FUNCIONES I

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Funciones I 
Dominio y rango 
La
s m
ate
má
tic
as 
so
n 
fác
ile
s 
√ ⃗ 
 ̅ 
 
 
Álgebra 16 
 
Christiam Huertas 
Nivel UNI 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
2 Christiam Huertas 
 
 
1. Par ordenado 02 
2. Producto cartesiano 03 
3. Plano cartesiano 05 
4. Relación binaria 06 
5. Función 11 
6. Dominio y rango de una función 12 
7. Regla de correspondencia 13 
8. Técnicas para hallar el dominio y rango 15 
9. Problemas resueltos 28 
10. Problemas propuestos 43 
11. Claves 47 
 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 3 
 
Introducción 
El concepto de función matemática o 
simplemente función, es sin duda, el más 
importante y utilizado en Matemáticas y 
en las demás ramas de la Ciencia. No fue 
fácil llegar a el y muchas mentes muy 
brillantes han dedicado enormes esfuerzos 
durante siglos para que tuviera una 
definición consistente y precisa. 
 
Desde los tiempos de Galileo, que fue uno 
de los primeros en usarlo (aunque no en la 
forma que nosotros lo conocemos 
actualmente), pasando por el gran Newton 
y Leibniz, que fue el primero que en 1673 
uso la palabra "función" para referirse a la 
relación de dependencia de dos variables 
o cantidades, Euler, que le dio su 
formulación moderna ( ), Cauchy, 
Dirichlet o Gauss, las mejores mentes de 
la Historia de la Humanidad le dedicaron 
su atención y sus desvelos. 
 
 
 
 
Conceptos previos 
 
Par ordenado 
Es un ente matemático que consta de dos 
elementos donde importa el orden en su 
representación. 
 
Notación: 
( ) 
 
donde: 
 y son números reales. 
 es la primera componente. 
 es la segunda componente. 
 
Ejemplo 1. 
Ejemplos de pares ordenados: 
 ( ) ( ) (√ ) 
 ( 
 
 
) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ), ( ), ( ), … 
 
OBS. 
Los pares ordenados 
( ) y ( ) 
son diferentes (pues, importa el orden). 
 
Igualdad de pares ordenados 
Sean , , y números reales. 
 
( ) ( ) 
 
 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
4 Christiam Huertas 
 
Ejemplo 2. 
 Si ( ) ( ), entonces 
 y . 
 
 Si ( ) ( ), entonces 
 y 
es decir, 
 y 
 
Ejemplo 3. 
Si los pares ordenados 
( ) y ( ) 
son iguales, calcule el valor de . 
 
Resolución. 
Por dato: 
( ) ( ) 
Entonces, se debe cumplir: 
 y 
Se forma el sistema: 
{
 ( )
 ( )
 
( ) por : 
 ( ) 
Sumamos ( ) y ( ): 
 
 
Reemplazando en ( ): 
 
Por lo tanto, . 
 
Ejemplo 4. 
Calcule el valor de si se sabe 
que: 
( ) ( ) 
Considere { } . 
 
Resolución. 
Por dato: 
( ) ( ) 
Entonces se debe cumplir: 
 y 
Agrupamos convenientemente: 
 ⏟ ⏟ y 
 
( ) ( ) y 
 
Recuerde que: 
Si y son números reales tales que 
 , entonces y . 
 
En el ejemplo: 
 y y 
 y y 
Por lo tanto, 
 
 
 
Producto cartesiano 
Dados dos conjuntos no vacíos y ; el 
producto cartesiano de con se denota 
y define de la siguiente manera: 
 
 {( ) } 
 
 
Es decir, es un nuevo conjunto 
cuyos elementos son pares ordenados 
donde la primera componente es un 
elemento de y, la segunda componente 
es un elemento de . 
 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 5 
 
Ejemplo 5. 
Dados los conjuntos: 
 { } 
 { } 
halle y . 
 
Resolución. 
Hallemos : 
 {( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( )} 
 
Hallemos : 
 {( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( )} 
 
Notamos que los elementos de son 
diferentes a los de . Es decir, 
 . 
 
 Propiedades 
1. 
2. Si 
3. ( ) ( ) ( ) 
 
Donde ( ) nos indica el número de 
elementos diferentes del conjunto . 
 
Notación. 
 
Es decir, es el producto cartesiano de 
con . 
 
Así, por ejemplo: 
 
 
Ejemplo 6. 
Dado el conjunto { }, halle ; 
es decir, . 
 
Resolución. 
Se tiene el conjunto { }, 
entonces: 
 {( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )} 
 
Ejemplo 7. 
Dado el producto cartesiano 
 {( ) ( ) 
( ) ( )} 
donde es un número entero diferente de 
 . Halle la suma de los elementos de . 
 
Resolución. 
Del producto cartesiano , hallemos 
los conjuntos y : 
 
 esta formado por las primeras 
componentes: 
 { } 
 
 esta formado por las segundas 
componentes: 
 { } 
 
Como tiene elementos y tiene 
 elementos, entonces debe tener 
necesariamente elementos. Es decir, hay 
tres posibilidades: 
 
 
 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
6 Christiam Huertas 
 
Primera posibilidad: 
 
 
( ) 
 
 
Lo reemplazamos en : 
 { } 
Por lo tanto, la suma de los elementos de 
 es . 
 
Observación: 
 Si , no se obtiene un 
valor entero para . 
 Si entonces . Pero 
por dato, . 
 
 
Plano cartesiano 
El conjunto denotado por 
 {( ) } 
se denomina plano cartesiano , cuya 
representación geométrica es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
donde 
 es el eje de las abscisas. 
 es el eje de las ordenadas. 
 Los ejes e se interceptan 
perpendicularmente en el punto 
 ( ), llamado origen de 
coordenadas. 
 
Ejemplo 8. 
Represente geométricamente el par 
ordenado ( ). 
 
Resolución. 
La representación geométrica de un par 
ordenado es un punto en el plano 
cartesiano. 
 
Para el par ordenado ( ) hacemos lo 
siguiente: 
 (primera componente) lo ubicamos 
sobre el eje . 
 (segunda componente) lo ubicamos 
sobre el eje . 
 Luego prolongamos, y el punto de 
intersección es la representación 
geométrica. 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 9. 
Dados los conjuntos { } y 
{ }. Represente geométricamente . 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 7 
 
Resolución. 
Se tienen los conjuntos: 
 { } y { } 
 
Primero hallemos : 
 {( ) ( ) ( ) ( )} 
 
Para representar geométricamente , 
ubicamos cada par ordenado en el plano 
cartesiano: 
 
 
 
Ejemplo 10. 
Dado los conjuntos: 
 { } 
 { } 
Halle gráficamente el producto cartesiano 
 . 
 
Resolución. 
Tenga en cuenta que ambos conjuntos son 
intervalos: 
 { } [ ] 
 { } [ ] 
Por definición de producto cartesiano se 
tiene que: 
 {( ) [ ] [ ]} 
Este conjunto tiene infinitos pares 
ordenados que al ser representados en el 
planos cartesiano se for ma l a siguiente 
región: 
 
 
 
 
Relación binaria 
Dados dos conjuntos no vacíos y . 
Una relación binaria de en es un 
subconjunto de . Es decir, es una 
relación de en si: 
 
 
 
 
Ejemplo 11. 
Tomando el producto cartesiano visto en el 
ejemplo : 
 
 {( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( )} 
 
se obtienen algunas relaciones de en : 
 
 {( )} 
 {( ) ( )} 
 {( ) ( ) ( )} 
 {( ) ( ) ( ) ( )} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
8 Christiam Huertas 
 
OBS. 
Si es un conjunto de elementos y un 
conjunto de elementos, el conjuntotiene elementos. Existen, por 
lo tanto, subconjuntos de , o 
sea, posibles relaciones entre los 
elementos de ambos conjuntos. 
 
Notación. 
La relación de en se denota como: 
 
 
 
→ o 
 
→ 
 
Se lee: relación de en . 
 
Es usual designar al conjunto como 
conjunto de partida y a , como conjunto 
de llegada. 
 
Ejemplo 12. 
Dados los conjuntos 
 { } y { } 
Halle la relación definida por 
 {( ) } 
 
Resolución. 
Primero hallemos el producto cartesiano 
de y : 
 
 {( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( )} 
 
Por definición de la relación , un 
elemento ( ) de pertenece a si 
la primera componente es menor que la 
segunda componente. 
 
