Vista previa del material en texto
ARITMÉTICA P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Ciclo : Anual Virtual UNI Docente: Ramiro Díaz Vásquez CLASIFICACIÓN DE LOS 𝚭+ - I C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A Objetivos • Estudiar las características de los números primos. • Saber cuando dos o más números son P.E.SI y P.E.SI dos a dos; y las propiedades que se dan a partir de ahí . Con tarjeta CHIPLEY • Conocer el teorema fundamental de la aritmética . 22. 32. 52. 72…… .= ሶ8 + 4 producto de los cuadrados de los “k” primeros números primos C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A En este capítulo se busca analizar a los divisores enteros positivos de un número entero positivo; con la finalidad de a partir de ahí poder estudiar algunas características importantes de los divisores y propiedades; siendo un eje importante el TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA (teorema de Gauss). C U R S O D E A R I T M É T I C A INTRODUCCIÓN Karl F. Gauss (1777 – 1855) NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A CLASIFICACIÓN DE LOS Ζ + De acuerdo a sus divisores 𝜡+ Dado que: • La unidad es divisor de todo número entero • Todo número entero positivo es divisor de si mismo Entonces, si 𝑵 ∈ ℤ+ N: 1 , … , N Divisores simples 1. Números Simples 1.1 La unidad Tiene un único divisor (el mismo) 1.2 Número Primo Tiene sólo dos divisores (la unidad y el mismo número) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,23, 29,31,…… Secuencia de los números primos Algunas características de los números primos • La secuencia de los números primos es infinita; no hay fórmula para dicha secuencia • El único primo par es el 2. • Los únicos enteros positivos, consecutivos y primos son el 2 y el 3. • La única terna de impares, consecutivos y primos son el 3 el 5 y el 7. • Todo primo: P (P> 𝟐) , es de la forma: ሶ𝟒 ± 𝟏. • Todo primo: P (P> 𝟑) , es de la forma: ሶ𝟔 ± 𝟏. 2. Números Compuestos son aquellos que tienen más de 2 divisores • El menor entero positivo compuesto es el 4 • Todo número compuesto tiene divisores simples y compuestos 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12 Divisores compuestos Divisores C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E A R I T M É T I C A OBSERVACIONES • El producto de los “k” primeros números primos es ሶത4 + 2 sea N= 2x 3x 5x 7x 11x 13x …. “k” primeros números primos N= ( ሶ4 − 1) ( ሶ4 − 1)( ሶ4 + 1) ( ሶ4 − 1) ( ሶ4 + 1)… . ( ሶ𝟒 ± 𝟏) N= 2x ( ሶ𝟒 ± 𝟏) N= ( ሶ𝟒 ± 𝟐) N= ( ሶ𝟒 + 𝟐)∴ APLICACIÓN Cuál será el residuo al dividir el producto de los 1000 primeros números primos entre 12 RESOLUCIÓN sea N= 2x 3x 5x 7x 11x 13x …. 1000 primeros números primos = ሶ12 + 𝑟 pero N ሶ𝟑 ሶ𝟒 + 𝟐 + 4 + 6 N= ሶ12 + 6 ∴ 𝑟=6 • El producto de los cuadrados de los “k” primeros números primos es ሶത8 + 4 𝟐𝟐. 𝟑𝟐. 𝟓𝟐. 𝟕𝟐…… .