apostila_Boxplot

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BOXPLOT
Uma maneira simples, 
rápida e poderosa 
de representar 
seus dados
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BoxPlot
Sumário
• Como representar esses dados? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
• O que é . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
• Box plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
• Representação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
• Métrica fundamental: Quartis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• Calculando os quartis… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
• Montando o Box Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
• Qual a vantagem? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• O que o Box-plot não mostra? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
• Outliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• Como decidir quando um dado será um outlier? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
• Resumindo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
• Exercitando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
• Resolução: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
• Representando os 4 conjuntos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
• Box Plot no Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
• Correlação utilizando box plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• ANOVA auxiliado pelo Box-Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
• Exemplo prático 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
• Exemplo prático 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
• Exercitando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
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BoxPlot
 Como representar 
esses dados?
17 31 12 5 17 22 29 6 31 31 17 33
5 25 20 33 13 13 18 26 29 12 34 22
32 8 27 28 29 6 35 7 32 6 19 15
24 16 21 14 19 19 30 11 5 10 31 23
DoTPloT:
HisToGrama:
BOX PLOT
Nos dias de hoje possuir a habilidade para lidar com dados é um grande diferencial para qualquer 
indivíduo e empresa . Grande parte das análises resultam da interpretação correta dos números, 
buscando encontrar padrões ou comportamentos que revelem alguma informação valiosa .
Existem diversas maneiras que podem ser 
utilizadas para representar de maneira 
gráfica os dados, algumas bem conhecidas e 
difundidas e outras menos . Algumas delas são 
as exemplificadas acima, como a utilização 
de dotplot e histograma . Todos os gráficos 
apresentam vantagens e desvantagens, 
facilitando algumas interpretações e 
representações . Não existe gráfico perfeito: um 
gráfico existe para facilitar uma interpretação 
ou evidenciar alguma característica . De 
maneira geral, caso um gráfico não facilite a 
interpretação dos dados ou deixe sua análise 
mais rápida, provavelmente o gráfico utilizado 
não é o mais adequado .
Um gráfico muito interessante para representar 
dados é o Box Plot . Apesar de não muito 
conhecido, quando dominado sua interpretação 
e montagem o Box Plot traz muitas vantagens 
e clareza, principalmente quando envolve 
comparação de dados . Essa ferramenta auxilia 
em muitas outras análises, como realizar 
correlações, análises de variância, etc .
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BoxPlot
O que é
 » Representação gráfica de uma variável 
numérica, utilizando quartis .
 » Recurso muito útil para realizar 
comparações de dados, principalmente a 
variação destes;
 » Útil para evidenciar correlação entre 
variáveis;
 » Permite representar dados sem que estes 
obedeçam a determinada distribuição 
específica;
 » Também conhecido como diagrama de 
caixa, diagrama de extremos e quartis
O Box Plot é uma maneira de representar 
graficamente uma variável numérica baseado 
em quartis (assunto abordado em seguida) . 
Conforme já citado, é utilizado principalmente 
quando envolve a realização de comparações 
de dados buscando, entre outras coisas, 
enfatizar suas variações/dispersões . Além 
disso, apresenta grande potencial para revelar 
correlações entre variáveis, tornando fácil 
evidenciá-las, caso existam .
Uma característica muito importante que torna 
o Box Plot versátil é o fato deste não exigir que 
os dados obedeçam a determinada distribuição . 
Qualquer tipo de dado numérico pode ser 
representado através dele .
O Box Plot pode ser referenciado com outras 
nomenclaturas, tais como “diagrama de caixa”, 
“diagrama de extremos e quartis” ou, no inglês, 
“box and whiskers plot” .
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BoxPlot
 Box plot
A fim de justificar o nome dadoa esse tipo de representação, observe a representação do Box Plot . 
Traduzindo-se do inglês, “Box” refere-se à palavra “caixa”, conforme há muita similaridade entre a 
estrutura do gráfico e uma caixa no formato de um paralelepípedo .
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BoxPlot
 Representação
Whisker; 
“Fio de 
bigode”
Whisker; 
“Fio de 
bigode”
“CAIXA”
Limite 
Superior
3º 
quartil
Mediana
1º 
quartil
Limite 
Inferior
De maneira geral, o Box Plot apresenta uma 
estrutura conforme mostrada pela imagem . 
Na sua representação, são ilustrados 5 
características: limite inferior; 1º quartil; 
mediana; 3º quartil; limite superior .
A fim de facilitar o diálogo, a estrutura em azul 
é referenciada como “Caixa” . Do topo e base da 
caixa existem duas estruturas (linhas) que vão 
até os limites inferior e superior . Tais linhas são 
conhecidas como “Whisker” ou, coloquialmente, 
“fio de bigode” .
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BoxPlot
 Métrica 
fundamental: Quartis
Andar nº funcionários
1º 42
2º 19
3º 44
4º 53
5º 28
6º 19
7º 22
8º 23
9º 39
10º 35
11º 39
Entender como se constrói um Box Plot é de 
suma importância para seu entendimento e 
interpretação . Para confeccioná-lo é necessário 
ter claro o conceito fundamental em que o 
gráfico se baseia: os quartis . Essa métrica é 
a base para a construção e representação de 
qualquer Box Plot .
» Os quartis (Q1; Q2; Q3) dividem uma 
distribuição de dados em 4 partes iguais .