De los pares ordenados que pertenecen 
a , busquemos los que cumplen con 
tal condición. Luego, 
 
 {( ) ( )} 
 
Ejemplo 13. 
Dados los conjuntos 
 { } y { } 
Halle la relación definida por 
 {( ) } 
 
Resolución. 
Primero hallemos el producto cartesiano 
de y : 
 
 {( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )} 
 
Por definición de la relación , un 
elemento ( ) de pertenece a 
si la suma de sus componentes da como 
resultado un número par. 
 
De los pares ordenados que pertenecen 
a , busquemos los que cumplen con 
tal condición. Luego, 
 
 {( ) ( ) ( ) ( )} 
 
 
Dominio y rango de una 
relación 
Sea una relación de en tal que 
 {( ) } 
Luego, 
 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 9 
 
Dominio de . Es el conjunto formado 
por todas las primeras componentes de los 
pares ordenados ( ) de , se denota por 
 ( ). Es decir: 
 
 ( ) { ( ) } 
 
Rango de . Es el conjunto formado por 
todas las segundas componentes de los 
pares ordenados ( ) de , se denota por 
 ( ). Es decir: 
 
 ( ) { ( ) } 
 
Ejemplo 14. 
Tomando la relación del ejemplo 13: 
 {( ) ( ) ( ) ( )} 
se tiene, 
 ( ) { } 
 ( ) { } 
 
Ejemplo 15. 
Dados los conjuntos 
 { } y { } 
calcule la suma de los elementos del rango 
de la relación definida por: 
( ) ( ) 
 ( ) 
 
Resolución. 
Primero hallemos el producto cartesiano 
de y : 
 
 {( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( )} 
 
Los pares ordenados ( ) de que 
cumplen las condiciones 
( ) ( ) 
son los siguientes: 
( ) ( ) ( ) 
Luego, 
 {( ) ( ) ( )} 
Además: 
 ( ) { } 
 ( ) { } 
Por lo tanto, la sum a de los elementos del 
rango es: 
 
 
 
Propiedades de las 
relaciones binarias 
Las relaciones binarias pueden cumplir las 
siguientes propiedades (no tienen por qué 
cumplir todas, pueden cumplir solo 
algunas e incluso ninguna). Dado el 
conjunto , y una relación sobre el 
conjunto . 
 
1 Reflexiva 
La relación es reflexiva si: 
 ( ) 
 
 
Es decir, todo elemento del conjunto está relacionado 
consigo mismo. 
 
 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
10 Christiam Huertas 
 
Ejemplo 16. 
Dado el conjunto { } y la 
relación {( ) ( ) ( )}. 
 es reflexiva, pues: 
 ( ) 
 
Ejemplo 17. 
Dado el conjunto { }. La relación 
 {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( )} 
es reflexiva en . 
 
 
2 Simétrica 
La relación es simétrica si: 
( ) ( ) 
 
 
Es decir, dados dos elementos cualesquiera del 
conjunto se cumple que si el primer elemento está 
relacionado con el segundo, entonces se cumple 
también la relación al contrario, es decir, el segundo 
está relacionado con el primero. 
 
Ejemplo 18. 
Dado el conjunto { } y la 
relación {( ) ( ) ( )}. 
 es simétrica, pues: 
 ( ) ( ) 
 
Ejemplo 19. 
Dado el conjunto { }. La relación 
 {( ) ( ) ( ) ( ) ( )} es 
simétrica en . 
 
3 Antisimétrica 
La relación es antisimétrica si: 
( ) ( ) 
 
 
Es decir, dados dos elementos del conjunto, si el 
primer elemento está relacionado con el segundo, y el 
segundo está relacionado con el primero. entonces, los 
dos elementos son iguales. 
 
Ejemplo 20. 
Dado el conjunto { }. 
 
 {( ) ( )} es antisimétrica en . 
 
 {( )} es antisimétrica en . 
 
Ejemplo 21. 
La relación 
 {( ) | } 
es antisimétrica en , puesto que | 
 | implica . 
 
Nota: 
La notación | significa divide a . 
 
4 Transitiva 
La relación es transitiva si: 
( ) ( ) ( ) 
 
 
Es decir, dados tres elementos del conjunto, si el 
primer elemento está relacionado con el segundo, y el 
segundo relacionado con el tercero, entonces el 
primero también está relacionado con el tercero. 
 
 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 11 
 
Ejemplo 22. 
Las relaciones de orden (menor que, mayor 
que, menor o igual que y mayor o igual 
que) son transitivas. 
 
Ejemplo 23. 
En el conjunto de los números naturales , la 
relación: “divide a” es una relación de 
transitividad. 
 
 
Tipos de relaciones 
Las relaciones binarias definidas en un 
conjunto pueden cumplir o no las 
propiedades anteriores. Las relaciones 
más usuales en matemática son: 
 
a) Relaciones de equivalencia. 
b) Relaciones de orden. 
c) Relaciones funcionales o aplicaciones. 
 
A Relaciones de equivalencia 
Una relación binaria en un conjunto 
es de equivalencia si satisface las tres 
propiedades: 
 es reflexiva 
 es simétrica 
 transitiva 
 
O sea, una relación binaria (simbolizada 
 ) en un conjunto es una relación de 
equivalencia si y solo si posee las 
siguientes propiedades: 
 
 : 
 : 
 : ( ) 
 
Ejemplo 24. 
Las siguientes relaciones son de 
equivalencia: 
 { } y la relación : 
“idéntico a” 
 
 { } 
y la relación : “tiene igual área que” 
 
 { } 
y la relación : “tiene igual área que” 
 
 
B Relaciones de orden 
 Una relación binaria en un conjunto 
 , es una relación de orden (parcial) si 
satisface las tres propiedades: 
 es reflexiva 
 es antisimétrica 
 es transitiva 
 
 Una relación binaria en un conjunto 
 , es una relación de orden total si es 
una relación de orden parcial y además 
satisface que: 
 
 : 
 
En este caso diremos que el conjunto 
esta totalmente ordenado. 
 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
12 Christiam Huertas 
 
Ejemplo 25. 
En , la relación definida por: 
 
es una relación de orden. 
 
Ejemplo 26. 
El conjunto de los números naturales , 
con la relación de orden , es un conjunto 
totalmente ordenado. 
 
 
C Relaciones funcionales o 
aplicaciones 
Una relación entre elementos de un 
conjunto y elementos de un conjunto 
es una función o aplicación de en si y 
solo si, verifica las siguientes condiciones: 
 
1° Condición de existencia: 
Para todo elemento , le 
corresponde un único elemento , 
llamado imagen. 
 
2° Condición de unicidad: 
Si ( ) y ( ) , entonces 
 . 
 
Ejemplo 27. 
¿Cuál de las siguientes relaciones es una 
función? 
a) {( ) ( ) ( )} 
b) {( ) ( ) ( ) ( )} 
c) {( ) ( ) ( ) ( )} 
 
Resolución. 
Representamos cada relación mediante un 
diagrama sagital: 
 
a) {( ) ( ) ( )} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vemos que cumple la definición, 
luego es una función. 
 
b) {( ) ( ) ( ) ( )} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vemos que cumple la definición,luego es una función. 
 
c) {( ) ( ) ( ) ( )} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No es una función, pues tiene 
dos imágenes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 13 
 
 
Ejemplo 28. 
Si el conjunto 
 {( ) ( ) ( ) ( )} 
es una función, calcule el valor de . 
 
Resolución. 
Aplicamos la condición de unicidad. 
Como: 
( ) y ( ) 
entonces las segundas componentes deben 
ser iguales. Es decir: 
 
 
( )( ) 
 
Reemplazamos estos valores para verificar 
si es o no una función: 
 
Si : 
 {( ) ( ) ( )} 
es una función. 
 
