Para mostrar que a função \( u = c^z \) é analítica, onde \( c \neq 0 \) é uma constante, podemos usar a definição de função analítica e a propriedade das funções exponenciais. 1. Definição da função: A função \( u = c^z \) pode ser reescrita usando a forma exponencial: \[ u = e^{z \log c} \] onde \( \log c \) é o logaritmo natural da constante \( c \). 2. Analiticidade: A função \( e^w \) é analítica para qualquer número complexo \( w \). Como \( z \log c \) é uma função linear em \( z \), a composição \( e^{z \log c} \) também é analítica. 3. Derivada: Para encontrar a derivada de \( u \), aplicamos a regra da cadeia: \[ \frac{du}{dz} = \frac{d}{dz}(e^{z \log c}) = e^{z \log c} \cdot \log c = c^z \log c \] Portanto, a função \( u = c^z \) é analítica e sua derivada é dada por: \[ \frac{du}{dz} = c^z \log c \] Assim, demonstramos que \( u = c^z \) é analítica e encontramos sua derivada.