Ávila G S - Cálculo das funções de uma variável vol 2 (2004)

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CALCULO
das funções de uma variável
Volume 2
T - EDIÇÃO
Geraldo Avila
LTC
EDITORA
Para todos os meus netos 
Pedro e Paulo 
Gabriel e Guilherme 
Felipe e Camila
Sumário
Prefácio............................................................................................................................................xiii
1 Aplicações da integral...................................................................................................................1
1.1 Comprimento de arco ...................................................................................................................................1
Exercícios.............................................................................................................................................. 5
Respostas..................................................................................................................................................... 5
1.2 Volume dos sólidos de revolução.................................................................................................................6
Exercícios.................................................................................................................................................... 9
Respostas, sugestões e soluções............................................................................................................. 10
1.3 Volume de um sólido qualquer.................................................................................................................. 11
Exercícios...................................................................................................................................................14
Respostas................................................................................................................................................... 15
1.4 Área de uma figura plana qualquer............................................................................................................15
Exercícios...................................................................................................................................................17
Respostas, sugestões e soluções.............................................................................................................17
1.5 Notas históricas.......................................................................................................................................... 18
A Matemática grega e as origens do Cálculo...................................................................................... 18
O cálculo infinitesimal do século XVII................................................................................................19
2 Aproximação de funções por polinómios................................................................................. 20
2.1 Introdução.................................................................................................................................................. 20
2.2 Aproximação linear.................................................................................................................................... 21
Exercícios..................................................................................................................................................27
Respostas, sugestões e soluções.............................................................................................................27
2.3 Fórmula de Taylor......................................................................................................................................28
Exercícios.................................................................................................................................................. 36
Respostas, sugestões e soluções.............................................................................................................37
2.4 Unicidade da fórmula de Taylor................................................................................................................ 38
Exercícios.................................................................................................................................................. 41
Respostas, sugestões e soluções.............................................................................................................42
2.5 Fórmula de Taylor na forma geral.............................................................................................................42
Exercícios.................................................................................................................................................. 44
Respostas, sugestões e soluções....................................................................................... 45
2.6 Notas históricas..........................................................................................................................................45
Interpolação.........................................................................................................................................45
Newton e o Cálculo..............................................................................................................................46
Leibniz e o Cálculo.............................................................................................................................. 47
Newton e Leibniz.................................................................................................................................48
3 Seqüências infinitas.................................................................................................................... 50
3.1 Introdução.................................................................................................................................................. 50
3.2 Seqüências infinitas....................................................................................................................................51
Exercícios.................................................................................................................................................. 52
Respostas................................................................................................................................................... 53
3.3 O conceito de limite................................................................................................................................... 53
Seqüências divergentes.......................................................................................................................56
Algumas seqüências especiais............................................................................................................ 58
Exercícios...................................................................................................................................................59
Respostas, sugestões e soluções................................................................................... 60
Vlll Sumário
3.4 Propriedades do limite............................................................................................................................... 60
A desigualdade do triângulo................................................................................................................61
Conseqüências da desigualdade do triângulo...................................... 61
Operações com limites........................................................................................................................ 63
Exercícios...................................................................................................................................................65
Respostas, sugestões e soluções.............................................................................................................66
3.5 Seqüências monótonas...............................................................................................................................673.6 Nota complementar: o número e como limite de (1 + \ln )^ ..................... 68
3.7 Notas históricas.......................................................................................................................................... 69
A seqüência de Fibonacci...................................................................................................................69
A raiz quadrada de 2 .......................................................................................................................... 71
4 Séries infinitas............................................................................................................................ 72
4.1 Definições e primeiros resultados.................................................................................................. 72
A série harmônica............................................................... 76
Propriedades operacionais................................................................................................................76
Séries de termos não-negativos......................................................................................................... 77
Exercícios..................................................................................................................................................78
Respostas e sugestões............................................................................................................................. 79
4.2 Teste de comparação................................................................................................................................ 80
Uma série muito im portante........................................................................................................... 81
Exemplos de aplicação da série anterior......................................................................................... 81
Exercícios.................................................................................................................................................83
Respostas e sugestões............................................................................................................................ 83
4.3 Teste da razão. Convergências absoluta e condicional.......................................................................... 84
Convergência absoluta..................................................................................................................... 85
Séries alternadas...............................................................................................................................86
Exercícios.................................................................................................................................................88
Respostas e sugestões........................................................................................................................... 88
4.4 O teste da in teg ra l.................................................................................................................................. 89
Exercícios................................................................................................................................................. 90
Respostas e sugestões............................................................................................................................ 90
4.5 Nota complementar: irracionalidade do número e .................................................................................91
4.6 Notas históricas......................................................................................................................................... 91
Séries infinitas....................................................................................................................................91
Nicole Oresme e a série de Suiseth................................................................................................ 92
5 Séries de potências.................................................................................................................... 94
5.1 Primeiros exemplos e propriedades......................................................................................................... 94
Dois teoremas fundamentais.............................................................................................................. 96
Raio de convergência e intervalo de convergência........................................................................... 96
Derivação e integração.......................................................................................................................97
Séries de Taylor................................................................................................................................100
Exercícios................................................................................................................................................ 100
Respostas, sugestões e soluções.......................................................................................................... 101
5.2 Propriedades adicionais das séries de potências................................................................................... 102
Unicidade da série de potências...................................................................................................... 102
Multiplicação e divisão de séries...................................................................................................... 102
Calculando limites............................................................................................................................. 104
Séries definem novas funções...........................................................................................................104
Exercícios.................................................................................................................................................105
Sugestões.............................................. 105
5.3 Notas históricas...................................^ ..................... ^ ....................................................................... 105
As séries de potências.......................................................................................................................105
O século XVIIl — Euler e Lagrange.............................................................................................. 106
6 Equações diferenciais...............................................................................................................108
6.1 Primeiros exemplos................................................................................................................................... 108
Sumário IX
Solução analítica................................................................................................................................110
O problema do pára-quedista.........................................................................................................111
Solução por série de potências ...................................................................................................... 111
Equações e operadores lineares.......................................................................................................113
Ainda o problema do pára-quedista.................................................................................................114
Exercícios................................................................................................................................................ 115
6.2 Equações de segunda ordem .................................................................................................................. 115
Vibrações harmônicas......................................................................................................................116
Equação de Bessel............................................................................................................................117
Exercícios................................................................................................................................................ 119
6.3 Modelos populacionais............................................................................................................................. 119
O modelo logístico.......................................................................................................................... 119
Propriedades qualitativas.................................................................................................................120
A procura da solução explícita........................................................................................................ 120
Aspectos qualitativos da solução......................................................................................................121
Mais um modelo populacional........................................................................................................122
Exercícios.................................................................................................................................................123
6.4 Notas históricas........................................................................................................................................123
As equações diferenciais e a Ecologia.............................................................................................123
As equações diferenciais e o sistema solar..................................................................................... 125
O problema dos n corpos................................................................................................................126
Estudo local e global das equações diferenciais........................................................................... 127
7 Limites e integrais impróprias.................................................................................................128
7.1 Limite de uma fimção no infinito............................................................................................................128
Exercícios.................................................................................................................................................131
Sugestões................................................................................................................................................. 132
7.2 Integrais impróprias — intervalo üimitado............................................................................................ 132
Outros tipos de integrais impróprias.............................................................................................. 134
Integrais absolutamente convergentes............................................................................................ 135
Exercícios................................................................................................................................................ 137
Sugestões.................................................................................................................................................137
7.3 Limite e integrais impróprias — intervalo lim itado............................................................................... 138
Integrais impróprias — intervalo limitado...................................................................................... 139
Exercícios................................................................................................................................................ 142
7.4 Notas históricas........................................................................................................................................142
Os números reais.............................................................................................................................. 142
O rigor na Análise Matemática......................................................................................................... 143
8 Seções cônicas........................................................................................................................... 145
8.1 A elipse..................................................................................................................................................... 145
Provando a recíproca........................................................................................................................ 147
Propriedades e exemplos..................................................................................................................147
Propriedade de reflexão da elipse....................................................................................................150
Exercícios................................................................................................................................................ 151
Respostas e sugestões............................................................................................................................152
8.2 A hipérbole............................................................................................................................................... 152
Provando a recíproca.........................................................................................................................153
Propriedades da hipérbole................................................................................................................154
Propriedade de reflexão da hipérbole............................................................................................. 156
Exercícios................................................................................................................................................ 157
Respostas, sugestões e soluções.......................................................................................................... 158
8.3 A parábola.................................................................................................................................................158
Propriedades e exemplos..................................................................................................................159
O trinômio do segundo g rau .............................................................................................................160
A parábola como posição-limite de uma elipse............................................................................... 161
Propriedade de reflexão da parábola...............................................................................................162
Sumário
Exercícios................................................................................................................................................ 163
Respostas, sugestões e soluções.......................................................................................................... 164
8.4 Rotação de eixos...................................................................................................................................... 164
O caso da hipérbole.......................................................................................................................... 165
8.5 As quádricas.............................................................................................................................................165
Invariância do discriminante............................................................................................................169
Exercícios................................................................................................................................................ 170
Respostas e sugestões..............................................................................’........................................... 170
8.6 Notas históricas........................................................................................................................................170
Apolônio e as seções cônicas............................................................................................................170
Belas demonstrações geométricas................................................................................................... 171
Aplicações das cônicas......................................................................................................................172
9 Vetores e curvas no plano................................................................................................ .. 174
9.1 Introdução aos vetores.............................................................................................................................174
Representação gráfica....................................................................................................................... 175
Regra do paralelogramo.................................................................................................................... 175
Propriedades......................................................................................................................................176
Dependência e independência Linear...............................................................................................177
Espaço vetorial.................................................................................................................................. 177
Exercícios................................................................................................................................................ 178
Respostas................................................................................................................................................. 178
9.2 Produto escalar........................................................................................................................................ 178
Exercícios.................................................................................................................................................182
Respostas................................................................................................................................................. 182
9.3 Equação da re ta ........................................................................................................................................183
Equações paramétricas..................................................................................................................... 184
Reta por dois pontos......................................................................................................................... 186
Exercícios.................................................................................................................................................187
Respostas, sugestões e soluções...........................................................................................................188
9.4 Equações paramétricas de uma curva.................................................................................................... 188
Exercícios.................................................................................................................................................192
Respostas................................................................................................................................................. 193
9.5 Derivada de função vetorial.....................................................................................................................193
Vetor tangente...................................................................................................................................194
Propriedades da derivada.................................................................................................................195
Comprimento de arco ....................................................................................................................... 195
Exercícios................................................................................................................................................ 197
Respostas, sugestões e soluções.......................................................................................................... 197
9.6 Coordenadas polares................................................................................................................................198
Coordenada radial negativa.............................................................................................................. 201
A elipse em coordenadas polares.....................................................................................................202
Área em coordenadas polares.......................................................................................................... 203
Comprimento de arco ....................................................................................................................... 204
Exercícios................................................................................................................................................ 204
Respostas, soluções e sugestões..........................................................................................................205
9.7 Curvatura..................................................................................................................................................207
Interpretação geométrica................................................................................................................. 207
Expressões da curvatura.......................................................................................... 208
Círculo osculador.............................................................................................................................. 210
Exercícios................................................................................................................................................ 211
Respostas, sugestões e soluções...........................................................................................................212
9.8 Movimentos planos . . . . \.............................................. 213
Veículo numa curva ........................................................................................................................ 215
Movimento ao longo de uma ciclóide...............................................................................................216
Exercícios.................... . '......................................................................................................................... 218
Respostas, sugestões e soluções.......................................................................................................... 218
Sumário XI
9.9 Movimento planetário..............................................................................................................................219
As leis de Kepler............................................................................................................................... 219
Decomposição da velocidade e Ha aceleração.................................................................................220
Força central..................................................................................................................................... 221
A lei da gravitação............................................................................................................................ 221
Exercícios................................................................................................................................................ 224
Respostas, sugestões e soluções..........................................................................................................224
9.10 Notas históricas........................................................................................................................................224Huygens e a ciclóide......................................................................................................................... 224
A Astronomia, de Pitágoras a Copérnico........................................................................................225
Tycho Brahe e Johannes Kepler...................................................................................................... 226
A teoria da gravitação..............................................................................................................................227
índice.................................................................................................................................................229
Prefácio
Este livro é o segundo tomo de uma obra em dois volumes sobre o Cálculo das funções de uma variável. Assim como 
o Volume 1, recentemente lançado em sua 7.̂ edição, a presente edição do Volume 2 apresenta modificações mais 
substanciais que as anteriores.
O trabalho que realizamos aqui tem início numa revisão completa do nosso antigo “Cálculo 2”, com acréscimos e 
melhorias de redação em vários pontos, desdobramentos de capítulos e acréscimo de um novo capítulo sobre equa­
ções diferenciais. As notas históricas também foram bastante ampliadas.
O Capítulo 1 contém matéria importante sobre aplicações da integral no cálculo de comprimentos de arcos, áreas 
e volumes. No Capítulo 2 tratamos da aproximação de funções por poünômios, introduzindo aí o pohnômio de Taylor, 
um tópico que terá continuidade no Capítulo 5, sobre séries de potências ou séries de Taylor. Mas, para isso, é ne­
cessário primeiro tratar das seqüências e séries infinitas, tópicos esses que são objeto dos Capítulos 3 e 4, respecti­
vamente. É no Capítulo 3 que temos, pela primeira vez, oportunidade de introduzir a definição rigorosa de limite, 
conceito esse que será estendido às funções no Capítulo 7.
O Capítulo 6, sobre equações diferenciais, é apenas uma introdução, pois esse assunto é bastante extenso e especializado, 
e costuma ser tratado em disciplina separada. No entanto, um estudante que cursa Cálculo até poünômios e séries de Taylor 
não deve dekar de ter uma idéia do que sejam equações diferenciais. Apresentamos os exemplos mais simples dessas equa­
ções, piincipaJmente no contexto do estudo de fenômenos importantes de crescimento ou decrescimento populacional. 
O estudo dessas equações é particularmente adequado à apresentação de métodos computacionais, seja para a constru­
ção de campos de direção, seja para a obtenção de curvas-soluções. Mas, como dissemos no Prefácio do Volume 1, o es­
tudante não deve utüizar o computador sem umrníriimo de informação sobre o que os softwares estão fazendo. Há muita 
Matemática por trás desses softwares; e as equações diferenciais, especialmente, oferecem excelente oportunidade para 
ao menos esboçar o método ádi poligonal de Euler, subjacente à construção das curvas-soluções das equações.
O Capítulo 7 contém uma apresentação da teoria do ümite de funções. Embora esse seja um tópico de introdução 
à Análise Matemática, deve ser apresentado nos cursos de Cálculo. Mas, para não sairmos muito do espírito do cur­
so, fazemos a apresentação num contexto apücado, aproveitando as noções de integrais impróprias de funções que 
não admitem primitivas que sejam funções conhecidas. Mesmo assim, não nos estendemos além do que é razoável e 
adequado a um curso de Cálculo.
O Capítulo 8 é um breve complemento de Geometria Analítica, um estudo que costuma ser feito no próprio Cál­
culo nos currículos que dispensam um tratamento separado daquela disciplina. Tratamos as cônicas, em particular 
a hipérbole e a parábola, que, até agora, desde o Volume 1, só foram consideradas como gráficos de funções; e a 
elipse, que será utüizada no capítulo seguinte, para deduzirmos a lei da gravitação de Newton.
O livro termina com o Capítulo 9, que contém uma introdução ao estudo das curvas com auxílio da Análise Veto­
rial, fundamento do estudo dos movimentos; contém ainda as importantes coordenadas polares, particularmente a 
equação da elipse nessas coordenadas, na forma que será utilizada no que é a aplicação mais interessante e impor­
tante do üvro — a obtenção da lei da gravitação a partir das três leis de Kepler.
A bibliografia comentada que incluímos no final do Volume 1 aplica-se igualmente ao presente volume, visto que 
os dois volumes formam uma obra única sobre as funções de uma variável. Algumas referências adicionais são feitas 
esparsamente ao longo do presente livro e complementam aquela bibliografia.
Mais uma vez, é com prazer que agradecemos a nossos colaboradores; a Roberto dos Santos Melo Oliveira, que 
cuidou da elaboração das figuras e prestou-nos inestimável ajuda na composição do texto com o sistema ; aos 
nossos Editores, pelo continuado interesse e apoio ao nosso trabalho; e a toda a equipe da LTC Editora, especial­
mente aos revisores, pelo trabalho competente e dedicado que realizaram.
Geraldo Ávila 
Brasilia, janeiro de 2004
Capítulo 1
Aplicações da integral
A integral foi introduzida no Capítulo 10 do Volume 1, onde já apresentamos algumas aplicações interessantes 
desse conceito. Foram poucas, tendo em conta que, ao lado da derivada, a integral aparece com freqüência em 
todo 0 Cálculo, como veremos ao longo do curso; e mais ainda em Cálculo das Funções de mais de uma Variável, 
que é objeto de um terceiro livro de nosso curso de Cálculo.
No presente capítulo veremos como a integral pode ser utilizada para calcular comprimentos de arcos, e 
também para calcular áreas e volumes em situações relativamente simples, onde esses cálculos podem ser reduzidos 
a integrais de funções de uma variável. O leitor deve notar que as próprias definições desses conceitos de 
comprimento de arco, áreas e volumes são dadas em termos da integral: o procedimento é inicialmente intuitivo, 
motivado pela visualização geométrica; mas depois esses conceitos são definidos como certas integrais.
As apresentações que fazemos aqui são uma boa ilustração dos trabalhos dos matemáticos logo no início do 
desenvolvimento do Cálculo, antes mesmo que o conceito de integral tivesse sido devidamente formulado. Em 
todo o capítulo limitamo-nos a exemplos ilustrativos, o suficiente para que o leitor tenha uma boa idéia dessas 
aplicações. Não é um assunto que mereça tratamento mais extenso, mesmo porque atenção maior deve ser 
dedicada a tópicos de maior relevância no curso.
1.1 Comprimento de arco
Veremos, nesta seção, como a integral é usada para definir e calcular o comprimento de um arco de curva. 
Supomos que o arco seja o gráfico de uma função y = f(x) , que, juntamente com sua derivada, seja contínua 
num intervalo [a, ò]. Vamos dividir esse intervalo em n subintervalos iguais, cada um de comprimento 
A x = {b — a ) /n} Sejam
a ^ Xq < xi < X2 < .. . < Xn = b
os pontos dessa divisão, e seja Pi o ponto de coordenadas f{xi)). Denotaremos com A = (a, /(a )) 
o primeiro desses pontos, e com B = (6, f{b)) o último deles. Desse modo construímos uma poligonal 
PqPi P2 . . . Pni que é uma aproximação ao arco de curva que estamos considerando (Fig. 1.1a). A Fig. 1.1b 
ilustra o segmento genérico Pí- \P í (onde 1 < i < n), cujo comprimento é dado por
P i-iP i = yAa:2 + A y‘f.
Pelo Teorema do Valor Médio, existe um ponto entre Xi-\ e xi, tal que
^ V i = f { x i ) - f { x i - i ) = f ' { ^ i ) { x i - X i - i ) = f { ^ i ) A x . 
Daqui e da expressão anterior, obtemos:
P i-iP i = V l + f W A x .
^Os intervalos não precisam ser “iguais”, isto é apenas uma conveniência para fazermos seus comprimentos tenderem a zero 
(com n oo). Se os intervalos fossem diferentes, faríamos o comprimento do maior deles tender a zero.
Capítulo 1 Aplicações da integral
Para obter o comprimento da poligonal P0P1P2 . . . Pn-iPn, basta somar os comprimentos de seus lados 
PqPi , P 1P 2, . . . , Pn-iPn- Isso nos dá:
= p V i + W W a x .
2 = 1 2 = 1
Figura 1.1
Esta expressãoé uma soma de Riemann relativa à função y^l + Seu limite, com n ^ 00, é a
integral desta função entre os limites x = a e x = b. Mas quando n ^ 00, os pontos adjacentes P^-i e 
Pi ficam cada vez mais próximos e a poligonal vai-se aproximando cada vez mais da curva. Isso motiva a 
definição do comprimento s da curva, de A até B, como sendo a integral referida, isto é,
P _________
5 = / \ / l + f ' ( x y dx. 
J a
( 1.1)
Vamos reescrever esta expressão, substituindo a variável de integração x por í e o limite h por x. O 
comprimento de arco s passa a ser uma função de x, digamos s(a;) (ou simplesmente s, se não houver 
ambigüidade):
s(a:) = í \ / l + f i t y d t . (1.2)
J a
Daqui e do Teorema Fundamental do Cálculo segue-se que
s'(x) = V 1 + 7 1 P - (1,3)
Observe que este resultado independe do ponto A particular, a partir do qual começamos a medir o arco. Se 
escolhêssemos outro ponto C, em vez de A, isto só faria alterar a expressão (1.2) por uma constante aditiva 
(Fig. 1.2), e não mudaria a derivada (1.3).
Figura 1.2
1.1 Comprimento de arco
A fórmula (1.3) permite mostrar que se considerarmos um ponto P = {x, /(^ ) ) da curva e um ponto 
vizinho
Q = (x-\- Ax, f {x 4- Aa:)),
então a razão do arco PQ para a corda PQ, isto é, PQ /PQ, torna-se cada vez mais próxima de 1 quanto 
mais Q se aproxima de P (Fig. 1.3), vale dizer,
lim | ~ = 1.Aa;^0 PQ (1.4)
(Nesta expressão, tanto o arco PQ como a corda PQ são considerados sempre positivos, não importa se Q 
está à direita ou à esquerda de P.) Para provar (1.4), observe que
Então,
lim
PQ = \/(A x)^ -|- (A /)2 e PQ = |5((r -|- Acc) — s{x)\ = |Asj. 
PQ T |As| |A5/Aa)| P{x)lim = lim
Ax^O PQ Ax^O a/ A x "̂ -\- A p Ax-^Q ( A f / A x ^ y^l /'(cc)^ 
Daqui e de (1.3) obtemos (1.4), que é o resultado desejado.
Figura 1.4
Geometricamente, o resultado que acabamos de demonstrar significa que, quando Q tende a P , o arco
PQ tende a coincidir com a corda PQ (Fig. 1.4). Isso era de se esperar, em face da própria definição de 
comprimento de arco que foi dada.
Quando usamos a fórmula (1.1) para calcular o comprimento de um arco, mesmo em casos de funções / 
relativamente simples, somos levados a integrais que raramente podem ser efetuadas em termos de funções 
elementares. Vejamos alguns exemplos.
E xem plo 1. Vamos calcular o comprimento do arco dado por
^ ^ - x
f(x) = cosha: = -----------,
digamos, para 0 < < ò (Fig. 1.5). A função aqui considerada é o co-seno hiperbólico, cujo gráfico é uma
catenária. De acordo com a fórmula (1.1), com a = 0, obtemos:
1 +
a/ ( c ̂+ e
2 Ç 4 + (e2x _ 2 + e-^^) ,
d x = —---------------------------- dxJo 2
■b x̂ I ^—x
dx
e"" -H e _ gò _ g & 
dx = -----------.
'0
Capítulo 1 Aplicações da integral
No entanto, uma simples mudança de escala pode levar a um integrando que não se preste a um cálculo tão 
fácil da integral. E o que acontece quando consideramos a função g(x) = = 2 / (cr) (Fig. 1.6), com
a qual obtemos, para o comprimento de arco, a expressão
í \ / l + (e^ — e~^ydx = í — Idx,
Jo JQ
que não é calculável em termos de funções elementares.
E xem plo 2. Vamos calcular o comprimento de uma circunferência de raio r, que supomos centrada na 
origem dos eixos de coordenadas (Fig. 1.7). Para isso basta tomar o dobro do comprimento da semicircun- 
ferência dada por
y = \ / r ^ — cĉ , —r < cr < r,
que jaz no semiplano superior y >0. Então,.de acordo com a fórmula (1.1), o comprimento da circunferência 
é dado por
dx
c = 2 í ^ 1 + (ŷ ydx = 2r í --------^
J - r j - r - x^
Pondo X = rcos^ , obtemos dx = — r sen Bd6 e
c = —2r / dO = 27rr,
Jtt
que é um resultado bem familiar.
Figura 1.7 Figura 1.8
1.1 Comprimento de arco
E xem plo 3. Seja calcular o comprimento do arco de curva
y = ̂ 0 < a: < 1,
ilustrado na Fig. 1.8. Aplicando a fórmula (1.1) diretamente, obtemos:
a/ 9 xÃ^ + 4
integral esta que pode ser calculada com a substituição x = z^. No entanto, é mais fácil adotar aqui uma 
inversão dos papéis de a; e y. Deste modo, o arco considerado passa a ser descrito considerando a:,como 
função da variável independente y:
X = 0 < y < 1.
Então,
4 27
Observação. A fórmula (1.2) nos dá o comprimento de arco, entre os pontos Pq = (a, /(a )) e P = 
{x, f(x)) , contado a partir de P q, pressupondo x > a. No entanto, essa fórmula define s = s{x), mesmo para 
X < a, embora tais valores de s sejam negativos. Isto é natural, pois começamos a contar o comprimento 
de arco a partir de Pq; s = s{x) é uma função crescente de x, que associa a cada ponto P da curva um 
número s, que é a distância de Pq a P ao longo da curva, sendo essa distância positiva ou negativa conforme 
seja X > a ou X < a. Deste modo, o sentido crescente de x induz um sentido de percurso sobre a curva, da 
esquerda para a direita. Podemos, evidentemente, inverter esse sentido de percurso, mudando o sentido de 
5, isto é, definindo
s(x) = - í y^l + f ' ( tYdt.
Disto resultaria, então, 5̂ (cr) = — y^l + f ' ( x Y < 0; portanto, s{x) seria decrescente, com s{x) > 0 para 
X < a e s{x) < 0 para x > a.
Exercícios
Calcule os comprimentos de arco das curvas dadas nos Exercícios 1 a 12, e faça os respectivos gráficos. Alguns desses 
exercícios envolvem integrais a calcular que são relativamente simples. Outros exigem integrações mais complicadas, 
porém que podem ser feitas com os métodos descritos no Capítulo 11 do Volume 1; ou ainda, com a utilização de um 
programa como o Maple ou o Mathematica.
3. [x — 1) ̂ — (y + 1) ,̂ 0 < a; < 1.1. y = x^P^ 0 < a: < 3. 2. y = (rc + 1)3/2, 1 < 2; < 5. 3.
4. y = Inx, 1 < a: < 2. 5. y Incosa:, 0 < x < tt/4. 6.
7. y = + 2)3/2, _ i < a; < p
O
8. y = + 1?''^, - 2 < x < 0 . 9.
x ̂ 1
10. y = — + — , 1 < a: < 3. 
 ̂ 3 4x “ “
11. 1 < X < 3 . 12.
Respostas
1. (3 1 \/3 T -8 )/2 7 . 3. (13\/Í3 - 8)/27. 5.
7. 8/3. 9. 3 /2 + ( ln 2 ) /4 . 11.
16. y = ln(l - ~ - < x < -
x^ In a: ^
- -------1 < a:: '2 4
12. y = e^, -1 < a: < 1.
Capítulo 1 Aplicações da integral
1.2 Volume dos sólidos de revolução
Vimos, no Volume 1, como a idéia intuitiva de área motivou o conceito de integral e nos levou a introduzir 
este conceito como limite de uma soma de Riemann. Assim, a idéia de área serviu apenas como motivação; 
a integral acabou sendo definida de maneira puramente numérica, não dependendo mais de se saber o que 
é área. A área é que é definida em termos da integral. O mesmo se passa com a noção de comprimento de 
arco, como vimos na seção anterior; e também com o conceito de volume, como veremos agora.
Seja / uma função positiva e contínua num intervalo [a, õ], e seja R a figura delimitada pelo gráfico de 
/ , o eixo dos a; e as retas x = a e x = b. Imprimindo-se a R uma rotação de 360° em volta do eixo Ox, 
obtemos o que se chama sólido de revolução (Fig. 1.9). Para calcular o volume V desse sólido, começamos
b — a
por dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais, cada um de comprimento A x = ------ . Sejam
n
a = xq < xi < X2 < > - ■ < Xn — b os pontos dessa divisão. Em cada subintervalos [xi^i^ Xi] tomamos um 
ponto qualquer, que pode mesmo ser Xi-i ou Xi. Isto conduz a uma aproximação do sólido original pela 
reunião de n cilindros circulares retos, formando várias “fatias” , a i-ésima delas sendo um cilindro de raio 
/(Cí) 6 altura Ax, portanto de volume 7rf{^i)‘̂ Ax (Fig. 1.10). A soma dos volumes dos n cilindros.
Y^7Tf{^ i fAx ,
i=l
é uma soma de Riemann, cujo limite, quando n cx), é a integral de 7rf{x)‘̂ entre os limites x = a e x = b. 
Mas quando n oo, a soma acima aproxima, mais e mais, o volume V que desejamos calcular. Portanto,
V = / 7rf{x)‘̂ dx. (1.5)
Figura 1.9
E xem plo 1. Vamos utilizar o método de revolução para calcular o volume da esfera de raio r. Imagi­
namos a esfera como o sólido de revolução que se obtém girando o semicírculo A B C (Fig. 1.11) em torno 
do eixo Ox. Como esse semicírculo é dado por
f{x) = V —r < x < r ,
a fórmula (1.5) nos dá:/ r rr
TTf{x)‘̂ dx - / 7r(r^ — x ‘̂ )dx = 27rr^ —
-r J —r
que é a conhecida fórmula do volume da esfera.
27rr^ 47rr^
1.2 Volume dos sólidos de revolução
f{x) = \ j
Figura 1.11 Figura 1.12
E xem plo 2. Vamos achar o volume do sólido que se obtém por rotação, em torno do eixo dos y, da 
figura delimitada pelo arco de parábola y = y/x (0 < a: < 4), o eixo e a reta y — 2 (Fig. 1.12). Neste 
caso, como se tra ta de sólido de revolução em torno do eixo Oy, a fórmula (1.5) deve ser mudada para
onde X = /(y ) = y^ ̂ 0 < ^ < 2. Então,
V = / 7Tf{yfdy,
Jo
V = J iry dy = — - 6, 47t.
E xem plo 3. Consideremos o sólido obtido por rotação em torno do eixo Oy^ da figura compreendida 
entre o arco de parábola y = y/x (0 < x < 4), o eixo Ox e a. reta x = 4 (Fig. 1.13). O volume desse sólido 
é a diferença entre o volume do cilindro circular reto de raio r = 4 e altura = 2, e o volume do sólido 
considerado no exemplo anterior. Portanto,
V = Trr^h - 6, 47T = 7t(32 - 6,4) = 25, ôtt.
y = Vx
Figura 1.13
M étod o das cascas cilíndricas
Descrevemos, a seguir, um outro modo de calcular o volume de um sólido de revolução que, em muitos casos 
concretos, é mais conveniente que o método dado pela fórmula (1-5). Suponhamos que o sólido seja obtido 
por rotação, em torno do eixo Oy, da figura compreendida entre uma curva y = f{x), o eixo Ox e as retas 
X = a e X = b (Fig. 1.14). Desta vez não recorreremos às somas de Riemann; vamos primeiro calcular
Capítulo 1 Aplicações da integral
dVjdx, considerando o volume correspondente ao valor h = x como função de a;: V = V{x). O acréscimo 
AC = V{x-\- /\x) — V(x) pode ser calculado multiplicando-se a área da coroa circular de raios x e x -h Ax 
por um valor f(^), onde Xi é um ponto conveniente entre x e x + Ax. Então,
A C 7r(a: -K Ax)^ — ttx̂
f{Q = 27Txf{0 +A x Ax
Como supomos que / seja contínua, ^ ^ x e /(^ ) ^ f(^ ) , à medida que Ax 0; logo,
X X + Ax
Para obtermos o volume C(ò), vamos integrar esta expressão, de a; = a a a: = ò, observando que C (a) = 0. 
Então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos:
( 1.6)C(ò) = C = í 2nxf{x)dx. 
J a
Figura 1.15
E xem plo 4. Vamos calcular o volume do sólido gerado por rotação, em torno do eixo Ox^ da região do 
plano Oxy delimitada pela curva y = 2 x - x ‘̂ e o eixo Ox. Essa curva é o trecho da parábola y = 1 - (a; -1 )^ , 
que começa na origem, atinge um máximo no ponto x = 1 e volta ao valor zero no ponto x — 2 (Fig. 1.15). 
Se quiséssemos usar a fórmula (1.5), teríamos de adaptá-la ao fato de termos um sólido de revolução em 
torno do eixo Oy e não do eixo Ox\ além disso, seria preciso subtrair o volume correspondente ao arco de 
parábola no trecho 0 < a: < 1 do volume correspondente ao trecho 1 < x < 2. Esses arcos são dados por
P_; x = l - ^ / l - y = g(y) e P^\ x = I - - y = h{y),
ambas as funções com domínio 0 < ^ < 1. Teríamos, assim,
C = í TT[h{yf - g{yf]dy = Air í ^/\-ydy = 
jo ao
Stt
3~
1.2 Volume dos sólidos de revolução
No entanto, é muito mais fácil, neste caso, utilizar a fórmula (1.6), que nos dá:
.4 \ 2
V
f ‘̂ 2̂ 1 f 4:7TX̂ StT
/„ ---------=
Exercícios
Em cada um dos Exercícios 1 a 21, calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da figura dada em torno do 
eixo indicado. Faça o gráfico em cada caso.
1 . y — 3a;/2, y = 0 e x = 2, em volta de Oy.
2. y — 1 — X = 0 e y = 0, em volta de Ox.
3. Mesma figura do exercício anterior, em volta de Oy.
4. y = x^, X = 0 e y = 1, em volta de Ox. /
5. Mesma figura do exercício anterior, em volta de Oy. _ /
6. y — (x + 1)^/^, x = 0, x = 7 e y = 0, em volta de Ox.
7. Mesma figura do exercício anterior, em volta de Oy.
8. y — 1/x, y — 0, x — l e x = a > l , em volta de Ox. Considere esse volume com a ^ oo e dê uma interpretação
geométrica ao resultado. Considere, em seguida, o caso 0 < a < 1 e o limite com a ^ 0.
9. y — y = 0, x — l e x = £ ( 0 < e < l ) , em volta de Ox. Considere esse volume com £ ^ 0 e interprete o
resultado geometricamente. Considere, também, o caso g: > 1 e o limite com e ^ oo.
10. y = a/ x, X = 0 e y = 1, em volta de Oy.
11. y = x^ —x e y = 0, em volta de Ox.
12. Mesma figura do exercício anterior, em volta de Oy.
13. y — X, y = y/1 — x ̂ e y = 0, em volta de Ox.
14. Mesma figura do exercício anterior, em volta de Oy.
15. y = senx, 0 < x < / tt, em volta de Ox.
16. Mesma figura do exercício anterior, em volta de Oy.
17. y ^ x ” , y = 0 e x = l, em volta de Ox, onde n é um inteiro positivo. Considere o limite desse volume com 
n —> oo e dê uma interpretação geométrica ao resultado.
18. y = 0, y = x^ e a reta tangente a esta curva em x = 1, em volta de Ox.
19. Mesma figura do exercício anterior, em volta de Oy.
20. y = e^, y = 0, x = 0 e x = 1, em volta de Ox.
21. Mesma figura do exercício anterior, em volta de Oy.
22. Considere uma calota determinada numa esfera de raio r por um plano cuja distância ao centro da esfera é h < r. 
Mostre que o volume da calota é
27rr ̂ Tiĥ 2,------- -̂-------- Tvr^h.
10 Capítulo 1 Aplicações da integral
23. Mostre que o volume do sólido gerado por rotação da elipse
+ í)2
em torno do eixo Ox é 47raò^/3. Esse sólido é chamado elipsóide. Ele é alongado se a > b e .achatado se a < b. 
Os elipsóides alongados e achatados são também designados prolato e oblato, respectivamente. Observe que essa 
fórmula do volume se reduz ao volume da esfera quando a = b = r.
24. Deduza a fórmula (1.5) calculando dVfdx e integrando, como fizemos para obter a fórmula (1.6).
Respostas, sugestões e soluções
1. 47T.
8. Veja o Exercício 9.
9. Observe que
3. 7t/2. 5. 37T/5- 6. ^ (̂ 8=̂ /3- 2V 3) . 7 . 7 r j \ v ^ - í f d y .
j TTf{x)̂ dx — j ® = 37t(1 — e^/^) ^ 37t com e ^ 0.
Isso significa que, à medida que e —> 0, o conjunto ilustrado na Fig. 1.16 “tende”a um conjunto ilimitado, porém 
de volume finito 37t. Se £ > 1, devemos integrar de 1 a e:
J T^fipcfdx — 37t(£ /̂ ̂— 1) ^ 00 com £ ^ 00.
Agora, quando £ ^ 00, o conjunto ainda “tende” a um conjunto ilimitado, porém de volume infinito (Fig. 1.17).
11. 7t/30.
Figura 1.16 Figura 1.17 Figura 1.18
^1/V2 n
13. / x‘̂ dx+ (1 - a;2)dx = 7t(2 - ^ ) / 3 . 15. tt/2.
Jq J 1/V2
17. V = Vn = -------- e lim Vn = 0. Geometricamente, quando n ^ 00 a curva tende a coincidir com a reta y == 0, o
2n + 1 n^oo
que torna o volume nulo (Fig. 1.18).
19. 7t/12. 21. Lembre-se de que J y dy — J I n y • d{y Iny — y) .
1.3 Volume de um sólido qualquer 11
1.3 Volume de um sólido qualquer
Vamos obter agora uma fórmula que nos permita calcular o volume de um sólido qualquer, não neces­
sariamente de revolução. Escolhido arbitrariamente um eixo Ox, vamos supor que o sólido dado esteja 
compreendido entre dois planos perpendiculares a Ox, cortando este eixo nos pontos x — a e x = b, respec­
tivamente. Seja A{x) a área da interseção do sólido com o plano perpendicular a Ox no ponto x (Fig. 1.19); 
diremos que o; é a abscissa deste plano e suporemos que A{x) seja uma função contínua de x. Indicaremos 
com V{x) o volume daquela parte do sólido compreendida entre os planos de abscissas a e x. O volume
A v V{x + Ax) - V{x)
compreendido entre os planos de abscissas x e x A A x é igual ao volume de um cilindro reto de altura A x e 
base de área dL(^), onde ^ é um ponto conveniente do intervalo [x, x Ax]: A V = A(^)Ax. Como A{x) é 
função contínua e ^ ^ x com A x 0,
—— = lim --— = limA(-^) = Aix).
dx Ax^o A x ̂ ^
Finalmente, basta integrar esta expressão entre x = a e x — be usar o Teorema Fundamental do Cálculo, 
para se obter o volume do sólido. Como V(a) = 0 e V(ò) = V, obtemos
V = A[x)dx. (1.7)
Esta fórmula serve para exprimir o volume de qualquer sólido, desde que se conheçam as áreas A{x) de 
suas seções transversais, relativamente a um eixo Ox. Veremos a seguir dois exemplos de aplicação dessa 
fórmula.
E xem plo 1. Com referência à Fig. 1.20, vamos calcular o volume de um sólido cuja base é o círculo 
x^ + < e cujas seçõesperpendiculares ao eixo Ox são triângulos isósceles ABC, retângulos em A.
Observe que
AD = DC = - x^,
de forma que a área do triângulo AB C é
A{x) = = D C - A D = r ^ ~
Daqui e da fórmula (1.7), obtemos
V = — x^)dx = ( r ‘̂ x — —
„ “ 3
12 Capítulo 1 Aplicações da integral
V r^ —
Figura 1.20
E xem plo 2. Neste exemplo a fórmula (1.7) será utilizada para calcular o volume da interseção de dois 
cilindros circulares de raios iguais, cujos eixos se cruzam em ângulo reto (Fig. 1.21a). A Fig. 1.21b ilustra o 
sólido interseção dos cilindros; repare que as seções desse sólido por planos paralelos aos eixos dos cilindros 
são quadrados.
(a)
Figura 1.21
O círculo que aparece na Fig. 1.22 é a interseção do plano Oyz com o cilindro de eixo Ox^ e AC é o lado 
do quadrado interseção de um dos planos paralelos a Oxy com o sólido cujo volume V queremos calcular. 
Utilizando a fórmula (1-7) e a notação indicada na Fig. 1.22, teremos:
U = /* (AC) ̂dz — í {2BC)‘̂ dz — 4c í (r^ - z ‘̂ )dz = ̂ í ̂z ‘̂ )dz 
J — T’ J — r J —r J 0
16r^
É interessante comparar esse resultado com o volume da esfera, que é 47rr^/3. Como se vê, este volume 
é inferior ao volume U, o que era de se esperar, já que a esfera está propriamente contida no sólido cujo 
volume acabamos de calcular.
1.3 Volume de um sólido qualquer 13
Figura 1.22
P rin cíp io de Cavalieri para volum es
Uma outra conseqüência interessante da fórmula (1.7) é a proposição^^e^inte, conhecida como
Princípio de Cavalieri para volum es. Se dois sólidos são tais que, relativamente a um mesmo eixo 
Ox, suas seções transversais correspondentes à mesma abscissa x têm áreas iguais A{x), então eles têm 
volumes iguais.
Na verdade, assim formulado esse princípio é caso particular da seguinte versão mais geral, cuja 
demonstração é fácil e deixamos a cargo do leitor.
Princípio de Cavalieri para volum es (form a geral). Consideremos dois sólidos de volumes Vi 
e V2, respectivamente. Suponhamos que, relativamente a um mesmo eixo Ox, suas seções transversais 
correspondentes à mesma abscissa x tenham áreas Ai{x) e A 2{x), respectivamente, tais que Ai{x) — kA2{x), 
onde k é uma constante. Então, Vi = kV2.
Observe que ter áreas iguais não significa que as seções sejam congruentes. Por exemplo, na Fig. 1.23 
exibimos dois sólidos com o mesmo volume: o da esquerda é um cilindro circular reto, de raio r e altura h; o 
da direita é uma deformação desse cilindro, porém com a mesma altura h e com todas as seções transversais 
de mesma área Trr .̂
E xem plo 3 (Volum e da esfera). Um exemplo interessante de aplicação do Princípio de Cavalieri 
ocorre quando calculamos o volume da esfera, comparando a esfera com um cone e um cilindro. Para 
fixar as idéias, consideremos uma esfera de raio R centrada em O, e seja Ox um eixo de abscissas. Com 
referência à parte central da Fig. 1.24, é fácil ver que o plano perpendicular a Ox, pelo ponto de abscissa 
X, intersecciona a esfera num círculo de área
7T X AB^ = 7t(R ̂ — x^) = tiR? — TIX̂ .
Note que esta expressão é a diferença das áreas de dois círculos, um de raio R e outro de raio x. Isso 
sugere que desenhemos, ao lado do hemisfério superior da esfera, um cilindro circular e um cone circular 
reto, ambos com raios das bases e alturas iguais a R, obedecendo mais ao seguinte: a base do cilindro e 
o vértice do cone situados no mesmo plano passando pela origem O e perpendicular a Ox: o eixo do cone 
perpendicular a esse plano e a base para cima, como ilustra a Fig. 1.24. Agora fica fácil de ver que o mesmo 
plano perpendicular a Ox pelo ponto de abscissa x intersecciona os três sólidos, na ordem em que aparecem 
na figura, em círculos de áreas ttR^, 7t(í7̂ — x"̂ ) e ttx̂ , respectivamente. Como a primeira dessas áreas é a 
soma das outras duas, concluímos, pelo Princípio de Cavalieri, que o volume do cilindro é igual ao volume
14 Capítulo 1 Aplicações da integral
de metade da esfera somado ao volume do cone. Isto significa que, denotando com V o volume da esfera, 
devemos ter:
V ttR^
donde, finalmente, obtemos V =
AttR^
Figura 1.23
Figura 1.24
Exercícios
Calcule os volumes dos sólidos descritos nos Exercícios 1 a 6.
1. A base do sólido é o triângulo 0 < y < x < l , e a s seções perpendiculares ao eixo Ox nos pontos de abscissas x 
são semicírculos de diâmetros x.
2. A base do sólido é o círculo < r^, e as seções perpendiculares ao eixo Ox nos pontos de abscissas x são
quadrados de lados 2 \/r^ —
3. A base do sólido é o quadrado de vértices (±1, ±1), e as seções perpendiculares ao eixo Ox nos pontos de abscissas 
X são triângulos de base 2 e alturas h{x) = 1 + xsenirx.
4. A base do sólido é o círculo < r^, e as seções perpendiculares ao eixo Ox nos pontos de abscissas x são
triângulos equiláteros de lados 2\/r^ — x' .̂
5. A base do sólido é a figura delimitada pelas curvas y = ± (l — —l < a : < l ; e a s seções perpendiculares ao
eixo Ox nos pontos de abscissas x são triângulos de bases 2(1 — x^) e alturas h{x) — cos(7ra:/2).
6. A base do sólido é a figura delimitada pelas curvas y = ±{x + e^), 0 < a : < l ; e a s seções perpendiculares ao eixo 
Ox nos pontos de abscissas x são semicírculos de raios x + e^.
7. Use a fórmula (1.7) para provar a fórmula (1-5).
1.4 Área de uma figura plana qualquer 15
Respostas
1 . 7t/ 24. 3 . 2. 5 . 32/ tt̂
1.4 Area de uma figura plana qualquer
Um procedimento inteiramente análogo ao da seção anterior permite obter uma fórmula para a área de uma 
figura plana arbitrária R. Escolhido um eixo Ox, vamos supor que a figura dada esteja compreendida entre 
duas retas perpendiculares ao eixo Ox, que cortam esse eixo em x = a e x = b, respectivamente (Fig. 1.25).
Seja A{t) a área daquela parte de R que está compreendida entre x = a e x — t, e seja A a área de 
toda a figura R. Vamos calcular A'(t). Para isso consideremos a interseção de R com a reta x = t. Vamos 
supor que esta interseção consista em um só segmento ou um número finito de tais segmentos, cuja soma 
dos comprimentos seja l{t). Então, como no caso do volume na seção anterior, a diferença A ( tA A t ) — A{t) é 
a área da figura compreendida entre as retas x = t e x = t-\- Aí. Supondo que l{t) seja uma função contínua 
de í, esta área é dada por ^ ( í + Aí) — A{t) = onde ^ é um ponto conveniente entre í e í + Aí. Daqui,
segue-se que \
^ A(t + A t ) - A { t ) ^ \
dt Aí-^o Aí
Finalmente, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, notando que A = A{b) — A{a) e que A(a) — 0, 
obtemos:
A = / l{x)dx. (1.8)
J a
Como na seção anterior, esta fórmula traduz a versão plana do Princípio de Cavalieri, que enunciamos 
explicitamente a seguir.
Figura 1.25
Princípio de Cavalieri para figuras planas. Se duas figuras planas são tais que, relativamente a 
um mesmo eixo Ox, suas seções transversais têm comprimentos iguais l{x), então elas têm áreas iguais.
Geometricamente o princípio significa que se duas figuras geométricas que são tais que suas seções 
transversais de abscissa x = t têm o mesmo comprimento /(í), como ilustra a Fig. 1.26, então elas têm a 
mesma área.
16 Capítulo 1 Aplicações da integral
Figura 1.26
O exemplo seguinte é um resultado importante, ilustrando uma das maneiras de calcular a área da elipse.
Exem plo. Vamos calcular a área da elipse de semi-eixos a e b. Como de costume, supomos a > ò > 0, 
e a elipse dada pela equação
9 9
a2 ^ 62 ’
cujo gráfico, bastante conhecido, está ilustrado na Fig. 1.27a.
D E C
A
F
B
(a) (b)
Figura 1.27
A área delimitada pela elipse é quatro vezes a área da parte OECF contida no 1- quadrante. A equação 
da parte da elipse nesse quadrante é
= l[x) = -^ /o? — 0 < a: <
Levando esta expressão de l{x) em (1.8), obtemos:
46 — X2 dx.
Para calcular esta integral, fazemos a transformação x = asen^, donde dx — a cos 9 dO. Obtemos:
7t/2rTv/2 „ 4a6 sen 9 ■ cos 9 9
A - Aah / cos 9d9 = —— ----------- ----------
/n L
— nab.
Note bem o significado deste resultado: a área da elipse é tt! 4: vezes a área do retângulo ABC D que 
circunscreve a elipse (Fig. 1.27b).
Do mesmo modo que no caso de volumes, vale, para figuras planas, a seguinte versão geral.
Princípio de Cavalieri para figuras planas (form a geral). Consideremos duas figuras planas 
de áreas Ai e A2, respectivamente. Suponhamos que, relativamente a um mesmo eixo Ox, suas seções
1.4 Área de uma figura plana qualquer 17
transversais tenham comprimentos iguais a l\{x) e respectivamente, tais que li{x) = kl2{x), onde k é
uma constante. Então, Ai = kA2.
Com essa forma geral, o cálculo da área da elipse no exemplo anterior fica imediata: a área da elipse 
(Fig. 1.28) é o produto do fator k = b/a pela área do círculo de raio a, ou seja,
. ̂ 2 ̂ ■A = — X na = nab.
a
Exercícios
Nos Exercícios 1 a 9, calcule a área da figura delimitada pelas curvas dadas e faça o gráfico em cada caso.
1. y = 2x^ e y = 2x, a: = 0 e a: = 1.
2 . Parábola y = x' ,̂ eixo Ox e tangente à parábola no ponto (1, 1).
3. y = x“̂ e y = s/x. 4. Parábola y — y/x e reta x = 1.
5. y = e“^, y — —e~^, x >0 (região infinita). 6. y = xlnx, y = 1 — x e 1 < x < 2.
7. y = sen^x, 0 < x < tt. 8. y = xe~^, y = —xcosx, 0 < x < n/2.
9. y = \fx Inx, y — —xlnx, 1 < x < 2.
10. Demonstre o Princípio de Cavalieri em sua forma geral.
Respostas, sugestões e soluções
1. A = 1/2. 3. A = 1/3.
6. A área pedida é dada por ■
5. A = 2.
fZ nz
A = J [xlnx — (1 — x)]dx = J x l n x d x —-.
Por outro lado,
/ = J x \ n x d x = j Xd{xInx — x) = x(x Irix — x) — J { x ln x — x)dx — x' ̂\nx — -— I, 
2 x ^ In X — x^donde I = . Com este resultado pode-se terminar o cálculo da expressão anterior de A.
18 Capítulo 1 Aplicações da integral
7. A área pedida é dada por
A = / sen^ xdx - 
Jo
sen ̂X d cos x = — sen^ x cos x
= 2 (1 — sen^ x) sena;da; = — 2cosa;
Jo
+ 2 / cos'̂ X sen x dx
0 Jo
- 2A = 4 - 2A,
donde A = 4/3.
9. A área pedida é dada por
A = y { \ J x x ) l n x dx.
Já lidamos com a integral de x\nx. Vejamos como lidar com a outra integral que aí aparece:
I — [-\ /xdx= [ ^/x d(xlnx — x) = \/x{xlnx — x) — í{x\o.x — x) = \/x{xlnx — x) — - +
J J J W x 2
I X \ f x
3 ’
X f x ( 4que se resolve para se obter I = ̂ í 2 In a: — - ).
1.5 N otas históricas
A M atem ática grega e as origens do C álculo
Em nota no final do Capítulo 10 do Volume 1, falamos da presença das idéias do Cálculo Integral nos estudos de 
Arquimedes (287-212 a.C.) sobre áreas e volumes. No entanto, o Cálculo não se desenvolveu na antigüidade, ficou 
esperando mais de dezoito séculos para desabrochar por inteiro, o que só aconteceu nos tempos modernos. Foi se 
desenvolvendo aos poucos durante todo o século XVII; e foi só no final daquele século que o Teorema Fundamental foi 
claramente reconhecido como elemento importante de ligação entre a derivada e a integral.
Uma das razões por que o Cálculo não se desenvolveu com Arquimedes ou seus sucessores imediatos foi a insistência 
exagerada dos matemáticos gregos no rigor das demonstrações e na preocupação em evitar o infinito a todo custo. 
Arquimedes lidou com situações que sugeriam claramente pq,ssagem ao limite com um certo parâmetro n tendendo a 
infinito; mas recusava-se a fazer essa passagem. Contornava a situação com o complicado método de “dupla redução ao 
absurdo”, graças ao qual conseguia provar seus resultados.^ Mas como descobria esses resultados? Muito provavelmente 
ele se valia de passagens ao limite. Emxoutras oportunidades recorria a raciocínios físicos, que eram seguidos de 
demonstrações rigorosas, como explicamos^to artigo citado.
A característica mais significativa da Matemática grega era precisamente essa insistência no rigor e no cuidado 
em não utilizar o conceito do infinito, pelas contradições que podia acarretar. Como vários abalizados historiadores 
da ciência já observaram, esse traço do pensamento grego foi a causa principal que levou a Matemática da época a 
uma completa estagnação. De fato, a descoberta dos incomensuráveis no século V a.C. marcou a primeira crise de 
fundamentos, pois foi interpretada como significando morte certa do ideal pitagórico de tudo explicar no mundo dos 
fenômenos em termos do número. (Veja a nota sobre isso no final do Capítulo 1 do Volume 1.)
Certamente seria assim desde que por “número” se entendesse apenas os números naturais.^ Tivessem eles alargado 
o conceito de número, incorporando as frações e os irracionais, e tudo prosseguiria muito bem, com o próprio ideal 
pitagórico enriquecido em sua interpretação, em vez de descartado. Mas não, dentro daquela orientação excessivamente 
rigorosa, os gregos encontraram uma saída para a crise na teoria das proporções de Eudoxo (séc. IV a.C.) . Essa 
teoria, descrita no Livro V dos Elementos de Euclides,^ é realmente genial, mas acabou enveredando a Matemática 
grega para um caminho excessivamente geométrico.
O fato de a Matemática grega haver se enveredado pelo lado da Geometria, com prejuízo da Matemática numérica 
(Aritmética e Álgebra), especialmente o simbolismo algébrico, foi sem dúvida outra razão por que o Cálculo não pôde 
se desenvolver na antigüidade. Essa Matemática numérica só veio a aparecer no Ocidente europeu a partir do século
^Abordamos essas questões em nosso artigo “Arquimedes, o rigor e o método”, na Revista Matemática Universitária N- 4, 
dezembro de 1986.
^Como já observamos no Capítulo 1 do Volume 1, os gregos nem aceitavam 1 como número; 1 era apenas a unidade a partir 
da qual se formavam os niimeros.
'^Falamos sobre isso em artigo na Revista do Professor de Matemática N- 7.
1.5 Notas históricas 19
XIII da nossa era, importada da índia através dos árabes. E foi só em fins do século XVI que a Álgebra alcançou a 
maturidade necessária para o definitivo desenvolvimento do Cálculo no século seguinte.
Outro fator importante, preparando o caminho para o surgimento da nova disciplina, foi a familiaridade que os 
matemáticos dos tempos modernos travaram com as obras clássicas antigas. E verdade que essas obras, principalmente 
as de Euclides (cerca de 300 a.C.) e Arquimedes, embora estivessem disponíveis em traduções latinas havia séculos, 
demoraram para serem devidamente assimiladas, coisa que só começou a acontecer plenamente em fins do século XVI. 
