Aritmetização da Análise

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Aritmetização da Análise 
 
Weierstrass defendeu um programa no qual o próprio sistema dos números Reais, antes 
de mais nada, fosse tornado rigoroso para que assim tudo que dele decorresse na análise 
inspirasse segurança. Esse notável programa, conhecido como aritmetização da análise, 
revelou-se difícil e intrincado, mas acabou se concretizando por intermédio de 
Weierstrass e seus seguidores, e hoje a análise pode ser deduzida logicamente de um 
conjunto de postulados que caracterizem o sistema dos números reais. 
 
Os matemáticos foram consideravelmente além do estabelecimento do sistema dos 
números Reais como o fundamento da análise. Pode-se também fazer com que a 
geometria euclidiana se baseie no sistema dos números Reais pela sua interpretação 
analítica, e foi demonstrado pelos matemáticos que a maior parte dos ramos da 
geometria é consistente se a geometria euclidiana é consistente. Ademais, como o 
sistema dos números reais, ou alguma parte dele, pode servir para interpretar tantos 
ramos da álgebra, parece evidente que também se pode fazer depender uma boa parte 
da álgebra desse sistema. De fato, pode-se afirmar hoje que, essencialmente, 
consistência de toda a matemática existente depende da consistência do sistema dos 
números reais. Nisso reside a tremenda importância do sistema dos números reais para 
os fundamentos da matemática. 
 
Uma vez que se pode fazer com o grosso da matemática existente se alicerce no sistema 
dos números Reais, é natural a curiosidade de saber se seus fundamentos podem 
penetrar mais fundo ainda. No fim do século XIX, com o trabalho de Richard Dedekind 
(1831-1916), Georg Cantor (1845-1918) e Giuseppe Peano (1858-1932), esses 
fundamentos se assentaram no muito mais simples e básico sistema dos números 
Naturais. Isto é, esses matemáticos mostraram como o sistema dos números reais, e, 
portanto, o grosso da matemática, pode ser deduzido de um conjunto de postulados 
para o sistema dos números naturais. 
 
Como Howard Eves, autor de Introdução à História da Matemática, relata: 
 
 
 
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Então, no princípio do século XX, mostrou-se que o sistema dos números naturais 
pode ser definido em termos de conceitos da teoria de conjuntos, e assim o grosso 
da matemática pode ser fundamentado sobre uma plataforma na teoria dos 
conjuntos. Especialistas em lógica, como Bertrand Russel (1872-1970) e Alfred 
North Whitehead (1861-1947), empenharam-se em aprofundar ainda mais esses 
fundamentos, deduzindo a teoria dos conjuntos de um embasamento no cálculo 
proposicional da lógica, embora nem todos os matemáticos entendam que esse 
passo tenha sido dado com êxito. 
 
Fonte: 
EVES, H. Introdução à história da matemática. Trad.: Hygino H. Domingues. Campinas: 
Editora da Unicamp. 2004.