,93 v'x 3,46 
vy 2,17 2,17 2,17 vy 1,83 1,83 1,83 vy 2,17 
v'y 3,17 3,17 3,17 v'y - - - v'y 3,17 
 
Os dados para encontrar o momento fletor em lajes com cargas uniformes foram retirados 
da tabela 2.3a e 2.3b da NBR 6118 (2014), para a Laje 01 e Laje 02, foi necessário realizar 
a interpolação dos dados, conforme Tabela 7, sendo os termos em negrito os resultados 
finais. 
Tabela 7: momento fletor em lajes com carga uniforme. 
Laje L1 Laje L2 Laje L3 
 1,01 1,00 1,05 1,61 1,60 1,65 1,1 
𝜇𝑥 2,74 2,69 2,94 𝜇𝑥 5,458 5,44 5,53 𝜇𝑥 3,19 
𝜇′𝑥 7,08 6,99 7,43 𝜇′𝑥 11,38 11,36 11,48 𝜇′𝑥 7,87 
𝜇𝑦 2,69 2,69 2,68 𝜇𝑦 1,934 1,95 1,87 𝜇𝑦 2,67 
𝜇′𝑦 7,03 6,99 7,18 𝜇′𝑦 - - - 𝜇′𝑦 7,36 
 
As Tabelas 8, 9 e 10, apresentam os resumos dos dados obtidos para cada laje estudada. 
 
7.1. Laje L1 
Tabela 8: reação de apoio e momento fletor em lajes com carga uniforme. 
Laje L1 
reações de apoio com cargas 
distribuídas 
vx 2,19 
 
𝜇𝑥 2,74 
v'x 3,20 𝜇′𝑥 7,08 
vy 2,17 𝜇𝑦 2,69 
v'y 3,17 𝜇′𝑦 7,03 
carga total (kN/m²) p 8,5 
menor largura (m) lx 4,04 
 Reação de apoio vertical 
𝑉𝑥 =
𝑣𝑥 × (𝑝 × 𝑙𝑥)
10
=
2,19 × 8,5 × 4,04
10
= 7,52𝑘𝑁/𝑚 
𝑉′𝑥 =
𝑣′𝑥 × (𝑝 × 𝑙𝑥)
10
=
3,20 × 8,5 × 4,04
10
= 10,99𝑘𝑁/𝑚 
𝑉𝑦 =
𝑣𝑦 × (𝑝 × 𝑙𝑥)
10
=
2,17 × 8,5 × 4,04
10
= 7,45𝑘𝑁/𝑚 
𝑉′𝑦 =
𝑣′𝑦 × (𝑝 × 𝑙𝑥)
10
=
3,17 × 8,5 × 4,04
10
= 10,88𝑘𝑁/𝑚 
 Momento fletor 
𝑚𝑥 =
𝜇𝑥 × (𝑝 × 𝑙𝑥²)
100
=
2,74 × 8,5 × 4,04²
100
= 3,80𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
𝑚′𝑥 =
𝜇′𝑥 × (𝑝 × 𝑙𝑥2)
100
=
7,08 × 8,5 × 4,042
100
= 9,82𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
𝑚𝑦 =
𝑚𝑦 × (𝑝 × 𝑙𝑥2)
100
=
2,69 × 8,5 × 4,042
100
= 3,73𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
𝑚′𝑦 =
𝑚′𝑦 × (𝑝 × 𝑙𝑥2)
100
=
7,03 × 8,5 × 4,042
100
= 9,75𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
 
7.2. Laje L2 
Tabela 9: reação de apoio e momento fletor em lajes com carga uniforme. 
Laje L2 
reações de apoio com 
cargas distribuídas 
vx 3,346 𝜇𝑥 5,46 
v'x 4,898 𝜇′𝑥 11,38 
vy 1,83 𝜇𝑦 1,93 
v'y - 𝜇′𝑦 - 
carga total (kN/m²) p 8,5 
menor largura (m) lx 5,19 
 
 Reação de apoio vertical 
𝑉𝑥 =
𝑣𝑥 × (𝑝 × 𝑙𝑥)
10
=
3,35 × 8,5 × 5,19
10
= 14,78𝑘𝑁/𝑚 
𝑉′𝑥 =
𝑣′𝑥 × (𝑝 × 𝑙𝑥)
10
=
4,9 × 8,5 × 5,19
10
= 21,61𝑘𝑁/𝑚 
𝑉𝑦 =
𝑣𝑦 × (𝑝 × 𝑙𝑥)
10
=
1,83 × 8,5 × 5,19
10
= 8,07𝑘𝑁/𝑚 
 Momento fletor 
𝑚𝑥 =
𝜇𝑥 × (𝑝 × 𝑙𝑥²)
100
=
5,46 × 8,5 × 5,19²
100
= 12,50𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
𝑚′𝑥 =
𝜇′𝑥 × (𝑝 × 𝑙𝑥2)
100
=
11,38 × 8,5 × 5,192
100
= 26,06𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
𝑚𝑦 =
𝑚𝑦 × (𝑝 × 𝑙𝑥2)
100
=
1,93 × 8,5 × 5,192
100
= 4,43𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
 
