1 5 Ejercicios de funciones

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INDICE 
 Pág. 
INTRODUCCIÓN 
COMPETENCIA 
 
I NUMEROS REALES 
2.1 Conjuntos Numéricos 2 
2.2 Sistema de números reales 6 
2.3 Ecuaciones Lineales 12 
2.4 Ecuaciones de Segundo Grado 16 
2.5 Inecuaciones 19 
2.6 Valor Absoluto 27 
Autoevaluación 32 
Referencias Bibliográficas 34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
INTRODUCCIÓN 
 
En esta unidad centramos nuestra atención en el estudio de las relaciones y 
funciones. El concepto de función es uno de las ideas fundamentales en 
matemática. Su distinción del concepto de relación es fundamental. Casi cualquier 
estudio que se refiera a la aplicación de las matemáticas a problemas prácticos o 
que requiera el análisis de datos empíricos emplea este concepto matemático. Una 
función expresa la idea de que una cantidad dependiente está determinada por 
otra. Por ejemplo, Las prestaciones otorgadas por el sistema de seguridad social 
de un país dependen de su tasa de desempleo. 
Nuestro estudio incluye temas como: Producto cartesiano, Relación Binaria. 
Funciones y álgebra de funciones. El cálculo de la función compuesta e Inversa y 
las funciones exponencial y logaritmo, así como sus aplicaciones. 
Deberá iniciar el estudio de esta unidad, además de la introducción con la lectura 
de los objetivos y el esquema de la misma de modo que tenga una visión global de 
lo que se intenta lograr al finalizar el estudio de la unidad. 
A continuación se precisan los aspectos más relevantes en esta unidad indicando 
las pautas más convenientes para abordarlas con éxito. Es importante que tenga 
en cuenta el tiempo estimado para llevar a cabo su auto evaluación. 
Se consideran importantes establecer la diferencia entre relación y función. Para el 
cálculo del dominio de una función es conveniente que tenga en cuenta si existen 
restricciones que puedan llevarnos a la resolución de ecuaciones o inecuaciones. 
En las operaciones con funciones tenga siempre presente la definición. Es muy útil 
que entienda que la función exponencial y logaritmo son inversas una de la otra y 
que ello es muy importante para la matemática en la vida real. 
Finalmente, tome nota de los ejemplos más relevantes, le servirán de guía para su 
auto evaluación. 
 
 
APRENDIZAJE ESPERADO 
Al termino del modulo se estará en capacidad de operar con funciones 
reales y utilizar las funciones exponencial y logarítmicas como modelos 
para expresar y resolver situaciones problemáticas en un contexto real. 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
 
 
 
2.1. PRODUCTO CARTESIANO 
No es difícil comprender que los nombres Luis Alegre Cerna y Luis 
Cerna Alegre designan a dos personas diferentes, porque en nuestra 
sociedad el primer apellido es el paterno y el segundo es el materno 
entonces en cada persona se verifica un orden en sus apellidos, por tanto, no se trata de un 
simple conjunto de apellidos ya que estos deben estar ordenados; se trata pues de un “PAR 
ORDENADO”. 
Simbólicamente, 
 (Alegre, Cerna)  (Cerna, Alegre). 
 
Matemáticamente, (a, b) es un par ordenado, donde “a” es primera componente “b” es 
la segunda componente. 
 
IGUALDAD DE PARES ORDENADOS: 
Sean los pares ordenados (a, b) y (c, d). Estos dos pares son iguales siempre y cuando cada 
una de las componentes del primer par sean iguales a las componentes del segundo par, 
respectivamente. Es decir, a = c y b = d. 
 
Ejemplo (1): 
Sean los pares ( 5 - x, x ) = ( 3, 2 ). Entonces por definición se tiene que 5 - x = 3 y x = 2. 
Por tanto se dice que los pares son iguales cuando x es igual a 2. 
 
Ejemplo (2): 
a) (2 , 3) y (3 , 2) no son iguales, pues: 
 2 ≠ 3 y 3 ≠ 2. 
b) Si (2x + y, 1) = (3 , 2x – y) entonces 2x + y = 3  1 = 2x - y 
 1y,1x
1yx2
3y3x2
==



=−
=+
 
 
PRODUCTO CARTESIANO ENTRE A y B: 
Dados dos conjuntos A y B, no vacíos. El producto cartesiano entre A y B, denotado por A x 
B es el conjunto definido por: 
A x B = {(a, b) / a  A  b  B} 
 
 
RELACIONES Y 
FUNCIONES 
 
 4 
Cada elemento de A x B se denomina par ordenado. 
Esta definición puede extenderse para más de dos conjuntos. 
 
Ejemplo (2): 
Sean los conjuntos A = {a, b, c}, B = {1, 2}, C = {4, 8}. Definimos: 
a) A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2) } 
b) C x B = { (4,1), (4,2), (8,1), (8,2) } 
c) B x C = { (1,4), (1,8), (2,4), (2,8) } 
d) B x B = { (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) } 
 
¿Será cierto que “para cualesquiera conjuntos A, B se satisface que A x B = B x A? 
 … No, si A y B son diferentes. 
 
Observación. 
Si A y B son finitos y tienen m y n elementos respectivamente, entonces ¿Qué podemos 
decir de A x B? …A x B tiene m x n elementos. 
 
ALGUNAS PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO: 
a) A x (B U C) = (A x B) U (A x C) 
b) A x (B  C) = (A x B)  (A x C) 
c) A x (B - C) = (A x B) - (A x C) 
d) A x (B x C) = (A x B) x C 
 
 
 
 ¡Verificar cada una de estas propiedades mediante un ejemplo! 
 
 
 
 
REPRESENTACIÓN EN DIAGRAMAS DE ÁRBOL: 
Si A = {a, b} y b = {1, 2, 3}, podemos representar el producto cartesiano A x B, por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
3 
1 
2 
3 
a 
b 
B A A x B 
(b,3) 
(b,2) 
(b,1) 
(a,3) 
(a,2) 
(a,1) 
 
 5 
“el conjunto primer factor hace de ramas principales y el otro conjunto factor de 
ramas secundarias, los pares se consideran como en el gráfico”. 
Sea U = IR x IR = { (x, y) / x, y  IR }. El conjunto es el plano cartesiano, es cual se denota 
por IR2. 
 
REPRESENTACIÓN CARTESIANA: 
Se llama así a la representación de A x B, donde los elementos de A se ubican en el eje de 
las abscisas (horizontal) y los de B, en el eje de las ordenadas (vertical). De este modo los 
elementos de A x B, se ubican en el cruce de las abscisas y las ordenadas respectivas. 
 
 c 
 b 
 a 
 
 
 
CUADROS DE DOBLE ENTRADA: 
Consideremos los conjuntos: A = {x,y,z} y B = {a,b,c,d,e}. El producto cartesiano AB, se 
representa como: 
 B 
 A 
 A b C d E 
 X (x , a) (x , b) (x , c) (x , d) (x , e) 
 Y (x , a) (x , b) (x , c) (x , d) (x , e) 
 Z (x , a) (x , b) (x , c) (x , d) (x , e) 
 
Ejercicios para reflexionar: 
Si el universo es N, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 5} y C = {3, 4, 7}. Determine: 
a. A  (B x C). 
b. (A  B) x C. 
c. (A x C)  (B x C). 
 ¿Puede conjeturar alguna igualdad entre estos conjuntos?. 
 
 
 
 
 
 
En este ejemplo: 
 
 A = {1, 2} y B = {a, b, c} 
1 2 
A 
B 
 
 6 
2.2. RELACIONES BINARIAS: 
En el lenguaje corriente, hacemos uso de relaciones como por ejemplo: 
• “ … es hermano de … “ 
• “ … es mayor que … “ 
• “ … divide a …” 
Todas estas expresiones sirven para relacionar dos elementos de dos conjuntos o de un 
mismo conjunto. 
 
Definición: 
Una relación binaria  de A en B es una selección de algunos pares del producto cartesiano 
de A x B de aquellas que cumplen con una cierta condición dada. 
Simbólicamente:   A x B. 
 
• Si (x, y) está en  decimos que “x está relacionado con y”; lo 
denotaremos “x  y”. 
• A se llama conjunto de partida y B conjunto de llegada. 
 
 
DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN: 
El conjunto { xA / (x, y)  para algún y  B } es el dominio de la relación; en 
cambio, el conjunto { yB / (x, y)  para algún x  A } es la imagen (rango) de la 
relación. 
 
Ejemplo (1): 
Si A = {2, 3, 4} y B = { 3, 4, 5, 6, 7}, definimos la relación  de A en B, como: (x, y)  
si y solo si “ x divide a y”. 
Solución:En este caso, obtenemos que 
  = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}. 
 
Ejemplo (2): 
Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = { 6, 7, 8, 9, 10 }, definimos la relación  de A en B, como: 
(x, y)  si y solo si “ y es el doble de x”. 
Solución: 
En este caso, se tiene que 
  = {(3,6), (4,8), (5,10)}. 
 
