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FUNDAMENTOS PARA O 
PROJETO DE COMPONENTES 
DE MÁQUINAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Perrin Smith Neto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este trabalho está licenciado sob uma Licença Creative Commons 
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California 94105, USA. 
FUNDAMENTOS PARA O PROJETO DE COMPONENTES DE 
MÁQUINAS 
 
 
Prof. Dr. Perrin Smith Neto 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica 
Instituto Politécnico da Universidade Católica 
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais 
 
 
PREFÁCIO DA 1A EDIÇÃO 
 
 
Durante mais de 30 anos temos tido contato com os alunos do curso de engenharia 
mecânica de diferentes Universidades Brasileiras como Universidade Federal de Minas 
Gerais, Universidade Federal de Uberlândia, Universidade de São Paulo, Pontifícia 
Universidade Católica do Rio de Janeiro, do Paraná e de Minas Gerais. Atualmente estamos 
lecionando a disciplina Elementos de Máquinas para o curso de Engenharia Mecânica e 
Mecatrônica da PUC-Minas. Todos os alunos se queixam da falta de um bom livro texto 
nesta área em português. Também sentem dificuldades entre a ligação da teoria que 
aprendem na Universidade e a prática profissional. O impacto que a disciplina Elementos 
de Máquinas causa é muito grande, e, inúmeras vezes, vemos a necessidade de realizar um 
grande esforço para que a impressão de nulidade na disciplina não marque 
irremediavelmente o aluno que se inicia na matéria. Para o dimensionamento dos 
elementos de máquinas, que é uma aplicação contínua das teorias estudadas em 
Resistência dos Materiais, Mecânica dos Sólidos, Comportamento Mecânico dos Materiais, 
Mecânica Racional, sentem-se os alunos perdidos, dentro de um campo imenso de 
possibilidades, obrigados a tomar decisões, e a definir um campo imenso de possibilidades, 
uma situação particular, sem que se sintam com pleno domínio daquelas teorias. O clamor 
é geral, e por isso, marca realmente o ponto: falta para os estudantes de engenharia 
mecânica, a parte prática neste campo de engenharia. Alguns tópicos, por deficiência dos 
programas, são tratados superficialmente sem uma objetividade necessária, como a Fadiga 
e a Concentração de tensões. Dentro da técnica moderna é impossível diminuir a 
importância destes assuntos. São básicos, essenciais. O dimensionamento de uma peça de 
máquina exige em profundidade aquilo que foi dado superficialmente na sala de aula. E fica 
então o aluno, com aquele sentimento de frustração a que se referiu no inicio. 
Incentivados por nossos ex-alunos e colegas das Universidades, com o intuito de 
melhor prepará-los para aplicações reais, estamos apresentando o resultado do trabalho 
que denominamos Fundamentos para o Projeto de Componentes de Máquinas. Neste livro 
pretendemos enfocar na primeira parte os fundamentos do projeto de engenharia mecânica, 
características mecânicas dos materiais, dimensionamento estático e dinâmico incluindo 
conceitos de fadiga e concentração de tensões. Na parte de aplicações nos deteremos na 
análise de parafusos de união, soldagem, molas, lubrificação e mancais de deslizamento, 
mancais de rolamentos, engrenagens cilíndricas, eixos e árvores de transmissão, freios e 
embreagens e elementos flexíveis de transmissão como correias, correntes e cabos de aço. 
Durante estes anos de ensino superior, pudemos desenvolver junto com os alunos, 
vários exercícios com utilização de softwares utilizando linguagens conhecidas dos alunos 
tipo C++, Fortran, Pascal, etc. Com isto pretendemos neste volume apresentar não somente 
um resumo da teoria, mas também alguns exercícios sob a forma de aplicativos, 
desenvolvidos para utilização dos conceitos adquiridos no conteúdo da disciplina. Durante 
vários anos ministrando a disciplina Elementos de Máquinas, desenvolvemos, orientando os 
alunos, os seguintes softwares: 
• Vigas-Diagramas de momentos fletores, diagramas de cargas cisalhantes. 
• Resistência dos Materiais-cálculo de momentos de polar de inércia, centros de 
gravidade para várias seções. 
• Círculo de Mohr - determinação numérica e gráfica no estado plano e tridimensional 
das tensões máximas normais e cisalhantes, conhecidas as tensões atuantes. 
• Calculo da resistência à fadiga de elementos de máquinas em função do tamanho, 
acabamento, temperatura, concentração de tensões. 
• Cálculo do dimensionamento de parafusos de potência, parafusos de união em 
vasos de pressão. 
• Cálculo do dimensionamento do filete de solda para cargas de flexão ou torção. 
• Dimensionamento de eixos e árvores para carregamento estático e dinâmico. 
• Dimensionamento de mancais hidrodinâmicos. 
• Dimensionamento de engrenagens cilíndricas retas e helicoidais. 
• Seleção de Correias planas e trapezoidais utilizando catálogos de fabricantes. 
• Seleção de correntes e cabos de aço. 
 
O objetivo de acrescentar estes programas é de facilitar ao leitor uma visualização dos 
conceitos de forma mais prática e moderna. Portanto, a idéia do livro é a de um documento 
eletrônico para uma análise computacional dos projetos a serem desenvolvidos durante o 
aprendizado. 
Agradecemos aos nossos alunos e ex-alunos pelo incentivo que nos deram e ainda 
nos dão, a eles dedicamos esta obra. Agradecimentos em especial à Pontifícia 
Universidade Católica pelo privilégio de como professor titular na graduação e no mestrado 
de engenharia mecânica ter recebido todo o apoio necessário à realização desta obra. As 
críticas e sugestões serão sempre bem aceitas, e de antemão, as agradecemos. Também 
não poderia de deixar de agradecer ao apoio recebido das Coordenações de Engenharia 
Mecânica e Mecatrônica e principalmente do Mestrado de Engenharia Mecânica da 
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Gostaria de poder receber de toda a 
comunidade acadêmica de engenharia , sugestões e críticas para aperfeiçoamento e 
melhoria desta primeira edição. Solo Dei Gloria. 
 
 
 
Prof. Dr.Perrin Smith Neto 
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais 
Belo Horizonte, Fevereiro de 2005 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 i
Índice 
 
CAPÍTULO 01 - INTRODUÇÃO _____________________________________ 01 
1.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 01 
1.2 PROJETO CONCEITO - CADEIRA DE RODAS DE FIBRA DE CARBONO __________ 02 
1.2.1 - CICLO DE DESENVOLVIMENTO DO PRODUTO _______________________________ 04 
1.2.2 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DE UMA CADEIRA DE RODAS DE LAZER _______ 05 
1.3 - CONSIDERAÇÕES SOBRE A SEGURANÇA _____________________________ 08 
1.4 - FATOR DE SEGURANÇA ____________________________________________ 09 
1.5 - ESCOLHENDO UM FATOR DE SEGURANÇA ____________________________ 09 
1.6 - CONSIDERAÇÕES ECOLÓGICAS _____________________________________ 13 
1.7 - CONSIDERAÇÕES SOCIAIS __________________________________________ 14 
1.8 - METODOLOGIA P/ RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE 
COMPONENTES MECÂNICOS ____________________________________________ 15 
1.9 - UNIDADES ________________________________________________________ 16 
1.10 - COMENTÁRIOS SOBRE OS PROGRAMAS COMPUTACIONAIS ____________ 18 
1.11 - CONFIABILIDADE DO PROJETO MECÂNICO ___________________________ 18 
1.12 - FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL _______ 22 
CAPÍTULO 02 - ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES ______________ 24 
2.1 - INTRODUÇÃO _____________________________________________________ 24 
2.2 - TENSÃO __________________________________________________________ 24 
2.3 - TENSÕES EM MEMBROSCOM CARREGAMENTO AXIAL _________________ 27 
2.3.1 - CARGA AXIAL __________________________________________________________ 27 
2.3.2 - CARGA AXIAL - TENSÃO DE APOIO ________________________________________ 27 
2.3.3 - TENSÃO MÉDIA DE CISALHAMENTO _______________________________________ 28 
2.4 - TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO ______________________________________ 29 
2.4.1 - EQUAÇÕES PARA TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO PLANA _____________________ 29 
2.4.2 - CÍRCULO DE MOHR ______________________________________________________ 30 
2.4.3 - CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES _______________________ 32 
2.4.4 - TENSÕES PRINCIPAIS PARA O ESTADO GERAL DE TENSÕES __________________ 34 
2.4.5 - CÍRCULO DE MOHR PARA O ESTADO GERAL DE TENSÕES ____________________ 35 
2.5 – ANÁLISE DE DEFORMAÇÃO _________________________________________ 36 
2.6 - LEIS DE TENSÃO - DEFORMAÇÃO LINEAR E 
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ____________________________________________ 37 
2.6.1 - COEFICIENTE DE POISSON PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS ___________________ 37 
2.6.2 - LEI DE HOOKE PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS 
(ESTADO TRIAXIAL DE TENSÕES) _______________________________________________ 38 
2.7 - EXTENSOMETRIA __________________________________________________ 39 
2.7.1 - EXTENSÔMETRO ELÉTRICO (STRAIN-GAUGE) _______________________________ 40 
2.7.2 - PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO E USO ____________________________________ 42 
2.7.3 - TIPOS DE EXTENSÔMETROS ELÉTRICOS (STRAIN-GAUGES) __________________ 43 
2.8 - RELAÇÕES TENSÃO - DEFORMAÇÃO _________________________________ 45 
2.9 - O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS _______________________________ 45 
2.9.1 - INTRODUÇÃO __________________________________________________________ 45 
2.9.2 – SÍNTESE HISTÓRICA ____________________________________________________ 46 
2.9.3 - O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS _____________________________________ 48 
2.9.4 - EQUAÇÕES BÁSICAS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ________________ 50 
2.10 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS _________________________________________ 51 
2.11 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS _________________________________________ 61 
CAPÍTULO 03 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DOS 
MATERIAIS -CARREGAMENTO ESTÁTICO ___________________________ 63 
3.1 - INTRODUÇÃO _____________________________________________________ 63 
3.2 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS _____________________________________ 64 
3.3 - TEORIAS DE FALHAS COM CARREGAMENTO ESTÁTICO _________________ 73 
3.3.1 - FALHA DE MATERIAIS DÚCTEIS SOB CARGA ESTÁTICA _______________________ 74 
 ii
3.3.2 - EXERCÍCIO RESOLVIDO _________________________________________________ 79 
3.3.3 - FALHA DE MATERIAIS FRÁGEIS SOB CARGA ESTÁTICA ______________________ 80 
3.4 - SELEÇÃO DE MATERIAIS ___________________________________________ 83 
3.4.1 - MATERIAIS METÁLICOS _________________________________________________ 84 
3.4.2 - MATERIAIS CERÂMICOS _________________________________________________ 87 
3.4.3 - MATERIAIS POLIMÉRICOS _________________________________________ 88 
3.5 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS __________________________________________ 91 
CAPÍTULO 04 - CARREGAMENTO DINÂMICO - FADIGA E 
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES ____________________________________ 103 
4.1 - INTRODUÇÃO ______________________________________________________ 103 
4.2 - TESTE DE FADIGA __________________________________________________ 104 
4.3 - DETERMINAÇÃO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA À FADIGA _________________ 105 
4.3.1 - FATORES MODIFICATIVOS ________________________________________________ 107 
4.4 - LIMITE DE RESISTÊNCIA PARA VIDA FINITA ____________________________ 111 
4.5 - FADIGA SOB TENSÕES FLUTUANTES _________________________________ 112 
4.6 - FADIGA SOB TENSÕES COMBINADAS _________________________________ 115 
4.7 - FADIGA DE CONTATO SUPERFICIAL __________________________________ 116 
4.8 - GRÁFICOS P/ DETERMINAÇÃO DO FATOR DE 
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES KT _______________________________________ 117 
4.9 - PREVISÃO DE FADIGA COM CARGAS 
VARIANDO RANDOMICAMENTE __________________________________________ 119 
4.10 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS _________________________________________ 120 
4.11 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS _________________________________________ 125 
CAPÍTULO 05 - EIXOS E ARVORES DE TRANSMISSÃO _________________ 129 
5.1 - INTRODUÇÃO _____________________________________________________ 129 
5.2 - MATERIAIS PARA EIXOS E ÁRVORES _________________________________ 129 
5.3 - CARREGAMENTO ESTÁTICO ________________________________________ 131 
5.3.1 - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO, 
TORÇÃO E ESFORÇO AXIAL ____________________________________________________ 132 
5.3.2 - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À 
FLEXÃO E TORÇÃO __________________________________________________________ 133 
5.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - CARREGAMENTO 
ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO E TORÇÃO ________________________________ 134 
5.5 - DIMENSIONANDO EIXOS PELA NORMA ASME _________________________ 135 
5.6 - EIXOS E ÁRVORES SUJEITOS À FADIGA ______________________________ 137 
5.6.1 - CRITÉRIO DE FADIGA – GOODMAN ________________________________________ 137 
5.6.2 – CRITÉRIO DE FADIGA - SODERBERG ______________________________________ 138 
5.7 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - CRITÉRIO DE 
FADIGA POR SODERBERG ______________________________________________ 139 
5.8 – CHAVETAS / PINOS ________________________________________________ 144 
5.9 - UNIÃO DE EIXOS COM CUBOS ______________________________________ 145 
5.10 - DIMENSIONAMENTO DE CHAVETAS _________________________________ 146 
5.11 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – CHAVETAS ____________________________ 147 
5.12 - VIBRAÇÃO DE EIXOS ______________________________________________ 149 
5.13 - FREQÜÊNCIA NATURAL E VELOCIDADE CRÍTICA ______________________ 151 
5.14 - FREQÜÊNCIA NATURAL DE EIXOS COM 
DIVERSAS MASSAS ___________________________________________________ 152 
5.15 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – VIBRAÇÕES EM EIXOS ___________________ 155 
5.16 - EIXOS ESCALONADOS ____________________________________________ 158 
5.17 - VELOCIDADES CRÍTICAS DE ORDEM SUPERIOR ______________________ 161 
5.18 - EIXOS ESCALONADOS ____________________________________________ 163 
5.19 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS ____________ 164 
CAPÍTULO 06 - LUBRIFICAÇÃO E MANCAIS DE 
DESLIZAMENTO ________________________________________________ 168 
 iii
6.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 168 
6.2 - LUBRIFICANTES. _________________________________________________ 168 
6.3 - VISCOSIDADE ____________________________________________________ 169 
6.4 - CLASSIFICAÇÃO DOS MANCAIS. ____________________________________ 170 
6.5 - LUBRIFICAÇÃO ELASTODINÂMICA __________________________________ 172 
6.6 - TIPOS DE LUBRIFICAÇÃO __________________________________________ 173 
6.7 - LUBRIFICAÇÃO ESTÁVEL E INSTÁVEL _______________________________ 173 
6.8 - MECANISMOS DA LUBRIFICAÇÃO. __________________________________ 174 
6.9 - LUBRIFICAÇÃO COM FILME ESPESSO OU DE ATRITO FLUIDO __________ 175 
6.10 - SUPERFÍCIES DOS MANCAIS. _____________________________________ 178 
6.11 - INTRODUÇÃO AO PROJETO ______________________________________ 179 
6.12 - LEIS DE NEWTON DE ESCOAMENTO VISCOSO ______________________ 180 
6.13 - LEI DE PETROFF ________________________________________________ 181 
6.14 - HIPÓTESES _____________________________________________________ 182 
6.15 - RELAÇÕES GEOMÉTRICAS EM UM MANCAL COM FOLGA. _____________ 183 
6.16 - GRUPAMENTO DE VARIÁVEIS _____________________________________ 184 
6.17 - MANCAL IDEAL. _________________________________________________ 186 
6.18 - ESPESSURA MÍNIMA PERMISSÍVEL DO FILME DE ÓLEO. ______________ 187 
6.19 - CÁLCULO DE MANCAIS PARA REGIME DE ATRITO FLUIDO. ____________ 187 
6.20 - PRINCIPIOS HIDRODINÂMICOS ____________________________________ 188 
6.21 - PROCEDIMENTO DE PROJETO ____________________________________ 188 
6.22 - APLICAÇÃO____________________________________________________ 189 
6.23 - MANCAIS ÓTIMOS. _______________________________________________ 190 
6.24 - TAXA DE FOLGA. ________________________________________________ 191 
6.25 - RELAÇÃO ENTRE O COMPRIMENTO E O DIÂMETRO. _________________ 191 
6.26 - CONSIDERAÇÕES SOBRE DISTRIBUIÇÃO DAS PRESSÕES 
EM UM MANCAL E PERDA DEVIDA AO ATRITO ___________________________ 192 
6.27 - FLUXO DE LUBRIFICANTE ATRAVÉS DE UM MANCAL. _________________ 194 
6.28 - CALOR LEVADO PELO ÓLEO. ______________________________________ 195 
6.29 - DISSIPAÇÃO DE CALOR DO MANCAL. _______________________________ 196 
6.30 - MATERIAIS USADOS NOS MANCAIS. ________________________________ 199 
6.31 - CONSTRUÇÃO DOS MANCAIS. _____________________________________ 200 
6.32 - MANCAIS DE ESCORA. ____________________________________________ 200 
6.33 - EXERCÍCIO RESOLVIDO ___________________________________________ 208 
CAPÍTULO 07 - MANCAIS DE ROLAMENTOS __________________________ 210 
7.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 211 
7.2 - DIMENSIONAMENTO ______________________________________________ 211 
7.3 - ROLAMENTOS SOLICITADOS ESTATICAMENTE _______________________ 211 
7.4 - ROLAMENTOS SOLICITADOS DINAMICAMENTE _______________________ 213 
7.5 - CARGA E ROTAÇÃO VARIÁVEIS ____________________________________ 215 
7.6 - CARGA MÍNIMA DOS ROLAMENTOS _________________________________ 216 
7.6.1 - OBSERVAÇÕES ________________________________________________________ 217 
7.6.2 - DURAÇÃO ATINGÍVEL - MODIFICADA DA VIDA ______________________________ 217 
7.6.3 - DURAÇÃO DA VIDA ATINGÍVEL ___________________________________________ 218 
7.6.4 - FATOR A23 ____________________________________________________________ 218 
7.6.5 - RELAÇÃO DE VISCOSIDADE K ____________________________________________ 219 
7.6.6 - VALOR BÁSICO A23II ____________________________________________________ 221 
7.6.7 - FATOR DE LIMPEZA S ___________________________________________________ 224 
7.6.8 - GRANDEZA DETERMINANTE V PARA A AVALIAÇÃO DA LIMPEZA ______________ 225 
7.6.9 - VALORES PARA A GRANDEZA DETERMINANTE DE CONTAMINAÇÃO V _________ 227 
7.6.10 - LUBRIFICAÇÃO COM ÓLEO _____________________________________________ 229 
7.7 - PROCESSO DE SELEÇÃO DE ROLAMENTOS __________________________ 230 
7.8 - TIPOS DE ROLAMENTOS ___________________________________________ 233 
7.8.1 - ROLAMENTOS RÍGIDOS DE ESFERAS - ROLAMENTOS FAG FIXOS DE ESFERA __ 233 
7.8.2 - ROLAMENTOS DE ESFERAS DE CONTATO ANGULAR ________________________ 235 
 iv
7.8.3 - ROLAMENTOS DE AGULHAS _____________________________________________ 239 
7.8.4 - ROLAMENTOS DE ROLOS CÔNICOS ______________________________________ 239 
7.8.5 - ROLAMENTOS AXIAIS ___________________________________________________ 240 
7.9 – EXEMPLO RESOLVIDOS ___________________________________________ 241 
7.10 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS ________________________________________ 248 
CAPÍTULO 08 - PROJETO DE PARAFUSOS __________________________ 250 
8.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 250 
8.2 - PARAFUSOS DE POTÊNCIA _________________________________________ 263 
8.3 - PARAFUSOS DE UNIÃO - COMPRIMENTO DA PARTE ROSCADA __________ 266 
8.3.1 - CONSTANTE DE RIGIDEZ DOS PARAFUSOS ________________________________ 267 
8.3.2 - RIGIDEZ DAS PEÇAS OU MEMBROS EM COMPRESSÃO ______________________ 268 
8.3.3 - RESISTÊNCIA DO PARAFUSO ____________________________________________ 269 
8.3.4 - EXIGÊNCIAS DO TORQUE ________________________________________________ 271 
8.3.5 - PRÉ-CARGA DO PARAFUSO - CARREGAMENTO ESTÁTICO ____________________ 271 
8.3.6 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ________________________________________________ 274 
8.3.7 - CARGA DE FADIGA _____________________________________________________ 277 
8.4 - CISALHAMENTO DE PARAFUSOS E REBITES A CARGA EXCÊNTRICA _____ 279 
8.5 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS _________________________________________ 282 
CAPÍTULO 09 - PROJETO DE SOLDAS ______________________________ 285 
9.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 285 
9.2 – TIPOS COMUNS DE JUNTAS SOLDADAS _____________________________ 285 
9.3 - CÁLCULO DAS TENSÕES – SOLDAS CARREGADAS CENTRALMENTE _____ 293 
9.4 - SOLDAS EM ÂNGULO – CARGA EXCÊNTRICA _________________________ 294 
9.5 – TORÇÃO NAS JUNTAS SOLDADAS __________________________________ 298 
9.6 - CARREGAMENTO DINÂMICO _______________________________________ 299 
9.7 – FLEXÃO EM JUNTAS SOLDADAS ____________________________________ 300 
9.8 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS _________________________________________ 302 
CAPÍTULO 10 - TIPOS DE ENGRENAGENS E RELAÇÕES CINEMÁTICAS __ 307 
10.1 - INTRODUÇÃO ___________________________________________________ 307 
10.2 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS ____________________ 308 
10.2.1 - DEFINIÇÕES __________________________________________________________ 308 
10.2.2 – RAZÃO DE VELOCIDADES ______________________________________________ 310 
10.2.3 - O MÓDULO ___________________________________________________________ 310 
10.3 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS HELICOIDAIS __________________________ 311 
10.3.1 - RELAÇÃO DE VELOCIDADES ____________________________________________ 312 
10.3.2 - PASSO NORMAL E PASSO FRONTAL - MÓDULOS ___________________________ 314 
10.3.3 - NÚMERO MÍNIMO DE DENTES ___________________________________________ 315 
10.3.4 - ÂNGULO DE PRESSÃO _________________________________________________ 316 
10.3.5 - LARGURA DE ENGRENAGEM ____________________________________________ 317 
10.3.6 - RELAÇÕES ENTRE AS FORÇAS __________________________________________ 317 
10.3.7 - COMPRIMENTO DOS DENTES EM CONTATO SIMULTANEAMENTE _____________ 317 
10.4 - ENGRENAGENS CÔNICAS DE DENTES RETOS ________________________ 320 
10.4.1 - CONES DE ATRITO - DEFINIÇÕES ________________________________________ 320 
10.4.2 - RELAÇÃO DE VELOCIDADES ____________________________________________ 322 
10.4.3 - ENGRENAGEM VIRTUAL ________________________________________________ 322 
10.4.4 - NÚMERO MÍNIMO DE DENTES - EVITANDO INTERFERÊNCIA _________________ 323 
10.4.5 - RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO ____________________________________________ 324 
10.4.6 - MÓDULO EFETIVO - MÓDULO MÉDIO _____________________________________ 324 
10.4.7 - COMPRIMENTO DO DENTE _____________________________________________ 325 
10.4.8 - FORÇAS ATUANTES NAS CÔNICAS _______________________________________ 325 
10.5 - PARAFUSO SEM-FIM/COROA _______________________________________ 327 
10.5.1 - INTRODUÇÃO _________________________________________________________ 327 
10.5.2 - CARACTERÍSTICAS PRINCIPAIS __________________________________________ 328 
10.5.3 - ALGUNS DADOS EMPÍRICOS ____________________________________________ 330 
10.5.4 - MATERIAIS ____________________________________________________________ 331 
10.5.5 - DIÂMETROS E DISTÂNCIA ENTRE CENTROS _______________________________ 331 
 v 
10.6 - TREM DE ENGRENAGENS _________________________________________ 333 
10.6.1 - TREM DE ENGRENAGENS SIMPLES ______________________________________ 333 
10.6.2 - TREM DE ENGRENAGENS COMPOSTOS __________________________________ 334 
10.6.3 - TREM DE ENGRENAGENS PLANETÁRIAS _________________________________ 335 
10.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS ________________________________________ 337 
CAPÍTULO 11 - DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS ______________ 339 
11.1 - INTRODUÇÃO ___________________________________________________ 339 
11.1.1 - MATERIAIS PARA ENGRENAGENS _______________________________________ 339 
11.2 - DESGASTE SUPERFICIAL DOS DENTES _____________________________ 341 
11.3 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS RETAS ______________________________ 343 
11.3.1 - INTRODUÇÃO ________________________________________________________ 343 
11.3.2 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA _________________________________ 344 
11.3.3 - CASOS ESPECIAIS ____________________________________________________347 
11.3.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS _____________________________________________ 349 
11.3.5 -VERIFICAÇÃO DO DESGASTE ____________________________________________ 353 
11.3.6 - EXERCÍCIO RESOLVIDO - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS _____________________ 358 
11.4 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS HELICOIDAIS __________________________ 361 
11.4.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA __________________________________ 361 
11.4.2 - VERIFICAÇÃO DO DESGASTE ____________________________________________ 362 
11.4.3 – EXERCÍCIO RESOLVIDO - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS HELICOIDAIS _________ 362 
11.5 - ENGRENAGENS CÔNICAS DE DENTES RETOS ________________________ 365 
11.5.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA __________________________________ 365 
11.5.2 - ROTEIRO DE CÁLCULO (ESQUEMA) ______________________________________ 366 
11.5.3 - EXERCÍCIO RESOLVIDO ________________________________________________ 366 
11.6 - PARAFUSO SEM FIM E COROA _____________________________________ 369 
11.6.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA __________________________________ 369 
11.6.2 - DIMENSIONAMENTO PELO DESGASTE ____________________________________ 370 
11.6.3 - VERIFICAÇÃO DISSIPAÇÃO DE CALOR ____________________________________ 371 
11.6.4 - RENDIMENTO DOS PARAFUSOS SEM-FIM _________________________________ 372 
11.6.5 - EXERCÍCIO RESOLVIDO - SEM FIM E COROA _______________________________ 374 
11.7 - DIMENSIONAMENTO PELA NORMA AGMA ___________________________ 377 
11.7.1 - TENSÃO DE FLEXÃO EM ENGRENAGENS _________________________________ 377 
11.7.2 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - TENSÃO DE FLEXÃO EM ENGRENAGENS ________ 379 
11.7.3 - DURABILIDADE SUPERFICIAL ___________________________________________ 384 
11.8 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - DURABILIDADE SUPERFICIAL ____________ 387 
11.9 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS _________________________________________ 390 
CAPÍTULO 12 – PROJETO DE FREIOS E EMBREAGENS ________________ 392 
12.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 392 
12.2 - MATERIAIS DE FRICÇÃO __________________________________________ 392 
12.3 - CONCEITOS GERAIS DE ATRITO ____________________________________ 393 
12.4 - CONSIDERAÇÕES SOBRE FREIOS EM VEÍCULOS _____________________ 395 
12.5 - FREIO A TAMBOR ________________________________________________ 396 
12.6 - FREIO A DISCO __________________________________________________ 401 
12.8 - FREIO ABS ______________________________________________________ 406 
12.9 - CONSIDERAÇÕES SOBRE PRESSÃO E DESGASTE ____________________ 408 
12.10 - CONSIDERAÇÕES SOBRE ENERGIA ________________________________ 410 
12.11 - CONSIDERAÇÕES SOBRE TEMPERATURA NO FREIO _________________ 412 
12.12 - ACIONAMENTO DE FREIOS _______________________________________ 413 
12.13 - OPERAÇÃO A VÁCUO SUSPENSO __________________________________ 413 
12.14 - OPERAÇÃO DE AR SUSPENSO ____________________________________ 414 
12.15 - OPERAÇÃO DA BOMBA HIDRÁULICA _______________________________ 414 
12.16 - OPERAÇÃO ELETRO-HIDRÁULICO _________________________________ 414 
CAPÍTULO 13 – PROGRAMAS COMPUTACIONAIS _____________________ 415 
13.1 - CIRCULO DE MOHR _______________________________________________ 415 
13.2 - VIGAS __________________________________________________________ 415 
 vi
13.3 - FADIGA PARA PEÇAS SEÇÕES CIRCULARES OU RETANGULARES _______ 416 
13.4 - CÁLCULO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA A FADIGA DE PEÇAS ____________ 417 
13.5 - CÁLCULO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA A FADIGA DE PEÇAS ____________ 418 
13.6 – DIMENSIONAMENTO DE PARAFUSOS DE UNIÃO ______________________ 420 
13.7 - PARAFUSO DE POTÊNCIA _________________________________________ 421 
13.8 – FLEXÃO E TORÇÃO EM JUNTAS SOLDADAS __________________________ 421 
13.9 - DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS UTILIZANDO A NORMA AGMA ___ 422 
13.10 - MANCAIS HIDRODINÂMICOS _______________________________________ 425 
13.11 - MANCAIS UTILIZANDO O CATÁLOGO DA SKF ________________________ 425 
13.12 – MANCAIS DE DESLIZAMENTO _____________________________________ 426 
13.13 – ROLAMENTOS COM UMA NOVA TEORIA DE VIDA ____________________ 427 
13.14 – ROLAMENTOS DE ESFERA PARA UMA CARGA DINÂMICA _____________ 428 
13.15 – SELEÇÃO DE ROLAMENTOS DE ESFERA ____________________________ 428 
13.16 - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS COM MOMENTO TORSOR E FLETOR ____ 429 
13.17 - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS ____________________________________ 430 
 
APÊNDICE _____________________________________________________ 432 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS __________________________________ 445 
 
 
 
 
1
CAPITULO 01 - INTRODUÇÃO 
 
1.1 - INTRODUÇÃO 
A essência da engenharia é a utilização dos recursos e leis da natureza para beneficiar 
a humanidade. Projetar uma residência com todos os detalhes é um exemplo desta utilização. A 
Engenharia é uma ciência aplicada, no sentido que está relacionada com entendimento de 
princípios científicos e sua aplicação para obtenção do alvo desejado. 
O projeto de engenharia mecânica é um segmento maior da engenharia: ele se relaciona 
com o conceito, projeto, desenvolvimento, refinamento e aplicação de maquinas e elementos de 
máquinas de todos os tipos. 
Para muitos estudantes de engenharia a disciplina Elementos de Máquinas é a sua 
primeira disciplina profissionalizante, distinguindo-se das disciplinas básicas de ciência e 
matemática. As disciplinas profissionalizantes se relacionam com a obtenção de soluções para 
problemas práticos. Estas soluções devem refletir um entendimento das ciências mecânicas, 
mas somente o seu entendimento não é suficiente; conhecimento empírico e bom senso estão 
também envolvidos. Por exemplo, os cientistas não entendem a eletricidade completamente, 
mas isto não impedem de desenvolverem equipamentos e sistemas elétricos bastante úteis e 
práticos. De maneira análoga, os cientistas não entendem completamente os processos de 
combustão ou fadiga de metal, mas os engenheiros mecânicos e industriais utilizam o 
conhecimento disponível para desenvolverem máquinas de combustão bastante úteis e 
necessárias. Quanto maiores conhecimentos científicos estejam disponíveis, os engenheiros 
são capazes de desenvolver melhores soluções para os problemas práticos. 
Devido à natureza profissional do assunto, a maioria dos problemas elementos de 
máquinas não apresentam uma correta e única solução. Existe um número grande de soluções 
trabalháveis, nenhuma das quais poderiam ser chamadas de incorretas. Mas dentre as 
soluções corretas, algumas são obviamente melhores do que as outras porque elas refletem, 
por exemplo, um conhecimento mais sofisticado da tecnologia, a conceito de projeto básico 
mais engenhoso, uma utilização da tecnologia de produção mais econômica e efetiva, uma 
aparência mais estética. 
Este livro se relaciona primariamente com o projeto de componentes específicos de 
máquinas ou sistemas mecânicos. Competência nesta área é básica para as considerações e 
sínteses de maquinas completas e sistemas nas disciplinas subseqüentes como Projeto de 
Máquinas, Máquinas de Elevação e Transportes, Projeto de Fim de Curso, Máquinas 
Hidráulicas, Sistemas Mecânicos, dentre outras.Todo projeto inicia-se pequeno, com boa uma 
 
2
fundamentação. A primeira parte do livro se relaciona com os fundamentos envolvidos, 
conceitos de tensão e deformação, propriedades mecânicas dos materiais, análise estática e 
dinâmica de peças, fadiga, aplicando em parafusos, molas e freios. Estes componentes são 
largamente utilizados e de certa forma são bastante familiares aos estudantes. 
 No planejamento de uma cidade, além de residências, as praças e locais de acesso 
como rodoviárias, ferroviárias, aeroportos, são fundamentais. Da mesma forma, a considerar 
uma máquina completa, o engenheiro invariavelmente descobre que as condições e restrições 
dos vários componentes estão interrelacionados. O projeto de uma mola de válvula de um 
motor automotivo,por exemplo, depende do espaço disponível para a mola. Isto representará 
um compromisso com o espaço para as passagens refrigerantes, folgas para vários 
componentes, que irá adicionar uma nova dimensão para a imaginação e criatividade 
necessária do engenheiro para obter um projeto ótimo de combinação dos elementos 
relacionados. 
Além das considerações fundamentais tecnológicas e econômicas do projeto no 
desenvolvimento de componentes mecânicos e sistemas, o moderno engenheiro deve 
considerar a segurança, ecologia e acima de tudo a qualidade de vida. 
 
 
1.2 PROJETO CONCEITO - CADEIRA DE RODAS DE FIBRA DE CARBONO 
Esta proposta foi desenvolvida entre o autor e um aluno do curso de Mecatrônica da 
PUC-Minas. Visando o desenvolvimento e construção de uma cadeira de rodas fabricada em 
fibra de carbono e projetada com tecnologia de ponta em engenharia de desenvolvimento de 
produto, na PUC Minas, figura 1. A motivação é de podemos fabricar, no Brasil, cadeiras de 
rodas esportivas mais eficientes para a prática de esportes e cadeiras motorizadas que 
consumam menos bateria. Cadeiras de rodas brasileiras no mesmo nível tecnológico das 
desenvolvidas na Europa e Estados Unidos, figuras 2 e 3.Podendo construir cadeiras mais 
“baratas” e acessíveis para os portadores de deficiência 
Para mostrar a viabilidade desse projeto é apresentado um exemplo prático de 
desenvolvimento e construção de uma bicicleta esportiva de fibra de carbono. Foram utilizadas 
ferramentas digitais da concepção à fabricação final. 
 
3
 
Figura 1 - Cadeira de fibra de carbono conceito idealizada na PUC-Minas. 
 
Figura 2 - Vista explodida da cadeira conceito 
Após as pesquisas realizadas, constatou-se que a fabricação de uma cadeira de rodas 
esportiva, utilizando fibra de carbono na sua estrutura, a torna super leve e resistente. 
Com o uso dos melhores computadores e programas disponíveis na Engenharia Mecatrônica 
PUC Minas, foi idealizada uma cadeira escamoteável, High-Tech. 
Esta cadeira conceito, além de se destacar pelas suas qualidades mecânicas, ela inova 
com seu estilo moderno e arrojado.Seu design foi concebido para que suas curvas façam a 
cadeira parecer tão rápida quanto ela é, proporcionando prazer e atisfação às pessoas que a 
utilizarem, figura 3. 
Como “cadeira conceito” sua função é mostrar tendências e possibilidades de 
projeto.Nos esboços 3D, vários detalhes como freios, encaixes e faixas não foram mostrados, 
para que se pudesse focalizar a atenção apenas na geometria da cadeira, figura 4. 
 
4
 
 
Figura 3 - Vista lateral da estrutura da cadeira de rodas. Figura 4 - Vista da cadeira desmontada. 
 
Neste projeto, as três características principais são: leveza,design e resistência. 
LEVEZA: a cadeira de rodas, para ser mais rápida e ágil precisa ter o mínimo de peso possível 
a fim de diminuir os atritos e inércias do movimento. 
DESIGN: sendo uma cadeira esportiva suas curvas devem invocar o sentimento de velocidade, 
modernidade, agilidade e liberdade de movimento da pessoa que a utiliza. 
RESISTÊNCIA: usando a fibra de carbono na fabricação da estrutura, a cadeira de rodas será 
mais forte e mais resistente aos impactos e às condições ambientais adversas. 
 
1.2.1 - CICLO DE DESENVOLVIMENTO DO PRODUTO 
Da concepção até à fabricação de um produto final é necessária a execução de várias 
etapas. Esse conjunto de etapas é denominado Ciclo de Desenvolvimento de Produto, figura 5. 
É adotada toda uma metodologia científica para que o trabalho seja bem sucedido, do início ao 
fim, com o produto final testado e livre de eventuais falhas de projeto. 
idealização e esboços desenhos detalhados fabricação 
do 
pesquisa lista de materiais produto final 
estudo de viabilidade cálculos e testes 
Figura 5 - Fases do Ciclo de Desenvolvimento de Produto. 
Na Era da Informação,o computador vem sendo usado como uma ferramenta valiosa e 
indispensável para todas as áreas do conhecimento. Na engenharia, o computador realiza 
cálculos e simulações impossíveis de serem feitos por um engenheiro com uso de apenas um 
lápis e papel. Para os desenhistas e projetistas é mostrada na tela do computador, geometrias 
tridimensionais que podem ser movimentadas e giradas em todas as direções criando a 
sensação de estarem manipulando um objeto virtual, figura 6. Na fabricação os computadores 
 
5
controlam as máquinas. Essas máquinas automatizadas realizam a fabricação das peças 
mecânicas com precisão e velocidade sem a intervenção do homem diminuindo assim erros e 
custos. 
Com toda essa informatização, o ciclo de desenvolvimento de produto teve uma redução 
de custo e tempo, e um aumento significativo na qualidade final do produto. 
 
Figura 5 - Computador de ultima geração utilizado do projeto de uma moto de corrida. 
1.2.2 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DE UMA CADEIRA DE RODAS DE LAZER 
LEVEZA & RESISTÊNCIA 
LEVEZA 
A cadeira de rodas, para ser mais rápida e ágil precisa ter o mínimo de peso possível a fim de 
diminuir os atritos e inércias do movimento 
 
Figura 6 - Vista lateral do quadro da cadeira de rodas. 
 
RESISTÊNCIA 
Após pesquisas realizadas, os autores constataram que a fabricação de uma cadeira de 
rodas esportiva, utilizando fibra de carbono na sua estrutura, a tornaria super leve e 
resistente,em comparação ao aço e o alumínio. A fibra de carbono é utilizada na indústria 
esportiva para fabricação de raquetes de tênis e bicicletas . 
Na indústria aeroespacial para construção de foguetes e aviões. 
 
6
Para a prática de esportes,uma cadeira de rodas precisa ter características especiais 
sofrendo alguns ajustes em sua configuração .Abaixo são listadas algumas recomendações: 
• A ajustagem do assento para baixo a fim de obter maior estabilidade , mais firmeza e 
um maior raio de roda disponível para impulsão. O encosto das costas precisa estar o 
mais próximo possível do corpo (aproximadamente perpendicular ao piso) para maior 
conforto e melhor resistência ao impacto. 
• A posição do centro de gravidade de seu corpo em relação aos eixos das rodas afeta a 
mobilidade. 
Os eixos das rodas e a cadeira colocados mais a frente, proporcionará maior mobilidade 
e giro mais rápido. Devem ser levadas em conta nestes ajustes as preferências e 
características pessoais de cada praticante. 
 
FAIXAS 
 Para melhorar o equilíbrio e a mobilidade: 
• Faixas de tórax e cintura – dependendo do tipo de lesão estas faixas melhorarão o 
equilíbrio e aumentarão a confiança. Entretanto, as faixas de tórax interferem com a 
movimentação da cadeira. 
• Faixas de pernas – uma faixa envolvendo as coxas ou logo acima dos joelhos impedirá 
que as pernas afastem durante o jogo, dará maior estabilidade ao corpo e aumentará a 
mobilidade. 
 
Figura 7 - Faixas de pernas. 
• Faixas de pernas – uma faixa envolvendo as coxas ou logo acima dos joelhos impedirá 
que as pernas afastem durante o jogo, dará maior estabilidade ao corpo e aumentará a 
mobilidade 
 
7
 
PNEUS 
Pneus com câmaras de alta pressão dão melhor desempenho: 
• Pneus pretos devem ser evitados para não marcar a quadra. 
• A cadeira será tão mais manobrável quanto maior for a cambagem das rodas (de 3 a 10 
graus, aproximadamente). 
 
RODAS DIANTEIRAS 
De 4 a 5 polegadas (10 a 12.5 cm) aproximadamente de diâmetro 
• Se maiores, reduzem a habilidade de giro. 
• Se menores não rodam com suavidade e qualquer irregularidade no piso fará a cadeira 
trepidar. 
• Não muito finas para evitar danos na superfície da quadra. 
 
 
 
Figura 8 - Esboços do quadro de uma cadeira de rodas fabricada em fibra de carbono. 
Atualmente, o trabalho proposto seencontra no primeiro estágio do Ciclo de 
Desenvolvimento de Produto, na etapa de design e idealização, figura 10. Os esboços de uma 
Cadeira Conceito de fibra de carbono mostram a possibilidade de se desenvolver e construir 
uma cadeira de rodas: leve, escamoteável, resistente e moderna, utilizando tecnologias digitais 
CAD/CAE/CAM. Tecnologias de Ponta empregadas pelas indústrias automotivas e 
aeroespaciais no desenvolvimentos de seus produtos. Os autores esperam que, por meio 
desta apresentação, parcerias e recursos financeiros sejam conseguidos para que se possa 
dar continuidade no projeto proposto. 
 
 
8
 
Figura 9 - Design e idealização
 
 
 
1.3 - CONSIDERAÇÕES SOBRE A SEGURANÇA 
A qualidade de um projeto pode ser medida por muitos critérios. É sempre necessário 
calcular um ou mais fatores de segurança para estimar a possibilidade de falha. 
No passado, os engenheiros deram muito valor aos aspectos funcionais e econômicos 
dos novos produtos. 
Segurança pessoal é uma consideração que os engenheiros tem sempre em mente, 
mas agora demanda um aumento na ênfase. Em comparação com aspectos computacionais 
precisos como tensão e deformação, a determinação de segurança é como um assunto 
indefinido, complicado por fatores psicológicos e sociológicos. Isto tem desafiado os 
engenheiros para levar em conta todos os fatos pertinentes e então tomar boas decisões que 
venham a refletir o entendimento, imaginação, engenhosidade e julgamento. O primeiro passo 
mais importante no desenvolvimento da competência em engenharia na área de segurança é 
cultivar um entendimento de sua importância. A segurança de um produto é de grande valor 
para os legisladores, juizes, promotores bem como para os profissionais de seguradoras. No 
entanto, estes indivíduos não podem contribuir diretamente para a segurança de um produto; 
eles somente podem concordar com a urgência de se considerar uma ênfase adequada na 
segurança para o desenvolvimento de engenharia de produtos. É na realidade o engenheiro 
que deverá processar o desenvolvimento de produtos e projetos com alto grau de segurança. 
Deverá ter engenhosidade, capacidade imaginativa o suficiente para antecipar situações 
potenciais de alto risco para o produto. 
 
 
 
9
1.4 - FATOR DE SEGURANÇA 
Um fator de segurança pode ser expresso de várias maneiras. Ele é tipicamente uma 
relação entre duas quantidades que tenham as mesmas unidades; tais como resistência/tensão, 
carga crítica/carga aplicada, máximo ciclo/ ciclos aplicados ou máxima velocidade de 
segurança/velocidade de operação. O fator de segurança será sempre adimensional. 
A forma de expressão para um fator de segurança pode ser escolhida baseado no tipo 
de carga atuante. Se o elemento de máquina é sujeito a uma carga que varia ciclicamente com 
o tempo, ele poderá sofrer uma falha por fadiga. A resistência do material para alguns tipos de 
carga de fadiga pode ser expressa como um número máximo de ciclos de tensão reversa a um 
dado nível de tensão. Em tais casos, pode ser adequado expressar o fator de segurança como 
a relação do máximo número de ciclos esperados em uma possível falha do material para o 
número de ciclos aplicados ao elemento em serviço considerando sua vida esperada. Uma vez 
que haverá mais de um modo potencial de falha para qualquer elemento de falha, poderá haver 
mais de um valor para o fator de segurança. O menor valor do fator de segurança para qualquer 
peça é de grande valia uma vez que ele irá predizer o modo como se imagina que a peça irá 
falhar. Quando ele se torna unitário, a tensão na peça será igual à resistência do material (ou a 
carga aplicada será igual à carga que irá falhar, etc.) e a falha irá ocorrer. Portanto o fator de 
segurança será sempre maior que 1. 
 
1.5 - ESCOLHENDO UM FATOR DE SEGURANÇA 
Escolhendo um fator de segurança é freqüentemente uma proposição confusa para o 
projetista principiante. São tantas as variáveis envolvidas, a possibilidade de fracasso se 
apresenta com tanta intensidade, que o projetista novato, em geral, superestima, adotando 
fatores de segurança grandes demais. O FS deve ser fixado com base em projetos existentes, 
em indicações tabeladas, gerais ou particulares, com o discernimento que o conhecimento 
teórico propicia ao projetista. Influenciam fortemente o valor do FS os seguintes elementos: 
a) material da peça (dúctil, quebradiço, homogêneo, especificações bem conhecidas, 
etc.); 
b) carga que atua na peça (constante, variável, modo de aplicação, bem conhecida, 
sobrecargas possíveis, etc.); 
c) perigo de vida (do operador da máquina, de elementos vizinhos, etc.); 
d) perigo da propriedade; 
e) classe da máquina. 
 
10 
Os dois primeiros itens, a) e b), servem de ponto de partida para a escolha inicial, ordem 
de grandeza do fator de segurança, FS. Os três outros obrigarão a aumentar o valor fixado. O 
fator de segurança pode ser traduzido como uma medida de incerteza do projetista nos 
modelos analíticos, nas teorias de falhas, nas propriedades do material a ser utilizado. Quanto 
que o fator de segurança deverá ser maior que 1 (um), dependerá de muitos fatores incluindo o 
nível de confiança no modelo em que os cálculos serão baseados, no conhecimento da faixa 
das possíveis condições de carga atuantes e na confiança sobre as informações disponíveis 
sobre a resistência do material. Um fator de segurança menor poderá ser adotado quando 
testes extensos foram realizados em protótipos físicos do projeto para provar a validade do 
modelo de engenharia e do projeto e já se tenha dados dos testes sobre as resistências do 
material em particular. Não se conhecendo as características mecânicas testadas do material, 
um fator de segurança maior deverá ser adotado. Na ausência de qualquer norma de projeto 
que possa especificar um fator de segurança para casos particulares, a escolha do fator de 
segurança envolve uma decisão de engenharia a ser tomada. Um método razoável é 
determinar as maiores cargas esperadas em serviço (incluindo possíveis sobrecargas) e 
resistências mínimas esperadas para o material, baseando, portanto o fator de segurança 
nestes dados. Então o fator de segurança torna-se uma razoável medida de incerteza. Na 
industria aeronáutica, fatores de segurança para aeronaves comerciais estão na faixa de 1,2 a 
1,5. Aeronaves militares podem Ter o fator de segurança menor do que 1,1 , só que a tripulação 
toda possui pára-quedas, além do que os pilotos de teste possuem altíssimos salários. Os 
mísseis possuem fator de segurança igual a 1, mas não tem tripulação e não se espera que 
precisem retornar a origem. Estes pequenos fatores de segurança em aeronaves são 
necessários para manter os pesos baixos e são justificados pela análise analítica sofisticada, 
com testes dos materiais usados, extenso testes de protótipos dos projetos geralmente em 
escala real com aplicação de cargas dinâmicas e medição de seus efeitos, e rigoroso serviço de 
inspeção para pequenas falhas de equipamentos. 
Vários autores apresentam em seus comentários, o fator de segurança como um produto de 
subfatores. Assim por exemplo, se a tensão perigosa é o limite de resistência à tração (limite de 
ruptura), pode-se fazer: 
FS= a x b x c x d 
Onde a= relação de elasticidade (limite de resistência a tração/limite de resistência ao 
escoamento); 
b= fator que leva em conta o tipo de carga. 
Pode-se tomar: cargas constantes: b=1; 
 
11 
Carga variável sem reversão: b=1,5 a 2,0; 
Carga variável com reversão: b=2,0 a 3,0. 
c= fator que leva em conta o modo de aplicação da caga. 
Para este fator podem-se seguir seguintes indicações: 
Carga constante, gradualmente aplicada: c=1; 
Carga constante, subitamente aplicada: c=2; 
Choque: c>2. 
d= margem ou fator real de segurança.Este fator varia, em geral, entre 1,5 a 3. Paramateriais dúcteis, pode-se adotar a faixa de 1,5 a 2. Para materiais quebradiços, tem-se 2,0 a 
3,0. 
Informação Materiais dúcteis FS 
Material Qualidade da informação F1 
Dados sobre as 
propriedades do 
material disponíveis 
no teste 
O material real foi usado para ser testado 
Resultados de teste de Material bem representativo 
Resultados de testes de material relativ. 
representativo 
Resultados de testes de material pouco 
representativo 
1,3 
2 
3 
5 
Ambiente Qualidade de informações F2 
Condições ambientais 
de trabalho 
Idênticas ao teste do material 
Ambiente de laboratório estável 
Ambiente moderadamente variável 
Ambiente extremamente variável 
1,3 
2 
3 
5 
Cargas Qualidade de informações F3 
Modelos analíticos 
para carga e tensão 
Modelos foram testados e comparados com o 
experimento 
Modelos representam o sistema com precisão 
Modelos representam o sistema com aproximações 
Modelos são aproximações rudimentares 
1,3 
2 
3 
5 
Tabela 1 – Materiais dúcteis. 
Tal como foi apresentado acima, o FS permite uma determinação em que a dificuldade 
foi dividida, tendo o projetista pontos de apoio para tomar sua decisão. Alguns cuidados devem 
ser levados em conta. O maior ou menor conhecimento do material e da carga aproximam ou 
afastam o FS dos valores mínimos dados. A presença de choque normalmente leva o FS para 
 
12 
os valores mais altos, em geral de 5 a 8, para os materiais dúcteis e aproximadamente o triplo 
para os materiais quebradiços. Ao escolher um FS, o projetista deve verificar se não existe 
algum valor imposto por lei ou mandado adotar por normas técnicas. É o caso, por exemplo, de 
cabos para elevadores, caldeiras, pontes rolantes, etc. Quando a peça apresenta 
descontinuidades ou qualquer fator que mude a distribuição uniforme do esforço, acarretando 
concentração de tensões, os valores de FS não devem ser aplicados sem um estudo mais 
minucioso. O FS sobre o limite de resistência à fadiga, não pode ser determinado pela 
aplicação da expressão acima, sem um análise mais profunda. 
Algumas diretrizes para a escolha do fator de segurança em um elemento de máquina 
podem ser definidas, baseadas na qualidade e adequação da propriedade do material 
disponível, das condições ambientais esperadas comparadas com aquelas nas quais o teste do 
material foi realizado e a precisão da carga e análise de tensão dos modelos que foram 
desenvolvidos para esta análise. A tabela 1 mostra um conjunto de fatores para materiais 
dúcteis que podem ser escolhidos em cada uma das três categorias listadas. O fator de 
segurança resultante é tomado como o maior dos três fatores escolhidos. 
A ductilidade ou fragilidade do material deve ser considerada. Materiais frágeis são 
projetados em relação à resistência à tração ou última, então a falha significa fratura. Materiais 
dúcteis sob carga estática são projetados em relação ao limite de resistência ao escoamento e 
se espera que mostrem algum sinal de alerta da falha antes que a fratura aconteça a menos 
que as fissuras indiquem a possibilidade de falha de fratura mecânica. Por estas razões, o fator 
de segurança para materiais frágeis é freqüentemente o dobro do usado para materiais dúcteis 
na mesma situação. 
Estes métodos de determinação do fator de segurança são apenas diretrizes para um 
ponto de partida. Obviamente são sujeitos a julgamento do projetista na seleção dos fatores em 
cada categoria. O projetista é o responsável último para obtenção da segurança do projeto. 
Fatores de segurança maiores que os tabelados podem ser adequados em algumas 
circunstâncias. 
 
