Condução de Calor em Paredes Cilíndricas e Esféricas

Prévia do material em texto

Transferência de Calor
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Victor Barbosa Felix
Revisão Textual:
Prof.ª Esp. Kelciane da Rocha Campos 
Condução de Calor em Paredes Cilíndricas e Esféricas
• Condução de Calor Através de Configurações Cilíndricas;
• Condução de Calor Através de Configurações Esféricas.
• Apresentar os conceitos sobre condução de calor através de confi gurações
cilíndricas e esféricas.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Condução de Calor em
Paredes Cilíndricas e Esféricas
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você tam-
bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e 
de aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Condução de Calor em Paredes Cilíndricas e Esféricas
Condução de Calor Através 
de Configurações Cilíndricas
Até aqui, vimos a transferência unidirecional de calor em paredes planas, agora 
vamos verificar como podemos calcular a transferência de calor em paredes cilín-
dricas. O exemplo mais simples para visualizarmos isso é imaginarmos tubos que 
transportam fluidos com determinadas temperaturas. Veja a figura 1.
Figura 1 – Condução de calor em paredes cilíndricas
Fonte: Acervo do conteudista
Para deduzirmos as equações de transferência de calor por condução através de 
paredes cilíndricas, vamos supor uma tubulação como a da figura 1 que transporta 
um fluido a alta temperatura. Neste caso, temos que a temperatura da superfície 
interna do cilindro é maior que a temperatura da superfície externa; sendo assim, 
T1 > T2. Neste caso, haverá transferência de calor de dentro da tubulação para 
fora, na direção do raio do tubo.
Essa transferência pode ser escrita utilizando-se a equação de Fourier, mas ago-
ra na direção r do raio e não na direção x como fizemos anteriormente. Assim, a 
equação fica:
q KA dT
dr
� �
8
9
Note que agora derivamos a temperatura em função do raio r, por isso usamos dr. 
Anteriormente, fizemos essa análise para a direção x, por isso usávamos dx.
Outro fato importante para ser observado é que agora a área A varia com o 
raio r e com o comprimento da tubulação, pois a área de uma superfície cilíndrica 
é A =2πrL.
Assim, temos que a taxa de transferência de calor fica:
&q K rL dT
dr
&q dr
r
KLdT2
Agora podemos integrar:
&q dr
r
KL dT
r
r
T
T
1
2
1
2
2
q r r KL T Tln ln2 1 2 2 1�� � � � �� ��
Se usarmos a propriedade dos logaritmos e usarmos o sinal negativo para inver-
ter a diferença de temperatura, teremos:
q r
r
KL T Tln 2
1
2 1 2� �� ��
Assim, teremos sempre a diferença da maior temperatura pela menor.
Então, a taxa de transferência de calor será:
q KL
T T
r
r
�
�� �
2
1 2
2
1
�
ln
Sabemos que podemos escrever a equação de transferência de calor por meio 
da resistência térmica, assim:
q T
Rt
�
�
Temos que para configurações cilíndricas a resistência térmica será:
R r r
KLt
�
ln /2 1
2�
9
UNIDADE Condução de Calor em Paredes Cilíndricas e Esféricas
Se tivermos uma associação em série de superfície com configuração cilíndrica, 
também é válida a equação deduzida anteriormente; assim, temos que:
R R R R R Req
i
n
i n n� � � ��� �
�
��
1
1 2 1
Vamos fazer um exercício para treinar?
Exemplo 1
Um tubo de aço (figura 2), que é usado para transportar ar aquecido, tem con-
dutividade térmica Ka=40 W/mK, espessura de 10mm e 0,20m de diâmetro 
externo. Esse tubo é isolado com 2 camadas de materiais que servem para di-
minuir a perda de calor para o ambiente: a primeira camada é de isolante de 
alta temperatura com uma condutividade térmica igual a Ki=0,08 W/mK e com 
espessura de 0,02m, já a segunda camada é um isolante à base de magnésia com 
uma condutividade térmica igual a Km=0,05 W/mK, também com espessura de 
0,02m. Sabendo que a temperatura da superfície interna do tubo está a 600°C e 
que a temperatura da superfície externa do segundo isolante está a 20°C, pede-se 
para determinar a taxa de transferência de calor sabendo-se que o tubo tem um 
comprimento de 10m.