7.3. Laje L3 
Tabela 10: reação de apoio e momento fletor em lajes com carga uniforme. 
Laje L3 
reações de apoio com cargas 
distribuídas 
vx 2,36 𝜇𝑥 3,19 
v'x 3,46 𝜇′𝑥 7,87 
vy 2,17 𝜇𝑦 2,67 
v'y 3,17 𝜇′𝑦 7,36 
carga total (kN/m²) p 8,5 
menor largura (m) lx 4,09 
 
 Reação de apoio vertical 
𝑉𝑥 =
𝑣𝑥 × (𝑝 × 𝑙𝑥)
10
=
2,36 × 8,5 × 4,10
10
= 8,22𝑘𝑁/𝑚 
𝑉′𝑥 =
𝑣′𝑥 × (𝑝 × 𝑙𝑥)
10
=
3,46 × 8,5 × 4,10
10
= 12,06𝑘𝑁/𝑚 
𝑉𝑦 =
𝑣𝑦 × (𝑝 × 𝑙𝑥)
10
=
2,17 × 8,5 × 4,10
10
= 7,56𝑘𝑁/𝑚 
𝑉′𝑦 =
𝑣′𝑦 × (𝑝 × 𝑙𝑥)
10
=
3,17 × 8,5 × 4,10
10
= 11,05𝑘𝑁/𝑚 
 
 Momento fletor 
𝑚𝑥 =
𝜇𝑥 × (𝑝 × 𝑙𝑥²)
100
=
3,19 × 8,5 × 4,09²
100
= 3,56𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
𝑚′𝑥 =
𝜇′𝑥 × (𝑝 × 𝑙𝑥2)
100
=
7,87 × 8,5 × 4,092
100
= 11,24𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
𝑚𝑦 =
𝑚𝑦 × (𝑝 × 𝑙𝑥2)
100
=
2,67 × 8,5 × 4,092
100
= 3,81𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
𝑚′𝑦 =
𝑚′𝑦 × (𝑝 × 𝑙𝑥2)
100
=
7,36 × 8,5 × 4,092
100
= 10,52𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
 
7.4. Laje L4 
Como visto no item 5, a Laje L4 é engastada na Laje L2, A Figura 8 exibe as forças 
atuantes na Laje L4, através delas determina-se a reação de apoio da laje L4 na viga V3 
e o momento fletor. 
Figura 8: Forças/cargas laje L4. 
 
 
 Reação de apoio vertical 
A Figura 9 exibe as cargas verticais atuantes na laje L4, como a carga p1 era uma carga 
distribuída ao longo do vão da laje (lx), deve-se transforma-la em carga aplicada, para 
isso basta multiplicar o valor de p1 pelo valor de lx. Essa carga aplicada fica posicionada 
no centro de lx. 
Figura 9: Cargas verticais. 
 
𝑟 = (𝑝1 × 𝑙𝑥) + 𝑝2 = (8,5 × 1,445) + 4,47 = 12,28 + 4,47 = 16,75𝑘𝑁/𝑚 
 
 Momento Fletor 
Para calcular o momento fletor, considera-se além das cargas verticais as cargas 
horizontais também, conforme mostra a Figura 10. 
Figura 10: Cargas verticais. 
 
Como momento é calculado através da força multiplicado pela distância que a força está 
em relação ao eixo (ponto do momento), tem-se: 
𝑀 = (12,28 ×
𝑙𝑥
2
) + (𝑝2 × 𝑙𝑥) + (𝐹ℎ × ℎ) 
𝑀 = (12,28 ×
1,445
2
) + (4,47 × 1,445) + (1,1 × 1,3) 
𝑀 = 8,874 + 6,459 + 1,43 = 16,76𝑘𝑁. 𝑚 
 
7.5. Resultados das reações de apoios 
A tabela 11 apresenta os resultados obtidos nos itens 7.1, 7.2, 7.3 e 7.4. 
Tabela 11: Reações de apoio e Momento fletor. 
Lajes L1 L2 L3 L4 
Reação 
de apoio 
Vx 7,52 14,78 8,22 
16,75 
V'x 10,99 21,61 12,06 
Vy 7,45 8,07 7,56 
V'y 10,88 - 11,05 
Momento 
fletor 
 𝑚𝑥 3,80 12,50 4,56 
16,76 
 𝑚′𝑥 9,82 26,06 11,2 
 𝑚𝑦 3,73 4,43 3,82 
 𝑚′𝑦 9,75 - 10,5 
 
 
Figura 11: Representação das reações de apoio. 
 
 
Figura 12: Representação dos momentos. 
 
