A questão apresenta funções e pede para calcular a derivada de \( F(t) \) em \( t = 0 \). Vamos analisar as funções dadas: 1. \( f(x, y) = e^{xy} \) 2. \( g(t) = \cos(t) \) 3. \( h(t) = \sin(t) \) A função \( F(t) \) é definida como: \[ F(t) = f(g(t), h(t)) = e^{g(t) \cdot h(t)} \] Agora, precisamos calcular \( F'(t) \) usando a regra da cadeia. A derivada de \( F(t) \) em relação a \( t \) é dada por: \[ F'(t) = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot g'(t) + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot h'(t) \] Calculando as derivadas parciais de \( f \): - \( \frac{\partial f}{\partial x} = y e^{xy} \) - \( \frac{\partial f}{\partial y} = x e^{xy} \) Agora, substituímos \( g(t) \) e \( h(t) \): - \( g(0) = \cos(0) = 1 \) - \( h(0) = \sin(0) = 0 \) Portanto, em \( t = 0 \): - \( g(0) \cdot h(0) = 1 \cdot 0 = 0 \) - \( F(0) = f(1, 0) = e^{1 \cdot 0} = e^0 = 1 \) Agora, precisamos calcular \( g'(t) \) e \( h'(t) \): - \( g'(t) = -\sin(t) \) - \( h'(t) = \cos(t) \) Em \( t = 0 \): - \( g'(0) = -\sin(0) = 0 \) - \( h'(0) = \cos(0) = 1 \) Agora, substituindo na fórmula de \( F'(t) \): \[ F'(0) = \frac{\partial f}{\partial x}(1, 0) \cdot g'(0) + \frac{\partial f}{\partial y}(1, 0) \cdot h'(0) \] Calculando as derivadas parciais em \( (1, 0) \): - \( \frac{\partial f}{\partial x}(1, 0) = 0 \cdot e^{1 \cdot 0} = 0 \) - \( \frac{\partial f}{\partial y}(1, 0) = 1 \cdot e^{1 \cdot 0} = 1 \) Portanto: \[ F'(0) = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 \] Assim, a resposta correta para \( F'(0) \) é 1. Se houver alternativas, escolha a que corresponde a esse resultado.