 ¿Cómo pueden representarse gráficamente estas relaciones? 
 
 
 
 
7
EJERCICIOS PROPUESTOS: 
1. Si A = {1, 2, 3} y B = {2, 4}. Determine las relaciones A x B y B x A y representarlos 
en el plano cartesiano y en forma tabular.
2. Considere la relación “menor o igual“ definida en A = {1, 2, 3, 4}, por “x está relacionado 
con y si x ≤ y. ” esto es “ (x, y) está en ℜ si y solo si x ≤ y. “
a) Halle la relación ℜ .
b) Halle la representación cartesiana.
3. Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {0, 2, 4, 6} Halle:
a) La relación ℜ definida por “1ra componente es mayor o igual a la 2da componente” y su 
representación gráfica en el plano y en forma tabular.
b) El dominio y el Rango de la relación ℜ .
PROPIEDADES DE LA RELACIÓN BINARIA: 
Las relaciones binarias gozan de las siguientes propiedades: 
1) Reflexiva, cuando cada elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo.
Es decir:  a  A  a  a.
2) Simétrica, si para todo a  b, siempre que (a, b) pertenece a la relación, entonces el par
(b, a) también pertenece a la relación.
Es decir:  a, b  a b  b a.
3) Transitiva, siempre que si un elemento está relacionado con un segundo y el segundo
con un tercero, el primero está relacionado con el tercero.
Es decir:  a, b, c  a b y b c  a c.
4) Antisimétrica, si, para todo a y b que pertenecen a A, a  b, si a está relacionado con b,
entonces b no está relacionado con a.
Es decir:  a, b  a b y b a  a = b.
RELACION DE EQUIVALENCIA: 
Una relación de equivalencia es aquella que cumple las propiedades reflexiva, simétrica y 
transitiva. 
Ejemplo (3): 
Son reflexivas, 
• La relación de igualdad (=) en Q: a  Q  a = a. 
• La relación menor o igual que (  ) en Z : p  Z  p  p. 
Ejemplo (4): 
Son simétricas, 
• La relación de perpendicularidad ( ⊥ ) en el conjunto de las rectas del plano:
L 1 ⊥ L 2  L 2 ⊥ L 1 
acuna
Resaltado
8
• La relación de congruencia (  ) en el conjunto de los triángulos del plano:
  1   2   2   1 
Ejemplo (5): 
Son transitivas, 
• La relación menor que ( < ) en Q :
a < b  b < c  a < c 
• La relación de semejanza (  ) en los triángulos del plano:
  1   2   2   3   1   3 . 
Ejemplo (6): 
• La relación mayor o igual que (  ) en Z :
a  b  b  a  a = b 
• La relación de inclusión (  ) en los conjuntos:
 A  B  B  A  A = B. 
Ejemplo (7): 
Son equivalencias, 
• Si A = {1, 2, 3, 4, 5} la relación  en A dada por
  = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5)} 
 es una relación de equivalencia porque es reflexiva, simétrica y transitiva. 
• Considere la relación  definida en los números enteros, definida por
 “x  y si x – y es múltiplo de 3.” 
 Es decir, “x  y si x – y = 3k, para algún entero k.” 
 Veamos, 
 Es reflexiva, porque x - x = 0(3),  x Z es múltiplo de 3. 
 Es simétrica, porque si x - y = m.3 entonces y - x = - (x - y) = (- m).3, es múltiplo de 3. 
 Es transitiva, porque si x - y = m.3  y - z = n.3 entonces: 
x - z = ( x – y ) + ( y – z ) = m.3 + n.3 = (m + n) 3, es múltiplo de 3. 
 Por tanto,  es una relación de equivalencia. 
RELACIÓN DE ORDEN: 
Una relación R es de orden en un conjunto A no vacío, si y sólo si satisface: 
Reflexividad, antisimetría y transitividad. 
Ejemplo (8): 
Son relaciones de orden, 
• La relación menor o igual que (  ) en Z :
Reflexividad: a  a
Antisimetría: a  b  b  a  a = b
 
 9 
 Transitividad: a  b  b  c  a  c 
• La relación de inclusión (  ) en los conjuntos: 
 Reflexividad: A  A 
 Antisimetría: A  B  B  A  A = B 
 Transitividad: A  B  B  C  A  C 
 
RELACION INVERSA (R − 1): 
 Dada la relación R de A a B, la relación inversa de ella ( R – 1 ) está formada por los 
pares ordenados ( y , x ) tal que ( x , y ) pertenezca a R. Además R – 1 es subconjunto 
de B × A. 
(y , x )  R – 1  (x, y)  R 
 
Ejemplo (9): 
 Sea la relación R dada por R = {(a, b), (c, d), (e, f)}  A  B., la relación inversa de R 
es: R − 1 = { ( b , a ) , ( d , c ) , ( f , e ) }  B  A. 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS: 
1. Determinar los valores de x , y , z de modo que se cumpla la igualdad en cada caso: 
a) (2x – y, 8) = (5 , 4x + 2y) 
b) (x + y , 5) = (12 , 5x – 6y) 
c) (x – 7y , 2x – 6y) = (15, -10) 
2. Si A = xN/ 
3
1k2
x
−
= , kN  y B = xN/ (x2 – 1)  12 . Hallar: 
a) (AB) x (B–A) b) (BA)x(A-B) 
3. Dados los conjuntos: A = xN/ 
4
1k3
x
+
= , kN , B = xN/ (x2 –14x+40) = 0  
 C= xN/ (x2 –1) = 0 . Halar el número de elementos del conjunto (AB)C x (B – C). 
4. Sean los conjuntos A = xZ/ (x3 –x) (x2 –4) = 0 , B = xZ/ x -1= 2  y 
 C = xZ/ 2x -1 2 . Hallar: 
 i) AxB ; ii) (BC)xA ; iii) BxA ; iv) (AB)x(BC) 
5. Hallar el dominio, rango y graficar las relaciones: 
❖ R1 = (x, y) R2 / 2x – 3y – 6 = 0 1 x  6 
❖ R2 = (x, y) R2 / x2 +y2 – 9 = 0  
❖ R3 = (x, y) R2 / y2  x-1  
 
 
 
 
 
 10 
2.3. FUNCIONES: 
¿Qué es una función? 
El concepto de función es una de las ideas fundamentales en matemáticas. Una función es 
un tipo especial de relación de entrada-salida que expresa cómo una cantidad (la salida) 
depende de otra (la entrada). Los ejemplos siguientes aclaran esta idea: 
 
Ejemplos: 
1. El área de un círculo depende de la longitud de su radio; si se conoce la longitud del 
radio, podemos determinar el área. 
2. El costo de producir cualquier artículo depende del número de artículos producidos. 
3. El poder adquisitivo de la moneda depende del índice del costo de la vida. 
4. Cuando se invierte dinero a alguna tasa de interés. El interés depende del tiempo que el 
dinero esté invertido. 
 
Definición: 
Sean A y B conjuntos no vacíos y f una relación de A a B , entonces f es una 
función de A en B , si y sólo si a cada elemento de A , le hace corresponder un y sólo 
un elemento de B. 
 
Ejemplo (10): 
 
 
 
 
 f = { ( a , r ) , ( b , m ) , ( c , p ) , ( d , r ) } 
 
 
OBSERVACION: 
Notación: A f B ( o, f : A B ). 
Regla de correspondencia : y = f (x) 
 
Se lee “ y igual a f de x ” y se dice “ y es la imagen de x por f ” o “f envía a x en y 
” o “ f transforma a x en y ”. 
 
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL: 
Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto D de los 
números reales, en el conjunto IR de los números reales, tal que a cada elemento x de D le 
corresponde uno y sólo un elemento y de IR: 
IRD:f → 
 
 
 
 
a cada 
elemento de 
A le corres-
ponde un 
único elemen-
to de B. 
 
 11 
Así, por ejemplo, la función definida por: 
IRIR:f → 
 
 
Asigna a cada número real su cuadrado. 
 
Tiene por conjunto origen todos los números reales, pues dado cualquier número 
real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número 
real. Y tiene por conjunto imagen todos los números reales no negativos. 
 
La regla de asignación es “dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para 
obtener la imagen “. 
Manerasintuitivas de diagramar funciones son las siguientes: 
Diagramas de funciones (A = X, B = Y). 
 (a) (b) (c) 
 
En los anteriores diagramas, f en el (a) puede interpretarse como una 
“máquina” que actuando sobre cada x lo transforma en su correspondiente 
f(x): notablemente de ella, en principio, no es necesario conocer sus 
componentes ni cómo opera, es una “caja negra”; en (b) y (c) se muestra a 
cada x en cuál y lo envía f. 
 
 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: 
f es una función si y solo si cualquier recta perpendicular al eje X corta a la gráfica de f en un 
solo punto. 
 
EJEMPLOS: 
1. Hallar el dominio de la función f definida por 
2x
1
 f(x)
−
= . 
 
