CONCEITOS_ELEMENTARES TRIF

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1. INTRODUÇÃO 
 
A forma de onda da tensão em um sistema de potência pode ser 
assumida como puramente senoidal e de freqüência constante. No 
desenvolvimento da maioria da teoria neste livro, lidaremos com a 
representação fasorial de tensões e correntes senoidais e usaremos as 
letras maiúsculas V e I para indicar estes fasores (com índices 
apropriados quando necessário). V e I entre barras verticais, isto é, |V| 
e |I|, designarão o módulo dos fasores. Letras minúsculas indicarão 
valores instantâneos. Quando se tratar de uma tensão gerada (força 
eletromotriz), a letra E em vez de V será usada para enfatizar o fato de 
que uma fem em vez de uma simples diferença de potencial entre dois 
pontos é considerada. 
 Se uma tensão e uma corrente são expressas em função do 
tempo, tais como 
)30(cos4,141 °+= tv ω 
e 
ti ωcos07,7= 
seus valores máximos são, obviamente, Vmáx = 141,4 V e Imáx = 7,07 A, 
respectivamente. Barras verticais não são necessárias quando o índice 
máx é usado com V e I para indicar o valor máximo. O termo módulo 
se refere ao valor médio quadrático (root-mean-square) ou valor rms, 
que é igual ao valor máximo dividido por 2 . Assim, para as 
expressões anteriores de v e i, 
|V|=100 V e |I|=5 A 
Estes são os valores lidos por voltímetros e amperímetros comuns. 
Outra designação para o valor rms é valor eficaz. A potência média 
dispendida em um resistor é |I|2R. 
 Para expressar estas quantidades como fasores, uma referência 
deve ser escolhida. Se a corrente é o fasor de referência 
05º05 jI +=∠= A 
a tensão, que está adiantada do fasor de referência de 30° é 
506,86º30100 jV +=∠= V 
Evidentemente, poderíamos não escolher como o fasor de referência a 
tensão ou a corrente cujas expressões instantâneas são v e i, neste 
caso suas expressões envolveriam outros ângulos. 
Em diagramas de circuitos, freqüentemente convém usar 
marcadores de polaridade na forma de sinais de mais ou menos para 
indicar o terminal assumido como positivo quando da especificação da 
tensão. Uma seta no diagrama especifica a direção assumida como 
positiva para o fluxo de corrente. Num circuito equivalente monofásico 
de um circuito trifásico a notação de índice simples é normalmente 
suficiente, mas a notação de índice duplo é usualmente mais simples 
quando se lida com todas as três fases. 
 
 
2. NOTAÇÃO DE ÍNDICE SIMPLES 
 
A Fig. 1 mostra um circuito de corrente alternada (ac) com uma fem 
representada por um círculo. A fem é Eg, e a tensão entre os terminais 
a e o é identificada por Vt. A corrente no circuito é IL e a tensão sobre ZL 
é VL. No entanto, para especificar no diagrama estas tensões como 
fasores, os símbolos + e – e uma seta para o sentido de corrente são 
necessários. 
 Em um circuito ac, o terminal marcado com + é positivo em 
relação ao terminal marcado com – durante a metade de um ciclo de 
tensão e é negativo em relação ao outro terminal durante a próxima 
metade do ciclo. Marcamos os terminais para dizer que a tensão entre 
os eles é positiva em qualquer instante em que o terminal mais está a 
um potencial maior que o terminal menos. Por exemplo, na Fig. 1 a 
tensão instantânea vt é positiva quando o terminal mais está realmente 
a um potencial maior que o terminal com sinal negativo. Durante o 
próximo semiciclo, o terminal marcado positivamente estará na 
realidade negativo e vt é negativa. Muitos autores usam uma seta, mas 
é preciso especificar se a seta aponta no sentido do terminal que deve 
ser rotulado como mais ou no sentido do terminal que deve ser 
rotulado como menos na convenção descrita acima. 
 A seta de corrente desempenha uma função similar. O índice, 
neste caso L, não é necessário, a menos que outras correntes estejam 
presentes. Obviamente, o sentido real do fluxo de corrente em um 
circuito ac inverte a cada meio ciclo. A seta aponta no sentido que é 
Figura 1 Um circuito ac com fem Eg e 
impedância de carga ZL. 
considerado positivo para a corrente. Quando a corrente está fluindo 
no sentido oposto ao da seta, a corrente é negativa. O fasor corrente é 
A
Lt
L Z
VV
I
−
= (1) 
e 
gLgt ZIEV −= (2) 
 Se determinados nós no circuito são assinalados com letras, as 
tensões podem ser designadas por índices simples identificando o nó 
cujas tensões são expressas em relação ao nó de referência. Na Fig. 1 a 
tensão instantânea va e o fasor tensão Va expressam a tensão do nó a 
em relação ao nó de referência o, e va é positiva quando o potencial em 
a é maior que em o. Assim 
ta vv = Lb vv = 
ta VV = Lb VV = 
 