Si : 
 {( ) ( ) ( )} 
no es función, pues el elemento tiene 
dos imágenes diferentes. 
Por lo tanto, el valor de es . 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notación: 
 
 
→ 
Se lee: “función de en ” 
 
 
Dominio y rango de una 
función 
Sea una función de en . Luego, 
 
Dominio de la función 
Es el conjunto formado por todas las 
primeras componentes de los pares 
ordenados ( ) de , se denota por 
 ( ). Es decir: 
 
 ( ) { ( ) } 
 
Rango de la función 
Es el conjunto formado por todas las 
segundas componentes de los pares 
ordenados ( ) de , se denota por 
 ( ). Es decir: 
 
 ( ) { ( ) } 
 
También se puede denotar así: 
 ( ) 
 ( ) 
 
Ejemplo 29. 
Tomamos la función del ejemplo 27: 
 {( ) ( ) ( )} 
Entonces: 
 ( ) { } 
 ( ) { } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
14 Christiam Huertas 
 
 
Ejemplo 30. 
Tomamos la función del ejemplo 27: 
 {( ) ( ) ( ) ( )} 
Entonces: 
 ( ) { } 
 ( ) { } 
 
 
Regla de 
correspondencia 
Sea una función, entonces 
 
( ) ( ) 
 
La expresión ( ) indica que 
esta asociado con una . 
Se lee: 
“ es igual a de ” 
 
A ( ) se le conoce como la regla de 
correspondencia de la función , y nos 
permite calcular la imagen de cualquier 
elemento del dominio de . 
 
Ejemplo 31. 
Dada la función 
 {( ) ( ) ( ) ( )} 
Se sabe que: 
Como ( ) , entonces ( ) 
Como ( ) , entonces ( ) 
Como ( ) , entonces ( ) 
Como ( ) , entonces ( ) 
Damos forma: 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
Es decir, 
 ( ) 
 
 
 
Es la regla de correspondencia de la 
función . 
 
OBS. 
Tomando la función del ejemplo anterior 
 {( ) ( ) ( ) ( )} 
Notamos que: 
 
 toma los siguientes valores : 
{ }, que es el dominio de la 
función . 
 
 toma los siguientes valores : 
{ }, que es el rango de la 
función . 
 
Es decir, cuando se tiene una función 
mediante su regla de correspondencia 
 ( ), para hallar su dominio y rango 
procedemos de la siguiente manera: 
 
 ( ) son los valores que toma la 
variable que hacen que la función 
exista. 
 
 ( ) son los valores que toma la 
variable a partir de los valores de . 
Es decir, el valor de la variable 
depende del valor de la variable . 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 15 
 
Esto quiere decir, que el rango se 
calcula a partir del dominio de la 
función. 
 
Ejemplo 32. 
Halle el dominio y rango de la función 
 ( ) √ 
 
Resolución. 
Recuerde que primero se debe hallar el 
dominio y luego el rango (a partir del 
dominio). 
 
i) Dominio de 
La función ( ) √ esta bien 
definida, siempre y cuando la raíz de 
índice par exista en los reales. Es decir: 
 
 
 [ ⟩ 
Luego, 
 ( ) [ ⟩ 
 
ii) Rango de 
Se tiene la función: 
 √ 
El rango lo hallamos a partir del 
dominio. 
Como 
 
(Con este dato, formamos la función) 
Restamos : 
 
Tomamos √ : 
√ 
Sumamos : 
√ ⏟ 
 
 [ ⟩ 
Luego, 
 ( ) [ ⟩ 
 
 
Tenga en cuenta que: 
Toda función queda bien definida si se 
conocen su dominio y su regla de 
correspondencia. 
 
OBS. 
No es lo mismo y ( ), pues es la 
función misma, mientras que ( ) es la 
regla de correspondencia de la función . 
Luego, 
 {( ( )) ( )} 
 
 
Función real de variable 
real 
Diremos que la función es una 
función real de variable real, si y son 
subconjuntos de los reales. Es decir: 
y . 
 
Ejemplo 33. 
Dada la función [ ⟩ tal que 
 ( ) √ , es una función real de 
variable real. En efecto: 
 ( ) [ ⟩ 
 
 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
16 Christiam Huertas 
 
Técnicas para hallar el 
dominio y rango de una 
función 
 
1 Dominio 
 
 Para funciones que involucren 
fracciones 
Tenga en cuenta que: 
 
 
 
 
Ejemplo 34. 
Halle el dominio de la función 
 ( ) 
 
 
 
 
Resolución. 
La función esta bien definido en si 
 
 
Es decir, puede tomar cualquier número 
real, menos el número . 
Por lo tanto, 
 ( ) { } 
 
Ejemplo 35. 
Halle el dominio de la función 
 ( ) 
 
 
 
 
Resolución. 
La función está bien definido en si 
 
Factorizamos la expresión cuadrática: 
( )( ) 
 
Es decir, puede tomar cualquier número 
real, menos el y el . 
Por lo tanto, 
 ( ) { } 
 
Ejemplo 36. 
Halle el dominio de la función 
 ( ) 
 
| | 
 
 
Resolución. 
La función está bien definido en si 
| | 
 | | 
Es equivalente a colocar: 
 (| | ) 
Resolvemos la ecuación con valor 
absoluto: 
 ( ) 
 ( ) 
 
Es decir, puede tomar cualquier número 
real, menos el y el . 
Por lo tanto, 
 ( ) { } 
 
Nota. Para más información sobre 
ecuaciones con valor abso luto, revise el 
folleto N° 15: Valor absoluto. 
 
 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 17 
 
Ejemplo 37. 
Halle el dominio de la función 
 ( ) 
 
⟦ ⟧ 
 
 
Resolución. 
La función está bien definido en si 
⟦ ⟧ 
 ⟦ ⟧ 
Es equivalente a colocar: 
 (⟦ ⟧ ) 
Resolvemos la ecuación con máximo 
entero: 
 ( ) 
Sumamos : 
 ( ) 
Es decir, puede tomar cualquier número 
real, menos el intervalo [ ⟩. 
Por lo tanto, 
 ( ) [ ⟩ 
 
Nota. Para más información sobre 
ecuaciones con máximo entero, revise e l 
folleto N° 21: Máximo entero. 
 
 Para funciones que involucren 
raíces 
Tenga en cuenta que: 
√ 
 
 
 
√ 
 
 
 
Es decir, cuando el índice es par el 
radicando debe ser no negativo; cuando el 
índice es impar el radicando puede ser 
cualquier número real. 
 
Ejemplo 38. 
Halle el dominio de la función 
 ( ) √ 
 
 
 
 
Resolución. 
La función esta bien definido en si 
 
 
Recuerde que: 
 √ √ 
 
 √ √ 
 
 ⟨ ] [ ⟩ 
Por lo tanto, 
 ( ) ⟨ ] [ ⟩ 
 
Ejemplo 39. 
Halle el dominio de la función 
 ( ) √ √ 
 
 
Resolución. 
La función esta bien definido en si 
 
 
 
Lo representamos en la recta real: 
 
 
 
Es decir, [ ]. 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
18 Christiam Huertas 
 
Por lo tanto, 
 ( ) [ ] 
 
Ejemplo 40. 
Halle el dominio de la función 
 ( ) 
√ 
 
√ 
 
 
 
Resolución. 
Para el radicando de la raíz de índice impar 
no hay ninguna restricción. 
Elradicando de la raíz de índice par debe 
ser mayor o igual a cero. Es decir, 
 
Pero como la raíz está dividiendo, entonces 
no puede ser cero. Es decir, 
 
 
 
 〈 〉 
Por lo tanto, 
 ( ) 〈 〉 
 
 Para funciones paramétricas 
Tenga en cuenta que: 
En la función ( ) tal que 
 {( ( ) ( ) ) } 
 
 Los valores de la primera componente 
forman el dominio. 
 Los valores de la segunda componente 
forman el rango. 
 
 
Ejemplo 41. 
Sea una función tal qué 
 {( ) 〈 〉} 
Halle su dominio. 
 
Resolución. 
Por dato: 
( ) 
entonces, los valores que toma la primera 
componente forman al dominio de . 
Por dato: 
 〈 〉 
Es decir, 
 
Restamos : 
 
Es decir, 
( ) 〈 〉 
Por lo tanto, 
 ( ) 〈 〉 
 
Ejemplo 42. 
Sea una función tal qué 
 {( ) 〈 〉} 
Halle su dominio. 
 
Resolución. 
Por dato: 
( ) 
entonces, los valores que toma la primera 
componente forman al dominio de . 
 