1.6 - CONSIDERAÇÕES ECOLÓGICAS 
As pessoas dependem no seu ambiente de ar, água, alimentação e materiais para 
vestimenta e agasalho. Na sociedade primitiva, os utensílios eram naturalmente recicláveis pelo 
uso repetido. Quando foram introduzidas, a natureza tornou-se incapaz de e reciclar estas 
periodicamente, interrompendo os ciclos naturais ecológicos. Os sistemas econômicos 
permitem os produtos serem fabricados em massa e vendidos a preços que freqüentemente 
 
13 
não refletem o custo verdadeiro para a sociedade em termos do consumo de fontes naturais e 
perdas ecológicas. Agora que a sociedade está tornando-se mais consciente destes problemas, 
exigências na legislação e uma previsão de custos totais mais realística estão tendo um 
impacto crescente nos projetos de engenharia. Podem-se colocar como objetivos ecológicos 
básicos de um projeto de engenharia mecânica de uma maneira simples: 
(1) a utilizar materiais que sejam reciclados economicamente dentro de períodos 
razoáveis de tempo sem danos ao ar e poluição à água. 
(2) minimizar a taxa de consumo de fontes de energia não recicláveis (tais como fluidos 
fósseis) para efeito de conservação destes recursos e minimizar a poluição térmica. 
Segue uma lista de pontos para serem considerados: 
1. Considere todos os aspectos dos objetivos básicos do projeto envolvido, para verificar 
se todos têm sentido. Existem métodos alternativos quando se consideram efeitos 
ecológicos? Eles representam a melhor alternativa? 
2. Após aceitar os objetivos básicos do projeto, o próximo passo é uma revisão dos 
conceitos gerais que envolveram o projeto proposto. 
3. Uma consideração importante é o projeto para reciclagem. O ciclo ecológico 
completo incluindo a reutilização de dispositivos e conjuntos tornam-se a cada dia que 
passa de uma grande importância. A industria automobilística já utiliza estes conceitos. 
4. Seleção de materiais com fatores ecológicos em mente. 
5. Ao especificar o processamento, fatores como a poluição de todos os tipos, o 
consumo de energia, a eficiência do material utilizado são considerações bastante 
importantes. 
6. Empacotamento é outra importante área para conservação de recursos e redução da 
poluição. Uso de materiais reciclados e reutilizáveis para empacotamento são áreas que 
devem receber especial atenção. 
 
1.7 - CONSIDERAÇÕES SOCIAIS 
As soluções para os problemas em qualquer área da engenharia começam com sua 
definição bem clara. O objetivo básico de qualquer projeto de engenharia é melhorar a 
qualidade de vida de nossa sociedade. Poderíamos citar vários fatores como saúde física, 
materiais bem acabados, segurança ambiental, igualdade de oportunidades; liberdade pessoal 
e pacientes especiais. Várias considerações de projeto podem ser incompatíveis até que o 
engenheiro consiga uma solução imaginativa e genial. 
 
14 
Todos os produtos de engenharia estão intimamente ligados a relações sociais. Grande 
parte da população trabalha com organizações cuja função seja a de pesquisa, projeto, 
desenvolvimento, fabricação, mercado, e serviço de produtos de engenharia. O esforço pessoal 
aliado a fontes naturais entram no sistema de produção gerando produtos e materiais que serão 
úteis e adequados. As experiências são de dois tipos: (1) experiência devido a trabalho direto 
dos indivíduos, que é construtivo e satisfatório, e (2) conhecimento empírico obtido sobre a 
efetiva idade do sistema total, com implicações para a melhoria do seu futuro. Os produtos 
acabados servem a todas as pessoas até serem descartados, quando então eles serão fontes 
de materiais reciclados de longo ou curto termo e possivelmente poluição. Uma lista de fatores 
que constituem um índice de qualidade de vida deve levar em conta fatores psicológicos. As 
pessoas exibem um conjunto infinito de variáveis e características. Sabe-se também que, no 
entanto existem certas características inerentes e necessidades que permanecem constantes 
para todos os indivíduos e presumivelmente em todos os tempos. Seriam assim definidas 
como: 
1. Sobrevivência 
2. Segurança 
3. Aceitação Social 
4. Status 
5. Auto-satisfação 
 O primeiro nível é á necessidade de imediata sobrevivência-alimentação, roupa, 
vestimenta-aquie agora. O segundo nível envolve segurança, para a própria sobrevivência e no 
futuro. O terceiro nível tem a ver com a aceitação social. As pessoas precisam se interagir com 
a família, com o grupos sociais, necessitando de amor e aceitação. O quarto nível é o de status, 
reconhecimento, onde se deseja Ter o respeito e admiração pelo que se é no seu ambiente de 
relacionamentos. O mais alto nível é o de auto satisfação, quando se cresce na direção de 
alcançar um potencial completo, e obter como resultado satisfação pena. Em qualquer lugar e 
tempo, as pessoas em cidades, estados e nações operam em um ou mais destes níveis, 
podendo se pensar em uma escada com estes degraus de uma existência primitiva até alcançar 
uma rica qualidade de vida. Vimos nas fotos o planejamento da cidade de Belo Horizonte, local 
aprazível, serra do curral, bem planejada, com lindos prédios, arborização, e, no entanto 
atualmente com inúmeros problemas e dificuldades de seus habitantes possuírem esta rica 
qualidade de vida almejada. Historicamente, a engenharia tem feito esforços dirigidos 
primariamente para os níveis 1 e 2. Mais recentemente, uma porcentagem maior de sistemas 
de produção tem sido projetados para prover a sociedade com produtos que estejam acima 
 
15 
das necessidades básicas de sobrevivência e segurança, pensando na contribuição de 
satisfazer as legítimas e maiores necessidades do consumidor. 
 
1.8 - METODOLOGIA P/ RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE COMPONENTES MECÂNICOS 
Um método essencial para atacar os problemas de componentes de máquinas é 
formular adequadamente e apresentar suas soluções com precisão. A formulação do problema 
requer consideração da situação física acoplada a situação matemática. A representação 
matemática da situação física é uma descrição ideal ou modelo que se aproxima do problema 
físico. O primeiro passo na resolução dos problemas de componentes mecânicos é definir (ou 
compreender) o problema. Os próximos passos são para definir ou sintetizar a estrutura, 
identificar as interações com o ambiente, realizar hipóteses adequadas pelo uso de lies físicas 
pertinentes, relações e regras que parametricamente relacionam a geometria e o 
comportamento do componente ou sistema. O último passo é checar os resultados e apresentar 
comentários. A maioria das análises utiliza, direta e indiretamente, 
• Estática e dinâmica 
• Mecânica dos materiais 
• Fórmulas (tabelas, diagramas, gráficos) 
• Princípio de conservação de massa e energia 
O maior objetivo destes livros é auxiliar os estudantes a aprenderem como resolver os 
problemas de engenharia que envolva componentes mecânicos. 
Um ingrediente básico da sociedade humana é a mudança. Os engenheiros deveriam 
procurar entender não somente as necessidades da sociedade de hoje, mas também a direção 
e rapidez das mudanças da sociedade que estão acontecendo. Mais ainda, precisamos 
entender a influência da tecnologia - e dos elementos de máquinas mecânicos e sistemas de 
produção associados em particular-nestas mudanças. Talvez o mais importante objetivo do 
futuro engenheiro será o de dar a sociedade sua contribuição que irá promover esta mudança 
na direção de uma melhoria no índice de qualidade de vida. 
 
 
1.9 - UNIDADES 
Diversos sistemas de unidades são usados na engenharia. O Sistema Internacional 
(SI), o sistema inglês pés-libras-segundo (fps), o sistema americano, polegadas, libras, 
segundo(ips) e o sistema métrico pouco usado, centímetro, grama e segundo(cgs). 
 
16 
Todos os sistemas foram criados da escolha de três das quantidades da expressão geral 
da Segunda lei de Newton : 
2
.
t
LmF = 
onde F é a força, m é a massa, L é o comprimento e t é o tempo. As unidades para estas três 
variáveis podem ser escolhidas e a outra é então derivada em termos das unidades escolhidas. 
As três unidades escolhidas são chamadas de unidades básicas, e as restantes são chamadas 
de unidades derivadas. 
A maioria da confusão que aparece quando da conversão entre as unidades do sistema 
inglês e internacional é devida ao fato de que o sistema internacional utiliza diferente conjunto 
de base unitária do sistema inglês. O erro maior é na conversão de unidades de peso (que são 
as força libra) para unidade de massa. A relação entre massa e peso é 
gc
PM = 
onde gc que é a aceleração gravitacional é igual a 32,17 pés/segundo ao quadrado o que 
equivale a 386 polegadas/segundo ao quadrado. Quando se utiliza todos os comprimentos em 
polegadas e utiliza gc=32,17 pés/Seg2 para computar massa, incorre-se em um erro de um fator 
12 nos resultados. Pior ainda é quando o estudante esquece de converter o peso para massa. 
Os resultados deste cálculo terão um erro de 32 ou 386, suficiente para afundar um navio ou 
levar um avião a espatifar-se. 
O valor da massa é necessário na Segunda lei de Newton para determinar forças devido 
a acelerações. As unidades de massa na equação F=m.a podem ser g, kg dependendo do 
sistema a ser utilizado. Então no sistema inglês, o peso W em lbf deve ser dividido pela 
aceleração devido a gravidade gc como indicado para obtenção da quantidade de massa pela 
equação F= ma. 
Ainda maior confusão é feita usando a unidade de libra-massa. Esta unidade é freqüentemente 
usada em fluido dinâmico e termodinâmico, e aparece devido ao uso da forma diferente da 
equação de Newton: 
gc
amF .= 
onde m=massa em libramassa; a =aceleração e gc =constante gravitacional. Na terra, o valor 
de massa de um objeto medido em libra-massa é numericamente igual ao seu peso em libra-
força. Contudo, o estudante deve se lembrar de dividir o valor de m em libra-massa por gc 
 
17 
quando usar a esta forma da equação de Newton. Então libra-massa irá ser dividida ou por 
32,17 ou 386 quando se calcula a força dinâmica. 
O sistema internacional (SI) requer que os comprimentos sejam medidos em metros, 
massa em kilogramas (kg), e o tempo em segundos (sec). A força é derivada da lei de Newton 
e a unidade é: 
kg m/sec2 = newtons(N) 
No sistema SI, há distintos nomes para massa e força que ajudam a aliviar a confusão. Quando 
se utiliza a conversão do SI para o sistema inglês, deve-se estar alerta para o fato de que a 
força se converte de Newtons (N) para libras (lb). A constante gravitacional no sistema SI é 
aproximadamente de 9,81 m/sec2. 
Neste livro pretende-se usar preferencialmente o sistema internacional (SI), porém 
considerando que vários elementos de máquinas usados no Brasil são fabricados no exterior, 
principalmente nos Estados Unidos da América do Norte, o sistema inglês também será usado 
uma vez que os alunos precisam se familiarizar com os dois sistemas. Assim por exemplo, 
parafusos de 1/2 polegada de diâmetro, cordão de solda de 1/4 de polegada de espessura, 
correias de 60 polegadas de comprimento, cabos de aço de 1 polegada de diâmetro são 
bastante usados no meio comercial e de engenharia. Da mesma forma elementos como 
engrenagens cilíndricas também usam o sistema inglês e internacional. Já os equipamentos 
adquiridos na Alemanha, usam a norma DIN, em que o sistema é o internacional. 
O estudante de engenharia deverá tomar precaução e sempre checar as unidades em 
qualquer equação escrita para a solução de um problema técnico, seja na universidade seja na 
prática profissional. Você poderá estar salvando uma vida ao fazer isto. 
 
 
 
18 
1.10 - COMENTÁRIOS SOBRE OS PROGRAMAS COMPUTACIONAIS 
Este trabalho ora apresentado, fruto de estudos e prática profissional ao longo de 30 
anos de atividades na área de engenharia, contempla aos leitores com vários programas 
computacionais que foram desenvolvidos e orientados para os alunos dos cursos de elementos 
de máquinas e projeto de máquinas. Alguns destes programas estão citados os nomes dos 
alunos que trabalharam sobre nossa orientação. São programas que complementama parte 
teórica conceitual e, portanto permitem uma análise de exercícios com rapidez e facilidade. É 
claro que algum pequeno erro possa existir nestes programas, porém todos checados e 
funcionam perfeitamente dentro da moderna engenharia mecânica. Sugestões e comentários 
serão bem vindos para que em outra edição possamos ainda mais melhorar e aperfeiçoar o 
trabalho original. 
 
 
1.11 - CONFIABILIDADE DO PROJETO MECÂNICO 
Os projetistas de componentes mecânicos ou estruturais necessitam de métodos de 
cálculo que permitam avaliar, de uma forma mais racional, a probabilidade de falha de um 
componente ao longo da vida operacional prevista para o mesmo. Os métodos probabilísticos, 
baseados em conceitos de confiabilidade, tem sido empregado para este fim, sendo estes 
centrados na formulação de funções de desempenho, as quais expressam um modo de falha 
específico do componente, sendo as variáveis desta consideradas de natureza aleatória. Estes 
métodos permitem calcular a probabilidade desta função assumir valores inferiores a zero, 
representando a falha do componente. 
Neste trabalho apresentam-se os fundamentos destes métodos probabilísticos, bem 
como se aplica os mesmos para definir a probabilidade de falha de componentes mecânicos e 
estruturais, considerando como modos de falha o escoamento e a fadiga. 
Adicionalmente avalia-se a relação entre a probabilidade de falha e o coeficiente de 
segurança usualmente empregado nos tradicionais Critérios de Projeto de componentes 
mecânicos e estruturais. 
O emprego de métodos probabilísticos no dimensionamento de elementos estruturais ou 
componentes mecânicos tem como objetivo projetar um componente cuja probabilidade de 
falha, ao longo da vida operacional, tenha uma magnitude conhecida, podendo esta ser 
controlada ao longo do processo de síntese estrutural. Estes métodos probabilísticos diferem 
dos tradicionais Critérios de Projeto de componentes mecânicos ou estruturais, os quais são 
 
19 
baseados no emprego de coeficientes de segurança, que não informam, de forma explícita a 
probabilidade de falha que está sendo considerada no dimensionamento do componente. 
Há portanto uma crescente importância que os projetistas estruturais tem dado ao uso 
de métodos probabilísticos no projeto de estruturas de grande responsabilidade, em função da 
perda de vidas humanas, prejuízos econômicos ou mesmo danos ambientais de grande monta 
associadas à falha destas estruturas. 
Muitos fenômenos observados na natureza apresentam um certo grau de incerteza, ou 
seja, os resultados da ocorrência dos mesmos não podem ser previstos com exatidão. Para 
estes fenômenos físicos, caso sejam executadas avaliações dos resultados obtidos com a 
realização de uma seqüência de ensaios que simulem a ocorrência de um fenômeno específico, 
verifica-se a variabilidade dos mesmos. Dentre estes resultados, observa-se que alguns 
apresentam uma maior freqüência de ocorrência que outros. Esta variabilidade nos resultados 
obtidos, quando da execução de experimentos que representam um fenômeno físico, é 
denominada de incerteza. O projeto de muitos sistemas de engenharia utiliza como conceito 
básico para a operação segura do mesmo a garantia de que a sua capacidade ou resistência 
seja superior à demanda dele exigida. 
No campo da engenharia de estruturas ou da engenharia mecânica, a capacidade é 
representada pela resistência mecânica de um componente ou conjunto de componentes, 
enquanto que a demanda está relacionada com a ação de uma combinação de cargas atuantes 
sobre os membros estruturais que compõem o conjunto em estudo. Um projeto estrutural ou 
mecânico é considerado apto para operação quando a sua resistência excede a demanda 
representada pela ação do carregamento externo. No entanto, a resistência mecânica e a ação 
do carregamento externo são consideradas variáveis aleatórias, ou seja, apresentam uma 
variabilidade na sua magnitude, caracterizando a existência de incertezas associadas com os 
valores da resistência mecânica e/ou com a ação do carregamento externo, que afetam a 
possibilidade do sistema estrutural ou mecânico manter a sua capacidade operacional ao longo 
da vida útil definida para o mesmo. 
Considerando as incertezas associadas com as variáveis acima citadas, o desempenho 
de uma estrutura ou componente mecânico, ao longo da sua vida operacional, não pode ser 
garantido pelos projetistas estruturais, havendo uma probabilidade não nula da ocorrência de 
falha ao longo desta vida, em conformidade com um critério de desempenho específico. A 
possibilidade da estrutura operar satisfatoriamente, em conformidade com as condições de 
projeto, ao longo de sua vida útil, calculada como complemento da probabilidade de falha, é 
definida como Confiabilidade. O uso dos conceitos de confiabilidade na análise e síntese de 
 
20 
componentes ou sistemas mecânicos e estruturais tem como objetivo maximizar os níveis de 
segurança estrutural e minimizar os custos de projeto e fabricação, buscando-se uma avaliação 
probabilística da possibilidade de ocorrência de falha estrutural, ao invés da utilização dos 
tradicionais coeficientes de segurança empregados nos Critérios de Projeto. Estes coeficientes, 
definidos em função da experiência adquirida no passado, tanto no projeto como na operação 
de alguns tipos de estruturas ou componentes mecânicos, embora facilitem a tarefa do 
projetista quando da execução da síntese estrutural, não permitem uma avaliação da 
probabilidade de falha que está sendo admitida pelo Critério de Projeto. 
O uso de Critérios de Projeto baseados em análises probabilísticas permite a clara 
definição da probabilidade de falha de um sistema estrutural, bem como propicia a possibilidade 
de estudo da influência de cada variável aleatória sobre a segurança do sistema. Mesmo com a 
introdução de considerações probabilísticas, os Critérios de Projeto devem considerar a opinião 
de especialistas, com grande experiência na execução de projetos estruturais ou mecânicos, 
principalmente quando da definição das dispersões associadas às variáveis aleatórias e para 
seleção das formulações matemáticas utilizadas para modelar um mecanismo específico de 
falha. 
De uma forma simplificada, o problema da definição da possibilidade de falha de um 
componente estrutural pode ser analisado com o emprego de um modelo de comparação entre 
uma oferta e uma demanda. A oferta é a resistência mecânica do componente, com respeito a 
um modo de falha específico, e a demanda é a combinação de efeitos associados aos 
carregamentos externos que agem sobre o mesmo ao longo de sua vida operacional. A falha do 
componente estrutural ocorre quando a resistência mecânica tem magnitude inferior à 
magnitude dos efeitos gerados pela ação do carregamento externo. O problema básico do 
projetista estrutural é posicionar as funções densidade de probabilidade associadas com a 
resistência mecânica e com a solicitação externa de forma a minimizar a probabilidade de falha, 
controlando as dimensões e o material do componente estrutural. Os tradicionais Critérios de 
Projeto empregados no dimensionamento de componentes mecânicos ou estruturais 
consideram que tanto a resistência mecânica como a solicitação externa são representadas por 
valores determinísticos, denominados de valores nominais. A resistência mecânica nominal é 
um valor conservador, afastado do valor médio por um número inteiro de desvios padrões, 
usualmente dois ou três, de forma a obter-se um valor inferior ao valor médio, minimizando a 
resistência mecânica para as condições de projeto. A solicitação externa nominal tem 
magnitude superior ao valor médio, sendo este afastado do mesmo por um número inteiro de 
desvios padrões, maximizando a solicitação externa. O projeto estrutural é executado de forma 
 
21 
a afastar a resistência nominal da solicitação nominal,limitando esta última a uma fração da 
resistência mecânica nominal, com o emprego do denominado fator de segurança, ou seja, 
minimiza a possibilidade da solicitação externa superar a resistência mecânica. Este método, 
tradicionalmente conhecido como “Método das Tensões Admissíveis”, limita a solicitação 
máxima atuante no componente estrutural, expressa em termos de uma tensão admissível, 
como uma porcentagem da resistência mecânica do material empregado na sua fabricação, 
devendo o arranjo estrutural e as dimensões dos elementos de máquinas, garantir que, sob a 
ação do carregamento externo considerado no projeto, as tensões atuantes nestes elementos 
tenham, no máximo, a mesma magnitude da tensão admissível. Dessa forma, o 
conservadorismo e a segurança introduzidos no projeto estrutural, com o emprego dos 
coeficientes de segurança, são dependentes das incertezas associadas com a resistência 
mecânica e com a solicitação externa, bem como da forma com que são definidos os valores 
nominais das mesmas. 
Usualmente, estes valores nominais são selecionados a partir da análise da dispersão 
associada com a resistência mecânica e com a solicitação externa, para uma família de 
estruturas, tais como estruturas navais, aeronáuticas e mecânicas, utilizando a experiência na 
construção e operação destas estruturas, e a opinião de consultores especialistas. 
A seleção do fator de segurança segue procedimentos similares aos acima descritos, 
empregados para definição dos valores nominais. O mesmo objetivo dos tradicionais Critérios 
de Projeto, baseados no uso do fator ou coeficiente de segurança, o qual é minimizar a 
sobreposição entre as funções densidade de probabilidade da resistência mecânica e da 
solicitação externa, pode ser obtido de uma forma que se baseia no cálculo da probabilidade da 
resistência mecânica ser superada pela solicitação externa, denominada neste texto de 
probabilidade de falha, sendo esta dependente das incertezas associadas com as variáveis 
acima citadas. Os Critérios de Projeto baseados nos conceitos de confiabilidade tem por 
objetivo minimizar a probabilidade de falha, considerando como variáveis aleatórias à 
resistência mecânica e a solicitação externa, utilizando as dimensões do componente estrutural 
e o material do mesmo como elementos que influenciam a magnitude e a variabilidade das 
variáveis aleatórias. A utilização dos conceitos de confiabilidade na análise e/ou síntese de 
componentes mecânicos ou estruturais apresenta algumas peculiaridades. 
 
 
 
22 
1.12 - FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL 
O cálculo da confiabilidade de um componente mecânico ou estrutural está associado 
com o desenvolvimento de uma função de desempenho que representa a formulação 
matemática empregada para modelar um dado mecanismo de falha que o componente em 
estudo está sujeito a apresentar. De uma forma genérica, a função de desempenho para um 
componente mecânico ou estrutural pode ser definida pela relação entre a resistência mecânica 
e a solicitação externa, usualmente expressa em termos de tensões induzidas no componente 
pela ação do carregamento externo. 
A função de desempenho (Z) é usualmente expressa pela relação: 
SRZ −= 
onde R representa a resistência mecânica do material do componente e S representa as 
tensões induzidas pela ação do carregamento externo, ou simplesmente solicitação. 
A falha do componente ocorre quando a solicitação ultrapassa a capacidade de 
resistência do componente, ou seja, quando a função de desempenho tem magnitude inferior a 
zero. 
Para definição da confiabilidade do componente mecânico ou estrutural, considera-se 
que tanto a resistência mecânica como a solicitação são variáveis aleatórias, e a confiabilidade 
é 
( ) ( )SRPZPRc ≥=≥= 0 
representada pela probabilidade da resistência mecânica ser superior à solicitação, ou seja 
onde RC probabilidade de sobrevivência do componente, ou a sua confiabilidade. 
Como complemento da probabilidade de sobrevivência tem-se a probabilidade de falha, 
a qual é definida pela seguinte relação: 
( ) ( )SRPZPR f ≤=≤= 0 
 
onde pf é a probabilidade de falha. 
Baseando-se nas formulações apresentadas nas equações acima, verifica-se que, para 
o cálculo da probabilidade de falha e da confiabilidade, necessita-se do conhecimento das 
funções densidade de probabilidade da resistência mecânica e da solicitação, podendo ser 
executado o cálculo analítico da probabilidade de falha através da relação: 
∫
∞
=
0
)()( dssfsFP srf 
sendo FR(.) a função distribuição acumulada da resistência mecânica. 
 
23 
A confiabilidade é definida como o complemento da probabilidade de falha, ou seja: 
fc pR −= 1 
A execução da integral constante da equação pode ser complexa, dependendo dos tipos 
de funções densidade de probabilidade empregados na representação da resistência mecânica 
e da solicitação externa. Entretanto, este não é o maior empecilho para a aplicação das 
equações em referência. Na maioria dos problemas mecânicos ou estruturais, a solicitação, 
expressa como as tensões atuantes na estrutura devido à ação do carregamento externo, é 
calculada como a relação entre propriedades geométricas do componente e o carregamento 
externo, sendo que as primeiras também tem natureza probabilística, fato que dificulta a 
avaliação da função densidade de probabilidade da solicitação. A probabilidade de falha 
calculada em conformidade coma formulação apresentada, para uma família de estruturas 
projetadas conforme um Critério de Projeto específico, o qual emprega um coeficiente de 
segurança pré-definido, permite a verificação de qual é a probabilidade de falha admissível 
neste Critério de Projeto, expressa em termos do uso do coeficiente de segurança e dos valores 
nominais da resistência mecânica e da solicitação. A obtenção desta correlação torna-se mais 
complexa quanto maior for o número de variáveis necessárias para o cálculo da função 
densidade de probabilidade da solicitação. Para funções de desempenho de formulações 
lineares, a determinação da probabilidade de falha pode ser simplificada, caso as funções 
densidade de probabilidade da resistência mecânica e da solicitação sejam do tipo normal e as 
variáveis sejam consideradas independentes. Outras formulações, para outras combinações de 
funções densidade de probabilidade, podem ser obtidas em literatura especializada na área de 
confiabilidade estrutural. 
 
24 
CAPÍTULO 02 - ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
 
2.1 - INTRODUÇÃO 
 Os conceitos mais fundamentais no dimensionamento de elementos de máquinas são a 
tensão e a deformação. Conhecidas as cargas atuantes nos elementos de máquinas, pode-se 
determinar as tensões resultantes. Neste capítulo relacionamos as tensões atuantes no corpo 
como um todo, sendo distintas das tensões superficiais ou tensões de contato. As tensões 
resultantes de carregamento estático serão analisadas neste capítulo. 
 
2.2 - TENSÃO 
A tensão representa a intensidade da força de reação em um ponto do corpo submetido 
a cargas de serviço, condições de fabricação e variações de temperatura. A tensão é medida 
como a força atuante por unidade de área de um plano. 
 
 
∆P – Vetor força que atua sobre o elemento de área ∆A 
Figura 1 – Cargas atuantes em elemento infinitesimal 
áreaforçaTensão /= 
A
Px
Axx ∆
∆
=
→∆ 0
limσ 
A
Py
Axy ∆
∆
=
→∆ 0
limτ 
A
Pz
Axz ∆
∆
=
→∆ 0
limτ 
 
σxx, τxy, τxz são as componentes de tensão associadas ao plano x do ponto O 
σ - tensão normal: tensão perpendicular ao plano de análise 
τ - tensão de cisalhamento: tensão que atua paralelamente ao plano. 
 
Em uma peça submetida a algumas forças, a tensão é geralmente distribuída como uma 
função continuamente variável dentro do contínuo do material. Cada elemento infinitesimal do 
materialpode experimentar diferentes tensões ao mesmo tempo. Deve-se olhar as tensões 
como atuando em pequenos elementos dentro da peça. 
 
25 
A figura abaixo mostra um cubo infinitesimal do material da peça que é submetida a 
algumas tensões tridimensionais. As faces deste cubo infinitesimal são paralelas a um conjunto 
de eixos xyz tomados em uma orientação conveniente. A orientação de cada face é definida 
pelo vetor superficial normal como mostra a figura. A face x tem sua superfície normal paralela 
aos eixos x, etc. Note que há duas faces x, duas faces y e duas faces z, uma de cada sendo 
positiva e uma negativa como definida pelo sentido de seu vetor normal à superfície. Os nove 
componentes de tensão atuando nas superfícies deste elemento infinitesimal estão mostrados 
nas figuras 3 e 4. Os componentes σxx , σyy , σzz são as tensões normais, assim chamadas 
porque atuam respectivamente nas direções normais às superfícies x, y e z do cubo. As 
componentes τxy , τxz , por exemplo são as tensões cisalhantes que atuam na face x e cujas 
direções de atuação são paralelas aos eixos y e z , respectivamente 
 
 
Figura 2 - Componentes de tensão sobre um elemento infinitesimal tridimensional 
 
Estes elementos infinitesimais são modelados como cubos. Os componentes de tensão 
são considerados atuando nas faces destes cubos em duas diferentes maneias. Tensões 
normais atuam perpendicularmente à face do cubo e tendem a tracioná-las (tensão normal de 
tração) ou comprimi-las (tensão normal de compressão). Tensões cisalhantes atuam 
paralelamente às faces dos cubos em pares e nas faces opostas, que tendem a distorcer o 
cubo em um formato romboidal. Estas componentes de tensão normal e cisalhamento atuantes 
no elemento infinitesimal compõem o tensor. 
Tensão é um tensor de segunda ordem e requer nove valores ou componentes para 
descrevê-lo no estado tridimensional. Pode ser expresso por uma matriz: 
 
26 
 
Onde a notação para cada componente de tensão contem três elementos, a magnitude 
(σ ou τ), a direção da normal à superfície de referencia (primeiro subscrito) e a direção da ação 
(segundo subscrito). Utiliza-se σ para tensões normais e τ para tensões cisalhantes. Muitos 
elementos nas máquinas são sujeitos a um estado de tensão tridimensional e requer o tensor 
tensão. 
 
Figura 3 – Componentes de tensão em um estado bidimensional 
Em alguns casos, são usados como estado de tensão bidimensional (figura 2.2b) 
O tensor tensão para o estado bidimensional é: 
 
Um elemento infinitesimal de um corpo (dx) (dy) deve estar em equilíbrio. Portanto: 
 
∑ = 0oM ∑ = 0yF ∑ = 0xF 
 
de onde podemos mostrar que: 
yxxy ττ = 
 
ou seja, para um ponto sob estado plano de tensões as componentes cisalhantes em planos 
mutuamente perpendiculares devem ser iguais. De fato, pode-se mostrar que isto é verdade 
para um estado mais geral de tensões, ou seja: 
 
27 
 
zxxz ττ = zyyz ττ = 
 
2.3 - TENSÕES EM MEMBROS COM CARREGAMENTO AXIAL 
2.3.1 - CARGA AXIAL 
Seja a barra, considerada sem peso e em equilíbrio, sujeita a duas forças F em suas 
extremidades. 
A
P
=σ Tensão Normal (tração) 
 
 
Figura 4 - Tensão normal (tração) 
 
2.3.2 - CARGA AXIAL - TENSÃO DE APOIO 
 
A
P
=σ Tensão de Apoio (compressão) 
 
Figura 5 -Tensão de compressão 
 
 
28 
2.3.3 - TENSÃO MÉDIA DE CISALHAMENTO 
 
 
Figura 6 - Tensão de cisalhamento 
 
a) Cisalhamento simples: 
 
 
Figura 7 - Cisalhamento simples 
 
 
b) Rebite: 
 A
P
A
V
m ==τ 
Figura 8 - Cisalhamento de rebite 
 
c) Cisalhamento duplo: 
A
P
A
V
m 2
==τ
 
Figura 9 - cisalhamento duplo 
 
 
 
 
 
 
29 
2.4 - TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
 
2.4.1 - EQUAÇÕES PARA TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO PLANA 
Uma vez determinadas às tensões normais σx e σy e a tensão de cisalhamento τxy, é 
possível determinar as tensões normais e de cisalhamento em qualquer plano inclinado em um 
dado estado de tensão. 
 
Figura 10a - Análise de tensões em um plano qualquer 
 
 
Figura 10b - Análise de tensões em um plano qualquer 
 
Aplicando as equações de equilíbrio estático: 
 
0
'∑ =xF 
0cos.....cos.cos.cos.
'
=−−−− θθτθθσθθτθθσσ sendAsensendAsendAdAdA xyyxyxx 
θθτθσθσσ sensen xyyxx .cos..2.cos. 22' ++= 
Sabendo que: 
 
30 
θθθ cos..22 sensen = , θθθ 22cos2cos sen−= , θθ 22cos1 sen+= 
Assim: 
2
2cos1
cos2
θθ += , 
2
2cos12 θθ −=sen 
Substituindo as expressões de sen2θ, cos2θ e sen 2θ: 
θτθσθσσ 2
2
2cos1
2
2cos1
'
senxyyxx +
−
+
+
=
 
θτθ
σσσσ
σ 22cos
22'
senxy
yxyx
x +
−
+
+
=
 
∑ = 0yF 
0..cos..cos.cos..cos
''
=+−−+ θθτθθσθθτθθστ sensendAsendAdAsendAdA xyyxyxyx 
θτθ
σσ
τ 2cos2
2'' xy
yx
yx sen +




 −
−= 
 
 
2.4.2 - CÍRCULO DE MOHR 
Sejam as equações de transformação de tensão: 
θτθ
σσσσ
σ 22cos
22'
senxy
yxyx
x +
−
=
+
−= 
θτθ
σσ
τ 2cos2
2 xy
yx
xy sen +
−
−= 
Elevando ao quadrado ambas as equações e somando-as tem-se: 
2
2
2
''
2
' 22 xy
yx
yx
yx
x τ
σσ
τ
σσ
σ +




 −
=+




 +
− 
Esta equação pode ser de maneira mais compacta: 
( ) 22
''
2
'
Ra yxx =+− τσ 
A equação acima é a equação de um circulo de raio 2
2
2 xy
yxR τ
σσ
+




 −
=
e o centro 
em 2
yx
a
σσ +
= 
e b=0. 
 
31 
 O circulo construído desta maneira é chamado círculo de Mohr, onde a ordenada de um 
ponto sobre o circulo é a tensão de cisalhamento τxy e abscissa é a tensão normal σx. 
 Figura 11 - Círculo de Mohr para tensões 
 
 
CONCLUSÕES IMPORTANTES 
• A maior tensão normal possível é σ1 e a menor é σ2. Nestes planos não existem tensão 
de cisalhamento. 
• A maior tensão de cisalhamento τmax é igual ao raio do circulo e uma tensão normal de 
2
yx σσ +
 atua em cada um planos de máxima e mínima tensão de cisalhamento. 
• Se σ1==σ2, o circulo de Mohr se degenera em um ponto, e não se desenvolvem tensão 
de cisalhamento no plano xy. 
• Se σx+σy=0, o centro do circulo de Mohr coincide com a origem das coordenadas σ - τ, e 
existe o estado de cisalhamento puro. 
• Se soma das tensão normais em quaisquer dos planos mutuamente perpendiculares é 
constante: σx+σy=σ1+σ2=σx’+σy’= constante. 
• Os plano de tensão máxima ou mínima formam ângulos de 45º com os planos das 
tensões principais. 
 
 
32 
2.4.3 - CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES 
 
 
Figura 12 - Elemento submetido a tensões σx = - 20 MPa (20 x 106 N/m2) , σy = 90 MPa , σxy = 60 Mpa 
 
Procedimento 
1- Determinar o centro do circulo (a,b): 
Mpaa yx 35
2
9020
2
=
+−
=
+
=
σσ
, 
0=b
 
2- Determinar o Raio 
2
2
2 xy
yxR τ
σσ
+




 +
= →
 
MpaR 4,8160
2
9020 2
2
=+




 −−
=
 
3- Localizar o ponto A(-20,60) 
 
Figura 13 – Círculo de Mohr 
 
33 
4- Tensões principais: 
Mpa4,1164,81351 =+=σ , Mpa4,464,81352 −=−=σ 
5- Orientações das tensões principais: 
º7,47
3520
602.2 ''1 =





+
= tagarcθ , º85,25''1 =θ 
º18022 ''2
''
1 =+ θθ → º15,66''2 =θ 
 
Figura 14 – Inclinação das tensões atuantes 
 
6- Tensão máxima de cisalhamento: 
MpaR 4,81max ==τ 
7- Orientação da tensão máxima de cisalhamento: 
º9022 ''2
''
1 =+ θθ → º15,212 ''2 =θ 
 
Figura 15 - Posição do elemento submetido a tensões máximas de cisalhamento 
 
 
 
34 
2.4.4 - TENSÕES PRINCIPAIS PARA O ESTADO GERAL DE TENSÕES 
 
Considere um estado de tensão tridimensional e um elemento infinitesimal tetraédrico. 
Sobre o planoobliquo ABC surge a tensão principal σn, paralela ao vetor normal unitário. 
 
Figura 16 - Elemento infinitesimal tetraédrico submetido a estado tridimensional de tensões 
 O vetor é identificado pelos seus cosenos diretores 1, m e n, onde cos α = 1, cos β = m, 
cos γ = n. Da figura nota-se que: 12+m2+n2 = 1. 
 
 
Figura 17 – Vetor unitário 
O plano oblíquo tem área dA e as projeções desta área nas direções x, y e z são: dA.L, 
dA.m e dA.n. Impondo o equilíbrio estático nas direções x, y e z, temos: 
∑ = 0xF , ( ) 0..1.1. =−−− ndAmdAdAdA xzxyxn ττσσ 
∑ = 0yF , ( ) 01.... =−−− dAndAmdAmdA xzxyxn ττσσ 
∑ = 0zF , ( ) 0..2 =−− mdAndAndA yzn τσσ 
Simplificando e reagrupando em forma matricial, temos: 
 
35 
 
Como visto anteriormente, 12+m2+n2 = 1, os cosenos diretores são diferentes de zero. 
Logo, o sistema terá uma solução não trivial quando o determinante da matriz de coeficientes 
de 1,m e n for nulo 
 
 A expansão do determinante fornece um polinômio característico do tipo: 
023 =−+− σσσ σσσ IIIIII nnn 
onde: zyxI σσσσ ++= 
( )222)( xzyzxyxzzyyxII τττσσσσσσσ ++−++= 
( )222.2 xyzxzyyzxxzyzxyzyxIII τστστστττσσσσ ++−+= 
 As equações acima são invariantes, independentemente do plano oblíquo que é tomado 
no tetraedro. Logo, as raízes do polinômio característico já as tensões principais. 
 
2.4.5 - CÍRCULO DE MOHR PARA O ESTADO GERAL DE TENSÕES 
Qualquer estado de tensão tridimensional pode ser transformado em três tensões 
principais que atuam em três direções ortogonais. 
 
Figura 18 - Elemento submetido a estado tridimensional de tensões 
 
36 
Admitindo que σ1>σ2>σ3>0.
 
 
Figura 19 - Círculo de Mohr para o estado tridimensional de tensões 
 
 
2.5 – ANÁLISE DE DEFORMAÇÃO 
Um corpo sólido se deforma quando sujeito a mudanças de temperatura ou a uma carga 
externa, como mostrado abaixo. 
 
 
Figura 20 - Corpo submetido à tração pura 
Se L0 é o comprimento inicial e L é o comprimento final do corpo sob tração, o 
alongamento é ∆L = L – L0 e o alongamento por unidade de comprimento, chamado 
deformação linear, é definido como: 
00 0 L
L
L
dLL ∆
== ∫ε 
 Se o corpo se deforma em três direções ortogonais x,y,z e z e u, v, e w forem as três 
componentes do deslocamento nestas direções, as deformações lineares são respectivamente: 
 
37 
 
 Além da deformação linear, um corpo pode sofrer uma deformação angular, como 
mostrado abaixo. 
 
Figura 21 - Análise de deformação angular em elemento infinitesimal 
 
Assim, para pequenas mudanças de ângulo, a deformação angular associada as 
coordenadas x e y é definida por: 
 
 Se o corpo se deforma em mais planos ortogonais xz e yz, as deformações angulares 
nestes planos são: 
 
 
 
2.6 - LEIS DE TENSÃO - DEFORMAÇÃO LINEAR E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 
2.6.1 - COEFICIENTE DE POISSON PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS 
 
Seja o corpo abaixo submetido a uma força axial. 
 
38 
 
Figura 22 - Peça submetida a carregamento axial 
Deformação axial 
 
 Deformação lateral 
 
 A relação entre o valor da deformação lateral e a deformação axial é conhecida como 
coeficiente de Poisson: 
 
 
2.6.2 - LEI DE HOOKE PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS (ESTADO TRIAXIAL DE 
TENSÕES) 
Seja um corpo sujeito a um estado triaxial de tensões σx, σy e σz. 
 
Figura 23 - Corpo sujeito a um estado triaxial de tensões 
O estado triaxial de tensões pode ser considerado como a superposição de três estados 
de tensão uniaxial analisados separadamente: 
 
39 
1 – Deformações devido a σx: 
 
2 – Deformações devido a σy: 
 
3 – Deformações devido a σz: 
 
Superpondo todas as deformações, temos: 
 
Da Lei de Hooke, σ = E ε é o modulo de elasticidade do material, as deformações devido 
à σx, σy e σz são: 
 
 Para o caso do corpo ser submetido a esforços de cisalhamento as relações deformação 
- tensão são: 
 
 O módulo de cisalhamento G está relacionado a E e ν por: 
 
 
2.7 - EXTENSOMETRIA 
A extensometria é uma técnica utilizada para a análise experimental de tensões e 
deformações em estruturas mecânicas e de alvenaria. Estas estruturas apresentam 
deformações sob carregamento ou sob efeito da temperatura. É importante conhecer a 
extensão destas deformações e muitas vezes precisam ser monitoradas constantemente, o que 
pode ser feito de diversas formas. Algumas são o relógio comparador, o detector eletrônico de 
 
40 
deslocamento, por camada frágil, por foto-elasticidade e por strain-gauge. Dentre todas, o 
strain-gauge, do inglês medidor de deformação, é um dos mais versáteis métodos. 
Os extensômetros elétricos são largamente utilizados para medir deformações em 
estruturas como pontes, máquinas, locomotivas, navios e ainda associados a transdutores para 
medir pressão, tensão, força e aceleração. São ainda associados a outros instrumentos de 
medidas para uso desde análise experimental de tensão até investigação e práticas médicas e 
cirúrgicas. 
 
 
2.7.1 - EXTENSÔMETRO ELÉTRICO (STRAIN-GAUGE) 
Em 1856 William Thomson, ou conhecido como Lord Kelvin, apresentou à Royal 
Philosophical Society de Londres os resultados de um experimento envolvendo a resistência 
elétrica do cobre e ferro quando submetidos a estresse. As observações de Kelvin foram 
consistentes com a relação entre resistência elétrica e algumas propriedades físicas de um 
condutor, segundo a equação 
A
LR ρ= 
onde R é a resistência elétrica, ρ é a constante de condutividade, L é o comprimento do 
condutor e A é a área da seção transversal deste. A resistência é diretamente proporcional ao 
comprimento e inversamente proporcional à área da seção transversal. 
Quando uma barra metálica é esticada, ela sofre um alongamento em seu comprimento 
e também uma diminuição do seu volume, resultado da diminuição da área da seção 
transversal desta barra. A resistência elétrica da metálica aumenta quando esta barra é 
esticada, também resultado da diminuição da área da seção transversal e do aumento do 
comprimento da barra. Da mesma maneira, quando a barra é comprimida, a resistência diminui 
devido ao aumento da área transversal e diminuição do comprimento. 
A relação entre comprimento e dimensão da seção transversal pode ser expressa 
através do coeficiente de Poisson: 
a
L
L
dL
D
dD
ε
ε
ν =
−
= 
 
41 
 
Figura 24 - Extensômetro de fio 
onde ν(ni) é o coeficiente de Poisson, D é a dimensão da seção transversal, L é o 
comprimento, εL (epslon) é a deformação lateral e εa é a deformação axial. Esta relação 
demonstra basicamente que, quando o comprimento diminui para um material (compressão), a 
seção transversal aumenta, e vice-versa para um aumento no comprimento (tensão) do 
material.
 
Experimentos realizados pelo norte-americano P. W. Bridgman em 1923 mostraram 
algumas aplicações práticas da descoberta de Kelvin para realização de medidas, mas foi a 
partir de 1930 que estas tomaram impulso. É creditado a Roy Carlson uma das primeiras 
utilizações de um fio resistivo para medições de tensões em 1931. Entre 1937 e 1939, Edward 
Simmons (Califórnia Institute of Technology, - Pasadena, CA, USA) e Arthur Ruge 
(Massachusetts Institute of Technology - Cambridge, MA, USA) trabalhando 
independentemente um do outro, utilizaram pela primeira vez fios metálicos colados à superfície 
de um corpo de prova para medida de deformações. Esta experiência deu origem aos 
extensômetros que são utilizados atualmente. A Figura 2.21 mostra um a construção geral de 
um extensômetro à base de fio colado. 
A partir de 1950, o processo de fabricação de extensômetros adotou o método de 
manufaturar finas folhas ou lâminas contendo um labirinto ou grade metálica, colado a um 
suporte flexível feito geralmente de epóxi. As técnicas de fabricaçãode circuitos impressos são 
usadas na confecção dessas lâminas, que podem ter configurações bastante variadas e 
intrincadas, como mostra a Figura 25. 
 
 
Figura 25 Tipos de extensômetros elétricos. 
 
42 
Os extensômetros elétricos têm as seguintes características gerais, que denotam sua 
importância e alto uso: 
• alta precisão de medida; 
• baixo custo; 
• excelente linearidade; 
• excelente resposta dinâmica; 
• fácil instalação; 
• pode ser imerso em água ou em atmosfera de gases corrosivos (com tratamento 
adequado); 
• possibilita realizar medidas à distância. 
A base do extensômetro pode ser de: poliamida, epóxi, fibra de vidro reforçada com resina 
fenólica, baquelita, poliéster, papel e outros. O elemento resistivo pode ser confeccionado de 
ligas metálicas tais como Constantan, Advance, Nicromo V, Karma, Níquel, Isoelatic e outros. O 
extensômetro pode ser confeccionado também com elemento semicondutor, que consiste 
basicamente de um pequeno e finíssimo filamento de cristal de silício que é geralmente 
montado em suporte de epóxi ou fenólico. 
As características principais dos extensômetros elétricos de semicondutores são sua grande 
capacidade de variação de resistência em função da deformação e seu alto valor do fator do 
extensômetro, que é de aproximadamente 150, podendo ser positivo ou negativo. Para os 
extensômetros metálicos a maior variação de resistência é devida às variações dimensionais, 
enquanto que nos de semicondutor a variação é mais atribuída ao efeito piezo-resistivo. 
Para um extensômetro ideal, o fator de extensômetro deveria ser uma constante, e de maneira 
geral os extensômetros metálicos possuem o fator de extensômetro que podem ser 
considerados como tal. Nos extensômetros semicondutores, entretanto, o fator do extensômetro 
varia com a deformação, numa relação não linear. Isto dificulta quando da interpretação das 
leituras desses dispositivos. Entretanto é possível se obter circuitos eletrônicos que linearizem 
esses efeitos. Atualmente, os extensômetros semicondutores são bastante aplicados quando se 
deseja uma saída em nível mais alto, como em células de cargas, acelerômetros e outros 
transdutores. 
 
2.7.2 - PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO E USO 
Na sua forma mais completa, o extensômetro elétrico é um resistor composto de uma 
finíssima camada de material condutor, depositado então sobre um composto isolante. Este é 
então colado sobre a estrutura em teste com auxílio de adesivos como epóxi ou cianoacrilatos. 
 
43 
Pequenas variações de dimensões da estrutura são então transmitidas mecanicamente ao 
extensômetro, que transforma essas variações em variações equivalentes de sua resistência 
elétrica (por esta razão, os extensômetros são definidos como transdutores). Os extensômetros 
são usados para medir variações de carga, pressão, torque, deslocamento, tensão, 
compressão, aceleração, vibração. A seleção do extensômetro apropriado para determinada 
aplicação é influenciada pelas características seguintes: material da grade metálica e sua 
construção, material do suporte isolante, material do adesivo, tratamento e proteção do medidor 
e configuração. O design dos extensômetros incorpora várias funcionalidades como alto fator de 
medição, alta resistividade, insensibilidade à temperatura, alta estabilidade elétrica, alta 
resistência mecânica, facilidade de manipulação, baixa histerese, baixa troca termal com outros 
materiais e durabilidade. A sensibilidade à temperatura é um ponto fundamental no uso de 
extensômetros, e freqüentemente o circuito de medição contém um compensador de 
temperatura. Da mesma forma, o tipo de adesivo usado para fixar o extensômetro à estrutura a 
ser monitorada é de suma importância. O adesivo deve transmitir as variações mecânicas com 
o mínimo de interferência possível, por isso deve ter alta resistência mecânica, alta resistência 
ao cisalhamento, resistência dielétrica e capacidade de adesão, baixas restrições de 
temperatura e facilidade de aplicação.A relação básica entre deformação e a variação na 
resistência do extensômetro elétrico pode ser expressa como: 












=
R
dR
F
1
ε 
onde ε é a deformação, F é o fator do medidor e R é a resistência do medidor. Para um 
medidor típico, F é 2.0 e R é 120 ohm. 
 
 
2.7.3 - TIPOS DE EXTENSÔMETROS ELÉTRICOS (STRAIN-GAUGES) 
Extensômetro axial único. Utilizado quando se conhece a direção da deformação, que é 
em um único sentido. 
 
Figura 26 - Extensômetro axial único. 
 
 
 
 
44 
EXTENSÔMETRO AXIAL MÚLTIPLO 
Roseta de 2 direções. São dois extensômetros sobre uma mesma base, sensíveis a 
duas direções. Utilizada para medir deformações principais quando se conhecem as direções. 
 
Figura 27 - Roseta de 2 direções 
Roseta de 3 direções. São três extensômetros sobre uma mesma base, sensíveis a três 
direções. Utilizada quando as direções principais de deformações não são conhecidas. 
 
 
Figura 28 - Roseta de 3 direções 
A Figura 29(a) apresenta um extensômetro tipo diafragma, que são quatro 
extensômetros sobre uma mesma base, sensíveis a deformações em duas posições 
diferentes. Usado para transdutores de pressão. A Figura 29(b) apresenta um 
extensômetro para medida de tensão residual, que são três extensômetros sobre 
uma base devidamente posicionados para utilização em método de medida de 
tensão residual. Finalmente, a Figura 29(c) mostra um extensômetro para 
transdutores de carga (strain-gauge load cell), que são dois extensômetros dispostos 
lado a lado, sobre a mesma base, para utilização em células de cargas (para 
medição de tensão e compressão). 
 
45 
 
 
 
(a) (b) (c) 
Figura 29 - Extensômetros tipo (a) diafragma, (b) para medida de tensão residual e (c) célula de carga 
A extensometria, como técnica de medição de deformações ocorridas em materiais, é 
essencial para monitoramento dinâmico de estruturas sujeitas a carregamentos e tem no 
extensômetro elétrico ou strain-gauge seu instrumento principal. 
Os strain-gauges têm aplicações tão variadas quanto monitoramento de deformações 
em pontes, vigas, medição de vibração em máquinas, medição de pressão, de força, em 
acelerômetros e torquímetros. Devido às vantagens e importância dos extensômetros elétricos, 
estes aparelhos são indispensáveis a qualquer equipe que se dedique ao estudo experimental 
de medições. 
 