 
 
 12 
 Solución: 
La función anterior asigna a cada número x, el valor 
2
1
−x
. 
El dominio está formado por todos los números reales x, para los que su imagen está 
definida mediante la función f. 
La expresión 
2x
1
−
 esta definida para todos los números reales, salvo 
para aquellos que anulen el denominador, puesto que la expresión
0
1
 no 
es un número real. El denominador x - 2 es cero cuando x = 2. 
 
Por tanto, el campo de existencia de la función es IR - {2}. 
Su representación mediante intervalos es D = (- , 2)  (2, + ). 
 
2. Hallar el dominio de la función g(x) = 9x2 − . 
Solución: 
La expresión 9x2 − esta definida cuando la cantidad bajo el signo de la raíz es mayor 
o igual a cero, puesto que las raíces cuadradas de los números negativos no tienen 
sentido en el conjunto de los números reales. 
Por tanto, se trata de hallar que valores de x hacen que .09x2 − 
Factorizando, se tiene: 
 03)3)(x(x +− . 
Resolviendo la inecuación se tiene el conjunto solución: 
 D = (- , -3)  (3, + ). 
 
3. Dada la función definida por 
2x
1
f(x)
2 +
= . Hallar la imagen de los números: -3, 0, 3. 
¿Cuál es su dominio de definición? ¿Hay algún número que se transforme en el 0? 
Solución: 
Evaluamos la función en los valores de x dados, 
 
11
1
23)(
1
3)f(
2
=
+−
=− ; 
2
1
f(0) = ; 
11
1
2(3)
1
f(3)
2
=
+
= . 
Ahora, Calculamos el dominio: 
 
El denominador nunca se hace cero, ya que x 2 + 2 > 0 para cualquier valor 
de x. Si fuese x 2 + 2 < 0, entonces 22 +x no existiría y por tanto la 
función no estaría definida en esos puntos, pero x 2 + 2 > 0. 
Por tanto, el dominio es todo IR. 
 
 
 
 
 13 
Para responder a la pregunta siguiente, hay que estudiar si existe algún número x, tal que 
f(x) = 0. Si 0
2
1
2
=
+x
, entonces 1 = 0, lo cual es un absurdo. Por tanto, el 0 no es 
imagen de ningún número. 
 
 
 
 
 
 Hallar el dominio de las siguientes funciones: 
 
a) F(x) = x3 - 4x + 2 
b) 52
1
)(
2
−
+
=
x
x
xf
 
c) xxf 28)( −= 
d) 1
12
)(
2 −
+
=
x
x
xf
 
e) 34)( 2 +−= xxxf f) f(x) = 12 −x 
g) 3)( += xxf h) f(x)= 257 2 +− xx 
i) 1
)(
+
=
x
x
xf
 
 
 
FUNCIONES ELEMENTALES DE IR EN IR::: 
 
1. FUNCIÓN CONSTANTE: 
La función constante tiene como regla de correspondencia: 
f (x) = k ; k  IR 
 Dom (f) = IR; Ran (f) = {k}. 
La gráfica de esta función es una línea horizontal paralela al eje X. 
 Y 
 
 y = k 
 
 X 
 
Ejemplo (5): 
Graficar la función, y = 2. 
Solución: 
 
 
Cuando la abscisa aumenta 1, la ordenada no aumenta ni disminuye. Lo mismo ocurre 
cuando la abscisa aumenta 2, 3,... etc. 
 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
k 
 
0 
 
 14 
2. FUNCIÓN IDENTIDAD: 
La función identidad tiene como regla de correspondencia: 
f ( x ) = x 
 Dom (f) = IR; Ran (f) = IR. 
Su gráfica es: 
 
 
 
 
 
3. FUNCIÓN LINEAL: 
La función lineal tiene como regla de correspondencia: 
f ( x ) = a x + b ; a  0 
Dom (f) = IR; Ran (f) = IR. 
 
Ejemplo (6): 
Graficar la función, y = x - 4 
Solución: 
 
Cuando la abscisa aumenta 1, la ordenada aumenta 1; si la abscisa aumenta 2, la ordenada 
aumenta 2; etc. 
 
4. FUNCION RAIZ CUADRADA: 
Definición: 
La regla de correspondencia de la función raíz cuadrada es: 
 f( x ) = x 
Dom (f) = [0; +  ), Ran (f) = [0; +  ). 
f es estrictamente creciente. 
Las curvas de ecuación: y = x 2 e y = x , x 0, son simétricas con respecto a la recta 
de ecuación: y = x. 
 
x 
y 
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 
-8 
-6 
-4 
-2 
0 
2 
4 
6 
8 
f(x) = x 
Esta función asigna a cada valor real de entrada, el mismo valor como 
salida. 
 
 15 
A continuación, presentamos las gráficas de las funciones: 
y = x ; y = x 2 ; y = x 
 
0 1 2 3 4 5
0
5
10
15
20
25
X
Y
 
5. FUNCION RAIZ CUBICA: 
Definición: 
La regla de correspondencia de la función raíz cúbica es: 
f ( x ) = 3 x . 
Dom (f) = IR ; Ran (f) = IR. 
f es simétrica con respecto al origen ( 0 , 0 ) 
f es estrictamente creciente . 
Las curvas de ecuación: y = x 3 e y = 3 x son simétricas con respecto a la recta de 
ecuación: y = x. 
 
A continuación, presentamos las gráficas de las funciones: 
y = 3 x (en color azul) ; y = x 3 (cuadrática en color rojo) 
y = x (identidad en color verde) 
 
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
 
 
6. FUNCION VALOR ABSOLUTO: 
Definición: La regla de correspondencia de la función valor absoluto es: 
 f ( x ) =  x = 



−

0xsix
0xsix
 
2x=y 
x=y 
x=y 
y =x 3 y =x 
y =x1/3
 
 
 16 
Dom f = R; Ran f = [0, +). 
f es simétrica con respecto al eje Y. 
f es decreciente en el intervalo: ( –  ; 0) 
f es creciente en el intervalo: ( 0 ; +  ) 
Observamos que los puntos que determinan su gráfica son puntos que pertenecen a la recta 
y = x para los x  0 y puntos que pertenecen a la recta y = -x para los x < 0. 
Gráficamente, y = | x | tiene la forma, 
 
 
 
7. FUNCION MAXIMO ENTERO: 
Definición: La regla de correspondencia de la función máximo entero es: 
f ( x ) = |[ x ]| 
donde: 
 |[ x ]| = n  Z  n  x < n + 1. 
“n” es el mayor de los números enteros que son menores que el número x. También se puede 
decir si un número esta entre dos enteros consecutivos, el máximo entero es el número que 
está en el extremo izquierdo. 
 Dom( f ) = IR ; Ran( f ) = Z. 
La gráfica de y = |[ x ]| es: 
 
 
 
Para graficar la función máximo entero se consideran intervalos de longitud uno, cerrados 
en el extremo izquierdo y abierto en el extremo derecho y se van graficando las secciones de 
funciones constantes a diferentes niveles formando “la escalera”. 
 
8. FUNCION CUADRÁTICA: 
Definición: Sean a, b y c constantes reales. La función cuadrática (parábola) se define 
de la siguiente forma: 
 
 17 
f = { ( x , y )  R 2 / y = a x 2 + b x + c  a  0 } 
Concavidad: 
1) a > 0  concavidad positiva 
2) a < 0  concavidad negativa 
 
Ejemplos: 
 1. Ecuación de la parábola: y = 2 x 2 – 3 x – 1 (se abre hacia arriba) 
 2. Ecuación de la parábola: y = – 2 x 2 + x + 3 (se abre hacia abajo) 
 
En las siguientes gráficas se aprecia estos dos tipos de concavidad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intersecciones con el eje X: 
El número de intersecciones de la función cuadrática con el eje X está determinado por el 
valor del discriminante: b2 − 4 a c, apreciándose los siguientescasos: 
1) b 2 − 4 a c > 0  2 intersecciones 
2) b 2 − 4 a c = 0  1 intersección 
3) b 2 − 4 a c < 0  No hay intersección 
 
Ejemplos: 
1. Ecuación de la parábola: y = 2 x 2 – 5 x + 1 
2. Ecuación de la parábola: y = x 2 + 6 x + 9 
3. Ecuación de la parábola: y = – x 2 + 2 x – 3 
En las siguientes gráficas se aprecia estos tres casos de intersección con el eje X. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
 
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
 
x
y
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
 
x
y
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
 
 
 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para establecer si existe intersección de la parábola con el eje X, y de ser el caso, determinar 
las coordenadas de tales puntos debe resolverse la siguiente ecuación cuadrática: 
a x 2 + b x + c = 0 
 
Ejemplo: 
Determinar las coordenadas del punto (o los puntos) de intersección de la parábola de 
ecuación: y = 0.5 x 2 – 2 x – 6 con el eje X. 
Solución: 
0.5 x 2 – 2 x – 6 = 0, multiplicando por dos: x 2 – 4 x – 12 = 0 
( x – 6 ) ( x + 2 ) = 0, resolviendo cada uno de los factores: x1 = 6; x2 = 2. 
 Los puntos de intersección con el eje X son A ( 6 , 0 ) y B ( – 2 , 0 ). 
 Eje de simetría: 
Cada función cuadrática tiene un eje de simetría cuya ecuación es: 
x = – ab 2/ 
Ejemplo: 
Determinar la ecuación del eje de simetría de la cuadrática: y = 3 x2 – 12 x + 7. 
Solución: 
La ecuación del eje de simetría es: x = – 
32
12–

