Trigonometría - UNICIENCIA

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Presentación,
ÍNDICE
11
CAPÍTULO 01: SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR - SECTOR CIRCULAR
Biografía: Hiparco de N lce a ................................................................................................................................................... 13
Ángulo trigonométrico............................................................................................................................................................... 14
Sistema de medición a n g u la r ............................................................................................................................................... 14
Relación de conversión de los tres s is tem as..................................................................................................................... 14
Factor de conversión................................................................................................................................................................ 14
Regla de convers ión ................................................................................................................................................................ 14
Relación entre los sistemas sexagesimal y centesimal.................................................................................................. 16
Ángulos coterm inales............................................................................................................................................................... 17
Sector circular............................................................................................................................................................................ 17
Trapecio c ircu lar........................................................................................................................................................................ 18
Problemas resueltos................................................................................................................................................................. 21
Problemas de examen de admisión U N I............................................................................................................................. 32
Problemas propuestos............................................................................................................................................................. 34
CAPÍTULO 02: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
Biografía: A l-Battani.................................................................................................................................................................. 39
Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo ....................................................................................................... 40
Teorema del com plem ento........................................................................... 40
Triángulos p itagóricos............................................................................................................................................................. 41
Triángulos rectángulos no tab les ........................................................................................................................................... 43
Resoluciones de triángulos rectángu los.............................................................................. -............................................. 44
Cálculo de razones trigonométricas de la mitad de un ángulo........................................................................................ 45
Área de triángu lo ....................................................................................................................................................................... 46
Ángulos verticales y horizontales (ángulos de elevación y depresión)........................................................................ 47
Rosa náutica............................................................................................................................................................................... 47
Problemas resue ltos ................................................................................................................................................................ 49
Problemas de examen de admisión U N I............................................................................................................................. 65
Problemas propuestos............................................................................................................................................................. 67
CAPÍTULO 03: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Biografía: Abu'l W afa................................................................................................................................................................ 75
Rectas dirig idas......................................................................................................................................................................... 76
Sistema coordenado sobre una recta.................................................................................................................................. 76
Sistema coordenado sobre un plano.................................................................................................................................... 76
Ángulos en posición norm al................................................................................................................................................... 77
Ángulos cuadrantales............................................................................................................................................................... 77
Representación particular de los ángulos cuadrantales................................................................................................... 78
RT de ángulos en posición norm al....................................................................................................................................... 79
Signos de las razones trigonométricas................................................................................................................................ 80
RT ángulos coterm inales......................................................................................................................................................... 81
RT de ángulos negativos......................................................................................................................................................... 81
Circunferencia trigonométrica................................................................................................................................................. 81
Líneas trigonom étricas............................................................................................................................................................ 82
Líneas auxiliares........................................................................................................................................................................ 82
RT de los principales ángulos cuadrantales....................................................................................................................... 83
6 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Cuadro de variación de las razones trigonom étricas......................................................................................................... 83
Extensión de las razones trigonométricas............................................................................................................................. 83
Razones trigonométricas de ángulos de la forma (nrt ± a ) v [n(180°) ± a], n e TL...................................................... 85
Razones trigonométricas de ángulos de la forma: J(2n + 1 ) - |± a jv [(2 n + 1 )(90°)±a ];n e TL................................86
Reducción al primer cuadrante................................................................................................................................................ 87
RT de ángulos notables............................................................................................................................................................. 89
Problemas resueltos................................................................................................................................................................... 93
Problemas de examen de admisión U N I.............................................................................................................................. 109
Problemas propuestos.............................................................................................................................................................. 111
CAPÍTULO 04: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Biografía: Johann Müller........................................................................................................................................................... 121
Definición...................................................................................................................................................................................... 122
Identidades principales............................................................................................................................................................. 122
Identidades auxiliares................................................................................................................................................................ 123
Tipos de problem as................................................................................................................................................................... 123
Problemas resueltos.................................................................................................................................................................. 127
Problemas de examen de admisión U N I............................................................................................................................. 139
Problemas propuestos............................................................................................................................................................... 141
CAPÍTULO 05: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS
Biografía: Edmund Gunter........................................................................................................................................................ 147
Seno de la suma y diferencia de dos ángulos.............................................................................. 148
Coseno de la suma y diferencia de dos ángulos ................................................................................................... 148
Tangente de la suma y diferencia de dos ángu los............................................................................................................. 148
Cotangente de la suma y diferencia de dos ángu los ........................................................................................................ 148
Identidades auxiliares................................................................................................................................................................ 150
Identidades trigonométricas de la suma de tres ángulos................................................................................................. 152
Problemas resueltos.................................................................................................................................................................. 153
Problemas de examen de admisión U N I.............................................................................................................................. 165
Problemas propuestos............................................................................................................................................................... 167
CAPÍTULO 06: ÁNGULOS MÚLTIPLES
Biografía: Aryabhata .................................................................................................................................................................. 173
Identidades trigonométricas del ángulo dob le ................................................................................................................... 174
Identidades auxiliares del ángulo doble ............................................................................................................................. 178
Identidades trigonométricas del ángulo m itad................................................................................................................... 178
Identidades trigonométricas del ángulo trip le ..................................................................................................................... 182
Identidades auxiliares del ángulo tr ip le ............................................................................................................................... 183
Problemas resueltos.................................................................................................................................................................. 186
Problemas de examen de admisión U N I............................................................................................................................. 198
Problemas propuestos...................................................................................................... 199
CAPÍTULO 07: IDENTIDADES DEL PRODUCTO, SUMA Y DIFERENCIA DE SENO Y COSENO
Biografía: William Oughtred..................................................................................................................................................... 205
Identidades de transformación de suma o diferencia de senos a producto............................................................... 206
Identidades de transformación de suma o diferencia de cosenos a producto.......................................................... 206
Identidades de transformación de producto de seno y coseno a suma (o diferencia) de se n o s ........................... 209
Identidad de transformación de producto de cosenos a suma de cosenos............................................................... 209
Identidad de transformación de producto de senos a diferencia de cosenos........................................................... 209
Series trigonométricas................................................................................................................ 211
Productos trigonométricas........................................................................................................................................................ 214
T R IG O N O M E T R ÍA ■ 7
Problemas resueltos................................................................................................................................................................. 215
Problemas de examen de admisión U N I............................................................................................................................. 227
Problemas propuestos.............................................................................................................................................................. 229
CAPÍTULO 08: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Biografía: Georg R heticus....................................................................................................................................................... 235
Conceptos prelim inares........................................................................................................................................................... 236
Funciones............................................... 237
Gráfica de una fu n ció n ............................................................................................................................................................ 238
Clasificación de las funciones................................................................................................................................................ 239
Funciones especiales............................................................................................................................................................... 240
Análisis de las funciones trigonométricas básicas .......................................................................................................... 241
Funciones trigonométricas compuestas.............................................................................................................................. 242
Multiplicación de la función por una constante.................................................................................................................. 242
Multiplicación del argumento por una constante ............................................................................................................... 243
Suma de una constante al valor de la función.................................................................................................................... 244
Suma de una constante al argumento.................................................................................................................................. 244
Funciones auxiliares................................................................................................................................................................. 247
Problemas resueltos................................................................................................................................................................. 252
Problemas de examen de admisión UN I............................................................................................................................. 267
Problemas propuestos.............................................................................................................................................................. 269
CAPÍTULO 09: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Biografía: N ie lsA be l................................................................................................................................................................. 277
Conceptos pre lim inares.......................................................................................................................................................... 278
Funciones inve rsas .................................................................................................................................................................. 278
Función suryectiva o sobreyectiva ............ 278
Función inyectlva o univalente ................... 279
Función inversa ........................................................................................................................................................................ 280
Gráfica de una función in ve rsa ............................................................................................... 281
Funciones trigonométricas in ve rsa s .................................................................................................................................... 281
Gráfica, dominio y rango de las funciones trigonométricas Inversas .......................................................................... 281
Propiedades de las funciones trigonométricas inversas ................................................................................................ 285
Funciones trigonométricas Inversas com puestas............................................................................................................. 287
Método práctico para hallar la ecuación de una c u rv a ................................................................................................... 290
Problemas resue ltos ................................................................................................................................................................ 293
Problemas de examen de admisión U N I............................................................................................................................. 306
Problemas propuestos............................................................................................................................................................ 308
CAPÍTULO 10: ECUACIONES E INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Biografía: Frangols V lé te ......................................................................................................................................................... 315
Ecuaciones trigonom étricas................................................................................................................................................... 316
Ecuaciones trigonométricas elementales............................................................................................................................ 316
Ecuaciones trigonométricas no elementales...................................................................................................................... 320
Sistema de ecuaciones trigonométricas.............................................................................................................................. 322
Inecuaciones trigonométricas .............................................................................................................................................. 324
Problemas resueltos................................................................................................................................................................. 332
Problemas de examen de admisión U N I............................................................................................................................. 346
Problemas propuestos.............................................................................................................................................................. 347
CAPÍTULO 11: RESOLUCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS
Biografía: Edward Kasner........................................................................................................................................................ 355
Introducción ............................................................................................................................................................................... 356
8 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Resolución de triángulos rectángulos................................................................................................................................... 356
Polígonos regulares.................................................................................................................................................................. 357
Resolución de triángulos oblicuángulos.............................................................................................................................. 359
Casos que se presentan en la resolución de triángulos oblicuángulos....................................................................... 360
Funciones trigonométricas de la mitad de un ángulo de un triángulo en términos de los lados........................... 363
Elementos auxiliares de un triángulo.................................................................................................................................... 364
Área del triángu lo ...................................................................................................................................................................... 365
Otras relaciones entre los elementos de un triángu lo .....................................................................................................365
Cuadriláteros.............................................................................................................................................................................. 368
Problemas resueltos................................................................................................................................................................. 371
Problemas de examen de admisión U N I............................................................................................................................. 384
Problemas propuestos.............................................................................................................................................................. 386
CAPÍTULO 12: GEOMETRÍA ANALÍTICA - COORDENADAS POLARES
Biografía: Joseph Gergonne................................................................................................................................................... 393
Sistema de coordenadas rectangulares.............................................................................................................................. 394
Distancia entre dos puntos..................................................................................................................................................... 394
División de un segmento en una razón d ada ..................................................................................................................... 395
Ángulo de inclinación, pendiente de una recta y ángulo entre dos rec tas................................................................. 397
La recta........................................................................................................................................................................................ 399
Distancia de un punto a una recta......................................................................................................................................... 402
Área de una región triangular ............................................................................................................................................. 402
Área de una región po ligona l.................................................... :........................................................................................... 402
La circunferencia....................................................................................................................................................................... 405
La parábola................................................................................................................................................................................. 409
La elipse ..................................................................................................................................................................................... 416
La hipérbola................................................................................................................................................................................ 423
Transformación de coordenadas........................................................................................................................................... 429
Coordenadas polares .............................................................................................................................................................. 434
Problemas resueltos......................................................... 442
Problemas de examen de admisión U N I............................................................................................................................. 451
Problemas propuestos.............................................................................................................................................................. 453
CAPÍTULO 13: LÍMITES Y DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Biografía: John W allis............................................................................................................................................................... 459
Nociones p re lim ina res............................................................................................................................................................ 460
Idea de lím ite.............................................................................................................................................................................. 460
Límites trigonométricos .......................................................................................................................................................... 461
La sinusoide .............................................................................................................................................................................. 465
La c ic lo ide ................................................................................................................................................................................... 466
Derivada de func io ne s ............................................................................................................................................................ 470
Derivada de funciones trigonométricas .............................................................................................................................. 470
Cálculo de lím ites...................................................................................................................................................................... 470
Problemas resue ltos ................................................................................................................................................................ 472
Problemas propuestos............................................................................................................................................................ 485
CAPÍTULO 14: NÚMEROS COMPLEJOS APLICADOS A LA TRIGONOMETRÍA
Biografía: Cari G auss............................................................................................................................................................... 489
Número complejo ..................................................................................................................................................................... 490
Igualdad de números com ple jos........................................................................................................................................... 490
Conjugado de un número com p le jo ..................................................................................................................................... 490
Operaciones con números complejos ................................................................................................................................ 490 .
Potencias de i : ............................................................................................................................................................................ 491
T r i g o n o m e t r í a ■ 9
Representación gráfica de los números com p le jos ......................................................................................................... 491
Módulo o valor absoluto de un número com p le jo ............................................................................................................. 491
Representación gráfica o geométrica de conjuntos especiales ................................................................................... 492
Forma polar o trigonométrica de un número com p le jo ................................................................................................... 493
Operaciones con números complejos en forma p o la r .................................................................................................... 494
Forma exponencial de un númerocomplejo ..................................................................................................................... 495
Operaciones con números complejos en forma exponencial......................................................................................... 495
Teorema de Abraham de Moivre .......................................................................................................................................... 495
Raíces de números complejos ............................................................................................................................................. 496
Raíces enésimas de la unidad ............................................................................................................................................. 497
Problemas resue ltos ................................................................................................................................................................ 498
Problemas de examen de admisión U N I............................................................................................................................. 505
Problemas propuestos............................................................................................................................................................. 507
Sistema de 
medición 
angular 
Sector circular
Hiparco de Nicea (Nicea, 190 
a. C.-120 a. C.) fue un astrónomo, 
geógrafo y m atem ático griego.
Entre sus aportaciones cabe des­
tacar: el primer catálogo de es­
trellas; la división del día en 24 
horas de igual duración (hasta la 
invención del reloj m ecánico en 
el siglo XIV las divisiones del día 
variaban con las estaciones); el 
descubrimiento de la precesión 
de los equinoccios; la distinción 
entre año sidéreo y año trópico, 
m ayor precisión en la m edida de 
la distancia Tierra-Luna y de la 
oblicuidad de la eclíptica y de los 
conceptos de longitud y latitud 
geográficas.
Por otra parte, Hiparco es el in­
ventor de la trigonometría, cuyo 
objeto consiste en relacionar las 
medidas angulares con las linea­
les. Las necesidades de ese tipo de cálculos son muy frecuentes en Astronomía. Hiparco cons­
truyó una tabla de cuerdas que equivalía a una moderna tabla de senos. Con la ayuda de dicha 
tabla, pudo fácilmente relacionar los lados y los ángulos de todo triángulo plano. Ahora bien, los 
triángulos dibujados sobre la superficie de la esfera celeste no son planos, sino esféricos constitu­
yendo la trigonometría esférica. Además, elaboró el prim er catálogo de estrellas que contenía la 
posición en coordenadas eclípticas de 850 estrellas.
Fuente: W ikipedia
1 4 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
<4 ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
En geometría plana un ángulo se define como la figura 
formada por dos rayos que parten de un mismo punto. 
En Trigonometría generalmente se considera que un 
ángulo se genera por la rotación de un rayo alrededor 
de su origen (llamado: vértice) desde una posición Ini­
cial (llamado: lado inicial) hasta una posición terminal 
(llamado: lado final).
La medida de un ángulo es, si me permiten la expre­
sión, la cantidad de rotación (o amplitud de. rotación) 
que efectúa el rayo al girar en torno a su origen desde 
su posición inicial hasta su posición final. Esta medi­
da será un número positivo si la rotación se efectúa en 
sentido antíhorarío y negativo en caso contrario.
OÁ: lado inicial 
OB: lado final 
O: vértice
6 : número que indica la me­
dida del ángulo AOB. 
Comúnmente se suele lla­
mar a un ángulo cuya medi­
da es 0 como: el ángulo 0 . 
La flecha curva indica en 
qué sentido es la rotación. 
En las figuras adjuntas.
0 es positivo, a es negativo, 
<|> es negativo.
Debemos tener presente que 
la medida de un ángulo trigo­
nométrico no tiene límite.
Ai ángulo generado al rotar un rayo en sentido anti­
horario hasta que coincida por primera vez con su po­
sición inicial lo denominamos ángulo de una vuelta o 
ángulo de una revolución.
&
<4 SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
Sistema sexagesimal (sistema inglés)
En este sistema consideramos al ángulo de una vuelta 
dividido en 360 partes ¡guales y a cada parte se le 
denomina un “grado sexagesimal” , a cada grado se 
le divide en 60 partes iguales y a cada parte de le de­
nomina “m inuto sexagesimal” , a su vez a cada minuto 
se le divide en 60 partes iguales y a cada parte se le 
denomina “segundo sexagesimal” .
NOTACIÓN EQUIVALENCIAS
* 1 grado sexagesimal: 1° * 1° = 60’ = 3600”
* 1 minuto sexagesimal: 1’ * 1 ’ = 60”
* 1 segundo sexagesimal: 1”
m Z 1 vuelta 
360
=» mZ1 vuelta = 360°
Sistema centesimal (sistema francés)
En este sistema consideramos al ángulo de una vuelta 
dividido en 400 partes iguales y a cada parte se le 
denomina un “grado centesimal", a cada grado se le 
divide en 100 partes ¡guales y a cada parte se le de­
nomina “minuto centesimal” , a su vez a cada minuto 
se le divide en 100 partes iguales y a cada parte se le 
denomina “segundo centesimal” .
NOTACIÓN EQUIVALENCIAS
* 1 grado centesimal: 19 * 1= = 100m = 10 0005
* 1 minuto centesimal: 1m * r = io o s
* 1 segundo centesimal: 1s
mZ1 vuelta 
400
=> mZ1 vuelta = 4009
Sistema radial (sistema circular)
En este sistema la unidad angular es el radián. Un ra­
dián se define como la medida del ángulo central que 
subtiende en cualquier circunferencia un arco de longi­
tud igual al radio.
(En la figura adjunta el ángulo 0 mide un radián).
En este sistema el ángulo de una vuelta mide 2n ra­
dianes.
mZ1 vuelta = 2n rad
= 1 rad
<4 RELACIÓN DE CONVERSIÓN DE LOS TRES 
SISTEMAS
Sean S, C y R los números que representan la medida 
de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal 
y radial respectivamente.
Sabemos que: 360° = 4009 = 2n rad
S C R
360 400 2n
Entonces se cumple:
Simplificando: S
180
C
200
Fórmula o relación 
de conversión.
T r i g o n o m e t r í a ■ 1 5
Aplicaciones:
1. Convertir T rad a grados sexagesimales. 
Resolución:
S
180
R
7t
s
180
S = 36
2. Convertir 60° a radianes.
Resolución:
_C_ R _60_
200 n 200
p _ 371 
10
£ rad = 36°O
60g = rad
S, C y R son los números que indican la medida 
de un ángulo en los sistemas sexagesimal, cen­
tesimal y radial, respectivamente, y se cumple que:
S + C = 12B.+ 37. Hallar la medida de dicho án-
71
guio en radianes.
Resolución:
Sabemos que:
_S^ R o 180 R _C_
180 ti ti 200
Entonces:
R C = 200 R
S + C = + 37
71
^ 380R 10R
71 71
3771 71
180R , 20 0 R _ 10R
37
71 71
370 R
+ 37
= 37
R =
370 10 R = TÉ) rad
4. R, C y S son los números que indican la medida de 
un ángulo en los sistemas conocidos, y se verifica
que: ■IC + S + -IC - S = + 1). Hallar la me-
Vn
dida de dicho ángulo en radianes. (R ¿ 0). 
Resolución:
V c T S + = -pr(/T9 + 1)
Vtc
> /200 R | 180 R ] Í20ÓF
y n 71 y tl
- M S + i m r ( m + d
y 71 y t i v 71
J 8 0 R = R (/ Í9 + 1)
7t V 71
20 R (VT9 + 1) = -t=(V19 + 1)
T V 71• i
IOOR R
Simplificando: = -£+, elevando al cuadrado
I 71 V 71
se obtiene: = B ! ^ r = 20
7t 71
Por lo tanto, el ángulo mide 20 radianes.
S, C y R son los números que indican la medida de 
un ángulo en los sistemas conocidos. Si se cum­
ple: S° = Rs, calcular 9VS .
Resolución:
Dato: Sc = Rs 
SSabemos:
180
C
200
r - 200 c
° “ T80b C = f s
Entonces: (S ) 9 =
Pero: R
180 71
10 ,
S 9 7t => s 9
S 180
10
_ ps, simplificando: 5 T = R
10 _
R = f ¿ ; entonces: s 9 =
180 " VS ' 180
rad
< i FACTOR DE CONVERSIÓN
Una forma práctica para pasar de un sistema a otro es 
multiplicar a la medida dada por un “factor de conver­
sión” . Dicho factor consiste en una fracción equivalente 
a la unidad tal que en el numerador colocamos la uni­
dad deseada y en el denominador la unidad a eliminar 
y los números que acompañan a estas unidades deben 
ser equivalentes.
Para utilizar este método debe recordar que:
180° = 200a = n rad
Aplicaciones:
1. Convertir £ rad a grados sexagesimales.
O
Resolución:
Unidad deseada: grados sexagesimalesUnidad a eliminar: radianes 
Sabemos que: 180° = n rad 
7t /180° \
6 rad(í?ad I ' 30°
2. Convertir 25a a grados sexagesimales. 
Resolución:
25g/!8 0 _ \ = 22 y 
V 2009 7
3. Convertir 80a a radianes.
Resolución:
80a( T ia d \ = 27Lrad 
l 2009 / 5
<4 REGLA DE CONVERSIÓN
En un sistema de medición dado, para pasar de una 
unidad superior a una inferior se multiplica por la equi­
valencia respectiva. Para pasar de una unidad inferior 
a una unidad superior se divide entre la equivalencia 
respectiva.
Por ejemplo, para el sistema sexagesimal hacemos el 
cuadro siguiente:
1 6 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Aplicaciones:
1. Un ángulo mide 5°36’45” convertir a segundos 
sexagesimales.
Resolución:
5o = 5(3600)” = 18 000”
36' = 36’(60)° = 2160”
5°36’45" = 18 000” + 2160” + 45”
5°36’45” = 20 205”
2. Si un ángulo mide 17,3075° expresar dicha medida 
en grados, minutos y segundos sexagesimales.
Resolución:
17,3075° (nos quedamos con la parte entera): 17° 
0,3075° = 0,3075(60)’ = 18,45’ (parte entera): 18’ 
0,45’ = 0,45(60)” = 27”
Luego: 17,3075° = 17°18’27”
3. Si un ángulo mide 29 268” expresar dicha medida 
en grados, minutos y segundos sexagesimales.
Resolución:
29 2 6 8 [60
526 487 I 60 .-. 29 268” = 8°7’48”
468 © ©
©
4. La medida de un ángulo a es 40°37’52” y de 0 es 
20°30’28”. Calcular a + 0 y a - 0
Resolución:
a + 0 :
40°37’52” +
20°30’28”
60°67’80”
=>a + 0 = 60°67’80” = 61°08’20"
a - 0 :
40°37’52” - 
20°30'28”
20°07'24”
= » a -0 = 20°07’24”
Equivalencias usuales
15°= ± rad 45“ = £ rad 4 75“ = | | rad 180° = n rad
13° = JL rad
54" = i rad
90" = rad 225“= % rad 
4
22°30’ = i radO 60“ = rad 120"= -y- rad 270"=-y- rad
30“ = § rad 6 67“30’= - ^ rad
O
135"=% rad 
4
300°= ̂ 2- rad
36“ = f radO 72" = ~ rad 
O
150"= % rad 
6
360° = 2n rad
«RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS SEXA­
GESIMAL Y CENTESIMAL
s cSabemos que: -rfrr = y ^ - ; simplificando se obtiene: 
ToU 2UU
s = _c
9 10
m _ n 
27 " 50
P _ q 
81 250
S: número de grados sexagesimales 
C: número de grados centesimales
m: número de minutos sexagesimales 
n: número de minutos centesimales
p: número de segundos sexagesimales 
q: número de segundos centesimales
Aplicaciones
1. Sabiendo que a y 0 son ángulos complementarios, 
que a mide (8x )9 y 8 mide (2x - 2)°. Hallar cuánto 
mide cada ángulo en el sistema radial.
Resolución:
En el sistema sexagesimal: 
a + 0 = 90°; a = (8x )9 y 0 = (2x - 2)°
Entonces pasamos a al sistema sexagesimal:
Luego: % x + 2x - 2 = 90 => x = 10 
5
Entonces: a = 72° y 0 = 18°, en radianes: 
a = ^ rad y 9 = ^ rad
2. La medida de un ángulo en el sistema sexagesimal 
es (20 + x)° y en el sistema centesimal (20 - x)9. 
Calcular la medida de dicho ángulo en radianes.
Resolución:
S CSabemos: ^ = t k entonces:
9 10
= 20|~ x =» 200 + 10x = 180 - 9x 
20
Luego: x = - ^ g
Entonces el ángulo mide: | 2 0 - - | ^ j = ( t é t )
En radianes: rad
3. Convertir 2754 segundos sexagesimales a minutos 
centesimales.
Resolución:
Primero pasamos 2754" a segundos centesimales: 
= 250 ^ 2754” = 850GS
Pasamos ahora a minutos centesimales: 
8500 oc
w = 85
.-. 2754” = 85m
4. La medida de un ángulo en el sistema sexagesimal 
es a°a’ y la medida de otro ángulo en el sistema 
centesimal es a9am. Si la suma de las medidas de 
dichos ángulos en el sistema sexagesimal es igual a
T r i g o n o m e t r í a ■ 17
57°46'12” , calcular su diferencia en el sistema inglés. 
Resolución:
a \° / 61 a \• a = a a ^ a = ( a , 6o ; - l6 0
• 9 = a9am- e = (a + i i o M w ) 9
• 57°46'12” = 57,77°
9 /1013 \ °En el sistema sexagesimal: 0 = J q ( ^q'q ' )
Dato: « + 0 = 57,77° + 57,77
=> a — 30
De donde:
a = 30°30’ A 0 = 27,27° = 27° 16’ 12”
a - 0 = 30° 29' 60” - 27° 16’ 12” = 3° 13’ 48”
1 radián = 57°17’44,81” = 63966m19.77!
1 radián > 1° > T; 1’ > 1m; 1” > T 
Para todo ángulo positivo: C > S > R
< i ÁNGULOS COTER MI NALES
Se denomina de esta manera a todos aquellos ángulos 
que tienen los mismos elementos (vértice, lado Inicial 
y lado final). En las figuras adjuntas a y <j> son ángulos 
coterminales, lo mismo que a y t
Una característica fundamental de los ángulos coter- 
mlnales es que se diferencian en un número entero de 
vueltas.
Si a y 0 son dos ángulos coterminales, se cumple:
Si a y 9 están en grados sexagesi­
males, ( k e Z )
a - 0 = k(360°)
a - 0 = k(2n rad) Si a y 0 están en radianes, (k e TL)
En forma práctica para determinar si dos ángulos son 
coterminales:
Restamos dichos ángulos.
Dividimos la diferencia entre 360° o (2n rad)
Si el resultado es un número entero entonces los 
ángulos son coterminales.
Ejemplo:
En cada uno de los casos siguientes determ inar si los 
ángulos son coterminales (AC)
1. 80° y 440° => 80° - 440°= -36 0 ° => = -1
obO
Si son AC.
2. -150°y 570° =» -150° - 570° = -720° => - 7— = - 2
obO
Si son AC.
3. -750° y - 510° -750° - (-510°) = 1260° =* = 3,5
360
No son AC.
4. ^ rad y % rad => ^ ^ rad
6 6 6 6 6 3
n
=» = j No son AC.2n 6
5. ^ rad y rad
=> = 3 Si son AC
2 it
6 . Dos ángulos a y 0 son coterminales y además 
complementarios. Hallar la medida del ángulo a si
200° < a < 300°.
Resolución:
Como a y 0 son coterminales: 
a - 0 = k(360°) ...(1)
Como a y 0 son complementarios: 
a + 0 = 90° ...(2)
Sumando (1) + (2):
2a = k(360°) + 90° => a = k(180°) + 45°
Para:k = 0 => a = 45°
k = 1 - a = 225°
k = 2 =» a = 405°
Por dato: 200° < a < 300°
Entonces de los valores obtenidos el único que sa­
tisface la desigualdad es: a = 225°
<♦ SECTOR CIRCULAR 
Nociones preliminares
Circunferencia Círculo Corona circularO O (C|
Longitud = 2rtR Área = nR2 Área = n(R2 - r2)
Sector circular
Es una porción de círculo limitado por dos radios, y el 
arco de circunferencia. En la figura adjunta AOB es un 
sector circular cuyos elementos son:
El arco AB, cuya longitud es L.
Los radios OA y OB, cuya longitud es r.
El ángulos central AOB, cuya medida es 0 rad.
1 8 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Longitud de arco: | L = Or (0 < 8 < 27t)
• 9 debe estar en radianes, sino se tiene que hacer ia 
i conversión,,.
Área dei sector circular (Asc):
A _ RL
Msc — 2 A - 2 B ÍMsc — 2 A - Ü
sc 20
<♦ TRAPECIO CIRCULAR
Es una porción de corona circular limitada por dos ra­
dios. En la figura adjunta la región sombreada es un 
trapecio circular. Elementos:
A
Los arcos AB y CD cuyas longitudes son L, y L2; res­
pectivamente.
Los radios mayor (R) y menor (r).
Los segmentos AD y BC; cuyas longitudes son: R - r = h
Área del trapecio circular (ATC)
6 (R2 “ r 
2
2) a (Li + L2)h 
rVc 2
I 2 - I 2A _ L 1 2 
^ 20
i ...... ...................................... ~ N
En la figura adjunta L, y L2 son los arcos del trapecio 
circular ABCD, h es la diferencia de sus radios, 0 rad es 
la medida del ángulo central. Se cumple:
A
_ 1-1 1-2
Casos prácticos
Cuando una rueda (aro, disco, ...) gira o va rodan­
do sobre una superficie plana desde una posición. 
Entonces podemos afirmar lo siguiente:
v /
09n - — 0 — n = 7 ^ -2 71 9 r 2 tc r
n: número de vueltas que da la rueda al ir de A 
hasta B.
0 : número de radianes del ái ,gulo que gira la rueda.
L: longitud que recorre la rueda (o que se despla­
za el centro de la rueda.
Cuando la rueda (aro, disco, ...) gira o va rodando 
sobre una superficie curva, se presentan dos casos:
Caso I:
0(R + r) 
2k r
9 ( R - r ) 
27t r
n : número de vueltas que da la rueda al ir de A 
hasta B.
0 : número de radianes del ángulo que describe el 
“centro” de la rueda con respecto al centro de la 
superficie al ir de A hasta B.
R : radio de la superficie curva, 
r : radio de la rueda (aro, disco, ...).
Cuando se tienen ruedas (discos, engranajes, ...) 
unidos mediante una faja tangencial (como en las 
figuras 1 y 2) o están en contactos (figura 3).
Figura (3) 
Entonces se cumple que:
‘-'1*1 — u2l2 *111 1 '2' 2
0 , y n,: número de radianes del ángulo de giro y 
número de vueltas de la rueda de radio r,. 
02 yn2: número de radianes del ángulo de giro y 
número de vueltas de la rueda de radio r2.
Cuando se tienen ruedas (discos, engranajes, ...) 
unidos por sus centros (como en las figuras 4 y 5).
T r i g o n o m e t r í a ■ 1 9
Resolución:
Observamos que cuando la esfera A baja una lon­
gitud x la esfera B sube una longitud y.
En este caso se verifica que:
Figura (4) Figura (5)
n, — n?
Aplicaciones:
1. En la figura adjunta calcular el número de vueltas 
que da la rueda al ir desde P hasta Q, sabiendo 
que su radio es un tercio del radio de la superficie 
sobre la cual se desplaza. (El ángulo 0 mide 90°).
Resolución:
Dato: r = |R ;
Entonces: n =
: 90° = |
!(R + 3f
2n
n = 1
Determinar cuánto mide el radio del engranaje A 
si cuando este gira 120° entonces B gira 2rt rad 
(0 ,0 2 = 80 cm)
Resolución:
Como los engranajes están en contacto: 0 
Datos: 0, = 120° = -y- rad; 02 = 2k rad
r, + r2 = 80 
2n ,
3
Entonces: -^r-r, = (2n)r2 => = r2
(1)
£,
3
Reemplazando en (1): r, + -A = 80 : 60 cm
En el sistema adjunto, cuánto medirá el ángulo (en 
radianes) que debemos girar para que los centros 
de las esferas A y B se encuentren a la misma altu­
ra si inicialmente dicha diferencia es de 14.
Entonces:
x + y = 14 ...(1)
Los engranajes son concéntricos, entonces giran 
el mismo ángulo (0 ).
Entonces: x = 50 e y = 20 
Reemplazando en (1): 50 + 20 = 14 => 0 = 2 
Por lo tanto, debemos girar 2 radianes.
En el sistema de engranajes adjunto, el mayor gira 
a 600 r.p.m. ¿Cuántas vueltas da el engranaje me­
nor en una hora?
Resolución:
Los engranajes A y B están en contacto: 
n a Ta
nArA = iW b => nB = -A-A
B
Los engranajes B y C están unidos por un eje: 
n a f*Anc = nB => nc =
Los engranajes C y D están en contacto:
nr rc 'a 'a \ _ 'A'C
- r r nA - ( 1 )
En 1 hora: nA = 600(60) = 36 000 vueltas. 
(3 R)(2 R ) .
En (1): nD =
(R)(f)
-(36 000) = 432 000 vueltas
En un cierto ángulo se cumple que el número de 
segundos sexagesimales menos 3 veces el núme­
ro de minutos centesimales es igual a 29 400. Ha­
llar su número en radianes.
Resolución:
Transcribiendo el dato:
3600S - 3(100C) = 29 400 
36S - 3C = 294 => 12S - C = 98
2 0 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
12(180R) 200 R
71
20R
= 98
(12(9) - 10) = 98 R= 20 rad
6 . Los ángulos ¡guales de un triángulo isósceles mi­
den: 5x9 y (4x + 5 )°. Hallar la medida del tercer 
ángulo en el sistema internacional.
Resolución:
Del dato: 5xg ■ (4x + 5 ) ° ( ^ )
=> 45x = 40x + 50 => x= 10 
Por lo tanto, ¡os ángulos iguales miden 45°; el ter­
cer ángulo medirá: 90° = i rad
1400
Reducir la siguiente expresión:
119 + 22a + 33a + ... + 7709 
2 rad + 4 rad + 6 rad + ... + 140 radj n
Resolución:
Factorizando:
T _ 119( 1 + 2 + 3 + .. .+ 70) -|-]9
~ 2 rad (1 + 2 + 3 + ....+70) " 2 rad
 ̂^g/7i rad,
2009 117t T_ [ 117i 1400
2 rad 400 ” [ 400 J n
Si se cumple que: 50°40'30" O a69 b0m c5s 
Hallar: a + b + c
T= 11
Resolución:
50°40'30" = 50° 40°
60
30°
3600
1° _ 6000° + 8 0 °+ 1°- 50 + y + 12Q 12q
= 56.30555...9
= 56930m55s < > a69 b0m c5s 
=> a = 5 ;b = 3 ;c = 5 
.-. a + b + c = 13
9. Siendo S, C y R la medida de un ángulo convertido y 
además se cumple: S = 3x + 6 ; C = 7x - 8 . Hallar 
el número de radianes.
Resolución:
Recordando: ^ ^ 3x + 6
7x - 8
=> 63x - 72= 30x + 60 => 33x = 132 - 
De donde:
S = 1 8 - R = W = T ^ rad
10. Calcular a + b, sabiendo que:
/a 9am\9/'b9b " 'r a9hm. ci. 0 . h
( - = a b , si. a > b
Resolución:
Todo a minutos: : a9bm
11 .
=> 1019101m = a9bm = 10291m 
^ a = 102 a b = 1 
Piden: a + b = 103
Sabiendo que la diferencia entre el número de gra­
dos sexagesimales de un ángulo; menos el núme­
ro de grados centesimales de otro es igual a 104. 
Determinar el menor ángulo en radianes si ellos 
son suplementarios.
Resolución:
De los datos:
C2 = 104 (1)
...(2 )
19S, = 2736
S,
Ci + C2 = 200 
(1) + (2): S1 + C, = 304
S, + ^ = 304
S, = 144 =5 S2 = 36 
S2 radianes: R2= § rad
O
12. Se idean 2 nuevos sistemas de medidas angulares 
C; V. Sabiendo que la unidad de medida de C es la 
quinta parte de la unidad de medida en el sistema 
sexagesimal; y que 20 grados V es 10a.
Hallar la relación entre C y V.
Resolución:
Dato:
lC = T = fSf- 109 = 450 
20v = 109
(1) = (2): 45c = 20'
(1)
(2)
C_
45
_V
20
§ = V v c _ 2 25V 
9 4
13. Calcular:
S =
3x20x° + | ^ 7rrad + 80x9
^ r a d + (509)x + 15x° y
Resolución:
Pasando a grados sexagesimales: 
20x° + 108x° + 72x° 200x°S =
40x° + 45x° + 15x° 100x°
T r i g o n o m e t r í a ■ 21
■ ■ ■ni P R O B LE M A S RESUELTOS
■ ■
Q '
1. Si x es la 30.a parte de 4° e y es la 36.a parte de 29. 
3x + 4y
Calcular: T =
5x - 4y
Resolución:
De los datos: x ■ i l
30
4» pg
■ _ 10 9
y
2a1 9'
i l
36
6
r
T =
141
30
10 9 V1CT 
6 9 109
3(6)
14
2. Hallar el error en radianes si se escribe 36a en lugar 
de escribir 36°.
Resolución:
El error será:
36° - 36a = 36°(-^pr ) - 36a = 40a 36a
: 4a ; 4g(7Lrad) = -T-rad
200a 50
3. Reducir: P = nC +J1 „ + 2 0 R ; siendo S, C y R lo 
zUUR
convenido.
Resolución:
Sabemos: C = 200K; S = 180K; R = itK 
D _ 200n K + 180n K + 20n K
400nK
200ti K 
P = 2200nK
4. Si: 40° = aa9 aam a is; determinar: a 
Resolución:
Convirtiendo: 40° = 4 0 (^ - ) = ( - r p 
40° = (44,4444)9 = 44a44m44s
5. Hallar x del gráfico mostrado:
(20 + x)>
a = 4
Resolución:
Del gráfico: (20 + x)a - 18x° = 400a 
(20 + x)a - 20xa = 400a => 19x = - 380 
.-. x= - 2 0
6. Se tienen 3 ángulos tal que la suma del primero 
con el segundo es 20°; del segundo con el tercero 
es 40a y del primero con el tercero es 5e/9 rad. Ha­
llar el mayor de dichos ángulos.
Resolución:
Datos: sea a, p y 0 los ángulos 
a + p = 20° ...(1)
P + 0 = 409 = 36° ...(2)
5n rad = 100° ...(3)
(1) + (2) + (3): 2(a + p + 9) = 156°
a + p + 0 = = 78“
6 = 78° - 20° = 58° 
p = 36° - 58° = -2 2 ° 
a = 1 0 0 ° - 58° = 42°
580Por lo tanto el mayor será: 58° = ( r ad
7. Sabiendo que S, C y R son el número de grados 
sexagesimales, centesimales y radianes de un án­
gulo. Hallar: T = 3̂ 6(</3 - Í2 )SCR
3 ^ = 3 (n = -Í3 + ■Í2)[180 J200 
I s V c
Resolución:
En la condición:
3 . P - - U 200
180k r 200k 
= 3 ^ k = 1
I Tik
3hU>
8 . SI
=> T = 3^6((3 - V 2 ) 180(200)71 
.-. T = 3^63(10)3(/3 - i2)(V3 + i2 ) 
R + 7t _ C + S .
60
R — 7i C - S '
Hallar el ángulo en radianes.
Resolución:
Sabiendo que: R = 7ik; S = 180k; C = 200k 
k + 1En la condición: , , = 19
k - 1
k + 1 = 19k - 19
Siendo S, C y R lo convenido, determinar R; ade­
más: SCR = -r^r 
i bz
Resolución:
Del dato: 
R
. 180R(200R)R
27(6)
9 (2) (10) (2) (10) (10) (27) (6)
R3
36 x 10 (3) (6) W rad
10. En el gráfico mostrado, calcular el número total de 
vueltas que da la rueda cuando el bloque se baja 
completamente por enésima vez desde la posición P:
2 2 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Resolución:
Notamos que si el bloque baja 40n la rueda recorre 
también 40n como la cuerda es rígida entonces, 
cuando el bloque sube 40n la rueda también reco­
rre 40n (retrocede),
40n 10
2jt(2n) Jt 
40n _ 10 
2n(2n) Jt
1 vez baja: N
sube: N =
20Total de vueltas: —
2 .a vez baja: 
sube:
N = 
N =
40n . 
4itn 
40n 
4nn
10
jt
10
rt
20Total de vueltas: —
40n 
4jtn
Total de vueltas: —
j t
El n.° de vueltas totales es:
Enésima vez baja: N = 
10
10
j t
Nt = 20 + 2 0 .
71 71 71 71
<n — 1) veces
Nt = (n - 1 ) ^ + 1 ^ NT = (2n - 1 ) ^
Jt TI 7t
11. Calcular el área de un sector circular cuyo arco es 
2 it m y de cuyos extremos se subtiende una cuerda 
de 6 m.
Resolución:
...(1 )
Como: 2it = (2a)R ^ jt = a R = » i = R ...(2)
Del A rOAB: sena = -^ => R =
R sena
(2) = (3) =>— = 3 => sena = —
(3)
a sena
2
=> a = i
j t 6
En ( 1 ) S = — = 6 ji m 2
_jt
6
12. SI el perímetro del trapecio circular es 2p. Hallar su 
área cuando sea máxima.
.A
Resolución:
Dato: 2p = a + b + 2x 
=> (a + b)= 2p - 2x ...(1 )
Cálculo del área:
V = S = (^ ) x .,,(2)
(1) en (2): S = ( ^ y ^ ) x
Luego: S = ^ - - ( x - | j 
Para que el área sea máxima: ( x
■ S = ¿• • °m á x ^
= o
13. Dos ruedas de radios r y R (r < R) recorren espa­
cios, la primera el doble de la segunda. Hallar el 
radio de una tercera rueda, para que al recorrer 
un espacio Igual a la suma de las dos anteriores, 
dé un número de vueltas igual a la diferencia del 
número de vueltas que existe entre la primera y la 
segunda rueda.
Resolución:
0 R / ' '
Nr =
2 L -
2L 
2n r
NR =
2nR
3L-
Nx = 3L
2 jix
Dato: Nx = Nr - NR
■ 3Rr
2itr 2ttR 35 " 2R - t2 jix
14. El cateto de un triángulo rectángulo es el radio de 
un círculo. Si ambas figuras tienen la misma área, 
calcular la tangente de la octava parte de la tan­
gente de uno de los ángulos agudos del triángulo.
Resolución:
I
Rtan0
1
T r ig o n o m e t r ía ■ 2 3
R
S, = S2=» 71R = íT-tanO =» tan0 = 2ti
/ ta n 0 \ = ta n (% )
l 8 1 \ 8 1
15. Si la diferencia de segundos centesimales y segun­
dos sexagesimales que mide un ángulo es 27 040, 
calcular la medida (en rad) de dicho ángulo.
Resolución:
Dato:[n.° seg . cent] - [n.° seg , sex.] = 27 040 
10 000C - 3600S = 27 040 
Sea el ángulo pedido: 0, donde:
S = 9k; C = 10k; R= nk/20 
Reemplazamos:
1000(1 Ok) - 360(9k)= 2704
10k(1000 - 324) = 2704
10k(676) = 2704 => k = 2/5
Por lo tanto, el ángulo será: 0 = ^ ( ^ ) = racl
16. Si S, C y R son la medida de un mismo ángulo en 
los sistemas sexagesimal, centesimal y radial, res­
pectivamente; hallar el valor de: 6A + B;
si A = I3S + 5C l 23
i 4S 36
3840R 
ti(2S + 3C)
Resolución:
a Í3S + 5C , 23
A “ V 4S + 36
Sea: S = 9k; C = 10k
A = / 27k + 50k , 23 
J 36k 36
B
A
/ 77k 23
V 36k 36
u
A - 
A “ 6
3840R
(2S + 3C)
Sea: S = 180k; C = 200k; R = nk
g _ i 38407ik _ Í3840k _ ^
r(360k + 600k) K 960k 
6A + B = 12
17. ¿Cuántos grados sexagesimales mide un ángulo 
no nulo si los números que expresan su medida 
en grados sexagesimales (S) y centesimales (C) 
están definidos por:
S = (2n2 + 3n + 1) y C = (3n2 + n - 2)
Resolución:
Conocemos que:
S =
9 10
2n2 + 3n + 1 _ 3n2 + n - 2 
^ 9 10
20n2 + 30n + 10 = 27n2 + 9n - 18
n2 ~ 3n - 4 = 0 => (n - 4)(n + 1) = 0
Si: n = 4 => s = 45 (V )
Si: n = - 1 => s = 0 (x)
Por lo tanto, la medida del ángulo es: 45°
18. Un ángulo trigonométrico 0 se puede representar 
como 9 = x9 = y°z', donde x, y, z pertenecen a TL* 
(y > z). Si los dos últimos números se diferencian 
en 3 y los números de grados centesimales y sexa­
gesimales se diferencian en 5. Determinar el ángu­
lo en radianes.
R eso lución:
0 = xg = y°z'; x, y, z £ Z +; (y > z)
Por condición: y - z = 3 a x - y = 5
- 0 = (y + 5)9 = y° + (y - 3)
(y + 5)9< W ) = y0 + ( y _ 3 ) ’( ¿ )
> + 5)»= y» + ¿ ( y - S J -
Despejando: y = 399 A x = 449 
La medida del ángulo será:
0 = 44g( Jtrad) . e = J l £ rad
2009 50
19. El número de grados sexagesimales que tiene un 
ángulo es mñ y su número de grados centesimales 
es riO. Determinar la medida radial del ángulo.
R eso luc ión :
Sea el ángulo 0 
Donde:
0 = mñ° = rñO9 =» m ñ ° ( ^ ^ ) = ñü9 y
mñ 9 18 45
R0 10 20 50
Así: m = 4 a n= 5
.-. 0 = 45° O 7 rad 
4
20. Si los números S, C y R representan la medida de un 
ángulo en los sistemas ya conocidos y que cumplen:
xS = yC = zR = ji ...(1)
_Lif 180x + ti \/ 200y + ti ) II
°°
|t
j
xyz l 200 A 180 ) V Z -t- 1 /
Determinar la medida de dicho ángulo.
Resolución:
De: xS = yC = zR
x = 7t/S; y = ji/C; z = tt/R
Reemplazamos:
1 (180f + M(200Ü + 71) 2 7 1 1 ,
n3 \ 200 l\ 180 / 8 U J
SCR ' R '
2 4 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
/180 , A 1200 , ,
s c r * h r + 1M “ c r + 1
200 180
= R = kConocemos que: - _Q_
Reemplazamos:
« M H I iM I íM - ?
Luego la medida del ángulo será: 
100C _ 1 n 
200 2
Por lo tanto, la medida del ángulo es: 1009
21. La semicircunferencia ANB tiene como radio 
OA = 5, con centro en B se traza el sector circular 
MBN con radio BM = 6 . Calcular el área de la región 
comprendida por el segmento circular sombreado.
N
Del gráfico: V '
* S-OOEF — Sooqq — 14
I |
0 (4a )2 0 (3a )2 
2 2
o<e>
2 a \ /
14 s i
A M o B -t_2
/a}C
R' / £
Resolución:
Del gráfico: s, = s<
O . 74 (5 )2/ K > 6 (4) . 0 _ 18571
2 v 180 / 2 x 36
12
22. Un sector circular de ángulo central 6 tiene un área 
igual a la de un triángulo rectángulo isósceles. 
SI sus perímetros son también ¡guales, calcular
p = 0 + í
Resolución:
Datos:
^P seclo rQ P&sisósoeles
2R + 0R = 2a + a /2 
R(2 + 0) = a(V2 + 2)
...(2)
®sectoro %.¡sósceles
^ ^ => 0R2 = a 2
De (1): R2 = 3 + f
(2 + 0)
Reemplazamos en (2):
a JJ¿ + 2)_ = a2 ^ ( /2 + 2)20 = (2 + 0)2 
(2 + 0) ' v '
=> (2 + 4 /2 )6 = 02 + 4 .-. 0 + 1 = 4V2 + 2
0
23. Si AOB, COD, EOF y GOH son sectores circulares 
y OA = EG = 2AC = 2CE y además se sabe que el 
área de la reglón CEFD es 14. Determinar el área 
de la región EGFIF.
Resolución:
0(4 |_ ) = 14 0a2 D F' 2a^H
S<3ogh S<30F[ — S7
0(6 a )2 9 (4 a )2
100a2 = S„ Sx = 40
24. Dos ángulos centrales de una circunferencia cumplen:
I. Son suplementarias.
II. La diferencia de la longitud de los arcos que 
subtienden es 2 cm.
III. La razón entre la medida de los ángulos es 4/n 
Hallar (en cm) la longitud del radio de la circunfe­
rencia.
Resolución:
Datos:
• 40R - ti0R = 2
2R =
0 (4 - j t ) 
Pero: (40 + it0) = n
(4 + n)
Luego, reemplazamos 0 en R:
2 _ 2(4 + n)
R =
25. De la figura: AOB, COD y EOF son sectores circu­
lares. Si el área de dichas regiones es 6A, 3A y A, 
respectivamente, hallar Si LAC = 2
T r i g o n o m e t r í a ■ 2 5
Resolución:
Del gráfico: S =
20
También: 3S = s = —
30
Tenemos: 6S 
2(2) en (1):
30
n
20
mi
20
...(2 )
...(3)
2_
(3
( 2 ) e n , 3 | : 6 ( | ) . 9 5 : 2 (2
m
n
2_
(3
2(2
m
n 6
26. Si R, L, S son el radio, la longitud de arco y el área 
de un sector circular cuyo ángulo central mide
xS 
0L
Resolución:
LR
R R Lrad. Hallar el valor de x en: ■+• + ■+- + -T
9 L 02
Como: L = 0R A S = •
Reemplazamos:
R R2
0 0R '
LR', 
0R _ x l 2
e2 0 \ 0R l
R R R xR
0 0 0 20
3R
.-. x = 6
27. Hallar el área de la región sombreada
Resolución:
Notamos que:
ni R̂ 
2 \ 2
R /R
2 \ 2
c 7iR2 R2 R 2,
S« = l ^ - T = Í 6 (7t- 2)
.-. 2SX = B Í ( n - 2)
28. El siguiente gráfico muestra el sector circular AOB.
3
Calcular E = ^ s i T es punto de tangencia.
3 ? + So
O
Resolución
S3 — S<)AoB
S3 = f ( 3 r )2g ) = f ^ 2
• S, = Sd=> S, =
Sustituimos (2) en (1): 
■5^+ S, + S, = ^ r 2 =»
...(2 )
E = — ^ —
S ? + So
4
nr2
2
nr2
4
S2 + S3 = - | r 2
. E = 2
29. Si:
1 C - - 1
90 s 35
C C
Siendo S y C lo convencional para un mismo ángu­
lo, hallar la medida de éste ángulo en radianes.
Resolución:
1 1
T1
90
CJ
1
C - -
s - 35
C .
S - 90
= C
S - 35
S - 90 35 c 90 35 c
C " “ b
c 90 _ 35 o 
s _C “ C‘ “ S 
2SC = 1 2 5
2S = 125
■(1)
2 6 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Recordamos que para un mismo ángulo S, C y R 
se relacionan del siguiente modo:
S = 9k, C = 10k, R =
Reemplazando en (1):
=> 2(9k)(10k) = 125
36k2 = 25 => K = f
Luego se pide: R = kn
20
5 \ 7i _ _n_ 
6 /2 0 “ 24
Por lo tanto, la medida será: 2 2 rad
30. Se inventan tres nuevos sistemas de medición an­
gular O, M, I en el cual 27 grados O equivalen a 
un ángulo recto, 36 grados M equivalen a 60° y 
63° grados I equivalen a ^ rad. Hallar una relación 
entre los nuevos sistemas.
Resolución:
Según el enunciado:
27 grados O = 2 rad (medida de un ángulo recto en Rad)
36 grados M = 60°= 2, rad
63 grados I = i rad
54 grados O = n Rad 
108 grados M = n Rad 
252 grados I = n Rad
=> 54 grados O = 108 grados M = 252 grados I 
54 grados O 108 grados M 252 grados I 
~ 9 - 9 " 9
6 grados O 12 grados M 28 grados I 
12 12 " 12 
1 grados O 1 grados M 7 grados I 
2(7) - 1(7) “ 3(7)
1 grados O 1 grados M 1 grados I 
14 “ 7 " 3
■ 0 . - M - Í
" 1 4 7 3
31 . En un triángulo ABC; se cumple: A + B = rad;
O
B + C = 80g, calcular:M 3B + 2A
A - 2 C 
Resolución:
Expresaremos los datos en un mismo sistema de 
medida:
B + C4n 180 ). D J r* — oq9/_9 \A + B = :2 ira d , — . .
5 \ n rad / \ 109 /
A + B + C = 180° (suma de ángulos internos del AABC)
A + B = 144° ...(1)
B + C = 72° ...(2)
A + B + £ = 180° ...(3)
144° 36°
=> C = 36°
Pero de (2): = 72° => B = 36°
36° 36°
Pero de (1): jA^ + J¡_ = 144° =» A = 108‘ 
108° 36°
Luego reemplazando en lo pedido:
3 (36°)+ 2(108°) 32 4°
(1 0 8 °)-2 (3 6 °) 36°
.-. M = 9
32. Si 9a° + 10a9 = nb rad, calcular:
M = (a + b)2(a -1 0 b )1'2
Resolución:
=> 9a° + 10a9 = itb rad
Transformando en una misma medida (rad).
9a
’ (■w ) +10 ‘ 1
rad + | ^ rad = nb rad 
= nb
^ ra d \ 
2009 / 
an 
20 
2an 
20
= rtb rad
a = 10b ...(1)
Se pide: M = (a + b)2 (a - 10b)1'2, pero a =
t— 10b
M = (a + b)2 (10b — 10b)1/2 
0
* M = (a + b)2(0) M = 0 
33. Simplificar:
Resolución:
Recordamos: 1
Luego:
"n"terminos 
a + 3a + 5a + ... + rra0 + n2a° 
a9 + 3a9 + 5a9 + ... + na9 + n2a9 
"n” terminos
-3 + 5 + 7 + ... = n2 
"n" términos
"n"terminos
k =
k =
a (1 + 3 + 5 + 7 + ...) + na + n a 
a9(1 + 3 + 5 + 7 + ...) + na9 + n2a9 
"n" términos 
a°n2 + na° + n2a° _ a°(n2 + n + n2
a°n2 + na9 + n2ag ag(n2 + n + n2)
pero si cambiamos de unidades a a°
10a9
k = 10
9
10
34. Hallar el área de la región sombreada.
10b
T r i g o n o m e t r í a ■ 2 7
1m d
Resolución:
ParaCD: 4 = 0(4)
=> 0 = 1 rad 
Calculando L, y L2:
L, = £ (1 )= 1 
1 rad 
L2 = 9, (3) = 3 
1 rad
Luego el área del trapecio circular ABFE: 
S = ü í - ^ 2 = 4 m2 
S = 4 m2
35. Calcule la medida del ángulo expresado en ra­
dianes, sabiendo que S, C y R representan la 
medida de un ángulo en los sistemas sexa­
gesimal, centesimal y radial, respectivamente; 
además: V10CS + füR = 603,1416.
Resolución:
c
Sabemos que: ~ z r ■■ 
180
C
200 R = k2
S = 180k2 ...(1)
C = 200k2 ,..(2) J- ...(a )
R = itk2 ...(3)
De la condición: V10CS + VrtR = 603,1416 ...(0) 
Reemplazando la expresión (a) en (0): 
J l0 (20 0 )k2(180)k2 + J(n)nk2 = 603,1416 
^360 000(k2)2 + J(nkf = 603,1416 
J (6 f(1 0 0 f(k 2f + J (nkf = 603,1416 
600k2 + rtk = (600 + 3,1416)
k(600k + n) = 1(600 + 7i)
T r ........1- T
Por comparación: k = 1 
Pero: R = nk2 =» R = n(1)2 R = ti rad
36. El número de vueltas que da una rueda de radio 
( 2 , respecto de su centro, es: 8 (-/6 - 2)
Hallar la longitud de la trayectoria que genera su 
centro.
; 27inr
Resolución:
Lc .
" = 2 ^ 1 
Lc = 2 n (8 ) (V 6 -2 ) /2 
Lc = ^ 6 n (I^ 2 -2 J 2 )
Lc = 167t(2^3 - 2f2)\ t i = / 3 - 
Lc = 32(-/3 + V2)(V3 - -Í2)
1
L. = 32
37. Al simplificar: E = + 22—
9 50m
Se obtiene:
¡2
250s
81"
Resolución:
Sabemos que: 
S CS: n 
C: (a) 
x: (') 
y: f ) 
m: (” )
n: O
10
9° = 10a
x
27
_y
50
=> 27’ = 50m ..(1)
m
81
n
250
81” = 250s
Debemos simplificar: E ; 109 , 27'+ - 250s
9° ' 50m ' 81° 
Reemplazando los valores de (1) en (2) tenemos: 
81"9° 50"
9° 50"
E =
E = 1 + 1 + 1
81"
E = 3
38. Dos ruedas con centros fijos, se encuentran en 
contacto. Si la primera gira S rad teniendo radio 25. 
Hallar el diámetro de la segunda, si esta gira C rad. 
(S y C son los números de grados sexagesimales y 
centesimales de un ángulo).
Resolución:
Por propiedad: L, = L2
39. En un triángulo ABC se cumple que:
A + B = 3 ^ rad; B + C = 135°. Dicho triángulo es:
Resolución:
Dato: A + B + C = 180° ...(I)
A + B = ^ r a d ( - ^ l ) = 135°
4 \ 7t rad /
Reemplazando en (I)
135° + C = 180° => C = 4 5 °
B + C = 135°
Reemplazando en (I)
135° + A = 180° => A = 45°; B = 90°
Por lo tanto, es un triángulo Isósceles rectángulo.
40. SI a, b, c y d son los valores de la medida de un 
mismo ángulo, expresados en minutos sexagesi­
males, minutos centesimales, segundos sexagesi­
males y segundos centesimales, respectivamente,
3 c "142entonces, al calcular T = se obtiene
5b d 250
Resolución:
Luego: Diámetro de (L2) : 2r2 .-. 2r2 = 45
Por propiedad: L, 
0,ri = 02r2 
25S = Cr2 
9n(25) = 10nr2
2 8 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Sabemos que: ^ ...(2)
Reemplazamos la expresión (1) en (2):
a b a 27 /«i
27 ~ 50 b _ 50 '
Sabemos que: ¿ ^ ..(4)
Reemplazando la expresión (1) en (4) tenemos: 
_c_ _ d c _ 81 
81 250 ^ d - 250 ■(5)
P id e n :T = l ( f )
+ c + 142 
d 250
..(6)
Reemplazando las expresiones (3) y (5) en (6): 
81 142
250 250
T = 1
T = 1 (2 7 ) . 
5 50
41. El ángulo central que subtiende un arco de radio 
18, mide C rad si se disminuye dicho ángulo hasta 
que mide S rad ¿Cuánto se debe aumentar el radio 
para que la longitud de dicho arco no varíe?
(C: cent., S: sexag.)
Resolución:
Inicialmente:
L = 18C 
Luego:
18+x
L = S(18 + x) ...(2) 
lgualando:S(18 + x) = 18C 
a (9n)(18 + x) = 18(1 On)
« 18 + x = 20 
x = 2
42. Si: /5S + V5C = 40
Calcular: T = ( / 5 S - /3 C ) R
Resolución:
Reemplazando S = 180k y C = 200k 
en el dato: /900k + VTOOOk = 40 
3 0 /k + 103/k = 40 cumple para : k = 1 
Luego: S = 180, C = 200 y R = n 
Reemplazando en T 
T = (/900 - 7600 );t = (30 - 10 /6 )n 
T = 1 0 /3 ( /3 - ■I2)k 
pero: n x (3 + (2 
T = 1 0 /3 ( / 3 - / 2 ) ( / 3 + /2 )
' (</32—722)
Finalmente: T = 1 0 /3 (1 )
T = 10 /3
43. Calcular la medida de un ángulo en grados sexa­
gesimales, si la diferencia del número de segundos 
centesimales y 100 veces el número de minutos 
sexagesimales, es igual a 138 000.
Resolución:
Se desea hallar S°
Sea: m: n.° de segundos centesimales 
n: n.° de minutos sexagesimales 
Dato: m -1 0 0 n = 138 000 ...(1)
pero sabemos que: m = 10 000C y n = 60S 
En (1): 10 000 C - 100(60S) = 138 000
Simplificando: 10C - 6S = 138 
Pero: S = 9n, C = 10n 
En (2): 10(10n) - 6(9n) = 138 
Operando: n = 3 y como: S = 9n 
.-. S° = 27°
(2)
44. En la figura mostrada, el triángulo equilátero ABC 
de lado igual a 3 cm, rueda sin resbalar hasta que 
el punto A vuelva a tocar el piso. Calcule, la longi­
tud recorrida por el punto A.
B'
A C B' A"
La longitud recorrida por el punto A será:
L = L ^ . + L^a>. ...(1)
En el sector circular ACA’
...(2)Lás = - y (3) = 2*
En el sector circular A’B’A”
2 71
L*s> = 4?<3) = 2n ...(3)
Reemplazando los resultados de (2) y (3) en (1) 
tenemos:
L = 2n cm + 2ji cm 
L = 4n cm
45. Calcular la medida en grados centesimales de un 
ángulo que cumple lo siguiente:
R2 = S(n - 200) + C(180 - n) + R(20 + n)
Siendo S, C y R lo convencional
Resolución:
S _ CDe la relación:
180 200
T r ig o n o m e t r í a ■ 2 9
Se tiene: S = 180k,C = 200k,R = nk 
En la condición
R2 = S(n - 200) + C(180 - n) + R(20 + ti)
(itk)2 = 180k(jt - 200) + 200k(180 - ti) + iik (20 + ti) 
rc2k = I 8O71- 200(180) + 200(180) -200 ti + 20ti + ti2 
it2k = 712 => k = 1
Por lo tanto, la medida del ángulo en centesimales 
es 2009.
46. Si: CR = 20 + SR 
Donde:
S: es el número de grados sexagesimales.
C: es el número de grados centesimales.
R: es el número de radianes.
Hallar la medida del ángulo.
Resolución:
De la condición:
Recordando: S :
CR - SR = 20 
R(C - S) = 20 ...(1)
180R C = 
20R
200R
: 20Sustituyendo en (1): R 
=• R = ± fñ 
Por lo tanto, edida del ángulo es: -íñ rad
47. Un terreno tiene la forma de un sector circular cuyo 
perímetro mide 1000 m ¿Cuál debe ser la medida 
del radio para que el área del sector circular sea 
máxima?
Resolución:
Sea: mZAOB = 9 
=> L(Á B) = 0R 
A: Área del terreno 
Dato: Perímetro 
1000 = R + R + 0R 
1000 = R(2 + 6)
n _ 1000
R
- 2 ...(1)
...(2 )RSabemos que: A =
Reemplazando la expresión de (1) en (2) tenemos:
A = /1000 T í
A = l f ! ( S ) - 2 ( f )
A = 500 R - R2
A = - (R2 - 500R), ahora completando cuadrados
A = - ((R - 250)2 - (250)2)
= (250)2 - (R - 250 )2
max o------Dato u
R - 250 = 0 R = 250 m
48. Una malla de longitud L se utiliza para cercar un 
terreno que tiene la forma de un trapecio circular. 
Calcule el área máxima del terreno que se puede 
cercar con dicha malla.
Resolución:
A: Área del terreno a cercar 
Dato:
L = a + b+ +2c
=> (a + b) =L - 2c ...(1)
Sabemos que:
A = ^ c
A = ^ c
(2)
2A = Le - 2c2 
^ 2c2 - Le + 2A = 0
- ( - L )± V(— L)2 - 4(2)(2A) 
2 (2 )Cl,2 —
C12 L ± VL2 — 16A
L2 - 16A > 0 para que C, y C2 e IR
L2> 16A 
L2A <
16
16A < L
■ A = —• • ^ m á x -| g
49. En el gráfico se tienen 2 poleas de radios 9 y 5. 
Calcular la medida del ángulo que debe girar la po­
lea menor, para que las bolitas A y B se encuentren 
a igual altura.
Resolución:
Sea 0 el ángulo que gira las poleas A y B. (deben 
girar igual ángulo).
Para estar a igual altura, A debe descender y B 
debe subir.
Luego: hA + hB = 44 ...(1)
pero: hA = PP’ = 90 
hB = QQ’ = 50
en(1): 90 + 50 = 44 =
=> aproximadamente: 
.-. 0 = ti rad
» = ¥ 
= Tirad
rad
50. Expresar en grados centesimales 
x = 2 (a - b + c)
3 0 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Si: a = 21 °27’14”
b = 11°42'37”
c = 23"
Resolución:
a = 21° + 27’ + 14", b = 11° + 42 ’ + 37”
=> a - b = 10° - 15’ - 23” 
y como c = 23”
x = 2 ( a - b + c) = 2 (10° - 15’) 
x = 20° - 30’ = 20° - 0,5° = 19,5“ 
a grados centesimales:
x = 1 9 , 5 ° ^ j = = 21 ,69
51. Siendo “S” y “C” los números de grados sexagesi­
males y centesimales de un mismo ángulo que 
cumple: S~1 = CT1 + C~2 + CT3 + ...
Calcular la medida de dicho ángulo en radianes.
