Atividade Pratica Controle Contínuo

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Controle Contínuo 
Atividade Prática 
Prof. Samuel Polato Ribas 
Projeto e Análise de Compensadores por Intermédio da 
Resposta em Frequência Utilizando o Fator k 
1. OBJETIVO 
Realizar o projeto e a análise de compensadores utilizando a técnica do fator 
k, aplicado a um conversor CC-CC abaixador de tensão; 
 
2. MATERIAL UTILIZADO 
A Atividade Prática de Controle Contínuo será utilizada com a utilização do 
software de simulação gratuito Scilab. O aluno poderá fazer o download do software 
no endereço. 
https://www.scilab.org/download/6.1.1 
Além disso, aconselha-se fortemente, assistir a Aula prática 1 (Aula 7) 
e a Aula Prática 3 (Aula 9). 
O aluno deverá simular e resolver os seguintes exercícios e entregar o 
relatório em um ARQUIVO ÚNICO NO FORMATO PDF no AVA no ícone 
Trabalhos. 
3. INTRODUÇÃO 
Os conversores CC-CC são circuitos eletrônicos de potência que tem a 
finalidade de alterar um nível de tensão em corrente contínua, da sua entrada para 
a sua saída, por isso são chamados de conversores CC-CC. Eles podem elevar ou 
diminuir uma tensão CC, dependendo da topologia e do funcionamento. 
Para esta Atividade Prática, vamos utilizar o conversor CC-CC abaixador de 
tensão, cujo circuito é mostrado na Figura 1. 
 
Figura 1 – Conversor CC-CC abaixador-elevador de tensão. 
 
Este circuito possui uma função de transferência dada por 
https://www.scilab.org/download/6.1.1
 
 
 
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𝑣𝑐(𝑠)
𝑑(𝑠)
=
𝑉𝑖
𝐿𝐶𝑠2 +
𝐿
𝑅 𝑠 + 1
 
onde vc(s) que representa a tensão no capacitor saída é o sinal de saída, e d(s) que 
representa a razão cíclica é o sinal de entrada. 
Para os exercícios a seguir, considere os seguintes parâmetros da função 
de transferência. 
- L = 2 mH 
- C = 470 F 
- R = 2 Ω 
- E = 100 V 
- D = 0,25 
 
Com o auxílio do Scilab, realize as etapas a seguir para projetar e analisar 
um sistema de controle para este conversor. 
 
O fator k é uma técnica de controle que permite o projeto de três tipos de 
compensadores, cada qual com sua característica específica, denominados de 
compensadores Tipo 1, Tipo 2 e Tipo 3, mostrados na Figura 2. 
 
 Nos circuitos da Figura 2, o sinal IN é o sinal amostrado da tensão de saída 
do conversor CC-CC. O sinal Vref é o valor normalizado que se deseja na saída. 
 
Figura 2 – Compensadores do Tipo 1, Tipo 2 e Tipo 3. 
 Por exemplo, vamos supor que um circuito como mostrado na Figura 1, 
possui uma tensão de saída (que é a tensão sobre o capacitor e sobre o resistor) 
seja de 100 V. Então deve-se projetar um divisor resistivo, por exemplo, de modo 
 
 
 