EXemPlo: 
» Observe a distribuição abaixo que 
representa o número de funcionários 
alocados em cada andar de um prédio 
comercial .
Para facilitar o entendimento dos conceitos 
sobre quartis, considere o exemplo mostrado . 
Nele, tem-se representado em uma tabela o 
número de funcionários alocados em cada 
andar de uma prédio comercial . Observe que a 
tabela contempla até o 11º andar . Por exemplo, 
no 1º andar existem 42 funcionários alocados; 
no 5º andar, 28; e assim por diante .
Esses dados podem ser representados através 
de um Box Plot .
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BoxPlot
 Calculando 
os quartis…
1º Passo: Ordenar os dados.
2º Passo: LoCaliZar a mediana.
19 19 22 23 28 35 39 39 42 44 53
19 19 22 23 28 35 39 39 42 44 53
MEDIANA
50%50%
Para a construção do Box Plot é necessário ter conhecimento de quais são 
os quartis dos dados . Para isso, é necessário calculá-los . Durante o cálculo 
destes, seus conceitos serão explicados .
» Como 1º passo, deve-se ordenar os dados numa sequência crescente, 
conforme observado . Ordenando os números, parte-se do valor mais 
baixo (19) até o mais alto (53) .
» O 2º passo fundamental é localizar a mediana dos dados . A mediana 
é o número que divide a distribuição dos dados ao meio, ou seja, 
metade dos valores encontram-se abaixo da mediana e a outra 
metade acima desta . Observe os dados do exemplo: tem-se 11 
valores que representam os 11 andares do prédio comercial . A 
mediana equivale ao valor de 35, pois esse valor divide os dados de 
tal modo que 5 dados ficam localizados abaixo de 35 e os outros 5 
restantes, acima do 35 . Falando-se em termos de porcentagem, a 
mediana divide os dados de modo que 50% dos valores estão abaixo 
dela e os outros 50% acima .
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BoxPlot
 Calculando 
os quartis…
3º Passo: CalCUlar o Primeiro e TerCeiro QUarTis.
19 19 22 23 28 35 39 39 42 44 53
19 19 22 23 28 35 39 39 42 44 53
MEDIANA
2º quartil
1º quartil 3º quartil
1/4
25%
1/4
25%
1/4
25%
1/4
25%
» O 3º passo é o cálculo dos 1º e 3º quatis . Mas e o 2º quartil? (você pode 
se perguntar) . O 2º quartil já foi calculado . Ele é equivalente à mediana . 
A mediana é o segundo quartil; dois nomes para o mesmo número .
» O 1º quartil é definido como o valor que divide a primeira metade 
dos dados ao meio . Observando-se o exemplo, a primeira metade 
representa os valores que estão à esquerda da mediana, ou seja, os 
valores 19, 19, 22, 23 e 28 . Nessa metade, que contém 5 números, 
deve-se determinar o meio dela . O meio de um conjunto que 
apresenta 5 números é aquele que deixa 2 números à sua esquerda 
e 2 números à sua direita . Do exemplo, tem-se que o 1º quartil, 
portanto, é o número 22 .
» Para o cálculo do 3º quartil, o raciocínio é análogo, só que para a metade 
superior dos dados . Para essa metade, tem-se os valores 39, 39, 42, 44 
e 53 . O terceiro quartil é o valor que dividirá esses 5 valores ao meio, ou 
seja, dois para cada lado . Esse valor corresponde ao número 42 .
» Finalizando o processo de calcular os três quartis, também 
referenciados como Q1, Q2 (ou mediana) e Q3, os dados estão 
divididos em 4 grupos de mesmo tamanho, cada um com 1/4 da 
quantidade total de valores, ou 25% dos dados .
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BoxPlot
 Calculando 
os quartis…
19 19 22 23 28 35 39 39 42 44 53
19 19 22 23 28 35 39 39 42 44 53
19 19 22 23 28 35 39 39 42 44 53
Q2 ou mediana
Q1
Q3
1/4= 25%
1/4= 25%
2/4= 50%
3/4= 75%
3/4= 75%
2/4= 50%
ResUmindo:
» O primeiro quartil, Q1, é o valor que divide a distribuição dos dados em 
duas partes distintas . Conforme o próprio nome, primeiro quartil remete 
ao “um quarto”, ou 25% . Ou seja, o primeiro quartil divide os dados de 
modo que um quarto, ou 25%, dos dados estejam abaixo desse valor e 
os outros três quartos ou 75% restantes acima desse valor .
» O segundo quartil, Q2, equivalente à mediana, divide a distribuição 
dos dados em dois grupos iguais . É o meio dos dados . Conforme o 
nome “segundo quartil” remete, dois quartos dos dados (ou 50%) 
se localizam abaixo desse valor e os outros dois quartos (ou 50%) 
restantes, acima desse valor .
» Por fim, o terceiro quartil, Q3, é o valor que divide a distribuição dos 
dados em dois grupos distintos . Agora, três quartos, ou 75% dos 
dados, estão localizados abaixo do Q3, enquanto que o um quarto 
restante (ou 25%) acima deste .
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BoxPlot
 Montando 
o Box Plot
19 19 22 23 28 35 39 39 42 44 53
» 1º quartil 22
» 2º quartil 35
» 3º quartil 42
» mínimo 19
» máximo 53
Com o cálculo dos três quartis é possível montar o Box Plot que 
representa o nº de funcionários alocados em andares do prédio comercial .