 
3. NOTAÇÃO DE ÍNDICE DUPLO 
 
O uso de símbolos de polaridade para tensões e setas direcionais para 
correntes pode ser eliminado pela notação de índice duplo. O 
entendimento de circuitos trifásicos é consideravelmente esclarecido 
com a adoção de um sistema de índices duplos. A convenção a ser 
seguida é bastante simples. 
 Para denotar uma corrente a ordem dos índices associados ao 
símbolo para corrente define o sentido do fluxo de corrente quando 
esta é considerada positiva. Na Fig. 1 a seta apontando de a para b 
define o sentido positivo para a corrente IL associado com a seta. A 
corrente instantânea iL é positiva quando a corrente realmente está no 
sentido de a para b, e em notação de índice duplo esta corrente é iab. A 
corrente iab é igual a – iba. 
 Na notação de índice duplo as letras subscritas a uma tensão 
indicam os nós do circuito entre os quais a tensão existe. Seguiremos a 
convenção que estabelece que o primeiro índice denota a tensão 
daquele nó em relação ao nó identificado pelo segundo índice. Isto 
significa que a tensão instantânea vab sobre ZA no circuito da Fig. 1 é a 
tensão do nó a em relação ao nó b e que vab é positiva durante o 
semiciclo em que o potencial em a é maior que o potencial em b. O 
fasor tensão correspondente é VAB, e 
Aabab ZIV = (3) 
onde ZA é a impedância complexa através da qual Iab flui entre os nós a 
e b, que também pode ser chamada Zab. 
 A inversão da ordem dos índices da tensão ou da corrente causa 
um defasamento de 180º em relação à tensão ou à corrente originais; 
isto é, 
babaab VVV −=∠= º180 
 A relação entre a notação de índice simples e de índice duplo 
para o circuito da Fig. 1 é sumarizada a seguir: 
aoat VVV == bobL VVV == 
abL II = 
 Ao escrever a lei de Kirchhoff das tensões, a ordem dos índices é 
a ordem do traçado de um percurso fechado ao longo do circuito. Para 
a Fig. 1, 
0=++ bnaboa VVV (4) 
Os nós n e o são os mesmos neste circuito, e n foi introduzido para 
indicar o percurso mais precisamente. Substituindo Voa por –Vao e 
notando que Vab = IabZA, temos 
0=++− bnAabao VZIV (5) 
e então, 
A
bnao
ab Z
VVI −= (6) 
 
