11_Corriente_Alterna

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Corriente alterna
 su intensidad es una función periódica del tiempo
 Baja frecuencia
 L y C localizadas y no distribuidas
 Sin corrientes de desplazamientos.
 Elementos lineales.
 Se cumple el Principio. de Superposición.
1
1
Generadores de corriente alterna (CA)
Bobina con N vueltas
2
2
Se suele elegir , desfase inicial ó ángulo formado por el campo magnético y la normal a la superficie de la bobina, como /2. De esa manera la expresión para la fuerza electromotriz generada es:
Si  es cero, entonces v = V0 sen ωt.
Si dos magnitudes v e i están en fase quiere decir que ambas crecen y decrecen simultáneamente y se anulan en los mismos instantes de tiempo.
En los circuitos, un generador de c.a. se representa con el símbolo:
Frecuencia y fase
Ciclo: una revolución completa de la espira.
Periodo: tiempo que tarda en realizar una revolución, T
Frecuencia: número de ciclos por segundo, f, siendo f = 1/T, se mide en hertz, Hz. En Europa, f = 50 Hz, en EEUU, f = 60 Hz.
En circuitos electrónico, puede valer del orden de kHz, MHz o GHz.
Frecuencia angular: velocidad angular con que gira el cuadro, su valor es: 
ω = 2π/T = 2πf y se mide en radianes/s.
Fase: el producto ωt representa un ángulo en radianes y su valor en un instante dado se denomina fase del voltaje aplicado. A ωt se le tiene que añadir una fase inicial , si es que la hay.
3
3
 CA en una resistencia
T/4
T/2
3T/4
T
0
V
V e i están en fase
4
4
La potencia disipada en la R varia con el tiempo. Su valor en un instante es:
La potencia media en un periodo es:
5
5
Valores eficaces
se define como aquel valor de una corriente o voltaje de c.c. que desarrollase la misma potencia que el promedio que desarrolla el valor de c.a. . Su valor es:
6
6
Circuito inductivo:
reactancia inductiva
o impedancia inductiva
7
7
8
T/4
T/2
3T/4
T
Como la tensión VL en la bobina se hace máxima antes que la I, se dice que I está retrasada respecto de la tensión aplicada en 90º ó /2 ó un cuarto de periodo, T/4, es decir, NO ESTÁN EN FASE.
8
8
Potencia media cedida por la fuente o disipada por la bobina :
El valor de 2t oscila dos veces durante cada ciclo
y es negativo la mitad del tiempo y positivo la otra mitad. 
Por lo tanto, en término medio, la potencia media cedida por la fuente o la disipada por la bobina es nula, siempre y cuando la resistencia de la misma sea despreciable.
9
9
Circuito capacitivo:
reactancia capacitiva ó 
impedancia capacitiva.
10
10
T/4
T/2
3T/4
T
También se dice que VC está retrasada respecto a la corriente en 90º.
Se dice que la corriente en el capacitor respecto de la tensión aplicada adelanta en 90º ó /2 ó un cuarto de periodo, T/4, es decir, NO ESTÁN EN FASE.
11
11
		Zc = 1 / w C	ZL = w L
		∞	0
		0	∞
			
			
			
En cada elemento vale la relación : DV = I . Z
Y además cada una tiene un desfasaje particular (+p /2 en el capacitor y – p /2 en el inductor)
Estas dos informaciones se pueden resumir como una relación entre números complejos (de la que tendremos en cuenta solamente la parte real):
DV = I . Z
Pero ahora: 
Potencia en CA
Pot(t) = I(t).V(t)
V(t) = V0 cos(wt + fV)
I(t) = I0 cos(wt + fI)
Pot(t) = I0 V0 cos(wt + fV) . cos(wt + fI)
Pot(t) = ½ I0 V0 cos(fV - fI ) + ½ I0 V0 cos(2wt +fV+ fI)
La potencia promedio en un ciclo depende del desfasaje entre el potencial y la corriente
Potprom = ½ I0 V0 cos(fV - fI) 
¿De qué depende del desfasaje entre el potencial y la corriente?
fV - fI determina la Potprom
Si fV - fI = 0, Potprom es máxima
Si fV - fI = +-p/2, Potprom = 0
Fasores
Son vectores giratorios con velocidad angular  en el plano XY. 
Se representan:
mediante un módulo y un argumento, (forma compleja o polar).
mediante coordenadas cartesianas, (forma binómica).
El fasor tiene módulo F y forma un ángulo  con el eje X.
17
17
Las funciones armónicas sen(t+) y cos(t +) se pueden poner como fasores y así se opera más rápidamente.
i(t) = I0 cos (t + ) en forma fasorial seria un vector de módulo I0 que forma un ángulo  con el eje X en el instante inicial y que gira con velocidad angular :
La gran ventaja de todo ello es que como todos los fasores giran con la misma  se puede operar con ellos como si fueran vectores.
18
18
19
Representación de fasores mediante magnitudes complejas.
y
x
Z