Primero completamos el cuadrado: 
 ( ) 
Por dato: 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 19 
 
 〈 〉 
Es decir, 
 
Restamos : 
 
Elevamos al cuadrado: 
 ( ) 
Restamos : 
 ( ) ⏟ 
 Primera componente 
Es decir, 
[( ) ] [ ⟩ 
Por lo tanto, 
 ( ) [ ⟩ 
 
 
2 Rango 
 
 Para funciones con dominio explícito 
Tenga en cuenta que: 
En estos casos el dominio siempre aparece 
como dato, y a partir de este dato 
hallamos el rango. 
 
Ejemplo 43. 
Dada la función lineal ( ) tal 
que [ ⟩, halle su rango. 
 
Resolución. 
En una función lineal, se forma la variable a partir 
del dominio. 
 
Se tiene la función: 
 
Por dato: 
 [ ⟩ 
Es decir, 
 
Multiplicamos por : 
 
Restamos : 
 ⏟ 
 
Es decir, 
 [ ⟩ 
Por lo tanto, 
 ( ) [ ⟩ 
 
Ejemplo 44. 
Dada la función cuadrática 
 ( ) 
 
tal que [ ⟩, halle su rango. 
 
Resolución. 
En una función cuadrática, primero se completa el 
cuadrado y luego se forma la variable a partir del 
dominio. 
 
Se tiene la función: 
 
Completamos el cuadrado: 
 ( ) 
Por dato: 
 [ ⟩ 
Es decir, 
 
Sumamos : 
 
Elevamos al cuadrado: 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
20 Christiam Huertas 
 
 ( ) 
Sumamos : 
 ( ) ⏟ 
 
Es decir, 
 [ ⟩ 
Por lo tanto, 
 ( ) [ ⟩ 
 
Ejemplo 45. 
Dada la función racional 
 ( ) 
 
 
 
tal que ⟨ ], halle su rango. 
 
Resolución. 
En una función racional, si solo hay variable en el 
denominador, se forma la variable de forma 
directa. Si hay variable tanto en el numerador como 
en el denominador, entonces buscamos un 
equivalente de forma que solo haya variable en el 
denominador. 
 
Se tiene la función: 
 
 
 
 
(Vemos que solo hay variable en el denominador) 
Por dato: 
 ⟨ ] 
Es decir, 
 
(A partir del dominio, se forma la variable y) 
Multiplicamos por : 
 
Sumamos : 
 
Invertimos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicamos por : 
 
 
 
 
⏟ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es decir, 
 [
 
 
 ⟩ 
Por lo tanto, 
 ( ) [
 
 
 ⟩ 
 
Ejemplo 46. 
Dada la función racional 
 ( ) 
 
 
 
tal que 〈 〉, halle su rango. 
 
Resolución. 
Se tiene la función: 
 
 
 
 
Primero buscamos un equivalente de 
manera que solo haya variable en el 
denominador: 
 
 
 
 
Por dato: 
 〈 〉 
Es decir, 
 
(A partir del dominio, se forma la variable y) 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 21 
 
Restamos : 
 
Invertimos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicamos por : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumamos : 
 
 
 
 
 
 
⏟ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es decir, 
 〈
 
 
 
 
 
〉 
Por lo tanto, 
 ( ) 〈
 
 
 
 
 
〉 
 
 Para funciones con dominio implícito 
Tenga en cuenta que: 
En estos casos el dominio no se 
especifica, por ende, lo tenemos que hallar 
previamente para luego hallar el rango. 
 
Ejemplo 47. 
Halle el rango de la función 
 ( ) 
 
 
Resolución. 
Primero hallamos el dominio. 
Como no hay restricción para la variable , 
entonces 
 ( ) 
 
Como ya se ha indicado líneas arriba, en una función 
cuadrática, primero se completa el cuadrado y luego 
se forma la variable a partir del dominio. 
 
Se tiene la función 
 
 ( ) 
 
Recuerde que: 
Si , entonces 
 
En nuestro caso: 
 
Luego, 
( ) 
Sumamos : 
( ) ⏟ 
 
 [ ⟩ 
Por lo tanto, 
 ( ) [ ⟩ 
 
Ejemplo 48. 
Halle el rango de la función 
 ( ) 
 
 
Resolución. 
Primero hallamos el dominio. 
Como no hay restricción para la variable , 
entonces 
 ( ) 
 
Se tiene la función: 
 
Completamos el cuadrado: 
 ( ) 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
22 Christiam Huertas 
 
 ( ) 
 (( ) ) 
 ( ) 
Como 
 
Entonces 
( ) 
Multiplicamos por : 
 ( ) 
Sumamos : 
 ( ) ⏟ 
 
 ⟨ ] 
Por lo tanto, 
 ( ) ⟨ ] 
 
Ejemplo 49. 
Halle el rango de la función 
 ( ) 
 (| | ) 
 
Resolución. 
Primero hallamos el dominio. 
Como no hay restricción para la variable , 
entonces 
 ( ) 
 
Hallamos el rango: 
Se tiene la función: 
 (| | ) 
 
Recuerde que: 
 | | 
 
 | | (| | ) 
 | | | | 
Completamos el cuadrado: 
 (| | ) 
 
Recuerde que: 
Si , entonces | | 
 
En nuestro caso: 
 
Luego, 
| | 
Restamos : 
| | 
Elevamos al cuadrado: 
(| | ) 
Sumamos : 
(| | ) ⏟ 
 
 [ ⟩ 
Por lo tanto, 
 ( ) [ ⟩ 
 
Ejemplo 50. 
Halle el rango de la función 
 ( ) 
 
 
Resolución. 
Primero hallamos el dominio. 
Como no hay restricción para la variable , 
entonces 
 ( ) 
 
Hallamos el rango: 
Se tiene la función: 
 
Completamos el cuadrado: 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 23 
 
 ( ) 
Como 
 
Entonces 
 
Sumamos : 
 
Elevamos al cuadrado: 
( ) 
Sumamos : 
( ) ⏟ 
 
 [ ⟩ 
Por lo tanto, 
 ( ) [ ⟩ 
 
Ejemplo 51. 
Determine el rango de la función 
 ( ) √ √ 
 
Resolución. 
Primero hallamos el dominio. 
La función está bien definido en si: 
 
 
 
Es decir, 
 
Luego, 
 ( ) [ ] 
 
Hallamos el rango: 
Se tiene la función: 
 √ √ 
(Note que ) 
Elevamos al cuadrado: 
 (√ √ )
 
 
Desarrollamos: 
 √ √ 
 √( )( ) 
 √ 
Se sabe que: 
 [ ] 
Es decir, 
 
Elevamos al cuadrado: 
 
Multiplicamos por : 
 
Sumamos : 
 
Tomamos √ : 
 √ 
Multiplicamos por : 
 √ 
Sumamos : 
 √ ⏟ 
 
Tomamos √ : 
√ √ √ 
√ | | ⏟ √ 
 (pues ) 
Es decir, 
√ √ 
Por lo tanto, 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
24 Christiam Huertas 
 
 ( ) [√ √ ] 
 
 Para funciones crecientes o 
decrecientes 
Tenga en cuenta que: 
 Si es una función creciente con 
dominio [ ], entonces su rango es: 
 ( ) [ ( ) ( )] 
 
 Si es una función decreciente con 
dominio [ ], entonces su rango es: 
 ( ) [ ( ) ( )] 
 
Ejemplo 52. 
Halle el rango de la función 
 () 
 
 
 ⟨ ] 
 
Resolución. 
La función es creciente, pues su derivada 
es positiva ⟨ ]. 
 
En efecto: 
Hallemos la derivada de 
 ( )
 
( ) ( ) ( ) 
( ) 
 
 ( )
 
 ( ) ( )
( ) 
 
 ( )
 
 
( ) 
 
 ( )
 
 
( ) 
 
Notamos que si toma valores en el 
intervalo ⟨ ], entonces ( )
 . 
 
Como la función ( ) es creciente en ⟨ ], 
entonces: 
 ( ) ⟨ ( ) ( )] 
 ( ) ⟨ ] 
 
Ejemplo 53. 
Dada la función ⟨ ] tal que 
 ( ) 
 
 
 
Calcule el rango de . 
 
Resolución. 
La función es decreciente, pues su 
derivada es negativa ⟨ ]. 
 