E a partir de então tiveram influência decisiva nos novos desenvolvimentos. Ao lado disso há que se considerar ainda 
a atitude dos matemáticos da época, que não se pautavam pelos mesmos padrões de rigor dos matemáticos gregos. 
Eles preferiam avançar no desenvolvimento dos novos métodos e técnicas mesmo que isso custasse a falta de rigor.
O cá lcu lo in fin ite s im a l d o sécu lo X V II
No século XVII, o cálculo de áreas e volumes pelos métodos infinitesimais teve início com os trabalhos de Kepler 
(1571-1630), em conexão com a descoberta de sua 2- lei planetária, ou “lei das áreas” (que será explicada no Capítulo 
9, p. 219). Nesse estudo Kepler é levado a considerar somas de infinitos termos de áreas infinitesimais, produzindo 
áreas finitas. Uma situação mais simples em que isso é fácil de entender é a do cálculo do volume da esfera. Kepler 
lembra que o procedimento usado por Arquimedes no cálculo da área do círculo equivalia a considerar o círculo como 
união de uma infinidade de triângulos infinitesimais, todos de vértice nA^entro e base na circunferência do círculo. 
(Veja a nota sobre isso no final do Capítulo 10 do Volume 1.) E adota proce()hnento semelhante no cálculo do volume 
da esfera. Esta é considerada como a união de uma infinidade de pirâmides de<vértices no centro e base na superfície 
da esfera; a soma dos volumes dessas pirâmides, de altura igual ao raio da esfera, resulta no produto de 1/3 do raio 
pela soma das áreas das bases (que é a área da superfície da esfera), ou seja, 4'7rr /̂3. Kepler publicou um livro 
sobre o cálculo de volumes de tonéis, numa tentativa de ajudar os comerciantes de vinho, que só sabiam avaliar esses 
volumes de forma muito empírica. Mas é pouco provável que esses cálculos tenham tido importância prática;e é bom 
que se diga que eles foram de menor valor quando comparados às descobertas astronômicas de Kepler.
A importância maior do trabalho de Kepler sobre o cálculo de volumes de tonéis está no método dos indivisíveis 
que ele desenvolveu e utilizou. Demorou um pouco, mas alguns anos depois da publicação do livro de Kepler, vários 
outros matemáticos seguiram no mesmo caminho. Essencialmente, o que eles faziam era imaginar a figura, cuja área 
ou volume se pretendia calcular, como união de uma infinidade de elementos infinitesimais, como já explicamos no 
caso do círculo e da esfera. Como se vê, os matemáticos do século XVII, ao dividirem as figuras em elementos infini­
tesimais, imitavam o procedimento de Arquimedes, só que ficavam apenas na parte intuitiva, sem se preocuparem em 
demonstrar rigorosamente seus resultados, como fazia Arquimedes.
Galileu, em seus “Diálogos sobre duas novas ciências”, também tratou o cálculo de áreas pelos métodos infinitesi­
mais. Bonaventura Cavalieri (1598-1647), que foi seu discípulo e seguidor, depois professor em Bolonha, teve um papel 
importante no desenvolvimento desses métodos. Estimulado pelo próprio Galileu, ele calculava a área de uma figura 
plana considerando-a constituída de uma infinidade de segmentos de retas paralelas, que ele chamava “indivisíveis 
de área”. Do mesmo modo, um sólido geométrico era interpretado como constituído de uma infinidade de figuras 
planas paralelas, de espessura infinitesimal, dispostas numa pilha como as páginas de um livro. Essas figuras eram os 
“indivisíveis de volume”. Os vários cálculos que fizemos no presente capítulo deixam transparecer esse procedimento, 
embora nós, hoje, utilizemos a idéia de limite. Os matemáticos do século XVII não usavam limites; eles consideravam 
as figuras geométricas já decompostas numa infinidade de indivisíveis. Raciocinando dessa maneira, Cavalieri foi levado 
aos princípios que hoje são conhecidos por seu nome. Como esses métodos careciam de uma razoável fundamentação 
lógica, Cavalieri foi criticado e tentou responder aos críticos, porém, sem sucesso, justamente porque faltava-lhe uma 
teoria de limites ou uma teoria da integral. A justificação dos métodos, dizia ele, deveria preocupar os filósofos, não 
os matemáticos.O fato é que os raciocínios com os infinitesimais, sem a devida fundamentação lógica, eram eficazes e 
foram largamente utilizados até o início do século XIX.
Capítulo 2
Aproximação de funções por polinóm ios
Os polinómios são as funções mais elementares, as que primeiro surgiram no Cálculo (e na Álgebra), e são as 
de tratamento mais simples, cujas derivadas e integrais podem ser calculadas com muita facilidade. Mas são 
uma classe muito restrita; muitas outras funções foram aparecendo naturalmente nos primeiros tempos do de­
senvolvimento do Cálculo. Como elas ofereciam dificuldades de tratamento bem maiores que os polinómios, os 
matemáticos foram encontrando meios de aproximá-las por polinómios, assim contornando as referidas dificulda­
des.
Na verdade, historicamente as coisas aconteceram na ordem inversa: antes mesmo de criar uma teoria da 
aproximação, os matemáticos foram descobrindo representações das funções na forma de "polinómios infinitos” 
— as chamadas “séries de potências” , que serão estudadas no Capítulo 5. Mas, para chegar lá de maneira 
organizada, teremos de estudar as “séries infinitas” no Capítulo 4, o que, por sua vez, deverá ser precedido do 
estudo das “seqüências infinitas” no Capítulo 3. Esse programa tem início no presente capítulo com o estudo da 
aproximação de funções por polinómios.
2.1 Introdução
De todas as funções que temos utilizado até agora, as mais simples são as funções polinomiais. Assim, se 
quisermos calcular valores do polinómio
p{x) = 5 — Sx — 2x^
para dados valores de x, teremos de efetuar certas multiplicações, somas e subtrações, que são operações 
relativamente simples. Cálculos semelhantes, envolvendo funções não-polinomiais, como
/(^ ) = 2 -|- \ /x
y = senx, ^(a;) = arctana:.
não oferecem a mesma facilidade, daí a conveniência de substituir uma dada função por um polinómio que 
a aproxime. Por exemplo, como veremos adiante, o polinómio linear
p(x) = 1 +
aproxima a função V T + x ^ para |a;| pequeno. Isso significa que os valores do polinómio são cada vez mais 
próximos dos valores da função V T + ^ quanto menor for |x|.
A aproximação de funções por polinómios é de importância tanto teórica como prática. Ela permite obter 
propriedades das funções em termos de propriedades análogas dos polinómios que as aproximam; permite 
calcular valores numéricos de uma certa função utilizando um polinómio que aproxime a função; permite 
também efetuar cálculos aproximados de certas integrais definidas integrando um polinómio que aproxime 
a função a integrar.
20
2.2 Aproximação linear 21
V izinhanças
A aproximação de uma função por um polinómio se processa na vizinhança de um dado ponto xq, por 
isso mesmo é conveniente esclarecer este conceito. Chamaremos vizinhança de um ponto xq, ou, mais 
precisamente, vizinhança simétrica de xq, a qualquer intervalo com centro nesse ponto, isto é, qualquer 
conjunto do tipo (Fig. 2.1a)
Vs{xo) = { x : Xo - ô < X < xq ô},
onde ô é um número positivo que caracteriza a vizinhança em questão. Observe que
Xo — ú < X < Xo + ú —ú < X — Xo < ú |x — Xo I < ú,
de forma que podemos escrever, simplesmente, |x — xo| < ô para descrever a vizinhança Vs{xo). No caso de 
ser Xo = 0,1^(0) passa a ser o conjunto dos valores x tais que |x| < ô. Um intervalo do tipo xo < x < xo + ú é 
chamado de vizinhança à direita de xo. Do mesmo modo, xo —ú < x < xo é uma vizinhança à esquerda de xo- 
Mais geralmente, qualquer intervalo V contendo xo, não necessariamente no seu centro, é uma vizinhança de 
Xo (Fig. 2.1b). Podemos ter vizinhança aberta ou fechada, conforme o intervalo considerado seja aberto ou 
fechado, respectivamente. A vizinhança pode ainda ser aberta à esquerda e fechada à direita ou vice-versa.
Xo
(6)
Figura 2.1
2.2 Aproximação linear
Nesta seção tratarem os o problema da aproximação de uma função / na sua versão mais simples: queremos 
encontrar um polinómio do primeiro grau ou função linear,
p{x) = ao + aix,
que aproxime / numa vizinhança de x = 0. Suporemos que / seja definida nessa vizinhança e derivável no 
ponto X = 0. Nosso problema consiste em determinar ao e ai de maneira que p seja a melhor aproximação 
possível da função / . Evidentemente, devemos impor a condição de que o erro R{x) que se comete ao tomar 
p(x) como aproximação de /(x ) , isto é,
tenda a 0 com x 0:
R(x) = /(x ) - p(x) = /(x ) - ao - aix .
lim R{x) = 0.
x-̂ O
Daqui e da expressão anterior de R{x), obtemos ao = /(O); logo,
p(x) = /(O) + aix.
(2.1)
(2.2)
O gráfico desta função é uma reta pelo ponto (0 ,/(O)) (Fig. 2.2). Obtemos todo um feixe de retas 
por esse ponto, à medida que variamos a inclinação p'{0) = a i. Vemos, assim, que a condição (2.1) não é 
suficiente para determinar p(x). Devemos impor uma condição mais restritiva: vamos exigir que R{x) seja 
um infinitésimo de ordem superior com x 0, isto é,
x-^0 X (2.3)
22 Capítulo 2 Aproximação de funções por polinómios
Esta condição implica a condição (2.1); logo, determina ao = /(O). Além disso, ela também determina ai, 
pois de (2.2) e (2.3) segue-se que
= lim = l i , , , =
a:—>-0 X X—»0 X x -^0 X
f (x ) - /(O)
= Im i-------------------ai = / ( 0 ) - a i ;
X—>0 X
logo ai = f'(0). Vemos, então, que o polinómio de primeiro grau que melhor aproxima a função / no sentido 
da condição (2.3) é
p(x) = /(O) + f'(0)x. (2.4)
Seu gráfico é o da reta tangente ao gráfico de / no ponto (0, /(O)), como ilustra a Fig. 2.2.
Geometricamente, o que fizemos foi ajustar os coeficientes gq e gi da equação de uma reta, de forma 
que ela melhor aproximasse o gráfico de / no ponto (0, /(O)); como resultado, encontramos a reta tangente 
a esse gráfico nesse ponto.
Figura 2.2
E stim ativas de erroVamos obter agora uma estimativa para o erro
I{(x) = f( x ) - p{x) = f{x) - /(O) - f'(0)x, (2.5)
que seja válida em alguma vizinhança V da origem. Para isso devemos utilizar o Teorema do Valor Médio 
Generalizado, discutido no Volume 1, cujo enunciado repetimos aqui para conveniência do leitor: se F e
G são funções deriváveis num intervalo (a, h), contínuas em [a, b], com G{a) ^ G{b) e G'{x) ^ 0 para 
X G (g , b), então, para todo x G (g , b) existe c G (g , x) tal que
F(x) - F{a) _ F'(c) 
G{x) - G{a) ~~ G'{c)
(2 .6)
Para aplicar esse teorema, vamos supor que nossa função f{x) seja derivável até segunda ordem na 
vizinhança V. Então, em virtude de (2.5), R(x) também será duas vezes derivável. Como R{0) = 0, 
aplicando (2.6) com F{x) = R{x), G{x) — x^ e a = 0, obtemos, para x Çl V ,
R{x) R'(c) f ( c ) - f {0 )
2c 2c
2.2 Aproximação linear 23
onde c está compreendido entre 0 e a:. Aplicando novamente o mesmo teorema às funções F(x) = f { x ) —f'{0) 
e G{x) = 2x com x = c e a — 0, encontramos
R{^) f ' {c ) - f ' {0)
x^ 2c
onde Cl está compreendido entre 0 e c, portanto entre 0 e x. Temos, pois, para x na referida vizinhança V
/"(Cl)x2
logo a Eq. (2.5) nos dá
R{x) =
/ ( .)= /(o )+ /'(o ) .+ n |) í ;
(2.7)
( 2 .8 )
Suponhamos que / " seja limitada em V, digamos, por uma certa constante K : \ f '{x)\ < K. Então, de 
(2.7) obtemos
Kx"^
\R(x) < — .
Isso mostra que a função linear (2.4) aproxima / em V com erro não superior a Kx^ j 2̂ em valor absoluto, 
ou seja.
\ f { x ) -p {x ) \ = \R{x)\ <
Kx^
Exemplo 1. Vamos aproximar a função f{x) = \ / l + x numa vizinhança de x = 0. Como
m = 2\ / l + X
temos que /(O) = 1 e f'(0) = 1/2; portanto.
e r ( x ) =
- 1
4(1 + x)V2 ’
X f"{c)x ‘̂
V Y + ^ = i + - + 2 .
onde c é um número compreendido entre 0 e x (à direita de 0 se o) > 0, à esquerda se x < 0). Observe que 
essa equação é válida para todo x > —1 (Fig. 2.3). Não podemos admitir o valor x = —1, visto que f ' e f " 
não são aí definidas. Se nos restringirmos a uma vizinhança à direita de a: = 0, então
Portanto, para x > 0,
c > 0 e |/" (c)| < |/" (0 )| = 1/4.
V r+ V = 1 + ^ + fi(x) e |ií(x)| <
2 o
A título de ilustração, se a: = 0,12, então
logo.
|i?(0,12)| < =0,0018;
/------ 0,12y M 2 ~ l + ^ - l , 0 6 ,
com erro inferior a 0,0018. Note que y = l-\-x/2 é uma aproximação por excesso da função f{x) = \ / l + x̂ 
pois o gráfico desta função está abaixo da reta tangente no ponto (0, 1), como ilustra a Fig. 2.3; ou ainda, 
para chegar-se a esta conclusão, basta notar que o erro é sempre negativo:
R{x)
f"{c)x ‘̂ —X
8(1 + c)3/2
< 0 para x > —1.
24 Capítulo 2 Aproximação de funções por polinómios
Observe que
l/"(c)l = 4(1 + c)^/2
é uma função decrescente de c para c > — 1. Numa vizinhança à esquerda de a; = 0, digamos, —3/4 < x < 0,
teremos
de sorte que, para x > —3/4,
l/"(c)l < = 2 ,
V l + a; = l + — + R{x) e \R(x)\<x'^.
Por exemplo, com x = —0,01, obtemos
V̂ Õ/ÕÕ ^ 1 - = 0,995,
com erro inferior a 0, 01 ̂ = 0, 0001.
Figura 2.3
Substituindo x por obtemos a aproximação referida no início do capítulo:
\ / l + ~ ̂ ^
Mas o resto agora tem de ser recalculado, pois não coincide com o da expressão anterior.
E xem plo 2 . Vamos utilizar o mesmo método para calcular y/4S. Para isso notamos que
V48 = V 4 9 - 1 - V'49(l - 1/49) = 7y/l - 1/49.
Portanto, pondo f{x) = \ / l + x e x = I f 49 em (2.8), obtemos
1 1
\/48 = 7 1 - 49 x 2 8 x 492( l - c ) 3/2j ’
onde c é um número compreendido entre 0 e 1/49. Podemos escrever ainda
97 1
^ ^ ^ “ 1 4 “ 8 x 7 3 ( 1 - c)3/2’
donde segue-se que \/48 « 97/14, cujo erro, em valor absoluto, é
1 1
E = <
8 x 73(1 - c)3/2 8 X 73(1 - 1/49)3/2
1 1 1 1 . i n - 4< -7---- TT < ------< ------- = 4 X 10 .
8(V48)3 8(6,9)3 2628 2500
2.2 Aproximação linear 25
Vemos, então, que
Sá 6,9285714 14
com erro inferior a 4 x 10 = 0,0004, em valor absoluto. Como o erro é negativo, 6, 928 é a raiz quadrada
de 48, por falta, correta até a terceira casa decimal.
A proxim ação num pon to qualquer
Vamos supor que se deseje obter a aproximação linear de uma dada função / , não numa vizinhança da 
origem, mas numa vizinhança de um ponto qualquer xq- Nesse caso, consideramos a função de h definida 
pela equação
g{h) = f {xo-\-h) .
Quando h varia numa vizinhança de XQ-\-h varia numa vizinhança de x q . A fórmula (2.8) para a função 
g conduz, facilmente, à seguinte aproximação linear para a função / , válida numa vizinhança de x ^ xq:
f{xo + h) = f{xo) + f'(xo)h +
onde c é um número compreendido entre xq e x. Podemos ainda escrever
f{x) = f{xo) + f{xo){x - Xo) + R{x),
onde o resto R(x) é dado por
(2.9)
R{x) =
f"{c){x - x o Y
Observe que ele depende também de xq, e não apenas de x. Além disso,
R{x) f"{c){x - Xo)
T){x) =
X — Xo
( 2.10)
tende a 0 com x xo.
A diferencial
A aproximação linear que vimos discutindo tem íntima relação com a diferencial, como veremos agora. Para 
isso, vamos introduzir a notação
y = f(x), y o ^ f i x o ) , Ax = x - x o , Ay = y - y o .
Então, a Eq. (2.9) se escreve na forma
Ay = f { x o ) A x R { x ) . (2.11)
Como vimos no Volume 1, a diferencial de / no ponto xq é definida como sendo o produto / ' ( xq)A x ; e 
é indicada com os símbolos dy, df ou d/(xo):
Daqui, de (2.10) e (2.11), obtemos
dy = /'(xo)A x 
A y - dy
Ax
7]{x).
Quando Ax 0, o mesmo acontece com A y e dy. Mas, como 7y(x) também tende a 0, esta última relação 
nos diz que a diferença A y — dy é um infinitésimo de ordem superior com relação a Ax. Podemos também 
dizer que dy é um valor aproximado de Ay, tanto melhor quanto menor o valor de Ax.
26 Capítulo 2 Aproximação de funções por polinómios
Para entender o significado geométrico da diferencial, observe a Fig. 2.4. Se (a:, Y) denota um ponto 
genérico sobre a reta tangente à curva y = f (x ) no ponto (xq, yo), n equação dessa tangente é dada por
Y = yo-\- f (xo){x - x q ) = yQ + dy. (2.12)
Daqui segue-se que
dy = Y - yo,
isto é, a diferencial é a diferença entre a ordenada Y da reta tangente e a ordenada yo da curva y — f (a;) 
no ponto x q . Além disso, da Eq. (2.12) obtemos
y - Y = y - yo - dy = Ay - dy.
Portanto, em face do que vimos, a diferença entre a ordenada y da curva e a ordenada Y da tangente, para 
um mesmo valor x da abscissa, é um infinitésimo de ordem superior a Ax, com A x 0. Isto significa que 
a reta tangente e a curva tendem a se confundir uma com a outra, tanto mais quanto menor for Ax.
A y - dy 
dy
E xem plo 3. Seja y = x^ e xo = 0, de sorte que Ax = x , Y = 0. Neste caso, a diferença entre a ordenada 
da curva e a da reta tangente é x^, que é um infinitésimo de ordem superior a Ax = x, com x 0 (Fig. 2.5):
— = X 0, com X 0.
X
Figura 2.5 Figura 2.6
E xem plo 4. Seja y = senx e xq = 0; então Y = x (Fig. 2.6) e
y — Y = sen X — X
é um infinitésimo de ordem superior a x:
, senx —X senx
lim ------------ = l im -----------1 = 1).
Figura 2.7
a:—>̂0 X a:—>-0 X
2.2 Aproximação linear 27
U m co n tra -ex em p lo . Se considerarmos uma reta qualquer pelo ponto (xq, yo), que não seja a tangente, 
nem a reta paralela ao eixo dos y, então a diferença y — Y entre as ordenadas da curva e da tangente não 
será um infinitésimo de ordem superior a Ax, ou seja,
y - Y
lim ------- ^ 0.
cc—»0 X
Por exemplo, no caso da curva y = senx, seja a reta Y = kx, k ^ 1. Então (Fig. 2.7)
y — Y sen x — kx sen x 
^------ ------------------ = ------- - k,
X X X
cujo limite, com x - ^ 0, é l —
Exercícios
Obtenha as aproximações lineares para as funções dadas nos Exercícios 1 a 12, com os respectivos restos, válidas numa 
vizinhança dos valores de x indicados em cada caso. Faça gráficos, interpretando os resultados geometricamente.
1 . /(x) = ln(l + x), X = 0. 
4. /(x) = senx, x = tt/2.
7. /(x) = senx^, x = - 'tt/ 4. 
10. /(x) = x^/^, X = 1.
2. /(x) = cosx, X = 0.
5. /(x) = senx, x = 37t/ 4. 
8 . /(x) = X = 0.
11 . /(x) = x^/^, X - —1.
3. / ( x ) — c o s x , X 7t/ 4 .
6 . / ( x ) = e “ ^, X = 0.
9. /(x) = I / a/ I + X, X — 0.
12. /(x) = ln3x, X = 1/3.
13. As funções x, senx e tanx tendem a se confundir para valores positivos e pequenos de x (Fig. 2.8), guardando 
entre elas a relação 0 < sen x < x < tan x. Obtenha esses resultados, usando as aproximações lineares de seno e 
tangente, com os respectivos restos.
Figura 2.8
Nos Exercícios 14 a 20, use aproximações lineares convenientes para obter os números indicados em representações 
decimais aproximadas. Estime o erro, em cada caso.
14. VÍ7Í. 
18. COS 0,01.
15. In0,98. 
19. tan 0,5.
16. e -0’02.
20 . arctanO, 02.
17. 1003^/3.
Respostas, sugestões e soluções
x2
1. ln(l + x) = X + i?(x), onde \R{x)\ < x^/2 para x > 0 e |jR(x)| < ^ para -1 < x < 0.
3. cosx = ^ ^ 0 I- (̂^)I - ^ ^
x/2 / 37t
5. senx = — Í X - - ^ + P(x), onde |P(x)| < ^ ^x - para todo x real.
28 Capítulo 2 Aproximação de funções por polinómios
7T̂ 7T í 7T̂ \ í ^ \
7. senx^ = sen ~ 2 ( 1 5 ) ( 4 ) |íí(2:)| < (l + 2c^)(a: + 7r /4)̂ e c é um número compreendido
entre —7t/4 e x, donde |c| < |a:| + tt/ 4; portanto,
\R{x)\ < l + 2 { \x\ + - X +
8. e* = 1 + R{x), onde R{x) — (1 + 2c^)x^ < (1 + 2x^)x^^ c entre 0 e x.
li oc 3 3 00̂
9. , = 1 — - + R{x), onde \R{x)\ < -x^ se x > 0 e |-R(x)| < - se —1 < x < 0.y/l + X 2 ' ̂ “ 8 ' ̂ - 8 (l+ x)V 2
11. x^/^ = 1 — 2(x + l)/3 + i?(x). Observe que \f"{c)\ — é crescente para c < 0; portanto,
- 3/2 < c < - 1/2 ^ |/"(c)| < | / " ( - l / 2)| = 4 ^/279.
2^Então, no intervalo —3/2 < x < —1/2, |-R(x)| < ̂ (x + 1) .̂
13. As desigualdades 0 < senx < x < tanx seguem imediatamente das fórmulas
sen c o „ sen d_ _— ̂ 2 ri. Ot;xx U/ O r\senx — X -------- X , 0 < c < x, e tanx — x -\------— x , 0 < a < x.
2 cos-̂ d
Delas obtemos também senx tanxlim ------= 1 e lim ------- = 1,
X—>0 X x^O X
significando que as três funções tendem a se confundir para valores pequenos de x. 
15. In0,98 = —0,02 + i?(x), onde
\R{x)\ < 0,02 6 6< 7̂ 7̂77777 = 0.00024.2x0,982 9Q04 28812 25000
17. 1003^3 = (1000 + 3)C3 = 10(1 + 0,003)^3 = 10 ,01 + R, onde
 ̂ „ 10x 0,0032 .0 < R = — — < 10“®.
9 ( l + c ) 3 /3
S6I1C19. Como tanx = x H------0 < c < x teremos, com x = 0, 5, tanO, 5 = 0,5 + i?, ondecos*̂ c
(senc)x2
0 < R = ------^ < cx < cx <
COS" c ( \/l — sen2 c)3 (\/l — c2 )3 V \ / l — 0, 5̂
0,5 < 0, 2.
2.3 Fórmula de Taylor
Na seção anterior, ao considerarmos o problema de aproximar uma função / , numa vizinhança de x = 0, 
por um polinómio linear p{x) = gq + <̂1^5 fomos levados a determinar os coeficientes gq e a\ pelas seguintes 
condições:
p(0) = /(0 ), ou a o = /(0 ), (2.13)
p'(0) = /'(O), ou ai = /'(O). (2.14)
2.3 Fórmula de Taylor 29
A primeira delas significa, simplesmente, que os gráficos de f e p passam pelo mesmo ponto (0 ,/(O)), ao 
passo que a segunda condição nos diz que esses gráficos têm declives iguais no referido ponto.
Se estivéssemos lidando com um polinómio quadrático.
p{x) = ÜQ + aix + ü2X^, (2.15)
necessitaríamos de uma condição adicional para determinar a2- Será que essa condição deve ser a coincidência 
das derivadas segundas na origem? Ou seja,
p"(0) = f i 0 ) ou U2 - /"(O) (2.16)
As condições (2.13), (2.14) e (2.16) determinam completamente o polinómio quadrático:
p{x) = /(O) + f { 0 ) x +
Mais geralmente, consideremos o problema de aproximar uma função / , numa vizinhança de x = 0, por 
um polinómio de grau n:
Pn{x) = ao + CLlX + ... + arX^ + ... + ünX^. (2-17)
Vamos supor que / seja derivável em x = 0 até a ordem n. Observe que
Pn(x ) = ai + 2u2X + Sasx^ + . . . + rarX^~^ + . . . + na^^x”” ;̂
Pnix) = 2ü2 + 3 • 2asx + . . . + r ( r — l)arX^“ ̂+ . . . + n(n — l)a„x ”~^;
Pn(x) = 3!a3 + 4!u4X + . . . + r ( r - l) ( r - 2)a^x^“ ̂+ . . . + n(n - l)(n - 2)a„x”~^.
Em geral,
p ^ \ x ) = r!ttr + ... + n(n — l)...(n — r + Ija^^x”” "̂̂ .̂
Portanto, fazendo x = 0 nessas expressões, obtemos
Pn(0) = ao, P^(0) = ai, p"(0) = 2a2, p"'(0) = 3!a3, ..., pí[^(0) = r W ,
ou ainda, em forma compacta,
pV)(o) = r!a,., r - 0 ,1 ,2 ,..., n, (2.18)
onde Pn\o) significa Pn(0).
Essas observações mostram que os coeficientes de Pn{x) ficam completamente determinados com as 
condições de que Pn ^ f coincidam em x = 0, juntamente com todas as suas derivadas até a ordem n, isto é.
p «(0) = /« (O ),
De fato, daqui e de (2.18) segue-se que
_ /« (O )
ür — , ,r!
e o polinómio (2.17) assume a seguinte forma:
r = 0, 1, 2,..., n.
r = 0, 1, 2,..., n
(2.19)
p . ( . ) - /(M . m . p m , .2! n! (2 .20)r=0
Este é o chamado polinómio de Taylor de ordem n da função f. Observe que ele é determinado 
univocamente pelas condições (2.19). Sua importância reside no teorema que enunciamos e provamos a
30 Capítulo 2 Aproximação de funções por polinómios
seguir, e que é uma generalização da aproximação linear estudada na seçao anterior.
T eo rem a. Seja f uma função derivável até a ordem n + 1, numa vizinhança V de x = 0. Então, o 
polinómio (2.16) aproxima f em V com erro ou resto dado por
Rn{x) - f (x ) -Pn{x) -- (n + 1)!
(2.21)
onde Cn é um número compreendido entre 0 e x. Em particular, se for limitada em V por uma
constante K, esse erro, em valor absoluto, não superará K\x\^'^^/{n 1)!, isto é.
\Rn{x)\ <
K\x n+1
(n + 1)! ’
A fórmula
(2.22)
(2.23)
é chamada fórmula de Taylor de ordem n da função f .
Demonstração. Usaremos, repetidamente, o Teorema do Valor Médio Generalizado. Pondo F(x) = 
f{x) —pn{x), G{x) = e a = 0 na fórmula (2.6) da p. 22, e notando que /(O) -p „ (0 ) = 0, obtemos
Rn{x) f { x ) - p n { x ) _ f'{c) -p (,(c )
r*n+l (n + l)c ’̂ ’
onde c é um número conveniente compreendido entre 0 e x. Nova aplicação da mesma fórmula, com 
F(x) = f ( x ) - Pn{x), G{x) = {n + l)a;” , a; = c e a = 0, nos dá (observe que /'(O) - p(^(0) = 0)
Rn{x) f { c ) -p'r,(c) _ f { c i ) - P n ( c i )
XTl+l (n + l)nc”,n—1
onde Cl está compreendido entre 0 e c; portanto, entre 0 e a;. Continuando dessa maneira, levando sempre 
em conta as relações (2.19) e o fato de ser pÍf''^^\x) = 0, após n + 1 aplicações da fórmula (2.6), obtemos
Rn{x) ^ /(^+^Hcn)
xTi+1 ( n + 1)! ’
onde Cn está compreendido entre 0 e x. Isto prova a fórmula (2.21). Dela e da hipótese \f^^~^^\x)\ < K 
segue imediatamente a desigualdade (2.22), o que completa a demonstração.
A função exp on en cia l
Vamos considerar, como exemplo, a função exponencial f{x) = e^. Neste caso,
f i x ) = f { x ) = . . . = F '> {x ) = e - e / ( 0) = e“ = l, 
de sorte que a fórmula de Taylor de ordem n da função exponencial tem a seguinte forma:
óL/ %JU tÁy —— y
e“' = l + a: + — + — + . . . + — + Rn{x),
onde o resto Rn{x) é dado pela expressão
Rni^x) —
gC^n+1
(n + 1)1
(2.24)
(2.25)
e c é um número compreendido entre 0 e a:.
2.3 Fórmula de Taylor 31
A p r o x im a çõ es d o n ú m ero e
Vimos, no Volume 1, que o número e situava-se entre 2 e 3, uma aproximação bastante grosseira. Veremos 
agora como calcular esse número com a aproximação que se desejar. E o que faremos agora, utilizando as 
fórmulas (2.24) e (2.25).
Lembramos que Inx é definido pela integral de 1 /í entre os limites t = 1 e t = x:
t ’
isto é, Ina: é a área hachurada da Fig. 2.9a, delimitada pela curva y = 1/t, o eixo Ot^ e as retas t = 1 e 
t = X. O número e, por sua vez, foi definido como aquele, à direita de í = 1, cujo logaritmo fosse igual a 
1 (Fig. 2.9b). E fácil ver que e < 4, pois ln4 é a área da figura A B C D, com lado CD curvo (Fig. 2.9b), a 
qual supera a soma das áreas dos retângulos hachurados da Fig. 2.9b, isto é,
1 . 1 1 1 13 ̂ ,
V 3 + 4 = 1 2 > ^ = '" " -
Como o logaritmo é função crescente, concluímos que 4 > e.
(o) ( b )
Figura 2.9
Fazendo x = 1 em (2.24), obtemos
onde, de acordo com (2.25),
e — 2-I- — -|-13 !-|-...- |- — -|- i?n(l),
R n W =
(2.26)
(n + 1)! ’
e c agora é um número entre 0 e1. Este resto é positivo e, como é função crescente, temos que < 4;
logo.
0 < i ^ ( l ) < (n 1)!
Daqui e de (2.26) segue-se que
. 1 1 1 
+ ^ + + (2.27)
sendo este um valor por falta do número e, com erro inferior a 4 /(n + 1)!. Ora, esta estimativa do erro tende 
a 0 com n oo; logo, basta fixar n suficientemente grande para que a soma em (2.27) nos dê o valor de e 
com a aproximação que se desejar. A título de ilustração, com n = 7 teremos:
1 1 1 1 1 1 „ 3620 ̂ ^
e~ 2 ~ l- — — 777- -f ̂ -|- — 2 -|- ~ 2, 7182539.
2 6 24 120 720 5040 5040
32 Capítulo 2 Aproximação de funções por polinómios
Esse é um valor por falta, com erro inferior a 4/8! = 1/10080 ~ 0,0000992, donde se conclui que 2,718 é 
um valor por falta do número e, correto nas três casas decimais.
Cabe observar que é o modo mais eficiente de calcular o número e, visto que o resto 4/(?i + 1)1 tende a 
zero muito depressa.
A função seno
Vamos considerar a função f (x ) = sen a;. Neste caso,
f { x ) '= cosa:, f"{x) = — sen a:, f'"{x) = — cosa:, = sen a:, etc.;
em geral,
/(2")(j;) = (_ l)» se n x e = ( - I f c o s a : .
Como sen a: se anula para a: = 0, qualquer polinómio de Taylor dessa função só conterá termos nas potências 
ímpares de x. Assim, de acordo com (2.20), teremos, para n > 1,
x^ x^ x'^, , . . . . . . ( - l) " a : 2̂ - l ^ ( - IP " J2j-l
Quanto a P2n{x)^ ele não conterá o termo em a:̂ ” ; portanto, será igual a P2n-i{x), isto é.
x^ x^ x'^
P 2 „ W = P 2 „ - i ( r r ) = x - - + - - - + , . , - ^ ( 2 , - _ i ) ! (2.28)
Em conseqüência, os restos R 2nix) e R 2n-i{x) também serão iguais. O primeiro deles é obtido de (2.21) 
substituindo n por 2n, resultando em
_ /(^"+^)(c) _ (-1)"C0SC 2n+l
' ( 2 n + l ) ! ( 2 n + l ) ! ’
(2.29)
onde c é um número compreendido entre 0 e a:. Teremos também, com a substituição de n por 2n — 1 em
(2.21),
R , _ (~ l)"sen rf
' (2n)! (2n)! ’
onde d também é um número compreendido entre 0 e a:. Como os dois restos R 2n{x) e R 2n-i(x) são iguais, 
devemos ter , cosc
sen a = -------x,
2n + 1
que relaciona c, d e x.
Para fazer estimativas de erro é preferível utilizar o resto R 2n{x) (e não iÍ2n-i(^))? pois ele contém o 
fator 2n + 1 a mais no denominador. Assim, a aproximação polinomial de sen a: que devemos preferir é a 
que utiliza o resto dado em (2.29), ou seja.
x^ x^ x^ ( - l ) ”a:̂ ” ̂ ( - l) ^ c o s c 2n+i
,en X = X
(2.30)
Como ilustração, suponhamos que se deseje utilizar o polinómio (2.28) para calcular sen a: restrito ao 
intervalo |a:| < tt/ 4. Então, como | cosc| < 1, (2.29) nos dá
\R2n{x)\ <
1
(2n + l)l V4y
2.3 Fórmula de Taylor 33
expressão esta que se torna tão pequena quanto se desejar, bastante fazer n suficientemente grande. Assim, 
com n — 2,
para n = 3,
para n = 4,
| f í 4 ( . ) | < Í ( ^ 0,0024904.
0,0000366,
0,0000004.
A primeira dessas estimativas mostra que
P4ÍX) =P3ÍX) = X - ^
aproxima senx no intervalo |a:| < tt/ 4 com erro inferior a 0,003. Pela segunda delas, vemos que o erro da 
aproximação é inferior a 0,00004, quando usamos o polinómio
= P5Íx) ^ ” y +
Já a terceira estimativa mostra que o polinómio
 ̂ 7/V»*-/ rp '
aproxima a função sencc, para |x| < tt/ 4, com erro inferior a 4 x 10“ .̂
Essa aproximação Pn(x) de sen a:, para um valor fixo de n, será tanto melhor quanto menor for \x\. 
Geometricamente, isso significa que os gráficos de y = sencc e y — p2n-i{x) são tanto mais parecidos 
quanto menor for |a:|. Por outro lado, mantendo-se x numa vizinhança de 0, digamos, |a:| < á, o gráfico de 
y = P2n-i{x) tornar-se-á mais e mais próximo ao da função senx, quanto maior for n. Esses fatos estão 
ilustrados na Fig. 2.10, com os gráficos de y = sen a:, y =pi{x), y = Psix) e y = P5(x).
Figura 2.10
Observe que o polinómio de Taylor da função seno, por ser esta função ímpar, só tem termos nas 
potências ímpares de x. Isso é verdade para todas as funções ímpares, de modo que, ao considerar fórmulas 
de Taylor dessas funções, é conveniente restringir-se aos polinómios de ordem par. De fato, neste caso, 
P2n{x) é, na verdade, o polinómio P2n-i{x). A vantagem é que o resto correspondente será R 2n+i{x), em 
geral mais adequado para estimativas numéricas que o resto R 2n{x). Uma observação análoga a esta é
34 Capítulo 2 Aproximação de funções por polinómios
verdadeira para as funções pares.
E xem plo 1. Vamos calcular o seno do ângulo de 17° com quatro casas decimais. Para isso temos de 
converter graus em radianos. Ora, 1° = tt/ 180 rad, de sorte que 17° = 177t/ 180 rad. Utilizando o polinómio 
P3, teremos
177T 177T 1 /177tV
sen l7 = —
O erro dessa aproximação será de, no máximo.
0,29235258.
Portanto, a aproximação terá, no máximo, quatro casas decimais corretas, isto é, sen 17° ~ 0, 2923. Este é 
também o valor do co-seno do ângulo complementar de 73°.
E xem plo 2. Calcule o valor numérico aproximado da integral de senx/x no intervalo [0, 1]. Aproxi­
mando senx com o polinómio py, teremos (atenção! estamos dividindo sen cr por x)
,6sen X ̂ x^ ̂ x^ X- ^ Rsjx)
X
Portanto, o valor aproximado da integral é dado por
L senx dx 1 11 - — + 1,Q X 3 -6 5-120 7-5040
Denotando com E o valor absoluto do erro no referido intervalo, vale a seguinte estimativa:
E = fl8(l) < i ^ < 0,000003,9! 362880
de forma que a expressão da integral permite obtê-la com até cinco casas decimais corretas:
'^enx , . 1 1 1
-----dx ^ 1 - ̂ - —
'0 ^f 3 -6 5-120 7-5040
0,4460.
C o m en tá r io s sob re cá lcu lo n u m érico
Até aproximadamente 1960, o cálculo numérico exigia que se dispusessem de vários tipos de tabelas 
numéricas, como tabelas de logaritmos decimais, tabelas de valores das funções trigonométricas de zero 
a 90°, tabelas de logaritmos dessas funções, etc. Essas tabelas eram reunidas num livrinho, que era bastante 
comum entre estudantes e professores, assim como atualmente é comum a calculadora científica.
As calculadoras científicas de bolso começaram a aparecer por volta de 1970, e desbancaram as tabelas; 
mas os cálculos numéricos ainda exigiam, em cada caso, que se montassem os programas que os executassem, 
seja nos “grandes computadores” , seja nas calculadoras mais sofisticadas. Os microcomputadores surgiram 
na década de 1980, e, em seguida, foram aparecendo os softwares que já incorporavam os programas ne­
cessários à execução dos cálculos.
Hoje em dia, com as calculadoras científicas, os microcomputadores e os softwares numéricos, não só as 
antigas tabelas tornaram-se totalmente desnecessárias, mas também a montagem de programas. Quando se 
deseja fazer algum cálculo, ou mesmo resolver numericamente equações diferenciais ou construir os gráficos 
das soluções, basta acessar um programa como o Maple ou o Mathematica, entrar com os dados e dar 
“enter” . Estamos agora correndo o perigo de não saber o que estamos fazendo...
Mas, por trás de tudo isso está a Matemática; no mais das vezes recursos matemáticos desenvolvidos há 
várias séculos. Por isso é importante saber como esses recursos eram utilizados para fazer as antigas tabelas.
2.3 Fórmula de Taylor 35
pois eles são os mesmos que embasam a construção dos softwares modernos.
As estimativas de erros que fizemos tiá pouco e os dois exemplos anteriores permitem ter uma boa idéia 
de como os matemáticos do passado construíam tabelas de senos e co-senos, e calculavam integrais nume­
ricamente. As estimativas que exibimos e os referidos exemplos mostram que o polinómio de Taylor da 
função seno é um ótimo instrumento para calcular os valores do seno dos ângulos do intervalo (0, 7t/ 4), isto 
é, dos ângulos de zero a 45°. E uma vez calculados esses valores, teremos também os valores do co-seno dos 
ângulos de 45 a 90°, pois o co-seno de um ângulo é o seno de seu complemento. Um procedimento análogo 
com o polinómio de Taylor da função co-seno permite completar o cálculo do seno e do co-seno de todos os 
ângulos de zero a 90°.
Fórm ula binom ial
Vamos obter a fórmula de Taylor da função f{x) = (1+ x)“ , onde a é um número real qualquer, diferente 
de 0. Calculando as derivadas, sucessivamente, vê-se que
f { x ) = « ( l + f ' { x ) = a{a - 1)(1 + = a{a - l)(o! - 2)(1 +
e, em geral. 
Portanto,
fÍ3)^x) = a {a — l ) ( a — 2 ) . . . (q! — j + 1)(1 + x)^ ú
a { a - l ) . . . { a - j - \ - l )
(2.31)
J'-
Esta expressão, com j variando de 0 a n, fornece todos os coeficientes que aparecem em (2.23) e nos conduz 
à expressão
_ o:(a - 1) o a ( a — 1) . . . (a — n + 1) „ „ , ^
(1 + ít) — 1 + OíX H--------------X -h . . . H----------------- -----------------X + jFin{x).2! n\
Introduzindo o assim chamado coeficiente binomial
'a \ a{a — 1). . . {a — j 1)
J J J'-
e utilizando a notação do somatório, podemos escrever a expressão anterior na forma
(2.32)
(1 -\-x)^ = ^ Rn(x),
j=0
onde o resto Rn(x) é dado pela seguinte expressão, obtida a partir das fórmulas (2.21) e (2.31):
. . a{a — 1) . . . (a — n)x^'^^
^ (n + l)!(l + c)^+i-^ ’
o número c estando compreendido entre 0 e rc.
Essa fórmula é conhecida como “fórmula binomial” , e é válida no semi-eixo x > — 1, onde a função e 
todas as suas derivadas estão definidas.
Observações. Note bem: a definição do coeficiente binomial é válida para todo número real a. No en­
tanto, (2.32) mostra que esse coeficiente se anula a partir de j = a + 1, se a for um inteiro positivo ou zero. 
Nesta hipótese a fórmula binomial se reduz a um polinómio, que é um caso particular do chamado binômio 
de Newton. Agora a fórmula é válida para todo x.
No caso mais geral, em que a não é inteiro positivo nem zero, as derivadas de / , a partir de um certo 
índice j (ou mesmo a própria função / , se a < 0), não serão definidas em x = — 1, como vemos por simples 
exame de (2.31). Isso mostra que, neste caso, a fórmula binomial só é válida para x > —1, pois na obtenção 
dessa fórmula utilizamos o Teorema do Valor Médio Generalizado no intervalo de 0 a x, intervalo esse que 
não pode incluir x = — 1.
36 Capítulo 2 Aproximação de funções por polinómios
U sos da fórm ula de Taylor
Os dois primeiros exemplos das subseções anteriores ilustram o uso do polinómio de Taylor no cálculo 
numérico. Mas é bom observar que isso só é de utilidade quando é possível conseguir boas estimativas 
para o resto, como acontece com as funções e senx. Nesses dois casos é fácil ver, por simples exame da 
expressão do resto, que ele pode ser feito arbitrariamente pequeno, por causa da presença do fatorial de n no 
denominador. Tanto assim que Euler, efetuando apenas cálculos manuais, valendo-se da expressão (2.27), 
póde calcular o número e com 23 casas decimais! Ele obteve
e = 2,71828182845904523536028...
Com a fórmula binomial não acontece a mesma coisa como no caso das duas funções mencionadas. Aqui 
o numerador na expressão do resto contém fatores que podem anular o efeito de n\ no denominador. Os 
Exercícios 2 a 5 são exemplos em que é mais evidente a pouca utilidade do resto para boas estimativas de 
erro.
Isso mostra que a fórmula de Taylor nem sempre é um bom instrumento para o cálculo numérico. Mas 
não é só para isso que ela serve; como veremos no Capítulo 5, ela é útil para se obterem séries infinitas 
para as funções que originam essas fórmulas. E essas séries são um poderoso instrumento para o estudo das 
propriedades das funções. Assim, de um modo geral, a fórmula de Taylor tem um papel muito importante 
no desenvolvimento da teoria das funções.
Exercícios
Obtenha as fórmulas de Taylor de grau n das funções dadas nos Exercícios 1 a 8.
1. cosx. Como no caso da função seno, há duas expressões para o resto; indique a melhor delas para estimativas ' 
numéricas.
2.
1 — X
. Mostre que o número c que aparece na expressão do resto é c = 1 — (1 —
3. — . Como no exercício anterior, obtenha a expressão do número c em função de x.
4. ln(l —x). 5. /(x) = ln(l + x). 6. f{x) — e~^.
7. /(x) = a 7 ̂0. 8 . /(x) = sen(x + tt/4).
9. Prove que todo polinómio de Taylor de uma função par (ímpar) só contém potências pares (ímpares).
Obtenha a fórmula de Taylor de ordem n = 2 para cada uma das funções dadas nos Exercícios 10 a 16. Em cada caso, 
prefira o resto de maior ordem.
10 . /(x) = arcsenx. 1 1 . /(x) = arctanx. 12. /(x) = x^/^. 
14. /(x) = secx.
15. /(x) = Incosx. Neste exemplo obtenha a seguinte estimativa para o resto: |iÍ2(2̂ )| < 2|xp/3 na vizinhança 
|x| < 7t/4 .
16. /(x) = vT+~x. Neste exemplo obtenha a seguinte estimativa para o resto: |i?2(3̂ )| ^ \/2 |xp/4 na vizinhança 
|x| < 1/ 2.
pX ^
17. Obtenha a fórmula de Taylor de ordem n = 3 da função /(x) = / e~̂ dt.
Jo
2.3 Fórmula de Taylor 37
18. Use a fórmula binomial para obter a fórmula do binômio de Newton (onde n é um número inteiro positivo 
qualquer):
(a + 6)” = a" + na^-H + !^ Í !L ^ a n - 2̂ 2 ^ n(n - iKn - 2) ^ ^ , 3̂ 3 ^
(O nome de Newton está associado a esse binômio por causa da fórmula binomial, esta sim, foi descoberta por Newton, 
o binômio sendo apenas um caso particular.)
Use a fórmula binomial para obter as fórmulas de Taylor genéricos das funções dos Exercícios 19 e 20.
119. f{x) = 20. f{x) =
v T + F
21. Calcule sen 31° e cos59° com quatro casas decimais corretas.
Calcule as integrais indicadas nos Exercícios 22 a 24 com quatro casas decimais corretas.
f -
, - - COS a: ,22. / -----------dx. , senx , 23. / ------dx. sena:^24. / — — dx.J
Respostas, sugestões e soluções
1 . Como no caso da função seno, aqui também há duas possibilidades para o resto, de forma que podemos escrever
(_ l)n 3,2n
eos* = l - - + - - - + . . . + + R2n{x),
OU ainda.
( - l ) ”x^”
COS* = l - ^ + ^ - -g !+ ---+ (2n)! + ^2n+l{x),
sendo que esta última forma é preferível, pelas mesmas razões explicadas no caso da função seno. Encontre as 
expressões explícitas para os restos. Observe que a fórmula, em qualquer das duas formas, é válida para todo 
número real x.
n+1X 00
2. -̂---- = l + x + x^ + ... + x"̂ +1 — X 
identidade algébrica
(1 — c)"+2 
1
, válida para x < 1. Para obter a expressão de c, lembre-se da 
«̂■ +1
 ̂ = l + x + a:̂ + . . .+ a :’" + ------ .
1 — X 1 — X
3. ------ = 1 — x + x ̂— x^ + x'̂ — ...-f- (—l)”x” + 7--------^ v á l i d a para x > —1. Neste caso, o número c é
1 + X ̂ ̂ ( l + x )" + 2
dado por c = (1 -f x)^/^”+̂ ̂ — 1.
X4. ln(l — x) = —X — ^
x3 x"
3 ■■■ n
X''
r.n+1
2 3 4
-, válida para x < 1.
(_ l)n -l ( —l) ’̂ x”'̂ ^
■x" + 7— , , , , —rTTTT, válida para x > —1.n (n + 1)(1 + c)”+i
a^x^ a^x^ a X a ,1
7 . e = 1 -f ax H-----;— -̂--- ;— h . •. H------ :----h 7----- tttX , valida para todo x.2! 3! n! (n + 1)!
8. i) se n = 2r,
( ^\k / ^2k 2k+l
frr'1 = V ^ ' \ , ( - l y x ^ ^ ( - 1 ) ^ C O s (c + 7t/ 4) Or+1.
^ V(2/ )̂! (2fc+l)!y^’̂ (2n)lV2 (2 r+ l) l
ii) se n = 2r + 1,
.2fc+l
(2k + l)!
(-l)^Sen(c + 7T/4) 2r+2 
(2r + 2)!
38 Capítulo 2 Aproximação de funções por polinómios
10. Observe que f'{x) = ̂ = {1 — x^) Utilize a fórmula binomial.
Vl -
11 . Observe que f ' (x) = ------ = (1 +
12. = 35Vca:^/16, onde 0 < c < cc.
„ 2 \ - l
14. seca: = ! + — + . Ache a expressão explícita do resto.
15. Incosa: = — 1 + 2 sen^ c 4 
2 12 cos'̂ c ^
X X16. V l+ x = 1 + - - — +
2 8 1 6 ( l + c )5 /2
c > — 1; então, restringindo x ao semi-eixo x > —1/ 2, teremos
. A fórmula é válida em x > — 1. Observe que \f'"ic)\ é decrescente para
/" '( c ) < / " '( - l /2 ) = 3/V2; logo, |iJ2(a;)| < |x|V2V2.
18. Faça x = h/a e observe que (a + ò)” = a ” ( l + 6 / a ) ’
19. Observe que
( - i r ( 2r)>
A resposta é
onde c é um número compreendido entre 0 e x.
___________________________ ( ~ i r ( 2r-)!
r!2^(2 -l)(2 -2 )(2 -3 ) ...(2 -r) (r!)222̂
f r . (-l)" (2 n + 2)!x-+i
M)292r ^ [(n+ l)!]222̂ +2(l + c)"+l+V2’
2.4 Unicidade da fórmula de Taylor
Como vimos na seção anterior, se uma dada função / for derivável até a ordem n + 1 numa vizinhança de 
X = 0, então vale aí a fórmula de Taylor:
= /(O) + ̂ + • • • H----- —\---1! ^ 2! n\
onde o resto Rn{x) tem a forma
R^(x) —
(2.33)
(2.34)sendo c um número conveniente, compreendido entre 0 e x. Vimos que esse resultado permite aproximar a 
função / pelo polinómio de Taylor, constituído dos primeiros n + 1 termos do segundo membro de (2.33), 
desde que a derivada seja limitada numa vizinhança de x = 0, como supomos. Para cada n fixado
essa aproximação será tanto melhor quanto menor for x.
2.4 Unicidade da fórmula de Taylor 39
O rdens de grandeza
Observe que os termos do segundo membro de (2.33) contêm as potências crescentes de x: = 1, x, x^,
. . . , o resto Rn{^) contém a potência A exceção do primeiro, todos esses termos são infinitésimos
com X ^ 0. Além disso, cada um deles tende a 0 mais depressa que o termo que o precede. Em particular, 
Rn(x) é um infinitésimo de ordem superior, comparado a x” , pois quando x ^ 0, c também tende a 0, visto 
ser 0 < c < X (ou 0 > c > x), e permanecer limitado por um certo número K . Então,
Rn(x) / ( ”+l)(c)x^+l
X' (n + 1)! (n + 1)!
0
com X ^ 0. Em termos mais sugestivos, poderíamos dizer que, para |x| pequeno, cada termo do segundo 
membro de (2.33) é mais desprezível que o termo que o precede, sendo o resto Rn(x) o mais desprezível de 
todos. Existe uma notação própria para exprimir esse fato, a qual vamos introduzir agora.
Quando duas funções f e g são tais que o quociente f{x)/g{x) tende a 0 com x tendendo a um certo x q , 
dizemos que f é de ordem pequena em relação a g, para x ^ xq e escrevemos
/(x ) = o(^(x)), X X q .
Por exemplo.
pois ambos os quocientes.
sen^ X = o(x) e 1COS — = o — 
X V X
com X
se n ^ X
X
senx cos(l/x) _ , .
= s e n x - ------ e — —----- = x c o s ( l /x ) ,
X 1/x
tendem a 0 com x —» 0. Observe, neste segundo exemplo, que a função cos(l/x) não tem limite algum com 
X ^ 0; ela apenas permanece limitada pelo número 1 : |co s(l/x ) | < 1. Ao mesmo tempo, |l /x | tende a 
infinito com x ^ 0, de sorte que o quociente da primeira função pela segunda tende a 0.
Quando sabemos apenas que o quociente f{x)/g(x) permanece limitado numa vizinhança de x q , dizemos 
que f é de ordem grande de grandeza em relação a g, para x ^ x q , e escrevemos
/(x ) = 0(g{x)), X XQ.
Por exemplo.
— 1 — X = 0{x^) e sen x — x = O(x^)
com X —» 0, como o leitor pode verificar a partir das fórmulas de Taylor das funções e senx obtidos na 
seção anterior.
Observe que
/(x ) - o{g(x)) com x —» xq /(x ) = 0{g{x)) com x —» xq.
Por exemplo,
sen^ X = o(x) e sen^ x = 0{x) com x —» 0.
Mas a recíproca não é verdadeira; assim, senx = 0 (x ), visto que, para todo x,
senx
< 1.
X
No entanto, senx nao é da ordem pequena de x, pois
senx
lim ------ = 1.
a;—>0 X
40 Capítulo 2 Aproximação de funções por polinómios
U n icid ad e da fórm ula de Taylor
Quando a derivada é limitada numa vizinhança de x = 0, o resto Rn{x) da Eq. (2.34) é de ordem
pequena em relação a com a: ^ 0:
Rn{x) = o(x^), X —» 0.
E interessante notar que esta condição determina completamente a fórmula de Taylor de ordem n da 
função / . E o que diz o seguinte
T eorem a. Seja f uma função derivável até a ordem n + 1 numa vizinhança V de x = 0, com 
limitada nessa vizinhança. Além disso, se, para x em V ,
f{x) = ao + aix + ü2X^ + . . . + a„x” + g{x), 
onde g{x) = o(x” ) com x ^ 0, então
/C)(o)
üf j 5 r 0 , 1 , , n,
(2.35)
(2.36)
e g(x) é o resto Rn(x) dado pela Eq. (2.34), sorte que a fórmula (2.35) coincide com a fórmula (2.33). 
Demonstração. De (2.33) e (2.35) obtemos
(<X0 - /(O)) + ( a i - ^ v ^ ] x + (o 2 - + . . . + (a „ - = Rr,{x) - g(x), (2.37)
1 ! 2! n\
para todo x em V. Fazendo x ^ 0, todos os termos tendem a 0, exceto o primeiro, donde concluirmos que 
ao = /(O). Dividindo agora ambos os membros de (2.37) por x, encontramos
r m . í / " ( 0 ) \ _ / < " H 0 ) A „ - i R n { x ) - g { x )
a\ ----- + « 2 ------------- 1 a: + . . . + ( a „ -------------- ;— 1X =
1! 2! n!