 = 2 
Vértice (V): Toda cuadrática tiene un y sólo un vértice (V) de coordenadas: 
V )(
a4
2b–ca4
,
a2
b
– 
Ejemplo: 
Determina las coordenadas del vértice ( V ) de la parábola de ecuación: 
 y = x 2 + 2 x – 8. 
Solución: 
Las coordenadas del vértice son: 
 ) 
14
22–)8–(14
,
12
2
–V(



 = V (– 1, – 9) 
x
y
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
 
 
 19 
Dominio y Rango de la función cuadrática: 
Dom (f) = IR ; Rango (f) está determinado por: 
a > 0  Ran f = )[ +,
a4
b–ca4 2
 
a < 0  Ran f = ](
a4
b–ca4
,–
2
 
En la función cuadrática: modifique los valores de a, b y c, observe las graficas e intente 
responder con sus palabras la siguiente pregunta. ¿Qué aspectos de la gráfica se 
modifican al modificar alguno de esos tres parámetros? 
 
9. FUNCION POLINOMIAL DE GRADO “n”: 
Definición: La regla de correspondencia de la función polinomial es: 
f ( x ) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + ..... + a n – 1 x + a n ; a 0  0 ; n  N 
Dom f = IR. 
 
Ejemplo: 
Las gráficas de las funciones polinómicas siguientes se muestran en el cuadro: 
1. f ( x ) = x 3 – 2 x 2 – 5 x + 6 (en rojo) 
2. f ( x ) = – x 3 – 2 x 2 + 5 x + 6 (en azul) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En la función polinomial: modifique los valores de los coeficientes y el grado del polinomio, 
observe las gráficas e intente encontrar analogías, similitudes entre ellas. Inicie fijando un valor 
para “n” (n = 3,4) y varíe los coeficientes. 
Anote, ¿Qué aspectos de la gráfica se modifican al modificar alguno de esos parámetros? 
Luego, fije los coeficientes y varíe el valor de “n”. 
 
OPERACIONES CON FUNCIONES: 
a) Igualdad de funciones: 
Consideremos dos funciones reales f y g. diremos que f y g son iguales si y solo si: 
i) Dom(f) = Dom(g). 
ii) f(x) = g(x)  x  Dom(f) = Dom(g). 
b) Producto de una función por un número real: 
El producto de un número real "k" por una función "f" es una función "k • f" tal que a cada valor 
x
y
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
-10
-5
0
5
10
 
y = x 3 – 2x 2 – 5x + 6 
y = - x 3 – 2x 2 + 5x + 6 
 
 20 
"x" le asocia k veces el valor que le corresponde mediante f; es decir: 
 ( k.f )(x) = k.f(x) 
c) Suma de funciones: 
La suma de dos funciones "f" y "g", que representamos por "f+g" es una nueva función tal 
que a cada x del dominio común de ambas funciones le hace corresponder la suma de los 
valores mediante f y mediante g; es decir: 
 (f + g)(x) = f(x) + g(x) ,  x  Dom(f)Dom(g). 
d) Producto de funciones: 
El producto de dos funciones "f" y "g", que representamos por "f • g" es una nueva función tal 
que a cada x del dominio común de ambas funciones le hace corresponder el producto de 
los valores mediante f y mediante g; es decir : 
 (f.g)(x) = f(x) • g(x) ;  x  Dom(f)Dom(g). 
e) Cociente de funciones: 
Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se 
llama función cociente de f y g a la función denotada por f/g y definida por: 
 (f/g)(x) = f(x) / g(x) ;  x  Dom(f)Dom(g) - { x / g(x) = 0 }. 
 
EJERCICIOS RESUELTOS: 
1. Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4. Hallar la función f + g y calcular las imágenes 
de los números 2 y -3. 
Solución: 
La función f + g se define como: (f + g) (x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3. 
Dom(f+g) = IR IR = IR. 
(f + g) (2) = 5 · 2 - 3 = 7 ; (f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18 
Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el 
resultado es el mismo. 
 
2. Dadas las funciones f (x) = x 2 – 3 , y g(x) = x + 3 , definir la función (f - g)(x). Calcular las 
imágenes de -2 y 0 mediante la función f - g. 
Solución: 
 .6xx)3x(3x)x(g)x(f)x)(gf( 22 −−=+−−=−=− ; Dom(f - g) = IR IR. 
 Calculamos los valores pedidos: .06)2()2()2)(gf( 2 =−−−−=−− y 
 .66)0()0()0)(( 2 −=−−=− gf 
3. Dadas las funciones 3
2
x
)x(f −= y 1x2)x(g += Hallar la función: f• g. 
Solución: 
3x
2
11
x)1x2)(3
2
x
()x(g)x(f)x)(gf( 2 −−=+−=•=• ; Dom (f.g) = IR. 
La función f /g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula. 
 
 21 
Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y 
multiplicando después, se obtienen los mismos resultados. 
 
4. Dadas las funciones f(x) = -x - 1, y g(x) = 2x + 3, definir f/g. 
Solución: 
3x2
1x
)x(g
)x(f
)x(
g
f
+
−−
==





 ; 











 −−=
2
3
IR
g
f
Dom . 
La función f / g está definida para todos los números reales, salvo para x = - 3/2, donde la 
función g se anula. 
6. Dada la función .2xx)x(f 2 −+= Calcular : 3f y (1/8) f. Obtener las imágenes de los números 
1 y 0 mediante la función 3f. 
Solución: 
(3.f)(x) = 3f(x) = 3( 22 −+ xx ) = 633 2 −+ xx . 
((1/8).f)(x) = (1/8)f(x) = (1/3)( 22 −+ xx ) = .
4
1
3
8
1
8
1 2 −+ xx 
En ambos casos el dominio es IR. 
(3.f)(1) = 3f(1) = .06)1(3)1(3 2 =−+ ; (3.f)(0) = 3f(0) = .66)0(3)0(3 2 −=−+ 
 
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES: 
Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las funciones f y g, 
y se escribe g o f, a la función definida de IR en IR, por una nueva función que representamos 
por g f, definida del siguiente modo: 
i) Dom (g f) = { x / x Dom (f)  f(x)  Dom (g) }. 
ii) ( g f )(x) = g[ f( x ) ]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La función (g  f)(x) se lee: “f compuesto con g aplicado a x “. 
g[f(x)]f(x)x
C
g
B
f
A
→→
⎯→⎯⎯→⎯
 
Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x). 
¡Es importante resaltar que la condición de existencia de la composición es el hecho que : el rango 
de f tenga elementos comunes con el dominio de g!. 
Dom g Ran f 
 
. 
 
x . g(f(x)) 
. 
 
Y g f 
A B 
C 
 
 22 
Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta: 
Para obtener la imagen de lafunción compuesta g o f aplicada a un número x, se siguen estos 
pasos: 
1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x). 
2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado 
obtenido anteriormente. 
 
 
EJERCICIOS RESUELTOS: 
1. Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x 2. Calcular g o f. 
 Solución: 
    2)3(3)())(( +=+== xxgxfgxfg  
IR IR f⎯→⎯ IR IR g⎯→⎯ 
3xf(x) x +=→ 23)(x3)g(xg[f(x)] +=+=→ 
 
2. Dadas las funciones f(x) = x 2 + 1, y g(x) = 3x - 2, calcular: 
a) (g o f ) (x) ; b) (f o g ) (x) ; c) (g o f ) (1) y (f o g ) (-1). 
Solución: 
a) La función gof esta definida por: 
 
 
 1x323x3 22 +=−+= . 
Dom (g o f) = IR. 
 
b) La función f  g esta definida por: 
 
 
Se observa que g o f  f o g. 
Dom (g o f) = IR. 
 
FUNCIONES: INYECTIVA, SOBREYECTIVA Y BIYECTIVA. 
a) Función inyectiva (uno a uno): 
Sea f función de A en B, entonces f es inyectiva si y sólo si a elementos distintos de A, 
les hace corresponder imágenes distintas en B. 
f es inyectiva  (  x, y Dom(f) : f ( x ) = f ( y )  x = y ) 
Es decir, se verifica que dos puntos distintos del dominio no pueden tener la misma imagen. 
 