En efecto: 
Hallemos la derivada de 
 ( )
 
( ) ( ) ( )( ) 
( ) 
 
 ( )
 
( )( ) ( )( )
( ) 
 
 ( )
 
 
( ) 
 
 ( )
 
 
( ) 
 
Notamos que si toma valores en el 
intervalo ⟨ ], entonces ( )
 . 
 
Como la función ( ) es decreciente en 
⟨ ], entonces: 
 ( ) [ ( ) ( )⟩ 
 ( ) [
 
 
 
 
 
⟩ 
 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 25 
 
 Para funciones racionales (usando el 
discriminante de una cuadrática) 
Tenga en cuenta que: 
El discriminante de la ecuación cuadrática 
 
Se denota y define como: 
 
 
Ejemplo 54. 
Halle el rango de la función 
 ( ) 
 
 
 
 
Resolución. 
Se tiene la función cuyo dominio es todo 
los reales: 
 
 
 
 
El proceso es el siguiente: 
 
 El denominador lo pasamos a 
multiplicar: 
( ) 
 
 
 Formamos la ecuación cuadrática 
( ) ( ) 
 
 Analizamos el valor del discriminante 
Como ; es decir, la ecuación 
cuadrática tiene raíces reales, entonces su 
discriminante debe ser mayor o igual a 
cero: 
 
( ) ( )( ) 
 ( )( ) 
Cancelamos : 
 ( )( ) 
 
 
 
 
 Resolvemos la inecuación 
 √ √ 
Por lo tanto, 
 ( ) [ √ √ ] 
 
Ejemplo 55. 
Halle el rango de la función 
 ( ) 
 
 
 
 
Resolución. 
Se tiene la función cuyo dominio es todo 
los reales: 
 
 
 
 
El proceso es el siguiente: 
 
 El denominador lo pasamos a 
multiplicar: 
( ) 
 
 
 Formamos la ecuación cuadrática 
( ) 
 
 Analizamos el valor del discriminante 
Como ; es decir, la ecuación 
cuadrática tiene raíces reales, entonces su 
discriminante debe ser mayor o igual a 
cero: 
 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
26 Christiam Huertas 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 Resolvemos la inecuación 
Al aplicar el criterio de los puntos críticos 
se obtiene: 
 
 
 
 
Por lo tanto, 
 ( ) [ 
 
 
] 
 
 Para funciones varios (usando la 
desigualdad de las medias) 
Tenga en cuenta que: 
 Si , entonces 
 
 
 √ 
 
 Si , entonces 
 
 
 √ 
 
 
 
 Si , entonces 
 
 
 √ 
 
 
 
En general: 
 
 Si 
 , entonces: 
 
 
 √ 
 
 
Ejemplo 56. 
Sea 〈 〉 una función tal que 
 ( ) 
 
 
 
Halle su rango. 
 
Resolución. 
Por dato, 
 ( ) 〈 〉 
Es decir, 
 
Luego, 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⏟ 
 
 
Por lo tanto, 
 ( ) [ ⟩ 
 
Propiedad: 
 
 
 
 
 
En general: 
 
 
 
 √ 
 
Nota. Para más información sobre 
desigualdades, revise el folleto N° 10: 
Teoría de desigualdades. 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 27 
 
 
Ejemplo 57. 
Halle el rango de la función 
 ( ) 
 
√ 
 
 
Resolución. 
Primero hallamos el dominio. 
La función está bien definida en si: 
 
Es decir, 
 ( ) 〈 〉 
 
Hallemos el rango. 
Se tiene la función: 
 
 
√ 
 
Damos forma convenientemente: 
 
√ 
 
 
√ 
 
Desdoblamos: 
 
√ 
 
√ 
 
 
√ 
 
 √ 
 
√ 
 
Aplicando la propiedad anterior: 
 √ 
 
√ 
 
⏟ 
 √ 
 
 [ ⟩ 
Por lo tanto, 
 ( ) [ ⟩ 
 
 
 
Ejemplo 58. 
Sea 〈 〉 una función tal que 
 ( ) 
 
 
 
 
Halle su rango. 
 
Resolución. 
Por dato, 
 ( ) 〈 〉 
Es decir, 
 
 
Hallemos el rango. 
Se tiene la función 
 
 
 
 
Acomodamos convenientemente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como , aplicamos la desigualdad de 
las medias de la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⏟ 
 
 
 [ ⟩ 
Por lo tanto, 
 ( ) [ ⟩ 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
28 Christiam Huertas 
 
 
Ejemplo 59. 
Halle el rango de la función 
 ( ) 
 
 
 
 
Resolución. 
Primero hallamos el dominio. 
Como no hay ninguna restricción para la 
variable , entonces 
 ( ) 
 
Hallemos el rango. 
Se tiene la función: 
 
 
 
 
Damos forma convenientemente: 
 
 
( ) ( ) 
 
 
 
( ) ( ) 
 
Pasamos a dividir el numerador al 
denominador: 
 
 
( ) ( ) 
 
 
Desdoblamos: 
 
 
( ) 
 
 
( )
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
Partimos de la siguiente propiedad para 
formar la variable : 
( ) 
 
 
 
Sumamos : 
( ) 
 
 
 
Invertimos: 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
Es decir, 
 
 
 
 
Por lo tanto, 
 ( ) ⟨ 
 
 
] 
 
Ejemplo 60. 
Halle el rango de la función 
 ( ) 
 
 
 
 
Resolución. 
Por dato, el dominio de la función es 
 ( ) 〈 〉 
 
Hallemos el rango: 
Se tiene la función: 
 
 
 
 
Damos forma convenientemente: 
 
( ) 
 
 
 
( ) 
 
 
Sigamos dando forma: 
 
( ) ( ) 
 
 
Desdoblamos: 
 
( ) 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 29 
 
 ( ) 
 
 
 
Como 
 
Entonces 
 
Podemos aplicar la propiedad vista líneas 
arriba: 
( ) 
 
 
 √ 
Restamos : 
( ) 
 
 
 
⏟ 
 √ 
 √ 
 [ √ ⟩ 
Por lo tanto, 
 ( ) [ √ ⟩ 
 
A continuación se muestra la gráfica de la 
función : 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas resueltos 
 
Problema 1. 
Si los pares ordenados ( ) y ( ) 
son iguales, halle el mayor valor de . 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
Resolución 
Por dato: 
( ) ( ) 
Se debe cumplir: 
 
 
 ( ) 
 ( )( ) ⏟ 
 entonces 
 entonces 
 entonces 
Por lo tanto, el mayor valor de es . 
 Rpta: D 
 
Problema 2. 
Dados los conjuntos 
 { } y { } 
donde { } . Si , 
determine el mayor valor de . 
 
A) 4 B) 6 C) 8 
D) 10 E) 7 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
30 Christiam Huertas 
 
Resolución 
Como 
 entonces 
Luego, 
{ } { } 
Se tienen dos casos: 
 
1er caso: 
 
 
Entonces 
 
 
2do caso: 
 
 
Entonces 
 
Por lo tanto, el mayor valor de 
es . 
 Rpta: C 
 
Problema 3. 
Dada la función 
 {( ) ( ) ( √ ) ( 
 )} 
Calcule el menor valor de . 
 
A)19 B) 13 C) 0 
D) 14 E) 20 
 
Resolución 
Nótese que: 
 √ 
Luego, en la función: 
 {( ) ( ) ( ) ( )} 
 
Recuerde que en una función, si hay dos 
pares ordenados con la misma primera 
componente, entonces sus segundas 
componente deben ser iguales. 
 
En nuestro caso: 
 y 
 y ( ) 
Luego, el menor va lor de se 
obtiene cuando: 
 y 
 Por lo tanto, 
( ) 
 Rpta: B 
 
Problema 4. 
Dada la función 
 {( ) } 
Halle ( ) ( ). 
 
A) { } B) { } 
C) { } 
D) { } E) { } 
 
Resolución 
Por dato: 
 
Entonces 
 
 
El dominio lo forma los valores de la 
primera componente: 
 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 31 
 
Es decir, 
 ( ) { } 
 
El rango lo forma los valores de la 
segunda componente: 
 
Es decir, 
 ( ) { } 
 
Por lo tanto, 
 ( ) ( ) 
 { } { } 
 { } 
 Rpta: D 
 
Problema 5. 
Dadas las funciones 
 {( ) ( ) ( ) ( )} 
 {( ) ( ) ( ) ( )} 
Determine el valor de . 
 