Novamente fazemos x 0 e obtemos a\ = / '(0 ) / l ! . Prosseguindo desse modo, sucessivamente, sempre 
dividindo por x e fazendo a: ^ 0, obtemos todas as igualdades em (2.36). Explicitamente,
«O = / ( 0 ) , ^ ^ 2 - -----1 ( ^3- , . . . , a n - .
No último passo da demonstração, a igualdade (2.37), dividida por x” , fica reduzida a
R n i x ) - g { x )
an. n\
para todo x em V . Como o primeiro membro desta equação não depende de x e o segundo é um infinitésimo 
para x ^ 0, concluímos não apenas que a„ = f^'^\{S)/n\, mas também que g{x) = Rn{x) na vizinhança V. 
Isto completa a demonstração.
Esse teorema de unicidade é de grande importância prática, porque muitas vezes é mais fácil obter uma 
fórmula do tipo (2.35) sem ter de calcular os coeficientes a^ pelas expressões (2.36). O teorema assegura-nos 
que tal fórmula é precisamente a fórmula de Taylor.
E xem plo 1. Para obter a fórmula de Taylor da função f(x) = 1/(1 ~ x), basta usar a identidade 
algébrica
^n+l _ ^n+1
= a” + a^-^b + a^-^b^ + . . . + ab^~^ + b'n - i I un
a — b
2.4 Unicidade da fórmula de Taylor 41
com a = 1 e b = X. Obtemos, imediatamente, a fórmula desejada;
1 — X
 ̂ 2 T7 ^
n+1
Observe que o resto Rn{x) surge aqui em forma diferente da forma obtida com a expressão (2.34), embora 
essas duas expressões do resto resultem em valores idênticos. A prova disso foi proposta no Exercício 2 atrás, 
mas aqui aparece como conseqüência do teorema geral de unicidade da fórmula de Taylor.
E xem p lo 2. Substituindo-se x por na fórmula anterior, obtemos
= 1 - í" + + . . . -h ( - l ) ”í 2n _
(_ l)n^2n+2
1 ̂ ..........V ̂^^2
Integrando-se esta identidade entre t = 0 e t = x, encontramos a expressão
arctancc = x ----+ T--------- ;r + -- - + -̂------ (“ 1) /3 5 7 2n + l ̂ W n (2.38)
O último termo que aí aparece é o termo em pois |t| < |o:|; portanto.
2̂7T“|-2 
1 + í 2dt
r\x\ j.2n+2 
/ t------ d t <
Jo 1 j: \ dt+ í 2 < X LX^ dt = 0
Vemos, pois, que o segundo membro de (2.38) é, efetivamente, a fórmula de Taylor de ordem 2n -f 1 da 
função arco tangente. Sugerimos que o leitor tente obter essa mesma fórmula, calculando os coeficientes 
diretamente pelas expressões (2.36) para convencer-se de que ta l procedimento é muito mais difícil que o 
método usado aqui.
Exercícios
1. Use as fórmulas de Taylor das funções e para obter fórmulas análogas das funções coshx = (e ̂+ e“^)/2 
e senti X = (e^ — e~^)j2.
2. Mostre que tana: = x + x^/3 + o{x^) com x —> 0.
3. Prove que se f{x) = o(x”) e g{x) = o(x") com x —> 0, então / ( x )± 5'(x) = o(x’̂ ) com x —> 0. Enuncie e demonstre 
propriedade análoga para ordem grande.
4. Prove que senx — tanx = —x^/2 + o(x^) com x —> 0. Isso mostra que senx e tanx diferem somente depois do
termo em x"̂ , ou seja.
senx — tanx = O(x^), x —̂ 0.
5. Demonstre as seguintes propriedades das ordens o e O, considerando sempre x —> 0:
a) /(x) = 0 (x"+^) ^ /(x) = o{x' )̂;
b) /(x) = o(x^+i) ^ /(x) = o(x"‘);
c) /(x) = o(x^), g(x) = o(x^) f{x)g{x) = o{x^+^)-,
d) /(x) = 0 (x”), g{x) = 0 (x"^) ^ /(x )5'(x) = 0 (x’̂ +”̂ ).
6. Supondo sempre x —> 0, mostre que se
/(x) = a-f 6x + cx^-f o(x^) e g{x) = A + Bx + Cx"̂ + o{x^),
então
f{x)g{x) = aA + {aB + bA)x + {aC + bB + cA)x‘̂ + o(x^).
42 Capítulo 2 Aproximação de funções por polinómios
Use este resultado para obter fórmulas de Taylor das funções dadas nos Exercícios 7 a 12. Não é preciso especificar o 
resto, isto é, basta mostrar que ele é de ordem pequena do último termo obtido no polinómio de Taylor.
8 . f{x) = cos ̂X7. f{x) = sen2x. 
10 . (e® — 1) cosíc/e^. 1 1 . f{x) = \ / l — xcosx.
9. f{x) = (senx/x)^.
12 . f{x) = senx/{x^/l + x).
13. Sabendo que f(x) = a + bx + cx^ + o(x^) com x 0, a ^ 0, calcule a fórmula de Taylor de l / f(x) até o termo 
de ordem 2.
Use (2.31) para obter a fórmula de Taylor de ordem n = 2 das funções dadas nos Exercícios 14 a 16.
14. seccc = 1/cosx. 15. x/senx.
Use fórmulas de Taylor para calcular os limites dos Exercícios 17 a 22.
^ 2(1 — cosx) — rrsenx17. hm ^ ^ ----- ------ .x->o rr"=(l - cosx)
, (1 — -v/l + x y
20. lim ^^ \ ^
COS ÍC — 1
18. lim
h->-o sen 2n
- 1
21 . limx->-o sen 3x^
16. tanx.
19. lim e sen xx->-o i/9 — X — 3
ln(l + x ‘̂) — x^ 
22. lim ̂ ^X—>0 (1 — COS x) sen ̂x
Respostas, sugestões e soluções
^ 2 ^ 4 ^ 2 n /gC g d \ ^ 2 n + l , _ , „ _
1. cosh X — IH-----H----T + -- - + 7— rr H------- ;-------- r;--- • Observe que c e a sao numeros entre 0 e x, nao2! 4! (2n)! 2(2n+l)! ^
necessariamente iguais.
X'" X'- ^2n+l ĝC _j_ g d^^2n+2
+senh^ = ^ + ^ + ^ + - - - + ( 2„ + i)! ■ 2(2n + 2)! ’
onde novamente c e d são números entre 0 e x. Obtenha essas fórmulas diretamente, sem utilizar as fórmulas 
intermediárias de e e~^. Observe que elas são válidas para todo x\ e que, no segundo modo de obtê-las, os 
restos serão como os anteriores, porém com c — d.
7. Observe que f{x) — 2 sen xcosx.
\ 3
11. \ / l — xcos X = 1 ----X — -x^ -f O(x^).
2 8
12 .
senx X X,____ = 1 — — — h O(x^).
x \ / l + X 2 48
13. = - - -^x -f -— =-^x^ -f o(x^) com X —> 0. Obtenha esse resultado de duas maneiras distintas: primeiro/(x) a
calcule as derivadas de 1 //; depois, escreva l/ /(x ) — A + Bx -f Bx^ -f o(x^) e utilize relação / • 1 // = 1.
14. secx ~ ̂ ~2 ^ O(x^).
16. Observe que tanx = (senx)(l/ cosx).
17. 1/3. 18. 1/4. 19. - 6.
15. Observe que senx
senx - 1
20. 3. 2 1 . 1/3. 22. - 1.
2.5 Fórmula de Taylor na forma geral
Vamos considerar agora o problema de aproximar uma dada função por polinómios, nas proximidades de 
um ponto X = a, não necessariamente a origem. Este problema se reduz facilmente ao problema tratado na 
seção anterior, introduzindo-se a variável — x — a e a função
g{h) - f{a-\-h) = f{x).
2.5 Fórmula de Taylor na forma geral 43
Dessa maneira, a variável x aproxima o valor x = a se, e somente se, h aproxima o valor h = 0.
Vamos supor que / seja derivável até a ordem n + 1 numa vizinhança de a: = a, digamos, \x — a\ < ô. 
Então, g terá derivadas até a ordem n + 1 em |/i| < á. Além disso,
gir) ^ ^ f^"'\x), r = l , 2, . . . , n + 1.
Daqui segue-se que a fórmula de Taylor da função g,
9{h) = 9(0) + + . . . +
pode ser escrita em termos da função / da seguinte maneira;
f{x) = f{a) + - a) + - a)^ + . . . + — —--(x - a)” +/ > )1!
/ > )
2! n\ (n + 1)! {x — a)
n+l (2.39)
onde x' = a-]- c é um número conveniente entre a e x, do mesmo modo que c é um número entre 0 e h.
A fórmula (2.39) é chamada fórmula de Taylor da função f , de ordem n, relativa ao ponto x = a. Ela 
permite aproximar a função / numa vizinhança de a: = a pelo polinómio de Taylor de ordem n:
P n ( x ) = f ( a ) + t ^ ( x - a ) + l ^ ( x - a ) 2 + . . . + ^ ^ ( x - a ) "
Vamos supor que a função seja limitada por uma constante K numa vizinhança ô de x = a, isto
e,
\f{n+i)^x'j\ < X para |a: — a| < ô.
Então, Rn{x) = 0{{x — a)^”+^^) ou Rn{x) = o{{x — a)” ) com x ^ a, como é fácil verificar.
A unicidade da fórmula de Taylor para uma função / pode também ser facilmente reduzida à unicidade 
provada anteriormente, pelo mesmo recurso de introduzir a variável h = x — a.
E xem plo 1. Vamos obter a fórmula de Taylor da função f{x) — Ijx , relativa ao ponto a = 2. Pelo 
cálculo de derivadas.
Em geral.
f ' (x) = - X f"[x) = 2x f"'(x) = -3!a; etc.
/W (2) (_ i) r
fO-){x) = { - I J r i x ^ ' - ' - e 2r+l
Portanto, a fórmula procurada, válida para a: > 0, é dada por
1 _ 1 ( x - 2 ) (x-2)-^ _ (x - 2)3 ( - l ) n ( ^ - 2)n _ ( - l ) " ( x - 2)"+^
X 2 2̂ 2̂ 2* 2"+i c"+2 ’ ( • )
onde c é um número conveniente entre 2 e x.
Outro modo de se obter a mesma fórmula consiste em usar a identidade já encontrada anteriormente:
1 — a:
= l + a; + a : + . . . + a:” +
..n+l
1 — a;
Com X trocado por —x, ela nos dá
1
1 -f a:
= l - a; + a;^-a:'^ + . . . + ( - l ) ”a;'
(_ l)n^n+ l
1 + a:
(2.41)
(2.42)
44 Capítulo 2 Aproximação de funções por polinómios
Por outro lado,
X (a;- 2) + 2 2 l + ( a : - 2) / 2 '
Este último fator é do tipo 1/(1 + a:), com x substituído por (a: — 2)/2. Então, para se obter a fórmula 
desejada, basta substituir x por {x — 2)/2 na identidade (2.42) e multiplicá-la por 1/ 2. O resultado é a 
fórmula
1 _ 1 { x - 2 ) { x - 2)2 (a; - 2)^
x ~ 2 2 ^ ^ 23 ¥
( - l ) ” (x - 2)” - 2)^+1
(2.43)2n+i 2”+^a; ’
cujo último termo é de ordem pequena de (a; — 2)” com x ^ 2. Em virtude do teorema de unicidade, as 
fórmulas (2.40) e (2.43) são idênticas, com resto dado por duas expressões distintas, de forma que podemos 
cscrcvcr
(-l)^ (a : - 2)^+1 ( - l ) ’"(a: - 2)”+^
Rn{x)
Isso mostra que c = 2*̂’̂ “*-i)/(’̂ +2)^i/(n+2)_
o77-H-2 2n+n
E xem plo 2. Para calcular o seno de 46° é mais conveniente usar a fórmula de Taylor relativa ao ponto 
X = 7t/4 , em vez da fórmula referente a a; = 0. Como
46° = 7t/4 -f tt/ 180 rad,
vamos substituir a = irf4 e /i = 7r/180 em
cos(a + h) = COS a — sen a ■ h —
COS a , 9 sen c , o 
------------------------h' .̂
Levando em conta que sen a = cosa = \/2 /2 , isso nos dá
COS 46° = sen 44̂ ^ V2
2i
180 2V 180 / J
com erro R 2 — —
sen c / 7T
6 V180
, que nos permite fazer a seguinte estimativa:
«<0,0000018.
Vemos então que apenas três termos do polinómio de Taylor são suficientes para obtermos cos 46° = sen 44'̂ 
com cinco casas decimais corretas:
COS 46° = sen 44'̂
2
1 -
7T
180 2 V 180
1 / \
^ j « 0,69465.
Exercícios
Obtenha a fórmula de Taylor de ordem n, relativa ao ponto x = a, para cada uma das funções dos Exercícios 1 a 15.
1 . f{x) = Inx, a — 1.
4. f{x) = senx, a = tt/2.
7. f{x) = — a = —2.
2. f{x) = a arbitrário. 
5 . f{x) = i , a = - 1 .
3. f{x) = yT, 0 = 1. 
6. f{x) = ^ •, 0 = 3.
8. f{x) = COS x, o = 7t/ 4, n = 4.
11. f { x ) —coshx, o arbitrário. 
14. f{x) = cosx, o = 27t.
X — 1
10. /(x )= sen h x , o arbitrário.
13. f{x) — senx, o = —tt.
16. Use o polinómio de Taylor para calcular sen 43° e cos 48° com cinco casas decimais corretas.
1 - (íc — 3)^
9. f{x) = senx, o = tt/4.
12 . f{x) = x°‘, 0 = 1.
15. f{x) = sen a:, o = tt/6 , n = 4.
2.6 Notas históricas 45
Respostas, sugestões e soluções
1 . = ( . - 1) - M + t i - . . . + _ 1) . +
= E
( - 1)k — 1
3
( - 1) ’
fc=i (n +
n ' ' (n + l)c”+̂
{x — onde c é um número conveniente entre 1 e x.
 ̂ ^ ̂ x - l -3 -5 ...(2A ;-3 ) , 1 • 3 ■ 5 ... (2n - 1) ,
3. V® = 1 + ^ 5- + X ^ (- l) -----------------------{x - 1) + (-1) 2n+i(„-n)!c(2n -i)/2 “ 1) > °nde c é um
fc=2
número entre 1 e x, x > 0.
5. Observe que — = — -----7----- -7-. Utilize (2.41) com x + 1 em lugar de x.
X 1 — (x + 1)
7. Observe que X
X — 1
(x + 2) — 3 + 1 
(x + 2) - 3 = 1 - 3 - (x + 2) ■
8. Observe que cos(7t/ 4 + h) = {y/2/2){cosh — senh). Utilize as fórmulas de Taylor de senh e cosh referentes a
h = 0.
9. Veja o Exercício 8 da p. 36.
11. A fórmula de ordem par 2n é dada por
n —1 r
cosh X = cosh a + ^ (senh a)^ ^ L (2Í - 1)P - ' (2*)!
Encontre a expressão de R2n{x). Obtenha também a fórmula de ordem 2n + 1.
+ R2n{x)-
12. Pode-se obter a fórmula pedida diretamente, calculando as derivadas da função dada, ou a partir da fórmula 
binomial com x = a + h = a(l -f h/a).
2.6 N otas históricas
Interpolação
A representação de funções em polinómios originou-se com o problema da interpolação. Necessidades práticas, so­
bretudo em navegação e cartografia, estimulavam a elaboração e o aperfeiçoamento de tabelas trigonométricas e 
logarítmicas, que eram muito utilizadas em Astronomia, e também na elaboração de tabelas náuticas, de grande im­
portância prática.
O tipo mais simples de interpolação é a interpolação linear, que consiste em calcular os valores de uma dada função 
/ num intervalo [a, /?], servindo-se da equação da reta que passa pelos pontos (a, f{a)) e (/?, /(/?)). Os matemáticos 
logo perceberam que poderiam obter resultados mais precisos, aproximando a função por polinómios. Esse tipo de 
aproximação parece ter-se iniciado com Henry Briggs (1561-1639) em 1624, mas uma fórmula genérica só foi dada por 
James Gregory (1638-1675) em 1670 e, independentemente, por Newtonpor volta de 1676. Essa fórmula é a seguinte:
h h h í h
2 \b \bf{a + h) - f{a) + -A /(a ) -f —- - - 1 A f{a) -f ... -f —- t “ 1 T “ 2 •
1 h í h
n\ b \ b
h
^ - n + l ) A " / ( a ) ,
onde
Af{a) = f{a + b) - f{a), A^/(a) = A / (a -f ò) - A/(a), A^/(a) = A ^/(a -f 6) - A^/(a), etc.
Note que A /(a + 6) = f{a + 2b) — f{a + 6), A /(a -f 2b) = f{a + 36) — f{a + 26), etc.
E fácil ver que a fórmula de Gregory-Newton exprime / como um polinómio em h (ou em x = a + h), que coincide 
com / nos valores a, a + b, a + 2b,... ,a + nb. Ela era usada não somente para obter valores aproximados de / , mas 
também no cálculo aproximado de integrais, reduzindo a integração de uma função arbitrária à operação de integrar 
um polinómio. Esta operação podia ser efetuada facilmente em termos de primitivas, graças ao Teorema Fundamental 
do Cálculo.
46 Capítulo 2 Aproximação de funções por polinómios
A fórmula de Taylor apareceu numa publicação de Brook Taylor (1685-1731) de 1715. Ele a obteve da fórmula 
de Gregory-Newton pela substituição de b por Ax. Então,
Í A , ( . , = * í g a
torna-se hf'{a), quando se faz Ax — 0 (segundo Taylor!.
1 h í h
2 ! 6 V 6
- I A^ f (a) =
Por outro lado,
h{h — Ax) A^f(a) 
2! Ax^
torna-se h? f"{a)/2\ quando Ax = 0 (segundo Taylor!...); e assim por diante. O resultado é a fórmula de Taylor, com 
um número infinito de termos, partindo-se da fórmula de Gregory-Newton com infinitos termos. Convém notar que 
outros matemáticos, como James Gregory e Leibniz, obtiveram esse resultado antes de Taylor, embora não o tivessem 
divulgado. A fórmula de Taylor referente a o = 0, aparece também numa publicação de Colin Maclaurin (1698-1746), 
que foi professor em Edimburgo. Ele deu esse resultado numa publicação de 1742, observando tratar-se de um caso 
particular do resultado de Taylor.
O argumento usado por Taylor, que está longe de ser uma “demonstração”, era típico dessa época; e contrastava 
bastante com a elegância e o rigor dedutivo dos geômetras gregos. Era, pois, natural que os criadores do Cálculo 
encontrassem forte oposição a seus métodos.
Leibniz teve atuação decisiva no desenvolvimento dos novos métodos. Além de suas contribuições pessoais, ele criou 
escola no continente europeu, com seguidores brilhantes, como Jean Bernoulli (1667-1748), Leonhard Euler (1707- 
1783), Daniel Bernoulli (1700-1782) e muitos outros. Esses homens, usando os novos métodos, atacaram, com sucesso, 
problemas significativos em Mecânica, Astronomia, Óptica, Acústica, Balística, etc. Essa relevância do Cálculo num 
largo contexto científico foi sem dúvida um fator decisivo de seu desenvolvimento e consolidação.
Não devemos terminar esta nota sem mencionar que Colin Maclaurin foi um matemático de mérito. Não lhe 
fazemos justiça, lembrando seu nome apenas por causa de uma fórmula que se obtém da fórmula de Taylor com a = 0. 
Aos 21 anos Maclaurin já era membro da Sociedade Real de Londres e, por recomendação de Newton, tornou-se 
professor em Edimburgo aos 27 anos. Realizou muitas pesquisas importantes e publicou várias obras, dentre elas o 
Tratado das Fluxões de 1742, onde aparecem a “fórmula de Maclaurin” e a demonstração de que uma massa fluida 
homogênea em rotação assume a forma elipsoidal. Maclaurin escreveu essa obra para responder às críticas que o bispo 
George Berkeley desfechara contra os métodos do Cálculo numa publicação de 1734.
Newton e o Cálculo
Já notamos, no Volume 1, que o Cálculo Diferencial e Integral se desenvolveu ao longo de todo o século XVII, na 
obra de diferentes autores. Essa evolução alcançou seu ponto culminante nos trabalhos de Newton e Leibniz, que 
descobriram a derivação e a integração como processos inversos um do outro. Mais do que isso, eles compreenderam 
o alcance desse fato, que permitia unificar as inúmeras técnicas que vinham sendo usadas na solução de problemas 
isolados. A partir de então, o Cálculo foi rapidamente se constituindo numa disciplina autônoma.
Isaac Newton (1642-1727) nasceu na aldeia de Woolsthorpe (no condado de Lincolnshire), na Inglaterra. Enquanto 
menino e jovem, ele não manifestou nada de excepcional em seus estudos. Seu exame de ingresso na Universidade 
de Cambridge até revelou deficiências em seus conhecimentos de Geometria. Bacharelou-se em abril de 1665, e nesse 
mesmo ano Londres foi tomada por um surto de peste que grassava por toda parte. Por medida de precaução, a 
Universidade de Cambridge e vários outros locais de aglomeração humana foram fechados. Newton então recolheu-se 
à propriedade rural da família em Woolsthorpe durante os anos de 1665 e 1666. Mais tarde ele contaria que foram 
nesses dois anos que ele se sentiu no auge de sua criatividade, tendo-se “dedicado à Matemática e à Filosofia (“Na­
tural Philosophy”, significando o que hoje chamamos de “Ciências Naturais”) mais do que em qualquer outra época 
desde então. Foi nesse período que Newton teve as grandes idéias que o celebrizaram em Mecânica, em Gravitação, 
em Óptica e no Cálculo. Em 1669 tornou-se professor em Cambridge, sucedendo a seu antigo mestre Isaac Barrow 
(1630-1677).
Dotado de uma personalidade complexa, Newton sempre relutou em publicar, ou mesmo divulgar entre seus 
pares, suas descobertas científicas, aparentemente por receio de críticas. Segundo um testemunho abalizado, “durante 
toda a sua vida ele foi dominado por um temor mórbido de oposição. Seu livro Princípios Matemáticos de Filosofia 
Natural (conhecido como Principia, do título em latim), certamente a maior obra científica de todos os tempos, só foi 
publicado em 1687, por insistência de seu amigo, o astrônomo Edmond Halley,^ que pagou os custos de publicação. 
Nessa obra aparecem, a todo momento, argumentos infinitesimais típicos da nova disciplina do Cálculo. No entanto.
^Trata-se do cientista que calculou a volta periódica do cometa que leva seu nome.
2.6 Notas históricas 47
contrariamente ao que muitos pensam, todos os resultados do livro são demonstrados com os métodos geométricos 
antigos. Newton não utiliza os métodos analíticos do Cálculo, como seria muito mais fácil, seja porque esses métodos 
não estavam plenamente desenvolvidos, seja porque estavam longe de possuir aquele rigor tão admirado da geometria 
euclidiana clássica.
O primeiro documento de Newton sobre o Cálculo é um manuscrito de 1666, que teve circulação muito limitada, 
tanto na época em que foi composto como após sua morte. Ele deixou uma quantidade enorme de manuscritos, que 
só foram editados e publicados recentemente pela Universidade de Cambridge em sete volumes.^
Vamos dar uma pequena mostra do “Cálculo” de Newton, descrevendo como ele resolveu o problema da deter­
minação da tangente a uma curva dada por uma equação /(x , y) — 0. Newton considerava as variáveis x e y como 
fluentes, ou seja, grandezas que “fluem” com o passar do tempo. Isso equivale a considerá-las funções do tempo. Assim, 
o deslocamento de um ponto P sobre a curva pode ser descrito em termos dos deslocamentos de suas projeções sobre 
os eixos; e a velocidade de P é a composição das velocidades áe x e y, designadas pelos símbolos x e y, chamados 
de fluxões áe x e y, respectivamente (que, em terminologia moderna, são as derivadas de x{t) e y{t), respectiva­
mente). Durante um incremento “inflnitamente pequeno” de tempo, denotado por “o”, os deslocamentos x e y sofrem 
incrementos “infinitesimais” xo e yo, respectivamente. Assim devemos ter, não somente f{x, y) — 0, mas também 
f{x + xo,y + yo) = 0.
Vejamos como isso funciona num exemplo concreto dado pelo próprio Newton. Dada a relação entre fluentes, 
f{x, y), encontrar a relação entre as fluxões (ou seja, em linguagem de hoje, achar o declive da reta tangente no ponto 
P). O exemplo ilustrativo é o da equação
y) ax^ + axy — y^ — 0.
Expandindo f{x -f xo, y -f yo) = 0, eliminando os termos que perfazem f{x,y) e dividindo tudo pelo infinitésimo 0, 
obtemos
3x^x — 2axx -f axy — Sy^y -f ... = 0,
onde os três pontos representam os termos que ainda contêm0 como fator. Esses são desprezados por Newton por 
serem “infinitamente pequenos”. O resultado é
y 3x^ — 2ax + ay 
X 3y' ̂— ax
que, em notação moderna, é simplesmente dy/dx.
L eibn iz e o C á lcu lo
Já falamos de Leibniz no final do Capítulo 5 do Volume 1, quando também procuramos ressaltar a importância do 
formalismo e das antevisões de Leibniz sobre um “cálculo do raciocínio. Vale a pena aqui começar lembrando alguns 
pontos da biografia desse grande sábio.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) foi um dos maiores universalistas de todos os tempos. Ele era dotado de 
extraordinária versatilidade. Inicialmente estudou Direito e Humanidades, doutorando-se em Filosofia aos 21 anos. 
Logo em seguida entrou para o serviço diplomático, e em 1672 seguiu em missão para Paris, onde viveu durante quatro 
anos, até 1676. Esse foi um período muito fértil de sua vida intelectual, durante o qual se dedicou seriamente ao estudo 
da Matemática e concebeu sua própria versão do Cálculo. Em 1776 retornou à Alemanha, onde se tornou bibliotecário 
e conselheiro real em Hanôver. A obra de Leibniz toca praticamente todos os campos do conhecimento, dominando a 
vida intelectual e exercendo influência marcante no pensamento filosófico de seu tempo.
Quando de sua estada em Paris (no período de 1672 a 1676), Leibniz entrou em contato com Christiaan Huygens 
(1629-1695), nessa época um dos cientistas mais renomados da Europa. Esse relacionamento muito o estimulou para 
dedicar-se com afinco a seus estudos e pesquisas em Matemática. Em particular, Huygens aconselhou-o a ler uma 
publicação de Pascal sobre certos problemas geométricos. E foi na leitura dessa publicação que Leibniz encontrou 
inspiração para uma de suas idéias fundamentais na criação do Cálculo, a de “triângulo característico”.
Observemos, primeiro, que Leibniz concebia a derivada como o quociente de grandezas infinitamente pequenas, 
as diferenciais dy e dx. Os elementos dx e dy seriam, por assim dizer, as componentes dos lados de uma poligonal 
infinita a que se reduziam, em última análise, as curvas geométricas (Fig. 2.11). Dada uma curva qualquer, o triângulo 
característico num ponto genérico P da curva é o triângulo retângulo formado pelos elementos infinitesimais dx, dy e 
ds, como ilustra a Fig. 2.12. Leibniz explorou a semelhança desse triângulo com outros triângulos para obter, com 
relativa facilidade, resultados importantes de quadratura. Por exemplo, consideremos o triângulo característico no
D̂. T. Whiteside (editor), The Mathematical Papers of Isaac Newton, Cambridge University Pressf 1967 a 1976, 7 volumes.
48 Capítulo 2 Aproximação de funções por polinómios
caso de um quadrante de círculo de raio a. Com referência à Fig. 2.13, a semelhança dos triângulos PAB e O PC 
permite escrever yds = adx. Como 2'Kyds é a área infinitesimal de uma zona do hemisfério, a área do hemisfério 
inteiro deve ser dada (em notação de hoje) por
J 2Tzyds = 27ra J dx —2'iTâ
Uma outra idéia importante no Cálculo de Leibniz é um fato muito simples ligado a séries numéricas. Dadas duas 
séries
ao,ui, «2, «3, . . . e dl, ^2, da,.. . ,
onde dj = aj — aj-i, é claro que aj—ao = d\+d2 + ■ ■ -+dj. Em palavras, a série dos d é construída fazendo as diferenças 
dos elementos consecutivos da série dos a; e esta é obtida a partir das somas dos elementos da série dos d. Ora, adição 
e subtração são operações inversas uma da outra. Leibniz transpôs essas idéias para o domínio geométrico de curvas 
no plano, o que lhe permitiu identificar a invertibilidade das operações de quadratura (integração) e diferenciação, ou 
seja, o Teorema Fundamental do Cálculo.
Figura 2.11 Figura 2.12 Figura 2.13
Leibniz era especulativo e dado a generalizações, à procura de relações operacionais (como as regras de derivação 
de um produto ou quociente) que levassem ao desenvolvimento do formalismo do Cálculo. Esse seu formalismo é uma 
de suas grandes virtudes. Os símbolos “d” para a diferencial e “f ” para a integral foram introduzidos pelo próprio 
Leibniz em 1675. As notações “dx”, “dy”, “ds” para elementos “infinitesimais” têm a grande conveniência de “sugerir” 
os próprios resultados. Por exemplo, no caso de uma função composta y àe z e x, regra da cadeia assume a forma 
que “era de se esperar”:
dy dy dz
dx dz dy
No caso da integral, essa regra nos conduz naturalmente à “integração por substituição”:
f{z)dz = j f{z{x))z'{x)dx.
A regra d{yz) = ydz + zdy segue facilmente de
d{yz) ^ { y + dy){z + dz) - yz,
desprezando o termo dy dz. Analogamente,
J , y \ _ y + dy y _ zd y -yd z 
' ^ ~ z + dz z
onde zdz é desprezado.
N e w to n e L eibn iz
Os trabalhos de Newton sobre o Cálculo são anteriores aos de Leibniz, mas as publicações de Leibniz sobre o mesmo 
assunto são anteriores às de Newton, tendo ocorrido em 1684 e 1686, no periódico Acta Eruditorium, fundado pelo 
próprio Leibniz. Devido a isso, e à suspeita de que em suas visitas à Inglaterra, em 1673 e 1676, Leibniz teria sabido 
das descobertas de Newton, vários seguidores deste acusaram Leibniz de plagiar Newton. Hoje não há dúvida alguma:
2.6 Notas históricas 49
os dois sábios fizeram suas descobertas independentemente um do outro, não houve qualquer plágio. Infelizmente, 
naquela época essas suspeitas de fraude foram objeto de muita disputa pelos matemáticos ingleses, e acabaram tendo 
um efeito bastante negativo no desenvolvimento da Matemática na Inglaterra, como explicamos logo a seguir.
No continente europeu, Leibniz teve seguidores entusiastas e competentes, como os Bernoulli (os irmãos Jacques 
e Jean; Daniel e Nicolau, filhos de Jean), Euler, d’Alembert e muitos outros, de que falaremos mais tarde. Isso deu 
notável impulso ao desenvolvimento do Cálculo. Além disso, outro fator decisivo para esse desenvolvimento foi a 
própria notação criada por Leibniz, muito mais adequada na descoberta e na maneira de exprimir os resultados que 
a de Newton. Na Inglaterra, ao contrário, devido à atitude dos próprios matemáticos ingleses, que se recusavam a 
seguir a escola de Leibniz, e também à menor qualificação deles, houve uma verdadeira paralisia do desenvolvimento, 
com conseqüências negativas para a matemática inglesa durante todo o século XVIII.
Capítulo 3
Seqüências infinitas
Como já anunciamos no capítulo anterior, vamos tratar agora das sequências infinitas. Além de seu interesse 
intrínseco, esse tratamento é essencial para o estudo das séries infinitas no próximo capítulo.
Desde o início do nosso estudo no Volume 1, temos lidado com limites apenas de maneira intuitiva, mas agora 
é chegado o momento de começarmos a desenvolver uma teoria do limite; e faremos isso no presente capítulo, 
tratando do limite no caso de seqüências infinitas. Neste caso, a definição de limite é mais fácil de ser apreendida 
do que no caso de funções. Além disso, as discussões do presente capítulo ajudam muito e facilitam o tratamento 
do limite de funções, que será feito no Capítulo 6.
A definição rigorosa de limite, mesmo no caso mais fácil do limite de seqüências, é a parte mais delicada do 
Cálculo, por isso mesmo será reduzida ao mínimo necessário para os nossos propósitos. Estudos mais extensos 
costumam ser feitos nos cursos de Análise.
Essencial em nosso estudo é a chamada desigualdade do triângulo, que muitos livros tratam logo no início 
do Cálculo, quando discutem os números reais. Preferimos postergá-la até o presente momento, pois só agora 
teremos necessidade de utilizá-la de maneira significativa.
3.1 Introdução
O estudo da aproximação de funções por polinómios, feito no capítulo anterior, leva, naturalmente, à con­
sideração de somas infinitas. Por exemplo, vimos que a função tem a seguinte fórmula de Taylor:
onde Rn(x) = /{n-\-1) e c é número entre 0 e x. Veremos, mais adiante, que Rn{x) tende a zero com
n —» oo, o que sugere que se n crescer acima de qualquer número dado, Rn{x) tenderá a zero e a função e® 
será dada, exatamente, pela “soma infinita”
X X'- X
e^ = l + a:-h — + — + .. . - f - r + . . .2! 3! n!
Do mesmo modo, a fórmula
x^ x^ (—
ln(l + x ) = x ~ y + Y ~ " ’ -------------- ^
( - l ) ^ xn^n+l
n (u -h 1)(1 + c)”+^
sugere que se possa exprimir ln (l -f a:) em termos da seguinte “soma infinita” :
9 4rp̂
, V tL/
ln (l + x ) = x - — +
Muitas das funções que aparecem no Cálculo são passíveis de desenvolvimentos desse tipo, em que a 
função passa a ser um “polinómio infinito” . Isso facilita muito o tratam ento das funções. Entretanto, temos
50
3.2 Seqüências infinitas 51
de interpretar essas “somas infinitas” e saber o seu significado preciso. Lidar com o infinito sempre foi um 
problema difícil; e os matemáticos sabem disso há mais de dois milênios. E para que o leitor tenha uma idéia 
das dificuldades que podem surgir, vamos logo dar um exemplo simples e bastante esclarecedor. Considere 
a série infinita
5 '= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + . . .
Se escrevermos 5 = (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + . . . , teremos, evidentemente, S = 0. Mas podemos também 
escrever
e agora concluímos que S = 1. Ainda há uma terceira possibilidade, tão legítima como as anteriores:
5 = 1 — (1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1 + . . . ) = 1 — 5, donde 25 = 1, donde 5 = 1/2.
Afinal, 5 = 0, 5 = 1 ou 5 = 1/2? Por que três respostas diferentes? Claro que não podemos aceitar 
nenhuma delas em detrimento das outras.
O exemplo que acabamos de dar aponta para a necessidade de se conceituar o que significa “soma infi­
nita” . Como veremos, essa conceituação excluirá a possibilidade de somas infinitas do tipo que acabamos de 
considerar. E para chegar a essa conceituação devemos primeiro estudar as chamadas “seqüências infinitas” .
3.2 Seqüências infinitas
Uma sequência ou sucessão infinita
(2i, U3 , . . . , d/j,, . . .
é uma função / , definida no conjunto dos números inteiros positivos, atribuindo a n o valor assim,
/ : 1 / ( l ) = ai, 2 i -^ / (2 ) = a2, 3 /(3 ) = 03, etc.
De um modo geral, / : n 1-^ f{n) = a„. O número n, que aí aparece, é chamado de índice da seqüência e ün 
o seu termo geral, ou n-ésimo elemento.
Um exemplo concreto de seqüência é dado pela seqüência dos números pares positivos, On = 2n, n = 
1, 2, 3 , . . . A seqüência dos números ímpares positivos também tem uma fórmula simples para o termo 
geral, que é Un = 2n — 1, com n = 1, 2, 3 , . . . ; ou = 2n + 1, com n > 0.
Mas nem sempre o termo geral de uma seqüência é dado por uma fórmula, embora, evidentemente, 
sempre haja uma lei de formação bem definida que permite determinar o termo geral da seqüência. E esse 
o caso das aproximações decimais por falta de \ / 2, que formam a seqüência infinita
ai = l ,4, 02 = 1,41, 03 = 1,414, 04 = 1,4142, 05 = 1,41421, 06 = 1,414213,...
Outro exemplo é a seqüência dos números primos,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, . . .
Como se sabe, não existe fórmula para o termo geral da seqüência dos números primos, mas todos eles estão 
determinados e podem ser encontrados, por exemplo, pelo chamado “crivo de Eratóstenes” .
A notação (a„) é muito usada para denotar uma seqüência. Também se escreve (ai, 02, a^,. .. ), ou 
simplesmente ün- Podemos também usar quaisquer outras letras, como (bn), (cn), {xn)i {yn)i etc. Alguns 
autores costumam escrever {a„} em vez de (a^), mas preferimos reservar essa notação entre chaves para o 
conjunto de valores da seqüência. Essa distinção é importante, pois uma seqüência possui infinitos elementos, 
mesmo que seu conjunto de valores seja finito. Por exemplo, a seqüência
1, - 1, 1, - 1, 1, - 1, . . .
52 Capítulo 3 Seqüências infinitas
é infinita, com elemento genérico = (—1)” mas seu conjunto de valores possui apenas dois elementos, 
+1 e —1, de forma que, segundo convencionamos,
{fln} = {—1, +!}•
Pela definição, uma seqüência (a^) é indexada a partir de n == 1, de forma que a± é seu primeiro termo. 
Mas, às vezes, é conveniente considerar seqüências indexadas a partir de um certo n 7 ̂ 1; é esse o caso da 
seqüência = ^/n — 6, que só faz sentido para n = 6, 7, 8, . . . , de forma que ae é o primeiro elemento dessa 
seqüência. Mas, mesmo nesses casos, com uma translação de índices^ pode-se fazer com que a seqüência 
tenha primeiro índice n = 1. Assim, no exemplo que demos, é só definir = <̂ n+5 = \/n — 1 para que a 
seqüência fique definida a partir de n = 1. Uma seqüência pode também começar em n = 0: uq, a i, U2, <13, 
etc.
O estudo das seqüências infinitas é im portante para muitas finalidades, uma das quais é o estudo das 
“séries infinitas” . De fato, como veremos mais adiante, uma tal série tem forma geral
Ul + U2 "fi <3,3 -fi . . . + Ut • — ^ ^
n—1
envolvendo duas seqüências fundamentais, que são a seqüência {ün) dos termos da série e a seqüência {Sn) 
das somas parciais
= ai, (S'2 = oq + U2, S$ ~ ai ü2 -{■ as , . . . = ai + 02 + . . . + ün, • • •
As vezes, quando nos deparamos com uma seqüência como
1, 2, 2, 3, 4, 5, 6,
pode parecer que seu termo geral não seja dado de forma simples. No entanto, uma reflexão mais cuidadosa 
pode levar-nos a descobrir essa forma. No caso da seqüência em questão, ün pode ser descrito de maneira 
muito simples, pela representação dos elementos de ordem par e dos elementos de ordem ímpar assim:
-| - 1
a2n-i=^'ri e ü2n = ------- , n == 1, 2 , 3, 4 , . . .n
Exercícios
1. Escreva os dez primeiros termos da seqüência a„ = nji^n — 1). Em seguida, ignorando esta fórmula do termo 
geral, tente descobri-la a partir do exame dos dez termos obtidos.
2. O termo geral da seqüência
0 0 ^ 3 7 4 9 5 11
’ ’ 3 ’ 2 ’ 5 ’ 3 ’ 7 ’ 4 ’ 9 ’■■ ■
é dado por uma fórmula simples. Descubra essa fórmula.
3. Escreva os primeiros sete termos de uma seqüência cujo primeiro termo é 1, e cuja soma dos primeiros n termos 
é 1/n.
4. Ache o valor do trigésimo termo da seqüência do exercício anterior, diretamente, sem calcular os precedentes.
5. Escreva a fórmula que dá o termo geral da seqüência do Exercício 3.
6. Escreva a fórmula que dá o termo geral da seqüência cuja soma dos primeiros n termos é n -f 1/n.
7. Ache a seqüência cujo primeiro termo é 1 e cuja soma dos termos pares é zero e a soma dos ímpares é 1.
3.3 O conceito de limite 53
8. Muitas seqüências são definidas recursivamente, isto é, cada termo dado em função de um ou mais termos ante­
riores, como a seqüência assim definida: xq = 1 e Xn = nx„_i, n = 1, 2, 3, .. . Mostre que = n\.
9. Considere a seqüência assim definida: a:o = 1 e Xn+\ = Xn + 1/2^^+ ,̂ n = 0, 1, 2, . . . Calcule xi, x^, x^ e X4, 
tendo o cuidado de observar a formação de cada um desses termos. Você deverá descobrir uma fórmula para o 
termo geral.
10. Uma seqüência notável, definida recursivamente, é a chamada seqüência de Fibonacci (veja Nota histórica sobre 
essa seqüência no final do capítulo), cujos dois primeiros termos são iguais a 1, e cujo termo genérico /n é a soma 
dos dois que o precedem, isto é,
/0 = / l = l , /n = /n-2 + /n - l , n = 2, 3, 4, . . .
Determine os primeiros 17 termos dessa seqüência.
11. Utilize sua calculadora para encontrar os primeiros quatro termos da seqüência definida recursivamente assim:
= 1, X n + 1 = — ^----- , n = l, 2, 3, . . .
2 X n
Note que o quarto termo coincide, até a quarta casa decimal, com a raiz quadrada de 2 obtida na calculadora. 
Por que serã que isso acontece? Veja a Nota histórica correspondente no final do capítulo.
Respostas
2. ün = {n + 2)/n. 
4. U30 = —1/870.
3. 1, - 1 /2 , -1 /6 , -1 /1 2 , -1 /2 0 , -1 /3 0 , -1 /4 2 .
— n — 15. a„ = —l/ (n — l)n. 6. an. —
7. a„ = ( - l ) " - i : 1, - 1 , 1, -1 , 1, - 1 , . . .
10. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597.
n(n — 1) 
9. Xn = 2 - 1/2^.
3.3 O conceito de lim ite
Dentre todas as seqüências, são de interesse especial as chamadas seqüências convergentes, cujo estudo 
devemos iniciar agora.
Começamos observando que desde o Volume 1 até aqui a noção de limite tem sido utilizada apenas de 
maneira intuitiva,sem uma conceituação precisa. E chegado o momento de introduzir o conceito de limite 
através de uma definição clara e rigorosa.
Em termos sugestivos, uma seqüência (an) é convergente se, à medida que o índice n cresce, o elemento 
ün vai-se tornando arbitrariamente próximo de um certo número L, chamado limite da seqüência. Como 
medir essa proximidade entre On e LI Pela diferença Qn — LoM pela diferença L — ürJ Ora, as duas diferenças 
são igualmente importantes, e o modo de levar ambas em conta é considerar seu valor absoluto |a„ — L\. 
Portanto, dizer que On vai-se tornando arbitrariamente próximo de L significa dizer que |a„ — L\ torna-se 
inferior a qualquer número positivo s, por pequeno que seja, desde que se faça o índice n suficientemente 
grande, isto é, maior que um certo N. Se prescrevermos um s menor ainda, talvez tenhamos de aumentar 
o N', e assim por diante.
Esse £ é, por assim dizer, um modo de medir o erro que se comete ao tomar pelo limite L. Essas 
considerações nos levam naturalmente à seguinte definição de limite e convergência.
D efin ição. Diz-se que uma seqüência (an) tem limite L ou converge para L se, dado qualquer número 
£> 0, é sempre possível encontrar um número N tal que
n > N L\ < £. (3.1)
54 Capítulo 3 Seqüências infinitas
Escreve-se
lim ün = -L, lim ün = L ou ^ L.
n—>oo
Uma seqüência que não converge é dita divergente.
Observe que
\an — L\ < £ ^ —e < a n — L < £ ^ L — e < a n < L + e., 
de sorte que escrever n > N |a„ — L| < £ equivale a escrever
n > N = ^ L — £ < a n < L ^ £ .
Nesta última forma fica fácil interpretar a definição de limite graficamente. A Fig. 3.1 mostra os 
elementos da seqüência representados por pontos no plano cartesiano; e, a partir de certo N, eles estão 
todos no intervalo (vertical) {L — £, L -\- £).
A
L -\- £
L
L - £
Ü2 ÜN
ai
QjQ
-«5.
-aa-
Ü4
Ü N + l -
etc.
N iV + 1 n
Figura 3.1
A definição requer várias observações. Ao dizermos “dado qualquer £ > 0” está implícito que £ pode ser 
arbitrariamente pequeno, ou seja, tão pequeno quanto quisermos. E a condição (3.1), uma vez satisfeita 
para um certo £ = £q̂ estará satisfeita com qualquer e > portanto, se conseguirmos prová-la para todo 
£ positivo e menor que um certo ^Oi como muitas vezes se faz, ela estará provada para qualquer £ > 0.
Quanto ao número N, podemos supô-lo inteiro positivo, portanto, um índice da seqüência; pois se não 
for assim, ele pode ser substituído por qualquer inteiro maior. Mas fique claro também que N não precisa 
ser inteiro, como veremos nos exemplos adiante.
O primeiro sinal de desigualdade em (3.1) tanto pode ser > como >, do mesmo modo que o segundo 
tanto pode ser < como <. De fato, se existe um inteiro positivo N ' tal que n > N ' ^ \an — L\ < £, então, 
é claro que (3.1) vale com N = — 1. E se é possível fazer |a„ — L\ < £ com qualquer e > 0, certamente é
possível fazer \an — L\ < e/2, portanto, \an — L\ < £.
Observe também que tanto faz fazer \an — L\ < £ ou \an — L\ < k£, sendo k uma constante positiva, 
pois se é possível fazer |a„ — L\ <k£ com qualquer e > 0, certamente é possível fazer |a„ — L| < k{£/k) = £.
Se suprimirmos de uma seqüência (un) um número finito de seus termos, em particular, se eliminarmos 
seus k primeiros termos, isso em nada altera o caráter da seqüência com n ^ oo. Assim, se a seqüência 
original converge para L, ou diverge, a nova seqüência convergirá para L ou divergirá, respectivamente.
O leitor deve notar, nos vários exemplos seguintes, que a definição anterior permite provar que um certo 
número, conhecido de antemão, é o limite de uma dada seqüência. Ela não serve para achar esse número. Sua 
utilidade aparece, como veremos mais adiante, na obtenção de novos resultados, tanto teóricos como práticos.
E xem plo 1 . Vamos utilizar a definição anterior para provar que a seqüência
1 2 3 n - 1
2 ’ 3 ’ 4 ’ ■■■’ n ’ ■■■’
3.3 O conceito de limite 55
cujo termo geral é a-n — {n — l ) /n , tem limite L = 1. De fato, neste caso,
I dn. L I —
n — 1
n
n — 1 — n
n
Portanto,
I n 1 1\an — L\ < € ^ — < 6 n > - .
n e
Em outras palavras, dado o número £ > 0 arbitrário, vale a implicação
1n > - 
s
n — 1
1
n < e,
provando que (n — l ) / n 1, pois a condição (3.1) está satisfeita com N = \/e. A propósito, esse N pode 
não ser inteiro, como dissemos antes.
Observe, neste exemplo, que, quanto menor for o número £, tanto maior deverá ser o número N a partir 
do qual |a„ — 1| <s. Isso ilustra o fato de que o número iV da definição de limite deve ajustar-se ao número 
positivo £ que é dado de antemão: quanto menor for s, tanto mais exigentes estaremos sendo com respeito 
à proximidade entre e L; portanto, tanto maior deverá ser o número N. Por exemplo, se £ = 10“ ,̂ 
então l /£ = 10 e \an — 1 | < 10“ ̂ para todo n > A" = 10; no entanto, se £ = 10“ ,̂ então l /£ = 1000 e 
|a„ — 1| < 10“ ̂ para n > 1000. Em geral, se £ = 10“ ” ,̂ então
n > A = 10^
n — 1
n < 10 '
E xem plo 2. Novamente vamos utilizar a definição de limite para provar que a seqüência
n \ / 1 2 3 n
(^n) —
1 2 3
13’ 14’ 15n + 1 2 / V13 14’ 15’ ’ n + 12
converge para o número 1. Para isso observamos que, dado £ > 0,
n
1 12 12------— < £ ^ n > ------ 12.
n + 1 2 £ (3.2)TI + 12
Isso quer dizer que, em correspondência ao £ dado, existe A (= 12/£ — 12) tal que
n > A =+ |an — 1| < £(,
que é precisamente a condição (3.1) da definição de limite.
Aqui também vemos que, quanto menor o £, tanto mais exigentes estaremos sendo quanto à proximidade 
entre e o limite 1, exigência essa que se traduz em termos de fazer o índice n cada vez maior. De fato, 
quanto menor o £, tanto maior o número A = 12/£ — 12. Assim, se £ = 1/10, A = 108; se £ = 1/100, A = 
1188; em geral, se £ = 10“ ^, A = 12 • 10^ — 12. Isso ilustra o que já dissemos: a determinação do número 
A depende do número £ particular que se considere. Ao contrário, se dermos um £ muito grande, pode até 
acontecer que não haja qualquer condição no índice n; é o que acontece com £ = 2 no exemplo que estamos 
considerando, que resulta em A = —6.
O raciocínio usado em (3.2) permite escrever:
, , 12\an — 1\ < £ ^ n > ------ 12.
£
No entanto, poderíamos também ter raciocinado assim:
12I -.1 - 12 12- 1 = — TTã < — < s ^ n >n + 12 n £ (3.3)
56 Capítulo 3 Seqüências infinitas
Mas então a equivalência indicada é apenas entre as duas últimas desigualdades, nao sendo mais verdade 
que
lun — 1 | < e n >
12
O correto agora é a implicação (numa só direção)
12 In > — «n — 1 < £,£
que também é suficiente para a comprovação de que 1 é o limite. Perdemos a implicação contrária por 
causa da primeira desigualdade em (3.3), em conseqüência do que 12/(n + 12) < e não implica n > 12/e:; 
pode agora ocorrer 12/(n + 12) < e com n < 12/e:, desde que seja n > VIje — 12. Veja: com e = 1/10, 
Vlje = 120 e 12/e - 12 = 108.
E xem plo 3. Seja a um número positivo menor do que 1. Vamos considerar a seqüência Xn — aP'. Por 
exemplo, se a = 0,5, dP = 0 ,5^. Explicitamente, a seqüência é
= 0,5, X2 = 0,5^ = 0, 25, X3 = 0,5^ = 0,125, X4 = 0,5^ = 0 ,0625 ,...
Como podemos perceber, a seqüência está tendendo a zero. Vamos provar isso utilizando a definição anterior, 
não apenas no caso a = 0,5, mas no caso geral em que 0 < a < 1. Dado qualquer s > 0, queremos que 
a” seja menor do que e. Ora, tirando logaritmos em ambos os lados da inequação aP < e q lembrando que 
Ina < 0, teremos
n 1 1a < e ^ n in a < Ine ^ n > -— .
Ina
Isso prova que n > In e / Ina =4̂ a’̂ < e, que é o resultado desejado, com N = e / Ina.
Seqüências d ivergentes
Quando uma seqüência não converge, diz-se que ela diverge ou que é divergente. Por exemplo, as seqüências
1, -1 , 1 , - 1 , . . . , ( - 1 ) " , . . . , 1, 2, 4, 8, . . . , 2 " , . . . ,
e
-1/2, -4/3, - 9 / 4 , . . . , - r ? / { n + l ) , . . .
são divergentes. Enquanto a primeira delas oscila entre -(-1 e —1, as duas últimas divergem para -(-00 e 
—00, respectivamente.As vezes, embora divergente, a seqüência apresenta uma certa regularidade particular de comporta­
mento, tendendo a +00 ou a —00. Vamos dar as definições adequadas a esses casos.
Diz-se que uma seqüência a„ tem limite -|-oo, ou que é divergente para -poo, se, dado qualquer número 
K , por grande que seja, é sempre possível determinar um número N tal que
n > N a„ > K.
Escreve-se
lim Ürn->-oo -Hoo, \iman = +oo ou a„ ^ + 00. 
Do mesmo modo define-se divergência para —00:
Diz-se que uma seqüência an tem limite —ao, ou que é divergente para —00, se, dado qualquer número 
K , pode-se determinar N tal que n > N ^ an < K.^
^Como estamos considerando limite para —00, é natural supor K < 0, mas isso não é necessário.
3.3 O conceito de limite 57
Dessas últimas definições segue-se que uma seqüência an tende a — oo se sua oposta tende a
-|-oo, e reciprocamente, pois bn K Ün > —K.
E xem plo 4. Vamos utilizar a penúltima definição que acabamos de dar para provar que
,. 71̂ cos^ n
lim — ------—— = -|-oo.
3n -|- 10
Queremos mostrar que, dado qualquer número K , é possível encontrar N tal que
n > N
'n? -\- cos^ n 
3n + 10
> K.
Desta vez, se tentarmos resolver esta última inequaçao para achar N em função de jFÍ, vamos ter dificul­
dades insuperáveis, principalmente por causa da presença de cos^ n. No entanto, podemos escrever
-H cos^ n 
3n -(- 10
> n
3n -|- 10
Seria conveniente que não houvesse esse 10 no denominador. Podemos substituí-lo por n desde que nos 
restrinjamos a n > 10, o que é perfeitamente aceitável, já que vamos fazer n -foo; e assim procedendo 
estaremos diminuindo a fração. Portanto,
n > ^ ^
3n -|- 10 ~ 4n 4 *
Agora que chegamos a uma expressão mais simples, fica fácil resolver a desigualdade com o K :
- > K ^ n > 4.K.
4
Tomando, então, N como o maior dos números 10 e 47Í, podemos escrever
-(-cos^ n
que é o resultado desejado.
Observe que pudemos substituir o 10 do denominador por n porque isso não prejudica o do 
numerador, que é o que faz a seqüência tender a -|-oo. Se substituíssemos esse 10 por n^, estaríamos 
diminuindo a fração, mas atrapalhando tudo; teríamos uma expressão que não mais tenderia a infinito, por 
ter um no denominador contrabalançando o que se encontra no numerador, além de chegarmos a uma 
expressão que nada favorece a introdução do K.
Continuando a explorar o exemplo anterior, vamos supor que a seqüência fosse
n cos^ n
3n -(- 10
Agora nâo podemos simplesmente abandonar o termo cos^ n, pois assim estaríamos aumentando o numera­
dor. Para diminuí-lo temos de subtrair algo maior que cos^n. Que tal n^/2? Este termo é sempre maior 
que o anterior, desde que n > 2; e isto nos permite reter ainda um pouco de n^, que é necessário para não 
alterar o caráter da seqüência. Assim,
— cos^ n > n V 2 n V 2
3n + 10 3n -H 10 3n 4- 10
58 Capítulo 3 Seqüências infinitas
Agora podemos continuar como antes, substituindo o 10 por n:
n ^/2 ^ T?j2 n
= - > K ^ n > SK.
