Quadriláteros: Elementos e Classificação

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QUADRILÁTEROS 
 
 Quadrilátero é o polígono de gênero quatro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Elementos Principais 
 
A, B, C e D  vértices 
, ,  e   ângulos internos 
x, y, z e w  ângulos externos 
BD e AC  diagonais 
 
Soma dos ângulos internos   +  +  +  = 360º 
Soma dos ângulos externos  x + y + z + w = 360º 
 
 Classificação: 
 
Os quadriláteros podem ser classificados como: 
 
- Paralelogramo 
- Trapézio 
- Quadrilátero qualquer 
 
 Paralelogramo 
 
É o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. 
 
 
 
 
 
 
 
AB // CD e BC // AD 
AB = CD e BC = AD 
 
1) º180AD̂D̂ĈĈB̂B̂Â 

 
2) As diagonais cortam-se ao meio 
3) D̂B̂ e ĈÂ  
 
 Paralelogramos Notáveis 
 
Retângulo  é o paralelogramo que possui os quatro ângulos 
congruentes (equiângulo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Losango  É o paralelogramo que possui os quatro lados 
iguais (equilátero). 
 
D̂B̂ e ĈÂ  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quadrado  é o paralelogramo que possui os quatro ângulos 
congruentes (equiângulo) e os quatro lados iguais (equilátero). 
 
 
 
 
 
 
 
D̂B̂ ĈÂ  = 90º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Trapézio: 
 
É o quadrilátero que possui apenas dois lados paralelos 
CB/ / AD são os lados paralelos (bases) 
 
 
 
D̂ĈB̂Â  = 180º 
 
 
 
 
 Trapézios Notáveis 
 
Escaleno – Possui o par de lados opostos não paralelos 
distintos. 
 
CD AB  
 
 
 
 
 
Isósceles – Possui o par de lados opostos não-paralelos 
congruentes.  Observação. 
As diagonais são congruentes 
 Observação. 
As diagonais são bissetrizes dos ângulos de seus 
vértices e cortam-se perpendicularmente. 
 Observação. 
 
1) As diagonais são congruentes 
2) As diagonais são bissetrizes dos ângulos de seus 
vértices e cortam-se perpendicularmente 
 
ĈB̂ e D̂Â  
 
 
 
 
Retângulo – Possui um dos lados opostos não-paralelos 
perpendicular às bases. 
 
º90B̂ Â  
 
 
 
 
 
 Base Média de um Trapézio 
 
 
 
 
 
 
 
 
M e N  pontos médios dos lados AB e CD 
MN base média 
 
MN = 
2
BCAD
 
 
 Mediana de Euler 
 
M e N  pontos médios das diagonais 
MN mediana de Euler 
 
 
 
MN = 
2
BCAD
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Quais as medidas dos ângulos internos desse 
quadrilátero? 
 
 
 
 
 
 
2) Observe a ilustração e calcule o valor de x nos 
paralelogramos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determine a medida x indicada no paralelogramo 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Na figura ABCD é um quadrado é CDEF é um losango. 
Se ECF mede 15º, a média do ângulo AÊF é: 
 
 
a) 15º 
b) 30º 
c) 45º 
d) 60º 
e) 75º 
 
 
 
 
 
5) Num trapézio retângulo, a medida do maior ângulo 
interno é o quádruplo da medida do menor. A medida do 
menor dos ângulos desse trapézio é: 
 
a) 30º b) 36º c) 45º d) 72º e) 90º 
 
 
 
 
 
6) (UNIFICADO) Origami é a arte japonesa das 
dobraduras no papel. Observe as figuras abaixo, onde estão 
descritos os passos iniciais para se fazer um passarinho: 
comece marcando uma das diagonais de uma folha de papel 
quadrada. Em seguida, faça coincidir os lados AD e CD sobre 
a diagonal marcada de modo que os vértices A e C se 
encontrem. Considerando-se o quadrilátero BEDF da fig.3, 
pode-se concluir que o ângulo BED mede: 
 
 
 
 
 
 
 
a) 100º b) 112º30’ c) 115º 
d) 125º30’ e) 135º 
 
 
7) (UERJ) Na análise dos problemas relativos aos trapézios, 
aprende-se que é muito útil traçar, por um dos vértices da 
base menor, um segmento paralelo a um dos lados do 
trapézio. Dessa forma, os trapézios podem ser 
estruturados como sendo a união de paralelogramos e 
triângulos, conforme a ilustração a seguir. 
 
 
 
 
 
 
Assim a análise de um trapézio RSTU passa, basicamente 
para o triângulo de lados a, c e b. A altura, a existência e 
os ângulos do trapézio RSTU podem ser calculados a 
partir dos correspondentes, no triângulo RSP. Considere, 
então um trapézio onde as bases medem 10 cm e 5 cm e 
os outros dois lados, 5 cm cada um.Logo, o número 
inteiro de centímetros que mais se aproxima da medida da 
altura do trapézio é: 
 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
8) (UFF) A figura abaixo representa o quadrado MNPQ de 
lado 1 = 4 cm. Sabendo que os retângulos NXYZ e JKLQ são 
congruentes, o valor da medida do segmento YK é: 
 
a) cm
2
3
 
b) 2 3 cm 
c) cm
2
2
 
d) 2 cm 
e) 2 2 cm 
 
 
 
9) (UFRJ) Na figura a seguir, A não pertence ao plano 
determinado pelos pontos B, C e D. Os pontos E, F, G e H são 
os pontos médios dos segmentos AB, BC, CD e DA, 
respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Prove que EFGH é um paralelogramo. 
 
 
 
 
 
10) Determine a medida do ângulo interno e ainda dos 
ângulos externos e . 
 
 
A A 
A 
B B 
B 
D D 
D 
E 
F 
C C 
C 
N X P
Z
2 cm 1 cm
l = 4 cm
Y
K L
M J Q