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Comportamento de pórticos planos
Prof. Giuseppe Miceli Junior
Descrição
Estudo do comportamento estrutural de pórticos planos, com a análise de casos gerais e particulares dessa
classe de estruturas.
Propósito
A compreensão das particularidades de pórticos planos e seu relacionamento com o comportamento
estrutural é importante para o engenheiro civil, particularmente na área da engenharia estrutural.
Preparação
Antes de iniciar o conteúdo, faça o download do Solucionário. Certifique-se de ter acesso à calculadora
científica a fim de repetir os cálculos apresentados e resolver os problemas propostos ao longo dos
módulos. Baixe a ferramenta Ftool, importante para os estudos que serão desenvolvidos em nosso
conteúdo.
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04317/docs/solucionario_comportamento_porticos_planos.pdf
Objetivos
Módulo 1
Análise de pórticos planos no Ftool
Analisar pórticos planos no Ftool: modelagem, esforços, flechas e rotações.
Módulo 2
In�uência do comportamento de pilares em vigas
de pórticos planos
Analisar a influência do comportamento de pilares em vigas de pórticos planos.
Módulo 3
Pilares extremos e in�uência do giro dos pilares
em pórticos planos
Analisar o impacto do giro dos pilares extremos e intermediários no comportamento de pórticos planos.

Introdução
O vídeo a seguir tem como finalidade dar-lhe boas-vindas, introduzir você ao comportamento de pórticos
planos e aos módulos que o compõem.
1 - Análise de pórticos planos no Ftool
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar pórticos planos no
Ftool: modelagem, esforços, �echas e rotações.
Vamos começar!
Modelagem de pórticos planos no FTool
Confira um breve resumo sobre a modelagem no FTool que serão abordados neste conteúdo.
Modelagem de pórticos planos no Ftool
Ftool é um programa para a análise estrutural de pórticos planos. Seu principal objetivo é a prototipagem
simples e eficiente de estruturas. É frequentemente utilizado em projetos estruturais profissionais. A seguir,
é mostrada a interface do programa.
Interface do Ftool.
Para modelar um pórtico plano no Ftool, deve-se seguir os passos:

Interface do Ftool.
Criando barras
Ao clicar na tela, este ponto será o ponto inicial da barra. Leve o cursor até o ponto final da barra e clique
novamente na tela. Assim terá uma barra. Dessa mesma forma, pode seguir sequêcia para montar a
estrutura desejada (viga, treliça, pilar, etc). Como auxílio, você pode selecionar o "Grid" para aparecer os
pontos na tela com distâncias x e y determinadas pelo usuário. O comando "Snap" fará o cursor
posicionar apenas nos pontos de "grid", e assim, teremos medidas precisas para a barra. Tanto o "Grid"
quanto o "Snap são posicionados no canto inferior direito da tela.
Pórtico plano.
Inserção dos apoios
Rolar o mouse pela tela para colocar os apoios nos pontos desejados. Como pode ser visto na imagem, é
descrito um pórtico plano.
Pórtico plano.
Inclusão de vínculos
Neste caso, os três apoios serão engastes. Podem ser escolhidos apoios por meio da fixação dos
deslocamentos e rotações em X, Y e Z, gerando apoios, rótulas e engastes. Seleciona-se os pontos onde
estão os apoios e, na janela de seleção, fixa-se os deslocamentos e rotações desejados. A janela de
seleção relativa à inserção de apoios é mostrada na imagem.
Botões relativos à inserção de carregamentos.
Inclusão de carregamentos
Neste caso, será um carregamento distribuído de 10kN/m no vão superior e um carregamento
concentrado de 50kN na metade do pilar à esquerda. Seleciona-se o vão que precisa ser delimitado por
nós, em que o carregamento distribuído será aplicado, aplica-se o carregamento. Para a carga pontual,
seleciona-se o ponto onde a carga será posicionada e aplica-se o carregamneto. Os botões relativos à
inserção de carregamentos são mostrados na imagem.
Carregamentos em pórtico.
Inclusão de carregamentos
Conforme orientado, eles apresentarão as informações conforme mostrado na imagem.
Configuração de materiais e de seções transversais.
De�nição de parâmetros de materiais e seção transversal
Neste caso, será um material genérico isotrópico com E= 1000000MPa e coeficiente de Poisson = 0,30.
As vigas horizontais e inclinadas terão uma seção transversal de 20 x 60cm, enquanto os pilares terão
uma seção de 20 x 40cm. Os botões relativos a essas funções são os apresentados na imagem.
Não será possível a determinação de esforços, momentos, deformações ou rotações se não houver uma
definição da estrutura a ser analisada, de seus comprimentos, mas, principalmente, dos carregamentos, dos
materiais a serem utilizados e da configuração das seções transversais para a viga.
Análises a serem realizadas em pórticos:
esforços, �echas e rotações
Serão apresentadas agora as análises que podem ser realizadas em pórticos por meio do Ftool. Mas, antes,
vamos revisar cada um dos elementos que serão levantados:
Carregamentos externos e reações de apoio
Enquanto os primeiros referem-se a esforços que incidem sobre a superfície da barra,
podendo ser cargas distribuídas e/ou cargas concentradas, as reações de apoio podem
transmitir os esforços a outras estruturas.
Flechas
Correspondem à distância entre o referencial indeformado do pórtico e a linha elástica que é
formada com a ação do carregamento sobre a estrutura. De particular interesse é a flecha
máxima, que é a maior flecha que pode ocorrer em qualquer estrutura.
No Ftool, após o lançamento da viga, dos carregamentos, dos vínculos de apoio, dos materiais e das seções
transversais, pode ser utilizada a barra de ferramentas no canto superior direito para que sejam mostradas
as flechas e rotações conforme apresentado.
Interface do FTool.
Rotações
Representam o ângulo formado entre referencial indeformado da viga contínua e a linha
elástica que é formada com a ação do carregamento sobre a viga.
Interface do FTool.
Pode ser importante realizar a comparação entre diversos diagramas de esforços para estabelecer
relacionamentos. Para tanto, o Ftool também tem suporte para o desenvolvimento de diagramas de
esforços internos, como momentos fletores, esforços cortantes, esforços normais e momentos torsores,
como se pode perceber nas imagens a seguir:
Interface do FTool.
Interface do FTool.
Por meio do Ftool, poderemos calcular os efeitos de todos os esforços solicitantes em estruturas, sejam
pórticos, vigas, treliças e até mesmo grelhas, em seus esforços internos — momentos fletores, esforços
normais e esforços cortantes.
Assim, sugerimos que você estude o Ftool, o desenvolvimento de vários tipos de estruturas, e utilize todas
as suas ferramentas de desenvolvimento de diagramas de esforços e desenho de linhas elásticas de
estruturas.
Mão na massa
Questão 1
Na estrutura a seguir, utilize o Ftool para determinar qual é a rotação máxima apresentada, em módulo
(considere todos os elementos com 20 x 60cm, E = 100000MPa)?
 

