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a. Calcule la media en la desviación estándar de la variable aleatoria x. b. Calcule la puntuación z para cada valor de x; después, la media y la desviación es- tándar de las puntuaciones z. c. ¿Resultarán la misma media y la desviación estándar del inciso b de cada distribu- ción de probabilidad? 27. Enteros con la misma probabilidad: media y desviación estándar Suponga que una distribución de probabilidad está descrita por la variable aleatoria discreta x, que pue- de tomar los valores 1, 2, . . . , n, y que dichos valores son igualmente probables. La dis- tribución de probabilidad tiene una media y una desviación estándar como se describe a continuación: a. Demuestre que m 5 (n 1 1)/2 para el caso de n 5 5. b. Demuestre que para el caso de n 5 5. c. Con la finalidad de probar a un individuo que afirma tener poderes extrasensoria- les, usted selecciona aleatoriamente números enteros entre 1 y 20, en tanto que la variable aleatoria x es el número que se selecciona. Calcule la media y la desvia- ción estándar de x. 28. Dados con marcas que permitan una distribución uniforme Suponga que tiene dos da- dos en blanco, de modo que puede marcar las 12 caras con los números que desee. Describa de qué manera marcaría los dados para que, cuando tire ambos, los totales de los dos dados se distribuyan de manera uniforme y cada uno de los resultados de 1, 2, 3, . . . , 12 tenga una probabilidad de 1/12. (Véase “Can One Load a Set of Dice so that the Sum is Uniformly Distributed?”, de Chen, Rao y Shreve, Mathematics Maga- zine, vol. 70, núm. 3). 4-3 Distribuciones de probabilidad binomial En la sección 4-2 estudiamos diversas distribuciones discretas de probabilidad, pero en esta sección nos enfocaremos en un tipo específico: la distribución de pro- babilidad binomial. Las distribuciones de probabilidad binomial son importantes porque nos permiten enfrentar circunstancias en las que los resultados pertenecen a dos categorías relevantes, tales como productos aceptables/defectuosos o res- puestas sí/no a una pregunta de encuesta. El problema del capítulo implica el con- teo del número de niñas en 14 nacimientos; incluye las dos categorías niño/niña, por lo que posee el elemento fundamental requerido de “dualidad”. En la siguien- te definición se plantean otros requisitos. s 5 2sn2 2 1d>12 m 5 n 1 1 2 y s 5 Ån2 2 1 12 196 CAPÍTULO 4 Distribuciones de probabil idad Distribución de probabilidad binomial: resulta de un procedimiento que cum- ple con todos los requisitos siguientes: 1. El procedimiento tiene un número fijo de ensayos. 2. Los ensayos deben ser independientes. (El resultado de cualquier ensayo in- dividual no afecta las probabilidades de los otros ensayos). 3. Todos los resultados de cada ensayo deben estar clasificados en dos categorías. 4. Las probabilidades tienen que mantenerse constantes para cada ensayo. D e f i n i c i ó n Si un procedimiento satisface los cuatro requisitos, la distribución de la varia- ble aleatoria x se denomina distribución de probabilidad binomial (o distribución binomial). Suele usarse la notación siguiente: 4-3 Distribuciones de probabil idad binomial 197 Notación para distribuciones de probabilidad binomial E y F (éxito y fracaso) denotan las dos categorías posibles de todos los resul- tados; p y q denotan las probabilidades de E y F, respectivamente, de modo que P(E) 5 p (p 5 probabilidad de un éxito) P(F) 5 1 2 p 5 q (q 5 probabilidad de un fracaso) n denota el número fijo de ensayos. x denota un número específico de éxitos en n ensayos, de modo que x puede ser cualquier número entero entre 0 y n, inclusive. p denota la probabilidad de éxito en uno de n ensayos. q denota la probabilidad de fracaso en uno de n ensayos. P(x) denota la probabilidad de lograr exactamente x éxitos en los n en- sayos. El término éxito que se utiliza aquí es arbitrario y no