Diseno de Experimentos y Regresion

PUCMM

Belkys Sugilio
en 9/4/2025
Material
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Laboratorio 
de 
Estadística
Diseño de 
Experimentos y 
Regresión
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE
INGENIEROS INDUSTRIALES
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
Edición Curso 23/24
DISEÑO DE EXPERIMENTOS Y MODELOS DE REGRESIÓN
Departamento de ingeniería de organización,
administración de empresas y estadística.
PROGRAMA
1. Análisis de la varianza. Comparación de dos tratamientos. La hipóte-
sis de normalidad, independencia y homocedasticidad. Estimación. Contraste
de igualdad de medias. Contraste de igualdad de varianzas. La distribución
F: Comparación de varios tratamientos. Modelo básico. Descomposición de la
variabilidad. Tabla del análisis de la varianza (ADEVA). Contraste de igualdad
de medias. Comparaciones múltiples. Diagnosis de las hipótesis del modelo de
análisis de la varianza. Grá�co probabilista normal. Contrastes de homocedas-
ticidad. Aleatorización.
2. Diseño de experimentos. Modelo con dos factores. Concepto de in-
teracción. Descomposición de la variabilidad. Tabla de análisis de la varianza.
Contraste de igual de medias. Diagnosis de las hipótesis del modelo. El modelo
en bloques aleatorizados. Modelo y estimación. Descomposición de la variabi-
lidad. Tabla de análisis de la varianza.
3. Regresión lineal. Hipótesis del modelo. Estimación de los parámetros por
máxima verosimilitud (mínimos cuadrados). Distribución de los estimadores.
Contrastes individuales de los parámetros del modelo. Contraste general de
regresión. El coe�ciente de determinación. Multicolinealidad: identi�cación y
sus consecuencias. Predicción en regresión simple. Variables cualitativas como
regresores. Diagnosis del modelo.
1
 
Diseño de Experimentos y Modelos de Regresión
1. Análisis de la Varianza
2Análisis de la Varianza
Comparación de dos tratamientos
A B
51,3 29,6
39,4 47,0
26,3 25,9
39,0 13,0
48,1 33,1
34,2 22,1
69,8 34,1
31,3 19,5
45,2 43,8
46,4 24,9
Se desea comparar dos
tratamientos para
reducir el nivel de
colesterol en la sangre.
Se seleccionan 20
individuos y se asignan
al azar a dos tipos de
dietas A y B. La tabla
muestra la reducción
conseguida después de
dos meses.
3Análisis de la Varianza
Método: 4 pasos
- Definición del modelo de distribución
de probabilidad:
·Hipótesis
·Parámetros
- Estimación de los parámetros
- Diagnosis de las hipótesis
- Aplicación
4Análisis de la Varianza
1 2
11
12
11
ny
y
y
22
22
21
ny
y
y
Modelo
M
O
D
E
L
O
D
A
T
O
S
5Análisis de la Varianza
Modelo: Hipótesis y Parámetros
Hipótesis básicas: 
Normalidad
yij N( i, 2)
Homocedasticidad
Var [yij] = 2
Independencia
Cov [yij, ykl] = 0
Parámetros
2
2
1
6Análisis de la Varianza
Modelo
),0(, 2Nuuy ijijiij
Las observaciones se descomponen en:
-Parte predecible
-Parte aleatoria
i
0
iju
7Análisis de la Varianza
Estimación medias:
2
1
2
22
1
1
1
11
2
1
:
:
n
y
y
n
y
y
n
j
j
n
j
j
A B
51,3 29,6
39,4 47,0
26,3 25,9
39,0 13,0
48,1 33,1
34,2 22,1
69,8 34,1
31,3 19,5
45,2 43,8
46,4 24,9
43,1 29,3
8Análisis de la Varianza
Estimación varianza (residuos)
A B
8,2 0,3
-3,7 17,7
-16,8 -3,4
-4,1 -16,3
5,0 3,8
-8,9 -7,2
26,7 4,8
-11,8 -9,8
2,1 14,5
3,3 -4,4
0,0 0,0
Residuos
2
ˆ:
:
),0(,
2
1 1
2
22
2
n
e
s
e
yye
yu
Nuuy
i
n
j
ij
R
ij
iijij
iijij
ijijiij
i
RESIDUO
95.130ˆ;0 2
1
R
n
j
ij sei
9Análisis de la Varianza
Varianza residual: 
1
)(
ˆ
1
2
112
1
1
12
11
1
n
yy
s
y
y
y
j
n
1
)(
ˆ
2
2
222
2
2
22
21
2
n
yy
s
y
y
y
j
n
1 2
2
2
1 12 2 21 2
1 2
1 1ˆ ˆ ˆ
2 2 2
in
ij
i j
R
e
n ns s s
n n n
2ˆRs
10Análisis de la Varianza
Diferencia de medias: 
),(
1
2
11
1
12
11
1
n
Ny
y
y
y
n
),(
2
2
22
2
22
21
2
n
Ny
y
y
y
n
1 2
2
21
2121
21
2121
2
2
1
2
2121
11ˆ
)()(
)1,0(
11
)()(
),(
n
R
t
nn
s
yy
N
nn
yy
nn
Nyy
21 yy
11Análisis de la Varianza
Contraste de igualdad de medias
211
210
:
:
H
H
/2
02/0
02/0
 rechaza e
 rechaza se No
HStt
Htt
t /2-t /2
/2
tn-2
R.R. R.R
R. Acept.
1-
2
21
21
0 11ˆ
n
R
t
nn
s
yyt
12Análisis de la Varianza
211
210
:
:
H
H
0 rechaza e10.269.2 HS
2.10-2.10
0.025
t18R.R. R.R
69.2
10
1
10
144.11
3.291.43
0t
0.025
Ejemplo: = 0.05
13Análisis de la Varianza
Ejemplo: = 0.01
211
210
:
:
H
H
/2
0 rechaza se No88.269.2 H
2.88-2.88
0.005
t18
R.R. R.R
0.99
69.2
10
1
10
144.11
3.291.43
0t
0.005
14Análisis de la Varianza
211
210
:
:
H
H
69.2
10
1
10
144.11
3.291.43
0t
Nivel crítico (bilateral)
2.69-2.69
0.00740.0074
t18
0147.0)69.2Pr( 18tvalorp
• = 0.05 > p-valor Se rechaza H0
• = 0.01 < p-valor No se rechaza H0
15Análisis de la Varianza
Conclusiones (fijado )
Si |to| > t /2 se dice que
la diferencia de
medias es
significativa. O
simplemente que los
tratamientos son
distintos (tienen
medias distintas).
Si |to| t /2 se dice que
la diferencia de
medias no es
significativa. No hay
evidencia suficiente
para afirmar que las
medias de los
tratamientos sean
diferentes.
16Análisis de la Varianza
No rechazar Ho, no implica que Ho sea cierta
El resultado |to| t /2, (no se rechaza Ho)
no debe interpretarse como que “se ha
demostrado que las dos medias son
iguales”.
No rechazar la hipótesis nula implica que
la diferencia entre las medias 1 - 2 no es
lo suficientemente grande como para ser
detectada con el tamaño muestral dado.
17Análisis de la Varianza
Intervalo de confianza para 
la diferencia de medias: 
2
21
2121
11ˆ
)()(
n
R
t
nn
s
yy
21
21
2/2121
2/
21
2121
2/
11ˆ)(
1}
11ˆ
)()({Pr
nn
styy
t
nn
s
yyt
R
R
t /2-t /2
/2
tn-2
1- /2
18Análisis de la Varianza
Ejemplo: intervalo de confianza
2.10-2.10
0.025
t18
0.025
74.108.13
10
1
10
144.1110.2)3.291.43(
11
ˆ)(
21
21
21
2/2121 nn
styy R
21
Dos tratamientos con R
19Análisis de la Varianza
Otra forma
20Análisis de la Varianza
21Análisis de la Varianza
Ejemplo: Comparación Altura
22Análisis de la Varianza
23Análisis de la Varianza
24Análisis de la Varianza
Ejemplo: Comparación Altura
25Análisis de la Varianza
Hipótesis de homocedasticidad 
1
)(
ˆ
1
2
112
1
1
12
11
1
n
yy
s
y
y
y
j
n
1
)(
ˆ
2
2
222
2
2
22
21
2
n
yy
s
y
y
y
j
n
1
1 2
2
2
2
2
11
2
2
2
10
:
:
H
H
26Análisis de la varianza
Distribución F 
2
12
1
2
11
1
2
112
1
1
12
11
1
1
ˆ)1(
1
)(
ˆ
n
j
n
sn
n
yy
s
y
y
y
2
12
2
2
22
2
2
222
2
2
22
21
2
2
ˆ)1(
1
)(
ˆ
n
j
n
sn
n
yy
s
y
y
y
1,1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
21
2
1
ˆ
ˆ
)1(
)1(
nn
n
n
F
s
s
n
nF
27Análisis de la varianza
Distribución F
F5,40
F10,40
F20,40
F40,40
F10,10
F10,20
F10,40
F10,80
La media es 1
28Análisis de la varianza
Contraste de igualdad de varianzas 
F /2F1- /2
/2/2
RRRR
1-
R.A. Ho
02/2/10
02/2/10
 rechaza Se , Si
 rechaza se No , Si
HFFF
HFFF
2
2
2
11
2
2
2
10
:
:
H
H
1,12
1
2
1
0
2
2
2
10
21ˆ
ˆ
, cierto es Si
nnF
s
sF
H
29Análisis de la varianza
Ejemplo: Contraste de igualdad de varianzas
0 rechaza se No 03.4,248.0.3441 H
2
2
2
11
2
2
2
10
:
:
H
H
344.1
7.111
18.150
7.111ˆ18.150ˆ
0
2
2
2
1
F
ss
4.030.248
0.0250.025
RRRR
1.34
30Análisis de la Varianza
Ejemplo: Contraste de igualdad de varianzas con R 
31Análisis de la Varianza
32Análisis de la varianza
1.2 Análisis de la Varianza
33Análisis de la varianza
¿Existen diferencias entre las cuatro semillas?
Se desea comparar el rendimiento de cuatro
semillas A,B,C y D. Un terreno se divide en 24
parcelas similares y se asigna al azar cada semilla
a 6 parcelas.
A B C D
229.1 233.4 211.1 270.4
253.7 233.0 223.1 248.6
241.3 219.2 217.5 230.0
254.7 200.0 211.8 250.7
237.2 224.3 207.6 230.0
241.3 202.0 213.7 245.8
242.9 218.7 214.1 245.9
34Análisis de la varianza
Método: 4 pasos
- Definición del modelo de distribución de 
probabilidad:
·Hipótesis
·Parámetros
- Estimación de los parámetros
- Diagnosis de las hipótesis
- Aplicación
35Análisis de la varianza
Modelo
1 2 K
...
11
12
11
ny
y
y
22
22
21
nyy
y
KKn
K
K
y
y
y
2
1
...