Resolución:
± = 1 + ^ - 4 S C e 2
1
Factorizando en el segundo miembro 
u
l = l u + l +± +
S C\ C c 2
S = (1 + é-
c
s
S + 1
s
= 9
1
s
10
9
S + 1
Por lo tanto, el ángulo es: rad
52. En el gráfico, el arco menor AB, es de igual longi­
tud que el arco mayor CD. Si el punto A pasa a la 
posición del punto B, ¿Cuántas vueltas da la otra 
rueda?
C
• A
Por dato:
arco mayor AB = arco menor CD 
=» 4a = 2(2it - a)
2a = 2 7 i - a => a = 2-^- rad
Finalmente, el punto A debe llegar hasta B, 
arco mayor AB = un arco L en la rueda menor
40. = 20
2 ( 2 * - 2 § (siendo 0, el número de radianes 
del ángulo que gira la rueda menor)
Luego: 9 = 8^-
2n
53. Se ha creado un nuevo sistema de medida angular 
UNI (U) en donde un grado U equivale a la 1000 
ava parte del ángulo de una vuelta.¿A cuántos gra­
dos U equivale 0,00314 rad. (ti = 3,14)?
Resolución:
Nuevo Sistema UNI (U)
Dato: un grado UNI = 1u.
r = "T ü lr (1 vuelta = 2n rad)
27trad ti .
1 = 1 0 M = 50 0 md 
Transformando 0,00314 rad:
Por factor de conversión 
1U0,00314 rad
-rad
: 500
0,00314 rad = 0,5U
0,5°
54. Si m representa al número de minutos sexagesi­
males y n al número de segundos centesimales de 
un mismo ángulo calcular: E = 103̂ 4 0 ^ 
Resolución:
m: n.° de minutos sexagesimales 
n: n.° de segundos centesimales 
Sabemos: m = 60S; n = 10 000C 
Reemplazando en: E = 103̂ 40™
(60S)
E = 103J40
10000C 
Simplificando: E = 103
pero: S = 9k; c = ■
E = 103^¡ 2 ± ( 9k \
1100 \ 10k /
24(S)
100(C)
.-. E = 6
55. En un trapecio circular, sus arcos miden (2 a y /2 y, 
(a > y).
2 2 a — y
Si su área es — calcular la medida del ángu­
lo central del sector circular al cual pertenece. 
Resolución:
Área del trapecio:
-V - ( f í ^ ) d
2 Ó ¿ . f ( » + y|d
(a + y)(a - y) = (2 (a + y)d
Resolución:
T r i g o n o m e t r í a ■ 31
=> a - y = 72 d 
Ángulo central 
_ /2 a - /2 y _ /2
(a - y)
0 = ^ (V 2 d )
d
a = 2°
56. Calcular: T = c + s + • 2s 6s
s
Resolución:
Como: S = 9n y c = 10n
1 t I l9 n " Í28n , l64nF 
Luego. T = V p¡ V p¡ V p¡
T = V i9 + /28 + 8 = / Í 9 T 6 .-. T = 5
57. Obtener el valor de x del ángulo trigonométrico 
mostrado.
Resolución:
Del gráfico, igualando la medida del ángulo y multi­
plicando por ( i p r j
=» (9x+ 10)9 = (10x 
81 x + 90 = 100x - 
180 = 19x x =
90
180
19
58. Siendo ( x - rad, la medida de un ángulo cen­
tral en un sector circular de radio 4 m, cuya longitud 
del arco subtendido es x m, hallar la medida del 
ángulo central.
Resolución:
Recordando la relación para un sector circular.
L = a r
sustituyendo datos: 
x = =» x
1 0 /
: 4x —
X 5
3x = 2n => x =
2 71
2 TI
15
Luego: <x= ^ - t r =n
10
n
30
59. Calcular el radio del cuadrante ACD, sabiendo que 
la esferita al soltarse del punto B, llega al punto C; 
además: AB = (n + 2) cm.
Resolución:
Del gráfico:
AE = AB
^ r + r = ti + 2
r(rc + 2)
= 71 + 2
2
.-. r = 2
60. ¿Para cuál valor del radio, se hace máximo el área 
de un sector circular de perímetro 2p?
Resolución:
Graficando el sector circular 
Se sabe que:
s = ^ (I) u \ S
Por condición
2p = 2r + L => L = 2 p - 2 r (II)
Reemplazando (II) en (I): S = r(p - r)
Para maximizar S, completamos cuadrados
S = í - H '
SI S es máximo
, . r - |
61. Del gráfico ABCD es un cuadrado; sea S el núme­
ro que representa el área de la reglón sombreada. 
Calcular: S + 42, siendo FE un arco con centro en D. 
Dato: EC = 3BE = 12
Dato: EC = 3BE = 12
B T 
4
E
12
En É\DCE: DE = 20 
Relacionando áreas:
0 _ 47 t(2 0 f , 16(2) 12(9)
4 5 - 2 ~ + ~ 2
S + 42 =
62. SI los ángulos de un triángulo se encuentran en 
progresión geométrica de razón 2; calcular la me­
3 2 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
dida del menor ángulo en un sistema “M” de me­
dición angular, cuya unidad (1M) es la medida de 
un ángulo central en una circunferencia cuando el 
arco que subtiende resulta ser la séptima parte del 
radio de dicha circunferencia.
Resolución:
Dato:
Ángulos en progresión geométrica de razón 2
Si: a está en radianes
Tenemos:
a + 2a + 4a = n rad 
a = y rad
Para el sistema M tenemos
Del gráfico:
1 rad -» r
1M = —
~ 7
1 rad < > 7M 
Convirtiendo el menor ángulo a unidades M:
® P R O B LE M A S DE E X A M E N DE A D M IS IÓ N UNI
PROBLEMA 1 (UNI 2010 - II)
Si S y C representan los valores de un ángulo en gra­
dos sexagesimales y centesimales, respectivamente, y 
se cumple que:
C2 + Sz = 2C3 - 5SC2 + 4S2C - S3 - 2SC 
Calcule el valor de C.
361 R\ 3111 r ) 3610
A; IT T T ~TT
n i 3670 3680
' 11 1 11
Resolución:
Nos piden: C = 10k 
Por dato:
C2 + S2 = 2C3 - 5SC2 + 4S2C - S3 - 2SC ...(I)
P(C)
Sea: P(C) = 2C3 - 5SC2 + 4S2C - S3 
Observar que: P(C) = 0
Factorizando P(C) por divisores binómicos, tenemos:
2 -5 S 4S2 - S 3
s 2S -3 S 2 S3
2 —3S S2 0
=> P(C) = (C -S )(2 C 2 - 3SC + S2)
2 C O O - S 
C - s
Luego: P(C) = (C - S)(2C - S)(C - S)
Reemplazando en (I):
C2 + S2 = (C - S)(2C - S)(C - S) - 2SC 
=* C2 + 2SC + S2 = (C - S)2(2C - S)
(C + S)2 = (C - S)2(2C - S)
Reemplazando S = 9k; C = 10k:
(19k)2 = k2(11k) => k = ^
Piden: C = 10k = 1 0 ( ^ ) C =
Clave: C
PROBLEMA 2 (UNI 2012 - 1)
T 1 1 1Los números S = k - T^ y C = k + TL son las me- 
19 19
didas de un ángulo en los sistemas sexagesimal y
centesimal, respectivamente. Determine la medida del
ángulo en radianes.
A) 71 
' 200
D) - 5 - 
; 250
B )w
E) 3ti
200
Resolución:
De la fórmula: S = 9k 
C = 10k
J_
19
J_
19
R =
C) 190
7ik
20
Datos: S = k 
C = k3
( - )
k =
7tk
20
19
_ 71
~ 190
Clave: C
PROBLEMA 3 (UNI 2012 - II)
De la figura mostrada, AOB, COD y EOF son sectores 
circulares, donde el área de las regiones EOF, COD y 
AOB son: s, 3s, 6s, respectivamente. Si Lj§ = 4, cal­
cule Lón + /3 Leb
A) 2
D) 5 E) 6
T r ig o n o m e t r í a H 3 3
Resolución:
1.-) 6S =
3S = f . 
20
i ! 
20
2.° 6S =
S =
20
y = A y V2
_4_
V6
3.° Reemplazando: -pr + /3 ( - t ) = 4-/2
V2
Clave: C
PROBLEMA 4 (UNI 2013 - II)
En la figura mostrada, las ruedas A y B dan 2n y n vuel­
tas respectivamente (n > 2) desde su posición inicial, 
hasta el instante en que llegan a tocarse: además: 
rA = 1 y rB = 9. Calcule D.
Í l L
A) "lOnn 
C) 20nn + 2 
E) 22nn + 6 
Resolución:
B)15nn + 1 
D) 22nit + 4
G t
Del gráfico:
2n =
271(1)
U
2ít(9)
• D = L, + 6 + L 
D = 22nn + 6
■ L, = 4nrt 
L, = 18mi
Clave: E
PROBLEMA 5 (UNI 2014 - II)
La figura adjunta representa sectores circulares en el 
triángulo rectángulo isósceles ABC. Calcule (en cm) 
la suma de las longitudes de los arcos DE y EF si 
AC = 1 cm.
A
D
B 1 1
F
A ) f B ) f
D ) ^ E) 2ji
C) n
Resolución:
kABC: Isósceles: mZBAC = mZBCA = ^ rad
Aplicando: L = 9r
Lfe = | (1 - r )
Lde + Lfe — ^ cm
Clave: A
34 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
P R O B L E M A S PROPUESTOS D >
2.
3.
4.
Dos ruedas de radios R y r (R > r) recorren un espa­
cio igual. ¿Cuál debe ser el radio de una tercera rueda 
para que recorriendo el mismo espacio, su número de 
vueltas elevado al cuadrado sea igual al producto del 
número de vueltas de las 2 primeras ruedas.
5.
6.
R - r
R - rA) ^ B) C)
D) 4 5 E) ^
Dos ruedas de radios R y r (R > r) recorren la misma 
longitud horizontal k; si la diferencia del número de 
vueltas de la menor y la mayor es ( ¿ ) calcular(£)
A)
D)
n — 2 
4
4 + 71
4-71 C) 71 — 3
Un ciclista recorre una curva de medio kilómetro 
de radio, con una velocidad de 20 km/h. Hallar el 
ángulo aproximado en sexagesimales que recorre 
en 10 s.
A) 4o 21’ 58” 
D) 1o 21’ 58"
B) 6o 21’ 58” 
E )5° 1’ 58”
C )3 ° 21’ 58”
Del siguiente esquema, calcular la longitud de 
la curva mayor ABCD, si R = 7 cm (considere 
ti = 22/7).
A) 65 cm B) 62 cm C) 45 cm
D) 56 cm E) 66 cm
Calcular el ángulo que hacen una circunferencia y 
una recta secante si la longitud de la cuerda que se 
determina y la longitud de la circunferencia están 
en la relación de 3 a ti
A) 30° 
D) 36°
B) 45° 
E) 64°
C )60°
A)
C)
E)
333ti 
120
333ti 
120
1069ti 58
120 7
B) 1069ti
360
58
10
58
10
rn 1069ti c 
” 360
7. Se tienen 2 ángulos que cumplen las condiciones: 
o (a - 1 )(b + 1)° y difieren ensuman a(b - 1)9 o (a — 1 )(b 
ba°; hallar luego los ángulos.
A) 46° y 35° 
C) 27° y 18° 
E) 20° y 18°
8.
Se tiene un triángulo ABC (B = 90°) de catetos 3 y 4, 
se toma sobre la hipotenusa los puntos M y N de tal 
forma que BAN y BCM son sectores circulares con 
centro en A y C respectivamente. Calcular aproxi­
madamente el área del triángulo mixtilíneo MBN.
9.
B) 45° y 36° 
D) 45° y 27°
Hallar la medida de un ángulo en radianes tal que 
su medida puede expresarse como:
[4 + 8 + 12+ ...,)9 o [1 + 2 + 3 + ...]°, donde n e ZZ+
n/2 términos n términos
A) ti/35 
D) ti/5
B) ti/37 
E) 4ti/9
C) 2tt/9
En un nuevo sistema angular la unidad de medi­
da V es (1/760) parte del ángulo de una vuelta, 
además hay 2 submúltiplos V, V tales que 80 de 
ellos forman la unidad inmediata superior, respec­
tivamente. Convertir 66977m88s al nuevo sistema.
A) 126x70y 30z 
C) 116x40y30z 
E) 137x50y 70z
B) 137x70y50z 
D) 126x 30y 70z
10. Del gráfico STV es un sector circular con centro en 
T. Calcular el área del trapecio circular en función
de a y b.
A) -/Ib 
D) ab/2
B) 2ab 
E) ab/4
C) ab/3
11. Del siguiente sistema de poleas, la polea de radio 
r3 gira 240°.
Calcular el número de radianes que gira la polea
de radio r. Dato: — = 3 
r,r
A) n/2
D) 3n/5
B) 3 ti/2 
E) 4it
C) 3ti
T r i g o n o m e t r í a ■ 3 5
12. En el gráfico, determinar el número de vueltas que 
da la ruedita de radio /3 al ir desde A hasta D. Si: 
AB = 24 y BC = CD = 45.
A)
D)
107
*V3
105
B) 107 1 n 207 1
2nV3 3 ' 2nl3 3
 1 105 , 1
2 n /3 ^ 3 KJ5 3
13. En un sector circular, su perímetro es constante y 
su área es máxima. ¿Cuánto mide el ángulo cen­
tral de dicho sector?
A) 1 rad 
D) 4 rad
B) 2 rad 
E) 0,15 rad
C) 0,5 rad
14. A partir del gráfico, hallar el área de la reglón som­
breada, si STV es un triángulo equilátero de lado 6.
T
A) 61n
C) (6ti + 18rc/3) D)
E) [63j i - 3 /3 ( 1 2 ti + 3)]
75n
2
- 9 /3 (2 ti + 1)] 
- 18 /3 ti]
15. A partir del gráfico, hallar el área de la región som­
breada, siendo r = /5 . Además PON es un sector 
circular. D
A) 2ti
B) 3ti
C) 4 ti
D) 7nl2
E) 5ti/2
16. Hallar el número de vueltas que da una moneda de 
radio 1 cm, sobre un camino en forma de espiral 
ubicado en una mesa. Se sabe que dicho camino 
está formado por los arcos de tres sectores circu­
lares sucesivos. Además que los ángulos centrales 
de los sectores aumentan al doble del anterior y sus 
radios se van reduciendo a la mitad del anterior. 
(Radio mayor 8 c m y ángulo menor = ^ rad) y
A) 27/18
D) 31/15
B) 3/17 
E) 31/18
C) 31/9
17. En la figura, calcular: S,
A) 1 E) 2/3
18. En el sistema mostrado, después que la manivela 
M, gira a°, la manivela M2 gira a 9.
Calcular: T ■ ri r3rsr7
r?r,rBrB
A) 9/10 B) 10/9
D) 5/9 E) 9/20
Si en el gráfico: Lxi - L-EB
C) 9/5
A)
D)
e (2R -
2(2R - r)
E)
ti(2R - r) 
2(2R + r)
n(2R - r) 
2(2R + r)
20. Los radios de tres ruedas de una locomotora están 
en la relación 1; 3; 5. Cuando la menor gira 4320°, 
¿cuál es la suma de los números de vueltas que 
dan las otras ruedas?
A) 5,6 
D) 6,4
B) 3,2 
E) 8,4
C) 7,8
21. Los radios de las ruedas de una bicicleta son: r y 
R, sabiendo que el número que expresa la medi­
da del ángulo barrido por la rueda r en el sistema 
sexagesimal, es al número que expresa la medida 
del ángulo barrido por la rueda de radio R en el 
sistema centesimal como 5 es a 2.
Calcular: J y
A) 3/2 B) 5/2 C) 8/5 D) 5/3 E) 7/4
3 6 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
22. Hallar el perímetro de la reglón sombreada.
24.
A) 53n/180 b j — ' K 1 — \J
B) 53nr/90
, ;
A) 1 ^ \ " AC) 37rtr/90 ,'2r r "
B) 2
\
D) 377ir/180 r.V C) 1/2 < Q erad í
E) 74nr/45
P 1 —r U
D) 4
E) 1/4 y
23. Del gráfico, determinar el área del sector circular 
sombreado. Si O es el centro del arco MN, además 
P y Q son puntos de tangencia con la recta L. 
r = (V6 - (2 )
r\
25.
A) n/2 B) 3ti/4
Q L
D) 3 rc/2 E )2n
Dos postes de luz iguales, están separados una 
distancia de (105-/3) dm. Debido a un movimien­
to sísmico, ambos postes se parten en un mismo 
instante, dejando en pie los 3/8 partes de su altura. 
Caen uno en dirección del otro (uno contra el otro), 
chocando en cierto punto los extremos superio­
res de ambos postes. SI al caer dichos extremos 
superiores describen un arco de 110 dm (ambos 
postes), hasta el momento que chocan, calcular la 
longitud del arco que hubiera descrito uno de los 
extremos superiores si el otro poste no hubiera es­
tado j 71 =
A) 180 dm B) 210 dm C)282,83 dm 
D) 232,83 dm E) 244,52 dm
Los radios de las ruedas de una bicicleta son R y 
r. (R > r). Al recorrer una cierta distancia, la me­
nor da n vueltas más que la mayor. ¿Cuál sería la 
suma de los números de vueltas que dan ambas 
ruedas?
A ) f
D) n R - r 
R + r
B)
E)
nr
R
nRr
R2 - r2
C) n R + r 
R - r
26. ABCDEF es un hexágono regular, de lado igual a 
L. Si el número de vueltas que da la rueda de radio 
•Í3 al desplazarse de B a F es 7/6.
Calcule: L
A) 6,5 E) 9
27. Del gráfico, calcular: T = 1 +(
28.
29.
En el gráfico mostrado, calcular la longitud de la 
trayectoria descrita por el punto B, después que 
la placa rectangular gire en el sentido indicado 
y descanse sobre DC en la superficie inclinada
22)
R 24 cm c iJ L i
7 cm
1 r
A Ĉ 3 6 °
A) 33 cm
B) 44 cm
C) 55 cm
D) 66 cm
E) 110 cm
Se tienen dos aros conectados tangencialmente de 
radios 2 m y 3 m. Calcular el número de vueltas 
que da una rueda de radio de 1 m al recorrer, exte- 
riormente, el sistema por primera vez.
A) 901/180 
D) 413/180
B) 953/180 
E) 503/180
C) 323/180
30. En la figura, se observan tres circunferencias de 
radios iguales a R. Hallar el número de vueltas que 
da la rueda de radio r, luego de recorrer el contorno 
exterior de las tres circunferencias, si esta vuelve a 
su posición inicial por primera vez.
(3r = 2R)
A)
3P) 01 ¿ i -
+ 5P) 
4(3)
E) ^ ( n + 2P)
31. Determinar la distancia que avanza un ciclista al
hacer girar a radianes los pedales, siendo:
r,: radio de la catalina soldada a los pedales.
r2: radio de la catalina soldada a la rueda trasera.
R: radio de la rueda buena.
Además, que las catalinas están rodeadas por una
cadena perfectamente tensa.
T r ig o n o m e t r í a ■ 3 7
A o u ( f
D) a
r, + r,
E )t
32. Del gráfico, calcular la longitud del arco ABMCD
A) 7n/6
B) 8n/3
C) rt/3
D) 5n/2
E) 5tc/6
33. Del gráfico mostrado, calcular la relación de las re­
giones S, y S2, respectivamente.
A) /3
B) -Í2
C)i !
D)i íE)i l
34. ¿Cuántos segundos centesimales están conteni­
dos en un ángulo que equivale a la milésima parte 
del ángulo de una vuelta?
A) 2700 B) 4300 C) 3000
D) 4000 E) 3700
35. En el siguiente gráfico, obtener el valor de 114a - b
A) 260
B) 240
C )210
D) 200
E) 180
36. Los números que representan la medida en sexa­
gesimal y centesimal de un ángulo se encuentran 
en progresión aritmética; si además su número de 
grados sexagesimales y radianes están en progre­
sión geométrica de la misma razón, calcular el án­
gulo en sexagesimales.
A) (n/20)° 
D) (ji/40)°
B) (jt/30)° 
E) (ti/45)°
C) (ti/18)°
37. Si las raíces de la ecuación cuadrática 
ax2 + bx + c = 0 son los números de grados sexa­
gesimales y centesimales de un ángulo, hallar el 
número de radianes de dicho ángulo, en términos 
de b y c.
A) - 1800c
19;ib 
D )19nbc
B)
E)
_ 19c?i 
1800b 
- b ti 
180a
C) 19nb
1800c
38.
39. Del gráfico mostrado, calcular rc(6n - 1) sien­
do n el número de vueltas que genera la rueda 
(r = 30 cm) al recorrer de M a P, sin resbalar. Dato: 
MN = NL = LP
A) 140 — /2 -
B) 180 - 2 /3
C) 360 - 3 /3
D) 180 - 6 /2
E) 90 + 2 /3
15 m
40. Una ruleta está dividida en 24 partes iguales, co­
menzando del 1 y llegando al 24 siguiendo el sen­
tido horario. SI partiendo del 9 la aguja de la ruleta 
gira un ángulo de ( -1 0 3 ti/4) radianes ¿cuál será el 
número premiado?
A) 8 B) 9 C )1 0 D) 16 E) 12
41. Del gráfico mostrado, calcular el perímetro de la 
reglón sombreada si O, y 0 2 son centros.
S
A ) r ( 5 | + /2 ) B) r ( ^ + 2 /3 | C ) r ( 2 | + 3 /2 )
D) 2r(2n + 1) E ) 2 r ( ^ + /3 )
42. Calcular la longitud recorrida por el centro de la 
rueda de r = 1 m de radio, cuando recorre, por pri­
mera vez, el interior del circuito mostrado sobre un 
mismo plano.
A) m
D ) l | ^ m
5
B) 22 £ m 
b
E) ^ m
C ) 2 0 | m
Del gráfico adjunto, O es centro de los sectores cir-
n
ciliares. Reducir la expresión: T = ^ ( S 2k - S2k_-i)
k = 1
3 8 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p i e n s
43. Si los números que representan la medida de un 
ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal 
están dados por:
S = a x - b y C = ax + b
halle el complemento de dicho ángulo en radianes.
A)
D)
( 5 - a )
(5 — a )tt
B)
E)
(5 - b)7i 
10 
(a - b)n
C)
(5 + b)n
44. Si la raíz cuadrada de la décima parte del producto 
de los números de grados sexagesimales y cen­
tesimales de un ángulo, excede a (20/n) veces su 
número de radianes en 2, halle el suplemento de 
dicho ángulo en radianes.
A l — 
80
D) 2 ti. 19n 
5 ’ 20
R\ 19rt 
} 20
F l lE í -
1 20 ’ 40
C) 2 U
40
45. Se idean dos sistemas de medidas angulares tal 
que la unidad de medida del primero es (1/300) 
parte del ángulo de una vuelta y la unidad de medi­
da del segundo es los ^ -£ — veces el promedio
ZUU + 71
de las unidades de medida del sistema francés e 
internacional, luego si un ángulo mide x unidades 
del primer sistema e y unidades del segundo siste­
ma, entonces se cumple.
a ) - í - - _y_
' 150 100
c ) x y R
' 150 50n n
B) — = = —
' 150 81 ti
D) — = = —
' 20 19 n
150 100n
R
j t
46. Se ha medido un ángulo positivo en los tres siste­
mas conocidos, si respecto a los números de di­
chas medidas se plantea lo siguiente. Si al número 
mayor le restamos el número intermedio, da los
mismo que si restásemos el recíproco de al
25
producto del intermedio y menor número. Halle la 
medida de dicho ángulo en radianes.
A) 0,431 B) 0,148 C) 0,774
D) 0,447 E) 0,139
47. Siendo S, C y R los convencionales para un ángulo
trigonométrico antihorario, calcule el mínimo valor
que admite la expresión.
(S + x)(C + y2)(R + z4) .
 = — =--------------; si x; y; z e R
vxyz
Además el ángulo mide (0,01 ji)2'3 rad.
A) 48 B ) 4 8 M C) 4,8
D) 4,8710 E) 480
48. Siendo S y C los números convencionales tal que: 
s7 S = c7C. Calcular: 97 S + 1<VC
A) 20/9 
D) 90/181
B) 181/90 
E) 10/9
C) 9/5
49. Si el número de segundos sexagesimales del án­
gulo cuya medida abm es 2754, calcule a/b.
A) 2,3 B) 1,4 C) 1,6
D) 1,3 E) 2,0
50. ¿Cuántos segundos centesimales están conteni­
dos en un ángulo que equivale a la milésima parte 
del ángulo de una vuelta?
A) 2900 B) 4300 C) 3000
D) 4000 E) 3700
51. En el siguiente gráfico, obtenga el valor de 114x - y
A) 220
B) 240
C )210
D) 200
E) 180
52. Se tiene los ángulos trigonométricos:
0 = (1 + x - x2) rad; (3 = ( | - 2) rad
Según el gráfico calcule <|>, cuando 0 tome su máxi­
mo valor.
Considere 1 rad = 57°17’44”
A) 245°24’32”
B) 188°08’44"
C) 245°20’18”
D) 229°54'36”
E) 188°06’48”
1. E 8. D 15. E 22. B 29. B 36. A 43 B 50. D
2. B 9. A 16. E 23. C 30. A 37. B 44. E 51. B
3. B 10. D 17. B 24. D 31. B 38. B 45. E 52. E
4. E 11. E 18. A 25. C 32. B 39. B 46. E
5. A 12. B 19. E 26. D 33. D 40. D 47. D
6. D 13. B 20. D 27. B 34. D 41. B 48. A
7. D 14. B 21. A 28. C 35. B 42. A 49. C
Razones 
trigonométricas 
de ángulos 
agudos
o
AI-Battani (858 d. C .-929 d. C.) 
fue un príncipe, astrónom o, as­
tró logo y m atem ático árabe. Es 
m uy con oc ido por haber logra­
do una determ inación precisa 
del año solar com o 365 días, 5 
horas, 46 minutos y 24 segundos.
Realizó muchos y muy im por­
tantes trabajos en astronomía: 
corrig ió cálculos orbitales rea­
lizados por C laudio P to lom eo 
usando la trigonom etría, calcu ló 
con gran precisión la duración 
del año solar, con solo una d ife­
rencia de 2 minutos y 26 segun­
dos con respecto a la m edición 
actual y describió la inclinación 
de la eclíptica y su relación con 
las estaciones.
AI-Battani también realizó ex­
celentes observaciones de los 
eclipses lunares y solares, descu­
brió la existencia de los eclipses solares anulares y com probó que el apogeo solar -distancia 
máxima entre la Tierra y el S o l- no es constante.
En el cam po de la Matemática y Trigonom etría aportó soluciones muy ingeniosas para algunos 
problemas trigonom étricos usando los m étodos de proyección ortográfica. Ganó gran fama 
con el uso de las relaciones trigonom étricas que todavía hoy se encuentran en uso y fue el 
prim ero en reem plazar las cuerdas griegas por los senos. También desarrolló el concepto de 
cotangente. Escribió muchos libros de Astronom ía y Trigonometría.
Fuente: W ikipedia
4 0 B C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
<4 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁN­
GULO RECTÁNGULO
Se denomina razón trigonométrica (RT) al cociente que 
se establece entre las longitudes de dos de los lados 
de un triángulo rectángulo con respecto a uno de sus 
ángulos agudos.
Las razones trigonométricas son seis y se denominan: 
seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cose­
cante; su notación es la siguiente:
• senA : seno del ángulo A o seno de A
• cosA : coseno del ángulo A o coseno de A
• tanA : tangente del ángulo A o tangente de A
• cotA : cotangente del ángulo A o cotangente de A
• secA : secante del ángulo A o secante de A
• cscA : cosecante del ángulo A o cosecante de A
Sea ABC un triángulo rectángulo (B = 90°), las razones 
trigonométricas de a se definen:
a (cateto opuesto: CO) 
B
(cateto adyacente: CA)
sena ;
cosa =
tana =
CO
H
CA
H
CO
CA
a
b
cota = CA
CO
_ c
~~ a
c seca = H _ b
b CA ~~ c
a csca = H _ b
c CO a
Ejemplo:
Hallar las razones trigonométricas de (
senO = 5 .
13 ’
tan0 = 5 . 
1 2 ’
secO = 13
12
COS0 = 12.
13 ’
coto = 12.
5 ’ CSC0 = 13
5
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud 
de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de 
las longitudes de los catetos, (Teorema de Fitágoras).
• A las razones cota y tana; seca y cosa; csca y 
sena se les denomina “razones trigonométricas re­
cíprocas”.
1 . 1 . 1cota = ■ seca = - csca = •
tana ’ c o s a '
También es correcto afirmar que: 
cotatana = 1; secacosa = 1; cscasena = 1
Ejemplos:
• sen20°csc20° = 1;
• sec2°cos2° = 1
• tan75°cot75° = 1;
Ejemplo:
H alla ra (a: agudo) en cada caso.
• senacsc10° = 1 » a = 10°
• cot85°tana = 1 => a = 85°
• cosasec62° = 1 =* a = 62°En todo triángulo rectángulo la longitud de la hipote­
nusa es mayor que la longitud de tos catetos, entonces 
se cumple:
0 < sena < 1; 0 < cosa < 1; seca > 1; csca > 1
Ejemplo:
Marcar lo incorrecto: (a, ó y 8 son agudos).
• sene - -Í5 - -Í3 • cosa = -Í3 - 12
• seca = 17 - 15 • cscó = 8/3
• cose = 1/19
Resolución:
• sene = -Í5 - -13 < /\
• seca = Í7 -■Í5 < 1
1cose > 119
-/3 1
(correcto)
(Incorrecto)
(correcto)
(correcto)
cscó = § > 1 (correcto)
l @ 9 S S K ^
La razón coseno es la co-razón de la razón seno y vi­
ceversa, la cotangente es la co-razón de la tangente y 
viceversa, la cosecante es la co-razón de la secante y 
viceversa.
El valor de las RT solo dependen de la medida del 
ángulo.
<4 TEOREMA DEL COMPLEMENTO
Cualquier razón trigonométrica de un ángulo agudo es 
igual a la co-razón del ángulo complementario. Si a es
un ángulo agudo entonces:
RT (a) = co-RT (complemento de a )
Ejemplos:
sen20° = cos70°
cos40° = sen50° 
tan 10° = cot80°
TE 7Esen-^ = co s£
ta n ¡ = c o t f |
esc 5- = sec-5?-
secO = c s c (^ - 9) 
csc(90° - ó) = secó 
cota = tan(90° - a )
jhsf
T r ig o n o m e t r ía H 41
w g iv - .
I S B S S H S B kn .
Como las razones trigonométricas solo dependen de 
la medida del ángulo, entonces si conocemos el valor 
de solo una de ellas, las restantes se pueden calcular 
construyendo un triángulo rectángulo.
Aplicaciones:
1. Si tana = 0,5 (a: agudo), calcular: csca y seca
Resolución:
Dato: tana = 1/2 
Teorema de Pitágoras:
c2 = 12 + 22 => c = V5
csca ;
t = *
12
ü
2
2. Si cosO = -y - (9: agudo), calcular tanG y cscO 
Resolución:
Teorema de Pitágoras:
32 = m2 + (12 f = * m = 17
12 12
CSC0 : _3_
m
_3_
17
tan6 ■
CSC0 :
51 seca = 1,25, calcular: R = 4cota + csca 
(a: agudo)
Resolución:
Teorema de Pitágoras:
Dato: seca = 1,25 = 5/4
52 = m2 + 42 =s. m = 3
cota = — = 
m 3
Entonces: R = R = 7
jo r j
Si sen* = l= - y cos9 = (9 y ó: ángulos agudos)
3 5
calcular: R ■
tan9cot<|) + cosij)sec0 
cscOcsa)) - cot9cotij>
Resolución:
Con los valores indicados construimos un triángulo 
rectángulo para cada ángulo:
señó = ¡2 cosG = 17
12
17
Luego:
R =
¡3 l2 \l 17 
\ 17 A 12
JL \t± 
3 A 17
R = 3,5
17 \¡ 17
3 l2 )\ l2
3 + l 
2 6
En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) se
A
cumple que senAsenC = Calcular: tanA + tanC
O
Resolución:
1 a ,c, 1
/|C
=» 8ac = b2 b /
tanA + tanC = a + £ = a
senAsenC = ¡ -> § (§ ) = ¡
c a ac
tanA + tanC = -^1 = ^ = 8
ac ac
6, Si A y B son los ángulos agudos de un triángulo rec­
tángulo; simplificar: R = + secÉ ^CSĈ CSĈ
Resolución:
a b
R = JL + c_ 
c c 
b a
( § X f
R = 2a b\l c2 \ 
c2 / U b / '
R = 2
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, los 
lados están en progresión aritmética de razón 2. 
Hallar tanA. (A > C)
Resolución:
Teorema de Pitágoras:
(x + 2)2 = x2 + (x - 2)‘
=5. x = 8
x 8 4
6
tanA =
- 2 6 3
Reducir:
sec70”cos25"sen50‘ c o t-^ rc s c ^ r-c o s -1,1
R
esc20 sen65~cos40~
+ ■ 10 24
secasen ̂ - t a n ^
Resolución:
Aplicamos el teorema del complemento: 
csc20° = sec70° sec-J = csc-^S-
sen — — eos — 71sen 24 - eos 24
t a n f = c o t ^
sen65° = cos25° 
cos40° = sen50°
=> R = 1 + 1 R = 2
<<♦ TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS
Se denomina de esta manera a aquellos triángulos rec­
tángulos cuya medida de sus lados está expresada por 
números enteros.
4 2 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Los lados de todo triángulo pitagórico tienen la siguien­
te forma:
m y n son números enteros 
2mn positivos, 
m > n
De la forma general se deducen casos particulares:
n: impar (n > 1) • k: par (k > 2)
AB: cateto menor • AB: cateto menor
Algunos triángulos pitagóricos son:
80 5 3 / ^ 73
y / 28 jy
y r y r
45 55
a;
9/ 72 8 5 / ' ' ^
16
/ r r
65 77
36
Ejemplo:
El área de un triángulo pitagórico (cuyos lados son de
k2- 1 k2+ 1 .la forma: k, i) , es numéricamente Igual a
2 ’ 2
su perímetro. Calcular la tangente de su mayor ángulo 
agudo.
Resolución:
Área = ^ k j^ -_ _
Perímetro = k + 1 , k2 + 1
2
=> Perímetro = k + k2 = k(k + 1)
Dato: Área = Perímetro (numéricamente)
k(k2 - 1) = k(k + 1) =» k(k2 - 1) = 4k(k + 1)
(k - 1)(k + 1 ) = 4 (k + 1) =5 k - 1 = 4 =» k = 5
1 . 12
2k
Una fórmula práctica para calcular la medida del me­
nor ángulo de un triángulo pitagórico (De las formas 
particulares estudiadas anteriormente) es la siguiente:
\3n2+ 1/
)(344°)
n: par (n > 2)
n2 - 1
El error que se comete al 
aplicar esta fórmula prác­
tica es menor de 50” (en 
valor absoluto).
Ejemplos:
1. Calcular la medida del menor ángulo de un triángu­
lo pitagórico de lados 5, 12. 13.
Resolución:
Este es un triángulo pitagórico
n2 - J . n2 + 1
_d
En este caso: n = 5 12
de la forma: n;
Aplicando la fórmula práctica para hallar 0:
6 = 344° (5> = 22,63157895° 0 9 = 22°37' 53,68'' 
3 (5 ) + 1
Si utilizamos tan9 = 5/12 => 9 = arctan(5/12) 
y mediante una calculadora hallamos este valor, 
obtenemos 9 = 22°37'11,51", como podemos ob­
servar hay una gran aproximación con el valor ha­
llado mediante la fórmula práctica.
T r ig o n o m e t r í a ■ 4 3
2. Calcular cuánto miden los ángulos agudos de un 
triángulo pitagórico cuyos lados miden: 8; 15; 17
Resolución:
Este es un triángulo pitagórico de la forma:
2n, n2 - 1, n2 + 1. En este caso n = 4
a = 344 (4) _ 2 8 ,0 8 1 6 3 2 6 5 0 a = 28°4'53,68" 
3(4) + 1
P es el complemento de a 
=> p = 90° - 28°4'20,95"
=» p = 61°55'6,12"
Si calculamos estos valores mediante una calculado­
ra obtenemos: a = 28°4'20,95" y p = 61°55’39,05", 
observar que tan aproximados son los valores ha­
llados mediante la fórmula práctica.
y / i3°
I r
/ 5 T
X í t r
4 4k
<« TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
• RT de 30° y 60°
sen30° = y = cos60° 
VTcos30° = -y - = sen60° 
tan30° = y = cot60°
cot30° = V3 = tan60°
sec30° = = csc60°
csc30° = 2 = sec60°
RT de 45°
sen45° = y = cos45° tan 45° = 1 = cot45° 
sec45° = 12 - csc45°
Triángulo rectángulo de 15° y 75°
Triángulo básico Triángulo genérico
V6 -V 2 (Ve - / 2)k
V6 + V2 ( V6 + V2)k
Triángulo rectángulo de Triángulo rectángulo de 
18° y 72° 36° y 54°
Triángulo básico
VI - 1
V10 + 2V5 V5+1
Triángulo rectángulo de 37° y 53°
Triángulo básico Triángulo genérico
3k
Triángulo rectángulo de 37°/2 y 53°/2
Triángulo genérico Triángulo genérico
V T O k /^ VI k yS
2 k / / ®°° / k . /
1 => / k /
X 3 0 “ r X 3772 r /\53°I2 r
kV3 3k 2k
Triángulo rectángulo de 16° y 74°
Triángulo básico Triángulo genérico
24 k
Triángulo rectángulo de 8o y 82°
Triángulo básico Triángulo genérico
Aplicaciones:
1. SI a = 15°; calcular:
L = senasen2asen3asen4asec5a 
Resolución:
L = sen15°sen30°sen45°sen60°sec75°
L = s e n 1 5 ° ( | j ( ^ ) ( ^ ) s e c 7 5 °
Como: sen15°csc15°=1 a csc15°=sec75°
4 4 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
sen15°sec75° = 1 
L = #
2. Si: seca = csc2<]i, hallar:
R = tan + <t>) + sec(330° ~ 3a - 6<t>) 
Resolución:
seca = csc24> => a + 2<j> = 90°
/ a + 2<j) \
R = tan
R = tan
-J + sec[330° - 3(a + 2(j))] 
sec[330° - 3(90°)]
R = tan45° + sec60° = 1 R :
Si: sen(a - 20°) = cos(8 - 30°), a y 0 son ángulos 
agudos, calcular:
tan
R =
a + 0 cot a + 0
cot (a + 0 - 85e) + tan(a + 0 - 120°) 
Resolución:
sen(a - 20°) = cos(8 - 30°) => a — 20° + 9 - 30° = 90°
» ( ¥ ) ♦ « ( ¥ ) 
co t(140° - 85°) + tan(140° - 120°)
R = tan35° + cot70° tan35 + cot70°
cot 55° + tan 20° tan35 + cot70 '
= 1
tan)
Si: cosa = -
+ sec:2 7I_
4
L, calcular:
R = sena + |ana (a: agudo) 
sena - tana
Resolución:
)csc30
6 5 30
Si 0 = rad; calcular:
R = sen29cos(-| + 0)sec(-^
Resolución:
R = s e n [2 ( ^ ) ]c o s ( ^ + £ ) s e c ( f - £ ) c s c [ 3 ( £ ) 
R = ^
<4 RESOLUCIONES DE TRIÁNGULOS RECTÁN­
GULOS
Caso I: Datos: ángulo (0), hipotenusa (h)
Incógnitas: catetos AB y BC
BC
h
AB
h
= sen0 =» BC = hsen0 
= cos0 => AB = hcos0
Caso II: Datos: ángulo (0), cateto adyacente (p) 
Incógnita: hipotenusa (AC) y cateto (BC) 
„C
. AC
P
.BC
"B P
sec0 => AC = psec0 
tan0 => BC = ptan0
Caso III: Datos: ángulo (0), cateto opuesto (q)
Incógnita: Hipotenusa (AC) y cateto (AB)
= csc0 => AC = qcsc0 
= cot9 => AB = qcot0
Aplicaciones:
1. De la figura adjunta expresar p en térm inos de
q y f
c
AC
q q
AB
B q
De la figura:
ElACD: AC = qcosc]) 
ElABC: p = ACcosé
Reemplazando (1) en (2): p ;
...(1)
...(2)
qcos2<|>
2, Sobre el lado CD de un rectángulo ABCD se cons­
truye el triángulo rectángulo DCE, sabiendo que 
mZEDC = 0, m 4EAB = a y EB = m. Hallar EC,
NABE: AB = mcota ...(1) 
También DC = AB
Resolución:
T r i g o n o m e t r í a ■ 4 5
LxDCE: x = DCtane 
Reemp. (1) en (2): 
x = mcotatanG
...(2)
3. Si DC = x, expresar PQ en términos de a, 9 y x.
„D
A
T ~
Sea PQ = h 
LxDCB: BC = xcot0 
t\BQP: BQ = hcote 
É^PQC: QC = hcota 
De (2) y (1):
BC = BQ + QC = h(cot9 + cota) 
De (1):
h(cot9 + cota) = xcotO => h =
...(1)
...(2)
...(3)
xcote
cota + cot0
CÁLCLLO DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
DE LA MITAD DE UN ÁNGULO
Una forma práctica para calcular las razones trigono­
métricas de la mitad de un ángulo agudo es la siguiente: 
Partimos de un triángulo rectángulo ABC (verflg .).
Si queremos las razones trigonométricas de (A/2) en­
tonces prolongamos el cateto CA hasta un punto D 
tal que AD = AB. Luego el triángulo DAB es isósceles 
m ZBDA = A/2
cot-í c + b
Entonces:
c o tA = T + b 
2 a a
Análogamente:
tan-§- = —5-r- = 
2 c + b
tan ~ = cscA - cotA
Aplicaciones:
25 , 24 49co tí 6 = -= - + -=- = —1. cot8° = c o t^ | - = csc16° 
cot8° = 7 (aprox.)
2. tan18°30’ = t a n ^ = csc37° - cot37° = | - 1 = 1
tan18°30' = 1 (aprox.)
3. cot26°30’ = c o t ^ l = csc53° + cot53° = 1 + 1 = 2
cot26°30’ = 2 (aprox.)
30°4. co tí 5
cotí 5° = 2
cot-^Z- = csc30° + cot30° = 2 + -Í3
/3
5. tan22°30' = tan 45° : csc45° - cot45° = ■Í2 - 1
tan22°30’ = V2 — 1
En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), 
a = 21 y c = 20. Calcular: t a n l + ta n ^ 
Resolución:
C _ _ 29 21 _ 8 _ 2
tan 2 - cscC cotC - 2Q 20 _ 20 “ 5
tan y = cscA - cotA = _9_
21
C , A 2 . 3 ■ • tan-^- + ta n y - + y 29
35
De la figura adjunta, calcular: sen-^
10x - 3
9x - 1
Resolución:
T. de Pitágoras: (10x - 3)2 = (3x)2 + (9x - 1)2 
=> 100x2 - 60x + 9 = 9x2 + 81 x2 — 18x + 1
Simplificando:
5x2 - 2 1 x + 4 = 0=> (5x — 1 )(x — 4) = 0 x 
Entonces:
A
c o ty = cscA + cotA 3 7 / 12
/3 7 X
/ T i l r ^ fa /2 r
35
co t£ = 37 + 35
12
72
12 = 6 ■ sen — =.. sen 2 37
Resolución:
4 6 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia . S a p ie n s
Los lados de un triángulo rectángulo ABC (recto en 
C) son a, b y c, respectivamente. Calcular M y N si 
se cumple que:
M c o t^ = b ...+ c y Ntan4- = -a + b “ c
Resolución:
fm/b + c \
M =
■ c - b
_ a + b + c 
a + c - b
b + c - a
a I' a + b + c \
b + c ', a + c - b I
M = . a + a (b + c >
(a + c - b)(b + c)
(c2 - b2) + a(b + c)
M =
a(b + c) + ( c2 - b2) 
a t a + b - c
N
b + c ' b + c - a
a(b + c) + (b2- c 2)
M = 1
b + c /a + b - c
- aN = ■ ,.
a \b + c
a(b + c - a
N = 1
a(b + c - a ) a(b + c - a )
<4 ÁREA DE UN TRIÁNGULO
El área de un triángulo cualqúiera es Igual al semipro- 
ducto de dos de sus lados multiplicado por el seno del 
ángulo que forman dichos lados.
Demostración:
Aaabc = ^ah ...(1)
• LAPC: h = bsenC; reem­
plazando en (1):
Aaabc = |a b s e n C
Aplicaciones:
1. Se tiene un triángulo ABC tal que AB = 6,5 y 
AC = 12. Calcular el área de dicho triángulo si 
ta n A = 5/12
senA = 5/13
Resolución:
tanA = 5 /1 2
A a a b c = ^(A B)(A C )senA 
- Aaabc = ^ (6 ,5 ) (1 2 ) (^ j
En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado. N es 
punto medio y MN = AB. Calcular: sena
E
^ + 4 + ' r NM
Resolución:
O 2x B
xl ^ —’
r
M 2x
¡XCNz
A 2x
élMOC: MC = •J(4xf + (x)2 = .M C = VÍ7x
fc\MNB: MB = J(2xf + ( x f => MB = í5 x
Área del AMBC: A = ^(M B)(M C )sena ...(1)
Y su área la podemos calcular de la siguiente ma­
nera:
Aambc = ¿ W (B C ) ...(2)
Luego (1) = (2): ^ (■ /5x)(/T7x)sena = -^x(2x)
Simplificando: -/85sena = 2 => sena =
o5
Ya se mencionó que conociendo el valor de solo 
una de las razones trigonométricas de un ángulo 
agudo a se pueden hallar las demás, construyendo 
un triángulo rectángulo con el valor dado. Pero esto 
solo se hace cuando se desea hallar las Razones 
Trigonométricas de a.
-i
Si: tana = 4 (a: agudo); hallar: seca + csca 
Resolución:
seca + csca = fío f ío
1
4 fí0
4.
Cuando de dato hay longitudes ya no se hace lo 
anterior. El procedimiento a seguir se explica en el 
siguiente ejemplo.
En un fcABC (B = 90°), tanA = 2/3 y la longitud del 
cateto mayor es 21. Calcular el área del triángulo.
Resolución:
2 _ CBtanA =
BA
CB = 2n 
BA = 3n
Observemos que el cateto mayor es 3n, por dato 
3n = 21 =» n = 7
El área del 6\ABC = 4 (3 n)(2n) = 
=* 3(7)2 = 147
3n
5. El perímetro de un triángulo rectángulo ABC 
(B = 90°) es 180 m, calcular su área si la secante 
de su mayor ángulo agudo es 2,6.
Resolución:
Sea A el mayor ángulo agudo.
T r ig o n o m e t r í a ■ 4 7
A _ o f i _ 1 3 _ C A CA = 13n 
BA=5n
x2 = (13n)2 - (5n)2 
x = 12n
x2 = 144n
Dato:
13n + 12n + 5n = 180
=> n = 6 => AB = 30 y BC = 72
Area A - (30)(72) : An , c d . ''A A R C , « A'A A R f = 1080 m2
<4 ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES 
(ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN)
Se denomina ángulos verticales a aquellos contenidos 
en un plano vertical y ángulos horizontales a aquellos 
contenidos en un plano horizontal. A continuación de­
finiremos dos nuevos términos, ángulo de elevación y 
ángulo de depresión. Por convención denominaremos 
visual a la línea imaginaria que une el punto de obser­
vación con el punto observado.
Ángulo de elevación
Se denomina de esta manera al ángulo vertical formado 
por la línea horizontal y la visual que pasan por el pun­
to de observación cuando el punto observado está por 
encima de la horizontal.
Ángulo de depresión
Se denomina de esta manera al ángulo vertical formado 
por la línea horizontal y la visual que pasan por el pun­
to de observación cuando el punto observado está por 
debajo de la horizontal.
Horizontal
* O pto. de observación 
Ejemplos:
1
* A y B ptos. observados
Desde el punto A situado a 300 m de la base de 
una torre se observa la parte más alta de ésta con 
un ángulo de elevación de 30°. Calcular la altura de 
la torre.
Resolución:
h = 30o(-y-J .-. h = 100/3 m
2. Desde lo alto de un acantilado de 45 m de altura los 
ángulos de depresión de dos botes que están en el 
mar y en una misma dirección del observador mi­
den 60° y 45°. ¿Qué distancia hay entre los botes?
Resolución:
Sean A y B las posiciones de los botes.
Observar que: mZPAQ = 60° y m ZPBQ = 45°
fc^PQB: como mZPBQ = 45°
=> PQ = QB = 45 m
t\PQ A: ^ = cot60°
45
QA
45
AB
.-. x = (45
&
3
x = QB - QA
QA = 15/3 m
1 5 /3 ) m
Continuando con las definiciones veamos ahora lo 
siguiente:
Dirección y rumbo
Se denomina de esta manera al ángulo horizontal que 
forma la dirección de un punto respecto de otro tomando 
como referencia el eje norte-sur.
Ejemplo:
El rumbo de A respecto de P 
es: 40° al oeste del norte.
El rumbo de B respecto de P 
es: 60° al este del sur.
El rumbo de C respecto de P 
,es: 70° al este del norte.
<4 ROSA NÁUTICA
Gráfico que muestra las 32 direcciones notables, to­
mando como referencia los puntos cardinales norte (N), 
sur (S), este (E) y oeste (O).
v
N
/ v ° ° t
p
r »
6 t r \
s
-y S'
C? ^ > OJ enco rn
En el gráfico podrá observar la notación: NNE, NE 
1/4 N, NE y otras; la forma de leer es la siguiente:
NE nordeste SSE sursudeste
NNO nornoroeste S 0 1/4 O sur-oeste-1/4-oeste
NE1/4N nor-este-1/4-norte S 1/4 SO sur-oeste
N 1/4 NE norte-1/4-nor-este SSO sursudoeste
SO sudoeste NNE nornordeste
4 8 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
• El menor ángulo formado por dos direcciones con­
tiguas mide -11*15', por ejemplo si Ud. del gráfico 
toma dos direcciones (contiguas) NE y NE 1/4 E el 
ángulo queforman mide 11°15’.
De la observación anterior se deduce que para 
determinar el menor ángulo que forman dos di­
recciones cualesquiera de la Rosa Náutica, se 
tiene que determinar el número de espacios en­
tre ésta y multiplicarlo por 11°15', por ejemplo el 
menor ángulo formado por las direcciones N y 
NNO mide 22°30' ya que entre éstas hay dos 
espacios (ver el gráfico); entre las direcciones 
O 1/4 SO y SE 1/4 O hay diez espacios (ver el grá­
fico) entonces el menor ángulo que forman mide: 
10(11°15') = 112*30'.
La dirección NE es equivalente a escribir N45°E y 
viceversa, la dirección S 1/4 SO es equivalente a 
S11°15'0, la dirección NO 1/4 O es equivalente a 
N56°15'0 y viceversa.
Aplicaciones:
1. Dos ciudades A y B están separadas 20 km, ade­
más B se encuentra al este de A, una ciudad C se 
encuentra al sur de B y a una distancia de 25 km 
de A. Hallar la distancia de B y C y cuál es el rumbo 
de C respecto de A.
Resolución:
Observar que: 
x = J (2 5 f - (2 0 f 
x = / 6 25 -40 0 
x = V225 => x = 15 km
Además del triángulo rectángulo se observa que:
tanO = = 4 => 6 = 53°
lo o
Entonces el rumbo de C respecto de A es: S53°E
2. Dos móviles P y Q parten de un mismo punto, P 
recorre 35 km con rumbo E 1/4 NE y Q recorre
12 km con rumbo S 1/4 SE. Calcular la distancia 
entre P y Q.
Resolución:
Observar que el ángulo PAO mide 90°
Entonces k(PAQ):
x2 = (35)2 + (12)2 =» x = VÍ369 => x = 37 
Por lo tanto, la distancia entre P y Q es de 37 km.
Es necesario que usted se de cuenta que para re­
solver los problemas de ángulos de elevación, de­
presión o de la rosa náutica es importante hacer el 
gráfico respectivo.
3. Desde un punto A situado al este de un edificio se 
observa la parte más alta de este con un ángulo 
de elevación de 30° y desde un punto B situado al 
sur del edificio se observa el mismo punto con un 
ángulo de elevación de 60°, si la distancia de A a B 
es de 60 m, calcular la altura del edificio.
Resolución:
Por la base del edificio (P) trazamos los ejes norte- 
sur, este-oeste y ubicamos los puntos A y B.
ElBPQ: BP = hcot60° A kAPQ : AP = hcot30° 
ElBPA: (AB)2 = (BP)2 + (AP)2 
(60)2 = (hcot60°)2 + (hcot30°)2
3600 = h2( ^ ) + h2(3) =» 3 6 0 0 = 1 ^ =» h = /1Ó8Ó 
.-. h = 6 /30 m
T r ig o n o m e t r í a ■ 4 9
| Q P R O B LE M A S RESUELTOS Q 1
1. En la figura ABCD es un cuadrado y ABE un trián­
gulo rectángulo isósceles. Calcular: tan
= csc(2a ) - co t(2a )
D
\ o '
/ X 0 ‘
X 4 5 ° V y ^ 'Á
E B C
Resolución:
tañe = ■12 - ( - 1) => tan6 = (2 4-1
8/2
/2 + 1
Del gráfico: tan-2- = - _______
2 V4 + 2 / 2 + 1
2. En la figura mostrada: ABCD es un cuadrado ADC 
un sector circular y M punto medio de AC. Calcular 
la tangente del ángulo MAB.
Resolución:
Del E+sombreado: 
tañe = /2 - 1
. 1 2 - 1
12
3. En la figura, PERU es un cuadrado cuyo lado mide 
8 cm. Si tan8°= 1/7, determinar el valor de OT (en 
cm).
4.
Resolución:
Del gráfico: 
7x + x = 8 
.-. x = 1 cm
En un triángulo ABC, m ZB = 45° y m ZC = 30° se 
tiene que: AB = 2" y AC = 4n. Calcular BC. 
Resolución:
A
T / 2"
<2
Á 45° 3 (T ? \
2n/V2 H 2"/3/V2 C
Note que: x = ^= + ~=(-Í3 )
■Í2 ,Í2
on
X = Z = (1 
(2
kAHC : sen30° = 
T í 11
2 4
o2n + 1/2
/i)
= 2'
/3 ) ...(a)
T_
£L
4"
4n( /2 ) = 2 n+1 
> 2n + 1/2 = n + 1 n = 1/2
En (a): x = z=r(1 + / 3 ) x = 1 + /3
Dado el triángulo rectángulo ABC cuyos lados es­
tán en progresión aritmética, cuya razón es cuatro. 
Determinar la mayor razón trigonométrica de uno 
de los ángulos agudos del triángulo.
Resolución:
B Calculo de x:
(x + 4)2 = x2 + (x - 4)2 x + A /
(x + 4)2 - (x - 4)2 = x2
: \ 4(x)(4) = x2 => x = 1 6
x
r
•A 45 ri 1C
Luego el será:
-B
5 0 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Luego la mayor razón trigonométrica de 0 será: 
mayor lado — . 20
menor lado — 
csc0 = 5/3
12 = C S C 0
6. En la figura mostrada, ABC es un triángulo
isósceles (AB = BC), MNPQ es un cuadrado, Resolución:
m ZBAC = 53°, m ZM CQ = 0. Calcular: tan0. , b
B
/ a /
X A X 2A r c \
A M c
/ V \ a
I------ a ------- 1------------a ----------- 1
a / V 3° En el triángulo sombreado: 2A a (C
M plementarios.
Resolución:
Sea: QP = 20a
16akQ H C : tañe = £¿2. = ah .
37a
16
37
7. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, si: 
tanAcosC = 3.
Calcular el valor de: M = Vsec2A - 3cscC . 
Resolución:
„C
Condición: tanAcosC = 3
=> 1 (§ ) = 3 =» a2 = 3bc 
c V
Se pide:
M = Vsec2A - 3cscC
..(a)
l c‘ te 
Reemplazamos (a ):
3bc
M = ■ a M = M = 1
8. La figura muestra un triángulo rectángulo ABC con 
ángulo recto en B. Desde B se traza la mediana 
BM y la altura BH. Si tanA - ’i/4, hallar tan(C - A).
=* tan(C - A) = cot2A =* tan(C - A) = -1 
Reemplazamos: tan(C - A) = 1
2(1/4) ■ 1/2
tan(C - A) = 15/8
9. En la figura AOB es un sector circular y CDEF 
es un cuadrado. Determinar aproximadamente la 
razón entre las longitudes de los arcos DE y AB 
(tan14°= 0,25).
Resolución:
AODM: tan0
=* 0 = 14° 
mZDOE: 28°
■ „ Qgn- L¡ü _ (2)(28)(n/180*) 
Láb (2)(53°)(t:/180°)
| ^ = 0,53 
Lar
10. De la figura DC = m unidades, hallar AE.
B
Resolución:
T r i g o n o m e t r í a ■ 51
FP
fc\EDC: — = sec0 => EC = msecO 
m
fc^BEC: | | = tañe => BE= ECtanO 
BE = (msec0)tan9
LJ\BE:
BE
= tanG
=> x = BEtan6 
x = (msec6tan0)tan0 
x = msec0tan20
Que es equivalente a: x = m(1 + tan20)tan0sene
11. De la figura mostrada, hallar cote si: DC = 3AD 
B
Del gráfico: cote = ~ cote = 3
12. Hallar el área de la región sombreada (m2) en tér­
minos de ó.
13. Los lados de un triángulo rectángulo están repre­
sentados por 3 números en progresión aritmética. 
Calcular el coseno del menor ángulo agudo.
Resolución:
Por el teorema de Pitágoras:
(a + r)2 = a2 + (a - r)2 
(a + r)2 - (a - r)2 = a2
4ar = a a = 4r
Luego:
cose _ a 4r
a + r 5r " 5
14. En la figura mostrada, hallar x en términos de a y a
Resolución:
Del gráfico: 
xcosa + xsena = a 
ax =
cosa + sena
15. Siendo 3x e y ángulos agudos, y se cumple: 
sen(x + y) = sen(2y - 2x) 
tan3xtany = 1
Calcular: S = cot(3x) + coty + tany 
Resolución:
• sen(x + y) = sen(2y - 2x)
=> x + y = 2y - 2x => 3x = y
tan3x = tan3x = coty
..(1)
tan3xtany = 1 
1
tany
=> 3x + y = 90° ...(2)
Reemplazamos (1) en (2):
3x + 3x = 90° => x = 15° A y = 45°
Luego:
S = cot3x + coty + tany 
S = cot45° + cot45° + tan 45° .-. S = 3
16. Si: sen(2a)csc(e + 30°) = 1 A sen(6 - (|>)sec (é + a ) = 1;
calcular: T = 8-/2sen(a + 5°)cos(0 + 10°)
Resolución:
• sen2acsc(0 + 30°) = 1 
2a = 0 + 30°
• sen(6 - 4>)sec(<)i + a ) = 1
sen(6 - é) = ^
sec(<|> + a)
sen(0 —<)>) = cos(cj) + a)
(0 - <|>) + (ó + a ) = 90°
0 + a = 90° ...(2)
Resolviendo las ecuaciones (1) a (2): 
a = 40° a 0 = 50°
Luego:
T = 8^2sen(a + 5°)cos(0 + 10°)
T = 8/2sen45°cos60°
T"8fi(i)© ■-T - 4
Resolución:
Note que: señé + acosé = 1 
acosé = 1 _ señé
a = (1 -s e n é )í—
\cosé
=> a = (1 — sené)secé
Luego:
Sx = a(1) Sx = (1 - sené)secé
5 2 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
17. En un trapecio isósceles ABCD, la base ma­
yor AD mide b, la base menor BC mide a y 
mZBAD = m zC D A = 9
Hallar el área de la región trapezoidal en función de 
a, b y 9.
Resolución:
Note que: 2hcot9 = b - a 
b - a2h =
cotG
h = ( b —l) t a n 9
Luego: SQ =
Reemplazamos h
I b2- a r tan©
18. En la figura mostrada, mZACD = m ZCAD= a; 
AD = 7; BC = 5; hallar el valor de:
T = (7 + 2 /6 )tana + 10csc(2a)
i 7 u -2 / fH
Luego: T = (7 + 2 /6 )ta n a + 10csc2a 
Reemplazamos:
t - (7 + 2 /5>(t Z%w ) +10( Í )
T = 19
19. Si ABCD es un cuadrado inscrito en el triángulo 
rectángulo EFG, m ZEFG = 90°, tal que ED = a y 
CG = b. Calcular: FH
A / t \ j
fcAFH: AH = xtanG A t\FHB: HB = xcotG 
AH + HB = x(tanG + cote); sea n = AH + HB 
=> n= x(tanG + cote) ...(1)
Pero: E\EAD: cotG = n/a 
=> 6\BCG: tanG = n/b
 abE n (1 ) :n = x (ü + ü )
a + b
20.Manuel y Salvador son hermanos y salen de sus 
respectivos colegios. Manuel recorre 160 m en di­
rección este y luego 400 m en dirección S53°E, lle­
gando así a su casa. Salvador para llegar al mismo 
lugar recorre 720 m en dirección sur y luego 400 m 
en dirección SO. ¿En qué dirección está el colegio 
de Manuel tomando como referencia el colegio de 
Salvador?
k Sombreado: G = 45°
Por lo tanto, el colegio de Manuel se encuentra al 
SO del colegio de Salvador.
21. La elevación de una torre desde un punto A al oes­
te de ella es 60° y desde el punto B al sur de la 
torre la elevación es de 30°. Si la torre tiene 75 m 
de altura, calcular (en m) la distancia comprendida 
entre A y B.
Resolución:
22.
h /3 = 75 => h = 2 5 /3 m
En el k horizontal: d = h/TO
=* d = (25 /3 )(/T0) .-. d = 25/30
Desde lo alto de un faro, a 2H metros sobre el ni­
vel del mar, el ángulo de depresión de un barco 
situado directamente al sur, es a: dos minutos más 
tarde el ángulo de depresión es p, calcular la velo­
cidad del barco, en m/min, si se observa que nave­
ga directamente hacia el oeste.
I—320 —H— 200/2 1
fíFf
Casa
Resolución:
Colegio
(Salvador)
720
T r ig o n o m e t r í a ■ 5 3
Resolución:
Del gráfico: triángulo sombreado 
d = 2H^cot2p - cot2a 
Tiempo de (1) a (2): 2 min
d _ 2H jc o t2p - cot2a
Vbarco = (H /co t2p + cot2a ) ^
23. Timoteo desciende por una colina que tiene un án­
gulo de Inclinación de 30° en la parte baja de la 
colina se encuentra un edificio de 10(2 - /3 ) m 
de altura. Timoteo sobre la colina observa la parte 
más alta del edificio con ángulo de depresión de 
15°. Hallar la distancia desde el observador al pie 
del edificio, en m.
Resolución:
h = 10(2 — V3)
Separamos parte del gráfico:
15"
d = | [ 1 + /3co t15°j; d = | [ 1 + /3 (2 + V3)] 
d = 1 (2 /3 + 4) 
d = h ( / 3 + 2)
Reemplazamos h: d = 10(2 - /3 )(2 + /3 ) 
d = 10
24. Un pescador situado a 600 m sobre el nivel del mar 
observa una lancha con ángulo de depresión a. 
Seis minutos después observa en la misma direc­
ción a la lancha pero ahora con un ángulo de depre­
sión p. Calcular la rapidez de la lancha en km/h. 
tana = (3 + 1, tanp = /3 — 1
Resolución:
25.
Pescados
26.
i 600cotp 1
tana = /3 + 1 A tanp = /3 - 1 
Del gráfico: 
d = 600(cotp - cota)
d = 600(-fJ --------- = 4 — )
1 / 3 -1 /3 + 11
d = 600 m 
Luego:
v - f
V = 100
W _ 600
6
60 V 1 
1 1000
V = 100 m/mln 
.-. V = 6 km/h
En un instante dado, desde un avión que se despla­
za a cierta altura se observa un punto en tierra con 
un ángulo de depresión cuya medida es 30°. Des­
pués de haber volado aproximadamente 200 /3 m, 
el nuevo ángulo de depresión mide 60°. ¿Cuál es la 
longitud de la altura a la que vuela el avión?
Resolución:
avión
En el triángulo sombreado: 
Hsen60° =
Ü - 
2
200 /3
H
200/3
H = 300 m
Salvador caminando hacia el NE observa un molino 
en la dirección N15°E. Cuando han transcurrido 15 
minutos Salvador es observado desde el molino en 
la dirección S75°E y a 200 m de distancia del moli­
no. Calcular la velocidad de la persona en m/h.
Resolución:
5 4 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Del gráfico: d = 400 m
A
tiempo: 15 min = 4 h
r _ d 400
1
4
V = 1600 m/h
27. La estación B se encuentra 6 /3 km al este de la 
estación A. La dirección de un incendio es S12°0 
desde A. La dirección del incendio desde B es 
S30°O. ¿A qué distancia, en km, de A se encuentra 
el incendio?
Resolución:
d = 6/3^n6o;
sen 18
6 /3 ]! í )
/ / 5 - A
\ 4 )
d = 9 (/5 + 1)km
28. Edyson se dirige en la dirección N60°E y luego de 
caminar cierta distancia toma la dirección S30°E 
llegando justo al este del punto de partida. Si en to­
tal recorre 200 (/3 + 1) m. Hallar la distancia entre 
el punto inicial y el punto final.
Resolución:
29.