 ( ) ( ) ( )
 ( ( )) ( ( ))
 
 
A) B) C) 
D) E) 
 
Resolución 
A partir de las funciones, calculamos: 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
Lo reemplazamos en : 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto, . 
 Rpta: B 
 
Problema 6. 
Dada la función irracional 
 ( ) √ √ 
 
halle su dominio. 
 
A) [ ] B) [ ] 
C) ⟨ ] [ ⟩ 
D) [ ] E) [ ] 
 
Resolución 
La función esta bien definida en si 
 
 
 
Es decir, 
 
Por lo tanto, 
 ( ) [ ] 
 Rpta: E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
32 Christiam Huertas 
 
Problemas de examen de 
admisión UNAC 
 
Problema 7. 
Si es una función real de variab le real tal 
que ( ) 
 , entonces, para 
 
 ( ) ( )
 
 
 
A) B) C) 
D) E) 
UNAC 2004 – I 
 
Resolución 
Se tiene la función: 
 ( ) 
 
 
Para hallar ( ), reemplazamos 
 
Es decir, 
 ( ) ( )
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 
Para hallar ( ), reemplazamos : 
Es decir, 
 ( ) 
 
 ( ) 
Nos piden calcular: 
 ( ) ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cancelamos : 
 
Por lo tanto, 
 ( ) ( )
 
 
 Rpta: C 
 
Problema 8. 
Si es una función definida en el conjunto 
de todos los enteros por 
 ( ) {
 
 ( ( )) 
 
entonces ( ) es 
 
A) 16 B) 13 C) 11 
D) 15 E) 17 
UNAC 2011 – II 
 
Resolución 
Se tiene la función: 
 ( ) {
 
 ( ( )) 
 
dada mediante dos reglas de 
correspondencia: 
 
 ( ) cuando 
 ( ) ( ( )) cuando 
 
Nos piden calcular ( ): 
 ( ) ( ( )) 
 ( ) ( ( ( ))) 
 ( ) ( ( ( ( )))) 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 33 
 
 ( ) ( ( ( ( ( ))))) 
 ( ) ( ( ( ( ( ( )))))) 
 ( ) ( ( ( ( ( ))))) 
 ( ) ( ( ( ( )))) 
 ( ) ( ( ( ))) 
 ( ) ( ( )) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
Por lo tanto, 
 ( ) 
 Rpta: E 
 
Problema 9. 
Sea una función definida en el conjunto 
de los números reales que verifica la 
propiedad 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
El valor de ( ) ( ) es 
 
A) B) C) 
D) E) 
UNAC 2012 – II 
 
Resolución 
Se tiene la función que verifica la 
relacion: 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Hacemos : 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
Cancelamos ( ) : 
 ( ) 
 
Cambiamos por : 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ⏟
 
 ( ) ( ) 
Es decir, 
 ( ) ( ) 
Nos piden calcular: 
 ( ) ( ) 
 Rpta: D 
 
Problema 10. 
Si , definida por ( ) 
satisface 
( 
( ( ))
)
 . Determine 
 . 
 
A) 28 B) 30 C) 54 
D) 55 E) 27 
UNAC 2007 – I 
 
Resolución 
Se tiene la función lineal 
 ( ) 
 
Hallemos ( ( )): 
 ( ( )) ( ) 
 ( ) 
 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
34 Christiam Huertas 
 
 
Hallemos 
( 
( ( ))
)
: 
 
( 
( ( ))
)
 ( ) 
 ( ) 
 
 
Por dato: 
 
( 
( ( ))
)
 
⏟ 
 
 ( ) 
Por igualdad de polinomios: 
 
 
 
 
Por lo tanto, 
 
 Rpta: C 
 
Problema 11. 
Sea una función definida para todo 
 por 
{
 ( ) 
 ( ) ( ) ( )
 
entonces, halle el valor de ( ). 
 
A) B) C) 1 
D) 2 E) 
UNAC 2004 – I 
 
Resolución 
Se tiene la función que verifica la 
relación: 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Reemplazamos : 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
Cancelamos ( ) : 
 ( ) 
 
Reemplazamos : 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( )⏟ ( ) ( )⏟ 
 ( )( ) 
 ( ) 
 
 
 
 Rpta: A 
 
 
Problemas de examen de 
admisión UNI 
 
Problema 12. 
 ( ) 
 
 
 
 
definida para los que cumplen la siguiente 
relación: √ √ . Halle el intervalo 
donde varía ( ). 
 
A) ⟨ ] B) [ ⟩ C) [ ] 
D) [ ] E) [ ⟩ 
UNI 2001 – II 
 
 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 35 
 
Resolución 
Se tiene la función: 
 ( ) 
 
 
 
 
definida para los cumplen la siguiente 
relación: 
√ √ 
Es decir, el dominio de la función es el 
conjunto solución de la inecuación 
irracional. 
 
i. Hallamos el CVA: 
 
 
 
Es decir, 
 ⟨ ] [ ⟩ 
 
ii. Se tiene la inecuación: 
√ √ 
Elevamos al cuadrado: 
 
 
 
Es decir, 
 〈 〉 
 
iii. ( ) 
 (⟨ ] [ ⟩)
 〈 〉 
 ⟨ ] [ ⟩ 
 
Es decir, 
 ( ) ⟨ ] [ ⟩ 
 
Analizando la función: 
 ( ) 
 
 
 
 
vemos que es: 
 Par 
Pues, 
 ( ) ( ) ( ) 
Entonces es suficiente analizar la 
función en el intervalo [ ⟩. 
 
 Creciente 
Pues, 
 ( )
 ( 
 
 
) [ ⟩ 
Luego, el rango de la función está dada 
por: 
 ( ) [ ( ) ( )⟩ 
 [ ⟩ 
 Rpta: E 
 
Problema 13. 
La función polinomial 
 ( ) 
 , con , y 
tal que ( ) , tiene 2 raí ces positivas 
iguales, entonces un valor de es 
 
A) 3 B) 4 C) 5 
D) 6 E) 7 
UNI 2001 – II 
 
Resolución 
Se tiene la función polinomial: 
 ( ) 
 
Por dato: 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
36 Christiam Huertas 
 
 ( ) 
 
 
 
Como , entonces 
Reemplazamos en ( ): 
 ( ) 
 
Vemos que una de sus raíces es . 
Luego lo factorizamos por el método de 
los divisores binómicos:Es decir, 
 ( ) ( )⏟ ( 
 ( ) )⏟ 
 genera raíz debe generar dos raíces 
 negativa positivas iguales ( ) 
 
( ) ( )( ) 
( ) ( ) 
( )( ) 
( )( ) 
 ⏟ 
 se descarta, pues 
 genera raíces nulas 
Por lo tanto, 
 
 Rpta: B 
 
Problema 14. 
 ( ) 
 
| |
[( ) | |] 
es 
 
A) [ ] B) 〈 〉 
C) 〈 〉 
D) 〈 〉 E) 〈 〉 
UNI 2002 – II 
 
Resolución 
Se tiene la función 
 ( ) 
 
| |
[( ) | |] 
Vemos que su dominio es todos los reales 
menos cero. Es decir 
 ( ) { } 
 
 Si : 
 ( ) 
 
 
[( ) ] 
 ( ) [ 
 ] 
 ( ) 
 
 
Hallemos su rango: 
Como 
 
Elevamos al cuadrado: 
 
Sumamos : 
 ⏟ 
 ( ) 
Luego, 
 ( ) 〈 〉 
 
 Si : 
 ( ) 
 
 
[( ) ] 
 ( ) [ 
 ] 
 ( ) [ 
 ] 
Completamos el cuadrado: 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 37 
 
 ( ) [ 
 ⏟ ] 
 ( ) 
 ( ) ( )
 
 
Hallemos su rango: 
Como 
 
Restamos : 
 
Elevamos al cuadrado: 
( ) 
Multiplicamos por : 
 ( ) 
Sumamos : 
 ( ) ⏟ 
 ( ) 
Luego, 
 ( ) 〈 〉 
Por lo tanto, 
 ( ) ( ) ( ) 
 〈 〉 〈 〉 
 [ ] 
 Rpta: A 
 
Problema 15. 
La población de venados de una región 
está dada por la función ( ) 
 
 , donde es el tiempo en años. 
Entonces, el intervalo de tiempo, donde 
ocurre la población máxima de venados es 
 
A) [ ] B) [ ] C) [ ] 
D) [ ] E) [ ] 
UNI 2003 – I 
 
Resolución 
Se tiene la función: 
 ( ) 
 
que representa la población de venados en 
el año . 
 
