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Problema 45: O que é a integral de:

\(\int \cos^2(x) \, dx\)

a) \(\frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C\)

b) \(\sin(x) + C\)

c) \(\tan(x) + C\)

d) \(\frac{\sin^2(x)}{2} + C\)

Resposta: a) \(\frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C\)

Explicação: Usamos a identidade.

a) \(\frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C\)
b) \(\sin(x) + C\)
c) \(\tan(x) + C\)
d) \(\frac{\sin^2(x)}{2} + C\)
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há 12 meses

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UNOPAR

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há 12 meses

Para resolver a integral \(\int \cos^2(x) \, dx\), podemos usar a identidade trigonométrica: \[ \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \] Assim, a integral se torna: \[ \int \cos^2(x) \, dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx \] Calculando cada parte: 1. \(\frac{1}{2} \int 1 \, dx = \frac{x}{2}\) 2. \(\frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(2x)}{2} = \frac{\sin(2x)}{4}\) Portanto, a integral completa é: \[ \int \cos^2(x) \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \] Analisando as alternativas, a correta é: a) \(\frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C\) Portanto, a resposta correta é a) \(\frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C\).

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Problema 37: Encontre o valor da integral:

\[\int_0^2 (x - 1)^2 \, dx\]

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

a) 1

Explicação: Expandindo e integrando.

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4

Problema 38: Calcule a derivada de \(f(x) = e^{ ext{sin}(x)}\):

a) \(e^{ ext{sin}(x)} \cos(x)\)

b) \(e^{ ext{tan}(x)}\)

c) \(\text{sin}(x) e^{\text{cos}(x)}\)

d) \(2\text{sin}(x) e^{x}\)

Resposta: a) \(e^{ ext{sin}(x)} \cos(x)\)

Explicação: Usando a regra da cadeia.

a) \(e^{\text{sin}(x)} \cos(x)\)
b) \(e^{\text{tan}(x)}\)
c) \(\text{sin}(x) e^{\text{cos}(x)}\)
d) \(2\text{sin}(x) e^{x}\)

Problema 39: Determine o valor de:

\[\int_0^1 x^4(1-x)^3 \, dx\]

a) \(\frac{1}{30}\)

b) \(\frac{4}{60}\)

c) \(\frac{10}{120}\)

d) \(\frac{1}{12}\)

Resposta: b) \(\frac{4}{60}\)

Explicação: Usando a fórmula do beta.

a) \(\frac{1}{30}\)
b) \(\frac{4}{60}\)
c) \(\frac{10}{120}\)
d) \(\frac{1}{12}\)

Problema 40: O que é a série de Taylor de \(f(x)=\cos(x)\) em torno de \(x=0\)?

a) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\)

b) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\)

c) \(\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n\)

d) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)

Resposta: a) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\)

Explicação: Esta é a definição da função.

a) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\)
b) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\)
c) \(\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n\)
d) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)

Problema 41: Resolva a equação diferencial:

\[\frac{dy}{dx} = y^2\]

a) \(y = \frac{C}{x + C}\)

b) \(y = Ce^{-x}\)

c) \(y = e^{x+C}\)

d) \(y = Cx\)

Resposta: a) \(y = \frac{C}{x + C}\)

Explicação: Separando as variáveis, integramos.

a) \(y = \frac{C}{x + C}\)
b) \(y = Ce^{-x}\)
c) \(y = e^{x+C}\)
d) \(y = Cx\)

Problema 42: Calcule a derivada:

\[\frac{d}{dx}(x^2 \ln(x))\]

a) \(2x \ln(x) + x\)

b) \(\ln(x^2)\)

c) \(x + 2x^2\)

d) \(2 \ln(x)\)

Resposta: a) \(2x \ln(x) + x\)

Explicação: Usando a regra do produto.

a) \(2x \ln(x) + x\)
b) \(\ln(x^2)\)
c) \(x + 2x^2\)
d) \(2 \ln(x)\)

Problema 43: Determine a soma das raízes da equação:

\(x^2 - 5x + 6 = 0\)

a) 5

b) 2

c) 6

d) -5

Resposta: a) 5

Explicação: Raízes são \(x = 2\) e \(x = 3\).

a) 5
b) 2
c) 6
d) -5

Problema 44: Calcule a primitiva:

\(\int \frac{1}{x^3} \, dx\)

a) \(-\frac{1}{2x^2} + C\)

b) \(-\frac{1}{3x^2} + C\)

c) \(\frac{1}{2x^2} + C\)

d) \(\frac{1}{3x} + C\)

Resposta: b) \(-\frac{1}{3x^2} + C\)

Explicação: Integrando obtemos a primitiva.

a) \(-\frac{1}{2x^2} + C\)
b) \(-\frac{1}{3x^2} + C\)
c) \(\frac{1}{2x^2} + C\)
d) \(\frac{1}{3x} + C\)

Problema 46: Como calcular a integral:

\(\int x^5 e^{x^6} \, dx\)

a) \(\frac{1}{6} e^{x^6} + C\)

b) \(-\frac{1}{6} e^{x^6} + C\)

c) \(\frac{e^{x^6}}{6} - C\)

d) \(C e^{x^6}\)

Resposta: a) \(\frac{1}{6} e^{x^6} + C\)

Explicação: Usamos a substituição \(u = x^6\).

a) \(\frac{1}{6} e^{x^6} + C\)
b) \(-\frac{1}{6} e^{x^6} + C\)
c) \(\frac{e^{x^6}}{6} - C\)
d) \(C e^{x^6}\)

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