Del gráfico:
d, + d2 = | ( / 3 + 1)
Pero por condición: 
d, + d 2 = 200 (/3 + 1)
=> | ( / 3 +1) = 200 (/3 + 1)
Desde un faro se observan dos barcos A y B en 
las direcciones SO y S15°E respectivamente, al 
mismo tiempo B se observa desde A en la direc­
ción S68°E. Si la distancia del barco A al faro es de 
0,5 km. Calcular la distancia entre los barcos.
Resolución:
Ley de senos: 
0 ,5 _ d
sen53° sen60°
'1\//3\
d =
d = 1 sen60°
2 sen53°
2 A 2
d = i f km
30. Una diagonal de un paralelepípedo rectángulo for­
ma con las tres aristas concurrentes a un mismo 
vértice, los ángulos a, p y 0.
Hallar el valor de: sen2a + sen2p + sen20
Resolución:
Del gráfico:
cosa = cosp= § ; cos0 = •§ 
d v d d
Ademas se conoce que: a2 + b2 + c2 = d2
=5 cos2a + cos2p + cos20 = — -í — = 1
d2
Luego: 1 - sen2a + 1 - sen2p + 1 - sen20 = 1 
sen2a + sen2p + sen20 = 2
31. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) desde 
B se traza una ceviana BD (D en AC) y desde C se 
levanta una perpendicular CH a dicha ceviana. 
Calcular: HD si AB = m, CH = n 
Además: mZBAC = mZDCH
Resolución:
Interpretando el enunciado:
De la figura: sea: m ZBAD = m ZHCD = a 
En AHDC: x = ntana ...(1)
En AABC: BC = mtana
T r i g o n o m e t r í a ■ 5 5
Observar: mZBDC = mZBCD = 90° - a
Luego: ABDC isósceles
=» BD = BC = mtana
Entonces: BH = BD - HD
=> BH = mtana - ntana => BH = (m - n) tana
En ABHC: por Pitágoras (BC)2 = (BH)2 + (HC)2
m2 tan2a = (m - n)2tan2a + n2
De donde: tan2a [m 2 - (m - n)2] = n2 
- <2>
(2) en (1): x = n ) Z 2 Z
32. Hallar AB en términos de 0 si CD = 1 y O es centro.
Resolución:
Nos piden AB en términos de 9
Haciendo los trazos adecuados obtenemos:
Cose Cote
Por lo tanto del gráfico: AB = cos0 + cot9
33. En un triángulo isósceles, el ángulo diferente mide 
9. Hallar la relación entre el ¡nradio y el circunradlo.
Resolución:
ABHI: - = tanx; AO HA 
a
^ = sen9 
K
Multiplicando:
—(4-) = sen9tanx aVR/
—■ = sen9tanx 
K
Pero: 2x + | = | '
=> x = 71 T - .-. sen9tan(n T 9
4 R \ 4
34. Lolo observa dos postes de 30-Í3 y 30 m de altura, 
con ángulos de elevación de 60° y 37° respecti­
vamente, los postes están unidos por su parte su­
perior, mediante un cable totalmente tenso. ¿Qué 
distancia separa a Lolo del cable?
Resolución:
30\3
AAHB: (AB)2 = 702 + (30 73 - 30)2 
(AB)2 = 8500 - 1800/3 
(AB)2 = 100(85 - 18/ 3 )
AB = 10785 - 1873 
Además: a = 83°, luego:
= Área sombreada = ^ ^ - - sen83° 
„ _ 300C[(Sen83°) = 3000 eos 7
AB 10785-1873
, - .x= , 300cos m 
785 - 1873 '
35. En un triángulo rectángulo: ABC (B = 90°) se tra­
za una ceviana BD si: m ZBAD = 9, mZBDC = (3, 
m ZABD = a A BD = BC
Calcular:T = s e n (9 jcsc|45° - - |) ta n (—
2 / 1 2
Resolución:
De la figura:
0 + a = b | sumando:
0 + p — 90° J => 2 0 + a = 90°
- í 20±i7) = 45= ...(1)
2 2 : 45°
i ± « = 4 5 ° - | = x ...(2)
30V3-30
A
30
5 6 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
En (T): (1) y (2)
T = senx(cscx)(tan45°)
(1) (1)
T = 1
36. De la figura, hallar d, si la altura mide 1 m. 
B
Además: cort) = sec(x + y)tan(2x - 3y)tan(x + y) 
sec(x - y)tan2| X ^ y ^
Resolución:
Dado que la altura BH es 1 m 
ABHI: (30° y 60°)
=> x + y = 60° ... (1)
Bl = 2
ABIC: isósceles => móCBI = y 
Luego: móBIH = 2y = 30° => y = 15° 
en (1): x = 45°
Reemplazando en el dato:
sec (60e)tan (45°)tan (60a) 
sec(30<>)tan2(30a)
cot 0 =
cot 0 =_ 2(1)(V3)
V3/V3
= 9 => cote = (3 = 30°
A B H A : ^ = tan30° = & .■
37. Hallar tanx en función de 6 y é- 
Si m ó B A C = 0 A m -iA C B = ó
d = ^ m
k.BDC: BD = atanxtané ...(I)
CBDA: BD = acotxtane ...(II) 
Igualamos (I) y (II) 
atanxtané = acotxtanO
Simplificamos y despejamos tanx 
•1
tanxtané = j^ ¡ ^ ( tanS)
tan2x = ^ , tanx = W
tañé y tañé
38. Hallar AM si PN = PC y MC = d
B
Resolución:
B
B
t\ANM : sec20 = 4 .-. x = dsec20
d
39. Del gráfico mostrado obtener: sene en términos de a.
B C
Resolución:
B a tana C
V L
aV2
a \
\pc
X45°
A a E a tana D
Luego trazamos AF y se determina el ílAFB, para 
finalmente calcular sene.
T r i g o n o m e t r í a ■ 5 7
A a(1+tana) D
. Aa (1 + tana)cosa
IZAFB: sen6 = — = 2 --------
a /2
Simplificando y racionalizando obtenemos:
¡2senB = -y-(sena + cosa)
40. Si la proyección del arco BC sobre el diámetro AD 
es x. ¿A qué es igual AD?
Resolución:
E\OEB: OE = rcos49 
É\OFC: OF = rcos2G 
En el gráfico se observa que: 
OF = OE + EF 
rcos20 = rcos40 + x 
rcos20 - rcos40 = x
xr =
=> AD = 2r AD =
cos26 - cos40 
2x
cos26 - cos40
41. Hallar AB en términos de a; a y 0.
B F C
fc\AEF: EF = (AE) tana 
EF = asecGtana
kE C F: CE = (FE)cose
CE = asecG tanacosG
1
CE = ataña 
Calculamos AB:
AB = CD = CE + DE => AB = ataña + atañe 
AB = a(tana + tanG)
42. Del gráfico mostrado obtener el valor de tana si: 
MP = CP y MB = 2(AM)
Resolución:
Del gráfico nos pide tana; trazamos PN y PQ. Sea 
AM = a => MB = 2a y MP = CP = b
C
3atana
a 2a
En el gráfico observamos que:
BC = 3atana
BC = bsena + bcosa
Igualamos: 3atana = b(sena + cosa)
MB = bsena + bcosa
2a = b(sena + cosa)
Dividimos (I) t (II)
3atana _ b(sena + cosa)
■■■(I)
...(II)
2a
3tana
b(sena + cosa)
= 1 tana = 2/3
Resolución:
B F C
atanG
5 8 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
43. Siendo ABCD un cuadrado y BF _LAE. 
Hallar cot0 en términos de x.
B c
Resolución:
AB = BC = CD = AD = a
• AAFB: FB = acosx 
FGAFGC: cote =
GC
cote = 
cote =
F B - G B
GC
acosx - asenx 
acosx
Simplificamos:
cosx senxcote =
cosx cosx
cote = 1 - tanx
44. Hallar AN en términos de a; 
A
Resolución:
En el gráfico se observa que: AM + MB = AN 
Pero: AM = AN - MN 
Reemplazamos: AN - MN + MB = AB 
Reemplazamos sus valores: 
x - xtanacote + acote = acot2a 
Despejamos x 
x - xtanacote = acot2a - acote 
x(1 - tanacote) = a(cot2a - cote)
• - n [ c° t2ct ~ cote ]
[ 1 - tana cote J
45. En la figura mostrada, O es el centro del cuadrante 
AOB. Si QT = TP = PM
Calcular cot6:
Resolución:
R -2a 2a
El triángulo rectángulo sombreado OMQ
R2 = (R - 2a)2 + (3a)2
r 2 = r 2 - 4aR + 4a2 + 9a2
R 13 D 13a 
=■ — = ~ r =* R = ~ r~ a 4 4
sea 4 = k ^ R = 1 3 k = > a = 4k 
4
Luego: ElAOC ~ L^PMC 
13ktana = — => n = -^-k 
5k + n n 9
En el triángulo sombreado ABC
R=13k
a
T \
f \\■<frIIro V - ii \ \
“ I -fk 4 5 ^1
O 5k M n C B
(20/9)k
Luego en el ElADC:
AD 13V2 — 2 6 /2 /9
(52/9)k
cote =
cote
CD
7
2
26-1219
46. Si BM es mediana del triángulo ABC y se cumple
R
que: AB + BP = - ̂ AM, calcular el área de la región
triangular ABM, sabiendo además que la longitud 
de BM es a.
B
T r ig o n o m e t r í a ■ 5 9
Resolución:
Dato: AB + BP : AM
2a sena .
X l
L
\ a
2 a \ aMC
A H M C
a a
2a sen2a 2a -2a sen2a
En el dato: 2asena + 2a - 2asen a = 2 a
=> 4sena + 4 - 4sen2a = 5
=> 4sen2a - 4sen + 1 = 0
(2sena - 1 )2 = 0 => sena = -1 => a = 30°
Hallando el área AABM: SmBM = -a (a )sen 2 a
¿̂abm = 2 a sen60 S¿ABM = ^
47. Salvador corre tras el avión que vuela paralelo al 
suelo, cuando el muchacho, pasa junto a un árbol 
observa al avión adelante con un ángulo de eleva­
ción de 53° y al cabo de un cierto tiempo en movi­
miento el muchacho observa nuevamente el avión 
con un ángulo de elevación de 37°, pero en este 
mismo instante desde el avión se observa al árbol 
su parte más alta con un ángulo de depresión 0. 
Hallar 412tan9, si la velocidad del avión es 7 veces
la del muchacho, además la altura del árbol es la
cuarta parte de lo que recorrió de la primera obser­
vación a la segunda observación.
Resolución:
9k 28a
P B T
J' 53 °y 0J-
A /
A53° A37° r
Q R s
12k
4a
C^MPT: tanO = PM
PT
¡zRST: de 37° y 53° 
=> RS = 16k
16k
=5 si: TS = 12k
• E\QPB: 37° y 53°, si: PQ = 12k => PB = 9k 
Se observa en el rectángulo PTSQ 
PT = QS =» 9k + 28a = 4a + 16k
...(2)k = f
PM = PQ - MQ = 12k - a 
PT = PB + BT = 9k + 28a
...(3)
( 3 ) en ( 1 ):tane = ^ _ | .. .(4)
(2) en (4): tañe =
412tan0 = 281
48. Calcule tanx según la figura mostrada
Resolución:
A a
¿1ABC: tanx = ^ tanx =
8a 8
3
49. Determine la altura en km de la superficie terrestre 
a la que gira un satélite, cuya visión cubre un arco 
de 120° en la superficie de la tierra.
Tomar: R = 6400 km como radio de la tierra.
Resolución:
s
Del gráfico: LAB L ^ = 120° => M ZSOB = 60°
=> en el IZSBO
h + R = Rsec60° =* h + R = 2(R)
=» h + 6400 = 2(6400) .-. h = 6400 km
50. Se tiene un triángu lo BAC ( m /A = 90°) donde
B > C si la relación de los catetos es 2 / 2 . Hallar
R = cotB + secB - 1.
Resolución:
6 0 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p i e n s
Por tanto: B > C = b > c = » - =
c 1
b = 2 /2 A c = 1
Por el teorema de Pitágoras:
a2 = b2 + c2 =» a2 = (2 /2 )2 + (1)2 => a = 3
cotB = 1
2/2
Nos piden calcular:
R ‘ 5 7 í ( S ) + 3
secB = 3
51. H a lla ra si: tan
Resolución:
En (1): tan / 4 "
4n 
7
3 a ) t a n | | | - 2 a ) = 1 
1
/ 2 + 8
3a =
tan ' 371 
>14
2a
t a n ( ^ - 3 a ) = c o t ( | | - 2 a
Por ángulos complementarios tenemos:
4 n , 3 7 t 0 ____ ti . „ _ 2 nl2L _ - 5.
7 — ' 14 2 ' ■ u ~ 353a
52. En la figura mostrada, AQ = 4, FC = 6 calcular: tana 
A B
Resolución:
A 4
\ q /
A > \^Ka \M 6seca |~
D t \
4tana seca
Por ángulos complementarios: 
mZBDC = m ZDAQ = mZDCF = a 
&\AQD: DQ = 4tana; AD = 4seca 
6\DQM: DM = 4tanaseca 
IZMFC: MC = 6seca 
En el rectángulo ABCD 
AD = BC = 4seca
BC BC6\DCB: tana =
DC DM + MC
...(1)
...(2)
- ( 3 )
...(4)
Reemplazando las expresiones (1), (2) y (3) en (4) 
tenemos:
tana = 
=» tana
4seca 4seca
4tanaseca + 6seca seca (4tana + 6) 
4
4tana + 6
Formando la ecuación cuadrática y factorizando: 
2tan2a + 3tana - 2 = O => (2tana - 1 )(tana + 2) = O 
2tana - 1 i) 2tana - 1 = 0
tana 2 i¡) tana + 2 = 0
=» tana = - 2 .-. tana = 1/2
53. En la figura mostrada hallar el valor de: 
E _ ABsen(x - y)
co ly B
Resolución:
Prolongamos AD hasta E, luego se construye el 
triángulo rectángulo AEB.
L.AEB: BE = A B sen(x -y ) ...(1) 
fc^BED: BE = BDcosy ...(2)
Igualando (1) y (2): ABsen(x - y) = BDcosy 
. A B s e n (x -y ) = BQ 
cosy
54. En la figura mostrada, calcular: tanx 
R
Resolución:
T r ig o n o m e t r í a ■ 61
Asumimos: QS = a
fc.PRS: m ZPSR = 90° - x
Luego: en el k.RQS: m ZQRS = x
QR = acotx ...(1)
fc^SQT: QT = atañó
E\PQT: PQ = atanijicote ...(2)
QR 
PQ
acotx
C^PQR: tanx 
(1) y (2) en (3): tanx =
...(3)
atan<j)cot0
tanx = t -^— U ) 
tanx \tan<¡>/\ cote/
Observar: cotx = — ; tanG = — 
tanx cotG
De la ecuación: tan x = tanG
tan4>
tanx tanG
tan<|>
55. De la figura mostrada, EC = 2BC
Calcular: P ;
seny
senx(senz)
Resolución:
Del gráfico en t\ABC: tanG 
=• h(1 + tan2G) = H(1 - tanG)
H - h 
h + htanG
1 + tan29 . H 
1 - tanG h
1 + tan 6 13 . , „ „ A
1 - tanG " T ' ' tan9
57. En un triángulo ABC (m ZA = 90°), el cuadrado del 
cateto c es igual al producto de la hipotenusa a por 
el cateto b y por la expresión:
Resolución:
Dato: c2 = a(b)(x)
Incógnita: x
Del 6\BAC: c = acosB ...(1)
b = asenB .,.(2)
(1) al cuadrado: c2 ,= a2cos2B 
c2 = aacos2B ...(3)
=> a = bcscB reemplazando en (3) tenemos: 
c2 = bcscBacos2B c2 = abcos2BcscB
Resolución:
C asenx B 
(1) = (2) 58. En la figura mostrada, calcule: x, si QT = TR 
R
Resolución:
R
Del gráfico asumimos: AC = a 
fc^ABC: BC = asenx 
Por dato: EC = 2BC => EC = 2asenx 
kE D C : DC = 2asenxsenz ...(1)
6\ADC: DC = aseny ...(2)
=> aseny = 2asenx senz
_gggy_ = 2 . P = 2
senxsenz
56. Un individuo de altura h, observa la parte más alta 
de un árbol de altura H con un ángulo de elevación 
G, luego se acerca en línea recta hacia el árbol una 
distancia igual a la altura del árbol y observa su 
parte más baja con un ángulo de depresión que es 
el complemento de G y además 3H = 13h.
Calcule: tanG
a Nv
\ s
X a c -------U--------¿-J-------U------- -ti.
A a-2xcsca Q xcsca T xcsca
CN|CO
6 2 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p i e n s
mZPAQ = a; m ZAPQ = 90° - a 
IZPQR => m ZQ PR = a 
IZRST =» m ZSTR = a 
£\TSR: TR = xcsca
También: QT = TR = xcsca 
AR — AQ + QR 
QR = QT + TR = 2xcsca(2) en (1): AQ = AR - QR 
AQ = a - 2xcsca 
t\AQP: PQ = (a - 2xcsca)tana 
QR 
PQ 
2xcsca
kPQ R : tana = 
tan2a =
tana =
...(2)
2xcsca
a - 2xcsca 
1 + tan2a a
(a - 2xcsca)tana 
por proporciones:
tan2u 2xcsca 
Llevando a senos y cosenos:
59. En la figura mostrada
x = |-se n 3a
tane = f y t a n 9 = 3 b T 2 Í
Calcular tana 
Resolución:
tana :
tanO =
2 ______
3 4 b - x 
Dato: tanO =
; 2a 
x
2a 
4b - x 
2a ...(2)
3a
3b + 2a
3a
3b + 2a b = 6 a
En (2): x = § =» tana = —
«j 3
tana
60. Desde lo alto de un pabellón del CEPRE-UNI se 
observa dos autos en la línea recta distantes 20 m 
y 50 m del pie del edificio con ángulos de depresión 
a y 0 respectivamente. Determinar la altura del edi­
ficio sabiendo que se cumple: cotO - cota 
cot0 co ta
= 0,6
Resolución:
CABC: tana = L^ABD: tanO =
ZU 50
Del dato: tana - tanO =
b
_h_
20
_h_
50
h = 20 m
61. Desde un avión que vuela sobre la linea que separa 
a dos ciudades A y B, se las observa con ángulos 
de depresión de 30° y 45°. Hallar la altura al cual se 
encuentra el avión, sabiendo que la distancia que 
separa a las dos ciudades es 125 (1 + 73) km.
Resolución:
Sea: H = Altura a la que vuela el avión.
P
Ángulo de 
depresión
Ángulo de 
depresión
Dato: AB = 125(1 + 73) km ...(a)
Asumimos: PQ = H ...(1)
Del gráfico: AQ + QB = AB ...(2)
(1) Y (2) en (a):
Hcot30° + H = 125(1 + 73)
H /3 + H = 125(1 + 7 3 )
H(1 + 73) = 125(1 + 73) .-. H = 125km
62. Del gráfico mostrado calcular el valor de: tana + tanp
Resolución:
Del gráfico nos piden: tana + tanp
T r ig o n o m e t r í a ■ 6 3
En el ZADC: tanp = § = 4
3 1 17Nos piden: tana + tanfi = + — = —-
o 4 ¿U
63. Del gráfico calcular: tan0 + cot'0, si las áreas de las 
regiones sombreadas están en la relación de 1 a 2.
x f A
T v /
z í e x Y r
Resolución:
Del gráfico: ^ ANLD = -1
S&CDB
AAMD = ADNL
De la figura sea: BC = k 
En el 4 dBD: DB = ktanG 
En el A bc: AB = kcotG
S
o 2 S
Luego: 4 ,HM ~ A CBD => — r j = t f
| ( c o t 0 - t a n 0 ) K
=> 1 = 4 Í i j ( c o t f l - tanG)2 => 1 = cot20 + tan20 - 2
Completando cuadrados: 5 = (tan0 + cot0)2 
tan© + cotG = -Í5
64. Indicar cuál o cuáles de las proposiciones son ver­
daderas (V) o falsas (F):
I) El producto de las seis razones trigonométricas 
de un ángulo agudo es igual a la unidad.
II) Si: a e (0°; 90°) => csca > 1
III) Si: tanG = 'rm ; 0: agudo => tan - |= m
m - 1 4
Resolución:
Analizando las proposiciones tenemos:
I) Verdadero: El producto de las seis razones tri­
gonométricas de un ángulo agudo es igual a la 
unidad.
Sea: (a: agudo)
=> Q = senacscacosasecatanacota 
1 1 1 
Por razones recíprocas tenemos: Q = 1
Verdadero: Se cumple para un ángulo agudo: 
0 < sena < 1 
Invirtiendo: csca > 1 
2mFalso: Si tanG =
m - 1
agudo
Ubicando 0 en un triángulo rectángulo y hallan­
do la hipotenusa, tenemos:
tan4 = — 2 2m 2 2 m2+ 1 + m - 1
tan-^ = — 
2 m
65. Una diagonal de un paralelepípedo rectángu­
lo forma con las tres aristas concurrentes a un 
mismo vértice los ángulos a, p y 0. El valor de: 
sen2a + sen2p + sen20 es:
Resolución:
En la figura se tiene un paralelepípedo rectángulo 
ABCD - EDGH
Se conoce d = Va2 + b2 + c2 
ZBCH: sena =
Análogamente:
a + c
ZBFH: sen2p = 
ZBAH: sen20 =
d2
a2 + b2 
a2 + b2 + c2
b2 + c2 
a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2
sen2a + sen2p + sen2(
2 (a2 + b2 + c2)
a2 + b2 + c2
.-. sen2a + sen2p + sen20 = 2
66. Siendo x e y los números de las medidas de los án­
gulos agudos de un triángulo rectángulo verifican 
la Igualdad:
tanx + msecy _ coty + ncscx
cotx
¿A que es igual? m/n
tany
6 4 ■ C o l e c c i ó n U n i c í e n c ia S a p ie n s
Resolución:
Por dato: x + y = 90°
Entonces se cumple que:
tanx = coty; cotx = tany; secy = cscx
Reemplazamos en la igualdad dato:
tanx + mcscx _ tanx + ncscx 
tany ~~ tany
Simplificando y reduciendo resulta: m = n
.-. n u - i
n
67. Si: tan-^tanxtan(x + y) = tan2y ,..(l)
sec2x = cscy ...(II)
HallarO en:
sen2(x - 10°) + cos2(2y + 10°)
tanG = -
sen(x - y)
(III)
1
tanx
Resolución:
De (II): sec2x = cscy
2x + y = 90°
x + (x + y) = 90°
tan(x + y) = cotx => tan(x + y) =
Reemplazamos en (I)
X 1
tan 4 tanx— 1— = tan2y 
2 tanx ’
ta n -| = tan2y => x = 4y ...(IV)
Resolviendo (III) y (IV) obtenemos 
x = 40° A y = 10°
Nos piden 6 en
sen2(x - 10°) + cos2(2y + 10°)
tañe :
sen(x - y)
Reemplazamos los valores de x e y 
sen230° + cos230°tañe =
sen30°
tañe = 2 : 63° 30'
68. Si sen(x + 2y) = cos(2x + y)
[tan3x + tan3y]2 - [tan3x - tan3y]2
hvaiuar. — -------------------
tan(x + y)
Resolución:
Por dato: sen(x + 2y) = cos(2x + y)
(x + 2y) + (2x + y) = 90°
3x + 3y = 90°
tan3x = cot3y ...(I)
Como: 3x + 3y = 90°
=> x + y = 30°
tan(x + y) = tan30° 
tan(x + y) = ^ ..(II)
Sea E la expresión que nos piden evaluar: 
E _ (tan3x + tan3y)2 - (tan3x - tan3y)2 
tan (x + y)
Aplicamos en el numerador:
(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab 
g _ 4tan3x(tan3y) 
tan(x + y)
Reemplazamos (I) y (II) en E
4co t3y(tan3y) _ 4(1)_ =
E =
tan 30° 73/3
69. Siendo (a + p); (a + 6) y (p + 9) los números de las 
longitudes de los lados de un triángulo rectángulo 
verifican la igualdad:
sen(a + 2p + 6) = cos(a + 6)
Evaluar:
(p - a )se n |/p e \
i a )
| + (P + a)cos|
rp e \
l a /
P + psenl(P9)
\ a )I
Además: (a + p) < (a + 0) > (p + 0) 
Resolución:
Por dato:
sen(a + 2p + 6) = cos(a + 0)
(a + 2p + 0) + (a + 0) = ji/2
a + p + 0 = ji/4 ...(I)
Por otro dato:
(a + P) < (a + p) < (P + 0)
Por lo tanto se cumple:
Por Pitágoras:
(P + 0)2 = (a + 6)2 + (a + p)2 
p0 = a (a + p + 0) ...(II)
(I) en (II) pe/a = n/4
Reemplazamos en la expresión que nos piden
(P - a)sen(n/4) + (P + a ) eos (n/4)
P + psen(7t/4)
12Se sabe que: sen 4 = eos 4 = „ 
4 4 2
■Í2
(P -P + a )
P 1(-1) 2/2 
2 + /2
= 2 (7 2 — 1)
T r i g o n o m e t r í a ■ 6 5
® PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADM ISIÓN UNI @
PROBLEMA 1 (UNI 2002 - 1)
En la siguiente figura calcular el valor de a.
A ) £
B ) f 
O f
D ) §
E ) f
Resolución:
A i----
El AADC es isósceles: mZACD = a 
El ADCE es isósceles: m ZDCE = p 
Además: 0 = 2p; p = 2a 
El ¿3CBE es notable: 9 = 60° => p = 30°;
a = 15° a = rad
Clave: A
PROBLEMA 2 (UNI 2011 - I)
Calcule el valor de E = sec80° + 8cos280°
A) 4 B) 6 C ) 8 ’
D) 10 E ) 12
Resolución:
Por R.T. complementarlas 
cos80° = sen10°
E = csc10° + 8sen210°
Pasando a seno:
Fórmula de degradación
1 + 2 4sen310° 
sen 10°
_ 1 + 2(3sen10° - sen30°) 
sen10°
_ 1 + 6sen10° X . E = 6 
sen10°
Clave: B
PROBLEMA 3 (UNI 2012 - 1)
Una escalera se encuentra apoyada en una pared ha­
ciendo un ángulo de 45°. Se resbala, la parte Inferior 
se desliza 8 - 5 / 2 m de su posición inicial y el nuevo
ángulo que forma con la pared de 53°. ¿Cuántos metros 
mide la escalera?
A) 8
D) 15
Resolución:
B) 10 
E) 16
C) 12
4 k /2
Piden longitud de la escalera: 5k /2 
Del gráfico: 8 - 5 / 2 = 4 k /2 - 5k 
/ 2 ( 4 / 2 - 5 ) = k ( 4 / 2 - 5 ) 
Resolviendo:
=> k = /2 .-. Longitud = 10 m
PROBLEMA 4 (UNI 2013 - 1)
En la figura mostrada, el valor de:
E _ atanasenO 
b eos p
Resolución:
j
n
J m / E
3 /
7 _£ ... . E
Clave: B
E) 3
I. fcAFE: tana 
III. t^DGE: sen0 =
_n_
m
m
a
II. IZBFE: cosp = £
Reemplazando en: E = atanasen9
bcosp
E =
b(£)
Clave: C
6 6 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
PROBLEMA 5 (UNI 2014 - 1)
Un águila se encuentra a una altura H y ve a una liebre 
de altura h. Se lanza sobre la presa a lo largo del tra­
mo de la trayectoria escrita por la gráfica de la función 
-|
f (x ) = x > 1, llegando a su presa. Determina la
tangente del ángulo de depresión con el cual el águila 
vio al Inicio a su presa.
a ) h
B) hH c ) M
D) H - h 
h
E) H - h 
H + h
R eso luc ión :
Clave: B
T r ig o n o m e t r í a ■ 6 7
P R O B L E M A S P R O P U E S T O S
Se tiene un triángulo ABC en el que se conocen el 
lado AC (opuesto al vértice B, de longitud b), y la 
bisectriz de longitud L relativaal vértice B. Hallar el 
área del triángulo ABC.
f “ s ( B ) ^
f c o s | >
M 
I O
D) 4 jr
f » s ( > I o
4 1
A - C
2
A - C
2.
A)
C)
E)
En la figura mostrada, se tiene dos rectángulos 
ABCD y ABMN que forman un ángulo diedro cuyo 
ángulo plano mide a. P es un punto del plano ABCD, 
tal que la recta AP forma un ángulo 0 con AD y un 
ángulo (3 con el plano del rectángulo ABMN. ¿Cuál 
de las siguientes relaciones es verdadera?
A) tanp =
B)tanp =
tana
Ví + sec2a tan20 
tan 9 
/1 + sec29tan29
C) tanp =
D) tanp =
E) tanp =
1 + C O S 0 
cosa 
1 + sen© 
sena + eos 9 
1 + cosasen0
3. Se tiene una poligonal ABCD tal que los ángulos
ABC y BCD miden 5n 
6 '
3 it■ c o t^ p respectivamente.
Hallar la longitud del radio de la circunferencia tan­
gente a los tres segmentos de la poligonal si cumple 
que:
m a BC = nc o t f | + c o t f
A)
D)
2n
m
nm
B) -0-
' m
E) /ñm
4. En la figura mostrada PA es perpendicular al piano 
del AABC y AB es perpendicular a BC.
Si: BC = a, m ZABP = 0 y mZBCP = a: hallar el 
volumen de la pirámide P -A B C
A) - ^ ta n 2asen2i B) -jj^tan2asen20
C) ^ t a n asen 0 
E) ^-tanasen20
D) tan asen0
5. En la figura, el triángulo NST es Isósceles de base 
6, KH es el radio de la circunferencia circunscrita a 
un triángulo equilátero de lado 6. Hallar el radio R.
A) 2 /3 co tí—
C) 2 /3 tan |
D) 4 /3 tan |
E) 2 /3 co t(—
71- a \
4 1
71- a \
4 )
' 71- a \
3 1
' 71- a \
4 )
71 - a \
6. En el cuadrado ABCD, las áreas de los triángulos 
OAP, PDC y DBO son iguales. Hallar csca. 
n
A)
D)
3 + /5
3 - / 5
B)
E)
5 - / 3
6
C)
3 - / 5
3 + /5
7.
8.
En la figura mostrada se tiene un cuadrado 
ABCD uno de sus vértices en el origen de coor­
denadas cuyo lado tiene la longitud a unidades. 
SI el segm ento DM d iv ide al cuadrado en un 
triángu lo y en un trapec io cuyas áreas están 
en la re lac ión de 1 :4 . Calcu lar la tangente del 
ángulo MDC.
A) 1/4
B) 2/5
C) 1/3
D) 3/4
E) 3/5
Dado un polígono regular convexo de n lados, se 
trazan dos circunferencias, la primera de radio r que 
es tangente a todos los lados del polígono, y la se­
gunda de radio R que pasa por todos los vértices. 
Hallar la razón r/R.
271 
n
1 ,
A) sen-5-
’ n
D) 2 S0n ri
E) eos — 
' n
6 8 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
9. Un cuadrado MNPQ cuyos lados miden 1 2 -1 2 , 
está inscrito en una circunferencia. Calcular la dis­
tancia del punto Q al punto medio del arco MN.
A) 0,5 
D) ¡2
B) 1
E) 1212
C) 1,5
10. La siguiente figura es un cuadrado, donde Q es 
punto medio del lado AB. Determinar csc6 
n
A) 2 B) 5/4
D) 4 E) 2 15
11. En la figura, hallar x.
T
A) asec56sen0 
C) acot0sec70 
E) asec60cos0
C) 3
B) asec60tan0 
D) atan0cos60
12. Si ABCD es un cuadrado, señalar el equivalente de: 
j _ 1 - tana
A) tanp 
D) 2cotp
B) 2tanp 
E) cotp
C) 3tanp
13. En la figura mostrada, S es el área de la región 
sombreada, AN = 1. Hallar: T = /4Scot<|>
En términos de 0 
B
A)csc0 - 2sen0
B) csc0 + 2sen0
C)cos0 + 2sen0
D) sen0 + cosO
E) csc20 + señ9
14. Se tiene un triángulo ABC (recto en A) en donde 
B > C. Si la relación de los catetos es 2 /2 , ademas:
M = /6 s e c ^ - + 2 /6 s e c ^ c o s §
6 6 3
N = 1 + cscC + /6 se c -^ 
Calcular: M2 - N2
A) -1 
D) - 4
B) 0 
E) 8
C) 1
15. En el cuadrado ABCD, calcular: T = 3tana - 9tanp 
BÍ_
/ 1 / M m
C M = M D
A) 3 
D) 6
C) 5
16. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se cum 
pie que:
tan A - f ) t a n ( A + | ) t a n ( C - | ) . . .
Calcular:
...tan
( M
S = tan-^- + c o ty
A) 1 B) 2
D) 4 /3 E) /6
C + B 
2 6
C) 4
17. En el cubo mostrado, calcular: s = ͧTL2— *91!̂
tanp
A) 2 
D) 5
B) 3 
E) 1/2
C) 4
18. Del gráfico, hallar tana, si: TQ = 2 A BC = VT3
A) 4/5
B) 2/3
C) 2/7
D) 3/7
E) 3/4
19. Del gráfico calcular:
T = (sec<t> - 1 )(secp - 1) + cosé + cosp 
Siendo A centro del arco BD.
T r i g o n o m e t r í a H 6 9
A) /2 
D) 3
B) 0 
E ) §
C) 2
20. En el cuadrado ABCD, calcular:
T = 2 /2 cosa + /5 co sp 
Si: AE = AF; CM = CN y CF = 3FD
A) /T i B E c
B) M
C) 4 /6
D) / Í9
E) /17
21. Si en un paralelepípedo, la diagonal de este forma 
con las aristas que concurren en uno de sus extre­
mos, ángulos agudos que miden 60°, 53° y 0.
Calcular el valor de: S = /61sen8 - 4sen30°
A) 5 
D) 7/2
B) 6 
E) 13/2
5
C) 7
22. En un cuadrado ABCD, se traza AE (E en BC) y 
se construye otro cuadrado ECFG (exterlormente 
al cuadrado ABCD). Si:mZCBG = x; mZFAD = y; 
m ZG DF= z, calcular: P = (cotx + cotz) (tany - 1)
A) 1 
D) 4
B) 2 
E) 1/4
C) 3
23. Si en el gráfico, la distancia de O a AB es la quinta 
parte del radio de la circunferencia, calcular: cote
A) 3 
D) 9 E) 11
C) 7
24. Del gráfico, calcular: tan0, si: ABCD: cuadrado. 
B___________ c
A) 15/4 
D) 16/3
B) 8 
E) 18/5
C) 15/8
25. Sea k la relación entre la longitud de la circunferen­
cia de centro O, y la longitud del AB, cuyo centro 
es O, hallar el equivalente de: J CSC® ~ 1
A) i l tan f B) í í c o fe C) J í tan2
D) J - C 0te E) J —tan0 
i t i i t i
26. En un triángulo ABC(C = 90°), se cumple que:
2 + cot
tan A = I - , calcular: T = sec B - cotA
4 + cot-(
A) 1 B) 1
C ) I
4 + esc A
D ) - i E) 2
2 ' 3 3
27. En el triángulo ABC isósceles, calcular: csc0
A ) /6 + 2 /3 B
B) 2 /6 — /3
C) 2 /3 - /6
D) /6 + /3
E) / 6 - / 3
28. De acuerdo al gráfico, señalar el equivalente de: 
sen(a - p).
D) -^-sena E) ^ s e n a 
b
29. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338. 
Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 
2,4; ¿cuánto mide el cateto menor?
A) 13 
D) 56,33
B) 33,8 
E) 55
C) 50
30. Se tiene dos circunferencias tangentes exterior- 
mente con radios R y r. Calcular el cuadrado de la 
cotangente del ángulo formado por la recta tangen­
te a ambas circunferencias y la recta que une los 
centros.
A)
D)
4Rr
( R - r ) 2 
2Rr 
(R + r f
B)
E)
4Rr
(R + r f
Rr
( R - r ) 2
C)
2Rr
( R - r ) 2
7 0 C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
31. Del gráfico, obtener: tan8 
A
3 7 C
A) 4/7 
D) 2/3
B) 3/4 
E) 4/5
C) 5/4
32. Si: f(x ) = csc-^-—i- t a n —t- 2 eos —— 7 
' 3x 2x x + 1
calcular: f(2)
A) 2°
D) 23
B )2 1
E) O
C) 22
33. Se tiene un triángulo rectángulo con catetos a y b.
Hallar su área en términos de m si:
a = t2 + tsecT + 2 se n J 
3 6
b = t2 - tc sc£ + 2 C 0 S -5 - 
6 3
A) m2 - 1 B)
m2- 1
2
E) m2 + 1
C)
m2+ 1
34. En la figura calcular el valor de x, si se cumple la 
siguiente condición: 
tan(30° - 0) - cot(30° + 30) = O
A) 1072
D) 5 E) 1073
C) 573
35. Sabiendo que:
tan(40° + x)sen(50° - x) = cos(10° + x) 
tan(2x - 5°) tany = tan1tan2tan3 ...tan89 
Calcular:
S = sec2(2x+ 5°) + tan2(y + 5°) + csc2(y - x - 5°)
A) 4 
D) 9
B) 6 
E )8
C) 7
36. En el paralelogramo ABCD, calcular el valor de: 
T = 79cot9 - 13tan0
A) 1,8 
D) 4
B) 2 
E )5
C) 3
37. Si en el triangulo ABC, equilátero M; N y P son pun­
tos medios AB, BC yAC , respectivamente. 
Además: NQ = 2QP, calcular:
7 tana + 5tan9S = tanp
A) 3 
D) 8 E) 14
C) 6
38. Del gráfico, calcular: cot0, si: ABCD: cuadrado.
B 9' C
A) 6 
D) 18
B) 12 
E) 14
C) 9
39. Siendo:
sen(2x + y)sen(x - y + 10°) =
cos(x + 2y)cos(80° - x + y) 
calcular: S = cot(x + y)cot(5x - 2y)cot(5y - 2x)
A) 1 B) 2 C) 3
73D) 73 E)
40. Del gráfico, O y O, son centros de las semicircun­
ferencias mostradas. Calcular: V = cotG - 3tan0
A) 72
72 
2
C) 372
D) E)
72
41 . Si un plano que hace un ángulo ó con la horizontal 
corta a un cilindro circular recto. Calcular la relación 
del diámetro mayor al diámetro menor de la elipse 
que se forma al ser cortado el cilindro por el plano.
A) tañó B) cotó C) secó
D)cscó E)secó - 1
T r ig o n o m e t r í a ■ 71
42.
43.
Se tienen dos torres de diferentes alturas ubicadas 
una al oeste de la otra. Desde un punto del suelo 
ubicado al SE de una y al OyS de la otra, se ven 
sus partes altas con ángulos de elevación a y (3 
respectivamente. De esa ubicación,nos desplaza­
mos al este hasta ubicarnos al ExS de la primera y 
al SO de la segunda, de donde se ven sus partes 
más altas con ángulos de elevación 0 y <t> respecti­
vamente. Hallar el equivalente de:
_ sen(45° + x)
T =
A) tanatanO
sen(45° + y) 
tana tanp
tanptan(|> 
n . tanptan<[i 
tan<j>tan0
B)
E)
tan9tan<()
tanatan<(>
tan<|>tan0
C)
tan6tan<|>
tanatanp
Un barco se encuentra al sur de un helicóptero, 
el barco permanece inmóvil, pero el helicóptero 
avanza cierta distancia hacia el este. Desde el 
barco se observa al helicóptero en la segunda 
posición con un ángulo de elevación 0. Si el ángu­
lo de elevación en la primera posición es de 45° y 
ei helicóptero avanzó 2 km, calcular 0, si además 
el helicóptero se encuentra a una altura de 72 km.
A) arctan-^ 
D) 30°
B) arctan 
E) 45°
C) arctan -
44. En el cubo mostrado desde A, se observa P y Q 
con ángulos de elevación a y p; tales que: 
cotacotp = 2 /5 , calcular: coti|>
(AA'D'D es horizontal)
B'P = D'Q
A) 2 
D) 5
C) 4
45. Un avión viaja de oeste a este con una cierta de­
clinación (j) respecto a la horizontal. En un cier­
to momento desde A (en el suelo) se observa al 
avión al norte con un ángulo de elevación a, luego 
al NE con un ángulo de elevación p y finalmente E 
37°■ ^ -N con un ángulo de elevación 0.
Simplificar: V = ^(tana - 72 tanp)(tana - TlOtanO) 
A) tanij) B) 3tan<j> C) 3cot<|>
D) 73tanij> E) 73cot<|>
46. Un avión que viaja de oeste a este, con una de­
clinación a respecto a la horizontal; es visto por 
un observador primero al norte con un ángulo de
elevación 0, y después al NE, con un ángulo de 
elevación p; momento en el cual ei avión reduce la 
declinación a co, siendo observado al E30°N con un 
ángulo de elevación <(>•
(tan© - tana )(tanp - /2 tancp)
Calcular: S =
A) 73 
D) 273
47.
tanptanro
B) 73 -1 
E) 73 + 3
C) 73 + 1
Se tiene un poste PQ (P en el suelo) y tres puntos 
en la superficie horizontal A, B y C, perfectamente 
alineados; desde los cuales se ve Q con ángulos 
de elevación a, p y 0 respectivamente. Si BP es 
bisectriz del ángulo APC que mide 60°, calcular: 
tana + tan0T = ■
A) 2
D) 3
tanp
B) 273 
E ) f
C) 73
48. En el cubo mostrado, de A salen dos hormigas, 
una al E37°N y la otra siguiendo la ruta ABB’, a la 
misma velocidad. Al mismo tiempo sale una tercera 
hormiga de D' siguiendo la ruta D'C'B', cuando el 
primero llega a DD', divisa las posiciones finales de 
las otras dos, con ángulos de elevación a y 0. 
cota 
cot0
B’
Calcular:
B
■A1
O N ..-' /
D'
A E
A) 7TÓ B)
TTo 
2
E)27T o
C) TTo
49. La torre de Pisa tenía originalmente 179 pies; pero 
ahora debido al hundimiento de su base está in­
clinada un ángulo 0 respecto de la horizontal. 
Cuando la parte superior de la torre se observa a 
150 pies desde su base el ángulo de elevación es 
aproximadamente 53°. Determinar el sen0.
Nota: 1- ?P- ± V270 5-6± = 223
A) 0,699941 
D) 0,996641
B) 0,796641 
E) 0,896641
C) 0,956641
50. Un maratonista sale de un punto P ubicado al este 
de un estrado, y se desplaza hacia al norte. Des­
de el estrado lo ven al E<j>N y luego al E(cj> + 0)N; 
notándose que las distancias recorridas para la pri-
7 2 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
mera y segunda observación, son iguales. Calcular 
el mínimo valor de coto.
(2A) 72 
D) 3 /2
B) 2 /2 
E) 4 /2
C)
51. Dado el gráfico mostrado, calcule tana - tan2a en 
función de r y R que son radios de la circunferencia 
con centros 0 2 y O, respectivamente.
A) 2Rr
D) — 
' 2R
B) R2 - r2
E) ñ !
2r
C) 2R
52. En la figura se muestra una semicircunferencia de 
radio R, calcule el área de la región sombreada en 
función de a y R.
M
A) R2(cota -1 )sen2a
B) R2(1 - cota)cos2a
C) 0,5R2(1 - tana)cos2a
D) R2(1 - cos2a)tana
E) R2(1 + tana)sen2a
53. Un triángulo rectángulo ABC, recto en B, tiene 
como menor de sus ángulos a. SI se construye 
el rectángulo ADEC de modo que B pertenece al 
lado DE, calcule el área de la región triangular 
BEC en función de a y la hipotenusa a del triángu­
lo ABC.
A) a2cos3asena 
C) -yCOS3asena 
E) 2a2senacosa
B) a /c s c 2acota 
D) - f cos3asena
54. Se tiene un triángulo ABC de hipotenusa b. Sobre 
los catetos AB y BC se construye exteriormente 
un triángulo equilátero ABP y un cuadrado BCDE 
respectivamente. Si a es la medida del ángulo 
BAC, entonces la distancia entre los puntos P y E 
será.
A) b /1 + senacosa
O b |L + senacosa
E) b /1 - senacosa
B) b /csc2a - cota 
D) b /s e n 2a - 2
55.
A) senpcsc B) tanpcota C) cscasecp
D)cscpsena E)cospcosa
56. Del gráfico mostrado calcule el área de la región 
sombreada.
A) 15/4 
D) 4/15
B) 3/4 
E) 2/15
C) 12/5
57. Dado un triángulo ABC en donde B = 53°; una 
perpendicular, bajada al lado AC, corta a su vez al 
lado AB en el punto D y divide al triángulo en dos 
regiones cuyas áreas son ¡guales.
Si AB = 5; BC = 4; calcule el lado AD en términos 
del ángulo A.
Observe: sen29 = 2sen0cos8
A) 2 /sen2A 
D) 4 /esc 2A
B)sen2A 
E) 4 /sec2A
C) 3 /cos2A
58. De la figura, calcule el área del rectángulo ABCD 
en términos de a y el área de la región sombreada 
(cuadrado) cuya área es S. Además M es punto 
medio de EC.
a \
X\ U /
1
A) 2S(2tana + 3) 
C) 2S(2cosa + 3) 
E) S(2cota + 5)
B) S(2cota + 1) 
D) 2S(2tana + 1)
Dado la figura, determine BD en términos de a y p, 
si AB = 1
T r ig o n o m e t r í a ■ 7 3
59. Del gráfico, halle T = 
AP = PN y BM = NC.
B
2sen0cos0(cot6 - sen0) si
A) 1 E) 5
60. Un alumno de altura h observa un punto P, sobre 
una colina en línea horizontal y se sabe que la dis­
tancia que hay desde el pie del alumno hacia el 
punto P es 2h. Luego, el alumno se ubica en el 
punto P y observa su ubicación Inicial con un ángu­
lo de depresión P; calcule cscp.
A)
D)
2
JL
2
B)
E)
K
3
K
5
C) H .
2
61. Alvaro observa la parte alta de un edificio con el 
ángulo de elevación a, cuando este está a 20 m. Si 
se aleja otros 20 m, ahora lo ve con un ángulo de 
elevación p. Si tana + tanp = 0,75 y Alvaro mide 
1,80 m de estatura, calcule la altura del edificio.
A) 10,8 m 
D) 11,Om
B) 9,8 m 
E) 10 m
C ) 11,8 m
62. Un personaje agobiado por su situación econó­
mica decide suicidarse tirándose de lo alto de su 
casa; pero el suicida se percata, con un ángulo de 
depresión de 37°, que un policía lo está observan­
do. Si el policía observa lo alto de la casa con un 
ángulo de elevación 30° y el policía se encuentra 
a 10 m, calcule la estatura del suicida. Considere 
( /3 = 1,74).
A) 2,10 m 
D) 1,75 m
B) 1,90 m 
E) 1,65 m
C) 1,80 m
63. Salvador observa lo alto de dos postes uno detrás 
de otro con un ángulo de elevación 0; sí conside­
ramos la línea visual como una recta, esta pasaría 
por los puntos más alto de dichos postes. Si los 
postes miden 12 m y 18 m, calcule la distancia que
o
los separa, sabiendo que tan9 =
A) 6 m 
D) 9,5 m
B) 7 m 
E) 9 m
C) 8,5 m
64. Si tanx = y - ; x s senx “ cosx + ¿
A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 4
65. En un triángulo rectángulo de lados respectivos a; 
b y c, recto en B donde se cumple a + b = 3c. Cal­
cule senA.
A) 3/5 
D) 4/7
B) 4/5
E) 8/11
C) 7/9
66. A partir del gráfico mostrado, calcule el valor de 
COttj).
D) ¡3 E) 2
67. SI en un triángulo ABC (recto en C) de lados 
BC = a; AC = b; AB = c. Halle el equivalente de la 
expresión (b + c) tan y - bcotB.
A) 1 
D) 2
B) 0 
E) - 2
C) -1
68. Si A es un ángulo agudo y cscA + cotA = n, enton­
ces halle tan A/2.
A) n + 1
n - 1 
D) n2
B)
n + 1
C)
E) £ -
69. De la figura, halle la distancia del punto P a la pro­
longación del segmento QR. Además se cumple: 
Ls
D) (2 E) ■Í2
70. Si 0 es un ángulo agudo ^co t20 
(tan37° determine©.
cot45° +
A )á
D )á
B ) f e
E ) f o
c ) é
7 4 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
71. Calcule T = cotí ), si A = sec60 c
A) i
D) V5 - 1
B) •Í5 + 1
2
E) V5 + 2
C) /5 - 1
72. Si seno ^ 6 0 » ) " ' tan45°
csc30“ + cot230° 
R = csc0cos6O°
calcule
A) -Í3 
D) 1/2
B) (2 
E) 5/8
C) 2
73. De la figuramostrada, halle tanQ; si 2AB = BC. 
Además ABCD es un trapecio.
D)
13
E)
13
74. SI sen2a + cot45° = cos7a + 2cos60°, además 
7a es agudo; entonces el valor de R = tan3a 
cos(a + 20°) + cos6a será
A) 2 B) 4 C) 1
D) 1/2 E) 3
fñ Tñ
75. Sabiendo que sena = ^ y tanp = ~ siendo a
y p agudos. Calcule eos
A)
a + p
13
2
3
5
B l - f
E l l
o i
1. B 12. B 23. C
2. A 13. A 24. D
3. B 14. E 25. D
4. A 15. D 26. B
5. B 16. C 27. A
6. D 17. A 28. C
7. B 18. B 29. D
8. E 19. C 30. A
9. B 20. B 31. E
10. B 21. D 32. C
11. B 22. B 33. D
76. Si sobre la hipotenusa AC de un triángulo ABC (recto 
en B) se toma un punto D tal que mZBCA = 37°; 
halle la tangente del ángulo ADB. Además 
2ÁD = 3DC.
A) 11/12
D) 9/7
C L A V
B) 2
E) 23/17
C) 7/8
77. SI la mZABC de un triángulo ABC es 143°, además 
AB = 2; BC = 3; determine el valor de la tangente 
del _ACB.
A) 6/29 
D) 9/11
B) 6/23 
E) 15/17
C) 7/15
78. Siendo a y p ángulos complementarios, tal que 
secp = n + 1 y sena = .
Determine el valor de n.
A) 2 B) - 2 C) A o B D) + 3 E) ± 4
79. Si sobre la hipotenusa BD de un triángulo rec­
tángulo ABD se levanta un triángulo rectán­
gulo BDC (B = 90°); halle la medida del seg­
mento DC, sabiendo que AD = 10 cm. Además 
m ZCDA _ 53^
2 2m Z B D C :
A) 40 V3 cm 
D) 4^V3 cm
B) 2 5 ^ - cm 
E) ^ cm
C) 2 0 /3 cm
80. Sabiendo que a y son ángulos complementarios, 
además tana + tan9 = 2. Calcule:
S =
A) Í2 B) 1
sen 0sec a 
C) 2 D) 1/2 E) 4
81. Siendo a un ángulo agudo donde se cumple 
sen(30° - 2a)csc(15° + a ) - sen20 halle el va­
cos 70° ’
lor de T = -Í2 sen(40° + a ) + /3 se n(a + 55°)
A) 2 B) 3 C )4 D) 3/2 E) 5/2
34. B
35. D
36. B
37. D
38. B
39. D
40. A
41. C
42. C
43. D
44. B
45. D
46. B
47. C
48. A
49. D
50. B
51. C
52. C
53. C
54. A
55. D
56. A
57. D
58. D
59. A
60. C
61. C
62. D
63. E
64. A
65. B
66. B
67. B
68. C
69. C
70. D
71. E
72. C
73. D
74. C
75. B
76. B
77. B
78. A
79. E
80. C
81. E
Razones 
trigonométricas 
de ángulos en 
posición normal
Abú al-Wafá Buzjani o Abu ’I Wafa 
(940-998) fue un m atem ático y as­
trónom o persa. Nació el 10 de ju­
nio de 940 en Buzhgan (Nishapur, 
Irán) y murió el 1 de julio de 998 
en Bagdad (Irak). Su contribución 
a las matemáticas está enfocada 
principalmente en el cam po de 
la trigonometría, pues introdujo 
la función tangente, m ejoró los 
métodos de calcular las tablas de 
la trigonometría (sus tablas trigo­
nométricas son exactas a ocho 
lugares decimales), ideó un m é­
todo nuevo de calcular las tablas 
del seno, las fórmulas del seno de 
la suma de dos ángulos y la del 
seno y coseno del ángulo doble; 
además, desarrolló maneras de 
solucionar algunos problemas de 
triángulos esféricos.
Escribió multitud de obras entre 
las que cabe m encionar una sobre m edición de cuerdas y arcos. En dicha obra usa las tangentes 
para realizar cálculos trigonométricos. Abu ’l Wafa dio las fórmulas de las tangentes y de las c o ­
tangentes, así com o las de las secantes y cosecantes, cuando nadie había hablado aún de ellas. 
En el cam po de la Astronom ía estudió los m ovim ientos de la Luna y un cráter situado cerca del 
ecuador lunar lleva su nombre.
Fuente: W ikipedia
7 6 ü C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p i e n s
<4 RECTAS D IR IG ID A S
Una recta dirigida (llamada también eje) es aquella en 
la cual se asigna una dirección positiva y una dirección 
negativa. En la figura se considera que la dirección po­
sitiva de la recta L es a la derecha del punto O (O Ori­
gen) y que la dirección negativa es a la izquierda de O.
A O B L
La distancia dirigida del punto A al punto B indica tanto 
la longitud del segmento de recta como la dirección de 
A a B.
P ia a s m
Para dos puntos cualesquiera A y B situados sobre una 
recta dirigida se cumple que:
1 AB - - BA |
<4 SISTEMA COORDENADO SOBRE UNA RECTA
Los números reales pueden representarse como pun­
tos sobre una recta, una recta con un número aso­
ciado a cada punto se llama recta numérica o rec­
ta coordenada y al número asociado con un punto 
sobre la recta se le llama coordenada del punto. Por 
ejemplo:
<— l— i— i— i— i— i— i— i— *
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4
<4 SISTEMA COORDENADO SOBRE CN PLANO
Sistema de coordenadas rectangulares. Este siste­
ma consta de dos rectas dirigidas (rectas numéricas) 
perpendiculares entre sí, (llamadas ejes coordenados), 
al plano que determinan estas rectas se le llama: plano 
cartesiano o plano coordenado.
En la figura adjunta podemos observar al plano carte­
siano cuyas características son las siguientes:
Y'
II
r3 
•2 ' 
■1
x' - 3 - 2 -1 O 1 2 3
■-1
III ■-2 IV
00I
y'
O: Origen de coordenadas.
El eje xbc se llama eje de abscisas (o simplemente eje X) 
El eje / y se llama eje de ordenadas (o simplemente eje Y)
Observamos que el plano está dividido en 4 regiones 
denominados cuadrantes y numerados como se indica 
en la figura.
Ox: Se le denomina semieje positivo de abscisas.
O x ': Se le denomina semieje negativo de abscisas.
Oy : Se le denomina semieje positivo de ordenadas. 
O y ': Se le denomina semieje negativo de ordenadas.
La ubicación de un punto en el plano cartesiano se re­
presenta mediante un par ordenado (x; y) a este par
se le llama coordenadas del punto; x es la distancia di­
rigida del punto al eje de ordenadas; y es la distancia 
dirigida del punto al eje de abscisas.
A x se le denomina abscisa del punto P.
A y se le denomina ordenada del punto P.
P(x; y) se lee: “El punto P de coordenadas x; y”.
P ! IC se lee: “El punto P pertenece al primer cuadrante". 
Propiedades:
1. SI P(x; y) e IC => x > 0 ; y > 0 
Si P(x; y) e INC => x < 0 ; y < 0 
Si P(x; y) e IIC => x < 0 ; y > 0 
Si P(x; y) <e IVC =* x > 0 ; y < 0
2. A la distancia de un punto del plano cartesiano al 
origen se le llama radio vector (r) y se le considera 
siempre de signo positivo.
En la figura el radio vector del punto Q viene a ser 
la longitud del segmento OQ.
Sea: OQ = r entonces de acuerdo al teorema de
Pitágoras se cumple: r2 = x2 + y2 pero como r es
positivo (definición) entonces:
Ejemplo:
Hallar el radio vector en cada caso:
• P(3; 4) r = h 2 + 42 = ¡25 => r = 5
• Q (— 1; 3) r = ^ ( - 1)2 + 32 = VTO => r = VÍO
• T (- /3 ; - Vl5) r = j( - - /3 ) 2 + ( - / l 5 ) 2 = M
=> r = 3 /2
T r ig o n o m e t r í a ■ 7 7
<4 ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Se denomina de esta manera a aquellos ángulos trigo­
nométricos cuyo lado inicial pertenece al semieje posi­
tivo de abscisas y su vértice coincide con el origen del 
sistema de coordenadas rectangulares (su lado final se 
encuentra en cualquier parte del plano). En la figura ad­
junta a, 8 y <|> son ángulos que están en posición normal 
(también se dice que están en posición canónica).
yt
<4 ÁNGULOS CUADRANTALES
Son aquellos ángulos en posición normal cuyo lado fi­
nal pertenece a alguno de los semiejes del sistema de 
coordenadas rectangulares.
En las figuras siguientes se muestran algunos ángulos 
cuadrantales (y su medida en el sistema sexagesimal).
90°
-180°
M - " ' -5 4 0 ^1 ^
El conjunto de ángulos cuadrantales se puede repre­
sentar de la siguiente manera:
En el sistema sexagesimal:
Por extensión: {... -1 8 0 °; -9 0 ° ; 0°; 90°; 180°; 270°; ...} 
Por comprensión: {x /x = k(90°); k g 2}
En el sistema radial:
Por extensión: {...; -n rad; --5. rad; 0 rad; — rad; n rad ,...} 
Por comprensión {x /x = k ^ r a d ) ; k e 2}
Se deduce que para determinar si un ángulo es 
cuadrantal se debe dividir a dicho ángulo entre 90° o 
^ rad (depende del sistema que se esté trabajando) y 
solo si el resultado es un número entero entonces será 
ángulo cuadrantal.
Ejemplo:
Si un ángulo mide 1080° ¿Es ángulo cuadrantal? La 
respuesta es sí porque 1080790° es igual a 12 (número 
entero).
Y si un ángulo mide 2060° ¿Es ángulo cuadrantal? La 
respuesta es no porque 2060790° no da como resulta­
do un número entero.
Es muy frecuente representar a los ángulos cuadranta­
les (de mayor uso) de la siguiente manera;
Sistema sexagesimal 
90°
180°<
Sistemaradial
n
t2
* 0° 
360°
270°
^0
2k
De estos gráficos podemos deducir que si 0 es un ángu­
lo positivo y menor de una vuelta:
Si 0 e IC => 0° < 0 < 90° v 0 < 9 < £
Si 0 e l ie => 90° < 0 < 180° v < 0 < 71
Si 0 e IIIC => 180° < 0 < 270° v n < 0 < ^
Si 0 e IVC => 270° < 0 < 360° v ^ < 0 < 2ti
Estas últimas relaciones son útiles para determinar a 
qué cuadrante pertenece un ángulo cualquiera.
1. Para determinar el cuadrante al que pertenece un 
ángulo se presentan tres casos.
Caso I: Si el ángulo es positivo y menor de una 
vuelta.
En este caso es muy fácil determinar a qué cua­
drante pertenece'un ángulo, por ejemplo:
a) a = 85° => a e IC c) <j> = 352° =j 9 e IV C
b) 0 = 122° » S e lIC d )'p = 235° => p e IIIC
Caso II: Si el ángulo es positivo y mayor de una 
vuelta.
En este caso se divide al ángulo entre 360°, luego 
se analiza el residuo de la división como en el caso 
anterior, por ejemplo:
• 800° : 800° I 360° => residuo = 80°
80° e IC => 800° e IC80° 2
■ 1997° : 1997° |360° 
197° 5
residuo = 197° e IIIC 
1997° e IIIC
Nota: El ángulo residuo determina el cuadrante del 
ángulo dado.
Caso III: Si el ángulo es negativo.
En este caso una forma de trabajar es sumando 
360° al ángulo o al residuo depende del caso, por 
ejemplo:
• -20°: -2 0 ° + 360° = 340° G IVC =» -2 0 ’ G IVC
• -230°: -230° + 360° = 130° GlIC ** -230°G IIC
• -2400°: -2 4 0 0 °! 360° Observar que en este
-240° - 6 caso el cociente y el 
residuo son negativos.
m C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
-240° + 360° = 120° e liC =» -240° e IIC
*-1850:—1850°| 360° -50°+360° = 310° e IVC 
-50° -5 =» -1850° e IVC
17b
3
6n
3 residuo =
En caso de que los ángulos están en el sistema
5k
3
- 2 _ 5n , 0 _ k
radial se procede de la siguiente manera:
Caso I: Si el ángulo es positivo y menor de una vuelta.
Sea 9 el ángulo, luego si: 
o <; o < o,5n =» e e i c 
0,5 < 0 < 1 Tí 9 fe: IIC 
1rt < 0 < 1,5n => e £ IIIC 
1,5it < 0 < 2% =s 0 e IVC
0 ,5 ir
2n
1 ,5 jc
rad = 0,47t rad e IC 
rad = 0 ,87c rad e IIC
Por ejemplo:
2»
’ 5
. §E
Caso II: Si el ángulo es positivo y mayor de una 
vuelta, 
l i s 
5
iiS - ra d e ic
1171
5
n
5
10ti
5
1
residuo = §■ = 0,2n e IC o
341n rad- 341,1 16b
8 8 8
.8»
8
21
1 4 7 b 1 4 7 t i rad. — 2677
13 13
1777
.........
13
22577 rad' 22577 877
4 4 4
77
4
28
5n 0,62n e IIC
341 n rad e IIC
■ residuo ==
residuo =
17b
13
147h 
* "13“
1,3716 IIIC
rad e IIIC
4
225b
0,25ti 6 IC 
rad fe IC
Caso III: Si él ángulo es negativo.
2ti rad: En este caso se le suma 2n rad y lue­
go se procede como en el caso t.
27t 0 _ 4n-t + 2k - t = 1 ,3)1 € IIIC 2n
- y - rad: - y + 2 7 t = y =0,87iellC =
3 
- 871
rad 6 IIIC
rad é IIC
-225 ti rad: En este caso se divide entre 2n 
rad, el cociente y el residuo son 
negativos luego con el residuo se 
procede como en el caso I.
2 2 5 j i 877
4 4
77 - 2 8
4
_ n
4
-~ + 2l7 4
225ti
4
7 it .
4
rad e IVC
1,75776 IVC
17ji rád
= 0,3rt e IC
1771 rad e IC
<4 REPRESEMACIÓN PARTICULAR DE LOS 
ÁNGULOS CUADRANTALES
El análisis que se va a realizar se efectuará en el siste­
ma radial por ser lo más frecuente.
Sabemos que el conjunto de los ángulos cuadrantales 
en dicho sistema se presenta mediante la expresión:
Kti rad, K e TL.
Pero de acuerdo a la posición que tienen se les puede 
representar en forma particular.
a) Los ángulos cuadrantales cuyo lado final pertenece 
al semieje positivo de abscisas, son (como se indi­
ca en el gráfico) {...-6 rt; -4 n ; -2 rt: 0,2tc; 4rt; ...}
Observa que todos son: 
(número pares) n 
Su representación es:
T x
2k ti, k e TL
b) Los ángulos cuadrantales cuyo lado final pertene­
ce al semieje negativo de abscisas, son (como se 
Indica en el gráfico) { . . . -3 t i; - 7 1 ; 71 ; 3n; 5 n\ ...}
Observa que todos son: (nú­
meros impares) n 
Su representación es:
(2k + 1 ) 71 , k e TL.
c) Los ángulos cuadrantales cuyo lado final pertene­
ce al semieje positivo de ordenadas, son:
7 n . _ 3n. 7t. 5tx 
2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 '
Observa que los númer 
- 7 , - 3 , 1, 5 ... son múl 
'y , de 4 más 1.
¡ J Se representan:
(4 k + 1)77 
2
, k e ;
d) Los ángulos cuadrantales cuyo lado final pertene­
ce al semieje negativo de ordenadas son:
T r ig o n o m e t r í a ■ 7 9
Observa que los números 
- 5 , - 1 , 3, 7 ,... son múltiplos 
de 4 más 3.
Se representan:
(4k + 3 )tc k e z 
2
Ejemplos:
Determinar a cual semieje pertenece el lado final de 
cada uno de los siguientes ángulos cuadrantales:
a) 15n rad 15 es impar Ox'
b) 2 |L ra d 25 es 4+ 1 Oy
c) ^ r a d 39 es 4 + 3 oy'
d) - 28n rad -2 8 es par Ox
e) - f 71 rad - 2 3 es 4 + 1 Oy
I1112S98I
4k + 1, k e E equivale a decir 4 (múltiplo de 4) más 1.
En forma general la ubicación de un ángulo (en el sis­
tema radial) se determina así: (k e 2Z)
( 4 k + 1 ) |
(2k + 1)n . 2kn
ee ic
8 <E IIC 
0 e INC
9 <= IVC
( 4 k + 3 ) |
2 k j i< 9 < ( 4 k + 1)it/2
X 71(4k + 1 ) | < 8 < ( 2 k + 1)it 
(2 k + 1 ) jx < 0 < (4 k + 3 )-| 
(4k + 3 ) | < 8 < (2k + 2)n
Ejemplos:
1. A qué cuadrante pertenecen a y 0 si 
-20n < a <
R esolución:
y a 3 9 k 
2
^ a 2 0 i i i < e <
- 2 0 n
-2 0 n e Ox
es (4 + 1 )T e Oy a e lC
201 xc
201 ir e Ox' 
403n es (4 + 3 ) | e Oy'
403ji
2
eellic
A que cuadrante pertenecen a, p, ó y 9:
1710° < a < 1800°; 1260° < p < 1350°
-1 8 0 ° < i|) < -9 0 ° ; -17 1 0 ° < 9 < - 1620°
R eso luc ión :
En estos casos se divide al ángulo entre 360° y se 
toma de referencia el residuo.
