Ley de Fick_Extenso Fenómenos

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Conceptos Fundamentales
Difusión: La difusión en mecánica de fluidos se refiere al proceso mediante el cual las partículas de una sustancia se dispersan a través de un medio debido a un gradiente de concentración.
Difusión mecánica: Describe el movimiento de una sustancia a través de un medio bajo la influencia de una fuerza externa. 
Difusión gaseosa: es la dispersión gradual de un gas en el seno de otro; de este modo las moléculas de una sustancia se esparcen por la región ocupada por otras moléculas, colisionando y moviéndose aleatoriamente. Este es un proceso muy rápido, y no es necesario un cuerpo por el que difundirse, ya que se difunde también por el vacío.
Ecuación de difusión: Se utiliza para describir el comportamiento del flujo de fluidos en medios porosos, considerando principios como la conservación de masa y momento.
Gradiente de concentración: Un gradiente de concentración es la diferencia en la concentración de una sustancia (como moléculas o iones) entre dos regiones separadas, como los lados interno y externo de una membrana celular. Este fenómeno ocurre cuando hay una mayor concentración de partículas en un área en comparación con otra, lo que provoca que las partículas se muevan desde el área de mayor concentración hacia el área de menor concentración.
Coeficiente de difusión: El coeficiente de difusión, también conocido como difusividad, es una medida que describe la velocidad a la que una sustancia se dispersa en un medio. Cuanto mayor sea el coeficiente de difusión, más rápida será la difusión. Este coeficiente varía con factores como la temperatura y la viscosidad del medio, y es crucial en procesos como la difusión en gases, líquidos y sólidos.
Difusividad de masa: La difusividad de masa se refiere a la velocidad a la que las partículas o moléculas de una sustancia se difunden dentro de otra sustancia, normalmente en un medio fluido
Difusividad térmica: La difusividad térmica mide la velocidad a la que la temperatura cambia dentro de una sustancia. Dicho de otra forma, es la tasa de cambio con que un material aumenta de temperatura, al ser puesto en contacto con una fuente de calor.
Difusividad de cantidad de movimiento: La difusividad de la cantidad de movimiento se relaciona con la viscosidad cinemática de un fluido y su difusividad térmica. El número de Prandtl (Pr) es una cantidad adimensional que describe esta relación.
Tasa de difusión: La tasa de difusión es la velocidad a la que una sustancia se mezcla con otra de forma espontánea. Se mide en volumen/tiempo. La tasa de difusión de dos sustancias gaseosas es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de sus masas molares, según la ley de Graham. La tasa de difusión está influenciada por varios factores, como la temperatura, la diferencia de concentración y el tamaño de las partículas. La velocidad de difusión también se ve afectada cuando hay un cambio en la distancia entre los puntos donde se produce la difusión.
Mezcla binaria: Una mezcla binaria se refiere a una sustancia formada por dos componentes diferentes. Cada componente puede estar en cualquier estado de la materia: sólido, líquido o gaseoso.
Ley de Fick para la difusión
La ley de Fick es una ecuación matemática que relaciona el flujo másico difundido en un medio con el gradiente de concentraciones o presiones. Fue formulada en 1855 por el fisiólogo y médico alemán Adolf Fick, nacido en Kassel en 1829, que estudió medicina en la Universidad de Marburgo y se graduó en 1851. Trabajó primero en Zúrich y luego en Würzburg, quien inspirado por las leyes de Fourier (conducción térmica) y de Ohm (conducción eléctrica), modeló el proceso de difusión del oxígeno hacia los alvéolos de los pulmones.
La ley de Fick presenta la particularidad de que no es solamente aplicable a fenómenos de difusión químicos o bioquímicos, sino a los de cualquier tipo de naturaleza. Por lo tanto, sirve para modelar la difusión de átomos entre sólidos, siendo de mucha utilidad en la física de los materiales e ingeniería.