» Do exemplo, obteve-se Q1 = 22; Q2 = 35; Q3 = 42; mínimo = 19 e 
máximo = 53 . 
» Representando a caixa do Box Plot tem-se que a base desta refere-se 
ao Q1, ou seja, 22 . O topo da caixa refere-se ao Q3, ou seja, 42 . A linha 
intermediária da caixa representa a mediana dos dados ou o Q2 . 
Portanto, essa linha remete ao valor 35 .
» Por fim, o whisker (ou fio de bigode) inferior liga a base da caixa 
até o mínimo dos dados . Portanto, uma linha ligando a base até o 
valor de 19; e o whisker superior compreende o topo da caixa até 
o valor máximo dos dados . Logo, uma linha do topo até o valor 
correspondente à 53 .
Pronto, o Box Plot está montado . Com ele conclui-se que o prédio 
comercial apresenta em seus andares desde 19 funcionários até 53 . Sabe-
se que 25% dos andares apresentam de 19 a 22 funcionários alocados; 
25% entre 22 e 35; 25% entre 35 e 42; e 25% entre 42 e 55 funcionários .
Obs: os extremos dos whiskers nem sempre abrangerão desde o mínimo 
ao máximo dos dados . Isso acontece quando outliers estão presentes . 
Esse assunto será abordado em seguida .
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BoxPlot
 Qual a 
vantagem?
Fácil compreensão Simples Entendimento da dispersão
» Primeiramente o gráfico é de fácil 
compreensão .
» Através do exemplo mostrado, onde é feita 
a comparação entre as alturas de dois times 
de futebol, A e B, é possível perceber isso .
» De maneira muito rápida, é fácil concluir 
que o time de futebol B apresenta, em 
geral, jogadores mais altos quando 
comparados com o time A .
» Além disso, é uma maneira simples de 
mostrar as distribuições das alturas dos 
times .
Um dos principais diferenciais do Box Plot é a nitidez para se perceber a dispersãodos dados . No 
caso, tem-se que o time de futebol A apresenta uma dispersão muito maior das alturas quando 
comparado com o time B . Este, é muito mais constante . Todo o time apresenta alturas desde 1,90 
até 2,05m, enquanto que o time A apresenta alturas de aproximadamente 1,60 a 2,00m .
QUal a vanTaGem em rePresenTar os dados UTiliZando o BoX PloT?
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BoxPlot
 O que o Box-plot 
não mostra?
» É possível saber qual a média de altura do 
time A? NÃO
» É possível saber qual a média de altura do 
time B? NÃO
» É possível saber quantos jogadores tem o 
time A? NÃO
» É possível saber quantos jogadores tem o 
time B? NÃO
BoX-PloT não mosTra
O Box Plot é um gráfico completo que representa tudo? Não! Como qualquer ferramenta gráfica, o 
Box Plot apresenta vantagens e desvantagens . As primeira vimos anteriormente . 
O que o Box Plot não mostra, por exemplo, é a média dos dados . Observando os Box Plots das 
alturas dos times, é possível saber qual a média de altura dos jogadores do time A? Não . E do time 
B? Também não! Média é uma estatística que, por padrão, não é mostrada no Box Plot .
Além disso, é possível afirmar quantos jogadores o time de futebol A apresenta? Não! E a mesmo 
vale para o time B . A quantidade de dados não é mostrada no Box Plot .
Portanto, o Box Plot é uma excelente ferramenta quando deseja-se comparar distribuições de 
dados, evidenciando, por exemplo, a dispersão destes . Porém, valores como a média e o tamanho 
amostral não é possível afirmar nada à respeito . Caso esses valores sejam interessantes de se 
conhecer, o Box Plot deve ser complementado com outra ferramenta .
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BoxPlot
Outliers
 » Um empresa de logística 
monitora o tempo que os 
entregadores levam para 
realizar uma rota entre 
duas cidades próximas .
 » Os dados coletados 
durante um mês estão 
representados pelo box 
plot ao lado
Outlier
Valor atípico“pon-
to fora da curva”
Observando-se um Box Plot é possível que, em alguns casos, apareça o chamado outlier . Este é 
representado através de um * (asterisco) ou um ponto .
 » Como outlier entende-se um valor atípico, popularmente chamado de “ponto fora da curva” . É 
um valor que se distanciou muito dos demais .
Para entender sua representação, observe o exemplo de uma empresa logística que monitora 
o tempo que os entregadores levam para realizar uma rota entre duas cidades próximas . Esses 
valores foram resumidos através do Box Plot mostrado . Nele há a presença de um outlier .
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BoxPlot
Outliers
Observemos os dados:
Semana
1ª 2ª 3ª 4ª
45 57 48 51
55 52 50 55
49 39 55 42
42 42 55 111
44 44
Outlier!
Para entender o conceito de outlier observe os 
valores que geraram o Box Plot . São mostrados 
valores de tempos para quatro semanas .
 » Repare que o outlier representa a 
observação de valor 111 . Observando-se 
os dados como um todo, tem-se que estes 
giravam em torno de 39 a 55 . Porém o 111 
“fugiu” desse padrão . Logo esse valor é 
mostrado pelo Box Plot como um outlier . 
Quando presente, cabe ao responsável por 
interpretar os dados entender o que ocorreu 
para que um valor discrepante ocorresse . Algo 
aconteceu especificamente nessa entrega . 