1 -0°
1710° I 360° 
270° M Í
18001
0°
360°
2 7 0 “
=> a t IVC=5 4 x 360° + 270° < a < 5 x 360°
Análogamente:
1260° < p < 1350°
=> 3 x 360° + 180° < p < 3 x 360° + 270°
=» p e l l lC
En el caso de los negativos se le suma 360° a los 
extremos (o al residuo de la división para el otro 
caso). En forma práctica tenemos:
-1 8 0 ° < ó < -9 0 ° '=5 sumar 360° a los extremos 
180° < <j> < 270° ^ ó e l l lC 
En el otro caso:
-1 7 1 0 ° | 360° -1620°
-18 0 °
360°
- 4-2 7 0 ° | - 4 
Es decir:
- 4 x 360° - 270° < 9 < - 4 x 360° 
Sumamos 360° a los residuos:
90°< 9 < 180° => 0 e IIC
180°
El lado final de los ángulos cuadrantales pertenece a 
los ejes coordenados y no a los cuadrantes, por esta 
razón también se les llama frontera cuadrantal o ángu­
los frontera.
Es incorrecto decir por ejemplo que 90° e IC o que 
90° <e IIC.
<4 RT DE ANGULOS EN POSICION NORMAL
Sea a un ángulo que está en posición normal, si P(x; y) 
es un punto que pertenece a su lado final entonces las 
razones trigonométricas de a se definen de las siguien­
te manera:
8 0 C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p i e n s .
R(x; y)
0 X
sena= ordenada de P V cota = abcisa deP X
radio vector r ordenada de P y
cosa = abscisa deP X seca = radio vector r
radio de vector r abscisa de P X
tana = ordenada de P y csca = radio vector r
abscisa deP X ordenada de P y
Ejemplo:
Sea 0 un ángulo en posición normal tal que un punto de 
su lado final es ( -5 ; -1 2 ). Hallar las razones trigono­
métricas de 0.
Resolución:
Solo como referencia graficamos; observamos que:
x = - 5 ; y = -1 2
con estos valores hallamos el radio vector:
Luego:
— Í - T ?
— =
r 13
r = V (-5 )2 + ( - 1 2 f = 13
cotO = 12
COS0 secO =
O
tañe = I = l i CSC0 = - 13
12
Podemos observar del ejemplo anterior que las razo­
nes trigonométricas pueden ser positivas o negativas, 
esto se debe a que las razones trigonométricas depen­
den de la abscisa y la ordenada y estos valores pue­
den ser positivos o negativos. (No olvidar que el radio 
vector es positivo).
<4 SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Primer cuadrante
(x; y)
En este caso x > O ; y > O 
Entonces:
sena es (+ ) cota es (+ )
cosa es (+ ) seca es (+ )
tana es (+ ) csca es (+ )
Segundo cuadrante
En este caso x < O ; y > O 
Entonces:
sena es (+ ) cota es ( - )
cosa es ( - ) seca es ( - )
tana es ( - ) csca es (+ )
De la misma manera se puede analizar en el tercer y 
cuarto cuadrante, por facilidad se elabora elsiguiente 
cuadro:
IC IIC IIIC IVC
sena y csca + + - -
cosa y seca + - - +
tana y cota + - + -
Aplicaciones:
1. Determinar a qué cuadrante pertenece a en cada
caso:
a) Si sena < O A cosa > 0 = > a e IVC
b) Si tana > 0 A csca < 0 = > a E IIIC
c) Si cota < 0 A sec a > 0 ^ a e IVC
2. Si sena = % A a e IIC, hallar: M = seca + tana
b
Resolución:
3 V sena = ^ = — 
5 r
x = - Jr2 — y2 = - 752 - 32 => x = - 4
.-. M = seca + tana 
12
J _ + _3_ 
- 4 - 4
- 2
3. Si cosO = A 0 e IIIC, hallar: N = csc6 +cot6
COS0 = ^ = - 1 |
Elegimos: x = - 1 2 A r = 13
=> y = _ 7 r2 - x 2 = - ^132 - ( - 12)2 => y = - 5 
.-. N = 13 12
5 5
jhsf
T r ig o n o m e t r í a ■ 81
Si tan (j) = — , 4> e IVC, calcular: sene}) - cosiji
R eso luc ión :
V 2tan<() = ^ ^ ; como ó e IVC elegimos
y = - 2 a x = 3 
Luego: r = U 2 + y2 = J ( - 2 f + 3
señó - cosó
f m r n m
y _ x
r r
r = VÍ3
- 2 3 - 5 -5 -/13
f l3 f l3 / Í3 13
Observa que no es necesario dibujar, solo hay que 
tener bien claro en qué cuadrante se está trabajando 
para determ inar los signos de x e y.
<4 RT DE ÁNGULOS COTERMINALES
Sabemos que los ángulos coterminales tienen los mis­
mos elementos y que su diferencia es un número ente­
ro de vueltas. Si dichos ángulos están en posición nor­
mal (a y 0 ver figura). Se cumple la siguiente propiedad: 
Las razones trigonométricas de dos o más ángulos co­
terminales son respectivamente iguales.
Es decir, guiándonos del gráfico adjunto podemos afir­
mar que:
sena = senG tana =tan9 seca = secG
cosa = cosG cota — cotG csca = cscG
Por ejemplo: 20° y 380° son ángulos coterminales 
entonces: sen20° = sen380°; cos20° = cos380°; .... de 
igual manera 100° y -2 6 0 ° son ángulos coterminales 
entonces:
sen100° = sen(-260°); cos100° = cos(-260°); ...
Sabemos que todos los ángulos coterminales con o se 
representan así:
a + n(360°), n e l V a + m(2n), m e TL
Entonces se cumple que:
R T(a ) = RT[a + n(360°)] RT(a) = RT[a + m2jt]
Por ejemplo: sen20° = sen[20° + (n)360°j; n e TL 
Es decir:
Si n = 1 =» sen20° = sen380°
Si n = 2 => sen20° = sen740°
Si n = 3 => sen20° = sen1100°
Si n = - 1 => sen20° = sen (-340°)
<4 RT DE ÁNGULOS NEGATIVOS
En este punto vamos a comparar las razones trigono­
métricas de un ángulo a (a > 0) con las razones tri­
gonométricas de - a . Para esto graficamos dichos án­
gulos en un mismo plano; en la figura adjunta se ha 
considerado que a e IC por lo tanto ( - a ) e IVC.
Sabemos que:
a)
V x Vsena = —; cosa = —; tana = —
r r x
De igual manera se deduce: 
b)
Comparando (a) y (b) se deduce:
s e n (-a ) = — \ c o s (-a ) = j \ ta n (-a ) =
s e n (-a ) = -s e n a
cos(—a) = cosa
ta n (-a ) = - ta n a
y1
xX iy
Xa h ^
O X r a x 
r \
¡ x , - y
En forma análoga se deduce:
c o t(-a ) = -c o ta s e c (-a ) = seca
c s c (-a ) = —csca
Ejemplos:
• sen (-2 0 °) = -sen20°
• co s (-1 0 °) = cos10°
• tan (-100°) = -tan100°
• co t(-200°) = -cot2Ó0°
• se c (-2 a ) = sec2a
■ I - # ) '
eos
tan 571 
’ 7
= - t a n | l r -
cos(a - b) = cos(b - a) 
sen(a - b) = -sen (b - a)
<4 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Se denomina de esta manera a aquella circunferencia 
cuyo centro coincide con el origen del sistema de coor­
denadas rectangulares y cuyo radio tiene como longitud 
la unidad. Sus elementos son:
0(0 ; 0): origen
A(1; 0): origen de arcos
B(0; 1): origen de complementos
A'(—1; 0): origen de suplementos
B’(0; -1 ) : sin nombre especial
P: extremo del arco AP
Ecuación de la circunferencia trigonométricas:
| x + y = 1
8 2 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Tener en cuenta que si giramos en sentido antihorario los 
ángulos (arcos) son positivos y negativos en caso contrario. 
Podemos observar que un ángulo a determina un úni­
co punto P en la circunferencia trigonométrica, si dicho 
punto tiene coordenadas (x; y) entonces definimos las 
razones trigonométricas de a, de la siguiente manera:
sena = ordenada de P = y abscisa de P x . „ 
cota - orcjena(ja de p y . Y Y
cosa = abscisa de P = x seca - a[jSC¡sa cje P _ x ’ x ^ ®
ordenada de P y , „ 
tana- abscisa de P -
1 1
csoa ordenada de P y ’ ̂
<♦ LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS
Como la circunferencia trigonométrica tiene de radio 
la unidad, las razones trigonométricas se pueden 
representar mediante segmentos de recta, a dichos 
segmentos (dirigidos) se les denomina líneas trigono­
métricas.
Línea seno
Es el segmento perpendicular trazado desde el extremo 
del arco al diámetro A’A.
tangente
1. Por el origen de arcos trazamos una tangente 
geométrica, (eje de tangentes).
2. Prolongamos el radio que pasa por el extremo del 
arco hasta intersectar al eje de tangentes.
3. El segmento comprendido entre el origen de arcos 
y el punto de intersección es la línea tangente.
tana = AP; tanG = AQ, tanij> = AR
Línea cotangente
1.
2.
3.
Por el origen de complementos trazamos una tan­
gente geométrica (eje de cotangentes). 
Prolongamos el radio que pasa por el extremo del 
arco hasta intersectar al eje de cotangentes.
El segmento comprendido entre el origen de com­
plementos y el punto de intersección es la línea 
cotangente.
cota = BP 
cotG = BQ 
cotcj = BR
Línea secante
1. Trazamos una tangente geométrica por el extremo 
del arco hasta intersectar al eje X.
El segmento comprendido entre el origen de coor­
denadas y el punto de intersección es la línea se­
cante.
seca = OP 
seaj) = OR 
secG = OQ
Línea cosecante
1. Trazamos una tangente geométrica por el extremo 
del arco hasta intersectar al eje Y.
El segmento comprendido entre el origen de coor­
denadas y el punto de intersección es la línea co­
secante.
csca = OP 
cscxj) = OR 
cscG = OQ
<t LÍNEAS AUXILIARES
Línea verso
Es el segmento comprendido entre el pie de la línea 
seno y el origen de arcos.
versa = P'A 
versc|> = Q'A 
versG = S’A
versa = 1 - cosa
Linea coseno
Es el segmento perpendicular trazado desde el extremo 
del arco al diámetro B’B.
sena = P’P cosa = P’P
sen<j) = Q’Q cos<j> = Q’Q
Línea
T r i g o n o m e t r í a ■ 8 3
Línea coverso
Es el segmento comprendido entre el pie de la línea 
coseno y el origen de complementos.
cova = P’B 
cov9 = Q’B 
cov<|> = S ’B
cova = 1 - sena
Línea exsecante
Es el segmento comprendido entre el origen de arcos y 
el extremo de la línea secante.
exseca = AP 
exseaj) = AQ 
exsec0 = AR
exseca = seca - 1
Ejemplo:
De acuerdo a la figura adjunta, determinar a qué razo­
nes trigonométricas de a representan los segmentos:
o /
T
B
a \ A
V A 'I r 0 \ i
B' P
OR • OS
OT • AP
OV • BQ
Resolución:
• OR = cosa
• OS = sena
• OV = seca
OT = csca 
AP =tana 
BQ =cota
<4 RT DE LOS PRINCIPALES ÁNGULOS CUA- 
DRANTALES
\ a c 0° 90° 180° 270° 360°
ft\ 2kit (4k + 1 ) | (2k + 1)n (4k + 3 ) | (2k + 2)n
sen 0 1 0 -1 0
eos -1 0 -1 0 1
tan 0 a 0 3 0
cot 3 0 3 0 3
seo 1 3 -1 3 1
CSC 3 1 3 -1 3
Ejemplos:
1. Sabiendo que: F(x) = sen 2 + cot ̂ 2 + secx 
calcular: F(n) + F(2te)
Resolución:
F(ji) = sen-2 + cot-52- + secn = 1 + ( -1 ) + ( -1 ) = -1 
F(2ji) = sen-y- + cot + sec(2n)
F(2ji) = semi + co t-y- + sec(2n) = 0 + 0 + (1) = 1 
Sumando: F(n) + F(2i i) = ( -1 ) + 1 = 0
2. Calcular:
M = cos900° + sen2790°
Resolución:
360° => cos900° = cosí 80° = -1
360° =* sen2790° = sen270° = -1
900°
180°
2790°
-270°
M = ( -1 ) + ( -1 ) = - 2
<4 CUADRO DE VARIACIÓN DE LAS RAZONES 
TRIGONOMÉTRICAS
I I III IV
sena
— ____ ^
tana
cota " .........^
seca ' \ k
csca
r : Significa que la RT crece 
Significa que la RT decrece
Por convención la variación de las razones trigonomé­
tricas se analiza suponiendo una rotación en sentido 
antihorario.
<4 EXTENSIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉ­
TRICAS
Basados en la variación de las líneas trigonométricas 
podemos afirmar que:
-1 < sena < 1 —oo <cota < +oo
-1 < cosa < 1 -co < seca < — 1 a 1 < seca < +oo
—oc <tana < +oc -oo < csca < - 1 a 1 < csca < +cc
8 4 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
iKm
Es muy frecuente analizar la variación de las razones 
trigonométricas en valor absoluto lo cual lleva a elabo­
rar el siguiente cuadro:
sena cosa tana cota seca CSCa
1 C D C D C D
II D C D C D C
III C D C D C D
IV D C D C D C
C: significa que la RT crece en valor absoluto.
D: significa que la RT decrece en valor absoluto.
Aplicaciones:
1. Para qué cuadrante(s) se cumple que: 
tanx(senx - 1) > 0
Resolución:
- 1 < senx < 1 => - 2 < senx - 1 < 0 
=> tanx (senx - 1) > 0
Para que el producto sea positivo:
=> tanx < 0 => x £ IIC v IVC
2. Si a e IIC; 0 e IIIC A <j> e IVC, determinar el signo 
de:
R =
E =
B
sena - señó 
COS Ó - COS0
seca + csca 
sec0 + seca
senasen0sen<|>
secasecGseaj)
_ tañó + tana 
seca - cot0
_ CSC ó + csca 
COS í|) - COS0
Resolución:
Analizamos solo lo signos:
R = - señó (+) - (~) _ +
COSÓ - COS0
R es positivo
(+ )-
= tañó + tana ( - ) + ( - ) = - = , , 
s e c a - c o t0 ( - ) - ( + )
=» U es positivo
_ senasenOsenóD — ---------------------- ( + ) ( - ) ( - ) _ +
secasecOsecó ( - ) ( - ) ( + ) +
B es positivo
= - = +
E =
N =
sec0 + seca 
E es negativo
CSCÓ - csca
cosó - eos© 
N es negativo
(+) + (+) + 
' ( - ) + ( - ) -
H - ( + ) - 
( + ) - ( - ) +
3. Determinar el signo de: (cosx - esex). En cada 
cuadrante.
Resolución:
• Si x e IC => (cosx - esex)
es negativo (porque: esex > cosx),
• Si x e IIC =» (cosx - esex)
es negativo (porque: cosx < 0 y esex > 1).
• Si X.E IIIC => (cosx - esex)
es positivo (porque: esex es negativo).
• Si x e IVC > (cosx - esex)
es positivo (porque: esex es negativo).
4. Si x e 2nY determinar el signo de:
R = sec( ! M ! )
co t(4 )sen2x
Resolución:
x e 2nj =» ^ < x < 2tc 
Entonces:
f < § < * = * ( f ) E MC 
! < ! < ¥ - ( § ) el IC 
f < ! < f
3h < 2x < 4n => (2 x )e IIIC V IVC 
Analizamos los signos:
H H .R =
(+ ) ( - )
= - . . R es negativo
Si a y ó son ángulos positivos menores de una 
vuelta tal que a e IVC y ó 6 HC, a qué cuadrante 
pertenece:
2 a - 3ó 
5
Resolución:
Como a y ó son positivos y menores de una vuelta, 
entonces:
Dato:
a e lV C
Ó E: IIC =
371
2
< a < 2ti => 371 < 2a < 4ti 
3 71< ó < 71 < 3ó < 3ti
371 > —3ó > —3ti
Luego: 3n < 2a < 4ti A - 3 t i < -3 ó < - 3n
. 0 < 2a - 3ó < ^ 0 <
2 a ~ 30 n
5 2
/ 2 a — 3ó : IC
Qué razones trigonométricas decrecen en valor re­
lativo en el segundo cuadrante y crecen en valor 
absoluto en el tercer cuadrante a medida que el 
ángulo crece.
T r ig o n o m e t r í a ■ 8 5
Resolución:
• En valor relativo decrecen en el IIC: seno, cose­
no y cotangente.
• De esas 3 razones trigonométricas.
• En valor absoluto crecen en el IIIC: solo la ra­
zón seno.
7. Qué se puede afirmar acerca de las razones: co­
seno, cotangente, cosecante en el IVC, cuando el 
ángulo crece.
Resolución:
cosx cotx cscx
El valor relativo: N» N .
En valor absoluto: C C c
En el IV cuadrante
Crece en valor absoluto.
8. Cuál(es) de las siguientes proposiciones son co­
rrectas acerca de la variación de la razón secante 
en el IIC.
I. Aumenta en valor relativo.
II. Crece en valor absoluto.
III. Decrece en valor absoluto.
IV. Decrece en valor relativo.
Resolución:
Analizamos la variación de la linea secante en el 
IIC; crece en valor relativo y decrece en valor ab­
soluto.
Son correctas I y IV.
<4 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE 
LA FORMA: (ün ± a) V [n(180°) ± a ] , n e TL
Casos particulares
Las razones trigonométricas de ángulos de la forma: 
ji ± a v 180° ± a; 2n ± a v 360° ± a se pueden expresar 
en términos de alguna razón trigonométrica de a debido 
a que tienen cierta relación (por esta razón en otros tex­
tos se les llama ángulos relacionados), para su análisis 
se usarán la circunferencia trigonométrica y las líneas 
trigonométricas.
Analizaremos solo algunos casos y luego se dará una 
conclusión.
En la figura adjunta se tienen los ángulos a y 180° - a.
Se observa que: MP = sena y NQ = sen(180° - a) 
Además: MP = NQ
sen(180° - a ) = senaEntonces:
También se observa que:
SP = cosa y SQ = cos(180° 
Además: SQ = -S P
a )
Entonces: cos(180° - a ) = -c o s a
De igual manera se pueden analizar los demás ca­
sos y llegar a una conclusión.
Conclusión:
RT(180° ± a ) = ± RT(a) 
RT(360° + a ) = ± RT(a)
R T (i i± a ) = + RT(a) 
RT (2ji + a ) = + RT(a)
La simplificación o reducción de expresiones de este 
tipo como se puede observar queda afectado de un 
signo que depende de la RT Inicial y del cuadrante al 
que pertenece el ángulo inicial, considerando que a es 
agudo.
Ejemplos:
1. Si queremos reducir o simplificar sen(180° + a )
1.° Suponemos que a es agudo.
2.° Observemos que el ángulo Inicial:
(180° + a ) e IIIC
3.° La RT Inicial (seno) es negativo en dicho cua­
drante.
4.° Conclusión: sen(180° + a ) = -s e n a 
(observa que la RT no cambia)
2. cos(360° - 6)
1.° Suponemos que 0 es agudo.
2.° El ángulo inicial: (360° - 6) e IVC
3.° El coseno en dicho cuadrante es positivo.
4.° Conclusión: cos(360° - 0) = cos0
Entonces para simplificar este tipo de expresiones 
es Importante ubicar el cuadrante y recordar los 
signos de las RT en cada cuadrante.
3.
180
fe
y~<
(180° — 8) e IIC (360° - 0) e IVC 
(180° + 0) e IIIC (360° + 0) e IC
(n — a ) e IIC 
(2n + a ) e IC
(2it - a ) e IVC 
( j i + a ) e IIIC
(no olvidar que a y 0 son agudos).
8 6 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Caso general (Vn g Z¡)
RT[n (180°) ± a] = +RT(a) RT(n7t ± a ) = ± RT(a)
En estos casos el método para reducir estas expre­
siones es similar al anterior, solo que ahora debemos 
saber ubicar: nrr v n180° para luego girar en sentido 
positivo o negativos según indique el problema.
Observa que: MP = sena y FQ = cos(90° + a) 
Además: FQ = -M P
Entonces cos(90° + a ) = -s e n a
También se observa: GP = cosa y NQ = sen(90° + a ) 
Además: NQ = GP
Entonces: sen(90° + a) = cosa
De Igual manera se pueden analizar los demás casos y 
llegar a la siguiente conclusión.
RT(90° ± a) = ±CO - RT(a) l+ II l+ O 0 1
RT(270° ± a ) = +CO - RT(a) RT ( f ± a ) = +CO - RT(a)
Por ejemplo, considerando que a es agudo.
(3 tt + a ) e NIC ya que 3n está en (A’) y como dice ( + a ) 
se gira en sentido horario, lo que nos lleva al tercer cua­
drante. De igual manera se puede afirmar que:
(5ji - a ) g IIC 
(720° - a ) c IVC 
(—6ti + a ) e IC 
(7 ti + a je IIIC 
(1080° + a) e lC
(8n + a ) G IC 
(4rt + a ) e IC 
(5 4 0 ° + a ) G MIC 
( - 3 n - a j e IIC
Es Importante entender que para simplificar estos casos 
se considera al ángulo a agudo, pero que no necesa­
riamente tiene que serlo, de igual manera ocurre si dice 
7t + 2a V 180° + 3a V 360° — ^
Por ejemplo:
• cosí 360o- = cosí COS(180° + 3a) = -C O S3a
<4 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS 
DELAFORMA:|(2n + 1 )- |± a jv [(2 n + 1 )(90°)±a ]; 
n e TL
Casos particulares
De Igual manera que en el caso anterior, primero se 
analizan los casos donde aparecen:
90° ± a ; 270° ± a ; | + a ; + a
Por ejemplo, en la figura adjunta se tienen los ángulos 
a y 90° + a .
/ A " r
/ 5 v
F ~ ~ \
h \ / Y M r i |
\ N o mI
En estos casos se observa que la razón trigonométrica 
inicial cambia por su co -ra zó n trigonométrica y el signo 
depende del cuadrante al que pertenece el ángulo Ini­
cial y de la razón trigonométrica inicial. (No olvidar que 
se considera a a agudo).
Ejemplos:
1. SI queremos reducir: cos(90° + a)
1.“ Suponemos que a es agudo
2 .° Ángulo inicial: (90° + a ) g IIC 
La RT inicial (coseno) en dicho cuadrante es 
negativo.
La RT (coseno) cambia por su C O -R T (seno) 
Conclusión:
3.
cos(90° + a ) = -s e n a
sen(270° + 0)
1.° Suponemos que 8 es agudo
2.° Ángulo inicial: (270° + 0) e IVC
3.° La razón (seno) en dicho cuadrante es negativa.
4.° Se cambia el (seno) por el (coseno)
5.° Conclusión:
sen(270° + 0) = -cos0
90° - a g IC 
90° + a G ÜC 
270° - a g II1C 
270° + a e IVC
(n/2) - a G IC 
(ti/2) + a e IIC 
(3it/2)- a € IIIC 
(3ti/2) + a G IVC
Si n es impar:
=» nnvn(180°)
Se encuentra en la posición (A‘) 
SI n es par:
=* m v n(180°)
Se encuentra en la posición (A)
T r ig o n o m e t r ía 8 7
Ejemplos:
Comprobar cada una de las siguientes igualdades: 
tan(90° + a ) = cotas e n ^ - a ) = cosa 
s e n j^ + a) = -cose 
ta n í4 p - a j = cota
se c (- | + a j = -c s c a
csc(270° + 2a) = -sec2a 
sen(90° - 3a) = cos3a 
cos(270° + a) = sena
Caso general
RT[(2n + 1 )T + a ] = ±CO - RT(a)
RT[(2n + 1 )(90°) + a] = ±CO - RT(a)
Recordar que en la posición B (ver figura) están todos 
los ángulos cuadrantes de la forma:
(4n + 1 ) - | ; (4n + 1) es múltiplo de 4 más 1.
En la posición B' están todos los ángulos cuadrantales 
de la forma: (4n - 1 )- |; (4n - 1) es múltiplo de 4 me­
nos 1.
Ejemplos:
5ti 0Y~ está en B porque 5 = 4 + 1.
11rt está en B’ porque 1 1 = 4 - 1
Esto nos lleva fácilmente a determinar el cuadrante 
en cada uno de los siguientes casos.
Y~ + a: como 7 = 4 - 1 entonces ^ está en B’ 
7 ttluego + a estará en el IVC.
- a: como 1 7 = 4 + 1 entonces está en
B luego como dice ( - a ) giramos en sentido horario 
lo cual nos lleva al IC.
De igual manera usted puede comprobar: 
l 'Y - a j e NIC => (7 es 4 - 1)B’
25 n 
2
/ 317n
l 2
/ - ^ + a j e IIC => ( - 7 es 4 + 1)B
- a j e IIC => (25 es 4 + 1)B 
- a ) g IC => (317 es 4 + 1)B
5ti — a j e MIC =* ( - 5 es 4 - 1)B’
• ( 1 ^ 1 - a ) e IC =» (129es 4 + 1)B
.................
Recuerde que solo es cuestión de saber si el número 
que multiplica a es (4 + 1) v (4 - 1 ) y luego girar en 
el sentido que se indica (+ a ) v ( - a ) . Luego colocar el 
signo correcto y cambiar la razón trigonométrica por su 
co-razón trigonométrica.
Aplicaciones:
1. Simplificar:
tan (n + x)cos|¡t M |sec(2n: - x)
cot|l^Y + x jsen (2 rt - x O0)o
: ! + * )
Resolución:
• tan(n + x) = tanx
R =
sec(2n - x) = secx
[2ji - x) = - se 
( ta n x )(-s e n x )(s e c x )
co s |-y - - x | = -s e n x 
• c o t ( ^ + x) = - ta n x
• sen(2;t - x) = - senx • csc (-| + x j secx
(- ta n x )( -s e n x ) (s e c x ) 
2. Simplificar: R =
.-. R = -1
vers(7i + a ) + cov|
versj(¥~¡| + cov(;t + a)
Resolución:
vers(n + a) = 1 - co s(ti + a) = 1 - (-cosa) = 1 + cosa
cov(^ ̂ “ a ) 1 - sen(•=■ - a ) = 1 - cosa
vers|-y- - a j = 1 - cos^-y- + a j = 1 - sena
cov(n + a ) = 1 - sen(n + a ) = 1 - (- s e n a ) 
cov(;i + a ) = 1 + sena
R = 1 + cosa + 1 - cosa 
1 - sena + (1 + sena)
<4 REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
Las razones trigonométricas de todo ángulo se pueden 
expresar en términos de las razones trigonométricas 
de ángulos agudos. Un método es usar el ángulo de 
referencia.
8 8 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Ángulo de referencia (ar)
Se denomina de esta manera al ángulo agudo que for­
ma el lado final de cualquier ángulo en pósición normal 
con el eje de abscisas.
Ejemplo:
En el cuadro adjunto se muestra como determinar el 
ángulo de referencia considerando que a es positivo y 
menor de una vuelta.
a
ángulo de referencia
sist. sex. sist. radial
I a a
II 180° - a 71 - a
III a - 180° a - ti
IV 360° - a 271 - a
rad e NIC - 
rad e IVC =
ccr :
a r : 
Ctr :
a, :
:180° - 150° 
: 245° - 180° 
: 360° - 300° 
9 n
T
a, = 30° 
a r = 65° 
a r = 60°
rad
Ejemplos:
• 150° e IIC
• 245° e IIIC
• 300° e IVC
9*
7
. 13?
7
Para determinar el ángulo de referencia en el caso de que 
el ángulo sea positivo y mayor de una vuelta, se le divide 
entre el equivalente de una vuela y se analiza el residuo.
Ejemplo:
2000°: Ubicamos a que cuadrante pertenece y luego 
hallamos su ángulo de referencia.
■ a, = 2n — ■■■ =» ar = y rad
2000° 1360°
200° f i
3028° I 360° 
=*148° [8
235n
7
1 1 71 
7
5235ti
13
9ti
13
1477
7
2000° e IIIC 
a r = 20°
3028° e IIC 
a r = 32°
235n
a r = 200° -1 8 0 ° 
a r = 180° - 148°
e IVC => a r = 271 -
16
26n
13
201
a = — 
r 7
5235ti
13
IIC : 971
13
471
13
Para determinar el ángulo de referencia en el caso de 
que el ángulo sea negativo una de las formas es su­
mándole 360° v 27i rad ya sea al ángulo o al residuo de 
la división cuando el ángulo es más de una vuelta (en 
valor absoluto).
Aplicaciones:
Determinar el ángulo de referencia
• -1 0 0 ° => -1 0 0 ° + 360° = 260° e IIC
=> a r = 260° — 180° => a r = 80°
• -3 0 0 ° => -3 0 0 ° + 360° = 60° e IC 
como el ángulo es agudo => a, = 60°
30° =» -3 0 °
=> a, =
220° =» -22C
=> ccr =
^ rad =» -
=> a r =
T f e r a d . -
a, =
2500°
2500° 360°
-3 4 0 ° - 6
6020°
6020° 360°
-2 6 0 ° -1 6
rad11
564ti 22ti
11 11
1471
11
-2 5
2793ti rad
17
2793ti 34rt
17 17
5ti
17 -8 2
360° = 330° 
0° - 330° => a. = 30°
360° = 140°
a. = 40°
4n
7
1071
7
15ti
" Í 3 "
271 : 1071 <= NIC
. 371
271 =
7
ar- 7
1 1 7t _
rad
13
IIC
1 1 71
13 « r :
2n
13
-3 4 0 ° + 360° = 20° 
a r = 20°
-2 6 0 ° + 360° = 100° e IIIC 
a r = 180° - 100° =» a r = 80°
^ + 271 = |2 . e IIC 
11 11
a r ■ 8n
11
rad
“ r = rad 11
5ti 9 29?t
Y7 = ~ \ f
IVC
a r = 2 ti - 
5ti
29tt
17
=° a, = 17
rad
Hasta este momento lo único que se ha enseñado es a 
determinar el ángulo de referencia para cualquier ángu­
lo. Ahora veamos la propiedad que nos permite reducir 
fácilmente al primer cuadrante.
Propiedad del ángulo de referencia
Las razones trigonométricas de todo ángulo son res­
pectivamente iguales a (+ ) v ( - ) las razones trigono­
métricas de su ángulo de referencia.
Ejemplos:
1. 100° su a, = 80°
Entonces:
sen100° = sen80° (positivo porque 100° e IIC) 
c o s í00° = -cos80° (negativo porque 100° e IIC) 
tan100° = -tan 8 0 ° (negativo porque 100° e IIC)
T r ig o n o m e t r í a ■ 8 9
2. cos250° = -cos70°
250° - 180° = a r = 70° (porque 250° e IIIC y cose­
no es negativo).
Conclusión:
Para reducir al primer cuadrante por este método del 
ángulo de referencia se procede de la siguiente manera:
1.° Ubicamos el cuadrante del ángulo.
2.° Hallamos su ángulo de referencia.
3.° Determinar qué signo tiene la RT dada para el cua­
drante hallado en (1°).
4.° Colocamos la misma RT pero ahora aplicada al 
ángulo de referencia y acompañado del signo de­
terminado en (3°).
Ejemplos:
1. Reducir al IC cos220°.
1.° 220° e IIIC
2.° a r = 220° - 180° => a, = 40°
3.° Signo del coseno en el NIC es: negativo
4.° cos220° = -cos40°
2. Reducir al IC t a n | ^ y j
^TTT e IVC 19
0 30n
19~
a =
r 19
1 - ta n en IVC es negativo. 
1 tañí = - tanf-f^-')
V 19 ) 1 1 9 /
Reducir al IC esc
®í. e ii r 
13
' a = b
1.°
2.°
3.°
4 .°
8 b
13
Signo: esc en el IIC es positivo.
§ ) — ( DCSC
Es importante recordar ahora la propiedad de los ángu­
los complementarios estudiado en el capítulo 2 (revisar 
s¡ es necesario). Esta propiedad nos permite afirmar 
que cuando se reduce al IC se pueden hallar dos res­
puestas equivalentes.
Acabamos de ver que:
cos220° = -cos40° pero por la propiedad de los ángu­
los complementarios cos40° = sen50° entonces tam­
bién es correcto: cos220° = -sen50°
Aplicaciones:
A continuación se dan una serie de ejemplos de reduc­
ción al primer cuadrante y se indican las dos respuestas 
en cada caso.
360°
1. sen3450°
3450°
2 10° r i
• sen3450° = sen210°; 210° g IIIC
• a r = 210° - 180° = 30°
=> sen3450° = -sen30°
• También: sen3450° = -cos60°
2. cos6145°
6145°
25°
360°
17
csc6145° = csc25°
También: csc6145° = sec65°
3. sec(-7437°)
-7437°
-237°
360°
tan
-2 0
-2 3 7 ° + 360° = 123° e IIC 
=* a r = 180° - 123° = 57°
=> sec(-7437°) = -sec57° 
También: sec(-7437°) = -csc33° 
3 3 5 b \
15 b
8
: IVC
5. cot -
También: tan 
2 2 3 b
13
■ + 2 b =15b 
' 13
1 1 b
' “ r = 71 “ T T
2 2 3 b
3 3 5 b 1 6 b
8 8
15b 20
8
1 5 b n
8 8 ^
3 3 5 b \ — _c
8 )
2 2 3 b 2 6 b
13 13
1 5 b - 8
13
T T e IIC
cot
/ 3 3 5 b
l 8
3 b
= - tan-
cot
13
2 b 
13
— “ " t í
i 2^ n) = - t a n ( | j )
l 13 ) 126 )
<4 RT DE ÁNGULOS NOTABLES
Una aplicación muy frecuente de la reducción al primer 
cuadrantees el cálculo de los valores de las razones tri­
gonométricas de ángulos relacionados con 3 0 ° ) ^ rad); 
45 °(T rad); 6 0 °(§ ra d )
Ejemplos:
sen135°
cos210°
tan300°
cot 5 b
^ a r = 180° - 135° = 45°
=* sen 135° = sen45° = -Í2I2 
=> a r = 210° - 180° = 30°
=> cos210° = - cos30° = -■Í3I2 
=> a r = 360° - 300° = 60°
=■ tan300° = -tan 6 0 ° = - V3 
5 b b
- “ ° = E “ T = 6
, 5b 
6
9 0 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
s e c ^ ^ c x r = 2 n - ^ = £
4 r 4 4
=> s e c = sec-J = 72 
4 4
. c c f - c c f - ^ S
sist.
sexag. 120° 135" 150" 210° 225° 240° 300° 315° 330°
sist. 271 371 5n 7n 571 4rc 5n 7ti 11n
radial 3 4 6 tí 4 3 3 4 6
sen 73 72 1 1 72 73 73 72 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
eos 1 72 73 73 72 1 1 72 73
2 2 2 2 2 2 2 2 2
tan -7 3 -1 73
3
73
3
1 73 -7 3 -1 73
“ 3
cot 73 
- 3
-1 -7 3 73 1 73
3
73
3
-1 - 7 3
Es frecuente también cuando se quiere reducir al pri­
mer cuadrante proceder de la siguiente manera: (Re­
cordar: RT(k7i + a) = RT(a)
Ejemplos:
s e n (8 9 | l )
Se divide:
897
1
14
64
^ = 64* + t i 14 14
se n f- Y j—) = sen(64n 1 K14
= sen
14
2. esc
578
4
m
7
82
578n . 4n7 = 82ti + —
471 \
csc( 5778M = csc|82n + 4^-j = . 4rt
a r = n ■ 4 ti
7
3?:
7
Luego: cscí j = csc-^-
3. sen
4262
- 5
4262t:
11
11
387
= 387rt +
11 11
s e n ( ^ ) = S en(387n + f f ) = - s e n ^
1584
11
13
121
/1 584ti \
’ \ 13 /
=> a, = n
Luego: sec( 188471 \ =
1584k
13
s e c (l2 l7 i
12171
IIC 
11 71
i y
í 121" + i t ) =
. 1 1 Tt
' 13
117i _ 2rt
13 13
Aplicaciones:
1. Siendo P(5; - 3 ) un punto del lado final del ángulo 
a que están en posición normal, hallar el valor de:
R = 17(cos2a - sen2a) + cota
Resolución:
O P = J (5 f + ( - 3 f
3
• sena = --=¿=
734
• cosa = -==■
734
• cota = - 5 /3
OP :
■ / 25 -5 -U 7
\ 34 34) \ 3 /
R =
2. Si: cota = -1 ,0 5 y cosa < 0, calcular:
(sena + cosa)3 
cos3a + sen3a
Resolución:
21Dato: cota = cosa < 0 entonces a e IIC.
OQ = J(20f + ( - 21)2 => OQ = 29 
sena = 20/29 A cosa = -21 /2 9
3. Determinar el área de cada una de las regiones 
sombreadas:
T r i g o n o m e t r í a ■ 91
Resolución:
I. AAap0= -±|OA'||QP|
Pero: |OA’| = 1 
Además: t\OPB: |OB| = 1 
=> OP = sena 
L.OQP: PQ = OPsena 
PQ = sen2a 
Aa = l(1 ) (s e n 2a) => A ^ = - ls e n 2a
II- AoPBQR = |PB||PR|
Pero: PB = 1 - OP 
=> PB = 1 - sene 
PR = cose
A a = |1 - sen9||cos0|
Aq = (1 - senO)(-cos0)
Aa = cos6(sene - 1)
III. AAqqp = l|O Q ||A P | ...(1)
AP = tana, como a e IVC 
=j. |AP| = |tana| = - ta n a 
OQ = cosí)), como 4> e IIC 
|OQ| = |cos(j>| = -cosó 
En (1): Aa = -ltanacos<|>
4. Si a designa a todos los arcos del segundo cua­
drante. cuál de los siguientes valores no corres­
ponde a %■. 
b
Resolución:
Dato: (4n + 1 ) - | < a < (2n + 1)n, n e TL 
- (4n + 1 ) i < | < (2n + 1 ) |
S i : n = - 1 => - f < £ < - f 
4 6 6
g a este intervalo
Si: n = 0 =» < £ < ■£ => ^ £ a este intervalo
12 b b o b
S i:n = 1 =» < £ < £ =» este in te rva lo
12 6 2 4
5. Cuál de las s igu ien tes proposic iones es incorrecta :
I. sena < 0 A tan a > 0
=> a e ((2 k + 1)n; (4 k + 3 ) - |} V k e ZZ
II. Si 9 g ^(4k - 1 ) ^ ;2kn^ V k e 2 => cose > csce
III. Si (|> e ^(4k - 3 ) | ; (2k - 1)n) V k e ZZ 
=» 0 < sen<(> < 1
Resolución:
I. sena < 0 A tana > 0
=* a e ^(2k + 1)n; (4 k + 3 ) | ) Vk e TL
es correcto, ya que dado dicho intervalo repre­
senta a todos los arcos que pertenecen al IIIC.
II. 0 e ,^(4k - 1)-|; 2kn^ Vk e TL, quiere decir que 
6 e IVC y en dicho cuadrante:
0 < cose < 1 y csce < -1 => cose > cscO (correcto)
III. ó e ^(4k - 3 ) i ; (2k - 1)n^ k e ZZ, quiere decir 
que: ó e IIC y en dicho cuadrante:
0 < senij) < 1 (correcto)
.-. Las tres proposiciones son correctas.
6 D a to :f<9>= T n S t c s c S ' 
calcular: f ( _ f ) + f ( f )
Resolución:
f í_ i> = sen[2H ) ] +cosí4K ) ] = s e n ( - f) + c o s (-B)
4 tan[8( - f ) ] + csc[6( - f ) ] ta n ( -2 ji ) + c s c ( - ^ )
« f(_£) = ÍZ ± t± L Ü = _ 2 
' 4 ' (0) + (1)
4[2(f)] + cos[4(f)]sen l2 [-A || + cos|4(-A)| sen£ + cosn
2
4 tanj^8(^)] + c s c |6 ( ^ ] tan2n + csc4p
=> f ( — ) = 1 + ( ~ 1) = 0
UJ (0) + (- 1) 
f ( ~ f ) + f ( f ) = - 2 + 0 = - 2
7. Si k e TL, cuál (es)-de las siguientes proposiciones 
son incorrectas:
a ) senkn = 0 b) coskn = ( - 1 ) k
c) tankn = 0 d) sen[(2k + 1 ) | ] = ( -
e) cos[(2k + 1 ) | ] = 0 f)c o t[(2 k + 1 ) | ] = 0
g ) covkn = 1 h ) vers[(2k + 1 ) | ] = 1
¡) exseckn = - 2
Resolución:
Dato: k e ZZ
B’
a) senkn = 0; observar que kn representa a todos 
los arcos cuyo lado final es OA v OA’.Correcto.
b) coskn = ( - 1 ) k
Si k es par => cosk = 1 (lado final OA)
Si k es impar => coskn = -1 (lado final OA’). 
Correcto
c) tankn = 0; correcto.
d) sen|(2k + 1 )^ j = ( - i f ; observar que (2k + 1)T
9 2 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p i e n s
representa a todos los arcos cuyo lado final es 
OB v OB’.
Si k es par => sen(2k + 1 )•£■ = 1 (lado final OB).
Si k es impar => sen(2k + 1)-| = -1 (lado final OB’). 
Correcto
e) cos[(2k + 1)-|j = 0; todos los arcos de la forma 
(2k + 1 )- | el valor de su coseno es cero. 
Correcto
f) cot[2k + 1]-| = 0; correcto
g) covkn = 1; sabemos: cov0 = 1 - sen0 
=» covkn = 1 - senkn covkrt = 1 
Correcto
h) vers[(2k + 1 ) i ] = 1; sabemos: 
versO = 1 - cos0
vers[(2k + 1 ) | ] = 1 - cos[(2k + 1 ) | ]
vers[(2k + 1 )^ | = ICorrecto
i) exseckn = - 2 , sabemos que:
exsec0 = sec0 - 1 =» exseckn = seckn - 1 
Si k es par => exseckn = 0 a 
k es impar => exseckn = - 2
La única proposición incorrecta es (i) 
Determinar el signo de:
T =
sen225°cot857' 
® = cos643°sec770
V =
sen y - - c o s ^ 
tan 4 ^ + cos-3n
c o s l l i t a n ^
53n 53nc s c ^ L is e c ^ - 
11 19
5 5
Resolución:
Con las reglas:
225° e NIC => sen225° => ( - )
857° = 720° + 137° e IIC =» cot857° => ( - ) 
643° = 720° - 77° e IVC =» cos643° =» (+ ) 
770° = 720° + 50° e IC => sec770° =» (+ )
c _ ( - ) ( " ) (+)
(+ )(+ ) (+)= 77T = < + > S es positivo (+ )
11n 
7
40n
13
: 2n ■
= 3n -
3n
13
G IVC =» eos
e IIIC =» tan
11 n 
7
40n
13
(+)
(+)
^ r r = 5n - T7 e IIC => c s c ^ r =» (+ ) 11 11 11
| = 3" - | £|IC
,5 3 n 
' 19 ( - )
T = = jz ) = H T es ne9ativo ( - )
271 . 271sen— > eos— s e n ^ - c o s ^ > 0
e IIC =» t a n ^ =» ( - ) a c o s ^ ( - )
=° v = p y ^ 3 y = p y = ( - ) V es negativo ( - )
Si a G <2ti; 3 ti) a 0 e (4 ti; 671), de te rm ina r el signo 
de:
n 0sen ^- + sen ■! 
t a n | . - c s c |
Resolución:
a e (2n ; 3n) =>
L = N =
senj 2a + 01
1 + v e rs |
sen|1 20 — a ’ 
> 5 ) - c ° v f
2n < a < 3n 
IIIC s e n ^ es ( - )’ f
% a
< f < 11 =• f e ||C tanf es (_ )
0 G (4n; 6n) A 4n < 9 < 6n 
” " e IC A IIC
* < ! < *
^ /\ no -v csc"2 es (+ )
| e IIIC v IVC: s e n | es ( - )
L = H + = + =* L es positivo.
( - ) - ( + ) ( - )
4n < 2a < 6n A 4n < 0 < 6n
8n < 2a + 0 < 12n => 2n < 
s e n f2a + ^ ) es positivo
< 3n
8n < 20 < 12n A —3n < —a < —2n
=> 5n < 20 - a < 10n => n < 29 7 a < 2n 
/ 20 - a )sen es negativo
Signo de N
N = = j z j = - =» N es negativo ( - )
10. A qué cuadrante pertenece cada uno de los si­
guientes ángulos:
'■a - ( r f + f t ) rad
Resolución:
I = 7 n 1 1 6 ti 
11 13 " 143
M Q _ 6it , 37t 5 1 ti 
6 “ T + T = -35- =
’ = (t + ¥ )
rad
2771
143
1671
35
771 1271 199ti 0 35ti
9 13 117 117
a G IIC 
3 e IIIC
=» 6 e IVC
T r ig o n o m e t r í a ■ 9 3
P R O B LE M A S RESUELTOS
■ ■
Q 1
1. En la figura adjunta, si la circunferencia tiene su 
centro en (3; 5) y T es el punto de tangencia, deter­
minar: sec0 + tanQ
Resolución:
3(1 + sen0) = 5cos6
ü - l
Del gráfico:
3 + 3sen6 = 5cos6 
^ 1 
^ cose
2. Con centro en O se ha trazado el sector circular 
AOB con radio de Igual longitud que la abscisa del 
punto P. OM = MP, ON = NA. Si G es el baricentrodel triángulo OPN, hallar cot<j>.
Resolución:
2a73
G: baricentro del AOPN:
G:
. (0 ;0 ) + (a ;0 ) + (2 a ;2 a /3 )
G :(a ; f / 3
Colocamos al ángulo 4> en posición normal:
3. ¿En qué cuadrante se cumple que cota > csca? 
Resolución:
cota > csca =» cosa > 1
sena sena 
1 -- cosa .. 1 - cosa
sena
v
sena
< 0=*0 >
Pero:
[1 - cosa] e [0; 2] => [1 - cosa] > 0, V a e IR
Luego: ̂ < o sena < 0
sena
Luego: a e INC v IVC
4. Determinar el signo (en los cuatro cuadrantes) de 
la expresión: M = tan9 + cosG - sec0
Resolución:
M = tañe + cos0 - sec0 
M = tanO 1 - cosel = tañe - ' 1 cos
M = tan0
COS0
sen20
COS0
: tanO - tan0sen0
cost
M = tan0(1 - sen©)
Pero: [1 - sen0] e [0; 2] => 1 - sen0 > 0 
Luego: M = tan© (+)
El signo de M solamente dependerá del signo de la 
tanG.
0 e IC s M > 0; 0 e IIC => M < 0;
0 e MIC => M > 0;- 0 e IVC =» M < 0
Los signos serán: (+); ( - ) ; (+); ( - )
Si: 343 = sen15° - cos75° - sen270° A cotx < 0,
4 gsecx
calcular el valor de T = cscx + cotx.
Resolución:
Condición 
7
343
49so“
= 1 73 = 72s9CI<
= sen15° - cos75° - sen270°
■ j 2secx
Además se nos da que: cotx < 0 
= > se cx (+ ) A cotx ( - ) ; así: x e IVC 
Luego, gráficamente:
3 = 2secx => secx = 3/2
La expresión pedida es:
T = cscx + cotx
- V 5 U V 5 / 15
T = -V 5
9 4 C o l e c c i ó n U n í c i e n c ia S a p i e n s .
6. En la figura mostrada, hallar cot0.
yt
P(—5; -1 2 )
Llevamos a posición normal al ángulo (
(-12;
-1 2
Luego: cot0 = - = - 4? 
a y 5
7. En la figura mostrada, hallar tana.
( -3 ; 5K 3 Á
tana = y - (" 3) tana = ■§ 
o
8. Para qué valores de x e se cumple que:
| 2senx | - V3 - 11 < 1
Resolución:
( )2: 112senx | — 13 - 1| < 1
=> - 1 < |2senx| — /3 —1 <1 => -Í3 < |2senx| < 2 + -Í3
(3 2 + 13
f < lsenxl < A 1,86 13 < |senx|< 1
J3 13
Luego: -1 < senx < - ^ v ^ < senx < 1 
Veamos estos valores en la CT:
9. De la figura mostrada, calcular cota, si: AB = BC.
y = -x
Resolución:
Colocamos al ángulo a en posición normal:
cota = — = 6
y
10. En la figura mostrada, calcular: tan0
Resolución:
y
o\ ,
x
yy
Q(—3; -7 ) '' V 5/
OP X OQ =» Q (-3 ; - 7 )
. . ( - 3 ; - 7) + (7; - 3)
Luego: M = -i------------ ó_ ---------- i
M(2; - 5 ) => tanO = X = _ £ 
x 2
T r ig o n o m e t r í a ■ 9 5
11. En la figura mostrada, las coordenadas de los pun­
tos A y B son (6; 8) y ( -8 ; -4 ) , respectivamente. 
Calcular el valor de: R = 9tana + 2 0 /5 senO - tan9
Resolución:
Del gráfico:
V 8 4tana = ~ => tana =
Ahora, llevamos al ángulo 6 a posición normal:
tanO = — = =» tanO = - 2
x - 4
Finalmente lo pedido será:
R = 9tana + 2 0 /5 senO - tanO
=> R = 9 x 4 + 2 0 /5 x - ^ - ( - 2 )
3 /5
R = 12 + 40 + 2 R = 54
12. En la figura mostrada, las coordenadas del punto A 
son (8; -3 ) . Calcular el valor de:
N = /73sena - 6 ta na
Resolución:
Colocamos al ángulo a en posición normal:
Luego: N = /73 sena - 6tana
. N , r a ( ^ J ) - 6 ,
N = - 8 - 16 .-. N = -2 4
13. Con los datos de la figura mostrada, determinar: 
cosa + cosp + 8cos | “ 4 ^
^ a - p
4
Notemos que: p - a = 180°
También: a - p = -1 8 0 ° A p = 1 8 0 ° + a 
Reemplazamos en la expresión pedida: 
cosa + cos(180 + a ) + 8 c o s (-4 5 )
S =
sena + sen(180 + a ) + 4 s e n (-4 5
S = cosa - cosa + 8cos45 
sena - sena - 4sen45
.-. S = - 2
8 eos 45 
-4 s e n 4 5
14. Determinar el signo de A en cada uno de los cuatro 
cuadrantes: A = secxcscx - esex - secx + 1
Resolución:
Factorizando:
A = (c s c x -1 )(s e c x -1 ) => A = ( — iV — --------1
' A ' \senx l\ cosx
_ (1 - senx)(1 - cosx)
senxcosx
Note que: (1 - senx) > 0 A (1 - cosx) > 0
Vx e a cualquier cuadrante.
-\
Luego: A = ------- 1-------
senxcosx
Ahora el signo de A depende únicamente del signo 
del: senx A cosx 
Así tendremos que:
• Si: x e IC =» A e s (+ ) • S i:x e llC =» A e s ( - )
• Si: x e IIIC => A es (+) • Si: x e IVC => Aes ( - ) 
.-. Los signos son: (+); ( - ) ; (+); ( - )
9 6 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
15. De la figura mostrada, determinar:
tana Si: AM = BM
y
=¡\ A(4; 0)
K. / x
V m
b (0; - 2 )
Resolución:
OM _L NO => N(—1; - 2 ) 
V — 2Luego tana = — = —=
x - 1
tana
16. Hallar cotp a partir de la figura mostrada, si M es
punto medio de AB.
Resolución:
Cálculo de los interceptos:
Si: x = 0 => y = - 2 => B(0; - 2 )
Si: y = 0 => x = - 4 => A ( -4 ; 0)
. . (0; - 2) + ( -4 ;0 )
Luego: M = ------------^----------- =>
.-. cotp =
M = ( -2 ; - 1 )
- 2
- 1
cotp = 2
17. En la figura adjunta, AQ pasa por el origen, si 
A (—1; 2), determinar: T = csc2a - cota
Resolución:
T = 3
3
3n 
2 ’
valores que asume; P = 2cos(9 + ^ + 3: 
Resolución:
Condición: — < tan0 < 13; n < 9 < ^
=» tan(180° + 30°) < tan9 < tan(180° + 60°)
Dado que 9 e IIIC y la tangente es continua y cre­
ciente tenemos que: 210° < 0 < 240°
- t < 8 < t
Graficamos en la CT:
, Ak
“T :
4n <- O 4. n 371
■y 6 t
y
- c o ^ l
O ] (
I x
3 f n 3n
2
Note que: -■ ! < cos(() + i ) < 0
-1 < 2cos(0 < 0
2 < 2cos( 3 < 3 P = <2; 3>
19. Si: 9 e rt. 5n
4 ’ 4
, calcular el máximo valor de: 
F = tan(V2cos9)
Resolución:
Condición: 9 € n. 5 n | 
4 ¡ 4
5rt
4
Representamos 9 en la CT.
Representemos los arcos ( /2 c o s 0 ) en la CT
T r ig o n o m e t r í a ■ 9 7
[ta n (/2 c o s 9 )]máx. = tañí
[ta n (/2 cos0)]maj¡ = ta ñ í
20 .
21.
Resolución:
0r: ángulo de referencia
Del gráfico: 
o _ b x h
'■^somb 2
b
22. En la circunferencia trigonom étrica mostrada, 
m ZO BR = 0; mZBRP = 90°. Determinar el área 
de la región triángular AOR.
23. En la figura mostrada la circunferencia es la trigo­
nométrica, mAPR = 0. Hallar el área de la reglón 
triangular APQ.
(cot0r - 1)(1 - tan0r)
3snmh ■/[cot0r + tan0, - 2]
Pasamos las RT de 0, a RT de 0:b
Como: 0 e IIIC =» |cot0| = cotO A |tan8| = tan6 
Ssomb = |(c o t0 + tañe - 2)
Resolución:
Note que. S0PA — S0MA 
SOQA + SX = SOQA + SOMQ
=? Sx = SOMO ...(I)
Si: - 1 < tan0 < 1, determinar los valores de sene.
Resolución:
Dado: - 1 < tanO < 1 
En la CT:
Resolución:
Tenemos que: S0AR = - ( 1 )
Donde: b = 1 
Cálculo de h:
t^BRO: = sen0 => RO = sen0
Ub
txRHO: = sene => RH = ROsenO
KU
.-. RH = sen20 = h
Luego en (1): S0AR = ^ S, f n 9 =
Note que: sene e \ 2 < 2 )
En la circunferencia trigonométrica mostrada, de­
terminar el área de la región sombreada.
9 8 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
ab 
a + b
Luego: CiOMPA: h = 
Luego: Sx = S,
S„ = = | Sen0
(1 )| cose |
1 + |C O S 0 j 
omq (de (1))
j cose | i -| 
1 + 1 co s e !' 2
sene cose
2(1 + 1 eos 0 1) 
Como:
0 e IliC |sen6| = -sen e A |cos0| = -cosO 
. s _ sen0cos0 
" x 2(1 - cose)
24. En la circunferencia trigonométricas, hallar el área 
de la región PQT.
r .
(cos6; sene)
M(1; -1)
SSomb = donde: h = |cos0|
Cálculo de b:
Para la recta L: T A M: puntos de paso
m : sen9 + 1 
1cosfc
L: y + 1 = i sene + 1 
\cos0 - 7)(x - 1 )
Intercepto de L con el eje x: P
/1 + seneCuando: x = 0 => y 
Luego: y
=> b = 1 + yp - 1 +
\cos6 
sene + cose
¿)(0 - 1 ) - 1
1 - cose
sen0 + eos
p i n . sene + cose \
1 ’ 1 -CO S0 I
b = 1 + sene
S„, b x h
1 - cose 1 - sene
T ^ fS f)0059
J somb 2 2
Como: 6 e IIIC =» |cos6| = -cose 
cose(1 + sene)s„
2(1 - cose)
25. Si: 2sena = -3 c o s a A a e IVC
calcular: T = c s c (-9 3 n + a)cot(a - 35n/2) 
R eso luc ión:
Condición: 2sena = -3co sa
^ sena 3 ^ tana = - ̂ 
cosa 2 2
Como a e IVC.
Se pide:
T = csc (-93n + a )c o t (a - 35-^.j 
=» T = [-csc(93n - a ) ] [ - c o t ( 3 5 | - a ) ] 
T = csc(93rc - a)cot(35-|- - a )
T = csc(n - a)cot(16?i + 
T = cscatana 
Reemplazamos: T ■
3 ji
2
26. Decir la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguien­
tes proposiciones:
I. tan(1283n/4) = -1
II. sen(nji) + sec(nn) = ( -1 )", v n e Z
III. Si 37sen6 7tane < 0, entonces 0 pertenece al 
tercer cuadrante.
R eso luc ión:
I. ta n (1 2 8 3 |) = -1 
Dividimos:
12804
4
3 íi
4
160
> tan (1283-^) ̂ tan 3 n 1
II. sen(nTt) + sec(nit) = ( -1 )": vn 6 
Si n = 1 =» sentí + cosn = -1 
Si: n = 2 s sen2n + cos2ti = 1 
Verdadero
Verdadero
TL
e e IIICI. VIeñe Ttañe < 0
T - ) r+ T
h )
Verdadero
Luego: tañe es (+ ) a senO es ( - ) => 0 e IIIC 
.-. VVV
T r i g o n o m e t r í a ■ 9 9
27. Reducir la siguiente expresión:
c _ sen(3780°) + cos(7470°) + csc(1350° 
tan(2025°)sec(900°)
Resolución:
Calculamos cada RT:
3780°
3600°
360°
180°
7470°
7200°
270°
1350°
1080'
10
360°
270°
2025°
1800°
20
360°
sen3780° = sen180° = 0
cos7470° = cos270° = 0
csc1350° = csc270°
360° ^ tan2025° = tan225° = 1
225°
• sec900° = sec(720° + 180°) = -1
Reemplazamos los valores obtenidos: 
0 + 0 - 1S = S = 1
1 (-1 )
28. SI x es un ángulo agudo, tal que
tan(2002°)tan(x + 2002°) = 1, hallar x.
Resolución:
Condición:
tan2002°tan(2002° + x) = 1
tan(1800° + 202°)tan(1800°+ 202° + x) = 1
tan202°tan(202° + x) = 1
tan(180° + 22°)tan(180° + 22° + x) = 1
tan22°tan(22° + x) = 1
= cot22°tan(22° + x) = 
=» 22°
29. Simplificar:
T =
1
tan 22° 
x + 22° = 90° x = 46°
co t( ¿ - x ) csc(x - 4 ji)sen| ¥ - ) 1
cos|
; - f )
|tan|
( ¥ - )
|sec
Resolución:
Reducimos por partes:
• co t(- | - x ) = tanx
• csc(x - 4 tt) = -csc (4 n - x) = cscx
se n (4 p + x : sen^-jj + x j = cosx
co s |x - = c o s |4 p - x | = -s e n x
t a n f ^ - x ] = cotx
Reemplazamos:
s e c j^ -^ i + x j = sec(6n + ^ + x) -cscx
(tanx)(cscx)(cosx) 
( - se n x )(c o tx )(-c s c x ) 
tanxcotx
tanxi
\s e n x /
cosx
cotx
T =
cotx
.-. T = tanx
30. Sean A; B; C y D los ángulos interiores de 
un cuadrilátero, entonces reducir la siguiente 
expresión:
[sen(A + B + C) - cosD ]sec(A + B + C)
tan(A + B)cot(C + D) 3n
Resolución:
A + B + C + D = 360°
Recordemos que si: x + y = 360°
=> senx = -sen y ; secx = secy; tanx = tany 
Reemplazamos:
p _ ( -s e n D - cosDJsecD 4_ ^
[- ta n (C + D)]cot(C + D) ~
S = (senD + cosD)secD - tanD 
S = senDsecD + cosDsecD - tanD .-. S = 1 
tanD í
31. En la circunferencia trigonométrica mostrada P = (a; b) 
y mAQAQ = 6. Halle B = a + ■Í3b
Resolución:
Tomando los puntos P y Q la pendiente de L es: 
m = b ^ s e n | = tgn150o
a - cos0 
b - senG
¡3a - cosQ 
V3 b - V3 senG = - a + cosG 
a + ¡3 b = cosG + (3 senG
E = cosG +13 senG
1 0 0 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
32. En la circunferencia trigonométrica mostrada. Halle 
el área de la región sombreada.
En los txs AOP y AHM se cumple respectivamente:
tana = - f = 
1
senG
- cosO + 1
sen0 
1 - COS0
Luego, el área del triángulo QPA es:
de donde se obtiene: a
el 
1Aaqpa = - jbase x altura 
AAQpa= | ( a + 1 )x 1 = | ( a + 1)
AaOPA
1 I senQ 
2 \ 1 —cos0
+ 1\ 1 / 1 + s
) ~ 2 \ 1
1 / 1 + senQ - co s 8 \ 
eos© I
33. En la circunferencia trigonométrica de la figura 
mostrada, si AM = 0; entonces al calcular el área 
sombreada, se obtiene:
Resolución;
o _ 1 x 1 , 1 x c o s 9 S - - r + ^
O P x O Q O Q x M H 
2 2
1 + COS0
34. Si + 9 j + c o t |A ii i + e j = 1 hallar el valor
de secO + tan0 (emplear: sec20 - tan20 = 1) 
Resolución:
c s c ^ + e j + c o t ( ^ + e) = 1 
csc(4n + ^ + 0) + cot^4n + + e j = ^
secO + [ - tanG] = ^ => secO - tan0 = ^
Como sec20 - tan20 = 1
=> (sec9 + tan0)(sec0 - tan0) = 1
(sec0 + tan9) x - i = 1 .-. secO + tan© = 2
35. Si 29 cos(x + y) = 2m2 - 21 V x, y e IR, determine 
la extensión de m para que la expresión dada sea 
válida.
Resolución:
v x, y e IR se cumple:
- 1 < cos(x + y) < 1
(x 29): - 29 < 29 cos(x + y) < 29 
dato
- 29 < 2m2 - 21 < 29 
(+ 21): - 8 < 2m2 < 50 
(+ 2): - 4 < m2 < 25
Se sabe que: O < m2, V m e IR 
=* O < m2 < 25 
Extrayendo raíz cuadrada:
O < |m| < 5
de donde: - 5 < m < 5
36. Si | < p < ~ A < sen|3 < ^
hallar el número de valores enteros que asume:
T = | t a n 2p - 3
Resolución:
I.
Podemos notar que p pertenece al intervalo se­
ñalado en la circunferencia numérica:
0 < P < 4 r
T r ig o n o m e t r ía ■ 101
II. Hallemos los valores de: T
JÍ5
Observe que: tan0 = =» tanO = - VT5
~ 4
III. Luego:
- ñ 5 < tanp < V3
=> O < tan2p < 15 => O < | t a n 2p < 5
- 3 < ^ ta n 2p - 3 < 5 - 3
T
- 3 < T < 2 = > T = { -3 ; - 2 ; -1 ; 0; 1}
.-. T asume 5 valores enteros
37. Si 0 e | - ti; 0|, tal que: |cos0| > -1 
hallar la extensión de valores de:
|sen(e + f ) |
R esolución:
De los datos:
COS0 < - -i V COS0 > y - n < 0 < O 
Es decir:
-1 < cose < - ■ ! v j < cose < i , - 7 i < e < o
| 2n
i
n I \ 
\
i i i i
jCOS0| jCOS0;
-1 _ ± 1 1
2 2
- n < e < v < 0 < O
Luego: - y < 0 + T v O < 0 + | < T
a a
1
38. S ia e < 7i; y ) , y:
S = -I sec2a + csc2a + 2 seca x esc a 
T = ■!sec2a + csc2a - 2 seca x csca 
hallar: S + T 
R eso lución:
I. Efectuando:
S = ^ (s e c a + cs c a )2 =» |seca + csca|
T = ^ (s e c a - c s c a )2=> |seca - csca|
Luego:
S + T = |seca + csca| + |seca - csca| ...(1)
II. Dato: ti < a <
4
como: seca + csca < O
=* |seca + csca| = - (s e c a + csca) ...(2 )
vemos que: seca > csca => seca - csca > O 
=> |seca - csca| = seca - csca ...(3)
III. Reemplazando (2) y (3) en (1):
S + T = -seca - csca + seca - csca = -2csca
K
2
sena
H Jo
Como: - 1 < sena < - y v O < sena < y
=5 0 < |sena| < 1 , es decir: O < | sen(0 + i ) | < 
.-. |se n (0 + ^ j | e ( 0 ; 1]
Si a e <7t; ^ ) , y:
-Í2
csca
1 0 2 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Note que: csca <-■12 
- 2csca > 2
S + T
S + T e <2^2; oo)
39. Si 1 < I < ^ hallar la extensión de valores de:
R eso luc ión :
Nota:cosx = eos (+ x) 
cosx = eos |x|
x 1 I "P IT= 3C0SI t I
Dato: 1 < IBI <
7t 3 
3 2
7t , | . 7t
3 I 3 I 2
^ O < cose < - i » O < cos| ^ | < - i
0<HíH ̂ +
- < T < -
3 2 • M H
40. En la circunferencia trigonométrica mostrada, 
m AB’P = a, determine el área de la región sombreada.
