turmadefevereiro-matemática1-Progressão aritmética_definição, termo geral e termo médio-22-07-2021-

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Matemática 
 
Progressão aritmética: definição, termo geral e termo médio 
Objetivo 
Ser capaz de calcular termos genéricos de uma sequência. Perceber qual a relação entre as posições de 
termos de uma sequência e o número de razões utilizadas para ir do primeiro a um termo qualquer da 
sequência. 
Se liga 
Para esta aula não há pré-requisitos ;) 
Curiosidade 
Teria a pandemia da Covid-19 quebrado algumas progressões aritméticas? Diversos eventos ao redor do 
mundo ocorrem periodicamente e, consequentemente, em anos que formam uma progressão aritmética. Por 
exemplo, as Olimpíadas e o Rock in Rio. Porém, alguns eventos foram adiados por conta da pandemia, fazendo 
com que os anos em que esses eventos ocorrem não estejam mais em progressão aritmética. 
Teoria 
Observe a sequência: 
(5, 8, 11, 14,17,20, . . . ) 
Podemos notar que a diferença entre um termo qualquer dessa sequência e seu antecedente é sempre igual 
a 3 (a partir do segundo). 
8 – 5 = 3; 11 – 8 = 3; 14 – 11 = 3; 17 – 14 = 3; 20 – 17 = 3; . .. 
1) Definição: 
Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência numérica de números reais, na qual a diferença entre um 
termo qualquer (a partir do 2º) e o termo antecedente é sempre a mesma (constante). Essa constante é 
a chamada razão da P.A. e é indicada por 𝒓. 
 
2) Classificações de uma P.A.: 
De acordo com o sinal da razão, podemos classificar as Progressões Aritméticas da seguinte forma: 
● Se 𝒓 > 𝟎, a P. A. será crescente; 
Exemplo: (5, 9, 13, 17, 21, 25, … ) → 𝑟 = 4 
● Se 𝒓 = 𝟎, a P. A. será constante, com todos os termos de igual valor; 
Exemplo: (5,5,5,5,5,5,5, … ) → 𝑟 = 0 
● Se 𝒓 < 𝟎, a P. A. será decrescente. 
Exemplo: (8,1, −6, −13,−20,… ) → 𝑟 = −7 
 
 
 
 
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Matemática 
 
3) Termo geral da P.A.: 
Sejam: 
𝑎𝑛 um termo genérico da P.A. 
𝑎1 o 1º termo da P.A. 
𝑛 é a posição do termo 
𝑟 é a razão da P.A. 
 
Observe a imagem abaixo. Ela mostra que, para ir de 𝑎1 para 𝑎2, devemos adicionar uma razão. Para ir de 
𝑎1 para 𝑎3, adicionamos duas razões. Para irmos de 𝑎1 para 𝑎4, somamos três razões, e assim 
sucessivamente. Em linhas gerais, o número de razões que devemos somar ao termo 𝑎1 para que 
cheguemos a um termo qualquer é sempre uma unidade menor do que a posição desse termo. 
Por exemplo, para encontrar o vigésimo termo de uma sequência a partir do 𝑎1, deveríamos pensar que 
𝑎20 = 𝑎1 + (𝑟 + 𝑟 + ⋯+ 𝑟)⏟ 
19 𝑟𝑎𝑧õ𝑒𝑠
= 𝑎1 + 19 ∙ 𝑟 . 
 
 
 
Por isso, a expressão que nos permite obter um termo qualquer da P.A. é dada por: 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 
 
Exemplo: dada a P.A. (−19,−15,−11, . . . ), calcule o seu décimo primeiro termo. 
 
Primeiro calculamos: 𝑟 = 𝑎2 – 𝑎1→ 𝑟 = −15 – (−19) → 𝑟 = 4 
 
Logo o décimo primeiro termo será: 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 → 𝑎11 = 𝑎1 + (11 − 1) ∙ 𝑟 → 𝑎11 = −19 + 10 ∙ 4 → 𝑎11 = 21. 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
A expressão anterior do termo geral de uma progressão aritmética se baseia no primeiro termo da 
sequência. Contudo, podemos determinar uma expressão para o termo geral a partir de qualquer termo 
da P.A. Isto é, como para ir de um termo 𝑎𝑘 ao termo 𝑎𝑛 precisamos somar a 𝑎𝑘 um total de (𝑛 − 𝑘) razões, 
temos: 
𝑎𝑛 = 𝑎𝑘 + (𝑛 − 𝑘) ∙ 𝑟; 𝑛 > 𝑘 
 
(Perceba que essa fórmula para o termo geral é muito parecida com a anterior, só trocamos 1 por 𝑘, visto 
que estamos achando 𝑎𝑛 a partir do 𝑘 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 termo da sequência, e não mais do primeiro). 
 