 
 
 23 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
b) Función sobreyectiva (o sobre): 
Sea f función de A en B , entonces f es sobreyectiva si y sólo si cada elemento de B es 
imagen , de al menos un elemento de A bajo f , es decir: 
f es sobreyectiva  Ran f = B 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
c) Función biyectiva: 
Sea f función de A en B, entonces f es biyectiva si y sólo si f es inyectiva y 
sobreyectiva a la vez, es decir, cada elemento de B es imagen de un y sólo un elemento de 
A, bajo f. 
f es biyectiva  f es inyectiva  f es sobreyectiva 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
Ejercicio: 
1. Comprobar analíticamente si las siguientes funciones son inyectivas o no: 
a) f(x) = x. b) f(x) = (x-1) / (x+1). 
 c) f(x) = x 2 d) f(x) = - x2 +2; x [1,6] 
 
FUNCION INVERSA 
 Sea “f” una función. Entonces, existe la función inversa f-1 de f si y sólo si f es biyectiva. 
Dada una función real de variable real "f", llamamos función inversa de f y la representamos por 
"f -1" a una función que verifica: f  f-1 = I  f-1 f = I 
Es decir, 
 (f  f--1 ) (x) = x  (f--1 f)(x) = x 
En este caso: Dom (f--1 ) = Ran (f ) ; Ran (f--1 )= Dom (f) . 
Sean los conjuntos A = {a, b, c, d} y 
B = {m, n, p, q, r, s}. La función, f de A en 
B es inyectiva. 
f 
Sean los conjuntos A = {a, b, c, d} y 
B = {m, n, p, q, r, s}. La función, f de A en 
B es sobreyectiva. 
Note que un elemento del rango puede 
corresponder a más de un elemento en el 
dominio. 
Sean los conjuntos A = {a, b, c, d} y 
B = {m, n, p, q, r, s}. La funcion, f de A 
en B es biyectiva. 
f 
f 
 
 24 
Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada: 
o Despejar la variable independiente x. 
o Intercambiar la x por la y, y la y por la x. 
o La nueva fórmula, es la regla de correspondencia de la función inversa de la función dada. 
A continuación se muestra las gráficas de dos funciones inversas, las mismas que son simétricas 
respecto de la bisectriz (función identidad) del primer y tercer cuadrante que actúa como si se 
tratara de un espejo. 
 
EJEMPLOS: 
1. Hallar la función inversa de y = 5x – 2. 
Solución: 
De y = 5x – 2, despejamos x: x = (y + 2) / 5. 
Luego se intercambian ambas variables: y = (x+2) / 5. 
Por tanto la función inversa es: 
 f -1(x) = (x+2) / 5. 
 
2. Hallar la función inversa de xy = y representa las gráficas de ambas funciones en el mismo 
sistema de ejes. 
Solución: 
El dominio de la función es todos los 
Números reales no negativos. Es decir, 
Dom (f) = [0, +  ). 
Despejando x: x = y 2 . 
Intercambiando las variables: y = x 2. 
La función inversa es: f -1 (x) = x 2. . 
 
3. Hallar la función inversa de y = - x + 4, y graficar ambas funciones en el mismo sistema de ejes. 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
f -1
x
y f
(a,b) 
(b a)
 
Despejamos x : x = - y + 4. 
Intercambiamos ambas variables: 
y = - x + 4. Observe que la función f 
dada coincide con su inversa f -1. 
f -1
x
y 
f
 
f -1 : y = -x 
y
f: y = -x 
 
 
 25 
EJERCICIOS RESUELTOS 
1. Calcula la función suma de las siguientes funciones con sus dominios respectivos: 
a) f(x) = x2 + 1, y g(x) = - 2x2 + 4 
 Solución: 
 (f+g)(x) = x2 + 1 - 2x2 + 4 = - x2 + 5 ; Dom (f+g) = IR. 
 
b) f(x) = (x+1)/x; g(x) = (-x+1)/(x-1) 
Solución: 
(f+g)(x) =
xxx
xxxx
x
x
x
x 1
)1(
)1()1)(1(
1
11
=
−
+−+−+
=
−
+−
=
+
. 
Además: Dom f = R – {0}; Dom g = R – {1}. 
Luego, Dom (f+g) = R – {0} R – {1} = R – {0, 1} 
 
Observación: 
Observe que el dominio de la función resultante sólo sería toda la recta real salvo el cero, 
que no coincide con la intersección de los dominios. A pesar de esto no debes calcular el 
dominio trabajando con la función resultante sino con la intersección. 
2. Dadas las funciones f(x) = x+1 y g(x) = x+2, calcular el producto y el cociente con sus dominios 
respectivos. 
Solución: 
(f.g)(x) = (x+1)(x+2) = 232 ++ xx . 
Calculamos su dominio : Dom (f.g) = IR  IR = IR. 
(f/g)(x) = 
2
1
+
+
x
x
. Calculamos su dominio : Dom (f/g) = IR- {- 2}, puesto que el (-2) anulará el 
denominador de la función cociente. 
 
3. Estudiar la existencia de la función compuesta de las siguientes funciones y en caso afirmativo 
calcularla: f(x) = x+1; g(x) = x2+1 
Solución: 
En este caso el dominio de la función g es todo IR. Cuando esto ocurra, la función 
compuesta existe y el dominio de la misma coincidirá con el dominio de f. 
Por tanto, en este caso la función compuesta existe y 
 Dom (gof) = Dom (f) = IR 
Además 
gof(x) = g(f(x)) = (f(x))2+1 = (x+1)2+1 = x2+2x+1+1 = x2+2x+2. 
 
4. Estudiar la existencia de gof : f(x) = 
1x
1x
−
+
 ; g(x) = 2x . 
Solución: 
 
 26 
En este caso, Dom (g) = IR luego la función gof existe siendo además 
 Dom (gof) = Dom (f) = (  ( )+−− ,11, . 
Calculamos la regla: 
 ( )
1x
1x
1x
1x
f(x) g(f(x)) (x)fg
2
2
−
+
=
−
+
=== . 
 
5. Calcular, si es posible, la función inversa de f(x) = 
1x
2x
+
−
. 
Solución: 
En primer lugar debemos estudiar si la función es inyectiva o no: 
)12)(x(y1)2)(y(x
1y
2y
1x
2x
f(y)f(x) +−=+−
+
−
=
+
−
= 
 xy + x – 2y – 2 = xy – 2x + y – 2  x = y. 
Con esto queda probado que la función f es inyectiva y por tanto existe f -1. 
Calculémosla: 
De y = f(x) = (x-2)/(x+1), despejamos x : y(x+1) = x – 2 
 x = 
1y
2y
−
−−
. Intercambiando variables : 
 f -1 (x) = 
1x
2x
−
−−
. 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
1. Calcular las funciones suma y diferencia de las siguientes 
funciones con sus dominios respectivos: 
 a) f(x) = x ; g(x) =
x
1x +
; b) f(x) = 1x − ; g(x) = 
4x
1x
−
−
 
2. Calcular el producto y el cociente en los siguientes casos: 
a) f(x) = 
4x
3x
+
−
; g(x) = 
3x
4x
+
−
 b) f(x) = 52x − ; g(x) = 9x2 − 
3. Dadas las funciones f(x) = 3x-7 y g(x) = 2x+k, determinar k para que gof = fog. 
4. Dadas la funciones f(x) = 1x + y g(x) = 
5x
1x2
+
−
. Calcular, si es posible, la función gof. 
5. Dada la función f(x) = 2- 1/x. Comprobar que (fofof)(x) = x. 
6. Estudiar las funciones gof y fog en el caso: f(x) = 
2x
3x
−
+
 y g(x) = 
4x
3x
2 −
+
 . 
7. Calcular si es posible la función inversa de f(x) = 
2x
12x
+
−
. 
8. ¿Existe la función inversa de f(x) = x2 - 3? 
9. Dada la función f(x) = 4x - 6; se pide: 
 a) calcular f -1 ; b) Calcular f -1(f(3)) y f(f -1(3)).27 
10. Dadas las funciones f(x) = x2+1 y g(x) = 2x+4. Calcular sus inversas si es posible. 
 
.4. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es posible dar sentido a expresiones tales como 2 , 23 y estimar su valor a partir de una 
aproximación del exponente irracional. Las propiedades antes mencionadas se extienden para el 
caso en que n y m son números reales cualesquiera. 
Ahora, definamos la función exponencial. 
 
FUNCIÓN EXPONENCIAL 
Definición: 
Dado a > 0, llamamos función exponencial de base a a la función f: IR → (0, + ) definida 
por f (x) = ax . 
Su comportamiento es muy distinto según sea a > 1, a < 1, a = 1. 
 
Ejemplo: 
 Analizamos las gráficas de la función Exponencial de acuerdo al valor de la base a. 
a) Si a > 1, por ejemplo, a = 2, y = 2x 
 b) Si 0 < a < 1, por ejemplo y = 
x
2
1






. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Algunas propiedades de potenciación 
Potencias de exponente natural: an = 
veces n
 a .... a . a . a n  N 
Potencias de exponente nulo: a0 = 1 ( a  0 ) 
Potencias de exponente entero negativo: a-n = 
na
1
, n  N , ( a  0 ) 
Potencias de exponente fraccionario: am/n = 
n ma , m  Z , n  N 
y conocemos sus propiedades básicas: 
an . am = an+m 
(an)m = an.m n , m  Q 
 
 28 
x 2x 
x






2
1
= x2
1
 
0 1 1 
1 2 ½ 
2 4 ¼ 
3 8 1/8 
-1 1/2 2 
-2 1/4 4 
-3 1/8 8 
... 
 