 
4. POTÊNCIA EM CIRCUITOS AC MONOFÁSICOS 
 
Apesar de a teoria fundamental da transmissão de energia descrever o 
transporte de energia em termos da interação entre campos elétricos e 
magnéticos, o engenheiro de sistemas de potência quase sempre lida 
com a descrição da taxa de variação da energia em relação ao tempo 
(que é a definição de potência) em termos de tensão e corrente. A 
unidade de potência é um watt. A potência em watts absorvida por 
uma carga em qualquer instante é o produto da queda de tensão 
instantânea sobre a carga em volts e a corrente instantânea na carga 
em ampères. Se os terminais da carga são designados por a e n, e se a 
tensão e a corrente são expressas por 
tVv máxan ωcos= e )(cos θω −= tIi máxan 
a potência instantânea é 
)cos(cos θωω −== ttIVivp máxmáxanan (7) 
Figura 3 Circuito RL paralelo e 
diagrama fasorial correspondente. 
O ângulo θ nestas equações é positivo para corrente atrasada em 
relação à tensão e negativo para corrente adiantada. Um valor positivo 
para p expressa a taxa na qual a energia é absorvida pela parte do 
sistema entre os pontos a e n. A potência instantânea é obviamente 
positiva quando ambas van e ian são positivas, mas se torna negativa 
quando van e ian têm sinais opostos. A Fig. 2 ilustra isto. Potência 
positivacalculada como vanian resulta quando a corrente está fluindo 
na direção de uma queda de tensão e é a taxa de transferência de 
energia à carga. Da mesma forma, potência negativa calculada como 
vanian resulta quando a corrente flui na direção de uma elevação de 
tensão e significa que a energia está sendo transferida da carga para o 
sistema no qual a carga está conectada. Se van e ian estão em fase, 
como acontece em uma carga puramente resistiva, a potência 
instantânea nunca será negativa. Se a corrente e a tensão estão 
defasadas de 90º, como num elemento de circuito puramente indutivo 
ou puramente capacitivo, a potência instantânea terá semiciclos 
positivo e negativo iguais e seu valor médio será zero. 
 Com o uso de identidades trigonométricas a expressão da Eq. 7 é 
reduzida a 
t
IV
t
IV
p máxmáxmáxmáx ωθωθ 2sinsin
2
)2cos1(cos
2
++= (8) 
onde Vmáx Imáx/2 pode ser substituído pelo produto da tensão e corrente 
eficazes |Van|·|Ian| ou |V|·|I|. 
 Outra forma de olhar a expressão para a potência instantânea é 
considerar a componente da corrente em fase com van e a componente 
defasada de 90° de van. A Figura 3a mostra um circuito paralelo para o 
qual a Fig. 3b é o diagrama fasorial. A componente de ian em fase com 
van é iR, e da Fig. 3b, |IR|=|Ian|cos θ. Se o valor máximo de ian é Imáx, o 
valor máximo de iR é Imáx cos θ. A corrente instantânea iR deve estar em 
fase com van. Para van = Vmáx cos ωt, 
tIi
Rimáx
máxR ωθ coscos43421= (9) Figura 2 Corrente, tensão e potência em função do tempo. 
Similarmente a componente de ian atrasada de van de 90º é iX, cujo 
valor máximo é Imáx sin θ. Como iX deve estar atrasada de van de 90º, 
tIi
Ximáx
máxX ωθ sinsin43421= (10) 
Então 
)2cos1(cos
2
coscos 2
tIV
tIViv
máxmáx
máxmáxRan
ωθ
ωθ
+=
=
 (11) 
que é a potência instantânea na resistência e é o primeiro termo na Eq. 
8. A Fig. 4 mostra a curva vaniR em função do tempo. 
 Similarmente, 
t
IV
ttIViv
máxmáx
máxmáxXan
ωθ
ωωθ
2sinsin
2
cossinsin
=
=
 (12) 
que é a potência instantânea na indutância e o segundo termo na Eq. 
8. A Fig. 5 mostra as curvas de van, iX e do seu produto em função do 
tempo. 
 O exame da Eq. 8 mostra que o primeiro termo, o termo que 
contém cosθ, é sempre positivo e tem um valor médio de 
Figura 4 Tensão, corrente em fase com a tensão e a potência resultante versus tempo. 
θcos
2
máxmáx IVP = (13) 
ou, quando os valores de tensão e corrente eficazes são substituídos, 
θcosIVP ⋅= (14) 
P é a quantidade sobre a qual a palavra potência se refere quando não 
modificada por um adjetivo que a identifique de outra forma. P, a 
potência média, é também chamada potência real ou potência ativa. A 
unidade fundamental para ambas as potências, instantânea e média, é 
o watt, mas um watt é uma unidade tão pequena em relação às 
quantidades do sistema de potência que P é usualmente medida em 
quilowatts (kW) ou megawatts (MW). 
 O cosseno do ângulo θ de defasagem entre a tensão e a corrente é 
denominado fator de potência. Diz-se que um circuito indutivo tem um 
fator de potência atrasado e que um circuito capacitivo tem um fator 
de potência adiantado. Em outras palavras, os termos fator de potência 
atrasado e fator de potência adiantado indicam, respectivamente, se a 
corrente está atrasada ou adiantada em relação à tensão aplicada. 
 O segundo termo da Eq. 8, o termo contendo sinθ, é 
alternadamente positivo e negativo e tem um valor médio nulo. Esta 
componente da potência instantânea p é chamada potência reativa 
instantânea e expressa o fluxo de energia que se alterna na direção da 
carga e a partir dela. O valor máximo dessa potência pulsante, 
designado Q, é chamado potência reativa ou volt-ampères reativos é 
muito importante na descrição do funcionamento de um sistema de 
potência, com se tornará grandemente evidente nas discussões 
adiante. A potência reativa é 
θsin
2
máxmáx IVQ = (15) 
ou, quando os valores de tensão e corrente eficazes são substituídos, 
θsinIVQ ⋅= (16) 
 A raiz quadrada da soma dos quadrados de P e Q é igual ao 
produto de |V|e |I|, pois 
IVIVIVQP ⋅=⋅+⋅=+ 2222 )sin()cos( θθ (17) 
Decerto P e Q tem as mesmas unidades dimensionais, mas é usual 
designar a unidade de Q como volt-ampère reativo (VAr). As unidades 
mais práticas para Q são kVAr ou MVAr. Figura 5 Tensão, corrente atrasada da tensão de 90º e a potência resultante versus 
tempo. Num circuito série simples onde Z é igual a R + jX, podemos 
substituir |V|por |I|·|Z| nas Eqs. 14 e 16 para obter 
θcos2 ZIP ⋅= (18) 
e 
θsin2 ⋅= ZIQ (19) 
 Então, reconhecendo que R =|Z|cosθ e X =|Z|sinθ, encontramos 
RIP ⋅= 2 e XIQ 2= (20) 
como esperado. 
 As Eqs. 14 e 15 proporcionam outro método de computar o fator 
de potência, considerando que Q/P = tanθ. O fator de potência é, 
portanto 
P
Q1tancoscos −=θ 
ou a partir das Eqs. 14 e 17 
22
cos
QP
P
+
=θ 
 Se a potência instantânea expressa pela Eq. 8 é a potência num 
circuito predominantemente capacitivo com a mesma tensão aplicada, 
θ é negativo, fazendo sinθ e Q negativos. Se circuitos capacitivo e 
indutivo estão em paralelo, a potência reativa instantânea para o 
circuito RL está 180º defasada da potência reativa instantânea do 
circuito RC. A potência reativa líquida é a diferença entre Q para o 
circuito RL e Q para o circuito RC. Um valor positivo á atribuído a Q 
para uma carga indutiva e um sinal negativo para uma carga 
capacitiva. 
 Os engenheiros de sistemas de potência usualmente pensam 
sobre o capacitor como um gerador de potência reativa positiva em vez 
de uma carga que requer potência reativa. Este conceito é muito lógico, 
Figura 7 Triângulo de potências para uma carga 
indutiva. 
Figura 6 Capacitor considerado (a) como 
um elemento passivo de circuito drenando 
corrente adiantada e (b) como um gerador 
fornecendo corrente atrasada. 
pois um capacitor solicitando potência reativa Q negativa em paralelo 
com uma carga indutiva reduz a potência Q que, de outra forma, teria 
de ser suprido à carga pelo sistema. Em outras palavras, o capacitor 
fornece a potência Q requerida pela carga indutiva. Isto é o mesmo que 
considerar um capacitor como um dispositivo que fornece uma 
corrente atrasada em vez de um dispositivo que solicita uma corrente 
adiantada, como mostra a Fig. 6. Um capacitor ajustável, em paralelo 
com uma carga indutiva, por exemplo, pode ser ajustado de forma que 
a corrente adiantada do capacitor seja exatamente igual em magnitude 
à componente da corrente na carga indutiva que está atrasada de 90º 
da tensão. Assim, a corrente resultante está em fase com a tensão. O 
circuito indutivo continua a absorver potência reativa, mas a potência 
reativa líquida é zero. É por esta razão que o engenheiro de sistemas de 
potência acha conveniente considerar o capacitor como que suprindo 
esta potência reativa à carga indutiva. Quando as palavras positiva e 
negativa não são usadas, assume-se que a potência reativa é positiva. 
 
