Diferenciabilidade de Funções de Várias Variáveis

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Diferenciabilidade – continuac¸a˜o
MO´DULO 1 – AULA 8
Aula 8 – Diferenciabilidade – continuac¸a˜o
Objetivos
• Conhecer as principais implicac¸o˜es decorrentes do conceito de diferen-
ciabilidade de func¸o˜es reais de va´rias varia´veis reais.
• Aprender um crite´rio de identificac¸a˜o de func¸o˜es diferencia´veis.
A aula anterior foi dedicada ao estabelecimento do conceito de diferen-
ciabilidade de uma func¸a˜o real de duas varia´veis em um dado ponto. Foi
dado eˆnfase no ponto de vista da melhor aproximac¸a˜o afim da func¸a˜o, numa
vizinhanc¸a do ponto em questa˜o.
Ainda na aula passada, observamos que a existeˆncia das derivadas par-
ciais e´ uma condic¸a˜o necessa´ria para a func¸a˜o ser diferencia´vel.
Iniciaremos esta aula apresentando outra condic¸a˜o necessa´ria para a
func¸a˜o f ser diferencia´vel em um dado ponto (a, b).
A continuidade da func¸a˜o como uma condic¸a˜o necessa´ria
para a sua diferenciabilidade
Podemos enunciar esse fato da seguinte forma.
Teorema 8.1:
Seja f : A ⊂ lR 2 → lR uma func¸a˜o definida em um subconjunto aberto
de lR 2, e seja (a, b) ∈ A. Se a func¸a˜o f e´ diferencia´vel em (a, b), enta˜o f e´
cont´ınua em (a, b).
Como p ⇒ q e´ equivalente a ∼ q =⇒ ∼ p, se f na˜o for cont´ınua em
(a, b), enta˜o f na˜o sera´ diferencia´vel em (a, b). Temos, assim, a continuidade
como uma condic¸a˜o necessa´ria para a diferenciabilidade.
Demonstrac¸a˜o do teorema 8.1
Se f e´ diferencia´vel em (a, b), enta˜o lim
x → a
y → b
E(x, y)
|(x, y)− (a, b)| = 0, onde
E(x, y) = f(x, y)− f(a, b)− ∂f
∂x
(a, b) (x− a)− ∂f
∂y
(a, b) (y − b).
Como
lim
x → a
y → b
E(x, y)
|(x, y)− (a, b)| = 0 =⇒ limx → ay → b
E(x, y) = 0
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Diferenciabilidade – continuac¸a˜o
e
lim
x → a
y → b
(∂f
∂x
(a, b) (x− a) + ∂f
∂y
(a, b) (y − b)
)
= 0,
conclu´ımos que lim
x → a
y → b
f(x, y)− f(a, b) = 0, pois
f(x, y)− f(a, b) = E(x, y) −
(∂f
∂x
(a, b) (x− a) + ∂f
∂y
(a, b) (y − b)
)
.
Ora, isso e´ equivalente a lim
x → a
y → b
f(x, y) = f(a, b), portanto, f e´ cont´ınua
em (a, b). �
Veja, agora, exemplos em que essas duas condic¸o˜es necessa´rias – existeˆn-
cia das derivadas parciais e continuidade – se mostram insuficientes para
garantir a diferenciabilidade da func¸a˜o.
Exemplo 8.1
Seja f(x, y) = x + |y|. Essa func¸a˜o esta´ bem definida em todo o lR 2
e e´, claramente, cont´ınua em todos os pontos de seu domı´nio, pois
lim
x → a
y → b
f(x, y) = a + |b| = f(a, b).
No entanto, essa func¸a˜o na˜o admite derivada parcial em relac¸a˜o a y na
origem, por exemplo. Realmente,
lim
y→0+
f(0, y) − f(0, 0)
y
= lim
y→0+
|y|
y
= 1,
lim
y→0−
f(0, y) − f(0, 0)
y
= lim
y→0−
|y|
y
= −1.