3n + 10 4n 8 
Portanto, tomando N como o maior dos números 8K e 10, teremos, como antes,
n > N
n? — cos^ n 
3 n + 10
> K .
Se o denominador fosse 3n — 10 não poderíamos substituir o 10 por n. Mas, veja: o objetivo é aumentar 
o denominador para diminuir a fração; basta então abandonar o 10, pois 3n — 10 < 3n.
A lgum as seqüências esp ecia is
E xem plo 5. Vamos mostrar que oo, qualquer que seja A; > 0, não necessariamente inteiro. Para
isso basta observar que, dado K > 0 (note que na primeira passagem tomamos logaritmos em ambos os 
membros, e na última tomamos exponenciais).
> K k \n n > IilK 4^ Inn >
InK
k
^ n > eIn K / k
E xem plo 6. No Exemplo 3 provamos que a ^ ^ ^ O s e O + a + l. S e a > l um procedimento parecido 
com o do Exemplo 3 permite provar que oo. Mais fácil ainda é provar que n! oo, pois n! > n
(Exercício 1 adiante).
Portanto, a seqüência aP'ln\, com u > 1, é uma forma indeterminada. Vamos provar que seu limite é 
zero,^ isto é.
a> 1 ^ lim —- = 0. 
n!
Para isso, notamos que, sendo n > N ,
a” 
n!
a a a
Í ‘ 2 " ' N iV + 1 iV + 2
Agora fixamos um N tal que a /N < 1/2. Com isso, cada um dos n - N fatores do segundo parêntese será 
inferior a 1/2, o que fará com que o produto desses fatores tenda a zero. Veja:
n! 1 2 N
onde c = {2a)^/N \ é uma constante que só depende de N, que já está fixado. Ora, dado £ > 0, existe um 
N ' tal que o último membro seja menor que £, de sorte que
n > N —- < £,
n!
que prova o resultado desejado.
E xem plo 7. Mais fácil que o exemplo anterior é provar que
De fato, basta notar que
n
lim — = 0.
n\ 1 2 n 1
— = — • — — < £ ^ n > e .
n n n n
^Resultado imediato quando 0 < a < 1, pois, neste caso, a” < 1.
3.3 O conceito de limite 59
O bservação . Em vista dos três últimos exemplos acima, vemos que (sendo a > 1),
T T 1-lim — = 0; lim —- = 0; lim — = 0. 
n\ (3.4)
Em linguagem sugestiva, isso significa que, embora as quatro seqüências n^, n! e n” tendam todas a 
infinito, cada uma tende a infinito mais devagar do que a que lhe segue. Com a notação de ordem pequena 
introduzida na p. 39, podemos escrever
= o(a” ), a” = o(n!), n! = o{n^).
Exercícios
1. Prove que n\ oo; que n”' ^ oo; e que a > 1 ^ oo.
Em cada um dos Exercícios 2 a 8, verifique se a seqüência dada converge para algum limite finito L, ou diverge para 
+00 ou —oo. Caso afirmativo, use a definição apropriada para estabelecer o resultado encontrado.
2. (Un) = (2, 1, 3/2, 1, 4/3, 1 ,...), isto é, a2fe = 1 e a2k-\ = {k+ l)/k, k = l, 2, 3 ,...
3. (an)'= (0, 3/2, -2 /3 , 5/4, -4 /5 ,.. .) , isto é, = 1/n + (-1 )” .
4. (a„) = (1, 10, 2, 10 ,̂ 3, 10^,...), isto é, a2fe-i = k e ü2k = 10 ,̂ A; = 1, 2, 3 ,...
5 • dn —
ncos ^/n 
+ 1 0. Ctrl. —
1 — 
u 2 T. CL-fi —
sen(n^ + 1) 
+ 1 8. dn —
3n + 1 
2n - 1
Calcule os limites das seqüências dadas nos Exercícios 9 a 27, sem se preocupar em provar que os resultados são 
efetivamente os limites calculados.
9. dn. —
n — 1 
n + 1
12. dn =
3n\/n + 1
7 — 2ni/n
15. dn — \/n^ + 1 — \/n.
10. dn. —
13. dn. —
4n^ — 3n + 1 
+ lOn + 5
(3 V ^ + 2 )( l-5 y ã )
17. dn =
n n
18. dn = tanhn =
n + 1 n + a + 1
- e~^
10- 5 n 
16. dn — VüT+T — y/n.
, onde d é um número real qualquer.
11. dr
14. dn. =
(2 + 3n)(2n- 1)
4n^ — 1
(2 - \/ü )(y /n - 1) 
Cn + 7
19. dn — ne 0.e"' + 1 +
21. dn = 'd? (̂ l — COS — ̂ ^ c ^ /2 , on d e a é um núm ero real qualquer.
22. Un = n ( l — 23. = ( ln n ) /n .
(Inn)^
20. dn =
2,Vn\ + 3
5\/n! — e"- 5
24. dn = , onde k é um número positivo qualquer.
(Inn)25. dn = ̂ ,, , onde k é um número positivo qualquer.n^/k
26. In ( 1 —
29. Prove que y/n 1.
2 7. dn. —
sen(l/n)
n + 1
30. Prove que Vn\ oo.
28. Prove que Á/ã ^ 1, onde a > 0. 
31. Prove que 1.
60 Capítulo 3 Seqüências infinitas
Respostas, sugestões e soluções
2. liman = 1.
- • I I ̂ 15. Veja: an| < — - < — < e, etc.
3. Diverge. 4. lima„ = + 00.
+ 1 n
6. Observe que —ün — 'n? — 1 'n? — n?/2 n71 + 2 > 2n —; portanto, ãn < < K, etc.
^ I I / 1 17. |a„,| < ---- r < - < £, etc. 8. liman — Veja:+ 1 n
10. lima„ = 4. 12. lima„ = —3/2.
\/n? + 1 + ^/n
3n + 1 3
2 n - 1 2 < £, etc.2(2n - 1)
14. lima„ = —00.
15. Multiplique a„ por
17. lima„ = a.
21. Se a ^ 0, ( 1 — cos — =
+ 1 + \/n
18. lima„ = 1.
a \ n^[l — cos^(a/?i)] sen(a/n)
a/n 1 + cos(a/7i) aV 2.1 + cos(a/n)
22. limun = a. 24. lima^ - 0. 26. lima„ = —3/5. 27. lima„ = 1.
28. Se a > 0, = 1 + hn, onde hn > 0. Prove que hn ^ 0 utilizando o binômio de Newton:
u = (1 + = 1 + nhfi + ... + > Tihfit
donde hn < a/n.
29. Como no exercício anterior, À/n = 1 + hn, onde hn > 0. Mas agora devemos reter o termo quadrático do binômio 
de Newton:
n(n — 1) ,2 — n^h//n — (1 + hn)^ — 1 + nhn + -h„ + ... + /i” > 2 ’
donde hn < y/^/n < e n > 2 /é
30. \fn\ > K ^ n\ > K^. Agora lembre-se do segundo dos limites em (3.4), segundo o qual n\ tende a infinito mais 
depressa do que K'^. Assim, existe um índice N tal que n > N ^ n\ > A ” ^ a/ uT > K.
31. Observe que y/^/n < y/n.
3.4 Propriedades do lim ite
Os exemplosda seção anterior foram exemplos simples, e por isso não foi difícil estabelecer, em cada caso, 
a convergência ou divergência de cada seqüência dada. As demonstrações seriam bem mais complicadas, ou 
mesmo impossíveis, se quiséssemos, por exemplo, usar o mesmo procedimento para mostrar que
2 n 2 - 5 n - 1 0 2
3n2 + n + 5 = 3
n In f 1 +
n
= 1.
Além disso, as demonstrações baseadas diretamente na definição de limite exigem que se conheça, de an­
temão, o limite da seqüência dada, e isso nem sempre é possível. Felizmente, as definições anteriores podem 
ser usadas para estabelecer várias propriedades gerais sobre o comportamento das seqüências, como é o caso 
do teorema que enunciamos a seguir. Essas propriedades facilitam enormemente o cálculo de limites, como 
veremos adiante. Para estabelecer essas propriedades necessitamos de uma desigualdade fundamental.
3.4 Propriedades do limite 61
A desigualdade do triângulo
A chamada desigualdade do triângulo para números reais consiste no seguinte: dados dois números reais 
arbitrários a e b, é sempre verdade que
|a + &| < |ul + \b\. (3.5)
Antes mesmo de provar essa desigualdade, vejamos alguns exemplos:
|7 + (—3)1 < |7| + I — 3|, ou seja, 4 < 10;
I — 5 + 2 | < I — 5| + |2|, ou seja, 3 < 7;
|3 + 5| < |3| + |5|, ou seja, 8 < 8;
I — 2 + (—7)1 < I — 2| + I — 7|, ou seja, 9 < 9;
A desigualdade (3.5) pode ser demonstrada por simples inspeção, considerando os vários casos possíveis: 
1) ela é evidente se um dos números a e 5 for zero; 2) se eles forem ambos positivos ou ambos negativos, 
evidentemente vale a igualdade; 3) se eles tiverem sinais contrários e |u| > |ò|, então |a + ò| = \a\ — |6| e 
a desigualdade estrita é verdadeira; o mesmo se for |ò| > |a|. Vemos também que a desigualdade vale no 
sentido estrito quando a e b têm sinais contrários, enquanto ela é uma simples igualdade se a e b têm o 
mesmo sinal.
Uma-demonstração mais direta e completamente geral de (3.5) é a seguinte:
|a + òp = (a + 6) ̂ = + 5̂ + 2ab = |a|^ + \b\̂ + 2ab.
Como aò < |aò| = |a| |6|, obtemos
\a + < |a|^ + |òp + 2 |a| \b\ — (|a| + |5|)^.
Daqui segue o resultado desejado por simples extração de raiz.
O bservação . A desigualdade (3.5) é chamada “desigualdade do triângulo” , porque ela é válida também 
quando a eb são vetores, digamos a e b. Neste caso, a, b e a + b são os três lados de um triângulo (Fig. 3.2) 
e a desigualdade traduz a propriedade geométrica bem conhecida: em um triângulo, qualquer lado é menor 
que a soma dos outros dois-, isto é, se a e b não são colineares e nenhum deles é o vetor nulo, então
la + b| < |a| + |b|.
Conseqüências da desigualdade do triângulo
Podemos substituir b por —6 na desigualdade (3.5), pois ela é verdadeira quaisquer que sejam os números a 
e b. Obtemos
|a — ò| < |a| + I — 6|.
62 Capítulo 3 Seqüências infinitas
Mas I — 6| = |ò|; portanto,
\a — b\ < |a| + |6|.
As vezes o aluno menos experiente costuma escrever
|a — ò| < |a| — |ò|.
Isto, em geral, é falso! Por exemplo, fazendo a = 5 e ò = —7, obtemos
|a - ò | - | 5 - (-7)1 - 12,
ao passo que
|a | - |ò | = 5 - | - 7 | = 5 - 7 = -2 ,
e não é verdade que 12 < —2.
O utra desigualdade im portante é a seguinte:
|a| — |6| < |n + b\.
Para demonstrá-la, pomos a + b = c, e usamos (3.6) com c em lugar de a, obtendo
|a| = \{a -j- b) — b\ = \c — b\ < \c\ + |ò| = |a -|- 6| -|- |6|. 
Subtraindo |6| do primeiro e último membros, obtemos o resultado desejado.
Trocando a com b em (3.7), obtemos ainda a desigualdade
|ò| — |n| < |a -(- b\.
Pondo agora r = |a| — |6|̂ as desigualdades (3.7) e (3.8) se escrevem, respectivamente,
r< \a-\-b \ e —r<\a-\~b\, 
donde segue-se que |r| < |a -(- 6|, ou seja,
||íi| — |í>|| < + b\..
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
É claro que as desigualdades (3.7), (3.8) e (3.9) sao ainda válidas trocando b por —b. Resumindo, quaisquer 
que sejam os números a e 6, as seguintes desigualdades são verdadeiras:
|a ± 6| < |a| + |ò|, |a ± 6| > |a| — |6|, |a ± 6| > |6| — |a|, |a ± 6| > ||a| + (3.10)
E xem plo 1. Vamos usar a desigualdade do triângulo para provar que toda sequência convergente é 
limitada. Dizer que uma seqüência (ün) é limitada significa dizer que existem constantes A e B tais que 
A < ün < B para todo n; ou ainda, que existe uma constante M tal que \ãn\ < M.
Seja On L. Então, dado qualquer £ > 0, em particular, £ = 1, existe um índice N tal que
n > N \an — L\ < 1.
Mas, pela desigualdade do triângulo na forma \an\ — \L\ < \an — L\-, obtemos
\(̂ n\ ^ \L\ + \an — L\\
3.4 Propriedades do limite 63
portanto,
n > N W n\ ^ \L \ + 1.
Fica assim demonstrado que a seqüência é limitada após o índice N . Para levar em conta todos os termos 
da seqüência, seja M o maior dentre os números
k il , |íZ2|, la s l ,. . . , \üN \,m + 1-
Então, |a„| < K para todo n, provando que a seqüência é limitada.
E xem plo 2. Vamos usar a desigualdade do triângulo para provar que
CLn ̂ L I Qifi I ̂ I I •
Dado qualquer e > 0, existe N tal que
Mas
de sorte que
n > N \an — L\ < 6.
1 1 I I 11 ^ I
N > N ll^nl ^ |L|| < 6,
que é o resultado desejado.
Observe que, se ün L, então a — a-n ^ —L. Portanto, pela propriedade que acabamos de provar,
i ̂ 7̂i \ ̂ I ^ ^ \ ?
qualquer que seja o número a. E nesta forma que o resultado anterior costuma ocorrer com certa freqüência. 
O p erações co m lim ite s
De posse da desigualdade do triângulo, estamos agora em condições de estabelecer certas propriedades que 
facilitarão enormemente o cálculo de limites. Começaremos com um lema preparatório.
Lema. Se uma seqüência (a„) converge para um limite L ^ 0, então, a partir de certo índice 
N, |a , | > |L |/2.
Demonstração. Dado qualquer £ > 0, existe N tal que, a partir desse índice, L — e < a n < L + £. 
Prescrevendo £ = \L\/2 e calculando L — |L |/ 2 e L + |L |/2 teremos:
. ^ L 3L , ^ 3L Ls e L > 0, - < a „ < — ; e se L < 0, — < < - .
Em ambos os casos, |a^| > |L |/2, que é o resultado desejado.
Teorem a. Sejam (a„) e (bn) duas sequências convergentes com limites a e b, respectivamente. Então, 
{an + bn), (anbn) 6 (hon), onde k é uma constante qualquer, são sequências convergentes, além do que,
a) lim(a„ + bn) = liman, + limò„ = a + b;
b) lim(A;an) - fc(lima„) = ka; em particular, k — —1 nos dá On ^ a —On —a;
c) lim{anbn) = (liman)(limò„) = ab;
d) se, além das hipóteses acima, b ^ 0, então existe o limite de Onjbn, igual a ajb.
64 Capítulo 3 Seqüências infinitas
Demonstração. Demonstraremos os dois últimos itens. Os dois primeiros são mais fáceis e ficam para os 
exercícios.
Para demonstrar a terceira propriedade, utilizamos a desigualdade do triângulo e o fato de que a seqüência 
bn é limitada por uma constante positiva M , de sorte que podemos escrever:
\anhn-cib\ = \(an - a)bn + a(bn - b)\ < \ün - a\\bn\ ^ \a\\bn - b\
< M\an - a \ \a \ \b n - b\.
Ora, tanto |a„ —a| como \bn — b\ podem ser feitos arbitrariamente pequenos, desde que n seja suficientemente 
grande. Assim, dado qualquer e > 0, podemos fazer |a„ — a\ menor do que s/2M a partir de um certo índice 
 i e \bn — b\ < £^/2|a| a partir de um certo N 2', então, sendo N o maior desses índices, n > N satisfará 
n > Ni e n > N 2 simultaneamente; logo,
S £
n ^ N \oin̂ n ^̂ 1 ^ 2 2 —
como queríamos demonstrar.
Observe, nesse raciocínio, que se nos contentássemos em fazer |a„ — a| e |6„ — ò| menores do que e, em 
vez de |a„ — a\ < ej2M e \bn — b\ < e/2\a\, o resultado final seria
n > N ^ \anbn — cib\ < (M + \a\)£ = ks,
onde fc = M + |n|. Esse procedimento é tão satisfatório quanto o anterior, como já tivemos oportunidade 
de observar. Se quiséssemos terminar com s, bastaria começar com o número e /k em vez de £.
Para a demonstração da quarta propriedade, observamos que o quociente anfbn pode ser interpretado 
como o produto a„(l/òn), de forma que, em vista da propriedade já demonstrada, basta provar que 1/bn 
1/b. Temos:
J i _ 1
bn b\bn - b\
\bnb\
Como 6 0, a partir de um certo N i, \bn\ > \b\/2; e, dado e > 0, a partir de um certo N 2, \bn — b\ pode ser
feito menor do que |ãp£/2, de modo que, sendo N = max{iVi, teremos:
J_ _ 1
bn b
\bpe/2
< = £\b \y2n > N
e isso completa a demonstração.
Vamos ilustrar a aplicação desse teorema ao cálculo de alguns limites. 
E xem plo 3. Consideremos a seqüência
an —
Para aplicar o teorema anterior, notamos que
2n^ — 5n — 10 
3n^ — n + 5
2 — 5 /n — 10/n^
3 — 1/n + 5/n^
; portanto.
2n^ - 5n — 10 lim(2 — 5 /n — 10/n^) _ lim2 — lim(5/n) — lim(10/n^) _ 2
3 n ^ - n + 5 lim (3 - 1/n + 5/n^) lim3 - lim (l/n ) + lim(5/n^) 3
E xem plo 4. O limite da seqüência
(n-y/n + 1)(2 — 3n)
a = ^/n{2 — 4n^)
3.4 Propriedades do limite 65
é 3/4, já que os termos dominantes no numerador e no denominador são —3n^y/n e —An?y/n, respectivamente. 
Isso fica mais visível quando dividimos o numerador e o denominador por n^y/n:
Qn. —
(l + l / n y ^ ) ( 2 / n - 3 ) ^ _ 3
2/n? — 4 —4 4'
Os símbolos o e O, introduzidos na p. 39, são também muito úteis quando lidamos com seqüências 
infinitas. Por exemplo, podemos escrever
n = o{e^), visto que lim
n
0;
r- • c o sy ^ , 1. .COS = 0(1), visto que — — e limitada com n ^ oo.
E xem plo 5. Muitas vezes uma certa seqüência (a„) é uma restrição, para x = n, de uma função f{x) 
definida para x real, ou x > 0. Então, se f{x) tem limite L com x +oo, podemos concluir que L.
Assim, como vimos na p. 217 do Volume 1, (1 + 1/x)^ e com a: oo. Podemos então escrever
l in .( l + y " = e.
Na verdade, o que primeiro provamos na p. 217 do Volume 1 foi que (1 + e com x ^ 0. Podemos
considerar x tendendo a zero por valores estritamente positivos ou por valores estritamente negativos. No 
primeiro caso, fazemos a; = 1/n e obtemos o limite anterior; no segundo caso, fazemos a: = — 1/n e obtemos
limí 1 - -
n = e.
que é outra forma de exprimir o número e como limite de uma seqüência.
E xem plo 6 . Vamos calcular o limite da seqüência = n ln ( l + 4/n). Quando n ^ oo, x = 4 /n 0.
Isto sugere que utilizemos a fórmula de Taylor para o logaritmo:
ln(l + a:) = a: — — + o(a;^), a: 0.
No caso presente, basta ln (l + a;) = a: + o(a:), com a: ^ 0. Com x = 4 /n , obtemos
n ln ^ l H— ^ = n ^ — h o(4/n)^ = 4 + o(l) ^ 4,
pois o(l) é algo que tende a zero com n ^ oo.
Se usássemos a fórmula de Taylor até segunda ordem, teríamos
n In 1 1 H— ) = n
n
4 (4 /n)'
n 2
16 
o [ 4 — — + o (l/n ) = 4 + 0 ( l / n ) 4.
n
Exercícios
1. Generalize a desigualdade do triângulo, provando que
| a i + ^ 2 + • • • + U n I ^ | u i I + | a 2 I T • • • + l^r
quaisquer que sejam os números a i , U 2, . . . , dn-
66 Capítulo 3 Seqüências infinitas
2. Prove que
\ai + Ü2 + CLn\ > |tti I — |a2| — ■ • ■ — lunl:
quaisquer que sejam os números ai, U2, ■ - ■, ctn-
a + ò — ]a — 6|Q ü a + ò + | a - ò |3. Prove que ----------------- = maxja, o|.
5. Prove os itens (a) e (b) do Teorema da p. 131.
4. Calcule
6. Prove que se (a„) é uma seqüência que converge para zero e {bn) uma seqüência limitada, não necessariamente 
convergente, então {anbn) converge para zero.
7. Supondo Un > 0 para todo n e ^ 0, prove que ^/ã^ 0.
Em cada um dos Exercícios 8 a 11, calcule o limite da seqüência dada e prove que a referida seqüência efetivamente 
converge para esse limite (ou diverge para +oo ou —oo, conforme o caso).
8. d n — n + sen 2n 9. dn —
n
2n — COS 3n 10. dn —
'n? + Uy/n 
3n^ + n + 1 11. dn. —
hriy/n
— sen 2n
Calcule os limites das seqüências dadas nos Exercícios 12 a 24, sem se preocupar em provar que os resultados são 
efetivamente os limites calculados.
12. a„, =
16. dn —
20. dn, =
24. dn —
1 - n ^ 
2n — 1
n —
e~' ̂— n
y/n
Inn — 1
2n^ - 1 
n! — 3n^
13. dn --
17. d„ =
21. dn =
n + 3
y/n — 1
2n — In n 
n + lnn
n!
+ 5n — 1 
25. Mostre que limí 1
14. dn =
18. dn —
22 . d n —
n ^ ^
e
2e^ + n
In n — COS n 
In n + sen 2n
2n — 3n + 1 
1 — n — n!
15. dn —
19. dn —
e” + 
n — 2e^
Inn
1 + Inn
23. dn —n\ — 2ê
Respostas, sugestões e soluções
3. Observe que |a — ò| = a ou |a — ò| = h. 4. ò, se a > ò; a, se a < 6.
5. Para o item (a) comece com |(aT̂ + hn) — (a + ã)| < |an ~ <̂1 + \bn — Î, proveniente da desigualdade do triângulo. 
Faça cada uma das parcelas do segundo membro inferior a e /2.
8. O limite é 1. Veja:
10.
11.
2n — COS 3n 2
n? + 7iy/n 1
n + sen 2n 
I COS 3n|
- 1 < 1I sen 2n|n + sen2n “ n + sen2n n - n /2< = — < £, etc.
< 1 1= — < £, etc.
3n^ + n + 1 3
5riy/n
2{2n — COS 3n) 2(2n — n) 2n
\3ny/n — n — 1\ briy/n 5
, ^ ---------- r < ---- = —1= < etc.3(3n^ + n + 1) 9n ̂ 9-/n
— sen 2n
12. -oo.
20. oo.
5riy/n < hjiy/n <
^7ly/n
|n^—sen2n| —|sen2n| — n^/2 y/n
14. 2/3. 16. -1 .
22. 0. 24. -2 /3
10—j= < £, etc.
18. 1.
3.5 Seqüências monótonas 67
3.5 Seqüências monótonas
Uma seqüência (a„) chama-se crescente se ai < a2 < â , < . . isto é, se para todo n; e
decrescente se > an+i- Se a„ < ün+i para todo n, a seqüência é chamada não-decrescente, ao passo que 
ela é não-crescente se a desigualdade for On > cin+i- As seqüências crescente, decrescente, não-crescente e 
não-decrescente são chamadas seqüências monótonas. Essas seqüências têm a importante propriedade de 
serem convergentes, caso sejam limitadas.
Para fixar as idéias, consideremos uma seqüência (a„) que seja não-decrescente e limitada. Então, existe 
um nümero 5 tal que
Cil CL2 ^ ^n+l ^ ^ S
para todo índice n. S é apenas uma cota superior da seqüência, havendo vários outros números nas mesmas 
condições; por exemplo, todo número maior que S também é uma cota superior.
Vamos supor que o número S acima seja a menor dentre todas as cotas superiores de (un)- Então, 
podemos provar que On S. De fato, dado qualquer £ > 0, como 5 é a menor cota superior, o número 
S — £ não é mais cota superior, donde segue-se que existe um elemento a ^ seqüência tal que S — £ < a^. 
Mas como a seqüência é não-decrescente, para todo n > N teremos S — £ < < On < S] portanto,
0 < S — On < £, isto é,
n > N liS — Un| < £■
Fica assim provado que a-n ^ S.
Observe que o início da demonstração acima foi a suposição de que S era a menor cota superior da 
seqüência («n)- Essa menor cota é chamada extremo superior ou supremo da referida seqüência. E a 
suposição que fizemos é uma propriedade fundamental dos números reais, chamada princípio do supremo. 
Dada sua importância, vamos enunciá-lo com destaque.
Princípio do suprem o. Todo conjunto de números reais limitado superiormente possui supremo.
Convém enunciar, também explicitamente, o teorema que acabamos de demonstrar com base nesse 
princípio:
Teorem a. Toda seqüência não-decrescente e limitada converge para seu supremo.
Exem plo 1. A seqüência de valores aproximados de \/2, por falta, é uma seqüência não-decrescente e 
limitada:
1 < 1,4 < 1,41 < 1,414 < 1,4142 < . . . < 1,5.
Seu limite é seu extremo superior, que indicamos com o símbolo \ / 2. (Observe que não sabemos se a 
seqüência acima é estritamente crescente: é concebível que ela tenha elementos consecutivos iguais, digamos, 
On = 1 ,4 1 4 2 ..., 53 e a„+i = 1 ,4 1 4 2 ..., 530.) De modo análogo, qualquer número com representação 
decimal infinita é o limite de uma seqüência não-decrescente e limitada.
Se uma seqüência não-decrescente não for limitada, então, dado qualquer número K , haverá um índice 
N tal que an > K e como > a ^ para n > N, teremos n > N ^ Un> K , isto é, ^ oo.
Os dois exemplos seguintes ilustram a utilidade do teorema anterior.
Exem plo 2. Vamos considerar uma seqüência definida recursivamente assim: üq — 1, ün = 2u„_i -(- 1. 
Se essa seqüência convergisse para um limite L, poderíamos calcular esse limite facilmente, simplesmente 
fazendo n ^ oo na equação de recorrência. Obteríamos L = 2L -(- 1, donde L — —1. Acontece que não 
podemos fazer isso sem saber se a seqüência converge ou não.
68 Capítulo 3 Seqüências infinitas
Vamos analisar as coisas mais cuidadosamente,começando por calcular os primeiros termos da seqüência:
üQ — 1, ui = 3, ü2 = 7, as = 15, U4 = 31, = 63, . . .
Isso mostra que a seqüência deve ser ilimitada, fato este que pode ser facilmente demonstrado a partir da 
própria equação de recorrência. De fato, essa equação nos diz que an > 2an~i- Então, diz também que 
a„_i > 2a„_2, que ün-2 > 2an-s, e assim por diante. Então,
ün > 2an_i > 2^an_2 > 2^a„_s > . . . > 2^ao = 2^.
Portanto, a„ oo. Devido a isto, não podemos passar ao limite na equação de recorrência, tratando L 
como se fosse um número.
E xem plo 3. Vejamos este outro exemplo: ao = \/2, a„ = Calculemos os primeiros termos
dessa seqüência:
ao — \/2, ai — y 2 \Í2 ̂ ü2 — A/ 2 + Y 2 + \/2, a3 — 2 + y 2 + y 2 + \/2,. . .
Novamente aqui somos tentados a fazer n ^ oo na equação de recorrência:
ün ~ \J 2 "b Cln—l ^ L =■ "s/2 -b L L = 2.
o procedimento agora é correto porque a seqüência é crescente e limitada, como provamos a seguii, 
Que é limitada:
ai = \/2 ü Q — 2 + \/2 < C \/2 + 2 — 2 j ü 2 — \/2 + ü \ < \/2 + 2 — 2 \
Ü2, — y/2 ü2 < y/2 + 2 — 2;
e assim por diante: cada implicação acarreta a implicação seguinte, isto é,
ao 2 e ^Ti—1 2 —̂ â ̂ 2.
Que é crescente:
ao 's/2 < 'sj2 + \Í2 — \/2 + ao —ai
ü n — \ Ü n ü n — \ / 2 Ü n — 1 "\/2~-í-"ã ̂— ü n - \ - l -
Isso prova que a seqüência é crescente. Como já provamos que ela é limitada, pelo teorema anterior con­
cluímos que ela é convergente. Isso justifica o procedimento adotado para calcular seu limite.
3.6 N ota complementar: o número e como lim ite de (1 + 1/n)^
No Exemplo 5 da Seção 3.4 notamos que
e = lim ( 1 H—V n
Isto como conseqüência do limite de (1 -|- com x ^ 0, resultado este que, por sua vez, foi obtido na p. 217 do 
Volume 1, graças à regra de L’Hôpital. Assim, o procedimento adotado não passou pelo crivo da definição rigorosa de 
limite dada no capítulo anterior.
Vamos aqui demonstrar esse resultado diretamente, já que a demonstração é também um bom exercício para
3.7 Notas históricas 69
ilustrar o princípio do supremo e o teorema anterior.
Usando a fórmula do binômio de Newton, podemos escrever:
«n — I 1 + n = 1 + n ■ — h n
1 n{n — 1) 1 n (n —l)(n —2) 1
2! + 3!
n{n — l)(n — 2) . . . 1 1
donde segue-se que
a » - 2 + U l - U + U l - U ( l - U + . . . + ^ 1 - - 1 - -n / \ n
n — 1
n (3.11)
Vemos então que ün < Sn, onde
Por outro lado,
1 1 
2! ''' 3Í ^
1 1 1 1 1 1 1
de sorte que Sn ^ 3. Então, ttn < Sn < 3, provando que a„ é uma seqüência limitada. Mostremos a seguir que a„ é 
crescente. Para isso começamos escrevendo a expressão de a„+i, substituindo n por n -|- 1 em (3.11), donde
d n + l — 2 + 2! 1 -
1
+
1
n -|-1 
1
+ ... + l ( i - ^n! V n + 1 n + 1 1 -
n — 1 
n -|- 1
(n-|-l)!\^ n- | - iy\^ n - |- l
Desprezando a expressão desta última linha, obtemos
1 - n -(-1
+ ... + U i - ^n! V n -|- 1 n -h 1
1 - n — 1 n -|- 1
> 2 + i | l i ) + . . . + l ( l - l 1 - 2n 1 -
n — 1
= ttr
isto é, ün+i > a-n- Portanto, sendo uma seqüência crescente e limitada, (un) converge para seu supremo, que designamos 
temporariamente por S.
Finalmente, vamos mostrar que esse supremo S é o mesmo número e dado pelo limite de Sn- Para isso observe 
que, sendo m > n,
= 2 + l ( l - l ) + . . . + ± ( l - l ) ( l - l
2 ! \ m J mi \ 'm J \ fn
2! \ m ) n \\ m
1 - 2
m
1 - 
1 -
m — 1
m
n — 1 
m
Logo, fazendo m ^ oo, obtemos
■ ^ -2 + +
e, ao fazer n ^ oo nestas últimasMas, como vimos há pouco, Sn > Un, de sorte S > Sn > cin- Como Sn 
desigualdades, obtemos S > e > S, donde segue-se que 5 = 6, que é o resultado desejado.
Como observamos na p. 225 do Volume 1, o número e originou-se com o problema de capitalização contínua de 
juros.
3.7 N otas históricas
A seq ü ên c ia d e F ib o n a cc i
Leonardo de Pisa (aprox. 1170-1250), conhecido como Fibonacci (filho de Bonaccio), viveu numa época em que 
várias cidades do norte da Itália, como Pisa, Florença, Veneza, mantinham um crescente comércio com os países à 
volta do Mediterrâneo. O pai de Fibonacci teria servido, por algum tempo, em algum entreposto comercial no norte 
da África; e teria levado consigo o filho, que aí aprendeu muito da “Matemática numérica” que vinha da índia através
70 Capítulo 3 Seqüências infinitas
dos árabes. Essa Matemática era praticamente desconhecida na Europa. O conhecimento matemático dos europeus 
limitava-se ao que lhes vinha dos antigos gregos e romanos. O pouco que havia da tradição grega na Europa era 
numa versão bastante geometrizada, enquanto, dos romanos, os europeus só podiam contar com os inconvenientes 
algarismos romanos.
Tendo aprendido com os árabes do norte da África a Aritmética e a Álgebra dos indianos, ele publicou, em 1202, 
um livro que teve grande influência na disseminação da nova Matemática numérica entre os europeus. Esse livro, 
conhecido como “Liber Abaci” (Livro do Cálculo), é rico em ensinamentos dos novos métodos aritméticos com os 
algarismos arábicos, e contém muitos problemas interessantes, dentre os quais o seguinte:
Um casal de coelhos torna-se produtivo após dois meses de vida; e a partir de então produz um novo casal a cada 
mês. Começando com um único casal de coelhos recém-nascidos, quantos casais existirão ao final de um ano?
Seja fn o número de casais de coelhos existentes após n meses. Evidentemente, /o = / i = 1. Por outro lado, 
o número fn de casais existentes no n-ésimo mês é igual ao número fn -i existente um mês antes mais o número 
de nascimentos novos, que é precisamente o número fn-2 existente dois meses antes. Em síntese, fo — fi — I e 
fn = fn-2 + fn-1 que, como vimos no Exercício 10 da p. 53, dá origem à seqüência
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,...
O notável a respeito dessa seqüência é que, embora tenha surgido num problema sem grande importância, ela 
surpreende por aparecer em variados contextos da Matemática e da ciência aplicada, além de estar ligada a um número 
chamado número áureo, que também se apresenta em muitos contextos matemáticos e fenômenos da Natureza. Por 
exemplo, um fato notável, que pode ser provado sem muita dificuldade, embora não o façamos aqui, é que a seqüência 
fn /fn - i tem limite, dado por
lim fn Vò + i 1,618.
fn -í " 2
Esse número 0, conhecido desde a antigüidade grega, teve origem em um problema matemático nada relacionado com 
coelhos ou seqüência de Fibonacci, como veremos adiante. Aliás, o cálculo da razão fn /fn -i para valores sucessivos 
de n já indica a convergência dessa razão. Assim,
^ = 1,625,
21
13 1,615, ^ ^ 1 ,6 1 9 , 1,618,
e a partir daqui esse valor, com aproximação de três casas decimais, vai se repetir sempre, como o leitor pode verificar 
facilmente.
Veremos a seguir que o número 0 coincide com a chamada razão ãurea. Diz-se que um ponto C de um segmento 
AB (Fig. 3.3) divide esse segmento na razão áurea se
AB _ AC 
ÃC ~ CB'
Pondo AC — a, CB = b e a = a/b, essa proporção pode ser escrita na forma seguinte:
^ó-b a • A T , ̂ j j \/5 +1------= - , ou ainda 1 -|— = cr, donde a = — -— = 0,a b a 2
isto é, cr é o número 0 que já vínhamos chamando de razão áurea.
A C B
Figura 3.3
Como já dissemos, a razão áurea está presente em muitos contextos matemáticos. Por exemplo, pode-se provar 
que, num pentágono regular, duas diagonais como AB e CD se cruzam num ponto E (Fig. 3.4) que divide cada uma 
das diagonais numa razão áurea.
A razão áurea está presente também na definição do chamado retângulo áureo, que é todo retângulo cujos lados 
estão entre si na razão áurea. A Fig. 3.5 ilustra um retângulo áureo. Há muita coisa que se pode dizer sobre esse
3.7 Notas históricas 71
retângulo. Desde a antigüidade ele tem sido considerado uma forma de grande valor estético. Ao longo dos séculos 
muitos arquitetos, escultores e pintores têm utilizado o retângulo áureo em suas obras.
B
Figura 3.4
A raiz q u adrada d e 2
Figura 3.5
O procedimento de extração da raiz quadrada de 2, descrito no Exercício 11da p. 53, é bastante antigo. Os gregos já 
o usavam; e tabletes de argila encontrados na Babilônia dão indícios bastante convincentes de que esse procedimento 
fosse usado naquela região cerca de 1800 anos a.C.
Dado um número positivo N, deseja-se encontrar um número a tal que a ■ a = N. Acontece que, em geral, não 
dispomos do valor exato da raiz, e o número a é apenas um valor aproximado. Sendo assim, o fator que deve multiplicar 
a para produzir N não é necessariamente a, mas sim o número N/a. Então, em vez de a x a = A, temos
a . ^ = N.a
Vemos, nesse produto, que, se o fator a aumenta, o fator N/a diminui (Fig. 3.6); e se a diminui, N/a aumenta. O 
valor desejado de a é aquele que faz com que ele seja igual a A/a, quando será a raiz quadrada exata de A. Em geral, 
sendo a uma raiz aproximada por falta, N/a será raiz aproximada por excesso e vice-versa, de sorte que a raiz exata 
está compreendida entre um e outro desses fatores. Daí a idéia de tomar a média aritmética deles, isto é,
1 / A
ai — X a H----2 \ a
como um valor que talvez seja uma aproximação de y/N melhor do que o valor original a. Segundo esse argumento, é 
de se esperar que
1 / A '
— X ( “I----2 V ai
seja uma aproximação ainda melhor. Prosseguindo dessa maneira, construímos a seqüência recorrente já considerada 
na p. 53:
1 / A \
(Xq — Uj — r» 1 —1 1 ? U 1,2, . . .2 Y a^—i
Se fizermos A = 2, obtemos a seqüência do Exercício 11 da p. 53.
\/Ã
N /a a
Figura 3.6
E notável que essa seqüência, cujas origens datam de tão alta antigüidade, seja o mais eficiente método de extração 
da raiz quadrada, como se prova com relativa facilidade. Ele produz uma seqüência de convergência tão rápida que 
é o esquema preferido dos elaboradores de softwares das modernas calculadoras eletrônicas portáteis. Ela é a mesma 
seqüência que se obtém com o chamado método de Newton (às vezes Newton-Raphson) para resolução numérica de 
equações.
Capítulo 4
Séries infinitas
Já tivemos oportunidade de observar (p. 51) que o estudo das séries infinitas depende das seqüências infinitas, 
tratadas no capítulo anterior. Nosso objetivo final, nesse estudo de seqüências e séries infinitas, é o estudo das 
séries de funções, especialmente as chamadas séries de potências ou séries de Taylor, que serão consideradas 
no próximo capítulo. Para isso precisamos primeiro nos familiarizar com as séries numéricas infinitas, objeto do 
presente capítulo. Como no caso das seqüências infinitas, faremos um estudo mais breve, mais simples e menos 
formal do que o que costuma ser feito nos cursos de Análise, restringindo-nos ao que é suficiente para um curso 
de Cálculo.
4.1 Definições e primeiros resultados
As séries infinitas surgem quando procuramos somar todos os elementos de uma dada seqüência {ün):
Cil + + <̂3 + • • ■ + <̂n + • • • (4-1)
Embora seja impossível somar infinitos números, um após outro, podemos considerar as somas parciais
Sl = Ui, S'2 = Ul + Cl2i Ss — CLl CL2 0,3 ̂ 6tc.
Em geral, denotamos por Sn a soma dos primeiros n elementos da seqüência (a„), que é chamada soma 
parcial ou reduzida de ordem n associada a essa seqüência:
n
Sn = Cli -í" U2 Un — ^ ̂CLj- (4-2)
i= i
Desse modo formamos uma nova seqüência infinita,
S l , S2̂ • ■ ■ ■) ■ ■ ■
Supondo que ela tenha limite S, definimos a soma infinita indicada em (4.1) como sendo esse limite, que 
também se denota com o símbolo isto é.
ai + U2 + as -b . . . 5 = lim = lim ^ aj = } On-n—yryn Z.—/ Z—/j=l n=l
Como se vê, uma série nada mais é que uma nova seqüência (Sn) associada a uma dada seqüência (a„), 
onde Sn é a, n-ésima reduzida definida em (4.2).
Quando a seqüência Sn tem limite S, diz-se que a série é convergente ou que ela converge e
que S é sua soma. Neste caso, o símbolo Yl^=i é também usado para significar a soma da série. Os
72
4.1 Definições e primeiros resultados 73
elementos an são chamados termos da série.
Como a noção de série surge da necessidade de se definir a soma infinita (4.1), é costume indicar a série 
{Sn) com o símbolo mesmo que a série não seja convergente.
O bservação . E costume utilizar a letra n para o índice de um somatório, mas qualquer outra letra 
pode ser utilizada. Por exemplo, tanto faz escrever
j= i
oo 2 .n + sen n
n=l n—1 COS n — 7n + 1
k‘̂ + sen k 
ou
k=l COS A: — 7A: + 1 ’
o significado é o mesmo, tanto nos dois primeiros casos como nos dois últimos. Por isso podemos chamar 
o índice do somatório de “índice neutro” (em inglês a expressão usada é “dummy index”). E costume 
também escrever com o mesmo significado de
E xem plo 1. Na p. 30 consideramos o polinómio de Taylor da exponencial:
j
. .
onde
Rn{x)
9ry-> ̂ rr* ry>‘
e" = l + : c + - + - + . . . + - + i?„(a:).
gC^n+l
(n + 1)!
e c é um número conveniente compreendido entre zero e x. Esse resto tende a zero com n —> oo, qualquer 
que seja x, pois
Rn{x) =
gC^n+1
7------— < xe
(n + 1)! n!
e esta última fração é do tipo jrú^ que já foi tratado no Exemplo 6 da p. 58. Assim, a seqüência
Sn{x) = l + x + ^ ^ ^ ^ . . . + ^ = e - -R n { x )
2! 3 ! n !
converge para e^. Ora, esta é a seqüência de somas parciais da série
x ’̂ x^Jb Jb V—> X
i + ^ + 2 r + 3 ! + - " = 5 : ; ;T -
n—0
Vemos, pois, que esta série é convergente e que sua soma é a função e^:
x^ x^
 ̂+ 3! + En= 0
nX
nl
Em particular, fazendo x = 1 nesta equação, obtemos o número e como soma de uma série infinita:
1 1 1 1
Esta é mais uma forma de expressar o número e como limite. Se pressupomos esse número já conhecido, 
então ele é a soma da série; mas também é costume considerá-lo como definido inicialmente pela série. De 
um modo ou de outro, a série converge muito rapidamente e fornece o melhor instrumento para o cálculo 
numérico do número e, como já tivemos oportunidade de observar na p. 32.
E xem plo 2. A série
1 1 1 1 ^ 1 
2 "^4"^ 8 1 6 ' " ^ Fn=l
74 Capítulo 4 Séries infinitas
tem soma 1. Isso pode ser visto geometricamente, considerando segmentos de comprimentos 1/ 2, 1/4, 
1 /8 ,..., dispostos uns após outros, sucessivamente, como ilustra a Fig. 4.1. A soma dos comprimentos 
desses segmentos nos conduz à seqüência de reduzidas
c 1 1 1 3 „ _ 1 1 1 _ 7
‘̂ ' “ 2 ’ ‘̂ " " 2 + 4 “ 4 ’ 2 + 4 + 8
que se aproxima indefinidamente do número 1, embora sem nunca alcançá-lo:
OO ^
: y l = i i m y l = i.* ̂ 9“̂ n.— f ^ 9J
1 1 1
2 + 4 + 8 + ‘ " ^ 2 ^ n '̂oo ^ 23
n - 1 j = l
Naturalmente, esse resultado pode ser obtido sem apelo à intuição geométrica, pelo método do exemplo 
seguinte.
7/8 31/32
_________________________________ _________________________ I___ __\__—
O 1/2
Figura 4.1
3/4 15/16 1
E xem plo 3. Vamos considerar a série geométrica de razão r:
oo
= 1 -1- r -h -1- . . . -1- r ” -h . . .
n=0
Seja
5'n — 1 + r -1- + . . . -1-
a soma parcial dos primeiros n + 1 termos da série. Tendo em vista que
rSn — r -1- -h + . . . -1- r'^^^ — Sn-\~ — 1,
obtemos
isto é.
-n+l _ 
r — 1
se r ^ 1,
,n-|-l
l - l - r - |- r ^ - l - . . . - l - r ” =
1 — r
(4.3)
Se \r\ < 1, então 0 e a expressão anterior torna-se, no limite,
oo ^
r ’̂ = l - t - r - l - r ^- h . . . = ----- ■^ 1 - r
Tl=0
Se r > 1, a série diverge para 4-oo, como é fácil ver, já que —> -l-oo. Se r < —1, então oscila, 
alternadamente, entre números que tendem a -l-oo e a —oo, respectivamente. Portanto, também neste caso 
a série diverge.
Cabe observar que pouquíssimas séries podem ser somadas como a série geométrica, resultando no que se 
costuma chamar de “forma fechada” . Assim sendo, é importante saber como calcular valores aproximados 
das séries infinitas.
4.1 Definições e primeiros resultados 75
E xem plo 4. A série
1 i i
3 ' ' ' 1 5 3 5 ( 2 n - l) (2 n + 1) ••■ = E (2n - l)(2íi + 1)
é outro exemplo de série cuja soma pode ser obtida em forma fechada. Para achar essa soma observamos 
que seu termo geral pode ser assim decomposto;
1 1 1 1
(2n —l)(2n + l) 2 \ ( 2 n —1) (2n + 1)y '
Em conseqüência, obtemos a reduzida na formaN 1 1
2 ; ^ V ( 2 n - l ) (2n + l ) 7 2 [
1
 ̂ 3 ) ^ ( 3 \ { 2 N - 1 ) (27V + 1)
1 1
Aqui é visível que, à exceção do primeiro e do último termos, todos se cancelam, razão pela qual a série é 
chamada “série telescópica” . O resultado é
= 2 “ (2AT+ 1 )) ’
donde segue-se que Sn 1/2 com N 00. Portanto,
Ê ( 2 n - l ) ( 2 n - M ) 2'
Séries d iv e rg en tes . Como no caso de seqüências, uma série que não converge é chamada divergente. 
Uma série pode divergir para -l-oo ou —00, como é o caso das séries
1 + 2 + 4 + . . . = ^ 2 ” = +00
n= 0
2 3 4
I ~ 2 ~ 3
E n
------r = - 00.
n — 1n—2
Outro tipo de série divergente é aquele em que as reduzidas apresentam um caráter oscilatório, como acontece 
nas séries
^ ( - l ) ^ n „ 3 4 5
/ ----------— 2 — ~ + ~ — ~ + . . .
^ n - 1 2 3 4n=2
^ ( - l) " n 2 1 4 9 16 25
7 1 = 1
n + 1 6
Em geral, não é fácil saber se uma dada série converge ou diverge. Para que ela seja convergente é 
necessário que seu termo genérico tenda a zero, como provaremos a seguir.
T eorem a. Dada uma série convergente seu termo genérico a„ tende a zero.
Demonstração. Sejam S a soma da série dada e Sn sua reduzida genérica. Como
On ~ Sn Sn—l ̂ Sn ̂ S e Sn—l ̂ *S,
vemos que
lim ün — lim Sn — lim Sn-i — S — S = 0,
que é o resultado desejado.
76 Capítulo 4 Séries infinitas
A recíproca desse teorema não é verdadeira: existem séries divergentes cujo termo geral tende a zero. 
Por exemplo, já vimos que
y/n-\- \ — \ /n —>• 0.
No entanto, a série
y ^ ( \ /n + 1 - \/n)
n=0
diverge, pois se Sn é sua reduzida genérica, então
Sn — ("\/l — \/Õ) + — \ / l ) + (\/3 — V^) + . . • + ( \/u + 1 — \/u ) ~ \/u + 1 —>• +00.
A sér ie h a rm ô n ica
O exemplo mais notável de série divergente de termos positivos, cujo termo genérico tende a zero, é a 
chamada série harmônica:
E
n=l
1 1 1 1
n 2 3 4
Para vermos que esta série diverge para +oo, vamos agrupar seus termos convenientemente, assim:
1— 1 í — — — 1 I — 1
10 j V 11 ^ 12 ^ ^ 100 j V 101 102 . . . + 1000 +
Observe que o primeiro parêntese contém nove termos, cada um dos quais, à exceção do último, é maior 
do que 1/10; portanto, o parêntese todo é maior do que 9/10. O segundo parêntese contém noventa termos, 
cada um dos quais, à exceção do último, é maior do que 1/100; portanto, o parêntese todo é maior do que 
90/100 = 9/10. Analogamente, o terceiro parêntese contém novecentos termos, cada um dos quais, à exceção 
do último, é maior do que 1/1000; portanto, o parêntese todo é maior do que 900/1000 = 9/10. E assim 
por diante. Vemos, pois, que é possível encontrar somas parciais Sn que superem o número 1 + 9V/10, 
não importa quão grande seja o inteiro N que se prescreva de antemão. Mas isto significa que a série dada 
diverge para +oo, como queríamos provar.
P ro p r ied a d es o p era c io n a is
Como as séries nada mais são do que seqüências associadas a outras seqüências dadas, o cálculo de limites 
das séries está sujeito a leis análogas às que regem o cálculo de limites das seqüências. Assim, o teorema 
seguinte é o análogo do teorema da p. 131, no que se refere às suas duas primeiras partes.
T eorem a, a) Se Y^an converge e k é um número qualquer, então Y^kün converge e tem soma kY^an', 
^^Y l^n e Y^bn convergem, então Yli^n + bn) converge e
^ “1“ ^n) — ^ ̂ 4“ ^ ^
Demonstração. Observe que
N N N N N
^ ̂kttn — k ^ ̂On e ^ 4” ^ ̂ 4“ ^ ̂bni
n=l n=l n=l n=l n=l
já que agora estamos lidando com somas finitas. Por outro lado, as somas dos segmentos membros acima 
têm limites finitos com V —> oo; logo, o mesmo também é verdade dos primeiros membros. Finalmente, 
fazendo V —̂ oo, obtemos
OO CXD o o o o o o
^ ̂ka = k ^ ̂On e ^ 4~ bn̂ — ^ ̂Cln 4~ ^ ̂bn-
n—1 n=l n=l n=l n=l
4.1 Definições e primeiros resultados 77
Isto completa a demonstração do teorema.
O bservação . As outras duas partes do referido teorema da p. 131 não se aplicam a séries de maneira 
análoga. No próximo capítulo, ao tratarm os de séries de potências, consideraremos multiplicação e divisão 
de séries.
E xem plo 5. A conversão de uma decimal periódica em fração ordinária ilustra uma aplicação do item 
(a) do teorema anterior. Seja a decimal periódica 0 ,6363 ..., que pode ser interpretada como a soma de 
uma série infinita:
0,6363... =
63 63
lÕÕ 1ÕÕ2 • - En=l
63 63E ± UO
inn^ ~ inn100 ^ 100n=0
63
100^
1
100 VI - 1/100 99
7_
n
E xem plo 6. Vamos usar o teorema anterior para provar que, se e + ^n) convergem, então
'^bn também converge. Pelo item (a) desse teorema, com k = —1, concluímos que converge.
Então, pelo item (b) do mesmo teorema, também converge a série + &n) + (~ctn)] = que é o
resultado desejado.
. Observe que a convergência ou divergência de uma série independe de um número finito de seus termos. 
Assim, dado um índice N qualquer, a série converge ou diverge se a série converge ou
diverge, respectivamente. Basta notar que
^ ̂Uri — + • • • + C L N — l + ^ ̂ CLt
n=l n = N
S éries de te r m o s n ã o -n eg a tiv o s
T eorem a. Uma série de termos não-negativos converge se a sequência de suas reduzidas for
limitada; e diverge para +oo se essa sequência não for limitada. No caso de ser convergente, a soma da 
série independe da ordem de seus termos.
Demonstração. A demonstração da primeira parte do teorema é muito simples: a seqüência de somas 
parciais,
S n = Pl P 2 P n ,
é não-decrescente. Em conseqüência, ela converge se for limitada e diverge para -l-oo se não for limitada.
A demonstração da segunda parte é feita por um argumento muito engenhoso. Suponhamos que os 
termos da série sejam reindexados numa outra ordem qualquer,
P'l+P2 + ---+Pn + ---,
de forma que p[ pode ser, digamos, o elemento pio; p'2 pode ser ^45; pg pode ser p\; etc. Então, como os 
termos são todos não-negativos, a nova soma parcial
Sn=Pl+P2~^ •• • + Pn
será dominada por alguma soma parcial Sm com m > n. Se a série original convergir para um certo S, 
teremos
S ' ^ < S m < S,
78 Capítulo 4 Séries infinitas
isto é, as somas parciais S!̂ estarão formando uma sequência limitada; portanto, convergente. Seu limite 
S' é seu supremo, de sorte que S' < S. Mas a série original também pode ser interpretada como obtida de 
por rearranjo ou reindexação de seus termos portanto, temos também S < S'. Concluímos, como 
queríamos, que uma série de termos não-negativos que converge tem a mesma soma, independentemente da 
ordem de seus termos. E fácil ver também que, se a série diverge, ela será sempre divergente, não importa 
a ordem de seus termos.
Exercícios
Determine as somas das séries dadas nos Exercícios 1 a 11.
1 2 4 ^ /2
1- 1 + 5 + S + " = E
n=0
2 . 1
4 16
5 25 n = 0
-4 8 32J-U \ ^ ^ o
. . 6 36
4 - 1 + 7 + 5 9 + -
^ 4 8 16 327. — — — -|- — —---- -|-
5 15 45 135
5 . 1 - 1 + 13 9
8. ^ e - " .
 ̂ r 10 206 .5 + - + - + ...
9. ^ 2 - 1/2
- E Í -3 ^ V5n = 0 ^
10. E
3 ^ -2
4A; E
COS mt
32r
12. Mostre que uma série Y ^ n diverge para +00 se > 1/n; ou ainda, se > fc/n, onde k > 0. 
Mostre que as séries dos Exercícios 13 a 18 divergem para + cxd.
00
13. y .^ 2 n - 1n=l
00
17. y - 1
1 1 1 1 ^ 1 ^ 7
14. - + - + - + - + 15. > -------- . 16. > ---------.2 4 6 « ^ -I- ^ ^ ^n=l 3n + 5 n —O 3n — 5
n = 0
5n + 72
00 ..
E ^
n = 0
5 n - 7 5
19. De um modo geral, chama-se série harmônica toda série cujos inversos de seus termos formam uma progressão 
aritmética, isto é, toda série da forma
E
n = 0
1
a -|- nr , com r ^ 0.
Demonstre que essa série diverge.
20. Demonstre que, sendo k ^ 0, a série Y ^ n converge ou diverge se, e somente se, Y ^ ^ n converge ou diverge, 
respectivamente.
Expresse as decimais dadas nos Exercícios 21 a 24 como séries infinitas e ache as somas dessas séries na forma de 
frações ordinárias.
21. 0,7272... 
25
22. 5,0303...
= 1.
1
. Mostre que > —------ r^ n ( n + l)
n ~ l ̂ '
00 ^
27. Ache a soma da série ^ ------- r, onde a é um número naturaln(n + a)n=l '^
23. 3,52121... 24. 5,18777...