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que a tensão no ponto médio seja equivalente a 100V. Esta tensão pode ser de 2,5 
V, por exemplo, e será o sinal IN do compensador. 
Assim sabe-se que se no ponto médio do divisor resistivo houver 2,5 V, na 
saída haverá 100 V. Portanto, a tensão Vref deve ser de 2,5 V. 
Então os compensadores atuam sobre a diferença entre o sinal Vref e IN, e 
com base na atuação, resulta-se no sinal OUT, que atuará sobre o conversor, 
regulando a tensão de saída. 
Independentemente do tipo de compensador utilizado, alguns passos devem 
ser seguidos para o projeto dos compensadores. 
Passo 1) Obter o diagrama de Bode da planta em malha aberta. 
Passo 2) Escolher a frequência de corte desejada (fc). 
Passo 3) Escolher a margem de fase desejada (MF). 
 A margem de fase é um valor escolhido pelo projetista que deve ficar entre 
45º e 90º. Para a maioria dos casos, 60º é uma boa escolha. 
Passo 4) Determinar o ganho do compensador (G). 
Este ganho é calculado fazendo 
20 log 𝐺 = 𝐺𝑑𝐵 
O valor de GdB é o valor obtido no gráfico de magnitude, em dB, do diagrama 
de Bode, na frequência de corte (fc) escolhida. 
Passo 5) Determinar o avanço de fase desejado (α). 
 O avanço de fase desejado é dado por 
𝛼 = 𝑀𝐹 − 𝑃 − 90º 
onde P é a defasagem provocada pelo sistema, que é o ângulo na frequência de 
corte no gráfico de fase no diagrama de Bode. 
Passo 6) Escolher o compensador (Tipo 1, Tipo 2 ou Tipo 3). 
Passo 7) Cálculo do fator k 
Para um compensador do Tipo 1, o fator k é sempre 1. 
Para um compensador do Tipo 2, o fator k é dado por 
𝑘 = 𝑡𝑔 (
𝛼
2
+ 45º) 
 
 
 
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Para um compensador do Tipo 3, o fator k é dado por 
𝑘 = [𝑡𝑔 (
𝛼
4
+ 45º)]
2
 
 Após o Passo 7, cada um dos compensadores possui um equacionamento 
específico para a determinação de seus componentes. 
Independentemente do tipo do compensador escolhido, deve-se atribuir um 
valor para o resistor R1, e a partir dele, e de alguns dados determinados nos Passos 
de 1 a 7, determina-se o valor dos demais elementos. 
A seguir segue o equacionamento de cada um dos compensadores. 
Compensador Tipo 1 
𝐶1 =
1
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐺 ∙ 𝑅1
 
Compensador Tipo 2 
𝐶2 =
1
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐺 ∙ 𝑘 ∙ 𝑅1
 
 
𝐶1 = 𝐶2(𝑘
2 − 1) 
 
𝑅2 =
𝑘
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐶1
 
Compensador Tipo 3 
𝐶2 =
1
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐺 ∙ 𝑅1
 
𝐶1 = 𝐶2(𝑘 − 1) 
𝑅2 =
√𝑘
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐶1
 
𝑅3 =
𝑅1
𝑘 − 1
 
𝐶3 =
1
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ √𝑘 ∙ 𝑅3
 
 
 
 
 
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4. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS 
QUESTÃO 1) A partir da função de transferência do conversor CC-CC, apresente 
a reposta em frequência (diagrama de Bode) para uma frequência de 1 mHz até 1 
MHz. Mostre o código que foi implementado no Scilab. 
Preencha a tabela a seguir com o que é solicitado. 
Código 
Implementado 
no Scilab para 
a declaração 
da função de 
transferência e 
da resposta 
em frequência 
do conversor 
s = %s; 
L = 2e-3; //L = 2 mH 
C = 470e-6; //C = 470 uF 
R = 2; //R = 2 ohms 
Vi = 100; //Vi = 100 V 
fmin = 1e-3; //frequência mínima de 1 mHz 
fmax = 1e6; //frequência máxima de 1 MHz 
Gs = syslin('c',Vi/(L*C*s^2+(L/R)*s+1)); //funcão de transferência do conversor 
bode(Gs,fmin,fmax) //Digrama de Bode entre 1 mHz e 1 MHz 
Figura da 
resposta em 
frequência do 
conversor. 
Gráfico de 
módulo e de 
fase entre 1 
mHz e 1 MHz 
 
 
QUESTÃO 2) Para uma margem de fase de 50º projete os componentes de um 
compensador do Tipo 3, para o referido conversor CC-CC. 
Adote 300 Hz como frequência de corte desejada. 
Para o valor do resistor R1 adote o número do seu RU divido por 1000, sem 
arredondamentos. 
Exemplo: 
𝑅𝑈 1649402 → 𝑅1 =
1649402
1000
→ 𝑅1 = 1649,402 
 
 
 