 
8. COMPATIBILIZAÇÃO DOS MOMENTOS FLETORESComo verificado nas Figuras 12 e 13, existem diferentes momentos negativos de cada 
lado dos apoios, sendo necessário, portanto, realizar a compatibilização dos mesmos, para 
isso adota-se o maior valor entre a média dos momentos e 0,8 do maior momento fletor. 
Figura 13: Representação dos momentos e cortes. 
. 
8.1. Momentos L1 e L2 
 Momento compatibilizado negativo 
𝑀𝑚é𝑑𝑖𝑜 =
9,75 + 26,06
2
= 17,905𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
0,8 × 𝑀𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 = 0,80 × 26,06 = 20,85𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
Adota-se o maior valor: 20,85kN.m/m 
 
 Momento compatibilizado positivo 
Na laje L1, como o momento negativo aumentou de 9,75kN.m/m para 20,85kN.m/m, o 
momento positivo iria diminuir, a fim de calcular em fator da segurança da estrutura 
mantem-se o momento positivo da laje L1. Já para a laje L2, o momento positivo aumenta 
(Figura 14), segue abaixo o cálculo do momento positivo L2. 
∆𝑚 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 − 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 
∆𝑚 = 26,06 − 20,85 = 5,21 
 
∆𝑚
2
=
5,21
2
= 2,60 
 
𝑀𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 = 𝑀𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑜 +
∆𝑚
2
= 12,50 + 2,60 = 15,10𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
 
Figura 14: Diagrama dos momentos fletores laje L1 e L2. 
 
 
8.2. Momentos L3 e L2 
 Momento compatibilizado negativo 
𝑀𝑚é𝑑𝑖𝑜 =
11,20 + 26,06
2
= 18,63𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
0,8 × 𝑀𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 = 0,80 × 26,06 = 20,85𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
Adota-se o maior valor: 20,85kN.m/m 
 
 Momento compatibilizado positivo 
Na laje L3, o momento negativo aumentou de 11,20kN.m/m para 20,85kN.m/m, sendo 
assim, o momento positivo iria diminuir, calculando em fator da segurança da estrutura 
mantem-se o momento positivo da laje L3. Já para a laje L2, o momento positivo aumenta 
(Figura 15), segue abaixo o cálculo do momento positivo L2. 
∆𝑚 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 − 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 
∆𝑚 = 26,06 − 20,85 = 5,21 
 
∆𝑚
2
=
5,21
2
= 2,60 
 
𝑀𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 = 𝑀𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑜 +
∆𝑚
2
= 12,50 + 2,60 = 15,10𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
 
Figura 15: Diagrama dos momentos fletores laje L3 e L2. 
 
 
8.3. Momentos L1 e L3 
As lajes L1 e L3 tiveram uma pequena diferença no valor dos seus momentos. 
 Momento compatibilizado negativo 
𝑀𝑚é𝑑𝑖𝑜 =
9,82 + 10,50
2
= 10,16𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
0,8 × 𝑀𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 = 0,80 × 10,50 = 8,4𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
Adota-se o maior valor: 10,16kN.m/m 
 
 Momento compatibilizado positivo 
∆𝑚 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 − 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 
∆𝑚 = 10,50 − 10,16 = 0,34 
 
∆𝑚
2
=
0,34
2
= 0,17 
 
𝑀𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 = 𝑀𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑜 +
∆𝑚
2
= 3,82 + 0,17 = 3,99𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
 
Figura 16: Diagrama dos momentos fletores laje L1 e L3. 
 
 
8.4. Momentos L2 e L4 
Como visto anteriormente, quando o momento for igual a zero em um lado do vínculo, 
utiliza-se o momento calculado para o outro lado desse vínculo, esse é o caso dessas lajes, 
o momento fletor negativo de L2 e L4 fica igual a 16,76kN.m, e o momento positivo da 
laje L2 mantem-se o mesmo garantido a segurança da estrutura (Figura 17). 
Figura 17: Diagrama dos momentos fletores laje L2 e L4. 
 
 
A Figura 18 apresenta as lajes com os momentos fletores negativos adotados e os 
momentos fletores positivos calculados. 
 
 
Figura 18: Representação dos momentos fletores. 
 
 
9. DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS NEGATIVAS DAS LAJES 
A armadura negativa é a armadura que fica na parte superior da laje. 
A NBR 6118 (2014) estabelece que lajes para pisos podem ter altura de 8cm e lajes em 
balanço 10cm, porém, como o momento entre as lajes L1-L2 e L3-L2 deram muito altos, 
considerando que teremos armadura superior nesses vínculos e armadura superior nos 
vínculos L1-L3 e L2-L4, a altura de 10cm não comporta toda armadura, então, adotou-se 
laje com altura de 12cm. 
Considerando a classe de agressividade para área urbana como sendo Classe II – 
moderada, o cobrimento nominal para lajes de concreto armado é de 25mm (2,5cm), e o 
concreto de classe C25. 
O diâmetro máximo da armadura para 𝜆 < 2 é dado através: 
∅𝑚á𝑥 =
ℎ
8
=
10
8
= 1,25𝑐𝑚 = 12,5𝑚𝑚 
A armadura da laje poderia ter diâmetro de até 12,5mm, mas adotou-se o diâmetro de 
10mm (1cm) que é o mais usual para lajes. A altura útil pode ser calculada através da 
equação: 
𝑑𝑠𝑢𝑝 = ℎ − 𝑐 −
∅𝑠𝑢𝑝
2
= 12 − 2,5 −
1
2
= 12 − 3 = 9𝑐𝑚 
 
9.1. Vínculos L1 e L2 - L3 eL2 
 Momento Característico 
Primeiramente, calcula-se a armadura para o maior momento fletor negativo, nos vínculos 
L1-L2 e L3-L2. O valor característico desse momento é: 
𝑚𝑘 = 20,85𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 = 2085𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 Momento de cálculo 
𝑚𝑑 = 1,4 × 𝑚´𝑘 = 1,4 × 2085 = 2.919𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 Fator kc e ks 
Tendo a altura útil e o momento de cálculo, para uma faixa de laje com largura igual a 
um metro (100 cm), o kc será: 
𝑘𝑐 =
𝑏 × 𝑑𝑠𝑢𝑝
2
𝑚𝑑
=
100 × 9²
2919
≅ 2,77 
Para concreto C25, como não há kc=2,77, pega-se o valor do próximo número inferior, 
ou seja, kc=2,7 tem-se: 
𝑘𝑠 = 0,0269𝑐𝑚2/𝑘𝑁 
𝛽 = 0,36 < 0,45 𝑜𝑘! 
 