necesariamente represen- ta algo bueno. Cualquiera de las dos categorías posibles puede denominarse el éxito E, siempre y cuando su probabilidad se identifique como p. Una vez que se designa una categoría como éxito E, asegúrese de que p es la probabilidad de un éxito y que x es el número de éxitos. Es decir, asegúrese de que los valores p y x se refieran a la misma categoría que se designa como un éxito. (El valor de q se pue- de calcular siempre al restar p de 1; si p 5 0.95, entonces q 5 1 2 0.95 5 0.05). He aquí una sugerencia importante para trabajar con problemas de probabilidad binomial: Asegúrese de que x y p se refieran a la misma categoría que se deno- mina como un éxito. Cuando seleccionamos una muestra para algún análisis estadístico, por lo ge- neral realizamos el muestreo sin reemplazo. Por ejemplo, al probar artículos ma- nufacturados o realizar encuestas, solemos diseñar el proceso de muestreo de mo- do que los artículos elegidos no se seleccionan una segunda vez. Estrictamente hablando, el muestreo sin reemplazo implica sucesos dependientes, que violan el segundo requisito de la definición anterior. Sin embargo, la siguiente regla prácti- ca se basa en el hecho de que si la muestra es muy pequeña, en relación con el ta- maño de la población, podemos tratar a los ensayos como independientes (aun cuando en realidad sean dependientes), ya que la diferencia en los resultados será insignificante. Cuando se realiza un muestreo sin reemplazo, los sucesos pueden tra- tarse como si fueran independientes, si el tamaño de la muestra no es mayor que el 5% del tamaño de la población. (Es decir, n ## 0.05N). 198 CAPÍTULO 4 Distribuciones de probabil idad Profetas de las ganancias Muchos libros y programas de computadoras aseguran ser útiles para predecir números ganadores de la lotería. Algunos utilizan la teoría de que ciertos números están “rezagados” (y hay que seleccio- narlos), ya que no han salido con frecuencia; otros creen en la teoría de que algunos números son “fríos” (y deben evitarse), puesto que no han salido con frecuencia; incluso existen más que utilizan la astrología, la numerología o los sueños. Ya que la selección de las combinaciones de números gana- dores de la lotería son sucesos in- dependientes, dichas teorías son inútiles. Un método válido es el de elegir números que sean “raros”, en el sentido de que no son selec- cionados por otras personas, de forma que si usted gana, no se le obligará a compartir sus ganancias con otros. Por tal razón, la combi- nación de 1, 2, 3, 4, 5 y 6 es inade- cuada, puesto que muchos indivi- duos la utilizan, mientras que la combinación 12, 17, 18, 33, 40, 46 es mucho mejor, al menos hasta la publicación de este libro. EJEMPLO Análisis de respuestas de opción múltiple Por su fa- cilidad de corrección, las preguntas de opción múltiple se utilizan con frecuencia para realizar exámenes en el salón de clases, para la prueba SAT, para la prueba MCAT en las escuelas de medicina, la prueba LSAT en las escuelas de leyes y en muchas otras circunstancias. Un profesor que imparte un curso de psicología del comportamiento anormal planea aplicar un examen sorpresa que consta de cua- tro preguntas de opción múltiple, cada una con cinco respuestas posibles (a, b, c, d, e), pero sólo una de ellas correcta. Supongamos que un estudiante sin prepara- ción adecuada hace adivinanzas al azar y que queremos calcular la probabilidad de que tenga exactamente tres respuestas correctas en las cuatro preguntas. a. ¿Resultará este proceso en una distribución binomial? b. Si el proceso resulta en una distribución binomial, identifique los valores de n, x, p y q. SOLUCIÓN a. El procedimiento sí satisface los requisitos de una distribución binomial, como se muestra a continuación: 1. El número de ensayos (4) es fijo. 2. Los cuatro ensayos son independientes, ya que una respuesta correcta o incorrecta para cada pregunta individual no afecta la probabilidad de que otra pregunta sea correcta o incorrecta. 3. Cada uno de los cuatro ensayos tiene dos categorías de resultados posi- bles: correcta o incorrecta. 4. Para cadapregunta hay cinco respuestas posibles (a, b, c, d, e), pero só- lo una de ellas es correcta, por lo que la probabilidad de una respuesta correcta es de 1/5 o 0.2. La probabilidad de cada uno de los cuatro en- sayos permanece constante. b. Habiendo concluido que el procedimiento dado sí resulta en una distribu- ción binomial, procedamos a identificar los valores de n, x, p y q. 1. Con cuatro preguntas de un examen, tenemos que n 5 4. 2. Buscamos la probabilidad de exactamente tres respuestas correctas; en- tonces, x 5 3. 3. La probabilidad de éxito (respuesta correcta) para una pregunta es de 0.2; por lo tanto, p 5 0.2. 4. La probabilidad de fracaso (respuesta incorrecta) es de 0.8; por lo tanto, q 5 0.8. Nuevamente, es muy importante asegurarse de que tanto x como p se refieren al mismo concepto de “éxito”. En este ejemplo, usamos x para contar las res- puestas correctas, de modo que p debe ser la probabilidad de una respuesta co- rrecta. Por consiguiente, x y p sí utilizan aquí el mismo concepto de éxito (res- puesta correcta). Ahora presentaremos tres métodos para calcular las probabilidades correspon- dientes a la variable aleatoria x en una distribución binomial. El primero, que im- plica cálculos empleando la fórmula de probabilidad binomial, es la base de los otros dos. El segundo implica el uso de la tabla A-1; y el tercero, el uso de un pro- grama de cómputo o una calculadora. Si está utilizando alguna de estas dos herra- 4-3 Distribuciones de probabil idad binomial 199 mientas que producen, de forma automática, probabilidades binomiales, le reco- mendamos que resuelva uno o dos ejercicios por medio del método 1, para asegu- rarse de que comprende los fundamentos de tales cálculos. La comprensión es siempre mucho mejor que la aplicación a ciegas de las fórmulas. Método 1: Uso de la fórmula de probabilidad binomial En una distri- bución binomial, las probabilidades pueden calcularse con el uso de la fórmula de la probabilidad binomial. Fórmula 4-5 para x 5 0, 1, 2, . . . , n donde n 5 número de ensayos x 5 número de éxitos en n ensayos p 5 probabilidad de éxito en cualquier ensayo q 5 probabilidad de fracaso en cualquier ensayo (q 5 1 2 p) El símbolo de factorial !, que se introdujo en la sección 3-7, denota el produc- to de factores decrecientes. Dos ejemplos de factoriales son 3! 5 3 ? 2 ? 1 5 6 y 0! 5 1 (por definición). Muchas calculadoras incluyen una tecla para el factorial, al igual que una tecla con nCr que permite simplificar los cálculos. Para las calcu- ladoras con esa tecla, utilice esta versión de la fórmula de probabilidad binomial (donde n, x, p y q son iguales en la fórmula 4-5): P(x) 5 nCr ? px ? qn2x La calculadora TI-83 Plus se diseñó para calcular de manera automática las probabilidades binomiales por medio de tal fórmula. Los detalles para el manejo de la calculadora TI-83 Plus se explicarán más adelante en esta sección. EJEMPLO Análisis de respuestas de opción múltiple Aplique la fórmula de la probabilidad binomial para calcular la probabilidad de tener exactamente tres respuestas correctas, cuando se adivina al azar en las cuatro preguntas de opción múltiple. Esto es, calcule P(3), siendo que n 5 4, x 5 3, p 5 0.2 y q 5 0.8. SOLUCIÓN Con los valores dados de n, x, p y q en la fórmula de probabi- lidad binomial (fórmula 4-5), obtenemos 5 (4)(0.008)(0.8) 5 0.0256 La probabilidad de tener exactamente tres respuestas correctas de cuatro, es de 0.0256. Sugerencia para el cálculo: Cuando se calcula una probabilidad con la fórmu- la de probabilidad binomial, es útil obtener un solo número para n!/(n 2 x)!x!, 5 4! 1!3! ? 0.008 ? 0.8 Psxd 5 4! s4 2 3d!3! ? 0.23 ? 0.8423 Psxd 5 n! sn 2 xd!x! ? px ? q n2x