Como f na˜o admite derivada parcial em relac¸a˜o a y, na origem, e
admitir derivadas parciais e´ uma condic¸a˜o necessa´ria para f ser diferencia´vel,
conclu´ımos que ela na˜o e´ diferencia´vel na origem, apesar de ser cont´ınua.
Veja o gra´fico de f . Note como ele apresenta um vinco sobre o eixo Ox.
x y
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Diferenciabilidade – continuac¸a˜o
MO´DULO 1 – AULA 8
Exerc´ıcio 1
Determine o conjunto no qual a func¸a˜o f(x, y) = x+ |y| admite ambas
as derivadas parciais.
O fato de a continuidade ser necessa´ria, pore´m na˜o suficiente, para f
ser diferencia´vel em um dado ponto na˜o chega a surpreender, uma vez que
esse fenoˆmeno ocorre no caso das func¸o˜es de uma varia´vel. Um pouco mais
surpreendente e´ o fato de uma func¸a˜o admitir ambas as derivadas parciais
num dado ponto e, mesmo assim, na˜o ser diferencia´vel no referido ponto. Isso
pode ocorrer devido a` diferenciabilidade de f estar condicionada ao fato de
o limite do quociente
E(x, y)
|(x, y)− (a, b)| , quando (x, y) tende a (a, b), ser igual
a zero.
Nosso pro´ximo exemplo ilustrara´ isso.
Exemplo 8.2
Seja
f(x, y) =


x2y
x2 + y2
, se (x, y) �= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
,
uma func¸a˜o definida em todo o lR 2.
Vamos mostrar que f e´ cont´ınua, que admite ambas as derivadas par-
ciais na origem e, mesmo assim, f na˜o e´ diferencia´vel na origem.
A func¸a˜o f e´, claramente, cont´ınua nos pontos diferentes da origem.
Realmente, se (a, b) �= (0, 0), enta˜o
lim
x → a
y → b
x2y
x2 + y2
=
a2b
a2 + b2
= f(a, b).
Considere, agora, g(x, y) =
x2
x2 + y2
uma func¸a˜o limitada, pois
|g(x, y)| = x
2
x2 + y2
≤ 1.
Como f(x, y) = y g(x, y) e lim
(x,y)→(0,0)
y = 0, podemos concluir que
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
(x,y)→(0,0)
y g(x, y) = 0 = f(0, 0).
Assim, f e´ cont´ınua na origem.
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Diferenciabilidade – continuac¸a˜o
E, agora, o ca´lculo das derivadas parciais de f , na origem.
∂f
∂x
(0, 0) = lim
x → 0
y → 0
f(x, 0)− f(0, 0)
x
= lim
x → 0
y → 0
0
x
= 0;
∂f
∂y
(0, 0) = lim
x → 0
y → 0
f(0, y)− f(0, 0)
y
= lim
x → 0
y → 0
0
y
= 0.
Isso comprova que f admite derivadas parciais na origem (ambas nulas).
Finalmente, vamos analisar o lim
x → 0
y → 0
E(x, y)
|(x, y)| .
Note que
E(x, y) = f(x, y)− f(0, 0)− ∂f
∂x
(0, 0) x− ∂f
∂y
(0, 0) y =
x2y
x2 + y2
.
Portanto,
lim
x → 0
y → 0
E(x, y)
|(x, y)| = limx → 0
y → 0
E(x, y)√
x2 + y2
= lim
x → 0
y → 0
x2y
(x2 + y2)3/2
.
Basta considerar a restric¸a˜o desse limite sobre a reta y = x. Veja:
lim
x→0+
x3
(2x2)3/2
= lim
x→0+
x3
2
√
2 |x|3 =
√
2
4
;
lim
x→0−
x3
(2x2)3/2
= lim
x→0−
x3
2
√
2 |x|3 = −
√
2
4
.
Como esses limites laterais sa˜o diferentes, o quociente
E(x, y)
|(x, y)− (0, 0)| =
x2y
(x2 + y2)3/2
na˜o admite limite quando (x, y) tende a (0, 0). Logo, f na˜o e´ diferencia´vel
na origem.
