7- Apresente a excentricidade e as coordenadas no plano XOY do centro, do(s) foco(s) e do(s) vértice(s) de x2 – 2x = 3 + 4y2.

Para resolver a equação \(x^2 - 2x = 3 + 4y^2\), vamos primeiro rearranjá-la para a forma padrão de uma cônica. 1. Reorganizando a equação: \[ x^2 - 2x - 4y^2 = 3 \] Agora, completamos o quadrado para a parte de \(x\): \[ (x^2 - 2x + 1) - 1 - 4y^2 = 3 \] \[ (x - 1)^2 - 4y^2 = 4 \] \[ \frac{(x - 1)^2}{4} - \frac{y^2}{1} = 1 \] 2. Identificando a cônica: A equação \(\frac{(x - 1)^2}{4} - \frac{y^2}{1} = 1\) representa uma hipérbole. 3. Excentricidade: Para uma hipérbole, a excentricidade \(e\) é dada por: \[ e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} \] Onde \(a^2 = 4\) e \(b^2 = 1\). Assim: \[ e = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \] 4. Coordenadas do centro: O centro da hipérbole é o ponto \((h, k)\), onde \(h = 1\) e \(k = 0\). Portanto, o centro é: \[ (1, 0) \] 5. Coordenadas dos focos: Os focos estão localizados a uma distância \(c\) do centro, onde \(c = ae\): \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] Assim, os focos são: \[ (1 \pm \sqrt{5}, 0) \quad \text{ou seja,} \quad (1 + \sqrt{5}, 0) \text{ e } (1 - \sqrt{5}, 0) \] 6. Coordenadas dos vértices: Os vértices estão localizados a uma distância \(a\) do centro: \[ (1 \pm 2, 0) \quad \text{ou seja,} \quad (3, 0) \text{ e } (-1, 0) \] Resumo: - Excentricidade: \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) - Centro: \((1, 0)\) - Focos: \((1 + \sqrt{5}, 0)\) e \((1 - \sqrt{5}, 0)\) - Vértices: \((3, 0)\) e \((-1, 0)\)