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características dinâmicas 
dos instrumentos de 
medida 
 
 Todos nós sabemos que os instrumentos de medida demoram um certo tempo para 
atingirem o valor da medida. Esse tempo ocorre devido a inércias, resitências e atrasos 
necessários para se obter equilíbrios de forças, pressões, temperaturas, etc. 
 
5.1. - Velocidade de Resposta ou Inércia de um instrumento 
 
 Corresponde ao tempo tomado pelo sistema de medição em responder completamente a 
uma modificação no valor da variável de entrada. Vamos tomar, por exemplo, um termômetro 
de mercúrio que, estando a temperatura ambiente (20 ºC), será mergulhado numa cuba com água 
a 80 ºC. 
água
80 ºC
termômetro
a
20 ºC
 
 
Figura .5.1. - Termômetro usado para medição da temperatura da água 
 
 
 Ao ser mergulhado na cuba, o termômetro passa a receber um fluxo de calor. Todas as 
partes do termômetro (vidro do bulbo, mercúrio e vidro da haste) passam a aquecer-se. Com a 
dilatação do mercúrio, este se expande pelo tubo capilar, à medida em que vai recebendo calor. 
Vejamos : 
Instrumentação e Controle 
 
19 
água
80 ºC
 
 
Figura 5.2. - Sistema durante o equilíbrio de temperatura 
 
 
20 ºC
80 ºC
vidro
mercúrio
água
a
fluxo de
calor
Fluxo
de Calor
 
 
Figura 5.3. - Fluxo de calor passando pelo vidro do bulbo e aquecendo o mercúrio. 
 
 
 Durante o tempo em que houver fluxo de calor da água para o mercúrio, o termômetro 
estará marcando um valor errado de temperatura. É o chamado erro dinâmico. Apenas a partir 
do instante que houver equilíbrio térmico (ou seja, a água, o mercúrio e o vidro estiverem a 
mesma temperatura (80 ºC), o erro dinâmico deixa de existir, e o termômetro passa a medir a 
temperatura da água com a precisão que lhe é própria. A velocidade de resposta e o erro 
dinâmico são importantes quando se pretende medir grandezas dinâmicas. 
 
 
5.2. - Função Transferência de Sistemas. 
 
 No Capítulo 1 definimos o que um sistema, e no Capítulo 3 vimos que um instrumento de 
medida pode ser tratado como um sistema. A Fig. 5.4 mostra a configuração de um sistema, com 
as quantidades de entrada e saída. 
 
Instrumentação e Controle 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
S E 
Função 
Tranferência 
F(t) 
Figura 5.4. - Configuração de um sistema. 
 
onde : 
 E = quantidade de entrada 
 S = quantidade de saída 
 F(t) = Função transferência 
 t = tempo. 
 
 A Função Transferência relaciona as quantidades de entrada e de saída : 
 
E
SF t =)( (Eq. 5.1) 
 
 Como exemplo, o medidor de nível de combustível da Fig.3.2, teria : 
 
 
 
S = Ângulo 
do ponteiro 
E = Nível de 
combustível 
Função 
Tranferência 
F(t) 
 
 
 
 
 
 
 Quando a Função Transferência não depende do tempo, a relação entre as quantidades 
de entrada e saída é instantânea; quando F(t) é dependente do tempo (será, portanto, uma equação 
diferencial), haverá um atraso da quantidade de saída em relação à entrada. 
 Faremos, a seguir, um estudo resumido do equacionamento do comportamento dinâmico 
de instrumentos de medida. Um estudo completo pode ser encontrado no livro "Measurements 
Systems - Doebelin, E.O.", citado na bibliografia. 
 
Vamos ver, a seguir, o comportamento de instrumentos de medida para ordens zero, um e dois. 
 
