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Límite de funciones de variable real
Universidad Nacional de Ingeniería
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
Los profesores
2023-2
Introducción
Valor límite
Consideremos los valores que toma la expresión
4x
x + 1
cuando x toma algunos valores:
x
4x
x + 1
1 2
10 3,6363636
100 3,9603960
1000 3,9960040
10000 3,9996000
100000 3,9999600
1000000 3,9999960
A partir de estas observaciones podemos conjeturar que:
�Cuando x toma valores grandes-positivos, el valor límite de
4x
x + 1
es 4".
Introducción
Sin embargo, no podemos garantizar esto solo con estas observaciones.
Para tal �n haría falta observar los valores de la expresión
4x
x + 1
cuando x toma todos
los valores posibles (o al menos, cuando x toma valores grandes-positivos).
Una herramienta que nos permite hacer esto es la grá�ca de la función
f (x) =
4x
x + 1
Introducción
Podemos hallar el límite de una función de variable real intuitivamente mediante su
grá�ca.
Veamos algunos ejemplos.
1. La grá�ca de la función f (x) =
1− x
2x + 1
es
Por lo tanto, ĺım
x→−∞
1− x
2x + 1
= −1
2
.
Introducción
2. La función f (x) = x2022 − x6 + x2 + 1 tiene grado par y su coe�ciente principal
positivo. Entonces, los extremos de la grá�ca de f tiene la forma
Por lo tanto, ĺım
x→−∞
x2022 − x6 + x2 + 1 = +∞.
Introducción
3. La función f (x) = 1− 2 tan
(πx
2
)
tiene como grá�ca
Por lo tanto, ĺım
x→3−
1− 2 tan
(πx
2
)
= −∞.
Introducción
4. La función f (x) =
x + |x |
x
tiene como grá�ca
Por lo tanto, ĺım
x→0−
x + |x |
x
= 0.
Ejercicios
Ejercicios
1. Calcular el siguiente límite mediante grá�co
ĺım
x→−∞
√
x2 + 1
x
2. Calcule
ĺım
x→+∞
tan
(
πx − π
2x − 1
)
Límite de una función
De�nición (Punto de acumulación)
Sea A un subconjunto de R, diremos que a ∈ R es un punto de acumulación de A si
∀ϵ > 0
Vϵ(a)− {a} = ⟨a− ϵ, a+ ϵ⟩ − {a} ∩ A ̸= ∅
Ejemplo
Si D =
{
1
n
| n ∈ N
}
, entonces 0, es un punto de acumulación del conjunto D.
En efecto, dado ε > 0, existe un n0 ∈ N tal que:
0 <
1
n0
< ε ⇒ 1
n0
∈ Vε(0)− {0} ∩ D ̸= ∅
Observación
De�nimos el conjunto A′ = {x ∈ R | x es un punto de acumulación de A}
Límite de una función
Ejemplo
Determine el conjunto de puntos de acumulación de A = ⟨1, 2⟩.
A′ = [1, 2].
De�nición (Punto aislado)
Sean A un subconjunto de R diremos que a ∈ A es un puntos aislado si
∃δ > 0, ⟨a− δ, a+ δ⟩ ∩ A = {a}
Ejemplo
Sea A = [0, 1] ∪ {2}. Demostrar que 2 es un punto aislado de A.
Escogiendo un δ = 1
2 , tenemos
〈
2− 1
2
, 2+
1
2
〉
=
〈
3
2
,
5
2
〉
∩ A = {2}.