... 
 
... 
 
 
 
OBSERVACION: 
La función f(x) = ax es inyectiva y siempre pasa por el punto (0,1). 
 
FUNCIÓN LOGARÍTMICA: 
Veamos como resolvemos la siguiente ecuación: 
Ejemplos: 
Resolver 3010 x1 =− 
Solución: 
3.2.510 x1 =− (Descomponemos 30 en factores) 
como potencia de 10, lo que nos permitiría resolver la ecuación. 
Nuestra pregunta es: ¿cómo podemos resolver ecuaciones del tipo 
10x = k?, o en general ¿ax = k? 
 
Podremos hacerlo si conocemos la función inversa de y = 10x . A esta nueva función se la llama 
función logarítmica en base 10 y se denota y = log10 x. 
 
Ahora, podemos decir que, si 10x = k entonces x = log10 k. 
Es decir, el logaritmo de un número en base 10 es el exponente al que hay que elevar la base 10 
para obtener dicho número. 
 
Función Logarítmica: 
Definición: Se llama función logarítmica a la función real de variable real: Rf →+),0(: , definida 
por: y = loga(x). a>0, a  1. 
La función logarítmica es una aplicación biyectiva. 
o La función logarítmica sólo está definida sobre los números positivos. 
o Los números negativos y el cero no tienen logaritmo 
o La función logarítmica de base a es la inversa de la función exponencial de base a. 
En las siguientes figuras se muestran las gráficas de la función logaritmo, 
La tabla adjunta de valores nos 
permite hacer un estudio 
comparativo de estas dos 
funciones. 
Así, se aprecia que ambas pasan 
por el punto (0,1). 
Si y = 2x, la función es creciente. 
Si y = 
x
2
1






, es decreciente. 
 
 29 
a > 1 0 < a < 1 
 
 
Definición: 
Sea a > 0 y a  1,  y > 0, llamaremos logaritmo en base a de y al único número x que 
verifica ax = y . Es decir, 
loga y = x  ax = y . 
Ejemplo: 
Para cada una de las siguientes igualdades exponenciales escribir la correspondiente igualdad 
logarítmica. 
a) 27 = 128 
Solución: 
27 = 128  aplicando logaritmos en base 2, log2 (128) = 7. 
b) 81/3 = 2 
Solución: 
81/3 = 2  aplicando logaritmos en base 8, log8 (2) = 
3
1
. 
Ejemplo: 
Calcular el valor de, 
a) log2 16 
Solución: 
log2 (16) = y  2y = 16 = 24  igualando los exponentes, y = 4. 
b) log2 32 
Solución: 
log2 32 = y  2y = 32 = 25  igualando los exponentes, y = 5. 
Ejemplo: 
Resolver 101-x = 30 
Solución: 
101-x = 30  1 - x = log10 30  1.47712. Luego x  - 0,47712 
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 
1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores 
loga (x . y) = loga x + loga y 
2. El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base 
loga (xy) = y . loga x 
 
 30 
3. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del 
denominador: loga 





y
x
 = loga x - loga y 
4. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz. 
loga 
y x = 
y
1
 loga x = 
y
 xloga 
 
Observemos los siguientes hechos importantes: 
1. El logaritmo de la base es siempre 1 
loga a = 1 ¿por qué? 
2. El logaritmo de 1 es 0 en cualquier base 
loga 1 = 0 ¿por qué? 
 
Ejemplos: 
Calcular: 
a) log2 (8 . 4) 
Solución: 
log2 (8 . 4) = log2 8 + log2 4 = 3 + 2 = 5 
b) log4 (
64
1
) 
Solución: 
log4 (
64
1
) = log4 1 - log4 64 = 0 - 3 = -3 
Cambio de Base: 
Las calculadoras científicas permiten solamente obtener logaritmos decimales y neperianos. Los 
logaritmos decimales son los logaritmos de base 10, y se acostumbra denotar 
 log10 x = log x omitiendo la base. 
El logaritmo neperiano o natural es el logaritmo cuya base es el número e  2,7182 y se denota 
loge x = ln x . 
Si queremos calcular logaritmos en otra base, es conveniente realizar un cambio de base. 
 
Ejemplo: 
Calcular log2 3 
Solución: 
Sea x = log2 3 , entonces 2x = 3, aplicando logaritmo decimal a ambos miembros obtenemos x log 
2 = log 3, finalmente, x = 
2 
3 
log
log
  1,5849 . 
El procedimiento general es: 
y = loga x, entonces ay = x. Luego, aplicamos logaritmo en la base b, 
y logb a = logb x. Despejando y, 
 
 31 
 y = 
alog
 xlog
b
b 
 
EJERCICIOS RESUELTOS: 
1. Graficar las funciones exponenciales siguientes: 
 a) y = 2 
x
 b) y = – 2 
x 
Solución: 
Las gráficas se pueden apreciar en el cuadro siguiente. La función y = 2 x de color rojo, 
mientras que la función y = 2 x de color azul. 
x
y
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
 
 
2. Graficar las funciones exponenciales siguientes: 
a) y = 2
x
 b) y = – 
x
2
1






 
Solución: 
Las gráficas se pueden apreciar en el cuadro siguiente. La función y = 2 x de color rojo, mientras 
que la función y = – 
x
2
1





 de color azul. 
x
y
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
 
 
3. Graficar las funciones exponenciales siguientes: 
a) y = 2 
x
 b) y = 2 
3 x c) y = 2 
0.5 x
 
Solución: 
 
 32 
Las gráficas se pueden apreciar en el cuadro siguiente. La función y = 2 x de color rojo, 
mientras que la función y = 2 
3 x de color azul. La función y = 2 
0.5 x de color verde. 
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
 
 
4. Graficar las funciones exponenciales siguientes: 
a) y = 2 
x
 b) y = 2,5 × 2 
x
 c) y = 0,4 × 2 
x
 
Solución: 
Las gráficas se pueden apreciar en el cuadro siguiente. La función y = 2 x de color rojo, 
mientras que la función y = 2,5 × 2 
x de color azul. La función y = 0,4 × 2 
x de color verde. 
 
x
y
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
1. La población de una ciudad se triplica cada 50 años. En el tiempo t = 0, esta población es de 
100000 habitantes. Dar una fórmula para la población P(t) como función del tiempo t. ¿Cuál 
es la población después de 
a) 100 años?. b) 150 años?. c) 200 años?. 
 
2. Las bacterias en una solución se duplican cada 3 minutos. Si hay 104 bacterias al comienzo, 
dar una fórmula para el número de bacterias en el tiempo t. ¿Cuántas bacterias hay después 
de: 
a) 3 minutos?. b) 27 minutos?.c) 1 hora?. 
 
3. Graficar las siguientes funciones. 
a) y = 3 . 2x c) y = - 3x 
 
 33 
b) y = 3x - 2 d) y = - 
2
1
 . 3x 
 
4. Resolver aplicando la definición de logaritmo. 
a) log5 25 + log2 
4
1
 c) log2 2 + log3 
3 4 3 - log 0.001 
b) log 1000 - 
3
1
 log1/2 1 
 
5. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas 
a) log x = 3 log 2 
b) log x - log 3 = 2 
c) 5 log x - log 32 = log 
2
x
 
d) 2 log x = log 
2
x
 - 
5
3
 
6. Una población de bacterias crece de acuerdo a la fórmula B(t) = c e kt donde c y k 
son constantes y B(t) representa el número de bacterias en función del tiempo. En el 
instante t = 0 hay 106 bacterias. ¿En cuánto tiempo habrá 107 bacterias, si en 12 
minutos hay 2 . 106 bacterias?. 
 
7. En 1900 la población de una ciudad era de 50000 habitantes. En 1950 había 100000 
habitantes. Asumamos que el número de habitantes en función del tiempo se ajusta a la 
fórmula P (t) = c e kt donde c y k son constantes. ¿Cuál fue la población en 1984? ¿En 
qué año la población es de 200000 habitantes? 
8. El azúcar se descompone en el agua según la fórmula A (t) = c e -kt donde c y k son 
constantes. Si 30 kilos de azúcar se reducen a 10 kilos en 4 horas, ¿cuánto tardará en 
descomponerse el 95% del azúcar?. 
10. ¿Qué relación debe existir entre a y b para que se verifique que log a + log b = 0? 
 
4.5. APLICACIONES: INTERES COMPUESTO 
INTERESES: 
Se llama interés al beneficio que se obtiene al prestar una cantidad de dinero, capital, durante un 
cierto tiempo. Es decir, el interés es la diferencia entre el capital final y el capital inicial. 
El interés que produce un capital depende del tiempo que esté invertido o prestado, de forma que el 
interés I producido por un capital C es directamente proporcional al tiempo que esté invertido, y 
también directamente proporcional al capital C. Entre el interés que produce un capital en un 
periodo de tiempo y el capital inicial hay, por tanto, una cierta relación. 
 