. 1 .26. Demonstre que a serie > convergente.Z—/ r) Z
n=l
Utihze a fórmula de Taylor em cada caso para estabelecer os desenvolvimentos indicados nos Exercícios 28 a 32.
4.1 Definições e primeiros resultados
X X ir—̂28. sen X = X - — + — + = >3! 5! ^
(_l)n^2n+l
^ (2n + 1) , válido para todo número real x.
x“ x^ (—,.2 „429. c o s x = l - . ^ + ^ - . . . = ^ , X qualquer.
30.
fo (2")!
 ̂ oo
-----— l+ x + x“̂ + ... = válido para [x| < 1.
n = 0
2^2 ( —
31. Iníl + x) — X — 7T + ~z— ... = — > ------- , válido para —1 < x < 1.2 3 n
n = l
32. 1 + X
- oo
= E(-1) b | < 1.
n = 0
33. Demonstre a identidade (4.3) da p. 74 multiplicando os polinómios 1 — x e l + x + x ̂+ . . . +x^
34. Demonstre a identidade (4.3) da p. 74 dividindo o polinómio x̂ +̂̂ — 1 por x — 1.
79
Respostas e sugestões
1. 3. 3. 10/3. 5. 3/4. 7. 12/25.
oo ̂.j \ n oo
9. Série geométrica de razão l/\/2 .
OO / Q \ n oo
1 ° - E ( i - 2 E Í r = etc.
n=0 ' '' n=0
13. 2n — 1 2n
15. — > — <^3n + 5 < 4 n < ^ n > 5 , isto é, a partir de n = 6 vale a primeira desigualdade.3n + 5 4n
19. Se T O5 a partir de ti djv^
1 1> 1 1a + nr nr + nr 2r n
Se r < 0, troque o sinal de todos os termos da série para voltar ao caso anterior.
25. Decomponha o termo geral em frações simples como no Exemplo 4 da última seção.
26. 1 1<
2n^ n(2n) n(n + 1)
27. Decomponha o termo geral
=
n(n + a) em frações simples. Observe que, quando n > a, a reduzida Sn tem a forma
1 1 1 i 1 _
^ 2 ^ 3 n j Vl + a ' 2 + a
1 1 1
+ x ^ + --- +
1 1 1
f + 9 + õ + -- - + ;:2 3 a
1 1
+ -----X + ... +n + 1 n + 2
n + a 
1
n + a
80 Capítulo 4 Séries infinitas
4.2 Teste de comparação
Um dos problemas centrais no estudo das séries consiste em saber se uma dada série converge ou não. Há 
vários critérios para se testar a convergência de uma série, dentre os quais destacamos três, pela sua maior 
importância prática: o teste de comparação^ o teste da razão e o teste da integral. Vamos começar com o 
teste de comparação, contido no teorema a seguir e que é o mais fundamental de todos.
T eorem a. Sejam ̂ Y ^ n duas séries de termos não-negativos, isto é, > 0 e > 0 para todo
índice n. Suponhamos ainda que a primeira série seja dominada pela segunda, vale dizer, On ^ para 
todo índice n. Nessas condições podemos afirmar: 
a) Y ^ n converge Y ^ n converge;
Y ^ n diverge = ^Y ^n diverge.
Demonstração. As reduzidas das séries dadas,
Sn = a\ Ü2 an e = Òi + &2 + • ■ • +
são seqüências não-decrescentes, satisfazendo à desigualdade Sn < Tn, visto ser 0 < < òn para todo
índice n. No caso (a), T„ converge para um certo limite T, de sorte que Sn < T para todo n. Daqui e do 
teorema da p. 67 segue-se que a seqüência Sn converge para um certo número S < T. Isto completa a 
demonstração da parte (a).
Para provar (b) raciocinamos por absurdo: se Y ^ n convergisse, então, pela parte (a), Y ^ n também 
teria de convergir, contrariando a hipótese. Fica, assim, demonstrado o teorema.
E xem plo 1. Um modo de provar a convergência da série
1 1 1
e - l + l + - + ^ + +
consiste em compará-la com a série geométrica de razão 1/2. Observe que
1 _ 1 1 1 
n! 2 -3
<
n 2 • 2 . . . 2 2^-1 ’
donde se vê que a série dada é dominada pela série Y 1/2’̂ “ .̂ Como esta é convergente, concluímos que a 
série original também é convergente.
Seja Rn o resto após o n-ésimo termo 1/n!, de sorte que e = Sn + Rn- Vamos obter uma estimativa para 
R n em termos de uma série geométrica. Para isso basta observar o seguinte:
R n =
<
1
+
1
(n-1-1)! (n-t-2)!
1 í 1 1 +
1
(n -ê 1)! V + 2
1 n 2i
+
1
(n -h 1)! 1 +
+
1
<
{n + 2)2 
1 n + 1
n + 2 (n-h 2)(n-ê 3) 
1 1 
(n-1-1)! l - l / ( n + 2)
+
(n -h 1)1 n -h 1 (n -ê 1)! 
Em vista deste resultado, podemos escrever
n nin
Sn < e < S n + nln
(4.4)
Vemos assim que Sn é um valor aproximado de e, por falta, com erro inferior a l/(n !n ). É claro que 
esta estimativa é um pouco melhor que a estimativa 4 /(n -|- 1)1 obtida na p. 31. Como vimos em (3.4) da 
Observação da p. 59, n! tende a infinito muito rapidamente, de forma que o resto Rn tende a zero muito 
depressa com n oo e a convergência de Sn para e também é muito rápida.
4.2 Teste de comparação 81
U m a sér ie m u ito im p o rta n te 
E xem plo 2. A série
1 — — —
oo
n=l
(4.5)
é muito importante por servir de comparação com outras séries cuja convergência ou divergência se deseja 
provar. Para x = 1 ela é a série harmônica, que já sabemos ser divergente. Vamos provar que ela é 
convergente quando a: > 1 e divergente se a: < 1. Em vista disso, a série harmônica é uma série de separação 
entre as séries do tipo (4.5) que são convergentes e as que são divergentes.
Vamos primeiro supor a; > 1 e demonstrar a convergência da série dada. Para fazer isso, majoramos as 
reduzidas da série, diminuindo os denominadores de seus termos, de acordo com o esquema seguinte, onde 
os parênteses contêm quantidades de termos iguais às potências crescentes de 2, ou seja, 2, 4, 8, 16 termos, 
etc. Veja:
I I — —
2"̂ ^ 2^
+
+
1 1 1 1
4® 5a; gx JX
1 1 1 1
4X qx qx qx
16 1
 ̂ 2^ 4"̂ ^ 8"̂ 16^ ^ ̂^ 2^” i
= 1 + I A - r j + +2X-1 2X-1 2X-1
+
+
+
1
1 1
+ 8^ +
1 1
+
+
1
15^ +
43;-! 
4
8 -̂ +
1
+ ^ 
1
16^-
+
+
1
16^ 
1
+
16^ +
. +
+
1
1
16^
+ . . . 
+ . . .
2x-1 +
Isso nos mostra que a série (4.3) é dominada pela série geométrica de razão r — lj2^ ^ < 1 ? que é convergente. 
A soma desta série é
1 2^-1
l _ l / 2 ^ - i 2 ^ - 1 - 1 '
Concluímos, pois, que a série original é convergente e, além disso,
1 1 ^ 2^-1
+ 2^ 3"̂ “ 2^-1 - 1'
Ao contrário, se x < 1, vale a desigualdade < n, que equivale a 1/n^ > 1/n. Isso mostra que a série
(4.3) domina a série harmônica e, como esta diverge para + 00, o mesmo é verdade da série (4.3).
A série (4.3) define uma função de x, do mesmo modo que dtj i define Ina: ou a série 1 + x + j2\ +
x^/3 + . . . define e^. Essa nova função, denotada com o símbolo ({x), é chamada função Zeta de Riemann:
C( ^ ) - 1 + 2Í + 3 5 + - " - F ; ^ -
n=l
Embora ela fosse conhecida por Euler desde 1737, suas propriedades mais notáveis só vieram a ser descobertas 
por Riemann em 1859, num estudo memorável sobre Teoria dos Números.
E x em p lo s d e ap lica çã o d a série an ter ior
Exem plo 3. Ao lado da série geométrica de razão r, a série (4.3) é muito usada como referência para 
testar se uma dada série converge ou não. Isso é possível quando o termo geral da série dada comporta-se 
como 1/n^ com n 00. Assim, como
17n
5n^ — 1
= 0^
82 Capítulo 4 Séries infinitas
a série — converge. De fato, observe que
bri'̂ — 1n=2
17n 17
5n^ — 1 n" 5 — 1/m
Este último fator é uma seqüência que converge para 17/5; e, como toda seqüência convergente, é limitada, 
isto é, existe um número K > 17/5 tal que
17
< K.
5 — 1/n^
Então, a série dada é dominada pela série convergente ^ 4 /n ^ , donde se segue que ela também converge. 
E xem plo 4. Vamos provar que a série
5 n ^ nE
n=l 13n^ — n — 10
diverge para +oo. Para isso escrevemos
5n i/n
13n2 - n - 10 ^ 13 - In - lO/n^ '
Como este último fator é uma seqüência que tende a 5/13, dado £ > 0 existe um índice N a partir do qual 
ele fica compreendido entre 5/13 - £ e 5/13 + e; portanto, maior que 1/13 (que é um número menor que 
5/13; logo, do tipo 5/13 - e). Então, a partir de V a série dada domina a série divergente ^ 1 /y ^ , donde 
segue-se que ela também converge.
E xem plo 5. A série é convergente, não importa quão grande seja o número k. De fato,
sabemos que 2” tende a infinito mais depressa que qualquer potência de n (veja (3.4) na Observação da 
p. 59). Em particular, existe N tal que
,/c+2
n > N
ou seja.
< 12n
2n ^
1
Portanto, a partir do índice V -|- 1, a série dada é dominada pela série X^l/^^- Como esta converge, o 
mesmo acontece com aquela.
Exem plo 6. A série à^/n\ é convergente, não importa quão grande seja o número a. Com efeito,
sabemos quetende a zero com n —> oo (veja (3.4) na Observação da p. 59), de sorte que existe N
tal que
n > N
a^+2 ̂ 1
— — < 1, ou seia, n > ^ — < —f:.
n\ n\
Portanto, como no exemplo anterior, a partir do índice V -h 1, a série dada é dominada pela série ^ 1/n^; 
e como esta converge, o mesmo acontece com a série original.
E xem plo 7. Para provar que a série
E
n=l
n!
4.2 Teste de comparação 83
converge, basta notar que
n! 1 2 / 3 4 n — I n
,nn' ‘ n n \ n n n n /
Como nos dois exemplos anteriores, isto prova que a série dada é dominada por uma série convergente; 
portanto, é também convergente.
E xem plo 8. Para provar que a série Inn/n^/^ converge, lembramos que Inn tende a infinito mais
lentamente que qualquer potência de n. Escrevendo
In n In n 1
n TL̂ 71̂ /“̂ ̂'
notamos que o primeiro fator do segundo membro tende a zero qualquer que seja e > 0. Escolhemos e de 
forma que 3/2 — e > 1 e a série
n—1
seja convergente. Fixado esse e, como a seqüência Inn/n^ tende a zero, ela é limitada por uma constante
oo
K; portanto, a série original é convergente por ser dominada pela série convergente
n = l
Exercícios
Em cada um dos Exercícios 1 a 22, teste a série dada para verificar se ela converge ou diverge.
1
OO
V 1 9
OO 5n + 1 Q
OO
V 3n + 5
n=l riy/n n=0 3n^ + 2n —10' ‘
Z^
n=0 n^ + 1
00 1 7
OO Vn + 1 Q
OO cos ̂3n
n=2 (Inn)’’ '
Z^
n — 3
n^ — 4 Z^n=l n y ^ + 5
1 1
OO Inn 19
OO Inn 1 9
00
V nl nn
n=lC1 n \/n — 9
Z^n—2n9/8‘ z ^n=2 rfiy/n + 3
4 - E
n + 1
y/n — 7'
oo
5- E r--^ Innn=2
oo ,E lnn ---- .
n
n = 2
10. E
n=2
Inn
riy/n
Inn
„1,02 • I T . T Í - .
n = 2
18. E
fe=l
k COS k +
In + 1
14- E Inn + n^ riy/n + 2 15. E Inn + 1n=l n ^ n
19. gn _ 1
^ \ n k20. E TT-
n=l f c = 4
oo oo ^
21. ^ sen -, 22.
n=l j=i
Respostas e sugestões
1. Converge. 2. Observe que 5n + 1 5n+ 1 5n + 13n^ + 2n — 10 n^ 3n + 2/n —lO/n^ e que 3^ _|_ — lO/n^ 3 ’
3. Diverge. 4. Converge.
5. Diverge porque Inn/n ^ 0, de forma que existe > 0 tal que Inn < Kn.
6. Diverge porque, não importa quão grande seja r, (lnn)^/n 0.
7. Converge. 8. Converge. 9. Diverge. 10. Inn/n^ ^ 0, por pequeno que seja £ > 0.
84 Capítulo 4 Séries infinitas
11. Converge.
16. Converge.
12. Converge.
17. Converge.
13. Converge.
18. Converge.
14. Diverge.
19. Converge.
15. Converge.
20. Converge.
1/n
T 1 1 senx ̂ sen(l/n)21. Lembre-se de que lim ------= 1 ^ —
x^O X
1 2
22. A partir de um certo N, sen — < -̂ 7
1, de sorte que a partir de um certo sen — >n 2n
4.3 Teste da razão. Convergências absoluta e condicional
O teste de comparação que vimos na seção anterior tem como conseqüência um outro critério importante 
para verificar se uma dada série converge ou não. E o chamado teste da razão, objeto do seguinte
T eorem a. Seja uma série de termos positivos tal que Un+i/un converge para um certo limite r.
Então, a série converge se r < 1 e diverge se r > 1. (Se r = 1, nada se pode concluir, em geral, havendo, 
neste caso, exemplos de séries convergentes e de séries divergentes.)
Demonstração. Supondo r < 1, seja £ > 0 tal que 0 < c = r + £ < l (Fig. 4.2). Como Un+i/í^n 
existe um índice N tal que, para n > N,
r — £ < ------ < r + e — c.
Un
Fazendo n sucessivamente igual a. N, N -^1, N -^2, . . . , essa desigualdade assume as seguintes formas:
flAT+l < CÜN,
UN+2 < CUn +1 < Un C , 
aAT+3 < CÜN+2 < CLNĈ',
em geral,
OAT+n < «AfC” ,
de modo que, a partir do índice  + 1, a série original é dominada pela série geométrica un c” . Como 
0 < c < 1, esta série converge; então, o mesmo ocorre com a série original, pelo teste de comparação.
Ao contrário, se r > 1, então, dado £ = r — 1, a partir de um certo índice n = N teremos
Ctn+l .r — £ < ------ < r + £.
U"n
Aqui só nos interessa a primeira dessas desigualdades. Como r — £ = 1, ela se reduz a a^+i > «n a partir 
de n = N. Portanto, ün < cin+i < aN+2 e a série original diverge para -t-00.
O
Figura 4.2
E xem plo 1. A série
00 10
n=l
jn converge, pois
jlO jn
7n + l~ ■ - ' 7
^ (n+1)^» _ ^ ^ l y ^ ^ 1 ^ ^
n
4.3 Teste da razão. Convergências absoluta e condicional 85
oo ^
E xem plo 2. Já sabemos que a série ̂ converge. No entanto, neste caso.
1n=l
<̂ n+l
Ojn
n
{n + 1)2
já a série harmônica — diverge e, ainda neste caso,
n
^n+l
n=l
n
n + 1
1.
Vemos, assim, que nada podemos concluir quanto à convergência ou divergência de uma série ^ quando 
^n+l/ ^ T
C o n v erg ên cia a b so lu ta
Diz-se que uma série cujos termos não são necessariamente positivos, converge absolutamente, ou é
absolutamente convergente, se a série XI é convergente.
Teorem a. Toda série absolutamente convergente é convergente, isto é,
|a„| converge converge.
Além disso, a soma da série dada independe da ordem em que se considerem seus termos.
Demonstração. Sejam pn a soma dos termos Ur positivos e Çr â soma dos valores absolutos dos termos 
ür negativos, onde, em ambos os casos, r < n. Então, as somas parciais das séries |íin| e '^a-n são dadas 
por
Tfi |^l| T 1̂ 2] ••• T I Oin I — Pn T Qn
e
— Ul T U2 T ■ ■ • “1“ Ufi = Pn Qni
respectivamente. As seqüências (T„), (pn) e (g^) são não-decrescentes. Pela hipótese do teorema, a primeira 
delas converge, digamos, para T: Tn T. Ao mesmo tempo, P n < T n < T, q n < T n < T; portanto, pn e qn 
também convergem, digamos, para p e. q, respectivamente. Concluímos, então, que Sn também converge;
Sn = Pn - Qn ^ P - q-
Isso completa a demonstração da primeira parte do teorema.
Quanto à segunda parte, basta notar que e são somas parciais de séries de termos não-negativos. 
Ora, já vimos que as somas dessas séries independem da ordem em que se considerem seus termos (p. 77). 
Isso completa a demonstração do teorema.
E xem plo 3. A série
E
n=l
( - 1) ’
é convergente, já que ela é absolutamente convergente. 
E xem plo 4. Vamos mostrar que a série
00 r) 2E sen 3n^nrt 2
n=l -h 1
86 Capítulo 4 Séries infinitas
é convergente. De fato, como
oo o 2
E sen òn
sen 3n^
+ 1 + 1 ’
n—l + 1
converge, pelo teste de comparação, já que a série ^ 1/n^ é convergente.
Sendo absolutamente convergente, a série original é convergente.
S ér ies a ltern a d a s
Uma série cujos termos são alternadamente positivos e negativos é chamada de série alternada. Exemplo:
1 1 1 ^
n=l
( - 1)n-\-l
n
Para essas séries existe um critério de convergência muito prático, dado pelo teorema que consideramos 
a seguir. Porém, antes de enunciá-lo, lembramos que o termo geral de uma série convergente tende 
a zero. Mas isso não é suficiente para que uma série seja convergente, como bem ilustra o caso da 
série harmônica. No entanto, se a série for alternada, essa condição é suficiente, desde que se acrescente 
que a seqüência dos termos genéricos seja não-crescente. E o que afirma o teorema que consideramos a seguir.
T eorem a. Se (a„) é uma seqüência de termos positivos tal que a\ > ü2 > ■ ■. > Un > ■ ■ ■ e 0, então 
a série alternada converge. Além disso, o erro que se comete ao se tomar uma reduzida
qualquer da série como valor aproximado de sua soma S não supera o primeiro termo desprezado, isto é,
IS Sfi I ^ (̂ n+l •
Demonstração. As reduzidas de ordem par e de ordem ímpar podem ser escritas da seguinte maneira:
S2n = (íil — CI2) + (03 — a4) + ■ • ■ + (a2n -l ~ d2n)
S2n+1 = ai — (U2 — 0,3) — (a4 — as) — ... — (a2n — a2n-j-l)- 
Assim fica claro que (*S'2n) é uma seqüência não-decrescente e (<S'2n+i) é não-crescente. Além disso,
<5'2n = 'S'2n+1 ~ a2n+l ^ >̂ 2n+l ^ Si — tti,
isto é, {S2n) é limitada superiormente pelo elemento ay, portanto, é convergente. Seja S seu limite. Este é 
também o limite de (6'2n+i)? pois 5271+1 = S2n + ^277+1 e 0277+1 —̂ 0. Em conclusão, Sn S, onde 5 t7 é a 
reduzida genérica da série dada. Fica assim provada a primeira parte do teorema.
Para completar, observe que as desigualdades
permitem escrever
5277 < 5 < 5277+1 e 52t7+2 < 5 < 52t7+i
0 ^ 5 52t7 ^ 52t7+i 52t7 = O277+I
e
0 < 5 2 7 7 + 1 — 5 < 5 2 7 7 + 1 — 5 2 7 7 + 2 = Í Í2 7 7 + 2 ,
respectivamente. Podemos reunir essas duas desigualdades numa só, |5 — 5 t7| < an+i, que é o que diz a 
segunda parte do teorema.
4.3 Teste da razão. Convergências absoluta e condicional 87
E xem plo 5. Pelo teorema anterior, a série harmônica alternada
( _ l ) n + l. 1 1 1 
^ " 2 + 3 " 4 + = En—1 n
é convergente.
Este é um exemplo de série convergente que não é absolutamente convergente. Uma série nessas condições 
é chamada série condicionalmente convergente. De acordo com o Exercício 31 da p. 79, a soma dessa série 
é In 2:
ln2 = l - - + ------- + . . . = > ̂ ^0 9. ã ^
k = \
k
O bservação . As séries condicionalmente convergentes são muito vagarosas em convergir. É preciso que 
se considerem somas parciais Sn com n muito grande para se obterem razoáveis aproximações de suas somas. 
Em vista disso, essas séries são de pouco interesse prático no cálculo numérico. Além disso, enquanto uma 
série absolutamente convergente tem soma que independe da ordem em que se considerem seus termos, isto 
não acontece com uma série condicionalmente convergente. Por exemplo, no caso da série anterior para In 2, 
não podemos escrevê-la na forma
l n 2 - ( 1 + Í + Í + 
O o
1 1 1 
2 + 4 + 6 +
pois as duas séries em parênteses que aí aparecem são divergentes.
Aliás, essas séries condicionalmente convergentes possuem uma propriedade interessante que vamos 
estabelecer agora.
T eorem a. Se uma série ^ O n é condicionalmente convergente, seus termos podem ser rearranjados de 
forma que ela convirja para qualquer número S dado a priori.
Demonstração. Como vimos há pouco, a soma parcial Sn é a diferença Sn = Pn — Çn- Ao mesmo tempo,
n
^ ̂ |Qt | ~ Pn T Qn- 
n—l
Como a série dada não converge absolutamente, pn ou qn tende a oo. Mas Sn converge; logo, essas duas 
seqüências tendem a infinito:
Pn oo, qn oo.
Para rearranjar os termos da série de forma que a nova série convirja para S, procedemos da seguinte 
maneira; da seqüência oi, a2, U3, . . . vamos tirando termos positivos, na ordem em que aparecem, e somando- 
os até obtermos um número A > S. A seguir vamos adicionando ao número A termos negativos a„ tirados da 
série original, na ordem em que aparecem, até obtermos um número B < S. A seguir voltamos a adicionar 
termos positivos; e assim por diante. Como a série original converge, seu termo geral tende a zero. Em 
consequência, o resultado do rearranjo descrito é uma série
a'i + a'2 + a'̂ + . . . a'̂ + ...
que converge para S.
88 Capítulo 4 Séries infinitas
Exercícios
Use o teste da razão para verificar se cada uma das séries dos Exercícios 1 a 10 converge ou diverge.
2-nOO 9E li
3n-
n = l
OO ,
6. V — .Z—/ nn
2- E
OO qrr
n = l
El
__ ■l>>'
7. ------.2̂ 71̂n=l
3 - E
n=l
OO
« - E
n
n=l e”- + sen 3n
4 - E
n = 0
OO
« • E
OO 9
nP + 3n^ + 7 5- E E -r) ín=l
OO g2n
n = 0
ne” + 1
OO 1 I i-
10. V 4 ^ 2
Verifique a convergência de cada uma das séries dos Exercícios 11 a 25.
11- E
n = 0
sen Vn^"+T 
nP + 1 12- E
COS k — sen k
' kVk
15. > — sen—.
g T Í
n=l ^ n\n=0
19. 0 < a < 1, b arbitrário.
n=l
22 . ^ (-1)" 
VS ■ 23. E ^ ^ - 24.■4—í + 1n=l
13. E
fc=2
ln(l + sen k/2) 
k“̂ — 1
1 7 - E
( - l ) ^ V ^
n = 0
n!
20. X ; 2 • 4 • 6 . .. (2n) ■
n=l n + 1
n=0
1 4 - E
fc^e^(l + 2 COS k)
k=
18. V ------
 ̂ g2fc(̂ 2 _|_
fc! sen
5...(2A ;- 1)
21. E
n = 2
( - i r
Inn
25. ^
n = 2
(-1 )’
Respostas e sugestões
1. Converge.
4. ^ 2.
7. Diverge.
( 1 ̂ ^1 H— I ^ > 1. A série diverge. 3. Diverge.n j ^
5. Converge. 6. O'n+1 1(n + 1)^ (1 + 1/n )’
9. Diverge.
11. Converge absolutamente. 
15. Converge absolutamente.
8.
10.
7̂1+1 ^ n \
k > 1.
+ sen 3n
g n + l _|_ g g j j g
ttn+l 1 + (n + 1)*̂
- . A série converge se < 1 e diverge se
+ 'n?
1 + g 2 ( n + l ) l ' j 2 g 2
13. Converge absolutamente.
17. Converge absolutamente.
18. Use o teste da razão para provar convergência absoluta. 19. Converge.
21. Converge, mas não absolutamente. 23. Converge, mas não absolutamente.
25. Converge, mas não absolutamente.
4.4 O teste da integral 89
4.4 O teste da integral
O critério de convergência que vamos considerar agora, e por último, é o chamado teste da integral, expresso 
no seguinte
Teorem a. Se f{x) é uma função positiva não-crescente para x > {), então a série ^ f{n) converge se,
/
oo
f{x)dx converge.
Demonstração. Observemos primeiro que valem as desigualdades
N - ^ - 1
< / f(x )d x < ^ / (n) .
n=2 d l
(4.6)
De fato, a integral é a área sob a curva y — f(x ), entre as abscissas x = 1 e x = N (Fig. 4.3); o primeiro 
somatório em (4.6) acima é a soma das áreas dos retângulos hachurados da Fig. 4.3a, entre as abscissas 
x = l e x = N ,e que jazem sob a curva y = f{x), devido ao fato de esta função ser não-crescente. Isso 
prova a primeira desigualdade em (4.6). De maneira análoga prova-se a segunda, bastando observar que a 
última somatória em (4.6) é a soma das áreas dos retângulos sombreados da Fig. 4.3b, que supera a área 
sob a curva y = f{x), entre as abscissas x — 1 e x = N .
O teorema segue imediatamente das desigualdades (4.6): se a integral converge, basta fazer —> oo na
primeira dessas desigualdades para se concluir que a série converge. Reciprocamente, se a série converge, 
fazemos N oo e concluímos que a integral converge, o que completa a demonstração.
N -1 N X
(a ) (b)
Figura 4.3
Corolário. Com a mesma hipótese do teorema acima, a série diverge para -l-oo se, e somente
/oof{x)dx.
A demonstração, por absurdo, é imediata. Mas, pode também ser feita diretamente, como a anterior.
Exem plo. Vamos provar que a série
oo .. 
/ ^ n Iri
n=2
n l n n
é divergente. Neste caso, f{x ) = l / x \n x satisfaz a hipótese do teorema. A integral
dx d ln xr dx r 
J2 x ln x J2 Ina;
90 Capítulo 4 Séries infinitas
pode ser efetuada por substituição, pondo-se y = \nx. Obtemos
dx
= In In — In In 2 00 com N oo.
J2 a: In a:
Concluímos, pois, que a série dada é divergente.
Observação. O exemplo que acabamos de dar ilustra um fenômeno interessante: vimos que a série 
harmônica ^ 1/n é divergente e que se incluirmos no denominador de cada um de seus termos, como fator, 
qualquer nova potência de n, digamos, n^, com expoente positivo, não importa quão pequeno seja £, a série 
resultante, é convergente. No entanto, pelo exemplo anterior, o fator Inn em lugar de nf não
torna a série convergente. Naturalmente, isto é conseqüência do fato de ser o crescimento de Inn mais 
vagaroso que o de qualquer potência positiva n^, com n oo. No entanto, o fator (Inn)^”'"̂ , em lugar de 
Inn, produz uma série convergente, qualquer que seja £ > 0. (Veja o Exercício 2 a seguir.)
Exercícios
1. Use o teste da integral para mostrar que a série ^ converge, não importa quão pequeno seja £ > 0.
n=l
2. Faça o mesmo para a serie > —----vrr~-
°° 1 ^ 1 7T oo
3. Mostre que ^ < 2. 4. Mostre que ^ 5— - < - . 5. Mostre que ^ < 1,5.
n=l n=l n=l
Nos Exercícios 6 a 11, use o teste da integral para verificar se a série dada converge ou diverge.
00
6- E 4 .
n=l
r < 1.
CXD
7 . E « - " -
n=l
OO
8. y ^ n e -”'
n=l
00
9.
n=l
00
10.
71=1
00
11. y^n^e“” , qualquer que seja 0 número r.
n=l
12. Prove que, se n > 2, ln(n — 1)! < n lnn — n -|- 1 < Inn! e (n — 1)1 < ^n” < n!
Respostas e sugestões
1 . Converge.
2. Atenção: a série começa em n = 2 e não n = 1, de sorte que temos de considerar a integral no intervalo 2 a N. 
Com a substituição y = \nx,
í dx
J (xlna:)̂+̂ = y ̂ ̂= etc.
9. Converge.3. Use a desigualdade (4.6) do texto. 7. Converge.
10. Converge. Observe que não é necessário calcular a integral; basta notar que existe N tal que n®°/e"̂ < 1/n^ para 
n > N.
12. Compare a integral de f{x) = Inx entre limites convenientes com as somas
f{l) + ... + f { n —l) e / ( 2) + ... + /(n).
4.5 Nota complementar: Irracionalidade do número e 91
4.5 N ota complementar: Irracionalidade do número e
Vamos demonstrar que o número e é irracional, usando a estimativa (4.4) da p. 80:
onde
Sn < e < Sn , 5n\n
1
Ademonstração será feita por absurdo. Suponhamos que e seja racional, de sorte que e = m/n, onde m e n 
são números inteiros positivos. Além disso, n > 2, pois e não é inteiro. Multiplicando por n! ambos os membros da 
desigualdade .
H----n nln
obtemos
Por outro lado,
n\Sn < rnin — 1)! < n\Sn H— < n\Sn + 1.n
nlSn = 2??-! + 7:7 + -"7 + ... H— :2! 3! n\
é um número inteiro, já que cada termo desta última soma é inteiro. Então, a desigualdade anterior,
n\Sn < m{n — 1)! < n\Sn + 1,
nos diz que o número inteiro m(n — 1)! jaz entre dois inteiros consecutivos; evidentemente, isto é um absurdo. Con­
cluímos, pois, que o número e é irracional.
4.6 N otas históricas
S éries in fin ita s
A primeira série infinita a ocorrer na História da Matemática é uma série geométrica de razão 1/4, que intervém no 
cálculo da área da parábola, feito por Arquimedes. Seguindo a tradição grega de evitar o infinito, pelas dificuldades 
lógicas que esse conceito podia trazer em seu bojo, Arquimedes não soma todos os termos da referida série; ele observa 
que a soma de uma certa quantidade à reduzida de ordem n produz uma quantidade independente de n, que é a soma 
da série.
Depois disso as séries infinitas só voltariam a aparecer na Matemática cerca de 1500 anos mais tarde, no século 
XIV. Nessa época havia um grupo de matemáticos na Universidade de Oxford que estudava a cinemática, ou fenômeno 
do movimento; e, ao que parece, foi esse estudo que levou à reconsideração das séries infinitas. E foi nessa época que 
se descobriu que o termo geral de uma série pode tender a zero sem que a série seja convergente. Isso ocorreu em 
conexão com a série harmônica, e a descoberta foi feita por Oresme. E a ele que devemos a demonstração dada na 
p. 76 de que essa série diverge.
O fato de a série harmônica ser divergente é notável, e jamais seria descoberto experimentalmente. De fato, 
se fôssemos capazes de somar cada termo da série em um segundo de tempo, como um ano tem aproximadamente 
365,25-24-60-60 = 31.557.600 segundos, nesse período de tempo seríamos capazes de somar a série até n = 31.557.600, 
obtendo para a soma um valor pouco superior a 17; em 10 anos a soma chegaria a pouco mais de 20; em 100 anos, a 
pouco mais de 22. Como se vê, esses números são muito pequenos para indicar que a série seja divergente; não somente 
isso, mas depois de 100 anos já estaríamos somando algo muito pequeno, da ordem de 3 x 10~®. E claro também que 
é impossível efetuar essas somas para valores tão grandes de n.
Vamos fazer mais um exercício de imaginação. Hoje em dia temos computadores muito rápidos, e a tecnologia está 
produzindo máquinas cada vez mais rápidas. Mas isso tem um limite, pois, como sabemos, nenhum sinal físico pode 
ser transmitido com velocidade superior à da luz. Portanto, nenhum computador poderá efetuar uma soma em tempo 
inferior a 10“ ^̂ segundos, que é o tempo gasto pela luz para percorrer distância igual ao diâmetro de um elétron. Pois 
bem, com tal computador, em um ano, mil anos e um bilhão de anos, respectivamente, poderíamos somar termos em 
números iguais a
315.576 ■ 10^^ 315.576 • 10̂ ® e 315.576 • 10̂ .̂
92 Capítulo 4 Séries infinitas
E veja os resultados aproximados que obteríamos para a soma da série harmônica, em cada um desses casos, respec­
tivamente:
70,804, 77,712 e 91,527.
Imagine, finalmente, que esse computador estivesse ligado desde a origem do Universo, há cerca de 15 bilhões de anos. 
Ele estaria hoje obtendo o valor aproximado de 94,235 para a soma da série harmônica. Vamos além: n = 10̂ ̂ é 
maior que todos os valores anteriores e até supera o número de átomos do Universo. Pois bem, para esse valor de n a 
soma é 184,784; e permanece nesse mesmo valor para muitos valores subseqüentes de n, como
10®° + 10" 10®° + 10^ 10®° + 10^ 10®° + 10^ 10®° + 1010 10®° + 1012 etc.
Veja que a cada passo estamos aumentando o número de termos consideravelmente; no entanto, a soma Sn permanece 
a mesma. Em vista disso, nada mais natural do que concluir que a série seja convergente. Mas, como sabemos, isso é 
falso. Vemos, pois, que jamais descobriríamos que a série harmônica é divergente por meios puramente experimentais. 
Isso mostra ainda que devemos ter cuidado no uso do computador; não podemos superestimá-lo. Ele não substitui 
a capacidade inventiva da mente humana, que só ela é capaz de intuir e criar uma demonstração como nenhuma 
máquina pode fazer. A análise que fizemos evidencia também a importância de uma demonstração; não é possível 
fazer Matemática sem demonstrações. (O leitor deve voltar à p. 76 para rever e admirar a demonstração de Oresme, 
simples e engenhosa.)
Voltando aos cálculos, como se chega ao número 94,235, se, para obtê-lo, o idealizado computador mais rápido 
do mundo deveria ficar ligado durante 15 bilhões de anos? Sim, essa é uma pergunta interessante e muito pertinente. 
Realmente, nenhum computador consegue fazer a soma Sn dos N primeiros termos da série diretamente para valores 
muito grandes de N. Mas é possível substituir essa soma por uma expressão matemática que aproxime Sn g que possa 
ser calculada numericamente; e os matemáticos sabem disso desde os tempos de Euler, há mais de 250 anos!... Uma 
tal aproximação é dada pelo logaritmo, a partir das desigualdades (4.6). Com efeito, substituindo /(cr) = 1/x nessas 
desigualdades (que são desigualdades estritas por ser estritamente decrescente a função considerada), obtemos
ou seja.
N /-iV 7 N-1
- < / — < > 
n X nn=2 n=l
onde Sn é & reduzida da série harmônica. Como 5jv-i < Sn , podemos escrever
Sn - K IniV < Sn .
Isso mostra que podemos aproximar Sn por \nN com erro inferior a uma unidade. Como vimos no Exercício 46 da 
p. 164 do Volume 1,
In AT = In 10 ■ Inio N ^ 2 , 302585 ■ Inio N.
Assim, se tomarmos N = 10^°° termos (que é um número superior a todos os anteriores), a soma da série harmônica 
resultará
Sn ~ 2,302585 • 100 230,26,
um número muito pequeno para a soma de tantos termos!
Essa aproximação Sn ~ IniV admite um erro que pode chegar perto de 1. Ela pode ser consideravelmente 
melhorada, mas isso exige uma análise mais trabalhosa que não cabe fazer aqui.
N ic o le O resm e e a sér ie d e S u ise th
Nicole Oresme (aprox. 1320-1382) foi um destacado intelectual em vários ramos do conhecimento, como Filosofia, 
Matemática, Astronomia, Ciências Físicas e Naturais. Seus trabalhos contém idéias sobre expoentes irracionais e 
funções que só iriam florescer séculos mais tarde, justamente por serem muito avançadas para sua época. Além de 
professor universitário, Oresme era conselheiro do rei, principalmente na área de finanças públicas; e nessa função 
revelou-se um homem de larga visão, recomendando medidas monetárias que tiveram grande alcance prático. Ao lado 
de tudo isso, Oresme foi também bispo de Lisieux.
4.6 Notas históricas 93
Oresme mantinha contato com o grupo de pesquisadores de Oxford e contribuiu no estudo de várias das séries 
estudadas nessa época. Uma dessas séries é a seguinte;
^ 1 2 3 ^ n
n=l
Essa série foi considerada, por volta de 1350, por Richard Suiseth, um dos matemáticos de Oxford. Ela surge a 
propósito de um movimento que se desenvolve durante o intervalo de tempo [0, 1] da seguinte maneira: a velocidade 
permanece constante e igual a 1 durante a primeira metade do intervalo, de zero a 1/ 2, dobra de valor no segundo 
subintervalo (de duração 1/4), triplica no terceiro subintervalo (de duração 1/8), quadruplica no quarto subintervalo 
(de duração 1/16), etc. Como se vê, a soma da série assim construída é a soma dos produtos da velocidade pelo tempo 
em cada um dos sucessivos subintervalos de tempo e representa o espaço total percorrido pelo móvel (Fig. 4.4a).
Suiseth achou o valor 2 para a soma através de um longo e complicado argumento verbal. Mais tarde, Oresme deu 
uma explicação geométrica bastante interessante para a soma da série. Observe que essa soma é igual à área da figura 
formada com uma infinidade de retângulos verticais, como ilustraa Fig. 4.4a. O raciocínio de Suiseth, combinado com 
a interpretação geométrica de Oresme, se traduz simplesmente no seguinte: a soma das áreas dos retângulos verticais 
da Fig. 4.4a é igual à soma das áreas dos retângulos horizontais da Fig. 4.4b. Ora, isso é o mesmo que substituir 
o movimento original por uma sucessão infinita de movimentos, todos com velocidade igual à velocidade original: o 
primeiro no intervalo de tempo [0, 1]; o segundo no intervalo de tempo [1/ 2, 1]; o terceiro no intervalo [3/ 4, 1]; e assim 
por diante. Vê-se assim que o espaço percorrido (soma das áreas dos retângulos da Fig. 4.4b) é agora dado pela soma 
da série geométrica
^ = 1 + 2 + 4
1 1 _ _L
n=0
Isso permite obter a soma da série original como soma de uma série geométrica de valor 2.
1/2
(a)
1/4
Figura 4.4
Hoje em dia a maneira natural de somar a série de Suiseth é esta:
1 -h (n - 1)
= E ^ = E
n — 1
n=l n=l
 ̂ oo ̂ oo1 >r—r n — 1 1 V—' 71
1 -|- — / -----— = 1 -|- — / --- — 1 -|-2 / 9 ' 9^
n = 2 n=l
2n 2^
n=l n=2
s
■ ' 2 ’
ou seja, S — S/2 = 1, donde S = 2. Deixamos ao leitor a tarefa de interpretar esse procedimento em termos do 
raciocínio de Suiseth e Oresme.
As séries infinitas, como já observamos, tiveram um papel importante no desenvolvimento do Cálculo, desde o 
início dessa disciplina matemática no século XVII. Mas foi só no século XIX que as idéias de convergência e somas 
infinitas atingiram plena maturidade.
Capítulo 5
Séries de potências
Como já dissemos no início do Capítulo 2, vamos estudar agora as séries de potências, que são de importância 
fundamental no estudo das funções. Na verdade, o tratamento que se pode fazer dessas séries num curso de 
Cálculo é relativamente modesto, visto que o domínio próprio para seu estudo é o campo complexo. No entanto, 
os resultados que vamos obter serão suficientes para mostrar a importância desse estudo em algumas aplicações 
bastante relevantes, seja no próprio Cálculo, seja no domínio das equações diferenciais.
5.1 Primeiros exem plos e propriedades
Chama-se série de potências a toda série da forma
oo
a o a i x a 2 x ‘̂ . = '^ a n x '^ . (5.1)
n=0
Uma ta l série é também chamada série de Taylor relativa a x = 0 ou série de Maclaurin. Já vimos algumas 
séries desse tipo no capítulo anterior, representando funções bem conhecidas. Em geral, elas são obtidas 
das fórmulas de Taylor quando o resto tende a zero com n —> oo.
E xem plo 1: função exponencial. Foi com esse procedimento que obtivemos a série de potências da 
função exponencial na p. 73;
o Q OO 00 
n\
x ‘̂ X ̂ Jü
= i + ^ + ^ + v + - - = E ; ; 7 -
Vimos que esta série converge qualquer que seja o valor de x.
n= 0
O mesmo tipo de raciocínio é aplicável em várias situações: demonstra-se que o resto na fórmula de Tay­
lor correspondente a determinada função tende a zero com n —> oo e assim obtém-se a correspondente série 
de potências. Mas isso só é possível nos casos em que essa fórmula seja válida para todo n e o resto tenda 
efetivamente a zero. Vejamos alguns exemplos muito importantes, começando com as funções seno e co-seno.
Exem plo 2: funções seno e co-seno. No caso da função seno, utilizamos a fórmula de Taylor, dada 
em (2.30) na p. 32, que repetimos aqui:
x^ x^ x ‘ (—l) ”o;
senx = x - - + - - - + . . . -
n~2n—1 ( - l ) ” C0SC^2n+l
(2n - l ) ! (2n - ê l ) !
Observe que o resto que aí aparece tende a zero com n —> oo, qualquer que seja x, pois isso é verdade para 
qualquer seqüência do tipo a"^/n\, como vimos no Exemplo 6 da p. 58. Isso nos conduz à série da função
94
5.1 Primeiros exemplos e propriedades 95
seno:
sen X = X
x^ x^ 
3Í ^ i í ■=E ( - 1)"
n= 0
(2n + l)!'
Deixamos ao leitor a tarefa de obter a série de potências da função co-seno, também válida qualquer que 
seja x:
e o s . = l - g + ^ - . . , = V ^ . - 
2! 4! ^ (2n)!n=0 ''
E xem plo 3: série geom étrica. Na p. 74 consideramos a identidade
1 -
1 — X
= 1 ^ X X X (5.2)
X .
e fizemos n —> (X) para obter a série geométrica
oo
1 - X n̂—0
Mas vimos que esta série só é convergente no intervalo (—1, 1). Com efeito, só nesse intervalo a potência 
x^+i qijg aparece no primeiro membro de (5.2) tende a zero com n ^ oo; fora dele o termo geral da série 
não tende a zero e a série não converge.
E xem plo 4: série binom ial. No Capítulo 2 (p. 35) obtivemos o seguinte desenvolvimento para a 
função (1 + o;)“ :
/. . « (o - 1) 2 0 (0 - 1) . . . (o - n + 1) „ „ / N(1 + a;)“ = 1 + ox + — -x^ + . . . + ------------- -x^ + Rn{x),
2! n!
(5.3)
onde o resto é dado por
Rni,x) —
a{a — 1) . . . (a — n)x'^'^^ 
(n + 1 ) !(1 + c)"+^-“ ’
estando o número c compreendido entre 0 e a:.
Queremos passar ao limite com n —> 00 para obter a série binomial
(1 + x)°‘ = I -é ax -\- a { a - l ) 2
2!
X + . . . +
o;(a — 1) . . . (o — n + 1)
nl + - = E
a x-' (5.4)
Notamos, em primeiro lugar, que isto será realmente uma série infinita somente se a não for inteiro positivo 
nem zero (confira as Observações da p. 35). Restringindo-nos a esta hipótese, queremos provar que o resto 
Rn(x) tende a zero com n —>• 00. Isso é um pouco complicado, pois exige uma outra forma do resto, chamada 
“forma de Cauchy” , e não será feito aqui. Mas é fácil provar que a série (5.4) converge absolutamente no 
intervalo |o;| < 1. Para isso utilizamos o teste da razão; denotando com On o valor absoluto do termo geral 
da série, obtemos
O-n+l a{a — 1) . . . (a — n + l)(o; — n) nl
(n -I- 1)! o;(a; — 1) . . . (o — n -|- l)x'’
\n — a| 
n -I- 1
donde
1. ®n-|-l I Ihm ------= kc • (5.5)n—>oo an
Isso mostra que a série de fato converge absolutamente no intervalo |x| < 1; portanto, converge no sentido 
ordinário.
Com o auxílio do teorema que vem logo a seguir provaremos que a série binomial é divergente quando 
\x\ > 1.
96 Capítulo 5 Séries de potências
D o is teo re m a s fu n d a m en ta is
Teorem a 1. Se a série de potências ^ anX^ converge num certo valor x = xq 0, ela converge 
absolutamente em todo ponto x do intervalo |x| < |a;o|; e se a série diverge em x = xq, ela diverge em todo 
X fora desse intervalo, isto é, em |a;| > |a;o|-
Demonstração. Se a série converge em xq, seu termo geral, OnX^, tende a zero; portanto, é limitado por 
uma constante M. Em conseqüência,
|a„a;"| = |a„a:;;| I — r < Ml — I".
Xo Xo
Isso mostra que a série (1/M ) ^ |a,„a:” | é dominada pela série geométrica de termo geral \x/xo\^, que é 
convergente se |o;| < |a:o|; logo? Yh \^nx'^\ converge no intervalo \x\ < |a:o|.
Se a série Y^nX '^ diverge em x = xo, ela não pode convergir quando |a:| > |a:o|, senão, pelo que 
acabamos de provar, teria de convergir em x = xo- Isso completa a demonstração.
E xem plo 5: de novo a série binom ial. Mostremos agora que a série binomial (5.4) diverge em 
qualquer valor xo tal que |a;o| > 1. Com efeito, se ela convergisse num tal xo, pelo teorema anterior ela teria 
de convergir absolutamente em todo x tal que 1 < |a:| < |a:o|, o que é uma contradição, em vista do teste 
da razão, levando-se em conta a igualdade (5.5).
Uma série de potências Y ^n X ^ pode convergir somente em a: = 0, como é o caso da série 
ou pode convergir em qualquer valor x, como se dá com a série Excluídos esses dois casos ex­
tremos, vamos provar que existe um número positivo r tal que a série converge se |ar| < r e diverge se |a;| > r.
Teorem a 2. A toda série de potências Y o^nX ,̂ que converge em algum valor x' ^ 0 e diverge em 
algum outro valor x" , corresponde um número positivo r tal que a série converge absolutamente se \x\ < r 
e diverge se |a;| > r.
Demonstração. Seja r o supremo dos números |a:|, x variando entre os valores onde a série converge. E 
claro que r é um número positivo, com \x'\ < r; e r < \x"\ (pois, se \x”\ < r, haveria x entre \x"\ e r, onde 
a série convergiria; e, pelo Teorema 1, ela teria de convergir também em x" , o que é absurdo). Se x é tal 
que |a:| < r, existe xo onde a série converge, com |a;| < |a:o| < t . Então, peloTeorema 1, a série converge 
absolutamente em x. A série diverge em x com \x\ > r, senão, pelo mesmo lema, teria de convergir em todo 
y com |o;l > 1̂ 1 > r e r não seria o supremo anunciado.
R a io d e co n v erg ên c ia e in terva lo d e co n v erg ên c ia
O número r introduzido no teorema anterior é chamado raio de convergência da série. Essa denominação 
se justifica porque o domínio natural de estudo das séries de potências é o plano complexo, e quando x 
varia no plano complexo, o conjunto |a:| < r é um círculo de centro na origem e raio r. Demonstra-se então 
que a série converge no interior do círculo e diverge em seu exterior. Todavia, em nosso estudo só vamos 
considerar x real; mas, mesmo assim, pelas razões expostas, chamaremos r de raio de convergência-, e o 
intervalo (—1, -|-1) será chamado de intervalo de convergência.
O teorema anterior garante que a série converge absolutamente no intervalo aberto |a:| < r e diverge 
fora desse intervalo, mas nada informa sobre os extremos —r e -hr. Nesses extremos a série pode convergir 
simplesmente, absolutamente ou divergir. E fácil dar exemplos simples que ilustram essas três possibilidades. 
Assim, as séries
têm todas o mesmo raio de convergência, r = 1, como se constata facilmente. Todas elas convergem quando 
|x| < 1 e divergem quando \x\ > 1. A primeira converge em —1 e -Tl, a segunda converge em — 1 e diverge
5.1 Primeiros exemplos e propriedades 97
em + 1 e a terceira diverge nos dois extremos o: = ± 1.
A definição de raio de convergência como supremo dos números \x\, x variando entre os valores onde a 
série converge, pode ser zero ou infinito, como é o caso das séries '^n \x '^ e respectivamente. As
afirmações do Teorema 1 permanecem válidas, com as devidas adaptações, nos casos r = 0 e r = oo: se 
r = 0, a série diverge para todo a; ^ 0; e se r — oo, a série converge para todo x.
Vamos provar agora que o raio de convergência da série Yhünx'^ é dado pelo limite da razão |an/an+i| , 
desde que esse limite exista. Para isso aplicamos o teste da razão à série de módulos. De fato, sabemos que 
a série dada é absolutamente convergente se existe e é menor do que 1 o limite da razão \an-\-\x'^^^/ anX^\^ 
isto é.
lim ®n+l^
,n+l
ünX'
= lim <̂ n+l < 1.
Mas isso equivale a
|o;| < r = lim (5.6)
Pelo mesmo critério da razão, a série diverge se |a;| > r; portanto, r é o raio de convergência da série. Mas, 
atenção: é preciso que o limite em (5.6) exista. Quando isso não ocorre, o raio de convergência pode ser 
determinado pelo chamado “critério da raiz” , que costuma ser tratado em cursos de Análise e Variáveis 
Complexas.
E xem plo 6 . Seja calcular o intervalo de convergência da série
^ {-l)^n ^x^
n ^ ’n= 0
Como
®n+l
n" 5n+l 5n^
5” (n + 1)^ (n + 1)^ 5,
concluímos que o raio de convergência é cinco; portanto, a série converge absolutamente no intervalo |x| < 5 
e diverge em |a:| > 5.
E xem plo 7. A série
n=l n '
só contém os termos nas potências pares de x, de sorte que não podemos considerar a razão anjan+i quando 
n for par, em cujo caso o-n+i — 0. Note, todavia, que estamos lidando com uma série de potências na variável 
y = x"̂ , e neste caso calculamos o raio de convergência com facilidade:
4“ (n + \ f 
lim ^
n ' qn+i
Em conseqüência, o raio de convergência da série dada é a raiz quadrada desse número, ou seja, r — 1/2.
Derivação e integração
Não é verdade que uma série de funções possa sempre ser derivada termo a termo. Por exemplo, a série
, sen2x senSx senda;f{x) = sena;------ ^ ----------- ^ + . . . =
n=l
( -1 ) n+1 sen nx (5.7)2 3 4 ^ n
define uma função bem simples, cujo gráfico está representado na Fig. 5.1, e que pode ser assim descrita:
f{x ) = - se - 7T < a ; < 7r; / ( - tt) = / ( tt) = 0
98 Capítulo 5 Séries de potências
e / é periódica de período 27t. No entanto, se derivarmos essa série termo a termo, obtemos a série
oo
— cos2x + COS 3o: — cos4a: + . . . = y ^ ( —1)"+^cosx COS nx.
n—1
Ora, como esta série não converge,^ a derivação que fizemos não é legítima.
Contrariamente ao que acabamos de ilustrar com a série (5.7), toda série de potências pode ser derivada 
ou integrada termo a termo; e as séries resultantes têm os mesmos intervalos de convergência que as séries 
originais. Mas não vamos demonstrar essas propriedades, que mais pertencem a um curso de Análise ou de 
Variáveis Complexas.
E xem plo 8. O teste da razão é muito eficiente para se encontrar o intervalo de convergência de uma 
série de potências. Assim, para testar a convergência absoluta da série
- X + 4.x ̂ - + .
calculamos o limite da razão jan+i/flnh
n=l
lim
n—>-oo
= |a;| lim
{-lY r í^x^
Isso permite concluir que a série converge se |x| < 1 e diverge se |a:| > 1.
E xem plo 9. A série
x^ x^
2 3
pode ser obtida por integração, termo a termo, da série
n=l ̂ ’ 9 s n
^ OO
----------= l + x + x^-\-x ‘̂ -\- ... = ,
l - X 
n̂= 0
(5.8)
(5.9)
no intervalo (0, 1). Esse procedimento é mais fácil que a utilização da fórmula de Taylor. Observe que o 
intervalo de convergência de ambas as séries é |a;| < 1.
E xem plo 10. Trocando x por —x^ em (5.9) nos leva à série seguinte:
.. oo
-------2 = 1 - - X® + . . . = ^ ( - 1)l + a;2 ^
n^2n
n=0
Integrando-a termo a termo de 0 a rr, encontramos a série de potências de arctanx:
(_ l )n^2n+lx^ x^ x ’̂Jb Jb Jb \ ^
arctan x = x — —-I---------- >
^ K 7 ^
n= 0
2n + 1
(5.10)
(5.11)
Novamente aqui o intervalo de convergência é |o:| < 1, como podemos verificar pelo teste da razão; ou ainda, 
basta notar que tal intervalo é o mesmo intervalo de convergência das séries (5.9) e (5.10).
A substituição de x por o: = 1 em (5.11) nos conduz ao seguinte resultado, obtido por Leibniz em 1674:
7T , 1 1 1 (-1)^+1
Îsso costuma ser demonstrado provando que cosnx não tende a zero com n —>• oo. Não faremos essa demonstração aqui, 
tendo em vista que ela não é tão simples e exige um estudo mais aprofundado.
5.1 Primeiros exemplos e propriedades 99
Observe que esta é uma série alternada que satisfaz o teorema da p. 86; portanto, converge. Mas converge 
tão devagar que se quisermos usá-la para calcular 7t/4 com erro inferior a 10“ ̂ devemos somar mais de 
50.000 termos! De fato,
^ n > 50.000.
2n - 1 10^
Isso não nos deve surpreender, porque a série em questão é condicionalmente convergente; portanto, é 
natural que convirja muito vagarosamente.
E xem plo 11. Vamos identificar a função
oo
f(x ) = 2 -I- 3o; + ^ nx n—2 (5.12)
n=2
Observe que o intervalo de convergência dessa série é \x\ < 1. Integrando-a duas vezes, sucessivamente, 
entre 0 e x, obtemos
= í
*/0
OO in — 1— nx
n=2 
™n—1
n — 1 ’
n=l
px n ™n-i
/ g(t)dt = Y ^ - = x Y ! ^ = x Y — .
Mas esta última série é —j)ln(l — x) (veja a Eq. (5.8)); portanto,
f g{t)dt = —x \ n { l — x).
Jo
Derivando esta equação duas vezes seguidas voltamos à função / :
X
g{x) - - ln (l - a:) + —
/(^ )
1 1 X
+ -̂-----+
2 — X
1 — x 1 — x {1 — x)^ {1 — x y
que é a forma fechada da função dada inicialmente na forma de uma série em (5.12).