36Análisis de la varianza
Hipótesis del modelo
Normalidad
yij N( i, 2)
Homocedasticidad
Var [yij] = 2
Independencia
Cov [yij, ykl] = 0
37Análisis de la varianza
Modelo: Hipótesis y Parámetros
Hipótesis básicas:
Normalidad
yij N( i, 2)
Homocedasticidad
Var [yij] = 2
Independencia
Cov [yij, ykl] = 0
Parámetros
2
2
1
K
38Análisis de la varianza
Modelo: Forma alternativa
),0(, 2Nuuy ijijiij
Las observaciones se descomponen en:
Parte predecible
Parte aleatoria
i
0
iju
39Análisis de la varianza
Estimación medias: Máxima Verosimilitud
K
n
j
Kj
KK
n
j
j
n
j
j
n
y
y
n
y
y
n
y
y
K
1
2
1
2
22
1
1
1
11
:
:
:
2
1
A B C D
229.1 233.4 211.1 270.4
253.7 233.0 223.1 248.6
241.3 219.2 217.5 230.0
254.7 200.0 211.8 250.7
237.2 224.3 207.6 230.0
241.3 202.0 213.7 245.8
242.9 218.7 214.1 245.9
40Análisis de la varianza
Estimación varianza (residuos)
Kn
e
s
e
yye
yu
Nuuy
K
i
n
j
ij
R
ij
iijij
iijij
ijijiij
i
1 1
2
22
2
ˆ:
:
),0(,
RESIDUO
4.142ˆ2
Rs
A B C D
-13.8 14.8 -3.0 24.5
10.8 14.4 9.0 2.7
-1.6 0.6 3.4 -15.9
11.8 -18.7 -2.3 4.8
-5.7 5.7 -6.5 -15.9
-1.6 -16.7 -0.4 -0.1
0.0 0.0 0.0 0.0
Residuos
41Análisis de la varianza
Comparación de medias
La comparación de tratamientos con este modelo
se reduce a comparar las medias 1, 2, ..., K ,
en primer lugar con el contraste:
diferente es una menos Al:
:
1
210
H
H K
42Análisis de la varianza
Descomposición de la 
variabilidad
K
i
n
j
iij
K
i
ii
K
i
n
j
ij
K
i
n
j
iij
K
i
n
j
i
K
i
n
j
ij
K
i
n
j
iiji
iijiij
ij
iijiijijiij
ii
iii
i
yyyynyy
yyyyyy
yyyy
i,j
yyyyyy
n
y
yyyyyuy
1 1
2
1
2
1 1
2
1 1
2
1 1
2
1 1
2
1 1
)()()(
)()()(
)0))(( donde(
 todopara sumandoy cuadrado al elevando
)()(
, restando:)(
43Análisis de la varianza
Variabilidades
n-KeyyVNE
K-yynVE
n-yyVT
K
i
n
j
ij
K
i
n
j
iij
K
i
ii
K
i
n
j
ij
ii
i
1 1
2
1 1
2
1
2
1 1
2
)(
1)(
1)(
libertad de GradosadesVariabilid
)()1(1 KnKn
VNEVEVT
44Análisis de la varianza
Descomposición: ejemplo
229.1 233.4 211.1 270.4 242.9 218.7 214.1 245.9 -13.8 14.8 -3.0 24.5
253.7 233.0 223.1 248.6 242.9 218.7 214.1 245.9 10.8 14.4 9.0 2.7
241.3 219.2 217.5 230.0 242.9 218.7 214.1 245.9 -1.6 0.6 3.4 -15.9
254.7 200.0 211.8 250.7 242.9 218.7 214.1 245.9 11.8 -18.7 -2.3 4.8
237.2 224.3 207.6 230.0 242.9 218.7 214.1 245.9 -5.7 5.7 -6.5 -15.9
241.3 202.0 213.7 245.8 242.9 218.7 214.1 245.9 -1.6 -16.7 -0.4 -0.1
-1.3 3.0 -19.3 40.0 12.5 -11.7 -16.3 15.5 -13.8 14.8 -3.0 24.5
23.3 2.6 -7.3 18.2 12.5 -11.7 -16.3 15.5 10.8 14.4 9.0 2.7
10.9 -11.2 -12.9 -0.4 12.5 -11.7 -16.3 15.5 -1.6 0.6 3.4 -15.9
24.3 -30.4 -18.6 20.3 12.5 -11.7 -16.3 15.5 11.8 -18.7 -2.3 4.8
6.8 -6.1 -22.8 -0.4 12.5 -11.7 -16.3 15.5 -5.7 5.7 -6.5 -15.9
10.9 -28.4 -16.7 15.4 12.5 -11.7 -16.3 15.5 -1.6 -16.7 -0.4 -0.1
= +
Datos Medias Residuos
= +
yyij yyi iij yy
4.230y
45Análisis de la varianza
Variabilidades: ejemplo
204.2847
311.4798)(
2315.7645)(
libertad de GradosadesVariabilid
1 1
2
1
2
1 1
2
n-KeVNE
K-yynVE
n-yyVT
K
i
n
j
ij
K
i
ii
K
i
n
j
ij
i
i
20323
4.28471.47985.7645
46Análisis de la varianza
Interpretación gráfica de la 
descomposición
iij yyyyi
1y
2y
3y
4y
y yyij
47Análisis de la varianza
Distribución de VE
2
1
22
2
2
2
1
1
2
22
2
2
2
1
1
2
21
2
2
///
///
),(
 llamaremos que Si
),(),(
K
K
K
K
K
K
i
i
K
i
iiiij
n
yy
n
yy
n
yy
n
y
n
y
n
y
n
Ny
n
NyNy
i
48Análisis de la varianza
Distribución de VNE
22
1
2
1
2
1
2
2
2
2
22
2
2
11
2
2
22
22
2
11
1
2
1
2
22
1
2
11
1 1
2
2
2
12
2
1
2
22
21
ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)(
ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1(
)()()()(
ˆ
ˆ)1(
1
)(
ˆ),(
21
Knnnn
KKR
KK
n
j
KKj
n
j
j
n
j
j
K
i
n
j
iij
R
n
ii
i
n
j
iij
iiij
K
i
i
i
snsnsnsKn
Kn
snsnsn
Kn
yyyyyy
Kn
yy
s
sn
n
yy
sNy
K
49Diseño Experimentos
Contraste de igualdad de medias
F
RR
Ho rechaza Se Si 0 FF
Ho rechaza se No Si 0 FF)1(;1 MIJKIF
diferente es una menos Al:
:
1
210
H
H K
KnKF
RsK
K
i
yiyin
F ,10 2ˆ)1(
1
2)(
50Análisis de la varianza
Tabla de Análisis de la Varianza
1)(
)(
ˆ)1(
)(
)1/()(1)(
2
2
2
2
22
Total
Residual
osTratamient
FVarianzasLibertadCuadradosFuentes
de Gradosde Suma
2ˆ
nyy
Knyy
sK
yyn
KyynKyyn
ij
iij
R
ii
iiii
Rs
51Análisis de la varianza
Tabla de Análisis de la Varianza
235.7645Total
4.142204.2847Residual
2.113.159931.4798osTratamient
FVarianzasLibertadCuadradosFuentes
de Gradosde Suma
Ejemplo 1: Centeno
52Análisis de la Varianza
ARCHIVO TEXTO: centeno.txt
Análisis de la Varianza con R
53Análisis de la Varianza
Residuos
54Análisis de la Varianza
55Análisis de la varianza
t /2-t /2
/2
tn-K
R.R. R.R
R. Acept. H0
1-
/2
Intervalos de confianza para 
las medias
in
Rs
tiyi
Kn
i
R
ii
i
ii
i
iiiij
t
n
s
y
N
n
y
n
NyNy
ˆ
2/
ˆ
)1,0(
),(),(
2
2
56Análisis de la Varianza
57Análisis de la varianza
Diferencia de medias: 
),(
1
2
11
1
12
11
1
n
Ny
y
y
y
n
),(
2
2
22
2
22
21
2
n
Ny
y
y
y
n
1 2
Kn
R
t
nn
s
yy
N
nn
yy
nn
Nyy
21
2121
21
2121
2
2
1
2
2121
11ˆ
)()(
)1,0(
11
)()(
),(
21 yy
58Análisis de la varianza
t /2-t /2
/2
tn-K
R.R. R.R
R. Acept. H0
1-
/2
Contraste multiples
ji
ji
H
H
:
:
1
0
02/0
02/0
 rechaza e
 rechaza se No
HStt
Htt
Kn
ji
R
ji
ij t
nn
s
yy
t
11
ˆ
Comparaciones múltiples
59Análisis de la Varianza
Diagnosis del modelo
61Análisis de la varianza
1 2 K
...
Modelo
11
12
11
ny
y
y
22
22
21
ny
y
y
KKn
K
K
y
y
y
2
1
...
62Análisis de la varianza
Hipótesis del modelo
Normalidad
yij N( i, 2)
Homocedasticidad
Var [yij] = 2
Independencia
Cov [yij, ykl] = 0
63Análisis de la varianza
Residuos: 
Normales y homocedásticos
),0( 2Nu
yu
uy
ij
iijij
ijiij
A B C D
-13,8 14,8 -3,0 24,5
10,8 14,4 9,0 2,7
-1,6 0,6 3,4 -15,9
11,8 -18,7 -2,3 4,8
-5,7 5,7 -6,5 -15,9
-1,6 -16,7 -0,4 -0,1
0,0 0,0 0,0 0,0
Residuos
0
iijij yye
64Análisis de la varianza
Comprobación de la 
normalidad
Los residuos deben de tener distribución normal. 
Las observaciones originales también, pero cada 
grupo con media diferente, por ello es preciso 
estimar el modelo para descontar a cada 
observación su media y obtener valores con la 
misma distribución. 
Herramientas de comprobación:
Histograma de residuos
Gráfico de probabilidad normal (Q-Q plot)
Contrastes formales (Kolmogorov-Smirnov)
65Análisis de la varianza
Gráfico probabilista normal
Es un gráfico X-Y de los
residuos frente a los
percentiles de la
distribución normal.
La idea básica es que
cuando los residuos
tienen distribución
normal, los puntos
deben formar
aproximadamente
una línea recta.
Pasos:
Ordenar los residuos de 
menor a mayor.
Calcular los percentiles 
de la distribución 
normal
Representar 
nis
n
iY Ri ,...,2,1,ˆ)5.0(1
)()2()1( neee
ii Ye ,)(
66Análisis de la varianza
Gráfico prob. Normal 
(ejemplo)
Q-Q plot
-30,0
-20,0
-10,0
0,0
10,0
20,0
30,0
-30,0 -20,0 -10,0 0,0 10,0 20,0 30,0
Residuos ordenados
Pe
rc
en
til
es
Orden Resid. Probab. Percen. Percen.
i eij (i-0.5)/n N(0,1) N(0, )
1 -18,7 0,021 -2,04 -24,30
2 -16,7 0,063 -1,53 -18,30
3 -15,9 0,104 -1,26 -15,01
4 -15,9 0,146 -1,05 -12,58
5 -13,8 0,188 -0,89 -10,58
6 -6,5 0,229 -0,74 -8,85
7 -5,7 0,271 -0,61 -7,28
8 -3,0 0,313 -0,49 -5,83
9 -2,3 0,354 -0,37 -4,46
10 -1,6 0,396 -0,26 -3,15
11 -1,6 0,438 -0,16 -1,88
12 -0,4 0,479 -0,05 -0,62
13 -0,1 0,521 0,05 0,62
14 0,6 0,563 0,16 1,88
15 2,7 0,604 0,26 3,15
16 3,4 0,646 0,37 4,46
17 4,8 0,688 0,49 5,83
18 5,7 0,729 0,61 7,28
19 9,0 0,771 0,74 8,85
20 10,8 0,813 0,89 10,58
21 11,8 0,854 1,05 12,58
22 14,4 0,896 1,26 15,01
23 14,8 0,938 1,53 18,30
24 24,5 0,979 2,04 24,30
67Análisis de la varianza
Ejemplos
-3 -1 1 3 5
0,1
1
5
20
50
80
95
99
99,9
-2,6 -1,6 -0,6 0,4 1,4 2,4 3,4
0,1
1
5
20
50
80
95
99
99,9
0 3 6 9 12 15
0,1
1
5
20
50
80
95
99
99,9
0 0,40,8 1,2 1,6 2
0,1
1
5
20
50
80
95
99
99,9
Normal No normal
No normal No normal
68Análisis de la varianza
Comprobación de la homocedasticidad
En el proceso de estimación se ha supuesto que los 
distintos tratamientos tienen la misma varianza.
Herramientas:
- Gráficos de residuos:
·Frente a valores previstos
·Frente a tratamientos (o factor,etc.)
- Contrastes formales:
Bartlett, Cochran, Hartley, Levene
69Análisis de la varianza
Residuos - Valores previstos
En este modelo los valores
previstos corresponden a
la media del tratamiento.
Los puntos deben aparecer
dispuestos al azar en una
banda horizontal alrededor
del eje horizontal.
Heterocedasticidad: a veces
la dispersión aumenta
conforme la media crece.re
sid
uo
s
Valores previstos
-30
-20
-10
0
10
20
30
0 5 10 15
re
sid
uo
s
valores previstos
-30
-20
-10
0
10
20
30
210 220 230 240 250
70Análisis de la varianza
Residuos por tratamientos
A B C D
-25
-15
-5
5
15
25
Re
sid
uo
s
Semilla
En cada grupo los residuos aparecen esparcidos 
con dispersión similar y media cero.
m
áx
.
m
ín
.
3
mín
máx
Diagnosis con R
71Análisis de la Varianza
72Análisis de la Varianza
73Análisis de la varianza
Independencia
Es la hipótesis fundamental y con diferencia la más
importante de las tres, además es la más difícil de
comprobar.
La falta de independencia suele ir ligada a factores no
controlados por el experimentador y que influyen en
los resultados introduciendo errores sistemáticos.
La forma más recomendable de evitar errores
sistemáticos consiste en aleatorizar.
74Análisis de la varianza
Aleatorización
La aleatorización evita que se produzcan
errores que sistemáticamente aumenten o
disminuyan un conjunto de medidas por
causas no reconocibles: al aleatorizar se
reparten estos errores por igual entre los
diferentes tratamientos y se convierten en
errores aleatorios, previstos en el modelo.
75Análisis de la varianza
¿Cómo aleatorizar?
Asignar las unidades experimentales al azar a
los distintos tratamientos.
Aleatorizar el orden de ejecución de los
experimentos.
Aleatorizar respecto a cualquier otra variable
que implique diferenciar a los tratamientos.
“La aleatorización es una precaución contra distorsiones
que pueden ocurrir o no ocurrir, y que pudieran ser
serias o no si llegaran a ocurrir”
Funciones de R utilizadas
76Análisis de la Varianza
Análisis de la Varianza, comparación de 2 tratamientos
1. Se estudian dos tipos de neumáticos con los resultados siguientes:
Tipo ni xi(Km) ŝi(Km)
A 121 27465 2500
B 121 27572 3000
Calcular, con α = 0.01:
a) Un intervalo de confianza para
σ2
1
σ2
2
.
b) Un intervalo de confianza para µ1 − µ2.
2. Se dispone de rendimientos de dos máquinas. Los resultados de la máquina A son 137.5;
14.07; 106.9; 175.1; 177.3; 120.4; 77.9 y 104.2, mientras que los reultados para la B son: 103.3;
121.7; 98.4; 161.5; 167.8 y 67.3. ¿Son las máquinas iguales? (Suponer que los rendimientos
de ambas máquinas siguen distribuciones normales).
3. Un fabricante de automóviles debe elegir entre un determinado tipo de piezas de acero
suministradas por un proveedor A y otras suministradas por otro proveedor B. Para proceder
a la elección se ha analizado la resistencia a la tracción de las piezas suministradas por ambos
proveedores, tomando una muestra de tamaño 10 de las piezas del primero, y otra de tamaño
12 del segundo. La resistencia media de la muestra de A es de 54000 unidades y la de la
muestra de B es de 49000 unidades, siendo las desviaciones t́ıpicas muestrales corregidas
ŝA = 2100 y ŝB = 1900. Las resistencias de las piezas de ambos proveedores se distribuyen
normalmente. Las piezas del proveedor B son más baratas que las del proveedor A, por lo
que estas últimas sólo son rentables si tienen una resistencia media al menos 2000 unidades
mayor que las de B, y la misma variabilidad.
a) ¿A qué proveedor habŕıa que comprar las piezas a la vista de los resultados muestrales?
b) Obtener un intervalo de confianza al 90% para la diferencia de medias de la resistencia
de las piezas de los proveedores A y B.