Límite de una función
De�nición (Límite)
Sean f : A ⊆ R → R, L ∈ R y a ∈ A
′
. Se dice que L es el límite de la función f en el
punto a o f (x) tiende a L cuando x tiende a a, lo que denotamos, ĺım
x→a
f (x) = L, si
∀ε > 0,∃δ > 0 | ∀x ∈ A, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x)− L| < ε
Ejemplo
Pruebe que
ĺım
x→2
3x2 − 5x − 2
x − 2
= 7
Sea ε > 0, debemos encontrar
δ > 0/∀x ∈ Df ,
(
0 < |x − 2| < δ ⇒
∣∣∣∣3x2 − 5x − 2
x − 2
− 7
∣∣∣∣ < ε
)
Desde que x → 2, tenemos que x ̸= 2, luego:
Ejemplo
∣∣∣∣3x2 − 5x − 2
x − 2
− 7
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣(3x + 1)(x − 2)
x − 2
− 7
∣∣∣∣
= |3x + 1− 7|
= |3x − 6|
= 3|x − 2| < 3δ
⇒
∣∣∣∣3x2 − 5x − 2
x − 2
− 7
∣∣∣∣ < ε = 3δ
Entonces, es su�ciente escoger un δ =
ε
3
Ejemplo
Pruebe que
ĺım
x→1
x
x + 1
=
1
2
Ejemplo
Sea ε > 0 ∣∣∣∣f (x)− 1
2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ x
x + 1
− 1
2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ x − 1
2(x + 1)
∣∣∣∣ = |x − 1|
2|x + 1|
Luego, tomando δ > 0 tal que 0 < |x − 1| < δ
⇒
∣∣∣∣f (x)− 1
2
∣∣∣∣ < δ
2|x + 1|
Si δ =
1
2
⇒ 0 < |x − 1| < 1
2
⇒ −1
2
< x − 1 <
1
2
⇒ 1
2
< x <
3
2
⇒ 3
2
< x + 1 <
5
2
⇒ 1
|x + 1|
<
2
3
⇒
∣∣∣∣f (x)− 1
2
∣∣∣∣ < δ
2|x + 1|
<
2
3
δ
2
=
δ
3
= ε
Tomando δ = ḿın
{
3ε,
1
2
}
Ejemplo
Ejemplo
Use la de�nición de límites para demostrar que ĺım
x→2
2
s
1
x2
+ 1
{
√
6− x
= 1.
Dado ϵ > 0, encontremos un δ > 0, tal que
0 < |x − 2| < δ ⇒
∣∣∣∣∣∣∣∣
2
s
1
x2
+ 1
{
√
6− x
1
∣∣∣∣∣∣∣∣ < ϵ :
Acotando la expresión ∣∣∣∣∣∣∣∣
2
s
1
x2
+ 1
{
√
6− x
− 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣
2
s
1
x2
{
+ 2
√
6− x
− 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
Ejemplo
tomando δ =
1
2
,
4
2
<
1
x2
<
4
9
,
∣∣∣∣∣∣∣∣
2
s
1
x2
+ 1
{
√
6− x
− 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ 2√
6− x
− 1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2−√
6− x√
6− x
∣∣∣∣ = |x − 2|√
6− x(2+
√
6− x)
Desde que
√
6− x > 0 ⇔
√
6− x + 2 > 2 ⇔
√
6− x + 2
2
,
∣∣∣∣∣∣∣∣
2
s
1
x2
+ 1
{
√
6− x
− 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
|x − 2|
2
√
6− x
<
δ
2
√
6− x
· · · (α)
Ejemplo
Como δ =
1
2
, tenemos
3
2
< x <
5
2
⇔
√
2
3
<
1√
6− x
<
√
14
7
Luego de (α) ∣∣∣∣∣∣∣∣
2
s
1
x2
+ 1
{
√
6− x
− 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ <
√
14δ
14
= ϵ,
Luego para que exista el lílmite es su�ciente tomar δ0 =
{
1
2
,
√
14ϵ
}
.
Ejemplo
Ejercicio
Demostrar usando la de�nición que
ĺım
x→1
√
x − 1
x − 1
=
1
2
Observación
Para demostrar que |f (x) − L| < ε, es necesario poder expresarlo como |f (x) − L| =
|x − x0|Q(x), donde debemos acotar Q(x) usando un δ > 0 apropiado, por ejemplo
δ =
1
2
,
1
3
de acuerdo al ejercicio planteado.
Ejemplo
Demostrar que ĺım
x→1
x
2x2 − 5x + 2
= −1.