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Preencha a tabela com o que é solicitado. 
Defasamento provocado 
pelo sistema na 
frequência de corte 
desejada (P) 
P = –141,1º 
Ganho em dB na 
frequência de corte 
desejada (GdB) 
GdB = 30,45 dB 
Cálculo e valor do ganho 
do compensador (G) 
20 ∙ log 𝐺 = 𝐺𝑑𝐵 
20 ∙ log 𝐺 = 30,45 
log 𝐺 = 1,5225 
𝐺 = 101,5225 
𝐺 = 33,304 
Cálculo e valor do 
avanço de fase desejado 
(alfa) 
𝛼 = 𝑀𝐹 − 𝑃 − 90° 
𝛼 = 50° − (−141,1°) − 90° 
𝛼 = 101,1° 
Cálculo e valor do fator k 
𝑘 = [𝑡𝑔 (
𝛼
4
+ 45°)]
2
 
𝑘 = [𝑡𝑔 (
101,1°
4
+ 45°)]
2
 
𝑘 = 7,778 
Cálculo e valor de R1 𝑅1 = 1649,402 Ω 
Cálculo e valor de C2 
𝐶2 =
1
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐺 ∙ 𝑅1
 
𝐶2 =
1
2 ∙ 𝜋 ∙ 300 ∙ 33,304 ∙ 1649,402
= 9,65 𝑛𝐹 
Cálculo e valor de C1 𝐶1 = 𝐶2(𝑘 − 1) = 9,65 ∙ 10
−9(7,778 − 1) = 65,4 𝑛𝐹 
Cálculo e valor de R2 
𝑅2 =
√𝑘
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐶1
 
𝑅2 =
√7,778
2 ∙ 𝜋 ∙ 300 ∙ 65,4 ∙ 10−9
= 22,623 𝑘Ω 
Cálculo e valor de R3 
𝑅3 =
𝑅1
𝑘 − 1
=
1649,402
7,778 − 1
= 243,34 Ω 
 
 
 
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Cálculo e valor de C3 
𝐶3 =
1
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ √𝑘 ∙ 𝑅3
 
𝐶3 =
1
2 ∙ 𝜋 ∙ 300 ∙ √7,778 ∙ 243,34
= 781 𝑛𝐹 
 
QUESTÃO 3) Apresente a dedução matemática para a obtenção da função de 
transferência do compensador do Tipo 3, e a função de transferência numérica, 
considerando os valores dos componentesencontrados na QUESTÃO 2. 
 
Preencha a tabela a seguir com o que é solicitado. 
Dedução 
matemática da 
função de 
transferência do 
compensador 
do Tipo 3 
 
Cálculo de Z1 
1
𝑠𝐶3
+ 𝑅3 =
𝑠𝑅3𝐶3 + 1
𝑠𝐶3
 
𝑍1 =
(
𝑠𝑅3𝐶3 + 1
𝑠𝐶3
) ∙ 𝑅1
(
𝑠𝑅3𝐶3 + 1
𝑠𝐶3
) + 𝑅1
=
𝑠𝑅1𝑅3𝐶3 + 𝑅1
𝑠𝐶3
𝑠𝑅3𝐶3 + 1 + 𝑠𝑅1𝐶3
𝑠𝐶3
= 
=
𝑠𝑅1𝑅3𝐶3 + 𝑅1
𝑠𝑅1𝐶3 + 𝑠𝑅3𝐶3 + 1
 
 
Cálculo de Z2 
1
𝑠𝐶1
+ 𝑅2 =
𝑠𝑅2𝐶1 + 1
𝑠𝐶1
 
 
 
 
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𝑍2 =
(
𝑠𝑅2𝐶1 + 1
𝑠𝐶1
) ∙
1
𝑠𝐶2
(
𝑠𝑅2𝐶1 + 1
𝑠𝐶1
) +
1
𝑠𝐶2
=
𝑠𝑅2𝐶1 + 1
𝑠2𝐶1𝐶2
𝑠2𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑠𝐶1 + 𝑠𝐶2
𝑠2𝐶1𝐶2
= 
=
𝑠𝑅2𝐶1 + 1
𝑠2𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑠𝐶1 + 𝑠𝐶2
 