= ሶ𝟖 + 𝟒 producto de los cuadrados de los “k” primeros números primos 2x C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E A R I T M É T I C A ALGORITMO PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO Primer paso: se extrae la raíz cuadrada aproximada de dicho número, determinándose la parte entera Se realizan los siguientes pasos Segundo paso: se listan los números primos menores o iguales a la parte entera del paso anterior Tercer paso: se realiza la división del número entre cada uno de los números primos determinados en el paso anterior, si todas las divisiones son inexactas , se dirá que dicho número es primo ¿323 es primo? Primer paso: 323 = 𝟏𝟕,… Segundo paso: Los números primos menores o iguales a 17 son 2,3,5,7,11,13,17 Tercer paso: 323 ≠ ሶ2 323 ≠ ሶ3 323 ≠ ሶ 5 323 ≠ ሶ7 323 ≠ ሶ11 323 ≠ ሶ13 𝟑𝟐𝟑 = ሶ𝟏𝟕 Por lo tanto, 323 no es primo APLICACIÓN Para saber si un número es primo, se deberían realizar 8 divisiones; pero faltando dos divisiones, se determino que es compuesto. calcule la suma de los números que cumplen dicha condición. RESOLUCIÓN Sea : N, el número Tengamos en cuenta 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 8 divisiones De ahí 19< N < 23 361< N < 429 Como en la sexta división es compuesto N = ሶ13 luego 361< 13 K < 529 27.7 ..< K < 40,6 K : 28, 29, 30, 31, 32,33,34,35,36,37 N = 13 29 , 13 31 , 13(37) = 377 , 403 , 481 ∴ Suma de valores de N: 377 + 403 + 481= 961 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E A R I T M É T I C AC U R S O D E A R I T M É T I C A Números Primos Entre Si (PESI) Son aquellos números que comparten a la unidad como único divisor común; también se les llama coprimos o primos relativos ¿44, 39 y 35 son PESI? 44: 39: 35: 1,2,4,11,22,44 1,3,13,39 1,5,7,35 divisores 44,39 y 35 son PESI ¿44, 40 y 35 son PESI? 44: 40: 1,2,4,11,22,44 divisores 44, 40 y 35 son PESI 35: 1,5,7,35 ¿50, 40 y 35 son PESI? 50: 35: 1,2,5,10,25,50 1,5,7,35 divisores 50, 40 y 35 No son PESI 40: 1,2,4,5,8,10,20,40 Números Primos Entre Si 2 a 2 (PESI 2 a 2) ¿44, 39 y 35 son PESI 2 a 2? 44 𝑦 39 44 𝑦 35 39 𝑦 35 44,39 y 35 son PESI 2 a 2 son PESI son PESI son PESI ¿44, 40 y 35 son PESI 2 a 2 ? 44 𝑦 40 44 𝑦 35 40 𝑦 35 44, 40 y 35 no son PESI 2 a 2 No son PESI son PESI No son PESI De lo anterior: Si un conjunto de números es PESI, no necesariamente son PESI 2 a 2 1,2,4,5,8,10,20,40 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E A R I T M É T I C A PROPIEDADES • Si en un conjunto de enteros positivos tiene como uno de sus elementos a la unidad dicho conjunto es PESI. • Dos números enteros positivos y consecutivos siempre serán PESI. • Si en un conjunto de enteros positivos dos de sus elementos son consecutivos dicho conjunto es PESI. • Dos números enteros positivos e impares consecutivos siempre serán PESI. • Si 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 PESI