Alguma rota precisou ser alterada, aconteceu 
algum acidente, etc .
 » Importante salientar que um outlier nem 
sempre é um erro de amostragem ou 
um defeito/problema . Ele é um valor que 
se distanciou dos demais e precisa ser 
entendido o que o ocasionou . Seu descarte 
fica à cargo do responsável pelos dados .
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BoxPlot
 Como decidir quando um 
dado será um outlier?
Calculemos: Q3 + 1,5 (Q3 – Q1)
Q3 + 1,5 (Q3 – Q1)
55,00 + 1,5 (11,50)
= 72,25
Q1 - 1,5 (Q3 – Q1)
43,50 - 1,5 (11,50)
= 26,25
Calculemos: Q1 - 1,5 (Q3 – Q1)
Q3 – Q1 =
(55,00 – 43,50) = 11,50
39 42 42 42 44 44 45 48 49 50 51 52 55 55 55 55 57 111
Q1 = 43,50
Q2 ou mediana = 49,50
Q3 = 55,00
PorTanTo
OUTliers são Todos os valores abaiXo de 26,25 e aCima de 72,25
Como determinar com exatidão se um dado 
observado representa um outlier? Como saber 
se um valor é muito distante dos demais ao 
ponto de ser considerado um valor atípico? 
Como o conceito de “estar distante” é muito 
subjetivo, há uma maneira matemática de se 
descobrir a presença de outlier(s) .
Para isso é necessário realizar dois cálculos, 
conforme mostrado .
Com os valores dos quartis calculados, 
primeiramente deve-se calcular o valor da 
expressão Q3 + 1,5 (Q3 - Q1) . A subtração Q3 - Q1 
é também chamada de Amplitude Interquartil . 
Observando a representação de um Box Plot, 
essa amplitude representa a altura da caixa .
» Portanto, o primeiro passo é calcular Q3 + 
1,5 * Amplitude Interquartil . 
Calculando a Amplitude Interquartil, tem-se (55 
- 43,5) = 11,50 . Multiplicando-se esse valor por 
1,5 e acrescentando Q3 obtém-se 72,25 .
» O segundo passo é realizar uma outra 
análise para a expressão Q1 - 1,5 (Q3 - Q1) .
» Substituindo-se os valores, obtém-se 26,25 .
Com esses dois valores obtidos, consegue-se 
fazer a análise da presença ou ausência de 
outliers .
Um outlier será qualquer valor dos dados que 
deseja-se representar por um Box Plot que não 
esteja compreendido entre esse intervalo obtido .
Ou seja, para esse exemplo, um outlier será um 
(ou mais) valor dos dados que esteja fora do 
intervalo compreendido entre 26,25 e 72,25 . 
Portando, observando-se os dados dos tempos 
de entrega, que correspondem valores de 39 
até 111, tem-se que o 111 é o valor que não está 
compreendido no intervalo entre 26,25 e 72,25 . 
Logo, 111 é um outlier .
» Sua representação no Box Plot é dada 
através de um asterisco (*) .
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BoxPlot
 Resumindo
Limite Superior = mín { max 
(dados); Q3 + 1,5 (Q3 – Q1) }
3º quartil
Mediana
1º quartil
Limite Inferior = máx { min 
(dados); Q1 – 1,5 (Q3 – Q1)
Finalizado a compreensão dos outliers, é 
possível resumir, de maneira completa, como é 
a representação do Box Plot . 
Os conceitos explicados até aqui para o que 
a caixa representa são os mesmos: a base 
representa o Q1; a linha intermediária a 
mediana ou Q2; e o topo, Q3 .
As novidades são as extensões dos whiskers . 
O whisker nem sempre compreende todos os 
valores dos dados . Isso porque um whisker não 
pode ser traçado até um outlier, por exemplo . 
Logo, uma análise mais cautelosa deve ser 
realizada para descobrir sua extensão .
» O Limite Inferior, ou seja, o comprimento 
do whisker que parte da base da caixa será 
o valor máximo entre o mínimo dos dados 
ou Q1 - 1,5 (Q3 - Q1) . Em outras palavras: a 
extensão do whisker inferior é até o valor 
mínimo dos dados caso a distribuição 
não apresente outliers à esquerda da 
mediana ou será Q1 - 1,5 (Q3 - Q1) caso seja 
confirmada a presença do outlier .
» O Limite Superior, ou seja, o comprimento 
do whisker que parte do topo da caixa será 
o mínimo entre o máximo dos dados ou Q3 
+ 1,5 (Q3 - Q1) . Em outras palavras: o limite 
superior é o máximo dos dados caso não 
há presença de outlier acima da mediana 
ou será Q3 + 1,5 (Q3 - Q1) quando o outlier 
estiver presente .
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20
BoxPlot
 Exercitando
É hora de praticar . São fornecidos 4 conjuntos 
(A, B, C e D) . Represente os 4 conjuntos através 
de Box Plots .
» Considere os quatro conjuntos de dados 
mostrados ao lado .
» Represente esses conjuntos utilizando-se 
box plots .