 
5.3. - Instrumento de ordem zero 
 
 Quando a Função Tranferência tem grau zero, portanto uma equação algébrica, temos: 
 
 (Eq. 5.2) EbSa 00 =
 
e a Função Transferência fica : 
 
Instrumentação e Controle 
 
21 
 K
a
bF t ==
0
0
)( (Eq. 5.3) 
 
ou seja, é independente do tempo. Como a relação saída/entrada não está relacionada com o 
tempo, ela é instantânea, ou, não sofre atraso. O instrumento cuja Função Transferência tem 
essas condições é chamado de Instrumento de ordem zero. A relação b0/a0 = K é definida 
como sensitividade estática, e já foi definida no capítulo 4. 
 Vamos tomar como exemplo o medidor de deslocamento por potenciômetro da Fig. 5.5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Corpo com 
movimento 
vibratório 
V 
Xe 
Vs 
Figura 5.5. - Instrumento de ordem zero. 
 
 Deseja-se medir a distância xe, obtendo-se a tensão Vs, através da variação da resistência 
elétrica. Considerando-se que a resistência é linearmente distribuída em todo o comprimento L, 
podemos escrever : 
 
 XeKV
L
XeVs .Vs seja,ou == (Eq. 5.4) 
onde 
 
 
L
VK = (Eq. 5.5) 
 
 Nota-se claramente que não existe qualquer atraso no valor da tensão Vs, quando se 
altera Xe. A resposta é imediata. Qualquer que seja a alteração de Xe, haverá uma resposta 
proporcional e sem atraso de Vs. 
 
 
5.4. - Instrumentos de primeira ordem 
 
 A equação geral de um sistema de 1ª ordem é: 
 
 EbSa
dt
dSa 001 =+ (Eq. 5.6) 
 
 Dividindo a equação por a0, teremos : 
 
Instrumentação e Controle 
 
22 
 E
a
b
S
dt
dS
a
a
0
0
0
1 =+ (Eq. 5.7) 
 
onde podemos definir 
 
 K b
a
= 0
0
 como sensitividade estática (Eq. 5.8) 
e 
 
 τ = a
a
1
0
 como constante de tempo. (Eq. 5.9) 
 
 A constante de tempo τ sempre tem a dimensão de tempo [segundo, minuto, hora, etc], e 
é a responsável pelo atraso da resposta. A sensitividade estática K (válida para instrumento de 
qualquer ordem) tem a dimensão da relação saída/entrada. 
 
 Portanto, a Função Transferência para um instrumento de medida de primeira ordem é : 
 
 
1
 KES.DS +=→=+→=+ D
K
E
SKES
dt
dS
τττ (Eq. 5.10) 
 
ou seja, um instrumento de primeira ordem pode ser representado pelo sistema : 
 
 
 
S E 
 
K 
τ. D + 1 
 
 
 
 
 
 
 Como exemplo de instrumento de primeira ordem, tomemos o termômetro das Figs. 5.1, 
5.2 e 5.3. A quantidade de entrada E é a temperatura da água a ser medida Te, e a quantidade 
de saída é a distância S indicada no termômetro. 
 
 
 
 
 
 
S
Te
Figura 5.6. - Variáveis do termômetro 
 
Equacionando-se o fluxo de calor e o volume expandido, chegaremos na equação 5.7 com os 
seguintes valores: 
Instrumentação e Controle 
 
23 
 
 K
K V
A
ex b
c
= . [in/ºF] (Eq. 5.11)
 
 
 τ ρ= . ..
C V
U A
b
b
 [segundos] (Eq. 5.12) 
 
 
 
onde : 
 Tt = Temperatura do fluido do bulbo (para Te = 0 ⇒ X0 = 0 ), [ º F] 
 Kex = diferença entre os coeficientes de dilatação do fluido e do vidro [in3/in3.ºF] 
 Vb = volume do bulbo [in3] 
 Ac = área da secção transversal do tubo capilar [in2]. 
 U = Coeficiente de transmissão de calor da parede do bulbo [in2. ºF s] 
 Ab = Área de transferência de calor do bulbo [in2] 
 ρ = densidade do fluido do termômetro [lb/in3] 
 C = calor específico do fluido do termômetro [lb.ºF]. 
 
