Pêndulo (BECN)

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Universidade Federal do ABC 
Base Experimental das Ciências Naturais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luckas Schmidt dos Santos 
Sidney Moreira Santana 
Suéllen Cristina da Silva Laiatti 
Vinicius do Nascimento Feitosa 
Vitor Massayuki Arakaki 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinação da aceleração da gravidade usando um pêndulo simples 
2022 
 
OBJETIVO 
Testar a validade da utilização do pêndulo simples como instrumento de 
medição de grandezas físicas como o tempo e a aceleração da gravidade. 
INTRODUÇÃO TEÓRICA 
Diante dos atuais avanços tecnológicos fica fácil não dar a devida relevância a 
instrumentos simples, mas que tiveram crucial importância na observação de 
fenômenos e construção do nosso conhecimento e das atuais tecnologias. Um 
exemplo disso é o pêndulo simples. 
Um pêndulo é definido como um instrumento de massa pontual, ligado à uma 
haste pendular presa a um ponto fixo. A observação dos pêndulos e seu 
movimento oscilatório se dá desde da antiguidade, onde os gregos discutiam 
filosoficamente os fenômenos que o envolviam, posteriormente passando pelo 
astrônomo árabe Ibn Yunus (século X) que já havia identificado o movimento 
isocrômico pendular, até chegar à Galileo Galilei, tido hoje como o primeiro 
ocidental que além de nota-lo se propôs a matematiza-lo fornecendo dados 
preliminares para futuros estudos e aplicações, como a construção dos 
primeiros relógios pendulares (Figura 1), o estudo da gravidade e dos 
movimentos oscilatórios, de grande importância na compreensão do 
comportamento de ondas. 
 
Fonte: Science Museum Group. 
Figura 1 - Modelo construído em 1883 por 
Eustachio Porcellotti, baseado em desenhos feitos 
por Galileo. 
Um outro exemplo do emprego dos conceitos desenvolvidos por Galileo foi na 
construção do Pulselogium, tido como um dos primeiros instrumentos para 
medir a pulsação de pacientes, possibilitando assim o entendimento das 
funções cardíacas. Além disso atualmente podemos utilizar os cálculos da 
aceleração da gravidade para na prática, entre outras coisas, fazermos a 
aferição de balanças. Uma vez que o peso é a ação da força de atração 
exercida pela gravidade, e esta por sua vez é proporcional à aceleração 
gravitacional local (Já que por não possuirmos uma superfície terrestre 
homogênea, existem diferenças na atração exercida em diferentes pontos, a 
depender da altitude em que nos encontremos), para que uma balança indique 
corretamente a massa, essa sim diretamente relacionável à quantidade de 
matéria, é preciso que se leve em consideração a aceleração da gravidade, 
assim uma balança calibrada em uma região poderá apresentar diferença na 
medição da massa do mesmo objeto, quando realizada em diferentes 
localizações. 
 Apresentamos assim resumidamente, o impacto de simples aparelhos 
para nosso entendimento das leis naturais, seja na área da física, da medicina, 
da astronomia, como na aplicação desses conceitos na vida prática das 
pessoas e no avanço da ciência. Com os experimentos descritos no presente 
relatório buscamos reproduzir as dificuldades e técnicas além da linha de 
pensamento de importantes cientistas que nos antecederam e que com 
tecnologia limitada, conseguiram trazer significantes benefícios para sociedade 
através de seu trabalho. 
BASES DOS CÁLCULOS 
 
Nesse experimento focamos nos aspectos oscilatórios do movimento pendular 
que o qualifica como um ótimo marcador de tempo e gravímetro (instrumento 
para medir a aceleração da gravidade). 
Quando não se considera as oscilações amplas, pode-se construir um modelo 
analítico simples para o comportamento do pêndulo simples. Essa solução 
analítica depende de uma aproximação que é expressa matematicamente da 
forma: 
(Eq.1) 
Ou seja, durante todo seu movimento, a inclinação do pêndulo não pode 
exceder o regime onde essa aproximação é válida. Note que a Eq. 1 faz 
sentido utilizando-se as unidades de ângulos em radianos que são as unidades 
“naturais” da trigonometria. Respeitando esse regime, o modelo descreve uma 
relação entre o tempo que o pêndulo leva para realizar uma oscilação 
completa, que é denominado período de oscilação(T), o comprimento do 
pêndulo (L) e a aceleração da gravidade (g). 
(Eq.2) 
Vemos que o comportamento oscilatório depende de poucos parâmetros e, da 
mesma forma que a aceleração de um corpo em queda livre, o período de 
oscilação do pêndulo não depende da massa. Rearranjando os termos da Eq. 
1, temos: 
(Eq.3) 
Por simplicidade, na maioria dos casos a aceleração da gravidade é tratada 
como uma constante. Porém a Terra não é homogênea e se movimenta no 
espaço translacionalmente e rotacionalmente. Isso faz com que o valor de g 
dependa da posição geográfica (latitude e altitude principalmente) podendo 
variar de 9.78 a 9,83 m/s2. 
 
MATERIAIS E MÉTODOS 
 
Materiais necessários para a montagem do pêndulo: 
 
 Fio de barbante 
 Massa 
 Fita adesiva 
 Trena 
 Cronômetro 
 Transferidor 
 
Montagem do pêndulo: 
 
 Embrulhamos a bolinha de metal com uma sacola; 
 Fixamos o barbante na bolinha, usando a fita adesiva; 
 Cortamos um pedaço do barbante e passamos pelo suporte universal; 
 Em seguida, conectamos a bolinha no barbante preso no suporte 
universal, fazendo um pequeno nó em sua ponta. 
 
Métodos 
 
1. Relacionar os valores de determinados ângulos e seus respectivos senos. 
 
Tabela 1 – Relação dos valores de determinados ângulos e seus respectivos 
senos. 
Ângulo em graus Ângulo em radianos Seno do ângulo 
5° 0.0873 0.0872 
10° 0.1745 0.1736 
15° 0.2618 0.2588 
20° 0.3491 0.3420 
25° 0.4363 0.4226 
30° 0.5236 0.5000 
35° 0.6109 0.5736 
40° 0.6981 0.6428 
45° 0,7854 0.7071 
50° 0.8727 0.7660 
 
2. Relacionar o período de oscilação com o comprimento do pêndulo e o 
respectivo cálculo da aceleração da gravidade 
 
Tabela 2 – Relação do período de oscilação com o comprimento do pêndulo e 
o respectivo cálculo da aceleração da gravidade. 
 
(m) 10T (s) 
 
-Medida 1 
10T(s) 
 
-Medida 2 
10T(s) 
 
-Medida 3 
T(s) 
 
-Média/10 
g(m/s²) 
 
da Eq.8.3 
1 20.34 20.34 20.42 2.037 9.51 
0.85 18.38 18.15 18.17 1.823 10.10 
0.70 16.68 16.64 16.77 1.670 9.90 
0.55 14.99 14.74 15.12 1.495 9.71 
0.40 12.95 12.78 12.82 1.285 9.56 
0.25 9.88 10.04 9.89 0.994 9.98 
Para ângulo = 20° e comprimento = 55m temos abaixo: 
14.39 14.26 14.30 1.430 10.61 
Ângulo θ usado para as medidas da tabela 8.2 = 10° 
Gráfico 1. Representação gráfica do comportamento de T em função de L. 
(Esse gráfico se refere ao comportamento ideal expresso na Eq. 2) 
 
Gráfico 2. Representação gráfica o comportamento de g em função de L. 
(Esse gráfico se refere ao comportamento ideal expresso na Eq. 3.) 
 
 
3. Relacionar o período de oscilação com o ângulo máximo de oscilação e o 
respectivo cálculo da aceleração da gravidade 
Tabela 3 – Relação do período de oscilação com o ângulo máximo de 
oscilação e o respectivo cálculo da aceleração da gravidade. 
 
Ângulo 
(graus) 
( ) 10T (s) 
 
Medida 1 
( ) 10T(s) 
 
Medida 2 
( ) 10T(s) 
 
Medida 3 
( )T(s) 
 
Média/(10) 
g(m/s²) 
 
5° 18.23 18.09 18.45 1.826 10.06 
10° 18.35 18.43 18.47 1.842 9.90 
15° 18.38 18.36 18.38 1.837 9.94 
20° 18.41 18.66 18.64 1.857 9.73 
25° 18.62 18.85 18.50 1.866 9.63 
30° 18.73 18.76 18.60 1.870 9.60 
35° 18.40 18.78 18.89 1.869 9.60 
40° 18.85 18.75 18.67 1.876 9.53 
45° 18.81 18.77 18.78 1.879 9.50 
50° 18.95 18.86 18.79 1.887 9.42 
Comprimento L utilizado para as medidas da tabela 8.3 = 0.85m 
 
 
QUESTIONÁRIO 
1. Quais são as principais fontes de erros e incertezas de medida para este 
experimento. 
R: Arredondamento de medidas sem considerar os algarismos significativos, 
falta de sincronia ao medir mais de uma grandeza ao mesmo tempo. 
2. A escolha do material utilizado pelo seu grupo foi adequada, principalmente 
no que se refere ao fio e a massa? Foi realizada a troca destes materiais, bem 
como a técnica de fixação na parte superiordurante a execução do 
experimento? Justifique. 
 
R: Não houve troca de material ou mudança da técnica de fixação durante o 
experimento, pois assim foi possível comparar adequadamente as medidas das 
grandezas convenientes e, através das equações 2 e 3, obter medidas de g 
muito próximas da medida real, portanto, o material utilizado se mostrou 
adequado. 
 
3. O gráfico do período do pêndulo em função de seu comprimento (TxL) é 
condizente com a Eq.2? Justifique. 
 
R: Através do calculo dos desvios padrões infere-se que o gráfico é valido para 
os comprimentos: 
L= 0,25m; L = 0,40m; L= 0,55m. Inválido para: L= 0,70m; L=0,85m; L=1,0m. 
 