\Z\
Z = |Z| (cos  + j sen )
x = |Z| cos 
y = |Z| sen 
recuérdese también la formula de Moivre: ej  = cos  + j sen 
Por ello, Z también se expresa como: Z = |Z| ej  = |Z|

Suma y Resta:
Z1 = x1 + j y1
Z2 = x2 + j y2
Z1± Z2=(x1±x2)+j(y1±y2)
19
19
20
Multiplicación y división:
Z1 = x1 + j y1
Z2 = x2 + j y2
Z1 * Z2 = (x1 + j y1)*(x2 + j y2) =(x1x2-y1y2)+j (x1y2+y1x2)
Z1 *Z2 = r1 ej 1 * r2 ej 2 = r1r2 ej(1+2)= r1r2
1+2
20
20
21
A partir de ahora siempre que veamos una expresión de la forma: 
donde el fasor es:
21
21
Impedancia, Z
En general la Z de un elemento, de una rama o de un circuito completo es la relación que existe entre los fasores asociados a la tensión aplicada y la corriente que circula por el elemento, rama o circuito. 
Por ejemplo, para una bobina la Z vale:
Z no es un fasor ya que no gira con frecuencia angular constante .
V = Z . I
22
22
Asociación de impedancias
Valen las mismas reglas que para las resistencias en CC
Serie: Zeq = Z1 + Z2 + …+ Zn
Paralelo: 1 / Zeq = 1 / Z1 + 1 / Z2 + …+ 1 / Zn
¿De qué depende del desfasaje entre el potencial y la corriente?
Potprom = ½ I0 V0 cos(f) = Ief Vef cos(f) 
De los valores pico I0 y V0 y del argumento de la impedancia f 
Para ser coherente con la relación anterior, en notación fasorial o compleja se debe
definir la potencia instantánea como:
P(t) = ½ V(t) . I*(t) complejo conjugado de I(t) 
Si V(t) = V0 e j w t
 I(t) = I0 e j (w t + fI) P(t) = ½ V0 e j w t I0 e - j (w t + fI) = ½ V0 I0 e -j fI
Fv = fZ + fI si tomamos Fv = 0, resulta - fI = fZ, entonces
P(t) = ½ V0 I0 e jfZ = ½ V0 I0 ( cos fZ + j sen fZ )
|P(t)| = ½ V0 I0 potencia aparente
Re(P(t)) = ½ V0 I0 cos fZ potencia activa
Im(P(t)) = ½ V0 I0 sen fZ potencia reactiva
 V(t) = V0cos(t)
Solución fasorial del circuito con sólo bobina:
i(t)
Sabemos que 
 donde se desconocen I0 y 
Planteamos la solución en forma fasorial 
La ecuación del circuito
queda
26
26
Solución fasorial del circuito con sólo capacitor:
Ecuación del circuito:
impedancia del capacitor
27
27
28
De donde:
y
También se observa que:
es decir, la intensidad adelanta a la tensión en 90 º ó /2.
28
28
Circuito RLC serie
La corriente es igual en todo el circuito
En cada componente vale DVx = I . Zx
El desfasaje entre el DVx y la I es diferente en cada componente
El desfasaje entre el V de la fuente y la I depende de las tres componentes
I0 es máxima cuando X = 0 y cosf = 1
Potprom = ½ I0 V0 cosf
29
29
Las diferencias de potencial en serie se suman 
(como complejos) :
30
30
Para w = w0, es X = 0 , |Z| es mínimo e igual a R
 cos f = 0
el circuito se comporta como una R pura
 v(t) = V0cost
Circuito RLC paralelo
Igual diferencia de potencial en todas las ramas
La corriente es diferente en cada rama
 
En cada componente vale DV = Ix . Zx
El desfasaje entre el DV y la Ix
 es diferente en cada componente
El desfasaje entre el V de la fuente y la I en la fuente depende de las tres componentes
32
32
Ejemplo:
Z = (4 – j 2) W
|Z| = √ 42 + 22 = 4,47 W
Z = 4,47 W < -26,57º
En la resistencia: 
IR = I VR = I ZR = 1,118 A<56,57º . 4 W <0º = 4,472 V<56,57º
PotR = ½ 4,472 V . 1,118 A cos0º = 2,5 W36
 Resonancia
Cuando XL y XC son iguales, la impedancia Z tiene su valor mínimo igual a R. En este caso la corriente que atraviesa el circuito serie RLC es máxima y el circuito se dice que está en resonancia, es decir, su reactancia es nula.
Haciendo XL = XC, resulta que la frecuencia de resonancia vale:
Para cualquier circuito la condición resonante se obtiene cuando la parte compleja se anula
36
36
Curvas de resonancia en un circuito serie RLC. AL variar R en la expresión I = I(ω) se obtiene la curva de resonancia, y cuanto menor es R más alto y estrecho es el pico de la curva de resonancia. Esto es fundamental para el diseño de circuitos de sintonización de radio y televisión.
Aplicación: sintonización de una emisora de radio.
37
38
Potencia en circuitos de CA.
Sabemos ya que las bobinas y condensadores no consumen potencia en un ciclo. Por tanto en un circuito LCR solo se consume potencia en la resistencia.
La potencia instantánea cedida a la R es: 
y la potencia promedio en un ciclo es:
Recordando que el valor medio en un ciclo del cuadrado de un seno o de un coseno es 1/2, resulta finalmente:
38
38
39
También podemos poner este resultado en función del factor de potencia del circuito, que es cos .