A B C D
1 3 1 1
1 4 4 2
1 5 6 3
2 5 10 4
4 6 12 5
5 7 14 6
6 8 14 7
7 10 14 8
10 12 15 9
11 12 16 10
13 15 16 11
14 21 12
14 22 13
15 27 13
16 30 13
17 30 30
18 30
20
25
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21
BoxPlot
 Resolução:
A
1
1
1
2
4
5
6
7
10
11
13
14
14
15
16
17
18
20
25
» Q1 = 4
» Q2 = 11
» Q3 = 16
Há Presença de OUTliers? VERIFICAR!
QUal o TamanHo dos WHisKers?
Q3 + 1,5 (Q3 – Q1)
16 + 1,5 (16 - 4) = 34
Q1 - 1,5 (Q3 – Q1)4 - 1,5 (16 - 4) = - 14
Outiliers são dados 
que estão fora desse 
intervalo
PORTANTO NÃO HÁ OUTLIERS
» Limite Superior = mín { max (dados); Q3 + 1,5 (Q3 – Q1) }
• Limite Superior = min { 25 ; 34 } = 25
» Limite Inferior = máx { min (dados); Q1 – 1,5 (Q3 – Q1)
• Limite Inferior = máx { 1 ; -14 } = 1
CalCUlando-se os TrÊs QUarTis, obTÉm-
se Q1 = 4; Q2 = 11 e Q3 = 16.
O segundo passo é verificar a presença de outlier . Para isso realiza-se 
as duas expressões: Q3 + 1,5 (Q3 - Q1) e Q1 - 1,5 (Q3 - Q1) . Desse passo, 
obtém-se o intervalo entre -14 e 34 . Como o conjunto A apresenta valores 
de 1 a 25, não há a presença de outlier .
O último passo é saber a extensão dos whiskers . Como não há a presença 
de outlier, o limite inferior será o mínimo dos dados e o superior o máximo 
destes . 
Com todos os valores calculados fica fácil traçar o Box Plot 
correspondente ao conjunto A .
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22
BoxPlot
 Resolução:
B
3
4
5
5
6
7
8
10
12
12
15
» Q1 = 5
» Q2 = 7
» Q3 = 12
Há Presença de OUTliers? VERIFICAR!
QUal o TamanHo dos WHisKers?
Q3 + 1,5 (Q3 – Q1)
12 + 1,5 (12 - 5) = 22,5
Q1 - 1,5 (Q3 – Q1)
5 - 1,5 (12 - 5) = - 5,5
Outiliers são dados 
que estão fora desse 
intervalo
PORTANTO NÃO HÁ OUTLIERS
» Limite Superior = mín { max (dados); Q3 + 1,5 (Q3 – Q1) }
• Limite Superior = min { 15 ; 22,5 } = 15
» Limite Inferior = máx { min (dados); Q1 – 1,5 (Q3 – Q1)
• Limite Inferior = máx { 3 ; - 5,5} = 3
Para o ConJUnTo B obTeve-se Q1 = 5; Q2 = 7 e Q3 = 12.
O segundo passo é verificar a presença de outlier . Para isso realiza-se 
as duas expressões: Q3 + 1,5 (Q3 - Q1) e Q1 - 1,5 (Q3 - Q1) . Desse passo, 
obtém-se o intervalo entre -5,5 e 22,5 . Como o conjunto B apresenta 
valores de 3 a 15, não há a presença de outlier .
O último passo é saber a extensão dos whiskers . Como não há a presença 
de outlier, o limite inferior será o mínimo dos dados e o superior o máximo 
destes .
Com todos os valores calculados fica fácil traçar o Box Plot 
correspondente ao conjunto B .
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23
BoxPlot
 Resolução:
C
1
4
6
10
12
14
14
14
15
16
16
21
22
27
30
30
30
» Q1 = 11
» Q2 = 15
» Q3 = 24,5
Há Presença de OUTliers? VERIFICAR!
QUal o TamanHo dos WHisKers?
Q3 + 1,5 (Q3 – Q1)
24,5 + 1,5 (24,5 - 11) = 44,75
Q1 - 1,5 (Q3 – Q1)
11 - 1,5 (24,5 - 11) = -9,25
Outiliers são dados 
que estão fora desse 
intervalo
PORTANTO NÃO HÁ OUTLIERS
» Limite Superior = mín { max (dados); Q3 + 1,5 (Q3 – Q1) }
• Limite Superior = min { 30 ; 44,75 } = 30
» Limite Inferior = máx { min (dados); Q1 – 1,5 (Q3 – Q1)
• Limite Inferior = máx { 1 ; - 9,25} = 1
Para o ConJUnTo C obTeve-se Q1 = 11; Q2 = 15 e Q3 = 24,5.
O segundo passo é verificar a presença de outlier . Para isso realiza-se 
as duas expressões: Q3 + 1,5 (Q3 - Q1) e Q1 - 1,5 (Q3 - Q1) . Desse passo, 
obtém-se o intervalo entre -9,25 e 44,75 . Como o conjunto C apresenta 
valores de 1 a 30, não há a presença de outlier .
O último passo é saber a extensão dos whiskers . Como não há a presença 
de outlier, o limite inferior será o mínimo dos dados e o superior o máximo 
destes . 
Com todos os valores calculados fica fácil traçar o Box Plot 
correspondente ao conjunto C .
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24
BoxPlot
 Resolução:
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13
13
30
» Q1 = 4,25
» Q2 = 8,50
» Q3 = 12,75
Há Presença de OUTliers? VERIFICAR!
QUal o TamanHo dos WHisKers?
