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Álgebra P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Ciclo Anual Virtual Uni PLANA DE ÁLGEBRA Matriz inversa y sistema de ecuaciones I Semana 33 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂 𝒅𝒆 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓 𝒖𝒏 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏 𝟐 𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒎é𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓 𝒖𝒏 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐𝒎é𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍𝒆𝒔 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Matriz Inversa Las aplicaciones de la inversa de una matriz son múltiples, entre ellas, la más conocida sin duda, es su aplicación para el cálculo de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales Con el paso de los años, numerosas áreas han necesitado algún tipo de matriz inversa de una matriz rectangular o bien de una matriz cuadrada singular, como es, por ejemplo, en el sector de la estadística, ingeniería, programación lineal, análisis numérico o ecuaciones diferenciales. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A MATRIZ INVERSA C U R S O D E Á L G E B R A Matriz singular: Sea A una matriz cuadrada, decimos que A es una singular si: 𝐴 = 0 Ejemplo: Encuentre el valor de 𝑥, si la matriz 2 𝑥 3 6 es singular Como es singular, tenemos: 2 𝑥 3 6 = 0 → 2.6 −3𝑥 = 0 → 3𝑥 = 12 → 𝑥 = 4 Definición: Sea 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 y no singular 𝐴 ≠ 0 , existe una matriz , tal que: 𝐴. 𝐵 = 𝐵. 𝐴 = 𝐼𝑛 Donde B es llamada la matriz inversa de A 𝐵 = 𝐴−1 Ejemplo: Encuentre la matriz inversa de 𝐴 = 7 0 0 4 7 0 0 4 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 1 0 0 1 → 7𝑎 7𝑏 4𝑐 4𝑑 = 1 0 0 1 B ∈ ℝ𝑛×𝑛 ൝ 𝐴 ൝ 𝐴−1 ൝ 𝐼2 𝑎 = 1/7 𝑏 = 0 𝑐 = 0 𝑑 = 1/4 → 𝐴−1 = 1 7 0 0 1 4 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A OBTENCIÓN DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ 𝟏) Matriz de cofactores: Sea la matriz 𝐴 = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟑𝟑 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝒂𝟐𝒏 𝒂𝟑𝒏 ⋮ ⋱ ⋮ 𝒂𝒏𝟏 𝒂𝒏𝟐 𝒂𝒏𝟑 ⋯ 𝒂𝒏𝒏 Si 𝐴𝑖𝑗 es el cofactor del elemento 𝑎𝑖𝑗 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 la matriz B 𝐵 = 𝑨𝟏𝟏 𝑨𝟏𝟐 𝑨𝟏𝟑 𝑨𝟐𝟏 𝑨𝟐𝟐 𝑨𝟐𝟑 𝑨𝟑𝟏 𝑨𝟑𝟐 𝑨𝟑𝟑 ⋯ 𝑨𝟏𝒏 𝑨𝟐𝒏 𝑨𝟑𝒏 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑨𝒏𝟏 𝑨𝒏𝟐 𝑨𝒏𝟑 ⋯ 𝑨𝒏𝒏 Se le llama matriz de cofactores 𝟐) Adjunta de una matriz A la transpuesta de la matriz de cofactores, se le llama adjunta de la matriz A. 