Para determinar el mayor valor de la 
función vamos a completar el cuadrado: 
 
 ( ) 
 
 ( ) [ 
 ] 
 
 ( ) [ 
 (
 
 
)
 
⏟ 
 (
 
 
)
 
] 
 
 
 ( ) [( 
 
 
 
)
 
 
 
 
] 
 ( ) ( 
 
 
 
)
 
 
 
 
 
 ( ) ( 
 
 
 
)
 
 
 
 
 
Para que la función ( ) tome su máximo 
valor, se debe cumplir: 
( 
 
 
)
 
 
Es decir, 
 
 
 
 
 √
 
 
 
 
Vemos que, 
 [ ] 
 Rpta: D 
 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
38 Christiam Huertas 
 
Problema 16. 
Se desea fabricar una caja de base 
cuadrada y sin tapa, con una hoja cuadrada 
de plata pura de lado , cortando cuadrados 
de lado en cada esquina y doblando los 
lados. El rango en que debe estar para 
que, numéricamente, el volumen sea mayor 
que el área total de la caja es 
 
 ) 〈 (
 
 
)〉 
 ) 〈 〉 
 ) 〈 〉 
 ) 〈 (
 
 
)〉 
 ) 〈 (
 
 
) 〉 
UNI 2003 – II 
 
Resolución 
Según el enunciado se tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al quitar las esquinas y doblar los lados se 
obtiene la siguiente caja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por dato: 
 ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) 
Cancelamos ( ) por ser positivo: 
( ) ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
Dividimos entre ( ) : 
 
 ( )
 
 
Por lo tanto, 
 〈
 ( )
 
 〉 
 Rpta: E 
 
Problema 17. 
Sea la función 〈 〉 , tal que 
 ( ) es el número de primos menores o 
iguales a . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 39 
 
 ( ) 
 (√ ) 
 ( )
 
( 
( ( ))
)
 ( ( )) 
es igual a 
 
 ) ) ) 
 ) ) 
UNI 2003 – II 
 
Resolución 
Recuerde que: 
Los primeros números primos son: 
 
 
Por dato se tiene: 
 ( ) 
 ( ) 
 (√ ) 
 ( )
 
( 
( ( ))
)
 
 
Hallemos: 
 (√ ) , pues no existe número 
primo menor o igual a √ . 
 
 ( ) , pues existen números 
primos menores o iguales a . 
 
 
( 
( ( ))
)
 ( ( )) ( ) 
Reemplazamos en ( ): 
 ( ) 
( ) ( )
 
 
 ( ) 
 
 
 
Nos piden calcular: 
 ( ( )) ( ) 
 Rpta: B 
 
Problema 18. 
Determine el conjunto de valores del 
número real tal que la función 
 ( ) ( 
 ) 
este definida en [ ]. 
 
A) ⟨ ⟩ B) 〈 〉 C) [ ⟩ 
D) 〈 〉 E) [ ⟩ 
UNI 2004 – I 
 
Resolución 
Se tiene la función: 
 ( ) 
 
 
 
Para que ( ) este definida en [ ], se 
debe cumplir: 
 ⏟ [ ] 
 ( ) 
Analicemos para y para ⟨ ]. 
 
 Si , se cumple la condición 
( ). 
 
 Si ⟨ ] despejamos de la 
relación: 
 
 ( ) 
 ( ) 
 (( ) ) 
 (( ) ) 
 
 
( ) 
 
Como 
 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
40 Christiam Huertas 
 
Restamos : 
 
Elevamos al cuadrado: 
 ( ) 
Restamos : 
 ( ) 
Invertimos: 
 
( ) 
 
Multiplicamos por : 
 
( ) 
 
Pero, se sabe: 
 
 
( ) 
 
Es decir, no puede ser mayor o igual 
a . Entonces: 
 
Por lo tanto, 
 〈 〉 
 Rpta: D 
 
Problema 19. 
Asuma que la función , dada por 
 ( ) [ [ [ ]
 ] ] 
está bien definida (los puntos suspensivos 
indican un proceso infinito). Entonces 
también podemos escribir 
 
A) ( ) 
B) ( ) √ 
C) ( ) √ 
D) ( ) √ 
E) ( ) √ 
UNI 2004 – II 
 
Resolución 
Se tiene la función: 
 ( ) √ √ √ 
 ( ) 
Como la función está bien definida 
entonces, ( ) y se puede expresar 
como: 
 ( ) √ ( ) 
Elevamos al cuadrado: 
( ( ))
 
 ( ) 
( ( ))
 
 ( ) 
Sumamos : 
( ( ))
 
 ( ) 
 
⏟ 
 
( ( ) )
 
 
 ( ) √ 
 
 ( ) √ 
 
Como ( ) , entonces 
 ( ) √ 
 
 Rpta: E 
 
Problema 20. 
Halle el rango de la función 
 { } ( ) 
 
 
 
 
A) 〈 〉 B) [ ] 
C) 〈 〉 
D) [ ] E) { } 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 41 
 
UNI 2007 – II 
 
Resolución 
Recuerde que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se tiene la función: 
 ( ) 
 
 
 
cuyo dominio es: 
 { } 
i. Si , entonces 
 
 
 
 
⏟ 
 
 ( ) 
Es decir, 
 ( ) [ ⟩ 
 
ii. Si , entonces 
 
 
 
 
⏟ 
 
 ( ) 
Es decir, 
 ( ) ⟨ ] 
 
De i. y ii. se obtiene: 
 ( ) ⟨ ] [ ⟩ 
 〈 〉 
 Rpta: A 
 
 
 
Problema 21. 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 ⟨ 
 
 
 
 
 
] 
de | |. 
 
 ) ⟨ 
 
 
 
 
 
] ) [ 
 
 
 
 
 
⟩ 
 ) [
 
 
 
 
 
⟩ 
 ) [ ⟩ ) ⟨ ] 
UNI 2008 – I 
 
Resolución 
Se tiene la función: 
 ( ) 
 
 
 
 
 
cuyo dominio es 
 ( ) ⟨ 
 
 
 
 
 
] 
Factorizamos el numerador de : 
 
 
 
Es decir, 
 ( )( ) 
Lo reemplazamos en la función: 
 ( ) 
( )( )
 
 
 
Cancelamos ( ) : 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
42 Christiam Huertas 
 
Nos piden al rangode la función: 
| ( )| | | 
Como 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicamos por : 
 
Restamos : 
 
Tomamos valor absoluto: 
 | |⏟ 
| ( )| 
Por lo tanto, 
 (| |) [ ⟩ 
 Rpta: D 
 
Problema 22. 
La función polinomial 
 ( ) [( )( )]
 
[( )( )] ( ) 
tiene raíces ( ). Entonces es 
igual a 
 
A) B) C) 
D) E) 
UNI 2008 – I 
 
Resolución 
Para encontrar las raíces igualamos a cero 
la función. Es decir, 
 
 ( ) 
 
 
[( )( )] 
 [( )( )] 
 ( ) 
 
Recuerde que: 
Sean y números reales. Si 
 
 
En el problema: 
( )( ) 
( )( ) 
 
Es decir, 
 
 
 
De aquí se obtiene sistemas de 
ecuaciones: 
 
1. {
 
 
 
 
 
( )
 
 
2. {
 
 
 
 
 
 
 
 
3. {
 
 
 
 
 
 
 
 
4. {
 
 
 
 
 
( )
 
 
Luego, 
 {( ) ( )} 
Por lo tanto, el número de raíces de la 
función polinomial es . 
 Rpta: C 
 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 43 
 
Problema 23. 
Sea una función tal que 
 ( √ ) ( √ ) 
entonces ( ) ( ) es igual a 
 
A) [ ⟩ B) [ ⟩ C) 〈 〉 
D) [ ⟩ E) 〈 〉 
UNI 2009 – II 
 
Resolución 
Se tiene la función: 
 ( √ ) ( √ ) 
cuyo dominio es el intervalo [ ⟩. 
 