 
2.8 - RELAÇÕES TENSÃO - DEFORMAÇÃO 
Para o estado plano de tensões, as condições permitem o uso da aproximação segundo 
a qual não ocorre variação das tensões na direção z, podendo-se desconsiderar as tensões σzz 
, σxz e σyz em presença das outras tensões. Então: 
( )( )yyxxxx
E
υεε
υ
σ +
−
= 21
 
( )( )yyxxyy
E
ευε
υ
σ +
−
= 21
 0=== yzxzzz σσσ 
xyxy Gεσ 2= 
 
εxx 
 εxx = εyy 
 εxy 
 
2.9 - O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 
2.9.1 - INTRODUÇÃO 
A mecânica dos meios contínuos e mais especificamente a teoria da elasticidade, tem 
como fundamento básico o desenvolvimento de modelos matemáticos que possam representar 
adequadamente a situação física real em estudo. Na análise estrutural o objetivo pode ser a 
 
46 
determinação do campo de deslocamentos , as deformações internas ou as tensões atuantes 
no sistema devido a aplicação de cargas. Muitos estudiosos do assunto tais como Navier, 
Cauchy, Poisson, Green etc , destacaram-se no desenvolvimento de modelos matemáticos que 
auxiliaram na determinação de variáveis envolvidas num determinado estudo. 
Porém em certos casos práticos certas aplicações de modelos matemáticos apresentam 
dificuldades as vezes intransponíveis . Como exemplo sabe-se que na análise estrutural a 
perfeita representação matemática dos carregamentos, geometria, condições de contorno etc 
em muitas situações apresenta-sede forma complexa, havendo assim a necessidade de se 
introduzir hipóteses mais aproximadas no problema físico real possibilitando assim formas de 
modelagem matemática que conduzem a soluções mais simples.Por outro lado a engenharia 
tem demonstrado interesse cada dia maior em estudos mais precisos que se aproximam o 
máximo possível do modelo real . Dentre estes métodos escolhidos surgiu o método dos 
elementos finitos que é baseado na discretização do meio contínuo (estrutura sólida, o fluido, os 
gases etc).O método dos elementos finitos é seguramente um dos métodos mais difundidos na 
discretização dos meios contínuos . A sua utilização se deve também ao fato de poder ser 
aplicado em problemas clássicos da mecânica estrutural elástico-linear tais como mecânica dos 
sólidos , mecânica dos fluidos, transmissão de calor , acústica etc. 
 
 
2.9.2 – SÍNTESE HISTÓRICA 
Devido a complexidade comportamental dos sistemas estruturais utiliza-se modelos 
mais simplificados que consistem em separar os sistemas em componentes básicos ou seja, 
aplica-se o processo de análise do método científico de abordagem do problema. 
Com esta operação, tem-se a oportunidade de se estudar o comportamento dos 
elementos de forma mais simples sintetizando as soluções parciais para se obter uma solução 
aproximada porém segura. A discretização de sistemas contínuos tem objetivos análogos aos 
acima descritos, particionando-se o domínio, o sistema em componentes cujas soluções são 
mais simples e posteriormente utiliza-se soluções parciais para resolver os problemas. Em 
alguns casos essa subdivisão prossegue indefinidamente e o problema só terá solução 
utilizando definições matemáticas de infinitésimos isto é, conduzindo-se a equações 
diferenciais , ou expressões equivalentes com um número infinito de elementos. Com a 
evolução dos computadores digitais os problemas discretos podem ser resolvidos sem 
dificuldade mesmo que o modelo apresente um grande número de elementos dependendo 
apenas da capacidade do computador . 
 
47 
 A discretização de problemas contínuos tem sido abordada ao longo dos anos, de forma 
diferente por matemáticos e engenheiros. Os matemáticos tem desenvolvido técnicas gerais 
aplicáveis diretamente a equações diferenciais que regem o problema tais como: aproximações 
por diferenças finitas , métodos de resíduos ponderados, técnicas aproximadas para determinar 
pontos estacionários de funcionais etc. Os engenheiros procuram abordar os problemas de 
forma mais intuitiva estabelecendo analogias entre os elementos discretos reais e porções 
finitas de um domínio do contínuo. 
O conceito de análise de estruturas teve início na escola francesa (1850 a 1875) com 
Navier , St. Venan e com os trabalhos de Maxwell, Castigliano , Mohr e outros. 
No período compreendido entre 1875 e 1920 as teorias e técnicas analíticas para o 
estudo das estruturas forma particularmente lentos devido certamente as limitações práticas 
nas soluções de equações algébricas . Neste período as estruturas de interesse eram 
basicamente treliças e pórticos que utilizavam um processo de análise mais aproximado 
baseado na distribuição de tensões com forças incógnitas o que era universalmente 
empregado. Após 1920 em função dos trabalhos de Maney e Ostenfield passou-se a utilizar a 
idéia básica de análise aproximada de treliças e pórticos baseada no método dos 
deslocamentos . Estas idéias portanto foram as precursoras do conceito de análise matricial de 
estruturas em uso hoje em dia. Várias limitações no tamanho dos problemas a solucionar que 
poderiam ter forças ou deslocamentos com incógnitas continuaram a prevalecer até 1932 
quando Hardy Cross introduziu o Método da distribuição de momentos. Este método facilitou a 
solução de problemas de análise estrutural possibilitando-se assim trabalhar com problemas 
mais complexos . 
Após 1940 McHenry , Hrenikof e Newmark demonstraram no campo da mecânica dos 
sólidos que podiam ser obtidas soluções razoavelmente boas de um problema de contínuo 
através da distribuição de barras elásticas simples. Mais tarde Argyris, Turner, Clough , Martin e 
Topp demonstraram que era possível substituir as propriedades do contínuo de um modo mais 
direto e não menos intuitivo , supondo que as porções ou seja os elementos se comportavam 
de forma simplificada. 
Os computadores digitais apareceram por volta de 1950 mas a sua real aplicação a 
teoria e a prática não se deu aparentemente de forma imediata. Entretanto alguns estudiosos 
previram o seu impacto e estabeleceram codificações para a análise estrutural de forma 
adequada ou seja na forma matricial. Duas contribuições notáveis podem ser consideradas 
como um marco no estudo do método dos elementos finitos. Seus autores são Argyris e Kelsey 
e Turner, Clough, Martin e Topp. 
 
48 
Tais publicações uniram os conceitos de análise estrutural e análise do contínuo e lançaram os 
procedimentos resultantes na forma matricial; elas apresentaram uma influencia preponderante 
no desenvolvimento do MEF nos anos subseqüentes. Assim as equações da rigidez passaram 
a ser escritas em notação matricial e resolvidas em computadores digitais. A publicação 
clássica de Turner et all de 1956 influencia decisivamente no desenvolvimento do método dos 
elementos finitos. 
Em 1941 o matemático Courant sugeria a interpolação polinomial sobre uma subregião 
triangular como uma forma de se obter soluções numéricas aproximadas. Ele considerou esta 
aproximação como uma solução de Rayleigh-Ritz de um problema variacional. Este é portanto o 
método dos elementos finitos na forma com se conhece hoje em dia. 
O trabalho de Courant foi no entanto esquecido até que os engenheiros 
independentemente o desenvolveram. O nome elementos finitos que identifica o uso preciso da 
metodologia geral aplicável a sistemas discretos , foi dado em 1960 por Clough. Em 1963 o 
método foi reconhecido como rigorosamente correto e tornou-se uma respeitável área de 
estudos. Hoje muitos pesquisadores continuam a se ocupar com o desenvolvimento de novos 
elementos e de melhores formulações e algorítmos para fenômenos especiais e na elaboração 
de novos programas que facilitem o trabalho dos usuários. 
 
 
2.9.3 - O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 
 O método dos elementos finitos é um procedimento numérico para resolver problemas 
de mecânica do contínuo com precisão aceitável na engenharia.Suponha-se que os 
deslocamentos e/ou tensões da estrutura mostrada na figura 30a devam ser determinados Os 
métodos clássicos descrevem o problema com equações diferenciais parciais, más não 
fornecem respostas prontas por não serem o carregamento e a geometria comuns. Na prática 
muitos problemas se tornam complicados para terem uma solução matemática fechada 
(algoritmo próprio para a solução). Neste caso portanto como o da figura 30a uma solução 
numérica é necessária e um dos métodos mais aplicáveis é o método dos elementos finitos. 
 
 
49 
 
Figura 30a – Estrutura plana real Figura 30b – malha de EF 
 Na figura 30b é mostrada uma possível malha de elementos finitos que representa a 
viga da figura 30a, onde as regiões triangulares representam os elementos finitos e os 
pequenos círculos representam os nós que conectam os elementos uns aos outros. Pode-se 
dizer que os elementos finitos representam pedaços da estrutura real porém não se pode 
converter a figura 30a na figura 30b fazendo cortes na estrutura em regiões e unindo estas 
partes através dos nós pois isto resultaria numa estrutura fragilizada. Adicionalmente 
procedendo desta forma haveria certamente uma concentração de tensões nos nós e uma 
tendência a haver uma separação dos elementos nas regiões limítrofes. Na realidade uma 
estrutura real não atua desta forma. Assim os elementos finitos devem se deformar de maneira 
compatível. Por exemplo se uma arestade um elemento permanece reta, as arestas dos 
elementos adjacentes deverão ter deformações compatíveis, sem que haja sobreposição ou 
separação. 
A versatilidade é uma notável característica do método dos elementos finitos que pode 
ser aplicado a problemas de natureza diversa. A região sob análise pode ter forma arbitrária e 
cargas e condições de contorno quaisquer. A malha pode ser constituída de elementos de 
diferentes tipos, formas e propriedades físicas. Esta grande versatilidade pode muitas vezes ser 
colocada em um programa computacional simples, desde que se controle a seleção do tipo de 
problema a abordar, especificando a geometria, condições de contorno, seleção de elementos 
etc. Outra característica muito positiva do método é a semelhança entre o modelo físico e o 
modelo real fazendo com que a abstração matemática seja fácil de se visualizar. Apesar de 
suas vantagens, o método dos elementos finitos apresenta também algumas desvantagens por 
exemplo: um resultado numérico específico sempre é obtido para um conjunto de dados que 
tentam representar um sistema, e nem sempre existe uma fórmula fechada que permita a 
verificação destes resultados. Um programa e um computador confiáveis são essenciais; 
 
50 
experiência e um bom senso na análise são necessários para se construir uma boa malha. Os 
dados de saída de uma análise feita devem ser cuidadosamente interpretados. 
2.9.4 - EQUAÇÕES BÁSICAS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 
O método dos elementos finitos comumente usado é baseado no método de Rayleigh-
Ritz e prevê a divisão do domínio de integração, contínuo em um número finito de pequenas 
regiões conforme visto no item anterior (figuras 30a e 30b). A esta divisão do domínio dá-se o 
nome de rede de elementos finitos. A malha desse reticulado pode ser aumentada ou diminuída 
variando o tamanho dos elementos finitos. Ao invés de buscar uma função admissível que 
satisfaça as condições de contorno para todo o domínio, no método dos elementos finitos as 
funções admissíveis são definidas no domínio de cada elemento finito. Para cada elemento 
finito i, é montado um funcional i∏ , que somado aos dos demais elementos finitos , formam 
um funcional ∏ para todo o domínio. 
∑
=
∏=∏
n
i
i
1
 
Para cada elemento i, a função aproximada é formada por variáveis referidas aos nós do 
elemento (parâmetros nodais) e por funções denominadas de funções de forma. Assim a função 
aproximada υ tem a forma: 
∑
=
=
m
j jjav 1 φ
 
onde ja são os parâmetros nodais e jφ as funções de forma. 
O funcional ∏ fica sendo expresso por: 
∑
=
∏≅∏ n
i jij aa 1 )()(
 
 A condição de estacionariedade gera como no método de Rayleigh-Ritz, um sistema de 
equações algébricas lineares tal que como: 
( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑
= = =
=
∂
∏∂
=∏=∏ n
i
n
i
m
j
j
ji
jij
a
a
aa
1 1 1
0δδ
 
A solução do sistema de equações acima dá os valores dos parâmetros nodais ja
 
que 
podem ser deslocamentos, forças internas, ou ambos, dependendo da formulação do método 
dos elementos finitos que se utiliza.
 
 Se o campo de deslocamentos é descrito por funções 
aproximadoras e o princípio da mínima energia potencial é empregado, as incógnitas são as 
componentes dos deslocamentos nodais e o método dos elementos finitos é denominado de 
método dos elementos finitos, modelo das forças de deslocamentos ou método dos elementos 
 
51 
finitos, modelo dos deslocamentos ou método dos elementos finitos, modelo de rigidez. Se o 
campo das tensões ou esforços internos é representado por funções aproximadoras, as 
incógnitas serão as tensões ou esforços internos nodais e o método dos elementos finitos é 
denominado de método dos elementos finitos, modelo das forças ou método dos elementos 
finitos, modelo de flexibilidade, sendo utilizado o princípio da mínima energia complementar. 
Nos métodos mistos, as funções aproximadoras são expressas em termos de deslocamento e 
forças internas ou tensões e são derivadas de princípios variacionais generalizados, como o 
princípio de Reissner. 
 
 
2.10 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1. Dado o seguinte tensor da tensão associado ao sistema de referência x, y,z. 
 
Figura 31 – Exercício resolvido 1 
Determine:
 
 
a) i) As componentes normal (σ) e tangencial (τ) da tensão, numa faceta igualmente 
inclinada relativamente a x, y, z. 
ii) As direções das componentes referidas na alínea i). 
b) Resolva a alínea anterior para uma faceta paralela a z e igualmente inclinada 
relativamente a x e y. 
c) As tensões e respectivas direções principais. 
d) As componentes normal e tangencial da tensão na faceta x, partindo do tensor das 
tensões associado ao sistema de eixos principais. Compare os valores obtidos com 
os valores dados inicialmente. 
Solução: 
a) i) MPa2100.2 ×−=σ .1016.2 2 MPa×=τ 
 ii) 535.0' −=⋅−=
τ
σ lTl x ; 802.0' =
⋅−
=
τ
σ mT
m
y ; 
267.0' −=⋅−=
τ
σ nT
n z 
b) MPa50−=σ .150MPa=τ 
 
52 
236.0' −=⋅−=
τ
σ lTl x ; 236.0' =
⋅−
=
τ
σ mT
m
y ; 
943.0' −=⋅−=
τ
σ nT
n z
 
c) [ ] .10
19.300
032.00
0087.4
00
00
00
2
3,2,13,2,13
2
1
3,2,1 MPa×










−
=










=
σ
σ
σ
σ 
),1cos(440.0
),1cos(612.0
),1cos(657.0
1
1
1
zn
ym
xl
==
==
=−=
 ),2cos(423.0
),2cos(787.0
),2cos(449.0
2
2
2
zn
ym
xl
=−=
==
==
 
),3cos(792.0
),3cos(081.0
),3cos(605.0
3
3
3
zn
ym
xl
==
==
==
 
d)
[ ] MPazyx 2,, 10
792.0081.0605.0
423.0787.0449.0
440.0612.0657.0
19.300
032.00
0087.4
792.0423.0440.0
081.0787.0612.0
605.0449.0657.0
×










−
−
×










−
×










−
−
=σ
 
 
 2. a) Represente no plano de Mohr, o estado de tensão abaixo definido. 
 
Figura 32 – Exercício resolvido 2 
b) Determine as tensões e direções principais do estado de tensão definido na alínea 
anterior, resolva analiticamente e pela circunferência de Mohr. 
Resolução: 
a) 
 
53 
 
Figura 33 – Solução do exercício resolvido 2 
b) σ1 = 7.606 Mpa; σ2 = 0.394 Mpa; σ3 = σz =0 MPa ( valor admitido ) 
θ1 = -16.850; θ2 = 73.150; θ3 = θz = 900. 
 
3. A figura representa o estado de tensão num ponto de uma chapa de aço. 
 
Figura 34 – Exercício resolvido 3 
a) Faça a representação gráfica de Mohr, do estado de tensão nesse ponto e determine 
as tensões principais e respectivas direções. 
b) Posteriormente a chapa é submetida a uma compressão adicional uniforme de 
15MPa, segundo uma direção que faz um ângulo de 200 com o eixo dos x, marcado 
no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. 
Determine as tensões principais e respectivas direções , referentes ao estado de 
tensão resultante no ponto considerado. 
 
 
 
 
 
 
54 
Resolução : 
a) 
 
Figura 35 – Solução do exercício resolvido 3 
 
σ1 = 67.5 MPa; σ2 = σz = 0 Mpa; σ3 = -27.75 MPa 
θ1 = -24.230 ; θ2 = θz = 900; θ3 = 65.770 
b) [ ] MPazyx










−−
−
=
000
076.1382.39
082.3976.36
,,
σ
 ; [ ] MPa










−
=
66.3500
000
0066.58
3,2,1σ 
θ1 = -28.810; θ2 = θz = 900; θ3 = 61.190 
 
4. Considere o campo de deslocamentos dado por: 
( )( )
( )( )
( )( )



×+⋅=
×+⋅=
×+⋅=
−−
−
42
42
42
1025.0
1025.0
1025.0
yxzw
zxyv
zyxu
 
Para o ponto A (1,2,1), determine: 
a) O tensor das deformações referido ao referencial x, y, z. 
b) A deformação no ponto A segundo uma direção igualmente inclinada relativamente 
aos três eixos. 
c) Determine o plano onde se dá a distorção. 
d) As extensões principais. 
e) Determine o tensor das tensões, sabendo que E = 210 GPa e ν = 0.3. 
 
 
 
55 
Resolução: 
a) [ ] 4
,,
10
25.275.150.1
75.100.175.1
50.175.125.2
−×










=zyxε 
b) 410167.5 −×=ε radt 4' 10466.02
−×==
γδ 
c) 412.0
2
'
'
=
⋅−
= γ
εδ ll x ; 827.0
2
'
'
−=
⋅−
= γ
εδ m
m
y ; 412.0
2
'
'
=
⋅−
= γ
εδ n
n z 
d) [ ] 43,2,1 10
456.000
0750.00
00206.5
−×










−
=ε 
e) [ ] MPa










=
5.5600
00.750
004.143
3,2,1σ
 
5. Considere o estado de tensão definido no exercício 1 e um material isotrópico com 
constantes elásticas: E = 210 GPa e ν = 0.3. 
Determine o estado de deformação correspondente a este estado de tensão, tomando 
como eixos coordenados: 
Eixos x, y, z 
Eixos principais 1, 2 , 3. 
 
Resolução: 
a) [ ] 3
,,
10
905.062.085.1
62.0952.024.1
85.124.1333.0
−×










−−
−
−−
=zyxε 
b) [ ] 3
3,2,1
3,2,1 10
26.200
009.00
0073.2
−×










−
−=ε
 
 
6. Grava-se sobre uma chapa de aço uma circunferência de 600 mm de diâmetro. 
Submete-se depois esta chapa a tensões tais que :
 
 
56 
MPax 140=σ ; MPay 20=σ ; MPaxy 80−=τ 
 
Figura 36 – Exercício resolvido 6 
Depois da solicitação a circunferência transforma-se numa elipse. Calcular os 
comprimentos do eixo maior e do eixo menor dessa elipse e marcar as respectivas 
direções na figura. 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
Figura 37 – Solução do exercício resolvido 6 
θ1 = -26.570 θ2 = θz = 900 θ3 = 63.430. 
 
 
57 
7. Num ponto situado à superfície de uma placa de aço instalou-se uma roseta de 
extensômetros como se indica na figura. Depois de aplicada ao corpo uma determinada 
solicitação, colocando o ponto em estado plano de tensão, fizeram-se as seguintes 
leituras: 
a
b
c
X
Y
εa
εb
εc
300
 
Figura 38 – Exercício resolvido 7 
3101 −×== ya εε 3.0=ν 
3105.2 −×−=bε MPa510211.1 ×=λ 
xc εε =×−=
−3102 MPaE 5101.2 ×= 
MPaG 51081.0 ×= 
Nesta situação determinar as extensões e tensões principais e respectivas direções. 
Resolução: 
[ ] 33.2.1 10
58.200
0428.00
0058.1
−×










−
=ε
 
θ1 = -68.050; θ2 = θz = 900; θ3 = 21.950 
[ ] MPa










−
=
25.48700
001018.00
0066.186
3,2,1σ 
 
8. Na vizinhança de um ponto, mediram-se as extensões segundo as arestas de um 
tetraedro, resultantes de uma dada solicitação, e que estão representadas na figura.
 
 
58 
 
Figura 39 – Exercício resolvido 8 
Os valores obtidos foram os seguintes: 
4101 −×== xa εε ;
4105.0 −×== yb εε ; 4105.0 −×−== zc εε ; 4105.1 −×=dε 
4108.0 −×=eε ; 
4106.0 −×−=fε 
a) Defina o estado de deformação no ponto por intermédio do tensor das extensões. 
b) Determine a extensão e a distorção numa direção igualmente inclinada relativamente 
a três eixos de referência x, y, z. 
c) Determine o plano aonde se dá a distorção. 
d) Determine as extensões principais. 
e) Represente o estado de deformação no plano de Mohr. 
f) Determine o valor da máxima distorção. 
Resolução 
a) [ ] 4
,,
10
5.06.055.0
6.05.075.0
55.075.01
−×










−−
−
−−
=zyxε 
b) 410133.0 −×−=ε radt 4' 10347.02
−×==
γδ 
c) 277.0
2
'
'
−=
⋅−
= γ
εδ ll x ; 803.0
2
'
'
=
⋅−
= γ
εδ m
m
y ; 
528.0
2
'
'
−=
⋅−
= γ
εδ n
n z 
 
59 
d) 434241 10806.010012.010816.1 −−− ×−=×−=×= εεε 
 
e) 
 
Figura 40 – Solução do exercício resolvido 8 
f) rad4max 1062.2 −×=γ 
 
9. Na figura estão indicados os elementos da superfície A e B, ambos paralelos a direção 
principal z, as tensões normal e tangencial no elemento A e a tensão normal no 
elemento B, sabendo que a tensão principal na direção z vale 50 MPa, determine: 
 
Figura 41 – Exercício resolvido 9 
a) A tensão tangencial no elemento B. 
b) As tensões e direções principais. 
c) As extensões principais supondo: E = 210 Gpa ; ν= 0.3 
 
60 
d) Componentes da tensão no elemento de superfície cuja normal, relativamente aos eixos 
principais, tem por cossenos directores: 
3
1
,
3
2
,
3
2
=== nml . 
e) A tensão de comparação pelo critério de Von-Mises. 
Resolução: 
a) MPab 44.10−=τ 
b) MPa501 =σ ; MPa0.122 =σ ; MPa9.443 −=σ 
 zθθ == 01 90 ; 02 23.59=θ ; 03 77.30−=θ 
c) [ ] 4
3,2,1
3,2,1 10
02.300
0498.00
0085.2
−×










−
−=ε 
d) MPa57.22=σ .82.29 MPa=τ 
e) MPaeq 72.82=σ
 
 
10. Num corpo de aço macio sujeito a estado plano de tensão, conhecem-se as tensões 
normais em duas facetas ortogonais, como se indica na figura. Sabe-se também que 
uma das direções principais é a indicada na figura, determine:
 
60 MPa
100 MPa
A
B
X
Y
300
Dir P
Z
 
Figura 42 – Exercício resolvido 10 
a) As tensões principais. 
b) As extensões principais, sabendo que E = 210 GPa, 3.0=ν 
c) tensão de comparação pelo critério de Von-Mises. 
d) Admitindo que se trata de um material frágil com: MPac 100=σ ; MPat 60=σ 
Verifique, pelo critério de Mohr-Coulomb, se o estado de tensão é possível. 
 
61 
Resolução: 
a) [ ] MPa










−
=
14000
000
00180
3,2,1σ 
b) [ ] 3
3,2,1
3,2,1 10
92.000
006.00
0006.1
−×










−
−=ε 
c) MPaeq 85.277=σ 
d) 14.4
100
140
60
180 ≥=−− não verifica 
 100180 ≤ não verifica 
O estado de tensão não é admissível. 
 
 Figura 43 – Solução do exercício resolvido 10 
 
 
2.11 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Determinar, empregando equações e o círculo de Mohr, para cada um dos estados de 
tensão abaixo representados : 
• a orientação dos planos principais; 
• as tensões principais; 
• a máxima tensão de cisalhamento; 
• a orientação dos planos das tensões máxima de cisalhamento; 
• a tensão normal associada a tensão máxima de cisalhamento. 
Resposta : a) 18,52º e 108,52º; 66,10 MPa e -53,10 MPa; 59,60 MPa; -26,42º e 63,57º; -
2,5 MPa; 
 
62 
b) 18,4º e 108,4º; 151,7 MPa e 13,8 MPa; 69 MPa; -26,6º e 63,4º; +82,75 MPa; 
c) -37º e 53º; -27,2 MPa e -172,8 MPa; 72,8 MPa; 8º e 98º; -100 MPa; 
d) -31º e 59º; 130,0 MPa e -210,0 MPa; 170 MPa; 14º e 104º; -40MPa. 
 
Figura 44 – Exercício proposto 1 
 
2. O prisma abaixo está submetido a um Estado Plano de Deformações. Encontrar as 
tensões e direções principais, a tensão de cisalhamento máxima no plano xy e sua 
direção e a maior tensão de cisalhamento no entorno de P. Representar estas 
grandezas (tensões e direções) através dos círculos de Mohr correspondentes aos 
planos formados por cada dois eixos principais.. Encontrar as deformações específicas e 
deformações totais nas direções x, y e z. Encontrar as deformações específica máxima 
e mínima. E=210.000MPa. (= 0,3. 
 
Figura 45 – Exercício proposto 2 
 
63 
CAPITULO 03 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DOS MATERIAIS -
CARREGAMENTO ESTÁTICO 
 
3.1 - INTRODUÇÃO 
No projeto de um elemento de máquina, o ideal é se ter à disposição os resultados de 
vários testes de resistência do material escolhido. Estes testes deverão ser feitos em amostras 
que possuam o mesmo tratamento térmico, o mesmo acabamento superficial e as mesmas 
dimensões do elemento que o engenheiro se propõe a construir; os testes dêem ser realizados 
sob a mesma condição em que a peça estará trabalhando. Os testes deverão proporcionar 
informações úteis e precisas, que dizem ao engenheiro qual o fator de segurança que deverá 
ser usado e qual é a confiabilidade para uma determinada vida em serviço. O custo de reunir 
numerosos dados antes do projeto é ainda mais justificado, quando há possibilidade da falha da 
peça colocando em perigo vidas humanas ou quando se deve fabricar a peça em grande 
quantidade . O custo dos atestes é muito baixo, quando dividido pelo número total de peças 
fabricadas. Deve-se no entanto analisar as possibilidades: 1) a peça deva ser fabricada em 
quantidades tão pequenas que, de forma alguma, justificariam os testes, ou o projeto deva ser 
completado tão rapidamente, que não haveria tempo suficiente para a realização destes testes; 
2) A peça já tenha sido projetada, fabricada e testada com a conclusão de ser falha ou 
insatisfatória. Necessita-se de uma averiguação e análise mais aprofundada para compreender 
a razão da falha da peça e sua não qualificação a fim de projetá-la mais adequadamente e 
portanto melhorá-la. Normalmente o profissional terá somente os valores de limites de 
escoamento, limites de ruptura e alongamento percentual do material, como as que são 
apresentadas no apêndice deste livro. Com estas poucas informações, espera-se que o 
projetista de máquinas apresente uma solução adequada. Os dados normalmente disponíveis 
para o projeto foram obtidos através de testes de tração, onde a carga é aplicada gradualmente 
e há um tempo para o aparecimento de deformações. Estes dados poderão ser usados para o 
projeto de peças com cargas dinâmicas aplicadas das mais diversas maneiras a milhares de 
rotações por minuto. O problema fundamental aqui seria usar portanto os dados dos testes de 
tração e relacioná-los com a resistência das peças, qualquer que seja o estado de tensão ou 
carregamento. 
O ensaio de tração consiste em submeter um corpo de prova a uma tração progressiva, 
sob a ação de uma cara lente e gradualmente crescente, em uma máquina de ensaios que 
permite medir, continuamente, a força de tração P e a correspondente variação de comprimento 
 
64 
previamente assinalado no corpo de prova. O alongamento assim determinado compõe-se de 
deformações "elásticas" e "permanentes". A deformação permanente pode ser medida após o 
descarregamento da barra solicitada. Na curva tensão deformação se distinguem os seguintes 
valores-limite: 
Limite de elasticidade que é a maior tensão que se pode aplicar ao corpo de prova sem que ele 
sofra deformação permanente. Considera-se limite de elasticidade "técnico" a tensão sob a 
qual se verifica uma deformação permanente de 0,03%. 
Limite de proporcionalidade é a máxima tensão sob a qual ainda se verifica 
proporcionalidade entre a tensão e a deformação, isto é, sob a qual ainda é constante o módulo 
de elasticidade. 
 
σx ≥ σy → escoamento σx ≥ σu → ruptura 
Figura 1 - Teste de tração em materiais dúcteis e frágeis 
Limite de escoamento é a tensão sob a qual se verifica um "escoamento", isto é, um 
alongamento sem um correspondente aumento da tensão aplicada.( σy também usado neste 
livro como Sy) Durante o escoamento, a tensão pode variar entre o limite superior de 
escoamento e o limite inferior de escoamento. Não sendo possível determinar o limite de 
escoamento, considera-se o mesmo como sendo igual à tensão sob a qual se verifica uma 
deformação permanente de 0,2%. 
Limite de ruptura é a máxima tensão que se pode aplicar ao corpo de prova (σu ou 
também usado neste livro como Su ou Srup). 
 
3.2 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS 
 
Podem-se primeiramente definir dois tipos de materiais. Os materiais dúcteis, que são 
capazes de suportar uma deformação plástica relativamente grande antes de sofrerem fratura. 
 
65 
Mede-se a ductilidade pelo alongamento percentual que ocorre no material por ocasião da 
fratura. Já o material é considerado frágil, quando se verifica uma pequena deformação 
plástica. A linha divisória entre a ductilidade e a fragilidade é o alongamento de 5%. Diz-se que 
um material com menos de 5% de alongamento na fratura é frágil, enquanto que um que tenha 
mais de 5 é dúctil. Mede-se a ductilidade pelo alongamento percentual que ocorre no material 
por ocasião da fratura. A ductilidade é também importante, porque é uma medida da 
propriedade que indica a capacidade do material ser trabalhado a frio. Dobramento, 
embutimento ou estampagem são operações de processamento de metais que exigem 
materiais dúcteis. 
 
Figura 2 - Máquina para ensaio de dureza 
Quando se deve selecionar um material para resistir à deformação plástica, a dureza é, 
geralmente a propriedade mais importante. Os quatro tipos de dureza mais usados são Brinell, 
Rockwell, Vickers e Knoop. A maior parte dos sistemas de teste de dureza emprega uma carga 
padrão que é aplicada a um esfera ou pirâmide em contato com o material a ser testado. É 
uma propriedade fácil de se medir, porque o teste não é destrutivo e não há necessidade de 
corpo de prova. Para os aços pode-se usar o número e dureza Brinell para obter-se uma boa 
estimativa da resistência à tração. A relação é 
Sut= 3,45 HB , (onde Sut ou σu ) é expresso em MPa. 
As tabelas do apêndice mostram as propriedades de uma grande variedade de 
materiais. Para o estudante, estas tabelas constituem uma fonte de informações para a 
resolução de problemas e a execução de projetos. 
 
66 
A avaliação de tensões produzidas por cargas externas e peso próprio (F) é uma das 
preocupações fundamentais no dimensionamento de estruturas. A tensão (σ) é avaliada por: 
σ =
F
A
 
onde F representa o carregamento e A a área da secção resistente. 
Os materiais podem ser solicitados por tensões de tração, de compressão ou de 
cisalhamento. Porém, quando submetidos a tensões de tração e compressão surge, 
internamente ao material, tensões de cisalhamento. 
 
Figura 3 - Tensões de tração, compressão e cisalhamento 
As deformações são representadas pelas alterações de forma e dimensões de um corpo 
resultantes das tensões. Conforme o tipo de carregamento aplicado tais deformações podem 
ocorrer instantaneamente ou a longo prazo. Dependendo ainda do tipo de material e da 
magnitude do carregamento as deformações podem ser reversíveis ou permanentes. 
 
Corpo de prova antes do ensaio de tração (a) 
 
Corpo de prova antes do ensaio de tração (b) 
Figura 4 – Comprimento final e inicial do corpo de prova no ensaio de tração 
Deformação específica ε pode ser definida com a relação entre a variação dimensional 
( ∆ ) devido ao carregamento e a dimensão inicial 
∆ = −
o fl l
 
 
67 
ε =
∆
ol
 
onde lo é a dimensão antes da aplicação da carga e lf a dimensão após a aplicação da carga. 
Em função dos mecanismos de tensão e deformação os materiais podem ser 
classificados em elásticos, plásticos, viscosos. Entretanto, na prática, como os materiais 
empregados na engenharia civil não são perfeitos, eles apresentam um comportamento 
intermediário, podendo ser elasto-plásticos, visco-elásticos, visco-elasto-plásticos. Desse modo 
as relações tensão-deformação, que definem o comportamento dos materiais, são 
apresentadas nos itens subseqüentes. 
 
Figura 5 - Corpo de prova submetidoa tração 
DEFORMAÇÃO ELÁSTICA 
Em nível microestrutural, a deformação elástica é resultante de uma pequena elongação 
da célula unitária na direção da tensão de tração ou a uma pequena contração na direção da 
tensão de compressão. Esta deformação não resulta em qualquer alteração das posições 
relativas dos átomos, conseqüentemente ocorre uma alteração no volume do material. 
 
Deformação (εεεε)
Te
n
sã
o
 
( σσ σσ
)
Def. Elástica Def. Plástica
 
Figura 6 - Gráfico tensão x deformação de material levado à ruptura 
 
68 
As deformações elásticas são reversíveis, isto é, o material recupera sua forma inicial 
após a remoção do carregamento. É também instantânea, ou seja, a sua magnitude independe 
do tempo decorrido desde o momento de aplicação da carga. 
 
 
MÓDULO DE ELASTICIDADE 
Quando a deformação medida é uma função linear da tensão e independente do tempo, 
o material possui comportamento elástico perfeito. Este comportamento é representado pela lei 
de Hook. 
ε
σ
=
E
 
onde E é uma constante, denominada módulo de elasticidade, ou módulo de Young. O módulo 
de elasticidade é a inclinação da reta do gráfico tensão x deformação. 
 
 
COEFICIENTE DE POISSON 
Qualquer variação dimensional em uma determinada direção, causada por uma força 
uniaxial, produz uma variação nas dimensões ortogonais à direção da força aplicada. Por 
exemplo, pode-se observar uma pequena contração na direção perpendicular à direção da força 
de compressão. A relação entre a deformação lateral εx e a deformação direta (vertical) εy, com 
sinal negativo, é denominada coeficiente de Poisson (ν). 
 
Figura 7 – Deformação lateral e direta – Coeficiente de Poisson 
ν
ε
ε
= −
x
y
 
 
69 
O coeficiente de Poisson (ν) está normalmente na faixa 0,25 a 0,50. Nas aplicações de 
engenharia, as tensões de cisalhamento também solicitam as estruturas cristalinas . Essas 
produzem um deslocamento de um plano de átomos em relação ao plano adjacente. 
A deformação elástica de cisalhamento γ (Figura 8)definida pela tangente do ângulo de 
cisalhamento : 
γ = tgα 
e o módulo de cisalhamento G é a relação entre a tensão (τ) e a deformação de cisalhamento 
(γ): 
G =
τ
γ 
Este módulo de cisalhamento (G) também chamado de rigidez. O módulo de 
cisalhamento esta relacionado ao módulo de elasticidade e ao coeficiente de Poisson: 
G
E
=
+2 1( )ν 
 
A tensão de cisalhamento produz um deslocamento de um plano atômico em relação ao 
seguinte. Desde que os vizinhos dos átomos sejam mantidos, a deformação será elástica 
(Figura 8 ). 
 
Figura 8 - Deformação elástica por cisalhamento 
Considerando-se a faixa de variação do coeficiente de Poisson, o módulo de 
cisalhamento é entre 33 e 45% do valor do módulo de elasticidade. 
Os módulos de elasticidade (E) à tração e à compressão, o módulo de cisalhamento (G), assim 
como o coeficiente de Poisson (ν), são parâmetros importantes que definem um material, dando 
elementos para a previsão do seu comportamento frente às solicitações externas. 
 
DEFORMAÇÃO PLÁSTICA 
Quando submetidos a um determinado nível de tensão, muitos materiais apresentam uma 
deformação permanente, não reversível e que não produz alteração de volume, denominada 
deformação plástica. Ela é resultante de um deslocamento relativo permanente de planos 
cristalinos e moléculas adjacentes. Trata-se de uma deformação irreversível, porque os átomos 
 
70 
e moléculas deslocados não retornam a sua posição inicial, mesmo depois da remoção do 
carregamento. 
 
 
 
DUCTILIDADE 
É a deformação plástica total até o 
ponto de ruptura, provocada por tensões que 
ultrapassam o limite de elasticidade. Quando 
um material é submetido à tração, a ductilidade 
pode ser medida pela estricção que é a 
redução da área da seção transversal do 
material, imediatamente antes da ruptura. É 
expressa em porcentagem (%) como sendo: 
Es=
Ao - Af
Ao
x 100 
onde Es é a estricção, Ao a área inicial e Af a área final. 
Uma outra medida da ductilidade é o alongamento, que também pode ser medido em 
porcentagem (%), sendo igual a: 
Al
lo lf
lo x100=
−
 
onde Al é o alongamento, lo o comprimento inicial e lf é comprimento final. 
Portanto, quanto mais dúctil um material, maior é a redução de área ou alongamento 
antes da ruptura. 
A tensão de escoamento é a tensão na qual o material começa a sofrer deformação 
plástica. 
 
FLUÊNCIA E RELAXAÇÃO 
Quando os materiais são submetidos a carregamentos constantes por longos períodos 
de tempo, apresentam, além da deformação elástica instantânea uma parcela de deformação 
plástica variável com o tempo e uma parcela de deformação denominada anelástica, ou seja, 
uma deformação reversível não instantânea. Este processo no qual a tensão (σ) aplicada à 
peça é constante e a deformação crescente com o tempo, é denominado fluência (Figura 10). 
Se a peça for submetida a uma deformação constante, a fluência manifesta-se na forma 
de alívio de tensão ao longo do tempo, conhecido por relaxação. 
Deformação (εεεε)
Te
n
sã
o
 
( σσ σσ
)
Def. Elástica Def. Plástica
reversível irreversível
 
Figura 9- Comportamento de material elasto-
plástico durante carga e descarga 
 
71 
Tempo
D
ef
o
rm
aç
ão
 
( εε εε)
Def. elástica instantânea
ou anelástica
Def. por fluência
Tempo
Te
n
sã
o
 
Figura 10 - Exemplos de deformação (direita) por fluência e relaxação da tensão (esquerda) por fluência 
 
 
DUREZA 
É definida pela resistência da superfície do material à penetração efetuada por um 
material de dureza superior. A escala Brinell - BHN (Brinell Hardness Number) contém índices 
de medida de dureza, calculados a partir da área de penetração de uma esfera metálica (de aço 
ou de carbeto de tungstênio) no material. A penetração desta esfera é feita a partir de uma força 
e intervalo de tempo padronizado. A escala Rockwell de dureza pode ser relacionada a BHN, 
mas é a medida da profundidade de penetração (p) da esfera, e não da área da calota esférica 
utilizada para definir dureza BHN. 
 
Figura 11 - Medida de dureza Brinnell 
 
BHN =
2
2 2
N
D D D dpi ( − −
 
Para materiais que possam ser considerados homogêneos e isotrópicos, é possível 
estimar aproximadamente a resistência à tração ou à compressão a partir da dureza. 
 
 
 
 
 
72 
TENACIDADE 
É a medida da energia necessária para 
romper o material, expressa em N×m. No gráfico 
carga x deslocamento pode-se medir a tenacidade 
pelo cálculo da área sob a curva (Figura 12). 
A tenacidade é medida através de um ensaio 
dinâmico onde o corpo-de-prova recebe o impacto 
de uma massa conhecida que cai de uma altura 
conhecida. 
A
 resiliência é a energia dissipada pelo material em 
deformação no regime elástica. 
 
FADIGA 
A fadiga é uma propriedade que os materiais apresentam quando submetidos a esforços 
cíclicos, como ocorre numa ponte ferroviária cujo maior carregamento acontece com a 
passagem do trem. Nesta situação, o material pode romper com um nível de tensão inferior ao 
da ruptura estática, como alguém que fica dobrando um arame quando não pode cortá-lo com 
as mãos. 
 
 (a) Número de Ciclos x Resistência (b) Número de Ciclos x Resistência 
Figura 13 – Gráficos típicos de fadiga apresentando o número de ciclos de carregamento necessários para romper a 
diferentes tensões de (a) aços e concreto armado e (b) polímeros. 
 
A ruptura por fadiga depende do nível de tensão ao que o material é submetido em cada ciclo: 
assim, quando o material é submetido a uma tensão da ordem de 95% da tensão de ruptura 
estática, exigirá um número menor de ciclos do que quando a tensão é de 90%. Em alguns 
materiais estruturais, como o concreto e o aço,existe o chamado limite de fadiga, que é a 
porcentagem da tensão de ruptura estática abaixo da qual o material não rompe por fadiga, isto 
 
Figura 12 - Tenacidade 
 
73 
é, suportaria um número infinito de ciclos. Outros materiais, como os polímeros termoplásticos 
não apresentam limite de fadiga, rompendo sempre com o esforço cíclico, mesmo que isso 
demande um número imenso de ciclos. 
 
3.3 - TEORIAS DE FALHAS COM CARREGAMENTO ESTÁTICO 
Quando se deve selecionar um material para resistir à deformação plástica, a dureza é, 
geralmente a propriedade mais importante. Os quatro tipos de dureza mais usados são Brinell, 
Rockwell, Vickers e Knoop. A maior parte dos sistemas de teste de dureza emprega uma carga 
padrão que é aplicada a um esfera ou pirâmide em contato com o material a ser testado. É 
uma propriedade fácil de se medir, porque o teste não é destrutivo e não há necessidade de 
corpo de prova. Para os aços pode-se usar o número e dureza Brinell para obter-se uma boa 
estimativa da resistência à tração. A relação é 
Sut= 3,45 HB , onde S é expresso em MPa. 
As tabelas do apêndice mostram as propriedades de uma grande variedade de materiais. Para 
o estudante, estas tabelas constituem uma fonte de informações para a resolução de problemas 
e a execução de projetos. Os engenheiros que trabalham com projetos de máquinas e 
desenvolvimento de novos produtos de todo tipo de estrutura são confrontados quase sempre 
com problemas onde as peças possuem tensões normais de tração e compressão e flexão, 
além tensões de cisalhamento.Porque uma peça falha? Esta questão tem ocupado os cientistas 
e engenheiros por décadas. Hoje se tem muito mais entendimento sobre vários mecanismos de 
falhas do que se sabia no passado, devido a melhoria de técnicas de medição e testes. A 
resposta mais simples e óbvia para a pergunta acima seria dizer que as peças falham porque 
suas tensões atuantes excedem suas resistências. Que tipo de tensões ocasionam as falhas,as 
tensões devido a compressão, tração, cisalhamento? A resposta seria: “Depende”. 
 
Depende do material em questão; depende de sua resistência à compressão, tração e 
cisalhamento. Depende também do tipo de carregamento e da presença ou ausência de 
fissuras no material. Para uma combinação de cargas estáticas que produzem tensões 
críticas, como saber se o material irá falhar para uma determinada aplicação? Uma vez que é 
impraticável testar cada material e cada combinação de tensões, uma teoria de falha é 
necessária para predizer com base na performance do teste de tração simples do material, tão 
forte e resistente será sob outras condições de carga estática. A “teoria” por trás de todas as 
teorias de falha é que qualquer que seja o responsável pela falha no teste padrão clássico de 
tração será também responsável pela falha sob todas as outras condições de carga estática. 
 
74 
Por exemplo, suponha que um material tenha uma resistência à tração de 700 MPa. A 
teoria prediz que sob qualquer condição de carga, o material irá falhar, se e somente se, a 
tensão normal máxima exceder a 700 MPa. Para uma tensão normal de 560 MPa, não há 
previsão de falha na peça. Por outro lado, suponha que seja postulado que a falha durante o 
teste de tração ocorreu porque o material é limitado pela sua capacidade inerente de resistir a 
tensão de cisalhamento, e que baseado no teste de tração a sua capacidade de tensão 
cisalhante é de 350 MPa. Então se a peça foi submetida a uma tensão de cisalhamento de 420 
MPa, sua falha foi prevista pela teoria. 
O estudante de engenharia já tendo estudado os princípios de Mecânica dos sólidos e 
resistência dos Materiais reconheceu nos exemplos acima a ilustração da teoria da máxima 
tensão normal e a teoria da máxima tensão cisalhante. 
Falha em uma peça submetida a um tipo qualquer de carregamento é considerada como 
qualquer comportamento que a torna inútil para o qual foi projetada. Neste ponto iremos 
considerar somente carga estática, deixando a parte de fadiga para o próximo capítulo. Carga 
estática pode resultar de uma deflexão ou instabilidade elástica bem como uma distorção 
plástica ou fratura. A distorção ou deformação plástica, está associada com tensões cisalhantes 
e envolvem deslocamentos ao longo de planos de deslocamentos. A falha é definida como 
ocorrendo quando a deformação plástica alcança um limite arbitrário, por exemplo 0,2 % em um 
teste padrão de tração. O escoamento poderá no entanto ocorrer em áreas localizadas de 
concentração de tensões ou em qualquer peça submetida à flexão ou torção quando 
escoamento seja restrito a superfície externa. 
 
3.3.1 - FALHA DE MATERIAIS DÚCTEIS SOB CARGA ESTÁTICA 
Enquanto os materiais dúcteis irão sofrer fratura se tencionado estaticamente acima de 
seu limite de resistência máximo, sua falha nos elementos de máquinas é geralmente 
considerado ocorrer quando escoam sob carga estática. O limite de resistência ao escoamento 
de um material dúctil é muito menor do que seu limite de resistência. 
Historicamente, várias teorias foram formuladas para explicar esta falha: a teoria da 
máxima tensão normal, a teoria da máxima deformação normal, a teoria da energia de 
deformação máxima, a teoria da energia de distorção (Von Mises-Hencky) e a teoria da máxima 
tensão cisalhante. Destas somente as duas últimas concordam com os resultados 
experimentais e delas, a teoria de von Mises-Hencky é a mais precisa. Serão discutidas as 
duas últimas teorias. 
 
 
75 
 
A) CRITÉRIO DE VON MISES-HENCKY OU CRITÉRIO DA MÁXIMA ENERGIA DE 
DISTORÇÃO
 
 O critério de Von Mises leva em consideração todas as tensões que atuam no corpo – 
tensões tridimensionais, ou seja, as três tensões que atuam no cubo, definidas como s1 , s2 e s3 
. Baseado em experimentos que mostram que corpos tencionados hidrostaticamente possuem 
escoamento muito acima (ou não escoam) dos valores dados pelos testes de tração. 
 Von Mises conclui que o escoamento está diretamente relacionado com a distorção 
angular do material da estrutura. Por esta razão, este critério é baseado na teoria da energia de 
distorção máxima. 
 Desta forma, a energia que produz a distorção angular em uma estrutura é igual à 
energia total de deformação menos a energia para produzir a variação de volume, ou seja: 
 
 
Figura 14 – Energias aplicada em um corpo para variar seu volume 
 A tensão σm é chamada de tensão média e dada por: 
3
321 σσσσ
++
=m 
 A energia de distorção do corpo provoca uma distorção na sua forma geométrica, como 
mostrado: 
 
76 
 
Figura 15 – Distorção geométrica de um corpo 
 Este critério se baseia na determinação da energia de distorção (isto é, energia 
relacionada a mudanças na forma) do material. Neste critério, estamos interessados na tensão 
equivalente 
( )
2
2
21 σσσ
−
=eq 
e o material é considerado no regime elástico enquanto 
σ
eq ≤ SY 
onde SY é o limite de escoamento do material, tensão esta determinada em um ensaio de 
tração. Graficamente esta relação é representada pela figura 15, onde cada ponto, de 
coordenadas σ1 , σ2 representa o estado de tensões em um ponto do corpo. A região interna a 
elipse de Mises indica que o ponto do corpo encontra-se no regime elástico. O contorno indica 
plastificação e a região externa é inacessível.
 
Esta teoria preconiza que em qualquer material elasticamente tencionado aparece uma 
variação no formato, no volume ou em ambos. 
A energia total de deformação em uma peça submetida a carregamento pode ser 
considerada consistindo de duas componentes ,uma devido ao carregamento hidrostático que 
varia seu volume e outra devido a distorção com a variação do seu formato. Ao separar estas 
duas componentes, a parcela da energia de distorção irá apresentar a medida da tensão 
cisalhante presente. O componenteestrutural estará em condições de segurança enquanto o 
maior valor da energia de distorção por unidade de volume do material permanecer abaixo da 
energia de distorção por unidade de volume necessária para provocar o escoamento no corpo 
de prova de mesmo material submetido a ensaio de tração. 
É conveniente quando utilizar esta teoria em trabalhar com a tensão equivalente, definida com o 
valor da tensão de tração uniaxial que produz o mesmo nivel de energia de distorção que a 
tensão real envolvida. 
 
77 
Seja a energia de distorção por unidade de volume em um material isotrópico em estado 
plano de tensões: 
( )222121.6
1
σσσσ +−= GUd 
Sendo σa e σb as tensões principais e G o módulo de elasticidade transversal. 
No caso particular de um corpo de prova em ensaio de tração, que esteja começando a 
escoar, temos σ1 =σy e σ2 =0, sendo (Ud)e = σy2 /6. G. 
Assim o critério da máxima energia de distorção indica que o elemento estrutural está 
seguro enquanto Ud < (Ud)e ou seja 
σ1
2
 -σ1σ2 + σ2
2
 = Sy2 
 
Figura 16 - Teoria da energia de distorção ou Von Mises 
 
 
B) CRITÉRIO DE TRESCA OU DA MÁXIMA TENSÃO DE CISALHAMENTO 
Este critério estabelece que a falha (escoamento) começa sempre que a tensão 
cisalhante máxima em uma peça torna-se igual à tensão cisalhante máxima (Ssy) que o material 
pode suportar. Neste critério, as duas tensões são consideradas, lembrando-se que: 
 
2
 
21 ⇒
−
=
σσ
τmáx
 atuam que tensõesduas as entre diferença 
da metade a é máxima cisalhante Tensão 
 
Assim, o procedimento é feito calculando-se a máxima tensão cisalhante que atua na 
estrutura, usando o modelo matemático apropriado, e comparando com o limite de resistência 
(escoamento) ao cisalhamento (Ssy). 
 Escoamento começa quando: 
 
S symáx =τ 
 
78 
 
O limite de resistência ao cisalhamento ou tensão cisalhante do material está relacionado com 
Sy (limite de escoamento a tração / compressão). Desta forma, para um teste uniaxial de tração, 
apenas a tensão σ1 está presente, sendo a condição extrema quando σ1 = Sy, então: 
 0,5 
2
 S
S
S y
y
sy ⋅== 
 O limite de resistência ao cisalhamento do material é a metade do limite de resistência 
do material, seja no escoamento (Sy) como no limite de resistência máximo (Su). 
A representação gráfica deste critério esta mostrada abaixo: 
 
Figura 17 – representação gráfica do Critério de Tresca 
 Este critério é mais usado para materiais dúcteis. 
 
Figura 18 – Exemplificação de torção em uma peça 
 Para garantir que a estrutura não ira falhar, usa-se um fator de segurança n. 
2n
 
n
 
SS ysy
máx ==τ 
2n
 
n
 
SS usu
máx ==τ 
 
A teoria da máxima tensão cisalhante deve ser a mais antiga teoria sendo 
originariamente proposta por Coulomb (1736-1806), que apresentou as maiores contribuições 
 
79 
para o campo da mecânica e da eletricidade. Esta teoria está representada graficamente na 
figura 17. Note cuidadosamente na figura 17 que no primeiro e terceiro quadrantes a tensão 
principal zero está envolvida no circulo principal de Mohr, o mesmo não acontecendo no 
segundo e quarto quadrantes. Esta teoria se correlaciona razoavelmente com o escoamento de 
materiais dúcteis. Contudo a teoria da máxima energia de distorção seria mais recomendada 
porque correlaciona melhor com os dados atuais de testes de materiais dúcteis, sendo: 
SY = Limite de Resistência ao Escoamento; 
σ1, σ2 - tensões normais principais 
 
 
ESTADO UNIAXIAL - σσσσ1 < SY 
O Elemento estrutural é considerado seguro enquanto a tensão máxima de cisalhamento 
τmax no elemento não exceder a tensão de cisalhamento correspondente a um corpo de prova 
do mesmo material, que escoa no ensaio de tração. 
 
 
3.3.2 - EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
1. A viga mostrada na figura abaixo foi construída de um material com Sy = 150MPa. 
Determinar a largura b da viga, sabendo-se que l = 1,5m, h=0,35m, P=100.000N, 
segurança n=1,7, usando o escoamento como a característica de resistência do 
material. 
 
Figura 19 – Figura exercício resolvido 
Resolução: 
hbhhb
hb
lPhlP
IylPMhy
⋅⋅
⋅
⋅
⋅=⇒
⋅
⋅=⋅
⋅
=
=⋅=⋅==
223
3
lP6 
2
12
 
2
12
12
 
I
M
 
2
σσ
σ
 
 
80 
Condições de dimensionamento 
n
S y≤⇒ σ 
 
Então: 
m 0,083b 
 
106150350
71511000006 
 6 b 
n
 6
2
2
y
2
S
≥⇒
⋅⋅
⋅⋅
⋅≥⇒
⋅
⋅
⋅≥⇒≤
⋅
⋅
⋅
),(
,,
 b
nlPlP
Shhb y
 
 
 
3.3.3 - FALHA DE MATERIAIS FRÁGEIS SOB CARGA ESTÁTICA 
A) CRITÉRIO DA MÁXIMA TENSÃO NORMAL (RANKINE) 
Este critério de comparação entre s e v, estabelece que a falha da estrutura ocorre 
sempre que a maior tensão (principal) que atua na peça, determinada pelo modelo matemático 
apropriado, se iguala ao limite de escoamento (Sy) ou ao limite de resistência (Su). Assim: 
 
Figura 20 – Tensão normal atuante em uma peça – Critério de Rankine 
s1 = Sy 
s1 = Su 
s1 é a máxima tensão normal que atua 
 Se o estado de tensão que atua no corpo da estrutura for um estado plano de tensão, ou 
seja, tensões normais sx , sy e tensão cisalhante txy , mesmo assim a comparação com S é feita 
tomando-se apenas a maior delas. 
Assim: 
 
81 
 
Figura 21 - Estado de tensão que atua no corpo de uma estrutura em um estado plano de tensão 
Apenas s1 é usada na comparação. Pelo que foi visto, o critério da máxima tensão 
normal, s1 sendo a única tensão importante, tem sua aplicação em estruturas onde outras 
tensões são pequenas ou desprezíveis. 
 Uma representação gráfica ilustra este critério conforme mostrado abaixo: 
 
Figura 22 - Critério de Rankine 
Sut = limite de resistência à tração 
Suc = limite de resistência à compressão 
Para os aços ⇒ Sut = Suc 
 Para garantir a integridade da estrutura, assegurar que a mesma não vai falhar, usa-se 
um fator de segurança n (1,3 ≤ n ≤ 2,0) e a comparação é feita. Neste caso o escoamento é 
considerado como limite de resistência critica. Critério mais usado para materiais frágeis. 
n
S ut
=σ 1 → Neste caso o escoamento é considerado como limite de resistência crítico. 
Critério mais usado para materiais frágeis. 
 1 n
S y
=σ 
 
82 
O componente estrutural se rompe quando a máxima tensão normal atinge o valor da 
tensão última σU do material, determinada em um ensaio de tração em um corpo de prova de 
mesmo material. Assim, o componente estrutural se encontrará em situação de segurança 
enquanto os valores absolutos das tensões principais forem menores que Sut. 
O critério da máxima tensão normal é conhecido também com critério de Coulomb, 
devido ao 
físico francês Charles Augustin de Coulomb. Este critério tem uma deficiência séria, uma vez 
que se baseia na hipótese de que a tensão última do material é a mesma na tração e na 
compressão. 
 
 
B) CRITÉRIO DE MOHR
 
Ensaios de tração, compressão, torção → Envoltória dos círculos de Mohr 
 
Figura 23 - Critério de Mohr 
 
Este critério, sugerido pelo engenheiro alemão Otto Mohr, pode ser usado para prever 
os efeitos de um certo estado de tensões plano em um material frágil, quando alguns resultados 
de vários tipos de ensaios podem ser obtidos para esse material. O estado de tensões que 
corresponde à ruptura do corpo de prova no ensaio de tração pode ser representado em um 
diagrama de círculo de Mohr pelo círculo que intercepta o eixo horizontal em O e em σUT . Do 
mesmo modo, o estado de tensões que corresponde à ruptura no ensaio de compressão pode 
ser representado pelo círculo que intercepta o eixo horizontalem O e em SUC. Fica claro que um 
 
83 
estado de tensões representado por um círculo inteiramente contido em qualquer dos dois 
círculos descritos é um estado de tensões seguro. 
 
3.4 - SELEÇÃO DE MATERIAIS 
 A seleção de um determinado material para integrar um novo produto é uma tarefa 
dinâmica e os princípios que a controlam são constantemente alterados à medida que novos 
materiais são também continuamente concebidos, bem como os requisitos técnicos e econômicos 
podem ser mudados. Um exemplo desse fato é a substituição das ligas metálicas por materiais 
compósitos na fuselagem dos aviões comerciais de última geração. A necessidade de minimizar 
gastos com combustível e melhorar o desempenho dessas aeronaves leva ao uso de um material 
mais leve. Um outro exemplo é encontrado na indústria automobilística. Até o início da década 
passada era comum que os blocos de motores fossem fabricados em ferro fundido, um material 
relativamente pesado. Entretanto, nos últimos anos a indústria automobilística tem substituído o 
ferro fundido por ligas de alumínio, que além de serem mais leves, permitem que o motor seja 
refrigerado de maneira mais eficiente. A substituição de materiais é um processo contínuo que 
ocorre desde os primórdios da civilização, à medida que, em função de suas necessidades, o 
homem iniciou a transformação de materiais em ferramentas e utensílios. Na indústria moderna, 
muitos fatores e aspectos são constantemente alterados. Isto provoca a contínua busca pela 
reposição de materiais, tendo como objetivo o menor custo de produção, bem como o aumento da 
eficiência do produto final. Uma lâmpada,por exemplo, é constituída por um bulbo de quartzo 
(SiO2) e por um filamento de tungstênio. O tungstênio, por suportar facilmente temperaturas 
acima de 2.0000C, é usado para transformar energia elétrica em energia luminosa. Entretanto, 
em presença de oxigênio, esse metal é intensamente oxidado em temperaturas elevadas, o que 
leva a sua degradação. Em uma lâmpada elétrica, o tungstênio é inserido dentro do bulbo e 
selado a vácuo, o que evita a oxidação do filamento. Um exemplo clássico de alteração no perfil 
de consumo de materiais é o caso da indústria automobilística. Em 1975, um carro médio 
americano exibia em torno de 80% de seu peso em ligas ferrosas. Com a necessidade de redução 
de peso imposta pelos aumentos do custo de combustíveis na década de 70, o emprego dessa 
ligas passou a ser responsável por 73% do peso. Tal redução é significativamente profunda 
quando se considera que o veículo teve seu peso reduzido em aproximadamente 25% no mesmo 
período, resultado direto do uso de materiais mais leves e da diminuição em tamanho. Nesse 
período, o uso de materiais leves, como os plásticos e o alumínio, passou de 8% do peso total do 
veículo para valores próximos a 23%. Atualmente, é possível encontrar em alguns automóveis, 
 
84 
carrocerias construídas integralmente em alumínio, o que além de representar redução de custos, 
resulta em um produto mais resistente à corrosão.
 
 
 
 
3.4.1 - MATERIAIS METÁLICOS
 
 A principal característica dos materiais metálicos está relacionada à forma ordenada 
com que os seus átomos estão arranjados no espaço, o que pode ser melhor sintetizado pelo 
termo “estrutura cristalina”. Em função do arranjo atômico, os materiais metálicos apresentam, 
em geral, boa resistência mecânica e podem ser deformados permanentemente sob a ação de 
forças externas. 
Além, disso, como resultado das ligações metálicas, eles são bons condutores de calor e 
eletricidade. Os materiais metálicos são substâncias inorgânicas compostas por um ou mais 
elementos metálicos e podem também conter elementos não-metálicos, como o oxigênio, 
carbono e nitrogênio. 
 Dentre os materiais metálicos, destacam-se as ligas de alumínio, largamente empregadas 
na construção de aeronaves, as ligas de titânio usadas na confecção de implantes ortopédicos e 
as superligas de níquel, apropriadas para fabricação de componentes para operação em 
temperaturas elevadas. Os metais são vitais para indústria moderna, pois seu uso ocorre em uma 
gama de aplicações excepcionalmente diversificada, da indústria de microeletrônica à automotiva. 
 
 
 
AÇOS ESPECIAIS 
Aços especiais são os aços que pelo seu percentual de carbono ou pela adição de 
elementos de liga, principalmente metálicos, apresentam propriedades específicas em termos 
de resistência mecânica, à corrosão e características eletromagnéticas. Assim como nos aços 
comuns, os aços especiais podem ser planos ou longos. 
 
 
AÇOS ESPECIAIS PLANOS 
 
Os aços especiais planos são produzidos através de processos de laminação a quente 
ou a frio, sendo comercializados nas formas de bobinas e chapas. Os tipos mais importantes 
são os aços inoxidáveis, os aços siliciosos (ou aços elétricos) e os aços carbono e/ou ligados. 
 
 
 
85 
AÇOS INOXIDÁVEIS 
O aço inoxidável é versátil, reciclável e está presente em vários segmentos de mercado, 
pelas suas características mecânicas, de durabilidade, limpeza e beleza. Deve conter mínimo 
de 10% de cromo em sua composição, o que permite a formação em sua superfície de fina 
película protetora de óxido de cromo, que impede a corrosão (oxidação) do ferro. Outros 
elementos como níquel, molibdênio e cobre, quando adicionados, melhoram a resistência à 
corrosão e as características mecânicas destes aços. Os aços inoxidáveis são divididos em 
três tipos básicos conforme o teor de cromo, níquel e carbono em sua composição e suas 
características metalúrgicas. 
- Aços Inoxidáveis Martensíticos - contêm de 10% a 30% de cromo e alto carbono. O 
maior teor de carbono torna estes aços temperáveis, obtendo-se dureza superficial. 
- Aços Inoxidáveis Ferríticos - possuem teor de cromo idêntico aos martensíticos e baixo 
teor de carbono, apresentando superior resistência à corrosão. 
- Aços Inoxidáveis Austeníticos - quando, além do cromo, contêm níquel em percentagens de 
5% a 25%. Estes são os inoxidáveis considerados mais nobres, pois o níquel melhora a 
resistência à corrosão, as qualidades mecânicas e a resistência ao trabalho em temperaturas 
elevadas. 
 
 
Cabe ressaltar que o setor de bens de consumo duráveis é o maior consumidor, 
especificamente o de cutelaria e baixelas. O consumo industrial, englobando indústrias 
alimentícia, bebidas, láctea, vinícolas e de balcões e frigoríficos, é o segundo maior 
demandante, seguido pelo setor de transportes (indústria automobilística). 
 
 
AÇOS SILICIOSOS 
 
Os aços siliciosos ou aços elétricos têm características eletromagnéticas e podem ser de 
dois tipos: G.O. - grão orientado e G.N.O. - grão não orientado. Os aços ao silício G.O. 
apresentam excelentes propriedades magnéticas na direção de laminação. Estes aços são 
utilizados basicamente na fabricação dos núcleos de transformadores, e em menor escala em 
reatores de potência, hidrogeradores e turbogeradores, propiciando economia de energia 
elétrica e maior eficiência dos equipamentos. Os aços ao silício G.N.O. possuem as mesmas 
propriedades magnéticas em qualquer direção. As principais aplicações são na fabricação de 
núcleos de geradores e motores elétricos, não necessitando de tratamento térmico posterior. 
Note-se que algumas vezes são também chamados de especiais os aços ao silício, 
semiprocessados, os quais necessitam ser submetidos a tratamento térmico posterior pelo 
 
86 
usuário, para adquirir características magnéticas do aço silicioso G.N.O., porém com qualidade 
inferior. 
 
 
AÇOS CARBONO/LIGADOS 
 
São utilizados em máquinas e equipamentos que requerem propriedades mecânicas 
especiais, conferidas pelo alto teor de carbono (de 0,5% a 2,0% C) e/ou pelos elementos de liga 
adicionados em sua confecção. Os principais usos são nos implementos agrícolas, ferramentase cutelaria. 
 
 
 AÇOS ESPECIAIS LONGOS 
 
Os aços especiais longos apresentam enorme gama de tipos em função das 
propriedades físicas e químicas requeridas. São geralmente comercializados sob as formas de 
blocos, tarugos, barras, fio-máquina, arames e tubos. Para fins de estudos, podem ser 
classificados em quatro tipos básicos: 
 
AÇOS PARA CONSTRUÇÃO MECÂNICA 
 
São aços que contêm carbono até 0,5% e/ou outros elementos de liga como silício, 
manganês, cromo e molibdênio, de forma a melhorar suas características de resistência 
mecânica. Os aços para construção mecânica são classificados por vários critérios como 
composição química, tratamento térmico a ser submetido e aplicação final dos produtos. Os 
principais tipos de aços são: microligados, para tratamento térmico, para forjados, para molas, 
para porcas e parafusos e para rolamentos. Estima-se que cerca de 90% dos aços para 
construção mecânica destina-se à indústria automobilística e de autopeças. A indústria 
ferroviária, implementos agrícolas e de artigos de uso doméstico seriam as demais usuárias. 
 
 
AÇOS DE ALTA-LIGA 
 
Estes aços contêm elementos de liga como cromo, níquel, molibdênio, vanádio, 
tungstênio e cobalto, adquirindo propriedades de dureza e resistência mecânica, entre outras, 
necessárias à fabricação de ferramentas de usinagem, estampos, moldes e matrizes, válvulas e 
outros produtos. Os principais tipos são: aço ferramenta, aço rápido, aço inoxidável, aço válvula 
e superligas. 
 
87 
Os aços ferramenta podem ser para trabalho a frio e a quente. As principais 
características do aço ferramenta para trabalho a frio são: alta resistência a abrasão, alta 
tenacidade, elevada retenção de corte, alta resistência ao choque e grande estabilidade 
dimensional. No caso dos aços para trabalho a quente, as principais características são: 
elevada resistência mecânica a quente, boa resistência a abrasão em temperaturas elevadas, 
boa condutibilidade térmica e elevada resistência à fadiga. 
Os aços rápidos são aços ferramenta utilizados para fabricação de ferramentas de corte. 
Os aços inoxidáveis longos destinam-se a diversos usos onde se necessite material não 
corrosivo, tais como indústrias de alimentos, bebidas e hospitalar. Os aços válvula são 
inoxidáveis destinados, especificamente, para a produção de válvulas de motores a combustão. 
As superligas são ligas nobres, principalmente à base de níquel, feitas sob encomenda, 
para utilização em resistências elétricas, eletrodos de vela de automóvel, implantes cirúrgicos, 
entre outros. 
 
3.4.2 - MATERIAIS CERÂMICOS
 
 Os materiais classificados como cerâmicos envolvem substâncias altamente resistentes ao 
calor e no tocante à estrutura atômica, podem apresentar arranjo ordenado e desordenado, 
dependendo do tipo de átomo envolvido e à forma de obtenção do material. Esses materiais são 
constituídos por elementos metálicos e não-metálicos (inorgânicos), formando reações químicas 
covalentes e iônicas. 
 Em função do arranjo atômico e das ligações químicas presentes, os materiais cerâmicos 
apresentam elevada resistência mecânica, alta fragilidade, alta dureza, grande resistência ao calor 
e, principalmente, são isolantes térmicos e elétricos. Nas últimas décadas, uma gama bastante 
variada de novos materiais cerâmicos foi desenvolvida. Tais materiais caracterizam-se, 
principalmente, pelo controle de suas composições, das dimensões de suas partículas e do 
processo de produção dos componentes. Como resultado desse procedimento, é possível produzir 
dispositivos de alta resistência mecânica e resistente a temperaturas elevadas, o que possibilita a 
aplicação dos mesmos em máquinas térmicas, onde o aumento do rendimento está ligado ao 
aumento da temperatura de trabalho. Em razão de sua excelente estabilidade térmica, os materiais 
cerâmicos têm um importante papel na fabricação de diversos componentes, tais como insertos de 
pistões de motores de combustão interna ou ainda, na produção de componentes de turbinas a 
gás. A figura 24 mostra produtos automotivos fabricados com materiais cerâmicos. Exemplos de 
materiais cerâmicos incluem a alumina, a sílica, o nitreto de silício, a zircônia e o dissiliceto de 
molibdênio, todos caracterizados como materiais cerâmicos de engenharia.Em função da alta 
 
88 
estabilidade térmica, os materiais cerâmicos são, em princípio, ideais na fabricação de 
componentes de máquinas térmicas, as quais têm seu rendimento aumentado quando se eleva 
a temperatura de operação. 
 
 
(a) (b) 
Figura 24 - Produtos automotivos fabricados com materiais cerâmicos: (a) Parte superior 
de pistões e anéis de nitreto de silício sinterizado, (b) Rotor de turbo-alimentador de 
nitreto de silício. 
 
 Entretanto, além das características citadas, os materiais cerâmicos exibem baixa 
tenacidade à fratura, que corresponde à falta de capacidade de limitar a propagação de trincas 
no interior do material. Assim, no caso da existência de uma pequena trinca no interior de um 
componente fabricado com materiais cerâmico, a mesma propagaria rapidamente, causando a 
ruptura do mesmo. Tal fenômeno ocorre em escala muito menor em materiais metálicos.
 
Algumas partes da fuselagem do ônibus espacial americano são recobertas com material 
cerâmico. Durante a reentrada dessa aeronave na atmosfera terrestre, em conseqüência do atrito, 
temperaturas acima de 1.0000C podem ser geradas, o que poderia danificar partes desse veículo. 
O recobrimento de material cerâmico utilizado, que pode suportar temperaturas extremamente 
elevadas, serve como proteção, isolando o calor gerado do resto da aeronave. 
 
 
3.4.3 - MATERIAIS POLIMÉRICOS
 
 Os materiais poliméricos, apesar de abrangerem diversos materiais classificados como 
naturais, envolvem ainda aqueles de natureza sintética e artificial. Grande parte desses últimos 
tiveram sua utilização viabilizada a partir da década de 20, com os avanços da química orgânica. A 
principal característica que diferencia os materiais poliméricos dos outros tipos de materiais está 
relacionada à presença de cadeias moleculares de grande extensão constituídas principalmente 
 
89 
por carbono. O arranjo dos átomos da cadeia molecular pode levar a mesma a ser caracterizada 
como linear, ramificada ou tridimensional. O tipo de arranjo da cadeia controla as propriedades do 
material polimérico. Embora esses materiais não apresentem arranjos atômicos semelhantes ao 
cristalino, alguns podem exibir regiões com grande ordenação atômica (cristalinas) envolvidas por 
regiões de alta desordem (não-cristalina). Devido à natureza das ligações atômicas envolvidas 
(intramoleculares → ligações covalentes e intermoleculares → ligações secundárias), a maioria 
dos plásticos não conduz eletricidade e calor. Além disso, em função do arranjo atômico de seus 
átomos, os materiais poliméricos exibem, em geral, baixa densidade e baixa estabilidade térmica. 
Tal conjunto de características permite que os mesmos sejam freqüentemente utilizados 
como isolantes elétrico ou térmico ou na confecção de produtos onde o peso reduzido é 
importante. Um dos materiais poliméricos mais versáteis é o polietileno, com um número de 
aplicações industriais bastante amplo. Outros exemplos de materiais poliméricos incluem os 
poliuretano, que é usado na fabricação de implantes cardíacos ou a borracha natural utilizada na 
fabricação de pneus.O painel de um automóvel moderno é essencialmente fabricado com o uso 
de plásticos (material polimérico). Entretanto, os automóveis fabricados há mais de 20 anos 
tinham o mesmo painel fabricado a partir de materiais metálicos. Tal substituição foi efetuada 
em função de dois fatores: segurança e custos. Com o uso de plásticos, o painel se tornou mais 
seguro para os ocupantes do veículo em caso de acidente, pois esse materiais deformam-se 
maisfacilmente que os materiais metálicos. Com o desenvolvimento da indústria petroquímica, 
os plásticos tiveram seu custo reduzido, bem como os processo de moldagem tornaram-se mais 
eficiente, o que resultou em um produto de preço reduzido. Um automóvel de competição de 
última geração é basicamente construído com o uso de materiais compósitos do tipo matriz 
plástica e reforço de fibras de carbono. O material compósito matriz plástica/fibras de carbono 
permite obter uma relação resistência mecânica/peso extremamente elevada e muito maior que a 
de diversos materiais metálicos. Em um automóvel de competição é importante reduzir o peso total 
do veículo. Portanto, com o uso desse material compósito é possível projetar o veiculo, com um 
peso total menor. Por outro lado, o emprego de tal material em automóveis de passeio não se 
justifica à medida que o custo de produção seria excessivamente elevado em comparação com o 
uso do aço. 
O emprego de materiais para se produzir um produto manufaturado exige etapas de 
fabricação onde as características desses materiais são alteradas no tocante à forma, a 
dimensões, e principalmente, em relação a sua estrutura interna. No caso de materiais metálicos, o 
processamento pode envolver técnicas como a fundição, o forjamento, ou a laminação. No caso de 
materiais cerâmicos, este podem ser fundidos, sinterizados, ou tratados termicamente. 
 
90 
 
 
 
 
TIPO DE MATERIAL CARACTERÍSTICAS CONSTITUINTES 
METÁLICO Média – Alta resistência mecânica 
Alta ductilidade 
Bom condutor térmico e elétrico 
Baixa – Alta temperatura de fusão 
Baixa – Alta dureza 
Elementos metálicos e não-metalicos 
 
POLIMÉRICO Bom isolante térmico e elétrico 
Alta ductilidade 
Baixa resistência mecânica 
Baixa dureza 
Baixa estabilidade térmica 
Cadeiras moleculares orgânicas 
 
CERÂMICO Alta resistência mecânica 
Alta fragilidade 
Bom isolante térmica e elétrico 
Alta temperatura de fusão 
Alta dureza 
Óxidos 
Silicatos 
Nitretos 
 
Tabela 1 - Constituição e características dos materiais 
Os materiais poliméricos são processados principalmente por moldagem a quente. Em 
todos os casos, um número elevado de variáveis operacionais é observado e as características e 
intensidade dessas afetarão de maneira significativa, a natureza do produto final. Por exemplo, a 
transformação de um lingote de aço em uma chapa metálica a ser utilizada na fabricação de um 
automóvel exige que o material seja conformado plasticamente, o que além de gerar tensões na 
estrutura cristalina do metal, pode modificar sua estrutura atômica, alterando o arranjo dos átomos. 
Tal situação pode alterar de maneira significativa, as propriedades mecânica do material utilizado. 
Um outro exemplo está relacionado à produção de uma peça metálica pelo processo de 
fundição de metais, como é o caso de um bloco de motor de automóvel. Neste caso, um molde, 
com uma cavidade com a mesma forma geométrica do bloco é preenchido por um volume de 
metal líquido. Após a solidificação deste metal, a peça é desmoldada e a fundição do pistão é 
concluída. Quando a velocidade de solidificação do metal líquido é alta ou baixa, a estrutura 
interna do material será afetada em relação a defeitos na estrutura atômica e distribuição de 
constituintes e conseqüentemente, alterando as propriedades da peça. 
 Concluindo, um material para ser aplicado em engenharia necessita apresentar dados 
sobre suas características básicas e também sobre a maneira com que o mesmo foi processado 
 
91 
até o momento de ser empregado. Uma chapa de aço, que é na verdade uma liga de ferro e 
carbono, laminada "a frio" apresenta características distintas de uma outra laminada "a quente". 
No projeto de um elemento de máquina, o ideal é se ter à disposição os resultados de 
vários testes de resistência do material escolhido. Estes testes deverão ser feitos em amostras 
que possuam o mesmo tratamento térmico, o mesmo acabamento superficial e as mesmas 
dimensões do elemento que o engenheiro se propõe a construir; os testes dêem ser realizados 
sob a mesma condição em que a peça estará trabalhando. Os testes deverão proporcionar 
informações úteis e precisas, que dizem ao engenheiro qual o fator de segurança que deverá 
ser usado e qual é a confiabilidade para uma determinada vida em serviço. O custo de reunir 
numerosos dados antes do projeto é ainda mais justificado, quando há possibilidade da falha da 
peça colocando em perigo vidas humanas ou quando se deve fabricar a peça em grande 
quantidade . O custo dos atestes é muito baixo, quando dividido pelo número total de peças 
fabricadas. Deve-se no entanto analisar as possibilidades: 1) a peça deva ser fabricada em 
quantidades tão pequenas que, de forma alguma, justificariam os testes, ou o projeto deva ser 
completado tão rapidamente, que não haveria tempo suficiente para a realização destes testes; 
2) A peça já tenha sido projetada, fabricada e testada com a conclusão de ser falha ou 
insatisfatória. Necessita-se de uma averiguação e análise mais aprofundada para compreender 
a razão da falha da peça e sua não qualificação a fim de projetá-la mais adequadamente e 
portanto melhorá-la. Normalmente o profissional terá somente os valores de limites de 
escoamento, limites de ruptura e alongamento percentual do material, como as que são 
apresentadas no apêndice deste livro. Com estas poucas informações, espera-se que o 
projetista de máquinas apresente uma solução adequada. Os dados normalmente disponíveis 
para o projeto foram obtidos através de testes de tração, onde a carga é aplicada gradualmente 
e há um tempo para o aparecimento de deformações. Estes dados poderão ser usados para o 
projeto de peças com cargas dinâmicas aplicadas das mais diversas maneiras a milhares de 
rotações por minuto. O problema fundamental aqui seria usar portanto os dados dos testes de 
tração e relacioná-los com a resistência das peças, qualquer que seja o estado de tensão ou 
carregamento. 
 
3.5 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Qual a peça solicitada por maior tensão; uma barra de aço de seção reta 1,31×1,53 cm 
solicitada por uma carga de 209,5 N ou uma barra de aço duro de seção circular de 
diâmetro 6,8 mm sob uma carga de tração de 139,0 N ? 
 
92 
2. Em um fio de aço são marcados dois traços que distam entre si 50,0 mm. O fio é 
tencionado e a distância entre traços passa a ser 57,6 mm. Qual o alongamento sofrido? 
3. Se o módulo médio de deformação longitudinal (Es) de um aço é 2.100.000 kgf/cm2, 
quanto se alongará um fio de 12,7 mm de diâmetro e com 10 m de comprimento, quando 
solicitado por uma carga de tração de 18.000 kgf? 
4. Se o módulo médio de deformação longitudinal (Ec) de um concreto é 250.000 kgf/cm2 , 
quando se encubará (deformação elástica-instantânea) uma viga de seção reta 20×30 
cm com 10m de comprimento, quando submetida a uma carga de compressão de 
18.000 kgf? 
5. Com o valor de encurtamento obtido no exercício 4 calcule em quanto foi reduzida a 
carga de tração do exercício 3. 
6. Uma carga de 450 kgf, quando aplicada a um fio de aço com 240 cm de comprimento e 
0,16 cm2 de área de seção transversal, provoca uma deformação elástica de 0,3 cm. 
Calcular a tensão (σ), a deformação (ε) e o módulo de Young (Es). 
7. Ao se determinar a dureza Brinell de um exemplar de uma amostra de cobre, usou-se 
uma esfera de diâmetro 2mm
 
impressa com uma força igual a 40 kgf. Os diâmetros de 
impressão, medidos a 180° um do outro foram de 0,67 e 0,69 mm. Qual a dureza Brinell 
do corpo de prova ensaiado? 
8. Uma barra de alumínio com 12,5 mm de diâmetro, possui duas marcas que distam entre 
si 50mm. Os seguintes dados obtidos de um ensaio de tração: 
Carga (kgf) Distância entre marcas (mm) 
900 50,05 
1800 50,10 
2700 50,15 
3600 54,80 
Tabela 2 – exercício proposto 8 
a) Construir a curva tensão×deformação;b) Calcular o módulo de deformação longitudinal da barra; 
c) Calcular a tenacidade do material, Para este cálculo, é necessário, fazer uma 
simplificação admitindo patamar de escoamento linear até a ruptura (material elástico-
plástico perfeito). 
 
 
 
 
93 
SOLICITAÇÕES ESTÁTICAS 
9. Projetou-se um pequeno pino de 8 mm de diâmetro, de um ferro fundido cujas tensões 
de resistência a tração e a compressão são respectivamente σrt=293 MPa e σrc=965 
MPa. Este pino suportará uma carga compressiva de 3500 N combinada com uma carga 
torcional de 9000 N.m. Calcular o fator de segurança usando a teoria da Tensão Normal 
Máxima, Teoria de Mohr Modificada e Teoria de Coulomb-Mohr. 
 
10. Determine o fator de segurança para o suporte esquematizado na figura abaixo 
baseando-se na teoria da máxima energia de distorção e na teoria da máxima tensão de 
corte e compare-as. 
Material: Alumínio com σe =330 MPa 
Comprimento da haste: L = 160 mm 
Comprimento do braço: a = 200 mm 
Diâmetro externo da Haste: 45 mm 
Carregamento : F = 4500 N 
 
 
Figura 25 – Exercício proposto 10 
11. Determine o fator de segurança para o suporte esquematizado na figura acima se 
baseando na teoria de Mohr modificada. 
Material: Ferro fundido cinzento com σrt =380 MPa e σrc = 1200 MPa 
Comprimento da haste: L = 160 mm 
Comprimento do braço: a = 200 mm 
Diâmetro externo da haste: 39 mm 
Carregamento : F = 4500 N 
 
12. Determinar os fatores de segurança, correspondentes às falhas pelas teorias da tensão 
normal máxima, da tensão cisalhante máxima, e da teoria de Von-Mises (energia da 
distorção) respectivamente para um aço 1020 Laminado, para cada um dos seguintes 
estados de tensão: 
a) σx =70 MPa e σy = -28 MPa. 
b) σx =70 MPa e τxy = 28 MPa. (sentido horário). 
c) σx = -14MPa , σy = -56 MPa e τxy = 28 MPa. (sentido anti-horário). 
d) σx =70 MPa e σy = 35 MPa.τxy = 70 MPa. (sentido horário). 
 
94 
 
13. Usando os valores típicos das resistências do ferro fundido ASTM 40, determinar os 
fatores de segurança correspondentes à fratura, pelas teorias da tensão normal máxima, 
de Coulomb-Mohr e modificada de Mohr, respectivamente, para cada um dos seguintes 
estados de tensão: 
a) σx =70 MPa e σy = -28 MPa. 
b) σx =70 MPa e τxy = 28 MPa. (sentido horário). 
c) σx = -14MPa , σy = -56 MPa e τxy = 28 MPa. (sentido anti-horário). 
d) σx =70 MPa e σy = 35 MPa.τxy = 70 MPa. (sentido horário). 
 
14. Um tubo de alumínio com σe =290 MPa e σrt = 441 MPa tem 80 mm de diâmetro externo 
e espessura de parede de 1,25 mm e esta sujeito a uma pressão estática interna de 8,9 
MPa. Calcular o fator de segurança, contra o escoamento, aplicando as três teorias para 
materiais dúcteis. 
 
15. Um cilindro de paredes grossas deve ter um diâmetro interno de 15 mm, ser feiro de um 
aço SAE 4140 normalizado e deve resistir a uma pressão interna de 35 MPa baseado 
num fator de segurança de 4. Especificar um diâmetro externo satisfatório, baseado a 
decisão no escoamento, de acordo com a teoria da máxima tensão cisalhante. 
 
16. Um elemento de máquina de seção retangular esta submetido a uma carga P = 5000N. 
O elemento é confeccionado com aço SAE 1020 normalizado. O raio de curvatura r = 50 
mm e b = 10mm, c = 10 mm. Determine o coeficiente de segurança correspondente a 
teoria de von-Mises. 
 
 
CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO E FRATURA 
17. Um componente de máquina construído em aço, está submetido ao estado de tensões 
indicado. O aço utilizado tem σY = 331 MPa. Usando a teoria da máxima tensão de 
cisalhamento (Tresca), determinar se vai ocorrer escoamento quando: a) σ0 = 210 MPa; 
b) σ0 = 252 MPa; c) σ0 = 294 MPa. Resp.: a) Não; b) Sim; c)Sim. 
 
18. Resolver o problema anterior usando a teoria da máxima energia de distorção (von 
Mises). 
 
95 
Resp. : a)Não; b) Não; c) Sim. 
19. Um componente estrutural de aço, com σY = 300 MPa, fica submetido ao estado de 
tensões indicado. 
 
Figura 26 – Exercício proposto 19 
Determinar, usando o critério da máxima energia de distorção, se o escoamento vai 
ocorrer quando: 
a)τ0 =60 MPa; b) τ0 = 120 MPa; c) τ0 = 130 MPa. Resp. : a) Não; b) Não; c) Sim. 
20. Resolver o problema anterior usando a teoria da máxima tensão de cisalhamento. 
Resp. : a) Não; b) Sim; c) Sim. 
 
Figura 27 – Exercício resolvido 20 
 
 
96 
21. Uma barra de alumínio é feita de uma liga para a qual σUT = 70 MPa e σUC = 175 MPa. 
Sabendo-se que a intensidade T dos torques indicados é aumentada gradativamente e 
usando o critério de Mohr, determinar a tensão de cisalhamento τ0 que deve ocorrer na 
ruptura da barra. Resp. : 50 MPa. 
 
22. Um elemento de máquina é feito de ferro fundido para o qual σUT = 51,7 MPa e σUC = 
124,1 MPa. Determinar, para cada um dos estados de tensões indicados, e usando o 
critério de Mohr, a tensão σ0 para a qual deve ocorrer a ruptura do elemento. Resp. : a) 
51,7 MPa; b) 42,8 MPa; c) 56,4 MPa. 
 
23. A tensão de escoamento para um dado material vale 110 MPa. Se esse material está 
sujeito a tensão plana e a falha por escoamento ocorre quando uma das tensões 
principais é igual a +120 MPa, qual o valor da menor intensidade para a outra tensão 
principal ? Usar o critério de Von Mises. Resp.: 23,9 MPa. 
24. Se um eixo é construído com um material para o qual σY = 50 ksi, determine a tensão 
tangencial máxima de torção no inicio do escoamento segundo : a) teoria da máxima 
tensão tangencial (Tresca); b) teoria da máxima energia de distorção (Von Mises). 
Resp.: a) 25 ksi; b) 28,9 ksi. 
 
25. O estado de tensões abaixo mostrado ocorre no ponto crítico de um elemento estrutural 
cuja tensão de escoamento σY = 300 MPa. Esboçar o hexágono de Tresca e a elipse de 
von Mises marcando sobre mesmos o ponto correspondente ao estado de tensões dado 
e demonstrando se há segurança ao segurança ao escoamento. 
 
Figura 28 – Exercício resolvido 25 
 
97 
26. O teste de tração em um corpo de prova de aço 12.5 mm diâmetro e 50 mm de 
comprimento , forneceu o seguinte resultado : 
Carga (kN) 26 36 46.5 54.5 71 75 80.5 85 
Alongamento (mm) 0.05 0.07 0.09 0.11 0.15 0.20 0.31 0.41 
Tabela 3 – Exercício proposto 26 
1. Calcule o limite de resistência ao escoamento 0.2% e o módulo de elasticidade. [ 640 
MPa, 207 GPa ] 
2. Um peça cilíndrica de 800 mm de comprimento deverá resistir a uma força de tração 
de 2 kN sendo que o seu comprimento não deve exceder a 1 mm. O fator de 
segurança mínimo é 2.5 . 
 
Figura 29 – Exercício resolvido 26 
 
27. Este exemplo introduz conceitos que serão utilizados no tratamento de juntas com 
flanges. Um parafuso olhal de diâmetro de 18 mm (1) é montado através de um furo de 
diâmetro 20 mm em uma luva de diâmetro externo de 35 mm (2),com a porca para 
fixação. A porca é então apertada produzindo uma força inicial de montagem e a carga 
P finalmente é aplicada. A máxima tensão admissível é de 550 e 80 MPa para o 
parafuso e a luva respectivamente, e o módulo de elasticidade são 550 e 80 para o 
parafuso e a luva respectivamente. Qual a máxima carga que a montagem poderá 
resistir sem perda de contato e qual a força inicial será necessária? Resposta [ 136, 52 
kN ]. 
 
29. Três barras de comprimento 0.5 m são idênticas e feitas de aço com limite de 
escoamento de 250 MPa e conectadas por dois pinos. São submetidas a carga de 15 
kN. Estas barras foram projetadas para suportar igual carga e fator de segurança 2,5. 
 
98 
Devido a erro de fabricação o comprimento da barra central difere de 0,2 mm do 
comprimento das outras barras exigindo que um dos pinos esteja trabalhando forçado 
yield steel, are conectada por dois pinos e onde é aplicada uma carga de 15 kN. 
Desprezando a flambagem, determine o real fator de segurança na montagem se 
a. a barra centralé a maior de todas. Resposta [ 2.0 ] 
b. a barra central é a menor de todas. Resposta [ 1.6 ] 
 
Figura 30 – Exercício resolvido 29 
 
30. Uma prensa consiste de um parafuso central rosqueado 1 através da viga 2 que 
está conectado à base através de dois cilindros idênticos 3. Todos os componentes são de aço 
; suas dimensões efetivas são: 
1. o passo do parafuso central é de 3mm , seu diâmetro é de 20 mm e seu comprimento 
é de 250 mm; 
2. a viga possui 300 mm de largura, 60 mm de profundidade e comprimento de 250 mm; 
3. Os cilindros são de 250 mm de comprimento e diâmetro de 15 mm cada. 
 
Figura 31 – Exercício resolvido 30 
O parafuso é girado manualmente até assentar-se na base. Qual a tensão nos cilindros 
quando após isto. o parafuso gira um quarto de volta ? Despreze os efeitos de deflexão 
e flambagem. 
[Resposta 209 MPa ] 
 
99 
 
31 . O disco anular de raios ri e ro e espessura b, é apoio ao longo de sua superfície 
externa. Uma carga é transmitida uniformemente para sua periferia interna por 
cisalhamento. Supondo que o cisalhamento no disco para o raio r seja uniforme, 
calcule a rigidez devida : 
1. a carga axial,F. Resposta [ 2  b G / ln ( ro/ri ) ] 
2. um torque, T. Resposta [ 4  b G /( 1/ri2 - 1/ro2 ) ] 
 
Figura 32 – Exercício resolvido 31 
 
32. Quando um eixo sólido de seção circular é submetido a a uma pressão uniforme p 
(devido a montagem com interferência de uma polia por exemplo) , as tensões radiais e 
circunferências no eixo são compressivas e iguais a p. Usando a teoria de falha da máxima 
tensão cisalhante, deduza equação de projeto para uma seção transversal de um eixo de 
módulo Z, carregada pela pressão p, por um momento fletor M e um torque T. 
 Resposta [ n √{ (M/Z + p)2 + (T/Z)2 } = S ] 
 
Figura 33 – Exercício resolvido 32 
33. As componentes de tensão resultantes em uma seção transversal de uma peça circular 
de diâmetro 50 mm, material dúctil, são mostradas: força de tração de 120 kN, força 
cisalhante vertical de 120 kN , momento fletor de 0,5 kNm e um torque de 1,5 kNm. Qual 
a tensão máxima equivalente nesta seção transversal? Resposta [ 292 MPa ] 
 
100 
 
Figura 34 – Exercício resolvido 33 
 
34. Determine para cada um dos seguintes estados bidimensionais de tensão (MPA) , as 
tensões principais e a orientação da máxima tensão principal. Faça um desenho dos 
elementos orientados segundo as direções principais. 
A) σ
 x = 80 ; σ y = 170 ; τxy = 60 c.w. Resposta [ 50, 200 MPa, 
116.6o ] 
B) σ
 x = -220 ; σ y = -70 ; τxy = 180 c.c.w. Resposta [ -340, 50 MPa, 56.3o ] 
C) σ
 x = -205 ; σ y = -445 ; τxy = 35 c.w. Resposta [ -450, -200 MPa, -8.1o 
] 
 
35. Mostre que a teoria de falha por distorção leva às seguintes formas alternativas para um 
estado plano de tensão : 
σ
 e
2 
= σ
 1
2
 - σ
 1 σ 2 + σ 2
2
 onde σ
 1 e σ 2 são as tensões principais, 
= σ
 m
2
 + 3 σ
 a
2
 ou em termos dos componentes básicos 
= σ
 x
2
 - σ
 x σ y + σ y
2
 + 3 σ
 xy
2 ou em termos dos componentes cartesianos. 
Qual a relação entre as resistência à tração e ao cisalhamento que esta teoria prediz? 
Resposta [ 0.577 ] 
 
36. Um eixo uniformemente sólido ABCDE é apoiado por dois mancais em A e D, e gira a 
900 rpm. Uma potência de 50 kW é aplicada ao eixo através de uma polia de diâmetro 
de 560 mm em C. A potência de 30 kW é dissipada pela polia de 280 mm de diâmetro 
em B, e 20 kW pela polia de 210 mm de diâmetro em E. Cada polia, as duas correias 
são paralelas e a relação de tração nelas é de 3:1. Determine o diâmetro mínimo 
admissível do eixo se a tensão admissível de projeto devido a fadiga é de 100 MPa. 
Resposta [ diâmetro de 40 mm ] 
 
101 
 
Figura 35 – Exercício resolvido 36 
 
37. O braço de uma broca abcdefg é feito de um eixo de aço com limite de resistência a 
fadiga de 450 MPa e está submetido ao carregamento mostrado na figura. Um mancal 
de apoio em g prevê a reação de torque necessário ao equilíbrio. Qual o fator de 
segurança? Resposta [ teoria da máxima tensão cisalhante 1.21; teoria da 
energia de distorção 1.22 ] 
 
Figura 36 – Exercício resolvido 37 
38. O eixo horizontal ABCD é apoiado em dois mancais em B e D como mostra a figura. 
Uma correia envolve uma polia de 250 mm de diâmetro fica no eixo em A, e uma 
engrenagem de 150 mm de diâmetro primitivo está montada no eixo em C. Os 
diâmetros do eixo e a disposição axial dos componentes está mostrada abaixo. 
 
Figura 37 – Exercício resolvido 38 
 
 
102 
As forças atuantes na correia são horizontais e na relação F1/F2 = 4, enquanto que a 
reação vertical no pinhão ,P atua tangencialmente ao círculo primitivo. Determine o fator 
de segurança do eixo quando suporta uma potência de 20 KW através da correia para o 
pinhão a uma freqüência de 7,5 Hz, sendo que o limite de escoamento do material do 
eixo é de 500 MPa. Neste exemplo são desprezados aspectos de fadiga e concentração 
de tensão Um grande fator de segurança deverá ser portanto obtido devido a estas 
considerações. 
Resposta [teoria da máxima tensão cisalhante 14.5 ou teoria da energia de distorção 
15.6] 
 
103 
CAPITULO 04 - CARREGAMENTO DINÂMICO - FADIGA E 
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES 
 
4.1 - INTRODUÇÃO 
 Na determinação das propriedades dos materiais através do diagrama tensão-
deformação a aplicação da carga é gradual, sendo esta condição definida como condição 
estática. Os valores obtidos se aplicam aos critérios conhecidos como critérios estáticos. 
 Por outro lado, as condições que freqüentemente aparecem em estruturas mecânicas 
são solicitações dinâmicas, onda as tensões/deformações variam ciclicamente em pequenos 
intervalos de tempo, como no caso de um eixo em uma máquina rotativa. Esta flutuação da 
tensão ou variação em função do tempo leva à estrutura a falha por fadiga. A fadiga é um 
processo gradual, iniciado com pequenas trincas não visíveis a olho nu, que se desenvolve de 
forma progressiva e acumulativa, levando a peça a falhar bruscamente após um determinado 
número de solicitações ou ciclos. Muitas pesquisas já foram realizadas nesta área de forma, 
nos dando um conhecimento parcial dos mecanismos básicos associados com a falha por 
fadiga. Neste capítulo iremos dar alguns fundamentos de conceitos elementares que são de 
grande ajuda para o entendimento do comportamento devido à fadiga. A falha por fadiga 
resulta, portanto de deformação plástica repetitiva, da mesma forma que um arame falha ao ser 
fletido repetidamente para frente e para trás. Sem o escoamento plástico repetido, a falha por 
fadiga não acontece. A falha por fadiga pode ocorrer a níveis de tensão bem abaixo do ponto de 
escoamento ou limite elástico convencional. Devido ao fato que o escoamento plástico 
altamente localizado pode dar origem a falha por fadiga, o engenheiro é levado a ter especial 
atenção a locais potencialmente vulneráveis tais como: quinas, roscas, rasgo de chavetas, 
corrosão, furos e entalhes. O aumento de resistência destes locais chamados de vulneráveis é 
tão efetivo quanto substituir a peça por uma material mais resistente. A fissura inicial devido a 
fadiga resulta em um aumento da concentração de tensão local. À medida que a fissura se 
propaga, o material na raiz da fissura é submetido a um escoamento reverso bem localizado e 
destrutivo. A seção é reduzida e cauda um aumento de tensões, a taxa de propagação da 
fissura aumenta até que a seção restante não é mais capaz de suportar a carga aplicada, vindo 
finalmente a acontecer a fratura. Este capítulo descreve a obtenção do limite de resistência à 
fadiga, fatores modificativos desta resistência e asteorias existentes para o seu cálculo. 
 
104 
4.2 - TESTE DE FADIGA 
O carregamento dinâmico consiste em solicitações onde as tensões variam ciclicamente 
em pequenos intervalos de tempo. Uma causa comum de fratura é a fadiga: tipo de falha devido 
a cargas repetidas, a qual é responsável por grande parte das falhas por causas mecânicas. 
Em geral, uma ou mais trincas pequenas surgem no material, podendo crescer até que ocorra 
falha completa. Este efeito é observado em estruturas com estado de tensões bem abaixo da 
tensão de ruptura. 
Se o número de repetições (ciclos) do carregamento é grande, da ordem de milhões, 
então a situação é dita fadiga de alto ciclo. Por outro lado, fadiga de baixo ciclo é causada por 
um número relativamente pequeno de ciclos, cerca de dezenas, centenas, ou milhares. Fadiga 
de baixo ciclo é geralmente acompanhada por uma quantidade significativa de deformação 
plástica, enquanto que fadiga de alto ciclo é associada a deformações relativamente pequenas 
que são essencialmente elásticas. Componentes de máquinas, veículos e estruturas, são 
freqüentemente sujeitos a carregamentos repetidos, também chamados de carregamentos 
cíclicos, e as tensões cíclicas resultantes podem levar a danos físicos microscópicos nos 
materiais envolvidos. Mesmo em tensões bem abaixo de uma dada resistência do material, os 
danos microscópicos podem ser acumulados com ciclo contínuo até seu desenvolvimento em 
uma trinca ou outro dano macroscópico que leva à falha do componente. A figura abaixo mostra 
o croqui do corpo de prova para o teste de fadiga à flexo-torção.
 
 
Figura 1 – Corpo de Prova de Moore para fadiga. 
 A Máquina de fadiga para testes de flexo-torção é bem simples, e o laboratório de 
Análise Estrutural da PUC-Minas, possui o equipamento mostrado na figura 2. 
A figura 3 apresenta um esquema da máquina, onde se verifica que o momento fletor 
atuante no corpo de prova é constante. O braço de alavanca provoca uma carga 10 vezes 
maior no corpo de prova. Um motor elétrico de 3500 rpm produz as rotações no corpo-de-prova. 
Estas rotações são registradas por um contador eletrônico com capacidade de contar até 109 
ciclos. Ocorre o desligamento automático da máquina após a falha do corpo-de-prova. 
 
105 
Deve-se observar que a fixação do corpo-de-prova, na máquina é feita em dois pontos. 
Assim, o corpo-de-prova fica submetido a um momento fletor constante no seu centro, logo, 
nesta região do corpo-de-prova atua apenas o momento fletor. 
 
 
 
Figura 2 - Máquina de Fadiga Flexo-Rotativa aberta no Laboratório de 
Análise Estrutural da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais 
 
 
Figura 3 - Esquema da máquina de fadiga. 
 
 
4.3 - DETERMINAÇÃO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA À FADIGA 
Para determinar o limite de resistência à fadiga Sf (também chamado de limite de fadiga) 
Moore desenvolveu uma máquina rotativa para testar corpos de provas, cujo esquema é dado 
abaixo: 
 
106 
Provoca-se um momento constante ao longo do comprimento do corpo de prova L com a 
aplicação da carga. Vários corpos de prova idênticos são testados para diferentes cargas P 
(diferentes tensões na seção crítica), sendo que o número de ciclos ou vida para cada um deles 
será, portanto diferente. A representação gráfica tem a configuração mostrada abaixo: 
 
Figura 4 - Curva de fadiga para aços, sendo Sf o limite de resistência à fadiga. 
Na figura 4 acima, pode ser observado que, para um nível de tensão σ ≤ Sf, o corpo de 
prova de aço não rompe, tendo uma vida infinita ou número de ciclos (N) muito grande, maior 
que 106 ciclos. Por outro lado, para um número de ciclos menor ou igual a 103 (mil ciclos), a 
tensão de ruptura é praticamente igual ao limite de resistência à tração, encontrada para os 
testes estáticos, sendo o valor mais recomendado pela literatura é 0,9 Su. Neste capitulo 
usaremos ambas as expressões Su ou Srup para o limite de resistëncia a tração. A tensão 
encontrada nos testes de fadiga, para uma vida infinita, utilizando a máquina de Moore, é 
chamada de limite de resistência à fadiga e é representado por Sf. O valor do limite de 
resistência à fadiga varia para os diferentes tipos de aço. Dos resultados experimentais, obtidos 
para aços comerciais, conclui-se que existe uma relação funcional entre o limite de resistência à 
fadiga do corpo de prova, Se' e o limite de resistência à tração, Su, tal que: 
SuS f ×= 504.0' ⇒ O limite de resistência à fadiga de corpos de 
prova (Sf') é a aproximadamente a metade do limite de resistência à 
tração (Sut) para aços. 
É importante notar que a relação acima vale somente para valores do limite de 
resistência à tração de aços até 1400 MPa. Os resultados experimentais mostram que para 
valores acima de 1400 MPa, o limite de resistência à fadiga dos aços fica praticamente em 
torno de 700 MPa. Portanto MpaS f 700'= ⇒ quando MpaSu 1400> . Tem-se então que, 
para traçar o diagrama teórico S-N (tensão-número de ciclos) de um corpo de prova de aço, não 
 
107 
é necessário realizar inúmeros testes na máquina de Moore. A comprovação experimental 
mostra que a construção desta curva em escala log-log pode ser feita assumindo: 
103 ciclos ⇒ usar σ = 0.9 Srup. 
 106 ciclos ⇒ usar σ = 0.5 Srup. 
 Para isto basta marcar os pontos A e B, respectivamente 0,9 Srup e 0,5 Srup. Marcar o 
ponto C para 106, na posição correspondente a 0,5 Srup. A figura abaixo mostra este 
procedimento. 
 
 
Figura 5 - Curva de fadiga teórica para um aço comercial 
 
 
4.3.1 - FATORES MODIFICATIVOS 
Nota-se que o limite de resistência à fadiga Sf' encontrado para um aço, vale para um 
corpo de prova, de dimensões padronizadas, testado sob certas condições de acabamento e 
temperatura. O limite de resistência à fadiga de uma peça qualquer sofre várias influências que 
devem ser levadas em consideração. Os fatores de modificação são usados para modificar Sf', 
adaptando-o às condições reais da peça em estudo. Assim, multiplicando Sf' pelos vários 
fatores modificativos, K, tem-se o limite de resistência à fadiga teórico, de peça Sf. 
'ff SKeKdKcKbKaS ×××××= 
 Cada fator modificativo,K tem uma função de modificação definida por um valor 
numérico. Assim, na expressão acima tem-se: 
Sf = Limite de resistência à fadiga da peça; 
Sf' = Limite de resistência à fadiga do corpo de prova; 
Ka = Fator devido ao acabamento superficial; 
Kb = Fator devido ao tamanho da peça; 
Kc = Fator devido ao tipo de carga; 
 
108 
Kd = Fator devido à temperatura; 
Ke = Fatores diversos, como concentração de tensões ou ambiental. 
 
A) FATOR DE ACABAMENTO SUPERFICIAL
 
 Este fator leva em consideração o acabamento da superfície, que no caso do corpo de 
prova é bem acabada e polida. Como o acabamento é função do material e da forma que o 
mesmo foi trabalhado, a fórmula abaixo permite a sua determinação do fator de superfície Ka: 
b
rupSaKa .= 
onde Srup é o limite de resistência à tração do material. Uma vez que o limite de resistência à 
tração de materiais dúcteis é idêntico ao limite de resistência à compressão, utiliza-se a 
expressão Srup, mas alguns autores utilizam a expressão Srupt para defini-lo e Srupc para o limite 
de resistência à compressão. Os fatores a e b são obtidos a partir da tabela a seguir: 
Fator a Acabamento superficial 
Kpsi MPa 
Fator b 
Retificado 1.34 1.58 -0.085 
Usinado ou estirado à frio 2.70 4.51 -0.265 
Laminado à quente 14.4 57.7 -0.718 
Forjado 39.9 272 -0.995 
Tabela 1 - Valores para os fatores a e b, no sistema internacional e inglês, de acordo com [67]. 
 
 
B) FATOR DEVIDO AO TAMANHO 
O fator Kb para flexões e torções é calculado por: 
1133.0
3.0
−






=
dKb ind 211.0 ≤≤ (pol.) 
 
107,0
1133,0
.24,1
62,7−
−
=





= ddKb
 mmd 5179,2 ≤≤ (mm) 
dKb .000837,0859,0 −= mmd 25451 ≤≤ (mm) 
Para valores maiores, Kb varia de 0.60 a 0.70 para flexões e torções. Se a peça estiver 
sob cargas axiais, o tamanho não tem nenhum efeito sobre o limite de resistência à fadiga e, 
portanto adota-se Kb = 1. Quando a peça não estiver girando ou a seção transversal não for 
circular, o valor do fator Kb deve ser calculado. Nestes casos utilizamos o conceito de diâmetro 
 
109 
efetivo de, que é obtido equacionando o volume do material submetido à carga e 95% da carga 
máxima para o mesmo volume do corpo de prova. Quando os dois volumes são igualados, o 
comprimento é cancelado e precisamos considerar apenas as áreas. 
No caso de peças com secções não circulares, como a figura 6 Para se calcular o 
diâmetro efetivo para uma barra de secção retangular, usa-se a fórmula: 
( ) 2/1.808.0 hbde = 
sendo que h é a altura e b a largura da seção retangular. 
 
C) FATOR DEVIDO AO CARREGAMENTO 
Para carregamento axial, Kc=1 ou Kc=0,922 ( MpaS rup 1400> ) 
Para carregamento de flexão Kc=1 
Para carregamento devido a cisalhamento, torção Kc = 0,577. 
 
 
D) FATOR DEVIDO À TEMPERATURA 
Os testes realizados nos corpos de prova foram à temperatura ambiente. Para peças 
trabalhando a temperaturas diferentes a da ambiente, os fatores Kd podem ser obtidos por 
tabelas ou experimentalmente. Nesta edição ainda usaremos Kd=1,pois os valores de Kd estão 
sendo obtidos no laboratório de Análise Estrutural da PUC-Minas em pesquisa em andamento. 
 
 
E) FATOR DEVIDO À CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES
 
A concentração de tensão está presente em toda estrutura que contém curvaturas 
significativas, entalhes e outra forma de perturbação brusca na geometria da peça. Os fatores 
de concentração teórico Kt, obtidos na sua maioria de forma experimental, podem ser obtidos 
em tabelas e gráficos próprios, como mostrado no final do capítulo. Este fator, quando 
multiplicado pela tensão nominal, ou seja, tensão σo calculada pelo modelo matemático sem a 
existência de entalhe, permite determinar a tensão máxima que atua no entalhe. 
⇒= . omáx Kt σσ 
o
máxKt
σ
σ
= 
Estes gráficos mostram os principais fatores de concentração de tensão para alguns 
entalhes mais usados nas estruturas. 
 
110 
Dependendo do tipo de material ou da sua resistência, este fator de concentração de 
tensão geométrico ou teórico, Kt, sofre alterações, diminuindo sua intensidade em função da 
sensibilidade q do entalhe. A relação que determina o novo fator de concentração Kf (fator 
efetivo ou prático), foi definido por Peterson, como: 
( )11 −×+= KtqKf 
A sensibilidade ao entalhe q, depende do limite de resistëncia a tração e do raio do 
enalhe. Os valores experimentais da literatura usam q variando de 0 a 1,sendo que os valores 
mais utilizados se encontram na faixa de 0,6 a 0,9. Esta faixa de valores será utilizada nesta 
edição e após os resultados experimentais obtidos na PUC-Minas, teremos alteração nestes 
valores de q. 
 
Calculado o fator Kf, temos que: 
KfKe
1
= 
Este é o fator Ke
 , que devemos usar como fator corretivo,na fórmula para o cálculo do 
limite de resistência à fadiga de peça ,Sf. 
 
 
F) EFEITO DA CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO COM CARGA DE FADIGA 
COMPLETAMENTE REVERSA 
Para elementos de máquinas com entalhes as curvas S-N apresentam para o mesmo 
material um valor menor do que quando não possuem entalhes. Isto significa que as 
concentrações de tensões são importantes causando esta diminuição. A relação entre os 
limites de resistência a fadiga sem entalhe e com entalhe é designada como Kf, ou fator de 
concentração de tensão de fadiga. Teoricamente, poderíamos esperar que Kf fosse igual ao 
fator teórico de concentração de tensões Kt. Os testes, porém mostram que Kf é 
freqüentemente menor que Kt. Isto é aparentemente devido a irregularidades internas na 
estrutura do material. Um material "ideal" teria tensões internas de acordo com a teoria elástica; 
na realidade os materiais possuem irregularidades causando pontos localizados com maiores 
tensões. Então, mesmo corpos de prova não entalhados sofrem destes "entalhes internos". A 
equação definida como ( )11 −×+= KtqKf , utiliza o índice de sensibilidade ao entalhe q, que 
varia entre 0 (Kf =Kt) e 1 (Kf=1). Há portanto necessidade de se determinar o indice de 
sensibilidade do material. A situação é um pouco mais complicada do que se imagina porque a 
sensibilidade ao entalhe depende não somente do material mas também do raio relativo da 
 
111 
geometria do entalhe e das dimensões das imperfeições internas características. Os raios de 
entalhe bem pequenos aproximando-se de imperfeições de material fornecem um índice de 
sensibilidade quase zero o que não deixa de ser uma boa noticia! Isto torna o Kf quase sempre 
igual a um. Os gráficos do índice de sensibilidade ao entalhe são plotados em função do raio e 
da resistência à tração dos materiais (Figura 7). Para os aços observa-se a tendência de que 
materiais mais resistêntes e duros são mais sensíveis ao entalhe. Isto significa que a troca de 
um aço menos resistente por um aço mais resistente e duro normalmente aumenta uma parte 
da resistência a fadiga, mas o aumento não é tão grande como se poderia esperar devido ao 
aumento no índice de sensibilidade. A Figura 4.6 também mostra que para um dado aço 
submetido a carregamento torcional a sensibilidade ao entalhe é um pouco maior do que para 
carregamento axial e fletor. Os resultados também mostram que a influência do entalhe a 103 
ciclos é consideravelmente menor do que a 106 ciclos. 
Outro aspecto onde há uma pequena divergência entre os autores. É melhor tratar o Kf 
como um fator de concentração de tensão ou um fator de redução de resistência? Os autores 
diferem neste ponto, mas a maioria utiliza como fator de concentração de tensão. Na realidade 
a resistência do material não enfraqueçe pela existência do entalhe. O entalhe é o causador de 
tensões maiores e localizadas. Com isto pode-se utilizar as curvas S-N tanto para peças com 
ou sem entalhes. 
 
G) FATORES DEVIDO A INFLUÊNCIA DIVERSAS 
A peça pode não possuir pontos de concentração de tensão, mas o fator Ke pode ser 
também utilizado quando se considera outros efeitos como, direcionamento na laminação do 
material, corrosão, tensões residuais, cromagem superficial e outros tratamentos de cobertura 
superficial. 
 
 
4.4 - LIMITE DE RESISTÊNCIA PARA VIDA FINITA 
Uma vez determinados todos os coeficientes de modificação, é possível calcular o limite 
de resistência à fadiga para a peça em estudo: 
'ff SKeKdKcKbKaS ×××××= 
Desta forma é possível traçar o diagrama S-N para a peça, como já definido: 
 
112 
 
Figura 8 - Determinação da resistência à fadiga S, para um número de ciclos 
(104 ciclos) e um limite de resistência à fadiga Sf determinados. 
Como Sf é o limite de resistência à fadiga para vida infinita, pode-se calcular, a partir do 
diagrama acima o limite de resistência a fadiga (S) para uma vida finita. A solicitação cíclica em 
uma peça é um processo cumulativo, ou seja, se a peça resiste a 100.000 ciclos e já sofreu 
30.000 ciclos, ela memoriza ou guarda este número de ciclos. Se em outra oportunidade a peça 
continuar sendo solicitada, o número de solicitações ainda possível é igual ao número de ciclos 
totais que ela suportaria menos o número de ciclos já aplicados, ou seja, 70000. A teoria de 
fadiga acumulativa é estudada pela Regra de Minner. 
bNaS .=
 para 
b
a
SN
1






=
 
onde 
( )
f
rup
S
S
a
2
.9,0
=
 e 
f
rup
S
S
b
.9,0
log
3
1
−=
 
 
 
4.5 - FADIGA SOB TENSÕES FLUTUANTES 
Freqüentemente encontram-se em estruturas solicitaçõesdiferentes das simplesmente 
alternadas. Estas tensões são chamadas de flutuantes ou a combinação de tensões alternadas 
e tensões médias constantes. As figuras a seguir mostram estas solicitações: 
 
 
113 
 
Figura 9 - Tensões reversas, repetidas e flutuantes. 
As tensões médias (σm) e alternadas (σa) são definidas como: 
2
mínmáx
a
σσ
σ
−
= 
2
mínmáx
m
σσ
σ
+
= 
A influência das tensões médias e alternadas na fadiga de uma peça foi determinada 
inicialmente por Goodman. Na figura 10, a linha de Goodman é obtida pela reta unido na 
abcissa o limite de resistência à tração (Srup) e na ordenada o limite de resistência à fadiga (Sf). 
As tensões médias são plotadas na abcissa e as tensões alternadas na ordenada. 
 
Figura 10 - Diagrama de Goodman, com os eixos das tensões média e alternada. 
O diagrama é baseado no fato de que quando somente tensão média (σm) atua, a falha 
é caracterizada pelo limite de resistência (Srup.). Quando somente tensão alternada (σa) atua, a 
falha é caracterizada pelo limite de resistência a fadiga (Sf). 
Resultados experimentais mostram que, sob a ação das tensões médias (σm) e 
alternadas (σa), os pontos de falha, para diferentes valores de tensões combinadas acontecem 
como mostrado na figura acima. Isto significa que a linha de Goodman, obtida ligando Sf com 
Srup, é a linha de segurança para qualquer combinação de tensões σm e σa. Em outras palavras, 
qualquer combinação que cair dentro dos limites do diagrama está seguro, como no caso do 
ponto “A”. 
 
114 
Outra concepção desta teoria é o diagrama de Sodeberg ou linha de Sodeberg, que 
utiliza para o eixo das tensões médias o limite de resistência ao escoamento (Se), sendo um 
diagrama mais conservativo. Outros diagramas mais próximos da realidade, que mais se 
aproximam dos resultados experimentais já foram propostos, com destaque para a parábola de 
Gerber. A figura abaixo mostra a representação gráfica: 
 
Figura 11 - Representação gráfica das diversas teorias de fadiga. 
Nesta figura, o ponto A, resultado da combinação das tensões médias σm e alternadas 
σa, esta segura para as teorias de Gerber e Goodman, mas não se encontra segura segundo a 
teoria de Soderberg. As equações a seguir representam a formulação matemática de cada 
teoria: 
1=+
yf S
Sm
S
Sa
 ⇒ Soderberg 
1=+
rupf S
Sm
S
Sa
 ⇒ Goodman 
 1
2
=








+
rupf S
Sm
S
Sa
 ⇒ Gerber 
Para fins de aplicação nos problemas convencionais de engenharia, recomenda-se a 
utilização da teoria de Goodman. 
Para cálculos de tensões de fadiga em problemas reais de engenharia, deve-se utilizar 
um coeficiente de segurança n, que na teoria de Goodman, por exemplo, é determinado por: 
ma
SmSa
n
σσ
== 
As tensões σm e σa podem se transformar respectivamente nas resistências média e 
alternada Sm e Sa se cada uma delas forem divididas pelo coeficiente de segurança n. Assim as 
equações que representam as teorias ficariam assim:
 
 
115 
nSS y
m
f
a 1
=+
σσ
 ⇒ Soderberg 
nSS rup
m
f
a 1
=+
σσ
 ⇒ Goodman 
1
2
=







+
rup
m
f
a
S
n
S
n σσ
 ⇒ Gerber 
4.6 -
 
FADIGA SOB TENSÕES COMBINADAS 
Em componentes mecânicos de uma forma geral, a distribuição de tensões mais 
freqüente é a de tensões combinadas. Dependendo dos tipos de esforços envolvidos na parte 
mecânica, flexão, esforço normal ou torção aparecem tensões alternadas e médias devido a 
essas múltiplas solicitações. Assim, cada tipo de esforços pode gerar: 
 
A combinação destas tensões para resultar em um única tensão, seja alternada ou 
média, é conseguida da seguinte forma: 
- Tensões alternadas ou médias na mesma direção: 
→ Soma (σa1)f + (σa1)n + (σa1)t = (σa1), obtendo-se a tensão resultante, alternada 
ou média, na direção correspondente. 
- Tensões alternadas ou médias, respectivamente em direções diferentes: 
 → Calcula-se a tensão equivalente ou tensão de Von Misses: 
2
2
2
1
'
21 aaaa
σσσσσ +∗−= 
2
2
2
1
'
21 mmmmm
σσσσσ +∗−= Direções 1 e 2 principais. 
Observa-se que as tensões contidas nos radicais já foram combinadas como a soma de 
todas as tensões que atuam na mesma direção. No caso das tensões estarem referidas nos 
eixos X e Y, a tensão cisalhante estará presente e as equações acima descritas são escritas na 
forma: 
 
116 
222
.3)(' axyayayaxaxa τσσσσσ ++×−= 
222
.3)(' mxymymymxmxm τσσσσσ ++×−= 
Deve-se lembrar que cada uma destas tensões são calculadas pela equação dada pelo 
modelo matemático correspondente ao tipo de solicitação. Uma vez obtido σa’ e σm’, a teoria de 
Goodman pode ser aplicada. 
 
 
4.7 - FADIGA DE CONTATO SUPERFICIAL 
No estudo anterior, o limite de resistência a fadiga Sf’ foi determinado usando uma 
máquina rotativa que flexiona o corpo de prova, e por isso é freqüentemente chamado de limite 
de resistência à fadiga devido à flexão. O contato direto entre peças causa a fadiga superficial 
devido ao contato, sendo o limite de resistência à fadiga superficial Ssf determinado de forma 
diferente. 
Trabalhos realizados por Buckingham e Talboudert determinaram que a fadiga 
superficial do material depende da dureza Brinell (HB), sendo o limite de resistência à fadiga 
superficial para uma vida de 108 ciclos, definido pelas expressões: 
104.0' −= HBS sf (Kpsi) ou 
7076.2' −= HBS sf (MPa) 
Este limite foi determinado para materiais (aço) em condições apropriadas e para uma vida 
de 108 ciclos. Em condições de trabalho o limite de resistência à fadiga superficial da peça é 
determinado pela expressão abaixo, que considera os fatores de modificação:
 
RT
HL
sfsf CC
CCSS
×
×
×= '
 
onde CL = Fator de vida, depende do número de ciclos 
CH = Fator que depende da razão de dureza 
CT = Fator de temperatura 
CR = Fator de confiabilidade 
O fator CH = 1 para uma dureza das partes aproximadamente iguais. O fator de vida CL é 
calculado pela expressão: 
056,0466,2 −×= NCL 
para N = número de ciclos entre 104 e 108. 
 
117 
O fator temperatura CT, para condições normais da temperatura dos lubrificantes (T < 
120°), é 1. Por outro lado, o fator de confiabilidade depende do sistema em consideração, 
sendo CR para engrenagem dado: 
Confiabilidade Fator CR 
90% 0,85 
99% 1,00 
99.9% 1,25 
Tabela 3 – Fatores de confiabilidade. 
A fadiga superficial é muito importante para estudar certos elementos mecânicos como a 
fadiga no contato de dentes de engrenagens, contato de esfera ou rolos em rolamentos, rodas e 
trilhos ferroviários, cames e seguidores, etc. 
 É muito importante lembrar que, para o dimensionamento da parte mecânica usando 
fadiga superficial, é necessário conhecer o modelo matemático ou fórmula matemática da 
tensão provocada pelo contato. Estas formulações não são simples de serem escritas, e são 
baseadas na teoria de contato de Hertz. Uma vez calculada a tensão induzida na peça, o 
dimensionamento é feito comparado esta tensão com o limite de resistência à fadiga Ssf, 
considerando o coeficiente de segurança n. 
n
S sf
=σ
 
 
4.8 - GRÁFICOS P/ DETERMINAÇÃO DO FATOR DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES KT 
 
 
 
 
 
118 
 
 
 
 
119 
 
 
 
Figura 12 - Gráficos para Determinação do Fator de concentração de tensões Kt. 
 
 
4.9 - PREVISÃO DE FADIGA COM CARGAS VARIANDO RANDOMICAMENTE 
Para se prever a vida de peças tencionadas acima do limite de resistência a fadiga, 
1
N
n
...
N
n
N
n
k
k
2
2
1
1
=+++
 
120 
é um procedimento difícil. Palmgreen e Minner propuseram muito logicamenteum conceito 
simples onde se uma peça é carregada ciclicamente a um nível de tensão que provocaria uma 
falha a 105 ciclos, então cada ciclo deste carregamento consume uma parte nos 105 da vida da 
peça. Se outros ciclos de tensão são interpostos correspondendo a uma vida de 104 ciclos, 
cada um destes ciclos consume uma parte nos 104 da vida, e assim por diante. Nesta base, 100 
% da vida foi consumida, e se tem a previsão da falha. A regra de Palmgren ou Miner é 
expressa pela seguinte equação em que n1, n2,..., nk representam o número de ciclos a 
específicos níveis de sobre tensão, e N1 , N2 , .. Nk representam a vida (em ciclos) destes 
níveis de sobre tensão, tomados da curva S-N. A falha por fadiga é prevista quando a equação 
acima se mantém. 
 
4.10 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1. Uma peça metálica é submetida a uma carga fletora F. A mola flutua entre 9,3 kN a 10,67 
kN. Possui um limite de resistência à tração Srup=1400 Mpa e limite de resistência ao 
escoamento Se=950 Mpa. Considerando um acabamento de forjamento para a peça, 
calcule o fator de segurança contra o escoamento e a fadiga para uma espessura de 18 
mm. 
Solução: 
Cálculo do fator por fadiga. Devemos calcular os valores de R1 e R2. 
21
FR = e 
22
FR = 
 
 
Figura 13 - Exercício resolvido 1. 
 
3
1 10150.
−
= XRM F → 310150.2
−
= XFM F Momento onde a força F e aplicada. 
 
3
3
max
10150.
2
1067,10
−
= x
xM F → mNM F .25,800max = 
 
121 
3
3
min 10150.2
103,9
−
= x
xM F → mNM F .5,697min = 
 
I
cM .
=σ onde ( )
12
.
3hdwI −= 
 Assim ( )( )
12
1018.10101075 3333 −−− −
=
xxxI → 4810645,3 mxI −= 
 Pax
x
x 8
8
3
max 1028,210645,3
109.25,800
==
−
σ 
 Pax
x
x 8
8
3
min 10987,110645,3
109.5,697
==
−
σ 
2
minmax σσσ
−
=a → Paxa
710465,1=σ
 
2
'
minmax σσσ
+
=m → Paxm
810133,2'=σ
 
 Cálculo dos fatores de correção à fadiga. 
 Cálculo de Ka – Forjado 
b
rupa Sak ⋅= tabela 4.1 a = 272 b = - 0,995 
 
201,0=ak 
 
Cálculo de Kb – Seção quadrada 
1133,0
62,7
−






=
dKb mmd 5179,2 ≤≤ (mm) 
 
2
1
)7518.(808,0 xde = → mmde 688,29= 
 
1133,0
62,7
688,29 −






=bK → 857,0=bK 
Cálculo de Kc – Flexão 
Para flexão temos que
 
1=ck . 
Cálculo de Kd – Considerando temperatura de trabalho baixa. 1=dk 
Cálculo de Ke 
f
e K
K 1= onde )1.(1 −+= KtqK f 
Cálculo de q
 
Adotando q=0,95,tem-se 
 
122 
 
 
Cálculo de Kt 
133,0
15
10
==
w
d
 e 556,0
18
10
==
h
d
 
1,2=Kt
 
Donde fica Kf 
)11,2.(95,01 −+=fK → 045,2=fK 
Assim Ke 
045,2
1
=eK → 489,0=eK 
Com todos os parâmetros podermos calcular o Sf. 
rupf SS .504,0'= para aços. 
MpaS f 6,705'= 
'ff SKeKdKcKbKaS ×××××= 
6,705489,0857,0201,0 ×××=fS 
MpaS f 435,59= 
Cálculo do fator de segurança pelo critério de Goodman modificado 
nSS rup
m
f
a 1
=+
σσ
 
nx
x
x
x 1
101400
10133,2
10435,59
10465,1
6
8
6
8
=+ → 382,0=n 
Cálculo do fator de segurança por escoamento: 
I
cM .
=σ onde ( )
12
.
3hdwI −= 
 Pax
x
x 8
8
3
max 1028,210645,3
109.25,800
==
−
σ 
maxσ
rupS
n = → 140,6
1028,2
101400
8
6
==
x
x
n 
 
2. Uma mola é submetida a uma carga variável, sendo a carga máxima F= 133 N e a carga 
mínima F= 66 N. O material da mola é aço com Srup= 1170 Mpa, e diâmetro d= 9,5 mm. 
 
123 
Neste projeto não foi considerada a concentração de tensões ao longo do comprimento 
da mola. O acabamento superficial corresponde a um laminado a quente. Qual o número 
de aplicação de carga N, que causará falha na peça. 
 
Figura 14 - Exercício resolvido 2. 
Solução: 
Calculemos o momento máximo e mínimo. 
max
3
max 10410 FxM ⋅=
−
 min
3
min 10410 FxM ⋅=
−
 
13310410 3max ⋅=
−xM 6610410 3min ⋅=
−xM 
mNM ⋅= 53,54max mNM .06,27min = 
 
Cálculo das tensões. 
3
.
32
d
M
pi
σ = 
33max )105,9.(
53,54.32
−
=
xpi
σ → Mpa8,647max =σ 
33 )105,9.(
06,27.32
−
=
x
m pi
σ → Mpam 5,321=σ 
 
2
minmax σσσ
−
=a → Mpaa 2,163=σ 
 
2
'
minmax σσσ
+
=m → Mpam 7,484'=σ 
 
Cálculo de Ka – Laminado à quente 
b
rupSaka ⋅= tabela 4.1 a = 57,7 b = - 0,718 
718,01170.7,57 −=Ka → 362,0=Ka 
Cálculo de Kb 
 
124 
1133,0
62,7
−






=
dKb mmd 5179,2 ≤≤ (mm) 
dde .370,0= 
5,9.370,0=ed 
515,3=ed 
1133,0
62,7
515,3 −






=bK → 092,1=bk 
Cálculo de Kc – Flexão 
Para flexão temos que
 
1=ck . 
Cálculo de Kd – Considerando temperatura de trabalho baixa. 1=dk 
Não foram consideradas concentrações de tensões ao longo da mola, ou seja,
 
1=ek . 
Com todos os parâmetros podermos calcular o Sf. 
rupf SS .504,0'= para aços. 
MpaS f 68,589'= 
'ff SKeKdKcKbKaS ×××××= 
68,589092,1362,0 xxS f = → MpaS f 103,233= 
Cálculo do número de ciclos. 
rup
m
a
S
S
σ
σ
−
=
1
 
6
6
6
100,117
107,4841
102,163
x
x
xS
−
= → 810786,2 xS = 
bNaS .= 
( )
Sf
Srup
a
2
.9,0
= → 610734,4756 xa = 
f
rup
S
S
b
.9,0
log
3
1
−= → 2183,0−=b 
bf
a
S
N
1






= → ciclosN 441683≥ 
 
 
 
125 
4.11 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
CARGAS VARIÁVEIS 
1. Um elo como mostrado na figura abaixo, é feito de aço AISI 4130 temperdo e revenido a 
540o C(Sut=1030 MPa). A carga F= 5 KN é repetitiva e reversa. Supondo não haver 
concentração de tensão pede-se: a) Qual deverá ser o diâmetro para N=1,40 e acabamento 
de usinagem? B) Idêntico ao item a, exceto que o acabamento é polido. Qual a economia no 
peso? C) Idêntico ao item a, exceto que o acabamento é forjado. 
 
Figura 15 – Exercido proposto 1. 
 
2. Idêntico ao exercício 1,exceto que, devido ao ambiente corrosivo, o elo é fabricado em 
bronze silício, laminado a frio e o número de ciclos esperado para a vida da peça é maior 
que 3x 107ciclos. 
 
3. Um eixo é apoiado como uma viga simples de 450 mm de comprimento, de aço AISI 3120. 
Uma carga estática de 8900 N é aplicada ao eixo em rotação, na metade do eixo entre dois 
apoios (mancais). As superfícies são polidas e a peça foi projetada para uma vida infinita. 
aPara um fator de segurança N=1,6, baseado no limite de resistência à fadiga, qual deveria 
ser o seu diâmetro se não há descontinuidades na sua superfície? 
 
 
Figura 16 - Exercido 3. 
 
4. Um suporte simples como o mostrado na figura, possui uma seção retangular e foi projetado 
para vida infinita e carga reversa. Calcule: a) as dimensões de uma seção sem 
descontinuidade onde b=2,8 t e L= 350 mm e um fator de segurança (projeto) igual a 2. O 
 
126 
material é aço AISI 1020, laminado com acabamento superficial de forjamento. b) Calcule as 
dimensões de uma seção onde e= 100 mm. 
 
Figura 17 - Exercido proposto 4. 
 
5. Idêntico ao exercício 4, exceto que a vida da peça submetida a cargas reversas não deve 
exceder 105ciclos. 
 
6. Um eixo é submetido a um torque reverso máximo de 1695 Nm. É usinado e feito de aço 
AISI3140 . Qual deverá ser o seu diâmetro para N=1,75? 
 
7. Idêntico ao exercício 6, exceto que o eixo é oco, com diâmetro externo igual ao dobro do 
diâmetro interno 
CARGAS VARIÁVEIS COM CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES 
8. Um elo de conexão é visto na figura, exceto que há um furo radial de diâmetro 3 mm, no 
centro da peça. A peça é usinada, feito de aço AISI2330 WQT1000 ºF e submetida a uma 
carga axial reversa cujo valor máximoé de 22 kN. Para um fator de segurança N=1,5, 
determine o diâmetro do elo no furo: a) para uma vida infinita; b) Para uma vida de 
105ciclos. c) Para o elo no ítem a, qual a máxima tensão de tração? 
 
 
Figura 18 – Exercido proposto 8. 
 
9. O elemento de máquinas mostrado na figura possui espessura uniforme t=b/2,5 e é usinado. 
O material da peça é o aço AISI 1020, laminado. O projeto é para vida infinita e carga 
 
127 
repetitiva de 44 N a 90 kN, sendo que d=b. Pede-se: a) para um fator de segurança 1,8 
(Soderberg), qual deveria ser as dimensões da peça? Qual a máxima tensão de tração 
atuante na peça projetada? 
 
Figura 19 – Exercido proposto 9. 
 
10. A viga mostrada tem uma seção circular e suporta uma carga F que varia de 44,5 a 133,5 
kN, é usinada, aço AISI1020, laminado. Determine o diâmetro D se r=0,2 D e N=2 (fator de 
segurança), vida infinita. 
 
Figura 20- Exercido 10. 
 
11. Idêntico ao exercício 10, exceto que a carga F é constante e igual a 133,5 kN e a viga gira 
com um eixo. 
 
12. Uma viga em balanço está sujeita a uma carga reversa de 133,5 kN. Seja o raio do filete r= 
3 mm e o material da viga é o aço SAE1015. Determine as dimensões t, h (b=1,3 h) para um 
fator de segurança 1,8 baseado nas tensões variáveis. Considere nas seções A e B, vida 
infinita. 
 
128 
 
Figura 21 - Exercido proposto 12. 
 
13. Idêntico ao exercício 12, exceto que a carga F varia de =44,5 kN a 222,5 kN. 
 
14. A peça mostrada na figura é feita de aço C1035, laminado com as seguintes dimensões: 
a= 9 mm; b=22 mm; c=25 mm; d=12,5 mm; L=300 mm; r= 1,6 mm. A carga axial F varia de 
133,5 kN a 222,5 kN e é aplicada através de pinos pelos furos. Pede-se: a) Quais os fatores 
de segurança nos pontos A,B e C se a peça é totalmente usinada. B) Quais as máximas 
tensões nestes pontos? 
 
Figura 22 - Exercido 14. 
 
129 
CAPITULO 05 - EIXOS E ARVORES DE TRANSMISSÃO 
 
5.1 - INTRODUÇÃO 
Eixo é um elemento mecânico rotativo ou estacionário (condição estática) de secção 
usualmente circular onde são montados outros elementos mecânicos de transmissão tais como: 
engrenagens, polias, ventiladores, rodas centradas, entre outros. Os eixos são suportados 
(apoiados) em mancais, de deslizamento ou rolamento, tendo secção quase sempre mássica e 
variável, com rasgos de chavetas para fixação de componentes. A figura 1 mostra uma 
iluminação de um eixo. 
 
Figura 1 – Eixo 
Os eixos são elementos solicitados a esforços de flexão, tração/compressão ou torção, 
que atuam individualmente de forma combinada. Para a segurança do sistema em que o eixo 
está inserido, este deve ser dimensionado para cargas estáticas (parado ou com rotação muito 
baixa) ou dinâmica (altas rotações). Este dimensionamento leva em conta a resistência do 
material de que foi confeccionado, comparam-se as tensões que atuam no mesmo com os 
limites de resistência do material, estáticos (Sy ou Su) ou dinâmicos (Se – fadiga). 
Em certos sistemas mecânicos, o nível de deflexão do eixo pode constituir em um 
parâmetro crítico, devendo o eixo ser dimensionado usando a teoria de deflexão. Em outras 
palavras, a geometria do eixo deve ser definida para os limites aceitáveis de deflexão, antes da 
análise das tensões/resistências. 
 
5.2 - MATERIAIS PARA EIXOS E ÁRVORES 
Há uma grande variedade de materiais possíveis para a fabricação de eixos e árvores. 
De acordo com o serviço devem ter alta resistência e baixa sensibilidade aos efeitos da 
concentração de tenção. 
Para se obter, em um cálculo, diâmetros menores e grandes resistências, pode-se usar 
aços-liga, em geral tratados termicamente. Estes aços, porém têm a desvantagem de serem 
 
130 
caros e de maior sensibilidade às concentrações de tensões. Além disso, o diâmetro é muitas 
vezes subordinado à certas deformações admissíveis, tornando o aço-liga contra indicado, já 
que o problema não é mais de resistência. 
Os aços-carbono, de baixo e médio teor, são, muito usados na fabricação de eixos e 
árvores. Aços muito empregados são os seguintes: SAE 1015, 1020, 1025, 1030, 1040, 1045, 
2340, 2345, 3115, 3120, 3135, 3140, 4023, 4063, 4140, 4340, 4615, 4620 e 5140. 
Como vemos uma grande variedade de material existe para a confecção de eixos e 
árvores. A seleção dependerá sempre das condições de serviço, custo, usinabilidade e 
características especiais por ventura exigidas. É um campo muito aberto em que o projetista 
deve procurar sempre maiores conhecimentos, pois praticamente qualquer material ferroso, 
não-ferroso ou não metálico, pode ser usado, por uma razão qualquer, na execução de um eixo 
ou uma árvore. 
 
AISI Nº Tratamento Temperatura 
 
 ºC 
Tensão de 
escoamento 
Mpa 
Tensão de 
ruptura 
MPa 
Alongamento 
 
% 
Redução de 
Área 
% 
Dureza 
Brinell 
 
1030 Q&T 
Q&T 
Q&T 
Q&T 
Q&T 
Normal 
Annealed 
205 
315 
425 
540 
650 
925 
870 
848 
800 
731 
669 
586 
521 
430 
648 
621 
579 
517 
441 
345 
317 
17 
19 
23 
28 
32 
32 
35 
47 
53 
60 
65 
70 
61 
64 
495 
401 
302 
255 
207 
149 
137 
 
 
1040 
Q&T 
Q&T 
Q&T 
Normal 
Annealed 
205 
425 
650 
900 
790 
779 
758 
634 
590 
519 
593 
552 
434 
374 
353 
19 
21 
29 
28 
30 
48 
54 
65 
55 
57 
262 
241 
192 
170 
149 
 
 
1050 
Q&T 
Q&T 
Q&T 
Normal 
Annealed 
205 
425 
650 
900 
790 
1120 
1090 
717 
748 
636 
807 
793 
538 
427 
365 
9 
13 
28 
20 
24 
27 
36 
65 
39 
40 
514 
444 
235 
217 
187 
1060 Q&T 
Q&T 
Q&T 
Normal 
Annealed 
425 
540 
650 
900 
790 
1080 
965 
800 
776 
626 
765 
669 
524 
421 
372 
14 
17 
23 
18 
22 
41 
45 
54 
37 
38 
311 
277 
229 
229 
179 
Tabela 1 – Características dos Materiais para eixos 
 
131 
AISI Nº Tratamento Temperatura 
 
 ºC 
Tensão de 
escoamento 
Mpa 
Tensão de 
ruptura 
MPa 
Alongamento 
 
% 
Redução de 
Área 
% 
Dureza 
Brinell 
 
1095 Q&T 
Q&T 
Q&T 
Q&T 
Normal 
Annealed 
315 
425 
540 
650 
900 
790 
1260 
1210 
1090 
896 
1010 
658 
813 
772 
676 
552 
500 
380 
10 
12 
15 
21 
9 
13 
30 
32 
37 
47 
13 
21 
375 
363 
321 
269 
293 
192 
1141 Q&T 
Q&T 
315 
540 
1460 
896 
1280 
765 
9 
18 
32 
57 
415 
262 
4130 Q&T 
Q&T 
Q&T 
Q&T 
Q&T 
Normal 
Annealed 
205 
315 
425 
540 
650 
870 
865 
1630 
1500 
1280 
1030 
814 
670 
560 
1460 
1380 
1190 
910 
703 
436 
361 
10 
11 
13 
17 
22 
25 
28 
41 
43 
49 
57 
64 
59 
56 
467 
435 
380 
315 
245 
197 
156 
4140 
 
 
 
 
4140 
Q&T 
Q&T 
Q&T 
Q&T 
Q&T 
Normal 
Annealed 
205 
315 
425 
540 
650 
870 
815 
1770 
1550 
1250 
951 
758 
1020 
655 
1640 
1430 
1140 
834 
655 
655 
417 
8 
9 
13 
18 
22 
18 
26 
38 
43 
49 
58 
63 
47 
57 
510 
445 
370 
285 
230 
302 
197 
4340 Q&T 
Q&T 
Q&T 
Q&T 
315 
425 
540 
650 
1720 
1470 
1170 
965 
1590 
1360 
1080 
855 
10 
10 
13 
19 
40 
44 
51 
60 
486 
430 
360 
280 
Tabela 1 (continuação) – Características dos Materiais para eixos 
 
 
5.3 - CARREGAMENTO ESTÁTICO 
A determinação das dimensões de uma árvore é muito simples quando sujeito somente 
a carregamento estático, principalmente se comparado a quando se tem carregamento 
dinâmico. E mesmo com carregamento dinâmico, muitas vezes é necessário se ter uma boa 
noção das dimensões das peças para se ter um bom começo dos problemas e por isto faz-se 
antes uma analise como se o carregamento fosse estático. 
 
 
132 
5.3.1 - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO,TORÇÃO E ESFORÇO AXIAL 
 As tensões em um ponto na superfície de uma árvore de diâmetro (d) sujeita flexão, 
torção e carregamento axial são: 
23
432
d
F
d
M
x
∗
∗
+
∗
∗
=
pipi
σ (1) 3
16
d
T
xy
∗
∗
=
pi
τ (2) 
Onde a componente axial (F) de σx pode ser positiva ou negativa. Nós observamos que 
há três carregamentos. Momento (M), força (F), e torque (T) aparecem na seção contendo o 
ponto especifico na superfície. 
 Usando o circulo de Mohr podemos mostrar que as 2 principais tensões não nulas, são: 
( ) 2
1
2
2
2
−








+




±=∗ xy
x
xba τ
σ
σσσ (3) 
Estas tensões podem ser combinadas de forma a obter a máxima tensão de 
cisalhamento (τmax) e a tensão de Von Mises (σ’); dando em: 
=
−
=
2max
ba σστ ( ) 2
1
2
2
2 







+





xy
x τ
σ
 (4) 
( ) ( )21222122 3' xyxbbaa τσσσσσσ ∗+=+∗−= (5) 
Substituindo as equações (1) e (2) em (4) e (5) teremos: 
( ) ( )[ ]21223max 882 TDFMd ∗+∗+∗∗ ∗= piτ (6) 
( )[ ]21223 4884' TdFMd ∗+∗+∗∗∗= piσ (7) 
Estas equações nos permitem determinar τmax ou σ’ quando o diâmetro(d) é dado ou 
determinar o diâmetro quando tivermos posse das tensões. 
Se a analise ou projeto da árvore for baseada na teoria da máxima tensão de 
cisalhamento, então τmax é: 
n
S
n
S ySy
all
∗
==
2
τ (8) 
As equações (6) e (8) são úteis para a determinação do fator de segurança(n), se o 
diâmetro for conhecido, ou para determinar o diâmetro se o coeficiente de segurança for 
conhecido. 
 
133 
Uma analise similar pode ser feita levando em conta a teoria da energia de distorção 
para falhas, onde a tensão de Von Mises é: 
n
S y
all ='τ (9) 
5.3.2 - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO E TORÇÃO 
Em varias aplicações, a componente axial (F) das equações (6) e (7) é próxima de zero 
ou tão pequena em relação às outras que pode ser desconsiderada. Daí teremos: 
2
1
22
3max )(
16 TM
d
+∗
∗
=
pi
τ (10) 
( ) 





∗+∗∗
∗
= 2
1
22
3 34
16
' TM
dpi
σ (11) 
É mais fácil resolver estas equações para se encontrar o diâmetro. Substituindo as 
equações (8) e (9) nos temos: 
( ) 3
1
2
1
2232








+∗
∗
∗
= TM
S
nd
ypi
 (12) 
Usando a teoria de máxima tensão de cisalhamento, se o diâmetro for conhecido, 
calcula-se n da seguinte forma: 
( )21223321 TMSdn y +∗∗∗= pi (13) 
Se usarmos como base a teoria de energia de distorção, teremos: 
( ) 3
1
2
1
22 3416








∗+∗∗
∗
∗
= TM
S
nd
ypi
 (14) 
( )21223 34161 TMSdn y ∗+∗∗∗= pi (15) 
Onde: 
n = fator de segurança. n = 1,5 a 2,0 
Sy = limite de escoamento do material. 
M = momento Máximo no eixo. 
T = torque máximo. 
 
 
 
134 
5.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO E 
TORÇÃO 
1. Qual o diâmetro de um eixo mostrado na figura 2, feito de um aço AISI 1035 laminado 
 
 
Figura 2 – Engrenagem no eixo. 



=
=
rpmn
kW
Motor
NF
1750
73,3
700
 
I) Torque: 
n
HT
.
.1030 3
pi
×
=
 , onde H=> Potência em KW, tem-se: 
mNT
T
.35,20
1750.
73,3.1030 3
=
×
=
pi
 
II) Momento: 
mNM
LFM
.5,52
2
3,0
.
2
700
2
.
2
=
==
 
III) Material: 
Pela Tabela => 
MPaS y 462=
 
IV) Segurança: 
Usar n=2. 
V) Diâmetro: 
 
135 
( )
( )
mmd
d
TM
Sy
nd
54,13
35,205,52
10462.
2.32
.
32
 
3
1
2
122
6
3
1
2
122
=






+
×
=






+=
pi
pi
 
 
2. Do exercício anterior visto, tem-se: 
 
mmd 47,13
2 n 
462MPa S
20,35N.m T
52,5N.m M
y
=







=
=
=
=
 
MPa5,551S
462MPa S
20,35N.m T
52,5N.m M
u
y
=
=
=
=
 � 'd.Ke.Kf.SeKa.Kb.Kc.K Se = 
170,1MPa Se
)10551,5 . ,5041)(1)(1)(05)(0,923)((0,78)(0,8 Se
1,0 Kf
1,0 Ke
1,0 Kd
1520MPa)0,923(S Kc
0,85 Kb
0,78 Ka
6
u
=
×=
=
=
=
<=
=
=
 
mmd
d
50,18
105,551
35,20
101,170
5,522.32
3
1
2
1
2
6
2
6
=
























×
+





×
=
pi
 
 
5.5 - DIMENSIONANDO EIXOS PELA NORMA ASME 
OBSERVAÇÃO: a norma ASME para Eixo de Transmissão: 
- Não considera fadiga 
- Não considera concentração de tensão 
 
136 
Segundo a norma ASME – as máximas tensões são cisalhantes: 
ytd S.30,0=τ utd S.18,0=τ (16) 
dτ = máxima tensão cisalhante admissível 
=ytS tensão escoamento admissível 
=uS tensão de ruptura admissível 
As normas prevêem que se as concentrações de tensões estiverem presentes devido a 
entalhe em chavetas, a tensão máxima admissível deve ser diminuída de 25%. A máxima 
tensão cisalhante em um eixo submetido à flexão-torção é dada por: 
2
2
max 2 xy
a τ
σ
τ +





=
 (17)
 
34
.
.32
2
.
64
.
.
d
Md
d
My
I
M
x
pipi
σ === 
34
.
.16
2
.
64
.
.
d
Td
d
My
I
T
x
pipi
τ === 
logo, 
2
33max
.
.16
.
.32
.
4
1






+





=
d
T
d
M
x
pipi
τ 
22
3min
.
16 TM
d
+=
pi
τ 
=xσ tensão de flexão (psi) 
=xyτ tensão de torção (psi) 
=M momento de flexão (lbf.in) 
T = momento de torção (lbf.in) 
d = diâmetro dp eixo (in) 
Segundo o critério da ASME, momento M e T devem ser multiplicados por fatores de 
correção devido a choques e fadiga. 
22
3 .
.
.16 TM
d
T
d +=
pi
τ → ( ) ( )223 ..
.
.16 TCMC
d
T
tmd +=
pi
τ → Fórmula da ASME (19) 
 
137 
para diâmetro de eixos baseado na teoria da máxima tensão cisalhante. Fatores Cm e Ct dados 
na tabela. 
 
5.6 - EIXOS E ÁRVORES SUJEITOS À FADIGA 
Qualquer árvore girante que sofre momento de flexão e torção fixas estão sujeitos a uma 
inversão, reversão completa da tensão causada pelo giro da árvore, mais a tensão de 
cisalhamento permanecerá a mesma. 
 
3
32
d
M a
xa
∗
∗
=
pi
σ (20) 3
16
d
Tm
xym
∗
∗
=
pi
τ (21) 
onde: 
σxa = Tensão de Amplitude Alternada 
τxym = Tensão de Cisalhamento Constante 
Estas duas tensões podem ser manipuladas usando dois círculos de Mohr 
Se estivermos usando a teoria de máxima tenção de cisalhamento, teremos: 
aa τσ ∗= 2 (22) mm τσ ∗= 2 (23) 
Se estivermos usando a teoria da energia de distorção, teremos: 
xaa σσ = (24) xymm τσ ∗= 3 (25) 
 
 
5.6.1 - CRITÉRIO DE FADIGA – GOODMAN 
Para qualquer eixo carregado com um momento de flexão e torção fixos, estará 
submetido a uma flexão reversa provocando tensões alternadas e torção estacionária, 
provocando tensões médias. Assim tem-se: 
3
32
d
M a
ax
pi
σ =
 3
16
d
Tm
mxy
pi
τ =
 (26) 
Usando estas expressões e a equação da linha de Goodman: 
1=+
u
m
e
a
SS
σσ
 (27) 
Pode-se obter, após desenvolvimento analítico que: 
 
138 
3
1
2
1
22
32
























+





=
u
m
e
a
S
T
S
Mnd
pi (28) 
 
5.6.2 – CRITÉRIO DE FADIGA - SODERBERG 
Utilizando o teorema da máxima tensão cisalhante: 
3
.
.16
d
T
xy
pi
τ = 3
.
.32
d
M
x
pi
σ = 
Para qualquer plano fazendo um ângulo α com o plano horizontal tem: 
α
pi
τ α .2cos.
.
.16
3d
T
m = → valor médio 
α
pi
τ α .2.
.
.163 send
M
a = → (amplitude da componente alternativa) 
Por meio da geometria analítica, tem-se que: 
22
3
.16
.






+







=
sesy S
M
S
T
d
n
pi
 (29) 
3
1
2
1
22
.
.16


























+








=
sesy S
M
S
Tnd
pi
 (30) 
Para o critério da máxima tensão cisalhante (usada) 
3
1
2
1
22
.
.32


























+








=
ey S
M
S
Tnd
pi
 (31) 
sendo que: xsx SS .5,0= 
=n Fator de segurança. 
=yS Tensão de escoamento. 
=eS Limite de resistência à fadiga. 
Para casos mais gerais usar equação: 
 
139 
3
1
2
1
2222
.
.32




























+





+








+





=
y
am
e
a
y
m
e
a
S
M
S
M
S
M
S
Tnd
pi
 (32) 
onde: 
=aT Torque (amplitude) 
=mT Torque médio 
=aM Momento (amplitude) 
=amM Momento médio 
 
5.7 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - CRITÉRIO DE FADIGA POR SODERBERG 
1. Um eixo usinado é fabricado de um aço com Su = 550 MPa. Calcular n. 
 Dado: T = 6,0 KN 
500
.175
1
FR = →
500
.325
1
FR = 
=aσ tensão alternada 
2
minmax σσσ
−
=a = maxσ 
a
eSn
σ
= 
Mpa
c
I
M
a 100==σ 
mKNFLRM .420200.
500
.175
.1 === 
64
.
4dI pi= onde: 
32
.
3d
c
I pi
= e 
2
d
c =
 
c
I
MK Fa .=σ 
eedcbae SKKKKKS .....= ´ 
ue SS .504,0´ = 
 
140 
b
ua SaK .= → a = 4,51 e b = -0,265 
847,0550.51,4 265,0 == −aK 
841,0
62,7
1133,0
=





=
−dKb 
1== dc KK 
f
e K
K 1=
 
=fK 0857,0=d
r
 → 72,1=tK → 428,1=d
D
 
( ) 80,058,1)1.1 =→=−+= qKqK tf 
logo, 633,0
58,1
1
==eK 
logo, 
MPaSe 4,124= 
25,1
08,99
4,124
===
a
eSn
σ
 
 
 
2. A transmissão representada na figura é movida por um motor elétrico, assíncrono, de 
indução, trifásico, com potência P= 3,7 kW e rotação n= 1140 rpm. Dimensionar o 
diâmetro da árvore 2, sabendo-se que a árvore é maciça e o material utilizado possui Su 
= 700 Mpa, Sy = 630 Mpa e o fator de projeto é 1,8, com as engrenagens enchavetadas 
no eixo (adotar Kf= 2,8). As engrenagens são cilíndricas (ECDR) e possuem as 
seguintes características geométricas: 
Z1= 23; Z2=49; Z3=28 e Z4= 47 m= 2,5 mm e ângulo de pressão 20º. 
 
141 
 
Figura 3 - Exercício resolvido 1. 
Calculemos o torque na árvore 1 
1
2
2 ..
3000
Z
Z
n
PM T pi
= 
A potência do motor - P = 3700 W 
Portanto 
23
49
.
1140
3700
.
3000
2 pi
=TM → mmNM T .030.662 = 
Esforços na transmissão: 
Força tangencial (FT) 
Força tangencial (no primeiro par) 
Diâmetro primitivo 
2
2
0
.2
d
M
F TT = 
49.5,2. 202 == Zmd → mmd 5,12220 = 
5,122
660302xFT = → NFT 078.1= 
Diâmetro primitivo: 
28.5,2. 303 == Zmd → mmd 7030 = 
70
660302xFT = → NFT 887.1= 
Força radial no primeiro par 
º20.tgFF TR = 
º20.1078 tgFR = → NFR 392= 
 
 
142 
Força radial no segundo par 
º20.tgFF TR = 
º20.1887 tgFR = → NFR 687= 
 
Momento fletor 
Plano vertical 
100.392500.687.600
0
+=
=Σ
VB
A
R
M
 
NR VB 638= 
 
687392
0
+=+
=Σ
BVVA
y
RR
F
 
NR VA 441= 
 
 
 
 
Figura 4 – Forças cisalhantes, diagrama de 
momento fletor no plano vertical 
400.392500.max −= AVRM 
mmNM .700.63max = 
 
 
143 
Plano Horizontal 
500.1887100.1078.600
0
−=
=Σ
HB
A
R
M
 
NR HB 1393−= 
18871087
0
−=+
=Σ
BHHA
y
RR
F
 
NR HA 584= 
22
max VH MMM += 
22
max 13930063700 +=M 
mmNM .174.153max = 
 
 
 
 
Figura 5 – Forças cisalhantes, diagrama de 
momento fletor no plano horizontal 
 
Cálculo do diâmetro considerando cargas estáticas 
TMTC 
3
1
2
1
22 ).(
.
.32






+= TM
Sy
nd
pi
 
3
1
2
1
22 )66030153174.(
630.
8,1.32






+=
pi
d → mmd 95,16= 
TED 
3
1
2
1
22 ).3.4.(
.
.16






+= TM
Sy
nd
pi
 → mmd 99,16= 
Cálculo do diâmetro considerando carregamento dinâmico 
ue SS .504,0' = 
700.504,0' =eS → MpaSe 8,352
'
=
 
 
144 
b
ua SaK .= → a = 4,51 e b = -0,265 
784,0700.51,4 265,0 == −aK 
1133,0
62,7
−






=
dKb 
91,0
62,7
93,16 1133,0
=





=
−
bK 
1== dc KK 
f
e K
K 1=
 
8,2=fK → 357,0=eK 
'
..... eedcbae SKKKKKS = 
8,352357,01191,0784,0 xxxxxSe = 
Cálculo do diâmetro pelo critério de Goodman 
3
1
2
1
22
.
.32
























+





=
Su
Tm
Se
Mand
pi
 
3
1
2
1
22
700
66030
86,84
3,155215
.
8,1.32
























+





=
pi
d → mmd 15,32= 
 
 
5.8 – CHAVETAS / PINOS 
Chavetas e pinos são dispositivos mecânicos usados para fixar no eixo, engrenagens, 
polias e outros elementos de tal forma que o torque possa ser transmitido através dele. Os 
pinos são usados com duplo propósito, o de transmitir o torque e evitar deslocamento axial do 
componente montado no eixo. A figura abaixo ilustra estes dispositivos. 
 