Veja, sob dois pontos de vista, o gra´fico da func¸a˜o
h(x, y) =
E(x, y)√
x2 + y2
=
x2y
(x2 + y2)3/2
,
que na˜o admite limite na origem.
CEDERJ 88
Diferenciabilidade – continuac¸a˜o
MO´DULO 1 – AULA 8
Exerc´ıcio 2
Mostre que a func¸a˜o
f(x, y) =


x2y2
x2 + y2
, se (x, y) �= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
e´ diferencia´vel na origem.
Exerc´ıcio 3
Mostre que a func¸a˜o
f(x, y) =


x3
x2 + y2
, se (x, y) �= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
e´ cont´ınua, admite derivadas parciais em todos os seus pontos, mas na˜o e´
diferencia´vel na origem. O que voceˆ pode dizer sobre a continuidade das
func¸o˜es derivadas parciais de f?
Para terminar esse tema, vamos estabelecer uma definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 8.1:
Seja f : A ⊂ lR 2 −→ lR uma func¸a˜o definida num subconjunto aberto
A de lR 2. Dizemos que f e´ diferencia´vel se f for diferencia´vel em todos os
pontos de A.
Uma condic¸a˜o suficiente para f ser diferencia´vel
Apo´s todas essas informac¸o˜es, voceˆ deve estar fazendo a seguinte per-
gunta: sob quais condic¸o˜es poderemos afirmar que uma certa func¸a˜o f e´
diferencia´vel, a partir de uma ana´lise de suas derivadas parciais? Ou seja,
ha´ algum crite´rio que permita detectar situac¸o˜es nas quais, claramente, a
func¸a˜o e´ diferencia´vel, evitando o uso imediato da definic¸a˜o?
Por exemplo, gostar´ıamos de afirmar que func¸o˜es tais como f(x, y) =
xy cos(x + y), ou g(x, y, z) = exyz sa˜o diferencia´veis, sem ter de calcular
os limites do quociente do erro por |(x, y) − (a, b)| ou |(x, y, z) − (a, b, c)|,
dependendo do caso.
Para responder a essa questa˜o, vamos precisar estender um conceito
que ja´ conhecemos das func¸o˜es de uma varia´vel.
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Diferenciabilidade – continuac¸a˜o
Definic¸a˜o 8.2:
Seja f : A ⊂ lR 2 −→ lR uma func¸a˜o definida num aberto A de lR 2. Se
f admitir derivadas parciais,
∂f
∂x
e
∂f
∂y
, em todos os pontos do conjunto A e
se ale´m disso as derivadas parciais forem func¸o˜es cont´ınuas, diremos que f e´uma func¸a˜o de classe C1.
Veremos que ser de classe C1 e´ uma condic¸a˜o suficiente para que a
func¸a˜o f seja diferencia´vel.
Teorema 8.2:
Se f : A ⊂ lR 2 −→ lR e´ uma func¸a˜o de classe C1, enta˜o f e´
diferencia´vel.
Veja, esse teorema responde a` questa˜o que formulamos anteriormente,
pelo menos em um nu´mero considera´vel de casos.
Exemplo 8.3
A func¸a˜o f(x, y) = xy cos(x + y) e´ diferencia´vel. Realmente, f esta´
definida em todo o lR 2. Ale´m disso,
∂f
∂x
(x, y) = y cos(x + y) − xy sen (x + y),
∂f
∂y
(x, y) = x cos(x + y) − xy sen (x + y),
sa˜o ambas func¸o˜es cont´ınuas, definidas em lR 2. Assim, f e´ de classe C1 e,
portanto, diferencia´vel.
Antes de provarmos o teorema, observe que todas essas definic¸o˜es e
resultados tambe´m valem para func¸o˜es de mais de duas varia´veis. Use isso
para resolver o exerc´ıcio seguinte.