Figura 2 – Tubos com Duas Camadas de Isolantes
Fonte: Acervo do conteudista
Solução:
Primeiro vamos identificar as variáveis, verificando o que já foi dado no exercício:
r m1 0 2
2
0 01 0 09� � �
,
, ,
Lembrando que o diâmetro externo do tubo de aço é igual a 0,2m, então o raio 
externo é a metade. Tirando a espessura de 10mm, temos o valor de r1.
10
11
r m2 0 2
2
0 1= =
,
,
Sabendo que temos uma camada de isolante de 0,02m, então temos que:
r r m3 2 0 02 0 1 0 02 0 12� � � � �, , , ,
e
r r m4 3 0 02 0 12 0 02 0 14� � � � �, , , ,
Sabemos que a taxa de transferência de energia é:
q T
Req
�
�
Assim, precisamos calcular a resistência equivalente, sabendo que temos 3 ca-
madas associadas em série. Portanto, temos que a resistência equivalente será:
R R R R r r
K L
r r
K L
r
eq aço isolante magnésia
a i
� � � � � �
ln / ln / ln2 1
2
3 2
2� �
44 3
2
/ r
K Lm�
Req � � �
�
� �
�
ln
,
,
ln
,
,
,
ln
,
,
,
0 1
0 09
2 40 10
0 12
0 1
2 0 08 10
0 14
0 12
2 0 05� � � �� �10
R K Weq 0 000042 0 03627 0 04907 0 08576, , , ,
Podemos notar que a resistência térmica do aço é muito pequena, podendo na 
maioria dos casos ser considerada desprezível.
A taxa de transferência de calor será:
&q W kW600 20
0 08576
6763 06 6 76
,
, ,
Condução de Calor Através
de Configurações esféricas
Veremos agora a equação de condução de calor através de superfícies esféricas. 
Esse tipo de configuração é muito utilizado quando temos a necessidade de armaze-
nagem de fluidos em baixa temperatura. Isso mesmo, pois existe uma maior relação 
entre volume e superfície da esfera, assim o fluxo de calor pode ser minimizado.
11
UNIDADE Condução de Calor em Paredes Cilíndricas e Esféricas
Consideremos que a esfera da figura 3 seja oca e tenha o raio da superfície interna 
igual a r1, que está com uma temperatura T1, e o raio da superfície externa igual a 
r2, que está com uma temperatura T2. Nesse caso, vamos supor que a temperatura 
T1 seja maior que a temperatura T2, T1 > T2, ou seja, existe um fluxo de calor para 
fora da esfera, pois existe um fluido com alta temperatura dentro da esfera.
Figura 3 – Esfera
Fonte: Acervo do conteudista
Neste caso, podemos utilizar a equação de Fourier para condução de calor em 
função do raio da esfera.
q KA dT
dr
� �
A área superficial de uma esfera é:
A r� 4� ²
Portanto,q K r dT
dr
� � 4� ²
q dr
r
KdT
²
� �4�
Integrando, temos:
q dr
r
K dT
r
r
T
T
1
2
1
2
4� �� �
²
�
� ��
�
�
�
�
� � � �� �q r r K T T
1
2
1
1
4 2 1�
12
13
Rearranjando os sinais negativos, temos que:
q
r r
K T T1
1
1
2
4 1 2��
�
�
�
�
� � �� ��
q K
T T
r r
�
�� �
��
�
�
�
�
�
4
1 2
1
1
1
2
�
Analisando como resistência térmica, temos:
q T
Rt
�
�
Assim, a resistência térmica para configurações esféricas será:
R r r
Kt
�
��
�
�
�
�
�
1
1
1
2
4�
Da mesma forma, se tivermos associações em série teremos:
R R R R R Req
i
n
i n n� � � ��� �
�
��
1
1 2 1
Vamos fazer um exercício par treinar?