145 
 
Figura 6 – Chavetas e Pinos. 
 
 
5.9 - UNIÃO DE EIXOS COM CUBOS 
O cubo é a parte centra do elemento (polia, engrenagem, etc.) onde é realizado um 
rasgo para a fixação da chaveta. 
 
Figura 7 – União de eixos com chavetas cúbicas. 
A chaveta é uma peça que vai ocupar o rasgo no eixo e no cubo, simultaneamente, 
fazendo a união dos mesmos. 
Os principais tipos de chavetas, as mais usadas são definidas por normas (padrões). 
Estas chavetas são do tipo: 
• Chaveta meia-lua (woodruff) 
• Chaveta plana. 
• Chaveta inclinada. 
A figura 8 mostra estas chavetas e a geometria, bem como a forma de usinagem do 
rasgo. Observar que os rasgos das chavetas meia-lua são usinados com fresa circular as 
chavetas planas e inclinadas com fresa circular e de topo. 
 
146 
Para exemplificar os padrões de chavetas tem-se: 
• Uniões por adaptação de forma. 
• Uniões por adaptação de forma com pretensão. 
• Uniões por atrito. 
• Chaveta meia-lua. 
• Chavetas planas e inclinadas. 
 
 
Figura 8 – Tipos de Chavetas 
 
 
5.10 - DIMENSIONAMENTO DE CHAVETAS 
Como já foi visto anteriormente, as chavetas são tabeladas quanto a sua secção.O 
dimensionamento da chaveta consiste em determinar o seu comprimento mínimo (L), como é o 
caso das chavetas planas e inclinadas (as mais usadas). 
 
147 
 
Figura 9 – Dimensionamento das chavetas. 
 
As tensões que atuam nas chavetas são determinadas da seguinte forma: 
 
Figura 10 – Tensões atuantes nas chavetas. 
Quando a chaveta acopla (une) um eixo e uma polia, a transmissão de potencia do eixo 
para a polia, força a chaveta de forma inclinada. Esta força (F) tende a cisalhar (rasgar) a seção 
AA’ da chaveta. Logo: 
Lt
F
A
F
.
==τ
 Modelo Matemático (33) 
Comparando com o limite de resistência cisalhante ao escoamento (Ssy) e para um fator 
de segurança n, tem-se: 
n
S
Lt
F
n
S sysy
=⇔=.
τ
 (34) 
 
 
5.11 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – CHAVETAS 
1. Um eixo de aço AISI 1018 (ABNT) trefilado a frio tem Ssy = 185MPa. Uma chaveta 
quadrada deve ser usada para acoplar um eixo de d = 40mm e uma engrenagem, que 
transmitirão 22,38KW a uma rotação de 1100rpm. Usar fator de segurança n = 3,0. 
 
148 
2
d
TF =
 => Força na chaveta 
mmRdR 20
2
40
2
=⇒==
 
Como: 
n
HT
.
.1030 3
pi
×
=
 , onde H=> Potência em KW, tem-se 
 
Figura 11 – aplicação de chaveta. 
mNTT .2,194
1100.
38,22.1030 3
=⇒
×
=
pi
 
Logo: 
NFF 9713
1020
2,194
3 =⇒×
=
−
 
Para a chaveta, temos: 
mmL
L
S
n
t
FL
n
S
Lt
F
sy
sy
7,19
10185
3
.
008,0
9713
.
.
.
6
=
×
=
=
=
 
� Observar que, o comprimento mínimo é L = 19,7mm como a geometria do cubo é 
maior do que o diâmetro do eixo, e como as chavetas têm o comprimento do cubo, 
pode-se dizer que o comprimento da chaveta a ser usada é: 
mmL 40≥
 
 
 
 
149 
5.12 - VIBRAÇÃO DE EIXOS 
A figura 12 mostra um rotor consistindo de um grande disco de massa M montado em 
um eixo, na metade da distância entre os mancais. A massa do eixo será considerada 
desprezível comparada com M. Mesmo com um balanceamento de alto grau de precisão, há 
contudo uma pequena excentricidade e do centro de massa g do disco, em relação ao eixo de 
rotação. Por causa da excentricidade, a força centrífuga ocasionada pela rotação do eixo faz 
com que este sofra uma deflexão r. Visto pela extremidade do eixo como na figura 12, o centro 
O do disco parece estar girando em torno do eixo de rotação sobre uma circunferência de raio r. 
A força de inércia causada por este movimento forçado é Fo = M(r + e) w2. Devido à deflexão do 
eixo, considerado como uma mola, a resistência à força de inércia é kr, sendo k a constante de 
mola do eixo na flexão. O sentido da aceleração do centro de gravidade g é conhecido neste 
caso, de modo que se pode mostrar o vetor MA como uma força de inércia Fo (como na figura 
12). Pode-se então escrever a equação do equilíbrio estático: 
 
2
0
( ) 0
F
M r e w k r
=
+ − =
∑
 (35) 
 
Figura 12 - Rotor com disco 
 
 
150 
Para se determinar o raio r, pode-se apresentar a equação (35) da seguinte forma: 
( )
2
2
ew
r
k wM
=
−
 (36) 
Quando a velocidade ω do eixo for igual a /k M , o denominador da equação (36) se 
anulará e r atingirá valores intoleravelmente grandes. A rotação do eixo assim defletido parece 
com uma viga em vibração quando visto do lado onde somente pode-se observar a projeção do 
movimento. Portanto, pode-se considerar /k M do eixo rotativo como a freqüência circular 
natural ωn da viga quando levada a vibrar naturalmente no seu primeiro modo de vibração. 
Pode-se escrever a equação (36), na forma adimensional: 
2
2
( / )
1 ( / )
n
n
w wr
e w w
=
−
 (37) 
A representação gráfica da equação (37) e indica a condição crítica de rotação, quando 
ω for igual a ω
 n = 
/k M
, devido às amplitudes muito grandes da vibração do eixo. Na 
condição crítica, chama-se ω de ωc e a velocidade de rotação do eixo em rotações por minuto 
será 
60 60
2 2c c n
n w w
pi pi
= =
(38) 
onde ω
 n = 
/k M normalmente é expresso em rad/s. Assim, 
60 60 9,55 9,55 29,9 30
2 2c n
k k kg k k
n w
M M P P Ppi pi
= = = = = �
 (39) 
na qual nc è a velocidade crítica em rotação por minuto, k está em Newtons por metro e M. em 
quilogramas. Pode-se calcular a constante k da mola através da deflexão estática δest do eixo 
devido ao peso do rotor. Assim, k = Mg/δest e quando substituído na equação (39), a velocidade 
crítica será expressa pela seguinte equação: 
130c
est
n δ=
 (40) 
Segundo os livros-texto de resistência dos materiais, pode-se calcular a deflexão 
estática de uma carga P atuando no centro de uma viga uniforme bi-apoiada, como δest = Pl3/48 
EIA. Assim, a velocidade crítica de um eixo com uma massa M situado no meio da viga, pode 
ser calculada em termos das dimensões do eixo (l é o comprimento do eixo, entre apoios, IA é o 
≅
 
151 
momento de inércia da área da seção reta do eixo, igual a πd4/64, d é o diâmetro do eixo) e do 
módulo de elasticidade E do material do eixo. 
4
346c
Ed
n
Pl
=
 (41) 
Assim, de acordo com a equação (41), pode-se alterar o material e as dimensões do 
eixo, assim como o peso da massa Af, de modo que a velocidade crítica nc seja superior ou 
inferior à velocidade de projeto n na qual deseja-se operar. Caso n/nc for menor do que 0,707 
ou maior do que 1,414, r será menor do que o dobro da excentricidade e. Por exemplo, se a 
excentricidade e for 0,025 mm, r será 0,050 mm quando n/nc = 2 . 
É interessante observar que em velocidades muito acima da crítica (ω/ωn>>1,0), o valor 
de r/e = -1 e r = - e, indicando que o centro de massa de M estará no eixo de rotação. Neste 
caso a massa não estará oscilando, porém o eixo oscilará em torno do centro de massa de M. 
Até agora, considerou-se desprezível a massa do eixo. No caso da massa do eixo ser 
grande bastante para não ser desprezada, e o eixo ter diâmetro uniforme, deve-se somar à 
massa M 50 por cento da massa m do eixo, para se determinar à freqüência circular natural. 
( 0,5 )n
k
w
M m
=
+
 (42) 
Conforme mostra a figura 12, supõe-se que os mancais do eixo sejam rígidos. Em certos 
casos, pode-se considerar os mancais como elasticamente apoiados, e neste caso o δest da 
equação (40) deve incluir a deflexão estática dos apoios assim como a deflexão do eixo. 
Entretanto, aplica-se a equação (40) somente quando a flexibilidade dos apoios for a mesma 
para todas as posições angulares do rotor. 
 
 
5.13 - FREQÜÊNCIA NATURAL E VELOCIDADE CRÍTICA 
Pode-se ter uma variedade muito grande de configurações de rotores desde que sejam 
usadas diversas massas e diversos apoios, assim como eixos de diâmetros variáveis. Embora 
as curvas do fator de amplificação sejam difíceis de serem obtidas matematicamente, as 
velocidades críticas dos eixos são determinadas com relativa facilidade através de cálculos de 
freqüência natural. No próximo item, serão apresentados diversos casos de determinação da 
velocidade crítica a partir da freqüência natural. 
 
 
 
152 
5.14 - FREQÜÊNCIA NATURAL DE EIXOS COM DIVERSAS MASSAS 
Em um eixo rotativo com diversas massas conforme mostra a figura 13a, pode-se 
determinar a freqüência circular natural ωn do eixo que, sem girar, vibra livremente, sem 
amortecimento, após uma deflexão inicial no primeiro modo de vibração. 
Pode-se aplicar o método de Rayleigh neste caso. Considerando que o sistema 
vibratório é conservativo, a soma da energia potencial e da cinética é constante em qualquer 
fase da vibração. Duas destas fases analisam-se facilmente. Na fase em que todas as massas 
estão simultaneamente nos máximos deslocamentos Y, a energia armazenada elasticamente 
no eixo é igual è energia potencial ∑ FY/2. Nesta fase a energia cinética é zero porque todos os 
pontos do sistema estão momentaneamente com velocidade zero. Assim, a energia potencial é 
1 1 2 2
...
2 2 2
n nF YFY F YEP = + + +
 (43) 
As forcas F são as necessárias para a deflexão do eixo, como se fosse uma mola, ate 
ficar com a conformação mostrada nesta fase. O produto forca-deslocamento determina energia 
potencial. Entretanto, como a forca e diretamente proporcional ao deslocamento, a forca media 
que atua durante o deslocamento Y e F/2. 
Durante a vibração, o eixo passa pela fase de repouso (não deformada) na qual a 
energia potencial e zero, mas a energia cinética e máxima porque as velocidades das massas 
são máximas. Considerando que as massas tem movimento harmônico simples, as velocidades 
são V = Yωn e asenergias cinéticas são MV2/2 = M(Yωn)2/2. Assim, a energia cinética do 
sistema é 
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2... ...2 2
n n
n n n n
w wEC M Y M Y M Y PY P Y P Y
g
   = + + + = + + +   
 (44) 
 
(a) Flexão dinâmica 
 
153 
d1 d2 d
3
W3W2W1
 
(b) Flexão estática 
 
Figura 13 – Flexão 
Igualando-se os membros da direita das equações (43) e (44), pode-se deter-minar a 
freqüência circular natural ωn. Entretanto, as forças F e os deslocamentos Y não são 
conhecidos, mas podem ser determinados considerando-se a forma do eixo defletido 
estaticamente sob a ação dos pesos conforme indica a figura 13b. Considerando que os 
deslocamentos Y da vibração são proporcionais as deflexões δ da deformação estática, então 
1 2
1 2
...
n
n
YY Y
δ δ δ= = =
 (45) 
Como as formas para defletirem uma mola são proporcionais as deflexões então 
1 1 2 2
1 1 2 2
, ,
n n
n n
F YF Y F Y
P P Pδ δ δ= = =
 (46) 
Igualando as expressões da energia potencial e da cinética dadas pelas equações (43) e 
(44) e usando as equações (45) e (46) para a eliminação de F e Y, a equação resultante que da 
a freqüência circular natural é 
[ ]1 1 2 22
2 2 2
1 1 2 2
...
...
n n
n
n n
P P P
w g
P P P
δ δ δ
δ δ δ
+ + +
=
 + + + 
 
2
2n
P
w g
P
δ
δ
=
∑
∑
 (47) 
e a velocidade critica pode-se determinar de nc = 60 ωn /2π. 
A equação de Rayleigh equação (47) e uma expressão simples e altamente útil para 
determinar a freqüência natural fundamental de muitos tipos de rotores. A determinação da 
deflexão estática constitui a maior parte do esforço necessário na execução dos cálculos 
conforme está ilustrado nos exemplos seguintes. As fórmulas de deflexão de vigas, para 
inúmeros casos, estão disponíveis em livros texto de resistência dos materiais e em manuais. 
Pode-se aplicar o método da área do diagrama de momento fletor e outros em casos gerais. 
Dispõe também de métodos gráficos, conforme ilustrado no item seguinte, para a determinação 
das deflexões estáticas de rotores com eixos de diâmetros variáveis. 
 
154 
Para inclusão da massa do eixo nos cálculos, deve-se dividi-lo em diversos 
comprimentos, cada um tratado como se fosse uma massa adicional. 
A equação (47) não e estritamente uma avaliação exata da freqüência natural porque a 
curva das deflexões estáticas não e proporcional exatamente a curva deflexões dinâmicas, 
como foi considerado. Entretanto, o resultado obtido equação e somente um ou dois por cento 
superior a freqüência natural funda verdadeira. Considerando que outros fatores tais como 
efeitos giroscópicos durante a oscilação, ajustagens forçadas de discos no eixo, e chavetas 
alteram raramente a velocidade critica, a equação (47) produz uma resposta aceitável. A 
deflexão dos apoios pode ter uma influencia maior sobre as velocidades críticas e devem ser 
acrescidas as deflexões do eixo, na equação (47). 
A freqüência natural dada pela equação (47) é a fundamental, ou a mais baixa 
freqüência do sistema de massas. É desejável, portanto, se possível projetarem-se as 
dimensões de um, eixo de tal modo que a velocidade crítica mais baixa seja superior à 
velocidade de projeto. Entretanto, nem sempre isso é possível. Em turbinas de alta rotação, a 
velocidade de operação pode estar entre duas velocidades críticas de modo que o eixo não 
necessita tornar-se excessivamente pesado. Neste caso, é necessária a passagem pela 
velocidade crítica mais baixa, o que pode ser perigoso. Entretanto, se o rotor estiver 
cuidadosamente balanceado e a primeira velocidade crítica for baixa, as forças perturbadoras 
serão pequenas nas regiões perto da crítica. Também, a amplitude de vibração à velocidade 
crítica aumenta a níveis perigosos somente se for permitido um tempo para a amplitude crescer; 
portanto, acelerando-se na passagem pela velocidade crítica, pode-se manter as amplitudes em 
intensidades aceitáveis. O amortecimento natural do material do eixo, embora pequeno, 
também tende a reduzir as amplitudes. Muitas máquinas bem sucedidas foram projetadas para 
funcionar entre velocidades críticas. 
Quando o eixo se estende para fora dos mancais como na figura 12a, deve-se inverter 
os sentidos dos pesos como indica a figura 12b na determinação das deflexões estáticas para 
emprego na equação (47). Deve-se notar que se simula dessa maneira a curva da deflexão 
dinâmica de meia-onda, para obtenção da freqüência natural mais baixa. 
 
155 
 (b) 
Figura 14 – Freqüência natural da estrutura 
 
 
5.15 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – VIBRAÇÕES EM EIXOS 
1. Um rotor de compressor de 25 kg e um rotor de turbina, de 15 kg, são montadas em um 
eixo de aço conforme mostra a figura 13a. O eixo deve operar à velocidade prevista de 
10.000 rpm. Empregando a equação de Rayleigh (47) determine o diâmetro do eixo 
mais leve que possa ser usado para que tenha uma velocidade critica fundamental de 
12.000 rpm, com uma margem de segurança de 2.000 rpm. 
(a) 
 
156 
(d) 
Figura 15 – Aplicação de vibrações em um eixo 
Conforme a figura 15b mostra, inverte-se a carga P2 a fim de se obter uma curva de 
deflexão com o formato do uma meia-onda simples. As figuras 15c e 15d mostram a 
forma da viga deformada sob a ação de cada carga atuando independentemente, 
conduzindo assim a dois casos cujas fórmulas deflexão estática mostradas a seguir 
encontra-se em livros-texto de resistência dos materiais. Pelo método da superposição, 
pode-se determinar as deflexões δ1 e δ2: 
3 2
1 2
1 1 1
3 2
48 16
1 25 0,50 15 0,50 0,25 0,12369
48 16
A A
A A
Pl P l a
EI EI
EI EI
δ δ δ′ ′′= + = + =
 × × ×
= + = 
 
 
2 2
1 2
2 2 2
( ) 0,322
16 3A A A
Pl a P a l a
EI EI EI
δ δ δ +′ ′′= + = + =
 
Usando-se a equação (47), 
(a) 
(b) 
(c) 
 
157 
2 1 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
25 0,12369 15 0,332
25 0,12369 15 0,332n A
P P
w g gEI
P P
δ δ
δ δ
 + × + × 
= =   + × + ×  
 
Para g= 9,81m/s² e E= 2,1 x 1010 kg/m² 
2 10
10 2
81,678 10 
0,012243 10
n A
A n
w I
I w−
= ×
= ×
 
Para nc= 12.000 rpm 
2 1260 rad/s
60
c
n
n
w
pi
= =
 
Portanto, o momento de inércia necessário do eixo é: 
10 20,012243 10 1260AI
−
= × ×
 
Como IA= πd4/64, 
4 -1064 395973, 4762 10Ad Ipi
= = ×
 
0,0793 79,9 d m mm= =
 
Deve-se usar um diâmetro de 80mm. 
 
2. Os apoios do rotor do exemplo 1, figura 15a, foram considerados como rígidos. 
Determine a velocidade crítica do rotor do exemplo 1 se cada um dos apoios sofrer uma 
deflexão de 0,14/EIA sob um carregamento estático. Use IA = 1,84 x 10-6 m4 e E = 2,1 x 
1010 kg/m2. 
 
Devido à flexibilidade dos apoios, as cargas Pl e P2 terão uma deflexão adicional. 
Conforme indica a figura 16, sob o carregamento, o apoio da esquerda desloca-se para 
baixo e o da esquerda para cima. Como se pode ver, não há influência nobre a deflexão 
da carga P1, porém o deslocamento de Pl aumenta de 0,28/EIA. Portanto as deflexões 
estáticas totais são 
1
0,12369
AEI
δ =
 
2
0,332 0, 28 0,612
A A AEI EI EI
δ = + =
. 
Substituindo estes valores na equação (47), 
 
158 
2 774602
880,1 rad/s
60 60 (880) 8404 rpm
2 2
n
n
c n
w
w
n w
pi pi
=
=
= = =
 
 
 
5.16 - EIXOS ESCALONADOS 
A equação (47) para velocidade crítica se aplica a eixos de rotores do tipo mostrado na 
figura 10a, no qual o diâmetro varia em degraus. Entretanto, como IA é variável em tais casos, 
não se derivam com facilidade para as deflexões estáticas. Pode-se usar um dos diversos 
métodos gráficos, tal como o seguinte. 
 
Figura 16 – Eixos Escalonados 
Deve-se recordar da resistência dos materiais que para se determinar à deflexão 
estáticadeve-se resolver a equação diferencial básica: 
2
2
d
dx A
y M
EI
=
 (48) 
Na qual y é a deflexão, M é o momento fletor como função de x, e IA é O momento de 
inércia da seção reta do eixo, como função de x. Integrando-se duas vezes a equação (48) 
obtém-se a deflexão da viga. A primeira integração conduz a dy/dx, inclinação da curva elástica 
da viga deformada. Além disso, iniciando-se com as cargas da viga, necessitam-se de duas 
integrações para a obtenção do diagrama do momento fletor. Assim, necessita-se de quatro 
integrações para se obterem as deflexões a partir do carregamento conhecido. 
Como o processo de integração é o somatório de áreas sob as curvas, pode-se 
empregar um método gráfico para um somatório para vigas complexas que têm funções com 
numerosas descontinuidades. O método gráfico exige que as curvas sejam traçadas em escala 
0,14
AEI
0,14
AEI
0, 28
AEI
 
159 
a fim de que as áreas sob as curvas possam ser avaliadas através da medição de quadrados 
ou usando-se um planímetro. 
A figura 17a mostra um rotor de aço com uma engrenagem de 89,0 N e um eixo de três 
diâmetros diferentes. Divide-se a viga em cinco partes, mostrando-se os pesos de cada parte 
no respectivo centro de gravidade. Uma delas inclui o peso da engrenagem. A figura 17a é um 
diagrama de carregamento a partir do qual pode-se determinar o diagrama de esforço cortante 
mostrado na figura 17b através de métodos convencionais (a primeira integração). Obtém-se o 
diagrama de momento fletor da figura 17c através das áreas do diagrama de esforço cortante (a 
segunda integração). Por exemplo, a ordenada M1 é obtida a partir da área Al, a ordenada M2, 
é a soma das áreas A1+A2 e a ordenada Mn é 1
n
A∑
. Deve-se levar em conta o sinal de cada 
área. Devem-se multiplicar as áreas em milímetros quadrados pelo fator de conversão 
apropriado obtido das escalas do diagrama de esforço cortante, afim de que as ordenadas do 
diagrama de momento fletor sejam em N/mm. 
 
160 
 
Figura 17 – Deflexões em um eixo de carregamento conhecido 
Depois de realizadas as integrações, deve-se transformar o diagrama de momento fletor 
no diagrama M/EIA conforme exigido pela equação (48). Divide-se cada ordenada do diagrama 
de momento fletor pelo valor adequado de EIA (E = 207x x 103 N/mm2 para o aço e IA = πd4/64) 
para obtenção das ordenadas M/EIA da figura 17d. Obtém-se as ordenadas da figura 17 e 
representando a inclinação dy/dx da elástica (terceira integração), através das áreas do 
diagrama M/EIA. As ordenadas traçadas a partir do eixo x' são todas positivas. Entretanto, sabe-
se do formato esperado da elástica que as inclinações são negativas perto da extremidade da 
esquerda da viga, positivas na extremidade da direita e nas proximidades do meio da viga há 
uma inclinação nula. Assim, traça-se o eixo x escolhido arbitrariamente de tal modo que as 
 
161 
áreas negativas sejam aproximadamente iguais às positivas, na figura 17e. Faz-se a quarta 
integração usando-se as áreas da figura 17e para obtenção das ordenadas da deflexão estática 
y na figura 17f. Observa-se que as ordenadas da deflexão estática são negativas porque as 
áreas da curva dy/dx são negativas na extremidade da esquerda onde se inicia a integração. 
Embora estas ordenadas sejam levantadas a partir do eixo x\ traça-se o eixo x conforme 
indicado porque se sabe que são nulas as deflexões da viga nos apoios. Como o eixo x, traçado 
arbitrariamente no diagrama da inclinação da elástica figura 15e, havia dividido igualmente as 
áreas negativas e positivas, então o eixo x' e o x da figura 15f deveriam coincidir. 
Dos dados das curvas a e f, calculam-se os seguintes valores: 
2
2 6
2
c
2,94 0,0385
0,794 10
865 rad/s
60(865)
n 8260 rpm
2
n
n
Py N mm Py mm
Py
w g
Py
w
pi
= ⋅ = ⋅
= = ×
=
= =
∑ ∑
∑
∑
 
 
 
5.17 - VELOCIDADES CRÍTICAS DE ORDEM SUPERIOR 
Para rotores que tem eixos de diâmetros variáveis como no item precedente, a 
determinação da segunda velocidade critica e as velocidades de ordem superior quanto à 
flexão, e relativamente mais complexa do que o cálculo da velocidade crítica fundamental da 
equação (47). Os livros-texto de Timoshenko, Den Hartog e Thomson apresentam métodos 
para rotores com tais eixos e para um número de rotores com eixos uniformes com e sem 
massas concentradas. No casos de vigas uniformes simplesmente apoiadas e vigas uniformes 
em balanço para as quais a formula seguinte calcula as diversas freqüências naturais: 
3
A
n n
EI g
w C
Pl
=
 (49) 
E o coeficiente que indica a n-ésima freqüência natural, P e o peso total da viga em kg, e 
/ e o comprimento da viga em metros. O eixo de transmissão do automóvel e eixo de bobina 
são exemplos de vigas uniformes simplesmente apoiadas, e as palhetas de compressores e de 
turbinas são exemplos aproximados de vigas uniformes em balanço. 
 
162 
Consideremos o caso da palheta do rotor mostrada na figura 18. Mostra-se a palheta 
como uma viga em balanço a qual sofre um ciclo de perturbação de flexão cada vez que passa 
por uma palheta do estator e provoca uma mudança na força aerodinâmica. Se N e o número 
de palhetas do estator, então a freqüência da perturbação em ciclos por minuto será o produto 
de N pela rotação do rotor em rpm. Quando essa freqüência coincidir com a freqüência natural 
fn da palheta devida à flexão, existira uma situação crítica. Para a palheta de aço mostrada na 
figura 16, os cálculos seguintes ilustram a determinação das diversas velocidades criticas do 
rotor para o caso de um estator de 30 palhetas. 
23 /10207 mmNxE = 2/9810 smmg = mmI 2,76= 
4
33
1,68
12
18,34,25
12
mm
xbhI A === 
36 /105,76 mmNxp −= 
6
3
n1 1 3 3
n
volume (25, 4 76, 2 3,18)(76,5 10 ) 0, 471 N
(207 10 ) 68,1 9810
w 3,52 2870 rad/s
0, 471 76, 2
f
Ag
P p
EI
c
Pl
−
= × = × × × =
× × ×
= = =
×
n1
1
60w 60 2870 27, 400 ciclos/min
2 2pi pi
= = × =
 
 
Figura 18 – Encaixe palheta e rotor 
 
163 
A velocidade crítica do rotor ocorre gerando n1 c1f nN= . 
n1
c1
f 27400
n 913 rpm
N 30
= = =
 
A segunda e a terceira velocidades críticas são 
2
c2 c1
1
3
c3 c1
1
22, 4
n n 913 5810 rpm
3,52
61,7
n n 913 16000 rpm
3,52
c
c
c
c
= = × =
= = × =
 
Em geral as palhetas de rotores devem ser delgadas e leves para maquinas de alta 
rotação e freqüentemente ultrapassam a primeira e a segunda velocidades criticas. A seleção 
do material e importante. Alguns materiais possuem propriedades de amortecimento melhores 
do que outros, e isto pode significar a diferença entre o êxito e o fracasso em ultrapassar as 
velocidades criticas. As palhetas geralmente são curvas e sua espessura diminui gradualmente, 
sendo maior na base do que na extremidade: isto torna a palheta mais rígida e aumenta um 
pouco a velocidade critica. Observação: não deve ser utilizado em vigas não uniformes. 
 
 
5.18 - EIXOS ESCALONADOS 
Quando o eixo tem os diâmetros escalonados como o do rotor de dois discos mostrados 
na figura 22, a constante da mola torcional é variável. Pode-se determinar uma constante 
equivalente kt em função das constantes individuais kl, k2, k3...Kn. Para molas em série, o 
torque instantâneo T em cada seção do eixo é o mesmo. Entretanto, os ângulos de torção 
diferentes. O ângulo total de torção Φt é a soma de todos os ângulos individuais de torção. 
1 1 2 3
1 2 3
1 2 3
...
...
1 1 1 1 1
...
1 1
n
t n
t n
t
T T T T T
k k k k k
k k k k k
k k
φ φ φ φ φ= + + + +
= + + + +
= + + + +
=∑
 (50) 
Para o rotor com dois discos e com eixos de diâmetro variável, pode-se substituir kt, 
determinado pela equação (50). 
 
164Figura 19 - Eixo e mancais 
 
 
 
 
5.19 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS 
1. O eixo da figura suporta uma engrenagem cilíndrica de dentes retos para uma rotação de 
315 rpm. O diâmetro primitivo da engrenagem é de 364 mm, t=310mm, t1=120 mm, 
t2=190 mm. Dimensione este eixo, calculando o valor de d. A engrenagem é enchavetada 
no eixo. A carga total atuando no eixo é de 15 KN. 
 
Figura 21 - Exercício proposto 1. 
 
2. Um eixo é fabricado com aço AISI 1137, laminado a frio, e é usado em um cortador de 
grama. A potência é suprida ao eixo por uma correia plana à polia A. Em B, uma corrente 
de rolos exerce uma força vertical e em C uma correia trapezoidal também exerce uma 
força vertical. Nas condições de operação a correia transmite 35 HP a 425 rpm das quais 
25 HP é transmitida ao cortador e 10 HP para o ventilador. As duas seções do eixo são 
 
165 
unidas por um acoplamento flexível em D e as polias são todas enchavetadas no eixo. 
Decida qual serão os diâmetros dos eixos, utilizando a teoria de falhas de Von Mises e o 
critério de Goodman. 
 
 
Figura 22 - Exercício proposto 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
166 
 
3. Um eixo S de aço AISI 1137, laminado a frio, transmite potencia que recebe de um eixo 
W, que gira a 2000 rpm através de uma engrenagem E de 125 mm de diâmetro à 
engrenagem A de 375 mm de diâmetro. A potência é transmitida de uma engrenagem C 
para a engrenagem G, que varia de 10 HP a 100 HP, retornando a 10 HP, durante uma 
rotação de do eixo S. O projeto leva em conta as tensões variáveis e a teoria da máxima 
tensão cisalhante TMT|C e o critério de Goodman. Para um fator de projeto n=1,8, 
calcule o diâmetro do eixo, utilizando somente as cargas tangenciais motoras. 
 
Figura 23 - Exercício proposto 3. 
 
167 
4. Idêntico ao anterior, exceto que as componentes radiais das engrenagens devem também 
ser consideradas, todas as engrenagens com ângulo de pressão 20o. 
 
5. Idêntico ao exercício 4, exceto que a engrenagem G se posiciona em cima da 
engrenagem C. 
 
6. Um pequeno eixo é fabricado com aço SAE1035, laminado a quente, recebe potência de 
30 HP a 300 rpm, através de uma engrenagem de 300 mm de diâmetro, sendo esta 
potência transmitida a outro eixo através de um acoplamento flexível. A engrenagem é 
enchavetada no meio do eixo entre dois mancais, com ângulo de pressão 20o, fator de 
segurança n=1,5. 
(a) Desprezando a componente radial R da carga total W, determine o diâmetro do eixo. 
(b) Considerando ambas componentes radiais e tangencial, determine o diâmetro do 
eixo. 
 
 
Figura 24 - Exercício proposto 6. 
 
168 
CAPITULO 06 - LUBRIFICAÇÃO E MANCAIS DE DESLIZAMENTO 
 
 
6.1 - INTRODUÇÃO 
 
 O movimento dos elementos ou peças de máquina exige superfícies de apoio, algumas 
das quais são fácil e completamente lubrificadas outras lubrificadas deficientemente e com 
dificuldade e, ainda outras, não recebem qualquer lubrificação. Em muitas situações, quando o 
movimento é pequeno e a carga leve, o projetista se contenta em prever um furo de óleo, ou 
outro dispositivo simples, e de fazer depender do operador da máquina a aplicação periódica do 
lubrificante. Entretanto, quando a carga ou à velocidade, ou ambas, são elevadas, como 
acontece comumente nas máquinas modernas, a lubrificação, seja por óleo, por ar ou outro 
fluido, deve ser projetada para atender as condições de operação e evitar dificuldades que, sem 
isso, adviriam. A lubrificação não é a apenas o lubrificante. Depende da carga, velocidade, 
folgas, comprimento e diâmetro do mancal e, talvez, do tipo de superfície. 
 
 
6.2 - LUBRIFICANTES. 
 
Os óleos animais ou vegetais são lubrificantes, mas, é claro, os mais importantes dos 
óleos são os derivados de petróleo. Os modernos óleos de petróleo contem, usualmente, um ou 
mais aditivos que objetivam a melhoria de alguma propriedade particular do óleo. Assim, são 
usados aditivos com os seguintes objetivos: para reduzir a taxa de e oxidação do óleo 
(antioxidantes); para limpar as superfícies das maquinas (detergentes); para reduzir a corrosão 
(anticorrosivos); para manter os produtos da decomposição em um estado coloidal 
(dispersantes); para prevenir o contato de metal com metal, como no caso dos dentes de 
engrenagem (agentes para extrema pressão); para reduzir ferrugem (antiferruginosos); para 
baixar o ponto de congelamento; para diminuir a variação do índice de viscosidade com a 
temperatura e para prevenir a formação de espuma. 
 Os lubrificantes sintéticos estão assumindo importância cada vez maior em situações 
especiais. Um polímero dimetilsilicone apresenta o alto índice de viscosidade ** de 150, resiste 
à oxidação até 350º F e pode ser fabricado com a viscosidade desejada. 
 A grafita tem sido usada como lubrificante de muitos modos: Um composto especial , 
lubrificante sólido, produz um filme com espessura de 0,004 mm (0,00015 pol.) a 0,0127 mm 
 
169 
(0,0005 pol.) de espessura e adere tenazmente às superfícies. Tem sido usado em mancais, 
engrenagens, arvores caneluradas e outras aplicações e é extremamente preventivo de 
escoriações nas superfícies metálicas provocadas pelo atrito. 
 
 
6.3 - VISCOSIDADE 
 
 A propriedade mais importante de um lubrificante, no caso de atrito fluido, é a 
viscosidade. Consideremos um elemento de um fluido no qual ocorre movimento relativo das 
partículas. Se a velocidade da camada superficial superior é 2v e, da inferior, 1v , a variação da 
velocidade entre as duas camadas é 12 vv − = dv, se admitirmos que as camadas superficiais 
estejam afastadas entre si de dh. A lei de Newton para os fluidos viscosos estabelece que a 
tensão de cisalhamento F / A no fluido é proporcional ao gradiente de velocidade dv / dh: 
 
Fig.1- Definição de viscosidade 
 
dh
dv
A
F µ= ou 
h
AvF µ= (1) 
 
onde A é a área do fluido e µ é a constante de proporcionalidade , chamada viscosidade 
absoluta, ou simplesmente viscosidade, do fluido. 
Existem dois tipos de viscosidade que são comumente utilizadas. A primeira é a 
viscosidade absoluta e é derivada da unidade básica de força e velocidade. A outra é chamada 
de viscosidade cinemática definida como a viscosidade absoluta dividida pela densidade. 
h
u
A
F b
⋅== µτ (2) 
Então: 
ecsPa
m
ecsN
mecsm
mN
hu
AF
b
⋅=
⋅
=== 2
2
µ (3) 
 
170 
Ou na unidade cgs: 
centipoisecmegundosdina =⋅ 2 (4) 
Ou nas unidades inglesas: 
21 polegslbreyn f ⋅= (5) 
 Se o lubrificante não constar das tabelas, será, provavelmente, necessário à conversão 
a partir da viscosidade Saybolt Universal (SU), que é obtida em leituras de viscosímetros 
comerciais. Esta conversão é feita com o uso de uma outra propriedade denominada 
Viscosidade cinemática, que é a viscosidade absoluta do fluido dividida pela sua massa 
específica, ambas expressas no mesmo sistema de unidades. As dimensões básicas da 
viscosidade cinemática são L2 T-1. Como no sistema CGS de unidades, a massa especifica ρ é 
numericamente igual à densidade d, é fácil determinar a viscosidade cinemática VC a partir da 
absoluta Z em centipoise. 
VC = Z / ρ = Z / d = 0,22t – (180/t) (centistokes) (6) 
onde t é a leitura no viscosímetro Saybolt Universal em segundos sendo todas as propriedades 
consideradas à mesma temperatura. A densidade de um óleo derivado de petróleo a uma 
determinada temperatura θ é dada, aproximadamente, por: 
dθ = d60 – 0,00035 (θ-60) (7) 
onde d60 é a densidade a 60°F (cerca de 0,89 a 0,93 para es tes óleos). 
 
 
6.4 - CLASSIFICAÇÃO DOS MANCAIS. 
 
 Um mancal é constituído de duas partes principais: o munhão, que é a parte interna, 
cilíndrica, usualmente com movimento de rotação ouoscilação, e o mancal propriamente dito ou 
superfície de apoio, que pode ser estacionário, como os mancais de uma arvore, ou pode ser 
imóvel, como no caso de um sistema biela-manivela. 
 Pode-se classificar os mancais de vários modos. Um deles encara o fato de ser o 
munhão inteiramente envolvido pela superfície de apoio ou mancal propriamente dito, caso 
em que o conjunto é chamado mancal completo ou de ser envolvido apenas parcial, caso em 
que o conjunto é chamado de mancal parcial. Um tipo simples de mancal parcial é usado 
quando a carga é aplicada na parte superior do munhão e este mergulhado em óleo na parte 
inferior. 
 
171 
Os mancais podem ser também classificados como mancais com folga ou sem folga. 
Nos mancais com folga o diâmetro da superfície de apoio é maior do que o do munhão. A 
diferença entre esses diâmetros é chamada de folga c. A folga radial cr=c/2 é a diferença entre 
os raios das superfícies do mancal e do munhão. A relação entre a folga e o diâmetro do 
munhão c/D é chamada de taxa de folga. Um mancal sem folga é aquele em que ambas as 
superfícies, a do munhão e a de apoio do mancal, Têm os mesmos raios. È evidente que um 
mancal sem folga é, obrigatoriamente, um mancal parcial, enquanto os mancais com folga 
podem ser completos ou parciais. 
Antes de podermos estudar os mancais hidrodinâmicos, temos que entender primeiro 
como os lubrificantes atuam. Como a viscosidade dos lubrificantes varia com a temperatura, 
temos que escolher um óleo ou graxa adequados para as condições de trabalho. O lubrificante 
escolhido também é determinado em função do acabamento das paredes do mancal. Este 
capítulo introduzirá os parâmetros usados para selecionar os lubrificantes, as qualificações de 
acabamento e o comportamento hidrodinâmico dos mancais de deslizamento O estudo de 
lubrificação, atrito e desgaste é chamado tribologia. 
 A exigência fundamental para duas superfícies serem lubrificadas é que as espessuras 
operacionais do lubrificante entre as superfícies deve ser maior que a rugosidade das 
superfícies. As duas superfícies devem flutuar em um filme pressurizado de lubrificante. 
 
 
Figura 2 - Relação entre a espessura do lubrificante e a rugosidade das superfícies do mancal 
A relação para a lubrificação hidrodinâmica è: 
2
1
min:... 





∝
W
uhfilmedoespessura b (8) 
Onde hmin normalmente excede 1 µm e onde W é a carga aplicada ao mancal. 
 
172 
Pode-se ver o que acontece se hmin for menor do que a altura da saliência da 
rugosidade. Contato de metal com metade iria ocorrer, alto atrito e alta taxa de desgaste 
também acontecem. 
 
6.5 - LUBRIFICAÇÃO ELASTODINÂMICA 
 
Figura 3 – Lubrificação 
A característica fundamental deste tipo de lubrificação é que a carga provoca uma 
deflexão elástica na superfície principal formando uma pequena cunha superficial. O lubrificante 
é jogado para esta superfície pela rotação do elemento girante.T 
 
 
Figura 4a - Operação Elastohidrodinâmica 
Figura 4b - Características da lubrificação hidrodinâmica 
O módulo efetivo elastohidrodinâmico é utilizado no projeto de mancais de rolamentos 
de esferas e de rolos e em eixos que operam com mancais de nylon.O módulo efetivo é: 
 
173 
 
 
(9) 
 
 
6.6 - TIPOS DE LUBRIFICAÇÃO 
 
Lubrificação Limite: Contato entre mancal e munhão 
Lubrificação de filme de óleo- lubrificação intermitente 
Lubrificação Hidrodinâmica: O eixo do mancal é apoiado em um filme de óleo. O filme é 
criado pelo movimento do mancal. A figura abaixo mostra a relação entre os parâmetros do 
mancal e o coeficiente de atrito. 
 
Figura 5 - Viscosidade 
 
 
6.7 - LUBRIFICAÇÃO ESTÁVEL E INSTÁVEL 
 
A lubrificação Hidrodinâmica é considerada uma lubrificação estável. Com o aumento da 
temperatura do lubrificante, a viscosidade tende a cair. Isto resulta em um menor coeficiente de 
atrito levando a temperatura do lubrificante a cair, tendo portanto uma auto-correção. Já a 
lubrificação intermediária é instável,pois um aumento na temperatura do lubrificante, causa uma 
diminuição na viscosidade e portanto um aumento no coeficiente de atrito, levando a 
temperatura do óleo a aumentar ainda mais. 
 
 
b
b
a
a
EE
E 22 11
2
'
νν −
+
−
=
 
174 
6.8 - MECANISMOS DA LUBRIFICAÇÃO. 
 
Suponhamos um munhão em repouso em seu mancal, como é mostrado 
esquematicamente na Fig. 6 (a). O espaço da folga está cheio de óleo e o munhão repousa na 
superfície de apoio, ou mancal, havendo contato de metal com metal no seu ponto mais baixo. 
À proporção que o munhão, com a carga (ou reação do mancal) R, começa a girar no sentido 
indicado na Fig. 6 (b) e (c), ocorre inicialmente, uma atrito de metal com metal e o munhão 
tende a subir para a direita do mancal, como se vê na Fig 6 (b). Contudo, como o óleo adere à 
superfície do munhão, a rotação arrasta um filme de óleo separando o munhão e o mancal e, 
então, o munhão move-se para a esquerda e toma a posição excêntrica em relação ao mancal, 
como se vê na Fig 6 (c). O mancal em rotação, agindo como uma bomba, provoca suficiente 
elevação da pressão de óleo pra que este assegure uma completa separação entre a sua 
superfície e a do mancal. 
 Para ser assegurado esta elevação de pressão e a continuidade da película de óleo, é 
indispensável à existência de um espaço em forma de cunha pelo qual passe o fluxo de óleo, 
como mostrou Reynolds na teoria hidrodinâmica que desenvolveu sobre o assunto. Observar, 
neste particular, a convergência para a seção ho. 
 A camada de óleo junto à superfície do munhão fica aderente a ela e movimenta-se com 
a mesma velocidade, enquanto a camada junto à superfície do mancal permanece estacionaria 
com esta (se o mancal for estacionário). A velocidade de óleo vai, assim, decrescendo da 
primeira das camadas citadas para a segunda. Em conseqüência, quanto mais rapidamente o 
mancal girar, mais óleo será arrastado nas seções convergentes e maior será a espessura 
mínima do filme ho, desde que a carga permaneça constante. Para bem compreender o 
fenômeno, convém ter em mente a ação da bomba do munhão. 
 
Fig. 6- Mecanismo de Lubrificação em Mancal 
 
175 
 
 
6.9 - LUBRIFICAÇÃO COM FILME ESPESSO OU DE ATRITO FLUIDO 
 
 As superfícies mais bem acabadas mostram irregularidades quando ampliadas, de modo 
que existem sempre pontos mais elevados (ver Fig. 7). Para que se tenha uma lubrificação 
com filme espesso, e espessura mínima ho do óleo deve ser suficientemente grande para 
assegurar o afastamento destes pontos. Assim, quanto mais ásperas ou grosseiras as 
superfícies mais espesso o filme que vai separar as mesmas. Um dos objetivos dos cálculos 
dos mancais é o de assegurar a espessura mínima do filme de óleo ho, necessária para manter 
a separação das superfícies. Quanto à lubrificação com filme espesso é atingida , a força de 
atrito é a força necessária para cisalhar o lubrificante e é independente da natureza ou estado 
das superfícies lubrificadas. 
 
Fig. 7- lubrificante cisalhado 
 Desde que a ação de bomba do munhão não seja bastante para produzir um filme 
suficientemente espesso, alguns ou muitos dos pontos mais altos das irregularidades de 
superfície poderão tocar-se. Se este contato, ocorrer, teremos a lubrificação por filme 
delgado ou de atrito combinado, pois que a força de atrito dependerá tanto das superfícies 
como do lubrificante e ela será bem maior do que no caso do atrito fluido. 
 No inicio do movimento, Fig. 6 (a), há contato de metal com metal e lubrificação por filme 
delgado. Se a carga é muito grande ou a velocidade muito baixa, o munhão poderá não 
bombear bastante lubrificante para assegurar a separação das superfícies. Igualmente, 
movimento de oscilação, partidas e paradas repetidas podem produzir rápido desgastedo 
mancal pois que o filme se mantém demasiadamente fino. Se a operação normal processa com 
filme espesso, isto é, atrito fluido, grande parte do desgaste ocorre nos períodos de partida. Por 
esta razão, uma maquina com superfícies deslizantes deve ser projetada para partir sem carga 
ou com carga leve, se bem que isto não seja sempre possível, praticamente. 
 
176 
Métodos de Lubrificação dos Mancais. Os mancais podem ser lubrificados: (a) 
intermitentemente; (b) continuamente, com uma quantidade limitada de lubrificante ou (c) 
continuamente, com uma quantidade abundante de lubrificante. 
 
 
 
(a) Lubrificação Intermitente. A lubrificação intermitente, seja com óleo ou graxa, 
compreende os casos em que é deixado ao operador a aplicação periódica do 
lubrificante, seja em furos de lubrificação, ou em copos de óleo ou graxa, de tipo comum 
ou de tipo especialmente designado como de pressão. O coeficiente de atrito decorrente 
deste método de lubrificação é variável e problemático e, comumente, é admitido como 
variando de 0,12 a 0,15. 
 
(b) Lubrificação Limitada. Existem vários sistemas, alguns dos quais abaixo descritos, que 
asseguram uma lubrificação contínua, mas de limitada quantidade de óleo, aos mancais. 
Estes sistemas são indicados para serviços relativamente leves. 
 
Lubrificação por gotejamento ou por gravidade. É de uso muito comum e, sob certas 
condições, dá resultados satisfatórios. Um furo roscado no mancal, no lado da baixa 
pressão, recebe um copo de óleo que é provido de uma válvula de agulha ajustável para 
regular a quantidade de óleo fornecida ao mancal. Este método de alimentação de óleo 
permite a formação de um filme de óleo espesso (atrito fluido), mas é aconselhável usar 
um fator de segurança relativamente elevado e manter uma certa dependência ao 
computar o valor do coeficiente de atrito. 
 
Lubrificação por mecha. É obtida por meio de mechas ligadas a pequenos 
reservatórios na parte superior do mancal e desenvolvendo-se ao longo de sua 
superfície. O óleo é suprido ao munhão por ação capilar. Este tipo de lubrificação é 
usado em eixos intermediários e os reservatórios de óleo devem ser completados 
diariamente. 
 
(c) Lubrificação Abundante. Existem vários meios de assegurar um abundante suprimento 
de óleo a um mancal, alguns dos quais discutiremos abaixo. 
O sistema de anel-guia, usado em muitos tipos de maquinas, é um sistema intermediário 
 
177 
no qual um anel fornecerá ampla quantidade de óleo, se o mancal for apropriadamente 
projetado e trabalhar velocidades médias. Karelitz verificou que a quantidade de óleo 
fornecida ao munhão é, aproximadamente, proporcional à largura do anel; que em altas 
velocidades o óleo é expulso do anel, pela força centrifuga, na parte superior, havendo, 
pois, necessidade de rasgos especiais para recolher o óleo e dirigi-lo ao munhão , e que 
os anéis mais pesados fornecem mais óleo que os leves. Detalhes da aplicação de um 
mancal com anel-guia do óleo a um motor elétrico, são mostrados na Fig. 8. 
 
Fig. 8- Detalhes da aplicação de um mancal com anel-guia do óleo a um motor elétrico 
Corrente ou cadeira-guia e colar-guia de óleo são variações do principio do anel. No 
primeiro destes sistemas, uma corrente ou cadeia substitui o anel, enquanto que no segundo, 
um colar no eixo mergulha no reservatório de óleo e leva o lubrificante à parte superior do 
mancal. Notar que, se a carga atua na metade inferior do mancal, os sistemas de anel e de 
corrente não dividem a área que suporta a carga, enquanto que o de colar divide essa área em 
duas partes, tornando o mancal equivalente em dois mancais, no que se refere à distribuição 
 
178 
longitudinal da pressão. 
Na lubrificação por banho, o munhão parcialmente submerso em um deposito de óleo, 
método particularmente indicado para os mancais que suportam a carga na metade superior. A 
lubrificação por salpico é usada em mecanismos alternativos, como nos motores de combustão 
interna, onde a arvore de manivelas esta situada no reservatório de óleo (Carter) e a manivela 
mergulha no óleo em cada volta. Este sistema tem se mostrado satisfatório em muitas 
maquinas alternativas. Contudo, os resultados não são tão seguros quanto no caso de ser 
usada a lubrificação por pressão. 
No sistema de baixa pressão, o óleo flui ou é continuamente bombeado para o mancal 
sob pequena altura manométrica. Nos sistemas de lubrificação sob pressão, em geral um 
sistema de circulação, o óleo é bombeado de um reservatório. Ambos os sistemas devem 
fornecer abundante quantidade de óleos aos mancais. Como a ação natural de bombeamento 
do munhão, quando em rotação, produz pressões muito altas na película de óleo, não haverá 
objetivo em bombear o óleo na região de alta pressão, exceto no caso de se querer assegurar 
flutuação do eixo sob carga estática. A pressão com que o óleo é bombeado é muito menor do 
que a gerada no mancal. 
 
 
6.10 - SUPERFÍCIES DOS MANCAIS. 
 
 Conclui-se da exposição acima, que superfícies lisas são vantajosas nos mancais. Se as 
irregularidades forem pequenas , as superfícies poderam ficar mais próximas uma da outra e o 
lubrificante terá sua película mais fina, sem que sejam abandonadas as condições de atrito 
fluido. Em conseqüência, quanto mais lisas as superfícies, maior a margem de 
segurança.quanto a possível ruptura da película de óleo, pois que um mancal projetado para 
trabalha em regime de atrito fluido, virá, certamente, a falhar se operar por largo tempo nas 
condições de atrito combinado. O calor gerado pelo atrito excessivo romperá o filme de óleo. 
Por esta razão as máquinas novas devem ser “amaciadas” sob baixa carga pois, deste modo, 
os pontos altos das superfícies em atrito serão, onde houver ruptura local do filme de óleo, 
alisados gradualmente e sem maiores danos. Quanto mais irregulares as superfícies, mais 
eficiente será este período de amaciamento. 
 
179 
 Os mancais comerciais são acabados por alargador, ou ferramenta de brochear. Os 
munhões com superfícies apenas usinadas, sem retifica posterior são, comparativamente, 
ásperos. 
 