Q3 + 1,5 (Q3 – Q1)
12,75 + 1,5 (12,75 – 4,25) = 25,5
Q1 - 1,5 (Q3 – Q1)
4,25 - 1,5 (12,75 – 4,25) = - 8,5
Outiliers são dados 
que estão fora desse 
intervalo
PORTANTO HÁ OUTLIERS
» Limite Superior = mín { max (dados); Q3 + 1,5 (Q3 – Q1) }
• Limite Superior = min { 13 ; 25,5 } = 13
» Limite Inferior = máx { min (dados); Q1 – 1,5 (Q3 – Q1)
• Limite Inferior = máx { 1 ; - 8,5 } = 1
Para o ConJUnTo D obTeve-se Q1 = 4,25; Q2 = 8,50 e Q3 = 12,75.
O segundo passo é verificar a presença de outlier . Para isso realiza-se as 
duas expressões: Q3 + 1,5 (Q3 - Q1) e Q1 - 1,5 (Q3 - Q1) . Desse passo, obtém-
se o intervalo entre -8,5 e 25,5 . Como o conjunto B apresenta valores de 1 a 
30, há a presença de outlier . O outlier corresponde ao valor de 30 pois esse 
valor é superior ao valor de 25,5 encontrado anteriormente .
O último passo é saber a extensão dos whiskers . Como não há a presença de 
outlier abaixo da mediana, o limite inferior será o mínimo dos dados . Já para 
o limite superior, tem-se a presença de outlier . Portanto, deve-se analisar qual 
valor é menor: o máximo dos dados ou Q3 + 1,5 (Q3 - Q1)? Importante frisar 
que o máximo dos dados é 13 . O valor de 30, conforme visto anteriormente, é 
um outlier . Por definição outlier não faz parte do conjunto de dados . Logo, o 
mínimo entre 13 e 25,5 é 13 .
Com todos os valores calculados fica fácil traçar o Box Plot correspondente ao 
conjunto D . O outlier é representado como um asterisco no valor referente à 30 .
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25
BoxPlot
 Representando 
os 4 conjuntos:
» Resumindo os 4 conjuntos na mesma representação, todos na 
mesma escala, utilizando-se um soft ware .
» É possível realizar a comparação dos quatro conjuntos . Uma 
conclusão possível de perceber é que o conjunto C é o que apresenta 
a maior variação de valores dado a extensão de seu Box Plot .
» Os conjuntos B e C se parecem bastante em termos de variação . Para 
o conjunto D tem-se a presença do outlier .
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26
BoxPlot
 Box Plot 
no Excel
Sabe-se que na prática, na maior parte das vezes, o Box Plot será realizado com a ajuda de um 
soft ware . A utilização destes traz vantagens uma vez que torna o processo mais rápido, além de 
conseguir um resultado esteticamente mais agradável .
Um dos soft wares possíveis de realizar o Box Plot é o tão conhecido Microsoft Excel, muito utilizado 
e difundido nas empresas e universidades . Nesse soft ware o Box Plot é denominado de “Caixa 
Estreita” . O recurso é encontrado na seção Gráficos, abaixo do Histograma, conforme mostrado .
» O Microsoft Excel traz em seu pacote de recursos a opção para construir um gráfico box plot .
» No caso, ele é denominado “Caixa Estreita”
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27
BoxPlot
 Box Plot 
no Excel
RealiZando o eXemPlo dos QUaTro ConJUnTos no EXCel:
1. Selecione o conjunto de dados; 2. Inserir → Gráficos → Caixa Estreia
A aplicação do Box Plot via Excel é muito rápida e simples .
» O primeiro passo é inserir os dados que se deseja representar . Para ilustrar é mostrado o 
exemplo dos quatro conjuntos realizado anteriormente . Com os dados inseridos, deve-se 
selecioná-los de modo que fiquem conforme mostrado na imagem . Em seguida, clicar nos 
comandos Inserir --> Gráficos --> Caixa Estreita .
» Instantaneamente o Box Plot dos quatro conjuntos será gerado conforme mostrado .
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28
BoxPlot
 Box Plot 
no Excel
» É possível alterar o que é mostrado no box plot . Clique sobre alguma caixa e as opções serão 
mostradas ao lado .
» Por exemplo: por padrão, o Excel mostra (através de um símbolo “x”) a média dos dados .
Como todo recurso do Microsoft Excel, várias 
possibilidades de personalização são possíveis . 
Para o Box Plot não é diferente .
Observando-se o resultado gráfico mostrado, 
é possível perceber que o Excel traz, no Box 
Plot, um símbolo análogo à letra “x” . Essa 
representação corresponde à média do conjunto 
de dados . É uma representação “extra” que o 
Excel traz . Isso é possível de ser personalizado .
Caso deseja-se editar o Box Plot mostrado, 
basta selecioná-lo e uma janela de opções de 
formatação será mostrada ao lado direito da 
tela, conforme pode ser visto pela imagem .
Nas opções é possível desabilitar a opção de 
mostrar a média dos dados . Além disso, é 
possível ocultar os outliers . No Excel eles são 
chamados de “pontos de exceção” .
