**Questão 9:** Qual é a integral de e^x cos(x) com relação a x? a) (e^x ( cos(x) + sin(x) ))/2 + C b) e^x (cos(x) - sin(x)) + C c) e^x (cos(x) + ...

Para resolver essa integral, podemos usar integração por partes. Vamos considerar \( u = e^x \) e \( dv = \cos(x)dx \), então \( du = e^xdx \) e \( v = \sin(x) \). Aplicando a fórmula de integração por partes: \( \int u dv = uv - \int v du \) Assim, temos: \( \int e^x \cos(x) dx = e^x \sin(x) - \int \sin(x) e^x dx \) Integrando \( \int \sin(x) e^x dx \) novamente por partes, obtemos: \( \int \sin(x) e^x dx = -e^x \cos(x) - \int (-e^x \cos(x)) dx \) Resolvendo a segunda integral por partes, chegamos a: \( \int \sin(x) e^x dx = -e^x \cos(x) - (-e^x \sin(x) - \int -e^x \sin(x) dx) \) Simplificando, obtemos: \( \int \sin(x) e^x dx = -e^x \cos(x) + e^x \sin(x) - \int \sin(x) e^x dx \) Agora, somando \( \int e^x \cos(x) dx \) em ambos os lados, obtemos: \( 2 \int e^x \cos(x) dx = e^x \sin(x) - e^x \cos(x) \) Dividindo por 2, chegamos a: \( \int e^x \cos(x) dx = \frac{e^x (\sin(x) - \cos(x))}{2} + C \) Portanto, a alternativa correta é: d) \(\frac{e^x (\cos(x) - \sin(x))}{2} + C\)