4) Propriedades de uma P.A.: 
• 𝟏ª propriedade: Soma dos termos equidistantes. 
Numa P.A., os termos equidistantes, ou seja, os que estão à mesma distância dos extremos da P.A., 
têm soma igual à soma dos extremos (𝑎1 + 𝑎𝑛) = (𝑎2 + 𝑎𝑛−1) = (𝑎3 + 𝑎𝑛−2) = ⋯ 
 
Quando a quantidade de termos é ímpar, existe um termo central, que será igual a 
𝑎1 + 𝑎𝑛
2
 . 
 
Exemplo: 
Seja a P.A. (2, ? , ? , 𝑥, ? , ? , 38), qual é o valor de 𝑥? 
 
𝑥 =
𝑎1 + 𝑎𝑛
2
=
2 + 38
2
=
40
2
= 20 
 
• 𝟐ª propriedade: Média aritmética. 
O mesmo visto anteriormente para quaisquer termos equidistantes, encontrando-se o valor do termo 
do meio entre eles. 
Exemplo: 
Tomando a P.A. (2, 8, 14, 20, 26, 32, 38), se fizermos para quaisquer termos equidistantes, 
encontramos o termo central entre eles. Observe: 
 
𝑎2 =
𝑎1 + 𝑎3
2
=
2 + 14
2
=
16
2
= 8 
 
𝑎3 =
𝑎2 + 𝑎4
2
=
8 + 20
2
=
28
2
= 14 
 
𝑎5 =
𝑎3 + 𝑎7
2
=
14 + 38
2
=
52
2
= 26 
 
Obs.: P.A e múltiplos. Os múltiplos inteiros de um número 𝑛 estão dispostos em uma P.A. de razão 
𝑛 quando dispostos em ordem crescente. Exemplo: 𝑀(3) = {… ,−9,−6, −3, 0, 3, 6, 9, … }. 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1. Assinale a alternativa que apresenta uma sequência cujos termos estão dispostos em P.A.: 
a) (1, 2, 3, 5, 8, 13, … ) 
b) (10, 100, 1000, 10000,… ) 
c) (10, 5, 10, 5, 10, … ) 
d) (−4,− 8, − 12, − 16, − 20, … ) 
e) (2, 4, 8, 16, 32, 64,… ) 
 
 
2. Sabendo que o sétimo termo de uma P.A. é igual a 32 e que o décimo nono é igual a 62, determine o 
vigésimo oitavo termos dessa sequência. 
 
 
3. Três termos consecutivos de uma P.A. somam 180. Qual o termo do meio dentre esses três? 
 
 
4. Sabendo que os números da sequência (𝑦, 7, 𝑧, 15) estão em progressão aritmética, quanto vale a soma 
𝑦 + 𝑧? 
a) 20 
b) 14 
c) 7 
d) 3,5 
e) 2 
 
 
5. Determine quantos múltiplos de 3 há entre 100 e 1000. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Exercícios de vestibulares 
 
 
1. O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas 
seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33.000 passagens; em fevereiro, 34.500; em março, 
36.000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens 
foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado? 
a) 38.000 
b) 40.500 
c) 41.000 
d) 42.000 
e) 48.000 
 
 
2. Os números 𝑎1 = 5𝑥 − 5, 𝑎2 = 𝑥 + 14 e 𝑎3 = 6𝑥 − 3 estão em PA. A soma dos 3 números é igual 
a: 
a) 48 
b) 54 
c) 72 
d) 125 
e) 130 
 
 
3. Uma concessionária vende um carro financiado em dois anos, e as parcelas mensais serão da seguinte 
maneira: a primeira parcela será de 𝑅$1000,00, e as demais decrescerão 𝑅$20,00 ao mês. Ao final do 
financiamento esse carro terá custado ao comprador: 
a) 𝑅$18.480,00. 
b) 𝑅$18.240,00. 
c) 𝑅$18.000,00. 
d) 𝑅$17.760,00. 
e) 𝑅$17.520,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
 
4. A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de 
uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a 
praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça, o segundo, a 
100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de 
vinte metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1 380 metros da 
praça. Se a prefeitura pode pagar, no máximo, 𝑅$ 8 000,00 por poste colocado, o maior valor que poderá 
gastar com a colocação desses postes é 
a) 𝑅$512 000,00. 
b) 𝑅$520 000,00. 
c) 𝑅$528 000,00. 
d) 𝑅$552 000,00. 
e) 𝑅$584 000,00. 
 