La función se puede expresar de la 
siguiente manera: 
 ( √ ) ( √ ) 
 
((√ )
 
 )
 ((√ )
 
 ) 
 
((√ )
 
 )
 ((√ )
 
 ) 
Realizamos el siguiente cambio: 
√ 
Luego, la función se expresa como: 
 ( ) (( )
 ) 
Además, como 
 
Tomamos raíz cuadrada: 
√ 
Restamos : 
√ ⏟ 
 
Elevamos al cuadrado: 
 
Restamos : 
 ⏟ 
 variable de f 
Luego, el dominio de la función es 
 ( ) [ ⟩ 
También, como 
 
Restamos : 
 
Elevamos al cuadrado: 
( ) 
Restamos : 
( ) 
Multiplicamos por : 
 (( ) )⏟ 
 
Es decir, 
 ( ) [ ⟩ 
Por lo tanto, 
 ( ) ( ) [ ⟩ [ ⟩ 
 [ ⟩ 
 Rpta: A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
44 Christiam Huertas 
 
Problemas propuestos 
 
Problema 1. 
Dados los intervalos 
 〈 〉 y 〈 〉 
Si es el número de elementos de 
componentes enteros del conjunto , 
halle el valor de . 
 
A) 4 B) 6 C) 9 
D) 10 E) 12 
 
Problema 2. 
Dado el conjunto { }, se define 
la relación tal que 
 {( ) } 
Determine el cardinal de . 
 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 8 E) 10 
 
Problema 3. 
Dada la relación tal que 
 {( ) } 
Determine el rango de . 
 
A) { } B) { } 
C) { } 
D) { } E) { } 
 
 
Problema 4. 
Dados los conjuntos 
 { } y { } 
Se define la relación tal que 
 ( ) 
Halla la suma de los elementos de su 
rango. 
 
A) 8 B) 9 C) 10 
D) 11 E) 12 
 
Problema 5. 
Si el conjunto representa una función, 
halle el valor de ( ). 
 {( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( )} 
 
A) B) C) 
D) E) 
 
Problema 6. 
Dada la función 
 {( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( )} 
Halle el valor de . 
 
A) B) C) 
D) E) 
 
Problema 7. 
Dada la función 
 ( ) {
 
 
 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 45 
 
Calcule el valor de si se sabe que 
 ( ) 
 ( ) ( )
 ( )
 
 
A) B) C) 
D) E) 
 
Problema 8. 
Dada la función tal que 
 ( ) {
 
 
 
Calcule el valor de 
 ( ( )) ( ( )) 
si se sabe que ( ) ( ) 
 
A) 6 B) 5 C) 4 
D) 3 E) 8 
 
Problema 9. 
Dada la función 
 ( ) ( )( 
 )( )( ) 
donde . 
Podemos afirmar que: 
 
 ) ( ) 
 
 
 
 ) ( ) ( )
 
 ) ( ) 
 
 
 
 ) ( ) 
 
 
 
 ) ( ) √ 
 
 
Problema 10. 
Si el dominio de la función 
 ( ) √ 
 √ 
es el intervalo [ ], halle el valor 
de . 
 
A) B) C) 
D) E) 
 
Problema 11. 
Halle el dominio de la siguiente función. 
 ( ) √
| | 
 
 
 
 
 
 
A) [ ⟩ B) 〈 〉 
C) 〈 〉 { } 
D) [ ⟩ E) 〈 〉 { } 
 
Problema 12. 
Dada la función ⟨ ] tal que 
 ( ) 
 
 
 
Halle el mayor valor de . 
 
A) 2 B) 3 C) 
D) 0 E) 5 
 
Problema 13. 
Halle el máximo valor de la función 
 ( ) 
 
 
 
 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
46 Christiam Huertas 
 
A) 1 B) 4 C) 5 
D) 10 E) 21 
 
Problema 14. 
Halle el mínimo valor de la función 
 ( ) √ 
 . 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) √ 
 
Problema 15. 
Halle el rango de la siguiente función. 
 ( ) 
 
 
A) 〈 〉 B) 〈 〉 
C) ⟨ ] 
D) 〈 〉 E) ⟨ ] 
 
Problema 16. 
Sea una función tal que 
 ( ) √ 
 
| |
 
 
Calcule el valor de si se sabe 
que el dominio tiene la forma ( ) 
[ ] { } 
 
A) 2 B) 6 C) 0 
D) 4 E) 
 
Problema 17. 
Halle el rango de la función 
 {( ) ⟨ ] { }} 
 
A) [ ] B) [ ] 
C) ⟨ ] 
D) ⟨ ] { } E) [ ] 
 
Problema 18. 
Dada la función ( ) 
 tal que 
 ( ) ⟨ ]. Calcule la suma de los 
elementos enteros del dominio. 
 
A) 5 B) 6 C) 7 
D) 8 E) 0 
 
Problema 19. 
Halle el rango de la siguiente función. 
 ( ) {
 〈 〉
 [ ⟩
 
 
A) [ ⟩ B) [ ⟩ 
C) ⟨ ⟩ 
D) 〈 〉 E) [ ⟩ 
 
Problema 20. 
Dada la función 
 {( √ 
 
 
) } 
halle su rango. 
 
A) ⟨ √ ] B) ⟨ ] C) [ ⟩ 
D) [ ⟩ E) ⟨ ] 
 
 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
 Christiam Huertas 47 
 
Problema 21. 
Si la función definida por 
 ( ) 
 
 
 
tiene como rango al intervalo [ ⟩, halle 
los valores de . 
 
A) 〈 〉 B) 〈 〉 
C) 〈 〉 
D) 〈 〉 E) [ ⟩ 
 
Problema 22. 
Si el dominio de la función 
 ( ) √
 | |
| |
 
 
 
 
 
es ( ) [ ] { }, halle el valor 
de . 
 
A) 0 B) 4 C) 
D) 5 E) 1 
 
Problema 23. 
Dada la función [ ] tal 
 ( ) 
 
 
 
que ( ) 〈 〉 { } 
 
A) 3/2B) 2/3 C) 3 
D) 2 E) 1/3 
 
 
 
Problema 24. 
Dada la función 
 ( ) √| 
 | 
Si ( ) ⟨ ] [ ⟩, halle el 
valor de . 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
Problema 25. 
Dada la función 
 ( ) 
 ( ) 
Determine el valor de para que la 
función sea independiente de . 
 
A) B) C) 
D) E) 
 
Problema 26. 
Halle el rango de la función 
 ( ) √| | | | 
Si ⟨ ] ⟨ ]. 
 
A) [ ⟩ B) 〈 〉 C) 〈 〉 
D) [ ⟩ E) 〈 〉 
 
Problema 27. 
Halle el complemento del rango de la 
siguiente función. 
 ( ) 
 
| | | |
 
 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
48 Christiam Huertas 
 
A) 〈 〉 B) 〈 〉 C) [ ] 
D) 〈 〉 E) 〈 〉 
 
Problema 28. 
Sea una función cuya regla funcional es 
 ( ) ⟦ ⟧ | | 
encuentre el conjunto de las pre imágenes 
de cero. 
 
A) { } B) { } 
C) { } 
D) { } E) { } 
 
Problema 29. 
Halle el rango de la función 
 ( ) √ ⟦
| | 
 ( )
⟧ 
si se sabe que [ ⟩. 
 
A) [ ⟩ B) { } C) [ ⟩ 
D) [ ⟩ E) [ ⟩ 
 
Problema 30. 
Dada la función 
 ( ) √ ( 
 ) √⟦ ⟧ | | 
Halle su dominio. 
 
A) { } 
B) { } 
C) { } 
D) { } 
E) 
 
Claves 
 
01 D 11 C 21 E 
02 C 12 A 22 A 
03 B 13 A 23 A 
04 B 14 C 24 D 
05 E 15 E 25 B 
06 B 16 A 26 A 
07 D 17 D 27 B 
08 E 18 B 28 D 
09 A 19 B 29 A 
10 B 20 B 30 B 
 
 
 
 
 
 
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√ ⃗ 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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