 
5. POTÊNCIA COMPLEXA 
 
Se as expressões fasoriais para a tensão e a corrente são conhecidas, o 
cálculo da potência ativa e da potência reativa é realizado 
convenientemente em forma complexa. Se a tensão sobre e a corrente 
em determinada carga ou parte de um circuito são expressas por V = 
|V|∠α e I = |I||∠β, o produto de tensão vezes o conjugado da corrente 
é 
βαβα −∠⋅=−∠×∠= IVIVVI * (21) 
Esta quantidade, chamada potência complexa, é usualmente designada 
por S. Na forma retangular 
βαβα −∠⋅+−∠⋅= sincos IVjIVS (22) 
Considerando que α -β, o ângulo de fase entre tensão e corrente, é θ 
nas equações anteriores, 
jQPS += (23) 
A potência reativa Q será positiva quando o ângulo de fase α -β entre a 
tensão e a corrente for positivo, isto é, quando α > β, o que significa 
que a corrente está atrasada da tensão. Da mesma forma, Q será 
negativa para β > α, o que indica corrente adiantada da tensão. Isto 
concorda com a seleção de sinal positivo para a potência reativade um 
circuito indutivo e de sinal negativo para a potência reativa de um 
circuito capacitivo. Para obter o sinal adequado de Q, é necessário 
calcular S como VI*, em vez de V*I, o que inverteria Q. 
 
 
6. O TRIÂNGULO DE POTÊNCIAS 
 
A Eq. 23 sugere um método gráfico para obter as potências totais P, Q 
e o ângulo de fase θ para várias cargas em paralelo, considerando que 
cosθ é P/|S|. Um triângulo de potências pode ser desenhado para um 
carga indutiva, com mostrado na Fig. 7. Para várias cargas em 
paralelo, a potência P total será a soma das potências médias das 
cargas individuais, que podem ser traçadas no eixo horizontal para 
uma análise gráfica. Para uma carga indutiva, Q será desenhada 
verticalmente para cima, pois é considerada positiva. Uma carga 
Figura 8 Triângulo de 
potências para uma 
combinação de cargas. 
Note que Q2 é negativa. 
capacitiva terá uma potência reativa negativa, e Q será verticalmente 
para baixo. A Fig. 8 ilustra o triângulo de potências composto por P1, 
Q1 e S1 para uma carga indutiva com um ângulo de fase θ1 combinado 
com o triângulo de potências P2, Q2 e S2, que é para uma carga 
capacitiva, com θ2 negativo. Estas duas cargas em paralelo resultam 
no triângulo tendo lados P1 + P2, Q1 + Q2 e hipotenusa SR. O ângulo de 
fase entre a tensão e a corrente fornecida às cargas combinadas é θR. 
Figura 9 Uma representação dc do carregamento de 
uma bateria se E e I são ambos positivos ou 
negativos.. 
 