Esta ley posee dos formas: una en función del espacio (x), y otra en función del espacio y tiempo (x, t). La primera aplica para sistemas en condiciones estacionarias, mientras que la segunda para sistemas reales, no estacionarios.
Primera Ley de Fick
La ley de Fick presenta la particularidad de que no es solamente aplicable a fenómenos de difusión químicos o bioquímicos, sino a los de cualquier tipo de naturaleza. Por lo tanto, sirve para modelar la difusión de átomos entre sólidos, siendo de mucha utilidad en la física de los materiales e ingeniería.
La ley de Fick de la difusión, afirma que la razón de difusión de una especie química en el espacio de una mezcla gaseosa (o de una solución líquida o sólida) es proporcional al gradiente de concentración de esa especie en ese lugar. Aunque una concentración más elevada para una especie significa más moléculas de ella por unidad de volumen, la concentración de una especie puede expresarse de varias maneras.
En una base másica, la concentración se expresa en términos de densidad (o concentración de masa), la cual es la masa por unidad de volumen. 
Esta relación lineal entre la razón de difusión y el gradiente de concentración, se conoce como ley de Fick de la difusión y puede expresarse como:
Flujo molar y flujo másico
Pero la concentración de una especie en una mezcla de gases o en una solución líquida o sólida puede definirse de varias maneras: como la densidad, la fracción de masa, la concentración molar y la fracción molar, como ya se discutió; por lo tanto, la ley de Fick puede expresarse en forma matemática de muchas maneras. Resulta que lo mejor es expresar el gradiente de concentración en términos de la fracción de masa o molar, y la formulación más apropiada de la ley de Fick para la difusión de una especie A en una mezcla binaria en reposo de las especies A y B, en una dirección x especificada, se expresa por:
 
En este caso, es el flujo de masa (por difusión) de la especie A (transferencia de masa por difusión, por unidad de tiempo y por unidad de área normal a la dirección de transferencia de masa, en ) y es el flujo molar (por difusión) . El flujo de masa de una especie en un lugar es proporcional a la densidad de la mezcla en ese lugar. Nótese que es la densidad y es la concentración molar de la mezcla binaria: asimismo, obsérvese que, en general, pueden variar en toda la extensión de la mezcla. Por lo tanto, Pero, en el caso especial de densidad constante de la mezcla o concentración molar constante, las relaciones anteriores se simplifican a: 
La suposición de densidad constante o de concentración molar constante suele ser apropiada para las soluciones sólidas y para las líquidas diluidas, pero, con frecuencia, éste no es el caso para las mezclas de gases o para las soluciones líquidas concentradas.
Para los casos bidimensional y tridimensional, la ley de Fick puede expresarse de manera conveniente en forma vectorial, sencillamente al reemplazar las derivadas que aparecen en las relaciones antes dadas por los gradientes correspondientes .
Recordando que la constante de proporcionalidad en la ley de Fourier se definió como la conductividad térmica de la propiedad de transporte. De manera análoga, la constante de proporcionalidad en la ley de Fick se define como otra propiedad de transporte conocida como el coeficiente de difusión binaria o difusividad de la masa, . 
Componentes y ecuación
Representación de un proceso de difusión a través de una membrana semipermeable. Fuente: Gabriel Bolívar.
 
El grosor L de la membrana semipermeable representa la distancia (x) que las partículas deben recorrer para llegar hacia el otro lado. Tal como se aprecia en la imagen, las partículas moradas mientras más se alejan del compartimiento izquierdo, donde es grande, su concentración disminuye hasta el valor de . Es decir, la concentración cambia a lo largo del grosor de la membrana, siendo dependiente de x.
Esta variación de concentración en función de la distancia es lo que se conocecomo gradiente de concentración: (-)/L o -/x. Nótese que su valor es negativo (-1), debido a que > . 
Por otro lado, tenemos también la velocidad con que las partículas se difunden a través de la membrana o del espacio en cuestión. Esta velocidad depende del tamaño y masa de las partículas, así como de la naturaleza del medio y la temperatura. El coeficiente de difusión D representa dicha velocidad, y puede ser constante o no durante la difusión.