 Área da armadura 
𝑎𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐 =
𝑘𝑠 × 𝑚𝑑
𝑑𝑠𝑢𝑝
=
0,0269 × 2919
9
= 8,72𝑐𝑚2/𝑚 
Através da Tabela 1.4a, para ∅ = 10𝑚𝑚, tem-se que: 
𝑎𝑠 = 8,72𝑚
2/𝑚 
 Espaçamento 
𝑆𝑚á𝑥 = {
2 × ℎ = 2 × 10 = 20𝑐𝑚
20𝑐𝑚
} 
O espaçamento máximo é de 20cm, mas 9cm é o espaçamento adequado. 
 
9.2. Vínculo L1 e L3 
 Momento Característico 
𝑚𝑘 = 10,16𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 = 1016𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 Momento de cálculo 
𝑚𝑑 = 1,4 × 𝑚´𝑘 = 1,4 × 1016 = 1.422,40𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 Altura útil 
Para o momento negativo no vínculo L1-L3, a barra é posicionada por baixo. Sendo 
assim: 
𝑑𝑖𝑛𝑓 = ℎ − 𝑐 − ∅𝑠𝑢𝑝 −
∅𝑖𝑛𝑓
2
= 12 − 2,5 − 1 −
1
2
= 8𝑐𝑚 
 Fator kc e ks 
Tendo a altura útil e o momento de cálculo, para uma faixa de laje com largura igual a 
um metro (100 cm), o kc será: 
𝑘𝑐 =
𝑏 × 𝑑𝑖𝑛𝑓
2
𝑚𝑑
=
100 × 8²
1422,40
≅ 4,50 
Para concreto C25, tem-se: 
𝑘𝑠 = 0,0250𝑐𝑚2/𝑘𝑁 
𝛽𝑥 = 0,20 < 0,45 𝑜𝑘! 
 Área da armadura 
𝑎𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐 =
𝑘𝑠 × 𝑚𝑑
𝑑𝑠𝑢𝑝
=
0,0250 × 1422,4
8
= 4,44𝑐𝑚2/𝑚 
Através da Tabela 1.4a, para ∅ = 10mm, tem-se que: 
𝑎𝑠 = 4,49𝑐𝑚
2/𝑚 
 Espaçamento 
𝑆𝑚á𝑥 = {
2 × ℎ = 2 × 10 = 20𝑐𝑚
20𝑐𝑚
} 
O espaçamento máximo é de 20cm, mas 17,50cm é o espaçamento adequado. 
 
9.3. Vínculo L2 e L4 
 Momento característico 
𝑚𝑘 = 16,76𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 = 1676𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 Momento de cálculo 
𝑚𝑑 = 1,4 × 𝑚´𝑘 = 1,4 × 1676 = 2.346,40𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 Altura útil 
Para o momento negativo no vínculo L2-L4, a barra é posicionada por baixo. Sendo 
assim: 
𝑑𝑖𝑛𝑓 = ℎ − 𝑐 − ∅𝑠𝑢𝑝 −
∅𝑖𝑛𝑓
2
= 12 − 2,5 − 1 −
1
2
= 8𝑐𝑚 
 Fator kc e ks 
Tendo a altura útil e o momento de cálculo, para uma faixa de laje com largura igual a 
um metro (100 cm), o kc será: 
𝑘𝑐 =
𝑏 × 𝑑𝑖𝑛𝑓
2
𝑚𝑑
=
100 × 8²
2346,40
≅ 2,73 
Para concreto C25, kc=2,73 não existem, adota-se o próximo valor abaixo, kc=2,70, 
existem dois valores para kc=2,70, optou-se por pegar o que apresentava maior ks, 
majorando a segurança. 
𝑘𝑠 = 0,0269𝑐𝑚2/𝑘𝑁 
𝛽𝑥 = 0,36 < 0,45 𝑜𝑘! 
 Área da armadura 
𝑎𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐 =
𝑘𝑠 × 𝑚𝑑
𝑑𝑠𝑢𝑝
=
0,0269 × 2346,4
8
= 7,89𝑐𝑚2/𝑚 
Através da Tabela 1.4a, para ∅ = 10mm, tem-se que: 
𝑎𝑠 = 8,26𝑐𝑚
2/𝑚 
 Espaçamento 
𝑆𝑚á𝑥 = {
2 × ℎ = 2 × 10 = 20𝑐𝑚
20𝑐𝑚
} 
O espaçamento máximo é de 20cm, mas 9,5cm é o espaçamento adequado. 
 