 
6. DIREÇÃO DO FLUXO DE POTÊNCIA 
 
A relação entre P, Q e a tensão nos terminais V, ou a tensão gerada E, 
com respeito aos sinais de P e Q é importante quando o fluxo de 
potência em um sistema é considerado. A questão envolve a direção do 
fluxo de potência, isto é, se a potência está sendo gerada ou absorvida 
quando uma tensão e uma corrente são especificadas. 
 A questão se a potência é fornecida ou absorvida de um 
dispositivo é muito óbvia para um sistema dc. Considere a relação 
entre a corrente e a tensão mostrada na Fig. 9, onde a corrente dc I 
está fluindo através de uma bateria. Se I = 10 A e E = 100V, a bateria 
está sendo carregada (absorvendo energia) na taxa de 1000 W. Por 
outro lado, com a seta ainda na direção mostrada, a corrente poderia 
ser -10 A. Então a direção convencional da corrente é oposta à direção 
da seta: a bateria está descarregando (fornecendo energia) e o produto 
E vezes I é -1000 W. O desenho da Fig. 9 com I fluindo através da 
bateria do positivo para o negativo parece indicar que a bateria está 
sendo carregada, mas este é o caso apenas se E e I são positivos de 
forma que a potência calculada como o produto de E e I seja positiva. 
Com esta relação entre E e I, o sinal positivo para a potência é 
indicador óbvio de carregamento da bateria. 
 Se a direção da seta para I na Fig. 9 fosse invertida, o 
descarregamento da bateria seria indicado pelo sinal positivo para I e 
para a potência. Assim, o diagrama do circuito determina se o sinal 
positivo para a potência é associado com o carregamento ou 
descarregamento da bateria. Esta explanação parece desnecessária, 
mas ela proporciona a base para a interpretação das relações em 
circuitos ac. 
 Para um sistema ac, a Fig. 10 mostra uma fonte de tensão ideal 
(amplitude e freqüência constantes e impedância nula) com sinais de 
polaridade os quais, usualmente, indicam o terminal que é positivo 
durante o semiciclo positivo da tensão instantânea. Decerto, o terminal 
marcado positivamente é na realidade o terminal negativo durante o 
semiciclo negativo da tensão instantânea. Similarmente, a seta indica o 
sentido da corrente durante o semiciclo positivo da corrente 
instantânea. 
 Na Fig. 10a supõe-se que seja um gerador, desde que a corrente 
seja positiva quando fluindo para fora do terminal positivo. Entretanto, 
o terminal marcado positivamente pode estar negativo quando a 
corrente está saindo dele. A aproximação para entender o problema é 
decompor o fasor I numa componente ao longo do eixo do fasor E e 
uma componente defasada de 90º de E. O produto |E| vezes o módulo 
da componente de I ao longo do eixo de E é P. O produto de |E| vezes o 
módulo da componente de I defasada 90º de E é Q. Se a componente 
de I ao longo do eixo de E está em fase com E, a potência é gerada e 
está sendo entregue ao sistema, pois esta componente da corrente está 
sempre saindo pelo terminal marcado positivamente quando ele está 
realmente positivo (e entrando por este terminal quando ele está 
negativo). P, a parte real de EI*, é positiva. 
 Se a componente da corrente ao longo do eixo de E é negativa 
(180º defasada de E), a potência está sendo absorvida e a situação é a 
de um motor. P, a parte real de EI*, é negativa. 
 A relação entre a tensão e a corrente pode ser mostrada como na 
Fig. 10b, e um motor seria esperado. Entretanto, uma potência média 
absorvida ocorrerá somente se a componente do fasor I ao longo do 
eixo do fasor E estiver em fase e não 180ºdefasada de E, de forma que 
esta componente de corrente esteja sempre na direção da queda no 
potencial. Neste caso P, a parte real de EI*, é positiva. P negativa aqui 
indicaria potência gerada. 
 Para considerar o sinal de Q, a Fig. 11 é útil. Na Fig. 11a 
potência reativa positiva igual a |I|2X é fornecida à indutância 
Figura 10 Uma representação ac 
de uma fem e corrente para 
ilustrar a questão da polaridade. 
considerando que a indutância absorve Q positiva. Então I está 
atrasada 90º de E, e Q, a parte imaginária de EI*, é positiva. Na Fig. 
11b Q negativa deve ser fornecida à capacitância do circuito, ou a fonte 
m fco em E está recebendo Q positiva do capacitor. I está adiantada 
90º de E. 
 Se a direção da seta na Fig. 11a fosse invertida, I estaria 
adiantada 90º de E e a parte imaginária de EI* seria negativa. A 
indutância poderia ser vista como que fornecendo Q ne
 na Fig. 11a fosse invertida, I estaria 
adiantada 90º de E e a parte imaginária de EI
gativa em vez de 
abso er Q positiva. A tabela 1 resume estas relações: 
 
ncia reativa e a 
quantidade, (c) P e Q absorvidas pela impedância. 
 
SOLUÇÃO 
gativa em vez de 
abso er Q positiva. A tabela 1 resume estas relações: 
 
ncia reativa e a 
quantidade, (c) P e Q absorvidas pela impedância. 
 
SOLUÇÃO 
Figura 11 Fem alternada aplicada (a) a um 
elemento puramente indutivo e (b) a um 
elemento puramente capacitivo. 
rvrv
 
Exemplo 1 Duas fontes ideais designadas como máquinas 1 e 2 
são conectadas como mostrado na Fig. 12. Se E1 = 100∠0º V e E2 
= 100∠30º V, e Z = 0 + j5 Ω, determine (a) se cada máquina está 
gerando ou consumindo potência e a quantidade, (b) se cada 
máquina está gerando ou consumindo potê
 
Exemplo 1 Duas fontes ideais designadas como máquinas 1 e 2 
são conectadas como mostrado na Fig. 12. Se E
 
* seria negativa. A 
indutância poderia ser vista como que fornecendo Q ne
1 = 100∠0º V e E2 
= 100∠30º V, e Z = 0 + j5 Ω, determine (a) se cada máquina está 
gerando ou consumindo potência e a quantidade, (b) se cada 
máquina está gerando ou consumindo potê
º19535,1068,210
5
504,13
5
)506,86(010021
∠=−−=
−
=
+−+
=
−
=
j
j
j
j
jj
Z
EE
I
 
2681000)68,210(100*1 jjIE +−=+−= 
2681000134500232866
)68,210)(506,86(*2
jjj
jjIE
−−=−−+−=
+−+=
 
VArXI 536535,10 =×=
 
 Pode-se esperar que a máquina 1 seja um gerador por causa do 
sentido da corrente e da polaridade indicada. Como P é negativa e Q é 
positiva, 
22 
 toda a potência gerada pela máquina 2 é transferida para 
a máquina 1. 
a máquina consome energia à taxa de 1000 W e fornece 
potência reativa de 268 VAr. A máquina é na realidade um motor. 
 A máquina 2, que se espera ser um motor, tem potência P 
negativa e Q negativa. Portanto, esta máquina gera energia à taxa de 
1000 W 
Tabela 1 
e fornece potência reativa de 268 VAr. A máquina é na 
realidade um gerador. 
 Note que a potência reativa fornecida de 268 + 268 é igual a 536 
VAr, que é requerida pela reatância indutiva de 5 Ω. Como a 
impedância é puramente reativa, nenhuma P é consumida pela 
impedânciae
 8. TENSÕES E CORRENTES EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS 
EQUILIBRADOS 
 
