Determine O valor do limite: Lim 4x2 4x2-y2 2x+y [x,y]- [1,-2]

Para determinar o limite \(\lim_{(x,y) \to (1,-2)} \frac{4x^2}{4x^2 - y^2} + 2x + y\), vamos substituir os valores de \(x\) e \(y\) diretamente na expressão. 1. Substituindo \(x = 1\) e \(y = -2\): \[ 4(1)^2 = 4 \] \[ 4(1)^2 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0 \] Portanto, a expressão se torna indeterminada, pois temos uma divisão por zero. 2. Para resolver essa indeterminação, podemos tentar simplificar a expressão. Vamos reescrever a função: \[ \frac{4x^2}{4x^2 - y^2} + 2x + y \] 3. Vamos analisar o limite mais de perto. Podemos usar a forma de substituição ou tentar diferentes caminhos para ver se o limite existe. 4. Se tentarmos o caminho \(y = -2\) e \(x\) se aproximando de 1, obtemos: \[ \frac{4(1)^2}{4(1)^2 - (-2)^2} + 2(1) - 2 = \frac{4}{0} + 2 - 2 \] Isso ainda resulta em uma indeterminação. 5. Agora, vamos tentar o caminho \(x = 1\) e \(y\) se aproximando de -2: \[ \frac{4(1)^2}{4(1)^2 - y^2} + 2(1) + y = \frac{4}{4 - y^2} + 2 + y \] Quando \(y \to -2\): \[ \frac{4}{4 - (-2)^2} + 2 - 2 = \frac{4}{0} \] Isso também resulta em indeterminação. 6. Para resolver isso, podemos usar a regra de L'Hôpital ou tentar uma abordagem diferente, como coordenadas polares, mas isso pode ser complexo. 7. Após várias tentativas, se não encontrarmos um caminho que funcione, podemos concluir que o limite não existe devido à indeterminação. Portanto, o limite não existe.