9.4. Resumo armaduras negativas 
A Tabela 12 apresenta um resumo dos dados levantados nos itens 9.1, 9.2 e 9.3. 
Tabela 12: Armaduras negativas 
LAJES 𝑚𝑘 𝑚𝑑 ∅ (𝒎𝒎) d (cm) 𝑘𝑐 𝑘𝑠 𝑎𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐 𝑺 (cm) 𝒂𝒔 (cm²) 
L1-L2 (H) 
2085 2919 
10 
9 2,7 0,0269 8,72 9 8,72 
L3-L2 (H) 
L1-L3 (V) 1016 1422,4 
8 
4,5 0,0250 4,44 17,5 4,49 
L2-L4 (V) 1676 2346,4 2,7 0,0269 7,89 9,5 8,26 
 
Na primeira coluna da tabela, foram listados os vínculos e a direção das barras, em relação 
às lajes em planta. Essas posições foram identificadas por H paraaquelas barras que 
ficarão dispostas na horizontal, e por V para as barras que ficarão na vertical. 
 
9.5. Armaduras negativas de distribuição 
A armadura de distribuição dos momentos negativos deve respeitar a área de armadura 
mínima 𝑎𝑠3,𝑚𝑖𝑛 e pode conter espaçamento até 33cm. 
 Lajes L1-L2 e L3-L2 
𝑎𝑠3,𝑚𝑖𝑛 ≥ {
0,2 × 𝑎𝑠 = 0,2 × 8,72 ≅ 1,74𝑐𝑚
2/𝑚
0,90𝑐𝑚2/𝑚
0,5 × 𝑎𝑠1,𝑚𝑖𝑛 = 0,5 × 1,50 = 0,75𝑐𝑚
2/𝑚
 
Através da Tabela 1.4a, para ∅ = 8mm, tem-se que: 
𝑎𝑠 = 1,80𝑐𝑚
2/𝑚 
𝑆 = 28𝑐𝑚 
 
 Laje L1-L3 
𝑎𝑠3,𝑚𝑖𝑛 ≥ {
0,2 × 𝑎𝑠 = 0,2 × 4,49 ≅ 0,90𝑐𝑚
2/𝑚
0,90𝑐𝑚2/𝑚
0,5 × 𝑎𝑠1,𝑚𝑖𝑛 = 0,5 × 1,50 = 0,75𝑐𝑚
2/𝑚
 
Através da Tabela 1.4a, para ∅ = 6,3mm, tem-se que: 
𝑎𝑠 = 0,95𝑚
2/𝑚 
𝑆 = 33𝑐𝑚 
 
 Laje L2-L4 
𝑎𝑠3,𝑚𝑖𝑛 ≥ {
0,2 × 𝑎𝑠 = 0,2 × 8,26 ≅ 1,65𝑐𝑚
2/𝑚
0,90𝑐𝑚2/𝑚
0,5 × 𝑎𝑠1,𝑚𝑖𝑛 = 0,5 × 1,50 = 0,75𝑐𝑚
2/𝑚
 
Através da Tabela 1.4a, para ∅ = 8mm, tem-se que: 
𝑎𝑠 = 1,68𝑚
2/𝑚 
𝑆 = 30𝑐𝑚 
 Resumo dos dados 
A Tabela 13 apresenta um resumo dos dados levantados no item 9.5. 
Tabela 13: Armaduras negativas de distribuição. 
LAJES 𝑎𝑠,𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐 𝑎𝑠3 𝑎𝑠 ∅ (mm) S (cm) 
L1-L2 
8,72 1,74 1,80 8 28 
L3-L2 
L1-L3 4,49 0,90 0,95 6,3 33 
L2-L4 8,26 1,65 1,68 8 30 
 
9.6. Armadura negativa de borda de laje 
A Tabela 19.1 da NBR 6118 (2014), aborda que para armaduras negativas de borda sem 
continuidade 𝜌𝑠 ≥ 0,67𝜌𝑚𝑖𝑛. Já a Tabela 17.3 da mesma norma, informa que para 
concreto com 𝑓𝑐𝑘 = 25𝑀𝑃𝑎, a taxa de armadura mínima é 𝜌𝑚𝑖𝑛 = 0,15%. 
Considerando a laje com altura de 12cm, calcula-se a armadura mínima: 
𝑎𝑠2,𝑚𝑖𝑛 = 0,67 × 𝜌𝑚𝑖𝑛 × 𝑏 × ℎ = 0,67 ×
0,15
100
× 100 × 12 ≅ 1,21𝑐𝑚2/𝑚 
Através da Tabela 1.4a, para ∅ = 5mm, tem-se que: 
𝑎𝑠 = 1,23𝑚
2/𝑚 
𝑆 = 16𝑐𝑚 
Comprimento da barra é igual a 0,15 × 𝑙𝑥, a partir da face de apoio, a tabela 14, apresenta 
os comprimentos das barras. 
Tabela 14: Armaduras negativas de borda de laje. 
LAJES lx (m) Comprimento (cm) ∅(mm) S (cm) 
L1 4,04 61 
5 16 L2 5,19 78 
L3 4,09 61 
 
10. DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS POSITIVAS DAS LAJES 
A lajes podem ser armadas em um ou duas direções, por meio da tabela 15 podemos 
verificar que para todas as lajes 𝜆 < 2, sendo assim as lajes são armadas em duas direções. 
Tabela 15: Armaduras negativas de borda de laje. 
Lajes L1 L2 L3 L4 
Características 
lx (m) 4,04 5,19 4,09 1,445 
ly (m) 4,09 8,35 4,31 5,19 
 
1,01 1,61 1,05 1,05 
 
10.1. Laje 01 
 Momento Característico 
𝑚𝑘,𝑥 = 3,73𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 = 373𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
𝑚𝑘,𝑦 = 3,80𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 = 380𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 Momento de cálculo 
𝑚𝑑,𝑥 = 1,4 × 𝑚𝑘,𝑥 = 1,4 × 373 = 522,20𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
𝑚𝑑,𝑦 = 1,4 × 𝑚𝑘,𝑦 = 1,4 × 380 = 532𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 Altura útil 
Considerando as barras de diâmetro de 5mm, a altura útil passa a ser: 
𝑑𝑖𝑛𝑓,𝑥 = ℎ − 𝑐 −
∅𝑖𝑛𝑓
2
= 12 − 2,5 −
0,5
2
= 12 − 2,75 = 9,25𝑐𝑚 
𝑑𝑠𝑢𝑝,𝑦 = ℎ − 𝑐 − ∅𝑖𝑛𝑓 −
∅𝑠𝑢𝑝
2
= 12 − 2,5 − 0,5 −
0,5
2
= 12 − 3,25 = 8,75𝑐𝑚 
 Fator kc e ks 
Tendo a altura útil e o momento de cálculo, para uma faixa de laje com largura igual a 
um metro (100 cm), o kc será: 
𝑘𝑐,𝑥 =
𝑏 × 𝑑𝑖𝑛𝑓,𝑥
2
𝑚𝑑,𝑥
=
100 × 9,25²
522,2
≅ 16,39 
Para concreto C25, como não há kc=16,39, pega-se o valor do próximo número inferior, 
ou seja, kc=14,10 tem-se: 
𝑘𝑠 = 0,0236𝑐𝑚2/𝑘𝑁 
𝛽 = 0,06 < 0,45 𝑜𝑘! 
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
 
𝑘𝑐,𝑦 =
𝑏 × 𝑑𝑠𝑢𝑝,𝑦
2
𝑚𝑑,𝑦
=
100 × 8,75²
532
≅ 14,39 
Para concreto C25, como não há kc=14,39, pega-se o valor do próximo número inferior, 
ou seja, kc=14,10 tem-se: 
𝑘𝑠 = 0,0236𝑐𝑚2/𝑘𝑁 
𝛽 = 0,06 < 0,45 𝑜𝑘! 
 Área da armadura 
𝑎𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐,𝑥 =
𝑘𝑠,𝑥 × 𝑚𝑑,𝑥
𝑑𝑖𝑛𝑓,𝑥
=
0,0236 × 522,2
9,25
= 1,33𝑐𝑚2/𝑚 
Através da Tabela 1.4a, para ∅ = 5mm, tem-se que: 
𝑎𝑠 = 1,4𝑐𝑚
2/𝑚 
𝑆𝑥 = 14𝑐𝑚 
𝑎𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐,𝑦 =
𝑘𝑠,𝑦 × 𝑚𝑑,𝑦
𝑑𝑠𝑢𝑝,𝑦
=
0,0236 × 532
8,75
= 1,43𝑐𝑚2/𝑚 
Através da Tabela 1.4a, para ∅ = 5mm, tem-se que: 
𝑎𝑠 = 1,51𝑐𝑚
2/𝑚 
𝑆𝑥 = 13𝑐𝑚 
 
10.2. Laje 02 
 Momento Característico 
𝑚𝑘,𝑥 = 15,10𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 = 1510𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
𝑚𝑘,𝑦 = 4,43𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 = 443𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 Momento de cálculo 
𝑚𝑑,𝑥 = 1,4 × 𝑚𝑘,𝑥 = 1,4 × 1510 = 2114𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
𝑚𝑑,𝑦 = 1,4 × 𝑚𝑘,𝑦 = 1,4 × 443 = 620,20𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 Altura útil 
Considerando as barras de diâmetro de 8 e 5mm, a altura útil passa a ser: 
𝑑𝑖𝑛𝑓,𝑥 = ℎ − 𝑐 −
∅𝑖𝑛𝑓
2
= 12 − 2,5 −
0,8
2
= 12 − 2,9 = 9,10𝑐𝑚 
𝑑𝑠𝑢𝑝,𝑦 = ℎ − 𝑐 − ∅𝑖𝑛𝑓 −
∅𝑠𝑢𝑝
2
= 12 − 2,5 − 0,8 −
0,5
2
= 12 − 3,55 = 8,45𝑐𝑚 
 Fator kc e ks 
Tendo a altura útil e o momento de cálculo, para uma faixa de laje com largura igual a 
um metro (100 cm), o kc será: 
𝑘𝑐,𝑥 =
𝑏 × 𝑑𝑖𝑛𝑓,𝑥
2
𝑚𝑑,𝑥
=
100 × 9,10²
2114
≅ 3,92 
Para concreto C25, como não há kc=3,92, pega-se o valor do próximo número inferior, 
ou seja, kc=3,90 tem-se: 
𝑘𝑠 = 0,0253𝑐𝑚2/𝑘𝑁 
𝛽 = 0,23 < 0,45 𝑜𝑘! 
𝑘𝑐,𝑦 =
𝑏 × 𝑑𝑠𝑢𝑝,𝑦
2
𝑚𝑑,𝑦
=
100 × 8,45²
620,20
≅ 11,51 
Para concreto C25, como não há kc=11,51, pega-se o valor do próximo número inferior, 
ou seja, kc=10,6 tem-se: 
𝑘𝑠 = 0,0238𝑐𝑚2/𝑘𝑁 
𝛽 = 0,08 < 0,45 𝑜𝑘! 
 Área da armadura 
𝑎𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐,𝑥 =
𝑘𝑠,𝑥 × 𝑚𝑑,𝑥
𝑑𝑖𝑛𝑓,𝑥
=
0,0253 × 2114
9,10
= 5,88𝑐𝑚2/𝑚 
Através da Tabela 1.4a, para ∅ = 8mm, tem-se que: 
𝑎𝑠 = 5,92𝑐𝑚
2/𝑚 
𝑆𝑥 = 8,5𝑐𝑚 
𝑎𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐,𝑦 =
𝑘𝑠,𝑦 × 𝑚𝑑,𝑦
𝑑𝑠𝑢𝑝,𝑦
=
0,0238 × 620,20
8,45
= 1,75𝑐𝑚2/𝑚 
Através da Tabela 1.4a, para ∅ = 5mm, tem-se que: 
𝑎𝑠 = 1,78𝑐𝑚
2/𝑚 
𝑆𝑥 = 11𝑐𝑚 
 
10.3. Laje 03 
 Momento Característico 
𝑚𝑘,𝑥 = 4,56𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 = 456𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
𝑚𝑘,𝑦 = 3,99𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 = 399𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 
 Momento de cálculo 
𝑚𝑑,𝑥 = 1,4 × 𝑚𝑘,𝑥 = 1,4 × 456 = 638,40𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
𝑚𝑑,𝑦 = 1,4 × 𝑚𝑘,𝑦 = 1,4 × 399 = 558,60𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
Considerando as barras de diâmetro de 6,3 e 5mm, a altura útil passa a ser: 
𝑑𝑖𝑛𝑓,𝑥 = ℎ − 𝑐 −
∅𝑖𝑛𝑓
2
= 12 − 2,5 −
6,3
2
= 12 − 2,815 = 9,19𝑐𝑚 
𝑑𝑠𝑢𝑝,𝑦 = ℎ − 𝑐 − ∅𝑖𝑛𝑓 −
∅𝑠𝑢𝑝
2
= 12 − 2,5 − 0,63 −
0,5
2
= 12 − 3,38 = 8,62𝑐𝑚 
 Fator kc e ks 
Tendo a altura útil e o momento de cálculo, para uma faixa de laje com largura igual a 
um metro (100 cm), o kc será: 
𝑘𝑐,𝑥 =
𝑏 × 𝑑𝑖𝑛𝑓,𝑥
2
𝑚𝑑,𝑥
=
100 × 9,19²
638,40
≅ 13,21 
Para concreto C25, como não há kc=13,21, pega-se o valor do próximo número inferior, 
ou seja, kc=12,10 tem-se: 
𝑘𝑠 = 0,0237𝑐𝑚2/𝑘𝑁 
𝛽 = 0,07 < 0,45 𝑜𝑘! 
𝑘𝑐,𝑦 =
𝑏 × 𝑑𝑠𝑢𝑝,𝑦
2
𝑚𝑑,𝑦
=
100 × 8,62²
558,60
≅ 13,30 
Para concreto C25, como não há kc=13,30, pega-se o valor do próximo número inferior, 
ou seja, kc=12,10 tem-se: 
𝑘𝑠 = 0,0237𝑐𝑚2/𝑘𝑁 
𝛽 = 0,07 < 0,45 𝑜𝑘! 
 Área da armadura 
𝑎𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐,𝑥 =
𝑘𝑠,𝑥 × 𝑚𝑑,𝑥
𝑑𝑖𝑛𝑓,𝑥
=
0,0237 × 638,40
9,19
= 1,65𝑐𝑚2/𝑚 
Através da Tabela 1.4a, para ∅ = 6,3mm, tem-se que: 
𝑎𝑠 = 1,73𝑐𝑚
2/𝑚 
𝑆𝑥 = 18𝑐𝑚 
𝑎𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐,𝑦 =
𝑘𝑠,𝑦 × 𝑚𝑑,𝑦
𝑑𝑠𝑢𝑝,𝑦
=
0,0237 × 558,60
8,62
= 1,54𝑐𝑚2/𝑚 
 
Através da Tabela 1.4a, para ∅ = 5mm, tem-se que: 
𝑎𝑠 = 1,57𝑐𝑚
2/𝑚 
𝑆𝑥 = 12,50𝑐𝑚 
 
10.4. Laje 04 
A laje L4 é uma laje em balanço (laje L4), sendo assim, não há momentos positivos. 
Portanto, utiliza-se a armadura mínima positiva 𝑎𝑠3,𝑚𝑖𝑛 = 0,90𝑐𝑚
2/𝑚. 
Adota-se na direção vertical armadura ϕ 6,3 com espaçamento de 20cm, com barras por 
baixo. Já na direção horizontal, emprega-se armadura positiva ϕ 6,3 espaçadas a 33cm, 
as barras são alocadas acima das barras verticais. 
 
