Aula 16 - Despacho econômico considerando perdas em linhas de transmissão

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Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Curso de Engenharia Elétrica
Análise de Sistemas de Potência
DESPACHO ECONÔMICO 
CONSIDERANDO
PERDAS EM LINHAS DE TRANSMISSÃO
POR QUE CONSIDERAR AS 
PERDAS?
◼ LTs longas produzem grandes perdas 
◼ Distribuir melhor a geração
◼ Minimizar custos devido às perdas
EQUACIONAMENTO (1/2)
Sabe-se que a Geração total deve ser igual à 
Demanda total somada às Perdas:
PG – PD – PLT = 0
COMO DEFINIR AS PERDAS EM FUNÇÃO DAS POTÊNCIAS 
GERADAS NAS UNIDADES?
EQUACIONAMENTO (2/2)
◼ As Perdas nas linhas são funções 
quadráticas de PGi, definidas como:
Onde: e
  GGLT
n
i
n
j
GjijGiLT
PBPP
PBPP
´
1 1
=
=
= =










=
Gn
G
G
G
P
P
P
P 2
1
É a Matriz simétrica dos 
coeficientes “B”
 B
CÁLCULO DA MATRIZ “B” (1/9)
◼ Através de deduções, determina-se que as 
constantes “B” são obtidas por:
◼ i, j = índices da matriz [B]
◼ k, m = índices de gerador








=
GkGm
LT
ij
PP
P
B
2
2
1
CÁLCULO DA MATRIZ “B” (2/9)
◼ Nos estudos de fluxo de carga obtém-se as perdas 
através da equação, onde b é o n. de barras:
◼ Necessita-se a derivada das perdas pela potência do 
gerador, porém a equação acima apresenta como 
incógnita o ângulo. Usa-se a regra da cadeia para 
resolver:

= =
−−=
b
i
ijj
b
j
iijjiLT yVVP
1 1
)cos( 

= 



=

 b
k Gj
k
k
LT
Gj
LT
P
P
P
P
1










=
GkGm
LT
ij
PP
P
B
2
2
1
CÁLCULO DA MATRIZ “B” (3/9)
◼ Pode-se obter derivando a equação das 
perdas:
◼ “b” é o número de barras do sistema.
k
LTP



=
−=

 b
i
kiikki
k
LT gVV
P
1
)sin(2 

CÁLCULO DA MATRIZ “B” (4/9)
◼ Para obter deve-se seguir o 
procedimento:
◼ determina-se o despacho econômico sem considerar as 
perdas como primeira aproximação;
◼ resolve-se o fluxo de potência, obtendo os ângulos iniciais 
das barras;
◼ acrescenta-se todas as cargas em uma proporção de 10%.
Gj
k
P

CÁLCULO DA MATRIZ “B” (5/9)
◼ Resolve-se o fluxo de potência novamente, onde apenas o 
gerador 1 assume todo o aumento de carga (barra do 
gerador 1 deve ser a referência angular);
Com isso, pode-se obter a variação angular de todas as 
“b” barras para o aumento de geração no gerador 1:
1
11
k
G
k
G
k A
PP
=




 
CÁLCULO DA MATRIZ “B” (6/9)
◼ O procedimento deve ser repetido para 
todos os n geradores, de modo que:
◼ b = número de barras
◼ n = número de geradores
kj
Gj
k
Gj
k A
PP
=




 
nj
bk
,...,2,1
,...,2,1
=
=
CÁLCULO DA MATRIZ “B” (7/9)
◼ Para obter a derivada de segunda ordem das perdas 
em relação às potências geradas, faz-se:
◼ Para encontrar os termos “A” é necessário seguir os 
cinco passos apresentados anteriormente. Faltando a 
determinar
mi
b
m
b
k
kj
km
LT
Gi
m
b
m
b
k Gj
k
km
LT
GjGi
LT AA
P
PP
P
PP
P

= == = 

=






=


1 1
2
1 1
22



km
LTP
 
2
CÁLCULO DA MATRIZ “B” (8/9)
◼ Derivando-se duas vezes a equação das perdas 
em função dos ângulos, obtêm-se:
)cos(2
2
kmmkkm
km
LT gVV
P


−=


km 


=
−−=

 b
mi
i
miimmi
km
LT gVV
P
1
2
)cos(2 

km =
CÁLCULO DA MATRIZ “B” (9/9)
◼ Substituindo os termos encontrados na 
equação dos coeficientes “B”:








= 
= =
mi
b
m
b
k
kj
km
LT
ij AA
P
B
1 1
2
2
1

CÁLCULO DO DESPACHO (1/3)
◼ O despacho econômico considerando as perdas em 
linhas de transmissão tem a seguinte formulação:

=
=
n
i
iCC
1
0=−− LTDG PPP
 LTDGi
n
i
i PPPC −−−=
=

1

(FUNÇÃO OBJETIVO – CUSTOS) 
(EQUAÇÃO DE RESTRIÇÃO) 
(LAGRANGIANO) 
01 =









−−


=


Gi
LT
Gi
i
Gi P
P
P
C
P


(DERIVADA PARCIAL) 
CÁLCULO DO DESPACHO (2/3)
◼ O custo mínimo é atingido quando os custos 
incrementais “λ” de todas as unidades geradoras são 
iguais.
 =










−


=
Gi
LT
Gi
i
i
P
P
P
C
1
iGii
Gi
i P
P
C
 +=


2

=
=

 n
j
Gjij
Gi
LT PB
P
P
1
2
CÁLCULO DO DESPACHO (3/3)
◼ A equação de restrição é utilizada como:
◼ Devido ao termo quadrático na restrição, a solução 
do despacho é realizado através de um método 
iterativo, como o Newton-Raphson, tendo como 
objetivo obter valores de custos incrementais para os 
geradores iguais entre si.
0
1 11
=−− 
= ==
n
i
n
j
GjijGiL
n
i
Gi PBPPP
CÁLCULO DO FATOR DE PENALIDADE 
(1/2)
◼ É importante definir um fator de ponderação ou fator 
de penalidade para as unidades geradoras, assim:
◼ O Fpi determina a variação do custo incremental em 
função da potência gerada pela unidade i.
;
1
1








−
=
Gi
LT
i
P
P
FP 
=
=

 n
j
Gjij
Gi
LT PB
P
P
1
2
CÁLCULO DO FATOR DE PENALIDADE 
(2/2)
◼ Se um aumento de -> então 
◼ Isto faz com que o gerador i pareça mais caro (isto é, 
ele é penalizado).
iPG LTP 1;0 

i
Gi
LT FP
P
P
CONDIÇÃO DE OTIMALIDADE
n
Gn
n
GG
FP
P
C
FP
P
C
FP
P
C


===


...2
2
2
1
1
1


nnFPFPFP  === ...2211
Cálculo do FP 
◼ O calculo analítico do FP é complexo porque 
uma pequena variação na geração impacta no 
fluxo e perdas de todo o sistema. Uma forma 
de encontrar-se um valor aproximado do FP é 
causar pequenas variações na geração e 
verificar a variação nas perdas. Leia-se i=2.
Gi
LT
Gi
LT
P
P
P
P


=


0521,0
100110
732,2211,2
−=
−
−
=


Gi
LT
P
P
9505.02 FP
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
Gross, C.A. - Power System Analysis. John Wiley & 
Sons, EUA, 1986. 
Zhu, J. – Optimization of Power System Operation. 
John Wiley & Sons, EUA, 2009.