 
5. No primeiro semestre de 2015, a empresa “Aço Firme” fabricou 28.000 chapas metálicas em janeiro; 
em fevereiro sua produção começou a cair como uma progressão aritmética decrescente, de forma 
que em julho a sua produção foi de 8.800 chapas. 
Nessas condições, a produção da empresa nos meses de maio e junho totalizou 
a) 33.600 chapas 
b) 32.400 chapas 
c) 27.200 chapas 
d) 24.400 chapas 
e) 22.600 chapas 
 
 
6. A Meia Maratona Shopping da Bahia Farol a Farol foi criada pela Personal Club e mais uma vez contará 
com a parceria do Shopping da Bahia. Tradicional no mês de outubro, a maior e mais esperada corrida 
de rua da Bahia, que já se encontra emsua sexta edição e será realizada nos percursos de 5 𝑘𝑚,10 𝑘𝑚 
e 21 𝑘𝑚, com largada no Farol de Itapuã e chegada no Farol da Barra, dois dos principais cartões postais 
da cidade de Salvador. 
Disponível em: http://www.meiamaratonafarolafarol.com.br/ em 26/08/2016 
 
Um atleta, planejando percorrer o percurso de 21 𝑘𝑚, fez um plano de treinamento, que consistia em 
correr 1.000 𝑚 no primeiro dia e, a cada dia subsequente, percorreria a distância do dia anterior 
acrescida de 400 𝑚. Sendo assim, esse atleta irá atingir a distância diária de 21 𝑘𝑚 no: 
a) 54º dia 
b) 53º dia 
c) 52º dia 
d) 51º dia 
e) 50º dia 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
7. Com palitos iguais constrói-se uma sucessão de figuras planas, conforme sugerem os desenhos 
abaixo: 
 
 O número de triângulos congruentes ao da figura 1 existentes em uma figura formada com 135 palitos 
é: 
a) 59 
b) 60 
c) 65 
d) 66 
e) 67 
 
 
 
8. Um cliente, ao chegar a uma agência bancária, retirou a última senha de atendimento do dia, com o 
número 49. Verificou que havia 12 pessoas à sua frente na fila, cujas senhas representavam uma 
progressão aritmética de números naturais consecutivos, começando em 37. Algum tempo depois, 
mais de 4 pessoas desistiram do atendimento e saíram do banco. Com isso, os números das senhas 
daquelas que permaneceram na fila passaram a formar uma nova progressão aritmética. 
Se os clientes com as senhas de números 37 e 49 não saíram do banco, o número máximo de pessoas 
que pode ter permanecido na fila é: 
a) 6 
b) 7 
c) 9 
d) 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
9. 
 
Na situação apresentada nos quadrinhos, as distâncias, em quilômetros, dAB, dBC e dCD formam, nesta 
ordem, uma progressão aritmética. O vigésimo termo dessa progressão corresponde a: 
a) −50 
b) −40 
c) −30 
d) −20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
10. Em uma corrida de regularidade, cada corredor recebe um mapa com o trajeto a ser seguido e uma 
tabela indicando intervalos de tempo e distâncias entre postos de averiguação. O objetivo dos 
competidores é passar por cada um dos postos de averiguação o mais próximo possível do tempo 
estabelecido na tabela. Suponha que o tempo previsto para percorrer a distância entre dois postos de 
verificação consecutivos seja sempre de 5 𝑚𝑖𝑛 15 𝑠, e que um corredor obteve os seguintes tempos 
nos quatro primeiros postos. 
 
