Mostre que todas as determinações de $\mathrm{i}^{\mathrm{i}}$ são reais e dadas por

Para mostrar que todas as determinações de \(\mathrm{i}^{\mathrm{i}}\) são reais, vamos começar expressando \(\mathrm{i}\) em forma exponencial. Sabemos que: \[ \mathrm{i} = e^{i\frac{\pi}{2}} \] Agora, elevando \(\mathrm{i}\) à potência de \(\mathrm{i}\): \[ \mathrm{i}^{\mathrm{i}} = \left(e^{i\frac{\pi}{2}}\right)^{\mathrm{i}} = e^{-\frac{\pi}{2}} \] Isso nos dá uma das determinações de \(\mathrm{i}^{\mathrm{i}}\). No entanto, como a função exponencial é periódica, podemos considerar outras determinações. A forma geral de \(\mathrm{i}\) pode ser escrita como: \[ \mathrm{i} = e^{i\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)} \] onde \(k\) é um inteiro. Elevando à potência de \(\mathrm{i}\): \[ \mathrm{i}^{\mathrm{i}} = \left(e^{i\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)}\right)^{\mathrm{i}} = e^{-\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)} = e^{-\frac{\pi}{2}} e^{-2k\pi} \] Assim, todas as determinações de \(\mathrm{i}^{\mathrm{i}}\) são dadas por: \[ \mathrm{i}^{\mathrm{i}} = e^{-\frac{\pi}{2}} e^{-2k\pi}, \quad k \in \mathbb{Z} \] Portanto, todas essas determinações são reais, pois \(e^{-\frac{\pi}{2}}\) e \(e^{-2k\pi}\) são números reais positivos.