determine o volume do sólido decrevolução, gerado pela rotação da região R em torno do eixo x, delimitada pela curvas y=x2 e y= √x

Para determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região \( R \) em torno do eixo \( x \), delimitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = \sqrt{x} \), podemos usar o método dos discos ou anéis. 1. Encontrar os pontos de interseção: Igualamos as duas funções para encontrar os limites de integração. \[ x^2 = \sqrt{x} \] Elevando ao quadrado: \[ x^4 = x \implies x^4 - x = 0 \implies x(x^3 - 1) = 0 \] Portanto, \( x = 0 \) e \( x = 1 \) são os pontos de interseção. 2. Volume do sólido de revolução: Usamos a fórmula do volume \( V \) dada por: \[ V = \pi \int_{a}^{b} (R^2 - r^2) \, dx \] onde \( R \) é a função superior e \( r \) é a função inferior. Aqui, \( R = \sqrt{x} \) e \( r = x^2 \). 3. Configurar a integral: \[ V = \pi \int_{0}^{1} \left((\sqrt{x})^2 - (x^2)^2\right) \, dx \] Simplificando: \[ V = \pi \int_{0}^{1} \left(x - x^4\right) \, dx \] 4. Calcular a integral: \[ V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} \] \[ V = \pi \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^5}{5} \right) = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{5}{10} - \frac{2}{10} \right) = \pi \left( \frac{3}{10} \right) \] 5. Resultado final: \[ V = \frac{3\pi}{10} \] Portanto, o volume do sólido de revolução é \( \frac{3\pi}{10} \).