Exerc´ıcio 4
Mostre que a func¸a˜o g(x, y, z) = exyz e´ diferencia´vel.
Demonstrac¸a˜o do teorema
Seja (a, b) ∈ A um ponto gene´rico, m = ∂f
∂x
(a, b) e n =
∂f
∂y
(a, b).
Para mostrar que f e´ diferencia´vel em (a, b), devemos mostrar que o limite
CEDERJ 90
Diferenciabilidade – continuac¸a˜o
MO´DULO 1 – AULA 8
de
E(x, y)
|(x, y)− (a, b)| , quando (x, y)→ (a, b), e´ zero. Lembre-se:
lim
x → a
y → b
E(x, y)
|(x, y)− (a, b)| = limx → a
y → b
f(x, y)− f(a, b)−m (x− a)− n (y − b)√
(x− a)2 + (y − b)2
= lim
h → 0
k → 0
f(a + h, b + k)− f(a, b)−mh− n k√
h2 + k2
,
com h = x− a e k = y − b.
Note que, devido a A ser um conjunto aberto, podemos garantir que,
para valores pequenos de h e k, (a + h, b + k) ∈ A.
Nessa altura, fazer isso na˜o parece ser uma tarefa fa´cil. Realmente, para
isso usaremos algumas estrate´gias bem conhecidas, mas para quem nunca as
viu antes, podem parecer um bocado misteriosas. E´ algo assim como o ovo
que Colombo colocou em pe´. Parece imposs´ıvel antes, mas, depois de feito,
parece ser bem simples. Veremos.
Nesse tipo de situac¸a˜o, estaremos sempre tentando dividir o limite em
pedac¸os menores, que possamos controlar, usando o fato de que
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Durante o processo, vamos usar o Teorema do Valor Me´dio, que afirma:
se g e´ uma func¸a˜o cont´ınua, definida no intervalo [α, β] e diferencia´vel no
intervalo (α, β), enta˜o existe um nu´mero ξ ∈ (α, β), tal que
g′(ξ) =
g(β)− g(α)
β − α .
Iniciamos aplicando a velha e famosa jogada de somar e subtrair um
termo conveniente:
f(a+h, b+k)− f(a, b) = f(a+h, b+k)− f(a+h, b)+ f(a+h, b)− f(a, b).
Agora, o Teorema de Valor Me´dio em dose dupla. Considere
g1(y) = f(a + h, y), e g2(x) = f(x, b),
func¸o˜es de uma varia´vel, definidas e cont´ınuas nos intervalos fechados cujos
extremos sa˜o b e b+k, no primeiro caso, e a e a+h, no segundo. Ale´m disso,
essas func¸o˜es sa˜o diferencia´veis nos intervalos abertos.
Uma vez que fixamos a e h, f(a + h, y) passa a definir uma func¸a˜o de
uma varia´vel, y, que chamamos g1. Analogamente, quando fixamos b, f(x, b)
define uma func¸a˜o em x, de uma varia´vel, que chamamos g2.
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Diferenciabilidade – continuac¸a˜o
Como essa func¸o˜es satisfazem as hipo´teses do Teorema do Valor Me´dio,
podemos afirmar que existem nu´meros, ξ1 entre b e b+k e ξ2 entre a e a+h,
tais que
g′1(ξ1) =
∂f
∂y
(a + h, ξ1) =
f(a + h, b + k)− f(a + h, b)
(b + k)− b
e
g′2(ξ2) =
∂f
∂x
(ξ2, b) =
f(a + h, b)− f(a, b)
(a + h)− a .
Resumindo, para cada h e k suficientemente pro´ximos de zero obtemos
nu´meros ξ1, entre b e b + k e ξ2 entre a e a + h, tais que
∂f
∂y
(a + h, ξ1) k = f(a + h, b + k)− f(a + h, b)
e
∂f
∂x
(ξ2) h = f(a + h, b)− f(a, b).
