Apostila - distancia_angulo

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Medições de distâncias 
 
44.. MMEEDDIIÇÇÕÕEESS DDEE DDIISSTTÂÂNNCCIIAASS 
 
 
 
GRAMOMETRIA é a parte da Mensuração que estuda os processos e instrumentos empregados 
na medição de distâncias dos alinhamentos entre pontos topográficos que se pretende 
representar no desenho. A medição da distância entre dois pontos é a operação mais básica de 
um levantamento topográfico e esta deve ser sempre entendida como a distância horizontal 
entre os pontos, uma vez que os levantamentos são representados em algum tipo de planta ou 
carta e as áreas serão obtidas a partir destes tipos de distâncias. 
Na Mensuração, o comprimento de um alinhamento pode ser obtido através de: 
 Medições diretas: uma medida é considerada “direta” se o instrumento usado na 
medição apoiar-se no terreno ao longo do alinhamento, ou seja, se for aplicado no 
terreno ao longo do alinhamento; 
 Medições indiretas: uma medida é considerada “indireta” no caso da obtenção do 
comprimento de um alinhamento através da medição de outras grandezas com ela 
relacionadas matematicamente; 
 Medições eletrônicas: é o caso do comprimento de um alinhamento ser obtido 
através de instrumentos que utilizam o comprimento de onda do espectro 
eletromagnético ou através de dados emitidos por satélites. 
 
 
4.1 MEDIÇÕES DIRETAS DE DISTÂNCIAS 
 
Os instrumentos normalmente utilizados para medições de distâncias diretas são chamados de 
“diastímetros” como, por exemplo, as trenas. Na Topografia de precisão usam-se instrumentos 
chamados de “basímetros”, como por exemplo: réguas metálicas e o fio de invar. 
Em Topografia, os alinhamentos são representados graficamente através de 
suas projeções num plano horizontal, uma vez que as medições dos 
comprimentos dos alinhamentos são feitas segundo um plano horizontal. Se as 
medições forem tomadas num terreno plano, o diastímetro poderá ser apoiado 
diretamente sobre o terreno ao longo do alinhamento. 
A seguir passaremos a descrever alguns métodos de medições de distâncias que podem ser 
utilizados para atender às necessidades dos trabalhos. 
 
 
Fundamentos de Geomática 
 
4.1.1 Método expedito 
 
É um método de medição de baixa precisão e, portanto empregados em levantamentos rápidos 
(expeditos), em que se não se exige precisão, ou para se checar a distância medida por método 
mais preciso. As imprecisões deste método são resultantes das imprecisões dos equipamentos 
utilizados e por não exigirem cuidados especiais em seu uso. 
 
1. Passo médio: é um meio prático e satisfatório de medir, com relativa rapidez e 
segurança o comprimento de um alinhamento. O valor do passo varia com a 
estatura, modo de caminhar, resistência física do operador e com o relevo do 
terreno. O passo médio de um homem de 1,70 metros de altura pode ser fixado em 
80 centímetros, e para cada 5 centímetros de diferença de estatura, aumenta-se ou 
diminui-se de 1 centímetro, para se ter o valor do passo correspondente. O passo 
médio de uma pessoa pode ser facilmente conhecido medindo-se o número de 
passos necessários para caminhar uma distância previamente conhecida, dividindo-
se a distância percorrida pelo número de passos dados. Para se estimar o 
comprimento de um alinhamento, basta multiplicar o número de passos dados entre 
os dois pontos pelo valor do passo médio. 
 
RZIHA propõe fórmulas práticas para se estimar o comprimento P do passo em rampa, em 
função do passo médio p em terreno horizontal, e do ângulo 

de inclinação (declividade) do 
terreno. 
 
 aclive  
 senpP  1
 (4.1) 
 
 declive  







2
1

senpP
 (4.2) 
 
JORDAN (1961) confirmou a utilização das equações de RZIHA, através dos seguintes 
resultados: 
Rampa Subida Descida 
0º 0,80 m 0,80 m 
5º 0,73 m 0,77 m 
10º 0,66 m 0,73 m 
15º 0,59 m 0,70 m 
20º 0,53 m 0,66 m 
 
Este método oferece a precisão que varia de 1/50 a 1/200 e esta variação é função das condições 
do relevo do terreno, da vegetação de cobertura e da anotação correta do número de passos 
executados. 
Medições de distâncias 
 
2. Passômetro e podômetro: aparelhos que possuem um pêndulo interno, que de 
acordo com as oscilações correspondentes aos passos dados pelos operadores (ou 
também por animal) registram no mostrador automaticamente, o número de passos 
dados ou a distância percorrida pelos operadores. Estes instrumentos têm a forma de 
um cronômetro, com quatro círculos graduados e com ponteiros. O círculo maior 
tem 100 divisões enquanto que os outros três círculos têm apenas 10 divisões. 
3. Hodômetro: é um aparelho adaptado à roda de um veículo qualquer e que mede o 
número de voltas efetuadas pelas mesmas; multiplicando-se este número pelo 
correspondente comprimento do desenvolvimento da roda, obtendo-se assim a 
distância percorrida. Estes equipamentos oferecem precisões da ordem de 1/200 
quando o relevo do terreno é suave ao longo de uma estrada, porém esta precisão 
diminui quando a superfície medida é irregular. Estes tipos de equipamentos podem 
ser utilizados para levantamentos preliminares, como por exemplo, quando a 
medição de distâncias por meio de passo médio se torna muito demorada. 
4. Pelo relógio: da Física, pode-se estimar a distância entre dois pontos sabendo-se o 
tempo gasto para percorrer estes pontos e a velocidade de marcha empregada. 
Quanto a velocidade, pode-se orientar pelos dados a seguir: 
 a pé : 80 - 100 m/min 5 – 6 km/h 
 a cavalo : 100 - 120 m/min 6 – 7 km/h 
 a trote : 100 - 133 m/min 6 – 8 km/h 
 a galope : 160 -250 m/min 10 – 15 km/h 
 
Para os valores acima, deve-se aplicar um fator de redução de 1/7 e 1/5 em regiões acidentadas e 
montanhosas, respectivamente. 
 
5. Por réguas graduadas: consiste em se medir o comprimento de um alinhamento, 
utilizando réguas de 1, 2, 3 metros etc. É um método muito cansativo e pouco 
empregado. O seu uso é justificado apenas para pequenas distâncias. 
 
 
4.1.2 Métodos com uso de diastímetros 
 
As operações normais de Mensuração empregam esta categoria de medição de distância entre 
dois pontos topográficos. 
Chamamos de diastímetros os padrões para medições diretas de distâncias. Apresentam-se a 
seguir alguns tipos de diastímetros flexíveis. 
1. Trenas de pano ou de lona: 
 
 É uma fita de lona graduada em centímetros enrolada no interior de uma 
caixa circular através de manivela; 
 Seus comprimentos variam de 2, 10, 15, 20, 30 ou 50 metros. O tamanho 
mais utilizado nos trabalhos topográficos é normalmente o de 20m. A 
preferência de trenas deste tamanho é decorrente da redução do erro de 
Fundamentos de Geomática 
 
catenária em relação às de maior comprimento e do menor número de 
medidas parciais necessárias para a obtenção do comprimento total do 
alinhamento; 
 A grande facilidade de manuseio a torna, porém, muito aconselhável para 
medidas secundárias de pouco responsabilidade, principalmente no 
levantamento e medições de detalhes; 
 Grande facilidade em aumentar o seu comprimento quando puxada com 
força superior à indicada pelo fabricante; aumentos de 5 a 10 centímetros 
são comuns em trenas de 20 metros após algum tempo de uso. 
 
As trenas de pano ou de lona estão sendo substituídas por produtos sintéticos (fibra de vidro) 
com sensíveis melhoras na durabilidade e na precisão. 
2. Trenas de aço: idêntica a trena de lona ou de material sintético. 
 
 O erro ocasionado por uma extensão, através de uma tensão de tração 
superior a indicada pelo fabricante, são muito reduzidos, e isto só pode ser 
levado em consideração em operações especiais; 
 Pode sofrer influência da variação da temperatura (dilatação ou contração 
do aço),existindo fórmula para sua correção, o que ocorre também só em 
casos especiais, quando ainda se corrigem os erros resultantes da catenária; 
 Os comprimentos mais comuns são 20 e 30 metros; 
 Os esforços aplicados nestas trenas podem medidos por dinamômetro 
colocado numa das extremidades (somente para medidas de precisão); 
 Apesar de ter maior precisão, não é sempre usada pois, exige uma série de 
cuidados que a tornam pouco prática nos trabalhos corriqueiros. 
 Podem enferrujar-se rapidamente, portanto a necessidade de limpá-las com 
querosene e a seguir, recomenda-se untá-las com vaselina ou óleo; 
 Não pode ser arrastada no solo pois isto poderá danificar a gravação dos 
números da mesma. Portanto, ficam reservadas para medidas de grande 
precisão. 
O acidente mais 
comum com estas 
trenas, é ilustrado na 
Figura 4.1 
 
 
Figura 4.1: Acidentes 
comuns que ocorrem 
com trenas de aço 
 
Devido a sua menor elasticidade, estes tipos de trenas são usadas em levantamento de precisão, 
embora as trenas de pano sejam confeccionadas com fios finos de aço para aumentar sua 
resistência. 
Medições de distâncias 
 
 
3. Fio de invar: são feitas de uma liga de aço e níquel (36%); permitem precisão da 
ordem de 1 mm em 100 metros até 1 mm em 1000 metros. Seu uso dá-se apenas em 
bases geodésicas. 
 
 
4.1.3 Erros nas medições lineares diretas 
 
Os erros cometidos nas medições de distâncias horizontais com diastímetros e cadeia de 
agrimensor são resultantes do somatório de vários tipos de erros. A maioria destes erros pode 
ser evitada, ou reduzida, se o operador executar as medições de forma cuidadosa. A negligência, 
imperfeição dos instrumentos, dificuldade em percorrer o terreno etc, são algumas das diversas 
causas perturbadoras da imprecisão das medidas lineares de distâncias. 
Os erros cometidos podem ser grosseiros, sistemáticos ou acidentais. 
 Erros grosseiros: são decorrentes de descuido, displicência ou incompetência do 
operador. 
 Erros sistemáticos (cumulativos): são resultantes das falhas da própria 
aparelhagem, e reproduzem-se sempre no mesmo sentido. Seria um erro sistemático 
o que resultasse do emprego de uma trena realmente maior ou menor que o padrão. 
 Erros acidentais (compensatórios): são aqueles provenientes de causas 
perturbadoras, que não dependem do operador, e que nem sempre agem da mesma 
maneira, ou seja, reproduzem-se ao acaso em um sentido ou no sentido oposto. 
 
Apresentam-se a seguir alguns erros cometidos em operações topográficas, seja por operadores 
ou devido aos diastímetros utilizados. 
1. Engano no número de trenadas; 
2. Erros de leituras propriamente ditos ou dificuldade de leitura na baliza devido a 
sua espessura; 
3. Erro de aproximação na leitura da graduação do diastímetro; 
4. Engano com respeito ao ponto zero do diastímetro, que poderá estar, conforme o 
tipo de fabricação, na extremidade da argola ou em um ponto marcado na fita 
(Figura 4.2). 
Fundamentos de Geomática 
 
O operador dever atentar no cuidado de colocar a 
manopla da corrente no eixo da baliza, para que o 
ponto inicial da marcação do diastímetro coincida, 
com o eixo da baliza. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.2: Ilustração do erro com respeito ao ponto zero 
do diastímetro. 
 
5. erro cometido pelo próprio comprimento da unidade empregada, pois o diastímetro 
pode ser maior ou menor do que ele indica. É um erro sistemático e de relevante 
importância. Para corrigir este erro, em geral prefere-se a correção analítica através 
de uma simples regra de três reversa: 
 
 
 
 
 n
c
n
r
Ccorrentedaocompriment
Ccorrentedaocompriment
Lmedidoocompriment
Lrealocompriment
nominal

 (4.3) 
 
A regra de três é inversa porque, quanto maior for o diastímetro, menor será o número de vezes 
que caberá dentro da linha. 
 
Exemplo aplicativo (4.1): Um alinhamento foi medido com uma trena, que depois de aferida 
media 19,96 metros e registrou 113,30 metros. Qual o comprimento real deste alinhamento? 
m20trenadanominalocompriment
m113,30medidoocompriment
m19,96correntedaocompriment



n
n
c
C
L
C
Dados
 
 
 
mL
C
CL
L
r
n
cn
r
07,113
*

 
 
6. Erro devido à temperatura: sabe-se que os diastímetros (fitas de aço, trenas, 
corrente de agrimensor etc.) são feitos e aferidos a determinadas temperaturas. É 
nessa temperatura que indicarão o comprimento real do alinhamento. Ao submetê-
los a uma temperatura diferente daquela de sua aferição, apresentará um erro que 
pode ser estimado pela seguinte expressão: 
Medições de distâncias 
 
 tLCT  *0 
 (4.4) 
 
Sendo : 
TC
Correção do comprimento da trena; 
0L
Comprimento medido; 

 Coeficiente de dilatação linear do material; 
t
Diferença de temperatura entre a que se executa operação de medição, e a 
temperatura de aferição. 
 
Se 
0t
, o diastímetro apresentará um erro sistemático positivo, ou seja, terá um comprimento 
maior que o nominal (dado pelo fabricante do equipamento). Se 
0t
, o erro cometido será 
sistemático negativo, e o diastímetro terá um comprimento menor que o nominal fornecido pelo 
fabricante. 
7. Erro de catenária: é ocasionado pelo peso próprio do diastímetro. Sempre que 
esticarmos um diastímetro para medir a distância entre dois pontos, ocorrerá a 
formação de uma curva, cuja concavidade será voltada para cima devido a ação do 
peso próprio. A esta curva denominamos de catenária ou flecha. O efeito da 
catenária pode ser compensado usando-se um dos seguintes métodos: 
 Aumentar a tensão nas extremidades do diastímetro, ou seja, esticá-lo com 
a tensão recomendada pelo fabricante. Este processo é de resultado 
duvidoso. 
 Erro provocado por catenária: devido o peso próprio do material do 
diastímetro, devemos prever que o mesmo, quando esticado, apresentará 
uma curvatura (catenária), cujo comprimento devidamente estudado é dado 
pela fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.3: Ilustração do erro devido a 
catenária. 
 
0
2
3
8
L
f
CC 
 (4.5) 
 
Fundamentos de Geomática 
 
Esta expressão é resultado do desenvolvimento de uma série, onde o primeiro termo tem valor 
significativo, Sendo, 
 
cC
Erro provocado pela catenária; 
f
 Flecha central; 
0L
Vão-livre medido. 
 
Sendo: 
F
LP
f
8
* 20
 (4.6) 
e, 
 
P
Peso por metro linear do diastímetro; 
 
F
Tensão aplicada na operação. 
 
Tem-se que: 
2
3
0
2
24
*
F
LP
CC 
 (4.7) 
 
O erro devido a catenária é do tipo positivo e pode ser desprezível para pequenas cordas. 
 Apoiar diretamente o diastímetro sobre os terrenos planos e limpos. 
 Colocar uma série de suportes intermediários (que eliminam praticamente o efeito 
de catenária). 
 