R eso luc ión :
Ss0mbreai)a — SaBTS — SaB0s SAB0T ■■■(!)
SAB0S= i(O B ) (S M )= i ( 1 ) ( 1 ) = l
1 I eos a I
Sabot = ^(O B )(|cosa |) = 2
i Ic o s a l
Reemplazando en (I): SMBT = - 1— ^— 1
1 I c o s a l
Como: a e IIC, SABTS = 2 + ^— 1
|cosa| = -c o s a 
t, _ 1 + cosa
^ABTS — 2
41. Sabiendo que: a e (5; — ), hallar la extensión de 
valores de la expresión:
T = sena - cosa + V1 + 2sen acosa
R eso luc ión :_______ ___________________________
2 2
T = sena - cosa + y sen a + eos a + 2sena cosa 
T = sena - cosa + ^ (señ iT Tcosa )2
T = sena - cosa + |sena + cosa| ...(1)
Dato: 5 < a <
4
Note que:
|cosa| < |sena| =■ cosa < -sena=> sena + cosa < 0 
=> |sena + cosa| = - (sena + cosa) 
Reemplazando en (I):
T = sena - cosa - sena - cosa =• T = -2co sa
cos5 < cosa < - ~ y
-2 co s5 > -2 c o s a > - Í 2 
T
.-. T e ( - •Í2 ; - 2cos5)
T r i g o n o m e t r í a ■ 1Q 3
42. En la circunferencia trigonométrica mostrada, 
mAB'P = q; PT 1 AA , TR 1 OB’. AR 1 A A . Hallar 
las coordenadas del punto T
Resolución:
e g l ie
cos0 < 0 
tan0 < 0 
T e IIIC
Coordenadas de T: 
tan6 (cos6; tanG)
43. Si p < a, < a2 < a3 < donde a,, a2, a3 son las
medias en radianes de 3 ángulos. Decir sin son 
verdaderas o falsas las siguientes proposiciones:
I. tana, < tana2 < tana3
II. sena, > sena2 > sena3
III. |cosa,| > |cosa2| > |cosa3|
Resolución:
De la circunferencia trigonométrica se observa que:
I. tana, < tana2 < tana3 =* (V)
II. sena3 < sena2 < sena,
=* sena, > sena2 > sena3
III. cosa, < cosa2 < cosa3 < 0
• (V)
|cosa,| > |cosa2| > |cosa3| (V)
Luego, las tres proposiciones son verdaderas 
.-. V W
44. Hallar el área de la región sombreada en términos 
de 6.
Resolución:
Del gráfico: t\M N O ~ txPHO
L _ 1 - L ■ n = ni —
|senO| 
„ L
|COS0|
= tan9 .-. L =
-s e n e - c o s e 
tan0
1 - L
El área. S = SAQK — SAMK 
_ (2)(1) (2)(L)
1 + tañe
= 1 — L = 1 — tañe 
1 + tanO
1
1 + tañe
45. Del gráfico, hallar la ordenadadel punto P
Resolución:
fc\MQP ~ fc^MNT
h ¡ sece | - (1 + h)
j sene| |s e c 0 |- 1cosEi
h _ sec0) - (1 + h) 
-s e n e ( -s e c e ) + cose
. h sec0 - (1 + h)
i i " Q = cos2e - ~ 
cose
A 0 E NIC
1 0 4 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
h
sen0
1 + (1 + h)cos0
sen
^ _ 1 + cos9 _ ^ secQ + l 'j
La ordenada del punto P es
sen0 + cos0 \ 1 + ta n 0 /
sec0 + 1\/ sec0 + 1\ 
\ 1 + tan© /
46. En la circunferencia trigonométrica, indicar verda­
dero o falso las siguientes proposiciones:
I. sen10° < cos10°
II. cos4 < cos2
III. cos-^ - > COS^p
4 3
Resolución:
I. Verdadero . Verdadero
C.T.-
y
r\ cos10\
y
hsen10° ‘\ ) x i cos4[y ’v:y
Falso
.-. W F
47. Si: n /4 < x < 5n/6 
calcular: K = 2(senx)máx 
Resolución:
(cosx)m
C.T.
y de la CT tenemos:
(senx)máx = 1
(cosx)m,„ = - V3 /2
- k = 2 ( 1 ) - ( - f ) = 2 + f
48. Hallar la variación del área de la región sombrea­
da, si:
7 * ^ 4 *
Resolución:
C.T.
(1,tan0)
(cos0,sen6) (-cos0,sen0)
-C O S 0 . sen0
' x r *
j 1 O tan9v i
" , O O > - -c o s 0 tan01 
" j - cos0 X s e n O y *- (+ )
sen©
S = —[ - cos0 tan© - sen0]
S = 1 f _ c o s 0 ( ^ | ) s e n e ] 
2 [ Ic o s 0 / j
Dato: ^ < 0 < ^
b 3
Graficando en la CT
-cos0 tan©
- sen0
De la figura:
<sen0 < - i
^ > -sen 0 > -1
S e < ^ ; | ]
49. 0 e (0; 2); hallar la extensión de valores de:
T = ~ + 2 sen© + sen20
Resolución:
T = l - 1 + 1 + 2sen0 + sen2© 
Dato: 0 < 0 < 2
• T + (1 + sen©)2
T r ig o n o m e t r í a ■ 1 0 5
=> 0 < sen0 < 1 
1 < 1 + sen0 < 2
^ < - | + (1 + sen0)2< 2
1 < (1 + sen0)2 < 4 
7
< T < — 
2 2 T e < M >
50. Del gráfico, calcular© si el área sombreada es igual 
a 0,125 m2
Resolución:
Sea S el área sombreada
2 4
0,500 = 1 - sen9 => sen0 = 1
Como 0 e ( i ; i ) => 0 = - ^ = 150°5n
6
51. En la figura mostrada, hallar la variación del área 
de la región sombreada, si:
5t: < a < — 2n
x2+ y
Resolución:
o _ base x altura c a !S ---------- 2“ - b - —
Como P (a; b) e lado final de 0: 
cos6 = - | => a = 3 cosO
Reemplazamos en (1):
3 |3 co s6 | g
S = ^ ------1 => S = ||c o s 6 |
- (1 )
...(2)
En el sector circular AOP; aplicando la fórmula de 
longitud de arco:
AP
Dato: -
X OP
5n
a = 6 x 3 
< a < —2n
- 4 r < e x 3 < - 2 7 t =» - 4 r < e < - % -¿ b o
- -y - < cose < - -i < o =» | 
Luego: j < |cos0| < ~ 
\ y \ < ||c o s q | <
4 | > | C O S 0 | > | - 1 |
S
9 < s < 9 ^ 3 
4 4
52. Si: < 6 <
6
7n hallar el número de valores
enteros que adopta: 
T : — 1— + — L_
sen2e ' sene 
Resolución:
T = I — — + i ' 2
T = ( — -----1- —f - —
lsene 2 j 4
Dato: - 1 1 ^ < 0 < - § 
b b
e
1 0 6 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
5
2
25
< sene < 1 => 2 > — !i— > 1 
sen0
25 > f _ L _ + l l 2 > 9- L . + l > ¿sene 2 2
— ! > [ _ ! _ + 11 
4 4 sene 2
[sene
9 _ 1
4 4
6 > T > 2 =» T = {2; 3; 4; 5}
T adopta 4 valores enteros
sen(90° - a)sen10°
53. Al simplificar la expresión 
se obtiene
Resolución:
sen(90° - a)sen10°
sen370° cosa
sen370° cosa 
sena sen 10“ _ poáa $efí10° 
sen(360° + 10°)cosa £eñ10°peáa
54. C alcu la r el va lo r de
P = cos(1560°) - t a n ( i | i ) 
Resolución:
P = cos(1440° + 120°) - t a n ( 1 6 | - | )
P = cos[4 (360°) + 120o] - ta n (4 jt - 
P = cos(120°) - ta n ( - - ^ )
P = cos(90° + 30°) + tan -| 
P = - sen30° + tan i =» - 1 + 1
55. Hallar el valor de
M = 3 s e c ^ n
Resolución:
-co tí 23^ 1 2 ta n (i^ jiJ s e n |4 ^7 t
M = 3sec(6n + £ + c o t 4 t i- £
12tan(6n + -|-)sen(3n +
= 3 sec-5- - cot-í- + 12 tan^-í-sen -5 -)
3 6 3 \ 3 1
= 3(2) - V3 + 12(-/3)
= 6 - 73 - 18 => - (1 2 + V3)
56. Siendo a un ángulo positivo del IIIC menor que una 
vuelta, determinar el signo de las siguientes expre­
siones:
M = sen(2a - 180°)tan^
s e c ^ - 1 
M — 3
tan a + 30°
Resolución:
SI: a > 0 A a < 180° < a < 270°
Entonces:
M = sen(2a - 180°) ta n ^
lile V IVC llc
=» M = ( - ) ( - ) = (+ )
N =
2a a
~3~ ~
tan a + 30°
2aSea: 120° < ^ < 180° 
105° < a t 30 < 150°
•■■(y)
2a
3
a + 30
En (y): N = L L i = U = (+ )
57. Sabiendo que
S = tan[krt + | + a ] ; k e í 
T = csc[nn + ( -1 ) " a]; n e TL
Calcule E : S - T 2 
ST
Resolución:
Observación: tan(kn + x) = tanx; v k e 2
Dato: S = tan(krt + + a)
De la observación 
.'. S = -c o ta
Dato: T = csc[nit + ( - 1 ) na]
Si n es par => T = csca 
Si n es impar => T = csca 
Luego T = csca v n e TL 
Reemplazando en E, se tiene 
- 1E =
2 2 
cot a - esc a
- c o ta csca - c o ta csca 
.-. E = tana sena
58. Hallar el valor de M en la expresión: 
1 m = s e n (- 510°) + t a n ( ^
Resolución:
1 m = s e n (- 510°) + t a n ( l l ^
= - sen(510°) + tan 1 1 71
= - sen(360° + 150°) + tan (2 ji + 3
= - sen150° + tan3-5- 
4
= - sen(180° - 30°) + t a n ( | + | )
= - sen30° - cot-^- 
4
M = - 3
■H
a
T r i g o n o m e t r í a ■ 1 0 7
59. Con los datos de la figura, hallar el valor de la ex- 
/Í3 s e n a secp
presión
tanp
Resolución:
Acomodando los ángulos a posición normal
i. De la figura:
csc(90° - p) = => secp = ^
i¡. cot(90 - P) = => tanp = ^
iii. s e n (- a ) = , —w o o i ha — 
2 /13 2 /13
Nos piden:
_ _ / I3 s e n a x s e c p _ / l3 ( 6 / 2 / Í 3 ) ( - 5/4)
tanp
60. Obtenga el valor de M, si: M = 
Resolución:
3/4
. - .-5
s e n (5 f ) ta n ( 4 | ) 
eos 60°
M =
M =
sen(5f ) ta^(4f )
eos 60° 
sen T tan T (^ ) (7 3 )
eos 60° = 73
61. Hallar el valor de la expresión:
s e c f ^ 2 . j - tan(1935°)
Resolución:
Nos piden:
E = s e c ( ^ ) - tan(1935°)
E = sec(20jr + | ) - tan(5(360°) + 135°) 
E = sec-J - tan135° = 2 + 1 = 3
62. Calcular: S =
-
eos 300° esc 210° cot 330° 1
t sen225° tan 565° esc 600° j\ cot 25° 
Resolución:
Reduciendo al primer cuadrante 
cos300° = cos(270° + 30°) = sen30° = 1 /2 
csc210° = csc(180° + 30°) = - csc30° = - 2 
cot330° = cot(360° - 30°) = - cot30° = - 7 3
sen225° = sen(270° - 45°) = - cos45° = 72
tan565° = tan(360° + 205°) = tan205°
= tan(180° + 25°) = tan25 
csc600° = csc(360° + 240°) = csc240°
= csc(270° - 30°) = - sec30° =
Reemplazando:
S =
2 /3
3
( ií) ( - 2 X - m
I 1 l
[ ( - # i(tan25°)
! - ¥ )
[co t 25° j
S= /3
(72 X 73)
_3_
/2
3 /2
2
63. Si a es un ángulo en posición normal del cuar-
12to cuadrante, tal que sena = - . calcular
tan(180° + a ) + sen(a - 180°) - cos(450° + a). 
Resolución:
E = tan(180° + a) + sen(a - 180°) - cos(450° + a) 
E = tana - sen(180° - a ) - cos(360° + 90° + a ) 
E = tana - sen(a) + sena => tana
12,.Dato: sena = -12/13 => tana = - -(ta n a < 0 ,a e lV C )
64. Reducir:
A _ sen(90° + x)tan(360° - x)cos(180° + x) 
cos(270° - x)cos(180° - x)
Resolución:
Por partes:
cos(180 + x) = - cosx 
cos(180 - x) = - cosx 
sen(90° + x) = + cosx
IIC
tan (360°- x) = - tanx 
IVC
cos(270°- x) = -s e n x 
IIIC
(eos x ) ( - tan x ) ( - eos x)
Luego: A 
A c o s x w senx 
senx A cosx
( -s e n x ) ( - cosx) 
A = 1
cosx tanx 
senx
1 0 8 ■ C o l e c c i ó n U n ic ie n c ia S a p i e n s
65. Siendo a y p ángulos coterminales, distintos y ade­
más complementarios, calcular: senp + cosa, si p 
es el menor ángulo positivo.
Resolución:
Como a y p son ángulos coterminales, tenemos 
a - p = n(360°); n e Z, además a y b son complemen­
tarios, entonces a + p = 90° => p = 45° - n (180°) 
como p es el menor ángulo positivo, y además diferen­
te de a, entonces n = - 1, de donde obtenemos que: 
p = 225° y a = -1 3 5 °
Piden: senp + cosa = sen225° + c o s (- 135°)
_ 72 
2 = -7 2
66. Siendo a, p, 0 ángulos cuadrantales distintos, ma­
yores o iguales que 0° pero menores o iguales que 
270°. Además cumplen: cosp = 7sen0 - /se ca 
Calcular: cos(a + p + 0)
Resolución:
Condición: 0° < a, p, 0 < 270°
como: cosp = 7sen0 - 7seca ...(1)
a, p, 0 son ángulos cuadrantales
=> a ,p ,0 = 0°, 90°, 180°, 270°
como la seca debe ser positiva; entonces a sólo
puede cumplir: a = 0° => seca = sec0°= 1
En(1): ________
cosp = 7sen0 - 1 ...(2)
como sen0 - 1 > 0 => sen0 > 1 
=> senO > 1 o sen0 = 1 
absurdo q = 90°
En (2)
cosp = = 0; p = 90°, 270°
como a, p y 0 son distintos, entonces p = 270°
Piden: cos(a + p + 9) = cos(0° + 270° + 90°)
= cos360° = 1
67. Si: a y p son ángulos coterminales, simplificar: 
cot(3a - 30 + 45°) + cosasec0
M
8 a - 80 + 90°
Resolución:
Como a y 0 son ángulos coterminales, se cumplen:
i. a - 0 = n x 360°; n e Z
ii. Rt(a) = Rt(0)
Entonces, en M tenemos
cot(3(n x 360°) + 45°) + cosa sec0
M =
M =
sen
cot 45° + 1 
sen45°
/8 (n x3 6 0 °)4 - 90°
= 272
72
2
68. Reducir: A =
sen(24rt + x) 
cos(4rc - x)
+ tan(80n - x)
Resolución:
Por partes:
sen(24n + x) = sen(12 vueltas + x) = senx 
cos(4n - x) = cos(2 vueltas - x) = cos(- x) = cosx 
tan(80?i - x) = tan(40 vueltas - x) = tan (- x) = - tanx
Luego: ■ = tanx
A = senx
cosx 
69. Simplificar:
sen
S =
+ ( - tanx) => tanx - tanx => A = 0
(rt - 0 ) c o s ( 2 ji - 0)cot( j + 0 )s e n |y - 0j
sen0tan(n - 0)cos(rt - 0 )ta n (y + 0) 
Resolución:
sen(7t - 0) = sen0;
^TTic
cot(-S. + e j = - tan0;
^ C T io ^
tan (n + 0 ) = tan0;
tan = - cot0
cos(27t - 0) = cos0
^ 7 ¡ v c T
s e n ( ^ - e ) = - 
M l l I C
cose
cos(n - 0) = - COS0
,c r ñ c
Reemplazamos: 
g _ se n O co s0 (-ta n 0 )(-co s0 ) 
sen0 tan 0 ( -c o s 0 ) ( -c o te ) 
70. Reducir:
S = sene
T =
sec( - a j s e n f y + a
sec(15n - a)cos(57i - a)
Resolución:
s e c ( ^ f^ - a ) = sec[6(2n) + ( | - a )] =
s e c ( - | - a ) = cosa
s e n ( y + a ) = sen|2n - 3 71
IC
-cosas e n ( ^ + a j =
sec(157i - a ) = sec [7(2n) + (rt - a )] =
sec(rt - a ) = - seca
M r
cos(5n - a ) = COs[2(2rt) + (rt — a )] =
cos(n - a ) = - cosa
Reemplazando: T =
( c s c a ) ( - c o s a ) 
( - s e c a ) ( - cosa )
- cota
T r i g o n o m e t r í a ■ 1 0 9
PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADM IS IÓN UNI ®
PROBLEMA 1 (UNI (2011 - 1)
En la figura mostrada (tanq)(cotb) es igual a:
X
y
X
/ / p
' 3 ) < /
T - 3; - 4)
A ) ^ B) 1 C) f D ) | E) 3 
Resolución:
-ta ñ e = 4 /3 => tanO = - 4 /3
i¡. tan( -9 0 ° + p) = X = |
-co tp = ^ => cotp = - 4 /3 
Piden: (tan6)(cotp) = ( - | ) ( - | ) = ^
Clave: C
PROBLEMA 2 (UNI 2012-11)
En la figura mostrada, el valor de tan<|> x tanp, es:
Resolución:
Piden: tan<j> x tanp = ( - ^ ) ( - | ) 0 ~ 1
Clave: B
PROBLEMA 3 (UNI 2012 - li)
a , a n ( f ) - 3 A í ; « « ( t ) - » - 4
Calcule x + y
C) E)A ) - i B ) - f
Resolución:
5n 1
tano r = -a f =>4 3x + 5
c o t ^ = y - 4 => 0 = y - 4 => y = 4 x + y =
— — =>3x + 5 — 1 = > x x -
3x + 5 3
3
Clave: E
PROBLEMA 4 (UNI 2013 -1)
Para a e [e p - y - j . calcular la variación de
M = cos2a - COSa + 2
a) [ H ] B)[ í 3l C)Í M d )[ H e) [ H ]
Resolución:
Completando cuadrados:
M = eos a - cosa
M = cosa -
2 ) ' 4
Como a e graficando en la C.T.
Para hallar la variación de cosa.
- § > ( c o s a - 2 i , 4 
+ 7/4 4 > ( c o s a - i ) ' + \ > \ , . M e [ I ;
1 1 0 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p i e n s
PROBLEMA 5 (UNI 2013 - II)
En la circunferencia trigonométrica adjunta, determine 
área del APOR 
área del ARQO
/ Q
—- \ R
\ 0
J I
A) csc20 + 1 B) cscO + 1 C) sec0 + 1
D)sec29 + 1 E)sec20 + 2
Resolución:
i-yU en(180° - 20)
tan 8 eos 20
2
sec0 + 1
Clave: C
Pidpn área del APOR 
área del ARQO
sen20 tan 20
tan 0 eos 20 tan0
T r i g o n o m e t r í a ■ 111
P R O B LE M A S PROPUESTOS
1. Si 0 pertenece al tercer cuadrante, hallar el signo 
de las siguientes expresiones:
a r j q / a \sene
S = s e n -jta n -2-eos-2- a T = log sen-
16
si: cos-T > 0 a senT < 0 
4 8
además: IC A ^ <£ IVC
4 o
A) +; + 
D) + ; -
B) -
y
C ) - ; +
( 0 ; a )
r
b
): + ( -a : 0) ^ 9 X
2. Hallar los valores de n a partir de las siguientes 
condiciones:
„ ! neos a + cosa = sen p + senp, p e IR
H - "icosa = i —L —
A) [ - 1 :3 ] 
D) < -1 ;3 )
B) [ - 1 :4 ]
E) ( - 2 :3 )
...(1) 
...(2) 
C) [ -1 ; 4}
3. Supongamos que sea n un número entero mayor 
que uno y que el ángulo a satisface a la desigualdad
0 < a <
4(n - 1)
A) sen(na) > nsena 
C) cos(na) > 2n 
E) tan(na) > ntana
Indicar la alternativa correcta.
B) sen(2na) > n 
D) tan(na) > 2ntana
4. Sabiendo que p y 0 son ángulos cuadrantes, calcular: 
T = /ta n a tanp tan9 + senasenpsenO + 1 +
/ta n a tanp tan0 + / co ta ~ 1 + V1 - cota + 
•/cota - cos0 - 1 
C) 3A) 1
D) (2
B) 2 
E) 2 /2
5. Sabiendo que:
|sen9| = - sen9; |cos0| = cos0; |cot9| = cot0 
I sen'
Calcular P =
I tan|
donde: e = 2,71...
A) 0 
D) 3
L + ln(| cotG |e + j ta n -| je
B) 1
E) /2 + 1
C) 2
Si a y 9 son ángulos en posición regular, positivos y 
menores que una vuelta, los cuales se encuentran 
en diferentes cuadrantes y además se cumple:
| tana | = - tana y tana - cos0 > 0 ,a > 0, 
hallar el signo de:
tan9 + eos a (tan 9 - eos 9)
S = -
sena tan 0 + sen0 cosa
A) +
D) + A -
B) -
E) faltan datos
C) + V -
7. Del gráfico mostrado, calcular el mayor valor de la 
cot0, si el área del triángulo sombreado es 8, ade­
más a y b son números enteros.
A) - 3 /4 
D) -1 5 /1 6
B) - 4 /3 
E) -1
C) -1 6 /1 5
A partir del gráfico mostrado, hallar el valor de 
tan9 + cota. (T punto de tangencia).
A) 1 
D) 2 E) 3
9. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
I. S i 0 < a < b < 5 , entonces ^ 5 5 . > ñ 
2 cosb b
II. Si 0 < 9 < - | , entonces 2log0 + tan9 < 0
III. Si 0 e IIC, entonces sen(cos0) < cos(sen0)
IV. Si el menor valor de tan20 + ktanG - 7 es 8, 
entonces k = 2
A) V W F B) VFFV C) FFVF
D) VFVV E) VFVF
10. Bajo qué condiciones es posible o imposible la ex-
a2 + b2 + 4abpresión: cos0 = ---------- =----------
(a + b)2 - 2ab
Sabiendo que 90° < 9 < 180°, a y b son dos núme­
ros cuales quiera pero del mismo signo.
A) Es imposible
B) Siempre es posible
C) Posible solo si a > b
D) Imposible si a = b
E) Posible solo si a < 0; b < 0
11. SI a, p y T e IR, además se cumple las siguientes 
condiciones:
log(sena) + 8/cosp = 1 ...(1)
]T ] = sena ...(2)
1 1 2 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
hallar el valor de sen-S- + cos-| + — siendo a el ma- 
3 2 n
yor valor negativo y (3 el menor valor no negativo.
A) 0 B) -1 C )1
D) 2 E) ti
12. A partir del siguiente gráfico, hallar el valor de:
21 cota - 4tana, si AP = PB
A) 5 
D) 8
C) 4
E) 7/3
13. Se tiene dos ángulos coterminales cuyo cociente 
es equivalente al valor de la tangente de 8° y que
su suma de estos no es mayor que 500° ni menor
de 400°. Calcular la suma de las tangentes de di­
chos ángulos.
A) 1 B) -1 C) 0
D) — 2 /3 E) 2 /3
14. Sabiendo que: cos(senO) > sen(cos0) y 
log(senó) < |cot<|>|; indicar la veracidad (V) o false­
dad (F) de las siguientes proposiciones.
I. 9 e IC
II. ó = f +2kn; ke2Z
III. 9 e IR
IV. 0 e IC v IIC
V. 9 e <2k7r; (2k + 1)n>; k e Z
A) VFVVV
D) VFVFV
B) FVVFV 
E)FFVFF
C) V F W F
15. A partir de la siguiente serie de ¡csc0] términos 
siendo 0 agudo, calcular el mayor valor de n. 
1 , 1 , 1
|csc0 ]]+1 |csc6 j + 2 IcSC0| + 3
A) 1 
D) 1/8
B) 1/2
E) 1/16
C) 1/4
16. El área del rectángulo ABCD es m2, indicar la alter­
nativa correcta.
C) /ab < m < 2 (/a2 + b2) D) / I b < m < a ^ b 
E) / I b < m <
(2
17. Si a, p, 0 y 0 son ángulos agudos, hallar el menor 
valor de A.
> A
(sec2a + sec2p - 2 )2 + (sec20 + sec20 - 2 )2 
(tan a ta n 0 + tanptamj))2
A) 2/3 B) 2 C) 3
D) 1/4 E) 1/2
18. Siendo E y D puntos de tangencia; además B y C 
trisecan a AD, calcular: 99cos0 - 36cos20
A) 17/13
D) 10/13
C ) 121/2
E) 4 /5
19. Hallar el conjunto de valores de:
T = sec[sec(sena)] + csc[sec(sena)]
A )< -o
B) <—o 
c ) < - o
D )< -c
EX-o
- 2 / 2 ] U [4 /2 ; +oc) 
- 2 / 2 ] U [2 /2 ; +oc> 
- 2 / 2 ] U [ / 2 ; +oo) 
-1 ] u [1; +oo>
-2 ] u [2; +oo)
20. Dos alumnos dibujan circunferencias trigonométri­
cas en dos sistemas de coordenadas diferentes. 
Para el primer alumno A la unidad adoptada mide 
3 cm y para elalumno B mide 4 cm. Si ambos ubi­
can un arco en posición normal 0 en el IVC y con 
los módulos de tan0 y secG en A y B se toman como 
cateto e hipotenusa de un triángulo rectángulo res­
pectivamente. Calcular la longitud del otro lado en 
centímetros:
A) /3 + tan29 B) /4 - 3 tan29 C) /1 - tan28
E) /3 - tan20D) /2 - tan2
21. Dado el intervalo -■£ < a < £
Z b
obtener la variación del arco ó sabiendo que secó 
es positivo, 4sen2( “ + f ) = 1 + secó.
f ][°; f ] B) I f ]
[ - f f ] E>l[ - T f ]
22. Siendo a un arco perteneciente al tercer cuadran­
te, hallar los valores de la siguiente expresión:
g _ 2 - 4 cosa - sen2a 
cosa + tan 105°
A) ( -2 ; (3 ) B) </3 - 3 ; /3 - 2)
C) <—1; /3 - 1) D ) [ /3 - 3 ; /3 + 2>
E) (0; 2 - /3>
T r ig o n o m e t r í a ■ 113
23. Calcular el menor valor de k, el cual debe verificar 
la siguiente desigualdad:
k > sen2(cosa) - 2cos(cosa); a e 
A) -1 B) - 2
C) sen21 - 2cos1 D) cos21 - 2cos1
E) sen21 + 2cos1
24. Si se verifica la siguiente condición: tan3a < 9tana 
Hallar el valor de secacsca si tana toma su máxi­
mo valor entero negativo.
A) -1 7 /4 B) - 3 C) - 2
D) - 4 E) -2 /3
25. En el siguiente gráfico, calcular el mínimo valor de
A, si: A = — + —
a y
A) -1 0 
D) 16
C) -1 4
E) 4
26. A partir de la siguiente igualdad, hallar a si tana es 
un número real.
[senx]
[senx] ✓ 2004 veces 
[senx] <
tana = [senx]
A) 0
C) 2kn + k e Z 
E) IR
B)kn + 4 ; k e z 
4
D) kn - T ; k e 2
27. ¿Qué alternativa es correcta a partir de la siguiente 
expresión?
sec(cosx) + ta n ( ŜenX^
A) Su máximo valor es 2.
B) Es siempre positiva.
C) Es siempre negativa.
D) No tiene valor real para todo valor de x.
E) Los valores de la expresión son solo números 
enteros.
28. De la figura, determinar el área de la región som­
breada en términos de 6.
A) 2sen0cot-|
C )2 c o s 2 0 c o t|
E) -sen20 tan -|
B) - cos0cot-| 
D) -cos2 6 co t-|
29. A partir del gráfico adjunto, hallar el área de la re­
gión sombreada, si T es punto de tangencia.
A) T co t0 
D) tan©
B) cot0 
E) -- Is e c G
C) ^tanG
30. Calcular el área de la región sombreada, en el cír­
culo trigonométrico mostrado.
A)
C)
E)
sen0
2(sen0 - cos0)
-COS0
2sen0 - eos9
D)
sen0
cos0 + 2sen0
31. Hallar las coordenadas del punto P, luego que la 
rueda de radio r se desplaza sobre la pista AB ba­
rriendo un ángulo de Orad.
A) x = Grcosa - rsena - rsen(G - a)
y = Grsena + rcosa - rcos(G - a)
B) x = Grcosa - rsena - rsen(0 - a)
y = Grsena + rcosa + rcos(G-a)
C) x = Grsena - rcosa - rcos(9 - a)
y = Grcosa + rsena - rsen(G - a)
D) x = Grsena + rcosa + rcos(9 - a)
y = Grcosa + rsena + rsen(9 - a)
E) x = Grsena rcosa + rcos(G + a)
y = Grcosa - rsen a + rsen(G - a)
1 1 4 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p i e n s .
32. Del gráfico, hallar: S = sen<|>secj^p j
A , ¡ B ) _ | c ) _ | D ) |
33. Del gráfico, calcular: tan0
E)
A) 2,4 
D) - 3
C) 3,1
E) -1 /3
34. SI en la figura las circunferencias son iguales, cal­
cular: tan4>
A) 2(2 + 13) 
C )4 ( /3 - 2 ) 
E) - 5 ( 2 + 73)
B) 2 ( /3 - 2 ) 
D) -4 (2 + 73)
A) 0,3 
D) 0,6
B) 0,4 
E) 0,8
C) 0,5
36. De acuerdo al gráfico mostrado, señalar el equiva­
lente de: S = tanatan<(>
A) tan29
D) -c o t2(
C) - ta n l
E) tan6
37. En qué tipo de triángulo ABC se cumple:
sen(A + 2B + 3C) = sen(2A + 3B + 2C)
A) Equilátero B) Isósceles
D) Acutángulo
38. Del gráfico, hallar: T = cotx(1 + coty)
C) Rectángulo 
E) Obtusángulo
A) 1 
D) -1
B) -2 /3 
E) -1 /2
C) - 2
39. Del gráfico, calcular: T ■
1 - cosé 
1 - 76 sen<|)
A) 1,5 
D) - 2 E) -1 /2
C) 2
40. SI en el gráfico, ABCD es un cuadrado, calcular el 
máximo valor de: S = tana + tan|3
A) - 2 
D) - 8
C)
E) -1 2
41. Del gráfico, hallar D en función de R, r, a y [
A) 27r F + Rtan^- - r c o t |
B) 2 /R r + R c o t | - rco t-|
C) 2 /R r + R co t|- + rtan-|
D) 2/RF - R c o t | + rcot-|
E) 2 /R r - R c o t | + r ta n |
T r i g o n o m e t r í a ■ 1 1 5
42. Sabiendo que: tan(mt - x) = cot( 
calcular:
S = sen
tanx + co tx -2 1
■x) + 2 ;n e Z
2n
A) 13 12 
D) -V 2 /4
B) 73/4 
E) - 7 3 /4
tan x + cot x + 1 
C) 72/4
n n . ,43. S eña la r el m áxim o va lo r de k si: (x # n e n )
k - tan (5 ;i - x ) | ta n (4 p + x j + tan(57i + x)J >
cot(3 ;i + x ) jc o t |4 p + x j + co t(3n - x ) j 
C )4A) O 
D) - 2
B) 2 
E) - 4
2 0 0 3 r / r v r . 1 1
44. Sabiendo que: jse n (-!y + ( - 1)n0)J = 7 ; 0 e IIIC
2003 .
calcular: T = j c o s ( ^ + ( - 1)n0)}
A) (2 
D) -1 /2
B) -7 3 
E) - 7 Í 5 / 4
C) -1 3 12
45. Si el lado final del ángulo en posición canónica 
p pasa por el punto M, que es punto medio del 
segmento AB, tal que la suma de coordenadas de 
los puntos A y B es cero.
Calcular: S = tanp + /2 cscp
A) 1 B) 3 C) - 3
D) -1 E) A o C
46. Del gráfico, calcular:
R = (2tan2a - 5tanu)(7tan20 + 1Otan0)
A) 3/8 
D) 5/24
B) 7/24 
E) 13/7
47. De acuerdo al gráfico, calcular: T =
C) 35/24
1 - tan8 
1 - tana
A) k/h
D) -h /k
C) -k /h
E) -k h
48. En el gráfico mostrado el área de la región som­
breada es n veces el área de la región no sombrea­
da. Hallar: tana
A) n 
D) - 7 ñ
C) 7ñ
E) -7H 7n
49. En la siguiente igualdad:
tana = 7tanp + 2 + /tan0 + cot0 + 6 
tana asume su mínimo valor: p e IVC; 0 e IIIC 
calcular: V = senpsen© + cospcos0
A) fíO 15 B) — V10/5 C) VÍO/10
D )-V T 0 /1 0 E ) - V 5 /5
50. Siendo ABC un triángulo equilátero, calcular:
K = tanto - 2tanp
A) -1 3 
D) -7 3 /2
C ) -13/3
E) 13
51. Siendo 0 un ángulo estándar positivo y del cuarto 
cuadrante, para el cual se cumple:
(sec0)secfltan 1
donde se tiene que: tantp = ^ /64 
hallar el valor de: V = csc20 + cot20
A) 7/9 
D) 7/2
B) 9/7 
E) 2/3
C) 2/7
52. Siendo 0 un ángulo canónico perteneciente al IIIC 
1tal que: tan 0 = 1 1 1
— — j — J —
15 35 63
calcular: T = sec0 - csc0 
B)A) |7 T 3
E ) - f
53. Si ABCD: cuadrado, calcular: S =
B(3; 9)
c)
tana
tanp
6
A(-5; 6)
1 1 6 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
A) 4 
D) 12
A) -1 ,8 
D) -2 ,9
55. Si a y p son dos ángulos cuadrantales positivos y 
menores a una vuelta. Además verifican la siguien­
te condición, sena + 1 + tanp = 0
esc ( a + p ) K=°s80->sec18Cr
Calcular: V =
A) M-Í2 
D) 2
s e n ( f ) + c o s ( |
B) -1
E) - 2 .
C )1
56. Si en la figura desde P se divisa a AB bajo un ángu­
lo máximo (P e IT ), calcular: coto
A) - 2 
D) -3 /2
C) -2 /3
E) - 3
57. Se sabe que: 0,, 02 y 03 son ángulos cuadrantales 
diferentes, positivos y menores que una vuelta. 
Si el coterm inal de 0, pertenece al intervalo de 
-1380° al - 1320° y 03 es coterminal con - 0 3.
I )
A) 1 
D) 3
+ /2 c o s ¡ -^ )
B) 0 
E) 4
- cot' ( I )
C) 2
58. En el gráfico, el área del triángulo sombreado es 
igual a 60. Calcular: S = 2atan0 + 3bcot0
A) 0,125 
D) -0 ,875
B) -0 ,125 
E) -0 ,315
60. Si en la igualdad: tana - tanp = sec2p donde 
tana asume su m ínim o va lo r posible, además: 
a £ IC a p i IIC, calcular: V = senasecp
C) 0 ,3 /5
61. SI en el gráfico: AP = 2PB, calcular: tanG
A) 0 ,2 /5 
D) - 0 ,3 /5
B) - 0 ,2 /5 
E) - 0 ,6 /5
A) -7 /4 
D) -4 /9
62. Del gráfico,
B) -4 /7 
E) -9 /1 5
C)
A) /2 + 2 /2 - 1 
C) - / 2 + 2 /2 + 1 
E) - / 2 + 2 /2 + /2
B) - / 2 + 2 /2 - 1 
D) -■12 + 2-12 ~ /2
63. Sabiendo que: sen<|> = tanO; <j> e IIC A0 £ IC. Hallar: 
tarnj)
senG n \ cos0 sen0A )-
D)
/eos 20
COS0
B)
/ eos 20
E) -
C)
/ cos20
sen0
/eos 20 ' /sen20
64. De la figura, hallar el valor de:
ia_
IR / IRT = 2 /2 cosí - /2 s e c í^ - j + £ 7 V ? t a n í£ )
A) 4 
D) -1 0
B) - 6 
E) -11
B) - 2,8 C ) -3 ,2
E) - 1,6
54. SI en el gráfico, la suma AP + PB es mínima, calcu­
lar: cot<j>
59. Si el área del cuadrilátero ABCD es 10, calcular: 
s tanp + 3 
tana - 1
C) 0,875
-9 /4
calcular tana, si: PS = SQ
T r ig o n o m e t r ía ■ 117
A) ¡2 + Í2 
D) V 2 -V 2
B) ¡2 C) 1
E) 12 + 1
65. Indicar a que cuadrante pertenecen z e y, si se 
cumple:
■I- cotz+ ^secy > 2 ...(1)
[cosz - seny] = 1 ...(2)
además: y A y i k s í
A) y e IC; z e IVC B) y e IIIC; z e IIC
C) y e IVC; z e IVC D ) y e l lC ; z e lC
E) y e IVC; z e IIC
66. A partir del gráfico, hallar el valor de:
V = 4cos<|) - 13 tancj) 
si a es cotermlnal con 30°, además; PO, = P 0 2 
La distancia más corta del punto P al segmento 
0 , 0 2 es de 3 unidades.
A) 5 
D) 3
C) 7
E) 4
67. Del gráfico, calcular: tan0(CB = CO)
B(—3; 7)
- y .
y + x + 4 = 0 l ^ >A(1; 3)
£
' \
X
X
A) -0 ,1 B) -0 ,2 C) -0 ,3
D) -0 ,4 E) -0 ,5
68. Del gráfico, expresar el área de la región sombrea­
da en función d e a yp .
A) y (2n - a + p + sen2a - sen2p)
B) -1(4ji - a + p - sen2a + sen2p)
C) - l(2 n - a + p - sen2a + sen2p)
D) y (4n - 2a + 2p - sen2a + sen2p)
E) 1 (4 ti - 2a + 2p + sen2a - sen2p)
69. SI en la figura, ABCD es un cuadrado, señalar el 
equivalente de: S = (sena - señó)-1
A)
C)
/3
E ) -
senG - cos0 
•Í5
D)
■Í5
cos0 - sen©
sen0 + cos0 
70. Si en el gráfico, 0 es máximo, (P e eje x) 
calcular: T = cota + 1 
Vt
A) - - /0 2 
D) -1675
(5; -5 )
B) ~ IÓ ^
E) - V 0 6
71. Determinar el signo de: sen3Qsec5Qcot4Q
A) si Q pertenece al IC.
B) +; si Q pertenece al IIC.
C) +; si Q pertenece al NIC.
D) +; si Q pertenece al IVC.
E) si Q pertenece al IIC.
72. SI: a e IIC a ' l3'l4<lsen2a = (sena)~C0Sa
C) - - Í0 A
calcular: tana - sena 
11A ) - j ^ Í 4 3
D) ^ / 1 4 3
B) {|V 14 3 
E) ^ 7 1 4 3
C ) - l | / i 4 3
73. Si: f(0) = |cos(30)| + ^1 - sen2(20) - cos20 
calcular: f ( - | ) + f ( | ) + l
1 1 8 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
A) 2
D ) 3 + 2 /3
B) 2 +
E) 2
/3 C) 5
74. Determinar el signo de S en cada uno de los cua­
drantes (I; II; III; IV). S = cotx + senx - cscx
1 II III IV
A) + + + +
B) + - + +
C )+ - + -
D ) - + - +
E) + + - -
Si tana = 1
3
y a e
Hallar: T = 
A) /10
D ) ^ 0
3(cosa + 5sena)
2 cota 
B ) - 
E ) -
/ ío
10
2 VTÓ
C) m
10
76. En la figura adjunta, hallar:
S = 5sena - 15cosa = tana
A) 141/35 
D) 39/7 E) 1/4
C) 99/35
77. Si: tanx = (j^)2,3> calcular:
S = + -
/a™ cr
I b 1'3
+
a1'3/
/a 2'3 _L b2,3\2'3
Ib 2'3
1
a2'3/
bsenx acosx
B) r- + — b a
IC
c > & + 7
78. Se tiene dos ángulos que se diferencian en un múl­
tiplo de 360°. Se sabe que el cuádruple del menor 
es a la suma del ángulo menor más el triple del ma­
yor de los ángulos, como 4 es a 5. Hallar el menor 
de los ángulos, si se sabe que está comprendido 
entre 1080° y 3240°.
A ) 1280° B )2160° C ) 3200°
D ) 3210° E ) 3230°
79. Si a es un ángulo en el primer cuadrante y 
sena = 0,25. ¿Cuál es el valor de csca - cot2a?
A) 15 
D) 19/21
B) 21/19 
E) 19
C) 19/15
80. Si tanp = 1,5, siendo p un ángulo en el I 
te, hallar el valor de la expresión:
I cuadran-
V : 1 (secp - cscp)
A) -1 /6 
D) -5 /6
/T3
B) - 1 / / 6 
E) 1 //6
C) 1/6
81. Son a y p ángulos en posición normal p > a, cuyos 
lados terminales pasan por los puntos de intersec­
ción de la curva y2 = 2x a x = 2.
Hallar seca - cscp
A) 3 /2 
D) 2 /3 E) /3
C )2 /2
82. Sea a un ángulo del tercer cuadrante. Indicar la 
alternativa correcta al simplificar:
V = 1 + (/1 - sen2a )cosa
C) 1 + cos2aA) 2 + sen a 
D )sen2a
B) -s e n a 
E) cos2a
83. Si a es un ángulo del tercer cuadrante, tal que:
/1 + cot2a = 8. Calcular: (8seca)3 
/63A) 8
D ) -
3 /63
B ) -
E)
8 Í
63 
- 86
C)
/63
63/63
84. Si el ángulo x es positivo, pertenece al cuarto cua­
drante y es tal que: 0 < x < 2n. Entonces, hallar el 
signo de las siguientes expresiones trigonométricas.
tan(x/4)
I. S =
III. V =
sen(x/2)csc(x/4)
cot(x/3)sec(3x/4)
cos(x/5)
sen(x/3)tan(2x/3)
sec(3x/4)
A) (+ )(+ )(+ ) 
D) ( - ) ( + ) ( - )
B) ( - ) ( - ) ( - ) 
E) ( - ) ( - ) ( + )
C) (+ )(+ )(-)
85. Hallar el signo de las expresiones trigonométricas, 
en el orden dado:
52n 25ti . s e n - ^ - c o s - ^ - , s e n ^ c o t - ? ^ ;
O o
T r ig o n o m e t r í a ■ 1 1 9
- 205ti 73n
Sen{— 3 - ) CO[l 0
A) (+ ) (+ ) ( -) 
D) ( - ) ( - ) ( + )
B) ( - ) ( + ) ( - ) 
E) (+ ) ( - ) (+ )
C) ( - ) (+ ) (+ )
86. Si: senx = 0,6, ¿cuál es el valor de cosx, sabiendo 
que x es un ángulo del segundo cuadrante?
A) cosx = 0,8 B) cosx = 0,6 
C) cosx = -0 ,7 D) cosx = 0,9 
E) cosx = -0 ,8
87. Calcular el coseno del ángulo a del segundo cua­
drante tal que sena = 3/5
triangular PQR.
y (0; 1)
A) 4/5 B) 3/5 C) -2/3 
D) -4/5 E) -1/3
I V ' ' -
ul; o)
ye l x
88. Indicar la alternativa correcta para el signo de las V a ^ 7 R
siguientes expresiones:
sen(361°) - cos(455°)
ta n |y js e c (3 1 5 ° )
B) + ; 
E) + ;
89. En la circunferencia trigonométrica, indicar el valor 
de OC + DB, en función del ángulo a.
A )se ca + tana
1 + cosa 
sena
E) seca + csca
B) seca - tana 
1 - cosa
D) sena
90. En el circulo trigonométrico, calcular el área de la 
región sombreada.
A) (senO + cos9 - 1)/2
B) (senO - cos6 - 1)/2
C) (1 - sen0cos6)/2
D) (1 - 2cos8)/2
E) (1 - 2sen9)/2
91. Si: 9 e ; para que valores de x se cumple que:
16' 3
(x - 1 )sen20 = 3x + 2
A) 1
<°
\t
-
1
£|
co
B ) l
13. 91 
9 ' 13 J
C) 1 1 D) [ 11. 9 
[ 9 ’ 11
E )|
1
^
|ct>
1
92. En la figura mostrada, hallar el área de la reglón
sen0cos0 
A ) 4
^ sen0cos0 
16
E) -sen0cos0
B ) -
D ) -
senOcosG
senO eos 9
93. Evaluar: sen(krt) + cos(kn) + tan(kn) 
k: número entero no negativo.
A) ±1 B) 2 C) 1
D ) ( - 1 ) k E) -1
94. Si a es un arco del segundo cuadrante, positi­
vo menor que una vuelta. Hallar la extensión de:
eos (a +<|>), si: ^ <i)> <
A) -■ ! < cos(a +<])) < ~
B) -1 < cos(a + <)>)<
C) - y < eos (a + <)>)<
D) -1 < eos (a +<!))< - y
m r?
E) < c o s (a + .]))<
95. De las siguientes proposiciones:
I. Si: - i < x, < x2 < 0 entonces: senix,! > sen|x2|
II. Si: ~ ~ < x, < x2 < 0 entonces: |senx2| > Isenx,!
III senx + tanx 
cosx + cotx
Es positivo en el primer y tercer cuadrante y negativo 
en el segundo y cuarto cuadrante. Son verdaderas:
A) Solo I B) Solo I y II C) II y III
D) Solo III E) I, II y III
1 2 0 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
96. En la figura siguiente, calcular el área de la región 
sombreada.
A) -cos(0) 
D) |c o s (6 ) E) ^cos(e)
97. Determinar en qué límites debe estar comprendido 
a para que no se cumpla la relación:
2 5senx = ~ a -
A ) a < | v a > ^
4 4
C )a < ¡ V “ > ?
B) f < “ < X4 4
D) | < a <
4 4
f l l B L
1. B 14. E
2. C 15. B
3. E 16. E
4. B 17. B
5. C 18. C
6 B 19. B
7. C 20. E
8. E 21. B
9. E 22. B
10. A 23. C
11. A 24. A
12. A 25. B
13. E 26. B
27. C 40. C
28. B 41. B
29. A 42. C
30. A 43. B
31. A 44. C
32. C 45. E
33. D 46. C
34. E 47. C
35. D 48. D
36. B 49. C
37. C 50. A
38. D 51. B
39. D 52. D
53. C 66. A
54. D 67. B
55. C 68. E
56. D 69. D
57. D 70. C
58. E 71. c
59. C 72. c
60. D 73. c
61. A 74. c
62. B 75. B
63. A 76. D
64. A 77. D
65. C 78. B
79. E 92. E
80. A 93. D
81. C 94. B
82. D 95. A
83. E 96. C
84. C 97. C
85. B
86. E
87. D
88. E
89. C
90. B
91. D
Identidades 
trigonométricas
Johann MüIIer Regiom ontano 
(Kónigsberg, 6 de junio de 1436- 
Roma, 6 de julio de 1476) fue un 
astrónom o y m atem ático ale­
mán. Su nombre real es Johann 
MüIIer Kónigsberg y el apodo 
«Regiom ontano» proviene de la 
traducción latina del nombre de 
la ciudad alemana donde na­
ció: Kónigsberg (montaña real o 
montaña regia). Se puede decir 
que Regiom ontano fue verdade­
ramente un niño prodigio. A la 
edad de once años se matriculó 
en la Universidad de Leipzig para 
estudiar dialéctica. Posteriormen­
te, ingresó en la Universidad de 
Viena (1450).Durante esta época 
su principal actividad se centró 
en el estudio de las Matemáticas,
la Astronomía y la Cosmología. _ .......... .....
Fue tan veloz en su aprendizaje 
que al acabar sus estudios en 1452, las normas de la Universidad le exigían alcanzar la edad de 21 
para obtener el título de licenciado.
R e m a n ía ,
Su obra Triangulisse com pone de cinco libros: en el primero da las definiciones básicas: cantidad, 
ratio, igualdad, círculos,arcos, cuerdas y la función seno; además, proporciona algunos axiomas 
que serán el sustento de los 56 teoremas que enunciará; en el segundo de los libros establece la 
ley del seno y la em plea en la resolución de algunos problemas con triángulos; el tercero, cuarto 
y quinto tratan de trigonometría esférica. Asimismo, determ ina el área de un triángulo mediante 
el conocim iento de dos lados y el ángulo que los sustenta.
Fuente: W ikipedia
1 2 2 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
<< DEFINICIÓN
Una identidad trigonométrica es una igualdad en la que 
intervienen funciones trigonométricas y que se verifican 
para todo valor permitido de la variable.
« IDENTIDADES PRINCIPALES 
Identidades recíprocas
senxesex = 1, x A {nn}, n <e TL
cosxsecx = 1, x A, (2n + 1 ) | , n e Z
tanxcotx = 1, x A rju .i
2 , n e TL
Es muy frecuente encontrar en otros textos estas iden­
tidades expresadas de otra manera como:
1 = senx 1 = esex
esex senx
1 = cotx 1 = tanx
tanx cotx
1 = secx 1 = cosx
cosx secx
Identidades de cociente
senx - tanx; x ^ 
COSX
(2n + 1 ) | , n e TL
■92§* = cotx; x / {nn}, n e TL 
senx
Identidades pitagóricas
sen x + eos x = 1;
1 + tan2x = sec2x; x ^ j(2 n + n <
1 + cot2x = csc2x; x -/ {nn}, n sTL
Para este último caso considero que su demostración 
es interesante, por esta razón haciendo uso de la cir­
cunferencia trigonométrica paso a demostrarla:
B
Q \
/ í \ —~NX \[ n \
l s o
Sabemos que: OP = 1
SP = senx A QP = cosx(= OS)
Además: SP2 + OS2 = OP2
Entonces:
sen x + eos x = 1
n Pl
Sabemos que: OA = 1 
Además: AQ =tanx 
También: -^9. - secx 
Pero: OA2 + AQ2 = OQ2 
Entonces: 1 + tan2x = sec2x
OQ = secx
Ejemplos:
1. De aplicación de identidades reciprocas
1sen20°csc20° = 1
cos50°sec50° = 1
tan80°cot80° = 1
sen2xcsc2x = 1 
tan3acot3a = 1
sen40°
1 . 
cos3x 
1 = 
sen2x 
1
tan22x
= csc40° 
: sec3x 
: CSC2X
= cot22x
2. De aplicación de identidades de cociente:
sen10° 
cos10° 
cos40° 
sen40°
= tan10° 
= cot 40°
= tan7x
cos7x
sen220°
cos220°
cot3 5" =
c o s43 x
sen43x
= tan220°
cos35al
sen35°
= cot43x
3. De aplicación de identidades pitagóricas:
• sen220° + cos220° = 1
• sen23x + cos23x = 1
• 1 + tan280° = sec280°
• 1 + tan27x = sec27x
• 1 + cot25° = csc25°
• 1 + cot25x = csc25x
Sugiero al lector analizar detenidamente los ejemplos 
anteriores y entender bien la aplicación de las identida­
des. Es muy frecuente encontrar los siguiente errores 
por ejemplo:
sen2xsen 2x + eos 2x = 4
sen4x + cos4x = 1 
1 + tanx2 = secx2
_ - tanx
cos2x
1 + cot3x = csc3x 
tan3xcot3x = 9
r i f e — l\
1,° La forma de aplicar las identidades trigonométricas 
es muy variada, es fundamental que el lector en­
tienda que de las ocho identidades expuestas se 
deducen otras igualdades que lógicamente tam­
bién son identidades. Por ejemplo:
De la identidad: sen2x + cos2x = 1 se deduce:
1 - sen x = eos x 1 - cos2x = sen^
De igual manera se deducen:
• sec2© - tan2© = 1
• esc2© - cot2© = 1
5 ^ = tanx 
esex
esex
secx
= cotx
T r ig o n o m e t r í a ■ 1 2 3
2° No olvidar que:
vers9 = 1 - cos0 covO = 1 - sene
exsecG = secQ - 1
Cuando se aplican las Identidades trigonométricas 
se emplean con mucha frecuencia algunas identi­
dades algebraicas; por ejemplo:
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b
Ejemplos:
1, (senx + cosx)2 = sen2x + 2senxcosx + cos2x
= 1 + 2senxcosx
• (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
• (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)
• a2 - b2 = (a - b)(a + b)
2. (1 - senx)(1 + senx) .= 1 - sen2x = cos2x 
(sec0 -tan9)(sec0 + tan9) = sec20 - tan^ = 1
• a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
• a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
• (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
<4 IDENTIDADES AUXILIARES
Se denomina de esta manera a algunas identidades tri­
gonométricas que son de frecuente aplicación y que su 
uso permite una solución más rápida del problema que 
se está resolviendo.
Dentro del grupo de Identidades auxiliares considera­
mos las siguientes:
1. sen4x + cos4x = 1 - 2sen2xcos2x
Demostración:
Sabemos que: sen2x + cos2x = 1 
Entonces: (sen2x + cos2x)2 = (1)2 
Desarrollando:
(sen2x)2 + 2(senzx)(cos2x) + (cos2x)2 = 1 
sen4x + 2sen2xcos2x + cos4x = 1 
sen4x + cos4x = 1 - 2sen2xcos2x
sen x + eos x = 1 - 3sen xcos x
sec x + esc x = sec xese x
Demostración:
Partimos del primer miembro (para llegar al se­
gundo)
2 2 1 1sec x + esc x = t- + ------—
sec x + esc x =
eos x sen x
sen2x + cos2x
sen xcos x
= sec xese x
4. tanx + cotx = secxcscx
5. (1 + senx + cosx)2 = 2(1 + senx)(1 + cosx)
Demostración:
(1 + senx + cosx)2 = (1 f + (senx)2 + (cosx)2 +
2(1)(senx) + 2(1)(cosx) + 2(senx)(cosx) 
(1 + senx + cosx)2 = 1 + sen2x + cos2x + 2senx +
2cosx + 2senxcosx 
(1 + senx + cosx)2 = 2 + 2senx + 2cosx +
2senxcosx
(1 + senx + cosx)2 = 2(1 + senx) + 2cosx(1 + senx) 
(1 + senx + cosx)2 = 2(1 + senx)(1 + cosx)
De igual manera se demuestra que:
(1 + senx - cosx)2 = 2(1 + senx)(1 - cosx)
(1 - senx + cosx)2 = 2(1 - senx)(1 + cosx)
(1 - senx - cosx)2 = 2(1 - senx)(1 - cosx)
No es muy frecuente pero a manera de información se 
puede decir que:
Así como: sen4x + cos4x = 1 - 2sen2xcos2x 
senBx + cos6x = 1 - 3sen2xcos2x
También se cumple que: 
sen8x + cos8x = 1 - 4sen2xcos2x + 2sen4xcos4x 
sen’°x + cos’°x = 1 - 5sen2xcos2x + 5sen4xcos4x 
sen12x + cos12x = 1 - 6sen2xcos2x + 9sen4xcos4x -
2sen6xcos9x
sen14x + cos14x = 1 - 7sen2xcos2x + 14sen4xcos4x -
7sen6xcos6x
<4 TIPOS DE PROBLEMAS
En los ejemplos que se van a desarrollar a continuación 
se a dividido en cuatro partes el tipo de problemas:
Demostraciones
1. Demostrar que: (sen2x - cos2x)sec2x = tan2x - 1 
Demostración:
(sen2x - cos2x)sec2x = sen2xsec2x - cos2xsec2x
1
(sen2x - cos2x)sec2x = sen2x( — ) - 1 
Ic o s X /
_ sen X _ 1 _ tar)2x _ 1
eos X
2. Demostrar que: cot0(tan9 + sen9) - cos0 = 1 
Demostración:
cot0(tan0 + sen0) - cos9 = cot6tan§ + cotOsenO - cosO
1
cot9(tan0 + sen0) - cos0 =1 + | cost sen0 - cos0
sen01 
= 1 + COS0 - COS0 = 1
Demostrar que: cos4a - sen\x = 1 - 2sen2a
Demostración:
cos4a - sen4a = (cos2a + sen2a)(cos2a - sen2a) 
cos4a - sen4a = cos2a - sen2a 
= (1 - sen2a) - sen2a = 1 - 2sen2a
1 2 4 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
4. Demostrar que:. sen x + eos x = senx + cosx
1 - senxcosx 
Demostración:
Recordar que: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
i 1 i
n3x + cos3x (senx + cosx)(sen2x - senx cosx + cos2x)
1 - senx cosx 1 - senx cosx
_ (senx + cosx)(1 - senxcosx) _
1 - senxcosx
senx + cosx
5. Demostrar que: C0SQ + co*9 = cot6cos0
tant) + secu
Demostración:
CQS0 + COt0 _ COS0 + COt0 _ COS0 + cote
tan© + sec0 1 1 cos9 + cote
cot0 COS0 COS0COt0
= cot 0 COS 0
6. Demostrar:
(1 - cosacosp)2 - sen2asen2p = (cosa - cosp)2
Demostración:
(1 - cosacosp)2 - sen2asenp = 1 - 2cosacosp +
’ cos2acos2p - sen2asen2p
Hacemos:
sen2a = 1 - cos2a A sen2p = 1 - cos2p 
= 1 - 2cosacosp + cos2acos2p - (1 - cos2a)(1 - cos2p) 
= 1 - 2cosxcosp + cos2xcos2p - 1 + coszx + cos2p - cos2xcos2p 
= COS2a - 2 COS a cosp + cos2p 
= (cosa - cosp)2
Simplificaciones
1. Simplificar: R = (sena + cosa)2 + (sena - cosa)2 
Resolución:
Recordar que: (a ± b)2 = a2 + 2ab + b2 
R = sen2a + 2senacosa + cos2a +
t-------------i -------------i
sen2a - 2senacosa + cos2a
t 1------------1
R = 1 + 1 R = 2
Simplificar: R = sena + cosa + tana
Resolución:
Sabemos que:
1
— ■— = sena; 
csca
Entonces:
R = senaí — —
csca seca co ta
1 1— '— = cosa; — — = tana 
seca cota
cosa — -— ) + ta n a (— j— 
s e c a / \c o ta
- tan a = 1 + tan a
R = sec2a
Simplificar:
(1 - sena - cosa)2
R = ■
(exseca )(cova )
Resolución:
_ (1 - sena - cosa)2 _ 2(1 - sena)(1 - cosa)
R
(seca - 1)(1 - sena) (seca - 1)(1 - sena) 
2(1 - cosa) 
seca - 1
Pero:
cosa 
R = 2cosa
1 2(1 - cosa) _ 2(1 - cosa)
(1 - cosa)1
cosa
4. Simplificar: R = J + sen*e + cos4e 
2 + sen 0 + eos0
Resolución:
1 +(1 - 2 s e n 20cos20) _ 2 - 2sen20cos2i
R
2 + (1 - 3sen2 cos20) 3 - 3sen20 eos2 
2(1 - sen20 cos20 ) .
3(1 - s e n 20cos20 ) ' 
simplificando: R = 2/3
covxco t2x5. Simplificar: M
cscx(cscx - 1)
Resolución:
Transformamos todos los términos a senos y cose­
nos.
' cos2x ( 1 -s e n x )c o s 2x
M =
(1 - senx)-
1 ,í 1 ^
senx'i senx '1 senxsenx
A/Simplificando obtenemos: M = eos x
Problemas con condición
1. Si señó + cosó = m, a qué es igual:
R = (versó)2 + (covó)2
Resolución:
R = (1 - cosó)2 + (1 - señó)2 = 1 ~ 2cosó +
cos2ó + 1 - 2senó + sen:
t 1------------1
R = 3 - 2senó - 2cosó = 3 - 2(senó + cosó) 
Dato: señó + C0S|I> = m =» R = 3 - 2m
2. Si: senxcosx = t. Hallar: R = sec2x(1 + cos2x) +
Resolución
R = sec2.x(1 + cos2x) + I— ~ — ( cos2x = 
(sen x /
= sec x + sec xeos x + cot x
1
R = sec2x + 1 + cot2x => R = sec2x + csc2x 
=» R = sec2xcsc2x
1 _ / 1R =
sen xeos x \senxcosx
; dato: senxcosx = t
.-. R = 1/t2
T r i g o n o m e t r í a ■ 1 2 5
3. Si: sen3x - csc3x = 7, calcular: sen3x + csc3x 
Resolución:
R = sen3x+ csc3x; dato: sen3x - csc3x = 7 
Elevamos al cuadrado:
(sen3x - csc3x)2 = 49 => sen6x - 2sen3xcsc3x +
1
csc6x = 49
sen6 + csc6x = 51 =• sen6x + 2sen3xcsc3x + csc6x
= 5 1 + 2
(sen3x + csc3x)2 = 53 => R2 = 53 R = V53
4. SI: k = tañó + cot<|>, calcular: R= sec6ó + csc6ó 
Resolución:
Sabemos que: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
R = (sec2i|))3 + (csc2i]>)3 =
(sec2ó + csc2<j))(sec4(j) - sec2ócsc2ó + esc“ó)
Dato: k = tañó + cot<t> = secócscó 
Además: sec2ó + esc2ó = sec2ócsc2ó
R = (sec2ócsc2ó)[(sec4ó + csc4<|)) - sec2(j)csc2<j)]
= k2[sec4ó + csc4ó - k2] 
R = k2[(sec2ó + csc2<|))2 - 2sec2(|>csc2(|i - k2]
= k2[(sec2(jicsc2i|))2 - 2k2 - k2] 
R = k2[(k2)2 - 3k2] => R = k6 - 3k4
Eliminación de variable
1. Eliminar 0 de: sen0 = x A cos0 = y 
Resolución:
x = senO => x2 = sen20 
y = cos0 => y2 = cos20 
Sumando miembro a miembro: 
x2 + y2 = sen20 + cos20 =» x2 + y2 = 1
2. Eliminar a de: tana + cota = x A tana - cota = y
Resolución:
tana + cota = x ...(1)
Elevado al cuadrado (1): 
tan2a + 2tanacota + cot2a = x2
tana - cota = y ...(2)
Elevado al cuadrado (2): 
tan2a - 2tanacota + cot2a = y2
Restando miembro a miembro:
4tanacota = x2 - y2
Como: tanacota = 1 => x2 - y2 = 4
3. Eliminar ó: tañó + señó = m y tañó - señó = n
Resolución:
tañó + sen<t> = m •••(1)
tañó - sen<t> = n ...(2)
Sumando (1) + (2) se obtiene: tañó = m * n
Restando (1) - (2) se obtiene: señó = m ~ n
tañó = — => cotó = 2 ■ => cot2ó = — - — 2
2 m + n (m + n)2
señó = —-X 1- =» cscó = ——— => csc2ó = — - — 5
v 2 ^ m - n ( m - n )2
CSC2Ó - COt2Ó = 1 =» ----- y - 7 1— 77 = 1
T ( m - n ) 2 (m + n)2
Simplificando:
16mn = (m2 - n2)2
4. Eliminar 0:
acov0 = bsenO a avers0 = bcosB
Resolución:
acovO = bsenO => a(1 - sen0) = bsenG 
=5 a - asen© = bsen0 
a = (a + b)sen0 ...(1)
aversG = bcos0 =3 a(1 - cosO) = bcosG 
=» a - acos© = bcos0 
a = (a + b)cosO ... (2)
Elevamos la cuadrado (1) y (2): 
a2 = (a + b)2sen20 
a2 = (a + b)2cos20
Sumando miembro a miembro:
2a2 = (a + b)2[sen20 + cos20) =» 2a2 = (a + b)2 
1
2a2 = a2 + 2ab + b2 => 2a2 - a2 - b2 = 2ab 
=> a2 - b2 = 2ab
5. Ellm inaró:
x = 1 + señó + sen2ó + sen3ó + ... 
y = 1 + cosó + cos2ó + cos3ó + ...
Resolución:
x = 1 + senó[1 + señó + sen2ó + ...] 
x
y A
=> x = 1 + xsenó =■ señó = —~ ■■■(1) 
y = 1 + cosó[1 + cosó + cos2ó + ...] 
y
V — 1
=3 y = 1 + ycosó =» cosó = ------ ■■■(2)
Reemplazamos (1) y (2) en la Identidad: 
sen2ó + cos2ó = 1
- X H X X
=3 (xy - x)2 + (xy - y)2 = (xy)2 
Ejemplos:
1. Si: cos40 - sen40 = Mcos20 - 1 es una identidad. 
Hallar M.
Resolución:
Sabemos que: a2 - b2 = (a + b)(a - b)
cos40 - sen40 = Mcos20 - 1
(cos20 + sen20)(cos20 - sen20) = Mcos20 - 1
' 1 '
1 2 6 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p i e n s
=> cos20 - sen20 = Mcos20 ~ 1 
Como:
sen20 + cos20 = 1 => sen20 = 1 - cos20 
cos20 - ( 1 - cos20) = Mcos20 - 1 
Luego: 2cos20 - 1 = Mcos20 - 1 
Simplificando: M = 2
Determinar M para que la igualdad sea una identi-
A f 1 f i 1dad. — 5— i —̂ — -¡rr h 5—
eos <|> tan 4> ^ cot <|)
Resolución:
^ 1 _ 1 1____________ 1_
M cos2<(> tan2<f> cot2<j)
A
- sec2<|) + cot2i|) - tan2<fi
M
= cot2if> + (sec2i|> - tan2<|>)
± = 
M
M =
cot <|> + 1 
1
M
C S C <
M = sen2*
C S C I
Expresar sena (a: agudo) en términos de la tana. 
