12) Determinar a equação da circunferência cujo raio é 5 e o centro é a interseção das retas 3x - 2y - 24 = 0 e 2x + 7y + 9 = 0.

Para determinar a equação da circunferência, precisamos primeiro encontrar o centro, que é a interseção das retas dadas. 1. Encontrar a interseção das retas: - As equações das retas são: 1. \(3x - 2y - 24 = 0\) 2. \(2x + 7y + 9 = 0\) Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, podemos expressar \(y\) em função de \(x\): \[ 2y = 3x - 24 \implies y = \frac{3}{2}x - 12 \] Agora, substituímos \(y\) na segunda equação: \[ 2x + 7\left(\frac{3}{2}x - 12\right) + 9 = 0 \] \[ 2x + \frac{21}{2}x - 84 + 9 = 0 \] \[ 2x + \frac{21}{2}x - 75 = 0 \] Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração: \[ 4x + 21x - 150 = 0 \implies 25x = 150 \implies x = 6 \] Agora, substituímos \(x = 6\) na equação de \(y\): \[ y = \frac{3}{2}(6) - 12 = 9 - 12 = -3 \] Portanto, o centro da circunferência é \(C(6, -3)\). 2. Equação da circunferência: A equação da circunferência com centro \((h, k)\) e raio \(r\) é dada por: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] Substituindo \(h = 6\), \(k = -3\) e \(r = 5\): \[ (x - 6)^2 + (y + 3)^2 = 5^2 \] \[ (x - 6)^2 + (y + 3)^2 = 25 \] Portanto, a equação da circunferência é: \[ (x - 6)^2 + (y + 3)^2 = 25 \]