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29BoxPlot
Correlação 
utilizando box plot
 » Correlação é a “interdependência entre 
duas variáveis”
 » Exemplo: Uma empresa que produz 
canecas plásticas estava enfrentando 
problemas com tempos excessivos de 
setup . Como a variedade de modelos era 
elevada, o setup é considerado crítico 
para a produção . Os responsáveis por um 
projeto de melhoria estavam desconfiados 
que havia diferentes nos tempos de setup 
entre os três turnos . Buscando verificar se 
havia correlação entre o tempo de setup e 
o turno de trabalho, foram coletados dados 
conformes mostrado ao lado:
1º turno 2º turno 3º turno
20 24 29
19 23 24
21 28 26
21 22 28
22 24 27
18 24 27
20 23 25
20 21 29
19 25 25
19 23 26
23 26 28
21 27 26
19 22 28
20 22 27
22 25 25
18 26 30
Outra utilidade bastante interessante do Box 
Plot é o poder de facilitar o reconhecimento de 
correlações entre variáveis .
O conceito de correlação basicamente é a 
existência de interdependência entre duas 
variáveis . Como exemplo pode-se citar a venda 
de picolés nas praias . Será que existe correlação 
entre o número de picolés vendidos e a estação 
do ano? Será que no verão há um aumento no 
número de vendas? Isso é buscar correlacionar 
variáveis . Usando bom senso, sabe-se que no 
verão as temperaturas são mais elevadas, mais 
pessoas vão às praias . Logo, é comum de se 
esperar que a venda de picolés seja maior desse 
período do ano . Portanto, há correlação entre o 
período do ano e o número de picolés vendidos . 
Uma maneira de mostrar essa correlação 
poderia ser através de um Box Plot .
Como exemplo que é mostrado, tem-se uma 
empresa que produz canecas plásticas . Esta 
estava enfrentando problemas devido à tempos 
excessivos de setup (preparação da máquina) . 
Uma equipe estava desconfiada que o tempo 
de setup variava entre os três turnos . A fim de 
evidenciar alguma correlação entre os tempos 
de setup e o turno correspondente, foram 
coletados dados conforme mostrado na tabela .
apostila_Boxplot.indd 29 22/10/2019 10:19
30
BoxPlot
 Correlação 
utilizando box plot
Como TradUZir esses dados de maneira a evidenCiar 
se eXisTe Correlação? BOX-PLOT!!
» A análise dos números mostrados na tabela 
sem um recurso gráfico fica difícil de se 
perceber padrões e correlações . O Box 
Plot é um excelente recurso para traduzir 
os números numa imagem, facilitando a 
interpretação .
» Conforme mostrado, os três Box Plot 
representam os três turnos . Os gráficos 
foram realizados no Microsoft Excel .
» Através da imagem obtida, fica fácil 
perceber a presença de correlação: 
os tempos de setup realmente estão 
relacionados ao turno de trabalho . 
Claramente pelo gráfico é possível perceber 
que os tempos do 1º turno são inferiores 
em sua maioria que os tempos do 2º turno e 
esses mais rápidos que o do 3º turno . Além 
disso, o Excel traz a média das observações, 
comprovando ainda mais essa conclusão . 
Logo, a equipe deve investigar o que 
acontece no 1º turno que torna os tempos 
de setup mais rápidos a fim de instruir os 
demais turnos à fazerem o mesmo .
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31
BoxPlot
ANOVA auxiliado 
pelo Box-Plot
ANOVA = Análise de Variação
 » Análise para comparar as médias de mais 
de duas populações
 » Exemplo: Um médico deseja comparar 
os efeitos de três diferentes remédios na 
recuperação de pacientes idosos, que 
sofreram derrame devido a um ataque 
do coração de média intensidade . Um 
total de 18 pacientes foi selecionado 
procurando manter constantes parâmetros 
como idade, condição física, motivação, 
etc . . . Esses pacientes foram divididos 
aleatoriamente em três grupos e, após 
um período de seis meses, eles foram 
avaliados por um especialista que não 
tinha conhecimento a que grupo pertencia 
cada paciente .
Remédio A Remédio B Remédio C
80 56 97
73 72 90
79 61 75
88 64 87
68 80 88
75 74 83
Outro recurso em que o Box Plot aparece como protagonista é na ANOVA .
ANOVA significa análise de variação . Esse tipo de análise é muito útil quando deseja-se comparar 
as médias de mais de duas populações a fim de afirmar se, estatisticamente, alguma é distinta das 
demais . Não é o escopo desse curso entrar no detalhe desse tipo de análise .
Como exemplo é mostrado um experimento realizado por um médico que deseja comparar três 
diferentes remédios na recuperação de pacientes idosos que sofreram derrame devido a um ataque 
do coração de média intensidade . Um total de 18 pacientes foi selecionado . Foram divididos em 3 
grupos, cada um referente a um tipo de remédio (A, B e C) . Foram anotados os resultados .
Buscando analisar se os medicamentos tinham o mesmo efeito ou se algum era significativamente 
diferente, realizou-se uma ANOVA .
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32
BoxPlot
 ANOVA auxiliado 
pelo Box-Plot
» Com o auxílio 
de um soft ware 
estatístico, sua 
análise fica fácil e 
rápida, e o Box-
plot é utilizado 
para auxiliar a 
análise conforme 
vemos
Análise de variância
Fonte GL SQ (Aj.) QM (Aj.) Valor F Valor-P
C6 2 1064,1 532,06 8,78 0,003
Erro 15 909,0 60,60
Total 17 1973,1
Nessa análise de variância, o Box Plot se faz 
presente para ajudar a elucidar os resultados .