8. Erro correspondente a tensão: a trena tem o comprimento exato para uma tensão 
padrão. Caso seja aplicada uma força superior, ela se estenderá. O fabricante deverá 
fornecer a tensão padrão e o coeficiente de dilatação por metro linear e por 
quilograma-força de variação. Esta correção pode ser feita de modo analítico 
através da seguinte expressão: 
 
)(** 00 FFLcC fF 
 (4.8) 
Sendo: 
 
FC
Correção quanto a tensão; 
 
fc
Coeficiente de dilatação devido a tensão; 
 
0L
Vão-livre medido; 
 
0F
Força padrão fornecida pelo fabricante; 
 
F
 Força aplicada na operação. 
 
Medições de distâncias 
 
9. Erro por falta de horizontalidade do diastímetro: É um erro sistemáticopositivo, 
visto que, qualquer linha inclinada é sempre maior que a sua projeção horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.4: Ilustração do erro devido a 
falta de horizontalidade da trena. 
 
10. Erro por desvio vertical da baliza: é um erro acidental que pode ser positivo 
(Figura 4.5-a e 4.5-b), ou negativo (Figura 4.5-c e 4.5-d). A fim de reduzir o erro de 
inclinação, sempre que possível deve-se fazer a medição com o diastímetro na parte 
mais baixa das balizas ou então se substituir as balizas por fios de prumo pesados. 
Fundamentos de Geomática 
 
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
 
(d) 
Figura 4.5: Ilustração do erro devido a falta de verticalidade da baliza. 
 
11. erro do desvio lateral: este é um erro positivo, proveniente de uma má orientação da 
baliza de ré. Neste caso, em vez de estarmos medindo uma linha reta (AB), estaremos 
medindo as linhas AC e CB (Figura 4.6). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.6: Ilustração do erro do desvio lateral. 
Medições de distâncias 
 
4.1.4 Limites do erro provável médio 
 
O limite do erro admitido numa operação de medição direta de distância com diastímetro 
depende naturalmente do objetivo e conseqüentemente da precisão exigida para o levantamento 
topográfico. Estes limites são fixados em normas cadastrais. No curso, adotar-se-á os seguintes: 
DHe 015,0
- terrenos planos (4.9) 
 
DHe 020,0
- terrenos ligeiramente inclinados (4.10) 
 
DHe 025,0
- terrenos inclinados (4.11) 
 
 
4.2 MEDIÇÕES INDIRETAS DE DISTÂNCIAS 
 
As medições indiretas de distâncias aplicam conceitos da Trigonometria e da Geometria, ou 
seja, baseiam-se na resolução de diferentes tipos de triângulos. 
Os processos de medições indiretas de distâncias são de utilização rápida onde a distância entre 
dois pontos topográficos é calculada através da medida de outras grandezas, não havendo, 
portanto, a necessidade de percorrer o alinhamento para compará-la com a grandeza padrão. 
Geralmente utilizam recursos ópticos para efetuar as medidas e oferecem a vantagem de seu uso 
em regiões de relevo acidentado. 
A parte da Mensuração que se ocupa das medições indiretas das distâncias e das diferenças de 
níveis é designada de TAQUEOMETRIA ou TAQUIMETRIA. Estes termos significam 
medições rápidas e são derivadas do grego takus (rápido) e metron (medição). 
O taqueômetro é um instrumento adequado para levantamento de precisão média e seus tipos 
principais são: 
 de lunetas normais ou comuns, dotada de retículos estadimétricos, chamados de 
taqueômetros estadimétricos. Os retículos podem ser constituídos de três fios 
horizontais e/ou verticais, paralelos e eqüidistantes; 
 de lunetas especiais, com deslocamentos mecânicos por alavanca ou tambor, 
chamados de taqueômetros auto-redutores. 
 
Na determinação das distâncias indiretas, a Taqueometria pode lançar mão dos conceitos da 
Estadimetria, ou simplesmente utilizar aparelhos eletrônicos especiais (distanciômetros); a 
respeito destes últimos, voltar-se-á a falar mais adiante. 
A ESTADIMETRIA é a parte da Topografia que estuda os métodos e os aparelhos usados para 
a obtenção de medidas indiretas de distâncias. 
 
 
Fundamentos de Geomática 
 
4.2.1 Princípio estadimétrico 
 
Na Estadimetria, a distância é geralmente obtida através de um triângulo retângulo ou um 
triângulo isósceles, utilizando-se da semelhança de triângulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.7: Princípio estadimétrico. 
 
Pela semelhança dos triângulos: CAB e CED: 
DE
CF
ABCG
DE
AB
CF
CG
*
 (4.12) 
 
Portanto, conhecendo as distâncias AB, CF e DE, obtém-se o valor de CG, isto é, as distância 
entre o ponto C e o ponto G. 
Aplicando o princípio estadimétrico demonstrado acima, GREEN (1778) construiu um aparelho 
simples, composto por um tubo de 3 fios, a que deu o nome de estadia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.8: Ilustração da visão dos fios 
estadimétricos. 
 
Estes aparelhos apresentavam o inconveniente de servirem apenas para visadas de pequenas 
distâncias. Com evolução, alguns fabricantes construíram taqueômetros de luneta estadimétrica. 
Hoje em dia, não há fabricantes de aparelhos que não construa teodolitos sem dotá-los de uma 
luneta estadimétrica, razão esta porque todos os teodolitos modernos são, também, taqueômetros 
estadimétricos. 
Portanto, por construção, as distâncias CF e DE são ditas constantes do aparelho, então: 
Medições de distâncias 
 
gCONSTANTE
DE
CF

 (4.13) 
logo, 
gABCG *
 (4.14) 
Sendo, 
 CG : distância horizontal entre os pontos C e G; 
AB : diferença de leitura entre os fios estadimétricos superior (FS) e o inferior (FI); 
 g : constante multiplicativa do aparelho estadimétrico. 
 
Os fabricantes fazem, geralmente, a constante multiplicativa do aparelho com o valor de 
g  100
. 
 
 
4.2.2 Aplicação do princípio estadimétrico 
 
A seguir, aplicar-se-á o princípio estadimétrico no cálculo das distâncias horizontais e verticais. 
Tem-se 2 casos: 
 
1o caso: ângulo vertical de altura igual a zero 
00
 
luneta horizontal. 
 
2o caso: ângulo vertical de altura diferente de zero 
00
 
luneta inclinada. 
 
 
4.2.2.1 Distância horizontal - visada horizontal 
 00
 
 
Seja a Figura 4.9 onde, 
bahab 
: distância entre os dois fios extremos estadimétricos, no anel do retículo; 
f : distância focal da objetiva; 
F : foco exterior da objetiva; 
c : distância do centro ótico do instrumento à objetiva; 
fcC 
: constante aditiva do aparelho ou REICHEMBACH, cujo valor vem sempre 
indicado nas caixas dos instrumentos; 
d : distância dos foco à mira; 
HAB 
: diferença entre as leituras dos fios reticulares extremos estadimétricos 
 FIFS 
 
FM
 : leitura do fio médio estadimétrico; 
Fundamentos de Geomática 
 
dCDH 
: distância horizontal que se deseja obter,e que separa o ponto do 
estacionamento do aparelho até o qual está a mira. 
 
Figura 4.9: Esquema de visada horizontal 
 00
. 
 
Por semelhança dos triângulos: 
Fba 
 e 
ABF
, obtem-se: 
H
h
f
d
H
d
h
f
*
 (4.15) 
 
Da Figura 4.9 temos: 
 
fcCondedCDH 
 (4.16) 
 
então, 
100* 





 g
h
f
masH
h
f
CDH
 (4.17) 
logo, 
CHDH  *100
 (4.18) 
 
Esta será a equação que permite obter a distância horizontal nos instrumentos ALÁTICOS, que 
são aqueles que apresentam um valor para a constante C. 
Nos instrumentos ANALÁTICOS (nestas lunetas o vértice do triângulo estadimétrico coincide 
com o centro do aparelho), a constante C é igual a zero, ou seja, 
0C
. Logo, a distância 
horizontal para estes tipos de aparelhos é dada pela seguinte expressão: 
HDH *100
 (4.19) 
 
Medições de distâncias 
 
Exemplo aplicativo (4.2): Deseja-se medir um alinhamento AB. Para tanto, foi utilizado um 
teodolito (composto por uma luneta analática). O instrumento foi instalado em A, e a mira 
graduado foi instalada em B. Em seguida, foram realizadas as leituras dos fios estadimétricos 
superior e inferior, obtendo 
1200FS
, e 
800FI
. Qual o comprimento do alinhamento AB? 
 
mmFI
mmFS
Dados
839
1282


 
 
mDH
HDH
mmFIFSH
30,44
*100
443


 
 
Este é o princípio em que se baseia a medição indireta de distância horizontal por estadimetria. 
 
Fundamentos de Geomática 
 
Observações 
1. Na Figura 4.16, o ângulo 

 é denominadode diastimétrico e o seu valor é dado pela 
seguinte expressão: 
 
f
h
f
h
2
2
2
tan 




 (4.20) 
 
2. O número gerador g pode ser expresso em função do ângulo diastimométrico, isto é: 







2
tan2
1

g
 (4.21) 
 
Na prática, geralmente são dados os seguintes valores para g 
50g
 para 
544310 
 
100g
para 
3243 
 
150g
para 
5122 
 
200g
para 
1171 
 
 
3. Uma outra maneira de se determinar o número gerador g é: coloca-se a mira a uma distância 
conhecida DH do centro do instrumento, e procede-se às leituras dos fios estadimétricos 
sobre ela, e aplica-se a seguinte expressão: 
 
 
FIFS
fcDH
g



 (4.22) 
 
Uma determinação apenas para g não é suficiente para se obter o valor mais provável e seguro 
para esta constante, para tanto, deverão ser feitas novas operações, fazendo-se variar a distância 
DH da mira até o instrumento, com novas leituras dos fios estadimétricos, e tomando como 
valor do número gerador g, a média aritmética de todos os valores encontrados. 
 
 
4.2.2.2 Distância horizontal - visada inclinada 
 00
 
 
Na maioria dos casos, devido a topografia do terreno, não existe condição de efetuar a leitura 
dos fios estadimétricos com a luneta na horizontal. Neste caso, o operador é levado a inclinar a 
luneta para que seja possível visar a mira. 
Na Figura 4.10, têm-se os mesmos valores do caso anteriormente estudado (visada horizontal), 
com a introdução de um fator novo, que é o ângulo vertical  de inclinação da luneta em relação 
a horizontal, que é determinado com o auxílio do círculo vertical do instrumento. 
Medições de distâncias 
 
 
Figura 4.10: Esquema de visada inclinada 
 00
. 
 
Os raios visuais aqui incidem obliquamente sobre a mira atingindo-a nos pontos A, M e B. 
Traçando-se o segmento A' e B', perpendicular a OM no ponto M, de tal forma que A' se situe 
sobre o prolongamento de FA e B' sobre o segmento FB, ficam construídos os triângulos AA'M 
e BB'M. Nesses dois triângulos, os ângulos que têm como vértice o ponto M são iguais a , pois 
têm lados perpendiculares àqueles. Podem-se considerar, sem erro prejudicial, como retos os 
ângulos A' e B', visto serem muito pequenas as distâncias MA' e MB' na perpendicular OM, em 
relação às distâncias OA' e OB'. Assim sendo, tendo os lados MB' e MA' como sendo catetos, e 
MB e MA como hipotenusa, dos triângulos BB'M e AA'M, respectivamente, como se vê na 
Figura 4.11, em detalhe. 
 
Figura 4.11: Detalhe da ilustração da Figura 2.10 
 
Nos triângulos AA'M e BB'M, tem-se: 
 


cos*
cos*
MBBM
MAAM


 (4.23) 
Fundamentos de Geomática 
 
  cos*MBMABMAM 
 (4.24) 
 
cos*HBA
HMBMA
BABMAM


 (4.25) 
 
Reportando-se à Figura 4.10, vê-se que no triângulo OMR, retângulo em R, tem-se: 
 
cos*OMOR 
 (4.26) 
CBAOM  *100
 (4.27) 
 
Substituindo-se 
BA 
 pelo seu valor: 
 
CHOM  cos**100 (4.28) 
 
   cos*cos**100 CHOR  (4.29) 
mas 
DHOR 
 
 
 cos*cos**100 2 CHDH  (4.30) 
 
Nos instrumentos analáticos, em que 
0C
, ter-se-á: 
 
2cos**100 HDH  (4.31) 
 
 
4.2.3 Mira horizontal 
 
São diastímetros que são instalados sobre um tripé, podendo ser centralizado e nivelado num 
dos extremos da distância que se deseja medir. Acompanha o instrumento um prisma que deve 
ser acoplado à luneta do teodolito e uma estadia própria, destinada a trabalhar horizontalmente, 
Figura 4.12 (a). A leitura da mira é feita com o auxílio da luneta do taqueômetro dotado de fios 
estadimétricos que permitem executar as leituras, Figura 12 (b). 
 
Medições de distâncias 
 
 
(a) 
 
 
 
 
(b) 
Figura 4.12: (a) Mira horizontal; (b) exemplo de uma leitura estadimétrica na mira horizontal. 
 
Considere a condição topográfica de visada apresentada na Figura 13. Um taqueômetro é 
instalado num ponto E e a mira horizontal instalada num ponto P. Deseja-se determinar a 
distância horizontal entre estes pontos. 
 
Figura 13: Condição topográfica de visada de uma mira horizontal. 
 
Da Figura 13 temos que a distância horizontal entre os pontos E e P pode ser estimada através 
das seguintes expressões: 
 (4.32) 
 (4.33) 
 (4.34) 
Sendo: 
 G = diferença de leituras entre os fios estadimétricos da direita e da esquerda; 
 g = constante estadimétrica; 
Fundamentos de Geomática 
 
 α = ângulo vertical de altura; 
 z = ângulo vertical zenital; 
 n = ângulo vertical nadiral 
 
Exemplo aplicativo (4.3): Considerando os dados da Figura 12 (b), determine: Qual o 
comprimento do alinhamento AB? 
 
mmesquerdoestfio
mmdireitoestfio
Dados
1412.
1588.


 
 
mDH
GDH
mmFEFDG
60,17
*100
176



 
 
 
4.2.4 Mira de Invar ou de base 
 
Uma barra com sinais marcados sobre ela é instalada sobre um tripé no ponto B - Figura 4.14, 
de modo a ficar horizontal, e perpendicular à linha de visada que vem do ponto A. Normalmente 
esta barra tem 2 metros de comprimento. 
O teodolito de alta precisão, colocado em A, 
mede o ângulo visando para a esquerda e para a 
direita os pontos C e D, respectivamente. A 
distância AB é dada pela cotangente do ângulo 
2
, já que 
1 BDCB
 metro. 
 
 
 
 
 Figura 4.14: Mira horizontal de invar. 
 
