Função afim

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Função afim (função do 1 grau)
Uma função f: R → R chama-se função afim, quando existem dois números reais a e b tal que f(x) = ax + b, para todo x ε R.
Exemplos: 
a) f(x) = 3x + 1 a= 3 b= 1
b) f(x) = 3 – 2x a= -2 b= 3
c) f(x) = 2/3x – 5 a= 2/3 b= -5
d) f(x) = 5x a= 5 b= 0
Determinação da função do 1 grau
1. Valor de uma função
É o valor que a função assume para um determinado x.
Exemplo: para f(x) = 3x + 1, determine: 
a) f (1) → f (1) = 3 . 1 + 1 = 4
b) f (-2) → f (-2) = 3 . (-2) + 1 = -5
2. Determinação da função do 1 grau conhecendo-se seus valores em dois pontos distintos
Exemplo: determine a função do 1 grau, sabendo que f (-1) = 3 e f (2) = 2.
f (-1) = 3 x= -1 y= 3
f (2) = 2 x= 2 y= 2
y = ax + b
-a + b = 3 → b = 3 + a b= 3 – 1/3 = 8/3
2a + b = 2
 ↓
2a + 3 + a = 2
3a = 2 – 3 f (x) = -1/3x + 8/3
a = -1/3 
Gráfico da função do 1 grau
Nessa função, os pares ordenados (x, y) são denominados domínio e imagem respectivamente. A representação desse modelo de função no plano cartesiano é dada por uma reta crescente ou decrescente. A posição da reta no plano depende do valor do coeficiente angular a, caso ele seja positivo (a > 0), a reta é crescente; e se for negativo (a < 0), a reta é decrescente. O coeficiente representado por b é denominado linear e indica em que ponto do eixo y (ordenada) a reta passa.
O gráfico da função é construído no plano de coordenadas cartesianas, onde cada valor de x (eixo das abscissas) possui uma representação em y (eixo das ordenadas).
Função do 1º grau crescente – (a > 0)
A função y = 2x + 5 é representada por uma reta crescente, pois o coeficiente angular é positivo, possuindo valor igual a 2. Veja o gráfico:
Na função crescente, à medida que os valores de x aumentam, os valores de y também aumentam; ou à medida que os valores de x diminuem, os valores de y diminuem.
Função do 1º grau decrescente – (a < 0)
A função y = –2x +3 é representada por uma reta decrescente, pois o coeficiente angular é negativo, possuindo valor igual a –2. Veja o gráfico:
Na função decrescente, à medida que os valores de x aumentam, os valores de y diminuem; ou, à medida que os valores de x diminuem, os valores de y aumentam.
Coeficientes da função afim (função do 1 grau)
Seja a função f(x) = ax + b
a → coeficiente angular
b → coeficiente linear 
Exemplos: 
a) f(x) = 5x – 2
ca = 5
cl = -2
b) f(x) = 4 – 2x
ca = -2
cl = 4
· Coeficiente angular
 f(x) = ax + b a > 0 → reta crescente a < 0 → reta decrescente
 a = ∆y/∆x = y2 – y1/ x2 – x1
· Coeficiente linear → corta eixo “y”
f(x) = ax + b
Função Constante
Uma função afim é considerada como constante se f(x) = b, isto é, quando o coeficiente angular é igual a zero. Nessa categoria o gráfico apresentará uma reta paralela ao eixo da abscissa (x), cortando o y no ponto b.
  
Dado f(x) = 2x + 3, o gráfico será interceptado no eixo 3, pois:
f(x) = 2.0+3
f(x) = 3
Função Identidade
Uma função afim se enquadra como identidade se f(x) = x, ou seja, quando o coeficiente angular é igual a 1 e o coeficiente linear igual a zero (a = 1; b = 0). Nessas situações a reta passará pela origem (0,0).
  
A semirreta que separa o ângulo em dois de mesmo tamanho é chamada de bissetriz. Ela também é identificada como reta dos quadrantes ímpares (1° e 3°).
Função Linear
Uma função afim é considerada como linear se f(x) = ax, sendo o coeficiente angular diferente de zero e o coeficiente linear igual a zero (b = 0). Nesses casos a reta passará pela origem (0,0).
  
As funções f(x) = 2x; f(x) = - 6x ou f(x) = 1/3 são lineares. No gráfico abaixo temos a representação do primeiro exemplo:
Zero ou raiz da função afim
Chama-se zero ou raiz da função do 1 grau f(x) = ax + b o numero real x tal que f(x) = 0. Basta resolver a equação ax + b = 0
Exemplos:
a) O zero da função f(x) = 3x + 2
3x + 2 = 0 
3x = - 2
x = -2/3
Interpretação geométrica através do gráfico 
Geometricamente, o zero de uma função afim f(x) = ax + b é o valor de x onde o gráfico intersecta o eixo x.