Os sistemas elétricos de potência são supridos por geradores trifásicos. 
Usualmente, os geradores alimentam cargas trifásicas equilibradas, o 
que significa cargas com impedâncias idênticas nas três fases. 
Iluminação e pequenos motores são monofásicos, mas os sistemas de 
distribuição são projetados de forma que, num todo, as fases sejam 
essencialmente equilibradas. A Fig. 13 mostra um gerador conectado 
em Y, com o neutro identificado por o suprindo uma carga equilibrada 
em Y, com neutro identificado por n. Na discussão sobre este circuito, 
assumiremos que as impedâncias das conexões entre os terminais do 
gerador e da carga, bem como a impedância da conexão direta entre o 
e n, são desprezíveis. 
 O circuito equivalente do gerador trifásico consiste de uma fem 
em cada uma das três fases, indicadas por círculos no diagrama. Cada 
fem está em série com uma resistência e uma reatância indutiva 
compondo a impedância Zg. Os pontos a’, b’, e c’ são fictícios, pois a 
fem gerada não pode ser separada da impedância de cada fase. Os 
terminais da máquina são os pontos a, b e c. No gerador, as fems Ea’o, 
Eb’o e Ec’o são iguais em módulo e defasadas entre si de 120º. Se o 
módulo de cada uma é 100 V, com Ea’o como referência, 
º0100
Figura 13 Diagrama de circuito de um gerador em Y conectado a uma carga equilibrada 
em Y. 
' ∠=oaE V º240100' ∠=obE V º120100' ∠=ocE V 
considerando que a seqüência de fases é abc, o que significa que Ea’o 
está adiantada 120º de Eb’o e Eb’o por sua vez está 120º adiantada de 
Ec’o. O diagrama de circuito não indica a seqüência de fases, mas a Fig. 
14 mostra estas fems na seqüência de fases abc. 
 Nos terminais do gerador (e, neste caso, nos da carga), as tensões 
em relação ao neutro são 
gcnocco
gbnobbo
ganoaao
ZIEV
ZIEV
ZIEV
−=
−=
−=
'
'
'
 (24) 
Como o e n estão no mesmo potencial, Vao, Vbo e Vco são iguais a Van, 
Vbn e Vcn, respectivamente. As correntes de linha (que são também as 
correntes de fase para a conexão em Y) são 
R
cn
Rg
oc
cn
R
bn
Rg
ob
bn
R
an
Rg
oa
an
Z
V
ZZ
E
I
Z
V
ZZ
E
I
Z
V
ZZ
E
I
=
+
=
=
+
=
=
+
=
'
'
'
 (25) 
 
 Como Ea’o, Eb’o e Ec’o são iguais em módulo e defasadas de 120º e 
as impedâncias vistas por cada uma destas fems são idênticas, as 
correntes também serão iguais em módulo e defasadas de 120º entre 
si. O mesmo também é verdadeiro para Van, Vbn e Vcn. Neste caso, 
descrevemos as tensões e correntes como equilibradas. A Fig. 15a 
Figura 14 Diagrama fasorial das fems do 
circuito mostrado na Fig.13. 
mostra as três correntes de linha de um sistema equilibrado. Na Fig. 
15b, a soma destas correntes é mostrada como sendo um triângulo. É 
óbvio que a soma é zero. Portanto, In na conexão mostrada na Fig. 13 
entre os neutros do gerador e da carga deve ser zero. Então, a conexão 
entre n e o pode ter qualquer impedância, ou mesmo estar aberta, 
ainda assim n e o estarão no mesmo potencial. 
Figura 16 Tensões em um 
circuito trifásico equilibrado: (a) 
tensões de fase; relação entre 
tensão de linha e tensão de Se a carga não é equilibrada, a soma das correntes não será zero 
e uma corrente irá fluir entre o e n. Para a condição desequilibrada, na 
ausência de uma conexão de impedância nula, o e n não estarão no 
mesmo potencial. 
 As tensões de linha são Vab, Vbc e Vca. Seguindo o precurso de a 
para b através de n no circuito da Fig. 13 resulta em 
bnannbanab VVVVV −=+= (26) 
Apesar de Ea’o e Van não estarem em fase, podemos usar Van em vez de 
Ea’o como referência na definição das tensões. Então, a Fig. 16a é o 
diagrama fasorial das tensões em relação ao neutro e a Fig. 16b mostra 
como Vab é encontrada. O módulo de Vab é 
an
anab
V
VV
3
º30cos2
=
=
 (27) 
O fasor Vab está adiantado 30º de Van, logo 
º303 ∠= anab VV (28) 
 As outras tensões de linha são encontradas de maneira 
semelhante e a Fig. 17 mostra todas as tensões de linha para linha (ou 
simplesmente de linha) e de linha para o neutro (ou de fase). O fato de 
que o módulo das tensões de linha de um sistema equilibrado é sempre 
igual a 3 vezes o módulo das tensões de fase é muito importante. 
 A Fig. 18 é outra forma de mostrar as tensões de linha e de fase. 
Os fasores tensão de linha são desenhados formando um triângulo 
orientado em relação à referência escolhida, neste caso Van. Os vértices 
do triângulo são rotulados de forma que cada fasor inicia e termina nos 
vértices correspondentes à ordem de seus índices. Os fasores das 
tensões fase-neutro são desenhados para o centro do triângulo. Uma 
vez que este diagrama fasorial é entendido, será encontrada uma forma 
simples de determinar as várias tensões. 
 A ordem na qual os vértices a, b e c do triângulo se seguem 
quando o triângulo é girado em torno de n no sentido anti-horário 
indica a seqüência de fases. 
 Um diagrama de correntes pode ser desenhado para relacionar 
cada corrente com relação à sua tensão de fase. 
Figura 17 Diagrama fasorial de tensões em 
um circuito trifásico equilibrado. 
Figura 15 Diagrama fasorial de correntes 
numa carga trifásica equilibrada: (a) fasores 
desenhados a partir de um ponto; (b) adição 
dos fasores formando um triângulo. 
Figura 18 Método alternativo de desenhar os fasores 
da Fig. 17. 
Figura 19 Diagrama fasorial de tensões para o Exemplo 2. 
 Figura 20 Diagrama fasorial de 
correntes do Exemplo 2. Exemplo 2 Em um circuito trifásico equilibrado a tensão Vab é 
173,2∠0º V. Determine todas as tensões e correntes numa carga 
conectada em Y tendo ZL = 10∠20º Ω. Assuma que a seqüência 
de fases é abc. 
 
SOLUÇÃO 
O diagrama fasorial é mostrado na Fig. 19, do qual se determina 
que 
º02,173 ∠=abV V º30100 −∠=anV V 
º2402,173 ∠=bcV V º210100∠=bnV V 
º1202,173 ∠=caV V º90100∠=cnV V 
Cada corrente está atrasada de 20º em relação à tensão aplicada 
na respectiva impedância de carga e o módulo de cada corrente é 
de 10 A. A Fig. 20 é o diagrama fasorial das correntes 
º5010 −∠= º19010∠=anI A A bnI º7010∠=cnI A 
 
Cargas equilibradas são, na maioria das vezes, conectadas em Δ, 
como mostrado na Fig. 21. É deixado para o leitor mostrar que o 
módulo de uma corrente de linha como Ia é igual a 3 vezes o módulo 
de uma corrente de fase, como Iab e que Ia está atrasada 30º de Iab 
quando a seqüência de fases é abc. 
Quando se resolve um circuito trifásico equilibrado, é 
desnecessário trabalhar com o circuito trifásico inteiro da Fig. 13. Para 
resolver o circuito, uma conexão de neutro com impedância nula é 
assumida presente para levar a soma das correntes das três fases, que 
é zero em condições equilibradas. O circuito é resolvido aplicando a leis 
de Kirchhoff das tensões no percurso fechado que inclui uma fase e o 
neutro. Tal caminho fechado é mostrado na Fig. 22. Este circuito é o 
equivalente monofásico do circuito da Fig. 13. Os cálculos feitos para 
este circuito são estendidos para todo o circuito trifásico considerando 
que as correntes nas outras duas fases são iguais em módulo à 
corrente da fase calculada e estão defasadas de 240º e 120º. É 
indiferente se a carga equilibrada, especificada por sua tensão de 
linha, potência total e fator de potência está conectada em Y ou Δ, pois 
o Δ sempre pode ser substituído, para propósito de cálculo, pelo seu 
equivalente em Y. A impedância de cada fase do equivalente em Y será 
um terço da impedância de cada fase do Δ que ele representa. 
Figura 21 Diagrama de circuito de uma 
carga trifásica conectada em Δ. 
 
Figura 22 Uma fase do circuito da Fig. 13. 
 
Exemplo 3 Uma carga em Y consiste de três impedâncias iguais 
de 20∠30ºΩ. A tensão de linha aplicada aos seus terminais é 4,4 
kV. A impedância em cada uma das três linhas que ligam à carga 
ao barramento da subestação é ZL = 1,4∠75ºΩ. Encontre a tensão 
de linha no barramento da subestação. 
 
SOLUÇÃO 
O módulo da tensão de fase na carga é 4400/ 3 = 2540 V. Se a 
tensão Van sobre acarga é escolhida como referência 
º02540∠=anV V e º300,127º3020
º02540
−∠=
∠
∠
=anI A 
A tensão de fase na subestação é 
Vj
ZIV Lanan
º70,226707,1252666
º458,177º02540
º754,1º30127º02540
∠=+=
∠+∠=
∠×−∠+∠=+
 
 e o módulo da tensão de linha no barramento da subestação é 
62,467,23 =× kV 
 A Fig. 23 mostra o circuito e as quantidades envolvidas. 
 
 
9. POTÊNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS 
 
A potência total entregue por um gerador trifásico ou absorvida por 
uma carga trifásica é encontrada simplesmente pela soma das 
potências das três fases. Num circuito equilibrado, isto é o mesmo que 
multiplicar a potência de qualquer uma das fases por 3, pois a 
potência é a mesma em todas as fases. 
 Se o módulo da tensão de fase Vp para uma carga em Y é 
cnbnanp VVVV === (29) 
e se o módulo da corrente de fase Ip para uma carga em Y é 
cnbnanp IIII === (30) 
a potência trifásica total é 
pppIVP θcos3= (31) Figura 23 Diagrama de circuito com 
valores para o Exemplo 2. onde θp é o ângulo de atraso da corrente de fase em relação à tensão de 
fase, isto é, o ângulo da impedância em cada fase. Se VL e IL são os 
módulos da tensão e corrente de linha, respectivamente, 
3
L
p
VV = e Lp II = (32) 
substituindo na Eq. 31, temos 
pLL IVP θcos3= (33) 
 A potência reativa total é 
pppIVQ θsin3= (34) 
pLL IVQ θsin3= (35) 
e a potência aparente da carga é 
LL IVQPS 3
22 =+= (36) 
 As Eqs. 33, 35 e 36 são as usuais para o cálculo de P, Q e |S| 
em redes trifásicas equilibradas onde as quantidades normalmente 
conhecidas são tensão de linha, corrente de linha e o fator de potência 
cos θp. Quando se trata de sistemas trifásicos, condições equilibradas 
são assumidas, a menos que descrito de outra forma; e os termos 
tensão, corrente e potência, a menos que identificados de outra 
maneira, são entendidos como tensão de linha, corrente de linha e 
potência total das três fases. 
 Se a carga está conectada em Δ, a tensão sobre cada impedância 
é a tensão de linha e a corrente através de cada impedância é a 
corrente de linha dividida por 3 , ou 
Lp VV = e 3
L
p
II = (37) 
A potência trifásica total é 
pppIVP θcos3= (38) 
e substituindo nesta equação os valores de Vp e Ip da Eq. 37, temos 
pLL IVP θcos3= (39) 
que é idêntica à Eq. 33. Segue que as Eqs. 35 e 36 são também 
válidas, estando a carga conectada em Δ ou Y. 
EXERCÍCIOS 
 