A 1,3 x 10-5 rad.
B 2,5 x 10-5 rad.
C 3,0 x 10-5 rad.
D 3,8 x 10-5 rad.
E 4,5 x 10-5 rad.
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Na estrutura a seguir, utilize o Ftool para determinar qual é a flecha máxima apresentada, em módulo
(considere os elementos com 20 x 40cm de seção transversal, E = 100000MPa)?
 
Parabéns! A alternativa B está correta.
A 0,1mm.
B 0,14mm.
C 0,18mm.
D 0,25mm.
E 0,32mm.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 3
Na estrutura a seguir, utilize o Ftool para determinar qual é a rotação máxima apresentada, em módulo
(considere uma viga de 20 x 40cm, E = 100000MPa)?
 
Parabéns! A alternativa E está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
A 0,21 x 10-4 rad.
B 0,27 x 10-4 rad.
C 0,59 x 10-4 rad.
D 0,64 x 10-4 rad.
E 0,86 x 10-4 rad.
Questão 4
Na estrutura a seguir, utilize o Ftool para determinar quais são, em módulo,o momento fletor máximo e
o esforço cortante máximo, respectivamente?
 
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 5
A 29kNm e 14,5kN.
B 12kNm e 14,5kN.
C 29kNm e 19,8kN.
D 12kNm e 19,8kN.
E 8,7kNm e 19,8kN.
Na estrutura a seguir, utilize o Ftool para determinar qual é a flecha transversal máxima apresentada,
em módulo (considere uma estrutura com seção transversal de 40 x 20cm, E = 100000MPa)?
 
Parabéns! A alternativa E está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 6
Na estrutura a seguir, utilize o Ftool para determinar qual é o ponto onde a rotação máxima ocorre em
módulo (considere uma estrutura com seção transversal de 40 x 20cm, E = 100000MPa)?
A 0,11mm.
B 0,29mm.
C 0,36mm.
D 0,66mm.
E 0,76mm.
 
Parabéns! A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
A A.
B B.
C C.
D D.
E E.
_black
Teoria na prática
Sabendo que a seção transversal das vigas horizontais é de 20 x 40cm e que a seção transversal dos pilares
do pórtico é de 20 x 20cm, calcule a flecha máxima e a rotação máxima da viga contínua.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Na estrutura a seguir, a distância máxima indicada é chamada de
Mostrar solução
 
Parabéns! A alternativa D está correta.
A distância indicada é chamada de flecha. Neste caso, trata-se da flecha máxima do trecho horizontal
do pórtico.
Questão 2
No pórtico a seguir, pode-se dizer que
A rotação.
B engaste.
C apoio.
D flecha
E linha elástica.
 