Y, por último, tenemos un flujo másico j que atraviesa el área transversal de la membrana o del canal por donde se difunden las partículas. Agrupando estos términos nace la ecuación de la primera ley de Fick:
El símbolo negativo en la ecuación sirve para neutralizar el signo negativo del gradiente de concentraciones. De lo contrario, j tendría un valor negativo, lo cual carece de sentido físico. Asimismo, el valor de D es positivo, para que al multiplicarse por el signo negativo que le antecede dé un valor negativo.
SEGUNDA LEY DE FICK 
Esta segunda Ley de Fick nos habla de la difusión dinámica, o en estado no estacionario de los átomos. En otras palabras, es la difusión de átomos en la superficie de un material.
La Segunda Ley de Fick, se pueden hacer cálculos para obtener medias relativas a la distancia viajada por las moléculas que se difunden. Así se llega a la ecuación de Einstein-Smoluchowski, ecuación obtenida por Einstein a partir de consideraciones estadísticas sobre el movimiento al azar de las moléculas. Esta ecuación es probablemente el resultado de mayor interés práctico de este apartado, ya que permite calcular distancias (medias) recorridas por moléculas en función del valor del coeficiente de Difusión.
La segunda ley de Fick predice cómo la concentración de una especie cambia con el tiempo, debido a su difusión en algún medio. En realidad, la segunda ley de Fick no es más que la ecuación diferencial parcial que expresa la conservación o balance de masa. Consideremos una región Ω en el espacio con superficie frontera S. El grado de cambio de la masa total de la especie encerrada en Ω, debe ser igual al flujo entrando por la frontera S más el grado de generación en la región (posiblemente debido a reacciones). Si suponemos que no hay fuentes, no hay generación y se obtiene:
Sustituyendo la expresión de la primera ley de Fick (2.3) en la ecuación anterior, y suponiendo que la región Ω no varía con el tiempo, al aplicar el teorema de la divergencia se obtiene
Como Ω es una región arbitraria, entonces se debe satisface
Esta ecuación diferencial, es exactamente igual a la ecuación del calor, y se le denomina la segunda ley de Fick.
Como podemos ver la segunda ley de difusión de Fick es una ecuación lineal con ser la variable dependiente de la concentración de las especies químicas en consideración. La difusión de cada especie química se produce de forma independiente. Estas propiedades hacen que los sistemas de transporte de masas descritas por la segunda ley de Fick fácil para simular numéricamente.
Al modelar la difusión, a menudo es una buena idea comenzar con la suposición de que todos los coeficientes de difusión son iguales e independientes de la temperatura, presión, etc. Esta simplificación asegura la linealidad de las ecuaciones de transporte de masas en el dominio modelado y permite a menudo correlaciones simples a límites analíticos conocidos. Esta suposición puede ser relajada una vez que el comportamiento de un sistema con todos los coeficientes iguales de difusión se entiende bien.
El análisis dimensional de la segunda ley de Fick revela que, en los procesos de difusión, existe una relación fundamental entre el tiempo transcurrido y el cuadrado de la longitud sobre la que tiene lugar la difusión. La comprensión de esta relación es muy importante para una simulación numérica exacta de difusión.
DIFUSIÓN EN ESTADO NO ESTACIONARIO 
En el ámbito práctico generalmente no se presentan casos de difusión en estado estacionario, pues la concentración del soluto, así como el gradiente y el flujo de difusión, varían con el tiempo de un punto a otro en el material, generando acumulación o agotamiento de las sustancias que difunden. Para los eventos de difusión en estado no estacionario se aplica la ecuación conocida como la Segunda Ley de Fick, la cual establece que la velocidad del cambio de composición es igual al coeficiente de difusión multiplicado por la velocidad de cambio del gradiente de concentración.
La segunda ley de Fick se utiliza en la difusión no-constante es decir cuando la difusión es en estado no estacionario, en los que el coeficiente de difusión es independiente del tiempo.
La segunda ley de Fick establece lo siguiente 
Deducción de la segunda ley de Fick a partir de la primera ley de Fick
Tomando el derivado respecto  la primera ley de Fick
y luego sustituyendo la ecuación de continuidad en ella, tenemos la segunda ley de difusión de Fick:
Se trata de una ecuación de difusión estándar, y una que aparece una y otra vez cuando se trata de tales fenómenos.
Para obtener una solución a la ecuación de difusión, primero debemos asumir algunas condiciones de límite. Nos ocuparemos de una oblea semi-infinita, y asumiremos que:
Esta es una suposición razonable, ya que a lo sumo nuestra difusión solo penetrará una micra más o menos en la oblea, y toda la oblea en sí tiene varios cientos de micras de espesor.
También tenemos que decidir algo sobre las condiciones iniciales. Haremos la suposición de que tenemos en el momento alguna concentración superficial de impurezas que llamaremos , medida en . Esta es la situación que tendríamos si introdujéramos las impurezas usando un paso de implante relativamente poco profundo. Una condición alternativa de límite superficial sería aquella en la que la concentración de impurezas permanece en algún valor fijo. Esto es lo que sucede cuando hay impurezas en el flujo de gas sobre la oblea durante el tiempo que están en el horno de difusión. A esto se le llama difusión de fuente infinita.
La primera condición se llama difusión de fuente limitada, y eso es lo que consideraremos más adelante aquí. No es demasiado difícil demostrar que, con esta condición inicial, la solución a la ecuación de difusión es:
En situaciones particulares, si se logra comprobar que el coeficiente de difusión (D) es independiente de la composición, podemos simplificar la ecuación para que resulte en la ecuación.
Donde:
· es el cambio en la concentración con respecto al tiempo
· continúa siendo el coeficiente de difusión
· es el segundo derivado de la concentración respecto a la posición, que indica la curvatura de la concentración en el espacio.
En algunos casos complejos, el coeficiente de difusión D puede no ser constante, es decir, se puede aplicar sistemas anisotrópicos, sino que varía con la concentración o la temperatura. Esto lleva a sistemas de ecuaciones mucho más complicados, necesitando matrices de coeficientes para describir adecuadamente la difusión. Los modelos numéricos, como los métodos de elementos finitos, también se utilizan para resolver estos problemas en ingeniería cuando las soluciones analíticas no son factibles.
La segunda ley de Fick es crucial para entender cómo las concentraciones de un soluto cambian con el tiempo en un medio de difusión. Esta ley se deriva de la primera ley de Fick y se integra en la ecuación de continuidad, proporcionando una descripción dinámica de la difusión. 
Esta ley establece que la velocidad de cambio de la composición de la muestra es igual al coeficiente de difusión por la velocidad de cambio del gradiente de concentración. 
A pesar de que nuestra ecuación de trabajo es una ecuación diferencial con soluciones infinitas, podemos obtener soluciones particulares partiendo de la Figura A, donde se tiene un gas A que se difunde en un sólido B.
FIGURA A. Difusión de un gas A en un sólido B.
La concentración de átomos del soluto A en cualquier punto del sólido B en la dirección x aumentará conforme avance el tiempo de difusión, como se indicapara los tiempos y en la Figura B por lo que la solución a la Segunda Ley de Fick se determina a partir de la ecuación
Donde:
Cs = concentración superficial del elemento en el gas que difunde dentro de la superficie.
C0 = concentración inicial uniforme del elemento en el sólido. 
Cx = concentración del elemento a la distancia x de la superficie en el tiempo t.
X = distancia desde la superficie.
D = coeficiente de difusión del elemento soluto que difunde.
t = tiempo 
 
FIGURA B. Aumento de la concentración de átomos de soluto en función del tiempo.
La función error, fer, es una función matemática que existe por definición y se usa en algunas soluciones de la segunda ley de Fick. La función error puede encontrarse en tablas estándar de la misma forma que senos y cosenos.
Tabla 1. Tabla de la función error.
APLICACIÓN 
APLICACIONES INDUSTRIALES DE PROCESOS DE DIFUSION 
Muchos procesos industriales de fabricación utilizan la difusión en estado sólido. Algunos de los procesos de difusión son:
1.- El del endurecimiento del acero por gas de carburación.
2.- El dopado con impurezas de obleas de silicio para circuitos electrónicos integrados.
ENDURECIMIENTO DEL ACERO POR GAS DE CARBURACIÓN 
Muchos componentes de acero para rotación o deslizamiento, tales como engranajes y ejes, deben tener una superficie dura para resistir el desgaste y un núcleo interno resistente. En la fabricación de componentes de acero tratados con carbono normalmente el componente se fabrica en condiciones suaves y entonces, una vez fabricado se endurece su superficie por algún procedimiento de endurecimiento especifico tal como el de gas de carburación. Los aceros carburados son bajos en carbono. 
Algunas de estas piezas se aprecian en la Figura C.
FIGURA C. Componentes típicos de acero carburizado con gas.
Tienen entre un 0.10 y un 0.25 por ciento de carbono. Sin embargo, el contenido de la aleación de aceros carburados puede variar considerablemente dependiendo de la aplicación para cual será utilizado. 
En la carburización con gas, la primera parte del proceso consta de introducir los componentes de acero en un horno, mientras son expuestos a gases que contienen metano (CH4) u otros hidrocarburos gaseosos a 927 °C. Por ejemplo, en un caso donde se busca carburizar con gas unos engranajes en un horno se usa una mezcla de nitrógeno-metanol como atmósfera. El carbono de dicha atmósfera se difunde a través de la pieza, comenzando por su superficie y penetrando hasta tener un cierto espesor controlado a partir del tiempo que se deja la pieza dentro de esta atmósfera. Posterior a un tratamiento térmico, estos engranajes ahora poseen superficies endurecidas de alto contenido de carbono, lo cual se puede apreciar en las zonas ennegrecidas del engranaje mostrado en la Figura D .
FIGURA D. Macrosección del piñón de un engrane carburizado con nitrógeno-metanol.
Es importante recalcar que el tiempo de carburización está directamente relacionado con la penetración del contenido de carbono respecto a la superficie lo cual se puede observar en la Figura E.
FIGURA 7 1FIGURA E. Gradientes de carbono en probetas de un acero 1022. Condiciones de carburización: 918 °C, en un gas con 20% y 40% H2, con un añadido de 1.6 y 3.8 de metano, respectivamente.
DIFUSIÓN DE IMPUREZAS EN OBLEAS DE SILICIO PARA CIRCUITOS INTEGRADOS
Es un proceso de difusión es realizado con la finalidad de cambiar las características de conductividad eléctrica de los circuitos electrónicos integrados. El método aquí estudiado es aquel en el que el disco de silicio, se expone al vapor de una impureza a una cierta temperatura (aproximadamente 1100 °C) dentro de un horno de tubo de cuarzo. Es necesario que se proteja la parte de la superficie de silicio no expuesta a la difusión, es decir, que la impureza difusora solo actúe en aquellas secciones donde se desea el cambio en la conductividad eléctrica. De manera similar al proceso de carburización, la concentración de las impurezas difundidas en la superficie disminuye conforme se aumenta la profundidad de penetración. Esto es, al cambiar el tiempo de difusión, cambiará la concentración de las impurezas respecto a la profundidad de penetración
FIGURA 17. Difusión de impurezas en una oblea de silicio. a) Oblea de silicio con un espesor exagerado y con una concentración que disminuye desde la superficie (cara izquierda) hacia el interior. b) Distribución de impurezas graficada.
Cabe añadir que las profundidades típicas de la difusión en obleas de silicio son del orden de pocos micrómetros, siendo que el espesor de las obleas es de varios cientos de micrómetros.