1. Se )30(sin4,141 °+= tv ω V e )º30cos(31,11 −= ti ω A, encontre para 
cada uma (a) o valor máximo, (b) o valor rms, e (c) a expressão fasorial na 
forma polar e na forma retangular considerando a tensão como a referência. O 
circuito é indutivo ou capacitivo? 
 
2. Se o circuito do exercício 1 consiste de um elemento puramente resistivo e 
de um elemento puramente reativo, encontre R e X, (a) se os elementos estão 
em série e (b) se os elementos estão em paralelo. 
 
3. Em um circuito monofásico, Va = 120∠45º V e Va = 100∠-15º V em relação 
ao nó de referência o. Encontre Vba na forma polar. 
 
4. Uma tensão monofásica ac de 240 V é aplicada a um circuito série cuja 
impedância é 10∠60º Ω. Determine R, X, P, Q e o fator de potência do circuito. 
 
5. Se um capacitor está conectado em paralelo com o circuito do exercício 4 e 
se o capacitor fornece 1250 VAr, encontre P e Q fornecidas pela fonte de 240 V 
e determine o fator de potência resultante. 
 
6. Uma carga indutiva monofásica absorve 10 MW com fator de potência 0,6 
atrasado. Desenhe o triângulo de potências e determine a potência reativa de 
um capacitor a ser conectado em paralelo com a carga para aumentar o fator 
de potência para 0,85. 
 
7. Um motor de indução monofásico está funcionando com uma carga 
bastante “leve” durante grande parte do dia e solicita uma corrente de 10 A da 
fonte. Um dispositivo é proposto para “aumentar a eficiência” do motor. 
Durante uma demonstração, o dispositivo é colocado em paralelo com o motor 
sem carga e a corrente solicitada da fonte cai para 8 A. Quando dois dos 
dispositivos são colocadas em paralelo a corrente cai para 6 A. Que dispositivo 
simples causaria esta diminuição da corrente? Discuta as vantagens do 
dispositivo. A eficiência do motor é aumentada pelo dispositivo? (Lembre-se 
que um motor de indução solicita corrente atrasada). 
 
8. Se a impedância entre as máquinas 1 e 2 do Exemplo 1 é Z = 0 - j5 Ω, 
determine (a) se cada máquina está gerando ou consumindo potência e a 
quantidade, (b) se cada máquina está gerando ou consumindo potência reativa 
e a quantidade, (c) P e Q absorvidas pela impedância. 
 
9. Refaça o exercício 8 com Z = 5 + j0 Ω. 
 
10. Uma corrente Ina = 10∠60º A flui através de uma fonte de tensão Ean = -
120∠210º V. Encontre os valores de P e Q e defina quanto a fonte fornece ou 
absorve de cada. 
 
11. Resolva o Exemplo 1 para E1 = 100∠0º V e E2 = 120∠30º V. Compare os 
resultados com os do Exemplo 1 e desenvolva algumas conclusões sobre o 
efeito da variação do módulo de E2 neste circuito. 
 
12. Três impedâncias idênticas de 10∠-15º Ω são conectadas em Y à uma fonte 
trifásica equilibrada de 208 V de tensão de linha. Especifique todas as tensões 
de linha e de fase e as correntes como fasores na forma polar com Vca como 
referência e seqüência de fases abc. 
 
13. Em um sistema trifásico equilibrado, as impedâncias (conectadas em Y) 
são 10∠30º Ω. Se Vbc = 416∠90º V, especifique Icn na forma polar. 
 
14. Os terminais de uma fonte trifásica são chamados a, b e c. Entre qualquer 
par de terminais, um voltímetro mede 115 V. Um resistor de 100 Ω e um 
capacitor de 100 Ω na freqüência da fonte são conectados em série de a para b 
com o resistor conectado em a. O ponto de conexão entre os elementos é 
chamado n. Determine graficamente a leitura do voltímetro entre c e n se a 
seqüência de fases for abc e se a seqüência de fases for acb. 
 
15. Determine a corrente solicitada de uma linha trifásica de 440 V por um 
motor trifásico de 15 HP operando à plena carga, com 90% de eficiência e fator 
de potência 0,8. Encontre os valores de P e Q fornecidos pela linha. 
 
16. Um motor trifásico solicita 20 kVA com fator de potência 0,707 de uma 
fonte de 220 V. Determine a potência reativa de um banco de capacitores para 
fazer o fator de potência do conjunto ser 0,9 e determine a corrente de linha 
antes e depois da instalação dos capacitores.