 
Obtenção da função de transferência 
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
= −
𝑍2
𝑍1
= −
𝑠𝑅2𝐶1 + 1
𝑠2𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑠𝐶1 + 𝑠𝐶2
𝑠𝑅1𝑅3𝐶3 + 𝑅1
𝑠𝑅1𝐶3 + 𝑠𝑅3𝐶3 + 1
= 
= −
𝑠𝑅2𝐶1 + 1
𝑠2𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑠𝐶1 + 𝑠𝐶2
∙
𝑠𝑅1𝐶3 + 𝑠𝑅3𝐶3 + 1
𝑠𝑅1𝑅3𝐶3 + 𝑅1
 
 
Numerador da função de transferência 
𝑠2𝑅1𝑅2𝐶1𝐶3 + 𝑠
2𝑅2𝑅3𝐶1𝐶3 + 𝑠𝑅2𝐶1 + 𝑠𝑅1𝐶3 + 𝑠𝑅3𝐶3 + 1 
𝑠2𝑅2𝐶1𝐶3(𝑅1 + 𝑅3) + 𝑠(𝑅2𝐶1 + 𝐶3(𝑅1 + 𝑅3)) + 1 
 
Denominador da função de transferência 
𝑠3𝑅1𝑅2𝑅3𝐶1𝐶2𝐶3 + 𝑠
2𝑅1𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑠
2𝑅1𝑅3𝐶1𝐶3 + 
+𝑠𝑅1𝐶1 + 𝑠
2𝑅1𝑅3𝐶2𝐶3 + 𝑠𝑅1𝐶2 
Termo s3 
𝑠3𝑅1𝑅2𝑅3𝐶1𝐶2𝐶3 
Termo s2 
𝑠2𝑅1𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑠
2𝑅1𝑅3𝐶1𝐶3 + 𝑠
2𝑅1𝑅3𝐶2𝐶3 = 
𝑠2𝑅1(𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑅3𝐶1𝐶3 + 𝑅3𝐶2𝐶3) 
Termo s 
𝑠𝑅1𝐶1 + 𝑠𝑅1𝐶2 = 𝑠𝑅1(𝐶1 + 𝐶2) 
 
Função de transferência do compensador do Tipo 3 
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
= −
𝑅2𝐶1𝐶3(𝑅1 + 𝑅3)𝑠
2 + (𝑅2𝐶1 + 𝐶3(𝑅1 + 𝑅3))𝑠 + 1
𝑅1𝑅2𝑅3𝐶1𝐶2𝐶3𝑠
3 + 𝑅1(𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑅3𝐶1𝐶3 + 𝑅3𝐶2𝐶3)𝑠
2 + 𝑅1(𝐶1 + 𝐶2)𝑠
 
 
QUESTÃO 4) Considerando a função de transferência do compensador do Tipo 3, 
dada por 
 
 
 
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𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
 =
𝑅2𝐶1𝐶3(𝑅1 + 𝑅3)𝑠
2 + (𝑅2𝐶1 + 𝐶3(𝑅1 + 𝑅3))𝑠 + 1
𝑅1𝑅2𝑅3𝐶1𝐶2𝐶3𝑠3 + 𝑅1(𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑅3𝐶1𝐶3 + 𝑅3𝐶2𝐶3)𝑠2 + 𝑅1(𝐶1 + 𝐶2)𝑠
 
 
Apresenta a função de transferência do compensador, preenchendo a tabela a 
seguir. 
Código 
Implementado 
no Scilab para a 
declaração da 
função de 
transferência e 
da resposta em 
frequência do 
compensador. 
FT_Tipo_3 = syslin('c',(R2*C1*C3*(R1+R3)*s^2+ 
(R2*C1+C3*(R1+R3))*s+1)/(R1*R2*R3*C1*C2*C3*s^3+ 
R1*(R2*C1*C2+R3*C1*C3+R3*C2*C3)*s^2+R1*(C1+C2)*s)); //função de 
transferência do compensador Tipo 3 
figure; 
bode(FT_Tipo_3,fmin,fmax) //Digrama de Bode do compensador entre 1 mHz e 1 MHz 
 
Figura da 
resposta em 
frequência do 
compensador. 
Gráfico de 
módulo e de fase 
entre 1 mHz e 1 
MHz 
 