Ejercicio 1
En una tubería de 15 metros de largo y 21 centímetros de ancho, y que además está saturada de nitrógeno, se difunde una corriente de oxígeno de un extremo a otro a una temperatura de 0 ºC. Sabiendo que la densidad en el lado izquierdo () es 20 kg/, y que la densidad en el lado derecho () es 10 kg, determine:
a) el flujo másico que se difunde
b) ¿cuántos kilogramos de se difundirán por la tubería en 17 minutos?
c) el gradiente de concentración
d) la densidad del a una distancia de 7 metros de la entrada a la tubería
e) ¿cuánto demorará 80 kg de en difundirse por esta tubería?
Considere que es igual a 1.8
Nos apoyaremos de la primera Ley de Fick para resolver el inciso a)
 Reescribiéndola:
 = -1.8 = 
Para el inciso b) necesitamos el área de la tubería:
A= 
Ahora multiplicamos j por A y el tiempo t para determinar la masa de difundida:
 
 
Ahora para el inciso c), sabemos que el gradiente es igual a 
 = 
Pero tomamos el valor positivo, de forma que tenga sentido físico:
Este valor nos servirá entonces para resolver el inciso d) si se interpreta el gradiente que obtuvimos tenemos que; cada metro la densidad de caerá . Al difundirse 7 metros, tendremos entonces que:
Es decir que la densidad a esa distancia será:
(20-4.7) = 15.3 
Y finalmente, el inciso e) es parecido al b), solamente que ahora despejamos el tiempo y no la masa:
Ejercicio 2
(Difusión en estado no-estacionario)
Una placa de acero AISI 1020 se calienta a 1255 K (en la región de austenita) y es sometida a una atmosfera carburizante tal que la reacción es 
Esta atmosfera está en equilibrio con 1% C en solución en la superficie de la pieza. Calcule el perfil de carbono después de 1 hora. 
Solución: 
Dado que es un caso unidimensional solamente la difusión se dará en una dirección, en este caso es la dirección x, las fronteras de la dirección y y z son impermeables, es decir, no hay transferencia de masa en estas fronteras. 
El problema nos pide conocer la concentración de carbono partiendo de una concentración en la superficie de 1%. 
La concentración inicial es y la condición a la frontera es de C en la solución en la superficie de la pieza. (Coeficiente de difusión de carbón en el acero)
	La ecuación de difusión de A para y constantes
	Coordenadas rectangulares 
Por lo tanto, nos queda la forma general la ley de Fick.
La solución que se aplicará, es un tipo difusión-error
Sustituimos lo que ya sabemos 
Ahora buscamos ese valor en la tabla 
Procedemos a interpolar, usando la fórmula para interpolar y sustituyendo
Ahora anotamos este valor en la ecuación pasada
Despejamos el valor de concentración 
	
Ejercicio 3
Determina el tiempo de carburización necesario para alcanzar una concentración de 0.30% en peso de carbono a 4 mm en una aleación de acero que originalmente contiene 0.10% en peso de carbono. Considera que la concentración en la superficie debe mantenerse a 0.90% en peso de carbono y que el tratamiento se llevará a cabo a una temperatura de 1100°C.
= 90% C
0.30% C
0.10% C
t =?
Buscamos este valor en las tablas
	
Haciendo interpolación por formula
Por lo tanto 
Ahora procedemos a buscar el coeficiente de difusión y el tiempo 
Fórmula para calcular D
Donde:
Q es la energía de activación 
R es la constante de los gasesT es la temperatura absoluta en Kelvin 
Con ayuda del diagrama Hierro-Carbón podemos saber en qué fase está nuestro acero para así saber qué datos debemos tomar de nuestras tablas 
En este caso, al encontrarse en la región Austenita, sabemos que tiene una estructura FCC. Ahora buscamos los valores en la siguiente tabla:
Ahora procedemos a hacer los cálculos correspondientes: 
Ahora con este valor, podemos calcular el tiempo
 
Aquí x toma el valor de 4mm = 0.4 cm 
Por lo tanto
ó 
Anexo de Tablas
Referencias Bibliográficas
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