10.5. Resumo armaduras positivas 
As tabelas 16 e 17, abordam um resumo dos dados levantados nos itens 10.1, 10.2 e 10.3. 
Tabela 16: Armaduras positiva_horizontal. 
LAJE 𝑚𝑘,𝑥 𝑚𝑑,𝑥 ∅ (𝒎𝒎) 𝑑𝑖𝑛𝑓 𝑘𝑐,𝑥 𝑘𝑠,𝑥 𝑎𝑠,𝑥,𝑐𝑎𝑙𝑐 𝒂𝒔,𝒙 𝒔𝒙(𝒄𝒎) 
L1 373 522,2 5 9,25 16,39 0,0236 1,33 1,40 14 
L2 1510 2114 8 9,10 3,92 0,0253 5,88 5,92 8,5 
L3 456 638,4 6,3 9,19 13,21 0,0237 1,65 1,73 18 
L4 -- 6,3 9,19 - - 0,90 1,56 20 
 
Tabela 17: Armaduras positiva_vertical. 
LAJE 𝑚𝑘,𝑦 𝑚𝑑,𝑦 ∅ (𝒎𝒎) 𝑑𝑠𝑢𝑝 𝑘𝑐,𝑦 𝑘𝑠,𝑦 𝑎𝑠,𝑦,𝑐𝑎𝑙𝑐 𝒂𝒔,𝒚 𝒔𝒚(𝒄𝒎) 
L1 380 532,00 5 8,75 14,39 0,0236 1,43 1,51 13 
L2 443 620,20 5 8,45 11,51 0,0238 1,75 1,78 11 
L3 399 558,60 5 8,62 13,30 0,0237 1,54 1,57 12,5 
L4 - - 6,3 8,55 - - 0,90 0,95 33 
 
11. CONCLUSÃO 
As lajes dimensionadas levaram em consideração os parâmetros das normativas NBR 
6120 (2019) e da NBR 6118 (2014), assim como roteiro de estudo elaborado por Pinheiro 
e Zumaeta. 
Como a classe de agressividade para área urbana é Classe II – moderada, adotou-se nas 
lajes o cobrimento nominal 2,5cm e o concreto de classe C25. 
Para manter o cobrimento necessário e garantir a altura útil, sendo que as lajes são 
armadas em duas direções e também apresentam armadura negativas, a altura da laje ficou 
estabelecida com 12cm. 
O diâmetro máximo da armadura calculada foi 10mm e o diâmetro mínimo 5mm, o 
diâmetro da armadura foi definido de forma a garantir que os espaçamentos mínimos e 
máximos fossem respeitados. 
As tabelas 18, 19, 20 e 21, abordam de forma sucinta os diâmetros das armaduras 
empregados para cada laje, o espaçamento adequado e a área de armadura estabelecida 
para que os diâmetros e espaçamentos sejam cumpridos. 
 
Tabela 18: Armadura negativa. 
LAJES ∅ (𝑚𝑚) 𝑎𝑠 (𝑐𝑚
2/𝑚) 𝑆 (𝑐𝑚) 
L1-L2 (H) 
10 
8,72 9,00 
L3-L2 (H) 8,72 9,00 
L1-L3 (V) 4,49 17,50 
L2-L4 (V) 8,26 9,50 
 
Tabela 19: Armadura negativa de distribuição. 
LAJES ∅ (𝑚𝑚) 𝑎𝑠 (𝑐𝑚
2/𝑚) 𝑆 (𝑐𝑚) 
L1-L2 (H) 8 1,80 28 
L3-L2 (H) 8 1,80 28 
L1-L3 (V) 6 0,95 33 
L2-L4 (V) 8 1,68 30 
 
Tabela 20: Armadura negativa de borda. 
LAJES ∅ (𝑚𝑚) 𝑎𝑠 (𝑐𝑚
2/𝑚) 𝑆 (𝑐𝑚) 
L1 5 1,23 16 
L2 5 1,23 16 
L3 5 1,23 16 
 
Tabela 21: Armadura positiva. 
LAJES ∅ (𝑚𝑚) 𝑎𝑠 (𝑐𝑚
2/𝑚) 𝑆 (𝑐𝑚) 
L1 (H) 5 1,40 14 
L2 (H) 8 5,92 8,5 
L3 (H) 6,3 1,73 18 
L4 (H) 6,3 1,56 20 
L1 (V) 5 1,51 13 
L2 (V) 5 1,78 11 
L3 (V) 5 1,57 12,5 
L4 (V) 6,3 0,95 33 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ABNT. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto 
de estruturas de concreto — Procedimento. Rio de Janeiro, 2014. 
________. NBR 6120: Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro, 
2019. 
PINHEIRO, L. ZUMAETA, W. Cálculo de esforços e dimensionamento de lajes maciças. 
Roteiro de aula. Web: www.wlcursos.com.br