E xem plo 12. Para encontrar a série de Taylor da função f{x) = (1 — substituímos x por —x e
a por —1/2 na série binomial (5.4). Isso nos dá
- j ^ = Y a n ( - x r ,
onde
a . = - 1 1 I - 2
Portanto,
1 A 1
2 V 2 ~ ) \ 2 ~) 2 j n !
( -1 )" 3 5 2 n - l _ (-1 )^1 • 3 - 5 . . . ( 2 n - l ) 
2n! ’ 2 ■ 2 " 2 “ 2"(n!)
1 ̂ 1 ^ 3 - 5 . . . ( 2 n - l ) ^
= = i + - x - \ - y - ^
\ / l — X n = 2 2^(n!)
100 Capítulo 5 Séries de potências
S éries d e T aylor
No início deste capítulo definimos séries de potências como sendo aquelas em potências de x, isto é, séries 
infinitas do tipo
ao -|~ CL\X ~1“ Cb2X ̂ . . . — ^ ̂CLf
n=0
Mas a expressão “série de potências” aplica-se igualmente a séries de potências de a; — xq, ou seja, séries do 
tipo
OO
f{x) = ao ^ ai{x - Xo) + a2{x - xq) ̂ + • • • = - xq)"",
n= 0
com Xo ^ 0. Neste caso, para evitar ambigüidade é conveniente referir-seexplicitamente à série como “série 
de potências de x — xo” ou série de Taylor relativa ao ponto x = xo. Evidentemente, essa série não difere 
essencialmente da série (5.1), reduzindo-se a esta com a substituição de x — xo por x. Um exemplo desse 
tipo de série é obtido da série de senx em potências de x com a substituição de x por x — tt, observando-se, 
ao mesmo tempo, que sen(x — tt) = — senx:
s e n x = — (x — 7t) -f
(x — 7t)^ (x — 7t)'
3! 5! + - = E
(_ l )n+l (x_7r )2«- l
í (2n - l ) !
Exercícios
Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries dadas nos Exercícios 1 a 14.
1- 1 + ií + T + " - = 1 + E2 4 n=l 2n
X x^ 3x^
2- - õ + t - ^ + - - = E
n=l
{-l)^nx^
2n
OO ^2n
^ ^ ^ ^ 3 ^ '3 36 n=l
4. ^ 8"
n=l
5.
V3"(n + 1) ,
n = 0 n=0
(2x + 3)̂
n = 0
8- E
9 - E
n=0 ■n? + 1
10. E
Unn\x
n=l n'
13. E
n=2
nx
(2n)\- 1 4 - E
n\x
r ; (2«)!
E Jb
Inn
n = 2
OO
X—̂ ^15. Mostre que
1=1
OO
12. ^ (In n )x ^ .
n = 2
n=l
Obtenha os desenvolvimentos indicados nos Exercícios 16 a 21.
16. — em potências de x -|- 1.
X
17. — em potências de x — 2. 
3x
18.
2(2x + 1) 
1
em potências x.
119. -------- em potências de x — 1. 20. -r------ ^ em potências de x — 1. 21.2x - l (l + x)2 ^ ( l - x ) 3
Identifique as funções definidas pelas séries de potências dadas nos Exercícios 22 a 25.
em potências de x.
22. E
n=0 n -h 1
23. ] ^ ( n + l)x"
n=0
OO OO / ̂ q\ j
24. E ( - 1)"^' + 1)^"- 25. E "2-+1
n=0 n=0
5.1 Primeiros exemplos e propriedades 101
26. Use as séries de potências de ln(l + x) e ln(l — x) para obter o seguinte desenvolvimento:
In 1 + XI — X = 2{ x +
Jb Jb \ „ V—' X
T + T + - = 2 E ^ -
n=l
27. Obtenha o desenvolvimento de \ / l — x em série de potências de x.
28. Obtenha os desenvolvimentos de {1 + e \ / l + x em potências de x.
29. Obtenha os seguintes desenvolvimentos:
1 . o 3 - 5 . . . ( 2 n - l ) x^ ^ 3 - 5. . . (2n - l)a;2^+ib) arcsena: = —x-l------ h > ------- ------------------- ̂ fí ' O nínDí^n -I- Ua) VT
, 2 ^ 3 - 5 . . . ( 2 n - l )- l + x^ + ^ ------------------ -X
n=2 2” (n!) n=2 2«(n!)(2n + 1)
Respostas, sugestões e soluções
1. \x\ < 1. 3. |a:| < \/3.
6. —3 < a: — 2 < 3, isto é, — 1 < a: < 5.
4. |a:l < 1/2.
7. -14 < a: < 11.
5. |a;| < 1.
8. |x| < \ /2.
9. |x| < l/v/3. 10. + (n + i r _ f 1( n + 1)! V n
ln(n + 1) _ 
Inn
Inn + ln(l + 1/n) 
Inn > 1.
e.
13. Converge, qualquer que seja x. 14. Converge, qualquer que seja x.
15. Considere o desenvolvimento, em potências de x, de x f', onde / =; (1 — a;) Este é outro procedimento, ao lado 
dos que já consideramos na p. 93.
16* - = 7X (x + 1)
1 - 1
 ̂ = - Y { x + '^r- 17.
1 ) - 1 + h
4/3 2/3
3x 2 + (x - 2) 1 + (x - 2)/2 = etc.
3/23x 3(2x - 1) + 3 _ 3 3/2 _ 3
2x - 1 “ 2(2x - 1) “ 2 ^ 2x - 1 “ 2 ^ 2(x - 1) + 1
20. Obtenha primeiro a série de (1 + x)“ :̂
1 1 1/2
= etc.
1 + x 2 + ( x - l ) l + ( x - l )/2 ^ 2«+i= E
( - l ) " ( r c - l ) ’
Agora derive termo a termo e, em seguida, ponha j — n — 1:
1 í - I V ^ n {- l)^ - \x - 1)̂ -'̂
(1 + x) 1 + x En=l 2n+l = Ej=0
(j + l ) ( - l ) j ( x - l ) -
2a+2
21. Derive duas vezes a sérieérie —^ x’̂ : 1 — X ^
(1 — x)^ = ^ n ( n - l ) x ^ ̂ = ^ ( j + 2 ) ( j + l ) x U j=o
Isto é o mesmo que
n = 2
( T r ^ = 5 B " + 2)(" + i K
102 Capítulo 5 Séries de potências
22. ' T ^ = i y ' ^ = i r ^ = _ i w i - x )
1 - ^ ̂ ’’
OO OO y o o
23. ^ ( n + l ) x ” = = í
n—O
OO
OO \ /
.J \ —x-' =
24. y ^ ( —1)̂ +̂ (77, -I- \'^x^ = y ^ ( — 1 = etc. =
_ 1
1 — X J (1 — x)^
- 1
(1 + x)2 ■
25. ^ (n + 2)x"' 1
n = 0
2n+l X — ' \ 23=‘2
í - ' 1 “
= z i ^ A õX —̂' ' V 2j=i
1 _ 2
X X
r OO / \ 7 n /' x^-’
E U
‘-j=0 x(2 — x)2 x '
27. Use a série binomial diretamente, ou integre a série do Exemplo 12. Deve-se obter
' ' 2 ^ 2 » + i ( n + l ) ! ■n=l ' ^
5.2 Propriedades adicionais das séries de potências
U n ic id a d e d a sér ie d e p o tê n c ia s
E fácil demonstrar que o desenvolvimento de uma função f em série de potências relativa a um ponto xo é 
único, isto é, só existe uma série de potências '^ a n ix — xq)^ tal que
f{x) = ao d- ai (x - Xo) d- a2(x - xo)^ d- . . . (5.13)
para x numa vizinhança V de x q . De fato, suponhamos que / tivesse outro desenvolvimento, digamos
/ (x) == òo + bi{x - Xo) + Ò2(x - xo)^(x - xo)^ + . . . (5.14)
para x na mesma vizinhança V. Subtraindo (5.14) de (5.13), resulta
(ao - bo) d- (ai - òi)(x - xo) + (a2 - Ò2)(x - xo)^ d- •.. = 0 (5.15)
para todo x em V. Em particular, quando x = xo, obtemos ao — 6o = 0, ou seja, ao = 6o- Derivando (5.15), 
encontramos
(«1 - 6i) + 2(a2 - Ò2) (x - Xo) d- 3(a3 - 6s)(x - xo)^ d- . . . = 0. (5.16)
Novamente, com x = xo obtemos ai — 6i = 0, ou a\ = bi. Derivando (5.16) e fazendo x = xo, obtemos 
ü2 = 62; e assim por diante: as = 63, 04 = 64, etc. Em conclusão, os desenvolvimentos (5.13) e (5.14) são 
idênticos, conforme queríamos demonstrar.
Convém enfatizar o fato de que o teorema de unicidade se refere ao desenvolvimento da função num 
determinado ponto. Isto não impede que uma dada função tenha séries de Taylor com coeficientes diferentes, 
relativamente a pontos distintos. Por exemplo, demos dois desenvolvimentos da função senx, um relativo 
ao ponto Xo = 0 na p. 95 e outro relativo a xq = tt na p. 100.
M u ltip lica ç ã o e d iv isã o d e sér ies
Vamos mencionar, agora, sem demonstração, um resultado importante sobre multiplicação de séries. Sejam 
f e g duas funções com séries de potências e Y^bnX~ ,̂ respectivamente, no intervalo |x| < r. Então,
a função fg é representada, nesse intervalo, pela série produto, assim definida:
f(x)g(x) = (ao-b a i -b a2X^-b .. .)(6o + 61X-b Ò2X^-b . . .)
= a o 6 o + ( a o 6 i + a i 6 o ) x -b (aoÒ2 -b a i 6 i -b a2& o)x^ -b . . .
5.2 Propriedades adicionais das séries de potências 103
Essa regra de multiplicação, juntamente com o teorema anterior sobre a unicidade, permite-nos obter, 
facilmente, a série quociente de duas séries. De fato, dados os desenvolvimentos de duas funções numa certa 
vizinhança.
f { x ) = ao -I- a \ x + a2X^ ̂ . g{x) = òo -I- bix Ò2X^ -I- . . . ,
válidas numa vizinhança da origem, digamos |o;| < r, vamos determinar os coeficientes cq, ci, C2, etc. do 
desenvolvimento
7 / \ / ( ^ ) 2h ( x ) = — — = Cq -\- C iX C2X .
Começamos por observar que esta última equação equivale a, g h = f , donde se obtém
(òo -I- b i x h2x'^ -jr . . . ) ( c o - f c i x C2X^ + . . . ) = a o a \ x -H ü 2X^ ;
ou seja, em vista da regra de multiplicação de séries,
òoco -I- (òoci + b i c o ) x (boC2 4 - &ici -1- b2 C o ) x ‘̂ - 1- . . . = ao -I- a i x ü 2 X^ -1- . . .
Finalmente, tendo em vista o teorema de unicidade, concluímos que
òoCo = ao, b o c i b ic o = ai, òoC2 -I- 5ici -I- Ò2C0 = a2, . . .
A primeira dessas equações determina co, desde que bo ^ 0; substituindo co na segunda equação, determi­
namos ci; substituindo co e ci na terceira equação, determinamos C2; e assim por diante.
Como se vê, é necessário supor òo 7 ̂0, o que equivale a supor ^(0) / 0. Como g é uma função contínua, 
isso é o mesmo que supor g { x ) ^ Q em toda uma vizinhança da origem, condição esta que se faz necessária 
para definirmos o quociente f / g .
E xem plo 1. Vamos obter os primeiros termos da série da função e ^ \ J \ + x em potências de x, multi­
plicando as séries dos fatores que aí aparecem. Teremos
x^ x^ \ / X x^ x^— H—~—h • • • 1 + — ---2 6 A 2 8 16
. 3 7 2 1 7 3
8 48
Esses poucos termos da série infinita já são bastante informativos do comportamento da função numa 
vizinhança de a; = 0.
E xem plo 2. Para se obter os primeiros termos da série da função (1 sen x ) ~ ^ em potências de x , notamos 
que as séries
l + s e n r r = l + ^ - - + —
1
1 -|- sen X
CQ cix C2X̂ -1- C3a;̂ -f . . .
nos dão
donde segue-se que
/ ^5 \
( cq -ê Cix -H C2 a; ̂ + csx^ ^ ^ ^ ~Q Í W ~ ) = 1,
Co + (co -f Ci)a:-1- (ci -f 02)2;̂ -f ( -1- C2 -f C3 = 1,
104 Capítulo 5 Séries de potências
Portanto,
donde tiramos 
portanto,
C alculando lim ites
CQ — 1 ) Cq + Cl — Cl + C2 — ---^ + C2 + C3 — 0,
D
Co == 1, Cl = -1 , C2 = 1, C3 = - 5 / 6 , . . . ;
1
1 + sen X
1 2 ^ 31 - X + a; - + . . .
O desenvolvimento de funções em séries de potências é um recurso muito eficaz para elucidar as indeter- 
minações do tipo 0/0. Por exemplo, o desenvolvimento
x^ / x^ x^— -| ■ — .. = o: ( 1 — —
6 120 V 6 120
mostra claramente a presença do fator x na função sen ar, de sorte que
sen X x' ̂ x^
donde segue-se que sen x /x —> 1 com a: —> 0.
Devemos observar que, na seqüência lógica que vimos seguindo desde o Volume 1, a série de potências 
da função seno está embasada no cálculo do limite de sen x /x que foi feito na p. 123 do Volume 1, de forma 
que o que estamos fazendo agora não pode ser visto como uma demonstração daquele resultado, sob pena 
de estarmos incorrendo num círculo vicioso. A intenção aqui é mostrar que a função sen x /x possui uma 
série de potências válida mesmo em o; — 0, o que explica o porquê de esta função ter limite finito em o; = 0. 
Fica claro também que é natural definir a função nesse ponto, quando, de início, antes de conhecermos o 
limite, ela parecia não poder ser definida aí.
Séries definem novas funções
Até agora só temos obtido desenvolvimentos em séries de potências de funções conhecidas; ou então, dada 
uma série de potências, temos procurado identificá-la com o desenvolvimento de alguma função já conhecida 
anteriormente.
Mas a importância das séries de potências não reside apenas nisso. Elas são usadas para definir funções 
novas, do mesmo modo que a integral é assim utilizada. De fato, podemos imaginar uma série de potências 
qualquer, como
00 n
n—0
Pelo teste da razão, é fácil ver que essa série converge quando |a:| < 1; logo, ela define uma função / com 
domínio nesse intervalo. Uma função dada dessa maneira só muito raramente poderá ser identificada com 
funções já conhecidas. Em geral, a série define uma função totalmente nova. E essa possibilidade de criar 
novas funções através das séries de potências é extremamente importante nas aplicações. Para resolver 
equações diferenciais, por exemplo, as séries de potências são um recurso muito poderoso e, freqüentemente, 
conduzem à construção de novas funções, que não podem ser expressas em termos das funções já conhecidas, 
mas que, no entanto, devem ser estudadas pela sua grande importância prática.
As séries de potências são também usadas para definir as funções que já nos são familiares, como a 
exponencial, o seno e o co-seno. Estas três funções, por exemplo, costumam ser definidas por suas séries 
de potências. Esse procedimento é preferível em Análise, porque se evita então a necessidade de utilizar 
conceitos geométricos na definição dessas funções.
5.3 Notas históricas 105
As funções que admitem desenvolvimentos em séries de potências formam uma classe importante, a 
das chamadas funções analíticas. Assim, são analíticas as funções trigonométricas, a função exponencial, 
o logaritmo e as demais funções que já nos são familiares e que admitem desenvolvimento em séries de 
potências.
Exercícios
Calcule os primeiros cinco termos das séries de potências de x das funções dadas nos Exercícios 1 a 9.
1. e* COS X. 2. e® senx. 3.
4. 5. secx. 6.1 — X
7. tanx. 8. sec X. 9.
X
e® - 1
X
Use séries de potências para calcular os limites propostos nos Exercícios 10 a 15
sen X — X10. limX-+0 (1 — COS x) sen x
\Jx — 1 — 113. h m ---- ------— .X-+2 sen[x — 2)
[ l n ( l + a:) — x]'^16. sen'̂ 3a:
l - c o s ( l - a : )11. hm —7----- -------- .x-^i (x — l)^e®
1- (\/6 — a: — 1) tanía: — 5)14. hm
17.
X-+5 cos(a: — 5) — 1
1 — x f sen X 
1 — cos ̂3a: '
12. lim
ln(l — x ) '
{x — 1) tan(l + x)
15. lim
X-+-1 sen(a: + 1) ln(2 + x)
(e* — 1 — x) sen 3a: 
x-^o a:(l — COS 3a:)
Sugestões
12. ln(2 + a:) = ln[l + (x + 1)]. 13. ^ / x ^ = y/l + { x - 2).
5.3 N otas históricas
A s sér ie s d e p o tê n c ia s
Já observamos, no início do Capítulo 2, que as técnicas de aproximação de funções por polinómios surgiram no século 
XVII. Na verdade, os matemáticos daquela época utilizavam as séries infinitas para representar funções, como se 
elas fossem polinómios. Como não possuíam qualquer teoria de convergência — e não percebiam a necessidade dessa 
teoria — manipulavam as séries como se elas fossem polinómios (finitos). Era um expediente cómodo, que permitia 
representar funções complicadas por “polinómios infinitos”. De fato, embora possuindo infinitos termos, esses entes 
eram tratados com as mesmas regras formais do cálculo algébrico. Por isso mesmo, era freqüente obterem-se resultados 
estranhos e contraditórios. Por exemplo, quando derivamos a série
«7*2 4̂
- , X t// t//
ln(l + x ) = X - - ^ - é y - — + . . . ,
obtemos
1 + X = l - x + x^-x '^ + .
Embora esses desenvolvimentos sejam ambos válidos para |x| < 1, a primeira série continua convergente mesmo 
para x = 1, ao passo que a segunda carece de sentido. De fato, da última igualdade obteríamos
que tanto pode ser escrita na forma
- = ( l - l ) + ( l - l ) + ... = 0 + 0 + . . . = 0,
106 Capítulo 5 Séries de potências
como na forma
1
= i - ( i - i ) - ( i - i ) - . . . = i.
Evidentemente, esses resultados são contraditórios e não podem ser aceitos. Não podemos sempre derivar uma série 
termo a termo; a série resultante pode ser divergente, como acontece no exemplo que acabamos de considerar.
Outro caso em que uma série divergente conduz a um resultado falso é o do raciocínio seguinte, atribuído a Euler: 
multiplicando por x a série
1 1 2^ 1+ X + + . . . ,1 — X
obtemos
I — X = X + x' ̂ + x^
A penúltima série, com x substituído por 1/x, nos dá
Somando-se as duas últimas séries, obtemos
X ^ 1 1
----- 7 = 1 “I------1----2 “*" • • •X — 1 X x^
1 1
0 — ... H— ̂ H----- \ X -\- X
um resultado claramente inaceitável para a; > 0 e falso para todo x.
Na falta da noção precisa de convergência, os matemáticos acabavam lidando com séries divergentes, às vezes até 
sem saber que assim procediam. O que faltava à Matemática dos séculos XVII e XVIII seria suprido pelos matemáticos 
do século XIX, a começar com os trabalhos de Bolzano (1781-1848) e Cauchy (1789-1857), como já mencionamos 
antes. Conta-se que Laplace (1749-1827), após ouvir uma preleção de Cauchy sobre sua teoria de convergência das 
séries, recolheu-se para examinar as séries que aparecem em sua famosa obra, a Mécanique Céleste-, e sentiu-se aliviado, 
verificando que todas elas convergiam...^
O sécu lo X V III - E uler e Lagrange
O século XVIII, na História da Matemática, foi uma época de notável desenvolvimento do Cálculo, de sisteniatização 
e aperfeiçoamento de suas técnicas, uma época em que as concepções de Newton, Leibniz e outros matemáticos do 
século anterior foram extensamente exploradas, resultando na criação das Séries Infinitas, das Equações Diferenciais, da 
Geometria Diferencial, do Cálculo das Variações, além de outros ramos da Análise. Nesse período viveram matemáticos 
os mais eminentes, como Euler, d’Alembert,
Lagrange e Laplace.
Leonhard Euler (1707-1783) nasceu na Basiléia, Suíça, e passou toda a sua vida adulta nas Academias de São 
Petersburgo e de Berlim, onde produziu a mais extensa obra matemática de todos os tempos. Mecânica, Astronomia, 
Geodésia, Cartografia, Balística, Óptica, Hidrodinâmica, Acústica e Música são domínios científicos nas quais Euler 
deixou a marca indelével de seu gênio. Ele foi o primeiro cientista a tratar os fenômenos luminosos analiticamente e 
o único a sustentar a teoria ondulatória da luz, quando a doutrina corpuscular de Newton era correntemente aceita. 
Em Teoria dos Números, Euler é o maior nome depois de Fermat. Ele criou o Cálculo das Variações, que é o estudo de 
funcionais, ou funções que dependem de outras funções ou curvas. Criou a Mecânica Analítica, cujos métodos têm umalcance incomparavelmente maior que os métodos geométricos de Newton. Criou ainda a Geometria Diferencial, que é 
o estudo das curvas e superfícies com os métodos do Cálculo (a noção de curvatura, introduzida no Capítulo 9 adiante 
(p. 207, é um conceito geométrico-diferencial). Euler escreveu diversos livros-textos, que estabeleceram padrões por 
mais de cem anos. Sua “velocidade média” de produção científica era de 800 páginas por ano! Conta-se que ele ia 
escrevendo e empilhando, trabalho sobre trabalho. O impressor da Academia, por sua vez, tirava os trabalhos da 
pilha, de cima para baixo, acontecendo que Euler voltava a aumentar a pilha antes que o impressor pudesse esgotá-la! 
Isso explica por que as datas de publicação e produção de seus trabalhos estão freqüentemente invertidas. Segundo 
E. T. Bell, em seu livro “Men of Mathematics”, Euler tinha memória fenomenal, a ponto de conhecer, de cor, toda a 
Eneida, e as sextas potências dos primeiros cem números! Depois de totalmente cego ele ainda produziu quatrocentos 
trabalhos de pesquisa.
Joseph Louis de Lagrange (1736-1813) nasceu em Turim, Itália, onde estudou Matemática e fundou a Academia
que só pode ser falso, por duas razões: primeiro, ele nem teria como verificar isso; e, sendo já tão famoso e respeitado 
pela sua competência, aliviar-se de quê?
5.3 Notas históricas 107
de Ciências. Passou dezoito anos de sua vida na Academia de Berlim, quando Euler voltou para São Petersburgo. 
Em seu convite a Lagrange, Frederico II argumentou (“modestamente...”) que “era preciso que o maior geômetra da 
Europa vivesse junto ao maior dos reis”. Lagrange escreveu muito menos que Euler, mas a perfeição e o grande alcance 
de seus trabalhos granjearam-lhe a fama de maior matemático do século. Sua maior obra é a Mécanique Analytique, 
concebida em sua juventude e só publicada em 1788. Com essa obra a Mecânica ficou definitivamente estabelecida 
como um ramo da Análise Matemática. Em sua Théorie des Fonctions Analytiques de 1797 ele procurou estabelecer 
o Cálculo em bases puramente algébricas, sem a necessidade de considerar grandezas infinitesimais, servindo-se para 
isso da fórmula de Taylor. Sua idéia era inverter o processo: partindo da fórmula de Taylor de uma da função, ele 
introduzia suas derivadas em termos dos coeficientes do desenvolvimento da função. Essa obra, embora ainda um 
produto típico do século XVIII, foi o prenúncio do desenvolvimento do rigor no século seguinte.
Capítulo 6
Equações diferenciais
As equações diferenciais são um instrumento muito eficaz para a formulação e o tratamento de uma grande 
variedade de problemas aplicados, seja na própria Matemática, seja em outros domínios científicos. Alguns autores 
insistem mesmo em que o principal objetivo do Cálculo é o estudo de equações diferenciais. Concordemos ou não 
com esse ponto de vista, não há como negar que esse estudo não deve ser postergado por muito tempo; e embora 
ele costume ser feito em disciplina separada, tratando exclusiva mente as equações diferenciais, é conveniente 
dedicar um capítulo introdutório a essas equações num curso de Cálculo.
Pouquíssimas equações diferenciais podem ser resolvidas explicitamente em termos de funções já conhecidas. 
E uma das maneiras de estudar as soluções de muitas dessas equações de interesse matemático é através das 
séries de potências. Isso é uma razão a mais para incluirmos este capítulo nesta altura do nosso curso.
Enfatizando o que já foi dito, este é apenas um capítulo introdutório, por isso mesmo o leitor não encontrará 
aqui senão um breve apanhado do assunto, cujo tratamento mais completo só pode ser feito numa disciplina 
separada, como é costume já consagrado.
6.1 Primeiros exemplos
Chama-se equação diferencial a uma equação que envolve uma ou mais derivadas de uma função que se deseja 
encontrar. Como em todo o nosso estudo até aqui, estamos falando apenas de funções de uma única variável 
independente. Assim, se y = y{x) é uma função da variável independente x, são equações diferenciais cada 
uma das seguintes equações:
y' -h 3xy = 2, y - sen xyy' = 7, y + 9xy' — 7y = X .
As duas primeiras dessas equações são de primeira ordem, por envolverem apenas a derivada primeira da 
função y, já a terceira é uma equação de segunda ordem, visto ser esta a ordem mais alta das derivadas que 
nela comparecem.
As primeiras equações diferenciais apareceram já no final do século XVII, em problemas de Mecânica. 
E no século seguinte, em muitos subdomínios da própria Mecânica, como Acústica, Elasticidade, Dinâmica 
dos Fluidos, etc.
Um dos problemas mais simples que se formula naturalmente em termos de uma equação diferencial 
ocorre toda vez que a taxa de variação de uma função é proporcional à própria função. E isso acontece 
com bastante freqüência. Por exemplo, como vimos na Seção 9.3 do Volume 1, a taxa de crescimento de 
um capital posto a juros compostos é proporcional ao capital; a taxa de crescimento de uma população 
é proporcional à população; a taxa de decaimento de uma substância radioativa é proporcional à massa 
restante, etc. Todas essas equações são do tipo
y' - k y = 0, (6.1)
108
6.1 Primeiros exemplos 109
onde k é uma constante, e y = y{t) é uma função da variável independente t, aqui interpretada como tempo. 
Na Seção 9.3 do Volume 1, chegamos diretamente à fórmula
y = Ce'=‘,
onde C é uma constante arbitrária, e só depois verificamos que esta função satisfazia a Eq. (6.1). Mas agora 
vamos partir da equação e achar sua solução.
Antes disso, vamos analisar a equação na forma y' = ky, e, para viabilizar os cálculos, fixemos um valor 
numérico para a constante k, digamos. A; = 0,1. Assim, lidaremos com a equação
y' = 0, ly. ( 6 .2 )
Agora vamos nos valer do computador: em cada ponto (t, y) do plano a equação nos diz que a derivada 
da função que procuramos tem o valor 0, ly. Marcamos, em cada ponto, esse valor; o computador faz isso 
para nós. Mais do que isso, ele desenha em cada ponto um pequeno segmento retilíneo com declive igual 
a esse valor. A Fig. 6.1 mostra esses vários segmentos retilíneos numa grande quantidade de pontos. A 
totalidade dos declives associados aos pontos é o que se chama de campo de direções da equação particular 
que estamos considerando.
/ / /
Vi
/
1
/ / / / / / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
/ / / / V / / / / / / / / / / / / / / /
/ / / / ' / / / / / / / / / / / / / / / /
O
Figura 6.1
/ / / / / / / / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / / / / / / / /
/ / / / V / / / / / / / / / / / / /
/ / / / ' / / / / / / / / / / / / y
-C = 1/(0).
o
Figura 6.2
110 Capítulo 6 Equações diferenciais
Cada ponto do eixo dos Oy é um valor inicial da solução, isto é, um valor C = 2/(0), pelo qual passa uma 
curva, como ilustra a Fig. 6.2. Isso não é uma idéia nova; Euler concebeu essa idéia de marcar os pontos 
e os declives correspondentes no plano (t, y) há 250 anos! Toda uma teoria desenvolvida por Euler e seus 
seguidores é hoje o embasamento dos softwares que o computador executa. Só que Euler tinha de fazer os 
cálculos manualmente, quando nós hoje só temos de apertar um botão... Temos de render homenagem a 
Euler, que está por trás de toda essa modernidade!
Vale a pena indagar como o computador constrói uma curva como essa da Fig. 6.2. Ele faz isso começando 
com o primeiro segmento, no ponto inicial Pq do eixo Oy, onde y — y{0) — C. Embora muito reduzido, a 
extremidade desse segmento é um ponto P i, a partir do qual há um outro segmento que nos conduz a um 
ponto P2; e assim por diante. A curva que construímos é, na verdade, uma poligonal, exibida na Fig. 6.3 de 
maneira exageradamente ampliada, como se estivéssemos vendo a curva magnificada por um microscópio. 
A consideração de segmentos em número cada vez maior leva a uma aproximação cada vez melhor entre a 
poligonal e a curva, como ilustramos naFig. 6.4. Os softwares que hoje utilizamos incorporam todos esses 
recursos já conhecidos desde os tempos de Euler.
Figura 6.4
S o lu ção a n a lítica
Uma das maneiras de encontrar a solução analítica da equação diferencial que estamos discutindo tem como 
ponto principal o reconhecimento de que y' — ky é quase a derivada de um produto. De fato, derivar
-kt significa multiplicar esta função por — fc; logo, y' — ky passa a ser a derivada do produto ye se
multiplicarmos y' — ky por e para chegarmos a e ^^{y' — ky), que passa a ser a derivada de ye 
essa multiplicação a Eq. (6.1) converte-se em
4 ( , e - ) = 0,
donde segue-se que ye~^^ é uma constante C:
ye~^^ = C", portanto.
—kt 
Com
y =
Vemos assim que a equação possui uma infinidade de soluções, cada uma correspondendo a um valor par­
ticular de C. O significado dessa constante é revelado fazendo t = 0, donde C = 2/(0), vale dizer, C é o 
valor inicial da solução y = y{t). O que fizemos para resolver a equação diferencial foi encontrar o que se 
chama fator integrante, no caso o fator e~^^, o qual, multiplicado por y' — ky, transforma esta expressão 
numa derivada.
6.1 Primeiros exemplos 111
A expressão y = chama-se solução geral da Eq. (6.1). Isto porque qualquer solução particular pode 
ser obtida a partir da solução geral, com um ajuste conveniente da constante C. A situação com equações 
diferenciais é sempre assim, elas possuem infinitas soluções. Em geral, quando se modela um problema por 
meio de uma equação diferencial, é necessário prescrever condições adicionais para individualizar a solução 
do problema que se deseja resolver. Por exemplo, no caso do crescimento populacional modelado pela Eq. 
(6.1), é necessário prescrever o valor inicial da população para que essa população possa ser determinada 
em qualquer tempo futuro. Assim, o problema típico para a Eq. (6.1) é o problema de valor inieial, que 
consiste em resolver a equação, sujeita à condição inicial 2/(0) = C, onde C é um valor dado.
A Eq. (6.1) pode também ser resolvida procurando a solução na forma de uma série de potências. 
Faremos isso no caso de um problema um pouco mais complicado, deixando o caso da Eq. (6.1) para os 
exercícios.
O p ro b lem a do p á ra -q u ed ista
O problema que vamos considerar agora é o de encontrar a velocidade de um pára-quedista que salta de 
um avião. Calcularemos sua velocidade vertical a partir da velocidade zero no instante inicial, provando 
que essa velocidade tende para um valor constante. Isto acontece devido à resistência do ar; do contrário, o 
movimento seria uniformemente acelerado e ele chegaria ao solo com velocidade mortal.
Seja V = v{t) a. velocidade do pára-quedista. Ele está sujeito à ação da força-peso mg (onde m é sua 
massa g g a aceleração da gravidade) e da força de resistência do ar. Experimentalmente, sabe-se que, 
para velocidades não muito grandes, esta força é proporcional à própria velocidade v. Denotando por 
k a constante de proporcionalidade, e levando em conta que a resistência do ar atua contrariamente ao 
movimento, a segunda lei de Newton (massa x aceleração = força) se exprime na forma
dv ,
m — = mq — kv, 
dt ^
ou seja, pondo lü = kjm^
V = g — íüv. (6.3)
S olu ção p or sér ie d e p o tê n c ia s
Desta vez vamos resolver esta equação procurando a solução na forma de uma série de potências. Isso 
consiste no seguinte: imaginamos que a função v = v{t) possa ser desenvolvida em série de potências,^
= ao + ait -1- ü2t^ ^ Unt” - (6.4)
n= 0
Então,
v' = a\ ^ 2ü2t + . . . = nont^ 
Pondo j = n — 1 (donde n = j -\-1), obtemos
n—l
v' = ^ ( j -h
j= 0
Finalmente, voltando a escrever n em lugar de j ,
oo
v' = ^ ( n -I- l)an+ if
n= 0
^Como t;(0) deve ser zero, deveríamos tomar ao = 0. Preferimos não fazer isso agora para obtermos a solução geral da 
equação.
112 Capítulo 6 Equações diferenciais
Substituindo (6.4) e esta expressão de v' na equação diferencial (6.3), resulta
oo oo
y ^ (n + l)an+\f^ + ^ X ] ^
ou ainda,
n=0 n = 0
(ai + cuao - g) + X^[(í^ + l)an+i + cuan]f ̂ = 0.
n=l
Daqui e do teorema de unicidade segue-se que o termo constante e os coeficientes de todas as potências de 
t devem se anular, donde
a\ = g — ujao — g, =
Lü
n -I- 1
^ — 1» 2, 3,
Dessas equações obtemos os diferentes coeficientes em termos de ao:
íü ̂ íü̂
e, em geral,
íü Cü
ai = g-ujaQ, a2 = - - g + — ao, - -^ao, a4 = - ^ ^ - H ^ a o ;
i- iü Y { g \ { - ü j T . ^ oar,. = ------ -̂--- g -h ao = ( ao - - ) - —7-- -, n = 1, 2, 3, . . .n! ̂ n! 
Substituindo-se esses valores em (6.4), obtemos
üj j n\
üü / ' n\n=l
V = a o + U o - - ) ^
^ n=l 
/ \ 00= «o+(ao-5 )E n! V ̂J \ ̂J a ^n=0 ' ' ' ' n=0
-íotEsta última somatória é precisamente a função e (veja a série de na p. 73), de forma que podemos 
escrever
(6.5)t; = ^ ( l - e - " ‘) + a o e “" ‘.
LÜ
Como a velocidade inicial é zero, devemos tomar ao = 0; portanto, a solução procurada é
„ = i ( l - e - " ‘),
(jü
(6.6)
cujo gráfico está ilustrado na Fig. 6.5.
Figura 6.5
Convém notar que todo o procedimento utilizado até agora foi puramente formal; de início, nem sabíamos 
se o problema tinha solução, ou se a solução admitiria desenvolvimento em série de potências. O processo
6.1 Primeiros exemplos 113
fica validado pelo simples expediente de verificar que o resultado final é, efetivamente, a solução da equação 
diferencial e satisfaz a condição inicial a ela imposta. Essa verificação é fácil e fica a cargo do leitor.
Analisando a curva-solução, vemos que ela começa na origem e tende assintoticamente para a reta 
y = g/íú = m g/k. Este valor m g/k é a velocidade final do pára-quedista, uma “velocidade de estabilização” , 
que é proporcional à massa do pára-quedista; e será tanto menor quanto maior a constante fc, que tem a ver 
com a resistência do ar, e que depende, evidentemente, da maneira como o pára-quedas é construído. Essa 
velocidade pode ser obtida diretamente da Eq. (6.3), fazendo dv/dt — 0, antes mesmo de conhecermos a 
solução. Note, todavia, que isto não fornece todas as informações que podemos colher da solução (6.6); por 
exemplo, (6.6) mostra que a solução se aproxima da velocidade final rapidamente com o crescer do tempo, 
devido à presença do termo contendo a exponencial.
Observe que terminamos por fazer ao = 0. Como dissemos em nota de rodapé, poderíamos ter feito isso 
no início, o que facilitaria os cálculos. No entanto, mantendo esse coeficiente até o fim, obtivemos a solução 
geral (6.5). Novamente aqui vemos que há uma infinidade de soluções, cada uma correspondendo a um 
valor particular da constante C, isto é, a um problema de valor inicial. A Fig. 6.6 mostra várias soluções, 
com diferentes valores iniciais da velocidade. Note que, mesmo que o pára-quedista seja lançado com uma 
velocidade inicial superior à velocidade final g/u , v{t) tenderá assintoticamente para este último valor; e 
isto acontecerá também se ele for lançado com velocidade inicial negativa, isto é, para cima.
Figura 6.6
O bservações. Embora tenhamos chamado (6.3) de “equação do pára-quedista” , ela se aplica igualmente 
a qualquer outro objeto abandonado à ação da gravidade com uma certa velocidade inicial ao = t’(0). E este o 
caso do movimento vertical de um satélite em sua reentrada na atmosfera terrestre. Ele entra inclinadamente 
em relação à vertical e a Eq. (6.3) só se aplica à componente vertical da velocidade. Mas isso só é válido no 
pressuposto de que a força de resistência do ar seja mesmo proporcional à velocidade.
Essa última hipótese não é verdadeira para velocidades muito altas, quando então a resistência passa a 
ser proporcional a e a Eq. (6.3) assume a forma v' — g — uma equação “não-linear” (veja o conceito 
de linearidade na subseção seguinte), à qual não mais se aplica o procedimento utilizado anteriormente para 
achar a solução. Equações não-lineares formam uma classe muito importante de equações, e suas soluções 
são estudadas por métodos especiais.
E q u açõese o p era d o res lin eares
A Eq. (6.3), equivalente a v' -{-ujv = g, é do tipo chamado equação linear não-homogênea. “Linear” porque 
ela pode ser escrita na forma Lv = g, onde L é o “operador linear” L = d/dt -H lü, que atua na função v da
114 Capítulo 6 Equações diferenciais
seguinte maneira:
Lv
d \ dv
— + ü; h; = —- + Lüv.
dt J dt
(6.7)
Operador é um ente que age sobre funções, transformando-as em outras funções. Por exemplo, o L definido 
em (6.7) é um operador; mais do que isso, ele é um operador linear, assim chamado todo operador que tem 
a seguinte propriedade: quaisquer que sejam as funções u e v, e quaisquer que sejam as constantes a e (3,
L{au -t- (5v) = aLu -H PLv. (6 .8 )
Que o operador L definido em (6.7) é um operador linear é um fato de fácil verificação, que deixamos para 
os exercícios.
Estamos interessados apenas em operadores diferenciais, aqueles que executam derivações, como em 
(6.7). Eis aqui um outro exemplo de operador diferencial linear:
(6.9)
onde f e g são funções com o mesmo domínio que as funções sobre as quais o operador deve atuar. Este 
último é um operador de segunda ordem, assim chamado por ser 2 a derivação de ordem mais alta que 
nele comparece. Já o operador definido em (6.7) é de primeira ordem. Com a notação aqui introduzida, a 
equação L\u = h, quando escrita por extenso, seria
^ + / ( í ) * + 9 ( i ) j « ( í ) = ^
que é uma equação diferencial linear de segunda ordem.
A importância da linearidade de um operador reside na seguinte propriedade: se L é um operador linear, 
e u e V são soluções da equação Lu = 0, então qualquer combinação linear de u e v também é solução, isto 
é, L{au -H í3v) = 0, quaisquer que sejam as constantes a e p. A demonstração desse fato é muito simples:
L{au -H Pv) = aLu -H PLv = q; -0-H/3-0 = 0.
Dado um operador L e uma função h, as equações Lu = 0 e Lu = h são chamadas de equação homogênea 
e equação não-homogênea, respectivamente. Um outro fato importante sobre operadores lineares é que 
qualquer solução da equação não-homogênea pode ser obtida como a soma de uma solução particular 
qualquer desta equação com uma solução conveniente da equação homogênea. Mais explicitamente, se vq 
satisfaz L vq = h, então qualquer solução v de Lv = h pode ser escrita na forma v = u vq, onde u é uma 
solução conveniente de Lu = 0.
O bservação . Essas propriedades das equações lineares, homogêneas e não-homogêneas não são verda­
deiras para equações não-lineares, como aquela do final da subseção anterior. Isso cria novas dificuldades no 
tratam ento de equações não-lineares, as quais devem ser estudadas por outros métodos, como já menciona­
mos anteriormente.
A in d a o p ro b lem a do p á ra -q u ed ista
Ao formular o problema do pára-quedista, focalizamos atenção na velocidade v{t) como função a ser en­
contrada e estudada. Mas v = dx/dt, onde x = x{t) é a abscissa do corpo em movimento. Essa abscissa 
refere-se a um eixo orientado para baixo, por isso que velocidade positiva significa movimento de descida, 
e velocidade negativa, movimento para cima. Para essa função x{t) a Eq. (6.3) passa a ser uma equação 
diferencial linear não-homogênea de segunda ordem:
-H Lüx' = g.
6.2 Equações de segunda ordem 115
Foi fácil convertê-la em equação de primeira ordem porque ela não contém o termo em x. 
Uma simples integração de (6.6) nos dá a fórmula de x{t)\
X — — \t-\— e 
Lü \ Lü + 3:̂ 0----- (6. 10)
onde Xo é a posição inicial, que podemos tomar como igual a zero.
Se tivéssemos integrado (6.5), teríamos obtido x(t) dependendo de duas constantes arbitrárias xq e ao, 
o que é típico das equações de segunda ordem: enquanto as soluções de uma equação de primeira ordem 
dependem de uma constante arbitrária, as soluções de uma equação de segunda ordem dependem de duas 
tais constantes.
Exercícios
1. Utilize o método de série de potências para encontrar a solução geral y = da Eq. (6.1).
2. Verifique que a função dada em (6.6) é solução da Eq. (6.3), satisfazendo a condição inicial u(0) = 0.
3. Prove que o operador L definido em (6.7) é linear.
4. Prove que a condição de linearidade (6.8) é equivalente às seguintes afirmações: quaisquer que sejam as funções 
u e V, L{u -f u) = Lu -f Lv\ e quaisquer que sejam a constante o e a função u, L{au) = aLu.
5. Prove que o operador definido em (6.9) é linear.
6. Prove que se L é um operador linear, e ui, U2, . . . , Un são soluções da equação Lu = 0, então qualquer combinação 
linear dessas soluções também é solução, isto é, L{a\Ui-\-a2U2^-.. .+anUn) — 0, quaisquer que sejam as constantes 
a i, q;2, . . . , Oin-
7. Verifique que a função y = y(x) = —1 — x - f ( l + C)e^ é a solução do seguinte problema de valor inicial:
y' - y = x, y(0) = C.
Utilize o método de série de potências para encontrar essa solução.
8. Encontre a solução geral (6.5) da Eq. (6.3) com o seguinte procedimento: escreva v = uuq, onde u é a solução
da equação homogênea u' -f u)u = 0. Substitua v = uvq na equação v' + ujv — g e ache uq.
9. Utilize o procedimento sugerido no exercício anterior para achar a solução do problema proposto no Exercício 7.
10. Faça a integração da função dada em (6.6) para obter a fórmula (6.10).
11. Mostre que senxí e co so o t são soluções da equação u" + lü^u = 0. Como se trata de uma equação linear (de 
segunda ordem), novas soluções podem ser obtidas na forma u — a sen u>t + P cos Lut, onde a e P são constantes 
arbitrárias. Verifique este último fato diretamente.
6.2 Equações de segunda ordem
Vamos considerar, nesta seção, dois exemplos de equações de segunda ordem que ocorrem numa grande 
variedade de problemas concretos de grande importância prática e que são equações bastante adequadas 
para ilustrar mais uma vez o uso de séries de potências.
116 Capítulo 6 Equações diferenciais
V ib ra çõ es h arm ôn icas
Trataremos primeiro da equação que governa movimentos vibratórios de natureza a mais variada, como em 
acústica, eletromagnetismo, sismologia, etc. Trata-se da equação diferencial linear homogênea de segunda 
ordem.
x" + ÜĴ X = 0, (6 . 1 1 )
onde X = x{t) é a função a ser encontrada.
Já vimos no Exercício 11 que sen cot e coscot são soluções dessa equação. Há várias maneiras de achar 
essas soluções sem ter de “advinhá-las” . Mas, antes de embarcar na procura de soluções, vamos descrever 
uma situação em que a Eq. (6.11) ocorre.
Imaginemos um corpo de massa m, apoiado sobre uma superfície horizontal, e ligado, por uma mola, a 
uma parede, como ilustra a Fig. 6.7. Supomos que o corpo possa se mover livremente sobre a superfície, sem 
atrito e sem resistência do ar. Marquemos a origem das abscissas do eixo Ox de maneira a coincidir com 
o centro de massa do corpo quando a mola não estiver esticada (Fig. 6.7a). Imaginemos, finalmente, que 
o corpo seja afastado para uma posição xq, de onde ele é liberado com velocidade inicial nula (Fig. 6.7b), 
passando a executar um movimento oscilatório sob a ação da mola.
__________ ____ ____ _̂_____
Xo
(o) (fc)
Figura 6.7
Nas condições descritas, a única força que atua sobre o corpo é devida à ação da mola. Pela chamada 
“lei de Hooke” , para pequenos deslocamentos essa força é proporcional ao deslocamento x. Como ela atua 
sempre em sentido contrário ao do deslocamento, seu valor escalar é dado por —kx, onde k é a, constante 
de proporcionalidade, característica da mola. Então, pela segunda lei de Newton — massa x aceleração = 
força — devemos ter
mx'^ = —kx, donde x" + 10“̂ x = 0, (6.12)
onde = m /k.
Vamos resolver essa equação pelo método de série de potências, assim ilustrando mais uma vez a aplica­
bilidade desse método. Para isso, pomos
= ^ a„f (6.13)
n= 0
Derivando essa equação duas vezes e pondo j = n — 2, depois voltando a escrever n em lugar de j , obtemos
= ^ n ( n - l ) (n - 2)ant'^ ̂ ^ ^ ^)aj+2Í^ = X ^(^ + 2)(n + l)an+2Í"-
n = 2 n = 0
Agora substituímos esta expressão de x" e (6.13) em (6.12), o que nos leva a
00
+ 2)(n -t-l)a„+2 + = 0.
n —O
6.2 Equações de segunda ordem 117
Novamente aqui — como no caso da equação do pára-quedista — invocamos o teorema de unicidade da 
série de potências de uma função para concluir que os coeficientes de t são todos nulos, donde
^n+2 — (n + 2)(n + 1) ’
n = 0, 1, 2, 3, . . . (6.14)
Estas relações recursivas permitem determinar todos os coeficientes em termos de ao e ai, e assim 
encontrarmos uma solução dependendo dessas duas constantes arbitrárias. Isso está de acordo com o que 
dissemos antes: as soluções das equações de segunda ordem dependem de duas constantes arbitrárias.
No entanto, para facilitar os cálculos, vamos nos restringir ao problema concreto que formulamos, o de 
um movimento que se inicia no ponto de abscissa dada a:(0) = xq, com velocidade inicial x'(0) = 0. Trata- 
se de um problema de valores iniciais dados, valores esses que caracterizam uma única solução. Nessas 
condições, de (6.13), x{0) = oq = xq e x'{0) = a\ = 0. Então, n = 1 em (6.14) nos dá = 0; com n = 3 
obtemos = 0; depois, n = 5 faz ay = 0; e assim por diante; vemos que todos os coeficientes de ordem 
ímpar em (6.13) são nulos.
Vamos agora aos coeficientes pares, fazendo sucessivamente n = 0, 2, 4, . . . :
02 = -
Lü‘̂Xo
2 ^ ’
0 4 — —
u;^a2 4Lü X q ÜQ =
u ‘̂ 04
6-5
Lü̂ Xq
6!
Em geral, a2n = t i sorte que a série (6.13) assume a forma
(2n)!
2n
n—0 n=0
Ora, esta última somatória, pelo que vimos anteriormente (p. 207), é exatamente a série de coscut, de sorte 
que a solução procurada é dada por x{t) — xq coscut.
E preciso observar, todavia, que todo o procedimento utilizado é puramente formal, como o foi no caso 
do problema do pára-quedista. Ele fica validado pelo simples expediente de verificar que o resultado final 
é, efetivamente, a solução da equação diferencial, e satisfaz as condições iniciais a ela impostas. Tivéssemos 
procurado achar a solução do problema de valores iniciais
x(0) = 0 e a:'(0) = vq,
o mesmo procedimento, utilizando a série de potências, nos conduziria à solução VQsenut.
As soluções cosut e sen cot são linearmente independentes, vale dizer, não é possível encontrar uma 
constante L tal que cosujt = L sen u t ou sen cot = Lcoscut. Como estamos lidando com uma equação linear, 
podemos obter outras soluções como combinações lineares dessas duas. Assim,
x{t) = A COS Lüt B sen u t , (6.15)
onde A e B sao constantes arbitrárias, é o que se chama de solução geral da Eq. (6.11). Isto porque os 
coeficientes A e B podem ser ajustados para satisfazer quaisquer condições iniciais a:(0) e x'(0).
E q u ação de B e sse l
A forma geral da equação de Bessel para uma função y = y{x) é
x^y" -t- xy' + {x‘̂ - u^)y = 0,
onde u é uma constante, de forma que estamos lidando aqui com toda uma família de equações de Bessel, 
correspondendo a diferentes valores do parâmetro u. Existe uma vasta literatura sobre essas equações e 
suas soluções. Isto porque elas aparecem em muitos domínios científicos importantes. Infelizmente, não
118 Capítulo 6 Equações diferenciais
podemos dar qualquer explicação significativa de como essa equação surge na prática, sem nos alongarmos 
mais do que o razoável dentro dos limites do nosso curso. Por isso, vamos nos limitar a encontrar apenas 
uma solução da equação de Bessel em sua forma mais simples, correspondente a. i/ = 0:
x^y” + xy' + x^y = 0
Substituindo
em (6.16), obtemos
oo
^ ^ ünX-
n=0
(6.16)
(6.17)
x ^ ^ ^ n ( n — l ) a n X ^ ̂ + a: n a n X ^ ̂ = 0 .
n=2 n=l n=0
Em seguida, escrevendo separadamente o primeiro termo a ix da segunda somatória, depois juntando esta 
somatória com a primeira, a equação anterior passa a ser
oo oo
a\x + ^ 0
n=2 n=0
oo oo oo
Agora observamos que ü j-2X̂ = an-2X^, de sorte que nossa equação anterior pode ser
n=0 j=2 n—2
escrita na forma seguinte:
a ix + '^{n?an + an-2)x^ = 0.
n=2
Como em situações anteriores, aqui também o teorema de unicidade da série de potências nos leva a concluir 
que os coeficientes de todas as potências de x devem ser nulos, donde
^n—2ai = 0, Cír>. — n = 2, 3, 4 , . . . (6.18)
Fazendo n — 2, 4, 6 , . . . nestas equações, determinamos os coeficientes de ordem par em termos do coeficiente 
ao'.
ao d2 ao
2̂ 22 *’ 2̂ 2 ̂ • 42 ’
ao
Em geral.
^2n ( -1 ) ”«0
U4
“ 62 ^ “ 2 . 42. 62’
( - l ) ” a o
(2 ■ 1)2(2-2)2(2-3)2. . . (2n)2 22"(n!)2'
Os coeficientes de ordem ímpar são todos nulos em virtude de a\ ser nulo e da relação de recorrência 
(6.18). Em virtude deste fato e de (6.19), a série (6.17) fica sendo
(-!)■
y{x) = «0 X !
n=0 22«(n!)‘
■X2n
Finalmente, fazendo oq = 1 e denotando y{x) por Jo(x), obtemos
■̂0(3;) =
(-1 ) ' ,2n
n=0 '' '
(6 .2 0 )
Esta é uma das funções de Bessel, conhecida como coeficiente de Bessel de ordem zero.
Como nos casos anteriores, devemos observar aqui que o procedimento usado é puramente formal; para 
legitimá-lo temos de calcular as derivadas primeira e segunda da função Jo{x), fazer as devidas substituições 
na equação diferencial (6.16) e verificar que ela fica satisfeita.
E importante observar que, contrariamente aos exemplos anteriores, a série que define Jo{x) em (6.20) 
não se identifica com nenhuma das funções elementares, algébricas ou transcendentes, na classificação ex­
plicada na p. 277 do Volume 1. A série em (6.20) define uma função Joix) inteiramente nova, uma função 
“transcendente mais alta” .
6.3 Modelos populacionais 119
Exercícios
1. Encontre a solução senwí da Eq. (6.11) pelo método de série de potências.
2. Utilize a solução geral (6.15) da Eq. (6.11) para determinar a solução particular satisfazendo condições iniciais 
dadas: a:(0) = xq e a;'(0) = x\.
3. Use o teste da razão para verificar que a série que define o coeficiente de Bessel em (6.20) converge absolutamente, 
qualquer que seja o valor de x.
4. Calcule as derivadas primeira e segunda da série em (6.20) e verifique que J q { x ) é realmente solução de(6.16). 
Sugestão: Ao fazer as substituições, observe que o termo x‘̂y{x) em (6.16) pode ser escrito, sucessivamente, nas 
seguintes formas:
En=0
^2n+2 ^ 2(n+l) \ ^ (_ l)n + l )̂] ̂ 2(n+l)
^2 2 ^(n !)2 ^ 22(«+i)[(n + l)!]222«(n!)^ 22n(^!)2 E
E 2%-(j!) -Ê 22’̂ (n!)
6.3 M odelos populacionais
O problema de valor inicial
p'{t) = kp{t), p{0)=po, (6.21)
que tem solução p{t) = poe~^^, é o modelo mais simples de crescimento populacional, já estudado na seção
9.3 do Volume 1. Ele foi usado por Thomas Robert Malthus (1766-1834) numa publicação de 1798, na qual 
ele previa um crescimento explosivo da população mundial, enquanto a produção de alimentos crescia a uma 
taxa muito inferior, e não atenderia às necessidades das futuras populações.
Esse modelo, muitas vezes chamado “modelo maltusiano” , é de utilidade para intervalos de tempo não 
muito grandes. No caso de populações humanas, tais intervalos de tempo significam algo da ordem de 
poucas dezenas de anos em tempos recentes, e muito mais há séculos. Isso porque as taxas de natalidade 
e mortalidade, bem como a produção de alimentos, têm sofrido mudanças trazidas pelo desenvolvimento 
tecnológico e por uma variedade de fatores de natureza cultural, que eram totalmente imprevisíveis no tempo 
de Malthus. No caso de populações de animais que reproduzem com rapidez, ou de bactérias, tais intervalos 
são muito menores.
O m o d e lo lo g ístico
Um modelo mais preciso que o maltusiano foi proposto em 1838 pelo matemático-biólogo holandês F. W. 