 
Resposta de instrumentos de 1ª Ordem para entrada degrau 
 
 Uma das formas mais claras de se avaliar a velocidade de resposta de um instrumento de 
medida, é aplicando uma entrada repentina, cronometrando o tempo de resposta. Esse tipo de 
entrada é chamada de entrada degrau. A entrada degrau teria o seguinte aspecto : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ed 
Tempo
E 
Fig. 5.7. - Entrada do tipo degrau. 
 
A entrada degrau sempre assume a condição de E = 0, para t = 0. 
 
 A solução homogênea para a equação diferencial é : 
 
 (Eq. 5.13) 
τ/. th eCS −=
 
e a solução particular é : 
 
Instrumentação e Controle 
 
24 
 (Eq. 5.14) dp EKS .=
 
e a solução geral é : 
 (Eq. 5.15) d
t EKeCS .. / += − τ
 
Aplicando-se as condições iniciais temos : 
 
 (Eq. 5.16) dEKC .0 +=
 (Eq. 5.17) dEKC .−=
 
se obtendo, finalmente a equação da resposta de um instrumento de 1ª Ordem para uma entrada 
degrau : 
 
 (Eq. 5.18) )1.(. /τtd eEKS −−=
 
 A Fig. 5.8 mostra a resposta de um sistema de 1ª Ordem a uma entrada degrau 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S
K.Ed
S
K.Ed
S
K.Ed
S
K.Ed
 
Fig. 5.8. - Resposta para uma entrada degrau. 
 
Instrumentação e Controle 
 
25 
 Nota-se que, para o tempo t = τ, o sistema responde 63,2 % do degrau, e para t = 3 τ, a 
respostaé de 0,95 do degrau. Podemos então definir como tempo de resposta (settling time) de 
um instrumento de medida, como o tempo que o sistema demora para alcançar a resposta, para 
uma dada precisão. A Fig. 5.9 mostra o tempo de resposta para 95 % de precisão. 
 
 S
K.Ed 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 5.9. - Tempo de resposta para 95 % de precisão. 
 
 
 Para o nosso exemplo do termômetro das Figs 5.1, 5.2 e 5.3 : 
 Ö temperatura inicial = 20 ºC 
 Ö temperatura final a ser medida = S = 80 ºC 
 Ö degrau = Ed = 60 ºC 
 
 Vamos supor que o valor de τ do termômetro seja = 1,5 segundos. Portanto a resposta 
dinâmica do termômetro seria : 
 § para o tempo t = τ › ele já teria respondido 63,2 % do degrau, ou seja, em 1,5 
segundos após ser mergulhado na cuba, ele estaria marcando 0,632 x 60 = 57,92 ºC; em 3 
segundos, marcaria 0,865 x 60 = 71,9 ºC; em 4,5 segundos, marcaria 0,95 x 60 = 77 ºC; e em 6,0 
segundos, marcaria 0,982 x 60 = 78,92 ºC. 
 
 
Resposta de instrumentos de primeira ordem para entrada rampa 
 
 O mesmo estudo realizado para entrada degrau, pode ser realizado para entrada rampa. 
Esse tipo de entrada caracteriza-se por ter uma variável em contínuo crescimento. O tratamento 
matemático é semelhante ao dado para entrada degrau. 
 Para uma entrada rampa do tipo : 
 
 (Eq. 5.19) tEE .
•=
 
a resposta será : 
 
Instrumentação e Controle 
 
26 
 (Eq. 5.20) )..(. / ττ τ −+= −• teEKS t
 
A resposta e o erro dinâmico estão na Fig. 5.10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Steady-state time = τ 
Tem
E Er 
•= τ. E Resposta de Erro
S 
po
 Figura 5.10. - Resposta de um instrumento de 1ª Ordem para entrada rampa. 
 
 
 
5.5. - Instrumentos de Segunda Ordem 
 
 A equação geral para um sistema de 2ª ordem é: 
 
 EbSat
Sa
t
Sa 0012
2
2 =++ d
d
d
d
 (Eq.5.21) 
 
onde podemos definir : 
 
 K
a
b
= 0
0
 › sensitividade estática 
 
 ω n aa=
0
2
 › freqüência natural [rad/s] 
 
 ξ = aa a
1
0 22. .
 › fator de amortecimento. 
 