Considerando a Figura 4.14, a distância horizontal entre os pontos A e B pode ser estimada 
através da seguinte expressão: 
 (4.35) 
A prática do uso da miras horizontais aponta que para distâncias menores que 150 metros os 
erros nas medições de distâncias horizontais são considerados pequenos, proporcionando uma 
precisão da ordem de 1/1000 a 1/5000. Este método foi muito útil em medições que cruzavam 
rios, estradas com grande volume de tráfego e outras áreas de difícil acesso. A grande vantagem 
Medições de distâncias 
 
deste método é que o ângulo horizontal β/2 medido é independente da inclinação da linha de 
visada. Assim, a distância horizontal obtida diretamente e nenhuma correção de declividade do 
terreno é necessária. 
 
 
4.2.5 Método das rampas 
 
Este método é executado instalando-se um teodolito numa estação A visando-se uma mira 
colocada num ponto B. 
Com uma inclinação da luneta, efetua-se a 
leitura do ângulo vertical 
1
 com sua 
respectiva leitura da mira 
1L
; variando a 
inclinação da luneta obtêm-se a inclinação 
2
com sua respectiva leitura 
2L
. Vide Figura 
4.15. 
 
 
 
 Figura 4.15: Ilustração do método das rampas. 
 
A distância horizontal entre os pontos em questão, é dada pela seguinte expressão: 
 
12
12
tantan  


LL
DH
 (4.36) 
 
Este método é indicado para os teodolitos que possuem apenas os fios axiais 
(vertical e horizontal). No caso de se utilizar aparelhos que possuem além dos 
fios axiais, fios estadimétricos, o operador deve utilizar sempre o mesmo fio 
como referência para as leituras na mira. 
 
O princípio estadimétrico 
é muito útil no dia a dia 
nas práticas de 
levantamentos e nas 
estimativas de alturas de 
prédios, árvores e outros 
objetos de interesse. Vide 
Figura 4.16. 
 
 
Figura 4.16: Estimativa da 
altura de uma árvore. 
 
Fundamentos de Geomática 
 
Da Figura 4.16, uma régua é segura na posição vertical a uma distância de 0,6 m 
(aproximadamente o comprimento deum braço estendido), na frente de um olho de um 
observador de maneira que o topo da régua coincida com o topo da árvore. O observador 
desloca o polegar sobre a régua até que se tenha uma leitura na régua que coincida com a base 
da árvore. Em seguida deve-se medir a distância horizontal entre a posição do observador e da 
árvore. Com estes dados pode-se facilmente determinar a altura da árvore, ou de qualquer outro 
objeto, por uma regra matemática simples. Este método de estimativa foi muito utilizado nas 
escolas militares de artilharia para se determinar distância entre alvos, através da avaliação de 
tamanho de objetos. 
 
 
4.2.6 Medições eletrônicas 
 
Em anos passados, os aparelhos usados em Topografia e Geodésia para medições de distâncias, 
davam uma preferência as grandezas angulares em relação as grandezas lineares, dada a maior 
precisão conseguida pelas primeiras. Com os distanciômetros eletrônicos, esse princípio está 
sendo mudado; a medida de distância entre dois pontos topográficos está sendo conseguida com 
uma precisão bem maior. Os taqueômetros permitem leituras da ordem de decímetros, enquanto 
que os modernos distanciômetros eletrônicos oferecem uma precisão da ordem de 1cm para 
1000m ou mais, dependendo da sofisticação oferecida pelo fabricante do equipamento. 
Devido a este e a outros fatores, consegue-se cobrir distâncias 10 vezes maiores com um menor 
número de estacionamentos do equipamento, menor número de lados da poligonal e 
conseqüentemente um menor tempo utilizado para as medidas. Mesmo que o preço destes 
equipamentos seja bem superior ao dos taqueômetros, a grande produção de serviços permite 
uma redução drástica nos custos de operação, o que justifica o investimento realizado para 
aquisição dos mesmos. 
Medições antes impossíveis ou sem alcance óptico, podem ser obtidas diretamente pelos 
medidores eletrônicos de distância (MED), tipo distanciômetros. Estes instrumentos utilizam o 
princípio da propagação das ondas eletromagnéticas no espaço, cuja velocidade é considerada 
constante. Durante a 2ª Guerra Mundial, desenvolveu-se o RADAR, que foi um dos primeiros 
sistemas de medição eletrônica de distâncias. Existem dos mais diversificados tipos de MEDs, 
aqueles que utilizam: microondas, laser, ondas de rádio etc. Em Mensuração, os mais comuns 
são aqueles que funcionam com infravermelho, por serem mais leves e de fácil manuseio. Na 
Figura 4.15 são apresentados exemplos de alguns tipos de estação total. É bom salientar que 
existem outros fabricantes de instrumentos além dos apresentados nesta Figura e indica-se ao 
leitor buscar maiores informações quanto aos modelos e características técnicas dos 
instrumentos junto aos representantes comerciais de sediados em nosso país. 
Medições de distâncias 
 
 
 
Estação Total Leica modelo TCA2003 
 
 
Estação Total Pentax modelo PCS200 
 
 
Estação total Trimble Spectra modelo 5600 
 
Estação Total Sokkia modelo Série 30R 
Figura 4.15: Exemplos de estações total. 
 
 
4.3 CLASSIFICAÇÃO DAS DISTÂNCIAS 
 
Num levantamento topográfico, a distância entre dois pontos pode ser obtida através das 
seguintes maneiras: 
 Distância inclinada 
 Distância horizontal 
 Distância esférica 
 Distância plana 
 
Fundamentos de Geomática 
 
4.3.1 Distância inclinada e distância horizontal 
 
Sejam dois pontos A e B, sobre um terreno, conforme indicado na Figura 4.16. 
 
Figura 4.16: Distância inclinada entre dois pontos topográficos. 
 
Quando houver facilidade na obtenção da medida inclinada L‟, esta medida deverá ser 
acompanhada da medida do ângulo de inclinação  ou da diferença de nível (de cota) DV entre 
os referidos pontos. 
Da Figura 4.16, tem-se: 
 cos*cos LDH
L
DH



 (4.33) 
ou 
 
22222 DVLDHDVDHL 
 (4.34) 
 
A equação 4.33, entre as distâncias inclinadas e horizontal, é válida apenas 
para pontos suficientemente próximos para que se possa desconsiderar a 
curvatura terrestre. 
 
 
 
Exemplo aplicativo (4.3): Seja um alinhamento medido com a distância inclinada igual a 
4356,246 metros. Considerando que o ângulo de inclinação entre os dois pontos seja igual a 
352330 
, qual a distância horizontal (DH) entre os dois pontos? 
 
35233
246,4356
:
0 


mL
Dados 
 
Medições de distâncias 
 
mDH
DHLDH
896,4347
)35233cos(*246,4356cos* 0

  
 
 
Em terrenos inclinados, onde não é possível a medida direta entre A e B, procede-se da forma 
indicada, em segmentos sucessivos, obtendo-se a distância horizontal DH pela soma dos valores 
parciais horizontais dos segmentos sucessivos (Vide Figura 4.17). 
 
Figura 4.17: Distância entre dois ponto s topográficos A e B, por segmentos sucessivos. 
 
 
Em Topografia, a distância DH entre dois pontos topográficos A e B será 
sempre a distância horizontal entre eles, mesmo que o terreno seja 
inclinado. 
 
 
4.3.2 Distância esférica 
 
Considerando-se a curvatura terrestre e adotando-se a esfera como superfície de referência, 
pode-se analisar o caso apresentado na Figura 4.18. 
Fundamentos de Geomática 
 
 
Figura 4.18: Representação da determinação da distância esférica. 
 
Da Figura 4.18, sabe-se que as superfícies de nível são esferas concêntricas que permitem 
equacioná-las conforme a seguir. 
B
B
A
A
HR
L
HR
L
R
L



0
 (4.35) 
 
A partir da equação 4.35, pode-se generalizar: seja um ponto C com altitude 
CH
, então, pode-se 
estimar a distância esférica ao nível deste ponto pela seguinte equação: 
00 1* L
R
H
L
R
HR
L CCC 








 (4.36) 
ou 








R
H
L
L
C
C
1
0
 (4.37) 
 
Na prática, opera-se com valores em ppm adotando-se na altitude média para a região que 
desenvolveu o levantamento. Então, a redução ao nível do mar (geóide) é dada por: 
 
ppm
HR
H
d
C
C 610Re


 (4.38) 
 
 dLLL CC Re*0 
 (4.39) 
Sendo: 
 
CH
Altitude do ponto medido; 
 
R
 Raio médio da Terra para o ponto medido. 
 
 
Medições de distâncias 
 
Exemplo aplicativo (4.4): Seja um ponto, na cidade de São Carlos, de altitude
mHC 850
. Foi 
medido um alinhamento de comprimento igual a 1563,897 metros. Considerando que para esta 
cidade o raio médio da Terra é igual a 6356,778 km, calcule o comprimento deste alinhamento 
reduzido ao geóide. 
mL
mR
mH
Dados
C
C
897,1563
6356778
850
:



 
 
   
ppmd
ppmdppm
HR
H
d
C
C
697662084,133Re
10*
897,1563850
850
Re10*Re 66





 
 
   
mL
LdLLL CC
688,1563
841336976620,0*897,1563897,1563Re*
0
00


 
 
 
A título de exemplo, aplicando a equação (4.36), adotando-se: 
kmR 6378
 e atribuindo-se 
valores de altitudes, obtém-se a Tabela 1. 
 
Tabela 1: Valores para a distância esférica considerando-se alguns valores de altitude. 
Valores de altitude 
H [m] 
Distância esférica [m] 
 1000 2000 5000 10 000 
0 0 0 0 0 
10 1000,002 2000,003 5000,008 10000,016 
100 1000,016 2000,031 5000,078 10000,157 
500 1000,078 2000,157 5000,392 10000,785 
1000 1000,157 2000,314 5000,785 10001,570 
 
4.3.2.1 Relação entre distância esférica e distância horizontal 
 
Conforme descrições anteriores pode-se afirmar que a distância horizontal entre dois pontos 
situa-se no plano horizontal que passa pelo ponto de origem do alinhamento. Em contrapartida, 
a distância esférica entreestes dois pontos situa-se na superfície esférica passando pelos pontos.: 
Fundamentos de Geomática 
 
Destes conceitos e analisando a 
Figura 4.19, podem-se 
estabelecer as seguintes relações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.19: Representação 
esquemática da relação entre 
distância esférica e horizontal. 
 
Arco AB’ 
  *AA HRL 
 (4.40) 
 
Corda AB’ 
 
2
2

senHRC AA 
 (4.41) 
 
Tangente AB 
  tanBHRL 
 (4.39) 
 
A Tabela 2 apresenta uma comparação entre valores do arco, corda e a tangente, considerando-
se 
6378000R
metros e 
mH A 0
. 
Tabela 2: 
Valores 
do arco 
 
Valores do 
arco LA 
 [m] 
Valores da 
corda CA 
[m] 
Valores da 
tangente L 
[m] 
Diferença 
LA -CA 
[m] 
Diferença 
L-LA 
[m] 
1’ 1855,285 1855,285 1855,285 6*10
-6
 5,23*10
-5
 
2’ 3710,570 3710,570 3710,570 5,23*10
-5
 4,71*10
-4
 
5’ 9276,425 9276,424 9276,431 8,17*10
-4
 0,007 
10’ 18552,850 18552,843 18552,902 0,006 0,059 
30’ 55658,550 55658,373 55658,963 0,177 1,590 
1º 111317,100 111315,687 111328,404 1,413 12,717 
 
 
Analisando a Tabela 2, conclui-se: pode-se negligenciar a diferença entre a 
corda e o arco para distâncias inferiores a 10 km. 
 
Medições de distâncias 
 
4.3.2.2 Redução de distâncias inclinadas 
 
Reduzir uma distância inclinada significa calcular, a partir do valor da distância inclinada, o 
valor da distância projetada sobre uma superfície de referência. 
 
4.3.2.2.1 Redução partir da medida de um ângulo vertical 
 
Conforme visto anteriormente, a equação 4.33 exprime a redução da distância inclinada para o 
plano horizontal. Considerando a esfericidade terrestre, a distância horizontal pode ser 
assimilada a uma distância esférica, sendo suficiente o conhecimento do nível que esta distância 
se encontra. 
 
Da Figura 4.20, considere apenas ao quadrilátero formado por AB’A’B, vide Figura 4.21. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.21: Ampliação de parte da 
Figura 4.20. 
A Figura 4.20 ilustra a situação 
dos diferentes elementos 
concernentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.20: Redução partir da 
medida de um ângulo vertical. 
Fundamentos de Geomática 
 
Da Figura 4.21, tem-se: 
2

 
. Considerando que o ângulo  é muito pequeno, obtém-se: 
 Distância 
AB
reduzida ao nível A 
2
cos
2
cos
 HLHsenLLA 
 (4.43) 
 
 Distância 
AB
 reduzida ao nível B 
2
cos
2
cos
 HLHsenLLB 
 (4.44) 
 
 Distância 
AB
 reduzida ao nível médio entre A e B 
cosLLm 
 (4.45) 
 
Para os cálculos dessas distâncias, é importante o conhecimento do ângulo 

. Entretanto, o 
ângulo medido com um teodolito é o ângulo de altura do alinhamento AB, que também não é o 
ângulo 

, indicado na Figura 4.20. 
 
Na realidade o que ocorre é que o efeito da 
refração atmosférica transforma a visada 
retilínea AB em uma visada curva, como 
indicado na Figura 4.22. Desta forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.22: Visada real entre dois pontos. 
 
Da Figura 4.22: 

é o ângulo de altura efetivamente medido com o teodolito e 

 é o ângulo de 
refração. 
Pela teoria do nivelamento trigonométrico, admite-se que: 
2
*

 K
 (4.46) 
 
Sendo 
13,0K
 é o valor médio do coeficiente de refração. Assim, obtém-se a seguinte relação: 
 
2
1
2
 K
 (4.47) 
Medições de distâncias 
 
 
Tomando-se o ângulo de altura 

 efetivamente medido, obtém-se uma distância denominada 
distância reduzida - 
rL
- dada por: 
cos*LLr 
 (4.48) 
 
Substituindo-se na equação (4.48) o valor de  dado na equação (4.47), obtém-se:  
 
 
2
1
2
coscos
2
1coscos
2
1cos






KHLL
KLLL
KLL
r
r
r









 (4.49) 
 
considerando que o ângulo 

 seja suficientemente pequeno, pode-se adotar 
1
2
cos 

. Daí, 
 
2
1cos
 KHLLr 
 (4.50) 
 
Do exposto, pode-se a partir deste momento calcular a diferença de distância entre o valor 
rL
 e 
os demais valores calculados. Sabendo-se que 
R
L
22


, tem-se: 
 
 





 



R
K
HLLL
KHLL
HLKHLLL
Ar
Ar
ArA
2
2
**
2
2
2
cos
2
1cos:


 (4.51) 
  
R
K
LHLL
HKLL
HLKHLLL
Br
Br
BrB
2
**
2
2
cos
2
1cos





 (4.52) 
 
Fundamentos de Geomática 
  
 





 



R
K
LHLL
KHLL
LKHLLL
mr
mr
mrm
2
1
**
2
1
cos
2
1cos




 (4.53) 
 
Sendo 
13,0K
 e 
kmR 6378
, obtém-se: 
LH
LH
LH
m
B
A






**10*682,0
**10*019,1
**10*466,1
7
7
7



 (4.54) 
 
 
O resultado acima permite concluir: calculando-se a distância reduzida com o 
ângulo de altura medido, obtém-se a distância esférica próxima do ponto visado. 
 