Verhulst (1804-1849). Para entender o raciocínio de Verhulst, notemos que a constante k que aparece 
em (6.21) é a diferença k = a — b, onde a é a constante de proporcionalidade que aparece na taxa de 
nascimentos ap{t), e ò a constante associada à taxa de mortalidade bp(t). Verhulst observou que, enquanto 
para valores pequenos da população b é constante, para valores maiores a taxa de mortalidade bp{t) deve ser 
substituída por uma nova função de p{t), de acordo com o seguinte raciocínio: com o aumento da população, 
a mortalidade aumenta em proporçãodireta ao número de encontros dos indivíduos. Ora, cada indivíduo 
pode encontrar p{t) — 1 outros indivíduos, número este que é praticamente igual a p{t), visto que p(t) é 
bastante grande. Em conseqüência, Verhulst substitui a taxa de mortalidade bp{t) pela expressão bp{t)“̂, e 
o problema de valor inicial (6.21) cede lugar ao problema
p' = ( a - bp)p, p(0) = Po- (6.22)
Verhulst chamou a equaçao diferencial que aí aparece de equação logística.
120 Capítulo 6 Equações diferenciais
P ropriedad es qualitativas
Um simples exame dessa equação, sem mesmo nos valermos da solução explícita, permite verificar algumas 
propriedades importantes de p{t), chamadas propriedades qualitativas da equação diferencial.
Para expor essas propriedades, começamos observando que o segundo membro de (6.22) se anula em 
p = 0 e p = a/b, valores estes que são soluções constantes da equação diferencial, pois, nesses valores, p' = 0. 
Estas soluções são chamadas de soluções de equilíbrio. Notemos agora que uma solução que se inicia com 
um valor inicial po no intervalo 0 < po < a/b faz o membro da direita em (6.22) ser inicialmente positivo; 
portanto, positiva também será a taxa de crescimento p'(t), e p(t) será crescente nesse intervalo. Se po > ajb., 
p'{t) será negativa, e p{t) será decrescente. Essas observações parecem indicar que qualquer solução com 
Po > 0 tenderá para a reta p = a/ò, como ilustra a Fig. 6.8. As soluções com 0 < po < a/b aproximam 
crescentemente essa reta à medida que o tempo cresce; e as soluções com po > a/b aproximam a reta de 
maneira decrescente. E justamente por causa desses fatos que po = a/b é chamada de “solução estável” : 
qualquer pequena mudança na condição inicial po = a/ò faz com que a solução tenda a voltar a esse valor. 
Já a solução po — 0 é dita “instável” porque qualquer pequeno afastamento dela provoca uma solução que 
tende a se afastar sempre mais.
A procura da solução exp líc ita
Mas, para provar isso vamos achar a, solução explícita do problema. Para isso, escrevemos a equação 
diferencial em (6.22) na forma
| = (a -6 p )p , donde | = 1.
Seja A = A(p) uma primitiva qualquer de l/{a — bp)p, de sorte que a equação anterior assume a forma
dA dp ̂
dp dt ’
ou ainda, pela regra da cadeia para derivação, dA/dp = 1; portanto, integrando esta equação, encontramos
A (p ( í) )= t + c, (6.23)
onde c é uma constante de integração.
Vemos assim que o problema se resume em achar a função A(p), primitiva de l / ( a —òp)p. Isto se consegue 
pelo método de decomposição em frações simples, explicado na p. 279 do Volume 1: devemos determinar os 
coeficientes a e P tais que
1 a P
---------------------------------= — -̂---------------------— .
(a — bp)p p a — bp
6.3 Modelos populacionais 121
Eliminando os denominadores, obtemos
Portanto,
Podemos agora
(ao: — 1) + (/3 — òo;)p = 0, donde a = l /a e (3 = h/a.
1 / I
(a — hp)p a \ p p — a/b 
efetuar a integração para encontrar A{p):
M p ) = í - ( - ------- d p = - [ ln p - ln ( p - a/b)] = i InJ a \p p — a /b j a a
P
p — a/b
Substituindo esta expressão em (6.23), multiplicando ambos os membros por a e tomando exponenciais, 
obtemos
p — a/b
onde C é novamente uma constante; seu valor é obtido fazendo t — 0 e lembrando da condição inicial
p{0) ^ Po:
C = Po
Po - a /b '
Da equação anterior obtemos a solução p = pif):
C e^\a/b)
P =
a/b
(7 e a í_ i l - e - ^ y C
Substituindo o valor de C e simplificando, encontramos, finalmente,
a
P = b - [ b - {a/po)]e ' (6.24)
Vejamos o que esta fórmula nos revela sobre a solução do problema (6.22). Os pontos p = 0 e p = a/6, 
que anulam o membro da direita na equação diferencial, são chamados de pontos de equilíbrio. Esses valores 
são soluções constantes do problema (6.22). Se po > a/b, p(t) permanecerá sempre maior que a/b e tenderá 
rapidamente para este valor devido à função exponencial; se po < a/b, p(t) permanecerá sempre menor que 
a/b, novamente tendendo rapidamente para este valor. E se po = a/b, a solução será constante. Dizemos 
que p = a/b é um ponto de equilíbrio estável, justamente porque qualquer outra solução que se inicie 
positivamente, acima ou abaixo de a/b, tende assintoticamente para esta solução com t ̂ oo. Já o valor 
p = 0 é um ponto de equilíbrio instável, pois qualquer solução que se inicie acima ou abaixo de po = 0 se 
afasta desta solução com o crescer do tempo (Fig. 6.8). (Existem casos em que o equilíbrio é semi-estável, 
as soluções tendendo à solução de equilíbrio de um lado e se afastando do outro lado.)
Os dois modelos populacionais aqui examinados têm sido de utilidade aos demógrafos. E claro que esses 
modelos têm limitações, e não são adequados a todas as situações. Assim, o modelo de Malthus certamente 
só pode ser válido para intervalos limitados do tempo. Já o modelo logístico tem em si embutido um 
.mecanismo de controle: a população se estabiliza em torno do valor a/b, comece ela abaixo ou acima desse 
valor, fato esse que é de grande significado demográfico.
A sp ectos qu alitativos da solução
Por muito tempo, desde que os matemáticos começaram a lidar com equações diferenciais no final do século 
XVII, até meados do século XIX, o esforço maior era resolver problemas e encontrar soluções explícitas, seja 
na forma de funções já conhecidas, seja na forma de novas funções, definidas por séries ou integrais, cujas 
propriedades eram então estudadas.
122 Capítulo 6 Equações diferenciais
Mas, como já dissemos, pouquíssimas equações admitem soluções em termos de funções conhecidas. Por 
exemplo, um dos grandes problemas do século XVIII — e que continua a ser estudado até os dias de hoje 
— é o de descrever matematicamente os movimentos dos planetas em volta do Sol. Foi só no século passado 
que alguém produziu a solução explícita desse problema, uma solução quase esquecida por ser praticamente 
inútil. O que queremos dizer com isso é que o que interessa num problema nem sempre é uma função 
explícita, dada por uma fórmula, uma série ou uma integral; o que interessa mesmo é o conhecimento das 
propriedades da solução. E foi só a partir das últimas décadas do século XIX que os matemáticos passaram 
a concentrar seus esforços no estudo das propriedades das soluções, dando origem ao que é conhecido como 
teoria qualitativa das equações diferenciais.
Já comentamos em subseção anterior (p. 120) alguns fatos qualitativos do problema (6.22). Vamos obter 
agora novas propriedades qualitativas, diretamente da equação diferencial, sem utilizar a fórmula explícita 
(6.24).
Derivando a Eq. (6.22) e substituindo p' dada na própria Eq. (6.22), obtemos
p” = ap' — 2bpp' = {a — 2bp)p' — (a — 2bp){a — bp)p.
Isso mostra que p” é positiva em 0 < p < a/2ò, negativa em a/2b < p < a/b, e novamente positiva em p > a/b. 
Pelo que vimos na p. 219 do Volume 1, uma função com derivada segunda positiva tem concavidade voltada 
para cima; diz-se que ela é uma função convexa-, e se essa derivada for negativa, a concavidade estará voltada 
para baixo, e diz-se tratar-se de uma função côncava. Em conseqüência, a análise que acabamos de fazer da 
derivada segunda p" em função de p revela que p{t) é convexa enquanto maior que zero e menor que a /2b, 
e também quando maior que a/b-, e côncava enquanto no intervalo {a/2b, a/b). Essas observações mostram 
também que po = 0 é instável e po = a/b, estável. A Fig. 6.9 ilustra esses fatos com várias soluções do 
problema (6.22), utilizando os valores a = ò = 0, 8.
Figura 6.9
Uma curva que se inicia abaixo de p = a/2ò muda sua inflexão no ponto onde po = a/2b, passando de 
convexa a côncava. Ela é chamada de “curva S” , justamente por ter o formato de um “S” . Observe que 
essa mudança de concavidade ocorre exatamente quando a população atinge valor igual à metade do valor 
de estabilização a/b. Isso é importante porque se a população for observada após ter passado seu ponto de 
inflexão, então pode-se prever, ao menos aproximadamente, seu valor de estabilização.
M aisum m od elo populacional
Vamos considerar agora o seguinte problema:
p' = {ap - b)p, P(0) =Po, (6.25)
6.4 Notas históricas 123
Compare este modelo com o modelo logístico (6.22) e veja a diferença: agora a taxa de natalidade ap^ 
é proporcional a isto é, ao número de encontros entre indivíduos, enquanto a taxa de mortalidade é 
proporcional a p. Isso acontece quando estamos lidando com uma espécie animal cujos indivíduos estão 
distribuídos muito esparsamente em uma extensa região, onde não falta alimento e outras condições de 
sobrevivência. A taxa de natalidade passa então a depender das possibilidades de encontro entre indivíduos. 
A taxa de mortalidade, por sua vez, não sendo ameaçada por condições de sobrevivência, passa a ser 
proporcional ao número total de indivíduos da população. Encontramos exemplos dessa situação em muitos 
animais em perigo de extinção, como a arara-azul, o mico-leão-dourado, o panda, etc.
Como a análise deste modelo é muito parecida com a do modelo logístico, vamos deixar ao leitor a 
tarefa de fazer os cálculos e verificar os resultados que resumimos a seguir. Como no problema anterior, a 
derivada segunda p" é positiva nos intervalos 0 < p < b/2a e p > h/a, e negativa no intervalo [ò/2a, b/a\. 
Quanto à derivada primeira, temos que p ' < 0 em 0 < p < ò/a, e p ' > 0 em p > b/a. Isso significa que 
estável agora é a solução identicamente nula, e instável, a solução p = b/a. (Veja a Fig. 6.10.) Em outras 
palavras, se a população inicial for inferior a b/a, essa população tenderá necessariamente à extinção. O 
ponto onde qualquer curva-solução cruzar a reta p = b/2a será o seu ponto de inflexão.
Exercícios
1. Calcule a derivada segunda p"{t) referente ao problema (6.25), e verifique seus sinais nos intervalos indicados no 
texto anterior. Comprove as propriedades mencionadas dessas curvas.
bpo -. Verifique, a partir dessa2. Encontre a solução explícita do problema (6.25) na forma p(t) = — ,, , .
a p o + { b - ap o)e“*
solução, a validade das propriedades qualitativas mencionadas na última subseção. Comprove também que as 
soluções que se iniciam abaixo de pç, = b / a tendem assintoticamente à extinção com rapidez exponencial.
Nos Exercícios 3 a 6, determine os pontos de equilíbrio, classiíique-os segundo a estabilidade e descreva o aspecto das 
soluções de cada uma das equações dadas.
3. p' = ap + bp̂ 4. p' = p{p — l)(p — 2). 5. p' = — 1, a > 0. 6. p' = e — 1, o > 0.
6.4 Notas históricas
A s equações diferenciais e a E cologia
Vimos que o primeiro modelo matemático de crescimento populacional — também o mais simples e rudimentar — 
foi o modelo maltusiano. Veio depois o modelo logístico, incorporando previsões de estabilização do crescimento das
124 Capítulo 6 Equações diferenciais
populações, e muitos outros mais.
Afora esses modelos, que contemplam uma única população, hoje em dia é de grande interesse o estudo das 
variações populacionais de várias espécies que convivem num mesmo ambiente, algumas disputando entre si pelos 
mesmos recursos alimentares, ao mesmo tempo em que há espécies devorando outras que lhes servem de alimento.
Estudos matemáticos contemplando mais de uma espécie animal começaram a ser feitos após a Primeira Grande 
Guerra Mundial, primeiro envolvendo apenas duas espécies, sendo uma predadora da outra e esta a presa da primeira. 
O primeiro problema prático que motivou esse tipo de estudo ocorreu no Mar Adriático, onde a pesca havia sofrido 
diminuição significativa no período da guerra. Estudando as variações das quantidades de peixes pescados nos vários 
anos, desde o início da guerra, até bem depois de seu término, os biólogos tiveram dificuldades em explicar por que 
elas ocorriam; em particular, por que a população de certo tipo de predador havia passado por significativo aumento. 
Chamado a estudar o fenômeno, o então eminente matemático italiano Vito Volterra (1860-1940) publicou em 1926 
um modelo matemático explicando as variações populacionais de duas espécies que interagem, uma como predadora 
da outra. Esse modelo ficou conhecido pelo nome de modelo presa-predador de Lotka-Volterra?
O modelo de Lotka-Volterra envolve duas espécies, cujas populações denotaremos por P{t) ep(í), respectivamente 
predador e presa. Sem descer a detalhes, vamos apenas mencionar as equações diferenciais
p' — {a — hP)p e P' — {cp — d)P, (6.26)
onde a, b, c e d são constantes.
Como se vê, trata-se de um sistema envolvendo duas funções incógnitas. Sem entrar em maiores detalhes, vamos 
considerar alguns aspectos qualitativos interessantes das soluções. Para isso, representamos as funções p{t) e P{t) 
nos eixos horizontal e vertical, respectivamente. Em cada ponto (p, P) podemos marcar uma direção (p', P'), de 
componentes dadas pelos segundos membros das Eqs. (6.26). Com auxílio do computador, construímos o campo de 
direções (Fig. 6.11), bem como as curvas-soluções (Fig. 6.12) de nossas equações.
Figura 6.11
Um fato importante a ser notado logo de início é que as soluções são curvas fechadas, o que equivale a dizer que 
p(í) e P{t) são funções periódicas. Assim, partindo de um certo instante inicial, decorrido um certo tempo T, essas 
funções voltam a seus valores iniciais. Isso significa que as populações crescem e diminuem periodicamente, passando 
pelos mesmos valores.
Outra coisa importante a notar é que o ponto (p(í), P{t)) percorre sua curva-solução no sentido anti-horário. 
Vejamos o que isto significa em termos de duas espécies predador e presa. Começando num ponto Pq, como ilustra 
a Fig. 6.12, as duas populações vão aumentando, até que a população de presas atinge um valor máximo em Pi e 
começa a diminuir. Agora há tantos predadores que eles estão competindo entre si pelas presas disponíveis. Essa 
competição faz com que, após atingir um valor máximo em P2, a população de predadores também comece a diminuir. 
Mas a predação continua diminuindo a população de presas até um ponto P3, quando já há tão poucos predadores 
que a situação passa a ser favorável às presas. Estas passam agora a aumentar em número, enquanto os predadores 
continuam diminuindo, até que o ponto Pq seja alcançado, e o ciclo volta a se repetir.
Um outro aspecto qualitativo importante pode ser visto considerando apenas duas curvas-soluções, como ilustra a 
Fig. 6.13. Para fixar as idéias, vamos supor que o predador e a presa sejam duas espécies de peixe, digamos, tucunaré 
e tilápia, convivendo num lago. Por paradoxal que possa parecer, a pesca às vezes pode ser benéfica no sentido de
^Nessa mesma época, e independentemente de Volterra, Alfred Lotka (1880-1949) propôs o mesmo modelo. Em 1924 ele 
publicou um livro, atualmente impresso pela Editora Dover, que é considerado o primeiro livro de Biologia matemática.
6.4 Notas históricas 125
aumentar a população do predador tucunaré. Por exemplo, a pesca realizada num momento em que as populações 
são as coordenadas de um ponto como A na Fig. 6.13 baixa a população F(t) para o ponto B, mas isso tem a virtude 
de aumentar essa população do ponto C para o ponto D.
Figura 6.13
Com a conscientização que vem crescendo bastante, desde aproximadamente 1960, a respeito dos problemas 
ecológicos e a necessidade de preservação do meio ambiente, cresceu também o interesse pelo tratamento matemático 
do equilíbrio das espécies — não somente animais, mas também espécies vegetais. Hoje é enorme a quantidade de tra­
balhos publicados sobre esse assunto, que conta com periódicos matemáticos direcionados exclusivamente a problemas 
ecológicos.
A s equações diferenciais e o s istem a solar
Como já observamos no início do capítulo, as equações diferenciais começaram a surgir no final do século XVII. O nome 
“equação diferencial” aparece, pela primeira vez, numa publicação de Leibniz de 1676; e a partir de então as equações 
diferenciais vão ocorrendo naturalmente em questões ligadas aos mais variados domínios da Física e da Astronomia.
Um dos grandes problemas dessa época foi o estudo do movimento dos corposcelestes do sistema solar. A partir 
da lei da gravitação de Newton tornava-se possível provar as leis de Kepler, em particular a 1- lei, que diz que as 
órbitas dos planetas são elípticas. Acontece que esta lei só é válida aproximadamente, pois cada planeta sofre atrações 
gravitacionais de todos os outros, não apenas do Sol. Por outro lado, a demonstração da 1- lei não levava em conta 
senão a interação mútua entre o Sol e um único planeta. Como se vê, uma descrição precisa do movimento de um 
planeta teria de levar em conta as interações gravitacionais com todos os demais planetas e satélites, não apenas a 
atração do Sol. Newton tinha plena consciência da complexidade do movimento de todos os planetas do sistema solar, 
e até considerava que deveria haver periodicamente uma intervenção divina para corrigir configurações perigosas que 
pudessem provocar colisões catastróficas.
Como muitos outros problemas da ciência aplicada, o estudo do movimento planetário é feito no contexto das 
equações diferenciais, como passamos a explicar. Seja N o número de planetas. Para caracterizar suas posições, 
escolhe-se um sistema Oxyz de três eixos de coordenadas ortogonais com origem no Sol. Assim, a posição do primeiro
126 Capítulo 6 Equações diferenciais
planeta é dada por um vetor que vai da origem do sistema ao planeta; e tal vetor possui três coordenadas que são 
funções do tempo, digamos, x\ = xi(t), X2 = X2 (t) 6 X3 = X3 (t). Sobre esse planeta atuam forças de atração devidas 
ao Sol e a todos os demais planetas, segundo a lei da gravitação de Newton. Essas forças são funções das posições de 
todos os planetas. A resultante delas é uma força de componentes fi, f 2 ̂ f 3- O segundo planeta terá sua posição 
caracterizada por três outras funções, digamos, X4 — 0:4(í), X3 = Xs{t) e xq = XQ{t). E este planeta também está 
sujeito a uma força de componentes / 4, /s e /e- E assim por diante, até chegarmos ao último planeta, cuja posição é 
também dada por três funções Xn-2 = Xn-2{t), a^n-i == e Xn — Xn{t), onde n — SN. Sejam /n - 2, fn -i e /n as
componentes da força que atua nesse último planeta. As forças que atuam sobre os planetas são funções conhecidas 
das posições deles, de forma que
f l fli,Xl-) X2t • ■ • ) Í2 f2Í,X\f 3̂ 2? 1)5 • • • 5 fn — /n(3^l5 X 2, ■ ■ ■ ■) Xj
Vamos agora escrever as equações dos movimentos dos planetas, utilizando a 2- lei do movimento: a massa vezes 
a aceleração é igual à força. Para simplificar a notação, dividimos as componentes das forças pela massa do planeta a 
elas correspondente. Ainda por simplicidade, continuamos a denotar os resultados por / i , / 2, . . . , /^. Então, a referida 
2- lei do movimento, aplicada a cada planeta, resulta no seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias:
d‘̂ xi d?X2 » , s (^Xn _ , , s
j \ (3^1) X 2 } ■ • • ? X f i ) , j 2 \X'[ , 3 2̂ ? • • ■ 5 X f i ) , ■ • • 1 ^^2 J n \ X \ i X 2 :••••> X j i j .dt'̂ dt"̂
(6.27)
O problema agora é resolver esse sistema para encontrar as funções x\ = 3:1 (í), X2 = X2{t),... ,Xn — Xn{t). Para 
garantir que esse problema tenha uma única solução, temos de prescrever os valores iniciais das coordenadas, isto é, 
3̂ 1 (0), 3:2(0) , . . . , 3:^(0). Mas isso ainda não basta; temos de prescrever também as velocidades iniciais de cada planeta, 
ou seja, prescrever os valores 3:j(0), 3̂2(0) ,. . . ,3:( (̂0). Isso é razoável, visto que o movimento de um ponto material 
sob a ação de uma dada força fica completamente determinado quando se prescrevem sua posição e sua velocidade 
iniciais.
Resolver o sistema (6.27) é uma tarefa que se tem revelado impossível, desde sua formulação há mais de trezentos 
anos. No entanto, desde essa época até os dias de hoje, o que se tem visto é uma intensa atividade no estudo do 
problema, que é conhecido como o problema de n corpos.
Independentemente disso, o simples fato de se ter podido formular matematicamente o problema do movimento 
dos planetas do sistema solar na forma de um sistema de equações diferenciais, prevendo que o movimento de cada 
um desses planetas ficava completamente determinado pelas suas posições e velocidades iniciais, teve conseqüências 
profundas, científicas e filosóficas. A idéia de que o mundo dos fenômenos era inteiramente determinista ganhava força 
com a comprovação de que o sistema solar como um todo seguia uma trajetória completamente determinada pelas 
condições iniciais num certo instante. Assim, o Cálculo, através de sucessos como esse na Mecânica Celeste, teve 
influência marcante no pensamento iluminista do século XVIII.
Cientificamente, surgiam vários problemas. Um deles era o de saber se a configuração dos corpos celestes estava 
resguardada de colisões catastróficas. Outro problema, muito próximo deste, era o de saber se o sistema solar voltaria 
a uma configuração inicial, vale dizer, se as n funções X i(t) (i = 1, 2 ,... ,n), que formam uma solução do sistema de 
equações diferenciais (6.27), seriam periódicas. Esses e muitos outros problemas correlatos começaram a ser investiga­
dos desde muito cedo. E essas investigações iam levantando outros questionamentos, e também focalizando problemas 
antigos sob pontos de vista novos. Todo o século XVIII ficou marcado por uma interação íntima entre a Ciência 
Aplicada e a Matemática, ora a primeira fornecendo problemas à segunda, ora a Matemática contribuindo com novos 
métodos de tratamento das questões aplicadas. E, do lado da Matemática, o Cálculo foi a disciplina mais influente, 
mesmo para levar ao desenvolvimento de outras disciplinas matemáticas.
O problem a dos n corpos
A resolução explícita do sistema de equações diferenciais (6.27) — conhecido como o problema dos n corpos — é 
uma impossibilidade, como se constatou desde muito cedo. Em vista disso, os astrônomos e matemáticos passaram a 
estudar casos particulares desse problema. O caso envolvendo apenas dois corpos (por exemplo, o Sol e um planeta) 
é relativamente simples e pode ser resolvido por completo. Prova-se, então, que cada um dos corpos descreve uma 
órbita elíptica em volta do centro de massa dos dois. Esta é uma forma bem melhorada da chamada 1- lei de Kepler.
Quando consideramos um corpo a mais caímos no chamado problema de três corpos, que já é um desafio imenso. 
Esse problema é de grande interesse para se compreender o movimento da Lua em torno da Terra, que apresenta 
muitas irregularidades devidas à atração do Sol sobre o planeta e seu satélite. E um problema que tem sido estudado 
de diferentes maneiras e sob vários pontos de vista desde o início do século XVIII.
Dentre os muitos matemáticos que contribuíram significativamente para o estudo do problema dos três corpos.
6.4 Notas históricas 127
vale mencionar Jules Henri Poincaré (1854-1912) que, ao lado de David Hilbert (1862-1943), é considerado um dos 
dois maiores matemáticos do século XX. Poincaré publicou uma série de trabalhos notáveis e iniciou métodos novos 
de ataque do problema. E para isso criou várias novas disciplinas matemáticas, que teriam um alcance muito além 
dos interesses restritos de uma questão particular da Mecânica Celeste. Referimos o leitor interessado a um valioso 
artigo de um dos eminentes pesquisadores da área.^
E stu d o lo ca l e g lo b a l das eq u a çõ es d iferen c ia is
Os problemas da Mecânica Celeste formam apenas uma classe de problemas que dá origem a equações diferenciais. 
Muitas outras questões no âmbito da própria Matemática e das disciplinas aplicadas, sobretudo da Física, foram sendo 
formuladas naturalmente em termos de equações diferenciais, a ponto de essas equações serem reconhecidas como um 
dos instrumentos mais importantes da Matemática. De início o estudo das equações diferenciais visava encontrar 
soluções em termos de funções conhecidas, mas como isso era a exceção e não a regra, os matemáticos logo perceberam 
que tinham de encontrar outras maneiras de estudar propriedades das soluções. O método de desenvolvimento das 
soluções em séries de potências foi um expedienteque conduzia à criação de funções novas; mas também tem suas 
limitações, sendo aplicável apenas a uma classe muito restrita de equações.
Outro procedimento que foi sendo adotado progressivamente era o de estudar as propriedades das soluções, sem 
a preocupação de obter-lhes fórmulas explícitas. Isso já é visível nos trabalhos de Euler e seus contemporâneos, por 
volta de 1730, como ilustra o método da “poligonal de Euler”, que esboçamos sucintamente com referência às Figs. 6.3 
e 6.4. Estudos norteados por essa linha de pensamento tiveram grande sucesso na obtenção de resultados importantes 
sobre o comportamento das soluções nas vizinhanças de um dado ponto; é o que se chama estudo local das soluções.
Foi a partir de 1880, aproximadamente, que surgiu a chamada teoria qualitativa, com os estudos de Poincaré. 
Embora Poincaré sempre estivesse preocupado com os problemas do sistema solar, seus estudos tiveram um alcance 
muito além desse domínio, como já falamos há pouco. Aliás, essa teoria é perfeitamente adequada às necessidades 
dos problemas populacionais — e dos problemas de Ecologia, de um modo geral — como já tivemos oportunidade de 
indicar no correr do capítulo. E como pudemos ver nos poucos exemplos ilustrativos que demos, a teoria qualitativa 
está direcionada ao estudo global das soluções, em contraposição ao estudo local a que nos referimos anteriormente.
Hoje em dia, com ajuda do computador, o estudo do comportamento global das soluções de certas equações 
diferenciais tornou-se bastante facilitado. Mas, é preciso uma palavra de cautela: o computador não dispensa o 
desenvolvimento das teorias matemáticas, que continua sendo feito à maneira antiga. São essas teorias — iniciadas 
desde os tempos de Euler — que fundamentam e justificam os procedimentos computacionais, não o contrário.
Ĵünger Moser, O sistema solar é estável?, Revista Matemática Universitária, dezembro de 1989.
Capítulo 7
Limites e integrais impróprias
Até agora, desde o início do nosso estudo no Volume 1, o conceito de limite de funções tem sido utilizado apenas 
no seu aspecto intuitivo e com ênfase nas interpretações geométricas. Mas, no seu atual estágio de aprendizado, 
o leitor já teve oportunidade de se familiarizar o suficiente com os conceitos e métodos do Cálculo para bem 
compreender o significado e alcance da definição precisa de limite de funções. Ademais, já lidamos com esse 
conceito nos Capítulos 3 e 4, no caso de seqüências numéricas e séries infinitas; e agora é chegado o momento 
oportuno de considerar essas idéias no caso das funções.
Por conveniências didáticas, começaremos com limites de funções no infinito, aproveitando assim a analogia 
com limites de seqüências numéricas. Daremos a definição de limite e a utilizaremos num estudo mais completo 
das integrais impróprias, que foi apenas iniciado na Seção 10.4 do Volume 1.
7.1 Limite de uma função no infinito
A definição de limite de uma função f{x), com x —̂ +oo, é inteiramente análoga à definição de limite de 
uma seqüência, dada na p. 53: a função f{x) é convergente com x —̂ oo se, à medida que x cresce, o número 
f{x ) vai-se tornando cada vez mais próximo de um certo número L, chamado de limite de f . Daí a seguinte
D efinição. Diz-se que uma função f{x) tem limite L com x —̂ -t-oo se, dado qualquer número e > 0, 
for sempre possível encontrar um número R tal que
X > R=^ \ f{x) — L\ < €. (7.1)
Escreve-se
lim f{x ) = L ou mesmo lim f{x) = L.X—>-|-oo x—̂oo
Observe, nessa definição, que o número R é encontrado depois de dado o número e. Isto é o mesmo 
que ocorre no caso de uma seqüência que converge para um certo número L; como vimos nos exemplos 
subseqüentes à definição da p. 53, primeiro prescrevemos o número e > 0 para depois determinar N 
adequado ao de maneira a satisfazer a condição n > N |a„ — L| < e.
Na definição anterior, quanto menor for s, tanto mais rigorosos estaremos sendo quanto à proximidade 
entre f{x) e L. Assim, se tivermos encontrado um R para um dado e, e se mudarmos para um certo e' < e, 
é concebível que seja preciso aumentar R para um certo R' > R de forma a satisfazer à condição (7.1) com 
e' e R '. Isto está bem ilustrado no seguinte
E xem plo 1. A função
f{x) = L +
senx
128
7.1 Limite de uma função no infinito 129
converge para L com x —> +oo. De fato, sendo x > 0,
Ora,
, „, , ^ , I senxl 1
1 1
— < € 4=̂ X > - , 
X 6
(7.2)
(7.3)
de sorte que a condição (7.1) se verifica com R = \je . Observe, entretanto, que se diminuirmos e para um 
certo e', devemos aumentar R para um certo i?', de forma que a condição (7.1) permaneça verdadeira. (Veja 
a Fig. 7.1.)
Figura 7.1
Convém enfatizar que a implicação em (7.1) é num sentido único, como no caso de seqüências, conforme 
vimos nos exemplos da Seção 3.3, especialmente o Exemplo 2 (p. 55). Só em casos muito simples, como em
(7.3), é que conseguimos uma equivalência. Isso ocorre porque, embora desejemos transformar a desigualdade 
\f{x) — L\ < e na condição x > R, em geral é difícil resolver essa desigualdade em relação a x. Por isso 
costumamos primeiro transformar a expressão \f{x) — L\ em outra mais simples, à custa de desigualdades, 
como em (7.2), para depois incluir o número e. Esse procedimento, em geral, elimina a possibilidade da 
implicação inversa em (7.1).
A definição de que f{x) —> L com x —̂ — oo é inteiramente análoga à definição anterior: diz-se que f{x) 
tem limite L com x —̂ —oo se, dado qualquer e > 0, for sempre possível encontrar um número R tal que
X < R=^ \ f (x) — L\ < e.
Do mesmo modo, as definições de
lim f{x) = +(X),X— »-+oo lim f{x) = —(X),X—̂+CX)
lim f{x) = + 00, lim f{x) = —oo,X— >■ — oo X— >■ — oo
são formuladas de maneira semelhante, não oferecem maior dificuldade e ficam a cargo do leitor.
(7.4)
(7.5)
130 Capítulo 7 Limites e integrais impróprias
Os três exemplos seguintes são, em tudo, semelhantes aos da Seção 3.3, por isso mesmo não serão 
analisados em detalhe. O leitor deve estudar cada um deles à luz dos exemplos correspondentes daquela 
seção, relendo as observações então feitas.
E xem plo 2. Em analogia com o Exemplo 2 da Seção 3.3, vamos provar que
X
Para isso, basta notar que
X
- 1
limX̂ QO X + 12 
12 12
< e ^ x > ------12.
X + 12 sX + 12
Exem plo 3. Este exemplo é praticamente o mesmo Exemplo 3 da Seção 3.3. Queremos provar que,
sendo a um número positivo menor do que 1, a função tende a 0 com x —̂ oo. Temos (lembre-se de que
Ina < 0)
0 < a^< e< í4> a:lna< ln£ :< í= »x>
Ine
Ina
Exem plo 4. Vamos provar que
lim
x^ + cos^ X = oo.
Sx + 10
Desta vez, por se tra ta r de um exemplo um pouco mais complicado que os dois anteriores, vamos pratica­
mente repetir o que foi dito no exemplo correspondente da Seção 3.3, com as adaptações ao caso presente. 
Queremos mostrar que, dado qualquer número K, é possível encontrar R tal que
X > R
x^ -1- COŜ X 
Sx -f 10
> K .
Desta vez, se tentarmos resolver esta última inequação para achar R em função de K, vamos ter dificul­
dades insuperáveis, principalmente por causa da presença de cos^ x. No entanto, podemos escrever
-1- cos^ X 
3x + 10
> x^
3x + 10
Seria conveniente que não houvesse esse 10 no denominador. Podemos substituí-lo por x, desde que nos 
restrinjamos a a: > 10, o que é perfeitamente aceitável, já que vamos fazer x —̂ +oo; e assim procedendo 
estaremos diminuindo a fração. Portanto,
X > ^ ^
3a: + 10 ~ 4a; 4
Agora que chegamos a uma expressão mais simples, fica fácil resolver a desigualdade com o K:
- > K ^ x > A K .
4
Tomando, então, R como o maior dos números 10 e 4X, podemos escrever
X > R
x^ -f COŜ X
3x + 10
> K ,
que é o resultado desejado.
Se a utilidade da definição de limite fosse apenas a de provar, diretamente, em cada caso concreto, que o 
limite é um determinado número, previamente conhecido, essa definição seria frustrante. Mas não é assim; 
uma de suas utilidades é exatamente a de abrir caminhos mais fáceis para cálculos complicados, além de
7.1 Limitede uma função no infinito 131
muitas outras aplicações teóricas. Por exemplo, no Volume 1, já calculamos vários limites com o seguinte 
procedimento:
, 2x — sen a: 
lim ---------- — = lim 2 - (sena:)/a: _ lim[2 — (sena:)/a:] _ 2 - lim(senx)/a:
x-^±oo COS a: — 3x a;^±co (cosa:)/a: — 3 lim[(cosa:)/a: — 3] lim[(cosa:)/a:] — 3]
Em cálculos como esse, estamos aplicando as propriedades contidas no teorema que enunciamos a seguir, e 
cuja demonstração está embasada na definição de limite.
Teorema. Sejam f e g duas funções definidas num semi-eixo x > xq, tendo limites F e G, respectiva­
mente, com a: —> (X). Então, f -\- g, fg e (kf), onde k uma constante qualquer, são funções convergentes, 
além do que,
a) lim^^oo[/(a;) + g(x)\ = lima;-^oo f{x) + linia^^oo g{x) = F + G;
b) lima;-^oo kf{x) = kliuix^oc f i^ ) = kF; em particular, k = —1 nos dá \imx^oo[—f (x)] -- —F;
c) \imx-^oolfix)g{x)] = lim^-^oo f{x) • lim^^oo^(a:) = FG.
d) se, além das hipóteses acima, G ^ 0 , então existe o limite de f /gn, igual a F/G .
Esse teorema é inteiramente análogo ao da p. 63 para seqüências. A demonstração também é praticamente 
a mesma, com pequenas adaptações que o leitor deve fazer como exercício.
Exercícios
1. Enuncie as definições de limite correspondentes às quatro igualdades em (7.4) e (7.5).
2. Demonstre o último teorema enunciado no texto. Faça as adaptações desse teorema aos outros casos do limite: 
com X —> —oo e com valores dboo como em (7.4) e (7.5).
Em cada um dos Exercícios 3 a 6, utilize a definição de limite para estabelecer os limites indicados.
3. lim — = 0.
x —^oo
4. lim = 0.
X — >-00 yjx 5. lim ^ = 3.X—>--oo 2a: + 3
 ̂ 3n -f 2o. lim ---- = oo.X—̂OO y jn -f 1
Em cada um dos Exercícios 7 a 26, calcule o limite proposto.
7. lim 2a: + ^/x
10. lim
x ^ o o X — COS X 
1 + x^/x
13. lim
oo ^ J x — 3
1 — a:̂
16. lim
-oo 3 +
+ a: — In a:
19. lim
x-̂ oo In a: — 3a: -f 2ê 
Ina: + 2
22. lim
oo 2 — 3 In X 
Inx
x->oo 1 + Inlnx
2x ̂— X -f 125. limX—>— oo — 4x^
8. lim sen X — 3xi/x
X — >^oo COS X -f- 5x^
sen X +11. lim
14. lim
x - y - o o 2 + COSX 
3x ̂— x^/x
oo 4x^ + X — i/x
17. lim X — e-oo e* + e'
I n y ^ —120. hm
23. lim
oo 1 — 3 In X 
In \Zx ̂+ 1
26. lim
X — +00 1 -|- X̂
— y/x
oo y f x — 3^
9. lim 1 + X + 3x^
12. lim
X—>--oo 1 — 7x + 2x ̂
Inx
15. lim
x->oo 1 + Inx
y/x + Inx
x—yoo -y/xlnx — 1 
e® — 2e~^18. limx—y—oo e ̂— e®
1 — ln(l — x)21. lim
X — ► — OO
24. lim
X — 1
x\/2 — X — In |x|
X—>̂-oo cosx —3x
132 Capítulo 7 Limites e integrais impróprias
Sugestões
5. 6x + 1
2x + 3 \2x - 3| . Sendo a: < 0, \2x - 3| = |2|a:;| -f 3 > 2|rr|; logo, |2 x -3 | larl’
3n -|- 2
6. ^ --- r > 3n 3n> — etc.-\/ri + 1 ^/n + 1 2y/n
7.2 Integrais impróprias — intervalo ilim itado
As integrais impróprias foram introduzidas na Seção 10.4 do Volume 1, onde consideramos apenas aquelas 
cujas primitivas podiam ser calculadas explicitamente. No entanto, muitas situações mais gerais que essas 
ocorrem na prática, em que a integração em termos de funções conhecidas é impossível, sendo, contudo, 
necessário saber se a integral considerada converge ou não.
Para tra tar esse problema vamos primeiro demonstrar, com base na definição de limite e no princípio do 
supremo, um teorema para funções, inteiramente análogo ao teorema da p. 67 para seqüências. Para isso 
vamos recordar a definição de função não-decrescente. As noções de função crescente e função decrescente 
foram introduzidas na Seção 5.4 do Volume 1. Diz-se que / e não-decrescente em seu domínio de definição 
D se
xi, X2 em D, x i < X 2 ^ f{xi) < f { x 2),
e não-crescente se f {xi ) > f { x 2). As funções crescente, decrescente, não-crescente e não-decrescente são 
chamadas funções monótonas.
T eorem a. Seja f{x) uma função não-decrescente e limitada superiormente num semi-eixo x > a. 
Então, f{x) converge para seu supremo com x —> -Hoo.
Demonstração. Como o conjunto F = { f { x ) : a: > a} é limitado superiormente, ele possui supremo S. 
A demonstração de que f{x) S com x —̂ oo é a mesma do teorema da p. 67: dado qualquer e > 0, como 
S é a menor cota superior de F, S — e iá não é cota superior desse conjunto, donde segue-se que existe um 
certo R > a t a l que f {R) > S — s. Mas, como / é não-decrescente, para todo x > R teremos
isto é.
S - e < f (R) < f (x) < S- logo, 0 < 5 - f (x) < e, 
X > R=^ \ f{x) — /SI < £,
o que completa a demonstração.
O teorema anterior tem uma aplicação imediata na demonstração do seguinte 
T eorem a. Sejam f e g funções continuas no semi-eixo x > a. Se
roo
0 < f{x) < g(x) e / g{x)dx
J a
converge, então também converge a integral imprópria de f , isto é,
roo
/ f {x)dx < oo.
J a
Por outro lado, se pOO
0 < f{x) < g{x) e / f {x)dx
J a
7.2 Integrais impróprias — intervalo ilimitado 133
diverge, então também diverge a integral de g:
f g{x)dx — oo.
Demonstração. As funções
F{x) = í f{t)dt e G{x) = í g{t)dt 
J a J a
são não-decrescentes em (a, cxd) , pois f e g são funções não-negativas. Além disso, como f < g, temos 
F{x) < G{x). Na primeira hipótese do teorema, G{x) converge, digamos, para um certo Gq, com x oo; 
logo, F (x) < Gq. Daqui e do teorema anterior segue-se que F (x) também converge quando x oo, o que 
completa a demonstração da primeira parte do teorema.
A segunda parte segue por contradição: se G(x) convergisse, F (x) teria de convergir, pela primeira 
parte do teorema, o que é absurdo. Isto completa a demonstração.
O teorema anterior é muito útil para testar certas integrais impróprias quanto à convergência ou 
divergência, como veremos nos exemplos a seguir.
E xem plo 1. A função
f(^ ) =
1 — COS X
não tem primitiva dentre as funções conhecidas, de forma que não podemos verificar diretamente a con­
vergência da integral imprópria
/ 7
1 — COS X
d x .
'1 V
No entanto, o teorema anterior é aplicável; basta notar que
y/ 1 + |cosa:| V 2
0 < f{x) < ^ ^ = g{x),
X \ / X X \ f x
e que esta última função é integrável de 1 a cxd:
/ oo rcg{x)dx = \/2 J dx —2 = 2V 2 < 3.
x^/x
Daqui e do teorema anterior concluímos que f{x) é integrável de 1 a 00 e que sua integral não supera 3:
1 — COS X
dx < 3.
x^
E xem plo 2. Para mostrar que a integral
/ oo e~ ' ^ ^ / l x “̂ dx
converge, notamos que 
de modo que
e -\- x “̂ < e ^ V 2x^ < 2xe —(e
/ oo _____ POCe ~ '^ x"̂ dx = — J {e~^‘̂ )'dx — e~^
134 Capítulo 7 Limites e integrais impróprias
Pelo teorema anterior isso prova que a integral dada converge.
Esse raciocínio não seria diretamente aplicável se estivéssemos integrando de 0 a infinito, pois a majoração 
utilizada não é válida no intervalo [0, 1]. Para evitar isso basta decompor a integral em duas:
/ e ^ dx =
'o Jo
y* e ^ V T -K ^ dx -\- J____ rexj-\-x“̂ dx-\- / dx;
e observar que a primeira destas integrais não é imprópria. Outro procedimento eficaz consistiria em majorar 
o integrando por K /{1 + x ‘̂) em todo o intervalo [0, oo]:
POO _________ POO
/ e ~ '^ x / l + ^ d x < K -------X = arctan x
Jo - Jo 1 + x^ 0 2
E xem plo 3. Vamos considerar agora um exemplo de integral divergente:
X y /Xí + 1 dx.
De fato, sendo x > 1,
X y /X ^ X y /X X y f x 1
de sorte qne
^ 2 _|_ 1 ^ 2 jp , 2 x “̂ 2 y / x ’
X y / x , _ dxf°^ X y í x f dx ^
/ — ---- 7 “ ^ > / = lina yJXX^ + 1 J \ 2yfx R —̂OO
R
= lim {y/R — 1) — oo.
R-^oo+ 1 2y/x R-^oo
Isso prova que a primeira dessas integrais também é divergente. Em conseqüência, como
X y / x , X y f x , /■ °° X y jx
---- ' dx 'r ^ d x = t ^ d x + í
Jo X̂ + 1 Jo X̂ + 1 J i + 1
dx,
e como esta última integral diverge, e a penúltima nem é imprópria, concluímos que a integral dada no início 
também é divergente.
O u tros t ip o s d e in teg ra is im p róp rias
Integrais impróprias do tipo
í f {x)dx
J —oo
podem ser tratadas de maneira análoga às integrais do tipo
f f (x)dx,
(7.6)
(7.7)
utilizando resultados semelhantes aos dos dois teoremas anteriores. As demonstrações desses resultados são 
praticamenteas mesmas, com óbvias modificações. Finalmente, uma integral de — cxd a +oo pode ser escrita 
como a soma de duas integrais dos tipos (7.6) e (7.7), respectivamente, de sorte que ela admite o mesmo 
tipo de tratam ento dado a estas integrais.
E xem plo 4. Vamos estabelecer a convergência da integral
{x + 4)^drr
-oo {x — 1)^ + 1
7.2 Integrais impróprias — intervalo ilimitado 135
Ela pode ser decomposta na forma
[x + {x + {x + 4)^dxí°^ [ X + 4Ydx í
y_oo {x - 1 ) ^ + 1 y_ */ —a
{x + 4)^dx
(a : - 1)6 + 1 {x - 1)6 + 1 {x - 1)6 + 1 (a j _ 1)6 1 ’
onde a é um número positivo qualquer. Isso mostra que a integral dada encerra duas integrais impróprias. 
O tratam ento destas integrais pode ser feito de uma só vez, com uma única estimativa do integrando. Para 
isso notamos que esse integrando se comporta, no infinito, como l/x^; vale dizer, quando multiplicado por 
x"̂ , ele tem limite finito com x —> ± cxd (no caso, limite 1):
lima:^ •
{x + 1)̂
[x — 1)6 + 1 = 1.
Como esse integrando é uma função contínua em qualquer intervalo finito, existe uma constante K tal que 
ele é dominado por iC/rr^ fora do intervalo (—1, 1), o que nos permite escrever
/: {x + 4)^da: ^ f ^ dx ^(rr -1 )6 + 1 f - ^ dx ry_oo ^ (rr -1 )6 + 1{x + 4Ydx ^ ^ dxx^
Isto prova a convergência da primeira integral, pois a primeira e a última integrais do segundo membro são 
convergentes.
In teg ra is a b so lu ta m e n te co n v erg en tes
O último teorema que precede os exemplos que acabamos de considerar não é aplicável quando o integrando 
muda de sinal. Isto ocorre, por exemplo, na integral
í: senx dx.-1
O teorema seguinte é mais geral e responde às novas necessidades.
fJ a
T eorem a. Seja f{x) uma função contínua para x > a. Então, a integral imprópria
f{x)dx
converge se ela for absolutamente convergente, isto é, se for convergente a integral
\f{x)\dx.f
Demonstração. Vamos proceder como na demonstração do segundo teorema da Seção 7.2, decompondo 
/ em duas partes: a parte positiva /+ e a parte negativa —/_ (Fig. 7.2):
onde
Evidentemente, 
de sorte que
, 1 /1 + / . , i / i - /
/+ = - ^ e / - = ^ — -
0 < / + < ! / ! e 0 < / _ < | / | ,
r R p R
/ f±{x)dx < / \f{x)\dx.
J a J a
136 Capítulo 7 Limites e integrais impróprias
Como esta última integral converge com R oo, por hipótese, também convergem as integrais de /+ e /_ ; 
logo,
p R r R p R
/ f { x )d x= / f ^ { x ) d x - / f - {x)dx 
J a J a J a
também converge com R oo. Isto completa a demonstração.
Figura 7.2
E xem plo 5. A integral
é absolutamente convergente, pois
sen a:dx
1
sen a; ,
L
dx
O ;
e esta última integral converge com R oo. Concluímos, pois, que a integral original é finita.
E xem plo 6. Nem sempre a convergência de uma integral imprópria pode ser demonstrada com base 
nos teoremas anteriores. E o que acontece com a integral
i :
sen a:dx.
No entanto, para vermos que esta integral converge, basta usar integração por partes:
/ \ f OO AOO(cosx) ------ ^
i :
senx
X
dx =
J
í
dx —
X X
COS T
= COS 1 — / — 7̂ d x .
— cosrr
1
cosx
x^
dx
x “
Esta última integral é absolutamente convergente, pois
dx - 1 ^
X' ̂ X
= h
logo, também é convergente a integral original.
7.2 Integrais impróprias — intervalo ilimitado 137
Exercícios
Em cada um dos Exercícios 1 a 28 verifique se a integral dada converge ou diverge.
xdx
" Jo x ̂ + 2'
f ° ° COŜ X
’ / !— ^Xy/X
'■■Í
xdx
X^ + X + 1
7.
10.
X y j x
x\nx
h (â + 1)^
xdx
dx. 11
pOO
Jl (x + senx)2
ÔO
. / e — y/x\n{x + l)d:
Jo
e~^dx
’ 7-00 X̂ + 1 ' 
f ° ° COS X ,. / — 7=— -dx.Jq Xy/x + 1
1 + 2 COS \/x ^ + 1
Jo
f 1 — sen X
Jl x^
p (lnx)8
■ L 
■ L
dx.
X y / X 
°° dx
dx.
uo (rr-5)3/2 • 
xdx
16
19
25
[ x + cosrr)3 ’
/ OO e ~ ^ ( x + l ) ^ d x .
-OO
rO
/ e^(x^ + l)dx.
J —OO
/ '° ° l - 3 s e n x ,
17
20
dx.{x + 1)2
/ OOx^{\nxye~^dx, r e s positivos. 
29. Estabeleça a convergência da integral
dx
a:lnx
28
/ OOx^e~^dx.
Estabeleça a convergência das integrais dadas nos Exercícios 30 a 34.
, cosx , 
30. / ------ dx.• i : 31.
senrr dx.
, cosx , 
33. / dx. senx^dx.
Sugestões
29. x^ =
r -
X — X — 1 
x‘̂ + 1 dx.
In x’'
^l+e dx, r > 0, £ > 0.
12
15
f°^ Inx ,
■ I
I
{x + l ydx
* 7-00 X̂ + 1
pOO
. / (x'̂ + x^ + l)e~^dx.
Jo
f°° ,
L
21
24
r O OI sen X ,
Jo
sen(x2 + 1)
’ 7o (x+ 1)3/2
dx
72 x(lnx)^’
dx.
r > 1.
[
, senx , 
32. / — ^ d x .y/x
34. Use a mudança de variáveis x^ = t
138 Capítulo 7 Limites e integrais impróprias
7.3 Limite e integrais impróprias — intervalo limitado
Vamos agora introduzir o conceito de limite de uma função f{x), com x tendendo a um valor finito x q . 
Lidaremos somente com funções definidas em intervalos, tendo rro como ponto de acumulação, xq pode ou 
não pertencer ao domínio da função. Por exemplo, a função
/(^ ) =
1 — COS X 
\ /x
só está definida para x > 0, mas podemos tra tar de seu limite com a; —> 0, pois 0 é ponto de acumulação do 
domínio da função, embora não pertença a esse domínio.
A definição que vamos dar agora é análoga à definição no caso x oo, dada no início do capítulo. 
Quando dizemos que f{x) tem limite L com x xq, queremos dizer que f{x) pode ficar tão próximo de 
L quanto quisermos, o que se consegue fazendo x se aproximar de x q . A s proximidades entre f{x) e L, e 
entre x e xq são medidas pelas expressões \f{x) — L\ e |a; — a:o|, respectivamente. Esse conceito e o de 
continuidade estão contidos nas seguintes
D efinições. 1) Diz-se que uma função f tem L num ponto rro se, dado qualquer £ > 0, existe ô > 0 tal
que
0 < — a^ol < á l / ( ^ ) — L \ < s- (7.8)
2) Diz-se que uma função f{x) é contínua num ponto x = x q se ela estiver definida nesse ponto, tiver 
limite com x xq, e se esse limite for igual a f{xo). Neste caso a condição (7.8) pode ser escrita na forma
|a: - xo| < á ^ \ f{x) - f{xo)\ < e. (7.9)
Observe, na definição de continuidade, que x pode ser igual a rro, como permite a primeira desigualdade 
em (7.9). Excluímos xq em (7.8) porque o limite nada tem a ver com o valor da função nesse ponto, como 
vemos em casos concretos como estes:
, sen X ,. 1 — COS x 1
l im ------ = 1, l im ------- ----- = - .
x—>0 X a:—>0 X‘̂ 2
Como \f(x) - L\ < e - e < f{x) - L < e < ^ L - e < f{x) < L + e, vemos que a condição (7.8) pode 
ser escrita na forma
0 < \ x - xo\ < S ^ L - £ < f{x) < L + £.
Analogamente, podemos escrever a condição (7.9) da seguinte maneira:
x o - á < r r < r r o + á=^ f{xo) - £ < f{x) < f{xo) + e.
Como nas outras definições de limite, aqui também o número £ é dado a priori e arbitrariamente, contanto 
que seja positivo. Em seguida procuramos encontrar 6 conveniente, isto é, adequado ao £ que se escolheu e 
fixou. Quanto menor for £, tanto mais rigorosos estaremos sendo quanto à proximidade entre f{x) e L, de 
forma que, diminuindo-se £ para um certo e', é necessário reexaminar á, sendo concebível que ele precise ser 
diminuído para um certo 6', de maneira a se adequar às exigências do novo £. Esse fenômeno está ilustrado 
na Fig. 7.3.
Várias outras definições de limite podem ser dadas, adequadas a situações que escapam à definição 
anterior. Por exemplo,
lim f{x) = L
X—Í-X0 +
significa que dado qualquer £ > 0, pode-se encontrar ô > 0 tal que
2(0 < ÍT < Xo 4- á \ f{x) — L| < £.
7.3 Limite e integrais impróprias — intervalo limitado 139
Como se vê, trata-se aqui de uma pequena variante da definição anterior. Deixamos ao leitor a tarefa de 
suprir a definição no caso x xq—. A s noções de continuidade à direita e continuidade à esquerda são 
também introduzidas de maneira óbvia.
In tegra is im p róp rias — in terva lo lim ita d o
A definição de limite que acabamos de introduzir será utilizada agora no estudo de integrais impróprias em 
intervalos finitos. Para isso necessitamos de um teorema análogo ao primeiro teorema da Seção 7.2 (p. 132).
T eo rem a. Seja f{x) uma função não-decrescente e limitada superiormentenum intervalo a < x < b. 
Então, f{x) converge para seu supremo S quando x b—.
Demonstração. Como o conjunto F = [f{x) : a < x < b] dos valores da função / é limitado superi­
ormente, ele possui supremo S. Dado £ > 0, como 5' é a menor cota superior de F , 5 — £ já não é cota 
superior desse conjunto, donde segue-se que existe um certo á > 0 tal que f{b — ô) > S — e. Mas, como / é 
não-decrescente, para todo x > b — ô, x < b, teremos S — s < f{b — ô) < f{x) < S, isto é.
b — e < x < b = ^ S — e < f{x) < S,
o que completa a demonstração.
Observe o leitor que essa demonstração é praticamente igual à do primeiro teorema da Seção 7.2 
(p. 132). Do mesmo modo, os dois teoremas que enunciamos a seguir têm demonstrações praticamente 
iguais às de seus análogos da seção anterior. Vamos, pois, omitir essas demonstrações, insistindo, todavia, 
com o leitor para que as faça como exercício.
T eorem a. Sejam f e g funções continuas e não-limitadas no intervalo a < x < b. Se
0 < f{x) < g(x) e í g{x)d:i 
J a
converge, então também converge a integral imprópria de f , isto é,
rbí*o ro
/ f{x)dx = lim / f{x)d. 
J a J a
X < OO.
140 Capítulo 7 Limites e integrais impróprias
Por outro lado, se
0 < f{x) < g{x) e í f{x)dx 
J a
diverge, então também diverge a integral de g:
í g{x)d.
J a
X = OO.
Teorema. Seja f{x) uma função contínua em a < x < b, não-limitada e não necessariamente positiva. 
Então, a integral
í f{x)dx 
J a
converge se ela for absolutamente convergente, isto é, se \f{x)\dx for convergente.
