Para determinar a condição necessária para que o cálculo \( \text{gcd}(a^{(r/2)} \pm 1, N) \) produza fatores não triviais de \( N \), precisamos considerar a estrutura do algoritmo de fatoração que utiliza essa expressão. Analisando as alternativas: a) r deve ser ímpar - Se \( r \) for ímpar, \( a^{(r/2)} \) não é um número inteiro, o que não é útil para o cálculo do gcd. b) r deve ser par e \( a^{(r/2)} \) não pode ser congruente a 1 mod N - Esta condição é importante, pois se \( a^{(r/2)} \equiv 1 \mod N \), o gcd não produzirá fatores não triviais. Portanto, essa é uma condição necessária. c) a deve ser múltiplo de N - Se \( a \) for múltiplo de \( N \), o gcd será \( N \) ou \( a \), o que não é útil para encontrar fatores não triviais. d) N deve ser primo - Se \( N \) for primo, não haverá fatores não triviais a serem encontrados, pois os únicos fatores de um número primo são 1 e ele mesmo. Dessa forma, a alternativa correta é: b) r deve ser par e \( a^{(r/2)} \) não pode ser congruente a 1 mod N.