Parabéns! A alternativa A está correta.
A rotação nos engastes é sempre igual a zero. A rotação em apoios simples é sempre diferente de zero.
Nesses pontos, o deslocamento é sempre zero. A flecha máxima na viga está no vão da esquerda. A
rotação nos pontos em que a flecha é máxima é igual a zero, pois a flecha é máxima.
A a rotação nos engastes é igual a zero.
B a rotação no apoio simples é igual a zero.
C o deslocamento nos apoios simples é diferente de zero.
D a flecha máxima na viga está no vão horizontal da direita.
E a rotação nos pontos em que a flecha é máxima é maior que zero.
2 - In�uência do comportamento de
pilares em vigas de pórticos planos
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar a in�uência do
comportamento de pilares em vigas de pórticos planos.
Vamos começar!
In�uência de pilares em pórticos planos
Confira um breve resumo dos principais conceitos sobre a influência de pilares que serão abordados neste
conteúdo.

Classi�cação de pilares em pórticos
planos
Os pilares têm um papel importantíssimo em projetos, pois equilibram e mantêm a estrutura sólida. São a
primeira peça pertencente à supraestrutura, junto às vigas e às lajes, e têm como função transmitir as
cargas para as fundações que fazem parte da superestrutura das edificações.
Quando você está pensando em um pilar para aplicação em um projeto, deve se preocupar com algumas de
suas características:
material;
seção transversal;
comprimentos;
tipos de apoio.
Tais carcterísticas dependem particularmente da relação do pilar com o restante da estrutura. Entretanto, o
comportamento dos pilares em pórticos planos varia bastante conforme a relação entre eles e as vigas do
pórtico ocorrem. Dessa forma, inicialmente neste núcleo conceitual vamos entender como esses pilares são
classificados para, em seguida, estudarmos como essa relação dos pilares nos pórticos se desenvolve.
Os pilares são classificados de acordo com o desenho do projeto e seu relacionamento com o restante do
pórtico. Assim, podem ser classificados em:
São localizados na parte interna do edifício e, na maioria dos casos, recebem apenas as cargas
verticais. São geralmente pilares de compressão simples, em que os momentos fletores nos topos
dos pilares são desprezíveis.
Pilares centrais ou intermediários 
Pilar central.
São aqueles que ficam nas bordas ou nas laterais do edifício. São geralmente pilares onde ocorre
flexão composta, pois neste modelo há uma interrupção das vigas contínuas pelos pilares. Se há
flexão composta, os pilares são submetidos à flexão e à compressão ao mesmo tempo, então
ambos os efeitos devem ser considerados no dimensionamento do pórtico.
Pilar lateral.
São posicionados na aresta ou no canto dos edifícios. São pilares onde ocorre flexão oblíqua, ou
seja, submetidos a momentos fletores nas duas direções (X e Y), bem como cargas concentradas
verticais. Podem ser considerados também como pilares laterais nas duas direções (X e Y) ao
mesmo tempo.
Pilares laterais ou de extremidade 
Pilares de canto 
Pilar de canto.
Se considerarmos vigas prismáticas, ou seja, vigas retas com uma seção uniforme, vemos que seu projeto
depende, primeiramente, da determinação dos maiores valores dos momentos fletores e do esforço
cortante. Tais esforços internos geram tensões normais e tangenciais que devem estar limitadas a tensões
admissíveis do material de que será formada a viga.
Para pilares considerados de nós indeslocáveis, o comprimento equivalente le, segundo a NBR 6118, é o
menor valor dentre as duas opções mostradas abaixo:
Rotacione a tela. 
Em que e são quantidades que podem ser determinadas conforme imagem a seguir.
Comprimento equivalente de pilares.
Onde:
 é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o
pilar;
 é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura;
 é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado.
le ≤ {
l0 + h
l
h, l l0
l0 
h 
l 
Analisando um exemplo
O comprimento de um pilar quadrado de 40cm de lado é de 6m, então vamos calcular o valor máximo de
seu comprimento equivalente.
Vamos aplicar o conceito que acabamos de estudar. Lembremos que o comprimento equivalente pode
ser determinado por meio de uma destas quantidades:
Rotacione a tela. 
Sabendo disso, calculemos seu comprimento equivalente:
Rotacione a tela. 
A seguir, vamos estudar mais sobre a influência dos pilares em esforços de pórticos planos.
In�uência dos pilares em esforços de
pórticos planos
Para estudarmos a influência dos pilares em pórticos planos a fim de calcularmos seus esforços internos,
consideremos o arranjo simplificado a seguir, que ilustra uma porção genérica de pórticos planos formada
por uma viga e um pilar com suas porções superior e inferior:
l0
le
le ≤ {
l0 + h
l
le ≤ l0 + h = 600 + 40 = 640cm
Aproximação em apoios extremos.
Para este último caso, o momento fletor que age nos pilares a partir das vigas é calculado a partir do
momento de engastamento perfeito, por meio da seguinte equação nas três situações a seguir:
Em que:
 é o momento de ligação, que é um engastamento parcial;
 é o momento de engastamento perfeito;
 é a rigidez do vão extremo da viga;
 é a rigidez do lance superior do pilar;
Mlig
Na viga
Mlig = Meng (
rinf + rsup 
rvig + rinf + rsup 
)
No tramo superior do pilar
Mlig = Meng(
rsup 
rvig + rinf + rsup 
)
Na tramo inferior do pilar
Mlig = Meng(
rinf
rvig + rinf + rsup
)
Mlig
Meng
rvig
rsup
 é a rigidez do lance inferior do pilar.
A rigidez citada na fórmula é definida como a relação entre o momento de inércia da seção transversal do
elemento e o comprimento do vão:
Rotacione a tela. 
Em que:
Quanto aos momentos de engastamento perfeito, estes podem ser obtidos pela tabela a seguir, em que
aparecem os valores dos momentos que surgem tanto no apoio da esquerda como no apoio da direita.
Deve-se estar atento ao valor do momento que será utilizado ao se calcular até porque há
carregamentos que não são simétricos.
Tipos de carregamento.
Mão na massa
rinf
ri =
Ii
Li
É a rigidez do elemento 
ri
i. É o momento de inércia do
elemento 
I
i.
É o comprimento do elemento
L
i.
Mlig,