Análisis de la Varianza, comparación de k tratamientos
1. En una fábrica de automóviles se utiliza una misma planta para el ensamblaje de tres modelos
distintos (A,B y C). Para determinar si los modelos reciben el mismo tratamiento, se ha
realizado un control de calidad a una muestra tomada para cada modelo. El número de
defectos encontrados para cinco veh́ıculos del modelo A son 5, 4, 6, 6 y 7; para seis veh́ıculos
del modelo B son 7, 8, 6, 7, 6 y 5; y para ocho veh́ıculos del modelo C: 9, 7, 8, 9, 10, 11, 10 y
10. Contrastar si existen diferencias en el tratamiento que se da a los distintos modelos.
1
2. Una empresa debe elegir entre cinco procedimientos para fabricar un cierto producto qúımico.
Se sospecha que existen diferencias entre ellos aunque pequeñas. Para detectar estas diferen-
cias se pretende realizar un experimento a gran escala con el mismo número de observaciones
en cada grupo. Para determinar este tamaño muestral se ha realizado un experimento piloto
con 6 observaciones de cada método y los resultados (medias de cada grupo) han sido los
siguientes:
METODO 1 2 3 4 5
Media 425.6 423.2 418.8 430.2 422.2
y la varianza residual ŝ2R = 198.5.
(a) ¿ Cúal debe ser el tamaño muestral del experimento a gran escala para que el contraste
de análisis de la varianza sea significativo con α = 0.01 si el coeficiente de determinación
es igual al del experimento piloto?.
(b) El método A es el procedimiento habitual y el método D es el que se sospecha propor-
ciona mejor rendimiento. Una hipótesis que se pretende contrastar es H0 : µD = µA,
frente a la hipótesis alternativa H1 : µD > µA. ¿ Qué condición debe cumplir la difer-
encia entre las medias muestrales de los dos métodos para rechazar H0 con α = 0.01?
3. Se ha realizado un experimento para estudiar el efecto de un único factor con I niveles
en la variable respuesta y con un número diferente de observaciones en cada tratamiento:
n1, n2, ..., nI siendo el total n = n1 + n2 + · · · + nI . Llamando yij a la observación j del
tratamiento i, i = 1, ..., I, j = 1, 2, ..., ni e ȳi• la media del tratamiento i. Se desea estimar
la media general ¿cuál de los dos estimadores siguientes
y•• =
I∑
i=1
ni∑
j=1
yij
n
, ỹ•• =
I∑
i=1
ȳi•
I
tiene mı́nima varianza? Realiza la comprobación para el caso I = 5, con ni = 3, 2, 3, 5, 6 el
número de observaciones en cada tratamiento. Asumir que las observaciones son independi-
entes y que se cumple la hipótesis de homocedasticidad.
4. Considere la comparación de dos tratamientos en poblaciones normales. Demuestre que el
contraste t para comparar dos medias es análogo al contraste de la F en Análisis de la
Varianza (suponga n1 = n2).
5. Cinco tipos (A, B, C, D y E) de material sintético se han sometido a un ensayo de desgaste.
Para cada tipo de material la prueba se repitio 6 veces. El desgaste medio y la desviación
t́ıpica corregida en cada caso es la siguiente:
A B C D E
media xi 14.1 16.3 13.5 14.8 15.3
d. t́ıpica ŝi 1.3 1.2 1.4 1.2 1.5
2
(a) Contrastar (α = 0.05) la hipótesis
H0 : µA = µB = µC = µD = µE
frente a la hipótesis alternativa,
H1 : alguna media es distinta de las demás.
(b) Indicar con nivel de confianza 0.95 el material con desgaste menor y qué materiales
tienen desgaste medio, distinto.
(c) Obtener un intervalo de confianza con α = 0.01 para la varianza del error experimental.
6. Se desea comprobar el efecto de un tratamiento térmico sobre la resistencia de un nuevo
material. Se han tomado 15 probetas y se han asignado al azar a los tres tratamientos T1,
T2 y T3 obteniendo como medida de resistencia superficial los valores siguientes:
T1 T2 T3
2.65 4.31 4.81
2.67 3.96 5.32
2.46 4.64 4.93
1.90 4.74 5.49
2.62 4.00 4.45
(a) Contrastar mediante el test de análisis de la varianza si existen diferencias significativas
entre los tratamientos térmicos (α = 0.01).
(b) La temperaturadel tratamiento 2 es la media de las temperaturas de los otros dos
tratamientos. Si la relación entre la resistencia y la temperatura es lineal, es de esperar
que la media del tratamiento 2 verifique : H0 : µ2 = 1
2
(µ1 + µ3). Hacer el contraste
bilateral de esta hipótesis con α = 0.05. (Nota.- Usar la distribución de y2−(y1+y3)/2,
donde yi es la media de los datos correspondientes al tratamiento Ti).
7. Un fabricante sospecha que los lotes de materia prima recibidos de un proveedor difieren
significativamente de su contenido en calcio. Elige al azar 5 lotes diferentes y un qúımico
hace cinco determinaciones del contenido en calcio de cada lote. Los resultados obtenidos
han sido
Lote 1 Lote 2 Lote 3 Lote 4 Lote 5
23.46 23.59 23.51 23.28 23.29
23.48 23.46 23.64 23.40 23.46
23.56 23.42 23.46 23.37 23.37
23.39 23.49 23.52 23.46 23.32
23.40 23.50 23.49 23.29 23.38
La tabla de análisis de la varianza se proporciona a continuación. Comparar las medias de
los cinco tratamientos con nivel de significación total αT = 0.10.
3
Análisis de la varianza
Fuente Variabilidad g.l. Var. Media F Nivel cŕıtico
Lote 0.096976 4 0.024244 5.54 0.0036
Residuos 0.08760 20 0.00438
Total 0.184576 24
4
5
Diseño de experimentos:
� Diseños Factoriales
� Bloques Aleatorizados
2.1 Diseños factoriales
(dos factores)
3Diseño Experimentos
Ejemplo
A B C D
0.31 0.82 0.43 0.45
0.45 1.10 0.45 0.71
V 0.46 0.88 0.63 0.66
E 0.43 0.72 0.72 0.62
N 0.36 0.92 0.44 0.56
E 0.29 0.61 0.35 1.02
N 0.40 0.49 0.31 0.71
O 0.23 1.24 0.40 0.38
S 0.22 0.30 0.23 0.30
0.21 0.37 0.25 0.36
0.18 0.38 0.24 0.31
0.23 0.29 0.22 0.33
ANTÍDOTO
I
II
III
Se analiza el efecto de tres venenos y cuatro antídotos 
en el tiempo de supervivencia de unas ratas.
Comandos en R
4Diseño Experimentos
ARCHIVO TEXTO: venenos.txt
…
48 filas
5Diseño Experimentos
Modelo
ijkijjiijk uy
IJm
IJ
IJ
Jm
J
J
Jm
J
J
mI
I
I
mm
mI
I
I
mm
y
y
y
y
y
y
y
y
y
J
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
I
2
1
2
22
12
1
21
11
2
22
21
22
222
221
12
122
121
1
12
11
21
212
211
11
112
111
2
1
21
Factor 1
Fa
ct
or
 2
•Normalidad
•Independencia
•Homocedasticidad
I J tratamientos
m replicaciones
n = m I J
...
1111 2112 11 II
...
1221 2222 22 II
...
JJ 11 JJ 22 IJJI
Factor 1
1 2 I
1
2
J
...
Fa
ct
or
 2
7Diseño Experimentos
Modelo
: Media global
i : Efecto del Factor 1 i, i=1,...,I
j : Efecto del Factor 2 j, j=1,...,J
ij: Interacción de niveles ij
uijk : Componente aleatoria N(0, 2), k=1,…m
I
i i1 0 J
j j1 0
ijkijjiijk uy
jI
i ij ,01
iJ
j ij ,01
8Diseño Experimentos
Estimación del modelo
1:
)1)(1(:
1:
1:
1:
2
j
i
JI
J
I
ij
n
y
y
mI
y
y
mJ
y
y
m
y
y
I
i
J
j
m
k
ijk
I
i
m
k
ijk
j
J
j
m
k
ijk
i
m
k
ijk
ij
1 1 11 11 11
)1(
ˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2
22
mIJ
e
s
yyyy
yy
yy
y
ijk
R
jiijij
jj
ii
Estimación del modelo
9Diseño Experimentos
ijkijjiijk uy
ijkijjiijk ey ˆˆˆ
ijijkijjiijkijk yyye )ˆˆˆ(
g.l.=IJm-IJ=IJ(m-1)
10Diseño Experimentos
Estimación
A B C D
0.31 0.82 0.43 0.45
V 0.45 1.10 0.45 0.71
0.46 0.88 0.63 0.66
E 0.43 0.72 0.72 0.62
0.41 0.88 0.56 0.61
N 0.36 0.92 0.44 0.56
0.29 0.61 0.35 1.02
E 0.40 0.49 0.31 0.71
0.23 1.24 0.40 0.38
N 0.32 0.82 0.38 0.67
0.22 0.30 0.23 0.30
O 0.21 0.37 0.25 0.36
0.18 0.38 0.24 0.31
S 0.23 0.29 0.22 0.33
0.21 0.34 0.24 0.33
ANTÍDOTO
I
II
III
11Diseño Experimentos
Estimación
A B C D Medias
0,31 0,82 0,43 0,45
 0,45 1,10 0,45 0,71
V 0,46 0,88 0,63 0,66
 0,43 0,72 0,72 0,62
E Medias 0,41 0,88 0,56 0,61
 -0,038 0,067 0,032 -0,061
N 0,36 0,92 0,44 0,56
 0,29 0,61 0,35 1,02
E 0,40 0,49 0,31 0,71
 0,23 1,24 0,40 0,38
N Medias 0,32 0,82 0,38 0,67
 -0,060 0,073 -0,080 0,068
O 0,22 0,30 0,23 0,30
 0,21 0,37 0,25 0,36
S 0,18 0,38 0,24 0,31
0,23 0,29 0,22 0,33
Medias 0,21 0,34 0,24 0,33
0,098 -0,139 0,048 -0,007
0,314 0,677 0,389 0,534
-0,164 0,198 -0,089 0,056
II 0,544 0,066
III 0,276 -0,202
ANTÍDOTO
I 0,615 0,136
0,479Medias
iˆ
j
ˆ
ij
ij
ij
12Diseño Experimentos
Residuos
A B C D
-0.103 -0.060 -0.128 -0.160
V 0.038 0.220 -0.108 0.100
 0.048 0.000 0.073 0.050
E 0.018 -0.160 0.163 0.010
 0.00 0.00 0.00 0.00
N 0.040 0.105 0.065 -0.108
 -0.030 -0.205 -0.025 0.353
E 0.080 -0.325 -0.065 0.043
 -0.090 0.425 0.025 -0.288
N 0.00 0.00 0.00 0.00
0.010 -0.035 -0.005 -0.025
O 0.000 0.035 0.015 0.035
-0.030 0.045 0.005 -0.015
S 0.020 -0.045 -0.015 0.005
0.00 0.00 0.00 0.00
III
RESIDUOS
ANTÍDOTO
I
II
022,0
)1(
ˆˆ
2
22
mIJ
e
s ijk
R
k
ijk
ijijkijk
e
yye
0
Estimación con R
13Diseño Experimentos
Estimación con R
14Diseño Experimentos
Otras instrucciones
15Diseño Experimentos
Residuos
16Diseño Experimentos
17Diseño Experimentos
Análisis de la varianza
I
i
J
j
m
k
ijk
I
i
J
j
m
k
jiij
I
i
J
j
m
k
j
I
i
J
j
I
i
J
j
m
k
i
m
k
ijk
ijkjiijjiijk
ijijkjiijjiijk
ijkijjiijkijkijjiijk
eyyyy
yyyyyy
eyyyyyyyyyy
yyyyyyyyyyyy
eyuy
1 1 1
2
1 1 1
2
1 1 1
2
1 1 1 1 1
2
1
2
)(
)()()(
)()()(
)()()()(
ˆˆˆ
I
i
J
j
m
k
ijk
I
i
J
j
jiij
J
j
j
I
i
J
j
I
i
i
m
k
ijk
eyyyym
yymIyymJyy
1 1 1
2
1 1
2
1
2
1 1 1
2
1
2
)(
)()()(
18Diseño Experimentos
Variabilidades
I
i
J
j
m
k
I
i
J
j
m
k
ijkijijk
I
i
J
j
ij
J
j
I
i
ij
I
i
I
i
ii
I
i
J
j
m
k
ijk
eyyVNE
mBAVE
mIyymIBVE
mJyymJAVE
yyVT
1 1 1 1 1 1
22
1 1
2
1 1
22
1 1
22
1 1 1
2
)()(
)()(
)ˆ()()(
)ˆ()()(
)(
19Diseño Experimentos
Descomposición de la variabilidad
)1()1)(1()1()1()1(
)()()(
mIJJIJIn
VNEBAVEBVEAVEVT
DATOS MODELO
20Diseño Experimentos
Contraste de Hipótesis
� Si el Veneno no influye, los I niveles son iguales 
a efectos de tiempo de supervivencia, entonces 
0 de distinto es Algún :
0:
i1
210
H
H I
I21
I
i i1 0
21Diseño Experimentos
Contraste efecto principal de factor A
0 de distinto es Algún :
0:
i1
210
H
H I
222 ]ˆ[
)1(
ˆ RR sE
mIJ
VNEs
222 ]ˆ[
1
)(
ˆ AA sE
I
AVEs cierto, es Ho Si
)1(;12
1
2
2
2
ˆ
1)(
ˆ
ˆ
mIJI
R
I
i
i
R
A
A F
s
IyymJ
s
sF
Ho rechaza Se Si FFA
22Diseño Experimentos
Contraste efecto principal de factor B
0 de distinto es Algún :
0:
j1
210
H
H J
222 ]ˆ[
1
)(
ˆ BB sE
J
BVEs cierto, es Ho Si
)1(;12
1
2
2
2
ˆ
1)(
ˆ
ˆ
mIJJ
R
J
j
j
R
B
B F
s
JyymI
s
sF
Ho rechaza Se Si FFB
23Diseño Experimentos
Contraste interacción AxB
0 de distinto es Algún ij:
0:
1
12110
H
H IJ
222 ]ˆ[
)1)(1(
)(
ˆ ABAB sE
JI
BAVEs cierto, es Ho Si
)1();1)(1(2
2
ˆ
ˆ
mIJJI
R
AB
AB F
s
sF
naninteraccio BA y 
Ho rechaza Se Si FFAB
24Diseño Experimentos
Tabla de análisis de la varianza
1)(Total
ˆ)1(Residual
ˆ
ˆ
ˆ)1)(1()(BA
ˆ
ˆ
ˆ1)(B
ˆ
ˆ
ˆ1)(A
valorpFVarianzaLibertad.CuadradosadVariabilid
de Gradosde SumaFuentes
2
22
2
2
22
2
2
22
2
2
22
nyy
smIJe
ps
s
sJIyyyym
ps
s
sJyymI
ps
s
sIyymJ
ijk
Rijk
ABR
AB
ABjiij
BR
B
Bj
AR
A
Ai
Análisis de la varianza con R
25Diseño Experimentos
Interpretación
La interacción no es significativa
Se interpreta cada factor por 
separado
26Diseño Experimentos
27Diseño Experimentos
Intervalos de confianza 
(interacción nula)
mJ
sty R
ii
ˆ
2/
mI
sty R
ji
ˆ
2/
28Diseño Experimentos 28282828DiDiDiDiseeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeseseseñññoññoñoññññññññññññññññññññoñoñññoññññoñooooooñoooñññooooooñññoñoño EEEEEEEEEEEEExpxpxxpxpxxxxppppxpxpxxpxpxxpppxpxpeeeeereeerererimmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmimimimeneneneneneeenneeennennnnneeennneeneennnnnnnenenentotttotttttttttotttttottttttttttttttttttttttttttototossssssssssssssssssssssssssss
29Diseño Experimentos 29DDiseseseseseseseseseseseseseeesesesssseseeeesesesesesesesesesessesseseeessseseseeesssessesesesssseseeeeeeeeeeesssssseseseesessssseseesesesesseeeeeseeessssseeseesseseeeñooñoooooñññññññññooññññññññooñññññññññññññoooooooñññññññoo Expxxxxxxxxppxxxpxppxpxxxxpxxxxxxxxxxxxx errrrrrrrrrrerrrrrrrrrrrrrerrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrimmmmmmimmimimimmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmimmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmeneennennnneneneneenenenenneneeeeeneeeneeeneeneneneeeeeneeeeeeeeeeeeeeeeenneneennneeeeeeeneenneeeneeeenneeeentotottotototttttotototttotottotottttototttotttttttttottttttotttoototottooooootoooooootoooooottoooooootoooottooottssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss
30Diseño Experimentos
Contrastes múltiples: Factor A
ji
ji
H
H
:
:
1
0
)1(2
ˆ
mIJ
R
ji t
mJ
s
yy
t /2-t /2
/2
tIJ(m-1)
R.R. R.R
R. Acept. H0
1-
/2
),(ˆˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ
22
mJmJ
N
yy
yy
yy
jiji
jiji
jj
ii
Ho
mJ
styy
LSD
Rji
 rechaza Se
2ˆ2/
31Diseño Experimentos 31Diseño Experimentos
32Diseño Experimentos
Contrastes múltiples: Factor B
ji
ji
H
H
:
:
1
0
)1(2
ˆ
mIJ
R
ji t
mI
s
yy
t /2-t /2
/2
tIJ(m-1)
R.R. R.R
R. Acept. H0
1-
/2
),(ˆˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ
22
mImI
N
yy
yy
yy
jiji
jiji
jj
ii
Ho
mI
styy
LSD
Rji
 rechaza Se
2ˆ2/
33Diseño Experimentos 333333333333333333DiDiDiDiDiDDiDDiDiDDiDiiDiDDDiiDiDDDiseseseseseseseseseeseseseseseseseeseseseseseeeeseñoñoñoñoññoññoñññoñoñoñoñoñoññooooñoñoññooooo EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEExpxpxpxpxpxpxpxxxpxxxxpxpxpxxpxpppxpxxxxxpxpppxperererereeereerereererereeeeeerrrer mimimiimimmimimimmimmimimmmmmimimmmmmmmeneneneeneneeneneeeneeneneenentottottotototootototototooooototoooossssssssssssssssssssssssss
� En este ejemplo NO se debe interpretar
porque no es significativa.
� ¿Cómo se haría?
34Diseño Experimentos
Interacción
p q g
��� ¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóómmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo sssseeee hhhhaaaarrrrííííaaaa????
Diagnosis: Sobre residuos
� Normalidad
� Homocedasticidad
� Independencia
35Diseño Experimentos
Diagnosis
36Diseño Experimentos
Conclusión
37Diseño Experimentos
• Se detecta falta de homocedasticidad. Los
tratamientos que tienen media más alta, también
tienen más variabilidad
• Además de aprecia falta de normalidad
• En este caso, la solución es transformar la
variable respuesta (tiempo).
Las transformaciones más usuales: = log= 1=
38Análisis de la varianza
Transformaciones z=h(y) para estabilizar la 
varianza
En la práctica, en la mayoría de los casos, alguna 
de las transformaciones siguientes corrige la 
heterocedasticidad:
· 1/x
· log(x)
· x2 (u otras transformaciones xp)
· x
39Análisis de la varianza
Transformaciones Box-Cox
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0log
1
psiyz
p
y
z
ijij
p
ij
ij
1
ijy
ijz
p = 1
p < 1
p > 1
40Análisis de la varianza
Búsqueda de la 
transformación adecuada
La dispersión 
aumenta al aumentar 
la media
p < 1
La dispersión 
disminuye al 
aumentar la media
p > 1
re
sid
uo
s
Valores previstos
-0,43
-0,23
-0,03
0,17
0,37
0,57
0 0,3 0,6 0,9 1,2
re
sid
uo
s
valores previstos
-1,4
-0,9
-0,4
0,1
0,6
1,1
1,6
0 4 8 12 16
41Análisis de la varianza
Elección de la transformación
Empezar con p=1 (datos sin transformar) y 
decidir a partir de los gráficos si p>1 o 
p<1. 
Parar cuando los gráficos estén ok.
p
ijij yz
2
11
12/1
log0
2/1
1
ij
ij
ij
ij
ijij
ijij
y
zp
y
zp
yzp
yzp
p
Ejemplo: tiempo de supervivencia ratas
42Diseño Experimentos
• Se ha probado = 1/2, = 0 (log ), =1/2, = 1 y se observa que esta última es
una buena opción:
= 1
• La nueva variable es la inversa del tiempo. Se
puede interpretar como una medida de
“efectividad” de actuación del veneno ( número
de animales muertos en intervalos de 10 horas).
43Diseño Experimentos
44Diseño Experimentos
Tabla Análisis de Varianza 1/y
45Diseño Experimentos
- Los efectos principales del factor veneno y del factor
antídoto son muy significativos (p-valor=0.000).
- La interacción no es significativa (p-valor = 0.3867).
46Diseño Experimentos
Diagnosis: homocedasticidad 
datos transformados z=1/y
46Diseño Experimentottttttttttttttttttttttttttttttttttt s
datos transformados z=1/yy
Normalidad y Homocedasticidad ok
47Diseño Experimentos
Comparaciones múltiples 
intervalos de confianza
48Diseño Experimentos
49Diseño Experimentos
Conclusiones
� Ha sido necesario transformar los datos para conseguir
que se cumplan las condiciones de normalidad y
homocedasticidad.
� La transformación utilizada es z = 1/y (inversa del tiempo).
Se puede interpretar como tasa de muertes por hora.
� El análisis de la varianza indica que los efectos principales
de los dos factores (Veneno y Antídoto) son muy
significativos y que la interacción no es significativa (p-valor
=0.38)
� La comparación de medias de los venenos indican que
existen diferencias significativas entre los tres. El más
perjudicial es el III, después el II y finalmente el I.
50Diseño Experimentos
Conclusiones (cont.)
� La comparación de medias de los antídotos indican los
más que reducen de manera más efectiva el efecto del
veneno es el B y el D. Entre ellos no existen diferencias
como se comprueba en el contraste múltiple de medias.
Los antídotos A y C son claramente peores. Son también
diferentes entre sí (el menos recomendable es A).
� No hay interacción, lo que implica que el efecto del
Antídoto no depende del veneno. Para cualquier veneno, el
mejor antídoto es B (o D).
51Diseño Experimentos
52Diseño Experimentos
Ejercicio con Interacción Significativa
� Un investigador quiere estudiar el efecto del sexo (H, M) y
tipo de formación (ciencias, letras) en el dominio del inglés
escrito en profesores universitarios. Para ello se analiza el
nº de incorrecciones gramaticales en artículos científicos
enviados a publicación. Para combinación de niveles de los
factores se han elegido al azar tres profesores. En la tabla
se proporciona el nº de fallos detectados en artículos de 15
páginas. ¿Qué conclusiones pueden extraerse?.
Letras Ciencias
Hombre 8, 6, 13 22, 28,33
Mujer 5,10,6 12,14,9
Comandos en R
53Diseño Experimentos
Análisis de la varianza
54Diseño Experimentos
Con = 0.05 son significativos el sexo, la formación y la
interacción. La diferencia en el número medio de errores
entre Hombres y Mujeres, depende del nivel del otro factor
(si son de ciencias o letras.)
� En este ejemplo es significativa.
55Diseño Experimentos
Interacción: 
- El numero medio de
errores es similar para
Hombres (9) y Mujeres
(7) si son de Letras.
- El número medio de
errores de Hombres
(27.7) es muy superior
al de Mujeres (11.7) si
son de Ciencias
Diagnosis
56Diseño Experimentos
Bloques Aleatorizados
58Diseño Experimentos
Ejemplo de introducción
Se desea estudiar el efecto de la Fluorita en la 
reducción del coste energético en la fabricación de 
cemento. Se emplean 6 mezclas distintas de materias 
primas.
0% 1% 2% 3% 4%
M 1 15.02 11.86 9.94 12.45 13.23
e 2 8.42 10.15 8.54 6.98 8.93
z 3 18.31 16.84 15.86 14.64 15.96
c 4 10.49 10.52 8.04 10.50 10.34
l 5 9.78 9.59 6.96 8.15 9.24
a 6 9.28 8.84 7.04 6.66 9.46
Fluorita
59Diseño Experimentos
Modelo
ijjiij uy
: Media global
i : Efecto del tratamiento i, i=1,...,I
j : Efecto del bloque j, j=1,2,...,J
uij : Componente aleatoria N(0, 2)
IJJJ
I
I
yyyJ
yyy
yyy
I
21
22212
12111
2
1
21
Tratamientos
Bl
oq
ue
s •Normalidad
•Independencia
•Homocedasticidad
I
i i1 0
J
j j1 0
...
11 12 1I
...
21 22 2I
...
J1 J2 JI
Tratamientos
1 2 I
1
2
J
...
Bl
oq
ue
s
61Diseño Experimentos
Estimación del modelo
1:
1:
1:
1:
:Parámetros
2
j
i
J
I
n
y
y
I
y
y
J
y
y
I
i
J
j
ij
I
i
ij
j
J
j
ij
i
1 111
)1)(1(
ˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
:sEstimadore
2
22
JI
e
s
yy
yy
y
ij
R
jj
ii
ijjiij
ijjiij
ey
uy
ˆˆˆ yyyy
ye
jiij
jiijij ˆˆˆ
62Diseño Experimentos
Estimación
yyyyyy
yyyy
yyyyyyJ
yyyyyy
yyyyyy
I
Ii
I
JJIJJJ
I
I
j
21
21
21
2222212
1112111
ˆ
2
1
ˆ21
63Diseño Experimentos
Estimación (ejemplo)
0% 1% 2% 3% 4%
M 1 15.0211.86 9.94 12.45 13.23 12.50 1.77
e 2 8.42 10.15 8.54 6.98 8.93 8.60 -2.13
z 3 18.31 16.84 15.86 14.64 15.96 16.32 5.59
c 4 10.49 10.52 8.04 10.50 10.34 9.98 -0.76
l 5 9.78 9.59 6.96 8.15 9.24 8.74 -1.99
a 6 9.28 8.84 7.04 6.66 9.46 8.26 -2.48
11.88 11.30 9.40 9.90 11.19 10.73
1.15 0.57 -1.34 -0.84 0.46
Fluorita
i
j
64Diseño Experimentos
Residuos: Varianza residual
0% 1% 2% 3% 4%
M 1 1.37 -1.21 -1.22 0.79 0.27
e 2 -1.33 0.98 1.27 -0.79 -0.13
z 3 0.84 -0.05 0.88 -0.84 -0.82
c 4 -0.64 -0.02 -0.60 1.36 -0.10
l 5 -0.11 0.28 -0.45 0.24 0.04
a 6 -0.13 0.02 0.12 -0.76 0.74
Fluorita
yyyyye jiijjiijij ˆˆˆ
88.0
20
51.17
)1)(1(
ˆ
2
2
JI
e
s ij
R
65Diseño Experimentos
Análisis de la varianza
I
i
J
j
I
i
J
j
ijj
I
i
J
j
I
i
J
j
iij
jiijjiij
jiijjiij
ijjiijijjiij
eyyyyyy
yyyyyyyyyy
yyyyyyyyyy
eyuy
1 1 1 1
22
1 1 1 1
22 )()()(
)()()(
)()()(
ˆˆˆ
J
j
I
i
J
j
ijj
I
i
J
j
I
i
iij eyyIyyJyy
1 1 1
22
1 1 1
22 )()()(
66Diseño Experimentos
Variabilidades
VNEVEVEVT
eVNE
yyIBVE
yyJTVE
yyVT
I
i
J
j
ij
J
j
j
I
i
i
I
i
J
j
ij
B)(T)(
)()(
)()(
)(
1 1
2
1
2
1
2
1 1
2
)1)(1()1()1()1( JIJIn
67Diseño Experimentos
Contraste de Hipótesis
� Si la Fluorita no influye, los I tratamientos
son iguales a efectos de coste, entonces
0 de distinto es Algún :
0:
i1
210
H
H I
I21
I
i i1 0
68Diseño Experimentos
Contraste sobre tratamientos
0 de distinto es Algún :
0:
i1
210
H
H I
222 ]ˆ[
)1)(1(
ˆ RR sE
JI
VNEs
222 ]ˆ[
1
)osTratamient(
ˆ cierto, es Ho Si TT sE
I
VEs
)1)(1(;12
1
2
2
2
ˆ
1)(
ˆ
ˆ
JII
R
I
i
i
R
T
T F
s
IyyJ
s
sF
Ho rechaza Se Si FFT
69Diseño Experimentos
Explicación del contraste
),(,...,,
][,
),(0 cierto es Ho Si
2
21
121
2
J
Nyyy
J
J
yE
J
yyyy
Ny
I
J
j j
i
iJii
i
jiji
21
2
1
2
221
11
ˆ
 
I
)y -y(J
E
I
)y-y(J
s
I
yyy
y
I
i
i
I
i
i
T
I
.ˆ quemayor será ˆ falso, es Ho Cuando
parecidas.serán ˆy ˆ cierto, es Ho Cuando
22
22
RT
RT
ss
ss
70Diseño Experimentos
Contraste de bloques
0 de distinto es Algún :
0:
j1
210
H
H J
222 ]ˆ[
1
)Bloques(
ˆ cierto, es Ho Si BB sE
J
VEs
)1)(1(;12
1
2
2
2
ˆ
1)(
ˆ
ˆ
JIJ
R
J
j
j
R
B
B F
s
JyyI
s
sF
Ho rechaza Se Si FFB
71Diseño Experimentos
Tabla de análisis de la varianza
1-nTotal
Residual
Bloque
oTratamient
valorpFVarianzaLibertad.CuadradosadVariabilid
de Gradosde SumaFuentes
2
22
2
2
22
2
2
22
)(
ˆ)1)(1(
ˆ
ˆ
ˆ1)(
ˆ
ˆ
ˆ1)(
yy
sJIe
ps
s
sJyyI
ps
s
sIyyJ
ij
Rij
BR
B
Bj
TR
T
Ti
72Diseño Experimentos
73Diseño Experimentos
74Diseño Experimentos
75Diseño Experimentos
Tanto la Fluorita como la Mezcla presentan efectos 
significativos (pvalor entre 0 y 0.001).
76Diseño Experimentos
J
sty R
ii
ˆ
2/
77Diseño Experimentos
I
sty R
ji
ˆ
2/
78Diseño Experimentos
Contraste multiples: tratamientos
ji
ji
H
H
:
:
1
0
)1)(1(2
ˆ
JI
R
ji t
J
s
yy
t /2-t /2
/2
t(I-1)(J-1)
R.R. R.R
R. Acept. H0
1-
/2
),(ˆˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ
22
JJ
N
yy
yy
yy
jiji
jiji
jj
ii
02/
2
ˆ HS
LSD
J
styy Rji rechaza e
79Diseño Experimentos
Comparación múltiples: Fluorita
Fluorita
13.1
6
293.0085.2
2
ˆ2/ J
stLSD R
0% 1% 2% 3% 4%
0% 0 0,58 2,49 1,99 0,69
1% 0 1,90 1,40 0,11
2% 0 -0,50 -1,80
3% 0 -1,30
4% 0
LSD = 1.13
80Diseño Experimentos
81Diseño Experimentos
Contraste multiples: bloques
ji
ji
H
H
:
:
1
0
02/ rechaza e2ˆ HS
LSD
I
styy Rji)1)(1(2
ˆ
JI
R
ji t
I
s
yy
t /2-t /2
/2
t(I-1)(J-1)
R.R. R.R
R. Acept. H0
1-
/2
),(ˆˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ
22
II
N
yy
yy
yy
jiji
jiji
jj
ii
82Diseño Experimentos
Comparación Múltiple: Mezcla
Mezcla
24.1
5
293.0085.2
2
ˆ2/ I
stLSD R
1 2 3 4 5 6
1 0,00 3,90 -3,82 2,52 3,76 4,24
2 0 6,60 -1,37 -0,14 -0,35
3 0 6,34 7,58 8,07
4 0 1,23 1,72
5 0 0,49
6 0
LSD=1.24
83Diseño Experimentos 838383DiDiDDiDiDiDDDDDiDDDDDiDiDiDDDiiiiiDDDiiiiiDiDDDDDiiiiiiDDiiiiDDiiiiDDDiiiiiDDDiiiiDiDDDiiiiDDDDDiiiiiiDDDDiDDiiDiiiDDDDiDiDiDiDDDDiiiiiDDDDDiiiiiDiDDDiiDDDDDDiDDDDDDiiDDDDDDDiiiDDiDiiDDiDDDDiDDDiiDDDDDDiiDDDDiisesesesesessssesssssssssssssssssssssssssesssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssesssssssessssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss ñoñoñoñoñoññññoññoñoñoñoñoñoñoññoñoññoñoññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññoññññññññññññññoññññññññññññññññññññoñññññññññññññññññoñññoññññññññññññññññññññññññññññññññoññññññññoooooooññññoñññññññoooooññññññooñoooññññoooñññññoooñññoo EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEExpxpxpxpxpxxpxpxpxpxpxpppxxpxxpxxpxpxpxpxpxpxppppxxxpxpxpxppppxpxxxxxxxxxxpxxxpxpxppxppxppxppxxxxxpxxpxpxpxxxxxpxxxppxpppppxpxpxxxxxxxxppxpppxxxpxpxxpxxxxpxpppxppxpxxxxxxxppppxxxxxxpxpxpppxppxpxpxxxxxpxxxxxxpppxpxxxxpxxxxxxxppppxpxxxxxpxpxppppxxpxpxxxxpppppxxpxxxxxxxxppppppxpxpxxxxxxxpppppxxxxxxpppppppxxxxxxxxpxpppppxxxxxxpppppxxxxxpppppppxpxxxpxxxxxppppppxxxxpxxxxxxppxppppppxxxxxxxxppppppxxxxpppppx ererererererererrererererererererreerrrreeeererrrrrrerreeerrrreeeerrrrreeererrrrrreeeererrrrrrrreeerrrreerrrrreeeerrrrerrerrreeerrrrerrreeerrrreeerrrrreerrrrrerrreerrrreerrreerrrrrrrimimimiimmmimimimimimimimimimmmiiiiimimiiimiiimimiiiimmmiiiiimimimimimimimmimimmimmmmmmimmimmmimmmmmmmimimmmmmmimmmmimiimiimmmmmmmmmiiiimmmmmmmmmmiiimmmmmmmiiiimmmmmmmiiiimmmmmmmimmmeeneenenenenenennneneneneneneeneeenenenennneneneenenneeneneenenennennnneeneneneneneennnennnnnneeeennnnenennneeneeenennneneeeeneeeeenneneneneeeeeneneeennnnneeennnnnnneeeeeeeennnnnnnneeneeeeeeenennnnneneeeeeeeennnnnneeeennnnnneneeeeennnneeennnnnennnnnneeennnnnneeeennnneneneneeeeennenneeeeeeenennnnnneeeennnnnneeneeeennnneeeeeeennntototototototototottotototototototototooootototottttotttottotottoototootototottootottooooooooooootttoooooooooootttooootooooootttoooooottooooooooototooooootooooooooooooottoooooooooooootttooooooootoooooooooooooootooooooooooooototttooootttooooootttttttttooooooootttooooooootootoooooooosssssssssssssss
84Diseño Experimentos
Diagnosis:
Homocedasticidad
Fluorita
0 1 2 3 4
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Mezcla
0 1 2 3 4 5 6
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
re
sid
uo
s
Valores previstos
-1.6
-1.2
-0.8
-0.4
0
0.4
0.8
1.2
1.6
5 10 15 20
Gráfico de residuos
86Diseño Experimentos
Diagnosis: normalidad
residuos
pr
ob
ab
ili
da
d
-1.4 -0.9 -0.4 0.1 0.6 1.1 1.6
0.1
1
5
20
50
80
95
99
99.9
87Diseño Experimentos
Interpretación
� El factor Fluorita influye significativamente (p-valor
=0.00077) en el coste.
� Las comparaciones de medias indica que el % de
Fluorita que proporciona coste menor es 2% y 3%,
entre ellos no hay diferencias significativas.
� El bloque (Mezcla) influye muy significativamente en
el coste (p-valor=0.00). Las mezclas que
proporcionan un coste menor son 2, 5 y 6. Entre
ellas no hay diferencias significativas.
� La diagnosis del modelo indica que la hipótesis de
normalidad y homocedasticidad son aceptables.
88Diseño Experimentos
Capítulo 2. Diseño de experimentos
2.1. Se pretende estudiar el efecto que produce los factores (1) Porcentaje de algodón (10%, 20% y 30%)
(2) Tipo de confección (A y B) en la resistencia al desgaste de ciertos tejidos de �bra sintética. Se
ha realizado el siguiente diseño con tres replicaciones (archivo desgaste:txt)
10% 20% 30%
115 120 126
A 112 135 118
133 139 142
107 110 132
B 114 102 114
108 117 125
1. Construir la tabla de Análisis de la Varianza y contrastar la in�uencia de los dos factores y la
presencia de la interacción.
2. Hacer un contraste de diferencia de medias y decidir el tratamiento más adecuado para conseguir
la mayor resistencia al desgaste.
2.2 En una planta piloto se obtiene un nuevo producto mediante un proceso químico. Con el �n de
mejorar el rendimiento se emplean dos catalizadores distintosy se trabaja con tres temperaturas
diferentes. Los resultados del experimento son (archivo rendimiento:txt)
Temperatura
Catalizador 200 300 400
A 115 125 130 140 110 120
B 115 105 135 145 100 110
1. Contrastar si los factores Temperatura y Catalizador tienen efectos signi�cativos. (� = 0:05)
2. ¿Qué tratamiento se debe utilizar para obtener el mayor rendimiento, si se desea garantizar una
probabilidad de error tipo I total, �T = 0:03?
2.3 Un investigador quiere estudiar el efecto de sexo (hombre, mujer) y tipo de formación (ciencias,
letras) en el dominio del inglés escrito en profesores universitarios. Para ello analiza el número de
incorrecciones gramaticales en artículos cientí�cos enviados a publicación. Para cada combinación
de niveles de los factores se han elegido al azar tres profesores. En la tabla se proporciona el número
de fallos detectados en artículos de 15 páginas (archivo error:txt)
Letras Ciencias
Hombre 8, 6, 13 22, 28, 33
Mujer 5, 10, 6 12, 14, 9
1
Contrastar con nivel de signi�cación 0.05 si los efectos principales y la interacción son signi�cativos.
Tener en cuenta que P (F1;8 � 5:32) = 0:95, siendo F1;8 la distribución F con grados de libertad
1 y 8: Interpretar los resultados.
2.4 Un alumno, como trabajo de la asignatura de estadística, ha comparado tres marcas distintas (A,B,C)
de palomitas de maíz precocinadas. Cada marca puede prepararse friendolas en una sartén (método
1) o en el horno microondas (método 2). El alumno ha realizado un diseño factorial completo 3�2
con cinco replicaciones en cada uno de los seis tratamientos. La variable respuesta medida es el
porcentaje de granos de maíz que no se han in�ado adecuadamente. Los resultados del experimento
se muestran en la tabla, en cada tratamiento se proporciona la media y entre paréntesis la desviación
típica corregida para las cinco replicaciones. Contrastar si la interacción entre los dos factores es
signi�cativa.
A B C
Sartén
5.5
(1,4)
3.6
(1,8)
7.5
(2,5)
Horno
3.8
(1,3)
3.4
(0,9)
4.3
(1,3)
2.5. La tabla muestra el tiempo de supervivencia de grupos de cuatro animales a los que se ha asignado
al azar tres venenos y posteriormente cuatro tratamientos. (archivo venenos:txt)
Tratamiento
A B C D
Veneno
I 0.31 0.82 0.43 0.45
0.45 1.10 0.45 0.71
0.46 0.88 0.63 0.66
0.43 0.72 0.76 0.62
II 0.36 0.92 0.44 0.56
0.29 0.61 0.35 1.02
0.40 0.49 0.31 0.71
0.23 1.24 0.40 0.38
III 0.22 0.30 0.23 0.30
0.21 0.37 0.25 0.36
0.18 0.38 0.24 0.31
0.23 0.29 0.22 0.33
1. ¿Son los venenos y tratamientos signi�cativos? ¿Existe interacción entre el veneno y el tratamiento?
2. Analice los residuos del modelo anterior. ¿Se veri�can las hipótesis básicas del modelo? ¿Qué
transformación de los datos hace que se veri�quen las hipótesis?
3. Calcule la tabla de análisis de la varianza con los datos transformados. ¿Tiene la transformación
realizada algún efecto sobre los efectos principales y la interacción?
2
2.6 Se ha realizado un experimento para estudiar el efecto de la temperatura (T) y tiempo de exposición
(E) sobre la cantidad absorbida de un compuesto químico por un material sumergido en él. En el
estudio se han empleado tres temperaturas (T1, T2, T3) y tres tiempos de exposición (E1, E2, E3):
cada tratamiento se ha replicado tres veces. La cantidad absorbida (mg) del compuesto químico en
cada uno de los 27 experimentos se muestra en la tabla 1 (archivo absorbida:txt) y las medias en
la tabla 2:
Tabla 1: Cantidad Absorbida (mg)
Tiempo de Temperatura
Exposición T1 T2 T3
35.5 91.2 70.1
E1 29.7 100.7 64.1
31.5 82.4 70.1
52.5 71.0 79.4
E2 53.3 77.0 77.7
55.0 75.6 75.1
85.9 87.0 83.0
E3 85.2 86.1 87.0
80.2 88.1 78.5
Tabla 2: Medias de Cantidad Absorbida (mg)
Tiempo de Temperatura
Exposición T1 T2 T3 Medias
E1 32.23 91.43 68.10 63.92
E2 53.60 74.53 77.40 68.51
E3 83.76 87.06 82.83 84.56
Medias 56.53 84.34 76.11 72.33
La tabla 3 corresponde al análisis de la varianza del experimento.