 
6.11 - INTRODUÇÃO AO PROJETO 
 
Um número de parâmetros podem estar no controle do projetista, mas há um outro 
grupo que é dependente do primeiro grupo e pode ser usado para definir os limites 
operacionais do mancal. A hipótese 4 acima, em que a viscosidade é constante ao longo do 
filme de óleo, não é muito precisa quando a temperatura do óelo eleva-se e passa ao mancal. 
Uma vez que a viscosidade é fortemente dependente da temperatura, isto significa que o 
projeto de mancal envolve algumas iterações, utilizando tabelas desenvolvidas por A A 
Raimondi and J Boyd, 'A Solution for the Finite Journal Bearing and its Application to Analysis 
and Design: III', Trans. ASLE 1, 1958, 194-209. Estas tabelas são bastante utilizadas em 
soluções computacionais. 
As variáveis obtidas ou controladas pelo projetista são viscosidade do lubrificante carga 
por unidade de área projetada rotação, N dimensões: r, c, l e beta ( o angulo subtendido pela 
parte submetida a carga no mancal). 
As seguinte variáveis são consideradas dependentes do primeiro grupo: 
Coeficiente de atrito 
• Variação da temperatura, ∆t 
• Taxa do fluxo de óleo, Q 
• Espessura mínima do filme de óleo, ho 
Atualmente ainda, muitas tabelas ainda utilizam o sistema inglês para viscosidade em 
reyns (normalmente em micro-reyns). Para converter reyns em Pa.s deve-se multiplicar por 
6890. 
Na ausência de informações específicas, pode se supor que um óleo lubrificante mineral 
tenha uma densidade de aproximadamente 850 kg/m3 e calor específico de 1675 J/kgºC. 
Para mancais hidrodinâmicos, uma relação comprimento diâmetro de aproximadamente 
1 (digamos 0.8 a 1.3) é considerada uma faixa adequada. Relações . l/d menores que 
1,podem serusadas quando um projeto compacto seja importante, tal como em motores 
automotivos multicilindros. Uma redução na relação l/d aumenta o fluxo de saida nas 
extremidades do mancal, auxiliando resfriamento. 
 
180 
A espessura mínima de filme de óleo aceitável depende do acabamento superficial e 
deverá permitir que as partículas possam passar sem causarem falhas. Para algumas 
aplicações, por exemplo em motores automotivos, filtragem é necessária para e remover as 
partículas cujo tamanho poderiam exceder a espessura mínima de óleo. Os seguintes valores 
da espessura mínima de ho podem ser sugeridos: 
• 0.0000025 m para pequenos mancais de bronze finamente embuchados. 
• 0.00002 m para mancais comerciais babit 
• 0.0000025 < ho < 0.000005 m para motores automotivos com mancais de fino 
acabamento superficial e filtragem no lubrificante. 
As máximas temperaturas de óleo não deveriam ser permitidas por serem excessivas 
uma vez que a degradação e oxidação aumentam rapidamente. Para propósitos gerais de 
maquinário, uma temperatura de operação de 60ºC deveria produzir uma boa e longa vida útil. 
Acima 100ºC a taxa de oxidação cresce rapidamente. Temperaturas de 120ºC deveriam ser 
evitadas em equipamentos industriais. Nos motores automotivos a temperatura de lubrificantes 
podem atingir 180oC, porém óleos automotivos são formulados especificamente (e podem 
mesmo ser completamente sintéticos)para resistir tais condições. 
A lista abaixo apresenta alguns valores típicos de pressão nominal (carga/comprimento 
x diâmetro): 
• Motores elétricos, turbinas a vapor, redutores de engrenagem, bombas centrífugas - 
aproximadamente 1 MPa 
• Motores automotivos- mancais principais 4 - 5 MPa 
• Eixos virabrequim 10 - 15 MPa 
• Motores Diesel - mancais principais 6 - 12 MPa 
• Eixo virabrequim 8 - 15 Mpa 
 
 
6.12 - LEIS DE NEWTON DE ESCOAMENTO VISCOSO 
 
A tensão de cisalhamento em um fluido é proporcional a taxa de variação da velocidade 
com relação 'y', isto é: 
dy
du
A
F µτ == (10) 
onde µ é a viscosidade dinâmica ou absoluta 
Supondo que a taxa de cisalhamento seja constante, tem-se que : du/dy = U/h e 
 
181 
h
U
A
F µτ == (11) 
Unidades da viscosidade dinâmica ou absoluta é Pa.s ou N.s/m2. 
 
Figura 9 – Lubrificação de um mancal 
 
 
 
 
6.13 - LEI DE PETROFF 
 
Se um eixo de raio, r, gira em um mancal , comprimento l e folga radial c a uma rotação 
por segundo N,então a velocidade tangencial será: 
rNU pi2= [m/s] (12) 
A tensão de cisalhamento é o gradiente de velocidade x viscosidade 
c
N
h
U piµµτ 2== (13) 
O Torque para cisalhar o filme de óleo é definido como força x comprimento do braço 
c
Nl
rrl
c
rN
rAT µγpipipiµτ
324))(2(2))(( =





== (14) 
Se uma pequena força, w, é aplicada normal ao eixo do mancal, a pressão em N/m2 
será: 
p = w/2rl (15) 
A força de atrito é igual a fw, onde f é o coeficiente de atrito, então o torque de atrito 
será: 
T = fwr = (f)(2rlp)(r) = 2r2flp 
 
182 
Igualando as duas expressões para o Torque T e resolvendo para f tem-se : 
cp
Nf γµpi
22
= 
que é a Lei de Petroff ; 
p
Nµ
 e 
c
γ
 são grupos adimensionais. 
 
 
6.14 - HIPÓTESES 
 
• O lubrificante obedece às leis de Newton para fluxo viscoso. 
• Efeitos inerciais do lubrificante são desprezados. 
• O lubrificante é incompressível. 
• A viscosidade do lubrificante é constante através do filme. 
• A pressão não varia na direção axial. 
• A curvatura do mancal pode ser ignorada. 
• Não há fluxo na direção (z) axial. 
• A pressão de filme é constante na direção 'y' , e depende da direção 'x'. 
• A velocidade da partícula lubrificante depende das coordenadas x e y. 
De um diagrama de corpo livre das forças atuando em um pequeno cubo do lubrificante 
dy
d
dx
dp τ
= (17) 
e como: 
y
u
∂
∂
= µτ
 
então: 
2
2
y
u
dx
dp
∂
∂
= µ
 
Supondo que não haja vazamento nas extremidades mantendo x constante, a 
integração dupla com relação a y, fornece: 
( ) y
h
Uhyy
dx
dp
u −−= 2
2
1
µ
 (18) 
mostrando que a distribuição de velocidade é função de y e do gradiente de pressão , dp/dx. A 
distribução de velocidade através do filme é obtida superpondo uma distribuição parabólica (o 
 
183 
primeiro termo) em uma distribuição linear (o segundo termo). Quando a pressão for máxima, 
dp/dx = 0 e a velocidade será u = - Uy/h. 
Seja Q é a quantidade de fluido , na direção x por unidade de tempo: 
∫= udyQ (19) 
Na prática, estas integrações devem ser modificadas para incluir os efeitos de 
vazamento nas extremidades, etc. 
 
 
6.15 - RELAÇÕES GEOMÉTRICAS EM UM MANCAL COM FOLGA. 
 
 
A linha que passa através dos centros da superfície de apoio e do munhão é chamada 
de linha dos centros (Fig. 10). Notar que sobre esta linha esta situada a menor espessura do 
filme de óleo hmin=ho’ desde que o mancal suficientemente grande para incluir o ponto M. Se o 
mancal se estender apenas até uma seção x, como é mostrado na figura 10, a espessura 
mínima do filme hmin ficará situada na seção x e a espessura em M (no prolongamento do 
mancal) será designada por ho. No cálculo dos mancais, é suficiente satisfatório considerar 
ho=hmin mesmo que o mancal não atinja a seção M. 
 À distância O-O’ entre os centros do munhão e do mancal é chamada de excentricidade 
e, é: 
hochocOO r −=−=− 2
´ (20) 
onde 
rc é a folga radial. 
 A relação entre a excentricidade e a folga radial O-O´/(c/2) é denominada razão, taxa ou 
fator de excentricidade. Ela é: 
 
2/
2/
2/
´
c
hoc
c
OO
e
−
=
−
= (21) 
 
ou 
rc
ho
c
ho
e −=−= 121 (22) 
 
 
 
184 
 
Fig.10 – Relações geométricas em um mancal com folga 
 Assim , vemos que tanto e como a relação ho/ rc definem a razão de excentricidade. O 
comprimento do arco de contato, compreendido pelo ângulo β , Fg.10, designaremos por AL . 
Arco de contato = AL ββ rD == 2 , (23) 
onde β é expresso em radianos e r = D / 2 é o raio do munhão. 
 O comprimento do mancal, medido em uma direção axial, será chamado de 
comprimento e será designado por L. 
 O ângulo Ǿ, Fig. 5, algumas vezes chamado de ângulo de excentricidade localiza a 
posição da menos espessura do filme de lubrificante ho. 
 As relações geométricas acima, tanto se aplicam aos mancais parciais como aos 
completos. 
 
 
6.16 - GRUPAMENTO DE VARIÁVEIS 
 
 Uma vez que o espaço não permite uma discussão da teoria hidrodinâmica, 
estabelecida por Reynolds e desenvolvida por outros, poderemos utilizar os princípios da 
 
185 
analise dimensional para estabelecer as relações entre certas variáveis interdependentes. 
Suponhamos que desejamos estudar a maneira pela qual a relação ho/cr depende das 
variáveis µ , n , p , c e D. Admitamos que a forma da função seja 
)( a fedb
r
o Dcpn
c
h µφ=
 (24) 
em que a, b, d, etc..., são expoentes de valores desconhecidos. A equação (24) deve ter as 
mesmas dimensões em ambos os seus membros, para que ela seja matematicamente correta e 
fisicamente homogênea. O passo seguinte em uma analise dimensional será substituir em (24) 
as dimensões das diversas grandezas. Por exemplo, a unidade de ho/cr é mm por mm ou pol. 
por pol, ou seja, a unidade, que significa que ho/cr é adimensional. Representando por F, T e L 
respectivamente as dimensões de força, tempo e comprimento, a “dimensão” da viscosidade m 
será FT / L² e a equação (24) dará: 
( ) fe
dba
LL
L
F
TL
FT )(11 22 

















= (25) 
 
Em conseqüência teremos: 
 




















=ea
r
o
D
c
p
n
c
h µ
 (26) 
 
que é o ponto mais avançado ao qual nos pode levar a análise dimensional. Ela serviu para que 
estabelecêssemos um importante grupo de grandeza e que é confirmado por uma analise 
teórica mais detalhada. Se nos faltasse esta análise teórica, seria necessária a execução de 
numerosas experiências que nos proporcionasse informações posteriores quanto à natureza da 
função mostrada na equação (27). Os grupos que aparecem em (27) são adimensionais. 
 O grupo de grandezas assim formado é denominado número de Sommerfeld S, ou 
número característicos do mancal. Isto é: 
 
2












=
c
D
p
nS µ (27) 
 
onde n, é a velocidade em rotação por segundo. 
 
186 
 Este grupamento de grandezas é comumente utilizado nos diagramas, algumas vezes 
em sua forma adimensional exata. 
 
 
6.17 - MANCAL IDEAL. 
 
Para a realização de uma analise matemática do problema dos mancais, certas 
hipóteses devem ser feitas. Assim, mancal ideal é o que permite essa analise matemática. A 
teoria e os diagramas são baseados nas seguintes hipóteses: 
 
(a) As superfícies do munhão e do mancal são cilíndricas retas e lisas. Isto requer 
que o munhão não sofra deflexões e que as imperfeições de superfície sejam 
anuladas pela existência de um filme de óleo de espessura h0, adequada. 
(b) O mancal e infinitamente longo na direção axial. Isto corresponde a dizer que 
não há fuga axial do lubrificante. A fuga que realmente ocorre no mancal finito 
será considerada no calculo por meio de fatores de correção. 
(c) O lubrificante tem viscosidade constante no seu escoamento no mancal. 
Realmente, a viscosidade varia acentuadamente com a temperatura e mais 
discretamente com a pressão. Entretanto, um valor médio dá resultados 
suficientes para o trabalho. 
 
Existem outras hipóteses de menor importância, que já estão incluídas nos diagramas 
cuja análise foge ao objetivo deste livro. 
A fuga axial de lubrificante, que inevitavelmente ocorre nos mancais finitos, reduz 
acentuadamente a capacidade de carga do mancal e faz crescer as perdas por atrito. Como 
resultado desta fuga, a pressão no filme de óleo varia no sentido axial, sendo máxima nas 
proximidades do centro do mancal e nula nas extremidades. No mancal ideal, em que não há 
fuga axial, esta queda de pressão não ocorre. Além disso, a quantidade de óleo em 
escoamento e, portanto, a elevação da temperatura do óleo são afetadas pela fuga axial. 
 
 
 
187 
6.18 - ESPESSURA MÍNIMA PERMISSÍVEL DO FILME DE ÓLEO. 
 
A espessura mínima permissível e segura, h0, do filme de óleo depende da rugosidade 
das superfícies e da deflexão do munhão do mancal. O munhão pode girar com segurança com 
filme de óleo mais delgado se as superfícies são bem lisas. Ocasionalmente, as condições de 
operação são tais que a carga só poderá ser suportada se forem usadas superfícies de 
refinado acabamento. Este é o caso em que o calculo determina a rugosidade das superfícies. 
Comumente, entretanto, as superfícies comerciais ordinárias podem ser usadas sem 
dificuldade. Outro ponto a considerar, é da espessura da película de óleo, que deve ser 
suficientemente espessa para permitir a passagem de pequenas partículas de matéria 
estranha, sem danos às superfícies. Desalinhamentos ou deflexões excessivas podem 
provocar falhas locais do filme de óleo com conseqüente aquecimento excessivo que, se 
propagando, causará a falha definitiva. Finalmente, a espessura mínima do filme de óleo deve 
ser suficiente para permitir variações imprevistas da carga e da temperatura de operação. Na 
base das considerações acima, muitos projetistas preferem calcular com uma espessura de 
filme que consideram segura. Mas poucos dados existem quanto a isto. Karelitz sugere h0= 
0,0001 pol. (0,00254mm) para pequenas buchas de bronze finamente usinadas e h0 > 0,00075 
pol (0,019mm) para mancais comerciais revestidos de babbit. Dennison sugere h0 ≈ 0,0004 a 
0,0006 pol. (0,010 a 0,015mm) para mancais de 5 a 10 pol. (127 a 254 mm) de motores diesel 
trabalhando de 500 a 1200 r.p.m. Por outro lado, nas maquinas geradoras de potência, de uma 
maneira geral, h0 pode variar de 0,001 a 0,005 pol. (0,025 a 0,127 mm). Norton sugere h0 = 
0,00025 D como uma regra aproximada, onde D é o diâmetro normal do munhão. 
 
 
6.19 - CÁLCULO DE MANCAIS PARA REGIME DE ATRITO FLUIDO. 
 
Os diagramas de cálculo, constantes neste capítulo, estão agrupados em páginas 
consecutivas, para uma referência Algumas vezes, é necessário fazer tentativas e 
aproximações sucessivas.
 
 
Enquanto a viscosidade varia com a pressão, especialmente nos gases, trabalhamos 
com óleos em que tal variação é pequena. Para o projeto de mancais de deslizamento, o óleo 
geralmente usado é o motor para motores, é importante saber como a viscosidade varia com a 
temperatura. 
 
 
188 
6.20 - PRINCIPIOS HIDRODINÂMICOS 
 
São muitas as geometrias de mancais que trabalham nos princípios hidrodinâmicos. 
Basicamente qualquer mancal que trabalha com um filme de óleo ou fluido é um mancal 
hidrodinâmico. O fluido pode ser gás ou líquido. A geometria das superfícies do mancal atuam 
de forma a criar fluxo e pressão no fluido. É a pressão do fluido que suporta a carga evitando o 
contato metal com metal. A espessura do filme de óleo sob o eixo é fina e as superfícies do 
mancal devem ser lisas.Para o projeto de um mancal de deslizamento deve-se assegurar que a 
espessura mínima do filme c seja mantida, a excentricidade do eixo e seja aceitável, a 
pressão no lubrificante seja possível e a viscosidade do óleo seja aceitável. Para determinar as 
condições de operação aceitáveis,muitos testes foram realizados e equações foram 
desenvolvidas. As combinações dos resultados levaram ao desenvolvimento de tabelas ou 
gráficos de projeto que auxiliam na escolha das dimensões dos mancais, das folgas e das 
características do lubrificante para condições de operação particulares. 
 
 
6.21 - PROCEDIMENTO DE PROJETO 
 
1. Selecione uma relação l/d , 1 é provavelmente um bom ponto de partida. 
2. Utilizando uma carga específica e uma pressão nominal adequada, selecione o 
comprimento e o diâmetro do mancal. 
3. Especifique uma folga radial apropriada, c, provavelmente baseado em ajuste fechado 
(H8/f7) ou livre (H9/d9). 
4. Decida sobre uma viscosidade inicial. Uma vez que a viscosidade varia 
consideravelmente com a temperatura, é necessário normalmente utilizar para o cálculo, 
dois valores de viscosidade, um ligeiramente abaixo e outro ligeiramente superior ao 
valor final antecipado. 
5. Determine o número característico do mancal ou número Sommerfield (S). 
6. Obter na tabela, a variável espessura mínina de óleo em função do número 
característico do mancal e da relação l/d. 
7. Agora se pode calcular a espessura mínima de óleo e verificar se é razoável. 
8. Pode-se calcular agora a relação de excentricidade. 
9. Se necessário, a posição angular da espessura mínima de óleo pode ser obtida de um 
outro gráfico. 
 
189 
10. No gráfico “variável coeficiente de atrito" em função do número característico do mancal, 
S, e da relação l/d, pode-se ler a variável coeficiente de atrito. 
11. Calcule o coeficiente de atrito. Utilizando o raio e a carga atuante, calcule o torque 
necessário para vencer o atrito. Utilizando o coeficiente de atrito e a rotação do eixo, 
calcule a perda de potência devido ao atrito.C 
12. No gráfico, "variável de fluxo" em função do número característico do mancal e da 
relação l/d calcule o fluxo total de óleo. 
13. No gráfico "relação de fluxo" em função do número característico do mancal e da 
relação l/d , calcule o vazamento lateral do lubrificante. 
14. Calcule a elevação de temperatura no lubrificante- écomum supor que todo o calor é 
levado para fora pelo fluxo de óleo e a temperatura de vazamento do óleo é a média da 
temperatura de entrada e saída. 
15. No gráfico viscosidade x temperatura, checar a viscosidade do óleo após o aumento de 
temperatura pela quantidade calculada anteriormente, e supor uma temperatura de 
entrada adequada. 
16. Repetir os cálculos acima necessários para checar os resultados com a viscosidade com 
a média das temperaturas de entrada e saída. 
 
 
6.22 - APLICAÇÃO 
 
1. Um mancal hidrodinâmico tem as características abaixo: 
• W = 5kN; 
• d = 50 mm (diâmetro) 
• l = 50 mm (comprimento) 
• N = 30 rps; 
• SAE20 (óleo lubrificante) 
• Temperatura Inicial de 38º C 
a) Qual a temperatura média de funcionamento para uma folga de c = 0,050 mm? 
b) Qual a folga de projeto para uma temperatura média de funcionamento de 50ºC, 
sendo esta 70% da folga ideal? Traçar uma curva e mostrar os valores. 
 
 
 
 
190 
DADOS INICIAIS DO PROGRAMA 
 Carga: 5 kN 
Diâmetro: 50 mm 
Comprimento: 50 mm 
Rotação: 30 rps 
Temperatura Inicial: 38º C 
Folga: 0,050 
Tipo: SAE 20 
Relação de l/d: 1 
 
RESULTADOS 
Formula Parcial: 3,75µ 
Temperatura média de funcionamento: 47,5ºC 
 
FOLGA DE PROJETO 
Temperatura média de funcionamento: 50ºC 
Porcentagem em relação a folga máxima: 70% 
 
RESULTADOS 
Folga Ideal: 0,014168 mm 
 
 
6.23 - MANCAIS ÓTIMOS. 
 
Um problema de mancais pode apresentar um numero indefinido de soluções. 
Entretanto, considerações de ordem pratica, como folga razoável, óleo conveniente e a relação 
L / D entre o comprimento e o diâmetro, limitam consideravelmente as possibilidades. Kingsbury 
mostrou que, para um certo ângulo de contato β, há um certo valor da excentricidade e que 
resulta em uma capacidade máxima de carga e outro valor de e que resulta em um mínimo de 
perda por atrito. Os mancais que correspondem a estas situações são denominados mancais 
ótimos sendo o de máxima capacidade de carga um tanto diferente do que proporciona um 
mínimo de perda por atrito. Com tantas possibilidades a escolher, o calculista deve procurar 
obter um mancal ótimo não importando qual deles. Pequenas variações da folga ótima, para 
 
191 
mais ou para menos, tem pequeno efeito seja na carga ou no atrito e o projeto final poderá ser 
um compromisso entre as folgas comercialmente usadas e os valores ótimos 
 
6.24 - TAXA DE FOLGA. 
 
Permanecendo os outros elementos constantes, um aumento na folga c acarreta um 
decréscimo no numero de Sommerfeld e na espessura mínima do filme de óleo. Assim, se a 
espessura mínima do filme é o elemento decisivo, um aumento da folga pode reduzir a 
capacidade de carga do mancal. Entretanto, a folga maior permite maior fluxo do lubrificante, de 
modo que o mancal trabalhará com temperatura mais baixa, uma vez que maior quantidade de 
calor é elevada pelo lubrificante. 
 A folga e a taxa de folga c / D são funções do processo de fabricação. Um valor de c / D 
= 0,001 esta bem próximo da média para cargas constantes, porem c / D pode ser menor, 
digamos, 0,00075 para cargas variáveis . Tomando por base os materiais dos mancais, os 
seguintes valores da relação c / D podem ser tomados como guia : “Babbit” com base de 
estanho, 0,0005 ;liga de cádimo e prata 0,0008 ; cobre e chumbo 0,001 ; liga de prata chumbo 
e índio 0,001 ; liga de alumínio 0,001. Para mancais pequenos, c / D pode ser pouco maior e 
para mancais grandes um pouco menor do que os valores dados acima. 
 
 
6.25 - RELAÇÃO ENTRE O COMPRIMENTO E O DIÂMETRO. 
 
Quanto maior o comprimento L, para um diâmetro particular D menor a pressão média. 
Em um mancal em que puder ocorrer atrito combinado, uma pressão mais baixa será 
importante. Entretanto, se o atrito for fluido, o grupo µn / p será o elemento decisivo, com as 
ressalvas seguintes: 
1º. , se o mancal esta sujeito às partículas ou paradas em regime de plena carga, o 
desgaste devido ao contacto de metal com metal não deve ser desprezado; 
2º. , a pressão máxima do filme de óleo não deve ser tão grande que deforme ou 
provoque fadiga nos metais dos mancais. A analise feita por Needs sugere que, em média, o 
valor L / D ≈ 1 equilibra os vários prós e contras. Deve-se ter em mente, também, que se por um 
lado, há uma tendência de f crescer à proporção que o mancal se torna mais curto, a fuga axial 
também cresce com esse encruamento e, assim, maior quantidade de calor é arrastada pelo 
óleo. 
 
192 
 Onde o espaço é vital, como no caso dos motores de avião e motores em V para a 
industria automobilística, é regra a adoção de baixas relações L / D, não sendo incomum o uso 
de relações tão baixas como 0,25 a 0,5. Uma certa espessura de filme de óleo que se rompe 
em mancais relativamente longos, devido às deflexões do eixo, pode ser bem tolerada por um 
mancal mais curto. 
 
 
6.26 - CONSIDERAÇÕES SOBRE DISTRIBUIÇÃO DAS PRESSÕES EM UM MANCAL E 
PERDA DEVIDA AO ATRITO. 
 
Devido à fuga axial a distribuição das pressões na direção axial é aproximadamente 
parabólica. Quando a definição devida a Newton para viscosidade, é aplicada a um munhão 
concêntrico com seu mancal, a equação resultante e aplicável a mancais levemente carregados 
e a mancais que trabalham em altas velocidades, que são os casos em que os mancais são 
aproximadamente concêntricos. Tal aplicação serve também para fins estimativos e, em 
conjunto com outras considerações, proporciona consideráveis informações de ordem 
prática.Com a expressão Uf = Fv, podemos, se necessário, calcular a perda de potência devida 
ao atrito. Os mancais são comumente construídos com ranhuras ou rebaixos para a distribuição 
do lubrificante, situados em oposição e abrangendo arcos de 30° a 60°, em planos formando, 
mais ou menos, um ângulo reto com a direção da carga Estes rebaixos atuam não só como 
distribuidores, mas também como pequenos reservatórios de óleo. No que diz respeito a 
espessura do filme de óleo e a carga, é aconselhável considerar tais mancais como parciais, 
com ângulo β. Entretanto, as perdas por atrito devem ser calculadas como a soma da que 
ocorre no arco β com a correspondente ao ângulo θ, não levando em conta as que ocorrem nos 
arcos correspondentes as ranhuras de distribuição porque, devido a grande espessura do filme 
nessas regiões, são desprezíveis. A perda por atrito na parte não-carregada (correspondente a 
θ), pode ser calculada, com suficiente precisão, pela equação de Newton , usando hm como a 
espessura média do filme de óleo. Assim: 
F = µAv / hm (28) 
onde A representa a área do fluido cisalhado. A Geometria do mancal da, para a espessura 
média hm: 
hm = c/ 2 + 2 / θ (c/2 – h0) cos φ sem θ/2. (29) 
 Se o ângulo θ situa-se entre 120° e 180°, a espessura média h m pode, sem erro sensível, 
ser calculada pela equação: 
 
193 
 
hm = c/2 +0,74 (c/2 - h0) cos φ . (30) 
 
 
Fig.11 – Relação geométrica devio a perda por atrito 
 A razão ou fator de excentricidade não pode ser bem prevista pela teoria. Se um 
munhão esta girando a alta velocidade, seu centro praticamente coincide com o do mancal 
representado por A na Fig.12. Vamos supor que à proporção que a carga cresça, o centro do 
munhão mova-se segundo uma trajetória semicircular ABC, cujo diâmetro é a folga radial cr = 
c/2. Nesta hipótese, o munhão vai entrar em contato com o mancal em C, se a carga tornar-se 
suficientemente grande. Esta suposição aproxima-se bastante das trajetórias determinadas 
experimentalmente e é suficientemente exata para os fins que temos em vista. 
 
Fig.12 - A razão ou fator de excentricidade 
 
194 
Notando que AB, na Fig. 12, e OO’, na Fig. 11, têm os mesmos comprimentos e que, em 
qualquer posição B do centro do munhão a distancia AB é igual a cr – h0 e queo ângulo ABC é 
sempre reto, virá: 
 
cos φ = (cr – h0) / cr = 1 – (h0 /cr) = 1 – (2h0/c) = e (31) 
 
equação que permite calcular o valor de φ. Usando o valor de cos φ de (31) na equação (30), 
teremos o valor aproximado da espessura média hm na capa: 
 
hm = cr [1 + 0,74 (1 - h0 /cr )2] = cr (1 + 0,74e2). (32) 
 
 
6.27 - FLUXO DE LUBRIFICANTE ATRAVÉS DE UM MANCAL. 
 
Antes do advento das altas velocidades, encontradas em algumas das maquinas 
modernas, a finalidade de um lubrificante era apenas reduzir o atrito. Entretanto, à proporção 
que a velocidade de um munhão sob carga, cresce, a quantidade de perdas devidas ao atrito 
também cresce e o mancal deve dissipar maior quantidade de calor. A quantidade de calor 
gerado pelo atrito cresce, aproximadamente, com o cubo do diâmetro do munhão, enquanto 
que o calor naturalmente transmitido por convexão e radiação é, aproximadamente, 
proporcional à primeira potência de D. Assim, a proporção que a velocidade do munhão cresce, 
com a carga constante, mais e mais quente vai se tornando o mancal. O munhão bombeia mais 
óleo, o que tende fazer crescer a espessura do filme, mas o óleo perde viscosidade à proporção 
que sobe a temperatura; se o mancal tornar-se demasiadamente quente, o filme de óleo 
romper-se-á e o mancal será “queimado” Um método de retirar do mancal o calor excessivo, 
devido ao atrito, e esfriá-lo por meios externos, seja ventilando-o, seja fazendo circular água em 
serpentinas que o envolvam. 
 Usa-se muito um sistema de circulação de óleo, cujo principal propósito é obter um bom 
fluxo de óleo através do mancal, para arrastar o excesso de calor gerado. 
 O óleo, normalmente, entra no mancal na região de baixa pressão do mesmo, um pouco 
a frente da área que suporta a carga. Algumas vezes é prevista uma saída, um pouco além da 
área de carga, pela qual o óleo, livremente, abandona o mancal. Se o óleo entra sob pressão 
atmosférica, a ação bombeadora do munhão faz com que ele penetre na área que suporta a 
carga. Nos mancais em que não há vedadores nas extremidades ocorre um certo vazamento. 
 
195 
Se não existirem saídas especiais, o único caminho para o óleo deixar um mancal completo é 
pelas extremidades, principalmente nas extremidades da área de carga, porque o restante do 
mancal não está sob pressão. 
Admitido como retilíneo o gradiente da velocidade através da espessura do filme, como a 
equação (33), a velocidade media do óleo será metade da velocidade periférica do munhão, isto 
é, vr/2. Portanto, se o munhão for concêntrico em relação ao mancal (Fig. 220), o fluxo máximo 
de óleo no espaço da folga, será o produto da velocidade média vr/2 pela área de escoamento 
crL = cL/2, ou seja: q = vr cL/4 = 0,25 vr cL. Contudo, o valor real do fluxo na região sob carga é 
menor e depende da relação L/D e da excentricidade do munhão. Assim, de uma maneira geral, 
podemos escrever: 
 
,cLvCq rf= (34) 
onde q é obtido em galões por minuto (gpm), com vr em ft/min, c em polegadas, L em 
polegadas e Cf o coeficiente de escoamento ajustado de modo que o resultado venha em gpm. 
O coeficiente Cf é obtido na Fig. 213, onde são apresentados dois conjuntos de curvas. Os 
valores de Cf, obtidos das curvas em traço cheio, substituídos na equação (34), dão o fluxo de 
óleo na região carregada, quando o óleo é admitido no mancal a uma pressão próxima da 
atmosférica. Uma parte deste óleo circula em torno do munhão e o restante abandona o mancal 
pelas extremidades, em fuga axial. Esta fuga axial é igual a quantidade que deve ser 
continuamente suprida para manter o escoamneto do óleo: corresponde a quantidade de óleo 
que deixa o mancal quando nenhuma pressão o força para fora, exceto a gerada no filme de 
óleo pela ação hidrodinamica de seu trabalho e quando a única área de escoamento é a da 
folga. 
 
 
6.28 - CALOR LEVADO PELO ÓLEO. 
 
A quantidade de calor levada pelo óleo que circula através de um mancal é obtida a 
partir da definição de calor especifico. Um valor, do lado da segurança, para óleos derivados de 
petróleo é, aproximadamente, 0,4 Btu/lb = °F. 
 
Então: twQ ∆= )40,0( (Btu/min), (35) 
 
 
196 
onde Q é a quantidade de calor recebida pelo óleo quando passa através do mancal, w, em 
lb/min, é a vazão ou fluxo de oleo e ∆t é a elevação da temperatura do oleo. 
Para a avaliação que estamos fazendo, podemos usar para os óleos derivados do 
petróleo uma densidade de 0,83, que corresponde a um peso especifico de 6,92 lb/galão. 
Assim, para q gpm, § 249, temos w = 6,92q lb/min e convertendo para unidades de trabalho, 
usualmente adotadas para Uf, achamos: 
 
tqQ ∆= 2150 (lb-ft/min), (36) 
 
onde q é o fluxo de óleo em gpm. Para o óleo alimentado sob pressão, § 260, praticamnete 
quase todo o calor gerado é, por ele, arrastado (179). Neste caso, a quantidade necessária de 
óleo pode ser estimada igualando Q, da equação (36), para uma certa elevação de 
temperatura, a Uf e calculando q. Uma elevação de temperatura inferior a 20°F é prá tica usual 
no caso da lubrificação forçada. 
 
6.29 - DISSIPAÇÃO DE CALOR DO MANCAL. 
 
Muitas horas podem ser necessárias para que a temperatura de um mancal se estabilize 
em seu valor de operação. Mesmo em condições estáveis, a radiação e a convecção térmica e 
um mancal são fenômenos complexos. De uma estimativa da temperatura média do filme do 
óleo, fazemos uma estimativa da temperatura na superfície do mancal. Entretanto, nem todas 
as partes desta superfície estão a mesma temperatura, e o material adjacente ao mancal 
conduz uma certa quantidade de calor, que é, eventualmente, transmitida ao ambiente por 
convecção e radiação. Poderemos computar esta condução de calor pela adoção de uma certa 
área “efetiva” de transmissão, área esta condensada nas partes metálicas adjacentes ao 
mancal; entretanto, restará sempre a questão do valor desta área. De qualquer forma devemos 
sempre fazer a estimativa da temperatura de operação em regime estável. 
 
Em geral, a perda de calor pode ser expressa com: 
 
bbcr tAfQ ∆= (37) 
 
 
197 
onde fcr é o coeficiente de transmissão de calor em Fpolftlb °− *min*/ 2 , Ab é a área efetiva 
em 2pol através da qual se processa a transferência de calor e bt∆ é a elevação de 
temperatura da superfície do mancal acima da temperatura ambiente, em °F. 
Uma velha regra ditada pela experiência (166), recomenda que, em ar calmo, uma perda 
de 2 FfthrBtu °− */ 2 é um valor aceitável. Em conseqüência: 
 
Fpolftlbf cr °−= *min*/18,0 2 (ar calmo) (38) 
 
Quando o ar está em momento, o valor de crf é bem maior, até mesmo dez vezes maior, 
conforme publicações da literatura sobre o assunto. Assim, Karelitz (162) achou: 
Fpolftlbf cr °−= *min*/516,0 2 (39) 
para uma velocidade do ar de 500ft/min. 
Quando o óleo não circula, pode-se tomar, com aproximação aceitável (162, 166) que: 
 
2/0ttb ∆=∆ (40) 
 
onde 0t∆ é a elevação de temperatura do filme de óleo. 
Para valor da área efetiva, Norton (166) sugere, aproximadamente: 
 
 DLAb 25= (41) 
 
onde L é o comprimento axial do mancal e D o seu diâmetro nominal. Esta expressão para bA é 
aplicável quando existem pesadas massas de metal em presença. Se o mancal é de construção 
leve ou tanto isolado, a área efetiva pode tornar-se tão baixa quanto 6DL. 
As informações acima serão, provavelmente, satisfatórias na estimativa da temperatura 
de equilíbrio. Porém, uma discussão resumida das considerações básicas elucidará um pouco 
mais a situação. Assim, lembremo-nos que sendo uma parte do calor transmitida por meio de 
radiação, a quantidade de calor assim transferida é, de acordo com a lei de Stefan-Boltzmann , 
proporcional à quarta potencia da temperatura. Por considerações diversas, e admitindo que a 
temperatura não varie muito,poderemos chegar a: 
 
 
198 
Fpolftlbf r °−= *min*/108,0 2 (42) 
 
para valor da taxa unitária de calor radiado. 
Quanto à convecção, não foram determinadas expressões que permitam sua avaliação 
nos mancais. A situação pode ser considerada semelhante a de um tubo cilíndrico exposto a 
um fluido externo em movimento 
 
 ( ) 6,0/*24,0/ µρvDkDf c = (43) 
 
onde D é o diâmetro do tubo, k a condutibilidade térmica de seu material, ρ a massa especifica 
e µ a viscosidade do fluido externo. Esta equação reduz-se à forma 4,06,0 / DCvf ac = , onde C é 
uma função experimental das propriedades do ar, av é a velocidade do ar em ft/min e D é uma 
dimensão característica. De alguns poucos resultados experimentais, podemos escolher C = 
0,0172 e ter: 
 
4,06,0 /*0172,0 Dvf ac = Fpolftlb °− *min*/ 2 (44) 
 
que dá a taxa unitária de transmissão de calor por convecção, onde av é a velocidade do ar em 
ft/min e D o diâmetro nominal do mancal em polegadas. 
O coeficiente total de tarnsmissao de calor 
crf é, então, a soma rccr fff += , cujo valor 
é usado na equação (36), como previamente foi explanado. Se a velocidade do escoamento do 
ar ao mancal puder ser estimada, o processo acima indicado será preferível. Mancais 
localizados próximos a polias, volantes, etc., podem ser admitidos como expostos a uma 
velocidade de ar de 60 a 100 ft/min. 
Se o problema for o de estimar a temperatura de equilíbrio para um óleo particular, a 
solução pode ser obtida por aproximações sucessivas. Um modo de proceder é indicado pelo 
roteiro abaixo: 
a) Supor uma temperatura do filme de óleo e ∆t0. 
b) Para o óleo fixado, determinar a viscosidade, o coeficiente de atrito e as perdas por 
atrito Uf. 
c) Admitir que a elevação de temperatura do mancal ∆tb seja metade de ∆t0, elevação 
de temperatura do óleo, e calcular Q, fluxo com que o calor é dissipado à temperatura 
 
199 
fixada. Se Q = Uf a temperatura suposta é a estimada para operação. Se Q e Uf são 
diferentes, supor outra temperatura do filme e repetir os cálculos. Depois de efetuadas 
duas series de cálculos, interpolações ou extrapolações dos valores fixados 
proporcionarão uma base para a terceira tentativa.
 
 
 
6.30 - MATERIAIS USADOS NOS MANCAIS. 
 
As propriedades que devem ser consideradas vantajosas nos materiais que se destinam 
à construção de mancais são (164): baixo módulo de elasticidade, o que redundará em 
facilidade do material tomar a forma desejada; baixa resistência ao cisalhamento, o que 
proporcionará facilidade de ser a superfície alisada; baixa soldabilidade ao aço, o que dificultará 
o aparecimento de defeitos ou cortes na superfície; capacidade de absorção de corpos 
estranhos ou “incrustabilidade”, permitindo que, pela penetração em sua massa, sejam os 
mesmos removidos da película de lubrificante; resistência à compressão e à fadiga; resistência 
às temperaturas; resistência à corrosão; boa condutibilidade térmica; coeficiente de expansão 
térmica semelhante ao do aço e, como sempre, baixo custo. 
Os materiais mais usados são as ligas de cobre e o babbit. Os babbits são de base de 
estanho ou de chumbo, dependendo de qual destes metais é o principal constituinte da liga. Em 
todas as suas formas os babbits são ligas de baixa resistência, sendo usados em camadas 
muito finais [de espessura inferior a 1 mm (0,04 pol.) até 0,05 mm (0,002 pol.)] sobre casquilho 
de aço. Devido à sua baixa resistência à fadiga, não são satisfatórios onde a carga é severa e 
variável, se bem que os revestimentos muito finos possam manter-se em certos casos. Na 
espessura de 0,4 mm (0,016 pol.), a capacidade normal de carga (com atrito fluido) é de 
aproximadamente 1 kg/mm2 (1 500 psi). 
As ligas de cobre usadas nos mancais são principalmente bronzes que são muito mais 
fortes e duros do que o babbit. Uma liga de cobre e chumbo, com 25 a 50% de chumbo, em 
uma camada de 0,75 mm (0,03 pol.) de espessura tem boa resistência à fadiga e é usada em 
motores de avião. Sua capacidade de carga normal é de 2,1 kg/mm2 (3 000 psi). Bronzes ao 
estanho têm uma capacidade normal de carga de 3,5 kg/mm2 (5 000 psi) (173). 
Revestimentos de prata, para serviços pesados, são colocados pelo depósito de uma 
camada de 0,5 mm (0,02 pol.) a 0,75 mm (0,03 pol.) de prata sobre o aço, seguida de uma 
camada de 0,025 mm (0,001 pol.) a 0,075 mm (0,003 pol.) de chumbo; em seguida, cerca de 4 
a 5% de índio é depositado eletroliticamente, e termicamente difundido, na camada de chumbo. 
 
200 
Um mancal de ferro fundido, suportando munhão de aço, tem se mostrado uma 
excelente combinação no ponto de vista de desgaste e atrito no caso do atrito combinado. 
Entretanto, o ferro fundido não oferece boa incrustabilidade e outras qualidades de um metal 
macio e marca, seriamente, a superfície do munhão no caso de qualquer irregularidade de 
funcionamento. 
Um mancal que contém seu próprio lubrificante é fabricado mediante elevada 
compressão de cobre e estanho (ou chumbo) em pó, que são então sintetizados a uma 
temperatura situada entre as de fusão dos dois metais. O resultado é um material que 
apresenta no seu volume mais de 35% de porosidade. As porosidades são, então, impregnadas 
com óleo que vem à superfície quando o mancal é sujeito a aquecimento ou pressão. Tais 
mancais, chamados sinterizados, são muito úteis para serviços leves em pontos de difícil 
acesso ou nos casos em que a operação não possa depender de uma adição regular de 
lubrificante, como é o caso das máquinas de uso doméstico. Um material sinterizado para 
mancais, classificado como SAE Tipo I, à base de bronze , pode ser aplicado em casos em que 
pv VII VII 50 000, onde p em psi, é a pressão na área projetada e v a velocidade periférica do 
munhão em ft/min. Para a aplicação da expressão acima, podemos considerar as seguintes 
pressões máximas: 2 000 psi para v = 2,5 ft/min; 500 psi para v entre 50 e 100 ft/min; 325 psi 
para v entre 100 e 150 ft/min e 250 psi para v entre 150 e 200 ft/min. 
Mancais autolubricados são também fabricados mediante a inserção de grafita em 
rasgos ou furos abertos na superfície, agindo a grafita como lubrificante. Se estes mancais 
forem empregados com rotação constante, limitar a pv VII 1 500 com pmax = 40 a 50 psi.. 
Diversas substâncias plásticas, como nylon e micarta, são usadas como mancais e 
podem ser lubrificadas com água ou óleo. Igualmente a madeira é usada no caso de atrito 
combinado, especialmente usando água como lubrificante. Os mancais à base de borracha, Fig. 
226, trabalham de forma excelente com a água como lubrificante e são usados nas turbinas 
hidráulicas, na construção naval, máquinas de dragagem e outras aplicações. A borracha macia 
deixa passar a areia ou o saibro sem injuriar a superfície do munhão. Alguns detalhes sobre o 
cálculo e projeto de mancais de borracha são apresentados na referência. 
Numerosos outros materiais, metálicos ou não, são usados na fabricação de mancais. 
Por trata-se de um assunto vasto por si mesmo, sugere-se consulta a outras fontes. 
 
 
 
201 
 6.31 - CONSTRUÇÃO DOS MANCAIS. 
 
Existem tantos tipos de mancais, do ponto de vista de suas construções, que a 
discussão e as ilustrações abaixo são meramente indicativas. As buchas para mancais 
pequenos são, freqüentemente, feitas em uma só peça, usualmente em latão ou bronze. As 
buchas devem ser prensadas em sua sede e, em seguida, acabadas para o diâmetro desejado. 
Depois que ocorrer desgaste excessivo, a bucha deve ser substituída. Os mancais feitos em 
duas peças podem ser usados com calços que são removidos para compensar o desgaste do 
mancal. 
 É melhor que a linha de ação da carga resultante no mancal seja inclinada de um ângulo 
menor que 60º em relação à linha de centro de uma das metades, no caso dos mancais 
bipartidos.Em nenhuma hipótese, quando o atrito for fluido, deve a linha de ação da resultante 
situar-se no plano de corte do mancal, por causa do efeito destrutivo das descontinuidades na 
pressão do óleo. Quando a linha de ação da carga forma um grande ângulo com a vertical, 
pode-se usar um mancal com o corte inclinado ou o plano de corte pode ser vertical em vez de 
horizontal. 
 Os mancais de grande porte são freqüentemente, fabricados em mais de duas partes. 
Um mancal em quatro partes permite ajustagens, com o propósito de compensar desgastes, 
tanto na horizontal, como na vertical. 
 Mancais para arvores de transmissão podem ser suportados por estruturas fixas às 
paredes ou aos vigamentos. 
 
6.32 - MANCAIS DE ESCORA. 
 
As árvores verticais e aquelas em que estão montados parafusos sem-fim, engrenagens 
helicoidais, etc., estão sujeitas a forças axiais. Estas forças são suportadas por mancais de 
escora é o mostrado na Fig. 236, usado para suportar arvores verticais. O maior desgaste neste 
tipo de mancal ocorre no raio externo pois que, nele, a velocidade linear é máxima. Em 
conseqüência, a superfície próxima à periferia desgasta-se gradualmente, deixando a parte 
central mais alta, o que, eventualmente, produz pressões muito altas nesta parte. Para eliminar, 
parcialmente, esta dificuldade, é usado um disco de escora, que é feito com um furo no centro. 
Ocasionalmente, são usados diversos discos B, cada um deles girando, então, a uma fração da 
velocidade do eixo, o que distribui o desgaste. A pressão admissível para tais mancais pode 
variar de 3,5 kg/cm2 (50 psi) a 14 kg/cm2 (200 psi), em correspondência com velocidades 
 
202 
lineares periféricas médias de 60 m/min (200 ft/min) a 150 m/min (500 ft/min), as maiores 
velocidades correspondendo às menores pressões. Para serviços de condições médias e com 
velocidades muito baixas as pressões podem elevar-se até 1 kg/mm2 (1500 psi) ou mais. O 
coeficiente de atrito para mancais de escora bem lubrificados algumas vezes é feito igual a 
0,015. 
 
Fig 13 -mancal de escora para eixo vertical 
 O mancal de escora com colares, Fig. 13, é usado quando a carga é demasiadamente 
elevada para um tipo simples, acima descrito, ou quando for impraticável a montagem do 
mesmo. Em geral, ele é usado para absorver o esforço axial criado, por exemplo, por um órgão 
de propulsão (como uma hélice ou um rotor de turbina ou bomba). As pressões admissíveis 
para os mancais de colar são um pouco menores do que as permitidas nos mancais simples de 
escora. Isto porque a carga não é uniformemente distribuída entre os colares. Se possível, os 
colares devem ser colocados próximo ao ponto em que o esforço axial se origina, o que aliviará 
o eixo da ação de flambagem. O diâmetro do colar pode ser de 1,4 a 1,8 vezes o diâmetro do 
eixo e o coeficiente de atrito pode ser tomado aproximadamente igual a 0,04. 
 
Fig 14.-mancal de escora com colares 
 
 
203 
 
 
 
Fig.15 – Viscosidade absoluta,conforme [67] 
 
 
204 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.16 – Posição da espessura mínima do filme 
 
205 
 
 
 
 
 
Fig.17 – Razão da vazão,conforme [67] 
 
 
 
 
 
 
 
206 
 
Fig.18 – Razão da vazão,conforme [67] 
 
 
Fig.19 – Razão da pressão máxima do filme,conforme [67] 
 
207 
 
Fig. 20 – Posição do filme,conforme [67]
 
208 
6.33 - EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
Um mancal hidrodinâmico gira a 1760 rpm, com diâmetro de d = 2 pol, comprimento L = 2 pol, 
carga de W = 1000 lbf, e óleo lubrificante SAE 20. Sabendo-se que a temperatura inicial é de 
100ºF, pede-se: 
a) Qual a estimativa para a temperatura média de funcionamento para uma folga de c = 0,0020 
pol. 
b) Qual a folga ideal para uma temperatura média de 120°F? Traçar um gráfico de ho x c. 
c) Para o mancal dado, folga de c = 0,0025 pol e temperatura média de 120°F, qual a potência 
perdida? Esta potência aumenta ou diminui de quanto quando a rotação aumenta 50%? 
d) Quanto que a pressão máxima do mancal dado aumenta, quando a carga aumenta de 
100%, 
 c = 0,0025 pol, para a mesma temperatura média de 120ºF? 
 
Respostas 
 
N = 33,29
60
1760
= rps W = 1000 lbf 
D = 2 pol → r = 1 pol Óleo SAE 20 
L = 2 pol Ti = 100°F 
1=
D
L
 
a) c = 0,0020 pol Tm = Ti + 
2
T∆
 
∆T (ºF) Tm (°F) µ (12-11) S 
Qs/Q 
(12-19) 
(r/c).f 
 (12-17) 
Q/r.c.N.L 
(12-18) ∆T (°F) 
20 110 6,4. 610− 0,18772 0,58 4,25 4,16 37 
35 117,5 5,3. 610− 0,1553 0,63 3,8 4,2 34 
Tabela 01 – exercício resolvido 01 
Para ∆T = 20°F: 
P
N
c
rS ..2
2 µ
= 250
2.1.2
1000
..2
===
Lr
WP lbf/pol2 = psi Tm = 100 + F°=110
2
20
 → µ = 
6,4. 610− 
 
18772,0
250
33,29.10.4,6
.
0020,0
1 6
2
2
==
−
S 
( ) F
LNcr
Q
f
c
r
Q
Qs
PT º37
16,4.58,0.5,01
25,4.250.103,0
...
.
.
.5,01
.103,0
=
−
=
























−
=∆ 
Para ∆T = 35°F Tm = 100 + F°= 5,117
2
35
 → µ = 5,3. 610− (12-11) 
 
209 
1554,0
250
33,29.10.3,5
.
0020,0
1 6
2
2
==
−
S ( ) FT º342,4.63,0.5,01
8,3.250.103,0
=
−
=∆ 
 
Assim, para c = 0,0020 pol → Tm = 100 + F°=117
2
34
 
 
b) Tm = 120°F → µ = 5,0. 610− 
 
2
6
2
62 10.5866,033,29.10.0,5.1
cc
S
−−
== 
c S ho/c ho 
0,0050 0,0235 0,12 0,600 310. − 
0,0010 0,5866 0,73 0,730 310. − 
0,0020 0,2607 0,59 0,885 310. − 
0,0025 0,1467 0,44 0,880 310. − 
0,0025 0,0939 0,33 0,825 310. − 
0,0030 0,0652 0,26 0,780 310. − 
Tabela 02 – exercício resolvido 01 
 
Gráfico ho x c
0
0,0002
0,0004
0,0006
0,0008
0,001
0 0,001 0,002 0,003 0,004
c
ho
 
 
A folga ideal está entre: 0,0010 < c < 0,0015, pois ↑T: ↓c: ↓ho 
 
c) 55,2.0939,0
250
33,29.10.5
.
0025,0
133,29
60
1760
1
6
2
2
11 =





→==→==
−
f
c
rSrpsN 
 
 4,3.1408,0
250
44.10.5
.
0025,0
144
60
5,1.1760
2
6
2
2
22 =





→==→==
−
f
c
rSrpsN 
 
 
210 
0064,055,2.
0025,0
1
11 =→=




 ff 0085,04,3.
0025,0
1
22 =→=




 ff 
 
63000
... NrfWHP = HPHP 179,0
63000
1760.1.0064,0.1000
1 == 
HPHP 237,0
63000
1760.1.0085,0.1000
2 == 
 
Aumento = %4,32
179,0
179,0237,0
=
−
 
d) 
K
PPK
P
P
máx
máx
=→=
.
.
 Tm = 120°F → µ = 5,0. 610− 
 
W (lbf) P(psi) S P/Pmáx.= K Pmáx.(psi) 
1000 250 0,0939 0,39 641 
2000 500 0,0469 0,33 1515 
Tabela 03 – exercício resolvido 01 
 
 
Sendo que: 
P
S 33,29.10.0,5.
0025,0
1 6
2
2 −
= Pmáx. = P/K 
 
Aumento = %136100.
641
6411515
=
−
 
 
211 
CAPÍTULO 07 - MANCAIS DE ROLAMENTOS 
 
7.1 - INTRODUÇÃO 
7.2 - DIMENSIONAMENTO 
O projeto completo da máquina ou do aparelho já determina, em muitos dos casos, o 
diâmetro do furo dos rolamentos. Para uma determinação final das demais dimensões principais 
e do tipo construtivo deve, entretanto, ser constatado através de um cálculo de 
dimensionamento se as exigências quanto à vida útil, à segurança estática e à economia estão 
satisfeitas. Neste cálculo, a solicitação do rolamento é comparada à sua capacidade de carga. 
Na tecnologia dos rolamentos há uma diferenciação entre uma solicitação dinâmica e uma 
estática. 
Na solicitação estática o rolamento não apresenta ou há só um pequeno movimento 
relativo (n < 10 rpm). Nestes casos, deve ser verificada a segurança contradeformações 
plásticas muito elevadas das pistas e dos corpos rolantes. 
A maioria dos rolamentos é solicitada dinamicamente. Nestes, os anéis giram um em 
relação ao outro. Com o cálculo do dimensionamento, é controlada a segurança contra uma 
fadiga prematura do material das pistas e dos corpos rolantes. 
A vida nominal L10 conforme DIN ISO 281 raramente indica a duração realmente 
atingível. Construções econômicas exigem, no entanto, que a capacidade de rendimento dos 
rolamentos seja aproveitada ao máximo. Quanto mais for este o caso, mais importante é um 
correto dimensionamento dos rolamentos. 
As capacidades dinâmica e estática mencionadas neste capítulo se aplicam a 
rolamentos de aço cromo temperados em estado padrão para temperaturas de serviços usuais 
de até 100 °C. A dureza mínima das pistas e dos cor pos rolantes corresponde a 58 HRC. 
Sob temperaturas mais elevadas, a dureza do material se reduz e com isto, a 
capacidade de carga do rolamento. 
 