𝐴𝑑𝑗 𝐴 = 𝐵𝑇 Ejemplo: 𝑎) Sea la matriz 𝐴 = 3 5 4 1 Se tiene que 𝐴11 = 1 ; 𝐴12= 1 ; 𝐴21= 1 ; 𝐴22= 1 matriz de cof.A= 1 −4 −5 3 → 𝐴𝑑𝑗 𝐴 = 1 −5 −4 3 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Ejemplo: 𝑏) Sea la matriz 𝐴 = 1 2 3 3 2 5 −1 4 −3 Se tiene: 𝐴11 = (−1)1+1 2 5 4 −3 = −26 𝐴11 = (−1)1+1 2 5 4 −3 = −(−4) 𝐴11 = (−1)1+1 2 5 4 −3 = 14 𝐴11 = (−1)1+1 2 5 4 −3 = −(−18) 𝐴11 = (−1)1+1 2 5 4 −3 = 0 𝐴11 = (−1)1+1 2 5 4 −3 = −(6) 𝐴11 = (−1)1+1 2 5 4 −3 = 4 𝐴11 = (−1)1+1 2 5 4 −3 = −(−4) 𝐴11 = (−1)1+1 2 5 4 −3 = −4 Luego: 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒇. 𝑨 = −26 4 14 18 0 −6 4 4 −4 𝑨𝒅𝒋(𝑨) = −26 18 4 4 0 4 14 −6 −4 = 4 = 18 = −6 = 4 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Teorema 𝐴−1 = Ejemplo → Sea A una matriz invertible, luego 1 𝐴 𝐴𝑑𝑗(𝐴) Halle la matriz inversa de 𝐴 = 3 5 4 1 Del ejemplo anterior, tenemos Adj(A)= 1 −5 4 3 , 𝐴 = −17 𝐴−1 = − 1 17 5 17 4 17 − 3 17 • Matriz inversa de una matriz de orden 2 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 → 𝐴−1 = 1 𝐴 𝑑 −𝑏 −𝑐 𝑎 Donde: 𝐴 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 Ejemplos 𝑎) 𝐴 = 3 4 1 2 , 𝐴 = 2 𝐴−1 = 1 2 2 −4 −1 3 = 1 −2 − 1 2 3 2 𝑏) 𝑀 = 2 5 0 4 , 𝑀 =8 → 𝑀−1 = 1 8 4 −5 0 2 = 1 2 − 5 8 0 1 4 → C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Propiedades: Si A y B son matrices cuadradas no singulares, luego 1) 𝐴−1 −1 = 𝐴 2) 𝐴𝑇 −1 = 𝐴−1 𝑇 3) 𝐴−1 = 1 𝐴 4) 𝐴𝐵 −1 = 𝐵−1. 𝐴−1 5) 𝛼𝐴 −1 = 1 𝛼 . 𝐴−1 ; 𝛼 ∈ ℝ − 0 6) 𝐴𝑑𝑗 𝐴 = 𝐴 . 𝐴−1 7) 𝐴𝑑𝑗(𝐴) = 𝐴 𝑛−1 (𝐴𝑑𝑗 𝐴 : 𝐴𝑑𝑗𝑢𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴) Ejemplos: Si A, B, C, X son matrices cuadradas no singulares 1) 𝐴. 𝑋 = 𝐵 → 𝐴. 𝑋 = 𝐵𝐴−1. 𝐴−1. ൝ 𝐼 → 𝑋 = 𝐵𝐴−1. 2) (𝐴𝑋)−1= 𝐵𝐶 → (𝐴𝑋)−1 = 𝐵𝐶−1 −1 → 𝐴. 𝑋 = 𝐶−1. 𝐵−1 → 𝐴. 𝑋 = 𝐶−1. 𝐵−1𝐴−1. 𝐴−1. ൝ 𝐼 → 𝑋 = 𝐶−1. 𝐵−1𝐴−1. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 𝟑) Método de Gauss- Jordan: Consiste en obtener la matriz inversa de una matriz cuadrada no singular, mediante operaciones elementales por filas (O.E.F), siguiendo el siguiente esquema 𝐴 ⋮ 𝐼 𝑂. 𝐸. 