Questão 1
Se o comprimento lo de umpilar quadrado de 40cm de lado é de 4m, então o valor máximo de seu
comprimento equivalente é:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Se o comprimento lo de um pilar quadrado de 30cm de lado é de 3m, então o valor máximo de seu
comprimento equivalente é:
A 440cm.
B 455cm.
C 460cm.
D 475cm.
E 485cm.
A 300cm.
B 330cm.
Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 3
Se o comprimento lo de um pilar quadrado de 50cm de lado é de 6m, então o valor máximo de seu
comprimento equivalente é:
Parabéns! A alternativa E está correta.
C 370cm.
D 400cm.
E 485cm.
A 550cm.
B 580cm.
C 600cm.
D 630cm.
E 650cm.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 4
Se o comprimento lo de um pilar retangular de 15cm x 30cm é de 2,50m, então o valor máximo de seu
comprimento equivalente é:
Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 5
Seja a porção a seguir de um pórtico plano (uma de suas vigas) de 9kN/m de carregamento distribuído,
com seção quadrada de 40cm, apoiado por um pilar na configuração indicada (considere-o birrotulado)
de 4m de altura e com seção transversal de 20 x 40cm, em que a maior dimensão está colocada
longitudinalmente ao eixo da viga. O momento que age na viga e que a liga ao pilar é igual a:
A 250cm.
B 265cm.
C 280cm.
D 310cm.
E 350cm.
 
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 6
Seja o apoio extremo a seguir de uma viga contínua de 12kN/m de carregamento distribuído, com
seção quadrada de 40cm, apoiado por um pilar na configuração indicada (considere-o birrotulado) de
4m de altura (com relação aos pavimentos superior e inferior) e com seção transversal de 20 x 40cm,
em que a maior dimensão está colocado longitudinalmente ao eixo da viga. O momento que age na
viga e que a liga ao pilar é igual a:
A 2,00kNm.
B 3,00kNm.
C 4,00kNm.
D 6,00kNm.
E 8,00kNm.
 
Parabéns! A alternativa D está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
A 6kNm.
B 7kNm.
C 9kNm.
D 8kNm.
E 10kNm.
_black
Teoria na prática
Calcule os momentos na ligação entre a viga e um pilar (com comprimento equivalente de 2,65m) que
fazem parte de um pórtico plano, conforme o esquema ilustrado na imagem a seguir, sobre um
carregamento de 24kN/m, sabendo que a viga tem 15cm x 40cm e o pilar, 15 x 45cm.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Sobre a situação ilustrada a seguir, o que se pode dizer em relação aos esforços solicitantes que
incidirão na cabeça do pilar e no que se refere a sua classificação?
Mostrar solução
 
