2- O ponto P(4,3) pertence à elipse, cujos focos e centro são: F1(0,5), F2(0,-5) e C(0,0). Determine a equação dessa elipse.

Para determinar a equação da elipse com focos em F1(0,5) e F2(0,-5) e centro em C(0,0), seguimos os seguintes passos: 1. Identificar os focos e o centro: Os focos estão em (0,5) e (0,-5), e o centro está em (0,0). A distância entre os focos é \(2c\), onde \(c\) é a distância do centro até um foco. Aqui, \(c = 5\). 2. Determinar a semi-maior e semi-menor eixo: A elipse é vertical, então a equação tem a forma \(\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\), onde \(a\) é o semi-eixo maior e \(b\) é o semi-eixo menor. Sabemos que \(c^2 = a^2 - b^2\). 3. Encontrar o valor de \(a\): O ponto P(4,3) pertence à elipse, então substituímos na equação da elipse. Precisamos primeiro determinar \(a\). Como o foco está a 5 unidades do centro, e o ponto P(4,3) está a uma distância de 5 do eixo y, podemos usar a distância do centro até o ponto P para encontrar \(a\). 4. Calcular a distância: A distância do centro (0,0) até o ponto P(4,3) é dada por: \[ d = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] Isso indica que \(a = 5\). 5. Calcular \(b\): Agora, usando \(c^2 = a^2 - b^2\): \[ 5^2 = 5^2 - b^2 \implies 25 = 25 - b^2 \implies b^2 = 0 \implies b = 0 \] Isso não faz sentido, então precisamos reconsiderar a relação entre os eixos. 6. Revisar a equação: A equação correta da elipse, considerando que \(c = 5\) e \(a\) deve ser maior que \(c\), é: \[ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \] onde \(a\) deve ser maior que 5. 7. Equação final: A equação da elipse, considerando que \(a\) é maior que 5 e \(b\) é um valor que deve ser determinado, mas sabemos que a elipse é vertical, então a equação final é: \[ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{25} = 1 \] Para determinar \(b\), você pode usar mais informações sobre a elipse ou outros pontos que pertençam a ela.