Tabla 3: Tabla de análisis de la varianza
Fuente Suma de Grados de
Variabilidad Cuadrados Libertad Varianzas F p-valor
Temperatura 3673.61 2 1836.80 110.58 0.0000
T. Exposición 2112.65 2 1056.32 63.59 0.0000
Interacción 2704.44 4 676.11 40.70 0.0000
Residual 299.00 18 16.61
Total 8789.7 26
1. (a) Interpreta los resultados del análisis de la varianza.
2. Realiza las comparaciones dos a dos de los nueve tratamientos y elige aquél o aquellos que propor-
cionan una absorción mayor (95%).
3. Comprueba grá�camente la hipótesis de homocedasticidad e interpreta los resultados.
2.7. Se ha realizado un diseño experimental para determinar la in�uencia de dos factores combinación
de hidrocarburos y cantidad de hidrógeno en el rendimiento de un proceso químico complejo. Se
estudiaron cuatro combinaciones de hidrocarburos (A,B, C y D) y tres niveles en el contenido de
hidrógeno (1,2 y 3). En cada tratamiento se realizaron cuatro réplicas. En la tabla 1 se presentan los
resultados: mejora en tanto por mil respecto a procedimiento estándar (archivo hidrocarburos:txt).
Los números entre paréntesis de la tabla se corresponden con las medias de cada tratamiento, de los
cuatro niveles del factor hidrocarburos y de los tres niveles de hidrógeno. En la tabla 2 se muestra
la tabla de análisis de la varianza del experimento.
3
Tabla 1. Datos y medias entre paréntesis
A B C D Medias Etapa
10.3 10.5 7.2 13.0 1
11.1 8.2 5.3 12.9 1
1 15.3 9.7 12.5 5.3 2
2.1 8.9 19.1 12.0 2
Medias (9.7) (9.325) (11.025) (10.8) (10.213)
25.8 20.6 29.7 17.6 1
25.7 17.1 26.3 12.0 1
2 28.9 21.4 22.4 24.6 2
27.8 17.3 25.9 23.1 2
Medias (27.05) (19.1) (26.075) (19.325) (22.888)
28.5 21.0 30.4 20.5 1
31.2 26.8 26.6 26.2 1
3 24.8 19.4 34.4 27.8 2
26.5 22.2 27.5 21.9 2
Medias (27.75) (22.35) (29.975) (24.1) (25.981)
Medias (21.5) (16.925) (22.275) (18.075)
Tabla 2. ANOVA -
Suma Grados
Fuentes Cuadrados Libertad Var. F p-valor
Hidrocarburos 242.5 3 80.85 5.55 .0031
Hidrógeno 2234 2 1117 76.7 .0000
Interacción 119.3 6 19.88 1.36 .2546
Residual 523.7 36 14.55
Total 3120 47
1. Comparar las medias de los cuatro niveles del factor Hidrocarburo y las de los tres niveles del factor
Hidrógeno. Indica si existen diferencias signi�cativas con nivel de signi�cación 0.05.
2. Elige el tratamiento que proporciona el rendimiento óptimo, justi�cando la respuesta. Da un inter-
valo de con�anza para el valor medio en dichas condiciones con nivel de con�anza del 95%.
3. El experimento se realizó en dos etapas, en una primera etapa se recogieron las 24 observaciones
que se indican en la tabla 1 como etapa 1 y las otras 24 como etapa 2. Los resultados del análisis
de la varianza correspondientes a cada etapa se muestran en las tablas 3 y 4.
Tabla 3. ANOVA - Etapa 1
Suma Grados
Fuentes Cuadrados Libert. Var. F p-valor
Hidrocarburos 115.9 3 38.63 6.07 .0093
Hidrógeno 1175.0 2 587.7 92.4 .0000
Interacción 218.4 6 36.39 5.72 .0051
Residual 76.3 12 6.358
Total 1586.0 23
4
Tabla 4. ANOVA - Etapa 2
Suma Grados
Fuentes Cuadrados Libert. Var. F p-valor
Hidrocarburos 162.9 3 54.31 3.35 .0555
Hidrógeno 1076 2 537.9 33.19 .0000
Interacción 94.94 6 15.82 0.976 .9762
Residual 194.5 12 16.21
Total 1528 23
¿Se puede concluir que en las dos etapas la varianza del error experimental es la misma? (Realiza
el contraste con � = 0:05)
2.8 Se ha estudiado el efecto de tres hornos diferentes y dos temperaturas (290 oC y 320 oC) en la
duración de cierto componente. Para cada combinación de horno y temperatura se ha replicado
el experimento 3 veces. En la tabla siguiente se proporcionan las medias y desviaciones típicas
(corregidas) de los datos de cada tratamiento.
Temperatura oC
290 oC 320 oC
Media Desv. T. Media Desv. T.
Horno 1 24.56 0.850 18.00 0.265
Horno 2 19.10 1.539 14.40 0.265
Horno 3 18.70 0.458 17.43 0.862
Contrasta si existe interacción entre los factores horno y temperatura (� = 0:05):
2.9. Cierto Organismo Público (O.P.) encargado de certi�car la composición de aleaciones de metales
preciosos, debe seleccionar entre dos Laboratorios al más capacitado para la realización de futurosanálisis de gran precisión. Para tomar la decisión les somete a la siguiente prueba: Prepara tres
aleaciones A, B y C que contienen proporciones distintas de oro. De cada una de ellas envía cu-
atro muestras a cada uno de los dos laboratorios. Así pues, cada laboratorio recibe un lote de 12
muestras (codi�cadas) ordenadas aleatoriamente sin conocer como han sido obtenidas. Los resul-
tados recibidos por el O.P. son (entre paréntesis las medias de las casillas) (archivo laboratorios:txt):
Aleac. A Aleac. B Aleac. C
10.96 11.03 10.95 11.00 11.07 11.01
Lab. I 11.08 11.01 11.04 10.97 10.97 11.03
(11.02) (10.99) (11.02)
10.97 10.96 10.97 10.96 11.02 11.00
Lab. II 10.94 10.95 10.97 10.98 11.01 11.01
(10.955) (10.97) (11.01)
1. Determinar si existen diferencias entre los resultados de los laboratorios y si éstos han encontrado
diferencias entre las aleaciones.
2. Aceptando que los datos cumplen la hipótesis de normalidad, indicar si podemos aceptar que
veri�can el resto de las hipótesis del modelo y en caso negativo que medidas se deben adoptar para
analizar los datos.
5
3. Realizar un test de razón de varianzas para contrastar que las varianzas de los dos laboratorios son
iguales, sabiendo que las tres aleaciones tienen composición distinta. Interpretar el resultado.
4. El O.P. conoce exáctamente el porcentaje en oro de la aleación A (11 %), de la B (11.02 %) y de
la C (11.04 %). Con esta información comparar los resultados de los laboratorios.
2.10 Un laboratorio de Análisis Clínicos ha adquirido un nuevo equipo (B) para medir el colesterol en la
sangre de los enfermos. Para evaluar si el nuevo equipo está ajustado se decide analizar muestras
de 5 enfermos que previamente han sido analizadas con otro equipo (A), dando como resultado
Enfermo 1 2 3 4 5 Media
Equipo A 215 305 247 221 286 254.8
Equipo B 224 312 251 232 295 262.8
Contrastar con � = 0:05 existen diferencias entre los dos equipos. (archivo colesterol :txt)
2.11. El análisis de la varianza de un diseño en bloques aleatorizados proporciona los siguientes resulta-
dos: V T = 232, V E(factor) = 156, V E(bloque) = 15 y V NE = 61. El número de niveles del factor
es 5 y el número de bloques 8. Construir la tabla ADEVA. ¿Cuál sería el resultado del análisis si
no se tiene en cuenta el efecto de los bloques ? Indicar en qué circunstancias es preferible cada uno
de los modelos.
2.12. Se realiza un experimento para estudiar si la presencia de �uorita reduce el coste de fabricación
de clinker de cemento en tres tipos diferentes de mezcla. Los resultados del mismo (en miles de
pesetas por Tm) se muestran en la siguiente tabla (archivo fluorita2:txt):
FLUORITA MI MII MIII ȳi�
0% 15.4 10.6 17.8 14.6
1% 10.3 5.5 10.9 8.9
2% 7.4 1.2 8.1 5.5
3% 10.7 6.5 9.6 8.9
4% 13.5 11.6 15.5 13.5
ȳ 11.4 7.1 12.4
5X
i=1
3X
j=1
e2ij = 10:2 �y�� = 10:3
1. (a) Determinar si el tipo de mezcla y el nivel de �uorita añadido in�uyen signi�cativamente en el
coste de fabricación. Se supone que no existe interacción entre los dos factores.
(b) Contrastar que porcentaje de �uorita produce el menor coste del clinker.
2.13 Se ha realizado un experimento con dos factores cada uno de ellos con 3 niveles. El 20% de la
variabilidad total está explicada por la interacción de los dos factores y el 40% de la variabilidad
total es debida a la variabilidad residual. Determinar el número de replicaciones necesarias en cada
tratamiento para que la interacción sea signi�cativa con � = 0:01: (Explicar el procedimiento de
cálculo, dejando el resultado indicado en función de las tablas).
6
2.14 Sea un diseño factorial con 4 factores a 3, 4, 2 y 5 niveles. Calcular el número de parámetros totales
correspondientes a efectos principales e interacciones de orden 2, 3 y 4.
2.15 Un centro ha realizado un experimento para mejorar la resistencia a la tensión de ciertos muelles de
acero. En una etapa del proceso el muelle caliente se sumerge en aceite templado. Se han estudiado
tres factores, A (temperatura del acero antes de la inmersión, con tres niveles), B (temperatura del
baño de aceite, dos niveles) y C (concentración de carbono en el acero, dos niveles). El experimento
se ha replicado tres veces. En la tabla se muestra la media y la varianza (corregida) para los tres
datos de cada tratamiento.
A B C yi ŝ2i
1 1 1 40.2 0.25
1 1 2 61.1 2.68
1 2 1 35.9 2.43
1 2 2 57.1 4.44
2 1 1 49.0 3.49
2 1 2 70.3 7.77
2 2 1 46.7 5.08
2 2 2 67.6 1.03
3 1 1 41.9 4.27
3 1 2 62.7 11.41
3 2 1 37.1 1.33
3 2 2 60.3 6.13
1. (a) Dar un intervalo del 95 % de con�anza para la varianza del error experimental, �2.
2. Indicar si los efectos principales de A, B y C son signi�cativamente distintos de cero.
3. Dado �2, construir un intervalo que cumpla que la probabilidad de que ŝ2i (la varianza muestral
corregida de un tratamiento) esté contenido en él sea igual a 0.95. Sustituir �2 por su estimador y
con ayuda de este intervalo, discutir si se puede rechazar la hipótesis de homocedasticidad de las
observaciones.
2.16 Un estudio bioquímico ha valorado la cantidad de tres ácidos (a, b, c) en muestras extraídas a
cuatro terneras (1, 2 ,3 y 4) de la misma raza. El análisis es bastante complejo y la determinación
incluye un error de medida. ¿Se puede aceptar la hipótesis de que los tres ácidos se encuentran
en la misma proporción en cada animal? Realiza el contraste con nivel de signi�cación 0.05. (La
variabilidad total es 41.90). (archivo ultrasonidos:txt)
1.
a b c Medias
1 11.0 11.4 12.7 11:7
2 9.8 10.8 13.7 11:43
3 7.5 10.6 11.5 9:87
4 7.9 7.6 10.1 8:53
Medias 9.05 10.1 12.0 10.38
7
OTROS EJEMPLOS
2.17. Treinta y seis adultos (18 hombres y 18 mujeres) son utilizados en un estudio para comparar los
tensiómetros de tres fabricantes. Los sujetos de cada sexo son asignados de forma aleatoria en seis grupos
de tres cada uno. A tres grupos de cada sexo se les mide la presión de la sangre nada más comenzar el
experimento; a los otros tres grupos se les mide la presión después de diez minutos de descanso.
Los resultados son los siguientes:
I II III
H M H M H M
147 122 156 131 127 110
1 124 142 127 133 122 115
113 136 155 146 153 105
140 108 100 141 114 103
2 130 151 140 125 139 135
112 138 105 139 126 114
Conteste a las siguientes preguntas:
� ¿Existen diferencias entre los fabricantes en la medida de presión de la sangre?
� ¿Hay diferencia entre el descanso y el no descanso en la presión en la sangre?
� ¿Hay diferencia entre hombres y mujeres?
� Comprobar si hay interacción entre descanso y sexo.
� Comprobar las hipótesis de normalidad, homocedasticidad y homogeneidad.
En el archivo tension.sf3 están la variable respuesta presión y las variables factores descanso, fabri-
cante y sexo.
2.18 Se desea investigar el comportamiento de dos tipos de semilla y de tres tipos diferentes de fertil-
izante. Los resultados serán los diferentes rendimientos para las combinaciones de semillas y fertilizantes.
Se pide contestar a las siguientes preguntas:
� ¿Existen diferencias entre los fertilizantes?
� ¿Existen diferentes entre las semillas?
� Estudiar si la interacción entre las semillas y fertilizantes es signi�cativa.
� Comprobar las hipótesis de normalidad, homocedasticidad e independencia e homocedasticidad.
En el archivo rend.sf3 están la variable respuesta rendimiento y los factores semilla y fertilizante.
8
A B C
1 14.3 18.1 17.6
14.5 17.6 18.2
11.5 17.1 18.9
13.6 17.6 18.2
2 12.6 10.5 15.7
11.2 12.8 17.5
11.0 8.3 16.7
12.1 9.1 16.6
2.19. Se ha realizado un experimento para estudiar la in�uencia de dos factores en el rendimiento
de un proceso. Estos factores son la temperatura, que puede estar a tres niveles (alta, media y baja), y
el catalizador, que puede ser el catalizador 1 o el catalizador 2. En el archivo rend2.sf3 se presentan los
resultados que se muestran en la siguiente tabla.
Temperatura
Alta Media Baja
Catalizador 1 279 174 397
172 277 348
176 130 434
Catalizador 2 253 252 417
238 367 427
387 323 423
� ¿De qué modelo se trata?
� ¿Qué efectos son signi�cativos?� ¿Cuál es el tratamiento adecuado para obtener el mayor rendimiento?
2.20. Se ha realizado un experimento para estudiar las fuentes de variabilidad de la resistencia a la
compresión de cemento tipo Portland. El cemento ha sido mezclado con agua por tres obreros diferentes
(mezcladores) durante un tiempo �jo. Después, la resistencia de las probetas generadas ha sido medida
por otros tres obreros diferentes (medidores). Cada mezclador ha generado doce probetas, que se han
dividido en tres grupos de cuatro; cada uno de esos grupos de cuatro ha sido asignado a un medidor.
Los datos obtenidos para la resistencia a la compresión de cada probeta, dados en libras por pulgada
cuadrada, se proporcionan en la tabla siguiente y se encuentran en el archivo portland.sf3.
9
Medidor 1 Medidor 2 Medidor 3
Mezclador 1 5280 4340 4160
5520 4400 5180
4760 5020 5320
5800 6200 4600
Mezclador 2 4420 5340 4180
5280 4880 4800
5580 4960 4600
4900 6200 4480
Mezclador 3 5360 5720 4460
6160 4760 4930
5680 5620 4680
5500 5560 5600
� ¿Existen diferencias entre las resistencias dadas por los diferentes medidores? ¿y entre las probetas
generadas por cada mezclador?
� ¿Es signi�cativa, con nivel de signi�cación del 5%, la interacción entre medidores y mezcladores?
� ¿Se cumplen las hipótesis del modelo?
2.21. Se está estudiando el rendimiento de un proceso químico. Se piensa que las dos variables
más importantes pueden ser la presión y la temperatura. Se seleccionan tres niveles de cada factor. Los
resultados del experimento son los siguientes:
Presión
Temperatura 200 215 230
Baja 90.4 90.7 90.2
Baja 90.2 90.6 90.4
Media 90.1 90.5 89.9
Media 90.3 90.6 90.1
Alta 90.5 90.8 90.4
Alta 90.7 90.9 90.1
Utilizando el archivo proceso. sf3 conteste a las siguientes preguntas:
� ¿Qué conclusiones se pueden sacar de los datos?
� ¿Bajo qué condiciones podría operar este proceso?
� ¿Existe interacción entre temperatura y presión?
� Compruebe las hipótesis del modelo.
10
2.22. Se realiza un experimento para estudiar la in�uencia de la temperatura de operación y de tres
tipos de cristal en la salida de luz de un osciloscopio medidas en lux. En el archivo lux.sf3 se encuentran
los resultados obtenidos que se presentan a continuación:
Temperatura
Cristal 100 125 150
580 1090 1392
1 568 1087 1380
570 1085 1386
550 1070 1328
2 530 1035 1312
579 1000 1299
546 1045 867
3 575 1053 904
599 1066 889
� ¿Hay diferencia entre las temperaturas?
� ¿Hay diferencia en el cristal? ¿Cúal es el mejor?
� Estudie si existe interacción entre la temperatura y el cristal.
2.22 Para comprobar la diferencia de rendimientos entre las distintas variedades de avena se diseño
un experimento con ocho variedades distintas. Como el terreno donde fueron plantadas las distintas
variedades estaba en pendiente se pensó que podría afectar la situación de la planta en su rendimiento.
Los resultados obtenidos en gramos fueron los siguientes:
I II III IV V
1 296 357 340 331 348
2 402 390 431 340 320
3 437 334 426 320 296
4 303 319 310 260 242
5 469 405 442 487 394
6 345 342 358 300 308
7 324 339 357 352 220
8 488 374 401 338 320
Si no se tiene en cuenta el efecto de las diferentes condiciones del terreno, conteste a las siguientes
preguntas:
� ¿Existen diferencias entre las variedades?
� ¿Cúal es la mejor y la peor?
� La variedad ocho es autóctona y la más empleada. La cinco es la más cara. Si tuvierá que elegir
¿cuál elegiría?
� Haga un contraste de las hipótesis del modelo: normalidad, homocedasticidad, homogeneidad e
independencia.
11
Conteste todas las preguntas anteriores si se introduce la variable que tiene en cuenta el efecto del
terreno.
2.23. Se desea comparar cuatro procedimientos de obtención de la penicilina (A, B, C y D); siendo
la variable respuesta producción en kg.
Una materia prima, licor de maíz, se tiene en cuenta en el experimento. Se dispone de cinco muestras
de licor de maíz. A continuación se presenta la tabla de los datos.
A B C D
1 89 88 97 94
2 84 77 92 79
3 81 87 87 85
4 87 92 89 84
5 79 81 80 88
� ¿Cómo afectan los procedimientos y la materia prima?
� ¿Cuál es el mejor procedimiento y materia prima?
� Realice la diagnosis del modelo
En el archivo penicili.sf3 se encuentra la variable respuesta cantidad, el factor tratamiento y el bloque
mezcla.
2.24. En 1986 IBM realizó una serie de experimentos en varios de sus sistemas para investigar el
comportamiento de nuevos algoritmos para incorporar en la librería de funciones matemáticas de su
compilador FORTRAN. En el archivo fortran.sf3 se encuentran el tiempo empleado por llamada para
la ejecución (dado en �s) de cinco funciones escalares, que se proporcionan en la siguiente tabla. El
tiempo se ha promediado en 10000 argumentos seleccionados aleatoriamente en los intervalos de interés
([-�,�],...). Las ejecuciones se llevaron a cabo en tres sistemas IBM diferentes (4331, 4361 y 4341). Se
proporcionan también los nombres de las funciones escalares consideradas.
Función Sistema IBM
4331 4361 4341
EDUM 9,90 3,07 4,88
ACOS CIRC [��; �] 179,62 33,28 33,23
SEN LINEAL [��; �] 105,72 24,13 27,08
EXP LINEAL [�16; 16] 254,82 39,14 37,46
D2DUM 13,47 4,63 5,72
� El interés principal del experimento era el estudio de la e�cacia de los tres sistemas ¿ha resultado
adecuada la estrategia?
� Realice la diagnosis del modelo y proponga posibles soluciones si detecta algún problema.
2.25 Unos alumnos de la universidad de Tu¤s (Massachussets, E.U.A.), preocupados por el estado
de corrosión de las tuberías de su universidad, decidieron realizar el siguiente experimento. Tomaron
muestras de agua corriente haciendo variar los factores Campus, Tipo de edi�cio y antigüedad del edi�cio.
12
Se midió la concentración de hierro en el agua corriente (mg=dm3) y para cada posible combinación de
factores se tomaron dos observaciones. En el archivo corrosio.sf3 se muestran los resultados que se
presentan en la siguiente tabla.
Factor Concentración de Fe
Antigüedad Tipo Campus
Viejo Académico Medford 0,23 0,28
Nuevo Académico Medford 0,36 0,29
Viejo Residencial Medford 0,03 0,06
Nuevo Residencial Medford 0,05 0,02
Viejo Académico Somerville 0,08 0,05
Nuevo Académico Somerville 0,03 0,08
Viejo Residencial Somerville 0,04 0,07
Nuevo Residencial Somerville 0,02 0,06
� Identi�que el modelo de que se trata, estime sus parámetros y realice la diagnosis.
� Si no se cumplieren las hipótesis del modelo indique qué podría hacerse para remediarlo.
� Estudie las interacciones e interprete las que resulten signi�cativas.
13
3. Regresión
1: Regresión simple I (Estimación y Contrastes)
2: Regresión simple II (Diagnosis y transformaciones)
3: Regresión Múltiple I (Estimación y Contrastes)
4: Regresión Múltiple II (Variables cualitativas y 
predicción)
2Regresión Lineal 
Regresión simple 
consumo y peso de automóviles
Núm. Obs. Peso Consumo
(i) kg litros/100 km
1 981 11
2 878 12
3 708 8
4 1138 11
5 1064 13
6 655 6
7 1273 14
8 1485 17
9 1366 18
10 1351 18
11 1635 20
12 900 10
13 888 7
14 766 9
15 981 13
16 729 7
17 1034 12
18 1384 17
19 776 12
20 835 10
21 650 9
22 956 12
23 688 8
24 716 7
25 608 7
26 802 11
27 1578 18
28 688 7
29 1461 17
30 1556 15
0
5
10
15
20
25
500 700 900 1100 1300 1500 1700
Peso (Kg)
Co
ns
um
o 
(li
tro
s/
10
0 
Km
)
),0(, 2
10 Nuuxy iiii
3Regresión Lineal 
ix
iy
x10
Modelo
),0(, 2
10 Nuuxy iiii
ix10
 osdesconocid parámetros:,, 2
10
4Regresión Lineal 
Hipótesis del modelo
� Linealidad
� E[yi ]= 0+ 1xi
� Normalidad
� yi|xi N ( 0+ 1xi, 2)
� Homocedasticidad
� Var [yi|xi] = 2
� Independencia
� Cov [yi, yk] = 0
2
1
0
Parámetros
5Regresión Lineal 
Estimación
xy
x
yx
n
xx
n
xxyy
nxxnyx
xy
xxyxxxy
d
dM
xnyxy
d
dM
xyM
i
ii
n
i
i
n
i
ii
i
n
i
ii
iiii
n
i
iii
ii
n
i
ii
n
i
ii
101
1
2
1
1
2
10
1
10
2
10
1
10
0
10
1
10
0
1
2
1010
ˆˆ;
)var(
),cov(ˆ
)(
ˆ
))((
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ0)ˆˆ(
ˆˆ0)ˆˆ(
)(),(
6Regresión Lineal 
Estimación
n
i i
n
i ii
i
ii
xx
yyxx
x
yx
xy
1
2
1
1
10
)(
))(()var(
),cov(ˆ
ˆˆ
n
i
ii xy
1
2
10 )(Mín
Mínimos cuadrados
n
i
iinn xyMax
1
2
1022/ )(
2
1
2
1
exp
Máxima verosimilitud
7Regresión Lineal 
xy 10
ˆˆˆ
Recta de regresión
x
y
xy 10
ˆˆ
Pendiente
1
ˆ
)var(
),cov(
1̂
i
ii
x
yx
8Regresión Lineal 
Estimación
consumo y peso de automóviles
Núm. Obs. Peso Consumo
(i) kg litros/100 km
1 981 11
2 878 12
3 708 8
4 1138 11
5 1064 13
6 655 6
7 1273 14
8 1485 17
9 1366 18
10 1351 18
11 1635 20
12 900 10
13 888 7
14 766 9
15 981 13
16 729 7
17 1034 12
18 1384 17
19 776 12
20 835 10
21 650 9
22 956 12
23 688 8
24 716 7
25 608 7
26 802 11
27 1578 18
28 688 7
29 1461 17
30 1556 15
0
5
10
15
20
25
500 700 900 1100 1300 1500 1700
Peso (Kg)
Co
ns
um
o 
(li
tro
s/
10
0 
Km
)
071.07.10170117.087.11ˆˆ
0117.0
6.104446
2.1225
)var(
),cov(ˆ
10
1
xy
x
yx
i
ii
9Regresión Lineal 9Regresión Lineal 
10Regresión Lineal 
11Regresión Lineal 11Regresión Lineal 
12Regresión Lineal 
ResiduoPrevistoValor 
ˆˆ
observadoValor 
10 iii exy
ix
iy
ii xy 10
ˆˆˆ
ie
Residuos iii
n
i
i
R yye
n
e
s ˆ;
2
ˆ 1
2
2
13Regresión Lineal 
= 2= 1.54 /
14Regresión Lineal 
= 2= 1.543 /
15Regresión Lineal 
Distribución de 1
ˆ
2
2
2
1
2
22
2
2
21
2
1
22111
110
102211
22111
22111
2
10
)(
)][(][][][
][]ˆ[
)()(
)][(][][][
][]ˆ[
normales de lineal Comb.ˆ
),(
x
n
i
i
inn
nn
iii
iinn
nn
nn
ii
ns
w
yVarywyVarwyVarw
ywywywVarVar
xww
xyEyEwyEwyEw
ywywywEE
ywywyw
xNy
2
2
11 ,ˆ
xns
N
Parámetro y estimador
16Simple Linear Regression 
1
ˆ
087.0
2.330
54.1ˆ)ˆ( 1
X
R
sn
sSE
kg 100km/100 cada litros 1.17
100km/kg cada litros 0117.01̂
33.101.1
16.017.1
08.005.217.1
ˆˆ
1
1
1
2/11
x
R
sn
st
1
t /2-t /2
/2
tn-2
.
1-
t28
2.05-2.05
Desviación típica de
17Simple Linear Regression 
1
ˆ
X
R
sn
sSE ˆ)ˆ( 1
La precisión en la estimación de la pendiente
mejora si:
1. La Desv. Típica residual es pequeña
2. La muestra n es grande
3. Los valores de x tienen mucha dispersión
18Regresión Lineal 
R
2
2
22
2
2
1
2
ˆ)2(
n
R
n
i
i sn
e
0
0
),0(
ˆˆ
2
22
1
2
2
2
1
2
2
1010
ii
i
n
n
i i
n
n
i i
i
iiiiii
xe
eeu
Nu
exyuxy
19Regresión Lineal 
Contraste principal de regresión: 
¿depende y de x?