Parabéns! A alternativa C está correta.
A situação ilustrada refere-se a um pilar de centro ou intermediário. Dessa forma, é provável que esteja
sofrendo compressão simples, pois, nesse caso, os momentos nas extremidades se compensam.
Questão 2
Marque a alternativa correta no que se refere a pilares de canto:
A O pilar está sofrendo flexão oblíqua.
B O pilar está sofrendo flexão composta.
C O pilar está sofrendo compressão simples.
D O pilar é classificado como um pilar de canto.
E O pilar é classificado como um pilar de extremidade.
A Geralmente estão sujeitos a flexão oblíqua.
Parabéns! A alternativa A está correta.
Com relação a pilares de canto, é provável que estejam sofrendo flexão oblíqua, pois, nesse caso, a
cabeça do pilar está sujeita tanto a momentos no eixo Y como no eixo X.
3 - Pilares extremos e in�uência do giro
dos pilares em pórticos planos
B Geralmente estão sujeitos a flexão composta.
C Geralmente estão sujeitos a compressão simples.
D Geralmente estão sujeitos a torção.
E Geralmente estão sujeitos a efeitos de flambagem.
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar o impacto do giro
dos pilares extremos e intermediários no comportamento de pórticos
planos.
Vamos começar!
Esbeltez de pilares em pórticos
Confira um breve resumo dos principais conceitos sobre esbeltez dos pilares que serão abordados neste
conteúdo.
Esbeltez em pilares de pórticos planos
Nos exercícios dos módulos anteriores, você percebeu que, em pórticos planos, há elementos verticais que
são submetidos à compressão. Muitas vezes, esses elementos podem falhar e se tornar instáveis.
Curiosidade
Flambagem é a deflexão lateral sofrida quando elementos compridos e esbeltos são sujeitos a uma força
axial de compressão. A flambagem é perigosa, pois leva a uma falha repentina e dramática da estrutura.
Não é o objetivo desse módulo discorrer sobre a teoria da flambagem. Entretanto, a carga crítica, ou seja, a
carga axial máxima que uma coluna pode suportar antes de ocorrer a flambagem, pode ser definida pela
fórmula a seguir:

Rotacione a tela. 
Onde:
Dividindo-se pela área, tem-se a tensão crítica que é dada pela fórmula:
Rotacione a tela. 
Onde:
 é o módulo de elasticidade do material;
 é o comprimento da coluna sem apoio, cujas extremidades são presas por pinos;
 é o raio de giração da peça, determinada pela fórmula a seguir: 
Ao estudarmos a fórmula da carga crítica, vemos que é dependente do momento de inércia. Entretanto, se
tivermos uma peça retangular, é fácil perceber que haverá dois momentos de inércia e que o momento de
um eixo será maior que o outro. O que se percebe aqui?
Resposta
A carga crítica que limitará a capacidade da peça será sempre proporcional à menor inércia.
Isso será importante no momento de estudarmos o efeito do giro dos pilares em pórticos planos, como
veremos no próximo núcleo conceitual.
Pcr =
π2EI
L2
É o módulo de elasticidade do
material.
E
É o momento de inércia da
peça.
I
É o comprimento da coluna
sem apoio, cujas
extremidades são presas por
pinos.
L
Pcr σcr,
σcr =
π2E
( Lr )
2
E
L
r r = √ I
A
O índice de esbeltez é um parâmetro que busca avaliar o quão suscetível à barra comprimida é em relação
ao efeito de flambagem. Trata-se de um índice que depende do comprimento do pilar e da seção transversal,
conforme a fórmula a seguir:
Rotacione a tela. 
Em que:
É o comprimento da coluna sem apoio, cujas extremidades são presas por pinos.
É o raio de giração da peça.
De acordo com o índice de esbeltez , os pilares podem ser classificados em:
pilares robustos ou pouco esbeltos ;
pilares de esbeltez média ;
pilares esbeltos ou muito esbeltos ;
pilares excessivamente esbeltos ;
não pilares .
Quanto maior o índice de esbeltez do pilar, maior sua suscetibilidade a sofrer flambagem.
λ
λ =
l
r
l
r
(λ)
→ λ ≤ 40
→ 40 < λ ≤ 90
→ 90 < λ ≤ 140
→ 140 < λ ≤ 200
→ λ > 200
In�uência do giro dos pilares em pórticos
planos
Vimos que a carga crítica pode ser definida pela fórmula a seguir:
Rotacione a tela. 
E que, por isso, a carga crítica que limitará a capacidade da peça será sempre proporcional à menor inércia.
Por exemplo, compare as fórmulas do momento de inércia de um retângulo de 20 x 40cm:
Momento de inércia em seção retangular.
Veja na equação:
Rotacione a tela. 
Agora vemos essa imagem novamente, representando o arranjo simplificado a seguir, que ilustra uma
porção genérica de pórticos planos formada por uma viga e um pilar com suas porções superior e inferior:
Pcr =
π2EI
L2
Iz =
bh3
12
=
20 × 403
12
= 106667cm4
Iy =
bh3
12
=
40 × 203
12
= 26667cm4
Aproximação em apoios extremos.
Para este último caso, o momento fletor Mlig que age nos pilares a partir das vigas é calculado a partir do
momento de engastamento perfeito, por meio da seguinte equação nas três situações a seguir:
Em que:
 é o momento de ligação, que é um engastamento parcial;
 é o momento de engastamento perfeito;
 é a rigidez do vão extremo da viga;
Na viga 
Mlig = Meng( rinf+rsup rvig+rinf+rsup  )No tramo superior do pilar 
Mlig = Meng( rsuprvig+rinf+rsup )
Na tramo inferior do pilar 
Mlig = Meng ( rinf rvig+rinf+rsup  )
Mlig
Meng
rvig
 é a rigidez do lance superior do pilar;
 é a rigidez do lance inferior do pilar.
Compreende que a rigidez dos pilares aparece nos cálculos dos momentos de ligação nos pilares e que a
rigidez depende do momento de inércia?
Você também já imaginou o reflexo disso no projeto de um pórtico plano? Acompanhemos a demonstração
a seguir.
Demonstração
Seja a viga a seguir, de 500cm de comprimento em cada vão e dimensões 20 x 40cm de altura. O pilar 1 é
quadrado com 20cm de lado, o pilar 3 é quadrado com 30cm de lado e o pilar 2 é retangular com 20cm de
comprimento e 40cm de largura. Calcule:
a) O vão efetivo da viga contínua que faz parte do pórtico se o pilar intermediário tem sua largura (40cm) na
direção do seu eixo longitudinal, como mostrado na imagem.
Viga contínua e Base.
Resolução
Calculemos os vãos efetivos da viga contínua que nos foi apresentada, considerando também sua altura.
rsup
rinf
Rotacione a tela. 
Vamos calcular, então, o vão da esquerda efetivo referente ao comprimento de 5,0m:
Rotacione a tela. 
Daí, temos:
Rotacione a tela. 
Vamos calcular o vão da direita efetivo referente ao comprimento de 5,0m:
Rotacione a tela. 
Daí, temos:
a1 ≤
a2 ≤
⎧⎪⎨⎪⎩ t120, 3h⎧⎪⎨⎪⎩ t220, 3ha1 ≤a2 ≤ ⎧⎪⎨⎪⎩ t12 = 202 = 10cm0, 3h = 0, 3 × 40 = 12cm⎧⎪⎨⎪⎩ t22 = 402 = 20cm0, 3h = 0, 3 × 40 = 12cml = l0 + a1 + a2 = 500 + 10 + 12 = 522cma1 ≤a2 ≤ ⎧⎪⎨⎪⎩ t12 = 402 = 20cm0, 3h = 0, 3 × 40 = 12cm⎧⎪⎨⎪⎩ t22 = 302 = 15cm0, 3h = 0, 3 × 40 = 12cm
Rotacione a tela. 
b) O vão efetivo da viga contínua que faz parte do pórtico se o pilar intermediário tem sua largura (40 cm) na
direção do seu eixo transversal, como mostrado na imagem a seguir:
Base.
Calculemos os vãos efetivos da viga contínua que nos foi apresentada, considerando também sua altura.
Rotacione a tela. 
Vamos calcular, então, o vão da esquerda efetivo referente ao comprimento de 5,0m:
Rotacione a tela. 
l = l0 + a1 + a2 = 500 + 12 + 12 = 524cm
a1 ≤
a2 ≤
⎧⎪⎨⎪⎩ t120, 3h⎧⎪⎨⎪⎩ t220, 3ha1 ≤a2 ≤ ⎧⎪⎨⎪⎩ t12 = 202 = 10cm0, 3h = 0, 3 × 40 = 12cm⎧⎪⎨⎪⎩ t22 = 202 = 10cm0, 3h = 0, 3 × 40 = 12cm
Daí, temos:
Rotacione a tela. 
Vamos calcular o vão da direita efetivo referente ao comprimento de 5,0m:
Rotacione a tela. 
Daí, temos:
Rotacione a tela. 
Veja a observação a seguir:
Pela diferença nas respostas, perceba que a direção em que o pilar intermediário,
ou seja, a forma como ele é girado, parece interferir no cálculo do vão efetivo da
viga!
c) Os momentos de ligação que ocorrem no pilar extremo da esquerda, se a viga é submetida a um
carregamento distribuído de 10kN/m e os pilares têm um comprimento equivalente de 315cm.
Resolução: É dado o comprimento equivalente do pilar, que é igual a 
Vamos calcular o momento de engastamento perfeito da viga esquerda no pórtico, em que q = 10kN/m e l =
5,22m:
l = l0 + a1 + a2 = 500 + 10 + 10 = 520cm
a1 ≤
a2 ≤
⎧⎪⎨⎪⎩ t12 = 202 = 10cm0, 3h = 0, 3 × 40 = 12cm⎧⎪⎨⎪⎩ t22 = 302 = 15cm0, 3h = 0, 3 × 40 = 12cml = l0 + a1 + a2 = 500 + 10 + 12 = 522cmle = 315cm.M = ql212 = 10 × 3, 15212 = 8, 27kNm
Rotacione a tela. 
Calculemos agora a rigidez da viga e do pilar, para a situação em que a maior dimensão do pilar é paralela à
direção da viga:
Rotacione a tela. 
Substituindo na equação para encontrarmos os momentos de ligação a partir das rigidezes da viga e do
pilar, temos:
rviga  =
Iviga 
Li
=
0,2×0,43
12
5, 22
=
0,2×0,43
12
5, 22
= 2, 04 × 10−4cm3
rpilar ,inf  =
Ipilar,inf 
Li
=
bh3
12
3, 15
=
0,2×0,23
12
3, 15
= 0, 42 × 10−4cm3
rpilar,sup  =
Ipilar,sup 
Li
=
bh3
12
3, 15
=
0,2×0,23
12
3, 15
= 0, 42 × 10−4cm3
Na viga
Mlig = Meng(
rinf + rsup
rvig + rinf + rsup
)
Mlig = 8, 27(
(0, 42 + 0, 42) × 10−4
(0, 42 + 0, 42 + 2, 04) × 10−4
)
Mvig = 2, 37kNm
No tramo superior do pilar
Tente agora refazer o exercício para o vão do pórtico à direita do pilar intermediário.
Mão na massa
Questão 1
Se um pilar tem 20 x 40cm de seção transversal e comprimento de 4m, assinale, dentre as opções a
seguir, o menor índice de esbeltez do pilar:
Mlig = Meng(
rsup
rvig + rinf + rsup
)
Mlig = 8, 27(
(0, 42) × 10−4
(0, 42 + 0, 42 + 2, 04) × 10−4
)
Msup = 1, 18kNm
Na tramo inferior do pilar
Mlig = Meng(
rinf
rvig + rinf + rsup
)
Mlig = 8, 27(
(0, 42) × 10−4
(0, 42 + 0, 42 + 2, 04) × 10−4
)
Msup = 1, 18kNm