𝐹 𝐼 ⋮ 𝐵 ⟹ 𝐵 = 𝐴−1 Observación: 𝐿𝑎𝑠 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑛 ❖ 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 ❖ 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 ❖ 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑟 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑒𝑙 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 Ejemplos: Halle la matriz inversa de: 𝐴 = 0 1 3 0 Resolución Generamos la matriz aumentada 𝐴 ⋮ 𝐼 0 1 3 0 1 0 0 1 𝐹2 × (1/3) 0 1 1 0 1 0 0 1/3 𝐹2 ⇄ 𝐹1 1 0 0 1 0 1/3 1 0 ൝ 𝐼 ൞ 𝐴−1 Entonces 𝐴−1 = 0 1/3 1 0 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Ejemplos: C U R S O D E Á L G E B R A Halle la matriz inversa de: 𝐴 = 1 2 3 3 2 5 −1 4 −3 Resolución Generamos la matriz aumentada 𝐴 ⋮ 𝐼 1 1 1 1 2 3 1 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 𝐹2 + 𝐹1(−1) 𝐹3 + 𝐹1(−1) 1 1 1 0 1 2 0 2 3 1 0 0 −1 1 0 −1 0 1 𝐹1 + 𝐹2(−1) 𝐹3 + 𝐹2(−2) 1 0 −1 0 1 2 0 0 −1 2 −1 0 −1 1 0 1 −2 1 𝐹3(−1) 1 0 −1 0 1 2 0 0 1 2 −1 0 −1 1 0 −1 2 −1 𝐹1 + 𝐹3 𝐹2 + 𝐹3(−2) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 −1 1 −3 2 −1 2 −1 ൞ 𝐼 𝐴−1 Entonces 𝐴−1 = 1 1 −1 1 −3 2 −1 2 −1 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Es un conjunto formado por dos o más ecuaciones lineales con dos o más incógnitas. Ejemplos: ൝𝑎) 2𝑥 + 3𝑦 = 7 4𝑥 − 5𝑦 = −3 Sistema de ecuaciones lineales de 2 incógnitas 𝑏) 𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 = −6 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 9 3𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 7 Sistema de ecuaciones lineales de 3 incógnitas Algunos métodos de resolución 𝟏) Por sustitución de incógnitas Aplicación: Resuelva el sistema de ecuaciones ൝ 2𝑥 + 𝑦 = 7 3𝑥 − 4𝑦 = 5 …(𝐼) …(𝐼𝐼) 𝐷𝑒 (𝐼) 2𝑥 + 𝑦 = 7 → 𝑦 = 7 − 2𝑥 𝐸𝑛 (𝐼𝐼) 3𝑥 − 4𝑦 = 5 → 3𝑥−4(7 − 2𝑥) = 5 → 11𝑥 −28 = 5 → 𝑥 = 3 𝐸𝑛 (𝐼) 2𝑥 + 𝑦 = 7 → 𝑦 = 1 → 𝐶. 𝑆 = 3; 1 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 𝟐) Por eliminación de incógnitas Aplicación: Resuelva el sistema de ecuaciones ൝ 3𝑥 + 2𝑦 = 4 2𝑥 − 3𝑦 = 7 … (𝐼) …(𝐼𝐼) Tenemos: 𝐼 × 3: 9𝑥 + 6𝑦 = 12 𝐼𝐼 × 2: 4𝑥 − 6𝑦 = 14 (+) 13𝑥 = 26 → 𝑥 = 2 𝐸𝑛 𝐼 : 3𝑥 + 2𝑦 = 4 ቄ 6 → 𝑦 = −1 → 𝐶. 𝑆 = 2;−1 𝟑) Por matriz inversa Aplicación: Resuelva el sistema de ecuaciones ൝ 4𝑥 + 5𝑦 = 13 2𝑥 + 3𝑦 = 7 … (𝐼) … (𝐼𝐼) Expresamos el sistema en forma matricial 4 5 2 3 𝑥 𝑦 = 13 7 4 5 2 3 𝑥 𝑦 = 13 7 4 5 2 3 −1 4 5 2 3 −1 𝐼 𝑥 𝑦 = 3/2 −5/2 −1 2 13 7 = 2 1 w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