Resolución:
H + tan2a tana
Construimos un triángulo rectángulo en términos 
de la tana.
„ sena = , tana
V1 + tan2a
Si 0 e ^0; expresar en términos de la cot0.
La expresión:
P _ sen0 tanO 
tan© csc0
Resolución:
cote
D sen0K — : Y
i senQ 
\ COS0
senQ \ 
cose / 
1
sen©
= cosO sen 9 
COS0
R = eos 0 + sen
R = sec0 
=> R = sec0 = j l + cot20 
cote
5. Para qué valor de m la expresión es independiente 
del ángulo. ¿Cuál es el valor de J en dicho caso?
J = 3tan20 + tan4e + msec29(sec29 + 1)
R eso luc ión :
Expresamos: J en términos de tanG, para esto de­
bemos recordar que sec20 = 1 + tan20.
J = 3tan20 + tan40 + m(1 + tan20)(1 + tan20 + 1)
J = 3tan29 + tan40 + m(2 + 3tan29 + tan40)
J = 3tan20 + tan40 + 2m + m(3tan20 + tan4e) 
Como J debe ser independiente de0 entonces este 
se tiene que anular, si observa bien se dará cuenta 
que si m = -1 entonces tanO se anula.
J = 3tan20 + tan4© + 2 (—1) + (-1 )(3 ta n 20 + tan40) 
J = 3tan26 + tan4e - 2 - 3tan20 - tan40
J = - 2 m = - 1 a J = - 2
6. Hallar la extensión de:
F = senx + cosx
R esolución:
Hay diversas maneras de hallar el rango de esta 
función, aplicando identidades se procede así: 
Como:
F = senx + cosx => F - senx = cosx 
Elevamos al cuadrado:
(F - senx)2 = cos2x
F2 - 2Fsenx + sen2x = 1 - sen2x
2sen2x - 2Fsenx + (F2 - 1) = 0
Se ha formado una ecuación de segundo grado en
senx.
Sabemos que en una ecuación de segundo grado: 
ax2 + bx + c = 0; el discriminante es: A = b2 - 4ac; 
si A > 0 entonces la ecuación tiene raíces reales. 
Por lo tanto, en nuestro caso analizamos al discri­
minante:
( -2 F )2 - 4(2)(F2 - 1 )> 0 
4F2 - 8F2 + 8 > 0 =» - 4 F 2 + 8 > 0 =» 4F2 < 8 
=s> F2 < 2 => |F| < -/2 => -1 2 < F < -Í2 
El rango de la función es:
[— 72; 12]
í u s í __________________________________
Esto significa que:
-■12 < senx + cosx < V2 
El máximo valor de (senx + cosx) es: f2 
El mínimo valor de (senx + cosx) es: -V2 
De igual manera se deduce que:
1 1 - A < senx cosx < a
T r ig o n o m e t r í a ■ 1 2 7
' D P R O B L E M A S RESUELTOS Q '
1. Simplificar: T =
Resolución:
T equivale a:
3
1 + senx cscx - 1
»T = -
T =
3senx
1 + senx ' 1 1 + senx ' 1 - senx
senx
3 - 3senx + 3senx + 3sen2x 
(1 + senx)(1 - senx)
Como: 1 = sen2x + cos2x => 1 - sen2x = cos2x 
Luego:
1T _ 3 + 3sen2x _ 3 + 3
COSX ICOS X/ i eos X /
T = 3sec2x + 3tan2x => T = 3(1 + tan2x) + 3tan2x 
T = 3 + 6tan2x
2. Hallar una relación entre a y b a partir de: 
asenx = bsenx + cosx
bcosx = senx - acosx
Resolución:
asenx = bsenx + cosx ...(1)
bcosx = senx - acosx ...(2)
De (1): asenx - bsenx = cosx
(a - b)sen x = cosx ...(3)
De (2): acosx + bcosx = senx
(a + b) cosx = senx ...(4)
Hagamos (3) x (4): (a2 - b2) senxcosx = cosxsenx
a2 - b2 = 1
3. Si se cumple que secG + tanG = 6, entonces. Ha­
llar: S = 1 - sen0
COS0
Resolución:
Sabemos que: 
sec20 = 1 + tan2( sec( tan20 = 1
De donde se obtiene:
(sec9 + tan9)(sec6 - tanG) = 1 
6
Luego: sec0 - tanG = 1/6 
1 _ senG _ _1_ 1 - senG
cosG cos9 ~ 6 cosG
S = i
4. Si cota + csca = a. Hallar sena, sabiendo que a
es agudo.
Resolución:
Dado que: csc2a = 1 + cot2a => csc2a - cot2a = 1
De donde obtenemos:
(csca + cota)(csca - cota) = 1
csca - 
csca + cota = a
cota = — 
a
(+)
2csca = — + a 
a
2a
1 + a2
2a
1 + a
Si tan6x = 6cot2x + 5
Hallar: E = (tan2x - 1)(tan4x + 1)
Resolución:
Del dato: tan6x = 6cot2x + 5 
1Tenemos: tan x = 6 + 5
tan8x = 6 + 5tan2x =» tan x - 1 = 5 + 5tan x 
(tan4x + 1) (tan4x - 1) = 5(1 + tan2x)
(tan4x + 1 )(tan2x + 1) (tan2x -1) = 5(tan2x +1) 
(tan4x + 1)(tan2x - 1 ) = 5 E = 5
6. Reducir: S /1 + 2senxcosx - cosx cscx
\ senx + cosx 
Resolución:
Se sabe que: (sen x + cosx)2 = 1 + 2senxcosx 
Reemplacemos en:
S =
S =
1 + 2senxcosx 
senx + cosx
(senx + cosx)2
cosx cscx
senx + cosx
7.
S = (senx + cosx - cosxjcscx 
S = senxcscx .-. S = 1
Si sen<])Cos<|> = ktanc¡>, simplificar:
T = (k + sen2<)))(k + cos2i|>) - k
Resolución:
Simplifiquemos T:
T = (k + sen2i|>) (k + cos2<(>) - k 
T = k2 + kcos2<|> + ksen2(|> + se n ^co s 2̂ - k 
T = k2 + k(cos2(j) + sen2<|>) + sen2i|icos2(j) - k 
1
T = k2 + k + (se¡4cosó)2 - k 
dato
T = k2+ k2tan2<|> = k2(1 + tan2 c|>) T= k2sec2<
8. Reducir la siguiente expresión:
g __ sen10x + cos10x - sen8x - cos8x 
- s e n 6x - cos6x
Resolución:
sen10x + cos10x - sen8x - cos8xS =
S =
- sen x - eos x 
- s e n 8x(1 - sen2x ) - cos8x(1 - cos2x) 
- sen6x - cos5x
1 2 8 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ía S a p i e n s
De:
1 = sen2x + cos2x; se tiene 
1 - sen2x = cos2x A 1 - cos2x = sen2x
Luego:
g _ - ( s e n 8xcos2x + cos8xsen2x)
~ (se n 6x + cos6x) 
g _ sen2xcos2x[sen6x + cos6x]
(sen6x + cos6x)
S = (senxcosx)2 = ( ^se n x c o s x j2 . s = s e ^ 2 x
9. Simplificar:
Y _ (3sen4x - 2) - (1 - 3 cos4x)
(sen6x - 2) + (sen6x + 2cos6x) 
R eso lución:
Y equivale a
Y _ 3sen4x - 2 - t + 3cos4x
sen6x - 2 + sen6x + 2 cos6x
Y _ 3(sen4x + cos4x ) - 3
2(sen6x + cos6x) - 2 
Apliquemos las identidades:
sen4x + cos4x = 1 - 2sen2xcos2x 
sen6x + cos6x = 1 - 3sen2xcos2x
Y _ 3(1 - 2sen2xcos2x) - 3
2(1 - 3sen2xcos2x) - 2
Y _ -6 s e n 2xcos2x • y = 1
-6 s e n 2xcos2x
10. Reducir la suma:
-i 10
S = r p rX co t( ^ r _ 6). s ' cote “ tar|0 = 2cot20
R eso lución:
10S = ^ COtí^y- - e)
n = 1
10S = co t(- | - 0) + cot(n - 0) + c o t | ~ - o\ +
cot(2n - 0) + c o t ( ^ - 0) + COt(3n - 0) +
cot( - y - e )+cot(4n - 0 ) + - 0) + cot (57t - 0)
Observemos que: 
co t(-| - 0) = tan0
co t|-y - - o j = cot(27i + - 9) = tan0 
co t(-y - - 0 j = cot(4n + - | - 0) = tanO 
Además:
c o t|4 p - ©j = tan0
c o t ( ^ - 0 J = cot|2n + ^ - 0 ) = tar|0
Y aplicando cot(kn - 0) = co t(-0 ), k e Z , tenemos: 
10S = 3tan0 + 3co t(-0 ) + 2tan0 + 2 co t(-0 )
10S = 5tan0 + 5co t(-0 )
2S = tan0 - cot0 = -(co to - tan0)
2S = - 2cot26 S = -cot20
11. Si 5sena = 6senp y 8cosp = 5 /3 cosa; hallar tan2p. 
Resolución:
Dato: 6senp = 5sena
Multiplicamos por /3 : 6 /3 sen p = 5 /3 sena 
Dato: 8cosp = 5 /3 cosa
Elevando al cuadrado y sumando miembro a. 
miembro:
(6 /3 s e n p )2 + (8cosp)2= ( 5 /3 ) 2(sen2a + cos2a)
1
108sen2p + 64cos2p = 75 
Dividiendo entre cos2p resulta:
10 8 ( i ^ ) + 6 4 ( ^ P ) = 7 5 ( ^
I cos p / I cos P I \cos P
108tan2p+ 64 = 75sec2p
108tan2p + 64 = 75(1 + tan2p)
33tan2p = 11 .-. tan2p = 1/3
-i
12. Si: seca = m + n, tana = m - n, hallar: P = ■̂ -L-
8mn
Resolución:
Conocemos la identidad: sec2a = 1 + tan2a
De donde: sec2a - tan2a = 1
=> (m + n)2 - (m - n)2 = 1 =5 4mn = 1
Luego : P = -5- ! - = — -— P =
8mn 2(4m n) 2
13. Si 5senx = 1 - cosx; reducir: E = 10 + 10cosx 
Resolución:
E equivale a:
E= 1 0 (1 + cosx) ...(1)
Como dato se tiene:
5senx = (1 - cosx) ...(2)
Hagamos (1) x (2):
E(5senx) = 10(1 - cos2x)
Esenx = 2sen2x .-. E = 2senx
14. Reducir: T = (sec2 x + csc2x)tan2x(1 - cos2x)cot4x 
Resolución:
Se sabe: sec2x + csc2x = sec2xcsc2x
Reemplacemos en T:
T = (sec2x + csc2x)tan2x(1 - cos2x)cot4x
T = sec2xcsc2xtan2xsen2xcot4x
t__________ t
1
T = sec2xtan2xcot2xcot2 x
T = csc2x1 (' cos2x
cos2x '' sen2x
T r i g o n o m e t r í a ■ 1 2 9
15. En la figura, calcular el radio R en función de h, d 
y 9, si; m ZBAE = 9, AC = h, CD = d, B y D son 
puntos de tangencia.
Resolución:
- sen0 => TM = dsen0
= cose
l\ATM: I M = sene => I M AM d
kN O M : M = cose =»
OM R — n
=> NM = (R — h)cos9
Pero: TM = TN + NM
=s dsenO = R + (R - h)cos0
dsene + hcose = R(1 + cos0)
. R _ dsen0 + hcos9 
1 + cose
16. Si x e ^0; A tanx + cotx = n, expresar:
T = senx + cscx + cosx + secx en términos de n. 
Resolución:
Dato: tanx + cotx = n; x 6 (0\
=» secxcscx: 
Se pide:
T = senx
senxcosx =
1
senx
T = (senx + cosx) +
•+ cosx + -
cosx 
'senx + c o sx \
senxcosx >
T = (senx + cosx) + (senx + cosx)secxcscx 
T = (senx + cosx)(1 + secxcscx)
T = V1 + 2senxcosx (1 + secxcscx)
T = J l + ------ (1 + secxcscx)
K secxcscx
T = J l + | ( 1 + n) = (n + 1
17. Si: —57i < 49 < —4 ti A 
acos40 + bsen40 = -
a / + (¿
tal que a # 0 y b A 0, entonces hallar tañe.
Resolución:
acos40 + bsen40 = a -v -; 0 e 
a + b
acos40 + bsen49 = 
I a + b
ab
a + b
b )cos49 + (^ -± -^ )s e n 40 = 1
Luego: 
a + b ' cos’ 0 + ( a + ^ Wen40 = cos20 + sen2(
/ a + b 
l b
I a + b
COS 0 = 1
sen20 =1 => sen i
a + b 
a
Dividiendo:
a + b
Como:
tan i
a + b
5n. 
' 4 ’ = - f
18. Si A + B + C = 360° , tanA = p, tanB = q, hallar: 
E = (1 - pq)tanC
Resolución:
Se pide: E = (1 - pq)tanC 
=> E = (1 - tanAtanB)tanC 
=> E = tanC - tanAtanBtanC 
Como: A + B + C = 360°
=> tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC 
En E:
E = tanC - (tanA + tanB + tanC)
E = -(ta n A + tanB) .-. E = - (p + q)
19. Eliminar 0 de: tan0 + cote = x
sec0 + csc0 = y
Resolución:
Condición:
tañe + cote = x =» sec0csc0 = x ...(1) 
sec6 + csc0 = y ...(2)
Elevamos al cuadrado la expresión (2):
(sec0 + csc0)2 = y2
sec29 + 2sec0csc0 + csc26 = y2
sec29csc20 + 2sec9csc6 = y2 
Reemplazamos (1): x2 + 2x = y2
 , . „ (1 - cosx)(1 + cosx + senx)
20. Reducir: S = —^ ---------------------- —z
cosx(1 - cosx + senx)
Resolución:
Elevamos al cuadrado:
2 _ (1 - c o s x ^ Ü + cosx)(1 + senx) 
(cos2x)2(1 -c o s x )(1 + senx)
1 - cos2xS2 = S2 = .-. S = tanx
1 3 0 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p i e n s
21. Simplificar: 
T r sec xcsc x ¡ - 4 - |tan x ~ cot x| 
Resolución:
T = VI sec xcsc x | - 4 - |tanx - cotx| 
T = ■!sec2x + csc2x - 4 - |tanx - cotx|
tan2x + 1 cot2x + 1
T = '/tan2x + cot2x - 2 - |tanx - cotx|
2tanxcotx
a2T = ^(tanx - c o tx f - |tanx - cotx|
T = |tanx - cotx| - |tanx - cotx[
T = 0
22. Simplificar: R = sec>(1 - s e n > ) - 2 ta n ^ 
esc <j)(1 - eos <j>) - 2cot <|>
Resolución:
sec4(|) - sec4(|>sen4ct> - 2 tan2<j>
R =
csc4<)> - csc4(|) cos4<j) - 2co t2ó 
Como:
sec4<j)sen4(j) = tan4<t>; sec2i|> = 1 + tan2<¡> 
csc4cj)Cos4(|) = c o fó ; csc2<(> = 1 + co t2i|> 
R eem plazando:
(1 + tan2<)>)2 - tan4<J> - 2 tan2cj>
R
(1 + cot2<f>C - cot4<|) - 2 cot2
1 + 2 tan2 - tan ó - tan 2 tan2
1 + 2 cot2
23. Simplificar: R =
Resolución:
Sabemos: esex ■
senx
■ cot <|> - cot <)> - 2 cot2 
senx , esex
1 - senx 1 - esex 
cosx , secx
1 + cosx 1 + secx
senx
1
cosx
1 - senx senx 1
senx 1 - senx senx - 1
cosx 1
1 + -
cosx 
1 + cosx
senx - 1
R _ 1 - senx - 1 . R _ _ i
cosx + 1 1
1 + cosx cosx + 1
1 + eos x 
24. Simplificar: U =
(1 - sena + cosa)2
(sena + tana)(cosa - co ta ) 
Resolución:
2(1 - sena)(1 + cosa)
U =
U =
 . sena c o s a \sena h eos a -----------
V eos a A sena /
2(1 - sena)(1 + cosa l
„ , c o s a + 1 \„ „ „ / s e n a - 1sen a ---------------- c o s a ----------------
c o s a / \ sena
U = - 2
25. Reducir:
B sen tan 8 + cot6 \ 
- sene eos6 /sec8 + csc0 
Resolución:
Sabemos:
sen30 + cos30 = (sen0 + cos0)(1 - sen0cos0) 
tanO + cote ='sec0csc0 
Reemplazando:
B _ (sene + cos0)(1 - sen0cos0), Sec0 csc9 \
1
cose
1
1
sen0
\1 -s e n 0 c o s 8 /
I 1
B = sen8cos8sec8csc6 B = 1
26. Reducir:
E = tan x - sen x 
cot2x - cos2x
Resolución:
E =
sen2x - sen2x ( 1
- 1)cos2x \cos2x
cos2x
sen2x
- cos2x cos2x|1 1
ise n 2x - 1)
F sen2x(sec2x - 1 ) sen2xtan2x
 ; : ^ o .o
eos X(CSC X - 1) COS2XCOt2X
cot2x
i sen2x \ tan2x
\ cos2x / 1
tan2x
= tan x
= (tan2x)(tan4x)
27. Simplificar:
N = cotO
Resolución:
n = cote +
COS0 sene
csce + cote (cote + csce)2 
cose , sene
1 + cose / i + cose \2n = cote + 
n = cote + 
n = cote + 
n = cote + 
n = cote + 
N =
N =
sen0 
senecos£
; 1 + co s e r 
\ sene /
+ -
1 + cose ’ ( i + cose)2 
sen0cos6(1 + c o s 0 ) + sen30 
(1 + cose)2 
sene (cose + cos20 + sen20) 
(1 + cose)2 
sen6(cos0 + 1)
(1 + cos0)2 
sene cose
1 + cose sene 
cos0(1 + cose) + sen20 _ 
sen6(1 + cos0) 
cose + 1 _ 1
se n 0 (1 + co s0 ) sen8
sene
1 + cose
cose + cos2e + sen2 
sen0(1 + cose)
N = csce
T r ig o n o m e t r í a ■ 131
28. Simplificar:
L = /versx , covx
+ c o s x ) (1 + sen x)(1 + cosx)senx c o sx /
Resolución:
_ (1 - cosx)(1 + senx)(1 + cosx) 
senx +
(1 - senx)(1 + senx)(1 + cosx) 
cosx
_ (1 - c o s 2x)(1 + se n x ) (1 - s e n 2x)(1 + co sx ) 
senx cosx
Sabemos: sen2x + cos2x = 1 
Entonces: sen2x = 1 - cos2x a cos2x = 1 - sen2x 
_ sen2x(1 + se n x ) cos2x(1 + c o s x ) 
senx cosx
L = senx(1 + senx) + cosx(1 + cosx)
L = senx + sen2x + cosx + cos2x
t__________ t
1
L = 1 + senx + cosx
29. Hallar el valor de L para que la igualdad:
1 + sen4<j> i 1 + cos4<t> L(1 - sen2<|>cos2<|>).
n I n A A ) S 0 3
1 + eos c|> 1 + sen cj) 2 + sen 4>cos <|>
una identidad.
Resolución:
Analizamos el primer miembro:
1 + sen4<j> 1 + cos4<|)
1 + cos2<|) 1 + sen2(|)
_ (1 + sen4i)))(1 + sen2i|)) + (1 + cos4<t>)(1 + cos2f ) 
(1 + cos2c|>)(1 + sen2i)))
__ 1 + sen4<j) + sen2(j) + sen6<|) + 1 + cos4<J> + cos2«t> + cos5<|) 
1 + cos2i|) + sen2i() + sen24> cos24> 
Agrupamos en forma conveniente:
__ 2 + (sen2<ji + cos2<|)) + {sen4ij> + cos4ij>) + (sen6<J> + cos6ij)) 
1 + (cos2i|> + sen2ij)) + sen2<|) cos2<J>
Recordar:
sen4(|) + cos4ij) = 1 - 2sen2<|)cos2<|> 
sen6ij> + cos6i|) = 1 - 3sen2<(>cos2<¡>
_ 2 + 1 + 1 - 2sen2i|) cos2((i + 1 - 3sen2<ji cos2(|)
2 + sen2<|> cos2<|)
_ 5 - 5sen2<|) cos2<|i _ 5(1 - sen2<j>cos2<j>)
2 + sen2<j> cos2(|) 2 + sen2<j> cos2ij)
L(1 - sen2(j>cos2ó'1 
2 + sen2* cos2<|
30. Si: -^ ° sa = 2 (a agudo), hallar 15(tana + sena)
Resolución:
1 + cosa _ 1 cosa
sena sena sena
csc2a - c o fa = 1 => (csca - cota)(csca + cota) = 1 
1
csca - cota =
csca + cota = 2 ...( l)
cotí 
..(II)
de (I) y (II): csca = ^
.-. 15(tana + sena) = 1 5 |^ + ^ j = 32
31. Al simplificar la expresión
T = sec 9 + eos 6 - 2 
sec9 + cos0 - 2 
se obtiene
2sec9 - cos0 - 2
Resolución:
sec20 + eos2T =
T =
■ 2sec0cos0 - 2 + 2
sec9 + cosO - 2
- 2sec9 - cos0 - 2 
(sec0 + cosO - 2)(sec0 + cos0 + 2)
secO + cose - 2
- 2sec0 - cos0 - 2 
T = sec9 + cosG + 2 - 2sec6 - cose - 2 
.-. T = -sec0
32. Hallar k si:
4cot2^ - c o s 2T + 5 = ( k -2 ) ( s e n i + 2 csc^ + csc§) 
b b / b 5 o /
Resolución:
k - 2 =
4(co t2T + 1̂ + sen2-|
k - 2 =
sen-^ + 2 c s c § + 2 
O b
4 csc2^ - 4 + 4 + sen2T 
b______________ b_
sen-| + 2 c s c -| + 2
b b
( 2 cscT + sen 71 \2
k - 2 =
k - 2 = 2csc-§- + sen-^- - 2 
b 5
.-. k = 2csc§ + sen§ 
b b
33. Calcular el valor de: M = secx 1 + senx 
covx cos3x 
si se cumple: (versx + covx - 1)2= exsecx 
Resolución:
Recordando las identidades
vers = 1 - cosx
covx = 1 - senx
exsecx = secx - 1
En la condición del problema:
(1 - cosx + 1 - senx - 1 ) 2 = secx -1 
■ \2 _ 1(1 - cosx - senx) =
cosx
- 1
1 - cosx 
cosx
2(1 - cosx) (1 - senx) =
•i
=» co sx (1 - senx) = ^
Simplificando la expresión que piden: 
1
1 + senxM cosx ■ +
1 - senx eos2xcosx
1 3 2 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
M = 1 1 + senx
M =
cosx(1 - senx) (1 + senx)(1 - senx)cosx 
2
cosx(1 - senx)
34. De la siguiente igualdad:
— 7 ~— 7 + — ~ — 7 = cotk(ax) 
co tx + 1 c o t x - 1
calcular: a + k 
Resolución:
Efectuando en el primer miembro: 
cotx - 1 + cotx + 1
(cotx + 1)(cotx - 1)
2 ° ot — = cotk(ax) 
cot x - 1
Multiplicando por tan2x 
2 co tx tan 2x
■■ cot (ax)
7— ,— , , = cot (ax)
(cot x - 1)tan2x
2 tanx = cotk(ax)
1 - tan x
tan2x = cotk(ax)
(cot2x)~1 = cotk(ax) =» a = 2, k = -1 
a + k = 1
35. Hallar x si: tanx + cotx = x \2 s e c x -c s c x
COS0t sen9
Resolución:
Dato: tanx + cotx = secx - cscx
secxcscx■
sene
1 í 1 1 \sen0\ cosx sen x /
1 i senx - eos x \
sen0 V cosxsenx 1
=> sene = senx - cosx => Elevamos al cuadrado: 
sen26 = sen2x + cos2x - 2senxcosx
í
2senx cosx = 1 - sen20 
2senx cosx = cos20 ..(1)
Dato: tanx + cotx :
«2
secxcscx ■
eos
x = secxcscxcos l
x * = — 2oeos •(2)cosxsenx 
(1) en (2): x2 = UUO AOCI l/V
.-. x = ± i í
36. Hallar: T = cscx + cotx. Si: secx + tanx = n 
Resolución:
Del dato: - 1 _ + J> e n x = n 
COSX cosx
Restando 1: 1 + s e n x - c o s x = n - 1
Además: T :
cosx 
1 + cosx
senx senx
. . .o )
Restando 1: l - ^ sx scnx = T _ 1 (2)
senx
Se sabe que:
(1 + senx - cosx)(1 - senx + cosx) = 2senxcosx 
al multiplicar (1) x (2):
(1 + s e n x -c o s x ) (1 - senx + cosx)
cosx
(2senxcosx) 
eos xsenx
■ = (n - 1)(T - 1)
: (n — 1) (T — 1)
Luego de multiplicar: 
2
n - 1
= T - 1 T = n + 1 
n - 1
37. Obtener tan0 si:
x = tañe + sec8 + mtane 
y = cote + csce + ncote
Resolución:
x = tan0(m 
y = cot0(n -
Dividiendo:
1)
1 )-
■ sec6 
csce .
x - tan0(m - 
y - cot0(n + 
1
x - tan0(m + 1)
- 1) = sec6 
1) = csce
cose
y - cote(n + 1) 1
sene
x - tan0(m +1) = tan6(y - cot0(n +1)) 
x - tan0(m +1) = ytan0 - (n +1) 
x + n + 1 = ( y + m + 1 )tan0
tañe = X t n .+ 1 
y + m + 1
38. Si: sen20 = sen2x + cos4x
Hallar: T = sec2x + csc2x, en términos de 6
R eso lución:
Con el dato: sen20 = (1 - cos2x) + cos4x
cos2x - cos4x = 1 - sen20
cos2x (1 - cos2x) = cos20
cos2xsen2x = cos20
sec2xcsc2x = sec20
Como: sec2x + csc2x = sec2xcsc2x
.-. T = sec20
39. El equivalente de:
M = (1 + 2tan2x)(1 + 2sec2xtan2x), es:
R eso luc ión:
Recordar: 1 + tan2x = sec2x 
M = (1 + tan2x + tan2x)(1 + 2 sec2x tan2x) 
seczx 1+tan2x
1
M = (sec2x - tan2x)(sec2x + tan2x)(1 + 2tan2x + 2tan4x) 
sen'lx-tan4x
M = (sec4x - tan4x)(1 + 2 tan2x + tan4x + tan4x)
(1 +tan2x f
T r ig o n o m e t r í a ■ 1 3 3
M = (sec4x - tan4x)((sec2x)2 + tan4x) 
sec4x
Por diferencia de cuadrados:
M = sec8x - tan8x
40. Calcular: T = ^ - C s c ^ .
esc <|> sen 0 
Sabiendo que: senx = cotG 
sen<|i = cotx
Resolución:
T = tan2xsen44) - csc2xcsc20
T = tan2x (cot4x) - csc2x (cotT j)
T = — cot4x - csc2x (1 + (senx)2) 
c o tx
T = cot2x - csc2x - csc2xsen2x 
T = cot2x - (1 + cot2x) - 1 
Simplificando: .-. T = - 2
41. Si x, y, 0 son agudos, tales que: 
tan0 = tanxsecy + secxtany 
Reducir: T = (secxsecy + tanxtany)cot0 
Resolución:
=> a2 = 12 + (tanxsecy + secxtany)2 
a2 = 1 + tan2xsec2y + tan2ysec2x +
+ 2tanxsecytanysecx 
Si en lugar de "1" reemplazamos: sec2y - tan2y 
Luego de agrupar convenientemente se tendrá: 
a2 = sec2y(1 + tan2x) + tan2y(sec2x - 1)
+ 2secxsecytanxtany 
a2 = sec2ysec2x + tan2ytan2x +
+ 2(secxsecy)(tanxtany) 
a2 = (secxsecy + tanxtany)2 
=> a = secxsecy + tanxtany 
Reemplazando en T: T = (a)cot0 =»
-1
Pero del triángulo acosO = 1 .-. T = — = csc0
senG
42. Siendo: tanx = 3g Q i~ cos^ 
sen0 + cos0
Calcular: V = cscx(sen0 - cos0)
Resolución:
senS + cos0
a2 = (senG + cos6)2 + (sen0 - cos0)2
efectuando:
a2 = 2(sen2e + cos20) = 2 =» a = 72
como no se conoce el cuadrante de x: a = ± /2
Luego: cscx = ----- —^------ -
s e n 0 -c o s 0
=> cscx(sen0 - cos0) = a 
V
Luego: V = + •/2
43. Dada la siguiente relación:
sen3x + sen2x + cot2x = csc2x 
hallar el valor de: E = sec2x - cscx 
Resolución:
1
=> sen3x = 1 - sen2x 
en E:
r- _ 1 1 1 1
eos x senx Sen3x senx 
^ _ 1 - sen2x _ cos2x ■ e = 1
44. Si: cosa = S8n^ ...(1)
senx
cosb = ^ n y ...(2)
tanx
Hallar cosx en función de a y b solamente. 
Resolución:
De (1): seny = cosasenx 
1
esey =
cosasenx
De (2): tany = c o s b ^ D Í. Coty = cosx
cosx eosbsenx
Se sabe: csc2y - cot2y = 1 
I 1 \2 / COSX _ 1
(co sa se n y / Ico sb sen x /
sec2a - sec2bcos2x = sen2x 
1 + tan2a - sec2bcos2x = 1 - cos2x 
tan2a = sec2bcos2x - cos2x 
tan2a = cos2x ( sec2b - 1) 
tan2b
Luego: cos2x = tan ■■■ cosx =
tan b tanb
45. Hallar en términos de 0
S = Vcosx+ ^senx fta n x + Vsecx 
Sabiendo que: Vsenx + tanx + secx = tañe 
(0 e IC)
Resolución:
Transformando S:
S = feosx + V s iñ x - i^ ^ ^ 1
•/cosx /cosx
1 3 4 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
c- _ cosx + senx + 1 _ ^2 _ (1 + senx + cosx)2 
/cosx ^ cosx
g 2 _ 2(1 + senx)(1 + cosx) 
cosx
g 2 _ (1 + senx + senx cosx + cosx) 
cosx
g 2 _ 2 ¡ 1 + senx senx cosx c o s x \
\c o s x cosx cosx c o s x /
S2 = 2(secx + tanx + senx + 1)
Pero el dato:
secx + tanx + senx = tan20
=* S2 = 2(tan20 + 1) = 2(sec20) S = /2sec0
46. Hallar el intervalo de: T = cos4x - sen4x 
R eso lución:
T = cos4x - sen4x 
T = ( cos2x + sen2x )(cos2x - sen2x)
1
T = cos2x - sen2x 
T = cos2x - (1 - cos2x)
T = cos2x -1 + cos2x 
T = 2cos2x -1
Sabemos que: 0 < cos2x < 1 
0 < 2cos2x < 2 
- 1 < 2 c o s2x - 1 < 1 
T
-1 < T < 1
47. Si la siguiente expresión:
P = ---------------- 1----------------+ ----------------- 1----------------
secx + cscx + secxcscx secx + cscx - secxcscx 
es equivalente a otra de la forma: Asenx - Bcosx 
Hallar: A y B
R eso luc ión:
p _ secx + cscx - secxcscx + secx + cscx + secxcscx 
(secx + c scx f - (secxcscx)2
Se sabe: sec2xcsc2x = sec2x + csc2x
p _ 2(secx + cscx)
sec2x + csc2x + 2 secx cscx - sec2xcsc2x 
_ 2 (secx + cscx)
2 secx cscx
A senos y cosenos:
1 1 senx + cosx
p _ cosx senx p _ cosxsenx
• _ J 1 _ 1
eos x senx eos xsenx
_ (senx + cosx)(cosxsenx) 
cosxsenx 
P = senx + cosx
Luego: Asenx - Bcosx = senx + cosx 
A = 1 A B = -1
48. Si: cos2a - sen20 = m 
Hallar: T - cot20 - tan2a
Resolución:
Sumamos y restamos 1 en el numerador: 
j _ cot20 - tan2a + 1 - 1 
sec2a csc20 
Agrupando convenientemente:
T _ (1 + cot20) - (1 + tan2g) 
sec2a csc20 
Sabemos que: csc20 = 1 + cot20 
sec2a = 1 + tan2a
sec a esc 0 
A senos y cosenos:
1 1 cos2a - sen2'
sen
1 1
T =
eos a sen 0 
(cos2a - sen20)(cos2asen20)
(sen20cos2a)
T = cos2a - sen20 .-. T = m
49. De la siguiente igualdad se ha considerado que: 
x # nn donde n e TL, calcular: S + T + V 
3 + ------^— - = T + V (tanx)3
1 + cosx secx - 1 
Resolución:
Del primer miembro:
1 + c o s x s e c x -1 1 + c o s x 1 ^
cosx
3 | 3 ^ 3 t 3cosx
1 + cosx 1 - eosx 1 + cosx ' 1 - cosx 
cosx
1 , cosx 1
1 + cosx 1 - co s x j 
1 - cosx + cosx + COS2x | r>F1 + cos2x
3
3. 1 - eos x J L sen x
3[csc^x + cot2x]
3[1 + cot2x + cot2x]
3[1 + 2cot2x]
3 + 6cot2x
Igualando al segundo miembro:
3 + 6 cot2x = T + V(tanx)s
=3.T = 3 ;V = 6 ;S = - 2 .-. - 2 + 3 + 6 = 7
50. Calcular A sabiendo que es independiente de x 
A = sen4x(1 - k sen2x) + cos4x(1 - cos2x)
Resolución:
En la expresión N:
T r i g o n o m e t r í a ■ 1 3 5
A = sen4x(1 - ksen2x) + cos4x(1 - kcos2x) 
A = sen4x - ksen6x + cos4x - kcos6x
Agrupando convenientemente:
A = sen4x + cos4x - ksen6x - kcos6x
A = 1 - 2sen2xcos2x - k(sen6x + cos6x)
A = 1 - 2sen2xcos2x - k(1 - 3sen2xcos2x) 
A = 1 - k + (3k - 2) sen2xcos2x 
Como es independiente de x:
3 k - 2 = 0 = > 3 k = 2
51. Determinar el valor de T, si: T = n + m a partir de 
la siguiente identidad
1 - 4sen2xcos2x + 2sen4xcos“x = sen x + CQL.*
sen x + eos x
R eso luc ión:
Realizando un artificio en el primer miembro así: 
Sumamos y restamos 2sen4xcos4 
= 1 - 4sen2xcos2x + 2sen4xcos4x 
= 1 - 4sen2xcos2x + 4sen4xcos4x - 2sen4xcos4x
= ( 1 - 2sen2xcos2x)2 - 2sen4xcos4x 
= (sen4x + cos4x)2 - 2sen4xcos4x 
= sen8x + cos8x + 2sen4xcos4x - 2sen4xcos4x 
_ sen8x + cos8x _ senmx + cosmx 
1 sen"x + cosnx
Pero: sen2x + cos2x = 1
sen8x + cos8x _ senmx + cosmx 
sen2x + cos2x sen"x + cosnx
Identificando valores: m = 8; n = 2 
Nos piden: T = n + m = 8 + 2 = 10
52. Si se cumple: s c n W s u + 1 = cota
eos a se na + 1 4
Calcular: M = sena - cos7a + cos5a - sen8» 
cosa - sen a + sen a — eos a
R esolución:
De la condición: s e n W a + 1 = cota 
eos asena + 1 4
sen3a c o s a + 1 _ c o s a ,1 ' 
cos3asena + 1 sena 3
Efectuando: seiA -g-°? a + sena = 1 (1)
eos asena + cosa 4
Agrupando convenientemente en M 
^ _ sena - sen3a + cos5a - cos7a 
cosa - cos3a + sen5a - sen7a
Factorizando:
_ sena(l - sen2a) + cos5a(1 - cos2a)
cosa(1 - cos2a ) + sen5a ( l - sen2a)
^ _ senacos2a + cos5asen2g 
cosasen2a + sen5a c o s 2a
Factorizando: sena y cosa
se n a cosa (cosa + cos4asena)
M
sena cosa(sena + sen4a c o s a )
iy i cosa + eos asena
sena + sen4a co sa 
De las expresiones (1) y (2)
.-. M = 3
53. Si: x e ( | ; 3 i ) 
Reducir:
T = 72 + 7 1 -s e n x + c o s x -s e n x c o s x -
7 1 + senx eos x + senx+ eos x
R eso luc ión :
Factorizando en M:
T = 72 + 71 - senx + cosx - senx cosx
- 71 + senx cosx - senx + cosx
T = 72 + J(1 + cosx) - senx(1 + cosx)
- j(1 + cosx) + senx(cosx + 1) 
T = 72 + J(1 + cosx)(1 - senx)
- ^(1 + cosx)(1 + senx) 
Luego, multiplicamos y dividimos por 2:
= ^ V2(1 + cosx)(1 - senx)
72
■I2(1 + cosx)(1 + senx)
7?
Por productos notables trigonométricos sabemos 
que:
(1 ± senx + cosx)2 = 2(1 + senx)(1 + cosx)
(1 ± senx + cosx)2 = 2(1 + senx)(1 + cosx)
^ J( 1 - senx + cosx)2 J(1 + senx + cosx)2
Tp" /p
T = 72 + 4 ^ -11 - senx + cosx| - 11 + senx + cosx|
Del gráfico:
1 - senx + cosx: negativo
1 + senx + cosx: positivo
Reemplazamos en T:
79 I?T = 72 + 4 ^ -[- (1 - senx + cosx)]- [1 +senx + oosx]
Resolviendo: T = - 7 2 cosx
54. Dado: acosxseny + bsenxcosy = 0
„ . . _ a2csc2x - b2cot2y a2cot2x - b2csc2y
C alcularT = -------------- r L
a b
R eso lución:
De la condición: acosxseny + bsenxcosy = 0
- bsenxcosy
a = ------------------ -
eosxseny
1 3 6 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
a = -btanxco ty a b = - a cotxtany 
Reemplazando en N:
j _ a2cs2x - a2cot2xtan2yco t2y 
a
b2tan2xco t2yco t2x - b2csc2y
_ _ a2(csc2x) - cot2x b2(cot2y - csc2y)
~ a2 - b 9 5T = — T = a + b
a b
55. Dado: secacsca = 5 
Hallar:
E = sen2atana + cos2acota + 2senacosa 
Resolución:
Expresando E en términos de senos y cosenos:
r- sen3a , cos3a . 0 „ „t = ----------- 1 i- 2 senacosa
E = 
E =
cosa sena
sen4a + cos4a 
cosasena
1 - 2sen2a c o s 2a
2 senacosa
+ 2senacosa
cosasena 
1 - 2sen2a c o s a + 2sen2a c o s 2a
cosasena
cosasena
: seca csca = 5
56. Si: x e . f; 0) reducir:
T = /sec2xcsc2x + 2(tanx + cotx) - (sec2xcsc2x - 2secxcscx 
Resolución:
En:
T = /sec2xcsc2x + 2(tanx + cotx) - (sec2xcsc2x - 2secxcscx 
T = /sec2xcsc2x + 2secxcscx - /sec2x + csc2x - 2secxcscx 
T = /(secx + cscx)2 - /(se cx - cscx)2 
T =|secx + cscx| - |secx - cscx|
Dato: x e
=> secx > cscx 
secx - cscx > 0 
Del gráfico: 
secx + cscx < 0 
=> T = - (secx + cscx) - (secx - cscx) 
T = - secx - cscx - secx + cscx 
T = -2 se cx
I n i
^ ]s e c kx
k = 1 J
Resolución:
n
Sea: M = ^ /s e c kx
k = 1
M = secx + sec2x + sec3x ... sec"x ■0)
Multiplicando a "M" por cosx:
cosxM = cosxsecx + cosxsec2x + cosxsec3x
+ ... + cosxsec"x 
cosxM = 1 + secx + sec2x
+ ... + secn~1x ...(II)
(II) - (I): M(cosx - 1) = 1 - secnx 
1 - secnxM =
cosx - 1
EnT:
T = ta n 2x ( 1--~ — c"^ ) 
eos X - 1
T _ s en 2x A - s e c "x > 
cos2x c o s x - r
T _ 1 - cos2x ,1 - secnx ̂
cos2x ' c o s x - 1 J
= (1 + cosx )(1 - c o s x ) 1 - secna ' 
cos2x ' c o s x - r
T = J ^ + c o s x (s e c " x - 1)
eos x eos X 
T = (sec2x + secx)(sec"x - 1)
.-. T = secx(secx + 1)(sec"x - 1)
58. Si se cumple: £S£x « r fx T 
cote cot ó
sec 9 - sec A
Calcular: cosx 
Resolución:
De la condición:. cscx cotx
coto cotó
= /s
1 1
senx tanx
1 1 
tan0 tam|)
tanO ta n ó j 
senx tanx
= -/s
= tan20 - tan2<]>
[ t a n O .c o s x ta n ó P tan2()_
[senx senx J
tan26 - 2cosxtan0tani|) + cos2xtan2<|>
= sen2xtan20 - sen2xtan2<|) 
tan20 (1 - sen2x) + tan2ij)(sen2x + cos2x )
í
= 2cosxtan0tanij) 
tan20cos2x - 2cosxtan0tani() + tan2<t> = 0 
(tan0 + cosx - tan<j>)2 = 0 
=> tan0cosx - tañó = 0 
.-. cosx = tanócotO
59. Si cot(x) = (—j . encuentre el valor de la siguiente 
expresión:
bsenxacosx
siendo x un arco del primer cuadrante.
Resolución:
Por dato: cotx = í —/ de donde — = .
T r i g o n o m e t r í a ■ 1
Reemplazando en E.
E _ 1 j sen3x 1 í cos3x
senx'Vcos3x cosx 'V Sen3x 
Reduciendo: E = (secxcscx)3'2 
E = (tanx + cotx)3'2 
Reemplazando dato
E a
b2'3 '
60. ¿Qué se puede afirmar de la siguiente expresión: 
S :- i 1 +
tanx + cotx ■ - .1 - tanx + cotx
x e ( 0 ; i )
Resolución:
Sabemos que: tanx + cotx = secxcscx 
S = J l +-
secxcscx ,1 secxcscx
S = 1 +
1
_ 1
cosxsenx
1
S = V1 + 2 cosxsenx - (1 - 2 cosxsenx 
Como: 1 + 2senxcosx = (senx ± cosx)2 
S = |senx + cosx| - |senx - cosx|
Graflcando: x e ( 0 ; ^
Luego: cosx > senx 
0 > senx - cosx
S = senx + cosx - [ - (senx - cosx)] 
E = 2senx
61. Si: sec 6 tan 0 
sec40 + tan40
Hallar: A + B
Resolución:
Del enunciado:
B + 2A
sec 0tan
sec
A senos y cosenos:
- tan B + 2A
1 (Seno.)
eos 0 eos 
1 B + 2A
eos 0 
sen2
eos’
1 + sen a B + 2A
eos 9 
(sen20)(cos40)
(cos40)(1 + sen40) B2 + 2A
sen
1 + sen 0 B2 + 2A 
Sabemos que: cos20 = 1 - sen20 
Al cuadrado: cos40 = 1 + sen40 - 2sen2( 
=> 1 + sen4© = cos40 + 2sen20 
Reemplazando (II) en (I): 
sen20 A
eos 0 + 2sen 
=> A = sen20 A B ■ 
A + B = sen20
B + 2A
cos20 
cos20 = 1
62. Eliminar x de las ecuaciones: 
secx - esex = m ...(1)
tan2x + 1 = ntanx ...(2)
Resolución:
De (2): sec2x = ntanx 1 _ n_senx
1 n-
cosxsenx
\2. , „ „ „ 2„
secxcscx :
(1) : sec x + esc x - 2secxcscx = m 
sec2xcsc2x 
Y reemplazando, lo hallado en (3): 
n2 - 2n = m2 .-. n2 - m2 = 2n
63. Reducir:
^ _ tanx - secxseny 1 + cosxsecy
~~ 1 -s e c x c o s y tany + senxsecy
Resolución:
Llevando a senos y cosenos:
1
eos X COS X
seny 1 + co sx -
cosy
1 - - -eos y seny 1
 - + senx------
eos y eos y
Efectuando y simplificando:
senx - seny eos y + eos x
A =
eos x - eos y seny + senx
A =
sen x - sen y + eos x - eos y 
(cosx - cosy)(seny + senx)
A = 1 L E Í______________
(cosx - cosy)(seny + seny)
64. Si se cumple que: ntanx = m
Hallar: R = m s e n x -n c o s x 
nsenx + m eosx
Resolución:
Reemplazando el valor de m:
R = 
R =
ntanxsenx - ncosx 
nsenx + n tanx cosx
n(tanxsenx - cosx) 
n(senx + tanxcosx)
1 3 8 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Pasando a senos y cosenos: 
sen2x - cos2x
R = - cosx
R
cosx 
sen2x - cos2x
2senxcosx 
De la condición: ntanx = m
cosx 
nsenx = mcosx .(a )
(a) al cuadrado: n2sen2x = m2cos2x
sen2x = ™ !cosfx ...(,)
Multiplicando a (a ) x cosx: nsenxcosx = mcos x 
m cos2xsenxcosx =
Multiplicando x 2: 
2senxcosx = im c o s fx ...(II)
Reemplazando (I) y (II) en ((3):
™ ^ § ! x - cos2x
R = ----- ^ 5 .
2m cos x 
n
Factorizando "cos2x":
/m 2 m‘eos x
R =
- - 1
n
2m cos x 
n
(m2 - n2)(n)
2m
n
n2(2m) 2mn
65. Eliminar ( secO - cose = acscO 
cscO - sene = bsecG
Resolución:
De la primera condición:
— - cose = a — 
cose sene
1 - cos2e = a cose
sene
sen20sen0 = acose
a = sen 0 
cose
..(1)
Análogamente de la segunda condición:
b =
sene 
Ahora: (1)3x (2 ) :
„3U _ sen9e ,co s30x
3 b “
=* 4</a3b = sen2e
...(2)
(3 )
(2)3 x (1): b3a = COS '
_ COS0 '
=> 4i/b3a = cos20
.-. (3) + (4): Va^b + Vb^a = 1
: COS (
...(4)
66. Eliminar x: senx _ cosx _ tanx 
a ~ b _ c
Resolución:
senx cosx tanx = a
a b b
Pero además del dato: 
senx _ tanx ^ senx _ senx 
a c a ~ ccosx
1 secx = — 
aa cosx 
pero: sec2x - tan2x = 1
Luego, reemplazando, se tiene: (£ )2 - = 1
=* c2b2 - a4 = a2b2 
.-. b2c2 = a2(b2 + a2)
67. Reducir: y : sen a - eos a - 1
sen4a - cos4a + 1 
Resolución:
y _ sen4a - cos4a - 1 
sen4a - eos4 + 1
_ (sen2a + cos2a)(sen2a - cos2a) - 1 
(sen2a + cos2a)(sen2a - cos2a) + 1
y _ sen2a - cos2a - 1 
sen2a - cos2a + 1
- 2 c o s 2a
2sen a
68. Eliminar la variable x:
acosx + bsenx = c ...(1)
mcosx + nsenx = p ...(2)
Resolución:
Se hallará senx :
(1) x m: macosx + mbsenx = me
(2) x a: ameosx + ansenx = ap 
Restando: (mb - an)senx = me - ap
me - ap
=> senx = —r —
mb - an
Ahora se hallará cosx:
(1) x n: nacosx + nbsenx = nc
(2) x b: bmcosx + bnsenx = bp 
Restando: (na - bm) cosx = nc - bp
nc - bp bp - nc
=> COSX = r r— = —r --------
na - bm mb - an
Pero: sen2x + cos2x = 1
y reemplazando, lo hallado:
/ mc__ap \2 + / bp - nc \2 = 1 
\ m b - a n / \ n b - a n /
.-. (me - ap)2 + (bp - nc)2 = (mb - an)2
69. Eliminar© y ó de las ecuaciones: 
asen20 + bcos20 = m
bsen2ij> + acos2<|> = n
atan© = btanó
T r ig o n o m e t r í a ■ 1 3 9
Resolución:
De la primera ecuación (dividiendo entre cos20)
m
eos t
=> atan20 + b = msec20 
atan20 + b = m(1 + tan20) 
m - btan 9 =
a - m (1)
Análogamente en la segunda ecuación: 
bsen2<|> ^co s2(|) n
T T ^ O . 1 .
■(2)
COS Ó COS ó COS ó
=s btan24> + a = nsec2<|> 
btan2<)> + a = n(1 + tanz4>)
^ tan2<)> = -
Y b - n
Elevando al cuadrado la tercera ecuación de los 
datos:
a2tan20 = b2tan2<|) y reemplazando (1) y (2):
. . . a2/ H l ^ b \ = b2' n - a '
a - m
70. Al elim inar a y 0 de las ecuaciones: 
asenO = m 
acosG = n 
atan0 = p 
Se obtiene:
Resolución:
Dividiendo los dos primeros datos: 
asenO = m ^ tan0 = m 
acos0 n n
Reemplazando en el tercer dato:
a (— ) = p =»”a = — 
v n / m
Ahora elevando al cuadrado los dos primeros datos: 
a2sen20 = m2 1 sumando:
a2cos20 = n2 J a2( sen20 + cos20 ) = m2 + n2 
1
y reemplazando el valor de "a” :
2 2
P n 2 ,ü — m42 4- 2_2 P n =
.-. n2(p2 - m2) = m4
® PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISIÓN UNI ®
PROBLEMA 1 (LISII 2002 - I)
Si f(tan2x + cot2x) = sec4x + csc4x 
Hallar f(2) + f(3)
A ) 20 B )21 C) 22
D )23 E) 24
Resolución:
Calculando f(2): 
x = 45° => tan2x + cot2x = 2 
f(2) = sec445° + csc445° 
f(2) = 8
Calculando f(3):
tan2x + cot2x = 3 =» tan2x = ~ ; cot2x = 3
Pero: sec2a = 1 + tan2a; csc2a = 1 + cot2a
Aplicando: sec2x = 5 ; csc2x = 5 ~
4 10(3 + 75) 4 10(3 - 75)
sec x = — — ------L ■ csc4x = — — --------
Luego: f(3) = 15 
.-. f(2) + f(3) = 23
Clave: D
PROBLEMA 2 (UNI 2002 - II)
Si sec2x + csc2x = 7, hallar:
E = (sec2x + tan2x)(csc2x + cot2x)
A) 13 B) 14 C )2 2 D) 16 E) 15
Resolución:
Sabemos: sec20 + csc20 = sec20csc20
Aplicando: sec2xcsc2x = 7
Además: tan2x + 1 = sec2x; cot2x + 1 = csc2x
En “E” : E = (2sec2x - 1)(2csc2x - 1)
E = 4sec2xcsc2x - 2(sec2x + csc2x) + 1 
Luego: E = 4(7) - 2(7) + 1 
.-. E = 15
Clave: E
PBOBLEMA 3 (UNI 2008 - II)
V 3 -1Si: senx - cosx =
M = senx + cosx es:
entonces el valor de
A) V3 + V? B) ■¡2 + ¡3 
73
C) 7 3 + /2 
73
7 2 + 7 3 7 3 + 72
; 7 2 ; 72
Resolución:
Dado: senx - cosx ■ 7 3 - 1
Elevando al cuadrado: (senx - cosx)2 = 7 3 - 1
731 - 2senxcosx = 1 -
— 2senxcosx;
Nos piden: M = senx + cosx 
Elevando al cuadrado “M”:
M2 = (senx + cosx)2 = 1 + 2senxcosx
73 ...(I)
...(II)
1 4 0 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
(I) en (II): M2 = 1 + ^ - 2 + 73
M
2 2 
■Í2
Clave: D
PROBLEMA 4 (UNI 2011 - 1)
Sea 0 < 9 < tal que
Iog5(tan0) + Iog5(tan0 + 6) = ^ lo g 5 9 
Determine el valor de sec20.
A) 24 - 1 2 /3 B) 2 2 - 1 2 / 3 C) 20 - 12 /3
D) 17 - 12 /3 E) 12 - /12
Resolución:
Del dato:
Iog5(tan0) + Iog6(tan0 + 6) = log591'2 
Iog5(tan0)(tan0 + 6) = log53 
tan0(tan0 + 6) = 3 
tan20 + 6tan0 - 3 = 0
tañe =
2(1) 
tañe = - 3 + 2 /3
Como: 0 < 0 < ^
tañe = - 3 + 2 /3 
Piden: sec20 = 1 + tan20
sec20 = 22 - 12 /3
PROBLEMA 5 (UNI 2014 - 1)
Si tan2a = 2tan2x + 1,
halle el valor de y = cos2a + sen2x.
A) sen2a B) cos2a
D) tan2a E) 1 + cos2a
Resolución:
Del dato:
tan2a = 2tan2x + 1 
sec2a - 1 = 2(sec2x - 1) + 1 
sec2a = 2sec2x 
cos2x = 2cos2a 
1 - sen2x = 2cos2a 
1 - cos2a = cos2a + sen2x 
y = sen2a
Clave: B
C) 1 + sen2a
Clave: A
T r i g o n o m e t r í a ■ 141
P R O B L E M A S PROPUESTOS D '
1. Eliminar x de: asenx + cosx = b
senx - acosx = c
A) a2 + b2 + c2 = '
B) a2 + b2 - c2 =
C) a2 - b2 + c2 =
D) b2 + c2 - a2 =
E) b2 - c2 + a2 =
2. Eliminar x de: 
senx + tanx = a 
cosx + cotx = b
A) (a + b + 1 -72ab )(ab - 72ab) = 1
B) (a + b + 1 + 72üb )(ab + / 2 i b ) = 2
C) (a + b + 1 + 72 lb )(a b - 72ab) = 2
D) (a + b + 1 + 72 lb )(a b - Tab) = 1
E) (a + b + 1 - 72ab )(ab - /2 a b ) = 2
3. Siendo: tanx - cotx = 72
calcular: S = sec5x + csc5x 
secx + cscx
A) 3 ( 5 - 7 6 ) B) 6 ( 5 - 7 6 ) C ) 6 ( 3 - 7 6 )
D) 3 ( 3 - 7 6 ) E) 5 ( 3 - 7 6 )
4. En la CT mostrada se cumple que: SQ mide T_
Calcular el producto de la distancia de A a ON y 
OM.
A)
D)
72
2
7 2 - 1 E) 2 + 72
5. Sabiendo que: 
sec<j> + tamj) + 1 seaji - tan<j) - 1 _ , 
3 ' secG + tan0 + 1 ~~secG - tan0 - 1 
Se verifica que:
^ + t a n 4 ) 2- 1 = p / s e c |+ t a n | \ ^ 
(sec0 + tan0) - 1 \sec0 + tan0/
A) a/b B) b/a C) -a /b
D) -b /a E) ab
6. Señalar el valor máximo de:
S :
A) 3/14
D) 1
B) 5/14
E) 1/7
C) 7/14
7. Siendo: tanx + cotx = 3, calcular: V =
A) 13/27 
D) 25/27
B) 19/27 
E) 31/27
sen x - eos x 
senx - cosx
C) 29/27
8. Siendo:
senmx - cosmx 
sen"x - cosnx 
calcular: mn
1 - 4sen2xcos x + 3sen xcos x
A) 8 
D) 24
B) 16 
E) 28
C) 32
9. Siendo: asenp + bcos(3 = m; aseep + besep = n 
_ a7tanp + b jco tp
hallar: T : 
mTñA)
D)
Ttañp + Tcotp 
mTñ
7n + 2
Vmn
7m~
B)
E)
7n + 2m
7m + 2n
C) nTm 
7m + 2n
10. Siendo: senx + cosx = n
secx + ta n x + 1 . cscx + c o tx + 1hallar: S =
A)
s e c x - t a n x + 1 c s c x - c o t x + 1
n + 1
D)
n2 - 1
B)
E)
n - 1
n + 1
C)
n + 1
11. En la CT mostrada: BQ = 0,5; calcular el área de 
la reglón sombreada, si T es punto de tangencia.
A) 0,2 
D) 0,6
C) 0,4
E) 0,8
12. Sabiendo que: secx + cscx = 7Í5 
tan5x - cot5xcalcular: S =
A) 55 
D) A y B
tanx - cotx
B) 551 
E) A y C
C) 550
13. Sabiendo que: senx + cosx = n; x e IVC
=ir: S =reducir: 
1A)
D)
senx 
- senx
1
T í
n + 1
n - 1
B)
E)
n - 1
n2- 1
C)
n + 1
1 4 2 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
14. Si: g e cx+ Ja ijx + ^ = l tanx 
cscx + cotx + 3 2
calcular: C =
A) - 0,1 
D) 0,2
secx + tanx 
cscx + cotx
B) - 0,2 
E) 0,3
C) 0,1
15. Si las expresiones:
A = (sec2x + 2) (csc2x + 2) + a(tanx + cotx)2 
B = tanx[(tanx + cotx)3 + (tanx - cotx)3 + btan3x] 
son independientes de x.
Calcular: V ■
A) 3 
D) - 5
A + B 
a + b 
B) 5 
E) - 2
C) - 3
16. Siendo: senx = coty; seny = cotz; senz = cotx 
calcular: cotx
A) / 5 - 1 / 5 - 1
C) /5 + 1
D) E) 1 / 5 -1
9 917. SI en el gráfico: p + x •+ z = -= c .;z + w = 1
9 9 9calcular: C = q + y + w 
B,
vy
A) 0,96 
D) 0,72
B) 0,92 
E) 0,48
18. Señalar el valor mínimo de cotO
A) 2/3 
D) 4/3 E) 5/3
19. Si: A / 2kn + ni2, k e Z, hallar la expresión equlva- 
1lente de: 
A)
D) ■
1 + senA 
1 B)
E)
1 - senA
- 1
- 2sec A
- 1 
1 - senA 
1
C) - 1
1 + senA
1 - cosA 1 - cosA
20. Si: sena + csca = 5/2, calcular: T = cota + cosa
3 /3A) 3 /3
D) 2 /3
B) 2 /3 
E ) #
C)
21. SI: senO =
S = ta n ^ jl
A) -1 
D) - / 3
cosO, calcular:
tanO + cotO
B) 1
E) /3 /3
C) /3
22. s ¡:ta n x = ^ V ± ^ y 
seny - bcosy
calcular: S =
A) b2 + 1 
D) b + 1
(bseny + cosy)(seny - bcosy)
senxcosx
B) b2 - 1 
E) b - 1
C) b2
23. Si: P; Q y R son constantes que satisfacen la rela­
ción: P + QtanRx - 1 1
calcular: PQR
1 + senx
A) - 6 
D) 8
24. Si: < 0 < |
calcular: T= senO
B) 2 
E) 12
y sen40 + cos4( 
cosO
cscx - 1 
C) 4
A) /3
D)f
B) /5 
E ) #
C ) “ f
25. Si: f(tan2x + cot2x) = sec4x + csc4x. 
calcular: f(2) + f(3)
A ) 20 B )21 C) 22
D )23 E) 24
26. Si: sec2x + csc2x = 7
calcular: T = (sec2x + tan2x)(csc2x + cot2x)
A) 13 B) 14 C )22
D) 16 E) 15
27. Sabiendo que: m sen(55-| - 0 )cos(77 -| + 0) 
calcular: E = tanO + cote, en términos de m
C) 2m
= 1
A) m2 
D) -m
B) - m 2 
E) m
28. Si: sec2x = ntanx, hallar: S = 3 g.a! >Lt .ggs3x
(senx + cosx)
A)
D)
n + 1 
n + 2
n + 2
B) n - 2 
n - 1
C) — 1
n + 1 
29. Simplificar:
E ) rn - 1
- cosx
■ f í
A) - / 2
D) /2cosx
+ senx
B) - /2 secx 
E) - /2 cosx
; * < x < ^
C) /2 se cx
T r i g o n o m e t r í a ■ 1 4 3
30. Calcular: cos2A + sen2B
si se sabe que A y B son ángulos suplementarios.
A ) - 1 B) —1/2 C )0
D) 1/2 E) 1
31 . Consideremos el siguiente razonamiento secuencial: 
Paso 1: sen2x = 1 - cos2x ; válido VxeIR
Paso 2: Elevando a la 3/2 
sen3x = (1 - cos2x)3'2 
Paso 3: Por la propiedad aditiva 
1 + sen3x = 1 + (1 •- eos2x)3'2 
Paso 4 : Elevando al cuadrado.
(1 + s e n 3x)2= [1 + (1 - cos2x)3,2f 
Paso 5: Evaluando para x = -n /2 se obtiene 0 = 4 
Lo cual es falso, entonces el error del razonamien­
to comienza en:
A) Paso 1 B) Paso 2 C) Paso 3
D) Paso 4 E) Paso 5
32. Si: tanx + cotx = 2 y _____
, --------- --- . Vtannx + cotnxE l ñ----------- ñ Vtannx + cotnx
= Vtan x + cot x 
Siendo n potencia de 2; calcular: E2
A) 2 B) 4 C) 8
D) 16 E) 32
33. Sean a y b números reales tales que: 0 < b < a 
Si: asenO + bcosO = a ; 0 < 9 < - ^ y
K = ^(a2 - b2)csc0 + (a2 + b2)cos0 
expresar K solo en términos de a y b.
A) a2 + 2b2 B) b2~ 2a C) a2 + b2
b
D) 2a2 + 3b2 E) a + b
34. Si: x, A x2 son dos soluciones de la ecuación: 
5cosx - 4senx = 4 
calcular: senx, + senx2 + senx,senx2
A) 0 B) - 1 C) 1
D ) - 1 + V2 E) - 1 + V2
35. Si: cotx = ( 3, hallar: S = + - b
,2/3
V a /
Siendo : x e IC
-1/3 u1/3 ,3
bsenx a c o s x '
B > f + |
,_2/3 K2/3A'2 h->
D) + E) i h + K
36. Hallar: y = senxcosx. Si: tanx - senx = 1
A) - 1 - V2 B) 1 + /2 C ) 1 - / 2
D ) / 2 - 1 E) 12
37. Calcular el mínimo valor de: S = sec4x + csc4x 
A) 6 B) 4 C) 8 D) 10 E) 12
38. Si: 1 2cos = i , hallar: E = sen6cos0
sen0 + cos0 2 '
A) 1/4 
D) 3/4
B) 1/8 
E) 1/2
C) 3/8
39. Hallar la suma de valores de a y b que satisfacen la 
siguiente relación:
sec2k0 csc2k0 = ( a jse c2k0 + ^ c s c 2k0;
a, b > 0
A) 8 
D) 5
B) 7 
E )4
C )6
40. Sabiendo que
seca + sec0 = a ...(1)
tana + tan0 = b ...(2)
(seca - tana)(sec0 - tan0) = c ...(3)
e lim ina ra y 0.
A) a - b _ „2 ^ b _ _ c4 C) a ^ b
a + b a + b a + b
D) = c3 
a + b E> V ^ = c 4a2 + b2
41. Eliminar a y 0 a partir de las siguientes igualdades: 
senasec0 = a ...(1)
sen0seca = b ...(2)
cosacsca = c - 1 ...(3)
A) ab = 1 + c2 B) b2(1 - a2) = c2(1 - b2)
C) a2 + b2 = c2 D) a2(1 + b2) = c2(1 + a2)
E) a2(1 - b2) = c2(1 - a2)
42. Eliminar 0 a partir de
cos0(csc0 - sen0) = p ...(1)
sen0(sec9 - cos0) = q ...(2)
A) p1'2 + q1'2 = ( p q ) 1'2 B) p1'2 + q1'2 = (pq)"1'4
C) p1'2 - q1'2 = (pq) 1,2 D) p1'4 + q1'4 = (p q ) '1,4
E) p1'2 - q1'2 = (pq)-1'4
43. Si: a ,, a 3, a 5, ..., a n — , e E — kn A 
a 2, a 4, a 6, ..., a n - , e IR — (2k + 1)-^
Siendo k = { . . .-1 ; 0; 1...), además 
(1 - cosa,)(1 + sena2)(1 - cosa3) ...(1 + s e n a j 
= sena,cosa2sena3 ... cosa„ 
Reducir la siguiente expresión:
F = (1 + cosa,)(1 - sena2)(1 + cosa3)...
(1 - sena„)csca,seca2csca3 ... cscan_,
A) cosan B) sena„ C) senan _,
D) cosan _, E) tanan _,
44. Siendo a, b y c medidas de ángulos agudos, ade- 
m^ s / cosa - cose i / sen b cot a \ _ ^
V cosb - cose /\ sena cot b / 
hallar T= cotacscb + cotbcsca.