 
7.3 - ROLAMENTOS SOLICITADOS ESTATICAMENTE 
Quando se trata de solicitação estática, calcula-se o fator de esforços estáticos fs para 
comprovar que o rolamento selecionado possui uma capacidade de carga estática suficiente. 
o
o
s P
Cf = 
Onde fs - fator de esforços estáticos 
 
212 
C0 - capacidade de carga estática [kN] 
P0 - carga estática equivalente [kN] 
O fator de esforços estáticos fs é um valor de segurança contra deformações elásticas 
elevadas, nos pontos de contato dos corpos rolantes. Para rolamentos que devam ter um giro 
particularmente suave e silencioso, deverá ser alcançado um fator elevado de esforços 
estáticos. Se as exigências que se referirem à suavidade de giro forem menores, bastarão 
fatores fs menores. De um modo geral, devem ser atingidos os seguintes valores: 
fs = 1,5...2,5 Para exigências elevadas 
fs = 1,0...1,5 Para exigências normais 
fs = 0,7...1,0 Para exigências reduzidas. 
Os valores correspondentes aos rolamentos axiais auto-compensadores de rolos e aos 
de alta precisão estão dados na parte das tabelas. 
A capacidade de carga estática C0 [kN] se encontra indicada nas respectivas tabelas dos 
rolamentos. Uma carga desta magnitude (nos rolamentos radiais uma carga radial e nos axiais 
uma carga axial e central), provoca uma pressão de superfície P0 calculada, no centro do ponto 
de contato mais carregado entre os corpos rolantes e a pista de: 
• 4600 N/mm² em todos os rolamentos auto-compensadores de esferas 
• 4200 N/mm² em todos os outros rolamentos de esferas 
• 4000 N/mm² em todos os rolamentos de rolos. 
A carga ocasionada por C0 produz, no ponto onde incide a maior carga, uma deformação 
plástica total dos corpos rolantes e da pista da ordem de 1 /10000 do diâmetro do corpo rolante. 
A carga equivalente P0 [kN] é um valor calculado, ou seja, uma carga radial nos rolamentos 
radiais e uma carga axial e central nos rolamentos axiais. P0 ocasiona a mesma solicitação no 
ponto central de contato onde incide a maior carga entre os corpos rolantes e a pista como a 
solicitação realmente atuante. 
ar FYFXP ** 000 += [kN] (1) 
Onde P0 - carga estática equivalente [kN] 
Fr - carga radial [kN] 
Fa - carga axial [kN] 
X0 - fator radial 
Y0 - fator axial 
Os valores para X0 e Y0 bem como indicações para o cálculo da carga estática 
equivalente estão mencionados nas tabelas para os diversos tipos de rolamentos ou em seu 
preâmbulo. 
 
213 
 
7.4 - ROLAMENTOS SOLICITADOS DINAMICAMENTE 
O cálculo normalizado (DIN ISO 281) para os rolamentos dinamicamente solicitados tem 
por base a fadiga do material, como causa da falha. A fórmula para o cálculo de vida nominal é: 
[ ]rotações
P
CLL
P
6
10 10





== (2) 
Onde L10 - L vida nominal [106 rotações] 
 C - capacidade dinâmica [kN] 
P - carga dinâmica equivalente [kN] 
p - expoente de duração da vida 
L10 é a vida nominal em milhões de rotações, atingida ou superada por, no mínimo, 90% 
de um lote significativo de rolamentos iguais. 
A capacidade dinâmica C [kN] conforme DIN/ISO281-1993 consta nas tabelas para cada 
rolamento. Uma carga desta magnitude resulta em uma vida nominal L10 de 106 rotações. 
A carga dinâmica equivalente P [kN] é um fator calculado, ou seja, uma carga radial 
constante em tamanho e direção, em rolamentos radiais ou uma carga axial em rolamentos 
axiais. O resultado de P é a mesma duração de vida quanto à carga combinada realmente 
atuante. 
ar FYFXP ** += [kN] 
Sendo P - carga estática equivalente [kN] 
Fr - carga radial [kN] 
Fa - carga axial [kN] 
X - fator radial 
Y - fator axial 
Os valores para X e Y e também as indicações para calcular a carga dinâmica 
equivalente estão indicados nas tabelas dos diversos tipos de rolamentos. 
 
O expoente de duração de vida nominal p é diferenciado para rolamentos de esferas ou 
de rolos. 
Onde p =3 para rolamentos de esferas 
p =10/3 para rolamentos de rolos 
Se a rotação do rolamento for constante, a vida nominal pode ser expressa em horas: 
60*
10* 6
10
n
LLL hh == [h] 
 
214 
Sendo Lh10 = Lh duração de vida nominal [h] 
L - vida nominal [106 revoluções] 
N - rotação (freqüência de giro) [min-1] 
Simplificando-se a fórmula, teremos: 
60*
60*3
1*33*500*
n
L
Lh = 














=
nP
CL ph 3
1*33
*
500
 ou 
P
C
n
L pp h *3
1*33
500
= 
Neste contexto significam: 
p h
L
Lf
500
= índice dinâmico 
Isto é fL = 1 para uma vida nominal de 500 horas 
 
p
n
n
f 3
1*33
= fator de rotação 
Ou seja, fn = 1 em uma rotação de 33*1/3 rpm. A equação da vida nominal fica, portanto, com a 
forma simplificada: 
nL fP
Cf *= 
Sendo fL- fator dinâmico 
C - capacidade de carga dinâmica [kN] 
P - carga dinâmica equivalente [kN] 
fn - fator de rotação ou fator dinâmico f 
O fator fL a ser alcançado resulta de experiências com aplicações de rolamentos iguais 
ou semelhantes, que tenham demonstrado comprovada eficiência na prática. Nas tabelas, 
foram compilados os valores fL a serem atingidos para inúmeras aplicações. Estes valores 
levam em consideração não somente um período suficientemente longo de funcionamento até a 
fadiga, mas também outras exigências como o peso reduzido em construções leves, adaptação 
às peças contíguas, picos de carga extrema e outras (veja também outras publicações para 
aplicações especiais). Os valores fL são corrigidos de acordo com a evolução tecnológica. 
Ao se estabelecer comparações com aplicações comprovadas na prática, deve-se 
naturalmente determinar a magnitude do esforço segundo o mesmo método de cálculo. Nas 
tabelas estão indicados, além dos valores fL a serem alcançados, também os dados comumente 
 
215 
utilizados no cálculo. Nos casos em que se utilizam fatores adicionais, o valor fz se encontra 
indicado. Ao invés de se utilizar P, calcula-se com fz × P. Do valor fL obtido, determina-se a vida 
nominal Lh. 
Com os valores fL e Lh obtém-se os parâmetros para o dimensionamento, somente para 
aqueles casos onde a comparação entre os rolamentos testados em campo é possível. Para 
uma mais precisa determinação da vida útil, também os efeitos da lubrificação, temperatura e 
limpeza devem ser levados em consideração. 
 
 
7.5 - CARGA E ROTAÇÃO VARIÁVEIS 
Se, no decorrer do tempo houver alterações na carga e na rotação de um rolamento 
solicitado dinamicamente, este fato deve ser considerado no cálculo da carga equivalente. 
Neste caso, aproxima-se a curva do gráfico obtido mediante uma série de cargas isoladas e 
rotações com uma duração determinada q %. Neste caso, obtém-se a carga dinâmica 
equivalente P, aplicando-se a seguinte fórmula: 
3 22
3
2
113
1 ...100
..
100
.. ++=
q
n
nPq
n
nPP
mm
 [kN] 
Onde nm 
...100
.
100
.
2
2
1
1 ++=
q
n
q
nnm [min-1] 
 
Figura 1 – Carga e rotações variáveis 
 
216 
Para simplificar, consta o expoente 3 nas fórmulas para rolamentos de esferas e de 
rolos. Se a carga for sujeita a alterações, mas a rotação permanecer constante, teremos: 
PP = 
3 23
2
13
1 ...100
.
100
. ++=
qPqPP [kN] 
Se, a uma rotação constante, a carga crescer de forma linear de um valor Pmin para um 
valor máximo Pmax, obtém-se: 
3
.2 maxmin PPP += 
 
Figura 2 – Carga linear no tempo 
O cálculo ampliado de vida não deve ser calculado com o valor médio da carga dinâmica 
equivalente. O melhor é determinar o valor Lh para cada duração sob condições constantes e, 
baseado nestas, obter-se a vida atingível. 
 
 
7.6 - CARGA MÍNIMA DOS ROLAMENTOS 
Sob uma carga muito baixa - por exemplo, em alta rotação em giro de teste pode surgir 
deslizamento que, com uma lubrificação deficiente pode provocar danificações. Para uma carga 
mínima para rolamentos radiais recomendamos: 
Rolamentos P/C 
Esferas com gaiola 0,01 
Rolos com gaiola 0,02 
Sem gaiola 0,04 
Tabela 1 – Carga mínima dos rolamentos 
Onde P - carga dinâmica equivalente 
C - capacidade de carga dinâmica 
A carga mínima dos rolamentos axiais está dada no preâmbulo da parte de tabelas. Um 
super dimensionamento dos rolamentos pode levar a uma duração da vida menor. Nestes 
 
217 
rolamentos existe o perigo de deslizamento e uma solicitação elevada do lubrificante. O 
deslizamento pode danificar as superfícies funcionais, por um engraxamento ou pela formação 
de micro fissuras. Para um mancal ser econômico e seguro, deve ser aproveitada toda a sua 
capacidade de carga. Para isto é necessário que ao projetá-lo, se considere outras grandezas 
de influência, além da capacidade de carga, como é o caso do cálculo de vida. 
 
7.6.1 - OBSERVAÇÕES 
Os métodos de cálculo e símbolos acima expostos correspondem às indicações DIN ISO 
76 e 281. A título de simplificação são utilizados nas fórmulas e tabelas para os rolamentos 
radiais e axiais, os símbolos C e C0 para a capacidade de carga dinâmica e estática assim 
como P e P0 para a carga dinâmica e estática equivalente. A Norma diferencia: 
Cr → fator de carga radial dinâmica 
Ca → fator de carga axial dinâmica 
C0r → fator de carga radial estática 
C0a → fator de carga axial estática 
Pr → carga radial dinâmica equivalente 
Pa → carga axial dinâmica equivalente 
P0r → carga radial estática equivalente 
P0a → carga axial estática equivalente 
No intuito de simplificar, deixou-se de indicar os índices "r" e "a" junto a "C" e "P", haja 
visto não existir, na prática, margem para dúvidas quanto à pertinência dos fatores de carga e 
cargas equivalentes para rolamentos radiais ou axiais. 
A DIN ISO 281 restringe-se à indicação da duração da vida nominal L10 e à vida 
ampliada Lna em 106 rotações. A partir destes dados é possível ser deduzida a duração de vida 
nominal em horas Lh e Lhna. Na prática, é costume se tomar por base Lh, Lhna e em especial o 
fator dinâmico (fL). Devido a isto foram incluídos neste catálogo, como complementos valiosos, 
valores orientativos para fL e fórmulas para Lh e Lhna. 
 
 
7.6.2 - DURAÇÃO ATINGÍVEL - MODIFICADA DA VIDA 
Segundo DIN ISO 281 a duração atingível (modificada) da vida é obtida segundo a 
seguinte fórmula: 
[ ]revoluçõesLaaaLna 6321 10...= 
 
218 
Ou expresso em horas: 
[ ]hLaaaL hhna ... 321= 
Onde Lna - duração atingível (modificada) da vida [106 rotações] 
Lhna - duração atingível da vida [h] 
a1 -fator para a probabilidade de falha, a2 - fator para o material, a3 - fator para as 
condições em serviço 
L - duração da vida nominal [106 rotações] 
Lh - a duração da vida nominal [h] 
 
7.6.3 - DURAÇÃO DA VIDA ATINGÍVEL 
[ ]revoluçõesLaaLna 6231 10..= e [ ]hLaaL hhna .. 231= 
Sendo a1 - fator para a probabilidade de falha 
a23 - fator para o material e as condições de serviço 
L - duração da vida nominal [106 rotações] 
Lh - duração da vida nominal [h] 
 
 
7.6.4 - FATOR A23 
O fator a23 para a determinação da duração da vida atingível Lna ou Lhna, é obtido da 
relação 
saa II .2323 = 
Sendo a23II - valor básico a23II 
s - fator de limpeza 
O fator a23 considera as influências do material, tipo construtivo do rolamento, 
solicitação, lubrificação e limpeza. 
O ponto de partida para a determinação do fator a23. O campo mais importante para a 
prática é o campo II do diagrama, que vale para limpeza normal (valor básico de a23 para s = 1). 
Com uma limpeza melhor ou pior, será calculado com um fator s > 1 resp. s < 1. 
 
219 
 
 
Figura 3 - Esquema para a determinação de a23 
 
7.6.5 - RELAÇÃO DE VISCOSIDADE Κ
 
No eixo de abscissas está indicada a relação de viscosidade κ como medida para a 
formação da película lubrificante. 
1v
vk = 
Onde v - viscosidade em serviço da película lubrificante no contato de rolagem 
v1 - viscosidade de referência na dependência do diâmetro e do número de rotações 
A viscosidade de referência v1 é determinada através da figura 3, com o auxílio do 
diâmetro médio do rolamento (D + d)/2 e do número de rotações em serviço. 
A viscosidade em serviço v de um óleo lubrificante é obtida do diagrama V-T com o 
auxílio da temperatura em serviço t e da viscosidade (nominal) do óleo a 40 °C. Para graxas, 
usa-se para v a viscosidade em serviço do óleo básico. Em rolamentos altamente solicitados e 
com grandes parcelas de deslizamento (fs* < 4) a temperatura do rolamento nas áreas de 
contato dos corpos rolantes é até 20 K mais alta que a temperatura medida no anel do 
 
220 
rolamento parado (sem influência de aquecimento externo). Isto é em parte considerado, 
colocando-se a metade do valor da viscosidade ½ obtida do diagrama V-T na fórmula. 
1v
vk = . 
 
Viscosidade de referência v1 
 
Figura 4 – Viscosidade v1 
 
221 
Diagrama V-T para óleos minerais 
 
Figura 5 – Viscosidade para óleos minerais 
 
 
7.6.6 - VALOR BÁSICO A23II 
Para poder determinar com mais precisão o valor básico a23II é necessário ter-se o fator 
determinante K = K1 + K2. 
O valor de K1 pode ser obtido do diagrama acima, na dependência do tipo construtivo do 
rolamento e do índice de solicitação fs*. O valor de K2 depende da relação de viscosidade κ e do 
índice fs*. Os valores do diagrama (abaixo) valem para lubrificantes não aditivados ou para 
lubrificantes com aditivos, cuja eficiência especial não tenham sido testados em rolamentos. 
Com K = 0 até 6, a23II se situa em uma das curvas no campo II da figura 8. 
Com K > 6, só pode ser esperado um fator a23 no campo III, quando se deverá almejar um valor 
de K menor e mediante uma melhora das condições, alcançar o campo II definido. 
Se for lubrificado com a quantidade certa e com uma graxa bem adequada, podem ser 
selecionados valores K2, como para óleos bem aditivados. A escolha correta da graxa é muito 
importante em rolamentos com grandes parcelas de deslizamento e nos de grande porte, 
altamente solicitados. Na determinação do valor a23II e, sem um conhecimento preciso da 
 
222 
aptidão da graxa, deverá ser aplicado o limite inferior do campo II. Isso vale principalmente 
quando não se podem manter os intervalos de lubrificação. 
Fator determinante K1, na dependência do índice fs* e do tipo construtivo do rolamento. 
 
Figura 6 – K1 versus fs* 
Para 
a - Rolamento fixo de esferas 
b - Rolamento de rolos cônicos, rolamento de rolos cilíndricos 
c - Rolamento auto-compensador de rolos, rolamento axial auto-compensador de rolos 3 
rolamento axial de rolos cilíndricos 1, 3 
d - Rolamentos de rolos cilíndricos sem gaiola 1, 2 
1 - V < 1 só é atingível em combinação com filtragem finado lubrificante, de outra forma 
usar K1 > 6. 
2 - Considere na determinação de v: o atrito é no mínimo o dobro do que nos rolamentos 
com gaiola. Isto leva a temperaturas mais altas do rolamento. 
3 - Considerar a carga mínima 
Fator determinante K2, na dependência do índice fs* para lubrificantes não aditivados e 
para lubrificantes com aditivos, cuja eficiência especial não tenham sido testados em 
rolamentos. 
 
223 
 
Figura 7 – k2 versus fs* 
K2 se torna igual a 0 em lubrificantes com aditivos para os quais haja uma comprovação 
positiva. Com K≥0,4 o desgaste se propaga no rolamento, se não for impedido por aditivos 
apropriados. 
 
Figura 8 – Valor de K em função de a23II e k 
 
224 
 
Campo 
I: Transição para a durabilidade permanente 
Premissa: máxima limpeza na fresta de lubrificação e cargas não muito elevadas, 
lubrificante adequado. 
II: Limpeza normal na fresta de lubrificação 
Através da utilização de aditivos comprovados em rolamentos, também são possíveis 
valores de a23 > 1 com k< 0,4 a23. 
III: Condições de lubrificação inadequadas. 
Contaminação do lubrificante, Lubrificantes inadequados. 
 
 
7.6.7 - FATOR DE LIMPEZA S 
O fator de limpeza s quantifica a influência da contaminação na duração da vida. Para a 
determinação de s, é necessário obter-se a grandeza de contaminação V figura 8. 
Para uma limpeza normal (V = 1) sempre vale 1, ou seja a23II = a23. 
Em uma limpeza melhorada (V = 0,5) e em uma limpeza máxima (V = 0,3), obtém-se, 
partindo do valor fs* e, na dependência da relação de viscosidade, um fator de limpeza de s 
≥1. 
Com s = 1, vale k ≥0,4. Com V = 2 (lubrificante moderadamente contaminado) e V = 3 
(lubrificante fortemente contaminado) se torna s < 1 da área b do diagrama. A diminuição dos 
valores de s por altos valores de V atua tanto mais forte quanto menos seja solicitado o 
rolamento. 
Diagrama para a determinação do fator de limpeza s 
 
Figura 9a e b – Fator de limpeza 
 
225 
 
 
Figura 9c – Fator de limpeza 
Onde a - diagrama para limpeza melhorada (V = 0,5) até máxima (V = 0,3) 
b - diagrama para lubrificante moderadamente contaminado (V = 2) e lubrificante
 altamente contaminado (V = 3) 
Um fator de limpeza s > 1 só é atingível em rolamentos sem gaiola, quanto ficar excluído 
qualquer desgaste no contato rolo/rolo, através de um lubrificante altamente viscoso e com 
máxima limpeza (pureza do óleo de no mínimo 11/7 segundo ISO 4407). 
 
 
7.6.8 - GRANDEZA DETERMINANTE V PARA A AVALIAÇÃO DA LIMPEZA 
 A grandeza determinante V depende do corte transversal do rolamento, do tipo de 
contato no contato rolante e do grau de pureza do óleo. Se, na área de contato mais solicitada 
de um rolamento, forem sobre roladas partículas duras a partir de um determinado tamanho, as 
impressões deixadas nas áreas de contato de rolagem levam a uma fadiga prematura do 
material. Quanto menor for a área de contato tanto mais nociva é a ação de um determinado 
tamanho de partículas. Portanto, os rolamentos pequenos reagem com mais sensibilidade com 
o mesmo grau de contaminação que os maiores e os rolamentos com contato fixo (rolamentos 
de esferas) com mais sensibilidade do que os de contato linear (rolamentos de rolos). 
A classe de pureza do óleo necessária conforme ISO 4406 é uma grandeza mensurável 
para o grau de contaminação de um lubrificante. Para a sua determinação, é usado o método 
padronizado para a contagem de partículas. Neste, a quantidade de todas as partículas > 5 µm 
e de todas as partículas > 15 µm são classificadas em determinadas classes de pureza de óleo 
ISO, desta forma, um grau de pureza 15/12 conforme ISO 4406 significa que, em 100 ml de 
líquido se encontram entre 16000 e 32000 partículas > 5 µm e entre 2000 e 4000 partículas > 
15 µm. A diferença entre uma classe e outra reside no dobro, da metade da quantidade das 
partículas. 
 
226 
Especialmente as partículas com uma dureza > 50 HRC agem como redutoras da 
duração da vida nos rolamentos. Estas partículas são de aço temperado, areia e resíduos de 
material de abrasão. Principalmente os últimos são extremamente danosos. Se, como em 
muitos casos de aplicação técnica, a maior parcela dos materiais estranhos contidos nas 
amostras de óleo estiver localizada na faixa de redução da duração da vida, a classe de pureza 
obtida com a contagem de partículas, pode ser comparada diretamente com os valores contidos 
na tabela. Se, entretanto, no exame do resíduo do filtro, for verificado que se trata quase que, 
p.ex., exclusivamente de contaminação mineral como areia de fundição ou grãos de material de 
abrasão especialmente redutores da duração da vida, os valores de medição deverão ser 
elevados em uma até duas classes de pureza, antes de determinar a grandeza de 
contaminação V. Ao contrário, se for comprovado que a maioria é de partículas macias, como 
madeira, fibras ou tinta no lubrificante, o valor de medição da contagem de partículas pode ser 
correspondentemente reduzido. 
Para atingir a pureza do óleo exigida, deverá haver uma determinada taxa de resíduo no 
filtro. Esta é uma medida para a capacidade de separação do filtro em partículas de tamanho 
definido. A taxa de resíduo no filtro ßx é a relação entre todas as partículas > x µm antes do 
filtro com as partículas > x µm depois do filtro. Abaixo se encontra uma representação 
esquemática. 
Uma taxa de resíduo no filtro ß3 ≥200, significa, p.ex. que no teste "multi-pass" (ISO 
4572) de 200 partículas 3 µm, só uma única consegue passar pelo filtro. 
Com o uso de um filtro com uma determinada taxa de resíduo não se pode concluir 
automaticamente pela classe de pureza do óleo. 
 
 
 
227 
7.6.9 - VALORES PARA A GRANDEZA DETERMINANTE DE CONTAMINAÇÃO V 
(D-d) / 2 
Mm 
V Contato Pontual classe de 
pureza de óleo conforme 
ISSO 44061 
Valores orientativos para a 
taxa de resíduo no filtro 
conforme ISO 4572 
0,3 11/8 β3 ≥ 200 
0,5 12/9 β3 ≥ 200 
1 14/11 β6 ≥ 75 
2 15/12 β6 ≥ 75 
≤12,5 
3 16/13 β12 ≥ 200 
0,3 12/9 β3 ≥ 75 
0,5 13/10 β3 ≥ 75 
1 15/12 β6 ≥ 75 
2 16/13 β12 ≥ 75 
> 12,5 ... 20 
3 18/14 β25 ≥ 75 
0,3 13/10 β3 ≥ 75 
0,5 14/11 β6 ≥ 75 
1 16/13 β12 ≥ 75 
2 17/14 β25 ≥ 75 
> 20 ... 35 
3 19/15 β25 ≥ 75 
0,3 14/11 β6 ≥ 75 
0,5 15/12 β6 ≥ 75 
1 17/14 β12 ≥ 75 
2 18/15 β25 ≥ 75 
> 35 
3 20/16 β25 ≥ 75 
Só devem ser consideradas partículas cuja dureza seja > 50HRC 
Tabela 2 – Contaminação V 
 
A classe de pureza do óleo como medida para a probabilidade de sobre rolagem de 
partículas redutoras da duração da vida nos rolamentos pode ser determinada por amostras 
p.ex. por fabricantes de filtros e institutos. Deverá ser observada uma coleta apropriada de 
amostras (vide p.ex. DIN 51170). Também aparelhos de medição "on-line" se encontram hoje 
em dia à disposição. As classes de pureza são atingidas quando a quantidade total do óleo em 
circulação passar uma vez pelo filtro em poucos minutos. Para garantir uma boa limpeza dos 
 
228 
mancais, é necessário um processo de enxágüe antes da colocação em funcionamento dos 
mesmos. 
Uma taxa de resíduo ß3 ≥200 (ISO 4572) significa, p.ex. que no assim chamado teste 
"multi-pass", de 200 partículas ≥3 µm só uma passa pelo filtro. Filtros maiores que ß25 ≥75 não 
deverão ser usados, pelas conseqüências negativas para os demais agregados também 
instalados no circuito do óleo. Lubrificação com graxa 
A lubrificação com graxa é aplicada em 90% de todos os rolamentos, pois apresenta as 
seguintes vantagens: 
• Reduzido custo construtivo 
• Bom apoio das vedações, proporcionado pela graxa 
• Alta durabilidade com uma baixa manutenção 
Sob condições ambientais e de serviço normais, muitas vezes é possível uma 
lubrificação para a vida. 
Deve ser prevista uma lubrificação a intervalos regulares, quandohouver alta solicitação 
(rotação, temperatura, carga). Para tanto, devem ser previstos canais para suprir e drenar a 
graxa e um depósito para a graxa envelhecida e, quando os intervalos forem curtos, 
eventualmente uma bomba e um regulador da graxa. Coeficiente de pressão-viscosidade α 
como função da viscosidade cinemática v, válido para a faixa de pressão de 0 a 2000 bar 
 
Figura 10 - Coeficiente de pressão-viscosidade versus viscosidade 
Onde a-b - Óleos minerais; e – Diéster; g - Éster triarilfosfato; h - Flúor carbono; i - Poliglicol 
k,l - Silicone 
 
229 
 
Figura 11 – Dependência da densidade dos óleos minerais em função da temperatura. 
 
7.6.10 - LUBRIFICAÇÃO COM ÓLEO 
Um método de lubrificação com óleo se oferece quando as peças adjacentes da 
máquina já são supridas com óleo. A dissipação do calor é necessária quando houver altas 
cargas, altas rotações ou um aquecimento do mancal devido a influências externas. 
Na lubrificação com quantidades pequenas (lubrificação por quantidades mínimas), seja 
por gotejamento, névoa ou por ar-óleo, o atrito por "chapisco" e, com isto, os atritos no 
rolamento são mantidos bem reduzidos. 
Na utilização do ar como meio de transporte, é obtido um suprimento dirigido e um fluxo 
auxiliar a vedação. 
Uma lubrificação por injeção de óleo em maiores quantidades possibilita um suprimento 
correto em todos os pontos de contato dos rolamentos de alta velocidade, proporcionando uma 
boa refrigeração. 
 
 
 
230 
7.7 - PROCESSO DE SELEÇÃO DE ROLAMENTOS 
Inicialmente, devemos ter as seguintes informações: 
• Desempenho e condições requeridas ao rolamento 
• Condições de operação e meio 
• Dimensão do espaço para o rolamento 
• Avaliação do tipo de Rolamento. 
• Espaço permissível para o rolamento. 
Devemos verificar neste item, quais os rolamentos disponíveis que se enquadram nas 
dimensões requeridas pelo projeto. 
 
 
INTENSIDADE E DIREÇÃO DA CARGA 
Ao selecionar o rolamento, verificar a direção da carga (radial ou axial) e a sua 
intensidade. 
Tipo de Rolamento Capacidade de carga Capacidade de carga axial 
 1 2 3 4 1 2 3 4 
Fixo de uma carreira de esferas 
 
Contato angular 
 
Rolos cilíndricos 
 
Rolos cônicos 
 
Auto compensadores de rolos 
 
Tabela 3 – Capacidade de carga de cada rolamento 
VELOCIDADE DE ROTAÇÃO E LIMITE DE ROTAÇÃO 
A rotação máxima permissível varia em função do tipo de rolamento, da dimensão, do 
tipo e material da gaiola, carga e método de lubrificação. 
 
 
DESALINHAMENTO DOS ANÉIS INTERNO E EXTERNO 
O desalinhamento entre o anel interno e externo ocorre em casos como o da flexão do 
eixo em função da carga, da imprecisão do eixo e alojamento ou da deficiência na instalação. 
Quando temos grandes desalinhamentos, devem-se selecionar rolamentos com a capacidade 
de auto-alinhamento como os rolamentos auto compensadores. 
 
 
 
231 
FIXAÇÃO NA DIREÇÃO AXIAL E DISPOSIÇÃO 
Em uma disposição de rolamentos, uma das peças é determinada como lado fixo e é 
usada para fixar o eixo posicionando axialmente o rolamento. Neste lado fixo, deve ser 
selecionado o tipo de rolamento que suporte a carga radial juntamente com a carga axial. Na 
outra posição, o rolamento é denominado lado livre, suportando somente a carga radial e 
devem permitir o deslocamento do eixo devido à dilatação ou contração pela variação de 
temperatura. A não observância desta norma poderá acarretar em uma carga axial anormal no 
rolamento, podendo ser a causa de uma falha prematura. 
 
DIFICULDADE NA INSTALAÇÃO E REMOÇÃO 
Os rolamentos de rolos cilíndricos que têm os anéis internos ou externos separáveis, de 
agulha ou de rolamentos cônicos, apresentam maior facilidade de instalação e remoção, 
facilitando a manutenção em equipamentos que requerem uma inspeção periódica. Rolamentos 
com furos cônicos também são fáceis de instalar, pois podem ser instalados com a utilização de 
buchas. 
 
RUÍDO E TORQUE 
Os rolamentos fixos de esferas são os mais adequados para as máquinas que requerem baixo 
ruído e baixo torque, como nos motores elétricos e instrumentos de medição. 
 
RIGIDEZ 
Ao aplicar uma carga no rolamento, ocorre uma deformação elástica nas áreas de 
contato entre os corpos rolantes e a pista. A rigidez do rolamento é determinada em função 
proporcional da carga no rolamento e a intensidade da deformação elástica no anel interno, no 
anel externo e no corpo rolante. Os rolamentos de contato angular de esferas e os rolamentos 
de rolamentos cônicos são os mais apropriados para casos onde devemos ter o aumento da 
rigidez pelo método de pré-carregamento, como em fusos de máquinas-ferramenta. 
 
DISPONIBILIDADE E CUSTO 
Há diferenças significativas de custo de acordo com o tipo e tamanho de rolamento 
utilizado. Além disso, há a dificuldade de se obter determinados tipos de rolamentos. Diante 
disso, recomendamos que na medida do possível, na seleção dos rolamentos, não se optem 
por rolamentos de custo inacessível ou de difícil localização para compra. 
 
 
232 
DIMENSÕES PRINCIPAIS - SISTEMAS DE DENOMINAÇÃO 
Os rolamentos são elementos de máquinas utilizáveis universalmente, prontos para a 
montagem, devido ao fato de suas dimensões principais usuais serem normalizadas. 
As normas ISO correspondentes a cada tipo de rolamento são: a ISO 15 para os radiais 
(exceto os de rolos cônicos), a ISO 355 para os rolamentos de rolos cônicos em dimensões 
métricas e a ISO 104 para os rolamentos axiais. Os planos dimensionais das normas ISO foram 
absorvidas na DIN 616 e DIN ISO 355 (rolamentos de rolos cônicos com dimensões métricas). 
Nos planos de medidas da norma DIN 616, vários diâmetros externos e larguras são 
alocados a cada furo de rolamento. As séries usuais de diâmetro são 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4 (nesta 
ordem, com diâmetros crescentes). Em cada série de diâmetros há diversas séries de largura 
como, p.ex. 0, 1, 2, 3, 4 (correspondendo uma largura maior a cada número crescente). 
No número de dois algarismos para a série de medidas, o primeiro corresponde à série 
de largura (nos rolamentos axiais à altura) e o segundo indica a série de diâmetro . 
No plano de medidas para os rolamentos de rolos cônicos com dimensões métricas segundo 
DIN ISO 355, um dos algarismos (2, 3, 4, 5, 6) indica a faixa do ângulo de contato. Quanto 
maior o algarismo, tanto maior o ângulo de contato. As séries de diâmetros e de larguras são 
identificadas por duas letras. 
Em casos de divergências com relação ao plano de medidas, como nos rolamentos 
integrais das séries 2344 e 2347, esta característica é informada nos textos preliminares às 
tabelas de medidas. 
Exemplos para a identificação da série do rolamento e do diâmetro do furo na 
designação básica, segundo DIN 623. 
 
233 
 
Figura 12 a– Denominação dos rolamentos 
 
 
7.8 - TIPOS DE ROLAMENTOS 
 Os rolamentos são classificados de acordo com o tipo de carga que irão suportar, carga 
radial ou axial. 
 
7.8.1 - ROLAMENTOS RÍGIDOS DE ESFERAS - ROLAMENTOS FAG FIXOS DE ESFERA 
Os rolamentos fixos de esferas de uma carreira suportam cargas radiais e axiais e são 
adequados para rotações elevadas. Os rolamentos fixos de esferas não são separáveis. A 
adaptabilidade angular é relativamente reduzida. Os rolamentos fixos de esferas vedados são 
livres de manutenção e possibilitam construções simples.
 
 
CARGA DINÂMICA EQUIVALENTE 
Com uma carga axial mais elevada, o ângulo de contato aumenta nos rolamentos fixos 
de esferas. Os valores X e Y dependem da relação f0 · Fa/C0, tabela 4. O fator f0 está dado em 
forma de tabela. C0 é a capacidade de carga estática. Se um rolamento fixo de esferas for 
montado com um ajuste normal, isto significa uma usinagem do eixo conforme j5 ou k5 e a caixa 
segundo J6,valerão os valores da tabela 4. 
 
234 
 X Y X Y 
0,3 0,22 1 0 0,56 2 
0,5 0,24 1 0 0,56 1,8 
0,9 0,28 1 0 0,56 1,58 
1,6 0,32 1 0 0,56 1,4 
3 0,36 1 0 0,56 1,2 
6 0,43 1 0 0,56 1 
Tabela 4 – Carga dinâmica equivalente 
Fatores radial e axial dos rolamentos fixos de esferas são relacionados por: 
Folga normal 
 
rFP =0 [kN] para 8,0≤
r
a
F
F
 
ar FFP .5,0.6,00 += [kN] para 8,0>
r
a
F
F
 
 
 
MEDIDAS DE MONTAGEM 
Os anéis dos rolamentos só podem encostar-se aos rebordos do eixo e da caixa e não 
no rebaixo. O maior raio rg da peça contrária rsmin tem que ser, portanto, menor que a menor 
dimensão de canto rsmin (do rolamento). 
A altura do rebordo da peça contrária deverá ser de tal forma que, mesmo com a maior 
dimensão de canto, ainda permaneça uma superfície de apoio com uma largura suficiente (DIN 
5418). 
Nas tabelas dos rolamentos estão indicadas as medidas máximas do raio rg e o 
diâmetro dos encostos. No preâmbulo do capítulo respectivo constam eventuais peculiaridades, 
como p.ex. nos rolamentos de rolos cilíndricos, nos de rolos cônicos e nos axiais. 
 
 
 
235 
MEDIDAS DE MONTAGEM CONFORME DIN 5418 
 
Figura 13 - Montagens de anéis de rolamento 
Por serem de construção simples, inseparáveis, adequados para operar em altas 
rotações, não exigirem muita manutenção e apresentarem um preço favorável, são os 
rolamentos mais usuais. Apresentam um grande número de tamanhos e construções. 
As pistas profundas e a conformidade próxima entre as ranhuras das pistas e as esferas 
permite suportar cargas axiais relativamente pesadas em ambos os sentidos, além de cargas 
radiais. 
 
 
7.8.2 - ROLAMENTOS DE ESFERAS DE CONTATO ANGULAR 
Rolamentos FAG de contato angular de esferas de duas carreiras. 
 
 
Figura 14 – Rolamentos rígidos de esferas de uma carreira (1) 
e duas carreiras (2) com placas de vedação com anel interno largo. 
 
236 
A pista do anel externo é esférica e o centro do raio é coincidente ao centro do 
rolamento. Desta forma, o anel interno e a gaiola com as esferas giram livremente ao redor do 
centro do rolamento, permitindo com isto a correção de erros de alinhamento. 
Os rolamentos de contato angular de esferas de duas carreiras das séries 32B e 33B 
não têm ranhuras de enchimento, motivo pelo qual admitem cargas axiais em ambos os 
sentidos. Além dos rolamentos abertos, há ainda execuções básicas com blindagens (.2ZR) ou 
com anéis de vedação (.2RSR) em ambos os lados Os rolamentos que sejam fornecidos na 
execução básica vedada, podem também por razões técnicas de fabricação, ter no rolamento 
aberto, as ranhuras para os anéis de vedação ou os discos de blindagem. Os rolamentos de 
contato angular de esferas de duas carreiras têm, de um lado, ranhuras de enchimento; os 
rolamentos devem ser montados de maneira que a solicitação principal seja admitida pelas 
pistas de rolagem, que não tenham qualquer ranhura de enchimento. Os rolamentos de contato 
angular de esferas 33DA, com o anel interno bipartido, por seu elevado ângulo de contato de 
45°, são adequados para admitir cargas axiais espec ialmente altas em sentidos alternados. 
 
Figura 15 - Rolamentos de contato angular de esferas 
As fórmulas para a capacidade de carga equivalente dependem do ângulo de contato 
dos rolamentos. 
 
 
CARGA DINÂMICA EQUIVALENTE 
Rolamentos de contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de 
contato α de 25 ° 
ar FFP .92,0+= [kN] para 68,0≤
r
a
F
F
 
 
237 
ar FFP .41,1.67,0 += [kN] para 68,0>
r
a
F
F
 
Rolamentos de contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de 
contato α de 35° 
ar FFP .66,0+= [kN] para 95,0≤
r
a
F
F
 
ar FFP .07,1.6,0 += [kN] para 95,0>
r
a
F
F
 
Rolamentos de contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de 
contato α de 45° 
ar FFP .47,0+= [kN] para 33,1≤
r
a
F
F
 
ar FFP .81,0.54,0 += [kN] para 33,1>
r
a
F
F
 
 
 
CAPACIDADE DE CARGA ESTÁTICA 
O fator radial é 1; os fatores axiais dependem do ângulo de contato. Rolamentos de 
contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de contato α de 25 ° 
ar FFP .76,00 += [kN] 
Rolamentos de contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de 
contato α de 35 ° 
ar FFP .58,00 += [kN] 
 
Rolamentos de contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de 
contato α de 45 ° 
ar FFP .44,00 += [kN] 
Os rolamento para fusos são uma execução especial de rolamentos de contato angular 
de esferas de uma carreira, na qual o ângulo de contato, as tolerâncias e a execução da gaiola 
são diferentes. Os rolamentos para fusos são especialmente adequados para mancais dos 
quais são exigidas uma altíssima precisão de guia e uma aptidão para altas rotações. Eles tem 
tido a melhor comprovação na utilização em fusos de máquinas-ferramenta. A FAG, já há 
diversos anos, fornece os rolamentos para fusos das séries B719, B70 e B72 com esferas de 
 
238 
aço. Os rolamentos híbridos de cerâmica das séries HCB719, HCB70 e HCB72 têm as esferas 
do mesmo tamanho, porém de cerâmica. Os rolamentos para fusos de alta velocidade das 
séries HS719 e HS70 como também os rolamentos híbridos de cerâmica das séries HC719 e 
HC70 têm esferas menores de aço ou de cerâmica. Estes rolamentos se destacam pela aptidão 
para uma rotação mais elevada, atrito e geração de calor mais reduzido, menos necessidade de 
lubrificante e com isto uma duração de vida mais alta. Com os rolamentos para fusos de alta 
velocidade HSS719 e HSS70, como com os rolamentos híbridos de cerâmica HCS719 e 
HCS70, obtém-se soluções extremamente econômicas. Estes rolamentos têm anéis de 
vedação de ambos os lados. São lubrificados com graxa para a vida e livres de manutenção. Os 
rolamentos para fusos da execução universal são para a montagem em pares na disposição em 
X, O ou Tandem ou para a montagem em grupos em qualquer das disposições. Os pares de 
rolamentos da execução universal UL têm, antes de montados, uma leve pré-carga nas 
disposições em X ou em O. Nos ajustes interferentes a précarga do par de rolamentos aumenta 
(para as tolerâncias de usinagem dos assentamentos, vide a publicação FAG n° AC 41130). Ao 
pedir os rolamentos na execução universal deverá ser mencionado a quantidade de rolamentos 
e não a de pares ou de pos. 
Os rolamentos de esferas de contato angular possuem as pistas dos anéis internos e 
externos deslocadas entre si no sentido do eixo do rolamento. Isto significa que são 
particularmente adequados para suportar cargas combinadas, isto é, cargas radiais e axiais 
atuando simultaneamente. 
 
 
ROLAMENTOS DE ESFERAS DE CONTATO ANGULAR DE UMA CARREIRA (5) 
A capacidade de carga axial dos rolamentos de esferas de contato angular aumenta 
quando se aumenta o ângulo de contato α. Este é definido como sendo o ângulo entre a linha 
que une os pontos de contato da esfera e as pistas no plano radial, ao longo do qual a carga é 
transmitida de uma pista para a outra (a linha de carga) e uma linha perpendicular ao eixo do 
rolamento. 
 
239 
 
Figura 16 – Ângulo de contato em rolamentos esféricos 
 A esferas e os anéis interno e externo formam ângulos que podem variar de 15°, 25°, 
30° ou 40°. Quanto maior o ângulo de contato, maior será a capacidade de carga axial, e 
quanto menor o ângulo de contato melhor será para altas rotações. 
 
 
7.8.3 - ROLAMENTOS DE AGULHAS 
Os rolamentos de agulhas são rolamentos de rolos com rolos cilíndricos que são muito 
finos e compridos com respeito ao seu diâmetro. A ISO usa a definição que o comprimento do 
rolo é de 2,5 vezes ou mais o diâmetro do rolo. Usa se, em referência a eles, o termo rolos de 
agulha. Apesar da sua pequena seçãotransversal esses rolamentos têm elevada capacidade 
de carga e são, portanto extremamente apropriados para arranjos de rolamentos onde o espaço 
radial estiver limitado. 
 
Figura 17 – Rolamentos de agulhas 
 
 
7.8.4 - ROLAMENTOS DE ROLOS CÔNICOS 
Os rolamentos de rolos cônicos são projetados de forma que o vértice dos cones 
formados pelas pistas do anel interno e externo, e pelos rolos, coincidam em um ponto na linha 
de centro do rolamento. Quando se aplica uma carga radial, dá-se origem a uma componente 
de carga axial. É necessário usar dois rolamentos em oposição, em alguma combinação ou de 
duas carreiras. São usados para cargas combinadas, ou seja, carga radial e axial. 
 
240 
O ângulo de contato α determina a capacidade de carga axial do rolamento. Quanto 
maior o ângulo, maior a capacidade de carga axial. 
• ângulo intermediário: C = 20°; 
• ângulo grande: D = 28°; 
• ângulo normal: sem sufixo = 17°. 
 
 
Figura 18 – Rolamentos de rolos cônicos de uma carreira de (25) 
em pares de quatro carreiras (27) rolos cônicos cruzados. 
 
 
7.8.5 - ROLAMENTOS AXIAIS 
 Podem suportar somente cargas axiais. As cargas radiais não podem ser aplicadas, 
devido à sua construção. 
 
 
ROLAMENTOS AXIAIS DE ROLOS CILÍNDRICOS 
Os rolamentos axiais de rolos cilíndricos podem suportar cargas axiais pesadas, são 
insensíveis a cargas de choque e possibilitam arranjos de rolamentos rígidos que necessitam 
de pouco espaço axial. Os rolamentos das séries 811 e 812 são utilizados principalmente 
quando a capacidade de carga dos rolamentos axiais de esferas é insuficiente. 
Os rolamentos axiais de rolos cilíndricos são rolamentos de sentido único, suportando somente 
cargas axiais atuando em um sentido. Seu formato e desenho são simples, sendo fabricados 
em construções de uma carreira e de duas carreiras. 
A superfície cilíndrica dos rolos alivia ligeiramente em direção às extremidades. A linha de 
contato modificada assim produzida assegura que não haverá tensões prejudiciais sobre as 
extremidades. Os rolamentos são de construção separável; os componentes individuais podem 
ser montados separadamente. 
 
 
 
241 
ROLAMENTOS AXIAIS DE AGULHAS 
Os rolamentos axiais de agulhas podem suportar cargas axiais elevadas, são 
insensíveis as cargas de choque e proporcionam arranjos rígidos que necessitam de espaço 
axial reduzido. São rolamentos de escora simples, suportando somente cargas axiais em um 
sentido. Para aplicações em que os componentes associados são inadequados para serem 
utilizados como pista, os conjuntos também podem ser combinados com anéis de diferentes 
construções. 
 
 
7.9 – EXEMPLO RESOLVIDOS 
1. Selecionar um rolamento para motor elétrico, com as seguintes características: 
• Diâmetro do eixo, entre 50 ~ 70mm; 
• Diâmetro do alojamento, entre 80 ~130mm; • Força Radial = 1000 kgf; 
• Força Axial = 200 kgf; 
• Temperatura de Trabalho = 80° C; 
• Local com pequena concentração de impurezas; 
• Rotação = 3600 rpm; 
• Vida mínima exigida de 10.000 horas. 
Para o nosso exemplo poderemos definir o tipo de rolamento mais adequado para a 
aplicação requerida. 
Espaço permissível para o rolamento. 
Diâmetro Interno = 50 ~70 mm: poderemos utilizar qualquer rolamentos entre XX10 
~XX14; 
Diâmetro Externo = 80 ~ 130mm: qualquer rolamento entre XX10 ~ XX14, exceto X313 
(D = 140mm) e X314 (D = 150mm). 
Largura = Neste exemplo, não foi especificada a largura permitida. 
Intensidade e direção da carga. 
No exemplo dado, vamos comparar a capacidade de carga dos rolamentos 6310, 21310, 
NU310 e 7310B: 
Rolamento Cr (kgf) Cor (kgf) 
6310 6.300 3.900 
21310 12.100 13.000 
7310B 6.950 4.900 
NU310 8.850 8.800 
 
Número 
 
242 
Tabela 5a – Exercício resolvido 1 
Todos os rolamentos acima atenderiam a exigência do projeto quanto à capacidade de 
carga. 
Velocidade de rotação. 
Vamos comparar o limite de rotação dos rolamentos 6310, 21310, NU310 e 7310B: 
Rolamento Cr (kgf) Cor (kgf) 
6310 6.000 7.500 
21310 2.800 3.800 
7310B 5.000 6.700 
NU310 5.600 6.700 
Tabela 5b – Exercício resolvido 1 
Neste caso, o rolamento 21310 não atende às exigências de rotação do equipamento. 
Desalinhamento 
Não exigido para o exemplo dado. 
Fixação na direção axial 
Definir se é livre ou lado fixo. 
Dificuldade na instalação e remoção 
Verificar as dimensões dos encostos nas tabelas de dimensões dos rolamentos. 
Ruído 
Os rolamentos de esferas são os mais adequados quando o nível de ruído é importante. 
Rigidez 
Os rolamentos de contato angular são os mais indicados, no entanto, esta exigência não 
é requerida para esta aplicação. 
Disponibilidade e custo. 
Tabela comparativa de custos entre rolamentos de tipos diferentes com o mesmo 
dimensional. 
 Rolamento 6310 22310 30310 NU2310 7310B 
Custo (unidade:x) 1,00 2,60 1,80 2,80 1,90 
Tabela 5c – Exercício resolvido 1 
 
Pelos custos simbólicos da tabela acima, verificamos que os rolamentos fixo de uma 
carreira de esferas têm um custo menor (para rolamentos de mesmo tamanho), além 
disso, são mais fáceis de serem adquiridos. 
 
243 
Diante do exposto acima, o rolamento fixo de uma carreira de esferas é o mais indicado 
e atende às exigências: das dimensões requeridas, da rotação, da carga radial e axial e 
aos requisitos da aplicação. 
Além disso, tem o menor custo comparado aos outros tipos de rolamentos com o mesmo 
tamanho e a vantagem da fácil localização para compra. 
Resultado do Exemplo: 
Definição do Tipo Especificação do Tipo 
Rolamento Fixo de uma Carreira de Esferas 6310 
Tabela 5d – Exercício resolvido 1 
 
2. Um rolamento rígido de esferas 6309 feito de aço padrão da SKF deverá trabalhar a 
uma velocidade de 5 000 r/min sob uma carga radial constante Fr = 8 000 N. Vai ser 
utilizada a lubrificação com óleo, possuindo o óleo uma viscosidade cinemática ηc = 20 
mm2/s à temperatura de trabalho. A confiabilidade desejada é de 90 % e assume-se que 
as condições de trabalho são de extrema limpeza. Quais serão as vidas L10, Lna e Lnaa? 
a) Vida nominal L10 (para 90 % de confiabilidade) 
p
P
CL 





=10 
A partir das tabelas de produtos, as capacidades de carga dinâmica para o rolamento 
6309, C = 52 700 N. Uma vez que a carga é puramente radial, P = Fr = 8 000 N e por 
conseguinte. 
L10 = (52 700/8 000)3 = 286 milhões de revoluções 
b) Vida nominal ajustada Lna 
Lna = a1 a23 L10 
Como é necessária uma confiabilidade de 90 %, será preciso calcular a vida L10a e 
a1 = 1. O fator a23 é calculado da seguinte maneira: para o rolamento 6309, utilizando d e 
D das tabelas de produtos, dm = 72,5 viscosidade de óleo requerida à temperatura de 
trabalho para uma velocidade de 5 000 r/min, ν1 = 7 mm2/s κ = η/η1 = 2,7 valor de 
a23 = 1,92. 
L10a = 1 x 1,92 x 286 = 550 milhões de revoluções 
c) Vida nominal de acordo com a teoria de vida da SKF 
Lnaa = a1 aSKF L10 
Como a confiabilidade pretendida é de 90 %, a vida L10aa é calculada e a1 = 1. Das 
tabelas de produtos Pu = 1 340 e Pu/P = 1 340/8 000 = 0,17. Como as condições são de 
 
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extrema limpeza ηc = 1 e por conseguinte para κ = 2,7 o valor de aSKF é 14 para que de 
acordo com a teoria de vida da SKF 
L10aa = 1 x 14 x 286 = 4 000 milhões de revoluções 
Para obter as vidas correspondentes em horas de trabalho, é necessário multiplicar por 
[1 000 000/(60 n)] 
onde n = 5 000 r/min. As diferentes vidas são então 
L10h = 950 horas de trabalho 
L10ah = 1 800 horas de trabalho 
L10aah = 13 300 horas de trabalho 
Se no exemplo tivéssemos calculado para condições de contaminação tais que 
ηc = 0,2, aSKF seria 0,3 e 
L10aa = 1 x 0,3 x 286 = 86 milhões de revoluções 
Ou L10aah = 287 horas de trabalho 
 
3. O apoio de um eixo de hélice de navio possui diâmetro d=140mm . Ele suporta uma 
esforço axial