Vamos analisar cada proposição uma a uma para determinar quantas estão corretas: 1. \(\sqrt[4]{2} \overline{2}=\sqrt[7]{2}\): Essa proposição não é verdadeira, pois \(\sqrt[4]{2}\) não é igual a \(\sqrt[7]{2}\). 2. \(3^{-4}=\frac{1}{81}\): Essa proposição é verdadeira. \(3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}\). 3. \(\frac{7^{n+3}+7^{n+1}}{7^{n+1}}=50\): Vamos simplificar: \[ \frac{7^{n+3}}{7^{n+1}} + \frac{7^{n+1}}{7^{n+1}} = 7^2 + 1 = 49 + 1 = 50. \] Portanto, essa proposição é verdadeira para todo \(n\) natural. 4. \(\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\): Essa proposição é verdadeira. \(\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\). Agora, contando as proposições corretas: - Proposição 2: Correta - Proposição 3: Correta - Proposição 4: Correta Portanto, temos 3 proposições corretas. A alternativa correta é: A) 3.