 1º posto 2º posto 3º posto 
Tempo previsto 5min 15 𝑠 10min 30 𝑠 15min 45 𝑠 
Tempos obtido pelo corredor 5min 27 𝑠 10min 54 𝑠 16min 21 𝑠 
 
 4º posto … Último posto (final do trajeto) 
Tempo previsto 21min 00 𝑠 … 1 ℎ 55 min 30 𝑠 
Tempos obtido pelo corredor 21min 48 𝑠 … 
 
Caso esse corredor consiga manter o mesmo ritmo, seu tempo total de corrida será 
a) 1 ℎ 55 𝑚𝑖𝑛 42 𝑠. 
b) 1 ℎ 56 𝑚𝑖𝑛 30 𝑠. 
c) 1 ℎ 59 𝑚𝑖𝑛 54 𝑠. 
d) 2 ℎ 05 𝑚𝑖𝑛 09 𝑠. 
e) 2 ℎ 05 𝑚𝑖𝑛 21 𝑠. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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https://dex.descomplica.com.br/enem/matematica/exercicios-progressao-aritmetica-definicao-termo-geral-e-termo-medio
 
 
 
 
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Matemática 
 
Gabaritos 
 
Exercícios de fixação 
 
1. D 
A alternativa que apresenta uma sequência de elementos em P.A. é a letra D, pois é a única em que a 
diferença entre um termo e o anterior, a partir do segundo, é constante. Isto é, −20 − (−16) = −16 −
(−12) = −12 − (−8) = −8 − (−4) = −4. De fato, para ir de um termo para o seguinte, estamos 
constantemente subtraindo quatro unidades. 
 
2. 𝒂𝟐𝟖 = 𝟖𝟒, 𝟓 
Se 𝑎7 = 32 e 𝑎19 = 62, vale dizer que, pelo termo geral: 𝑎19 = 𝑎7 + (19 − 7) ⋅ 𝑟 → 62 = 32 + 12𝑟 → 30 =
12𝑟 → 𝑟 =
30
12
= 2,5. Para encontrarmos o vigésimo oitavo termo, podemos utilizar novamente o termo 
geral: 𝑎28 = 𝑎19 + (28 − 19) ⋅ 𝑟 → 𝑎28 = 62 + 9 ⋅ 2,5 → 𝑎28 = 84,5. 
 
3. 𝟔𝟎 
Três termos consecutivos de uma progressão aritmética podem ser listados da seguinte forma: 𝑥 −
𝑟, 𝑥, 𝑥 + 𝑟, em que 𝑟 é sua razão. Assim, 𝑥 − 𝑟 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑟 = 18 → 3𝑥 = 180 → 𝑥 = 60. 
 
4. B 
Utilizando a propriedade simetria da P.A., temos que: 
𝑦 + 𝑧
2
= 7 → 𝑦 + 𝑧 = 14 
 
5. 𝟑𝟎𝟎 
A sequência de múltiplos de 3 entre 100 e 1000 é uma P.A. Observe: (102, 105, 108, … , 996, 999). 
Podemos descobrir a quantidade de elementos dessa sequência pelo termo geral: 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 → 999 = 102 + (𝑛 − 1) ⋅ 3 → 897 = (𝑛 − 1) ⋅ 3 →
897
3
= 𝑛 − 1 → 299 = 𝑛 − 1 →= 300 
 
 
Exercícios de vestibulares 
 
1. D 
O número de passageiros nos meses de janeiro, fevereiro, março etc. do ano passado são os termos da 
progressão aritmética (33 000, 34 500, 36 000, … ), cujo 𝑎1 é 33 000 e cuja razão é 1 500. 
O número de passagens vendidas no mês de julho é o sétimo termo dessa progressão e vale 
33 000 + (7 – 1) ⋅ 1500 = 42 000. 
 
2. B 
Considerando a P.A. na ordem dada, temos: (5𝑥 − 5, 𝑥 + 14,6𝑥 − 3) 
Utilizando a propriedade P.A, temos: 
𝑥 + 14 =
5𝑥−5+6𝑥−3
2
→ 2𝑥 + 28 = 11𝑥 − 8 → −9𝑥 = −36 → 𝑥 = 4 
Logo, a P.A. será (15,18, 21). 
Portanto, a soma dos três números será 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 15 + 18 + 21 = 54. 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
3. A 
O valor das parcelas decresce segundo uma progressão aritmética de razão −20 e primeiro termo 1000. 
Logo, o valor da última parcela é 1000 – 23 ⋅ 20 = 𝑅$ 540,00. Portanto, segue que resposta é 
100 + 540 
2
⋅ 24 = 𝑅$18.480,00. 
 
4. C 
Considere o termo geral da P.A.: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ⋅ 𝑟 → 1380 = 80 + (𝑛 − 1) ⋅ 20 → 𝑛 = 66. 
 