Parabéns! A alternativa E está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Se um pilar tem 15 x 30cm de seção transversal e comprimento de 6m, assinale, dentre as opções a
seguir, o menor índice de esbeltez do pilar:
A 109,3.
B 99,3.
C 89,3.
D 79,3.
E 69,3.
A 78,6.
B 98,6.
C 118,6.
D 138,6.
Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 3
Se um pilar tem 20 x 60cm de seção transversal e comprimento de 6m, assinale, dentre as opções a
seguir, a classificação do pilar que é mais próxima ao seu índice de esbeltez.
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 4
Se um pilar tem 20 x 60cm de seção transversal e comprimento de 10m, assinale, dentre as opções a
seguir, a carga crítica do pilar considerado biapoiado, aproximado, sabendo que E= 25000MPa:
E 158,6.
A Robusto.
B Custo.
C Esbelto.
D Excessivamente esbelto.
E Longo.
Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 5
Seja a viga a seguir, de 500cm de comprimento em cada vão e dimensões 40 x 80cm de altura. O pilar 1
é quadrado com 40cm de lado, o pilar 3 é quadrado com 60cm de lado e o pilar 2 é retangular, com
40cm x 80cm de largura na direção do seu eixo longitudinal. Dentre as opções a seguir, assinale o
comprimento efetivo do vão esquerdo da viga contínua que faz parte do pórtico se o pilar intermediário
tem sua largura (40cm) na direção do seu eixo longitudinal, como mostrado na imagem a seguir.
 
A 786kN.
B 986kN.
C 1086kN.
D 1186kN.
E 1286kN.
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 6
Seja a viga a seguir, de 800cm de comprimento em cada vão e dimensões 40 x 80cm de altura. O pilar 1
é quadrado com 40cm de lado, o pilar 3 é quadrado com 60cm de lado e o pilar 2 é retangular e tem
40cm por 80cm. Dentre as opções a seguir, assinale o comprimento efetivo do vão direito da viga
contínua que faz parte do pórtico se o pilar intermediário tem sua largura (80cm) na direção do seu eixo
longitudinal, como mostrado na imagem a seguir.
 