A) sene B)cose C )tanc
D) cote E) sec
1 4 4 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
45. Siendo tan x
calcular T = cos3x - sen3x
3tanx + 1 = 0 ; x £ Í t ;
A ) - 4 /3 B) 4 /3 C)
4 ’ 4 
4 /3
D)¥ E)
46. Evaluar 0 = 22°30' en la siguiente expresión
(1 + sen0 + cos0)8(1 - sen0 - cos0)8 
64(1 - 2 cos40 - 4sen20cos20 + 4sen40cos40 + 4sen20cos60 + cos80)
A) 6 + 4 /2
C ) 68 + 4 8 /2
E) 16 + 4 8 /2
B) 17 + 12/2 
D )60 + 2 0 /2
47. Sabiendo que:
 ̂_ (csc2x + cot2x)(csc4x + cot4x)...(csc2"x + cot2"x) 
(sec2x + tan2x)(sec4x + tan4x)...(sec2nx + tan2"x)
d = sec2 x tan2x - t a n 2 x - t a n n' 2x 
esc2" 2xco t2x - cot2" 3x - c o t 2' 2x
calcular 3/fd - sec2x + 3
A) -1 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
48. Sabiendo que
a = (sen2a - cos2a)(1 - 2sen2acos2a) 
b = 1 - 4sen2acos2a + 2sen4acos4a 
c = 1 - 8sen2acos2a + 20sen4acos4a -
16sen6acos6a + 2sen8acos8a
o19
evaluar: d = ^==(abc), si a = 22°30’. 
o/ f
A ) - 2 1 / 2 B) 2 0 /2 C ) 2 l / 2
D )5 1 /2 E ) - 5 l/ 2
49. Si atanx + btany = c
hallar el mínimo valor de asecx + bsecy
siendo x e y ángulos agudos, a, b y c valores positivos.
A) ((a + b)2 - c2),/2 B) {(a + b)2 + c2)1'2
C) ((a + c)2 - b2)1'
E) (c2 - a2 - b2)1'2
D) ((a + c)2 + b2)1'
50. Si 0 e [n\ 4 ^ 
presión: S =
calcular el mínimo valor de la ex- 
2 + cot29
A) 1 
D) 2
secGcscO - sen20tan0
B) 4/2 C) 4/7
E) 7
/1 + 2senacosa
4sen a eos a + 4sena cosa + 1
51. Simplifique: S = 
a e IC.
A) sena + cosa B) (sena + cosa)2
C)(sena + cosa)3 D) (sena + cosa)"3 
E) (sena + cosa)"2
52. SI covx = -2cosx , calcule cosx.
A) 2/7 B ) -1 /5 C) {0 ; -4 /5 }
D) —1/3 E) -4 /5
53. Si (m + n) senx = ncosx 
halle tanx.
A)
D)
m + n
_n_
m
B)
E)
m + n 
m + 2n
+ /m 2+ 2mn + 2n2
C)
54. SI:
(sena + cosa)6 = A + Bsenacosa + Csen2cos2a
+ Dsen3acos3a 
es un Identidad, calcule: T = 3/3ABCD
A) 2 B) 3 C) 4
D) 6 E ) 12
55. Simplifique
A = (sena + cosa + 1 )3 - (sena + cosa - 1 )3
A) 4(2 + senacosa) B) 4(2 + 3senacosa)
C) 2 + 3senacosa D) 2(2 + 3senacosa)
E) 3(2 + 3senacosa)
56. Reduzca la expresión
S = 2 cosx senx
A) 0 
D)esex
senx + cosx - 1 1 - c o s x
B ) 1 C )secx
E) senx
57. Reduzca: T =
(tana + 2 )(tana + 1) - 3 ta na - 1
A )5senacosa 
C) 1 - 5senacosa 
E) 1
B) 2
D) 1 - 3senacosa
58. Simplifique: S = * ^ n f l - tanatanp
A) - 1 
D) tana
B) 0 
E) tanp
C) 1
59. Si tan(2n + x) - cot(3n - x) = - 3 , halle el valor de 
la expresión.
S = (senx + cosx)2 - (senx - cosx)2
A)t
D)!
60. Reduzca: T
A) 0 
D) tanO
B ) - f O - f
E) 4
_ cote - sec8 csc0(1 - 2sen20
tan0
B) 1 
E) sec0
61. Si sen x = eos x,
calcule tan10x + 2tan8x ■ tan x
A) 1 
D) 4
B) 2 
E) 5
C) cote
C) 3
62. Si tanx = m , calcule S = nsenx - m cosx 
n nsenx+ m cosx
A) 2n B) 2m C) 2n D) 2m E) 0
T r ig o n o m e t r ía ■ 1 4 5
63. Si 2 < sec6 < 3; halle los valores de la tanG, (0 e IIC).
A) <—2; — V5 ) B) < -1 ; 0} C) < -2 /5 ; - 1 >
D) ( - 5 ; - 2 ) E ) < - 2 / 2 ; - / 3 >
64. Elimine x.
acos3x - bsen3x = Va cosx - Vb senx 
asen3x ~ bcos3x = Va senx + Vb cosx
A) a2'3 + b2'3 = 2 B) a + b = 1
C) a - b = 1 D) a1'3 + b1'3 = 1
E) a1'2 + b1'2 = 1
65. Halle k para que P no dependa de x.
T = kcot2x - csc2x + 3
A) 2 
D) - 2
B) 1
E) 3
C) -1
66. Halle el equivalente de
V = (cscx + cotx - 1) (cscx - cotx + 1)
A) 2tanx B) 2cscx C) 2senx
D) 2secx E) 2cotx
67. Elimine la variable angular q a partir de 
x = 2sen0 + cosG
y = 2cos0 - senG
A) x2 + y2 = 4 B) x2 + y2 = 5 C) x2 + y2 = 3
D) x2 - y2 = 5 E) x2 + y2 = 10
68. Reduzca la siguiente expresión.
S = (senx - seny)2 - (1 - senxseny)2
A) - c o s 2xcos2y B) cos2xcos2y
C) -s e n 2xsen2y D) sen2xsen2y
E)cosxcosy
69. Si se cumple que secG + tan0 = 2; halle el valor de 
la siguiente expresión.
T = senG - cosG 
secG - cscG
A ) -1 2 /2 5 B ) -2 5 /1 2 C) 12/25
B) 25/12 D) 3/4
70. Si f(secxcscx) = 
hallef(3).
A) 2/9 B) 4/9
D) 9/4 E) 4/7
tanx + cotx + 1 
tan2x + cot2x + 2
C) 1/3
71. Si se cumple que tanx - cotx = /3 
halle el valor de sec4x + csc4x.
A) 20 
D) 35
B) 23 
E) 33
C) 25
72. A partir de las siguientes condiciones, halle tanx en 
términos de m y n.
1
m = senx + --------- —------
secx - tanx
1
cscx - cotx
A) n + 1 
m + 1
D) — 
m
m
n
m - 1
n - 1
C) m + 1 
n + 1
73. Simplifique la siguiente expresión
S = 1 - eos 10° 
tan 10°
eos 10° - 1 
sen10°cos10°
+tan10°
A) sen10° 
D)sec10°
B) cos10° 
E)csc10°
C) cot10°
74. Si sen3x = cosx + cos2x 
halle tanx + cotx
A) - 2 / 2 B ) - ( / 2 + 1) C ) / 2 + 1
D) 2 /2 E) - 3
75. Si los arcos x e y pertenece al primer cuadrante. 
Además: sec(2x + 2y) = - 1
csc(2x - 2y) = 1
sen(x + y) + cos(x - y)
calcule el valor de: R = 
/2 + 1A) 
D) 1
B) ^ 
E) - / 2
sec(x - y) + co t(x + y) 
C) /2
76. Indique los valores que toma ó tal que cumpla la si­
guiente relación señó - C0Slb - 0 siendo ó positivo 
y menor que una vuelta.
A) [0; p]
D) 17i. 5n 1 
4 ’ 4
c ) ( 0 ; ^ |
77. Indique la variación de
N = cos(tanx + cotx), si x e IIIC
A )R ' B) R - {2 }
D) R E) [2; 3>
C) [-1 ; 1]
78. Indique los valoresque puede tomarel arcoó e [0; 2n] 
para que la siguiente expresión este definida.
S = ^ /3 - tañó + /co tó - 1
A) [ ° ; f ]
C)
O [ o ; f ] u | n ; f ]
79. Si: seca = 4 + cosa
seca = p - cosa 
Calcule el valor(es) de p
Ü
5
D )+ 2 /5 E )± /5
D) 0 . 3n l
A) B) 2 /5 C) + 5 /5
80. Halle la suma del mayor valor negativo de x y el 
menor valor positivo de ó en la siguiente ecuación.
1 4 6 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
^sen2xcos2x + sen4x - 1 = sen2<|) 
A) 0 B) |
D ) - i E) n
O - f
81 s¡ un = sen46 -c q s " 9 halle
senG - cos6 U2U^ — 1
A) 1 B) 1/2 C ) - 1 D) 2 E) 4
82. SI tanx + cotx - 2 -Í2, calcule 32(sen8x + cos8x)
A) 15 B) 16 C )17 D) 18 E) 19
83. Si se cumple: x = sen2<j>cos2í|>
y = sen4i|) + cos4<)>
Indique la relación entre x e y independiente de ó-
A) 2x + y = 1 B) x2 + y2 = 2 C) x + y = V2
D) x2 + y3 = ¡2. E) x2 - y2 = 2
84. Calcule M + N para que la siguiente igualdad sea 
una identidad.
(1— ta n y \ _ |\y| Ntan2y 
\1 - co ty /
A) O B) 1 C )2 D) 4 E) 5/2
85. Si 16cos2x + 3sen2x = 7, calcule csc2x
A) 9/11 B) 13/9 C )9 /13
D) 1/9 E) 13/7
86. Calcule los valores que toma
R = sen2xtanx + cos2xcotx + 2senxcosx 
si x e IIC
A) <2; 5] B) ( — 00¡ - 2 ] C) [2; + oo)
D) [ - 2 ; 2] E) 1 -1 :1 ]
b c87. Sabiendo que:
seny eos y tany
halle: T ;
A) 2 
D) 1/4
# (3+b¿)
B) 1/2 
E) 4
C) 1
88. Indique el valor de k para la siguiente igualdad
(sec9 + cos0)2 + (sen9 + csc9)2 + tan20 + cot2© + k
A) 2 
D) 1
89. Reduzca: S =
B) 4 
E )7
A) tan20 
D) cot60
tan 0 - sen 
B) eos2© 
E) tan40
C )6
C) tan2(
90. Si secx - tanx = 2, calcule senx.
A) 4/5 B) -3 /5 C) ±3/4
D) ±3/5 E) 4/7
1. D 13. D 25. D 37. C 49. B 61. A 73. A 85. B I
2. A 14. E 26. E 38. C 50. D 62. E 74. C 86. B
3. B 15. E 27. E 39. C 51. D 63. E 75. A 87. c i
4. B 16. B 28. C 40. C 52. C 64. A 76. D 88. E I
5. E 17. B 29. B 41. E 53. A 65. B 77. C 89. D :
6. B 18. D 30. E 42. A 54. E 66. E 78. C 90. B ^
7. C .19. B 31. B 43. A 55. B 67. B 79. B
8. D 20. C 32. B 44. D 56. B 68. A 80. A
9. B 21. B 33. E 45. C 57. E 69. C 81. B
10. B 22. C 34. B 46. C 58. B 70. B 82. C
11. D 23. C 35. D 47. C 59. B 71. D 83. A
12. D 24. E 36. D 48. E 60. B 72. C 84. B
Identidades 
trigonométricas de 
la suma y diferencia 
de ángulos
Edmund Gunter (1581-10 de di­
ciembre de 1626) fue un clérigo 
y matemático inglés, de famila- 
res descendientes directamente 
de Gales. Nació en Hertfordshire 
en 1581 y estudió en el Christ 
Church de Oxford, donde destacó 
por sus habilidades matemáticas.
Fue profesor de Astronomía en el 
Gresham College y diseñó varios 
instrumentos de medida; además, 
realizó numerosas aportaciones 
a la topografía, matemática y as­
tronomía. Sus publicaciones se 
realizaron en inglés y no en latín 
com o era la costumbre científica 
en los siglos XVI y XVII. Sus prin­
cipales trabajos trataron sobre tri­
gonometría y cálculo logarítmico.
Asimismo, introdujo los términos 
coseno y cotangente, y desarrolló 
la aritmética logarítmica.
Las aportaciones que ha realizado a la trigonometría se han aplicado a la topografía. Inventó a lo 
largo de su carrera diversos instrumentos que han llevado su nombre, com o fueron el cuadrante 
de Gunter (una especie de cuadrante que posee una proyección estereográfica), la escala de Gun­
ter (denom inada simplemente «Gunter» por los marineros), así com o la denom inada cadena de 
Gunter (que fue considerada com o una unidad de medida en muchos países de habla anglosajo­
na). Fue uno de los primeros científicos en descubrir la existencia de la declinación magnética 
terrestre.
Uniou, iu u . heiiiu un/do.
Fuente; W ikipedia
<4 SENO DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁN­
GULOS
1 4 8 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p i e n s ________
sen(a + 0) = senacosG + cosasenG 
sen(a - 9) = senacosG - cosasenG
Demostración:
En la circunferencia trigonométricaubicamos dos ángu­
los a y 0 como se muestra en la figura.
Se traza MP entonces: MP = sen(a + 9) ...(1)
Se traza PF J_ OQ, entonces en el Il OFP se cumple:
PF = senG y OF = cosG
Se trazan FG _L OA y FH _L MP, formándose los trián­
gulos OGF y PHF.
Para mayor entendimiento dichos triángulos los dibu­
jamos aparte:
Se deduce:
GF = cosGsena 
OG = cosGcosa
Se deduce:
HF = senGsena 
HP = senGcosa
Observar que:
MP = MH + HP
J | t senGcosa
' cosGsena
Ordenando queda:
sen(a + G) = senacosG + cosasenG
<4 COSENO DE IA SUMA Y DIFERENCIA DE 
DOS ÁNGULOS
cos(a + 0) = cosacosG - senasenG 
cos(a - 9) = cosacosG + senasenG
Demostración:
Para demostrar esta identidad usamos las figuras de la 
demostración anterior.
Observar que: NP = cos(a + 0)
Pero: NP = OM y OM = OG - MG 
Además: MG = HF
Entonces:
NP = OG - HF
J ' L _senGsena
cos(a + 0 ) ----- 1 I----------- cosGcosa
Ordenando queda:
cos(a + 0) = cosacosG - senasenG
<4 TANGENTE DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE 
DOS ÁNGULOS
Demostración:
Se tiene:
sen (a + 0) sena eos G + eos asenG
tan(a + 9) :
eos (a + 9) cosacosG - senasenG
Divide al numerador y denominador por: cosacosG 
sena eos9 cosasenG
tanta + 01 = cosa eos 9 cosacosG
' cosacosG senasenG
cosacosG eos a eos t
Simplificando se obtiene:
sena senG
tan (a + G) = cosa 0080
-| _ / sena i/senG \ 
te o sa AcosG /
tan(a + 9) = ; an« + tf n9Q 
• 1 - tan a tan 0
tan(a - G) = tanja + (-9 )], aplicando ta n (-0 ) = -tanG 
tana + tan (—0)
tan ja - 9) =
1 - ta n a ta n j-
n i tana - tanG
ta n ja - 9 ) = i + ta n a tan9
I 8 H Ü I 1
Igual que en la identidad anterior, esta es aplicable si a , 
0 y (a - 0) no son de la forma (2k + 1 )^ , k e TL.
<4 COTANGENTE DE LA SUMA Y DIFERENCIA 
DE DOS ÁNGULOS
__.í , n\ cota cote - 1cotja + 0) = cot0 + cota
m cotacotG + 1 
c0 t(a ~ 9 )= c o to -c o ta -
Ejemplos:
Primero, desarrollar:
sen(10° + x) = sen10°cosx + cos10°senx 
cos(20° + a) = cos20°cosa - sen20°sena 
sen(30° - 9) = sen30°cosG - cos30°senG 
cos(40° - P) = cos40°cosp + sen40°senp
T r ig o n o m e t r í a ■ 1 4 9
Segundo, observar el desarrollo e identificar de qué se 
trata:
sen6O°cos0 + cos6O°sen0 = sen(60° + 0) 
cos3xcosa - sen3xsena = cos(3x + a) 
sen20cos20° - cos20sen2O° = sen(20 - 20°) 
cos^yjcosij) + sen(y)sencj) = c o s )y - é)
Aplicaciones:
1. Indicar un valor de 0, si:
sen0cos1O° - cos0sen1O° = cos40°cos5° +
sen40°sen5°
Resolución:
En este caso observar que:
sen0cos1O° - cos0sen1O° = sen(0 - 10°)
cos40°cos5° + sen40°sen5° = cos(40° - 5°) = cos35°
Entonces:
sen(0 - 10°) = cos35° =» 0 - 10° + 35° = 90°
0 = 65°
2. Calcular: 
• sen15° cosí 5° sen8°
Resolución:
• sen15° = sen(45° - 30°) = sen45°cos30° -
cos45°sen30°
sen 15° =
sen15° =
/ 72 \ / 73)
l 2 Jl 2 ) i 2 A 2 /
7 6 -7 2
c o s í5° = cos(45° - 30°) = cos45°cos30° +
sen45°sen30°
sen8° = sen(45° - 37°) = sen45°cos37° -
cos45°sen37°
sen8° = _ (J2.V3) 472 3 /2 72 
\ 2 l\ 5 l \ 2 A 5 / 10 10 10
Aplicando las identidades de suma y diferencia de dos 
ángulos se pueden calcular las razones trigonométri­
cas de 1 5 °(j^ rad) y 75° / | | rad) y otros.
75 + 7 2 / / 7 5 °
1 5 \ / 6 -
1
r 7 5 A
-2 + 73- -2 -7 3 -h
Del gráfico se deduce:
RT (15°) RT (75°)
sen15° — 76 - 72 
4
sen75° - 7 6 + 7 2 
4
cosí 5° - 76 + 72 
4
cos75° - 76 - 72 
4
tan 15° = 2 - 7 3 tan75° = 2 + 7 3
cotí 5° = 2 + 73 cot75° = 2 - 7 3
sec15° = 7 6 - 7 2 sec75° = 7 6 + 72
csc15° = 7 6 + 72 csc75° = 7 6 - 7 2
3. Sabiendo que a y 0 son ángulos que pertenecen al 
primer cuadrante y que sena = 3/5, sen0 = 5/13. 
Calcular: sen(a + 9) y cos(a - 9).
Resolución:
sen9 =
 C
4 12
Dato: a y 9 e IC (quiere decir que todas sus RT son 
positivas).
=> sen(a + 0)
sen(a + 0) =
senacosO
§ ) ( § H t
cosasené 
/ _5_\ = 56 
11 3 ) 65
cos(a - 0) = cosa cos0 + senasen9
(ÍX»)-(ÍX*)- §
o
4. Sabiendo que: 4> e IIC, 9 e IC, señé = y
O 1 /
cos9 = calcular:-sen(é - 0) y cos($ + 0) 
o
Resolución:
y
0 e IC
3 x x “ 15
sen(é - 0) = sen<(>cos0 - cosijrsenO 
s e n » - e ) . ( i ) ( | ) - ( - f i ) ( | ) . | | 
cos(é + 0) = cosécos© - senésen0
( ± ) = _ Z Z
\5l 85
cos» + 9 ) = ( - 1 S ) ( ¡ ) - ( A ) ,
Sabiendo que: é e MIC, a e IVC, cottj> = 
csca = calcular: cos(a + <¡>) y tan(a - é) 
Resolución:
1 5 0 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p i e n s
cos(a + <)>) = cosacosó - senasenó
— V - —
41A 29
tan(a — <(») =
/ 40 ci 20 \ /
{41 Jll 29 ) \
989
1189
tana - tañó ^ l - l
(21 \
v 20 I
1 + tan a tan ó ̂ + jI 9 i 
\ 4 0 1<§ )
_ ü
tan (a — <t>) =
800
1020 
' 611
calcular:Si: a - (
R = (cosa + cosO)2 + (sena + senG)2 
Resolución:
R = (cosa + cose)2 + (sena + sene)2 
R = cos2a + 2cosacos6 + cos28 + sen2a +
2senasen6 + sen28 
R = (sen2a + cos2a) + (sen2e + cos20) +
2cosacos0 + 2senasen8
(í)
R = 2 ' 2cos( f ) = 2 R = 3
Del gráfico adjunto, calcular: tan8 (n > 1).
+ 1
Resolución:
Observar que: 0 = x + y
* a . / , \ tanx + tanytan8 = tan(x + y) - — 1
Se deduce de t^ABC: tany = 
El BCD: tanx =
1 - tanxtany 
n - 1 
n
n + 1
n
tan0 =
n + 1 n - 1 
n n
2n
n
tañe =
1 - 
2
n + 1 \/ n - 1
n n 
= 2n2
n2- 1
n2- n2+ 1
<i IDENTIDADES AUXILIARES
sen(a + 8)sen(a - 6) = sen2a - sen2©
cos(a + 0)cos(a - 0 ) = cos2a - sen20
Demostración:
Sabemos que:
sen(a + 8) = senacosB + cosasenG ...(1)
sen(a - 0) = senacosO - cosasenG ...(2)
Multiplicando (1) y (2):
sen(a + 8)sen(a - 8) = sen2acos20 - cos2asen2e
1 - sen20 1 - serró 
= sen2a(1 - sen20) - (1 - sen2a)sen20 
= sen2a - sen2asen20 - sen20 + sen2asen2l 
sen(a + 8)sen(a - 8) = sen2a - sen20
sen(a + 0) 
tana + tañe = cosacos0 , „ sen a - 0
tana - tan8 = ------1------- -r
cosacose
sen(a+0)
cctn cotO sen<0 - a >
senasenB senasenS
tan(a + 8) = tana + tan8 + ta n a ta n 8 ta n (a + 0) 
ta n ja - 0) = tana - tan0 - ta n a ta n 0 ta n (a - 8)
Demostración:
Sabemos que: tan(a + 8) ■ tana + tan8 
1 - tanatane
tan(a + 0)(1 - tanatane) = tana + tanG 
tan(a + 0) - tanatan0tan(a + 0) = tana + tanG 
tan ja + 8) = tana + tan0 + tanatan8tan(a + 0)
Aplicaciones:
1. SI: a + ó = rt/12; calcular:
R eos a - sen
senacosó - cosasenó cosacosij) + senasenó 
Resolución:
Sabemos que:
sen2a - sen2© = sen(a + <j))sen(a - 4>) y 
cos2a - sen2<(> = cos(a + íj>)cos(a - ó)
sen(a + cj>)sen(a - ó) cos(a + ó) eos (a - <j>) 
senacosa - cosasen<|> cosacosó + senasenó 
Los denominadores son expresiones conocidas. 
sen(a + <|))sen(a - <j>) cos(a + ó )cos(a - ó) 
s e n (a - ó ) eos (a — ó)
R = sen(a + ó) + cos(a + ó)
Dato: a + ó = rr/12
=* R = s e n A + c o s 2 L = f c ^ + ^ 4 ^
R :
12 12
2. Simplificar:
R = sen(x + y)sen(x - y) + sen(y + z)sen(y - z) + 
sen(z + x)sen(z - x)
Resolución:
Sabemos que:
sen(a + ©)sen(a - 0) = sen2a - sen2©
R = sen2x - sen2y + sen2y - sen2z + sen2z - sen2x 
R = 0
T r i g o n o m e t r í a ■ 151
3. Simplificar:
s e n (a - 0 ) sen(9 — <(>) sen(< |)-a )
K — — 4- -
seriasen© sen0seri(|) sen<j>sena 
R eso lución:
_ , , seníb - a)
Sabemos que: cota - cotb = --------
senbsena
R = cote - cota + cot<(> - cote + cota - cotij>
R = 0
4. Reducir:
L _ sen2x sen3x_________ sen4x
eos x eos 3x eos 3x eos 6x eos 6x eos 2x
R eso lución:
_ s e n ( 3 x - x ) s e n (6 x -3 x ) s e n (6 x -2 x )
- cosx eos 3x cos3xcos6x cos6xcos2x
L = (tan3x - tanx) + (tan6x - tan3x) - (tan6x - tan2x)
L = tan3x - tanx + tan6x - tan3x - tan6x + tan2x 
Simplificando:
L = t a n 2 x - t a n x = Sen(2x- x ) - senx
eos2xcosx eos2xcosx
L = sec2xtanx
5. Demostrar:
cos(a + ó) „ . , cosía -<|))
 5 — = cota - tañó A V = cotó + tana
sena eos <|> cosasenó
D em ostración:
cos(a + ó) _ cosa cosó - senasenó 
cosósena cosósena
c o s ía + 0 ) cosacos* senasenó 4----- — = ;--------- ;-----+ = cota - tañó
cosósena cosósena cosósena
cos(a - ó) _ cosa cosó + senasenó
cosasenó cosasenó
c o s (a -ó ) cosacosó senasenó ±4 = 7- + t- = cotó + tana
cosasenó cosasenó cosasenó
6. Hallar elvalor de:
R = tan22° + tan23° + tan22°tan23°
A = tan10° + tan20° + Jy tan10°tan20°
C = tan13° + tan12° + tan12°tan13°tan25°
/3L = tan35° - tan5° - -y tan35°tan5°
N = tan80° - tan20° - /3 tan80°+ tan20°
Y = tan60° - tan10° - /3 tan50°tan10° 
R eso lución:
Sabemos:
tan(a + 0) = tana + tañe + tan(a + 0)tanatan0 
tan(a - 0) = tana - tan0 - tan(a - 0)tanatan6 
R = tan22° + tan23° + 1tan22°tan23°
R = tan22° + tan23° + tan(22° + 25°)tan22°tan23° 
R = tan45° = 1
A = tan10° + tan20° + tan(10° + 20°)tan10°tan20° 
A = tan30° = V3/3
C = tan13° + tan12° + tan13°tan12°tan(12° + 13°) 
C = tan25°
L = tan35° - tan5° - tan(35° - 5°)tan35°tan5°
. . L = tan30° = 7 3 /3
N = tan80° - tan20° - tan(80° - 20°)tan20°tan80° 
N = tan60° = /3
Y = tan60° - tan10° - /3 tan10°tan50°
Y = tan60° - tan10° - tan60°tan50°tan10°
Y = tan60° - tan10° - tan(60° - 10°)tan10°tan60° 
.-. Y = tan50°
7. Si a y ó son ángulos complementarlos, calcular:
R = (1 + tan-y )( l + t a n | j
R eso lución:
R = (1 + t a n | ) ( l + t a n | )
R = 1 + tan-^ + ta n -| + tan-S-tan^
Pero: a + ó = 90°; entonces:
R = 1 + tanS. + ta n ^ + ta n |a ^ - - j ta n ^ - ta n ^
R = 1 + t a n ( ^ - y Í ) = 1 + 1 R = 2
8. Simplificar:
R = csc3a(tana + tan2a + tanatan2atan3a) 
R eso luc ión :
R = csc3a(tana + tan2a + tanatan2atan3a)
Por propiedad:
R - i “ '3 “ )(>="3“ i - ( ü k ) ( i i r )
R = sec3a
iS E B fflE Ü B ív
Toda expresión de la forma: asena + bcosa: se puede 
expresar como el producto de una constante positiva 
por el seno (o coseno) de una suma (o diferencia) de 
dos ángulos:
asena + bcosa = /a 2 + b2 sen(a + ó) / tañó = -
a
a > 0 A b > 0 = i | ie lC
a < 0 A b > 0 = » ó e i | C
• a > 0 A b < 0 = » ó £ I VC
• a < 0 A b < 0 = > ó e ll lC
De esta igualdad se deduce:
- / a2 + b2 < asena ± bcosa < /a2 + b2
Ejemplos:
Determinar el mayor valor de: 3sena + 4cosa 
Rpta.: J (3 f + (4)2 = 5
Determinar el menor valor de: 8senx + 15cosx 
Rpta.: - V(8)2 + (15)2 = -1 7
1 5 2 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Determinar el mayor valor de: 2Osen0 - 21cos0
Rpta.: J(20)2 + (21)2 = 29
Determinar el menor valor de: -5senij) + 12coS(j>
Rpta.: - ■ ) ( - 5 f + ( - 12)2 = -1 3
Determinar el mayor valor de: senx + cosx
Rpta.: ¡2
Determinar el menor valor de:
3sen(a - x) - 4cos(a - x)
Rpta.: - V<3)2 + ( - 4)2 = - 5
Por su frecuente aplicación es recomendable que re­
cuerde las siguientes identidades:
senx ± cosx = -/2sen(x ± 45°)
/3 senx ± cosx = 2sen(x + 30°)
senx ± 13 cosx = 2sen(x ± 60°
Ejemplos:
sen5° + cos5° = /2sen(5° + 45°) = -/2sen50° 
sen8° - cos8° = /2sen(8° - 45°) = --/2 se n 3 7° 
sen80° - cos80° = /2sen(80° - 45°) = -/2sen35° 
/3sen10° + cos10° = 2sen(10° + 30°) = 2sen40° 
■/3sen20° - cos20° = 2sen(20° - 30°) = -2sen10° 
■/3cos50° + sen50° = 2sen(50° + 60°) = 2sen110° 
sen40° - /3cos40° = 2sen(40° - 60°) = -2sen20°
i£ + /3 c o s £ = 2sen(-^- + — \ = 2 s e n | i 
o b v b o / I b
. 71 c o s y = 12 sen^ ^
5 3 '
t i n \
4 1
- l 2 s i — 
28
Simplificar: M 
Resolución:
sen65° + 13 eos 65° 
sen10° + eos 10°
M =
M =
2sen (65°+ 60°) 2sen125° 2sen55°
■/2sen(10° + 45°) V2sen55° /2sen55°
12.
= 12
3sen7° + 13 eos 7°Simplificar: L =
sen8 - eos8
Resolución:
/3(-/3sen7° + eos7°) _ /3 [2sen(7° + 30°)] 
sen8° - eos8° ~ /2sen(8° - 45°)
2 /3sen37°L =
■/2sen37'
■ = -V 6
<4 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA 
SUMA DE TRES ÁNGULOS
sen(a + 4> + 0) = senacosij)cos0 + cosacos<|)sen0 + 
cosasencjicos© - senasemjisenO
cos(a + <j) + 0) = cosacos(|>cos0 - cosasenij>sen0 - 
senacosósenO - senasen<j>cos0
tan(a + ó + 0 ):
tana + tan<)) + tan0 - tanatan<|)tan9 
1 - tanatanij) - tanatanG - tan^tan©
cot(a + <)> + 0)
cotacot(j)COt9 - cota - cotcj) - cot0 
cotacot0 + cotacot(|) + cot<j)cot0 - 1
Si: a + <j) 4- 0 = krt => tan(a + 4> + 0) = 0 
y cot(a + <}> + 0) 3 (k G TL)
Si: ct + <J) + 0 = (2k + 1 )7i/2 => tan(a + (J> + 0)3 
y cot(a + <j> + 0) = 0 (k G TL)
j a q u e l
,a+<j> + G = k7t, k s Z 
tana + tan<|> + tañe = tanatarajrtanG 
tanatan<(> + tanatanO + tart<j>tanG = 1
a + (5 + 0 = (2k + 1)it/2, k e TL 
cotacot<() + cotacotG -+ coti|>cot8 = 1 
cota + cot<|> + cote = cotacotíjicote
fS E E S B I
Recuerda que estas igualdades son válidas para valo­
res permitidos de la variable, por ejemplo la propiedad 
1 no es aplicable, si a = n/2.
Aplicaciones:
1
2
3
4. Si: A + B + C 
calcular: tanA
tani% + tant + tanT§ = tani l tanf tanS
tan80° + tan25° + tan75° = tan25°tan75°tan80° 
tan40°tan20° + tan20°tan30° + tan30°tan40° = 1
„ w tanA tanB tanC
n y — = — = —
tanB + tanC.
tanC „■ = m
Resolución:
tanA tanB 
3 “ 4 7
=> tanA = 3m; tanB = 4m y tanC = 7m 
Propiedad: tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC 
, _ 114m = 84m 16
5.
=> tanA = tanB = - + y tanC = -¡L 
v 6 V6 16
=> tanA - tanB + tanC = - j L - - ] L + ÜL = 4 L = /6 
16 16 16 16
En un triángulo ABC se cumple que: 
tanA + tanB = 3tanC; calcular: tanAtanB
Resolución:
Como: A + B + C = 180°
=» tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC 
=> 4tanC = tanAtanBtanC tanAtanB = 4
T r ig o n o m e t r í a ■ 1 5 3
6. Si: A, B y C son los ángulos de un triángulo, hallar 
el mínimo valor de:
F = tan2 A + tan2B + tan2C 
2 2 2
Resolución:
Como: A + B + C = 180° => A + 1 + ! = 90° 
tan^-tan® + tan-^tan-2- + ta n ® ta n ! = 1 
Multiplicar F por 2:
2F = 2tan2- | + 2tan2| + 2tan2!
Restar 2 a toda la expresión:
2F - 2 = 2tan2- | + 2tan2| + 2tan2! - 2 
Esto es lo mismo que escribir:
2F - 2 = 2tan2A + 2tan2| + 2tan2! -
2 |tan A ta n ® + tan A - ta n ! + t a n ! t a n ! j
Ordenando:
2F - 2 = tan2 A - 2tanA-tan2! + tan2® +
tan2 y - 2 ta n -A ta n ! + tan2! + 
tan2® - 2 t a n | t a n ! + tan2! 
2F - 2 = ( ta n -A - ta n ® j + ( t a n A _ t a n ! ) +
ta n ® - t a n ! )
Esta expresión es positiva, o igual cero, 
» 2 F - 2 > 0 = > 2 F > 2 = > F > 1 
Por lo tanto, el mínimo valor de:
tan2 A + tan2! . + tan2! es 1 
2 2 2
El mínimo valor de esta expresión se obtiene para i 
A = B = C = 60°
' ■ ■ R S P R O B L E M A S
Calcular el valor de la expresión: 
T - 1 1 -, si x
cotx + cot y 
Resolución:
T =
tanx tan y ’
y = 225°
1
1
1
1 tanx + tan y
T =
tanx tan y 
tanx tan y 
tany + tanx tanx + tan y
1
T =
tanx + tan y 
1
T _ /1 — tan x tan y 
“ ' ° - - tan y
T = -
tanx - 
T = -1
tan2x + tan3xtanxtan2x
tan 225°
Simplificar: S = tanx 
Resolución:
De la identidad auxiliar: 
tan (a + 0) = tanx + tanO + tan a tan Otan (a + 
S = tanx + tan2x + (tanx)(tan2x)[tan(x + 2x)] 
S = tan(x + 2x) = tan3x
3. Simplificar:
cos2x + sen2(x + y) - cos2y
V =
sen2x + sen2(x + y) - sen2y 
Resolución:
tanx 
tan y
sen a - sen 0 = sen(a + 0)sen(a - 0) 
cos2a - sen20 = cosía + 0)cos(a - 0)
V =
(1 - sen2x) + sen2(x + y) - (1 - sen2y)
sen (x + y) + sen(x + y)sen(x - y)
tanx
tan y
RESUELTOS
v =
v =
sen2(x + y ) -
I B " "
- sen2y)
sen (x + y) + sen(x + y)sen(x - y)
tanx 
tan y
(x + y) - sen{x + y)sen (x - y) 1 ta n x
sen(x + y)[sen(x + y) + sen(x - y ) ]J tany 
2senycosx
sen(x + y) - sen(x - y)
2senxcosy
V = -
4. Simplificar: T =
tanx
tany
tany \ tanx 
tanx /tany
sen0(sen9 + cos0 - 1)
/ sen ye osx '\tanx
\c o s y s e n x ,/tany
V = 1
kn:
sec0 + tan0(cos9 - 1) - 1 ’
Resolución:
sen0(sen0 + cosE
T =
1 sen0
T
30 - 1)
COS0 C O S 0^ COS0) 1 
sen9(sen9 + cos0 - 1)
1 - eos© - sen 0(1 - cos0)
COS0
cos9sen0(sen0 + eos 9 - 1) 
(1 - cos0)(1 - sen0) 
2(cos0)(sen0)(sen9 + cos0 - 1)
2(1 - sen0)(1 - cos0)
Recordemos que:
2(1 - sen0)(1 - cos0) = (1 - sen0 - cos0)2 
= (sen0 + eos© - 1 )2 
^ _ 2cos9sen9(sen0 + cos0 - 1)
(sen0 + cos0 - í)2
1 5 4 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
T =
T =
2sen6cos6 
sen0 + cose - 1
í 2sen6 eos 9 1/ sen6 + eos 9 + 1
[(sen0 + eos9 - 1)j\ sene + cos9 + 1
2sen9cos0(sen0 + cose + í)
5.
(sene + cosO)2 - 12
2sen9 cose (sen0 + cos6 + 1)
1 + 2sen6cose - 1 
T = sene + cos9 + 1
Desdeun planeador que vuela a 60 metros del 
suelo, se toman dos observaciones de un objeto 
fijo en tierra que se encuentra directamente frente 
a él; las observaciones se toman con una diferen­
cia de un minuto (véase la figura) ¿cuál es la rapi­
dez del planeador en m/s?
' '4 0 ^
c
l i
Resolución:
Siendo t = 1 min = el tiempo utilizado por el 
planeador en el tramo AB, su velocidad es:
v _ d _ 60tan40° - 60tan10° _ tan40° 
t ~~ 60
tan 10°
Se sabe que: tana - tanp =
w _ sen(40° - 10°) 
cos40°cos10° 
V = ^sec40°sec10°
sen(a - p) 
cosacosp 
sen30° 
eos 40° eos 10°
6. Se sabe que: x + y + z ■
Siendo: = k
Jt . cotx 
2 ’ 3
calcular: A = (tanx)(tany)(tanz)
Resolución:
co tx _ co ty _ cot 
3 " 2 " 5
=» cotx = 3k; coty = 2k; cotz = 5k 
Como x + y
cotx + coty + cotz = cotxcotycotz 
=» 3k + 2k + 5k = (3k)(2k)(5k)
10k = 3k2(1 0k ) => 1 = 3k2 => k =
coty
~ 2 ~
cotz
5
z = i , se cumple:
V3
Luego, en A:
A = (tanx)(tany)(tanz) = l — — V —— \l—-L 
1
\ cotx /\ coty A cotz
1 I 1
(3k)(2k)(5k) 3 0 \k :
K 
10
= ¿ í 4 I . a , ± i r -
7. Si A y B son ángulos agudos y se cumple que 
senA = 5/13 y cosB = 4/5, calcular el valor de: 
M = 130cos(A + B)
Resolución:
Si: senA = 5 /1 3 =>
Si: cosB = 4/5
12
senB = 3/5
Nos piden: M = 130cos(A + B)
M = 130(cosAcosB - senAsenB)
M = 130 
M = 66
8. Si: tan(B - C) = i calcular:
I\ l ^ \ l ± \ ( 5 \
[H a ) V 5 / \ 13 / U ) J
7 - 2cos2C ’
M = tanBcotC 
Resolución:
tan(B - C) = 2sen2C ^ s e n (B -C )_ 2sen2C 
7 - 2cos2C cos(B -C ) 7 -2cos2C
7sen(B -C ) - 2sen(B - C)cos2C = 2cos(B - C)sen2C 
7sen(B - C) = 2[sen(B - C)cos2C + cos(B - C)sen2C] 
7sen(B - C) = 2sen[(B - C) + 2C]
7sen(B - C) = 2sen(B + C)
7(senBcosC - cosBsenC) = 2(senBcosC + cosBsenC) 
5senBcosC = 9cosBsenC 
M = 1,8
Si: tan ja + P) = 1/3 y tan(p + 9) = 1/4; hallar 
tan ja - 9)
Resolución:
Datos: tan(a + p) = 1/3 => tanx = 1/3 
tan(p + 9) = 1/4 => tany = 1/4 
Notemos que: a - 9 = (a + p) - (p + 9) 
x ~
=s> tan(a - 9) = tan(x - y)
tan(a - 6) :
tanx - tany 3 4
1 + tanxtany
3 A 4
tan(a - 9) = 1/13
10. En la figura, ABCD es un cuadrado, AB 
AP = 2(PE); hallar: 3tana.
BE y
T r i g o n o m e t r í a ■ 155
Resolución:
Siendo AP = 2(PE) => PE = 2; AP = 4 
Como el AABE es isósceles: AH = HE = 3 
En el fcvBHP:
tañí - 4 E ° 1 = — !— tana - tan45° _ 1
3 tana ^ 1 + tanatan45° 3 tana
3tana(tana - 1) = 1 + tana => 3tan2a - 4tana - 1 = 0
4 ± V l6 - 4 ( 3 ) ( - 1 ) t 2 ±17
tana = ----- 1-------»------------ =» tana = — =—
6 3
tana = 2 V tana = 2 ~ ^
3tana = 2+17
11. En la figura mostrada: BM = MC, hallar el máximo 
valor que puede tomar tanO.
Observemos que: 
tanO = tan(p - a) 
2 _ ±
tanO =
tan9
tanG =
1 + 
1
m
x + -
X
tanp - tana 
1 + tanp tan a
(1)
Aplicando la propiedad: Ax + — > 2 /A B ; x > 0
o X
Tenemos: x + — > 2 /2 
x
min = 2 / 2 ...(2)
Reemplazar (2) en (1): (tan6)máx = ^
12. Sabiendo que ó e IIC y 6 e IC; además: señó = t + 
3 senté - 6 )
=■; calcular A = ----------------
o
y cose 
Resolución:
O
Si: señó = <
sen(ó + 6)
e IIC; entonces:
y . .
Además, si cose = 3/5, 6 e IC 
=> sene = 4/5
_ s e n (ó -O ) _ señócosO - cosósene 
' ~~ cos(ó + 6) cosócose - senósene
( 8 V 3 '! i
\ 17 )\ 5 ) i 17) U )
I 15 \/ 3 \ í 8 )
l I 7 A 5 ) ( 17) ( ó )
A = 24 + 60 
- 4 5 - 3 2
a = - M 
A 77
13. Si: tan(a - p) = tan p, calcular:
^ _ tan a eos 2p 
senp cosp
Resolución:
Dato: tan(a - P) = tan3p 
ta n a - ta n p = ^
1 + tan a tanp
tana - tanp = tan3p + tanatan4p 
tana - tanatan4p = tanp + tan3p 
ta n a (1 -ta n 4p) = tanp(1 + tan2p) 
tana(1 + tan2p)(1 - tan2p) = tanp(1 + tan2p)
tana = ^ 2 t a n a = - ^ 4 r = tan2p
1 - tan2(. 
2 tan a eos 2p _ 
2senpcosp
1 - tan p
14. ), si f es una función definida por: 
f(x) = 3sen2x + 4(senx)(cosx) + 5cos2x 
Resolución:
Multipliquemos por 2:
2f(x) = 3(2sen2x) + 4(2senxcosx) + 5(2cos2x) 
2f(x) = 3(1 - cos2x) + 4sen2x + 5(1+cos2x)
2f(x) = 8 + 4sen2x + 2cos2x
f(x) = 4 + 2sen2x + cos2x
Se sabe: - /a 2 + b2 < asene + bcosO < /a 2 + b2
- (5 < 2sen2x + cos2x < 15
4 - 15 < 4 + 2sen2x
L f(x)
cos2x < 4 + 15
1 5 6 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
tan 50° - tan 10o - tan 40°
co t260°
15. Evaluar: T =
Resolución:
Como:
tan(a + P) = tana + tanp + tan(a + p)tanatanp 
Obtenemos: tan50° = tan(10° + 40°) 
tan50° = tan10° + tan40° + tan50°tan10°tan40° 
Reemplazando T queda: 
tan 50° tan 10° tan 40°
cot(270° - 
T = tan50°cot50°
10°)
T = 1
T = tan50°tan40°
16. Evaluar: S = tan22° + tan23° + tan22°tan23° 
Resolución:
Vamos a aplicar:
tana + tanp+ tan(a + p)tanatanp = tan(a + p) 
S = tan22° + tan23° + tan22°tan23°
S = tan22° + tan23° + 1tan22°tan23°
=» S = tan(22° + 23°) = 1 .-. S = 1
17. Si se cum ple que: asenx + bcosx = -la2 + b2 
ha lla r tanx.
Resolución:
Dato: asenx + bcosx = -la2 + b2
Dado que: a2 + b2 = -la2 + b22 
a a cosx = •
/ F 7 F F f F
a
b
sec x + atan x senx - atan x18. Si se cumple:
secx + a
calcule: sec2x + csc2x 
Resolución:
Por proporciones:
(secx + atanx) + (senx - atanx) 
(secx + a)(senx - a) 
secx + senx _ secx + a tanx 
secx + s e n x - secx + a 
secx + a tanx
= 1
1 = tanx = 1 : 45°
secx + a 
Luego:
.-. sec2x + csc2x = (2'2 + -Í2'2 = 4
19. Dado “x” un ángulo agudo que cumple:
1_Manx = 7 3 - tanx ca|cu|ar: ^ _ 2senxcosx 
1 - tanx 1 + 73 tanx
Resolución:
Le damos forma:
tan45° + tanx _ ta n 60° - tanx 
1 - tan45°tanx - 1 + (tan60° )(tanx)
=* tan(45° + x) = tan(60° - x )
Luego: 2x = 15°
Se pide: M = 71 - 2senxcosx
M = 71 - sen2x = 71 - sen15° 
M = 71 - eos 75° = ^2serr 75°
2
M = 7 2 s e n ^ |- v M = 72sen245ir
20. Si co tx = , hallar el valor de la siguiente expresión:
0 b
M = bsenx + a cosx : s¡endo “x” un arco de primer 
cuadrante.
Resolución:
O
( b \Dato: co tx ■ cot X =
Luego: M = tan3,2x + c o f f x 
senx cosx
M _ sen3f2x + cos3,2x
eos xsenx sen xcosx 
1
M = sen2x + cos2x = (s e c x c s c : 
(senxcosx)
M = (tanx + cotx)3'2 .-. ^ b (3 
a
21. Determinar el tipo de triángulo ABC en el cual se 
cumple: ~ qqsC = sen^ + cosA cotB 
Resolución:
A A B C : = senA + cosA cotB
cosC
senB = s e n A + c o s A ÍcosB
cosC
senB
senB
senAsenB + eos A eos B
cosC senB
senB _ eos (A - B)
cosC
senB
senB 
-cosC . „ „ „ 2 ,sen B = eos C
cosC senB 
=> |senB| = |cosC| => B + C = 90° 
A ABC es rectángulo.
22. Del gráfico, hallar tana.
Resolución:
T r i g o n o m e t r í a ■ 1 5 7
De la figura: a = 0 + (3 
=> tana = tan(0 + p)
tan© + tanp
> tana =
1 - tan0 tanp
Donde: tan© = T A tanp =
Reemplazamos:
1 3 20
tana = —— | - = — • .'. tana = ^
1 “ 25 25
23. Si: S = tan38° + tan7° + tan7°tan38°
T = tan65° - tan5° - (3 tan65°tan5°
Hallar: A 
Resolución:
. S = tan 38a + tan 7" + (tan45°)tan 38® tan 76 
S = tan 45° = 1 
• T = tan 65* - tan5®(tan60s)tan5etan65°
T = tan(65° - 5°) = -T5
24. Si: tan(7x) = V2cot(3x), hallar: ^ c ( i6 x ) 
Resolución:
Del dato: tan7x = /2co t3x
sen7x _ ^ c o s 3 x ̂sen7xsen3x _ l2_
cos7x ~~ sen3x cos7xcos3x 1
Por proporciones:
cos7xcos3x - sen7xsen3x _ 1 - (2 
cos7xcos3x + sen7xsen3x ~~ 1 + (2
cosJJDx _ 2 ( 2 - 3 ■ sec4x _ o fñ 3
cos4x " sec10x
25. Eliminar “x” e “y” de las tres ecuaciones: 
senx + seny = a ...(1)
cosx + cosy = b ...(2)
cosxcosy + senxseny = c ...(3)
Resolución:
(1)2: sen2x + 2senxseny + sen2y = a2 
(2 f: cos2x + 2 co sxco sy + cos2y = b2 
Sumamos: (1 )2 + (2)2 
2 + 2(cosxcosy + senxseny) = a2 + b2 
Reemplazando (3): 2 + 2c = a2 + b2
26. Si: tan ( A - B) = A y cot A = - |, 
simplificar: S = 6 tanB + /lO co sB 
Resolución:
Condición: tan (A - B) = A => A - B =
tanA = | =»A = 37» A B =
3
=j S = 6tanB + /To cosB
S = 6 x A + V Í0 x ~ -L .•. S = 5 
3 V10
27. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, cal­
cular:
K = [1+tan(f)I1+tan(f)][1+tan(f)]
R eso luc ión :
Condición: A + B = 90° A C = 90°
Como:
C = 90° => (1 + t a n ! ) = 2 ...(1)
También: A + ! = 45° => t a n | A + ® ) = l
tan A + t a n !
 ¿ — = 1
1 - tan A ta n ®
tan A + t a n ! + tan A-tan ® + 1 = 2
) l + tan A ) | l + t a n ! ) = 2 ■■■(2)
De (1) x (2):
| l + ta n A ) ) l + ta n ® )| l + t a n ! ) = 4 K = 4
28. Si:
sen(0 + a ) _ _ m
cos(0 - a ) 1 + m
determinar: V = tan(-^ - 0 )ta n (T - a )
R eso lución:
Por proporciones:
c o s jS - 0 -a j
s e n (9 + a ) + c o s ( 0 - a ) _ 2 
c o s (O -a ) - s e n ( 0 + a ) 2m 
s e n j2 -0 + aj
2 c o s ( ^ - a ) c o S( | - 9 ) 1
2sen(-| - 0 )cos(T + a ) m
seni z —a )
1 5 8 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
s e n ^ - a j sen 4-f)l4 /
eos 4 - g)
4 / ]cos\4 _ a )
29. Si: tan(2a + P) = 4; tan(a + 2p) = 3 
hallar: tan(3a) / tan(3p)
Resolución:
Tenemos que: (2a + p) - (a + 2p) = a - 
=> tan[(2a + p) - (a + 2p)] = tan(a - p) 
tan (2a + p ) - tan (a + 2p)
1 + tan (2a + p )tan (a + 2p)
Reemplazamos:
4 - 3
= tan (a - p)
1 + 4 x 3
= tan(a - p) tan(a - P) =
13
También: 3a = (2a + P) + (a - p)
=> tan3a = tan[(2a + p) + (a - p)]
tan(2a + P) - tan (a - p)
tan 3a =
1 - tan(2a + p )tan(a - p) 
1
tan 3a =
4 +
1 - — 
13
13. _ 53 
9
Además: 3p = (a + 2p) - (a - p)
=> tan3p = tan[(a + 2p) - (a - P)]
tan (a + 2p) - tan (a - p)
tan3p =
tan3p =
1 + tan (a + 2p)tan(a - p)
3 1
13 19
1 + - 1 8 
13
Finalmente:
30. Hallar: M =
. tan 3a _ 5 3 /9 _ 424
tan3p 19 /8 
sen6° sen4c
eos 6° cos4c
171
cos6°cos4°
Resolución:
m = (sen6°cos4° - cos6°sen4c
eos 4° eos 6°
M = sen(6° - 4°) = sen2°
31 . En la figura, tana = 3. Hallar tanp.
cos6°cos4°
Resolución:
a = 45° + p; entonces p = a - 45° 
Luego: tanp = tan(a - 45°)
ta n a - ta n 4 5 ° _ 3 - 1 2 1
1 + tan45°tana ~~ 1 + (1)(3) ~ 4 ~ 2
32. SI tan(a + p) = 3 y tan(a - p) = 2; hallar tan2a. 
Resolución:
Observar que: 2a = (a + p) + (a - p), entonces 
tan (a + p) + tan (a - p)
1 - tan (a + p )tan (a - p)
3 + 2 5
tan 2a 
tan2a =
1 - (3)(2) - 5
= -1
33. En la figura, PQR es un triángulo rectángulo, 
PQ = 12 cm, QR = 3 cm y tana = 2. Hallar tan0.
R
Resolución:
Sea: p = ZQPR, 
entonces: 0 = a + p 
Luego: tan0 = tan(a + p) 
tana + tanp
tan0 =
tan0 =
1 - tan a ta n p 
9 
4.
2 "
2+i
/ P ̂ L r
1 -2 ,
12
34. En la figura, BM = MC. Hallar el valor de la expre­
sión: T =
senGsenp
Resolución:
Del gráfico:
cote = - ...(1) 
y
cotp = \ ...(2)
También: 
a + 0 + p = 90°
=> 90° - a = 9 + p 
Tomando coseno: cos(90 - a ) = cos(0 + p) 
=» sena = cosGcosp - senGsenp 
Dividiendo entre senOsenp:
sena _ / cose \ / co sp \ senGsenp 
senGsenp \sen© ) { senp/ senGsenp
T = (cotG)(cotp) - 1
De (1): T ■ ( í X 2 1 = 2 — 1 = 1
T r ig o n o m e t r í a ■ 1 5 9
íñ J ñ
35. Sean: cos(a + p) = A cos(a - p) = ^ 
hallar cosacosp
Resolución:
Puesto que: cos(a + P) = cosacosp - senasenp 
eos (a - p) = cosacosp + senasenp 
Sumando: cos(a + P) + cos(a - p) = 2cosacosp 
- 2c o s a c o s p = - f + f = l f
De donde: cosacosp = (215
36. Si: x + y = ji/4 calcular el mínimo del valor de “m” , 
tal que se cumpla: ] ~ |anx < m
1 + tan y
Resolución:
Del dato: y = 4 - * 4
En la desigualdad: 1 - tanx
1 + t a n ( T _ x \
- < m
Desarrollando: 
1 - tan x
1 + 1 - tanx
— 1 tan x —< m => ------=-------< m
1 + tanx
1 - tan2x 
2 
f
1 + tanx
< m
Hallando los valores de “P:
Se sabe que: tan2x > 0 =» - ta n 2x < 0 
Entonces: f < 1/2; analizando en la recta numérica
f
1/2 , = 1/2
37. En la figura, ABCD es un rectángulo, hallar el valor 
de 41tana
A B
X ----- '
10 enys
r
8 cm 
Resolución:
Observar que: (BC )2 = 102 - 82 = 36, 
entonces BC = 6
O
Luego, de la figura se obtiene: tan(a + P) = §
o
o sea:
tana + tanp _ 3 
1 - tan a tanp - 4 
3
_ 3 
4
B
tana + (
1 - -¿tana
J
10
r
3 cm
3 cm
8 tana + 3 _ 3 
8 - 3 tan a ~~ 4 
32tana + 12 = 24 - 9tana 
De donde: 41tana = 12
38. El valor de T = 2sen15°cos75° - 2cos15°sen75° es: 
R eso luc ión :
T = 2(sen15°cos75° - cos15°sen75°)
T = 2sen(15° - 75°) = 2sen(-60°)
T = -2sen60° = - 2 ^ - = - ( 3
39. Si sena + cosa = - 2 a , hallar el valor de la expre­
sión: E = cos(a + 30°) + sen(a - 30°)
R eso luc ión :
Observar que:
cos(a + 30°) = cosacos30° - senasen30°
(3 1cos(a + 30°) = -y -cosa - ^ s e n a
sen(a - 30°) = senacos30° - cosasen30°
(3 1= -y - sena - 4 cosa
Entonces, sumando tenemos:
(3 1 (S 1E = -y-cosa - 4. sena + -y -sena - 4 COsa
Jo- -1
E = y - (s e n a + cosa) - 4 (se n a + cosa)
E = ^ - | ) ( s e n a + cosa) = ( ^ 2~ 1) (~ 2a>
E = (1 - V3)a
40. En el siguiente rectángulo:
PQ = 2ti cm; CQ = 10 cm;
MN = a cm
Calcular: ta n ^ -ra d )
Luego: 2n = ( y ) r => r = 4 
Además: MN = (0)(r) =» a = (0)(4)
1 6 0 ■ C o l e c c i ó n U n i c í e n c ia S a p ie n s
_ PQ - MN (geométricamente)
es decir: <b =
de donde se obtiene que:
! = £ - « ■ - ta" ( f ) = tanÍ T - <
- tan 4>
1 + tan^tand
(1)
De la figura:
<|> = p - a => tanij)
Pero: tanp =
tana
Luego: tanrp
tanp - tana 
1 + tanp tan a 
2r r_ 4
10 5 5
r _ 4 2
' r + 10 4 + 10 7
4 2
_ 5__ 7 _ 18
En (1): t a n ( f ) = -
1 + 4 X 2 - 
5 7
1 _ 1 t
43
43
1 + 1 x 18
43
41. Si: tanx + coty = a A tan(x - y) = b 
Hallar: tany + cotx
Resolución:
-i
Primer dato: tanx + ■—1— = a 
tany
ta n x tan y + 1 _ 
tany
tany
1 + tan x tan y
...(1)
_ . tanx - tany
Dato: :------ -— — = b
1 + tan x tan y
tanytanx = b
1 + ta n x ta n y 1 + ta n x ta n y
tanx 1Reemplazando (1):
tanx 
1 + tanx tany 
1 + ta n x tan y _ 
tanx
cotx + tany :
1 + ta n x tan y a 
1 + ab
= b
— !— + tany = T a—- 
tanx 1 + ab
1 + ab
42. Hallar: A + (B)(C), si:
A = tanx + tan2x + tan3x + tan4x + tan5x 
B = (tanx)(tan2x)(tan3x)(tan4x)(tan5x)
C = (cotx)(cot4x) + (cot2x)(cot3x) 
Resolución:
^ ( ta n x ) ( ta n 4 x ) + ( ta n 2 x )( ta n 3 x )
_ _ (tan2x)(tan3x) + (tanx)(tan4x) 
( tanx)(tan2x)(tan3x)(tan4x) .
Multiplicando B y C, y simplificando:
(B)(C) = tan5x(tan2x)(tan3x) + (tanx)(tan4x)
Sumando la expresión A:
A + (B)(C) = tanx + tan2x + tan3x + tan4x +
tan5x + tan2xtan3xtan5x + 
tanxtan4xtan5x
Ordenando:
A + (B)(C) = (tanx + tan4x + tanx + tan4xtan5x) + 
(tan2x + tan3x + tan2xtan3xtan5x) + tan5x 
Usando la fórmula especial de tangentes, dos ve­
ces, se tiene:
A + (B)(C) = (tan5x) + (tan5x) + tan5x 
A + (B)(C) = 3tan5x
43. Calcular: tan(2x + 3y)
Si: tan2(x + 9o) = 5 a tan3(y + 9o) = 2
Resolución:
Notar que:
2(x + 9o) + 3(y + 9°) = (2x + 3y) + 45°
=» tan[2(x + 9°) + 3(y + 9°)] - tan[(2x + 3y) + 45°]
Efectuando:
tan2x(x + 9°) + tan3(y + 9°) _ tan(2x + 3y) + 1 
1 - tan2(x + 9°)tan3(y + 9°) 1 - 1 [tan (2x + 3y)]
Reemplazando datos:
5 + 2 _ tan(2x + 3y) + 1
1 - 5 x 2 1 - ta n ( 2 x + 3y)
De donde: tan(2x + 3y) = - 8
44. En un AABC, si tan(A + B) = 4 y tan(A - B) = 2, 
calcule tan2C.
Resolución:
I. Dato: A + B + C = 180°
A + B = 180° - C
II. tan(A + B) = 4
tan(180° - C) = 4 - tanC = - 4
II. tan2x = 2 tanx
1 - tan x 
Reemplazando: tanC = - 4
tan2C = 2 (“ 4) - 8
tan2C : 2 tanC 
1 - tan2C
1 - ( - 4)2 15
45. Si se cumple que:
(sec2a )(tan2a) _ (A)(B)
sec4a + tan4a 2A + C2 
a # (2k + 1 )rr/2, k e TL, calcule: A + B + C 
Resolución:
sec4x + tan4x = 1 + 2tan2xsec2x 
En la igualdad:
sec2a ta n 2g _ AB 
1 + 2sec2a ta n 2a 2A + C2
T r ig o n o m e t r í a ■ 161
sec2a ta n 2a
sec2a ta n 2a AB
1 + 2sec2a ta n 2a 2A + C2
sec2a ta n 2a
1 AB
COS2a cot2a + 2 2A + C2
sen2a(1 ) AB
2sen2a + (cos2oc f 2A + C2
=> A = sen2a; B = 1; C = cos2oc 
A + B + C = 2
46. Si 2sen6p - 3sen4p + 4sen2p = M; 
halle: H = 4cos2p + 2cos6p - 3cos4p
Resolución:
sen4x + cos4x = 1 - 2sen2xcos2x 
sen6x + cos6x = 1 - 3sen2xcos2x
M = 2sen6p - 3sen4p + 4sen2p ...(1)
H = 2cos6p - 3cos4p + 4cos2p ...(2)
(1) + (2)
H + M = 2(sen6p + cos6p) - 3(sen4p + cos4p)
+ 4(sen2p + cos2p)
H + M = 2(1 - Ssen^cos^) - 3(1 - 2360^003^) +4(1) 
H + M = 3 => H = 3 — M
47. Del gráfico, calcular tanx, si tana = 2 /3 y tanp = 3/5. 
AB: diámetro.
A 0 B
Resolución:
2
Dato: tana = A tanp = ^ 
5
/ X N \
/
—̂i \
l ^ r a .
A 6 * B
Del gráfico: x = a + p
tanx = tan(a + P) =
tana + tanp 
1 - tan a tanp
2 + 1 
= 3 5 = 19
1 _ 2 X 1 9
1 3 5
48. Reducir:
j _ tan x + tan 2x + 2 (tan x) (tan 2x) (tan 3x) 
tan 3x - tan 2x
Resolución:
Se sabe:
tana + tanb + (tana)(tanb)[tan(a + b)] = tan(a + b) 
Luego:
Y _ tan x + tan 2x + tan xtan 2xtan 3x + tan xtan 2xtan 3x
tan 3x - tan 2x
Y por la fórmula se tiene que:
tanx + tan2x + (tanx)(tan2x)(tan3x) = tan3x
Reemplazamos en P:
tan3x + tan xtan 2xtan3xT =
tan 3x - tan 2x
tan3x(1 + tan xtan 2x) 
tan 3x - tan 2x
sen3x/.j senxsen2x 
co s3 x \ cosx eos 2x
sen3x _ sen2x 
eos 3x eos 2x
T =
/ sen3x \ í eos (2x - x) 1
\ eos 3 x ) [ cosxeos2xJ sen3x(
sen(3x - 2x) 
eos 3x eos 2x
sen3x
senx
senx
49. Calcular: T = tanxtanytan20 
Si: sen(x + y) = cscOcosxcosy 
sen(x - y) = cosxcosy
Resolución:
_ . senxeos y + senycosx
Dato: ---------------— - — ----------- = cscG
eos x eos y
Separando en dos fracciones y reduciendo: 
tanx + tany = csc0 ...(1)
senx eos y - seny cosx _ ̂
cosxcosy
^ senxeos y senyeosx _ ̂
cosxco sy cosxcosy
=> tanx - tany = 1 ...(2)
(1) + (2) => 2tanx = cscG + 1 
(1) - (2) ^ 2tany = csc0 - 1
Multiplicando: 4tanxtany = csc20 - 1 
=> T = 4tanxtany = cot20
T = tanxtanytan 0 = 4-
50. Calcular: tanx
1 6 2 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Resolución:
Por Pitágoras: a = /5 
Luego: tan20 = -Í5I2
AABT: AB = 5cot20 = 5 ^
AB = 2 /5 =» tana =
2 /5
x = 0 - 2a => tanx = tan(a - 20)
9 /5
ta n a - ta n 2 0 _ 2 /5 2tanx =
tanx :
1 + tan a tan 20
8 /5
65
1 + 4 ^ X #
2 /5 2
51. Si: tanx + tany + tanxtany = tan55° 
sen(x + y) - cos(x + y)
Reducir: P =
sen(x + y) + cos(x - y)
Resolución:
p _ senxeos y + senyeosx - cosxeos y + senxseny 
- senxeos y + senyeosx + cosxeosy + senxseny
Dividiendo al numerador y denominador entre 
cosxcosy
senx eos y + senyeosx cosxcosy ^ senxseny
P=
cosxcosy cosxcosy cosxcosy cosxcosy 
senx eos y r senyeosx cosxcosy senxseny
cosxcosy cosxcosy cosxcosy cosxcosy 
p _ tanx + tany - 1 + tan x tan y 
tanx + tany + 1 + tanx tany
Por dato: tanx + tany + tanxtany = tan55° 
tan 55° - 1 _ tan 55° - tan 45°
Luego. P -j + tan 55° 1 + tan 55° tan 45°
P = tan(55° - 45°) .-. P = tan10°
52. Hallar una expresión equivalente de:
N = tanx + "tany + tanz - tanxtanytanz 
Sabiendo que: tanz = cosxcosy 
Resolución:
< senxN = (senx se n y \ z 1
\cos x cos y / [ v eos x
Efectuando dentro de los paréntesis: 
N = sen(x + y) |
seny \| 
cot y )\
senz cos(x + y)
cosz cos x cos y
N =
cosxcosy 
sen(x + y )cosz + senzcos(x ■y)
cos x cos y cos z
N =
sen(x + y + z)
cosz
cos x cos y cos z 
Pero por dato: cosxcosy = 
=» cosxcosycosz = senz
sen(x + y + z)
=> N = -----------------------
53. Calcular F(7), si: F(x) = xsenx° + cosx° 
Resolución:
F(7) = 7sen7° + cos7°, y por propiedad:
i.