Munidos dessas duas igualdades, vamos enfrentar o quociente
E(h, k)√
h2 + k2
.∣∣∣∣∣f(a + h, b + k)− f(a, b)−mh− nk√h2 + k2
∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣f(a + h, b + k)− f(a + h, b) + f(a + h, b)− f(a, b)−mh− nk√h2 + k2
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣
∂f
∂y
(a + h, ξ1) k +
∂f
∂x
(ξ2, b) h− ∂f
∂x
(a, b) h− ∂f
∂y
(a, b) k
√
h2 + k2
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣
(
∂f
∂y
(a+h, ξ1)− ∂f
∂y
(a, b)
)
k√
h2 + k2
+
(
∂f
∂x
(ξ2, b)− ∂f
∂x
(a, b)
)
h√
h2 + k2
∣∣∣∣∣
≤
∣∣∣∣∣∂f∂y (a + h, ξ1)− ∂f∂y (a, b)
∣∣∣∣∣ k√h2 + k2 +
∣∣∣∣∣∂f∂x (ξ2, b)− ∂f∂x (a, b)
∣∣∣∣∣ h√h2 + k2 .
Puxa! Um minuto para respirar!
Agora que voceˆ recuperou o foˆlego, observe: ganhamos o jogo!
Os nu´meros ξ1 e ξ2 esta˜o entre a e a+h, e entre b e b+k, respectivamen-
te. Se fizermos h e k tenderem para zero, teremos a+h e ξ1 tendendo para a e
b+k e ξ2 tendendo para b. Mas as func¸o˜es
∂f
∂x
e
∂f
∂y
sa˜o cont´ınuas (a func¸a˜o f
e´ de classe C1, lembra?) e, portanto,
∂f
∂y
(a+h, ξ1)→ ∂f
∂y
(a, b) e
∂f
∂x
(ξ2, b)→
∂f
∂x
(a, b), fazendo com que
∣∣∣∣∣∂f∂y (a+h, ξ1)− ∂f∂y (a, b)
∣∣∣∣∣ e
∣∣∣∣∣∂f∂x (ξ2, b)− ∂f∂x (a, b)
∣∣∣∣∣
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Diferenciabilidade – continuac¸a˜o
MO´DULO 1 – AULA 8
tendam para zero. Como as func¸o˜es
h√
h2 + k2
e
h√
h2 + k2
, de h e k, sa˜o
limitadas, a soma∣∣∣∣∣∂f∂y (a + h, ξ1)− ∂f∂y (a, b)
∣∣∣∣∣ k√h2 + k2 +
∣∣∣∣∣∂f∂x (ξ2, b)− ∂f∂x (a, b)
∣∣∣∣∣ h√h2 + k2
vai para zero, quando h e k va˜o para zero. Ora, isso garante que
lim
h → 0
k → 0
∣∣∣∣∣ E(h, k)√h2 + k2
∣∣∣∣∣
vai a zero. Logo,
lim
h → 0
k → 0
E(h, k)√
h2 + k2
= 0.
Podemos concluir: a func¸a˜o f e´ diferencia´vel em (a, b). Isso mostra que
f e´ diferencia´vel e, assim, terminamos a prova do teorema e a aula. �
Uma palavra final, uma vez que ja´ ha´ exerc´ıcios para voceˆ resolver,
deixados ao longo da aula.
Realmente, nesse esta´gio de sua vida acadeˆmica, na˜o se espera que
voceˆ venha a fazer demonstrac¸o˜es como a que voceˆ acabou de ler. No en-
tanto, esforc¸os para entender argumentac¸o˜es desse tipo acrescentara˜o muita
experieˆncia a` sua bagagem, enriquecendo sua cultura matema´tica. Ale´m
disso, voceˆ estara´ fazendo um bom investimento no seu futuro como ma-
tema´tico.
Aqui esta´ um u´ltimo exerc´ıcio.
Exerc´ıcio 5
Determine o domı´nio de continuidade e o domı´nio de diferenciabilidade
da func¸a˜o
f(x, y) =
√
9− x2 − y2.
Ate´ a pro´xima aula!
93 CEDERJ