 
4. Baseado na experiência de seu grupo, a determinação da aceleração da 
gravidade é mais bem feita com um pêndulo de comprimento grande (longo) ou 
pequeno (curto)? Justifique 
 
R: Como a medida padrão da aceleração da gravidade é 9,82 m/s*s, 
comprimentos do pêndulo relativamente mais longos facilitam a sincronia 
durante as medições, 10° em radiano é aproximadamente igual ao seno de 10° 
e no gráfico gravidade x comprimento no intervalo 0.40 ≤ L ≤ 0.85 a 
aceleração da gravidade é diretamente proporcional ao comprimento, conclui-
se que a medição da gravidade é mais bem feita nesse intervalo de 
comprimento. 
 
5. O que ocorreu com o valor da aceleração da gravidade g quando este foi 
calculado a partir dos dados obtidos no regime de altos valores do ângulo θ? 
De acordo com a avaliação de seu grupo, qual é o valor máximo de θ para que 
a determinação de g seja válida? 
 
R: De acordo com o gráfico gravidade x ângulo, a medida da aceleração da 
gravidade é inversamente proporcional à medida de seu respectivo ângulo, ou 
seja quanto maior a medida do ângulo, menor a medida da gravidade. O 
ângulo considerado válido é aquele cuja medida da gravidade mais se 
aproxima da medida do padrão equivalente a 9,81 m/s², ou seja, o valor 
máximo do ângulo é 20°. 
 
 
6. De acordo com os dados obtidos pelo seu grupo, que valor você atribuiria à 
aceleração da gravidade aqui na região do ABC? Justifique. 
 
R: Do gráfico gravidade x comprimento, escolhemos a medida 0,55m e do 
gráfico gravidade x ângulo temos o ângulo de 20° também: 
 
Porém 0,55m foi medido para um ângulo de medida 10° e 20° foi medido para 
o comprimento de 0,85m. Escolhemos o ângulo de 20° e o comprimento de 
0.55m para inferir a medida da gravidade no ABC, para isso foram colhidos os 
dados da tabela 2 referente ao experimento, assim foi considerado que a 
medida da gravidade é igual a 10.62 m/s². Pelo desvio padrão temos que: 
 
 
7. Na opinião do seu grupo, o que justifica o pêndulo ter sido a tecnologia mais 
confiável para a marcação do tempo durante séculos? 
 
R: O que justificaria o uso do pêndulo como uma tecnologia confiável seria o 
fato do movimento harmônico depender exclusivamente do comprimento da 
corda ou fio utilizado e da gravidade local para que se altere o período de uma 
oscilação. Como a gravidade não apresenta uma alteração tão significativa ao 
redor do mundo, o comprimento da corda em questão se torna o principal 
agente na mudança do período, o que facilita a marcação do tempo como uma 
constante ao decorrer da história e em vários locais distintos. 
 
BIBLIOGRAFIA 
[1] H. G. ISSA MENDES, Gabriela e DE LOURDES BATISTA, Irinéa Síntese 
histórica da matematização do pêndulo simples. Disponível em: 
<http://sbemparana.com.br/arquivos/anais/epremxii/ARQUIVOS/COMUNICAC
OES/CCAutor/CCA034.PDF> Acessado em: 21 de out. de 2022 
 
[2] SOARES, Domingos; Aceleração da gravidade para leigos; Disponível em: 
<http://lilith.fisica.ufmg.br/~dsoares/g/gleigo.htm >Acessado em: 21 de out. de 
2022 
 
[Figura1] Pendulum clock designed by Galileo in 1642 and made by his son in 
1649 <https://collection.sciencemuseumgroup.org.uk/objects/co100/pendulum-
clock-designed-by-galileo-in-1642-and-made-by-his-son-in-1649-model-
pendulum-clock-model-representation> Acessado em: 21 de out. de 2022 
 
http://sbemparana.com.br/arquivos/anais/epremxii/ARQUIVOS/COMUNICACOES/CCAutor/CCA034.PDF
http://sbemparana.com.br/arquivos/anais/epremxii/ARQUIVOS/COMUNICACOES/CCAutor/CCA034.PDF
http://lilith.fisica.ufmg.br/~dsoares/g/gleigo.htm
https://collection.sciencemuseumgroup.org.uk/objects/co100/pendulum-clock-designed-by-galileo-in-1642-and-made-by-his-son-in-1649-model-pendulum-clock-model-representation
https://collection.sciencemuseumgroup.org.uk/objects/co100/pendulum-clock-designed-by-galileo-in-1642-and-made-by-his-son-in-1649-model-pendulum-clock-model-representation
https://collection.sciencemuseumgroup.org.uk/objects/co100/pendulum-clock-designed-by-galileo-in-1642-and-made-by-his-son-in-1649-model-pendulum-clock-model-representation