XL-XC
Z
R
XC
XL
Z = R + j (XL – XC)
39
39
40
 Transformadores.
Dispositivo utilizado para elevar o disminuir la tensión en un circuito sin perdida aparente de potencia.
primario
secundario
Si consideramos que no existe perdida de flujo magnético, se cumple muy aproximadamente la relación de transformación, esto es:
y
40
40
image1.wmf
)
 
 
cos(
)
(
 
)
(
 
0
j
w
+
=
+
=
t
I
nT
t
i
t
i
image2.wmf
)
 
 
cos(
)
(
 
)
(
 
0
j
w
e
e
e
+
=
+
=
t
nT
t
t
oleObject1.bin
oleObject2.bin
image3.wmf
)
(
)
(
cos
0
d
w
d
w
w
d
w
q
q
+
=
+
=
F
-
=
+
=
=
F
t
sen
V
t
sen
NBA
dt
d
v
t
NBA
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oleObject3.bin
oleObject4.bin
image5.wmf
t
V
v
w
cos
0
=
oleObject5.bin
image6.png
image7.wmf
t
I
t
R
V
I
IR
V
t
V
V
V
R
o
R
w
w
w
cos
cos
cos
0
0
=
=
=
=
=
image8.wmf
0
4
2
cos
=
×
T
T
p
image9.wmf
0
2
3
cos
4
3
2
cos
=
=
×
p
p
T
T
oleObject6.bin
image10.jpeg
oleObject7.bin
oleObject8.bin
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image12.wmf
t
R
I
R
I
P
w
2
2
0
2
cos
=
=
image13.wmf
R
V
2
1
 
 
2
1
2
0
2
0
=
R
I
=
P
prom
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oleObject9.bin
oleObject10.bin
image15.wmf
0
0
7
,
0
2
I
I
I
ef
=
=
image16.wmf
2
0
V
V
ef
=
image17.wmf
R
R
I
2
0
2
ef
I
2
1
 
 
=
oleObject11.bin
oleObject12.bin
oleObject13.bin
image18.wmf
)
cos(
)
(
0
t
V
t
V
w
=
image19.wmf
0
)
(
)
(
=
-
dt
t
dI
L
t
V
image20.wmf
dt
t
dI
L
t
V
)
(
)
cos(
0
=
w
image21.wmf
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
2
 
cos
 
 
0
0
π
ωt
I
=
ωt
sen
L
ω
V
=
I(t)
image22.wmf
L
X
V
L
V
I
0
0
0
=
=
w
image23.wmf
L
X
L
 
 
w
=
oleObject18.bin
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oleObject14.bin
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oleObject16.bin
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image26.jpeg
image27.wmf
(
)
(
)
[
]
0
2
cos
0
0
0
0
=
m
m
prom
ωt)
(sen
I
V
=
sen
ωe
I
ωt
V
=
P
oleObject20.bin
image28.jpeg
image29.wmf
)
cos(
)
(
0
t
V
t
V
w
=
image30.wmf
C
t
q
t
V
)
(
)
cos(
0
=
w
image31.wmf
t
C
V
t
q
w
cos
)
(
0
=
image32.wmf
t
sen
C
V
dt
t
dq
I
t
I
C
w
w
0
)
(
)
(
-
=
=
=
image33.wmf
)
2
cos(
0
p
w
+
=
t
I
I
C
image34.wmf
C
0
X
V
=
C
ω
V
=
V
C
ω
=
I
0
0
0
 
1
 
 
image35.wmf
C
X
C
w
1
=
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oleObject27.bin
image37.jpeg
oleObject21.bin
oleObject22.bin
oleObject23.bin
oleObject24.bin
image36.jpeg
oleObject25.bin
image38.wmf
0
=
prom
P
image39.jpeg
image40.jpeg
oleObject28.bin
image41.wmf
0
®
w
image42.wmf
¥
®
w
oleObject29.bin
oleObject30.bin
image43.wmf
C
 