 
A conclusão, citada acima, não é rigorosa. Isto exige o cálculo do nível exato em que se 
encontra efetivamente a distância 
rL
. 
Analisando a equação (4.52), nota-se que: 
 
 se 
00  BH 
  neste caso, a distância 
rL
 encontra-se a uma altitude 
inferior aquela visada. 
 se 
00  BH 
 neste caso, a distância 
rL
 encontra-se a uma altitude 
superior aquela visada. 
 
A Figura 4.23 ilustra o caso em que 
0 AB HHH
, para a qual deseja-
se calcular a altitude
rH
, da distância 
reduzida 
rL
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.23: 
Seja o caso de 
0h
. Então, pode-se relacionar: 
Medições de distâncias 
 
B
B
r
B
L
R
L
hR


 (4.55) 
 
 BB
B
B
B L
L
R
hR 
 (4.56) 
 
B
B
B
L
R
h 
 (4.57) 
 
Considerando a equação (4.52), tem-se: 
R
K
HL
L
R
h
B
B
2

 (4.58) 
 
Admitindo que 
L
R
L
R
B
B 
, obtém-se finalmente que: 
H
K
HHh Br 
2
 (4.59) 
 
Assim, considerando as relações apresentadas e que 
AB HHH 
, obtém-se: 
 
H
K
hH
K
HH ABr 




 

2
2
2
 (4.60) 
 
Introduzindo-se o valor 
13,0K
para o coeficiente de refração, pode-se escrever: 
HHHHH ABr  935,0065,0
 (4.61) 
 
 
O leitor deve atentar-se ao fato de que todos os cálculos até então 
apresentados foram realizados levando-se em consideração a forma esférica 
para a Terra e não em relação ao elipsóide. As diferenças de valores são, 
entretanto desprezíveis e para os cálculos comuns da Mensuração são 
absolutamente aceitáveis. 
 
 
Os cálculos anteriores podem ser realizados em função do ângulo vertical corrigido , conforme 
a seguir: 
   cos**11,14 kmL
 equação aproximada (4.62) 
logo, 
cosLLr 
 (4.63) 
 
Fundamentos de Geomática 
 
HHH Am 
2
1
 (4.64) 
e 
senLH *
 (4.65) 
 
 
Exemplo aplicativo (4.5): A partir de um ponto A, de altitude igual a 870m, visou-se um ponto 
B, obtendo-se os seguintes dados: 
92405
856,5643
0 


mL
 
 
Reduzir o alinhamento AB, ao nível do mar, considerandoque para a região deste alinhamento 
o raio médio da terra é igual a 6356,778km. 
 
 Solução considerando o uso do ângulo vertical medido 
 
 
m,L
cos*,
cos*LL
r
r
7335621
924058565643 0


 
 
 
HH
HHH
r
Ar


935,0870
935,0
 
 
o valor real de 
H
 pode ser dado por: 
 
 senLHsen
L
H *
2
cos



 
 
simplificadamente, pode-se adotar: 
 
 
mH
senH
senLH
226,499
92405*856,5643
*
0


 
 
 
 
mH
H
r
r
777,1336
226,499*935,0870


 
 
Medições de distâncias 
 
 
md
ppmd
ppmppm
HR
H
d
r
r
000210247,0Re
247,210Re
10
777,13366356778
777,1336
10Re 66






 
 
 
 
mL
L
dLLL rr
551,5620
210247,0*733,5621733,5621
Re*
0
0
0



 
 
 Solução através do uso do ângulo vertical corrigido: 
 
 
    
23,48505
92405cos*643856,5*11,1492405
cos**11,14
0
00





 kmL
 
 
 
mH
senH
senLH
388,501
23,48505*856,5643
*
0


 
 
 
mH
H
HHH
m
m
Am
694,1120
388,501
2
1
870
2
1









 
 
redução da distância inclinada 
L
 ao nível médio 
mH
 
 
 
mL
L
LL
m
m
m
541,5621
23,48505cos*856,5643
cos
0


 
 
 
redução da distância 
Lm
 ao nível médio do mar 
 
Fundamentos de Geomática 
 
000176268,0Re
268,176Re
10
694,11206356778
694,1120
Re 6




d
ppmd
d
 
 
 
 
mL
L
dLLL mm
550,5620
000176268,0*541,5621541,5621
Re*
0
0
0



 
 
 
4.3.3 Distância plana 
 
Em Mensuração os cálculos relativos as determinações de pontos, bem como suas relações, 
realizam-se na maioria dos casos, segundo um plano de projeção, a partir do qual define-se o 
sistema de coordenadas XY. Opera-se, neste caso, com distâncias planas, as quais são 
evidentemente deformadas segundo o tipo de projeção adotada. As funções matemáticas do 
sistema adotado definem as relações entre as distâncias sobre a superfície de referência e as 
distâncias sobre o plano de projeção. 
Existe uma infinidade de sistemas de projeções que foram desenvolvidos ao longo dos anos. 
Cada país adota para si aquele que melhor se adapta às suas condições e dimensões. A França 
utiliza, por exemplo, o Sistema de Projeção Cônica Conforme de Lambert (1728-1777); a Suíça 
utiliza o Sistema de Projeção Conforme Cilíndrico a Eixo Oblíquo; os EUA, Brasil e muitos 
outros países, utilizam os Sistema de Projeção UTM. 
Os cálculos de transformação das distâncias esféricas para distâncias planas são complexos e 
não serão tratadas nestas notas de aulas. O leitor interessado deverá consultar outras fontes 
bibliográficas. 
 
 
4.3.4 Distância vertical ou diferença de nível 
 
4.3.4.1 Visada ascendente 
 
Na Figura 4.24, tem-se: 
Medições de distâncias 
 
 
Figura 4.24: Esquema de visada ascendente. 
 
Sendo: 
 i = altura do instrumento = RS 
 m = leitura do retículo médio = MQ 
OR = distância horizontal 
QS = diferença de nível 
 
MQRMRSQS 
 (4.66) 
 
No triângulo OMR obtem-se o valor de RM: 
 
tan*ORRM 
 (4.67) 
 
tan*DHRM 
 (4.68) 
 
  

cos
*cos*cos**100 2
sen
CHRM 
 (4.69) 
 
 CsensenHRM  cos***100 (4.70) 
 
Como o ângulo 

 é muito pequeno, seu valor é quase sempre muito próximo de zero e sem 
erro apreciável pode-se desprezar a segunda parcela 
senC *
. 
2
2
cos*
 sensen 
 (4.71) 
 
2
2
**100
sen
HRM 
 (4.72) 
 
Fundamentos de Geomática 
 
Reportando-se novamente a equação inicial (4.66) sendo: 
MQRMRSQS 
 e substituindo-
se cada parcela pelo seu valor: 
im
sen
HDN 
2
2
**100
 (4.73) 
 
 
Ao empregar-se a equação (4.73), o resultado será sempre positivo quando a 
visada for ascendente, e o ponto onde está a mira for mais alto do aquele onde 
está estacionado o teodolito. Caso contrário (visada ascendente e ponto 
seguinte mais baixo), ter-se-á um resultado negativo para a diferença de nível. 
 
 
4.3.4.2 Visada descendente 
 
Seja a Figura 4.25: 
 
Figura 4.25: Esquema de visada descendente. 
 
Sendo: 
 i : altura do instrumento = RS 
 m : leitura do retículo médio = QM 
 OR : distância horizontal 
 QS : diferença de nível 
 
RSMRQMQS 
 (4.74) 
 
2
2
**100
sen
HMR 
 veja dedução anterior (4.75) 
 
im
sen
HDV 
2
2
**100
 (4.76) 
Medições de distâncias 
 
 
Do emprego desta equação resultará um valor negativo para a diferença de nível sempre que a 
visada for descendente e o ponto onde está a mira for mais baixo que aquele onde está 
estacionado o instrumento. Em caso contrário (ponto seguinte mais alto que o da estação), ter-
se-á um resultado positivo. 
 
 
Quando a visada for horizontal 
 00
 o valor de 
2
2
**100
sen
H
 fica 
anulado. Para fórmulas (ascendente ou descendente), e as suas respectivas 
convenções (sinais positivo ou negativo) para se determinar se o terreno está 
em aclive ou em declive. 
 
 
 
 
 
Fundamentos de Geomática 
 
55.. MMEEDDIIÇÇÕÕEESS DDEE ÂÂNNGGUULLOOSS 
 
 
 
5.1 TIPOS DE ÂNGULOS 
 
No estudo dos alinhamentos, a Mensuração analisa dois tipos de ângulos: 
1. Ângulos horizontais: são ângulos obtidos a partir da projeção ortogonal de duas 
direções num plano horizontal, em outras palavras é o ângulo diedro entre dois 
planos verticais. Vide Figura 5.1; 
 
Figura 5.1: Esquema de um ângulo horizontal. 
 
 
2. Ângulos verticais: são ângulos obtidos a partir de uma direção com a horizontal ou 
com a vertical, em outras palavras é o ângulo situado em um plano vertical. 
 
 
5.1.1 Ângulos horizontais 
 
Os ângulos horizontais, de acordo com a sua direção, podem ser classificados em: 
 Azimutais: são ângulos gerados entre a direção do norte-sul magnético e a direção 
do alinhamento visado. Estes ângulos podem ser designados a partir do norte ou do 
sul magnético. A amplitude destes ângulos varia de 0º a 360º. Quando os ângulos 
azimutais são medidos no sentido horário, são também conhecidos como azimutes 
diretos; quando medidos no sentido anti-horário são também conhecidos como 
ângulos retrógrados. Vide Figura 5.2; 
 
Cálculo analítico de coordenadas e de áreas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.2: Azimute de um alinhamento. 
 
 Rumos: são ângulos gerados entre a direção norte ou sul magnético e a direção do 
alinhamento, ou seja, os rumos têm por origem a direção norte ou sul. A leitura dos 
rumos dá-se na direção Este ou Oeste. Os ângulos obtidos a partir dos rumos, 
apresentam como característica principal o seu conhecimento pelo quadrante em 
que se situa, ou seja, pelas letras NE ou SE ou SO ou NO. 
 
A amplitude dos rumos varia de 0º a 90º, de acordo 
com o quadrante que se encontra.Vide Figura 5.3; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 5.3: Rumo de um alinhamento. 
 
 Goniométrico: são ângulos obtidos a partir de um alinhamento qualquer, tomado 
como alinhamento de referência. 
 
Devido ao fato dos rumos e azimutes serem referidos a mesma direção (norte-sul magnética), 
pode-se fazer umarelação entre eles da seguinte forma: 
AZ < 90º R (NE) = AZ 
90º < AZ < 180º R (SE) = 180º - AZ 
180º < AZ < 270º R (SO) = AZ - 180º 
270º < AZ < 360º R (NO) = 360º - AZ 
Fundamentos de Geomática 
 
5.1.2 Ângulos verticais 
 
5.1.2.1 Ângulo de inclinação ou de altura (declividade) 
 
É o ângulo formado entre o plano horizontal local e a direção do alinhamento visado. A 
amplitude deste ângulo varia de 0º a 90º na direção ascendente ou descendente. Vide Figura 5.4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.4: Ângulo de inclinação ou de altura. 
 
 
5.1.2.2 Ângulo vertical zenital 
 
É o ângulo formado entre o alinhamento visado e a vertical do lugar, tomado a partir da direção 
zenital. Vide Figura 5.5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.5: Ângulo vertical zenital. 
 
 
Cálculo analítico de coordenadas e de áreas 
 
5.1.2.3 Ângulo vertical nadiral 
 
É o ângulo formado entre o alinhamento visado e a vertical do lugar, tomado a partir da direção 
nadiral. Vide Figura 5.6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.6: Ângulo vertical nadiral. 
 
Normalmente, os ângulos verticais são considerados positivos quando o ponto visado é 
ascendente em relação à estação, e negativo quando o ponto visado for descendente. Os valores 
dos ângulos verticais não são muito grandes, sendo no máximo da ordem de 30º. Isto se justifica 
pelo desconforto ao operador para leituras maiores que este valor, uma vez que a luneta se 
posicionaria numa posição muito inclinada, afastando-se ou aproximando-se do circulo 
horizontal. Isto com certeza gera desconforto na operação de campo. 
 
 
5.1.3 Ângulos entre alinhamentos 
 
Define-se como alinhamento topográfico a reta que une dois pontos de visada. O ângulo entre 
dois alinhamentos é, normalmente, o ângulo horário variável de 0º a 360º. Alguns instrumentos 
antigos possuem círculo horizontal com graduação de 0º a 360º, que possibilitem leituras de 
ângulos diretos e retrógrados. 
 
 
5.1.3.1 Deflexão 
 
É definido como sendo o ângulo gerado pelo prolongamento do alinhamento de ré com o 
alinhamento de vante, no sentido do caminhamento. A amplitude da deflexão é de 0º a 180º, 
podendo ser medida para a esquerda ou para a direita. Portanto, para caracterizar a deflexão, 
deve-se sempre anotar o sentido da deflexão medida, ou seja, o valor do ângulo seguido pelas 
letras “d” (direita) ou “e” (esquerda). Vide Figura 5.7. 
 
Fundamentos de Geomática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 5.7: Deflexão entre alinhamentos 
 
 
5.1.3.2 Ângulo horário 
 
Define-se com ângulo horário o ângulo gerado a partir da visada do alinhamento de ré com o 
alinhamento de vante, no sentido do caminhamento do levantamento. Se o sentido do 
caminhamento for horário, o ângulo obtido é um ângulo horário externo a poligonal. Se o 
sentido do caminhamento for anti-horário, o ângulo obtido é um ângulo horário interno a 
poligonal do levantamento. Vide Figura 5.8. 
 
Figura 5.8: Ângulos horários. 
 
 
5.2 ERROS NAS MEDIÇÕES ANGULARES 
 
Os erros cometidos nas medições angulares podem ser: 
 
 Erros acidentais: são erros provenientes da imprecisão no manejo dos operadores 
no campo. Estes tipos de erros não podem ser determinados, mas sim minimizados 
com a adoção de um procedimento de trabalho cuidadoso e criterioso. A seguir, 
Cálculo analítico de coordenadas e de áreas 
 
alguns cuidados que podem ser tomados para reduzir a ocorrência destes tipos de 
erros: 
1. Erro de estacionamento do aparelho: é decorrente da imprecisão entre a 
falta de coincidência entre o eixo principal do instrumento e a vertical do 
lugar. Os aparelhos dotados de prumo ótico têm como características de 
reduzir estes tipos de erros. 
2. Erro de posicionamento da baliza: ocorre quando o operador coloca a 
baliza fora do ponto topográfico
1
 demarcado sobre o piquete, ou quando o 
operador do instrumento não visa o centro da baliza. 
3. Erro de verticalidade da baliza: ocorre quando o operador não observa se a 
baliza está na posição vertical. Este tipo de erro pode ser reduzido com o 
uso de um nível cantoneira de bolha que pode ser usado acoplado junto a 
baliza. Uma alternativa para reduzir este erro é usar o critério de visar 
sempre pontos mais baixos da baliza, evitando visadas acima do terço 
médio inferior da baliza; 
4. Erro de paralaxe reticular: é decorrente quando o retículo não está 
devidamente focalizado. Este erro pode ser reduzido realizando uma 
focagem com nitidez da imagem; 
5. Erro de leitura: é função da habilidade do operador. 
 
 Erros sistemáticos: são resultantes de imperfeições residuais na retificação ou, 
inclusive, oriundas da própria construção do instrumento. 
 
 
5.3 MEDIÇÃO DE ÂNGULOS ATRAVÉS DE INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS 
 
O instrumento topográfico utilizado, na Mensuração, para a medição de ângulos é o teodolito. 
Através de um teodolito medem-se os ângulos horizontais e verticais. Atualmente, os teodolitos 
eletrônicos permitem ao usuário escolher o tipo de ângulo vertical a ser usado durante as 
medições e se a direção positiva do ângulo horizontal é para a direita ou para a esquerda. A 
precisão dos ângulos medidos varia entre 0.5”, 1”, 1.5”, 3”, 5”, 10” e 20”, embora a leitura 
mínima seja quase sempre igual a 1”. 
 
A resolução angular de um instrumento topográfico representa o menor 
valor que o instrumento pode ler. A precisão indica qual o desvio, em 
relação ao valor real de um ângulo, que se pode esperar, durante a 
medição desse ângulo. Essa precisão (desvio padrão) determina-se 
através de um procedimento conforme a Norma DIN 18.723 ou a Norma 
ISO 12857 de 1997. 
 
 
 
1 NBR 14 166: “ponto de coordenadas planimétricas ou planialtimétricas, implantado e materializado no terreno, 
determinado por poligonal topográfica, apoiada em pontos geodésicos, ou por poligonal secundária de 
densificação da malha de pontos topográficos, classificadas como II P ou IPRC conforme a NBR 13 133.” 
Fundamentos de Geomática 
 
A figura apresentada a seguir mostra, esquematicamente, os principais componentes de um 
teodolito. 
 
 
 
Vista externa 
 
 
 
 
Vista interna 
 
Figura 5.9: Apresentação esquemática de um teodolito. 
 
A parte inferior do teodolito, que é fixada ao tripé, é denominada base do teodolito. A base 
suporta a parte superior, denominada alidade, a qual gira em torno de um eixo, denominado 
eixo principal do teodolito. A alidade possui dois montantes que suportam um outro eixo, 
perpendicular ao eixo principal, denominado eixo secundário, em torno do qual gira a luneta 
do teodolito. O eixo de visada da luneta é perpendicular ao eixo secundário. Os ângulos 
horizontais e verticais são lidos através dos círculos horizontal e vertical graduados, fixos na 
alidade e na luneta do instrumento. 
 
 
Os três eixos do teodolito são concorrentes em um único ponto, que é o 
vértice dos ângulos medidos com o instrumento. 
 
 
5.3.1 Erros instrumentais de um teodolito 
 
As tolerâncias de fabricação de um teodolito são extremas e estão no limite das possibilidades 
da construção mecânica. Existem, entretanto, alguns erros inevitáveis de ajustagem do 
instrumento, que permanecem após a construção e que devem ser corrigidos, sempre que 
detectados. Os eixos de um teodolito devem satisfazer as seguintes condições: 
 O eixo secundário deve ser perpendicular ao eixo principal; 
Cálculo analítico de coordenadas e de áreas 
 
 O eixo de visada deve ser perpendicularao eixo secundário; 
 O eixo principal deve estar vertical, após a calagem do instrumento sobre a base. 
Essas condições, entretanto, não são nunca preenchidas, o que acarreta a existência dos erros de 
eixos do teodolito, cujos efeitos nas medições angulares podem ser negligenciáveis. Além disso, 
os três eixos devem ser concorrentes em um único ponto. Quando, por exemplo, o eixo de 
visada, que é definido pelo centro do retículo e pelo centro da objetiva, está descentralizado em 
relação ao eixo principal, tem-se um erro denominado erro de excentricidade de eixo de 
visada. 
Para as medições angulares, os círculos graduados devem estar perfeitamente centralizados 
sobre os eixos correspondentes. O centro do círculo horizontal deve coincidir com o centro do 
eixo principal e o centro do círculo vertical deve coincidir com o centro do eixo secundário. Se, 
esse não for o caso, têm-se os erros denominados erros de excentricidade dos círculos. 
A seguir discutem-se, resumidamente, os detalhes de cada tipo de erro. 
 
 
5.3.1.1 Erros de eixos 
 
Os erros de eixos de um teodolito são: 
 O erro de perpendicularidade do eixo secundário em relação ao eixo principal, que 
se traduz por um erro de horizontalidade do eixo secundário; 
 O erro de perpendicularidade do eixo de visada em relação ao eixo secundário, 
denominado erro de colimação horizontal. 
 Erro de calagem do instrumento, ou seja, o erro de verticalidade do eixo 
principal. 
 
Os dois primeiros erros são erros residuais de ajustagem do instrumento e podem variar ao 
longo do tempo. Esses erros são elimináveis através de medições angulares em duas posições da 
luneta. O erro de calagem não é um erro de ajustagem, ele ocorre devido a má operação do 
instrumento ou devido a instabilidade da estação. 
 
 
5.3.1.1.1 Erro de horizontalidade do eixo secundário ou erro do basculamento 
 
Se o eixo secundário do teodolito não for perpendicular ao eixo principal, quando o eixo 
principal estiver vertical o eixo secundário não estará horizontal e tem-se assim: 
 
i = erro de horizontalidade 
 
Nesse caso, o eixo de visada, perpendicular ao eixo de basculamento, descreverá um plano 
inclinado durante o basculamento da luneta, conforme representado na figura a seguir. 
Fundamentos de Geomática 
 
 
Figura 5.10: Ilustração do erro de horizontalidade do eixo secundário ou erro do basculamento. 
 
OZ
eixo principal vertical; 
HH
eixo secundário com inclinação i em relação ao horizonte; 
OP
eixo de visada dirigido para o ponto P; 

ângulo de altura da visada OP; 
OZI
plano vertical perpendicular a HH’; 
OZE
plano vertical da direção OP; 
OTI
 plano inclinado de basculamento do eixo de visada. 
 
Considerando que os ângulos 
i
e 
i
 são pequenos, prova-se que 
 tan*ii 
.
Dessa forma, 
 
O erro de leitura de ângulo horizontal, devido a um defeito de 
horizontalidade do eixo secundário, é proporcional a tangente do ângulo 
de altura. 
 
Esse erro possui sinal contrário conforme a luneta esteja em posição 
direta ou inversa. Ele é nulo para visadas horizontais. 
 
O erro na leitura do ângulo vertical é negligenciável. 
 
 
Cálculo analítico de coordenadas e de áreas 
 
 
Exemplo aplicativo (5.1): Para um erro de horizontalidade igual a 
01 i
, por exemplo, ter-se-
iam os seguintes erros na leitura horizontal: 
 

 
i
 
0º 0” 
5º 1” 
10º 1,8” 
15º 2,7” 
20º 3,6” 
30º 5,7” 
45º 10” 
 
 
5.3.1.1.2 Erro de colimação horizontal 
 
Se o eixo de visada do teodolito não for perpendicular ao eixo secundário, tem-se: 
 
c = erro de colimação 
 
Nesse caso, durante o basculamento da luneta, o eixo de visada descreverá um cone, em torno 
do eixo secundário, conforme representado na figura a seguir. 
 
Figura 5.11: Ilustração do erro de colimação horizontal. 
 
OZ
eixo principal vertical; 
HH
eixo secundário horizontal; 
OP
eixo de visada dirigido para o ponto P; 
Fundamentos de Geomática 
 

ângulo de altura da visada OP; 
OZI
plano vertical perpendicular a HH’; 
OZE
plano vertical da direção OP. 
Quando e eixo de visada é horizontal, ele estará dirigido segundo a direção OF e fará um ângulo 
c com a perpendicular a HH’. Com o basculamento da luneta em torno de HH’, o eixo de visada 
descreverá um cone, cujo traço será FSU. 
Como os ângulo 
c
e 
c
 são pequenos, mostra-se que 


cos
1
*cc 
 
Dessa forma, 
 
O erro de uma direção devido a um defeito de perpendicularidade do 
eixo de visada, em relação ao eixo secundário, aumenta com a inclinação 
da visada. 
 
Esse erro possui sinal contrário conforme a luneta esteja em posição 
direta ou inversa. Ele é igual a c para visadas horizontais. 
 
O erro na leitura do ângulo vertical é negligenciável. 
 
 
 
Exemplo aplicativo (5.2): Para um erro de colimação horizontal igual 
01 c
, por exemplo, os 
erros na leitura horizontal seria da ordem de: 
 

 
c
 
0º 10” 
10º 10” 
15º 10,5” 
30º 12” 
45º 14” 
 
 
 
5.3.1.1.3 Erro de verticalidade do eixo principal 
 
Um defeito na calagem de um teodolito produz um erro de verticalidade do eixo principal e tem-
se assim, 
 
v
erro de verticalidade do eixo principal 
 
Cálculo analítico de coordenadas e de áreas 
 
Durante a operação de um teodolito, supõe-se que o eixo secundário 
HH 
 é perpendicular ao 
eixo principal. Se isso não ocorre, quando a alidade é rotacionada, 
HH 
 produzirá o plano 
inclinado 
LNNL 
. A inclinação do eixo secundário variará entre 
v
 e 
v
, segundo a 
orientação da visada. Quando e eixo de visada estiver no plano vertical do eixo principal, ele 
será horizontal segundo 
LL 
. A figura, apresentada a seguir ilustra essa situação. 
 
 
Figura 5.12: Ilustração do erro de verticalidade do eixo principal. 
 
OZ
vertical; 
ZO
eixo principal não vertical; 
HH
eixo secundário perpendicular ao eixo principal; 
OP
eixo de visada dirigido para o ponto P; 

 ângulo de altura da visada OP; 
IZO
plano de basculamento do eixo de visada; 
OZE
plano vertical da direção OP; 

ângulo entre o plano vertical da direção OP em relação ao plano vertical que 
contém o eixo principal OZ’. 
 
Como os ângulos 
v
 e
v
 são pequenos, mostra-se que 
 tan..senvv 
 
 
Dessa forma, 
 
Fundamentos de Geomática 
 
O erro de uma direção, devido a um defeito de verticalidade do eixo é 
proporcional a tangente do ângulo de altura. 
 
Esse erro possui o mesmo sinal para as posições direta ou inversa da 
luneta e é nulo para visadas horizontais. 
 
O erro de verticalidade não tem efeito na medição dos ângulos verticais. 
 
O erro de verticalidade do eixo principal depende, portanto, da precisão do nível de bolha usado 
para a calagem do instrumento. Usando um nível com uma indicação de 20” por 2 mm de 
graduação, a precisão do nivelamento do teodolito (i. e. a verticalidade do eixo principal), é 
igual a ± 0,5 mm ou ± 5”. Em conseqüência o erro do ângulo horizontal numa visada inclinada 
de 45 é de ordem de ± 5”. 
 
Nota - Os erros do eixo de basculamento e de colimação horizontal 
eliminam-se se medindo nas duas posições da luneta e calculando-se as 
médias das medidas. 
 
O erro de verticalidade do eixo principal não se elimina medindo-se nas 
duas direções da luneta. 
 
 
5.3.1.1.4 Erro de excentricidade dos círculos 
 
O círculo horizontal deve estar centrado sobre o eixo principal e o círculo vertical deve estar 
centrado sobre o eixosecundário. Caso isso não ocorra, tem-se uma excentricidade como 
mostrado na figura a seguir. 
 
 
Figura 5.13: Ilustração do erro de excentricidade dos círculos 
 
Cálculo analítico de coordenadas e de áreas 
 
 
C
centro do círculo; 
r
raio do círculo; 
A
centro do ângulo a ser medido (eixo vertical - ângulo vertical) 
 (eixo horizontal - ângulo horizontal); 
e
excentricidade de C em relação a 
A
; 

ângulo correto entre as direções 
1AP
 e 
2AP
; 
1l
direção 
1AP
 lida no círculo; 
2l
direção 
2AP
 lida no círculo. 
 
Mostra-se que o erro de excentricidade é proporcional a excentricidade e inversamente 
proporcional ao raio da graduação. Esses valores, entretanto, não são conhecidos e a solução 
para o problema consiste em eliminar o erro de excentricidade, fazendo-se leituras em dois 
pontos diametralmente opostos do círculo e calculando-se a médias dos valores lidos. Nos 
teodolitos óticos de precisão (por exemplo, T2, T3 ou DKM2) essa média é obtida 
automaticamente através da coincidência ótica feita pelo instrumento. 
Dessa forma, 
 
O erro de excentricidade pode ser eliminado fazendo-se leituras com 
dois índex de leitura diametralmente opostos (microscópios) e 
calculando-se a média dos valores medidos. 
 
 
5.3.1.1.5 Erro de índice do círculo vertical (colimação vertical) 
 
 
O erro de colimação do círculo vertical em relação ao horizonte ou ao zênite é denominado erro 
do índice do círculo vertical. 
Se o instrumento estiver isento do erro do índice do círculo vertical, a leitura do erro vertical 
(angulo zenital) deve ser igual a 90° 00‟ 00”, sempre que a luneta, na posição I, estiver 
orientada no horizonte. Essa condição pode ser verificada da seguinte maneira: 
Visar um ponto bem definido em posição I da luneta e ler o valor angular do círculo vertical. 
Repetir a mesma operação na posição II da luneta. A soma das duas leituras deve ser igual a 
360° 00‟00”. Uma diferença eventual corresponderá ao duplo valor do erro do índice vertical. 
 
 
Nota - A média das duas leituras do círculo vertical nas duas posições da 
luneta está isenta do erro do índice vertical. 
 
 
Fundamentos de Geomática 
 
5.3.2 Medições de ângulos com um teodolito eletrônico 
 
Atualmente, está aumentando-se o uso de teodolitos eletrônicos nas medições de ângulos. Por 
esse motivo, neste curso, serão tratadas apenas as medições de ângulos com teodolitos 
eletrônicos. 
Um teodolito eletrônico é um instrumento de alta precisão, composto de partes mecânicas e 
eletrônicas, que formam um conjunto estável e de grande conforto para o usuário. Os principais 
fatores que determinam a qualidade de um teodolito eletrônico são os seguintes: 
 Estabilidade das partes mecânicas; 
 Qualidade dos elementos óticos; 
 Precisão da graduação dos círculos e dos dispositivos de leitura e de interpolação; 
 Sensibilidade do sistema compensador para correção dos ângulos verticais e das 
direções horizontais; 
 Confiabilidade dos circuitos eletrônicos; 
 Capacidade do instrumento para trabalhar sem sofrer influências do meio ambiente 
(variação de temperatura, vibrações, etc.). 
 