Ejemplo: 
e) log 
210 3
 - 21 2
+x
x
 = 2 
f) 10 log 5 x - 5 log 5 x + 5 = 0 
g) log 3 x2 + log 3 x - 6 = 0 
h) ln x - ln x3 = 8 
 
 34 
Imagínese que se hace un préstamo de S/. 5000 con el acuerdo de que al cabo de un año se han 
de devolver S/.150 más de la cantidad prestada. 
El interés es de S/. 150 y el capital 5 000 soles. Luego la relación es de 
5000
150
 = 0.03. 
0.03 es el tanto por uno que representa 150 de 5000, que equivale al 3 %. 
Esto quiere decir que de cada 100 soles prestados, al cabo de un año tendrá que devolver 
103, 100 serán para devolver el préstamo y 3 de intereses. Se dice que el dinero está 
prestado a una tasa del 3 %. 
 
TASA DE INTERÉS O RÉDITO: 
Se llama tasa de interés o rédito al tanto por ciento al que está invertido un capital en una unidad 
de tiempo, es decir, al cociente entre el interés producido y el capital, en una unidad de tiempo. 
Equivale al interés que producen 100 soles durante un año, y es un valor fijo. 
Generalmente se toma como unidad de tiempo el año; en caso contrario, ha de especificarse. 
La tasa anual de interés se representa por I y viene expresada como un porcentaje (9 %, por 
ejemplo) o como su equivalente en forma decimal o tanto por uno (0.09). En los cálculos se utiliza 
generalmente esta última expresión, aunque la información se transmita en forma de tanto por 
ciento. 
 
EJEMPLO: 
1. Calcular la tasa de interés a que está 
invertido un capital de S/. 40 000 soles si en un año se han convertido en 43 200 soles. 
Solución: 
El interés producido ha sido: 
43 200 - 40 000 = 3 200 soles. 
La tasa de interés, por tanto será: 
 i = 3200/40 000 = 0.08 
Es decir, la tasa es del 8 %. 
 
TIPOS DE INTERES: 
Imagínese la siguiente situación: dos personas A y B invierten al mismo tiempo un capital C, y con 
una misma tasa de interés i. 
Al cabo de un año, A retira los intereses producidos por el capital y vuelve a dejar el mismo capital 
invertido. En el segundo año, vuelve a retirar los intereses y a invertir el mismo capital, etc. Cada 
año retira los intereses producidos por su capital C durante ese año. 
En cambio, al cabo del primer año, el individuo B no retira el interés, lo invierte junto al capital 
anterior durante un año más. Y así sucesivamente. 
En el primer caso, los intereses producidos son siempre por el mismo capital C. En el segundo 
caso, el capital varía, aumenta. 
 
INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO 
 
 35 
Interés simple: es el que se obtiene cuando los intereses producidos, durante todo el tiempo que 
dure una inversión, se deben únicamente al capital inicial. En el ejemplo anterior, el interés de la 
persona A es un interés simple. 
Interés compuesto: es el que se obtiene cuando al capital se le suman periódicamente (en 
general, los periodos son anuales) los intereses producidos. Así, al final de cada periodo, el capital 
que se tiene es el capital anterior más los intereses producidos por ese capital en dicho periodo. El 
interés de la persona B en el ejemplo, es un interés compuesto. 
 
FÓRMULA DEL INTERÉS SIMPLE 
El interés I que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial C, al tiempo t, y a 
la tasa de interés i: 
I = C · i · t 
donde i está expresado en tanto por uno y t en años. 
 
EJERCICIOS RESUELTOS: 
1. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de S/. 25 000 soles 
invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual. 
Solución: 
Se ha de expresar el 6 % en tanto por uno, y se obtiene 0.06 
 I = C·i·t = 25 000 (0,06)4 = 6 000. 
El interés es de S/. 6 000 soles. 
 
2. Calcular el interés simple producido por S/. 40 000 soles durante 90 días a una tasa de interés 
anual del 5.5 %. 
Solución: 
90 días = (90/360) años = 0.25 años. 
I = C·i·t 
I = 40 000(0.055) (0.25) = 550. Por tanto, I = 550 soles. 
3. Al cabo de un año y medio, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de 
intereses, S/. 970 soles. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2 %. ¿Cuál es el capital 
de dicha cuenta en ese año y medio? 
Solución: 
970 = C(0.02)1.5, entonces: C = 970/0.03 = 32333.33 
El capital ha sido de 32 333.33 soles. 
4. Un préstamo de S/. 20 000 soles se convierte al cabo de un año en S/. 22 400 soles. ¿Cuál es la 
tasa de interés cobrada? 
Solución: 
Los intereses han ascendido a: 22 400 - 20 000 = 2 400 soles. 
Aplicando la fórmula I = C · i · t, se tiene: 
2400 = 20000.i.1, entonces al despejar 0.12
20000
2400
i == 
La tasa de interés es del 12 %. 
 
 36 
5. Un capital de S/. 300 000 soles invertido a una tasa de interés del 8 % durante un cierto tiempo, 
ha supuesto unos intereses de 12 000 soles. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido? 
Solución: 
Aplicando la fórmula I = C · i · t, tenemos 12 000 = 300 000 (0.08) t 
Despejamos t y operamos, t = 0.5
24
12
8)300000(0.0
12000
== 
El tiempo que ha estado invertido es de 0,5 años, es decir, 6 meses. 
 
FÓRMULA DEL INTERÉS COMPUESTO: 
Sea C un capital invertido durante n años a una tasa i de interés compuesto por cada año. 
Durante el primer año el capital C produce un interés I 1 = C · i. El capital final será: 
C 1 = C + Ci = C(1 + i ) 
Después del segundo año, el capital C1 produce un interés 
 I 2 = C(1+i )·i = C(i + i 2). 
El capital final C 2 será: 
C 2 = C 1 + I 2 = C (1 + i ) + C (i + I 2 ) = C (I 2 + 2i + 1) = C · (1 + i ) 2 
Al cabo de n años el capital inicial C, invertido en la modalidad de interés compuesto se convertirá 
en un capital final Cn, 
C n = C (1 + i ) n 
Puesto que el interés es la diferencia entre el capital final y el inicial: 
I = C n - C = C (1 + i ) n - C, y sacando factor común C, tenemos: I = C [(1 + i ) n – 1]. 
La tasa de interés se obtiene despejando en la fórmula de Cn: 
C n = C (1 + i ) n  nn i
C
C
)1( +=  n n
C
C
i =+1  1
C
C
in n −= . 
Aunque la fórmula del interés compuesto se ha deducido para una tasa de interés anual durante n 
años, todo sigue siendo válido si los periodos de conversión son semestres, trimestres, días, etc., 
sin más que convertir éstos a años: 
Si los periodos de conversión son trimestrales, 
4n)
4
i
C(1nC += 
 
EJERCICIOS RESUELTOS: 
1. En qué se convierte un capital de S/. 1 200 000 al cabo de 5 años, y a una tasa de interés 
compuesto anual del 8 %. 
Solución: 
Aplicaremos la fórmula C n = C (1 + i ) n . Se tiene: C = 1200000; n = 5; i = 0.08 
Entonces, C 5 = 1 200 000 (1 + 0.08) 5 = 1 200 000 (1.4693280) = 1 763 193.6 
Por tanto: El capital final es de S/. 1 763 194 soles. 
 
 
 37 
2. Calcular la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital de S/. 1 500 000 
soles para que al cabo de 4 años se haya convertido en S/. 2 360 279 soles. 
Solución: 
C n = 2 360 279; C = 1 500 000; n = 4 
Utilizando la fórmula; 2 360 279 = 1 500 000 (1 + i) 4 . Despejamos i: 
4i)(1
1500000
2360279
+=  1+i = 4
1500000
2360279  1 + i = 1.1199999 
i = 1.1199999 - 1 = 0.1199999 0.12 
La tasa de interés ha sido del 12 %. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Carlos y su esposa desean ir de compras a Plaza San Miguel, Jockey Plaza o Wong de 
Miraflores y pueden ir en bus o taxi. Juan advierte que se esta haciendo tarde y pregunta 
que movilidad toman. La esposa, contesta: primero decidamos en que centro comercial 
vamos a comprar. ¿Cuántas posibilidades de elección existen? 
2. En el semestre 2003 – I, los resultados del examen parcial de matemática en I ciclo de 
Contabilidad de una Universidad fueron como se muestra en la tabla: 
 
N° Código NOTA 
1 2001120200 14 
2 2001125230 11 
3 2001123203 10 
4 2001128205 10 
5 2000145126 13 
6 2000145236 12 
7 2001152204 16 
8 2001165208 08 
9 2000136405 13 
10 2001142231 15 
11 2000045125 15 
12 2001168235 12 
13 2000139462 11 
14 1999203121 07 
Tiempo estimado 2 h. 30 min. 
AUTOEVALUACIÓN II 
a. Establezca la correspondencia: “ … no aprobó 
el examen”. 
b. Hacer el diagrama de la correspondencia. 
c. ¿cuál es el dominio y el rango de la 
correspondencia? 
d. Determinar, ¿Cuáles son los pares que no 
pertenecen a la correspondencia? 
 