Exemplo 2
Um tanque utilizado para armazenamento de chopp (figura 4) deve manter a 
temperatura interna do mesmo a no máximo 3°C. Sabe-se que o seu diâmetro 
é de 1,2m, o seu comprimento é de 6m e as suas extremidades são hemisféri-
cas. A temperatura da superfície externa em um dia de verão (apropriado para 
o consumo de chopp) é de 30°C. Para evitar que a bebida aqueça, utiliza-se um 
revestimento isolante que, devido a restrições de espaço físico, deve ter espessu-
ra máxima de 20mm. Considerando-se um fluxo de calor de 150W de fora para 
dentro, determinar:
1. Qual a condutibilidade térmica do isolante? 
2. Com a instalação do novo isolante, qual será a taxa de transferência de calor 
em um dia de inverno, com temperatura externa de 10°C?
13
UNIDADE Condução de Calor em Paredes Cilíndricas e Esféricas
6 m
4,8 m
1,2 m
r
Figura 4 – Tanque de chopp
Solução:
1. Nesse exercício, podemos desconsiderar a resistência térmica do tanque, pois, 
como vimos no exercício anterior, ela é muito baixa e o exercício não deu in-
formações sobre a espessura do material de que o tanque é feito.
Neste caso, temos que o calor atravessa uma configuração cilíndrica e uma 
configuração esférica. 
Temos que:
r m1 1 2
2
0 6= =
,
,
Raio externo do tanque e interno do isolante:
r m2 0 6 0 02 0 62� � �, , ,
Raio externo do isolante, lembrando que sua espessura é de 20mm = 0,02m.
Portanto, sabemos que:
  q q qesférica cilíndrica� �
q K
T T
r r
KL
T T
r
r
�
�� �
��
�
�
�
�
�
�
�� �
4
2 1
1
1
1
2
2
2 1
2
1
� �
ln
150 4
30 3
1
0 6
1
0 62
2 4 8
30 3
0 62
0 6
�
�� �
��
�
�
�
�
�
� � � �� �� �K K
, ,
,
ln
,
,
150 6311 235 24833 9499� �, ,K K
K W mK150
6311 235 24833 9499
0 00481
, ,
/
14
15
2. Agora que sabemos o valor da condutividade térmica do isolante, o exercício 
pede a taxa de transferência de calor num dia de inverno com temperatura 
T2 = 10°C:
  q q qesférica cilíndrica� �
q K
T T
r r
KL
T T
r
r
�
�� �
��
�
�
�
�
�
�
�� �
4
2 1
1
1
1
2
2
2 1
2
1
� �
ln
q � � � �� �
��
�
�
�
�
�
� � �� � ��4 0 00481 10 3
1
0 6
1
0 62
2 0 00481 4 8
10 3
� �,
, ,
, ,
��
ln
,
,
0 62
0 6
&q W� 38 84
O que pode ser notado é que em um dia de inverno temos uma taxa de transfe-
rência de calor menor que em um dia de verão.
Bons estudos!
15
UNIDADE Condução de Calor em Paredes Cilíndricas e Esféricas
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Transferência de Calor e Massa: Uma Abordagem Prática
ÇENGEL, Y. A.; GHAHAR, A. J. Transferência de calor e massa: uma abordagem 
prática. 4ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2012. (E-book)
 Vídeos
Condução de Calor
https://youtu.be/dazOL4t9uFQ
Experiência: Calor x Temperatura
https://youtu.be/Ixj2ykF-KYg
Transmissão de Calor – Parte 1 
https://youtu.be/CgQyQd8_AQM
16
17
Referências
BERGMAN, T. L. et al. Fundamentos de transferência de calor e de massa. 7ª ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2014. (E-book) 
BERGMAN, T. L.; LAVINE, A. S.; INCROPERA, F. P.; DEWITT, D. P. Funda-
mentos de transferência de calor e de massa. 7ª edição. Rio de Janeiro: Grupo 
GEN, 2014. (E-book)
INCROPERA, F. P. Fundamentos de transferência de calor e de massa. 6ª ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2008. (E-book)
17