 
QUESTÃO 5) Obtenha a resposta ao degrau para o sistema em malha aberta sem 
compensação. 
- Sistema em malha aberta sem compensação: 
 
Em que d(s) = 0,25 e G(s) é a função de transferência da planta. O vetor de tempo 
deve ser declarado como t = (0:0.0001:0.03). 
Preencha a tabela a seguir com as respostas 
 
 
 
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Código implementado 
no Scilab para a 
visualização da 
resposta ao degrau 
em malha aberta sem 
compensação. 
t = (0:0.0001:0.03); 
y = csim('step',t,(D*Gs)); 
figure; 
plot(t,y) 
xgrid; 
Figura da resposta ao 
degrau em malha 
aberta. 
 
 
QUESTÃO 6) Considerando o seguinte diagrama em malha fechada com 
compensação. 
 
em que C(s) é a função de transferência do compensador, e que G(s) é a função 
de transferência da planta. 
Apresente a resposta em frequência em malha aberta, e a medição da margem de 
fase e da margem de ganho. Utilize a ferramenta Toggle Datatip Mode para verificar 
a margem de fase e de ganho. 
Código 
implementado 
no Scilab para a 
visualização da 
resposta em 
frequência da 
função de 
transferência 
em malha 
FTMA = FT_Tipo_3*Gs; //função de transferência de malha aberta 
figure; 
bode(FTMA,fmin,fmax) //Diagrama de Bode da função de transferência em malha 
aberta 
 
 
 
 
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aberta. 
Figura da 
resposta em 
frequência da 
função de 
transferência 
em malha 
aberta de 1 mHz 
até 1 MHz. 
 
Medição e valor 
da margem de 
fase no Scilab. 
MF = –254º–(–180º) = –74º 
 
 
 
 
 
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Medição e valor 
da margem de 
ganho no 
Scilab. 
MG = 46,21 dB 
 
 
QUESTÃO 7) Apresente graficamente os polos e zeros da planta e do 
compensador. Utilize o comando plzr do Scilab. 
Código 
implementado no 
Scilab para a 
visualização os 
polos e zeros da 
planta 
plzr(Gs) //polos e zeros da planta 
 
Figura dos polos e 
zeros da planta da 
planta, G(s) 
Posição dos polos: – 531,915 ± j883,683 
 
 
 
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Código 
implementado no 
Scilab para a 
visualização os 
polos e zeros do 
compensador 
plzr(Cs) //polos e zeros da planta 
Figura dos polos e 
zeros do 
compensador, C(s) 
Posição do zero: –675,872 
Posição dos polos: 0 ; –5257,248 ; –5257,248 
 
 
Observações: 
 
 
 
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Todas as observações a seguir devem OBRIGATORIAMENTE, serem atendidas. 
Qualquer uma delas que não seja atendida o trabalho será DESCONSIDERADO: 
• Não serão aceitas figuras na forma de fotos de caderno e fotos de tela do 
computador. Questões que não atenderem este item serão desconsideradas; 
• Todos os cálculos devem ser digitados utilizando um editor de equações. 
Figuras e textos com baixa resolução, ou em tamanho desproporcional serão 
desconsiderados. 
• As questões devem ser respondidas EXCLUSIVAMENTE no espaço 
destinado a cada cálculo nas tabelas apresentadas em cada questão. 
• O tamanho das tabelas pode ser alterado para que os cálculos e figuras 
caibam no espaço destinado à resposta. 
• Quaisquer outras dúvidas, podem ser esclarecidas pela tutoria. 
 
Opcional: 
Para os alunos que desejarem se aprofundar mais em relação a projetos de 
controladores por meio do fator k, podem ler o artigo, em inglês, no link 
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=CF261FC44BE55004BA
724BFE3B5C4B92?doi=10.1.1.196.6850&rep=rep1&type=pdf 
Vale ressaltar que a leitura do artigo é opcional, não sendo necessária a sua 
leitura para a realização desta Atividade Prática. 
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=CF261FC44BE55004BA724BFE3B5C4B92?doi=10.1.1.196.6850&rep=rep1&type=pdf
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=CF261FC44BE55004BA724BFE3B5C4B92?doi=10.1.1.196.6850&rep=rep1&type=pdf