entonces 𝑎𝑛 𝑦 𝑏𝑚 𝑠𝑜𝑛 PESI • Si 𝑎 𝑦 𝑏 𝑎 > 𝑏 𝑠𝑜𝑛 PESI entonces 𝑎 𝑦 𝑎 + 𝑏 𝑠𝑜𝑛 PESI 𝑏 𝑦 𝑎 + 𝑏 𝑠𝑜𝑛 PESI 𝑎 𝑦 𝑎 − 𝑏 𝑠𝑜𝑛 PESI 𝑏 𝑦 𝑎 − 𝑏 𝑠𝑜𝑛 PESI APLICACIÓN Demostrar que • Si 𝑎 𝑦 𝑏 𝑎 > 𝑏 𝑠𝑜𝑛 PESI entonces 𝑎 𝑦 𝑎𝑏 𝑠𝑜𝑛 PESI RESOLUCIÓN Sabemos que Si 𝑎 𝑦 𝑏 𝑎 > 𝑏 𝑠𝑜𝑛 PESI entonces 𝑎 𝑦 𝑎 + 𝑏 𝑠𝑜𝑛 PESI Luego Si 𝑎 𝑦 𝑎 + 𝑏 𝑠𝑜𝑛 PESI Entonces 𝑎 𝑦 2𝑎 + 𝑏 𝑠𝑜𝑛 PESI Si 𝑎 𝑦 2𝑎 + 𝑏 𝑠𝑜𝑛 PESI Entonces 𝑎 𝑦 3𝑎 + 𝑏 𝑠𝑜𝑛 PESI Si 𝑎 𝑦 3𝑎 + 𝑏 𝑠𝑜𝑛 PESI Entonces 𝑎 𝑦 4𝑎 + 𝑏 𝑠𝑜𝑛 PESI Si 𝑎 𝑦 4𝑎 + 𝑏 𝑠𝑜𝑛 PESI Entonces 𝑎 𝑦 5𝑎 + 𝑏 𝑠𝑜𝑛 PESI . . . . . . Si 𝑎 𝑦 9𝑎 + 𝑏 𝑠𝑜𝑛 PESI Entonces 𝑎 𝑦 10𝑎 + 𝑏 𝑠𝑜𝑛 PESI ∴ Si 𝑎 𝑦 𝑏 𝑎 > 𝑏 𝑠𝑜𝑛 PESI entonces 𝑎 𝑦 𝑎𝑏 𝑠𝑜𝑛 PESI Lqqd. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E A R I T M É T I C A Teorema Fundamental de la Aritmética Todo número entero positivo, mayor que la unidad se puede expresar como el producto de sus divisores primos diferentes elevados a ciertos exponentes enteros positivos; dicha representación es única (salvo el orden de los factores) y se le denomina Descomposición Canónica (D.C.) 44 : 1 , 2 , 4 , 11 , 22 , 44 divisores divisores primos 44 = 22 × 11 72 : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 12 , 18 , 24 , 36 , 72 divisores divisores primos 72 = 23 × 32 (D.C.) (D.C.) 13! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6= 1 x 2 x 3 x 22 x5 x (2x3) 6! = 24 x 32 x 5 (D.C.) 6 23 11 2 Exponente de 2: 3 +1= 4 6 2 3 Exponente de 3: 2 13 26 3 2 1 2 210 x 13 34 1 3 35 x 13 2 5 52 x 6! = 7 x 11 x 13 (D.C.) C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E A R I T M É T I C A ¿En cuántos ceros termina el factorial de 1973 al ser expresado en la base 5? RESOLUCIÓN: 1973! = 1 × 2 × 3 ×⋯× 1972 × 1973 Sabemos: 1973! = 𝑎𝑏𝑐 …𝑥𝑦𝑧000…0 5 “n” ceros n = ? 1973! = 𝑎𝑏𝑐 …𝑥𝑦𝑧 5 × 5𝑛 Por descomposición polinómica en bloques 1973! = (5 × 10 × 15 × ⋯× 1970) ×… Factorizando un 5 a cada factor Agrupando los múltiplos de 5 1973! = 5394(1 × 2 × 3 ×⋯× 394) ×… APLICACIÓN Además observe que 1973 5 3943 En 394! se repite el proceso y seobtiene en forma práctica 1973 53943 784 5 5 153 30 5 1973! = 5394+78+15+3 ×⋯ 1973! = 5490 ×⋯ n = 490 Por lo tanto, 1973! Termina en 490 ceros en la base 5 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E A R I T M É T I C A APLICACIÓN De los 540 primeros números enteros positivos, ¿ Cuántos son PESI con 60 ?. RESOLUCIÓN Observamos que: 60 = 22 x 3 x 5 (D.C.) Para que el número sea PESI con 60 no debe tener los factores primos de 60. Es decir no debe tener factor 2, ni 3, ni 5. Del 1 al 540 Eliminamos los pares: 540 2 270 Quedan: 540 – 270 = 270 De los 270, que quedan eliminamos los múltiplos de 3 270 3 90 Quedan: 270 – 90 = 180 finalmente De los 180, que quedan eliminamos los múltiplos de 5 180 5 36 luego: 180 – 36 = 144 ∴ En los 540 primeros enteros positivos se tendrán 144 números PESI con 60 w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