E xem plo 1. A função
F{x) = r
Jo
dt
está definida para 0 < rr < 1. Ela é uma integral imprópria quando x —> 1—, já que o integrando tende a 
infinito quando t 1—. Para mostrar que ela converge, notamos que
^ < t V T + f i ^ ^/2
em 0 < f < 1. Como
V 2
^ / T ^ ~ ^ / l - t
dt = - 2V 2V I - t = 2V 2,
Jo - t
concluímos, com base no penúltimo teorema, que a integral imprópria
t V T T ^
Iq y/l - t
■dt
converge e nao supera 2\/2.
Exem plo 2. Consideremos agora a integral
F{x) = r
Jo
sen [l/(l — t)]
dt,
que, como a anterior, está definida em 0 < a: < 1. A função sen [l/(l — f)j oscila infinitas vezes entre +1 e 
— 1, cada vez mais rapidamente, à medida que í —̂ 1—. Portanto, o integrando
sen [l/(l - t)]
v T ^ I
(7.10)
também assume valores positivos e negativos uma infinidade de vezes quando t aproxima 1 pela esquerda. 
No entanto.
sen [l/(l — t)] < 1
v T ^ ’
7.3 Limite e integrais impróprias — intervalo limitado 141
e como esta última função é integrável no intervalo [0, 1], concluímos que a função (7.10) é absolutamente 
integrável no mesmo intervalo, e
sen [l/(l — í)]
) V l — í
dt < p 1
Jo — t
-.dt = 2.
Integrais impróprias do tipo
í f{x)dx,
J a
onde a singularidade do integrando ocorre em x = a, om simultaneamente em x = a e x = b, podem ser 
tratadas como os exemplos anteriores, usando teoremas em tudo semelhantes aos enunciados anteriormente. 
O mesmo se aplica a integrais dos tipos
roo ra
/ f {x)dx e / f{x)dx, 
J a J —oo
com / singular em x = a.
E xem plo 3. Vamos estabelecer a convergência da integral
u/ e ^dt.
onde a > 0. Ela só é imprópria quando a < 1, em cujo caso o integrando torna-se infinito com í 0-|-. 
Para mostrar que ela converge, usamos o fato de que e~^ < 1 para t > 0, de sorte que
f e-H“-^dt < [ e -^ d t =
'0 Jo ^
Daqui segue o resultado desejado.
Se a < 0, a integral diverge. Suponhamos primeiro a < 0. Seja £ entre 0 e 1. Teremos
ae
1 -
ae \a\e \ £
- 1
e esta última expressão tende a infinito com £ —> 0+. 
Por outro lado, se a = 0,
e~H~^dt > ̂ e ̂ , — In e---- dt = --------,
t e
que novamente tende a infinito com £ 0-I-.
Deixamos ao leitor a tarefa de verificar a convergência da integral
e~Htj.x- e ^t^ ^dt,
onde a; > 0. Evidentemente, ela define uma nova função de x; aliás uma função muito importante. Introdu­
zida por Euler em 1729, ela é chamada função gama e denotada com a letra P. Assim,
rOf
r(x) = / e~^t^~^dt, X > 0.
Jo
142 Capítulo 7 Limites e integrais impróprias
Exercícios
Em cada um dos Exercícios 1 a 18 verifique se a integral dada converge ou diverge.
1.
10.
13.
16.
f 
f
rO çx
J —oo \ ~
fVo
dt.
ro Vi 
ln(l - t)
'0 V l
'dx
dt.
—x^
dx
V^x —
lo (4 -t2 )3 /2
dx
r
íVo Vx + x^
L
2.
5.
8.
11.
14.
17.
I.
I
I.
j:
 ̂ sen \/x2 + 1
x2/3(x2 + 1)
= dx
dx.
Vx(x^ + 1)
tanht ,-dt.
Vi
Ina:
V6x — a;2 — 5
dx.
dt
— 2 \/4 — 2̂
e~^"+^dx.
6.
9.
12.
15.
18.
V e*
Vo x^/‘̂{x^ + 1)
j-OO g-x^^
Jo Vx'^ — 1
V e^dx 
Vo
I.
dx.
Vx{l - x) 
\nt ,
I
r
Vt^ + 1
dx
0 Vx + senx
cosx dx ̂ r > 1.
19. Mostre que
1 p-i/í
í2 -dt converge e calcule essa integral.
20. Mostre, igualmente, que a integral / t^e ^̂ *dt converge, não importa quão grande seja N.
Vo
21. Prove que P(x) — {x — l)P(x — 1). Observe que P(x) foi definida para a: > 0, logo deve-se supor aqui que x — 1 > 0, 
ou seja, X > 1. Sugestão: use integração por partes, integrando e derivando t^~^.
22. Prove que P(n -|- 1) = n\, onde n é inteiro positivo.
7.4 N otas históricas
O s n ú m eros rea is
Já observamos, na p. 3 do Volume 1, que os números reais são todos os números racionais e irracionais. Esse conjunto 
é formado, gradativamente, a partir dos números inteiros positivos, também chamados naturais. Isto porque eles, 
de fato, surgem naturalmente em nossa experiência cotidiana. Historicamente, o conjunto dos números naturais foi 
primeiro estendido de maneira a incorporar as frações positivas, um processo ainda bastante natural. A introdução do 
zero e dos números negativos já é algo bem diferente, sem a mesma “naturalidade” das frações e inteiros positivos; por 
isso mesmo tais números não tiveram fácil aceitação por muito tempo. Ainda no século XIX, matemáticos eminentes 
faziam objeções aos números negativos. Os números irracionais também encontraram objeções, por muito tempo, mas 
não tanto quanto os números negativos.
Um modo de introduzir os números irracionais na Matemática, partindo dos racionais, consiste em postular que 
todo conjunto de números racionais limitado superiormente possui supremo. Esse supremo, se não for um número 
racional, será a nova entidade que se pretende introduzir — o número irracional. Por exemplo, o conjunto dos 
números racionais r > 0, tais que < 2, é limitado superiormente (por 2, 3, 4, etc.); logo, possui supremo L. Mas, 
como se pode demonstrar, esse supremo não é racional. Esse número L é, então, irracional. Ele é o número que 
indicamos com o símbolo V^.
Admitido o postulado anterior demonstra-se o princípio do supremo, já enunciado anterior mente: todo conjunto 
de números reais limitado superiormente possui supremo. Note a diferença entre este enunciado e o do postulado 
anterior: aqui (no princípio) falamos em “conjunto de números reais”, ao passo que no postulado falamos em “conjunto 
de números racionais". Em vista disso, podemos fazer a seguinte observação: o postulado nos diz que se partirmos 
de conjuntos de números racionais, somos levados a obter supremos que nem sempre são racionais; o princípio do 
supremo, por sua vez, mostra-nos que se tentarmos repetir o postulado, desta vez usando conjuntos de números reais, 
os supremos serão sempre números reais, não havendo agora possibilidade de aparecerem entidades novas no conjunto
7.4 Notas históricas 143
numérico. Em vista disso, diz-se que o conjunto dos números reais é completo. O postulado anterior é o postulado 
da completude dos números reais. Podemos também dizer que o princípio do supremo exprime a propriedade de 
completude dos números reais.
A construção dos números reais aqui esboçada é essencialmente devida a Richard Dedekind (1831-1916) e se 
encontra exposta em seus Essays on the Theory of Numbers, publicação da Editora Dover. Dedekind é explícito 
em traçar a origem de sua teoria às idéias de Eudoxo , expostas na “teoria das proporções”, descrita no livro V da 
famosa obra Elementos, de Euclides. Devemos observar, com o próprio Dedekind, que os números reais podem ser 
caracterizadospor aproximações racionais. E este o caso de \/2, número este que é caracterizado pela seqüência de 
valores aproximados por falta:
ai = 1,4, 02 = 1,41, 03 = 1,414, 04 = 1,4142,...
Convém mencionar que vários outros matemáticos do século XIX se ocuparam da construção dos números reais. 
Nesse particular, devemos citar o trabalho de Georg Cantor (1845-1918), que se baseia em certos tipos de seqüências 
infinitas de números racionais e é muito importante pelas implicações que tem nos estudos mais avançados de Análise 
Matemática e Topologia.
O rigor na A nálise M atem ática
Com o notável desenvolvimento das técnicas do Cálculo, no correr de todo o século XVIII, a necessidade de uma 
fundamentação lógica dessa disciplina foi-se tornando cada vez mais premente. Por exemplo, já tivemos oportunidade 
de notar que os matemáticos começaram a trabalhar com séries como se elas fossem polinómios, e isso freqüentemente 
levava a resultados absurdos. Era necessário distinguir entre séries convergentes e séries divergentes, e estabelecer 
condições sob as quais uma dada série pudesse ser derivada ou integrada, sem perder a propriedade de convergência.
A idéia de limite, na qual hoje se baseiam as noções de derivada e integral, não tinha sido clarificada. O próprio 
conceito de função era vago e confuso. A confusão era maior ainda no que diz respeito a continuidade de funções, 
convergência e derivabilidade de séries. Um bom exemplo disso é a função definida pela série (5.7) da p. 97:
f{x) = n+l
sennx
(7.11)
Esta função é periódica de período 2-7r e é igual a x/2 no intervalo (—tt, tt). É claro que a função x/2 é derivável, de 
sorte que um matemático do século XVIII, em geral, não teria escrúpulos em derivar a série acima, termo a termo. 
Mas o resultado.
COS nx,
n=l
é inaceitável, mesmo para x restrito ao intervalo (—tt, tt), pois esta última série é divergente, visto que cosnx não 
tende a 0 (como já observamos em nota de rodapé na p. 98.
O primeiro trabalho significativo sobre o rigor no Cálculo foi publicado pelo matemático tcheco Bernhard Bol- 
zano (1781-1848) em 1817. Bolzano era sacerdote católico, que além de se dedicar a estudos de Teologia, Filosofia e 
Matemática, tinha grandes preocupações com os problemas sociais de sua época. Seu ativismo em favor de reformas 
educacionais, sua condenação do militarismo e da guerra, sua insistência pela liberdade de consciência e pela dimi­
nuição das desigualdades sociais custaram-lhe sérios embaraços com o governo.
A idéias de Bolzano, em Matemática, não foram menos avançadas. Nesse trabalho de 1817, ele definiu continuidade 
praticamente do mesmo modo como definimos hoje esse conceito; introduziu um critério de convergência que veio a 
se revelar de importância fundamental em vários ramos da Análise e da Topologia; demonstrou o chamado Teorema 
de Bolzano-Weierstrass; e demonstrou o Teorema do Valor Intermediário (p. 69 do Volume 1). Sua preocupação era 
eliminar a intuição geométrica das demonstrações. Em parte devido à pouca divulgação, em parte devido à falta de 
clareza e preocupação exclusiva com os fundamentos, os escritos de Bolzano permaneceram quase totalmente ignorados 
até aproximadamente 1870.
Augustin Louis Cauchy (1789-1857) é considerado o matemático que primeiro lançou os fundamentos do Cálculo. 
Isso é apenas parcialmente verdadeiro, embora não se possa negar que Cauchy foi um matemático de grande mérito. 
Sua primeira obra nesse sentido é o Cours d’Analyse, publicado em 1821, portanto quatro anos após o primeiro tra­
balho de Bolzano. Aí aparecem a definição de continuidade, do critério de convergência que mencionamos há pouco, 
etc. Mas o “rigor” de Cauchy também deixava muito a desejar e várias de suas demonstrações são incompletas ou 
incorretas. Por exemplo, em 1826 Niels Hendrick Abel (1802-1829) utilizou a série (7.11) para apontar um erro de 
Cauchy sobre continuidade da soma de séries convergentes de funções contínuas. Abel foi dos primeiros a reconhecer
144 Capítulo 7 Limites e integrais impróprias
e a insistir na importância do Cours d’Analyse de Cauchy. Ele teve plena consciência da necessidade de criar um 
Cálculo “rigoroso”, e certamente tinha visão mais penetrante que Cauchy. Infelizmente morreu muito cedo, deixando, 
contudo, importantes contribuições à Análise.
Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) publicou, em 1829, um trabalho de importância fundamental sobre 
séries de Fourier. Ele deu a primeira demonstração correta de que a série de Fourier de uma função converge, desde 
que essa função satisfaça certas condições de regularidade. Dirichlet termina esse trabalho observando que se podem 
conceber funções que não satisfaçam as condições de seus teoremas, abrindo assim caminho para uma definição mais 
geral desse conceito. Foi esta uma das motivações de Riemann em seu estudo aprofundado da integral.
George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), como já dissemos na p. 266 do Volume 1, foi um matemático de 
idéias brilhantes e profundas. Conta-se que ele era pessoa muito tímida, um traço de sua personalidade que contrastava 
marcantemente com o arrojo e o largo alcance de suas idéias, tão bem emolduradas no elegante estilo de seus escritos. 
Em um de seus trabalhos de 1854, depois de historiar os estudos das séries trigonométricas — de d’Alembert a Dirichlet 
— Riemann observa que a questão primeira que importava elucidar referia-se a uma inequívoca interpretação do que se 
devia entender por integral de uma função. Ele desenvolve, em seguida, toda a teoria da “Integral de Riemann”, para 
depois embarcar no problema central das séries trigonométricas. Ao lado dos significativos problemas que resolveu, 
Riemann descortinou, nesse estudo, novos horizontes de pesquisas. Essas investigações, que são a origem da moderna 
Análise Harmônica, seriam a fonte de inspiração de vários matemáticos que vieram depois. Entre outros, Georg Cantor 
(1845-1918) iria ocupar-se das séries trigonométricas, através das quais seria levado a estudar os conjuntos de pontos 
da reta, criando posteriormente a Teoria dos Conjuntos.
Muitos outros matemáticos do século XIX tiveram grande influência da fundamentação do Cálculo e no desenvol­
vimento da Análise, mas é impossível fazer-lhes justiça numa curta nota como esta.
Capítulo 8
Seções cônicas
Já falamos da parábola e da hipérbole nas Seções 3.2 e 3.3 do Volume 1, porém, apenas como gráficos das 
funções y = kx^ ^ y = k/x, e de funções obtidas dessas por translações; e fizemos um breve histórico das 
cônicas nas pp. 57 a 59. O que então nos interessava era o estudo das funções e não tanto da geometria de 
seus gráficos. Por isso, para desobstruir nosso caminho, adiamos até o presente momento um tratamento mais 
sistemático dessas curvas.
O material aqui apresentado não se limita apenas à Geometria Analítica, pois inclui um estudo analítico das 
curvas planas que é muito importante no Cálculo.
A obtenção das equações da elipse e da hipérbole costuma ser feita com o procedimento de escrever a equação 
da curva em termos da fórmula da distância de dois pontos, elevar ao quadrado, depois isolar num dos membros 
o termo envolvendo raiz quadrada e elevar ao quadrado novamente. Os livros, em geral, não demonstram a 
equivalência da equação assim obtida com a equação original, omitindo inexplicavelmente o caminho inverso. 
Mas essas demonstrações são importantes e necessárias, e estão presentes neste capítulo.
8.1 A elipse
Vamos definir a elipse como lugar geométrico dos pontos P do plano, cuja soma das distâncias a dois pontos 
fixos F _ c F + é constante. Isto significa que se P, P ', P", etc. são pontos da elipse, então (Fig. 8.1)
P P _ + PP+ = P 'P _ + P 'P + = P "P _ + P^ - constante.
Figura 8.1
Uma elipse pode ser desenhada, facilmente, com o auxílio de uma linha com as pontas emendadas, passando 
por dois preguinhos ou alfinetes fixados em P_ e P+. Um lápis é então utilizado, como indica a Fig. 8.2, 
mantendo a linha esticada e movendo-a no papel atécompletar uma volta. O resultado é uma elipse, já que 
a soma das distâncias P P _ e PP+ permanece constante.
145
146 Capítulo 8 Seções cônicas
Os pontos F - e F+ são chamados focos da elipse e o ponto médio do segmento é o seu centro.
Para obtermos a equação cartesiana dessa curva, é conveniente escolher o sistema de eixos com origem 
em seu centro e eixo Ox coincidente com OP+ (Fig. 8.3). Sejam —c e c > 0 as abscissas de F_ e F+, 
respectivamente, e seja 2a a constante P F - + P F + , onde P — {x,y) é um ponto arbitrário da elipse. Pondo 
d- = P F - e = PF-^-, e notando que
d - = > / ( í ^ r c p " + ^ e d+ = \/{x - c)2 + y ‘̂,
a equação da elipse
d— djf. — 2a
assume a forma cartesiana seguinte:
y/{x + c)2 + 7/2 + \/{x - c)2 + 2̂ ^ 2a.
( 8 . 1 )
(8 .2)
Figura 8.3
Para eliminar os radicais, elevamos ambos os membros dessa equação ao quadrado, donde resulta 
(x + c)^ Py'^ - \ - {x - c)^ + 2/̂ + 2y/(x + c)^ -\-y‘̂ y / { x - c)^ + ^ 4^2^
ou ainda, após simplificações simples,
y/{x^ ̂+ + 7/2 + 2cx) {x“̂ + + 7/2 — 2crr) = 2a^ - x^ - c ̂ - y"̂ .
O radical desaparece com uma nova operação de elevar ao quadrado:
{x^ + + y ‘̂ )‘̂ - A(?x^ = [2a^ - {x^ + + y^)]^,
isto é,
—4c^rr^ = 4a^ — 4a^(rr^ + + y ^ \
que ainda se escreve na forma
(a — c )x + a y = a [a — c ).
Pondo b = yjc? - e dividindo ambos os membros de (8.7) por 6 ,̂ obtemos, íinalmente,
0 ? ^ 62 ’
(8.3)
(8.4)
(8.5)
(8.6)
(8.7)
(8 .8)
que e a equaçao canónica
8.1 A elipse 147
P ro v a n d o a rec íp ro ca
O que acabamos de fazer foi provar que (8.1) (8.8). Mas isso não basta; temos de provar a recíproca, isto
é, que (8.8) (8.1), para nos certificarmos de que essas duas equações são equivalentes.
Essa preocupação é legítima porque usamos duas vezes a operação de elevar ao quadrado, uma operação 
que freqüentemente introduz novas soluções na equação em que atua, como ilustra o seguinte exemplo bem 
simples:
{x + 2)^ = 9 X = 1 e X = —5.
Vamos provar que não é este o caso nas transformações que nos levaram de (8.1) a (8.8). Com efeito, 
para ver que (8.8) => (8.7), basta multiplicar (8.8) por e substituir b̂ por — c^. E igualmente fácil 
provar que (8.7) (8.6) e que (8.6) ^ (8.5).
Para provar que (8.5) (8.4), notamos que — 2(x^ + + y^). Isso permite ver que as equações
(8.5) e (8.4) podem ser escritas nas formas
= ( 2a
d í - h d í+ 2 d?. + d le d_d+ = 2 a^ ---------—— (8.9)
respectivamente. Portanto, provar que (8.5) (8.4) equivale a provar que a primeira dessas equações
implica a segunda. Isso é verdade, pois, ao extrair a raiz quadrada da primeira, a alternativa à segunda 
equação em (8.9), qual seja,
2 d l + d^
—d_d4- = 2a^
é falsa. De fato, ela equivale a
(d_ — d+)^ = 4a^, ou seja, |d_ — d+| = 2a. ( 8 . 10)
Mas |d_ — d+| é a diferença entre os lados F F - e PF+ do triângulo PF-F+ (Fig. 8.3), que é menor que o 
terceiro lado F -F ^ = 2c:
|d_ — d+| = 2a < 2c, ou seja, a < c,
que é absurdo.
Observemos agora que a passagem de (8.3) a (8.4) é reversível, donde (8.3) 4=> (8.4). Então, só falta 
provar que (8.3) (8.1), já que (8.2) e (8.1) são a mesma equação. Isso é o mesmo que provar que
(d_ + d+)^ = 4a^ d_ + d+ = 2a,
o que é verdade, pois a alternativa, d_ + d+ = —2a, é impossível.
P ro p r ied a d es e e x em p lo s
A Eq. (8.8) é chamada equação canônica da elipse. Isso porque, com a escolha que fizemos do sistema de 
coordenadas, ela é a forma mais simples da equação cartesiana da elipse. Vemos, por essa equação, que a 
elipse é uma curva simétrica em relação aos eixos Ox e Oy, portanto, simétrica em relação à origem, que é 
o seu centro. De fato, (8.8) não se altera quando se muda x por —x ou y por —y. Os pontos A = (±a, 0) e 
B = (0, ±6) pertencem à curva e são chamados vértices, ao passo que os segmentos A_A+ e B - B ĵ são os 
eixos da elipse (Fig. 8.3).
Como b = < a, a e b são comumente chamados de semi-eixos maior e menor, respectivamente.
A excentricidade da elipse é definida pelo quociente e — c/a, que está compreendido entre 0 e 1. Como se 
vê, a elipse será tanto mais alongada quanto mais próximo de 1 estiver a excentricidade, e se reduz a um 
segmento quando e = 1. No extremo oposto, à medida que e se aproxima de zero, a elipse mais e mais se
148 Capítulo 8 Seções cônicas
aproxima de uma circunferência, com a qual coincide quando e = 0. Assim, uma circunferência é uma elipse 
de excentricidade zero.
A Eq. (8.8) pode ser escrita na forma
(t J ou seja.
2 I '\/’2 2X = (2 ,
onde Y = ay/b. Isso mostra que a elipse de Eq. (8.8) pode ser obtida da circunferência x “̂ -\- Y'^ — por 
contração das ordenadas Y pelo fator b/a: y = bY/a (Fig. 8.4).
Figura 8.4
E xem plo 1. A equação 2x^ + 3y^ = 6 equivale a
x^ iP'
— + ^ = 1;3 2
logo, representa uma elipse com semi-eixos a = \/3 eb = \/2 (Fig. 8.5).
E xem plo 2. Para vermos que a equação
^x^ + 4^^ + 54a: — 16y + 61 = 0 
representa uma elipse, notamos que ela se escreve
9(a:^ + 6x) + 4(?/ ̂ — 4y) + 61 = 0.
Completando os quadrados, obtemos
9(a: + 3)2 + 4{y - 2 f = 36,
OU ainda,
(^ + 3) ̂ {y - ^
4 9
Esta equação sugere a translação de eixos dada por X = a:4-3, Y = y — 2, de sorte que o novo sistema de 
eixos, 0 'X Y ^ tenha origem no ponto O' = (—3,2) referido ao sistema Oxy (Fig. 8.6). Nesse sistema 0 'X Y 
a equação anterior se escreve
8.1 A elipse 149
que é prontamente identificada como a elipse de semi-eixos a = 2 e b = 3.
Figura 8.6
E xem plo 3. Vamos achar a equação da elipse de semi-eixos a = 3 e b = 3/2^ centrada no ponto 
O' = (2, —1). Para isso, transladamos os eixos de forma que a nova origem seja esse ponto O' (Fig. 8.7):
X = X — 2, Y = y -{-1.
No sistema 0 'X Y a elipse considerada tem equação
4- AY^ = 9.
Voltando ao sistema Oxy, encontramos a equação desejada:
+ 4y^ — 4a: 4- 8t/ — 1 — 0.
Figura 8.7
E xem plo 4. Dada uma elipse por sua equação canônica, vamos mostrar que a reta a ela tangente em 
um de seus pontos Pq — Vo) ̂ onde yo tem equação
xqx y ^ y ^
a? 9
150 Capítulo 8 Seções cônicas
(Este problema foi proposto como Exercício 33 na p. 102 do Volume 1.) 
Com efeito, derivando implicitamente a equação da elipse, obtemos
X yy ,
= 0, donde y = —b^xa^y'
Vemos, então, que o declive da reta tangente no ponto Pq é m = —b‘̂ xo/a^yo; portanto, a equação dessa 
reta será
b‘̂ xo . .
y - y o ^ ----— {x - â o),
que também se escreve
a yo
b^xox + a^yoy = ĥ x̂ + a^yl = â ò̂ .
onde a última passagem se deve ao fato de Pq pertencer à elipse. Finalmente, dividindo esta última equaçao 
por obtemos o resultado desejado.
P ro p r ied a d e d e reflexão d a e lip se
E xem plo 5. Vamos provar que a reta normal à elipse num de seus pontos P — (rr, y) é bissetriz do 
ângulo P_PP+, onde P_ e P+ são os focos da elipse (Fig. 8.8).
Figura 8.8
Sejam o, /? e 7 os ângulos ilustrados na Fig. 8.8, e m+, m = tan/1 e m_ suas respectivas tangentes 
trigonométricas. Sabemos que, para ângulos quaisquer o e /3,
tan(o — j3) = tan OL — tan (3 
1 + tan OL • tan j3
Sempre com referência à Fig. 8.8, r — a — p; portanto,
m+ — mtan r = ------------ .
1 + m+m
De maneira análoga,
771 — 777
tan í = tan(/l — 7 ) = ------------
1 + mm_
Queremos provar que i = r. Isso equivale a tan i = tan r, isto é,
m+ — m m — m_
1 + m+m 1 + m m - ’
8.1 A elipse 151
ou ainda, após simplificações,
(m+ + ~ 1) + 2m (l — m+m_) = 0.
Por outro lado, da equação da reta tangente discutida no exemplo anterior, sendo y ^ 0, m = —b‘̂ x/a^y; e 
um simples exame da Fig. 8.8 revela que, para x ^ ±c,
V 171- y
X — c X c
Vamos substituir esses valores na equação anterior para verificar que ela realmente fica satisfeita. Devemos 
então provar que
2xy b^x^ — á^y^ 2b^x y^ — x^ +
x^ — a^y^ a^y x^ —
O primeiro membro que aí aparece, quando multiplicado por a^y^{x^ — c^) e dividido por 2xy, assume a 
forma
b̂ x ̂ — a^y ̂+ c?b^{y^ — x ̂ c )̂ = 5̂ (5̂ — a^)x‘̂ + â (ò̂ — a^)y‘̂ + a b̂ ĉ .̂
Como a^ — b̂= e b^x^-\-a^y^ = a^b^, essa expressão é identicamente nula, o que completa a demonstração 
desejada.
Os casos excluídos não oferecem maior dificuldade. Por exemplo, se rr = c, então a = tt/ 2, de forma que 
tan(o! — /?) = cot P = l/m , e o raciocínio segue como antes. O caso x = —c é análogo; e os casos em que 
y = 0 são mais fáceis ainda.
Observação. A propriedade que acabamos de demonstrar tem um significado físico interessante, que 
passamos a explicar: consideremos um espelho côncavo com o formato de um elipsóide alongado (prolato). 
Então, se uma fonte luminosa pontual estiver situada num dos focos do espelho, digamos F_, os raios de 
luz que daí emanarem irão convergir no outro foco, F+ (Fig. 8.9), após refletirem uma vez no espelho. De 
fato, a interseção do elipsóide com o plano que passa por seus focos e contém um dos referidos raios de luz 
é uma elipse. Portanto, a igualdade dos ângulos i e r na Fig. 8.8 traduz, neste caso, a lei de reflexão da luz.
Outra interpretação física consiste em imaginar uma fonte sonora em F- , em vez de fonte luminosa. O 
som se refletirá nas paredes do elipsóide, convergindo no foco F+.
+ a“̂y = 0 .
Exercícios
Determine os semi-eixos a e ò, os focos e a excentricidade das elipses de equações dadas nos Exercícios 1 a 6. Faça os
gráficos respectivos.
1. = 8. 2. 9x2 2̂ 2 ^ g 3̂ 3̂ 2 ^ 5̂ 2 ^ ;̂ o.
4. 4x2 ^ gy2 ^ 42- _ i 2y — 31 = 0. 5. 5x2 ^ Qy2 _ _|_ ^gy _ 3 ]̂ _ Q 0_ _j_ 4̂ 2 _j_ 4q̂ . _ 24y -f 36 = 0.
7. Ache a equação da elipse com focos F_ = (0, 0) , F+ = (4, 0) e semi-eixo maior igual a 3. Faça um gráfico.
8. Ache a equação da elipse com focos F_ = (0, 0) , F+ = (0, 6) e semi-eixo menor igual a 1. Faça um gráfico.
9. Ache a equação da elipse com focos F_ = (—1, 0), F+ = (5, 0) e excentricidade 2/3.
10. A órbita da Terra é uma elipse de excentricidade 0,017. Tomando o semi-eixo maior igual a 10 cm, calcule o 
semi-eixo menor e desenhe a elipse correspondente. Observe que é impossível distingui-la, visualmente, de uma 
circunferência!
11. Dos seis planetas conhecidos no tempo de Kepler, o de órbita mais excêntrica é Mercúrio, com e = 0,206. A seguir 
vem Marte, com e = 0,093. Como no Exercício 10, desenhe as órbitas desses planetas, notando que é impossível 
distinguir, visualmente, a órbita de Marte de uma circunferência! Quanto à de Mercúrio, se o = 10 cm, então 
6 ^ 9, 79 cm, de forma que ela ainda é muito parecida com uma circunferência!
152 Capítulo 8 Seções cônicas
12. Ache as equações das retas tangentes à elipse de equação 5x ̂+ 9y^ = 45, com declive igual a 1. Faça um gráfico.
13. Ache as equações das retas pelo ponto (—1, 0) tangentes à elipse de equação + 2y^ — 4x = 0. Faça um gráfico.
14. Mostre que a reta normal à elipse b‘̂x'^+a^y‘̂ = num de seus pontos Pq = (xq, yo) tem equação o?yQX-h^x,oy
c^xoyo.
15. Demonstre que a elipse, com equação na forma canônica, é uma curva que tem sua concavidade voltada para 
baixo em sua parte superior y > 0; e voltada para cima em sua parte inferior y < 0. Isso implica que a reta 
tangente num ponto qualquer da elipse só encontra a curva no ponto de tangência.
Respostas e sugestões
1. a = 2-\/2, b — \/2, e = \fZj2. Focos: (±\/6, 0).
4. 4x2 + 4x = 4(x + 1/2)2 - 1, 9y2 - 12y = 9(y2 - 2y • 2/3) = 9(y - 2/3)2 _ 4^
5. a = 3, b = \/E, e = 2/3. Focos: (3, —1) e (—1, —1).
7. (x - 2)2/9 + y2/5 = 1. 9. 4(x - 2)2/81 + 4y2/45 = 1.
12. Da equação da elipse calculamos y' = —3xj9y. Resolva a equação da elipse com — 5x/9y = 1 para achar os pontos 
de contato das tangentes, (±9/\/T4, ^/V Tl). Finalmente ache as duas tangentes por esses pontos: y = x — \/Í4 
e y = X + vTi. Ilustre essas retas num gráfico.
13. O gráfico ajuda a entender a geometria do problema. As retas tangentes são y = m(x + 1), com dois valores de 
m. Nos pontos de contato com a elipse esse m tem de coincidir com y' = (2 — x')j2y proveniente da equação da 
elipse. Substitua esse m em y = m(x + 1) e resolva com a equação da elipse para achar os dois pontos de contato, 
(2/3, ±2/\/ÍÕ); e, finalmente, escreva as equações das tangentes, 2(x + 1) = ±\/TÕy.
14. O declive da reta normal à elipse num ponto P q = (x q , yo) é m = a^yQ/b‘̂yQ.
15. Calcule a derivada y' e examine sua variação, determinando os trechos onde ela é crescente e decrescente.
8.2 A hipérbole
Definimos a hipérbole como sendo o lugar geométrico dos pontos P do plano cuja diferença das distâncias a 
dois pontos fixos F - e F+ é constante (Fig. 8.10).
Figura 8.10
8.2 A hipérbole 153
Na p. 51 do Volume 1, chamamos de hipérboles as curvas y = k /x . Na Seção 8.4 adiante veremos que 
estas curvas são hipérboles segundo a definição anterior.
Como no caso da elipse, F - e são os focos da hipérbole. A definição que demos significa que a 
hipérbole é o conjunto dos pontos P tais que P F _ — PF+ = 2a, juntamente com os pontos que satisfazem 
P P 4. — P P _ = 2a; vale dizer, todos os pontos P que satisfazem as duas equações seguintes:
PP+ - P P _ = ±2a.
Com a mesma notação introduzida anterior mente,
d - = P P - = \/(a: + c)2 + 2/2 e = PP+ = \ / ( x - c)^ +
a obtenção da equação cartesiana da hipérbole segue o mesmo procedimento utilizado no caso da elipse. 
Assim, são os seguintes os passos correspondentes às passagens das Eqs. (8.1) a (8.8):
d_ — = ±2a,
que, em forma cartesiana, se escreve
y /(x F c)2 + ± 2a.
Elevando ambos os membros dessa equação ao quadrado resulta
(x + c)^ + + (a: - c)^ + y^ ~ 2y^(a: + c)^ -\-y‘̂ ^ { x - c)^ + y^ = 4a^,
ou ainda, após simplificações simples.
— \/(a:^ + + 2cx){x‘̂ + — 2ca:) = 2a^ — x"̂ — — y^.
O radical desaparece com uma nova operação de elevar ao quadrado:
(x‘̂ + + y^)^ - 4c^a: ̂ = [2a^ - (a:̂ + + 2/ )̂] ,̂
isto é.
4 c V = 4a" - 4a"(a:" + + y").
que ainda se escreve na forma
(a" — c")a:" + a"y" = a" (a" — c")2„.2
(8.11)
(8.12)
(8.13)
(8.14)
(8.15)
(8.16) 
(8.17)
Esta equação é formalmente a mesma Eq. (8.7) que obtivemos no caso da elipse. Mas, veja a diferença: 
no caso da elipse tínhamos a > c; aqui, no caso da hipérbole, a < c. Portanto, desta vez devemos definir 
b = \ / (? — (F. Então, dividindo ambos os membros de (8.17) por a^6", obtemos
2 2
_ _ ^ ^ 1 «2 62 2, (8.18)
que é a equação canônica da hipérbole.
P ro v a n d o a rec íp ro ca
Do mesmo modo que no caso da elipse, devemos provar que (8.18) (8.11). Para ver que (8.18) ^ (8.17),
basta multiplicar (8.18) por a"6" e substituir por a" — c". E igualmente fácil provar que (8.17) (8.16)
e que (8.16) => (8.15).
Para provar que (8.15) (8.14), notamos que d" + = 2{x‘̂ + c" + y"). Isso permite ver que as Eqs.
(8.15) e (8.14) podem ser escritas nas formas
{d-d+y = [ 2a^ -
d l F d l+ — d_d+ 2a" —
d i F d l+ (8.19)
154 Capítulo 8 Seções cônicas
respectivamente. Portanto, provar que (8.15) ^ (8.14) equivale a provar que a primeira dessas equações 
implica a segunda, o que é verdade, pois ao extrair a raiz quadrada da primeira, a alternativa à segunda 
equação em (8.19),
2 d‘L + (&. 
= 2a ^ --------
é falsa. De fato, ela equivale a
(d-t- + d-f.) ̂ = 4a^, ou seja, |d_ + d_|_| = 2a,
enquanto (veja a Fig. 8.10) |d_ + d.|.| = d_ + d+ = F-F-f. = 2c > 2a.
Finalmente, as passagens (8.14) ^ (8.13) e (8.13) (8.12) são imediatas; e (8.12) é idêntica a (8.11), o
que completa a demonstração.
P ro p r ied a d es d a h ip érb o le
Como no caso da elipse, a Eq. (8.18) é invariante com a troca de x por —x e de y por —y, o que significa 
que a hipérbole é uma curva simétrica em relação aos dois eixos de coordenadas e à origem.
Figura 8.11 Figura 8.12
A hipérbole é formada por dois ramos que se estendem para infinito nas direções dzb/a. Para vermos 
isso, de (8.18) tiramos
y = dz-y/x"^ — a^.
donde se obtém
 ̂= ± - b1 -----K ^ com |a;| —> oo,
X a V x^ a
isto é, com X —> oo ou a; —> —oo. Por aí se vê que os ramos da hipérbole são tanto mais abertos quanto 
maior for a razão b/a. (Veja a Fig. 8.11.) Se a = 0, a Eq. (8.17) passa a ser a; =0 e a hipérbole degenera-se. 
reduzindo-se ao eixo Oy. A outra situação extrema ocorre quando a = c e 6 = 0; então, a Eq. (8.17) passa 
a ser ^ = 0 e a hipérbole degenerada é o eixo Ox, exceto o intervalo —c < x < c . Os pontos = (±a, 0) 
são chamados vértices da hipérbole de Eq. (8.18) e o segmento A -A ^ é o eixo transversal (Fig. 8.11). O 
número a também costuma ser chamado de semi-eixo transversal
Uma reta Y = m x + n é assintota da hipérbole se a diferença Y — y, entre as ordenadas Y da reta e y 
da hipérbole, correspondentes à mesma abscissa x, tender a zero com a :—> o o o u a :^ —oo. Vamos mostrar
8.2 A hipérbole 155
que as assintotas da hipérbole sao as retas y = ±bx/a, ilustradas na Fig. 8.11. Partindo da equação geral 
da reta, Y = m x + n, vamos nos restringir a a; > 0 e ao ramo da hipérbole y = hy/x" ̂— o?/a. Então,
Y — y — m x ---- \ / x^ — (P- + n = ( m — x ~(x — x' ̂— a?) +
a \ a J a n.
Como
 ̂ {x — px"^ — a?) {x + px"^ — o?) Py/x^ — = -------------------- j ^ = = ----------- = -------
X + yx"^ — P x yx"^ — P
0 com a; ^ oo.
a expressão anterior mostra que a diferença Y”—?/ tende a zero com a; ^ oo se, e somente se, m = b/a e n = 0. 
Isso prova que Y = bxja é assintota da hipérbole. De modo semelhante prova-se que a reta Y = —bxfa é 
outra assintota. E fácil verificar que essas são também assintotas do ramo da hipérbole correspondente a 
a; < 0.
As assintotas y = ±.bx/a são retas perpendiculares quando b = a, isto é, quando c — a p 2. Neste caso 
diz-se que a hipérbole é equilátera (Fig. 8.12) e a equação canônica passa a ser
2 2 2X — y = a .
A exeentrieidade da hipérbole, como no caso da elipse, é definida pela razão e = c/a, de sorte que e > 1. 
Como
b \ /P - 0? /-^— -
- = ------------ = - 1,a a
vemos que, quanto maior for a excentricidade, tanto maior será a abertura dos ramos da hipérbole. No caso 
de uma hipérbole eqüilátera, e = p2 (Fig. 8.12).
A Eq. (8.18) pode ser escrita na forma
X ou 2 2 X —Y — a ,
onde Y = ay/b. Isso mostra que a hipérbole de Eq. (8.18) se obtém da hipérbole eqüilátera x^ — p
por contração (ou expansão) das ordenadas Y pelo fator b/a: y = bY/a, como ilustra a Fig. 8.13.
Observe que a equação
P 62 “
também representa uma hipérbole, com a única diferença que os eixos de coordenadas, Ox e Oy, tiveram 
seus papéis trocados (Fig. 8.14).
Figura 8.14
156 Capítulo 8 Seções cônicas
A elipse e a hipérbole são chamadas seções cônicas centrais, pelo fato de possuírem um centro de 
simetria. Quando referidas a sistemas cartesianos que dão origem a suas equações canônicas, esse centro é 
a origem do sistema de coordenadas.
E xem plo 1. Como no caso da elipse, vamos considerar a reta tangente a uma hipérbole. Supomos 
que a hipérbole seja dada por sua equação canônica. Vamos mostrar que a tangente em um de seus pontos 
Pq = yo) fem equação
XQX yoy ^
a2 ò2
O procedimento é, em tudo, análogo ao que utilizamos no caso da elipse. Derivamos implicitamente a 
equação da elipse, obtendo
X yy n A A '— - — = 0, donde y =
0̂ a^y
l^x
Vemos, então, que o declive da reta tangente no ponto Pq é m = b‘̂xo/a^yo] portanto, a equação dessa reta 
será
b‘̂xo
y - y o = - ^ { x - x o ) ,
que também se escreve
a yo
b^XQX — a^yoy = b^XQ — a^y^ = a^b^,
onde a última passagem se deve ao fato de Pq pertencer à hipérbole. Finalmente, dividindo esta última 
equação por a‘̂b^, obtemos o resultado desejado.
P ropriedade de reflexão da hipérbole
E xem plo 2. Vamos provar uma propriedade de reflexão para a hipérbole semelhante à propriedade 
análoga da elipse. Mostraremos que a reta tangente à hipérbole num de seus pontos P = (x, y) é bissetriz 
do ângulo F-PF+, onde F - e F+ são os focos da hipérbole (Fig. 8.15).
Uma conseqüência imediata disso é que, com referência à Fig. 8.15, onde P N é a reta normal à hipérbole 
no ponto P, os ângulos R P N e N P F - serão iguais, o que significa que um raio de luz RP, incidente num 
espelho hiperbólico, em direção ao foco Fj,., se refletirá segundo P F -, isto é, em direção ao outro foco.
Figura 8.15
Sejam a, (3 e j os ângulos ilustrados na Fig. 8.15, onde PQ é a reta tangente à hipérbole no ponto 
F ; e sejam m+, m e m_ as respectivas tangentes trigonométricas desses ângulos. Como no caso da elipse,
8.2 A hipérbole 157
desejamos provar que
ou seja, que
ou ainda, após simplificações.
Como
tan(o: — /3) = ta.n{/3 — 7 ),
m+ — m m — nri- 
1 + m +m 1 + m m - ’
(ru-t- + ~ 1 ) + 2 m ( l — = 0 .
= y
X — c
y tí^x
m_ = ------- e m =
X + c a^y
(excluídos os casos ^ = 0, x = ±c), a substituição desses valores na equação anterior, seguida de uma 
manipulação análoga à que fizemos no caso da elipse, nos conduz a
a^y^ — y^x^ + a?b^{y^ — x^ c^) = 0.
Para verificarmos que esta identidade está correta, levamos em conta que, neste caso da hipérbole,
l2 2 I 2 2 21,2 2 2 I l2b X + a y — a b e c = a + 0 ,
de sorte que o primeiro membro da identidade anterior assume a forma
+ a^y'^)(a^ + b^) + o,̂ b‘̂ (y‘̂ + c^) = a^tí^{c^ - - h^) = 0,
o que completa a demonstração. Os casos excluídos podem ser resolvidos como no caso da elipse.
Exercícios
Determine os semi-eixos o e ò, os focos e a excentricidade das hipérboles de equações dadas nos Exercícios 1 a 16. 
Faça os gráficos respectivos.
Xp'1. 7 _ = 1.
9 4 2. ^ í = 1.4 9
5. — y ̂= 9. 6. — x^ = 25.
9. x^ — 4y ̂ = 1. 10. 9x^ — y"̂ = 1.
13. 4a:̂ - 9y ̂— 8a: — 3Qy — 68 = 0.
15. x"̂ — y"̂ + 4x — 6y — 9 = 0.
3. 4x^ - 25y ̂ = 100.
7. x"̂ — y"̂ = 4.
11. — 2hy ̂ = 1.
4. 25x ̂ - 9y2 = 225. 
8. y^ — — 4.
12. 4y2 - x2 = 1.
14. + 2x — 4y + 4 = 0.
16. 2y2 _ 3a;2 Y2.X - I2y + 12 = 0.
Em cada um dos Exercícios 17 a 20 ache a equação da hipérbole de parâmetros dados e faça um gráfico.
17. Focos (—1, 0), (5, 0) e semi-eixo horizontal igual a 2. 18. Focos (0, —2), (0, 5) e semi-eixo vertical igual a 2,5. 
19. Focos (-1, 1), (4, 1) e extremidade e = 5/3. 20. Focos (1, —2), (1, 3) e excentricidade e = 1,25.
21. Demonstre que a equação da reta tangente à hipérbole ò^x ̂— â y"̂ = num de seus pontos P q — (x q , yo) é
xqx yoy
62 = 1.
22. Demonstre que toda reta tangente à hipérbole 6̂ x ̂— a^y“̂ = oPb’̂ tem declive, em valor absoluto, maior que b/a. 
Interprete esse resultado geometricamente.
158 Capítulo 8 Seções cônicas
23. Ache as equações das retas tangentes à hipérbole 4x^ — 9y ̂ = 36 com declive igual a 2. Faça um gráfico.
24. Demonstre que a reta normal à hipérbole b'̂ x‘̂ — num de seus pontos Pq = (xo,yo) tem equação
ô í/o , b'̂ xo
2 1 2 I 1,2^ ÔyO •+ 0̂
25. Demonstre que a reta tangente a uma hipérbole num de seus pontos P é bissetriz do ângulo F-PF^, onde F- e 
F+ são os focos da hipérbole.
26. Demonstre que a hipérbole, com equação na forma canônica, é uma curva que tem sua concavidade voltada para 
a direita no ramo da direita; e para a esquerda no ramo da esquerda. Isso implica que a reta tangente num ponto 
qualquer da hipérbole só encontra esse ramo da curva no ponto de tangência.
Respostas, sugestões e soluções
1. a = 3, 6 = 2, e = v/l3/3. Focos: (±v/Í3, 0). 3. a = 5, ò = 2, e = V ^ /5 . Focos: ( ± v ^ , 0).
5. a — b = 3, e — \/2. Focos: (±3\/2, 0). 7. a = 6 = 2, e = \/2. Focos: (±2\/2, 0).
9. a = 1, 6 = 1/2, e = Vò/2. Focos: (±^5/2, 0). 11. a = 1, ò = 1/5, e = \ /^ /5 . Focos: (± \ /^ /5 , 0).
13. a = 3, 6 = 2, e = y/l3/3. Focos: + 1, -2 ) e (1 - VÍ3, -2).
15. a = ò = 2, e= V2. Focos: (-2 + 2\/2, -3) e (-2 - 2\/2, -3).
17. (x - 2)2/4 - ^2/5 = 1. 19. - 3 /2 f/9 - {y - 1)2/4 = 1.
21. Raciocine como no Exemplo 4 da Seção 8.1.
22. Suponhamos, por contradição, que exista uma reta tangente num ponto (a:o, yo)? Que tenha declive, em valor 
absoluto, menor que b/a. Pelo exercício anterior, esse declive é b‘̂XQ/a?yQ\ portanto,
< - , donde 6|a:o| < a|í/o|,
donde segue ainda que b̂ XQ — â yQ < 0. Mas isto é absurdo, pois sendo (xq, yo) um ponto da elipse, ò2xq — â yQ = 
a^b ̂ > 0. O leitor deve fazer um gráfico para interpretaresse resultado, geometricamente, notando que ±6/o são 
os declives das assintotas.
23. 2x — y — A.y/2 = 0 e 2x — ^ + 4\/2 — 0.
24. A inclinação da reta normal num ponto (xq, yo) é m — —a^yo/b‘̂xo.
25. Raciocine como no Exemplo 5 da Seção 8.1.
26. Calcule a derivada y' e examine sua variação, determinando os trechos onde ela é crescente e decrescente.
8.3 A parábola
Vamos definir a parábola como sendo o lugar geométrico dos pontos P do plano que são equidistantes de 
uma reta e de um ponto dados. A reta é chamada diretriz e o ponto fixo é o foco da parábola.
Para obtermos a equação da parábola em forma simples, vamos considerar um sistema cartesiano de 
tal forma que a diretriz seja a reta de equação y = —p e o foco o ponto F = (0, p). (A Fig. 8.16a ilustra 
a parábola com p > 0, e a parte (b) mostra a parábola com p < 0.) Então, denotando com P = {x, y) um 
ponto genérico da parábola, devemos ter PF^ = PA^., isto é,
= {yd-p)‘̂.
8.3 A parábola 159
Mas isto equivale a
ou seja,
- 2py = 2py,
- Apy, (8 .20)
que é a equação canônica da equação da parábola. A partir da p. 43 do Volume 1, dissemos que as curvas 
y — kx^ eram parábolas. Isso é conseqüência imediata da Eq. (8.20) com p = 1/4/c.
Figura 8.16
P ro p r ied a d es e ex em p lo s
Da Eq. (8.20) segue-se que a parábola é simétrica em relação ao eixo Oy, pois a equação continua satisfeita 
quando trocamos x por —x. Isso mostra que Oy é o eixo de simetria da parábola. A origem do sistema de 
coordenadas, que pertence à parábola, é seu vértice.
E claro que podemos escolher como diretriz a reta x = —p e como foco o ponto F — (p, 0), como ilustra 
a Fig. 8.17. Isso equivale a trocar os papéis de a; e p na Eq. (8.20), de sorte que neste caso a equação da 
parábola assume a forma
y^ = 4.px,
uma equação análoga à Eq. (8.20), com a única diferença de que as coordenadas x e y estão trocadas.
Figura 8.17
Do que acabamos de ver é de se imaginar que uma equação quadrática em x e linear em y deve 
representar uma parábola com eixo de simetria paralelo a Oy] e uma equação quadrática em y e linear em
160 Capítulo 8 Seções cônicas
X deve representar uma parábola com eixo de simetria paralelo a Ox. Para vermos isso, devemos completar 
quadrados na ordenada quadrática, como ilustra o exemplo seguinte.
E xem plo 1. Vamos identificar a parábola de equação + 12a: — 48^ + 153 = 0. Primeiro dividimos 
a equação por 4, em seguida completamos o quadrado em x. Obtemos, sucessivamente.
x^ -\-2>x = 12y
153 3
^ + 2
153 9
1 2 !/- — + 4- ^ + 2 ) = 1 2 ( y - 3 ) .
Esta última forma sugere a translação de eixos dada por X = x-í- 3/2, Y = y — 3. Nas novas coordenadas a 
equação passa a ser = 12V. Comparada com (8.20), vemos que ela representa uma parábola com p = 3. 
No sistema Oxy, a diretriz Y = —p é a reta y = 0, ou seja, o eixo Ox; o foco X = 0, Y — p é o ponto 
F = (—3/2, 6); o vértice X = F = 0 é o ponto V = (—3/2, 3); e o eixo da parábola é a reta x = —3/2. O 
leitor deve fazer um gráfico.
O trinôm io do segu ndo grau
O resultado que acabamos de ver num caso concreto pode ser demonstrado em sua generalidade. Com efeito, 
vamos provar que toda equação do segundo grau,
y = ax^ -\-bx c,
representa uma parábola. Para isso, completamos o quadrado no segundo membro:
b \ ̂ ^ac — b̂
Portanto,
b̂ — 4ac 
4a
Isto sugere a translação de eixos dada por
b - 4ac
ilustrada na Fig. 8.18. Pondo ainda p = l/4 a , a equação da parábola assume a forma canônica X^ = ApY
Figura 8.18 Figura 8.19
8.3 A parábola 161
Vejamos um exemplo de parábola a partir do foco e da diretriz.
E xem plo 2. Vamos encontrar a equação da parábola tendo como foco o ponto F = (1, 2) e como 
diretriz a reta y = I (Fig. 8.19). Neste caso, o vértice é o ponto V = (1, 3/2) e a equação da parábola é
a qual, após simplificações, fica sendo
2/ = y - a: + 2.
A parábola com o p osição-lim ite de um a elipse
A parábola pode ser considerada como a posição-limite de uma elipse com um de seus focos no infinito. 
Para vermos isso, começamos com a equação canônica da elipse num sistema 0 'X Y (Fig. 8.20a):
A seguir transladamos os eixos, de acordo com as equações X = x — a , Y = y ,d e forma que um dos vértices 
da elipse coincida com a nova origem O (Fig. 8.20b). Dessa maneira a equação da elipse assume a forma
{x - ^ _ 1
«2 62 -L-
Figura 8.20
Para deslocar o foco F+ para infinito, mantendo fixo o foco F_, devemos manter fixo o número p = a —c 
e fazer a + c tender a infinito (Fig. 8.20b). Com a — c = p obtemos a-\-c = 2a — p e
= {a — c)(a -h c) = p(2a — p),
de sorte que a equação da elipse assume a forma
{x — a)‘‘
p{2a - p) = 1, (8 .21)
162 Capítulo 8 Seções cônicas
que equivale a
{x — à f' — -\- a V = 0 .p{2a - p)
Como {x — a)^ — — 2ax, a equação anterior pode ainda ser escrita na forma
,2
+ ayp{2a - p)
- 0 .
Finalmente, fazendo a oc, obtemos
- 2x + ^ = 0,
2p
que é a equaçao canônica da parábola, = 4px.
O leitor deve notar que os dois parâmetros a e c tendem a infinito de maneira a manter p = a — c fixo. 
Esta relação foi usada para eliminar ò e c, dando-nos a Eq. (8.21). Esta foi subseqüentemente transformada 
de maneira que, quando fizéssemos a —> oo, ficássemos com os termos em x e em y^. Observe ainda que
n n
1 com c —> oo.
a c-\-p
Em vista disso, a parábola é considerada uma cônica de excentricidade sempre igual a 1.
P ro p r ied a d e d e reflexão d a p aráb o la
O fato de a parábola ser a posição-limite de uma elipse e a propriedade de reflexão da elipse, tra tada na 
Seção 8.1 (p. 150), sugerem que a parábola também goze de uma propriedade refletora. Para tra ta r disso, 
vamos considerar uma parábola com eixo Ox e equação canônica y^ = 4px (Fig. 8.21). Sua propriedade de 
reflexão assim se exprime:
A reta normal à parábola num de seus pontos P — {x, y) é bissetriz do ângulo FPQ, onde F = {p, 0) é 
o foco da parábola e PQ é uma reta paralela ao eixo Ox.
Provar essa propriedade significa provar que os ângulos Q PN e N P F são iguais, onde P N é a normal 
à curva em P. Para isso, basta provar que esses ângulos têm tangentes trigonométricas iguais. Como 
Q PN = O N P e N P F = P N x — P F N f o que desejamos provar é que
tanOAí^P = ta.n{PNx — PF N ).
Sejam m o declive da reta normal P N e m ' o da reta FP. Como O N P e P N x são ângulos suplementares, 
tan O N P = — tan P N x = —m, e a igualdade anterior assume a forma
—m =
m — m 
1 + m 'm ’
ou seja.
m \ l — m?) — 2m = 0. (8.22)
Derivando a equação da parábola y = 2y/px, obtemos y' = \/p /x , donde m — —Ify ' = —yjxjp. Por 
outro lado, m! — y!{x —p). Substituindo esses valores no primeiro membro de (8.22), obtemos
X — p p y p p \ p P
^Esta última igualdade exprime o fato de que um ângulo externo de qualquer triângulo é igual à soma dos ângulos internos 
não- adj acentes.
8.3 A parábola 163
Mas, pela equação da parábola, esta última expressão se anula, provando a condição (8.22), o que completa 
a demonstração da propriedade refletora da parábola.
O bservações. Na demonstração anterior, ao escrevermos y — 2 y ^ , supomos, tacitamente, que y > 0] 
o caso y — —2^ypx < 0 envolve apenas uma mudança de sinal e não oferece maior diflculdade, como o leitor 
deve veriflcar.
Como no caso da elipse, a propriedade de reflexão da parábola tem um signiflcado físico importante. 
Consideremos um espelho côncavo no formato de um parabolóide de revolução em torno de seu eixo Ox 
(Fig. 8.22). Colocando-se uma fonte luminosa pontual no foco do parabolóide, os raios de luz que dela 
emanarem e incidirem no espelho produzirão raios refletidos paralelos ao eixo Ox. Isso nada mais é que a 
lei de reflexão da luz, segundo a qual os ângulos de incidência e reflexão devem ser iguais. Reciprocamente, 
se um feixe de raios paralelos ao eixo Ox incidem sobre o espelho, eles se refletem, indo convergir no foco. 
E bem sabido que essas propriedades são usadas na construção de refletores (faróis, holofotes) e telescópios.
E interessante