 
5.4 PROCESSOS DE MEDIÇÃO DOS ÂNGULOS HORIZONTAIS 
 
Para se medir ângulo horizontal, deve-se executar, no mínimo, as seguintes etapas: 
1. Estacionar o instrumento topográfico no vértice de um ângulo a ser medido, 
tomando-se o cuidado de coincidir a projeção de seu eixo vertical, materializado 
através do prumo ótico ou pelo fio de prumo, com o ponto topográfico; 
2. Estabelecer a vertical do eixo principal através do uso dos parafusos calantes e dos 
níveis de calagem; 
3. Zerar o instrumento, ou seja, coincidir os zeros do limbo do vernier da alidade; o 
ajuste fino desta operação é dado pelo parafuso tangencial da alidade; 
 
Estas operações são básicas para quaisquer tipos de medição de ângulos entre alinhamentos. A 
seguir, apresentam-se os tipos de processos que são normalmente utilizados nas operações 
topográficas. 
 
 
5.4.1 Medição de ângulo entre dois alinhamentos 
 
Devem-se executar as operações anteriores e em seguida operar da seguinte maneira: 
1. Manter fechado o parafuso de bloqueio da alidade; abrir o parafuso de bloqueio 
geral (esta operação mantêm a coincidência entre os zeros do limbo e do vernier) 
observa-se a baliza que esta segura por outro operador e executa-se a colimação. 
Cálculo analítico de coordenadas e de áreas 
 
Prende-se o parafuso de bloqueio geral e faz-se a perfeita colimação com o eixo da 
baliza através do uso dos parafusos de movimento tangencial da alidade; 
2. Soltar o parafuso de bloqueio da alidade e fazer uma aproximação com a outra 
baliza a ser visada. Fechar o parafuso da alidade e realizar a perfeita colimação com 
o parafuso tangencial da alidade; 
3. Com o auxílio do vernier da alidade, faz-se a leitura do ângulo registrado no limbo 
e anotar o valor lido. 
 
 
5.4.2 Medição de deflexão 
 
Após executar as operações básicas, podem-se obter deflexões da seguinte maneira: 
 
1. Rotacionar a luneta de 180º em torno do eixo secundário. Visar a baliza estacionada 
sobre a estação tomada como ré. Prender o parafuso do bloqueio geral e fazer o 
ajustamento perfeito da colimação com o parafuso tangencial da alidade; 
2. Retornar a luneta para a posição original com nova rotação de 180º, gerando assim 
um prolongamento do alinhamento de ré, onde o limbo registrará 0º; 
3. Liberar o parafuso da alidade e visar o ponto desejado. Realizar o ajuste fino e a 
perfeita focagem do ponto; 
4. Realizar a leitura do ângulo e anotar seu valor na caderneta de campo. Não esquecer 
de anotar o sentido da deflexão, ou seja, se o ângulo medido está na direção a 
„direita‟ ou a „esquerda‟ no sentido do caminhamento. 
 
 
5.4.3 Medição de ângulo azimutal 
 
Primeiramente devem-se executar as operações preliminares e aí então proceder da seguinte 
maneira: 
1. Liberar a agulha magnética da bússola (ou da declinatória). Após um curto período 
de tempo, a agulha da bússola ficará em equilíbrio (parada) indicando a direção 
norte-sul magnética. Fazer a coincidência da ponta norte da agulha e do zero da 
bússola e bloquear o movimento geral. Nesta posição, os zeros da bússola, do limbo 
do vernier e o eixo de colimação da luneta estarão na mesma linha indicando a 
direção norte-sul magnético; 
2. Liberar o parafuso da alidade e visar o ponto desejado. Colimar e focar a baliza 
sobre o ponto visado; 
3. Ler o ângulo e anotar na caderneta de campo. O ângulo medido será um ângulo 
azimutal se o limbo da bússola for graduado de 0º a 360º e será considerado um 
rumo se o limbo da bússola for graduado de 0º a 90º nos quadrantes de leitura. No 
caso de leituras de rumos, não esquecer de anotar o quadrante do ângulo lido. 
 
 
Fundamentos de Geomática 
 
5.5 ORIENTAÇÃO DE UMA PLANTA 
 
A orientação de um alinhamento, trabalho topográfico ou planta, é feita por meio de azimutes 
ou rumos, que podem ser magnéticos ou verdadeiros, conforme sejam determinados com o 
auxílio de uma bússola, através do uso da tecnologia GPS ou por meio de observação 
astronômicas. 
Para que a orientação de um alinhamento fique bem definida, é imprescindível que a orientação 
seja registrada de modo a deixar bem claro de qual foi sentido que o alinhamento tenha sido 
determinado. 
NER
ou
ENR
AB
AB
221137
221137
0
0


 
 
Esta indicação deve ser feita por meio de 
letras ou números que caracterizam o 
alinhamento considerado. Seja, por 
exemplo, o rumo determinado do vértice 
A para o vértice B. Figura 5.14.Figura 5.14: Rumo de um alinhamento. 
 
Seja o azimute, 
35241290 Az
, 
determinado a partir do vértice 10 para o 
vértice 11. Vide Figura 5.15. 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.15: Azimute de um alinhamento. 
 
 
Cálculo analítico de coordenadas e de áreas 
 
5.6 RELAÇÕES ENTRE RUMOS MAGNÉTICOS E DEFLEXÕES 
 
A seguir apresentam-se as relações que relacionam os azimutes ou rumos magnéticos com os 
ângulos de deflexões, analisando cada caso conforme os quadrantes. 
Inicialmente num levantamento por caminhamento, anota-se o azimute de partida (de origem), 
cujo valor supõe-se correto, a fim de calcular os demais azimutes em função das deflexões 
dadas ou calculadas. A partir deste momento os azimutes lidos serão podem ser transformados 
para os quadrantes da bússola de rumo. Esta transformação é chamada cálculo de rumos. 
Adotaremos: 
Az’ = rumo do alinhamento de ré 
Az = rumo do alinhamento de vante 
D = deflexão a direita 
E = deflexão a esquerda 
 
O problema a ser resolvido será o seguinte: dados o azimute Az’ do alinhamento de ré e a 
deflexão (D ou E) no sentido do caminhamento da poligonal, qual o valor do rumo R de vante 
do alinhamento seguinte? 
 
1o) QUADRANTE - NE 
 
No caso da deflexão ser a direita: 
DzAR 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.16: Relação entre rumo e 
deflexão à direita no primeiro 
quadrante. 
 
Fundamentos de Geomática 
 
Se a deflexão for a esquerda: 
EzAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.17: Relação entre rumo e deflexão à 
esquerda no primeiro quadrante. 
 
2o) QUADRANTE - SE 
 
Se a deflexão for a direita: 
 DzAR  0180
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.18: Relação entre rumo e deflexão à 
direita no segundo quadrante. 
 
Se a deflexão for a esquerda: 
 EzAR  0180
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.19: Relação entre rumo e deflexão à 
esquerda no segundo quadrante. 
 
Cálculo analítico de coordenadas e de áreas 
 
3o) QUADRANTE - SO 
 
Se a deflexão for a direita: 
DzAR 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.20: Relação entre rumo e deflexão 
à direita no terceiro quadrante. 
 
Se a deflexão for a esquerda: 
EzAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.21: Relação entre rumo e deflexão à 
esquerda no terceiro quadrante. 
 
 
4o) QUADRANTE - NO 
 
Se a deflexão for a direita: 
 DzAR  0360
. 
 
 
 
 
 
Figura 5.22: Relação entre rumo e deflexão à 
direita no quarto quadrante. 
Fundamentos de Geomática 
 
 
Se a deflexão for a esquerda: 
 EzAR  0360
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.23: Relação entre rumo e deflexão à 
esquerda no quarto quadrante. 
 
 
5.6.1 Conversão em quadrantes 
 
Deve-se chamar bastante atenção, que devemos sempre reduzir os valores dos rumos obtidos 
nas somas ou nas subtrações efetuadas a cada um dos quadrantes. 
Os resultados das operações podem ser apresentar sob a seguinte forma: 
 
1o Caso) : 
090R
 
 
Se o resultado para R foi igual 90o, pode-se considerar o rumo tanto de um como de outro 
quadrante. 
 
 
Exemplo aplicativo (5.3): 
 
NER
R
DRR
D
NER
0
00
0
0
90
322142737447
322142
737447





 
 
Tem-se que, 
NE090
 coincide com 
SE090
, portanto, tanto faz, pois corresponde ao mesmo 
valor. 
 
Cálculo analítico de coordenadas e de áreas 
 
2o Caso) 
00 90180  R
 
 
Se o valor do rumo 
00 90180  R
 determina-se o suplemento do ângulo e trocamos o 
quadrante, isto é, NE para SE e NO para SO, ou vice-versa. 
 
 
Exemplo aplicativo (5.4): 
 
NER
R
DRR
D
NER
3250105
949455435149
949455
435149
0
00
0
0





 
 
Sabe-se que não existe rumo maior que 90o, portanto tem-se que determinar o suplemento: 
 
Suplemento: 
7345743250105180 000 
 
 
Troca-se de quadrante NE para SE , logo 
SER 7345740 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.24: Ilustração da obtenção de um 
rumo no quadrante SE. 
 
 
3o Caso) 
0180R
 
 
Se o resultado obtido para o rumo 
0180R
, acha-se o valor que exceder de 180o e troca-se a 
letra dos quadrantes, isto é, NE para SO, SE por NO e vice-versa. 
 
Fundamentos de Geomática 
 
 
Exemplo aplicativo (5.5): 
 
NER
R
DRR
D
NER
7201253
3562164433488
3562164
433488
0
00
0
0





 
 
Excesso: 
7201731807201253180 0000 R
 
 
Troca-se o quadrante do excesso, logo o 
rumo 
SOR 7201730 
. 
 
 
 
 
 
 Figura 5.25: Ilustração da obtenção de um 
rumo no quadrante SO. 
 
 
4o Caso R < 0 
 
Se o resultado das operações foi negativo, significa que o rumo deverá ser tomado para o lado 
oposto, isto é, se for Este deverá ser tomado para Oeste. 
 
Cálculo analítico de coordenadas e de áreas 
 
 
Exemplo aplicativo (5.6): 
 
NOR
R
DRR
D
NOR
320528
517240256311
517240
256311
0
00
0
0





 
logo, 
NER 3205280 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.26: Ilustração da obtenção de um 
rumo no quadrante NE. 
 
 
5o Caso 
00R
 
 
Se o resultado indicar 
00R
, isto significa que o rumo magnético coincide com a direção 
Norte-Sul. Anota-se apenas N ou S. 
 
Fundamentos de Geomática 
 
 
Exemplo aplicativo (5.7): 
 
NOR
R
DRR
D
NOR
0
00
0
0
0
532240532240
532240
532240





 
 
 
 
5.7 Cálculos topométricos 
 
O posicionamento de um ponto num plano, mais exatamente no plano de projeção XY, é um 
problema típico da definição do ponto segundo a Planimetria. Este assunto é de extrema 
importância para a Mensuração e trata, em linhas gerais, do cálculo das coordenadas do ponto 
desconhecido a partir de outros pontos previamente determinados ou conhecidos. 
Apoiando-se em uma rede de pontos de coordenadas conhecidas segundo um plano de projeções 
(como por exemplo, a partir de uma rede de triangulação nacional ou estadual), tem-se o 
objetivo a determinação da coordenadas de novos pontos visando o levantamento de uma área, a 
densificação da rede ou mesmo o estabelecimento de detalhes importantes. Estes tipos de 
determinações envolvem medições no campo e cálculos a serem executados em escritórios. Em 
ambos os casos, é relevante chamar a atenção quanto aos cuidados a serem tomados pelos os 
responsáveis desta tarefa para que os resultados obtidos sejam confiáveis. 
Em Mensuração, a determinação de novos pontos é feita através da aplicação de métodos 
clássicos topográficos ou geodésicos, cuja aplicação depende das características do lugar, dos 
objetivos do trabalho e sobretudos da precisão fixada para a qualidade do resultado final. Os 
métodos comumente utilizados podem ser classificados em métodos ponto a ponto (quando se 
calcula um ponto de cada vez) e métodos de redes ou poligonométricos (quando se calcula 
vários pontos ao mesmo tempo). Neste capítulo discute-se apenas o primeiro método, o segundo 
é apresentado no Capítulo V. 
De maneira simples, a definição de um ponto é realizada através de medições angulares e 
lineares sobre a superfície física (topográfica) e através de cálculos topométricos os quais são 
realizados por relações trigonométricasexistentes entre os elementos conhecidos e as grandezas 
medidas. Diz-se nestes casos que foram realizadas estimativas trigonométricas ou uma 
determinação trigonométrica. 
Fundamentalmente serão tratados neste tópico os problemas topométricos mais comuns da 
Mensuração. São eles: 
 Cálculo do azimute e da distância entre dois pontos de coordenadas conhecidas; 
Cálculo analítico de coordenadas e de áreas 
 
 Cálculo de um ponto lançado, ou seja, cálculo das coordenadas de um ponto para o 
qual se conhece o azimute e a distância da direção que o liga a outro ponto 
conhecido; 
 Determinação do azimute de uma direção desconhecida; 
 Orientação de distâncias observadas através de uma estação conhecida; 
 Cálculos de coordenadas a partir de uma estação excêntrica. 
 
Os dois primeiros casos são conhecidos como os dois problemas fundamentais da Mensuração. 
O controle das determinações é feito através da realização de medições superabundantes, ou 
seja, utilizando mais medições do que as estritamente necessárias para ao cálculo das incógnitas 
do problema. Utilizam-se, nesse caso, os cálculos de compensação que é o objetivo da Teoria 
dos Erros que será tratado no Capítulo XII. 
 
 
5.7.1 Cálculo de azimute e distância 
 
Considere a Figura 5.27. Sejam conhecidas as coordenadas (cartesianas ou topográficas) das 
estações 
 PP YXP ,
 e 
 QQ YXQ ,
. 
Deseja-se estimar a distância 
horizontal e o azimute do 
alinhamento 
PQ
. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.27: Determinação do azimute 
e a distância horizontal de um 
alinhamento a partir de suas 
coordenadas cartesianas. 
 
Da Figura 5.27 tem-se: 
 
PQ
PQ
pqPQ
PQ
PQ
pq
YY
XX
Az
YY
XX








tan
tan
 (5.1) 
Fundamentos de Geomática 
 
   
 
 
pq
PQ
PQ
pq
PQ
PQ
PQPQPQ
YY
DH
ou
sen
XX
DH
ou
YYXXDH


cos
22





 (5.2) 
 
 
5.7.2 Cálculo de um ponto lançado 
 
Este é um caso típico do dia a dia dos levantamentos topográficos, onde a partir de um ponto um 
de coordenadas conhecidas 
  PP YXP ,
, uma direção 
 PQ
 e uma distância 
 PQDH
, desejam-
se determinar as coordenadas de um ponto lançado 
  QQ YXQ ,
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.28: Determinação das 
coordenadas de um ponto lançado. 
 
A partir de conceitos trigonométricos e geométricos obtém-se: 
PQPQPQ
PQPQPQ
DHYY
senDHXX


cos*
*


 (5.3) 
 
A equação acima é geral e é válida para todos os quadrantes cartesianos, mas deve-se atentar 
quanto aos sinais das funções trigonométricas. 
 