A 540cm.
B 542cm.
C 544cm.
D 548cm.
E 550cm.
Parabéns! A alternativa D está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Teoria na prática
Calcule os momentos na ligação entre a viga e um pilar que fazem parte de um pórtico plano, conforme o
esquema ilustrado na imagem a seguir, sobre um carregamento de 24kN/m, sabendo que a viga tem 20cm x
40cm e o pilar, 20 x 40cm. O comprimento equivalente do pilar é de 265cm. Calcule a situação tanto para a
situação em que a maior direção do pilar é paralelo à viga como para a situação em que a maior direção do
pilar é transversal à viga.
A 840cm.
B 842cm.
C 844cm.
D 848cm.
E 850cm.
_black
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Com relação a um pilar que faz parte de um pórtico plano, assinale o que é verdadeiro sobre sua carga
crítica de flambagem:
Mostrar solução
A Quanto maior for o momento de inércia, maior será a carga crítica do pilar.
B Quanto menor for o momento de inércia, menor será a carga crítica do pilar.
C Quanto maior for o comprimento do pilar, maior será sua carga crítica.
D
Parabéns! A alternativa B está correta.
A fórmula da carga críticaé a seguinte:
Vejamos as possibilidades:
A carga crítica é diretamente proporcional ao módulo de elasticidade.
A carga crítica é inversamente proporcional ao comprimento.
A carga crítica é diretamente proporcional ao momento de inércia.
Questão 2
Se um pilar tem índice de esbeltez igual a 35, é correto dizer que ele é
A carga crítica é inversamente proporcional ao comprimento do pilar.
E A carga crítica é diretamente proporcional ao quadrado do momento de inércia.
Pcr =
π2EI
L2
A pouco esbelto ou robusto.
B de esbeltez média.
C esbelto.
D muito esbelto.
E excessivamente esbelto.
Parabéns! A alternativa A está correta.
A classificação de pilares quanto à sua esbeltez é:
pilares robustos ou pouco esbeltos 
pilares de esbeltez média 
pilares esbeltos ou muito esbeltos 
pilares excessivamente esbeltos 
Não podem ser considerados pilares 
Para o caso deste problema, temos que o pilar se mostra como robusto ou pouco esbelto.
Considerações �nais
Ao terminar este conteúdo, entenda que não é suficiente apenas saber calcular os momentos e esforços
internos. É necessário compreender que um prédio tem pilares, vigas e lajes arranjados sob uma forma de
pórtico espacial; dessa forma, a interação entre esses elementos deve ser mais bem estudada.
Podemos citar como alguns fatos dessa interação: o cálculo do vão efetivo, que considera comprimentos
dos pilares nos apoios; a consideração dos engastamentos parciais, que geram momentos de
engastamentos de valor menor que os momentos de engastamento perfeito; e a consideração de efeitos de
flambagem no cálculo da rigidez de pilares.
Sabemos que muito dessas interações depende do material da estrutura, dos seus apoios e de sua
complexidade. Assim, o papel do projetista é primordial quando vai desenvolver um projeto estrutural, pois
dele virão as considerações sobre a estrutura.
→ λ ≤ 40
→ 40 < λ ≤ 90
→ 90 < λ ≤ 140
→ 140 < λ ≤ 200
→ λ > 200

Podcast
Agora, o especialista encerra o tema falando sobre os principais tópicos abordados, tais como: Ftool e
pilares.
Referências
GERE, J. M.; WEAVER J. W. Análise de estruturas reticuladas. Rio de Janeiro: Guanabara, 1987.
HIBBELER, R. C. Análise das estruturas. 8. ed. São Paulo: Pearson, 2013.
LEET, M. K.; UANG, C. M.; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estrutural. 3. ed. São Paulo: McGraw-Hill,
2009.
MARTHA, L. F. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. 1. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2010.
SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de estruturas: método das forças e dos deslocamentos. 2. ed. Rio de
Janeiro: Ciência Moderna, 2006.
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural I. 7. ed. [s.l.], Globo, 1980.
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural II. 7. ed. [s.l.], Globo, 1980.
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural III. 7. ed. [s.l.], Globo, 1980.
VENÂNCIO FILHO, F. Análise matricial de estruturas: estática, estabilidade, dinâmica. Rio de Janeiro: A.
Neves, 1975.
Explore +
Leia sobre as normas de projeto e cálculo de estruturas que podem ampliar o entendimento sobre as
interações entre vigas, lajes e pilares. Aqui estão algumas importantes para você conhecer:
NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto: Procedimento;
NBR 7190: Projeto de estruturas de madeira;
NBR 8800: Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios.