L1_-_2023_(treino)[1]

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ACH3584 - Estatística II
Professor: Alexandre Ribeiro Leichsenring
Lista Treino
1. Um teste de avaliação acadêmica é padronizado para que as notas sejam normalmente distribuídas com
média µ = 800 e desvio padrão σ = 160. Pergunta-se.
a) Que porcentagem das notas se situa entre 800 e 960?
b) Qual é o valor da nota que apenas 5% dos alunos consegue superar?
2. Supõe-se que o consumo mensal de água (medido em m3) por residência em um certo bairro tem distri-
buição Normal com média 60 e variância 25.
a) Qual a probabilidade de que em uma residência qualquer escolhida ao acaso nesse bairro o consumo
seja maior do que 61 m3?
b) Considere agora uma amostra de 100 residências nesse bairro. Qual a probabilidade de que a média
dessa amostra seja maior do que 61 m3?
3. Considere γ, coe�ciente de con�ança, e zγ quantil da Normal Padrão Z tal que P (−zγ ≤ Z ≤ zγ) = γ.
Determine zγ nos seguintes casos:
a) γ = 0, 90
b) γ = 0, 95
c) γ = 0, 99
4. Uma petrolífera estatal fabrica cilindros com 65 mm de diâmetro e 4 mm de variância. Uma amostra de
36 cilindros é retirada e o diâmetro médio da amostra é usado para decidir se o processo de fabricação
está operando satisfatoriamente. Aplica-se a seguinte regra de decisão: se o diâmetro médio de amostra
se afastar mais do que 1 mm do esperado (ou seja, se for menor do que 64 mm ou maior do que 66 mm),
deve-se parar o processo. Caso contrário, o processo continua.
a) Se a máquina opera normalmente (conforme a regulagem padrão), qual é a probabilidade de que o
resultado da amostra indique a necessidade de se parar o processo?
b) Agora considere a situação em que a máquina se desregula e começa a produzir peças com diâmetro
médio de 66 mm, portanto maiores do que o padrão. Avaliando a amostra de 36 cilindros, qual a
probabilidade de que a regra de decisão não aponte necessidade de parar?
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5. Foi feita uma pesquisa com usuários de transporte público em uma cidade para determinar o tempo de
deslocamento de casa ao trabalho. Foram medidos os tempos de 36 usuários, que resultaram em média
45 minutos. Sabe-se que o desvio padrão do tempo de deslocamento é de 20 minutos.
a) Construa um intervalo de con�ança para o tempo médio de deslocamento. Utilize coe�ciente de con�-
ança igual a 95%.
b) O secretário de transporte da cidade a�rmou que o tempo médio de deslocamento não é maior do que
40 minutos. Os dados refutam a a�rmação do secretário? Justi�que sua resposta.
6. (3,5 pontos) Suponha que um gestor vai fazer uma pesquisa para estimar a proporção da população de
uma determinada cidade que demanda um certo tratamento de saúde.
a) Determine o tamanho da amostra necessária para obter estimativas da proporção de pessoas que
demandam tratamento, com margem de erro de 5% e con�ança 95%. (1,0)
b) Se o gestor sabe que a proporção de pessoas com necessidade do tratamento é menor do que 30%,
então ele pode usar essa informação para reduzir o tamanho da amostra. Ao invés de usar a fórmula
conservadora
n =
z2γ
4ϵ2
,
ele pode usar
n =
z2γp(1− p)
ϵ2
.
Como p ≤ 0, 30, então p(1−p) ≤ 0, 21. Usando essa informação, chega-se a qual tamanho de amostra?
7. O resultado de uma eleição no Brasil indicou que um determinado candidato sagrou-se vencedor no 1o
turno com 56% dos votos.
a) Seja p̂ a proporção amostral de eleitores do tal candidato numa pesquisa de boca de urna. Então,
sabemos que E(p̂) = p, proporção populacional. Com as informações de que dispomos, por que podemos
alegar que o valor do parâmetro populacional p é igual a 0, 56?
b) Se na véspera da eleição fosse feita uma pesquisa de intenção de votos com uma amostra aleatória de
400 eleitores, qual seria a probabilidade de que a pesquisa projetasse ocorrência de 2o turno?
Respostas
1. a) P(800 ≤ X ≤ 960) = 0, 3413
b) O valor que apenas 5% dos alunos consegue superar é 1063,17.
2. a) P(X ≥ 61) = 1− 0, 5793 = 0, 4207
b) P(X̄ ≥ 61) = 1− 0.9772 = 0, 0228
3. a) 1,645
b) 1,96
c) 2,575
4. a) µ = 65 ⇒ P(X̄ /∈ [64, 66]) = 0, 0026
b) µ = 66 ⇒ P(X̄ ∈ [64, 66]) = 0, 5
Dica da questão 4.b
Se X é a variável que representa a dimensão de um cilindro, então se a máquina se desregula da maneira
referida no enunciado, sua distribuição passa a ser N(66, 22). A regra de decisão apontará necessidade de parar
a produção se X̄, média dos 36 cilindros amostrados, �car fora do intervalo [64, 66]. A probabilidade pedida
então corresponde à probabilidade de que a a média da produção desregulada �que no intervalo [64, 66], ou seja:
P
(
X̄ ∈ [64, 66]
)
, onde X̄ ∼ N
(
66,
22
36
)
5. a) IC[µ; 0, 95] = [38, 47; 51, 53]
b) Como o IC contém o valor alegado pelo secretário, a alegação do secretário não pode ser contestada ao nível
de 95% de con�ança.
6. a) n = 384
b) n∗ = 323
7. a) Sim. Ver de�nição de parâmetro.
b) P(p̂ < 0, 5) = 0, 0078
Dica da questão 7
a) Se o candidato sagrou-se vencedor com com 56% dos votos, então essa é a proporção de votos dele na população
(o que é um parâmetro?).
b) A pesquisa projetaria ocorrência de 2 turno se a proporção amostral p̂ fosse inferior a 0,5.