 
Cálculo analítico de coordenadas e de áreas 
 
5.7.3 Determinação do azimute de uma direção desconhecida 
 
Considerem neste caso que sejam conhecidas as coordenadas de dois pontos 
  PP YXP ,
 e 
  QQ YXQ ,
 e a direção deste último ponto obtida a partir de um ponto qualquer. Vide Figura 
5.29. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.29: Determinação de um 
azimute de uma direção desconhecida. 
 
Da figura acima se deseja estimar o ângulo 

 entre a direção norte (verdadeiro ou da 
quadrícula) e a direção tomada como referência para obtenção do alinhamento 
PQ
 e 
PT
 e o 
azimute do alinhamento 
PT
. Para tanto, considere que sejam medidos os ângulos 
P
 e 
T
, a 
partir da direção 
000,0
 tomada como referência. 
O azimute 
PQ
 do alinhamento 
PQ
 pode ser obtido conforme apresentado na secção 5.6.1. 
A direção 

 pode ser estimada considerando: 
 
QPQ  
 (5.4) 
 
Portanto, o azimute 
PT
do alinhamento pode ser estimado pela seguinte expressão: 
 
  TPT
 (5.5) 
 
Estas expressões são válidas para todos os casos. Quando se obtém valores de ângulos 
negativos, basta somar 360º. 
 
 
PT
Fundamentos de Geomática 
 
5.7.4 Orientação de direções observadas de uma estação conhecida 
 
Sejam conhecidas as coordenadas de uma estação 
 PP YXP ,
 e de três pontos 
 QQ YXQ ,
, 
 RR YXR ,
 e 
 SS YXS ,
. Foram medidos os ângulos horários 
Q
, 
R
, 
Sq
, 
1P
 e 
2P
. A partir 
destas informações deseja-se estimar o ângulo 

 entre a direção norte e a direção 
0000,
 e os 
azimutes das direções 
1PP
 e 
2PP
. Vide Figura 5.30. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.25: Determinação de direções a 
partir de observações de uma estação 
conhecida. 
 
A partir da figura acima, podem-se estimar as grandezas desejadas elaborando-se a seguinte 
tabela de relações: 
 
Pontos 
visados 
Azimutes 
calculados 
Direções 
observadas 
Incógnitas de 
orientação 
Direções 
orientadas 
Erros residuais 
Q 
PQ
 
Q
 
QPQQ  
 
  QPQ
 
PQPQQV  
 
R 
PR
 
R
 
RPRR  
 
  RPR
 
PRPRRV  
 
S 
PS
 
S
 
SPSS  
 
  SPS
 
PSPSSV  
 

 

 

 

 

 

 
P1 
1P
 
  11 PPP
 
P2 
2P
 
  22 PPP
 
 
n
i



 
 
 
A incógnita de orientação 

 na estação P é resultante da média dos valores 
i
 obtidos pelas 
diferentes orientações. Essa média deve ser calculada somente se os valores de 
i
 forem 
coerentes e estiverem compreendidos dentro de uma faixa de tolerância admissível, a qual é 
função da precisão do trabalho desenvolvido. 
Os resultados residuais são as diferenças entre as direções orientadas e aos azimutes calculados. 
Eles atestam a qualidade da orientação: se os erros residuais forem pequenos (dentro da faixa de 
Cálculo analítico de coordenadas e de áreas 
 
tolerância fixada previamente), significa que as direções observadas adequam-se bem às 
direções conhecidas. 
Para este cálculo, as orientações e o número de direções observadas podem ser quaisquer. 
 
 
5.7.5 Estação excêntrica 
 
Em alguns casos de medições, pode ocorrer que um obstáculo impeça de se efetuar a medição 
sobro um ponto conhecido. Esse tipo de problema ocorre, por exemplo, quando não é possível 
estacionar o instrumento topográfico sobre o ponto de coordenadas conhecidas ou a instalação 
do instrumento é dificultada por alguns obstáculos exterior ao ponto. 
Uma estação excêntrica é, a priori, um ponto desconhecido situado próximo ao ponto de 
coordenadas conhecidas. As medições são realizadas, neste caso, estacionando-se o instrumento 
topográfico sobre a excêntrica. Procede-se então a: 
 Determinação das coordenadas da excêntrica para que ela seja então um ponto de 
coordenadas conhecidas; 
 Redução das medições ao centro, ou seja, calcular os valores que obter-se-ia se o 
instrumento estivesse estacionado sobre o centro. 
 
Considere a Figura 5.31. Sejam dados as coordenadas do ponto do centro 
 PP YXP ,
, do ponto 
de orientação 
 QQ YXQ ,
 e que foram realizadas as medições: em relação ao ponto do centro 
P
, em relação ao ponto de orientação 
Q
 e a excentricidade 
e
. Deseja-se obter as coordenadas 
do ponto 
 EE YXE ,
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.31: Determinação das 
coordenadas de uma estação 
excêntrica. 
 
Se for necessário, deve-se corrigir o comprimento da excentricidade medida para obter o seu 
valor no plano de projeção. 
Os passos a serem seguidos para solução deste problema são: 
Fundamentos de Geomática1. Calcular o azimute e a distância do alinhamento 
PQ
 conforme apresentado na 
secção 5.6.1; 
2. Calcular o ângulo 

 através da expressão: 
 
 QP
PQ
sen
DH
e
sen   *
 (5.6) 
 
  0180

QPEQPE
PQEQ


 (5.7) 
 
3. As coordenadas da excêntrica podem ser estimadas pelas seguintes expressões: 
 
 
 PEPe
PEPE
eYY
seneXX


cos*
*


 (5.8) 
 
O controle do azimute 
PE
 pode ser obtido através da medição de uma outra direção de 
orientação. As equações acima indicadas são válidas para todos os casos. O ângulo 

 pode ser 
positivo ou negativo. O sinal é dado pelo seno de 
 QP  
. 
 
5.7.6 Levantamento por visadas exteriores ( intersecção ) 
 
Um ponto determinado por intersecção é um ponto visado a partir de pontos conhecidos, através 
dos quais medem-se direções para se obterem aos azimutes das visadas realizadas. As estações 
são exteriores ao ponto a ser determinado, razão pela qual se diz que esta operação determina a 
coordenada do ponto desejado através de visadas exteriores. Cada combinação de duas visadas 
exteriores dá uma intersecção. 
Seja a Figura 5.32. Considere que sejam conhecidas as coordenadas dos pontos 
 PP YXP ,
 e 
 QQ YXQ ,
 e os azimutes da direção 
PS
 e 
QS
. 
Cálculo analítico de coordenadas e de áreas 
 
Deseja-se estimar as coordenadas 
do ponto 
 SS YXS ,
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.32: Determinação das 
coordenadas de um ponto através de 
visadas exteriores. 
 
As coordenadas do ponto 
 SS YXS ,
 podem ser estimadas pelas seguintes expressões: 
 Se 
PSQS  tantan 
 
 
   
  QSQSQS
QSPS
QSPQPQ
PS
YYXX
YYXX
YY



tan*
tantan
tan




 (5.9) 
 
 Se 
QSPS  tantan 
 
 
   
  PSPSPS
PSQS
PSQPQP
QS
YYXX
YYXX
YY



tan*
tantan
tan




 (5.10) 
 
Estas duas expressões oferecem os mesmo resultados. Recomenda-se o uso destas duas 
expressões para verificação do resultado. Nos casos em que os ângulos 
PS
 e 
QS
 forem muito 
próximos de 
090
 ou 
0270
, a tangente torna-se muito grande, o leva a uma imprecisão do 
cálculo. Deve-se neste caso, se priorizar outro tipo de solução. 
 
 
5.7.7 Levantamento por visadas interiores 
 
Este é um caso típico onde se deseja determinar a coordenada de um ponto a partir de visadas de 
pontos de coordenadas conhecidas. Necessita-se de pelo menos de três pontos de coordenadas 
conhecidas, formando entre eles dois ângulos independentes. O ponto de interesse situa-se na 
Fundamentos de Geomática 
 
intersecção de dois arcos definidos pelos três pontos. Vide Figura 5.33. É necessário, neste caso, 
que estes dois arcos (ditos arcos capazes) sejam distintos e que se interceptem sob um ângulo 
favorável. 
Não existe solução se o ponto a ser 
estimado e os três pontos conhecidos 
estiverem situados sobre um mesmo 
círculo ou nas vizinhanças dele. Diz-se 
neste caso que se tem um círculo 
perigoso. 
 
 
 
 
 
Figura 5.33: Determinação das coordenadas 
de um ponto através de visadas interiores. 
 
As medições são realizadas a partir do ponto a ser estimado, razão pela qual este levantamento é 
denominado de visadas interiores. Cada combinação de três visadas interiores define uma etapa, 
a qual permite estimar a coordenadas do ponto desejado. 
A partir da Figura 5.33, considere que sejam conhecidas as coordenadas dos pontos 
 PP YXP ,
, 
 QQ YXQ ,
, 
 RR YXR ,
 e as direções 
P
, 
Q
 e 
R
. Sabendo-se que os ângulos: 
 
PRR
PQQ
P





 0
 
 
As coordenadas do ponto 
 SS YXS ,
 podem ser estimadas através das seguintes expressões: 
     
     RQRRPQQP
RQRRPQQP
P
XXgYYgYY
YYgXXgXX


 

cotcot
cotcot
tan
 (5.11) 
 
         
  PPSPS
P
PQQPPQQP
PS
YYXX
gYYgXX
YY



tan
tan1
tan*cot1*tancot*
2




 
(5.12) 
 
Substituindo-se o índice Q por R, obtém-se uma segunda expressão para a estimativa das 
coordenadas do ponto S. 
Cálculo analítico de coordenadas e de áreas 
 
         
  PPSPS
P
PRRPPRRP
PS
YYXX
gYYgXX
YY



tan
tan1
tan*cot1*tancot*
2




 
(5.13) 
 
 
5.7.8 Levantamento por bilateração 
 
Um ponto estimado por bilateração é obtido a partir da medição das distâncias que o separa de 
outros dois pontos de coordenadas conhecidas. 
Sejam conhecidas: as coordenadas dos pontos 
 PP YXP ,
, 
 QQ YXQ ,
 e as distâncias 
PSDH
, 
QSDH
 e 
PQDH
. As distâncias medidas devem ser reduzidas ao plano de projeção. Existem 
duas soluções para este caso. Vide Figura 5.34. 
 
1. caso a esquerda  o ponto S encontra-se a esquerda da orientação de PQ 
2. caso a direita  o ponto S encontra-se a direita da orientação de PQ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.34: Determinação das coorde-
nadas de um ponto através de visadas de 
bilateração. 
 
A solução para este caso passa pela estimativa do azimute e da direção PQ, ou seja, 
PQ
 e 
PQDH
. Os ângulos 

 e 

 podem ser estimados por: 
 
 

cosarctan
**2
cos
cosarctan
**2
cos
222
222






QSPQ
PSQSPQ
PSPQ
QSPSPQ
DHDH
DHDHDH
DHDH
DHDHDH
 (5.14) 
Fundamentos de Geomática 
 
 
Os azimutes das direções OS e QS podem ser estimados por: 
 
1. Caso a esquerda 
 
0180



PQQS
PQPS
 (5.15) 
 
2. Caso a direita 
 
0180



PQQS
PQPS
 (5.16) 
 
As coordenadas do ponto 
 SS YXS ,
 podem então ser estimadas por: 
 
PSPSPS
PSPSPS
DHYY
senDHXX


cos*
*


 (5.17) 
 
QSQSQS
QSQSQS
DHYY
senDHXX


cos*
*


 (5.18) 
 
A aplicação destes dois pares de fórmulas deve dar o mesmo resultado, portanto, recomenda-se 
a execução destes cálculos para fins de verificação. 
 
Bibliografia 
 
 
75 
BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFIIAA 
 
 
 
Chrisman, Nicholas. (1997). “Exploring Geographic Information Systems”. John Wiley & Sons, Inc. 
Comastri, José Anibal (1986) “Topografia. Planimetria”. Universidade Federal de Viçosa. 2ª edição. Imprensa 
Universitária, UFV. 
Comastri, José Anibal; Tuler, José Claudio (1987). “Topografia. Altimetria”. Universidade Federal de Viçosa. 2º 
edição. Imprensa Universitária, UFV. 
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Publishers, Inc, USA. 
Godoy, Reginaldo (1988). “Topografia Básica”. Fundação de Estudos Agrários Luiz de Queiroz (FEALQ). 
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des Ponts et Chaussées. Association Française de Topographie. 
Loch, Carlos & Cordini, J. (1995). “Topografia Conteporânea. Planimetria”. Ed. da Univ. Federal de Santa Catarina. 
Novo, Evelyn M.L. de Moraes (1989). “Sensoriamento Remoto. Principios e Aplicações”. Editora Edgard Blucher. 
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Peixoto,Regina Stella Savelli de Lorena (1997). “Utilização de Sistemas de Informações Geográficas para o 
gerenciamento de cidade de pequeno porte”. Dissertação de Mestrado. Área de Pós-graduação do 
Departamento de Transportes da Escola de Engenharia de São Carlos. 
Rocha, César Peixoto da (2000). “Obtenção e análise de azimutes por astronomia clássica e pelo sistema de 
posicionamento global”. Dissertação de Mestrado. Área de Pós-graduação do Departamento de Transportes 
da Escola de Engenharia de São Carlos. 
Rodrigues, Marcos (1990). “Geoprocessamento”. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. 
Segantine, Paulo Cesar L. (1988). “Aerofotointerpretação e Fotogrametria”. Publicação nº 106/91 
Segantine, Paulo Cesar L. (1995). “Estabelecimento de uma rede geodésica de precisão no Estado de São Paulo, com 
a tecnologia NAVSTAR/GPS”. Tese de Doutoramento. 
Segantine, Paulo César L. (2001). “Estudo do sinergismo entre os sistemas de informação geográfica e o de 
posicionamento global”. Tese de Livre-Docência. EESC/USP. 
Segantine, Paulo Cesar L. (2005). “GPS: Sistema de Posicionamento Global”, EESC/USP. 
Silva, Irineu da (1999). “Topografia Industrial. Um campo com muitas oportunidades”. Revista INFOGEO. Pags. 
24-26. Mar-Abr. 
Silva, Irineu da. (1998). “A fotogrametria é difinitivamente digital”. Revista INFOGEO. Pags. 48-51. Nov-Dez. 
Maling, D.H. (1980). “Coordinate systems and map projections”. London: Philip and Son. 
Domingues, Felipe A. A. (1986). “Topografia”. 1ª Parte. PTR/NDTT. Escola Politécnica da USP. 
Costa, Sonia M.A.; Lima, Marco A de Almeida (2005). “Parâmetros de transformação entre o SAD69 e 
SIRGAS2000”. XXII Congresso Brasileiro de Cartografia. Macaé, Rio de Janeiro. 
Fortes, Luiz P. S; Costa, Sonia M.A.; Lima, Marco A. de Almeida; Fazan, Jardel A.; Santos, Marcelo C. (2005). 
“Modernização da RBMC”. XXII Congresso Brasileiro de Cartografia. Macaé, Rio de Janeiro. 
 