» Para a análise foi utilizado um soft ware 
estatístico (Minitab) . Dentre os diferentes 
resultados apresentados pelo soft ware, 
um deles é um Box Plot comparando os 
resultados dos três grupos analisados 
no experimento . A partir deles, fica 
mais fácil perceber como os resultados 
variaram entre os pacientes e entre os 
medicamentos . Porém, para uma ANOVA 
é necessário um complemento na análise, 
representado pela tabela ao lado . Não é do 
interesse do curso especificar o significado 
de cada valor mostrado . Porém, o valor de 
0,003 na coluna “Valor-P” é o responsável 
por dizer que a média de pelo menos uma 
população é diferente .
Novamente o Box Plot está presente como uma 
ferramenta de apoio em uma análise muito 
importante e utilizada em projetos de melhoria, 
estudos acadêmicos e artigos científicos .
apostila_Boxplot.indd 32 22/10/2019 10:19
33
BoxPlot
 Exemplo 
prático 1:
» Um pesquisador realizou um experimento para comparar três tipos de fertilizantes . O intuito 
era descobrir qual deles contribuia mais para o crescimento de mudas de cana de açúcar . Cada 
fertilizante foi aplicado em dez mudas . Após duas semanas, anotou-se o comprimento de cada 
muda . As condições ambientais (temperatura, luminosidade, umidade, etc) foram mantidas 
idênticas . O resultado do experimento é mostrado no box-plot abaixo:
Observando-se o gráfico é possível ver de 
maneira clara a comparação entre os três 
fertilizantes .
Claramente o fertilizante 3 foi aquele que 
provocou os maiores resultados de crescimento . 
Podemos notar um outlier para esse fertilizante . 
No caso, uma das mudas apresentou um 
comportamento anormal . Este ponto deve 
ser investigado o que de fato aconteceu . 
Provavelmente essa medida será excluída .
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34
BoxPlot
 Exemplo 
prático 2:
» Uma grande rede de shoppings, com cinco unidades localizadas em regiões distintas da cidade 
de São Paulo, monitora a quantidade diária de pessoas que frequentam o shopping . Os dados 
comparativos das cinco unidades são mostrados abaixo para o mês de agosto .
Conforme mostrado no Box Plot é possível notar 
que o shopping de maior público é o localizado 
na Zona Oeste, com movimento superior à 
20 .000 pessoas todos os dias de agosto . Em 
contrapartida, a unidade localizada no Centro é 
a de menor movimento .
Comparando-se as variações, tem-se que as 
unidades do Centro e da Zona Norte são as que 
menos variaram seu movimento . Por outro lado, 
o shopping da Zona Leste apresentou a maior 
variação, com dias de aproximadamente 13 .500 
pessoas, chegando a dias com 22 .000 pessoas .
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35
BoxPlot
 Exercitando
» Os números abaixo representam a idade dos funcionários de determinada empresa . Qualo 
Box-plot que representa corretamente esses valores?
21 23 23 26 28 29 30 30 31 33 36 38 39 40 45
a)
b)
c)
» Q1 = 26
» Q2 = 30
» Q3 = 38
» Não há presença de outliers .
Resposta correta: C
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36
BoxPlot
 Exercitando
» Considerando os dados mostrados abaixo, qual o Box-plot que representa corretamente esses 
valores?
0 5 6 7 8 10 12 12 15 16 22 43 43
a)
b)
c)
» Q1 = 6,5
» Q2 = 12
» Q3 = 19
» Há presença de outlier: intervalo a ser 
analisado: -12,25 a 37,75 . Portando dois 
outliers de valor 43 .
Resposta correta: B
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A EDTI, com base em uma longa experiência de trabalho 
de consultoria em diversas indústrias, está plenamente 
capacitada para treinar e orientar equipes em atividades 
de melhoria, desenvolver processos de inovação e dar 
suporte à análise de dados (inteligência analítica) para 
subsidiar decisões de negócios.
Para permanecer no negócio e crescer as organizações 
precisam canalizar esforços para produzir produtos e 
serviços que os clientes desejam e pelos quais estão 
dispostos a pagar. Um desafio permanente da liderança 
é identificar oportunidades para aumentar o valor de 
seus produtos e serviços sob a ótica dos clientes e 
envolver seus colaboradores em atividades que 
transformem as oportunidades em realidade. Isso 
requer o domínio por parte da organização de um 
método eficiente e eficaz de realizar melhorias.
A EDTI acredita que a formação sólida de seus 
consultores, aliada à experiência e conhecimento do 
mercado, são fundamentais para ajudar a liderança 
da organização na exploração de oportunidades
de crescimento.
Dr. Ademir José Petenate, Sócio fundador da Escola EDTI 
e Professor da UNICAMP desde 1974
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	Exercitando
	Exemplo prático 2:
	Exemplo prático 1:
	ANOVA auxiliado pelo Box-Plot
	Correlação utilizando box plot
	Box Plot no Excel
	Representando os 4 conjuntos:
	Resolução:
	Exercitando
	Resumindo
	Como decidir quando um dado será um outlier?
	Outliers
	O que o Box-plot não mostra?
	Qual a vantagem?
	Montando o Box Plot
	Calculando os quartis…
	Métrica fundamental: Quartis
	Representação
	Box plot
	O que é
	Como representar esses dados?