 38 
15 2001150140 08 
 
3. Sean A = {Azul, Rojo, Blanco, Verde, Negro, Metalizado}, el conjunto de colores de 
autos. B = {Ferrari, Honda, Williams, Lotus}, el conjunto de marcas de autos. 
Establecer cuántas posibilidades de escoger un auto se tiene? 
 
4. Cuál (es) de las siguientes gráficas representa a una función. 
 
 
 
 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
5.- Dadas las funciones f = (x+1)/(x-2) y g = (x-1)/(x+2), calcular el producto y el cociente 
con sus dominios respectivos. 
 
6. Graficar las funciones exponenciales siguientes: 
a) y = 2 
x
 b) y = 2 
x
 + 3 c) y = 2 
x
 – 3. 
 
7.- En 1990 la población de una ciudad era de 250000 habitantes. A fines de 2002 había 
310 000 habitantes. Asumamos que el número de habitantes en función del tiempo se 
ajusta a la fórmula P(t) = c e kt donde c y k son constantes. ¿Cuál fue la población 
en 1998?. 
8.- En qué se convierte un capital de S/. 642 000 al cabo de 7 años, y a una tasa de 
interés compuesto anual del 11 %. 
 
 
 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
-3 
3 
-4 
4 
 
9 
 
 
6 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
-1 
1 
-2 
2 
1 
 
 
2 
 
 39 
 
 
 
 
1. Consideremos los conjuntos: A = {s, j, w} formado por los centros comerciales. 
B = {b, t} el conjunto formado por los medios de transporte. 
Las posibilidades de elección están dadas por el producto cartesiano de A por B: 
A x B = {(s, b), (s, t), (j, b), (j, t), (w, b), (w, t)}. 
 
2. a) R = {(3,10), (4,10), (8,8), (14,7), (15,8) }. 
 b) 
 
 
 
 
 
 c) Dom R = {3, 4, 8, 14, 15}; Ran R = {07, 08, 10}. 
 d) Los pares que no pertenecen a la relación son: (1,14), (2,11), (5,13), (6,12), (7,16), 
 (9,13), (10,15), (11,15), (12,12), 13,11. 
 
3. A x B = {(Azul Ferrari), (Azul Honda), (Azul Williams), (Azul Lotus), (Rojo Ferrari), 
 (Rojo Honda), (Rojo Williams), (Rojo Lotus), (Blanco Ferrari), (Blanco Honda), 
 (Blanco Williams), (Blanco Lotus), (Verde Ferrari), (Verde Honda), (Verde Williams), 
 (Verde Lotus), (Negro Ferrari), (Negro Honda), (Negro Williams), (Negro Lotus), 
(Metalizado Ferrari), (Metalizado Honda), (Metalizado Williams), (Metalizado Lotus)}. 
 
4. Sólo las gráficas en a) y b) representan a una función. 
 
5. Calculamos el producto: (f.g) (x) = 
4x
1x
2x
1x
2x
1x
2
2
−
−
=
+
−
•
−
+
. 
Calculamos el dominio: Dom (f.g) = (R – {2})  (R – {-2}) = R – {-2,2}. 
(f/g)(x) = 
2)1)(x(x
2)1)(x(x
2)1)/(x(x
2)1)/(x(x
−−
++
=
+−
−+
 
El dominio esta dado por: Dom (f/g) = R – {-2,2, 1}. 
Observa que en la función cociente también hemos quitado del dominio el punto 1 puesto que la 
función g se anula para dicho punto. 
 
6. Las gráficas se pueden apreciar en el cuadro siguiente. La función y = 2 x de color rojo, 
mientras que la función y = 2 
x
 + 3 de color azul. La función y = 2 
x
 – 3 de color verde. 
SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACIÓN II 
 .3 
.4 
.8 
 .14 
.15 
 
.08 
 .07 
.10 
R 
 
 40 
 
 
 
x
y
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
 
 
7. Consideramos la función: P(t) = Ce kt . 
En 1990: 250000 = Cek(0) de aquí, C = 250000. Entonces la función resulta: P (t) = 
250000e kt 
Para determinar el valor de K: En 2002, se tiene 310 000 = 250000e k(12) lo cual implica 
e k(12) = 310000/250000 = 31/25. Aplicando Logaritmo natural: 12K = Ln (31/25) K = 0.02 
La función de población toma la forma: P (t) = 250000e 0.02(t) . 
En 1998: P (8) = 250000e 0.02(8) = 250000e 0.16 = 250000(1.1735) = 293 375 personas. 
 
8. Utilizamos la ecuación: C n = C (1 + i ) n . 
Según los datos: C = 642 000, i = 11% = 0.11, n = 7. 
C 7 = 642000 (1 + 0.11) 7 = 642000(1.11) 7 = 642000(2.076) = 1332792. 
 
 
 
1. Determinar los valores de x , y , z de modo que se cumpla la igualdad en cada caso: 
d) (3x–8y , 4x+3y) = (4–2x–2y , 2x+4y+7) 
e) (5x+2y-4 , -4) = (-1 , 2x-y) 
f) (x3-19 , x2y-6) = (y3 , xy2) 
g) (2x+8y+3z, x+y+z , x-y+z) = (14,5,9) 
h. (4 , 12 , 13) = (x/2 , y-7 , z/3) 
5. Dados los siguientes conjuntos. Hallar y graficar: 
 i) Si A = xR/ x 1  , B = yR/ 2 y  5, Hallar: A x B 
 ii) Si A = xR/ x- 
2
1
 2  , B = xR/ x-1  
2
3
. Hallar: a) A x B b) B x A. 
ACTIVIDADES 
 Desarrolle los siguientes ejercicios ... hasta el domingo... 23:59 min.
 
 41 
iii) Si A = xR/ 4x-3 1  , B = xR/ 
3
2
x -1 2  y 
 C = xR/ x+5 2x+3 . Hallar: 
 a) A x B b) B x A c) B x C 
 a) A x C b) C x B c) C x A 
6. Sea el conjunto S = 2, 3, 4. Si: R1 = (x, y)S2 / y  x  , R2 = (x, y)S2 / y = x  y 
R3 = (x, y)S2 / y – x – 1 = 0 . Hallar el valor de: 
 
)1R(n
)R(n)R(n 32 +
 
8. En cada una de las relaciones siguientes trazar su gráfica y hallar el Dominio y Rango. 
❖ R1 = (x, y) R2 / 3x – 2y + 6 = 0  
❖ R5 = (x, y) R2 / x2+y29  x+2y4  
❖ R6 = (x, y) R2 / x2+y2 4  y3x-1  
❖ R7 = (x, y) R2 / y  x2 , -1x 1 
❖ R8 = (x, y) R2 / 4y+x2-4x=0  
❖ R9 = (x, y) R2 / 4x2+4y2-12x+24y+9>0  
❖ R10 = (x, y) R2 / y2-6y-4x<0  
❖ R11 = (x, y) R2 / 2x - 3y – 6  0  
R12 = (x, y) R2 / y  3x  
9. Hallar el dominio de las siguientes funciones: 
j) 4
3
)(
2 −
+
=
x
x
xf
 k) f(x) = 1
2
2 ++ xx
x
 l) 2
1
)(
2
+
−
=
x
x
xf
 
m) F(x) = 
3 1+x 
n) f(x) = 3
1
+
+
x
x
 o) 252
1
)(
2 +−
=
xx
xf
 
 
10. Calcular (g f)(x) y (f g)(x), siendo f y g las siguientes funciones: 
 a) f(x) = x+3 , g(x) = x + 1 ; b) f(x) = x2 + 1 , 
2
2-x
 (x)g =c) 
1x
1
 (x)f;2x (x)g
2 −
=+= ; d) 
2x
1
 (x)g;1x (x)f
−
=−= 
 
 
 
 
 
 
 42 
 
 
 
 
 
 
 
 
• WEBER, Jean E. 
 MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA. 
 Edit. Harla – México, 1996. 
 
• PURCELL, Varberg 
 CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA. 
 Edit. Prentice Hall. México. 1995. 
 
• HOFFMAN LAURENCE Y BRADLEY GERALD. 
 Cálculo Aplicado a Administración, Economía y Ciencias Sociales. 
 Sexta edición. Edit. McGraw Hill, 1998. 
 
• HAEUSSLER, Ernest F. 
MATEMÁTICAS PARA ADMINISTRACIÓN, ECONOMÍA, CIENCIAS SOCIALES 
 Y DE LA VIDA. 
 Edit. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. 1997. 
 
• FRANK S. BUDNICK. 
Matemáticas aplicadas a la Administración Economía y Ciencias Sociales. 
Ed. Mc Graw Hill. 1990. 
 
• SWOKOWSKI Y COLL. 
 Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. 
 Grupo. Ed. Iberoamérica. 1997. 
 
 
REFERENCIAS 
BIBLIOGRAFICAS