 A resposta de um instrumento de 2ª ordem para estrada degrau é mostrada na Fig.5.11, e 
a resposta para uma entrada rampa está na Fig 5.12. 
 
 
 
 
 
Instrumentação e Controle 
 
27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S
K.Ed
Š n.t
Figura 5.11. - Resposta de um instrumento de 2ª Ordem para entrada degrau. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Steady-state time = 2. ξ
ωn
Tempo
E Er 
n
E.2. Resposta de Erro ω
ξ •= S 
Figura 5.12. - Resposta de um instrumento de 2ª ordem para entrada rampa. 
 
 
 
EXERCÍCIOS : 
 
Exercício Nº 1 - Descreva as vantagens e desvantagens para um instrumento de medida ter um 
pequeno tempo de resposta. 
 
Exercício Nº 2 - A Figura 5.13 mostra a resposta de dois instrumentos de medida, com dois 
valores de τ . Qual a ordem desse instrumento ? Qual o que tem tempo de resposta maior ? 
 
Exercício Nº 3 - Descreva como se comporta dinamicamente o termômetro de pressão da 
Figura 2.3. Qual seria a ordem da Função Transferência ? Faça um esboço da resposta. 
 
 
 
Instrumentação e Controle 
 
28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tempo
Ed 
2
1 
E 
Figura 5.13 – Resposta de 2 instrumentos de medida 
 
Exercício Nº 4 - Descreva como se comporta dinamicamente o medidor de nível de 
combustível da Figura 3.2. Qual seria a ordem da Função Transferência ? Faça um esboço da 
resposta. 
 
Exercício Nº 5 - Um termômetro com constante de tempo de 10 segundos é usado para medir a 
temperatura de um líquido a 120 ºC. Inicialmente o termômetro está a 20 ºC. Quanto estará 
marcando o termômetro após 5 segundos de mergulhado no líquido ? E após 15 segundos ? 
Faça um gráfico da temperatura marcada pelo termômetro contra o tempo. 
R. : Para t = 5 s › T = 59,34 ºC; para t = 10 s › T = 83,21 ºC; para t = 15 s › T = 97,68 ºC. 
 
Exercício Nº 6 - Um termômetro com tempo de resposta de 15 segundos deverá ser usado para 
medir a temperatura de um líquido em um processo de fabricação. Sabe-se que o processo 
mantém o líquido entre 85 e 95 ºC, e que o termômetro estava inicialmente a 20 ºC. Sabendo-se 
que após 15 segundos mergulhado no líquido o termômetro acusava 69,3 ºC, verificar se a 
temperatura do líquido está dentro da faixa pretendida. 
 R. : Está fora do especificado. T = 98,0 ºC 
 
Exercício Nº 7 - Um termômetro médico usado para verificar a temperatura do corpo de 
pessoas tem uma escala de 35 a 41 ºC. O fabricante indica que, para ter-se uma precisão de 98,2 
%, deve-se colocar o termômetro em contato com o corpo da pessoa e aguardar-se 3 minutos. 
Qual o erro dinâmico do termômetro para a leitura aos 3 minutos ? Qual a constante de tempo 
desse termômetro ? 
 R. : Erro dinâmico = 0,108 ºC; Constante de tempo τ = 1,333 segundos. 
 
Exercício Nº 8 - Um forno em aquecimento, eleva a sua temperatura à taxa de 40 ºC por 
minuto. Um termômetro com tempo de resposta de 3 min. é acoplado ao forno para medir sua 
temperatura. Responda : 
 1 - Qual o tipo de entrada que é dada ao termômetro. 
 2 - Equacione a entrada. 
 3 - Quando o termômetro marca 450 ºC, qual a verdadeira temperatura do forno ? 
 4 - Se pretende-se que o termômetro acuse um erro dinâmico máximo de 20 ºC, qual deve 
ser o tempo de resposta desse termômetro ? 
 R. : Entrada rampa; Qe = 40.t [min]; Erro de 40. τ = 120 ºC; Erro = 20 = 40. τ › τ = 0,5 
min.