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<p>FACULTAD DE ARQUITECTURA, DISEÑO Y URBANISMO / UNL</p><p>Contenidos teóricos</p><p>APUNTE 02 2º Parte</p><p>El equilibrio y la estabilidad como exigencias estructurales</p><p>SISTEMAS ESTRUCTURALES 1</p><p>César Bruschini - Griselda Armelini - Gabriela Cozzi - Sebastián Puig</p><p>Valeria Herrero - Sofía Feigielson - Rocío Orsi - Yaín Godoy</p><p>CURSO 2020</p><p>Turno Tarde</p><p>SISTEMAS ESTRUCTURALES I</p><p>- 1 -</p><p>2.3. SISTEMAS DE FUERZAS:</p><p>Es un conjunto determinado de fuerzas que actúan sobre una partícula, un cuerpo rígido o una</p><p>estructura.</p><p>Suma de fuerzas:</p><p>Para sumar varias fuerzas gráficamente, debemos</p><p>ubicarlas sucesivamente una a continuación de la otra. El segmento</p><p>que une el primer punto (u origen) del primer vector con el último</p><p>punto (o extremo) del último vector, es también una fuerza, que se</p><p>denomina Resultante del Sistema de Fuerzas. Este sistema de</p><p>fuerzas podrá ser reemplazado (salvo casos especiales como los</p><p>pares o cuplas de fuerzas) por la Resultante, ya que su efecto sobre</p><p>el cuerpo (que se supone rígido) es el mismo que el de dicho conjunto.</p><p>Dos sistemas de fuerzas son Equivalentes cuando ambos tienen la misma Resultante. Los</p><p>efectos que dichos sistemas pueden producir en el cuerpo sobre el cual actúan serán iguales.</p><p>Dos sistemas de fuerzas son Iguales cuando las fuerzas que lo constituyen son iguales.</p><p>Se denomina Equilibrante de un Sistema de Fuerzas, a una</p><p>fuerza única cuya acción sobre el cuerpo en que actúa, es igual y de</p><p>sentido opuesto a la producida por el sistema de fuerzas primitivo.</p><p>Aplicados simultáneamente el sistema de fuerzas y su equilibrante,</p><p>el cuerpo en cuestión permanece en equilibrio.</p><p>Par de fuerzas: Es un sistema especial de fuerzas compuesto por dos fuerzas paralelas de igual</p><p>intensidad y de sentido contrario, separadas entre sí por una distancia “d”, lo que implica que la</p><p>Resultante del sistema es igual a 0. También se lo denomina cupla. Su análisis se desarrollará mas</p><p>adelante.</p><p>SISTEMAS ESTRUCTURALES I</p><p>- 2 -</p><p>POSTULADOS FUNDAMENTALES DE LA ESTATICA:</p><p>1- Toda fuerza que actúa sobre un cuerpo puede desplazarse a lo</p><p>largo de su recta de acción, sin que su efecto sobre el mismo</p><p>varíe. El punto de aplicación de la fuerza P1 es A1 pudiendo</p><p>trasladarse a lo largo de la recta al punto A´1.</p><p>2- Dos fuerzas iguales y de sentido contrario aplicadas en puntos de una</p><p>misma recta de acción, se equilibran y, por efecto de ellas, el cuerpo</p><p>no modifica su condición de equilibrio.</p><p>3- Si sobre un cuerpo o sistema de cuerpos en equilibrio, se agrega o</p><p>suprime un sistema de fuerzas que se encuentre en equilibrio de</p><p>por sí, el equilibrio subsiste.</p><p>4- Un sistema de fuerzas puede ser reemplazado por una única fuerza llamada Resultante (salvo</p><p>que se reduzca a un par de fuerzas).Todo sistema no tiene más que una sola Resultante (que</p><p>puede ser nula en el caso del par de fuerzas o si el sistema está en equilibrio).</p><p>5- Recíprocamente una fuerza puede ser reemplazada por dos o varias</p><p>fuerzas llamadas Componentes, de las cuales aquella es su Resultante.</p><p>6- Según el Principio de Acción y Reacción, si un cuerpo ejerce sobre otro una cierta acción o fuerza</p><p>actuante, éste ejercerá sobre el primero una fuerza de igual módulo y recta de acción, pero de</p><p>sentido contrario.</p><p>HIPÓTESIS DE CHAPA RÍGIDA:</p><p>La Estática es la ciencia que estudia el equilibrio de las fuerzas exteriores que actúan sobre</p><p>una partícula (estática de partículas) o sobre un cuerpo rígido, ya sean fuerzas directamente aplicadas</p><p>(fuerzas activas) o fuerzas de reacción de vínculo (fuerzas reactivas), independientemente de lo que</p><p>sucede dentro de dicha partícula, cuerpo o estructura. Es una ciencia que hace abstracción de la</p><p>materia que constituye el sólido cuyo equilibrio se estudia y lo considera rígido e ilimitadamente</p><p>resistente.</p><p>El considerar a un cuerpo como rígido es suponer que, bajo la acción de las fuerzas, el cuerpo</p><p>no se deforma, es decir, que la distancia y la posición relativa entre las diferentes partículas que lo</p><p>constituyen permanecen invariables y al considerarlo ilimitadamente resistente se admite que,</p><p>cualquiera sea la intensidad de las fuerzas que actúan sobre este sólido ideal, no puede sobrevenir la</p><p>ruptura.</p><p>Este sólido ideal no existe en la Naturaleza, todos los cuerpos se deforman bajo la acción de</p><p>las fuerzas y pasado cierto límite de resistencia se rompen. Sin embargo, en las estructuras que</p><p>SISTEMAS ESTRUCTURALES I</p><p>- 3 -</p><p>trataremos la variación de posición relativa de las partículas del cuerpo (deformación) carece de</p><p>importancia y puede despreciarse.</p><p>En particular, en este curso se estudia la Estática Plana. El sólido ideal anteriormente</p><p>mencionado, se transforma en una superficie “material” contenida en el plano de estudio, denominada</p><p>Chapa.</p><p>CLASIFICACIÓN DE LAS FUERZAS SEGÚN LA POSICIÓN RELATIVA DE SUS RECTAS DE ACCIÓN:</p><p>Dentro de esta clasificación nos referiremos siempre a fuerzas coplanares, es decir, que están</p><p>contenidas en un mismo plano.</p><p>a. Fuerzas colineales:</p><p>Son las que tienen la misma recta de acción. Ejemplo: una columna de un edificio, donde las</p><p>vigas de cada piso van transmitiendo sus cargas sobre la misma.</p><p>b. Fuerzas concurrentes:</p><p>Son aquellas cuyas rectas de acción se encuentran en un punto. En Estática, como ya se ha</p><p>dicho, los cuerpos ideales que tratamos son rígidos y las fuerzas pueden desplazarse según sus</p><p>rectas de acción, sin variar las condiciones de equilibrio externo del cuerpo o sistema estructural</p><p>sobre el cual actúan.</p><p>Ej.: Apoyo de una pasarela peatonal sobre columna de hormigón.</p><p>SISTEMAS ESTRUCTURALES I</p><p>- 4 -</p><p>c. Fuerzas paralelas:</p><p>Sus rectas de acción son paralelas (tienen la misma dirección). Siendo la recta “a” paralela a</p><p>la “b”, se dice que P1 es paralela a P2.</p><p>Ejemplo: Fuerzas provocadas por el peso propio de la cubierta sobre una estructura reticulada.</p><p>d. Fuerzas no concurrentes:</p><p>Son aquellas fuerzas cuyas rectas de acción no se encuentran en ningún punto en común ni</p><p>son paralelas.</p><p>2.4 OPERATORIA CON FUERZAS</p><p>2.4.1 Composición de Fuerzas</p><p>- Composición de fuerzas colineales</p><p>Dos fuerzas son colineales cuando poseen la misma recta de acción “a”.</p><p>En el ejemplo siguiente, las fuerzas P1 y P2 son colineales y del mismo sentido. Para componerlas,</p><p>es decir, sumarlas geométricamente, se debe hacer coincidir el origen de la fuerza P2 con el extremo</p><p>de la fuerza P1. El vector fuerza Resultante tendrá la misma recta de acción y su módulo será igual a</p><p>la suma algebraica de los módulos de P1 y P2. Su punto de aplicación será cualquiera de la recta “a”.</p><p>SISTEMAS ESTRUCTURALES I</p><p>- 5 -</p><p>Sea el caso en que las fuerzas P1 y P2 son colineales pero de sentido contrario, el vector</p><p>fuerza Resultante tendrá la misma recta de acción, pero su módulo es igual a la diferencia de los</p><p>módulos de las dos fuerzas. En este caso, R = P2 – P1. Siendo el sentido de dicha resultante el de la</p><p>mayor de las fuerzas.</p><p>Para el caso de más de dos fuerzas, se procede de la misma forma.</p><p>- Composición de dos fuerzas concurrentes</p><p>Sean dos fuerzas P1 y P2, de rectas de acción a1 y a2, aplicadas en A1 yA2. Según lo dicho</p><p>anteriormente, ambas fuerzas pueden trasladar sus puntos de aplicación hasta el punto “O” de</p><p>encuentro de a1 y a2, sin modificar el estado de equilibrio.</p><p>De esta manera, obtenemos dos fuerzas concurrentes con el mismo punto de aplicación “O”.</p><p>Para ejecutar su composición se pueden seguir dos procedimientos:</p><p>1- Llevando P2 a partir del extremo de P1, el vector resultante será el que va del origen</p><p>de P1 al</p><p>extremo de P2, quedando determinada la dirección, el sentido y el módulo de la nueva fuerza R. El</p><p>punto de aplicación es el punto “O” de encuentro de las rectas a1 y a2, o cualquier punto de la recta</p><p>r. Puede observarse que a la resultante la obtenemos como tercer lado de un triángulo cuyos</p><p>otros dos lados son las fuerzas dadas a componer.</p><p>2- Trazando el “paralelogramo de las fuerzas” dadas P1 y P2, la resultante R está dada por la diagonal</p><p>de dicho paralelogramo, cuyo origen es el punto “O”, intersección de las rectas de acción de las</p><p>fuerzas.</p><p>SISTEMAS ESTRUCTURALES I</p><p>- 6 -</p><p>- Composición de varias fuerzas concurrentes a un punto. Polígono de fuerzas</p><p>Sea un sistema de fuerzas concurrentes donde todas las rectas de acción pasan por un punto</p><p>“O”, al que se pueden trasladar o no todos los orígenes de las fuerzas a componer.</p><p>El problema se resuelve aplicando la Regla del Paralelogramo, tomando las fuerzas de 2 en 2,</p><p>hallando resultantes parciales. Estas resultantes parciales pueden determinarse en el orden que se</p><p>desee, componiendo luego las mismas entre sí, hasta obtener una resultante total.</p><p>Un método más sencillo es el denominado</p><p>“Polígono de Fuerzas”.</p><p>La composición de las fuerzas se realiza</p><p>llevando una fuerza a continuación de la</p><p>otra. Como siempre, la Resultante será el</p><p>vector que une el origen de la primera fuerza</p><p>con el extremo de la última. El Polígono de</p><p>Fuerzas permite obtener también las</p><p>resultantes parciales. En este caso, también</p><p>el punto de paso de la recta de acción de la</p><p>Resultante es el punto “O”.</p><p>- Composición de varias fuerzas concurrentes a un punto. Determinación analítica</p><p>Sea un sistema de ejes cartesianos ortogonales XY. Se</p><p>dibujan en él las fuerzas P1, P2, P3 y P4, una a continuación de la otra,</p><p>obteniendo la resultante R mediante el Polígono de Fuerzas. La</p><p>proyección de las fuerzas P1, P2, P3, P4 y R sobre dichos ejes, son las</p><p>componentes de las mismas según las direcciones X e Y. Las</p><p>proyecciones de la fuerza resultante R son iguales a la suma de las</p><p>proyecciones de los componentes.</p><p>Rx = P1X + P2X + P3X + P4X</p><p>Ry = P1Y + P2Y + P3Y + P4Y</p><p>Siendo R =Rx</p><p>2 + Ry</p><p>2</p><p>SISTEMAS ESTRUCTURALES I</p><p>- 7 -</p><p>Si el polígono de fuerzas resulta cerrado, es decir, si el origen de la primera fuerza coincide con el</p><p>extremo de la última, la Resultante es nula. Si una de las componentes Rx o Ry = 0, no significa que la</p><p>Fuerza sea nula, sino que es paralela a uno de los ejes cartesianos.</p><p>- Composición de fuerzas no concurrentes</p><p>Cuando las fuerzas de un sistema dado tienen rectas de acción no concurrentes, la</p><p>composición de las mismas se realiza aplicando el procedimiento del Polígono de Fuerzas. Como</p><p>siempre, para dibujar el polígono de fuerzas se llevan sucesivamente, una a continuación de la otra,</p><p>las fuerzas dadas en el orden en que se van encontrando. A partir de P1 se coloca P2 y así</p><p>sucesivamente hasta obtener R1-5.</p><p>Hasta aquí se ha obtenido la resultante del sistema de fuerzas, pero se desconoce la</p><p>ubicación de su recta de acción. El problema de hallar la ubicación de la resultante de un sistema de</p><p>fuerzas no concurrentes se resuelve mediante la aplicación del método del Polígono Funicular. La</p><p>palabra funicular deriva del latín “funiculus”, que significa cordón.</p><p>Su relación con este caso proviene de lo siguiente: si se toma un cordón flexible, se atan sus</p><p>extremos a dos puntos fijos A y B y se hacen actuar sobre él una o más fuerzas de cualquier dirección,</p><p>el cordón adopta una forma poligonal que ha recibido la designación de polígono funicular.</p><p>SISTEMAS ESTRUCTURALES I</p><p>- 8 -</p><p>Considerando, ahora, un sistema cualquiera de fuerzas; sean las fuerzas P1, P2, P3 y P4 no</p><p>concurrentes a un punto. Se construye su polígono de fuerzas llevando una a partir de la otra en el</p><p>orden dado. Se toma un punto “O” cualquiera del plano y se proyectan desde él los puntos A1, A2, A3,</p><p>A4 y A5, vértices del polígono. Dicho punto “O” recibe el nombre de polo y los segmentos A1O, A2O, A3O,</p><p>A4O, A5O se denominan rayos polares.</p><p>La fuerza P1 puede ser considerada como Resultante de las dos fuerzas auxiliares dadas por</p><p>los vectores A1O y A2O o, inversamente, estas dos fuerzas son equivalentes a aquella. Igualmente, P2</p><p>es resultante de las dos fuerzas auxiliares A1O, A2O, es decir, éstas son componentes de aquella y así</p><p>sucesivamente. Como las fuerzas representadas por los rayos polares interiores se anulan (el vector</p><p>A2O, componente de P1, se anula con el A2O componente de P2), todo el sistema de fuerzas dado es</p><p>equivalente a las dos fuerzas determinadas por los rayos polares extremos. Como se observa en el</p><p>dibujo, A1O y OA5 son dos fuerzas componentes de la resultante R.</p><p>Se dibuja ahora el polígono funicular: desde un punto cualquiera del plano, trazar una paralela</p><p>al primer rayo polar A1O hasta encontrar a la fuerza P1. Por este punto llevar una paralela al segundo</p><p>rayo polar, hasta encontrar a la fuerza P2. Y así sucesivamente.</p><p>La poligonal formada por los lados (1) (2) (3) (4) (5) es un Polígono Funicular del sistema de</p><p>fuerzas. Los lados (1) y (5) concurren al punto M por donde pasará la resultante total del sistema R, ya</p><p>que las fuerzas 1 y 5 aplicadas según dichos lados del funicular, son dos componentes de la misma.</p><p>Trazando, pues, por M una paralela al vector A1A5, queda determinada la recta de acción de la</p><p>Resultante cuyo sentido y módulo ya conocemos.</p><p>SISTEMAS ESTRUCTURALES I</p><p>- 9 -</p><p>Propiedad fundamental del polígono funicular: Tanto el polo “O” de proyección de los extremos de las</p><p>fuerzas en el polígono de fuerzas como el punto de inicio del polígono funicular sobre el sistema de</p><p>fuerzas, se toman arbitrariamente en el plano.</p><p>A cada polo “O” combinado en cada punto de inicio, corresponde un determinado polígono. Por lo</p><p>tanto, el número de polígonos que se pueden trazar resulta infinito. No obstante ello, siendo única la</p><p>Resultante de un sistema dado de fuerzas, el primero y último lado de cada funicular se cortarán</p><p>siempre en puntos de una misma recta: la recta de acción de la Resultante.</p><p>- Composición de fuerzas paralelas del mismo sentido</p><p>La composición de fuerzas paralelas cae dentro del caso general de composición de fuerzas</p><p>no concurrentes, pues no constituye más que un caso particular de éstas. Su resultante puede</p><p>obtenerse mediante la aplicación del Polígono Funicular.</p><p>En efecto, sean las dos fuerzas paralelas del mismo sentido P1 y P2, se traza un polígono de</p><p>fuerzas y, luego, adoptando un polo “O” cualquiera, se traza un polígono funicular, obteniendo en la</p><p>intersección del primero y del último lado, un punto de la recta de acción de la Resultante. En este</p><p>caso particular, y como puede observarse en el polígono de fuerzas, la Resultante tiene el mismo</p><p>sentido que las componentes y su módulo es la suma de los módulos de las componentes.</p><p>R = P1 + P2</p><p>Otro procedimiento gráfico para hallar la posición de la resultante es el siguiente: llevando</p><p>sobre la recta de acción de P2 un segmento que en una cierta escala mida el módulo de P1 y, sobre la</p><p>recta de acción de P1, un segmento que en la misma escala represente el módulo de P2, uniendo en</p><p>cruz los extremos de dichos segmentos por el punto de intersección “O” obtenemos el punto de paso</p><p>de la Resultante buscada.</p><p>SISTEMAS ESTRUCTURALES I</p><p>- 10 -</p><p>Los triángulos A2´OB2´ y B1´OA1´ son semejantes por tener todos sus lados paralelos e iguales</p><p>ángulos internos. Por lo tanto, sus lados homólogos y sus alturas serán proporcionales: d1 / d2 = P2 /</p><p>P1.</p><p>Es decir que: “Las distancias de la resultante a cada una de las dos fuerzas paralelas del</p><p>mismo sentido, son inversamente proporcionales</p><p>a las intensidades de dichas fuerzas”.</p><p>Analíticamente, pueden obtenerse los valores d1 y d2 teniendo en cuenta que en toda igualdad</p><p>de fracciones “la suma de numerador y denominador en la 1º fracción es a su denominador como la</p><p>suma de numerador y denominador en la 2º fracción es a su denominador”.</p><p>(d1 + d2)/ d2 = (P2 + P1)/ P1, o sea, d / d2 = R / P1</p><p>por lo tanto, d2 = d . P1 / R y, en forma análoga, d1 = d . P2 / R</p><p>- Composición de fuerzas paralelas de sentido contrario</p><p>Sean las fuerzas P1 y P2 paralelas y de sentido contrario: trazando un polígono de fuerzas y un</p><p>polígono funicular, se halla la resultante R y un punto de su recta de acción.</p><p>Como en el caso de composición de fuerzas paralelas en el mismo sentido, llamamos “d” a la</p><p>distancia entre las dos fuerzas dadas P1 y P2, “d1” a la distancia de P1 a R y “d2” a la distancia de P2 a</p><p>R. Resolviendo, tenemos que la resultante R del sistema de dos fuerzas paralelas de sentido contrario</p><p>es paralela a la dirección de las componentes, su módulo es igual a la diferencia de los módulos de</p><p>las fuerzas dadas, su sentido es igual al de la mayor de las fuerzas componentes, su recta de acción</p><p>es exterior a las dos fuerza dadas y se encuentra del lado de la mayor.</p><p>R = P1 - P2</p><p>Gráficamente, se lleva sobre la recta de acción de P1 el módulo de la fuerza P2 y, sobre la recta</p><p>de acción de P2, el módulo de la P1 y luego se une el origen de uno con el extremo del otro de los</p><p>segmentos que los representan y recíprocamente. “M” es un punto de la recta de acción de la</p><p>Resultante.</p><p>SISTEMAS ESTRUCTURALES I</p><p>- 11 -</p><p>En efecto, los triángulos B2´A2´M y A1´B1´M son semejantes.</p><p>P2 / d1 = P1 / d2, es decir,</p><p>d1 /d2 = P2 / P1</p><p>- Composición de varias fuerzas paralelas</p><p>Como en el caso de varias fuerzas no concurrentes, el problema se resuelve mediante la</p><p>utilización del Polígono Funicular.</p><p>Analíticamente, se puede hallar la intensidad de la resultante en forma sencilla, ya que su</p><p>módulo es igual a la suma algebraica (con su signo) de los módulos de los componentes. La posición</p><p>de la Resultante de forma analítica se obtiene aplicando el concepto de Momento de una Fuerza</p><p>respecto a un punto, que se desarrollará con posterioridad.</p>