Portanto, o maior valor que a prefeitura poderá gastar com a colocação dos postes é: 
66 ⋅ 8000 = 𝑅$ 528.000,00 
 
5. C 
Considere que 𝑎𝑛 representa o número de chapas metálicas fabricadas no mês 𝑛, e que 𝑛 = 1 indica o 
mês de janeiro, 𝑛 = 2, o mês de fevereiro, e assim por diante; temos: 
𝑎7 = 𝑎1 + 6 ⋅ 𝑟 
8800 = 28000 + 6𝑟 
−19200 = 6𝑟 
𝑟 = −3200 
 
Logo: 
𝑎5 = 𝑎1 + 4𝑟 = 28000 + 4 ⋅ (−3200) = 15200 
𝑎6 = 𝑎1 + 5𝑟 = 28000 + 5 ⋅ (−3200) = 12000 
Portanto, a soma será: 
𝑎5 + 𝑎6 = 15200 + 12000 = 27200 chapas. 
 
6. D 
Como 𝑎1 = 1000, 𝑎2 = 1400, 𝑎3 = 1800, temos uma P.A. de razão 400. Assim, 
𝑎𝑛 = 21000 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ⋅ 𝑟 → 21000 = 1000 + (𝑛 − 1) ⋅ 400 → 20400 = 400𝑛 → 𝑛 = 51 
 
7. E 
O número de palitos utilizados forma uma progressão aritmética de razão 2. A “enésima” figura conterá 
os 135 palitos. Calculando, temos: 
 
{
𝑎1 = 3
𝑎2 = 5 → 𝑟 = 2
𝑎3 = 7
 
 
{
𝑎𝑛 = 3 + (𝑛 − 1) ⋅ 2 = 3 + 2𝑛 − 2 = 2𝑛 + 1
𝑎𝑛 = 135 
→ 135 = 2𝑛 + 1 → 𝑛 = 67 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
8. B 
A sequência formada pelos números das senhas das pessoas que estavam na fila, incluindo o do último 
cliente que chegou ao banco, correspondia à seguinte progressão aritmética: 
(37, 38, 39. . . . . . , 49) 
Após a desistência de algumas pessoas, formou-se a seguinte P.A., de razão 𝑅 e número de termos 𝑛: 
(37, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, . . . , 49) 
49 = 37 + (𝑛 − 1)𝑅 
12 = (𝑛 − 1) 𝑅 → 𝑛 – 1 = 
12
𝑅
 
𝑛 = 
12
𝑅
 + 1 
A P.A. tem menos de 13 elementos. Assim, para o valor de 𝑛 ser máximo, 𝑅 deve ser igual a 2. 
Logo, 𝑛 = 7. 
 
9. A 
𝑑𝐴𝐵 = 𝑥 
𝑑𝐵𝐶 = 𝑥 – 10 
𝑑𝐶𝐷 = 𝑥 – 20 
 
De acordo com a informação dos quadrinhos: 
𝑥 + (𝑥 – 10) + (𝑥 – 20) = 390 
3𝑥 = 420 
𝑥 = 140 
 
Sabe-se que 𝑥 é o primeiro termo da P.A. (𝑎1, 𝑎2, . . . 𝑎20, . . . ) de razão 𝑟. Logo: 
𝑎20 = 𝑎1 + 19𝑟 
𝑎20 = 140 + 19 (– 10) 
𝑎20 = – 50 
 
10. C 
Tem-se que 5𝑚𝑖𝑛15𝑠 = 315𝑠 é o primeiro termo de uma progressão aritmética de razão 315𝑠 e termo 
de ordem 𝑛 igual a 
 
1ℎ 55𝑚𝑖𝑛 30𝑠 = 115𝑚𝑖𝑛 30𝑠 
=(115 ⋅ 60 + 30)𝑠 
= 30 ⋅ 231 𝑠 
 
Logo, vem 30 ⋅ 231 = 315 + (𝑛 − 1) ⋅ 315 → 𝑛 = 22 
Portanto, como os tempos obtidos pelo corredor também constituem uma progressão aritmética de 
primeiro termo igual a 5𝑚𝑖𝑛 27𝑠 = 327 𝑠 e razão 327𝑠, segue que o seu tempo total de corrida é igual a 
327 + 21 ⋅ 327 = 7194 𝑠