 
 
 
Fundamentos de Geomática 
 
 
ANEXO “A” 
 
 
77 
ANEXO “A” 
 
Tabela A: Levantamento topográfico planimétrico. 
 
Classe 
 
Metodologia 
 
Escala do 
desenho 
 
Eqüidistância das 
curvas de nível 
Densidade mínima de pontos 
a serem medidos por hectare 
Terreno com 
declividade 
acima de 20% 
Terreno com 
declividade entre 
10% e 20% 
Terreno com 
declividade de até 
10% 
 
I PA 
Poligonais planimétricas, perimétricas e 
internas da classe V P ou de ordem 
superior. Estações das poligonais nive-
ladas conforme nivelamento da classe 
IV N ou de ordem superior. Pontos irra-
diados medidos taqueometricamente 
com leitura dos três fios sobre miras 
devidamente comparadas, visada má-
xima de 150 m, teodolito classe 1. 
 
1/5000 
 
5 m 
 
4 
 
3 
 
2 
 
II PA 
Poligonais planimétricas da classe IV P 
ou de ordem superior. Estações das 
poligonais niveladas da classe II N ou de 
ordem superior. Pontos irradiados 
medidos taqueometricamente com 
leitura dos três fios sobre miras 
devidamente comparadas, visada 
máxima de 150 m, teodolito classe 1. 
 
1/2000 
 
2 m 
 
10 
 
7 
 
5 
Fundamentos de Geomática 
 
... CONTINUA A TABELA “A” ... 
 
ANEXO “A” 
 
 
79 
... CONTNUAÇÃO DA TABELA “A” ... 
 
 
 
III PA 
Poligonais planimétricas da classe III P 
ou de ordem superior. Estações das po-
ligonais niveladas da classe II N ou de 
ordem superior. Pontos irradiados medi-
dos taqueometricamente com leitura dos 
três fios sobre miras devidamente com-
paradas, visada máxima de 100 m, teo-
dolito classe 1. 
 
 
 
1/1000 
 
 
 
1 m 
 
 
 
32 
 
 
 
25 
 
 
 
18 
 
 
 
IV PA 
Poligonais planimétricas da classe II P 
ou de ordem superior. Estações das po-
ligonais niveladas da classe II N ou de 
ordem superior. Pontos irradiados medi-
dos taqueometricamente com leitura dos 
três fios sobre miras devidamente com-
paradas, visada máxima de 100 m, teo-
dolito classe 2 
 
 
 
1/500 
 
 
 
1 m 
 
 
 
45 
 
 
 
30 
 
 
 
20 
 
V PA 
Seções 
transv. 
Mesmo método de medição da classe V 
P, exceto as linhas de base que serão de 
40 m em 40 m e o levantamento das 
seções transversais que será o de pontos 
espaçados, no máximo, 40 m um do 
outro. 
 
1/2000 
ou 
1/1000 
 
2 m 
e/ou 16 pontos conta-
dos 
 
16 
 
12 
 
 
8 
... CONTINUA TABELA “A” ... 
 
Fundamentos de Geomática 
 
... CONTINUAÇÃO DA TABELA “A” ... 
 
 
 
 
 
VI PA 
Seções 
transv. 
Poligonais planimétricas e locação das 
linhas de base de 20 m em 20 m, com 
estacas de madeira, por poligonais de 
classe IV P ou de ordem superior. Ni-
velamento das linhas e das poligonais 
com nivelamento classe II N ou de 
ordem superior. Levantamento das 
seções transversais com medidas 
taqueométricas, definindo pontos de 
mudança de declividade e espaçados, no 
máximo a cada 30 m com leituras dos 
três fios, miras devidamente 
comparadas, visada máxima de 150 m, 
teodolito classe 1. Em faixas com áreas 
superiores a 100 há, recomendam-se 
poligonais classe III P 
 
 
 
 
 
1/1000 
ou 
1/500 
 
 
 
 
 
1 m e/ou pontos 
cotados 
 
 
 
 
 
36 
 
 
 
 
 
25 
 
 
 
 
 
18 
... CONTINUA TABELA “A” ... 
 
ANEXO “A” 
 
 
81 
... CONTINUAÇÃO DA TABELA “A” ... 
 
 
 
 
VII PA 
malha 
Poligonais planimétricas e locação das 
linhas de base estaqueadas de 10 m em 
10 m, por poligonais de classe IV P ou 
de ordem superior. Os pontos 
transversais nas seções transversais, 
estaqueados também de 10 m em 10 m, 
com poligonais de classe VI P ou de 
ordem superior. Em áreas superiores a 
100 há, recomendam-se poligonais da 
classe III P. Nivelamento com classe II 
N. 
 
 
 
 
1/500 
 
 
 
 
1 m e/ou pontos 
cotados 
 
 
 
 
- 
 
 
 
 
- 
 
 
 
 
- 
 
 
VIII PA 
malha 
Mesmo método de medição da classe 
VII PA, exceto o estaqueamento das 
linhas-base que será de 20 m em 20 m e 
o levantamento das seções transversais 
que é o de pontos estaqueados de 20 m 
em 20 m. 
 
 
1/1000 
ou 
1/500 
 
 
1 m e/ou pontos 
contados 
 
 
- 
 
 
- 
 
 
- 
FONTE: NBR 13.133/94 (TABELA 5, páginas 13 e 14) 
 
 
 
 
Fundamentos de Geomática 
 
ANEXO “B” 
 
Tabela B: Levantamento topográfico planialtimétrico cadastral. 
 
Classe 
 
Metodologia 
 
Escala do 
desenho 
 
Eqüidistância das 
curvas de nível 
Densidade mínima de pontos 
a serem medidos por hectare 
Terreno com 
declividade 
acima de 20% 
Terreno com 
declividade entre 
10% e 20% 
Terreno com 
declividade de até 
10% 
 
 
 
I PAC 
Poligonais planimétricas III P ou de 
ordem superior. Nas áreas superiores a 
100 há, recomendam-se poligonais de 
classe II P. Pontos de divisa ou notáveis, 
irradiados com MED, ou medidos à 
trena de aço. Os demais pontos cadas-
trais podem ser medidos estadimetrica-
mente, leitura dos três fios, ou com auto-
redutor, visada máxima de 100 m, teo-
dolito classe 2. Estações das poligonais 
niveladas conforme classe II2 N ou de 
ordem superior. Pontos irradiados para 
nivelamento, medidos taqueometrica-
mente, leitura dos três fios sobre miras 
devidamente comparadas, visadamá-
xima de 120 m, teodolito classe 1. 
 
 
 
1/1000 
 
 
 
1 m 
 
 
 
50 
 
 
 
40 
 
 
 
30 
... CONTINUA TABELA “B” ... 
 
 
2 Classe II N: Nivelamento geométrico para determinação de altitudes ou cotas em pontos de segurança (PS) e vértices para levantamentos topográficos destinados a 
projetos básicos, executivos, como executado, e obras de engenharia, NBR 13.133/94. 
ANEXO “B” 
 
 
83 
... CONTINUAÇÃO DA TABELA “B”... 
 
 
 
II PAC 
Poligonais planimétricas II P ou de or-
dem superior. Pontos de divisa ou notá-
veis, irradiados com MED, ou medidos à 
trena de aço. Os demais pontos cadas-
trais podem ser medidos estadimetrica-
mente, leitura dos três fios, ou com auto-
redutor, visada máxima de 80 m, teodo-
lito classe 2. Estações das poligonais 
niveladas conforme classe II N ou de 
ordem superior. Pontos irradiados para 
nivelamento, medidos taqueometrica-
mente, leitura dos três fios sobre miras 
devidamente comparadas, visada má-
xima de 100 m, teodolito classe 2. 
 
 
 
1/500 
 
 
 
1 m 
 
 
 
60 
 
 
 
50 
 
 
 
40 
FONTE: NBR 13.133/94 (TABELA 6, página 15) 
Fundamentos de Geomática 
 
ANEXO “C” 
 
Tabela C: Rede de referência cadastral municipal - Poligonais. 
Classe Metodologia Desenvolvimento Nivelamento 
geométrico 
dos 
vértices 
Materialização 
Angular Linear Extensão 
máxima 
(L) 
Lado 
mínimo 
 mind
 
Lado 
médio 
 médd
 
Número 
máximo de 
vértices (N) 
I PRC Método das direções 
com centragem 
forçada, três séries 
de leituras 
conjugadas direta e 
inversa, horizontal e 
vertical. Teodolito 
classe 3. 
Leituras recíprocas 
(vante e ré) com 
distanciômetro 
eletrônico classe 2. 
3 km 
(P) 
 
 
 
1 km 
(S) 
100 m 
(P) 
 
 
 
50 m 
(S) 
200
 m 
(P) 
 
 
 
100
 m 
(S) 
16 
(P) 
 
 
 
11 
(S) 
 
(I N para 
Principal) 
 
Kmm16
 
(I N para 
Secundária) 
 
 
Marcos 
ou 
pinos 
II PRC Método das direções 
duas séries de 
leituras conjugadas 
direta e inversa, 
horizontal e vertical. 
Teodolito classe 2. 
Leituras recíprocas 
(vante e ré) com 
distanciômetro 
eletrônico classe 1 
ou medidas com 
trena aferida e 
aplicação de 
correção de 
dilatação, tensão, 
catenária e redução 
ao horizonte. 
 
 
 
 
 
650 m 
 
 
 
 
 
40 m 
 
 
 
 
 
80
 m 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
Kmm20
 
(II N) 
 
 
 
 
Marcos 
ou 
pinos 
FONTE: NBR 13.133/94 (TABELA 9, página 18). 
Sendo: 
K= extensão nivelada em km, medida num único sentido. 
(P)= principal 
(S)= secundária 
 
Kmm12
ANEXO “C” 
 
 
85 
ANEXO “D” 
 
Parâmetros para a transformação de coordenadas geodésicas em coordenadas plano-retangulares no Sistema 
Topográfico Local. 
 
0
0




P
P
 
 
   
   2121
212
1
*10*9173,31*
*10*9173,31*






 
 
1*
1
0


arcM
B
 
 
1***2
tan
00
0


arcNM
C

 
 
 022
00
2
sin*1*2
1*cos*sin**3


e
arce
D



 
 
 
2
0
0
*6
tan*31
N
E


 
 
 
 
0
0 *
R
HR
c t
 
 
000 * NMR 
 
 
 
   21022
2
0
sin*1
1*
e
ea
M



 
 
   21022
0
sin*1 e
a
N


 
 
   2122 sin*1 P
P
e
a
N


 
 
   2
1
2
2
22
2* ff
a
ba
e 






 

 
 
 
 
Fundamentos de Geomática 
 
ANEXO “E” 
 
Fórmula para cálculo da convergência meridiana a partir das coordenadas geodésicas no Sistema Topográfico 
Local. FONTE:NBR 14 166, ANEXO B, página 16. 
  










 

3
2
sec*sin*  FmP
 
 
Sendo: 
 
12
1sin*cos*sin
3600*
2
0
0




mm
P
P
F



 
 
Sendo: 
P
 é a convergência meridiana no ponto 
considerado; 
0
 é a latitude da origem do sistema; 
P
 é a latitude do ponto geodésico de apoio imediato 
considerado; 
0
 é a longitude da origem do sistema; 
m
 é a latitude média entre o ponto geodésico de 
apoio imediato considerado 
 P
 e a origem do 
sistema 
 O
. 
 
 
 
 
NOTAS: 
 
a) A simbologia destes elementos está em graus 
sexagesimais; 
b) Na aplicação da expressão, considerar 

 negativo no 
hemisfério sul e 

 crescendo positivamente para oeste; 
c) O coeficiente F é negativo para o hemisfério sul; 
d) A convergência meridiana é também a diferença entre 
o azimute direta da direção OP (O – origem do sistema 
e P – ponto geodésico considerado) e o azimute 
recíproco nesta diferença PO. 
e) No hemisfério sul, a convergência meridiana é positiva 
para os pontos situado a oeste do meridiano de origem 
do sistema e negativa para os pontos a este leste deste 
meridiano (eixo dos Y ou dos N). Somente quando a 
origem situar-se no equador a convergência meridiana 
será nula no eixo dos X (E). No hemisfério norte a 
situação se inverte quanto aos pontos situados a leste e 
a oeste do meridiano de origem do sistema. 
 
ANEXO “F” 
 
 
87 
ANEXO “F” 
 
Fórmula para cálculo da convergência meridiana a partir das coordenadas plano-retangulares no Sistema 
Topográfico Local (aproximada). FONTE:NBR 14 166, ANEXO B, página 16. 
  60
2 10*9946,8*tan*10*238,3*  













c
y
c
x
P 
 
 
Sendo: 
 tHc
Yy
Xx
*10*57,11
250000
150000
7


 
 
Sendo: 
P
 é a convergência meridiana no ponto 
considerado, no caso a ser obtida, em segundos 
sexagesimais; 
0
 é a latitude da origem do sistema, em graus 
sexagesimais; 
X
 é a abscissa do ponto considerado, em metros; 
Y
 é a ordenada do ponto considerado, em metros; 
x
 é a abscissa do ponto considerado, isenta do seu 
termo constante; 
y
 é a ordenada do ponto considerado, isenta do seu 
termo constante; 
c
 é o fator de redução do plano topográfico ao nível 
médio do terreno para obtenção do plano 
topográfico local, dado em metros; 
tH
 é a altitude do plano topográfico local, em 
 
NOTA: 
 
O sinal da convergência meridiana decorre dos sinais das 
coordenadas x e y do ponto considerado e do sinal da 
latitude da origem do Sistema Topográfico Local, que 
cresce positivamente para o norte do equador e 
negativamente para o sul do mesmo; no hemisfério sul, os 
pontos situados a leste do meridiano da origem do sistema 
têm convergência meridiana negativa e, quando situados 
a oeste do mesmo, têm convergência meridiana positiva; 
no hemisfério norte, com esta mesma situação dos pontos 
em relação ao meridiano da origem, os sinais da 
convergência meridiana se invertem. 
 
Fundamentos de Geomática 
 
metros. 
 
ANEXO “G” 
 
 
89 
ANEXO “G” 
 
Espaçamento mínimo entre estações para referência azimutal. FONTE:NBR 14 166, TABELA 1, página 12. 
Precisão azimutal requerida em segundos de arco 
(com 95% de nível de confiança)1 2 4 6 10 
Espaçamento mínimo 
entre os pares de estações, 
 m
 
Precisão em milímetros, 
da posição GPS (com 
95% de nível de 
confiança) 
- - 2 3 5 100 
- 2 4 6 10 200 
- 3 6 9 14 300 
2 4 8 12 19 400 
3 5 10 14 24 500 
3 6 12 18 29 600 
Exemplo: considerando-se a expectativa de precisão relativa de 4 mm, com 95% de nível de confiança, para a posição de dois 
marcos e desejando-se atingir uma precisão de 2 segundos de arco de azimute, a 95% de nível de confiança, o espaçamento 
mínimo entre eles deve ser de 400 metros.