 
1
 
C
 
j
-
 
 
.
C
 
1
 
2
w
w
w
p
j
e
Z
j
C
=
=
=
-
image44.wmf
L
 
 
 
 
.
L
 
 
2
w
w
p
j
e
Z
j
L
=
=
oleObject31.bin
oleObject32.bin
image45.jpeg
image46.jpeg
image47.jpeg
image48.wmf
[
]
)
cos(
)
cos(
2
1
cos
.
cos
B
A
B
A
B
A
+
+
-
=
oleObject33.bin
image49.jpeg
image50.wmf
F
~
image51.jpeg
oleObject34.bin
image52.wmf
d
d
Ð
º
º
0
0
I
e
I
I
~
j
o
oleObject35.bin
image53.wmf
1
-
=
j
oleObject36.bin
image54.wmf
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
y
+
x
)
x
y
x
j(y
+
)
y
y
+
x
(x
=
jy
x
jy
x
jy
+
x
jy
+
x
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Z
Z
2
2
2
1
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-
-
´
image55.wmf
)
φ
e
r
r
=
e
r
e
r
Z
Z
j(
φ
j
φ
j
φ
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
 
 
-
=
image56.wmf
2
1
2
1
2
2
1
1
f
f
f
f
-
Ð
=
Ð
Ð
º
r
r
r
r
oleObject37.bin
oleObject38.bin
oleObject39.bin
image57.wmf
t
j
t
j
j
e
I
e
e
I
t
I
t
i
w
w
j
j
w
0
0
0
~
)
cos(
)
(
º
Û
+
=
image58.wmf
j
j
Ð
º
=
0
0
0
~
I
e
I
I
j
oleObject40.bin
oleObject41.bin
image59.wmf
2
/
+
∠
2
/
∠
 
0
 
∠
 
0
0
0
0
π
I
V
=
π
I
V
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Z
L
-
image60.wmf
I
V
 
-
 
 
 
 
 
)
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f
f
f
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Z
image61.wmf
2
2
2
X
R
Z
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image62.wmf
Z
R
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f
cos
image63.wmf
R
X
tg
=
f
oleObject46.bin
image66.jpeg
oleObject42.bin
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image64.jpeg
image65.jpeg
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image67.jpeg
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oleObject48.bin
image68.jpeg
image69.wmf
)
 
cos(
)
(
 
0
j
w
+
=
t
I
t
i
image78.wmf
w
image79.wmf
0
I
image80.wmf
2
p
-
image70.wmf
/2
-
 
 
 
~
~
0
0
0
p
w
w
á
á
=
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L
V
=
L
j
V
Z
V
I
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2
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0
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p
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j
w
w
j
j
j
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dt
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L
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j
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w
 
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)
(
0
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t
j
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j
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w
w
 
~
 
0
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image75.wmf
t
j
t
j
e
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L
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V
w
w
w
 
~
 
 
~
0
0
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image76.wmf
 
~
 
 
~
0
0
I
L
j
V
w
=
image77.wmf
0
V
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image81.png
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oleObject51.bin
oleObject52.bin
oleObject53.bin
image82.wmf
ò
=
=
idt
C
C
t
q
t
V
1
)
(
cos
0
w
image83.wmf
t
j
t
j
e
j
I
C
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V
w
w
w
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~
1
~
0
0
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image84.wmf
C
C
Z
V
jX
V
C
j
V
V
C
j
I
0
0
0
0
0
~
~
1
~
~
~
=
-
=
=
=
w
w
image85.wmf
C
C
jX
Z
-
=
image86.wmf
C
X
C
w
1
=
oleObject62.bin
oleObject63.bin
oleObject64.bin
oleObject65.bin
oleObject66.bin
image87.wmf
t
j
j
t
j
j
o
e
j
e
I
C
e
e
V
w
j
w
w
1
1
0
0
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image88.wmf
0
0
CV
I
w
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2
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0
p
j
j
j
j
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je
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÷
ø
ö
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-
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2
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(
0
p
w
w
t
L
V
t
i
image91.wmf
2
p
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oleObject74.bin
oleObject75.bin
oleObject67.bin
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÷
ø
ö
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-
ωC
ωL
j
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R
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Z
1
image93.wmf
2
2
1
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ø
ö
ç
è
æ
-
ωC
ωL
+
R
=
Z
image94.wmf
 
1
tan
R
ωC
ωL
R
X
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-
=
j
image95.wmf
2
2
0
0
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
=
C
L
R
V
I
w
w
image96.wmf
 
)
1
(
cos
2
2
ωC
ωL
R
R
Z
R
=
-
+
=
j
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oleObject76.bin
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V
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V
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Ð
L
L
L
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X
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C
C
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C
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w
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I
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Z
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dt
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ef
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N
V
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