Expresiones de ia forma: asena ± bcosa 
Se puede transformar en: n s e n (a ± 0 ) 
Donde: n = / a 2 + b2 A tanO = —
0)Luego: F(7) = nsen(7° 
n = /7 2+ 1 = 5 /2 => tan0 = 1/7 =
^ F(7) = 5 /2 sen(7° + 8°)
F(7) = 5 /2 sen15° = 5 / 2 Í ^ - ~ ^
F(7) = 2 ,5 (/3 — 1)
54. Si: (1 - tanxtany) = 4cos(x - y)
(1 + tanxtany) = 9cos(x + y)
Hallar: cos(x - y); si: x + y A x - y, son agudos: 
Resolución:
a senos y cosenos, en los datos:
1 - i x \ / seny \ 
sx A co sy /
¡ 4cos(x - y)
...(1)
...(2)
1 + ( se n x 0 seny\ = +
\c o s x A c o s y /
Dando común denominador:
cos(x + y) = 4cosxcosycos(x - y)
cos(x - y) = 9cosxcosycos(x + y)
Multiplicando (1) y (2) y luego de simplificar se tiene: 
1 = 36cos2xcos2y => cosxcosy = 1 /6
Dividiendo (1) entre (2) y simplificando: 
cos(x + y) _ 4 co t(x - y) 
c o s ( x - y ) 9 cos(x + y) 
cos2(x + y ) ^ 4 cos(x + y ) _ 2
cos2( x - y ) _ 9 cos(x - y) _ 3
cos(x + y) = 2 , 1 
c o s ( x - y ) 3
cos(x + y) + cos(x - y) _ 5
c o s ( x - y ) 3
Reemplazando fórmulas en el numerador.
Simplificando: 2cosxcosy = ^co s (x
2 ( l ) = f c o s <x
y) => cos(x -
y)
y) = 0,2
T r i g o n o m e t r í a ■ 1 6 3
55. Reducir: P =
cos(x - y + - j) + /2 sen cosy
Resolución:
cosíx + (■?•- y )| + V2senxcosy
P =
sen( f + y )
eos
p =
xcos(-| - y) - senxsen(|- - y) + 12.senxcosy
P = -
sen( f + y)
( | - y ) /2 s e n x c o s y -s e n x s e n (-|-y )
i ( | + y) sen
Como: s e n ^ + y) = cos( ^ - y) 
Luego:
( I + y )
P = cosx +
9 - / So So^ x /2 senx eos y - senx| - y eos y - - y seny
( ! + y)
■Í2
P = cosx +
y s e n x (2 c o s y - cosy + seny)
(22 cosy + y seny
„ senx cosy + seny
P = cosx + ------- 5---------------- — = cosx + senx
cosy + seny
56. Sea x + y = 90°, calcular Pcot(x - y) 
si: P = tanx - tany + tanxtanytan(x - y)
Resolución:
P = tanx - tany + tanxtany/ .tar\ x— )
\1 + ta n x ta n y / 
Factorizando: tanx - tany
P = ( t a n x - t a n y ) ( l+ T ^ n x ta tn y- )J'\ 1 + ta n x ta n y /
Efectuando en el segundo paréntesis:
/ tanx - tany \ . .
P = — i------ i— — (1 + 2 tanxtany)
\1 + ta n x ta n y / '
P = [tan(x - y)](1 + 2tanxtany)
Como: x + y = 90° => tanx = coty
Donde: tanxtany = 1
Luego: P = [tan(x - y)](1 + 2)
=> P = 3tan(x - y) =» Pcot(x - y) = 3
57. Siendo a y (3 ángulos positivos del IC, que cum­
plen:
tana = l + c o s x ; tanp = 1 + senx 
senx cosx
Hallar: a + p 
Resolución:
Como: tan(a + p ) ;
tana + tanp
1 - (tana)(tanp)
1 + eos x. 1 + senx
senx cosx
1 + c o sx \/1 + senx/ 1 + cosx \ 
\ senx / cosx
_ cosx + cos°x + senx + sen2x 
senx eos x - 1 - senx - eos x - senx eos x
senx + cosx + 1 
- (s e n x + cosx + 1) 
tan(a + p) = —1 =>a + p = 135°
58. En un triángulo rectángulo ABC (m ZB = 90°). Se 
traza la mediana AM y la altura BH, formando el án­
gulo agudo “x”. Hallar tanx en función de los lados 
del triángulo ABC.
Resolución:
kABM: tana =
2c
kABC: tanO = -
a + c
tanx = — — — a
\2c>
.-. tanx = -
59. Sea: sen(2a + b) + cos(a + 2b) = kcos(a + b)
Calcular: T = k - s e n a - e o s b 
cosa - senb
Resolución:
Como:
sen[(a + b) + a] + cos[(a + b) + b] = kcos(a + b) 
sen(a+b)cosa + cos(a+b)sena + cos(a+b)cosb - 
sen(a+b)senb = kcos(a+b) 
=5 sen(a + b)(cosa - senb) =
cos(a + b)(k - sena - cosb)
. T = k - s e n a - c o s b = tan(g + b) 
c o s a -s e n b '
60. Si
t a n ( a + p ) - 3 t a n ( a - p ) - 2
1 + 3 ta n (a + p) 1 + 2 t a n ( a - p ) 
Calcular: tan2p 
Resolución:
Hacemos: tana = 3; tany = 2 
Reemplazando:
tan(a + p) - tanx _ tan (a + P) - tan y
1 + tan(a + P)tanx 1 + tan(a - p )tany 
tan[(a + p) - x] = tan[(a - p) - y] 
a + p - x = a - p - y 
2p = x - y
tanx - tany
tan2p = tan(x — y) =» tan2p
1 + tan x tan y
Como: x = a + 0 
tanx = tan(a + 0)
tanx = tana + tañe 
1 - (tana)(tan0)
1 6 4 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
tan2p = 3 - 2 
1 + 3 x 2
61. Hallar: P = cot(a + p), si: tana =
Resolución:
De la condición: tana =
7 - tanp 
1 + 7 tanp
7 - tanp
1 + 7 tanp 
tana + 7tanatanp = 7 - tanp 
tana + tanp = 7(1 - tanatanp) 
tana + tanp
1 + tana tanp 
cot(a + P) = 1/7
= 7 tan(a + P) = 7
62. Siendo: 3senxsen9 + 5cosxcosG = 0
Encontrar el valor de la siguiente expresión:
cos(x - 9)
Q =
COS(x + 0)
Resolución:
Condición: 3senxsen0 + 5cosxcos0 = 0 
cosx eos 9 _ _̂ _3 
senxsenG 5
Aplicando proporciones: ’
cosx eos 0 + senxsen0 - 3 + 5
cosxeos0 - senxsenG 
c o s (x -G ) -|
- 3 - 5
Q =
cos(x + 0) 4
63. En la figura mostrada AD = x; EC= y; AB = BC
Determinar: T =
sen(a - 0)
2 cosacosG - sen(a + 0)
Resolución:
Desarrollando:
j _ _______ senacosG - cosasenG_______
2 co sa cos0 - (senacosG + cosasenG)
Simplificando y dividiendo entre cosacosG 
tana - tanGT = ...(1)
2 - (tana + tanG)
Hallando: tana A tanG
Del dato, haciendo AB = BC =m
Del gráfico: tana = —— - a tanG = JH _*.
X — VReemplazando en (1): T = ------ -
x + y
64. En un triángulo ABC, calcular: 
t _ eos A , eos B
: + - + - cosC
senBsenC senAsenC senAsenB 
Resolución:
Como: A + B + C = 180° 
cosA = -cos (B + C) 
cosB = -c o s (A + C) 
cosC = -co s (A + B)
Luego:
T _ ícos(B + C) cos(A C) cos(A + B )j
i senBsenC 1 senAsenC ' senAsenB 
cos(B + C) cosB cosC senBsenC
senBsenC senBsenC 
cos(B + C)
senBsenC
senBsenC 
cotBcotC - 1
Por analogía: 
cos(A + B)
cos(A + C) 
senAsenC
cotAcotC - 1
= cotAcotB - 1
senAsenB
T = -(co tA co tB + cotBcotC + cotAcotC - 3)
1
T = 2
65. Sabiendo que: 3sena = 2sen(a + 2G).
tan(a + G)
tanG
Hallar el valor de: R =
Resolución:
Haciendo: 3sen(a + 0 - 0) = 2sen(a + 9 + G) 
Desarrollando por compuestos:
3sen(a + G)cosG - 3cos(a 4 0)senG =
2sen(a + G)cosG + 2cos(a + G)senG 
=> sen(a + 0)cosG = 5cos(a + G)senG 
sen(a + 9)cos6 _ 
cos(a + 0)senG 
tan(a
tanG
= 5 R = 5
66. Reducir: A =
vers(a - 0) - cov(a + G) 
vers(a + 0) - cov(a - 0)
R eso lución:
_ 1 - eos (a - P) - [1 - sen (a + 0)]
1 - cos(a + G) - [1 - sen(a - 0)] 
_ sen(a + 0) - cos(a - 0) 
sen(a - 9) - cos(a + 0)
Desarrollando y factorizando:
(cosG - senG)(sena - cosa)
A =
(cosG + sen0)(sena - cosa)
T r ig o n o m e t r í a ■ 1 6 5
A = cost sene
cos0 + sene
Jo
- y cose - 12 sene
■Í2 J?^ j-cose + -y-senO
sen45°cose - eos45°sen6 _ s e n (4 5 ° -0 )
eos 45° cose + sen45°sen9 
A = tan(45° - 0)
cos(45° - 9)
67. En un triángulo ABC, reducir:
T = (cotA + cotB)(cotA +.cotC)(cotB + cotC) 
Si: (cscA)(cscB)(cscC) = m
Resolución:
Como: A + B + C = 180°
sen (A + B )| sen (A + C) | sen (B + C) I 
^ l senAsenB | senAsenC j[ senBsenC j 
Luego:
senC
senAsenB
1 1
senB 
senAsenC 
1
senA
senBsenC
\se n A A se n B /\se n C 
T = (cscA)(cscB)(cscC) T = m
68. Si: cos(a - b) = sen(x + b)sen(x + a)
Calcular: E = cos(x + a)cos(x + b)
Resolución:
Haciendo:
a - b
cos[(x + a) - (x + b)] = sen(x + b)sen(x + a) 
Desarrollando:
=> cos(x + a)cos(x + b) + sen(x + a)sen(x + b) 
= sen(x + b)sen(x + a) 
=> cos(x + a)cos(x + b) = 0 » E = 0 
.-. E = 0
69. Si: cos(a - (3)cos0 = cos(a + p - 0)
hallar: M
cote - cotp
cota - cota 
Resolución:
cos(a - P)cos0 = cos[(a + p) - 0]
cos(a - p)cos0 = cos(a + p)cos0 + sen(a + p)sen0 
cos9[cos(a - P) - cos(a + P) = sen(a + P)sen6 
(cos0)(2senasenp) = sen(a + p)sen9
2cot0 - sen(a + P) _ sena eos p + cosasenp 
senasenp senasenp senasenp 
cote + cote = cotp + cota 
cote - cotp = cota - cote 
cote - cotp _ 
co ta - cote
70. En un triángulo ABC, se cumple: 
senA = n(senB)(senC) ...(1) 
cosA = n(cosB)(cosC) ...(2)
Hallar: P = tanA + tanB + tanC
Resolución:
Dividiendo (1) y (2): tanA = (tanB)(tanC)
Pero: P = (tanA)(tanB)(tanC) => P = tan2A 
(2) - (1):
cosA - senA = n(cosBcosC - senBsenC) 
cosA - senA = ncos(B + C)
-eo s A
cosA - senA = -n co sA =» 1 - tanA = - n 
tanA = n + 1 => tan2A = (n + 1 )2 = P 
P = (n + 1)2
71. SI: tana =
8senp + 7sen0
calcular: P =
7cos0 - 8cosp 
sen(a + P)
sen(a - 0)
Resolución:
sena _ 8senp + 7sen0
cosa 7 c o s 0 -8 c o s p 
=» 7senacos6 - 8senacosp =
8senpcosa + 7senecosa 
=> 7(senacos6 - serfleosa) = 8(senacosp + senpeosa) 
=» 7sen(a - 0) = 8sen(a + p)
• sen(a + P) 7 ^ 7
sen(a — 0) 8 8
® PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISIÓN UNI ®
PROBLEMA 1 (UNI 2011 - 1)
En un triángulo acutángulo ABC. Calcule el valor de: 
c o s (A -B ) c o s (B -C ) c o s (A -C )
senAsenB + senBsenC + senAsenC
A) 3 B) 4 C )5 D) 6 E) 8
Resolución:
cosí x v)
Sabemos: ------------------= 1 + (cotx)(coty) ...(1)
senxseny
£ _ c o s ( A - B ) c o s (B -C ) c o s (A -B )
senAsenB senBsenC + senAsenC
Usando (1)
E = 1 + cotAcotB + 1 + cotBcotC + 1 + cotAcotC 
Como: A + B + C — 180°
=» cotAcotB + cotBcotC + cotAcotC = 1 
Reemplazando: E = 4
Clave: B
PROBLEMA 2 (UNI 2011 - II)
SI ta n |4 ^J = a y ta n |-y - | = b, entonces al simplificar:
E = (1 - a2b2)tan (x)tan (y); se obtiene:
1 6 6 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
A) a - b B) a2 - b2 C) a + b
D )ab E)a/b
Resolución:
Datos: t a n í y j = a A t a n | y j = b
Piden: E = (1 - a2b2)tan(x)tan(y) 
Desdoblando:
E = (1 - a2b2) t a n | y + y J t a n jy - y
E = (1 - a2b2)
tan2 4x ) - t a n ’ (f)
1 - tan2^
f )
tan2m
E = a2 - b2
Clave: B
PROBLEMA 3 (UNI 2012 - I)
Si tan[x(k + y)] = a A tan[x(k - y)] = b, 
entonces, tan(2kx) + tan(2yx) es igual a:
A) a
D)
1 + a b 
2a(1 + b2)
B)
E)
a2 - b2 
1 - a2b2
2a(1 + b2) 
1 - a2b2
C)
1 - a b
1 + a b 
Resolución:
Dato: tan(xk + xy) = a => tan0 = a
tan(xk - xy) = b => tañó = b
Notamos: 0 + ó = 2xk a 0 - ó = 2xy 
Piden: tan(2xk) + tan(2xy) 
Reemplazando: tan(0 + ó) + tan(0 + <j>)
Utilizando la identidad: „a + ^ + -a ~ ^
1 - ab 1 + ab
Operando . 2a + 2ab2 
1 - a2b2
tan(2xk) + tan(2xy) =
2a(1 + b2) 
1 - a2b2
Clave: E
PROBLEMA 4 (UNI 2014 - II)
Calcule el valor de “x” para que el ángulo 0 sea máximo.
C
A) 72 B) 73 C) 75
D) 77 E) T il
Resolución:
c
0 es máximo => tan0 es máximo
, ta n a - ta n f i
tan0 = tan (a - p) = z— n------ w,' 1 + (tana)(tanp)
2 _ 1
tan0 = —— = — - y -
1 + 4 ; X + - 
x2 X
9
x + — debe ser mínimo 
x
( x ) í ^ j es constante => ( x + es mínimo si:
=> x = ^ x = 72
Clave: A
PROBLEMA 5 (UNI 2015 -1)
Al simplificar la expresión:
k = [cos2(¿ + x) - cos2( | - x ) - ^ ] [ 1 - sen(2x)]
Se obtiene:
A ) - y c o s 2(2x) B) y - s e n 2(2x) C) - y -s e c (2 x )
D) f c s c ( x ) E) f
R eso luc ión :
Recordemos:
sen(A + B)sen(A - B) = cos2B - cos2A 
Aplicando:
K = | s e n | y | s e n ( - 2 x ) - - y j ( 1 - sen2x)
K = j - y s e n 2 x - y j ( 1 - sen2x)
K = - - y (1 + sen2x)(1 - sen2x) = - y - c o s 22x
Clave: A
T r ig o n o m e t r ía ■ 1 6 7
P R O B L E M A S PROPUESTOS
1. Si las semicircunferencias de centros O, y 0 2 son 
tangentes en P, calcular: tanij>
AR
A) 4/7
B) 6/17
C) 2/3
D) 1/3
E )2
2. En la figura adjunta, hallar la longitud del segmento 
AB,
A) 2 /3 %
B) 3 /3 X 3
C )4 /3
D) 5 /3
E) 6 /3
3. En la identidad trigonométrica:
2senx + 3co.sx = kcos(x - a). Determinar: tana
A)
m
D) |
4. En la siguiente figura: 
calcular: tan9
A) 21/4
B) 22/7
C) 8/3
D) 24/5
E) 17/9
5, Si en el gráfico PQ es máximo, hallar: tanB
A) ab
B)
C)
D)
a + b 
2ab
a2 + b2 
a2 + b2
ab
a2 + b2
2ab
E) ■ b +
a* + b - ab
6. Si: tan(x + 3y) = 5 y tan(2y + x) = 4, hallar coty
A) 20 B) 21 C )18
D) 14 E ) 15
7. Si: tan(2a + b) = 8 A tan(a + 2b) = 2, 
hallar: tan(a - b)
A) 12/17 B) 4/17 C )6
D) 6/17 E) 10
8. Reducir:
T = (sen220° - sen210°)2 - (sen250° - senz20°)2
A) -J -s e n 8 0 o 
C) eos10°
E) sen 100°
B) - - ^ s e n 8 0 ° 
D) T Cos10°
9. Si: a + p + 0 + ó = it, calcular: 
senasenp + sen9sent|>
S =
cosa cosp + cos8 cos<(
A) 1
D) - 2
B) 2
E) 0
senpsen0 + senpsena 
eos p eos 0 + eos (j> eos a
C) - 1
10. Si: sena = 2senp A cosp = 3cosa. 
hallar el valor de: cos(a - p)
3A ) - f 
D) |
B) - í 
E)
C) |
11. En la figura mostrada, calcular: tanx
T
3
A) 1/2 
D) 5/2
B) 2 
E) 1/6
C) 3/2
12. Simplificar la siguiente expresión:
S =
eos2 sen2 ^
6x — n 
12
A) sení 6xT 71) B) cos(3x + n) C ) c o s ^ x + 71
12
D) c o s ( % ± ^ ^ E) cos^6x + 71
12
12 18
13. Si: p - a = 60°, hallar el valor de la expresión:
A = (cosa - cosp)2 + (senp - sena)2
A) 2 B) 3/4 C )1 D) 0 E) 1/2
14, Si: x + y + z = 90°, además: 
csc2xcsc2ycsc2z - csc2xcsc2y -
csc2ycsc2z - csc2zcsc2x = kcscxcscycscz 
Hallar el valor de “k” .
A) 1 B) 2 0 - 2 D) - 1 E) 3
1 6 8 U C o l e c c i ó n U n ic ie n c ia S a p ie n s
15. Si en el gráfico: a + p + 0 = n
calcular: S = (AC)2 + (AD)2 + (AE)2 + 2(AC)(AD)(AE)
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
16. Si en el cuadrado ABCD, se verifica que: 
x nsec29sec(45° - P'
y cose
calcular: R = m2 + n2
- m
A) 1 
D) 4 E )5
17. Señalar la extensión de:
V = sen
x + 2
■73 c
x + 2
+ 2 eos
n(x2 + 5)
3x + 6
A )[V 3 — 1;2]
C) [1 — V3;V3+ 1) 
E) [1 - V3;2V2]
B) [1 — V3;2V2]
D) [V3 — 1;V3 + 1]
18. Del gráfico, calcular el valor mínimo de: cote
2VT0
D) 2ñÓ
9
E) 3 VÍO 
10
19. Si: a + p + © = 90°, además: (a, p y 0 son agudos)
_ ta n a + 2 tanp+ 3 tan6 tanp+2 tan9+3 tana 
~ cota + cotp +
tan0 + 2 ta na + 3tanp
cote
hallar el mínimo valor de R,
A) 3 
D) 6
B) 4 
E) 7
C) 5
20. En un cuadrilátero ABCD las diagonales se cortan 
perpendicularmente en P.
Si: PAB = a; PBC= p; PCD= 0 y PDA = x 
Cumpliéndose: a + p + 0 = 180°, además:
cos(x + a)cos(x + p)cos(x + 0) = Atanatanptane 
hallar: A
A) sen3x B) cos3x C) - s e n 3x
D) - c o s 3x E) -1
21. En el cuadrado ABCD, calcular: cotó, 
si: EC = 5(BE) A CF = 2(FD)
B „ . | _ _ C
A) 19/37 
D) 17/108
B) 19/121 
E) 19/108
C) 19/107
22. Siendo: a + p + 0 = n, además: 
tana + tanp + 2tan0 = sec2xtan0 
tanp + tan0 + 2tana = sec2ytana 
tan0 + tana + 2tanp = sec2ztanp 
calcular: S = cot2x + cot2y + cot2z
A) 1 B) 2 C )3
D) 4 E )5
23. Siendo: senx = meosy; cosx = nseny 
señalar el equivalente de cos(x + y)
J(1 - m 2)(1 - n 2) J(1 - m2)(n2 - 1)
A)
C)
E)
n + m
V(i - m2)(n2 - 1) 
n - m 
1 + nm 
n + m
B)
D)
n + m
V(1 - m2)(n2 - 1)
24.
25. En la semicircunferencia mostrada, hallar: 
0 AB(AQ + SQ) „
BC - DP
---------
/
L r
\ \ c
" p \ 
n I
O s Q 8
A) tanatane B) cotacot© C) tanacote
D) cotatan© E) cota + cot0
Del gráfico, calcular: (x - 0),
. „ s e n (0 - x ) __
si: R = 7 A ST = TV
sen(0 + x
A) 3/7
B) 5/7
C) 9/13
D) 7/17
E) 9/19
T r ig o n o m e t r í a ■ 1 6 9
26. Si en el gráfico, cota asume su mínimo valor, calcu­
lar: cot9. (Dato: PQ = QC = 2BP)
A)
D) 7 7 /2
10 E) 11/2
20
27. De acuerdo al gráfico, calcular:
g _ tana + tanp + tanO - tan<|» 
ta na tanp tan9
A) 1 A
B) 2
C) 1/2
D) tanij)
E) cotíj)
28. Si en el gráfico mostrado: a + p + 0 = 180°
R (x2 + y2 + z2) + xyz
calcular: T ;
R3
A) 2 
D) 8 E) 16
29. SI: 1 - tanxtany = 4cos(x - y)
1 + tanxtany = 9cos(x + y);
(x - y) ^ (2n + 1)n n e TL, hallar: cos(x - y)
A) 1/5 B) 3/5 C) 1/3
D) 4/7 E) 5/13
30. Si: a + p + 0 = n, además: 
cosa = cosxseny
cosp = coszsenx 
cos0 = cosysenz 
calcular: tanxtanytanz
A) 1 B) - 1 C) 2
D ) 1/2 E) (2
31. Siendo los ángulos de un triángulo: a, 0 y <(>, para 
los cuales se cumple: senci; ~ cos“ = eos 4
hallar el valor de: E
cos0 - sen© 
tan2<(>(tan0 - 1)
A) 1
D) 4
2tan0 + tan<|> 
B) 2 C) 3
E) 5
32. ¿Cuál o cuáles de las proposiciones son falsas? 
I. Si a > 0 A b > 0 A a ^ nrc, n e %
=> asen2a + — K r- > 2 /ab
II. 0 < rt
sen a
coto 
4 - cot0
> 2
II. S ÍA + B + C = ti = 9 tan2y + tan2-|- + tan2y > 1
A) I 
D) I y I
B) II
E) I y I
C) III
33. Calcular el mayor valor de “k” , tal que el valor máxi­
mo de F sea 3/TT
F = tan(-^E)senx - /2 kcos(x +
A) 5 /2 
D) - 7
B) 3 /2 
E) 4 /2
34. SI: x + y + z = re, además
sen(0 + z) sen(
C) 7
■= 0
sec(x + y) s e c ( x - y )
determ inar el valor de tanO, tal que tanx, tany, tanz 
son números en progresión aritmética de razón 1.
A) 2 
D) 6
B) 4
E) 7
C) 5
35. En un triángulo ABC se cumple:
J - ta n A -^ ta n B =
3 2 6 7
■J-tanB - 4-tanC : 
5 4
1 t 2n
2 0 tanT
-■^■tanA + tanC = J - ta n ^ - 
6 6 7
calcular: cot2Acot2Bcot2C 
A) 1/7 B) 7 C) 49
...(!)
...(II)
...(III)
D) 1/49 E) 14
sen2 A cot A 1
p = sen2B cotB 1
sen2C cotC 1
A) 0 B) 1
D) 2 E) 3
36. Siendo A, B y C ángulos internos de un triángulo, 
calcular el valor de:
C) /3
37. Siendo x + y + z = jxk; (k es Impar), además:
(cosx + cosycosz)(cosy + cosxcosz)(cosz + cosxcosy) =
sen"xsenmysenpz
calcular: m + n + p
A) 3/2 B) 3 C) 6
D ) 9 E )4
38. Calcular los valores de E, si:
E = /6(sen0 - cosO) - 2senT(senO + cosO) 
considerar: T < 0 < n
1 7 0 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
A ) < /2 ; /6 ) B) <— 1; 1)
C) < / 6 - / 2 ; / 6 + /2> D) (-Í6 + Í2\ 4]
E) < V 6 -V 2 ;4 ]
39. Determinar el mayor valor de A y menor valor de B 
en la siguiente desigualdad:
A < sen(x + 2) - senx < B
A) -sen1 y sen1 B) -2sen1 y 2sen1
C) - c o s í y cosí D) -2cos1 y 2cos1
E) sen1 y cosí
40. Hallar el equivalente de:
tan2x - tan2y \[ tan (x - y) + tan (x + y)
A) 0 
D) c'
1 - t a n 2xtan2y / \ ab(a + b)
i
C) c2
tan(x + y) ta n ( x - y ) 
para que se cu m p la :----- ^ — — = ----- ^ — — = c
B) c
E) c1'
41. Dado: sec2* - 4 - 3 ta rr9 = ^
reducir: M =
A) 5/6 
D) 1/4
4 tan20 - 3
3 + cos(0 + <|))cos(0 - <|>)
3 + sen20 + cos2i|)
B) 6/5 C) 4/3
E) 3/4
42. Calcular el valor aproximado de:
E = 2tan60° + (/3 ta n 8 2 ° + 1) (tan56° - tan34°)
A) 13 B) 14 C )15
D ) 16 E ) 17
43. Si: a + (3 + 0 = O, calcular:
U = 1 - cos2a - cos2p - cos20 + 2cosacospcos0 
A) O B) 1 C ) - 1 D) 2 E) - 2
44. Señalar la alternativa correcta, si: x =
ob
y = tan(tanx + tan2x + sec2xtan3x)
A) y > /3 B) y > 1
C ) - / 3 < y < - 1 D) y < - / 3
E) O < y < 1
45. Si ABCD y CEFG son cuadrados, entonces verificar:
V1
c J \L
G i .n
A) 30° < 0 < 37° 
C )0 > 30°
E) 37° < 0 < 53°
B) 26°30’ < 0 < 37° 
D) 37° < 0 < 45°
46. Sobre un pedestal de altura H, está colocada una 
estatua de altura “h” . ¿A qué distancia del monu­
mento se debe colocar un observador, para ver la 
estatura con ángulo máximo? (H > h)
A) /H ( H - h ) B) ^H(H + h) C) Jh(H + h)
D) ^ h (H - h ) E) /Hh
47. Si: cos2Ctan(A + B) = sen2Ccot(A - B ) ; B e NIC. 
Calcule el valor de: y = ^tan(A + C )tan (A - C) 
A) cotB B) 2cotB C) 2tanB
D) tanB E) tan(B/2)
48. Sabiendo que: sen(a + p + 0) = senasenpsen0 
hallar el valor de: R = cotacotp+ cotacotO + cotpcot0 
A) 6 B) 5 C )4 D) 3 E) 2
49. Dado a e ^0; , calcular los valores de |A|,
sabiendo que: A = cos(a + 6) 
1 - 4cos2a
B) 0;, . / 3
D ) / o ; f ) 6 ¡ ( 0 ; i
50. Señalar el valor de sen(a + p + 9) para que se cum­
pla sen(a + P) = mcosO; cos(a + P) = nsen0
A)
D)
1 + mn 
m + n 
1 + m + n
1 - mn 
m - n 
1 + mn
C) 1 - mn 
m + n
mn m n - 1
51. Calcule el valor de cos(x - y)
sabiendo que: senx + seny + senz = O 
cosx + cosy + cosz = O
A) 1 B) 1/2 C) O D) -1 /2
52. Si se cumple que:
sen(b + c) sen(a + b) _ 2sen(a + c)
E) 1
sena sene senb
calcular: K = cota + cote - 2cotb 
A) 1 B) 2 C ) - 1 D) O E) 1/2
53. Determine el máximo valor para tan©, en la figura:
T 
b
1
2b
A) 5/6
D) 5/7 E) 5/9
C )5 /12
T r i g o n o m e t r í a ■ 171
54. En un triángulo ABC: tanA tanB tanC
hallar: (tan A)(tanB)(tanC)
A) 25/8 B) 13/4 C) 27/4 D) 14/4 E) 29/4
55. Dada la igualdad: 2sen(a + 0) = 3sen(o¡ - 0) 
Calcule el valor de: V = cot0(2tana + 3tan0)
A) 7 B) 9 C) 11
D) 13 E) 15
56. Calcule el valor de:
T = 4tan40°(tan70° - tan50° - tan20°)
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1
57. Siendo A, B y C, los ángulos de un triángulo, en el 
cual se cumple que sus tangentes son tres núme­
ros consecutivos y además A > B > C, calcular:
tanA + tanCS =
tanB + tanC
A) 1/3 
D) 4/3
B) 1/4 
E) 2/5
C) 3/4
Calcular:
65. Simplificar la expresión:
c o s (A -B ) c o s (B -C ) c o s (C -A ) 
senAsenB 1 senBsenC 1 senCsenA
S = — sen5x 0— v tan5xtan3xtan2x 
eos 3xcos2x
Donde A, B y C son los ángulos internos de un 
triángulo ABC
A) tan2x B) tan3x 
D) tan7x E) tan8x
C) tan5x
A) 0 B) 1 C) 2 66. Calcule el valor de:
D) 3 E )4 S = 2sec20°(/2cos65° + sen20°)
Siendo A + B + C = n y además: A) 1 B )2 C ) - 1
ta n (-y ) = 3 ta n (^ ) = 2 tan(^-)
D) -2 E) 1
67. Calcular:
Calcule el valor de: S = 3tanC + 4tanB tan 50° - tan 40°
A) 1 B) 3 C) 5 tan 10°
D) 7 E ) 9 A ) 1 B) V3 C) 3/4
De la figura, encontrar el valor máximo de tan0.
D) 2 E) (313
A) 1313
B) 1316
C) le 16 
d ) l6/'\2
E) 3/4
61. Hallar el máximo valor de tan0.
A) 1/2
D) Í 2 12 E) /3 /3
62. Simplificar: 
R = sen80° sen5°
sen250° - sen220° sen272°30' - sen22°30'
A) 2 - 2 /3 B) 2 + 2 /3 C )2 l3
D) 2 E) 2 /3 /3
63. En la figura mostrada, calcule tan0
A) 3/10
B) 5/11
C) 7/10
D) 9/7
E) 11/10
64. Determine la extensión de S + T, si se tiene que: 
S = /2 se n (-|s e n x )c o s (T s e n y )
T = 12 sen(-|seny)cos(-|-senx)A) [ -1 /2 ; 1/2] 
C) [-1 2 ] 12] 
E) [ - 2 ; 2]
B) [ - 1 ; 1]
D) [-1212,1212]
68. La expresión: T = 2sen50° - /3cos70° 
equivale a:
A) sen20° B) cos20° C) tan20°
D)2sen20° E)2cos20°
69. Si: tan(a + b) = 1/2; tan(c - b) = 1/3 
Calcular: tan(a + c)
A) 1/4 
D) 0
B) 1/2 
E) 1/3
C)1
70. Calcule tan(x - y), si se tiene que tan(x + y) = 2; 
además se cumple:
tan2x - tan2y + 3tan2xtan2y = 3 
C) 3/2A) 1 
D) 5/3
B) 2/3
E) 3/5
1 7 2 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p i e n s
71. Del gráfico mostrado, calcule tan©
A) 1
B) 2/3
C) 3/2
D) 3/4
E) 4/3
B 2 y\ L
377
EL. .. _
72. En un triángulo ABC, se tiene que:
2senA = 3senBcosC 
Calcule el valor de:
S = (tanB + tanC)(2cotB + cotC)
A) 1 B) 2 C) 4
D) 5 E) 6
73. Si se cumple que:
tan3a + tan3p + tan34> = tan3atan3ptan3<ji 
y a + p + ó e ( 71; 3nl2) 
calcular: tan(2a + 2p + 2ó)
A ) - 7 3 B) 73 0 - 7 3 / 3
D) 73/3 E) O
74. Calcular el valor de tan20, si:
tan(x + 0 ) - 5 t a n ( x - 0 ) - 3
1 + 5 tan (x + 9)
A) 1/8 B ) 1/4
D) 1 E) -1 /4
1 + 3 tan(x - f 
C) 1/2
75. Hallar la suma de los “n” primeros términos de: 
tanxtan2x + tan2xtan3x + tan3xtan4x+ ...
A) tan(n + 1)xtanx + 1 + n
B) tan(n + 1)xcotx + 1 + n
C) tan(n + 1)xtanx - 1 - n
D) tan(n + 1 )xcotx - 1 - n
E) tan(n + 1)xcotx - 1 + n
76. Si: sen(a + p) = mcosG A cos(a + p) = nsene 
hallar: sen(a + p + 9)
A)
D)
1 + mn 
m + n 
1 - mn
m + n
B)
E)
m - n 
1 + mn 
mn - 1
C) 1 + m + n 
mn
77. En la siguiente figura, calcule tanx, si:
MC _ CB AB
3 4 8
A MC = MD
A) 13/4 
D) 24/5
B) 22/7 
E) 17/9
78. Siendo: sena = 2senp A cosp = 3cosa, 
Calcule el valor de cos(a - p)
A) -5 /7 
D) 5/7
B) -3 /7 
E) 6/7
C) 3/7
79. En el gráfico mostrado, calcule tañó.
A) 1/2
D) 5/2
80 . S ita n (4 r\ 14
B) 2 
E) 1/6
C) 3/2
- x) = j , calcule c o t | | ^ + x
A) 3 
D) 1/2
B) 2
E) 1/3
C) 1
1. A 11. A 21. E 31. B 41. E 51. D 61. E 71. A
2. E 12. D 22. A 32. B 42. B 52. D 62. D 72. E
3. B 13. C 23. B 33. C 43. A 53. C 63. E 73. A
4. B 14. B 24. E 34. D 44. E 54. C 64. B 74. A
5. A 15. A 25. B 35. A 45. D 55. D 65. C 75. D
6. B 16. C 26. C 36. A 46. B 56. B 66. B 76. A
7. D 17. C 27. A 37. C 47. D 57. D 67. D 77. B
8. E 18. D 28. B 38. E 48. E 58. E 68. B 78. D
9. B 19. D 29. A 39. B 49. C 59. D 69. C 79. A
10. D 20. A 30. A 40. B 50. A 60. D 70. C 80. A
Ángulos 
múltiples
Aryabhata o Aryabhata I (476 d. C - 
550 d. C.) fue el prim er gran m a­
tem ático y astrónom o de la era 
clásica de la m atem ática en la 
India y la astronom ía india. Tam­
bién trabajó en la aproxim ación 
del núm ero ir. Aryabhata es el 
autor de varios tratados de Ma­
temáticas y Astronom ía, algunos 
de los cuales están perdidos. Su 
m ayor trabajo, Aryabhatiya. 
un com pend io de matemáticas 
y astronomía, fue referido de 
m anera extensa en la literatura 
m atem ática de la India y ha so­
brevivido a los tiem pos m oder­
nos. La parte m atem ática del 
Aryabhatiya cubre aritmética, 
álgebra, trigonom etría plana y 
trigonom etría esférica. También 
contiene fracciones continuas, 
ecuaciones cuadráticas, sumas de series de potencias y una tabla de senos.
Su obra fue de gran influencia en la tradición astronóm ica de la India e in fluenció a varias 
culturas vecinas m ediante traducciones. A lgunos de sus resultados son citados por Al-Juarismi 
y en el siglo X Al-Biruni afirm ó que los seguidores de Aryabhata creían que la Tierra rotaba so ­
bre su propio eje. Sus definiciones de seno (yia). coseno (koyia ), verseno (utkram a-yia ) y seno 
inverso (otbram -y ia ) influyeron en el nacim iento de la trigonom etría. También fue el prim ero 
en especificar tablas de seno y verseno (1 - cosx), en intervalos de 3,75° desde 0° a 90°, con una 
precisión de cuatro cifras decimales.
Fuente: W ikipedia
1 7 4 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p i e n s
<4 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DEL AN­
GULO DOBLE 
Seno del ángulo doble
sen2a = 2senacosa
Demostración:
Sabemos: sen(a + 0) = senacos© + sen0cosa 
Si en lugar de 0 colocas a se obtiene: 
sen (a + a ) = senacosa + senacosa 
=> sen2a = 2senacosa
Coseno del ángulo doble
0) (II)
cos2a = eos a - sen a cos2a = 2cos a - 1
(III)
cos2a = 1 - 2sen a
Demostración (I):
Sabemos: cos(a + 0) = cosacos© - senasen0 
Si en lugar de 0 colocas a se obtiene: 
cos(a + a ) = cosacosa — senasena 
cos2a = cos2a - sen2a
Demostración (II):
Sabemos: sen2a = 1 - cos2a, reemplaza en la identi­
dad anterior.
cos2a = cos2a - (1 - cos2a) 
cos2a = 2cos2a - 1
Demostración (III):
Sabemos: cos2a = 1 - sen2a, reemplaza en la identidad (I) 
cos2a = (1 - sen2a ) - sen2a 
cos2a = 1 - 2 sen2a
Tangente del ángulo doble
tan 2a 2 tan a
1 - tan a
a ^ { ( 2 n + 1 ) | } , n e Z A a + {(2k + 1 ) | } ,k <
Demostración:
sen2a 2senacosatan 2a = ■
Dividimos al numerador y denominador por: cos2a 
2senacosa
tan 2a = ■ 2 tan a
eos a sen a 1 - tan a
De las identidades básicas del coseno del ángulo doble 
se deducen las siguientes identidades:
Sen2a = l^ £ 2 s 2 a 1 + cos 2a
(Es muy frecuente llamar a estas identidades: identida­
des de degradación)
De la identidad de la tangente del ángulo doble se de­
ducen:
Sen2a = _2tana 
1 + tan a
1 - tan a
cos 2a : 1 - tan a 
1 + tan2a
Aplicaciones:
1. Lo primero que se debe aprender es a usar las 
identidades del ángulo doble, es decir:
• sen4x = 2sen2xcos2x 
sen80° = 2sen40?cos40° 
sen6x = 2sen3xcos3x 
sen36° = 2sen18°cos18° 
sen3a = 2 s e n ^ - c o s ^ -
sen( ú ) =2sen( é ) cos( é )
sen 100 = 2sen5<|)Cos5(ti 
s e n ( f f ) = 2 s e n ( | | ) c o s ( | | )
sen70 = 2 s e n ^ c o s ^ 
sen15° = 2sen7°30'cos7°30'
• cos6x = cos23x - sen23x
H t I - M t ) - 1
c o s í00° = 1 - 2sen250° 
cos5a = 1 - 2sen2í - ^
cos50° = 2cos225° - 1 
cos8(l> = 2cos24()> - 1 
c o s f = 1 - 2 s e n 2(2L )
cos7x = cos2( ^ - j - sen2| ^ - j
c o s f f = 2cos2( | | 
cosa = 1 - 2sen2(S.)
sen 5x = 1 - cos 10x
T r ig o n o m e t r í a ■ 1 7 5
„2 neos
cos23x =
10 2 
1 + eos 6x
sen26° = 1 - eos 12°
2 71
seni :
1 - eos 2n
cos25°20’ = 1 + eos 10°40'
Luego se debe aprender a identificar, es decir:
• 2sen6°cos6° = sen12°
i
senxcosx = ysen2x 
2sen9xcos9x = sen18x 
sen80cos80 = ysen160 
2 se n -|co s -| = sen-yy 
sen-ycos-y = yse n x
• cos220° - sen220° = cos40°
cos230 - sen236 = cos60
1 - 2sen27° = cos14°
1 - 2cos223° = -cos46°
2cos222° - 1 = cos44°
1 - 2sen2y = eos-y- 
1 - 2sen26a = cosí2a
18
2cos27p - 1
9
: cos14p
2 tanx 
1 + tan2x
1 - tan20 
1 + tan20
2 ta n 8x 
1 + tan28x
1 - t a n 220
1 + tan 20 
2 tan 6°
= sen2x 
= eos 20 
= sen16x 
■ = eos 40°
1 + tan 6°
1 - tan28x 
1 + tan28x
= sen12°
= eos 16x
1 - cos2x = 2sen2x 
1 + cos2x = 2 cos2x 
1 - cos10° = 2sen25° 
1 + cos4x = 2cos22x
1 - cos5x = 2sen 
1 + cos62° = 2cos231°
1 - cos(a + b) = 2sen: 
1 + cos2 1 ° = 2cos:
2 / a + b
3. Calcular: sen2a y cos2a ; si: sena = a e IC. 
Resolución:
cos2a = 1 - 2sen2a = 1 - 2
4. Calcular: tan2<t>; si: cosí)) =
75
5 / 25
: IVC .
costji = -p=,(j) e IVC => tan4> = - 2
75 
tan 2<J> =
2 tan(p _ 2 ( - 2 ) _ _ 4 _ 4 
1 — tan2(p 1 - ( - 2 )2 - 3 3
73
Calcular tan40, si: sen0 = - - 3-, 
Resolución:
I C.
tan 20 =
tan 40 =
2 tanQ 
1 - tan20
2 tan 20
1 -
>/ 1 \
■(72 ) H t )
1 1 \2 1
( 72 ) 2
2 (272) 472
- (2 7 2 f 1 - 8
= 272
tan 40 = - 472
1 2 Si: tan0 = y y tana = y y calcular tan(20 + a ) .
Resolución:
tan 20 = ■
1 -
( j )
2
¿ - ta n 2 e = ¿
49
1 7 6 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
! _ . 2 _ 125
tan28 + tana _ 24 11 _ 264
1 - tan 20 tan c 
1
- f - L V i . ) 250 
V 24 A 11 / 264
tan(29 + a ) =
ta n (2 0 + a ) =
Demostrar:
1 + sec 2a = tán2a y exsec2a = tan2atana 
tana
Demostración:
Utilizamos el triángulo del doble:
2tana
1 + sec2a = 1 + 
1 + sec2a = —
tan2a
1 + tan2a 1 - tan2a + 1 + tan2a
1 - tan a 
2
1 - tan a
Multiplicamosel numerador y denominador por: 
tana:
2 tan a - tan 2a1 + sec2a =
(1 - tan2a )ta n a tana
1 + sec2a =
tana
Para demostrar la segunda identidad el proceso es 
análogo:
Exsec2a = sec2a - 1 = 1 + tan' a - 1 = ■ 2 ta " 2“
1 - tan2a 1 - tan a
Exsec2a = - 2--ta- - ^ —tana 
1 - tan a
Exsec2a = tan2atana
8. Demostrar:
O 4
sen4(|) + cos4<|) = ¿ + —cos4ó 
sen6ij) + cos6ó = - I + §cos4ó
Demostración:
sen4<|i + cos4i|> = 1 - 2 sen2ócos2ó 
sen4i|> + cos4ó = 1 - ^-(2senócosó)2 = 1 - 3 se n 22ó 
1 - eos 2apero: sen a = -
1,1,=» sen ó + eos ó = 1 - ~ cos4<|))
^ 1 ~ Í + ^ cos4lt> = | + |c o s 4 ó
sen4<|) + cos4<|) = ^ + -lcos4ó 
Análogamente:
sen6<)> + cos6<t> = 1 - 3sen2ó cos2ó 
=> 1 — ^-(2sen<j) cosrf))2 = 1 - - | -s e n 22ó
. 3 /1 — eos 4<j> \ . 3 3 ., 5 3
~ 4 \------2------ ) = 1 - 8 + 8 COs4^ = 8 + 8 COs4
sen6ij) + cos6i|) = ■§ + |-cos4ó
9. Demostrar:
cota - tana = 2cot2a
cota + tana = 2csc2a => a # {-y -}, n £ 2Z
Demostración:
1cota - tana =
tana
tana =
tana '2 '
co ta - tana = 2 ( ̂ „ *an = 2co t2a
2 tan a 
cota - tana = 2cot2a
cota + tana = ---- f tana = - -4~--aa
tana tana 2
cota + tana = 2 1 + tan a
2 tan a 
cota + tana = 2csc2a
10. Simplificar:
R = tañó + tan2ó + cotcf>tan2<})tan3r|)
Resolución:
Sabemos:
tan(x + y) = tanx + tany + tan(x + y)tanxtany 
R = tan ó + tan 2<j> + tan ó tan 2ó tan 3ó - 
tan3ó
tanótan2(|)tan3(j) + cot4>tan2<()tan3<t) 
R = tan3<j) + tan2<|) tan3<j>(cot<() - tañó)
2cot2ó
R = tan3ó + tan2ótan3ó(2cot2ó)
R = tan3ó + 2 tan3ó tan2ócot2ó = tan3ó + 2tan3ó
R = 3tan3ó
1
11. Simplificar:
A = (1 + sec2G)(1 + sec40)(1 + sec80)(1 + s e d 60)
Resolución:
Sabemos que:
1 + s e c 2 0 = M ! # ; 1 + sec40 - tan4e
=> A = 
A =
tan0 ’ tan 20
tan 20 tan 40 tan 80 tan 160 
tan0 tan 20 tan 40 tan 80 
tan 169 
tan0
12. Simplificar:
L = tan0 + 2tan20 + 4tan40 + 8cot80 
Resolución:
Sabemos que:
2cot2x = cotx - tanx
T r ig o n o m e t r í a ■ 1 7 7
L = tan0 + 2tan20 + 4tan40 + 4(2cot80)
L = tan© + 2tan20 + 4tan40 + 4(cot40 - tan40)
L = tañe + 2tan20 + 4cot40 
L = tañe + 2 tan20 + 2(2cot46)
L = tan0 + 2tan26 + 2(cot20 - tan20)
L = tan0 + 2cot26 = tañe + cote - tan0 
L = cote
13. Reducir:
_ 1 + tan2(45° + a ) 1 + cot2(a)
~ 1 - t a n 2(45° + a ) + 2co ta
Resolución:
Sea: x = 45° + a
1 + tan2 (45° + a ) _ 1 + ta n 2x _ _ „ r9 y
1 - tan2(45° + a ) 1 - tan2x
sec2x = sec 2(45° + a ) = sec(90° + 2a) = -c s c 2 a
H = - esc2a + 1 c?~-— = - esc2a + csc2a
2 cot a
H = 0
14. Hallar al máximo y mínimo valor de: 
cos5<j>sen(j> - sen5<|>cos<t>
Resolución:
R = cos5<|)sen(|> - sen5<|>cos<|>
R = sen<|)COS(j)(cos4it> - sen4<|>)
R = senócos(j)(cos2<|> - sen2i|>)(cos2<t) + sen2ó)
Isen2ó cos2<t> 1
1 1R = -^sen2(j)COs2(|) = ^-sen4(()
Rmáx = ^ A Rmln = - ^
15. E lim inara y ij) de:
sena = xsenó; cosa = ycosó; a = 2<p 
Resolución:
sena = xsenij), pero a = 2<p 
sen2<|> = xsen<j> => 2sen<|>cos<|> = xsen<|)
=» cosó = | ... (I)
cosa = ycosó => cos2<|) = ycos<j>
2cos2(|) - 1 = ycosr))
De (I)1 2 ( | ) 2- 1 = y ( f ) ^ í - 1 = f
.-. x2 - 2 = xy
16. E lim inara:
sena — cosa = m; cos2a = n
Resolución:
sena - cosa = m
=> (sena - cosa)2 = m2
1 - 2senacosa = m2 =» 1 - sen2a = m2
sen2a = 1 - m2 => sen22a = (1 - m2)2 
cos2a = n => cos22a = n2 
Sumando:
sen22a + cos22a = (1 - m2)2 + n2 
1 = 1 - 2m2 + m4 + n2 m4 - 2m2 + n2 = 0
17. Simplificar:
R = V1 + sen2x + V1 - sen2x , x e ( 0 ; ^ 
R eso lución:
R = V1 + 2senxcosx + V1 - 2senxcosx
R = V sen2x + 2senxcosx + cos2x +
Vsen2x - 2senxcosx + cos2x
R = J(senx + cosx)2 + J(senx - cosx)2
No olvidar que: Vx2 = | x |
R = |senx + cosx| + |senx - cosx|
Como: 0 < x < 4 4
<|sen x + eos x| = sen x + eos x
|sen x - eos x| = -(s e n x - eos x)
R = (senx + cosx) - (senx — cosx)
R = senx + cosx - sen x + eos x R = 2cosx
18. Simplificar:
E = cosxcos2xcos4xcos8x
R eso luc ión :
Sabemos que: 2senacosa = sen2a 
entonces multiplicarnos a E por: 2senx 
(2senx)E = 2senxcosxcos2xcos4xcos8x 
(2senx)E = sen2xcos2xcos4xcos8x 
=> (4senx) E = 2sen2xcos2xcos4xcos8x 
(4senx)E = sen4xcos4xcos8x 
=» (8 senx) E = 2sen4xcos4xcos8x 
(8senx)E = sen8xcos8x 
=> (16senx) E = 2sen8xcos8x 
(16senx) E = sen16x E =
Nota: En forma general se demuestra que:
cosxcos2xcos4x. . C0S2- 1 x - sen2"x 
2nsenx
1. Sabemos que:
sen2x = 2senxcosx,
Además: -1 < sen2x < 1
Entonces: -1 < 2 senxcosx < 1
1 1 
~ 2 ~ senxcosx <
Por ejemplo: hallar el máximo valor de: 
M = senx + versxcovx + cosx
1 7 8 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p i e n s
Resolución:
M = senx + (1 - cosx)(1 - senx) + cosx 
M = senx + 1 - cosx - senx + senxcosx + cosx 
M = 1 + senxcosx =» El máximo valor de M ocu­
rre cuando (senxcosx) es máximo.
1 = 1 
2 2
2. Usando las identidades se demuestra que:
< sen4x + cos4x < t
< sen6x + cos6x < 1
En forma general se demuestra que si n es núme­
ro entero positivo entonces:
< (senx)2" + (cosx)2" < 1
Por ejemplo:
1 < sen8x + cos8x < 1
O
16
< se n ,0x + cos’° x < 1
3. Sabemos que: - < senxcosx < ^
A
0 < sen2xcos2x < 4 
4
En forma general se demuestra que si n y m son 
números enteros positivos tal que al menos uno 
de ellos es impar se cumple:
- P 1V(n4+ m)"T
Por ejemplo:
: (senx)n(cos x)m . i n" m"1 
W (n + m)n*"
22(3)3 , , Í22(3)3<sen x c o s x < ' —
(5)5 1 (5)5
Simplificando:
- ^ < s e n2xc°s3x < ^ I
Ejemplo:
Determinar el máximo valor de: y = sen2xsen2x. 
Resolución:
y = senzxsen2x = sen2x(2senxcosx) 
y = 2sen3xcosx •■■(1)
El máximo valor de: sen xcosx es
entonces reemplazamos en (1):
El máximo valor de y es:
3 (1) _ 3 /3
(3 + 1)4 16
Y máx = 2
3/3 \ _ 3/3
16
i En el caso de que n y m sean números pares positivos 
i se cumple que:
Ejemplo:
0 < (senx)" (eos x )m < I ■■ n m
‘I (n + m)n+
0 < sen xcos x < 44(6)6
(10)’°
0 < sen4xcos x < 108 ■ 
3125
0 < sen12xcos4x <
(16)1S
0 < sen12cos4x < 111
Ejemplo:
Hallar el máximo valor de:
y = (1 - cos2x)(1 - cos4x)
Resolución:
Simplificamos:
y = (1 - cos2x)(1 - cos4x) =» y = 4sen2xsen22x
2sen2x 2sen22x 
Sabemos que: sen2a = 2senacosa 
=> y = 4sen2x(2senxcosx)2 =» 16sen4xcos2x
ymáx = 16
4 (2) 64
(6 f 27
«4 IDENTIDADES AUXILIARES DEL ANGULO 
DOBLE
cot0 - tanG = 2cot20 
cotO + tanG = 2csc26 
• sen4e + cos4e = 3 + c° s49
sen 0 + eos ( 5 + 3 eos 40
<4 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁN­
GULO MITAD
Seno y coseno del ángulo mitad
sen5 . ± , 2cosa c o s ^ = ± í1+ cosa
El signo a colocar depende del cuadrante al que per­
tenece Tj-.
Demostración:
Sabemos que: 
2sen2x = 1 - cos2x 
Si elegimos:
...(1)
x = ^ y reemplazamos en (1) se obtiene:
T r i g o n o m e t r í a ■ 1 7 9
f - ± f2 s e n — = 1 - cosa => sen
Sabemos que: 2cos2x = 1 + cos2x 
Si elegimos:
a.
2
.2 a
x = | y reemplazamos en (1) se obtiene:
2cos = 1 + cosa => cos^- 
Tangente del ángulo mitad
- 7 1
+ cosa
“ t
El signo a colocar depende del cuadrante al que 
pertenece ^ .
i ' i S l ' g B i ü í
........................................ \
Para el caso de la tangente del ángulo mitad es muy
frecuente utilizar la siguiente identidad
tan-^- = csca - cota
Demostración:
Del gráfico anterior se observa del fcAMP:
tan-^ = csca - cota
De igual modo se demuestra que:
c o t j = csca + cota
Ejemplo:
Calcular sen22°30', cos22°30’, tan22°30’ y cot22°30’ 
Resolución:
'■f1sen22°30 
sen 22°30' =
■ eos 45°
2
h - - ¡ 2
2 \2 ^ J 2
cos22°30' = j l +TOi 4 5° = ^
cos22°30' =
2
•I2 + -Í2
2 + -Í2
tan22°30' = csc45° - cot45° =» tan22°30’ = (2 - 1
cot22°30' = csc45° + cot45° => cot22°30’ = í2 + 1
Por su frecuente aplicación a continuación se muestra un 
cuadro con las razones trigonométricas de 22°30' y 67°30'.
•Í2 - 1
7 2 + 72
■ ¡ 2 + 1
„ „ „ 7 t ¡ 2 - f 2
Sen8 = ^ ^
C0S- = H ± K
t a n í = 72 — 1
co t j = 72 + 1
s ec i = U - 2 J2
O
c s c í = U + 2 72
O
RT 3rc
se n 3T £ 7 Z
C0S^ = ^ W
ta n % = /2 + 1
c o t^ r = /2 - 1O
s e c ^ í = U + 2 l 2
= k - 2 Í 2
Aplicaciones:
A A
1. Calcular: sen -| y co s -| sabiendo que:
cose = J-,8 e (0 ;|)
Resolución:
Como: 6 e =* 0 < 9 < | o < | < T
f e l C
- f
1 - -
[3 _ /3 ,12, 
’ 8 2 / 2 / 2
co n 0 /6 
- sen2 = T
eos 1 + í= . ^ = = J L t H )
y 2 18 2 /2 72
2. Calcular: sen-!| y cos^-, sabiendo que:
COSa = ^-,a e h . n , ^
Resolución
Como 27i < a < 571
sen
2
/7
1 - 4
- sen'2 = _ 4
1 8 0 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
- f
1
116
- c o s f = - |
3. Calcular: sec y y csc-y sabiendo que:
sena = 75. 
3 '
Resolución:
- t i;
Como: a e | - i ; - | J => a e IIIC => cosa = - y 
ti n ^ a 
2 ~ ~ 2 < 2
Además: — tt < a < - -J => < -77 < — i r4
IVC
sen 2 = \
aeos y =
1 - ( V )
2
1 +
-TÍ
-T í
Luego: secí 1 1
aCSC y = ■
eos
1
a [T 
2 ^6
sec-y = 76
6
76,75
75^75
( l = ) - C Sc f = - 2 f L730
5
4. Calcular: tan y sabiendo que: tanO = y , i . 3 n
9 e n . 3n
Resolución:
1
Como: tanG = -4 y 
tan y = cscG - cotO = ( - 7 1 0 ) - ( 3 )
.-. t a n | = - (7 1 0 + 3)
5. Calcular el valor de: tan7°30’; cot37°30' A cot11°15'
Resolución:
Sabemos que:
tan y = csca - cota y c o ty = csca + cota
tan7°30' = csc15° - cot15° = (76 + 7 2 ) - ( 2 + 73)
=> tan7°30' = 7 6 + 7 2 - 7 3 - 2
cot37°30' = csc75° + cot75° = (76 - 72) + (2 - 73)
cot37°30' = 2 + 7 6 - 7 3 - 7 2
cotí 1° 15’ = csc22°30' + cot22°30'
cot11°15’ = 74 + 272 + 72 + 1
6. Si: eos x = cosa ~ m , a qué es igual: tan-^-
1 - m eosa 2
Resolución:
■=±Jt
- cosx I ' -
c o s a - m
1 - m e o s a
1 +
c o s a - m
1 - m eosa
1 - m eosa - cosa + m
1 - m eosa
1 - m eosa + cosa - m
1 - m eosa
Simplificando:
’l
x (1 + m) - (1 + m )cosa
tan=- = + . I t t ------1— ) -------- ---------
(1 - m) + (1 - m )cosa
ta n x = ± )d + m )(1 - cosa)
ta n y = ±
(1 - m)(1 + cosa)
_ + 11 - cosa h + m 
“ " V i + cosa V 1 - m
tanLt
2
.-. ta n y = + tan
7. Sabiendo que: 
cosa = t—̂ — ,
a ÍT
2 V1
+ m
cosp =
a + c
y + tan y
Resolución:
2 a 1 - cosatan b + c
1 + cosa 1 + c + a
1
b + c 
b
a2p 1 - c o s p _______
2 1 + eos p 1 | b
a + c -
a + c + b
, <b 1 - cosd
tan ír = s 1
2 1 + cosd
a + c 
c
a + b a + b - c
1 + -
...(1)
..(2)
...(3)
Sumando: (1) + (2) + (3):
+ tan2! + tan2¿ = +
2 2 2 b + c + a a + c + b
a + b + c
tan2% + tan2f + t a n ! = a + b + c = 1 
2 2 2 a + b + c
Es muy importante expresar el sen-y v cos-y en tér­
minos dei sena.
Para resolver este problema debemos saber lo siguiente: 
1 + sena1. (sen-2- + cos-2-f =
*» s e n y + eos y = + 71 + sena ...(1 )
T r i g o n o m e t r í a ■ 181
(sen-3 - cos-3)2 = 1 - sena 
=> s e n j-c o s - |-= ± V 1 - sena ...(2)
2. El signo a colocar dependerá del signo de la suma 
(sen j + eos 3 ) para la primera expresión y de la
diferencia (se n -3 -co s^ -) para la segunda ex­
presión.
3. Por último: Sumamos miembro a miembro si nos 
piden sen-3 y restamos miembro a miembro si 
nos piden eos y
Aplicaciones:
1. Expresar: sen80° en términos del sen160° 
Resolución:
1. sen80° + cos80° = /1 + sen160° 
sen80° - cos80° = /1 - sen160°
2. Observar que las dos expresiones son positivas.
3. Como nos piden el sen 80°, entonces sumamos 
miembro a miembro.
2sen80° = V1 + sen160° + /1 - sen160° 
sen80° = ^-[/1 + sen160° + /1 - sen160° ]
2. Expresar: cos35° en términos del sen70°. 
Resolución:
sen35° + cos35° = /1 + sen70° 
sen35° - cos35° = - V1 - sen70°
Observar que una de las expresiones es negativa 
dado que: cos35° > sen35°
Como nos piden cos35°, restamos:
2cos35° = /1 + sen70° - ( - U - sen70°) 
cos35° = ^ -( / l + sen70° + /1 - sen70°)
3. Expresar: cosí 60° en términos del sen320° 
Resolución:
sen160° + cos160° = - / 1 + sen320° 
sen160° - cos160° = /1 - sen320°
Restamos:
2cos160° = - J-\ + sen320° - V1 - sen320°
.-. c o s í60° = - ■!(h + sen320° + -/1 - sen320°)
4. Expresar: s e n y en términos del s e n y 3 . 
Resolución:
Observar que | < n =, e nc
s e n y + eos y = - J l + s e n y 3
s e n -y - c o s y = J1 - s e n ^ |3
Sumamos:
2 s e n y = - + s e n y 3 + _ Se n y 3
s e n y = -1(^1 - s e n y 3 - ^ 1 + s e n y
Expresar: c° S y en términos del sen ®71
11
Resolución:
Observar que 3 < < T
s e n -y . + eos y = J 1 + s e n |3 
s e n y _ eos y = j l - s e n ^ 3
Restamos:
2 eos3f f = i/1+senT f - í- J1 - sen 6 n
11
fr = + senfr - V1 - senfr)3nCOS-r-r =
Expresar: sen35° en términos del cos20°. 
Resolución:
Sabemos que: cos20° = sen70° 
sen35° + cos35° = /1 + sen70°
sen35° - cos35° = - /1 - sen70° 
Sumamos:
2sen35° = /1 + sen70° - /1 - sen70° 
2sen35° = /1 + eos 20° - /1 - eos 20°
.-. sen35° = -1(/1 + cos20° - V1 - cos20°
7. Expresar: cos-| en términos del sen0, si
5n <, £ ^ 7ii 
4 2 4
Resolución:
T < ! < T ^ l senl l > lcosf l
s e n ^ + cos -| = - -11 + sen0
sen-| - cos-3 = - -11 - sen0 
2 c o s |- = -V1 + sen0 - ( - /1 - sen0) 
.-. cos -| = -1(/1 - sen0 - /1 + sen0)
■ ¡S u m \
A partir de las identidades del ángulo mitad se deducen 
las siguientes identidades:
1 8 2 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
2 eos
En ambos casos hay n radicales. 
Observar que si: x ¡ n X n
entonces: 
2sen
2 2 "
( 2 ^ H 2 ~ V2 + 'Í2 + --- + ' 2 + ^
2 c o s |U U j = h + <2 - <2 i . . . - / 2 - ■ ¡ 2 
En ambos casos hay n radicales.
Ejemplos:
(Observar ia relación del exponente y el número de ra­
dicales)
2sen-| = 2sen-A- = ¡ 2 - V2 
8 2
2 c o s ^ = 2 cos2L = h + ¡ 2 + ¡ 2 + { 2 
2
2sen^A = 2sen2L = h - - 1 2 + 1 2
16 2
<4 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁN­
GULO TRIPLE 
Seno y coseno del ángulo triple
sen3a = 3sena - 4sen3i
cos3a = 4cos3a - 3cosa
D em ostración:
Sabes:
sen3a = sen(2a + a ) = sen2acosa + cos2asena
Reemplaza las identidades del ángulos doble: 
sen3a = (2senacosa)cosa + (1 - 2sen2a) sena
sen3a = 2senacos2a + (1 - 2sen2a)sena
1 - sen2a
sen3a = 2sena - 2sen3a + sena - 2sen3a 
sen3a = 3sena - 4sen3a
Sabes:
cos3a = cos(2a + a ) = cos2acosa - sen2asena
Reemplaza las identidades del ángulo doble: 
cos3a = (2cos2a - 1)cosa - (2senacosa)sena
= (2 cos2a - l)c o s a - 2 se n jxco sa
1 - eos a
cos3a = 2cos3a - cosa - 2cosa + 2cos3a 
cos3a = 4cos3a - 3cosa
Tangente del ángulo triple
; a ? t { ( 2 n + 1) | , n e z }tan3a = 3 t a n a ^ ja n a
1 - 3 tan a
Dem ostración:
• Sabes: tan 3a = = 3sena - 4sen3a
cos 3a 4 eos a - 3 cos a
Divide al numerador y denominador por: cos3a 
3senq _ 4sen3q
cos3q cos3q _ 3 tanasec2q - 4tan3qtan 3a
tan 3a = 
tan 3a = 
tan 3a =
4 eos a 3 cosa 4 - 3sec a
eos a eos a 
3tana(1 + tan2a) - 4 tan3a 
4 - 3(1 + tan2a)
3 tan a + 3 tan3a - 4 tan3a 
4 - 3 - 3 tan2a 
3 tan a - tan3a 
1 - 3 tan2a
Ejemplos:
1. Lo primero que se debe aprender es a usar las 
identidades del ángulo triple, es decir.
• sen6x = 3sen2x - 4sen32x 
sen21° = 3sen7° - 4sen37° 
senx = 3sen^- - 4sen3- |
s e n ^ - = 3 s e n ^ - 4sen3-y -
7° 17°sen7° = 3sen-^— 4sen -L-
• cos9x = 4cos33x - 3cos3x 
c o s í2° = 4cos34° - 3cos4° 
cos6 = 4cos3- | - 3cos|-
c o s ^ = 4cos3^ - 3 c o s ^
cos8° = 4cos 3cos-
• tan39° = 3tan 13° - tan313°
tan6x =
tan 4
1 - 3 tan 13°
3tan 2x - tan32x 
1 - 3 tan 22x
3 t a n ^ _ tan3^
15______ 15
1 - 3 t a n 2^ L
15
3tan-U— tan -U -
tan11° =
1 - 3 tan' 1 1 °
2. Luego se debe aprender a identificar, es decir: 
• 3sen5° - 4sen35° = sen15°
3sen7x - 4sen37x = sen21x
12 12
3sen4 - 4sen 4 = sen 44 4 4 4
• 4 c o s 39° - 3cos9° = cos27°
4cos389 - 3cos80 = cos240
T r i g o n o m e t r í a ■ 1 8 3
4cos3-^ - 3cos |- = cos-^- 
5 5 5
4cos3-y- - 3cos-y- = cos2x
<4 IDENTIDADES AUXILIARES DEL ÁMGULO 
TRIPLE
sen3a = sena(2cos2a + 1)