0:
0:
11
10
H
H
ix
iy
ix
iy
iii uxy 10 ii uy 0
H0 es falso
x e y están relacionados
H0 es cierto
x e y no están relacionados
20Regresión Lineal 
ii xy 10
ˆˆˆ
0:
0:
11
10
H
H
Contraste sobre la pendiente
t /2-t /2
/2
tn-2
R.R. R.R
R. Acept.
1-
),(ˆ
11
xsn
N
2
1111
ˆ
ˆ
)1,0(
ˆ
n
x
R
x
t
sn
sN
sn
Ho rechaza Se
;ˆ
ˆ
2/;21
1
1
n
x
R
tt
sn
st
21
0 rechaza e05.24.13 HS
2.05-2.05
0.025
t28R.R. R.R
4.13
)2.32330/(54.1
017.0
0t
0.025
Ejemplo: = 0.05
0:
0:
11
10
H
H 54.1ˆ;0117.0071.0ˆ Rii sxy
…
El peso influye significativamente en el consumo
Con =0.05 “x” influye
significativamente en “y”
Area Azul = p-valor
0 05 “ ”
P- P-valor > 
= 0.05
0:
0:
11
10
H
H
Con =0.05 “x” NO influye
significativamente en “y”
0: 11H 0: 10H
P-valor
23Regresión Lineal 
ii xy 10
ˆˆˆ
0:
0:
01
00
H
H
Ho rechaza Se
;
1ˆ
ˆ
))1(,(ˆ
2/;20
2
2
0
0
2
22
00
n
x
R
x
tt
s
x
n
s
t
s
x
n
N
Contraste: ordenada en el origen
24Regresión Lineal 
25Regresión Lineal 
Descomposición de la 
variabilidad en regresión
VNEVEVT
iyiyyiyyy
iyiyyiyyy
yiyiyiyy
iyiy
e
iy
xy
uxy
n
i
n
i
n
i
i
i
i
iii
iii
1
2
1
2
1
2
10
10
)ˆ()ˆ()(
sumando)y cuadrado al elevando()ˆ()ˆ()(
) restando()ˆ(ˆ
ˆˆ
ˆˆ
26Regresión Lineal 
Coeficiente de determinación R2
22
1
1
22
11 ˆ)(ˆ:)(ˆˆ x
n
i
iii nsxxVExxyy
VNEVEVT
VT
VER2
regresor elpor explicado está
que VT de porcentaje el Mide
10 2R
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
yyVT
yyVNE
yyVE
1
2
1
2
1
2
)(
)ˆ(
)ˆ(
27Regresión Lineal 
Coef. determinación
12R 80.02R
50.02R 02R
28Regresión Lineal 
ii xy 10
ˆˆˆ0:
0:
11
10
H
H
Contraste F
1
ˆ
ntesindependieson ,
ˆ)2(
cierto) es H (Si
22
2
22
2
2
1
2
2
o
2
12
VNEVE
sneVNE
VE
n
R
n
i i
212ˆ2 n,
R
F
s
VE
)VNE/(n-
VEF
0H rechaza Se FF
29Regresión Lineal 
ii xy 10
ˆˆˆ
0:
0:
11
10
H
H
Contraste F
2,12
22
o
2
ˆ
]ˆ[
cierto) es H (Si][
n
R
R
F
s
VEF
sE
VEE
0H rechaza Se FF
= 0.05
F
Rechazo H0Acep. H0F1,n-2
= 0.05
4.2
30Regresión Lineal 
ii xy 10
ˆˆˆ
0:
0:
11
10
H
H
Contraste F
1.175
38.2
8.416
ˆ
38.2ˆ
8.416)ˆ(
2
2
1
R
R
n
i
ii
s
VEF
s
yyVE
0H rechaza Se 2.41.175
F1,28
31Análisis de la varianza
Tabla de Análisis de la Varianza
1)((VT) Total
2ˆ2)ˆ((VNE)Residual
ˆ
)ˆ(
)ˆ(1)ˆ((VE)Explicada
FVarianzasLibertadCuadradosFUENTES
 de Gradosde Suma
2
2
2
2
22
nyy
Rsnyy
s
yy
yyyy
i
ii
R
i
ii
2
2
2
)(
)ˆ(
yy
yy
VT
VER
i
i
32Análisis de la varianza
Tabla de Análisis de la Varianza
294.483(VT) Total
38.22864.66(VNE)Residual
1.1758.41618.416(VE)Explicada
FVarianzasLibertadCuadradosFUENTES
 de Gradosde Suma
862.02R
0
5
10
15
20
25
500 700 900 1100 1300 1500 1700
Peso (Kg)
Co
ns
um
o 
(li
tro
s/
10
0 
Km
)
33Regresión Lineal 
Ejemplo: R2
Núm. Obs. Peso Consumo Predicción Residuos
(i) kg litros/100 km
1 981 11 11,44 -0,44
2 878 12 10,23 1,77
3 708 8 8,23 -0,23
4 1138 11 13,28 -2,28
5 1064 13 12,41 0,59
6 655 6 7,61 -1,61
7 1273 14 14,86 -0,86
8 1485 17 17,35 -0,35
9 1366 18 15,95 2,05
10 1351 18 15,78 2,22
11 1635 20 19,11 0,89
12 900 10 10,49 -0,49
13 888 7 10,35 -3,35
14 766 9 8,91 0,09
15 981 13 11,44 1,56
16 729 7 8,48 -1,48
17 1034 12 12,06 -0,06
18 1384 17 16,16 0,84
19 776 12 9,03 2,97
20 835 10 9,72 0,28
21 650 9 7,55 1,45
22 956 12 11,14 0,86
23 688 8 8,00 0,00
24 716 7 8,33 -1,33
25 608 7 7,06 -0,06
26 802 11 9,34 1,66
27 1578 18 18,44 -0,44
28 688 7 8,00 -1,00
29 1461 17 17,07 -0,07
30 1556 15 18,18 -3,18
;0117.0071.0ˆ ii xy
38.2ˆ2
Rs
%2.86
4.483
8.416
4.483
64.66)ˆ(
8.416)ˆ(
2
1
1
R
VNEVEVT
yyVNE
yyVE
n
i
ii
n
i
i
34Regresión Lineal 
Ejemplo 2: Pearson-Lee Data
35Simple Linear Regression 
Datos interesantes
36Simple Linear Regression 
37Regresión Lineal 
38Regresión Lineal 
La recta de regresión (línea roja) tiene pendiente menor que 1 (línea negra) , lo que significa
que las madres altas en general tienen hijas que son más altas que la media (pues la
pendiente es positiva) pero más bajas que ellas (porque la pendiente es menor que uno). De
forma similar, las madres bajas tienen hijas más bajas , pero más altas que sus madres.
Este resultado es el origen del término “regresión”, que indica que los valores extremos de
una generación tienden a regresa o revertir hacia la media en la siguiente.
39Simple Linear Regression 
Conclusiones Principales
1. Hay una relación muy significativa entre la altura de las
hijas y la altura de la madre (p-valor es prácticamente 0)
2. La relación es positiva: “A madre alta hija alta.”
3. La desviación típica de la pendiente (standard error) es
4. La estatura de la madre solo explica el 24% de la estatura
de la hija (R-squared = 0.24)
5. Dada la estatura de la madre se puede predecir la estatura
de la hija con un error medio de 2.266 pulgadas (sR).
54.01̂
590.049.0
0254.096.154.00259.0)ˆ(
1
11SE
Regresión
2: Regresión simple II (Diagnosis y 
Transformaciones)
Diagnosis del Modelo
La estimación está basada en las 
siguientes hipótesis:
� Linealidad
� Normalidad
� Homocedasticidad
� Independencia
Observaciones Atípicas (muy perjudiciales) 
41Regresión Lineal 
ix
iy
x10
ix
iy
x10
Las hipótesis se comprueban con los RESIDUOS
42Regresión Lineal 
Análisis de los Residuos
Núm. Obs. Peso Consumo Predicción Residuos
(i) kg litros/100 km
1 981 11 11,44 -0,44
2 878 12 10,23 1,77
3 708 8 8,23 -0,23
4 1138 11 13,28 -2,28
5 1064 13 12,41 0,59
6 655 6 7,61 -1,61
7 1273 14 14,86 -0,86
8 1485 17 17,35 -0,35
9 1366 18 15,95 2,05
10 1351 18 15,78 2,22
11 1635 20 19,11 0,89
12 900 10 10,49 -0,49
13 888 7 10,35 -3,35
14 766 9 8,91 0,09
15 981 13 11,44 1,56
16 729 7 8,48 -1,48
17 1034 12 12,06 -0,06
18 1384 17 16,16 0,84
19 776 12 9,03 2,9720 835 10 9,72 0,28
21 650 9 7,55 1,45
22 956 12 11,14 0,86
23 688 8 8,00 0,00
24 716 7 8,33 -1,33
25 608 7 7,06 -0,06
26 802 11 9,34 1,66
27 1578 18 18,44 -0,44
28 688 7 8,00 -1,00
29 1461 17 17,07 -0,07
30 1556 15 18,18 -3,18
0
5
10
15
20
25
500 700 900 1100 1300 1500 1700
Peso (Kg)
Co
ns
um
o 
(li
tro
s/
10
0 
Km
)
;0117.0071.0ˆ ii xy 38.2ˆ2
Rs
-0,23
-2,28
0,59
-1,61
-0,86
-0,35
2,05
2,22
0,89
-0,49
-3,35
0,09
1,56
-1,48
-0,06
0,84
2,97
0,28
1,45
0,86
0,00
-1,33
-0,06
1,66
-0,44
-1,00
-0,07
-3,18
-0,44
1,77 iii yye ˆ
43Regresión Lineal 
Diagnosis del Modelo
Núm. Obs. Peso Consumo Predicción Residuos
(i) kg litros/100 km
1 981 11 11,44 -0,44
2 878 12 10,23 1,77
3 708 8 8,23 -0,23
4 1138 11 13,28 -2,28
5 1064 13 12,41 0,59
6 655 6 7,61 -1,61
7 1273 14 14,86 -0,86
8 1485 17 17,35 -0,35
9 1366 18 15,95 2,05
10 1351 18 15,78 2,22
11 1635 20 19,11 0,89
12 900 10 10,49 -0,49
13 888 7 10,35 -3,35
14 766 9 8,91 0,09
15 981 13 11,44 1,56
16 729 7 8,48 -1,48
17 1034 12 12,06 -0,06
18 1384 17 16,16 0,84
19 776 12 9,03 2,97
20 835 10 9,72 0,28
21 650 9 7,55 1,45
22 956 12 11,14 0,86
23 688 8 8,00 0,00
24 716 7 8,33 -1,33
25 608 7 7,06 -0,06
26 802 11 9,34 1,66
27 1578 18 18,44 -0,44
28 688 7 8,00 -1,00
29 1461 17 17,07 -0,07
30 1556 15 18,18 -3,18
0
5
10
15
20
25
500 700 900 1100 1300 1500 1700
Peso (Kg)
Co
ns
um
o 
(li
tro
s/
10
0 
Km
)
;0117.0071.0ˆ ii xy 38.2ˆ2
Rs
44Regresión Lineal 
Diagnosis del Modelo
Núm. Obs. Peso Consumo Predicción Residuos
(i) kg litros/100 km
1 981 11 11,44 -0,44
2 878 12 10,23 1,77
3 708 8 8,23 -0,23
4 1138 11 13,28 -2,28
5 1064 13 12,41 0,59
6 655 6 7,61 -1,61
7 1273 14 14,86 -0,86
8 1485 17 17,35 -0,35
9 1366 18 15,95 2,05
10 1351 18 15,78 2,22
11 1635 20 19,11 0,89
12 900 10 10,49 -0,49
13 888 7 10,35 -3,35
14 766 9 8,91 0,09
15 981 13 11,44 1,56
16 729 7 8,48 -1,48
17 1034 12 12,06 -0,06
18 1384 17 16,16 0,84
19 776 12 9,03 2,97
20 835 10 9,72 0,28
21 650 9 7,55 1,45
22 956 12 11,14 0,86
23 688 8 8,00 0,00
24 716 7 8,33 -1,33
25 608 7 7,06 -0,06
26 802 11 9,34 1,66
27 1578 18 18,44 -0,44
28 688 7 8,00 -1,00
29 1461 17 17,07 -0,07
30 1556 15 18,18 -3,18
;0117.0071.0ˆ ii xy 38.2ˆ2
Rs
6
48
;7x ˆ̂̂̂̂̂̂̂ 222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
Rs
No linealidad
45Regresión Lineal 
No homocedasticidad
46Regresión Lineal 
No homocedasticidad, ni 
linealidad
47Regresión Lineal 
Observaciones atípicas
48Regresión Lineal 
Residuos Aceptables
49Regresión Lineal 
50Regresión Lineal 
Normalidad de los Residuos
Herramientas de comprobación:
� Histograma de residuos
� Gráfico de probabilidad normal (Q-Q plot)
� Contrastes formales (Kolmogorov-Smirnov)
Ejemplo de coches
Residuos
-9 -6 -3 0 3 6 9
0
20
40
60
80
100
120
-6 -4 -2 0 2 4 6
Residuos
0,1
1
5
20
50
80
95
99
99,9
pr
ob
ab
ili
da
d
51Regresión Lineal 
Comprobación de la linealidad 
y homocedasticidad 
� Ambas hipótesis se comprueban 
conjuntamente mediante gráficos de los 
residuos
� Frente a valores previstos
� Frente al regresor.
� En muchas ocasiones se corrige la falta 
de linealidad y la heterocedasticidad
mediante transformación de las variables.
iii
iii
uxy
uxy
110
110
loglog
log
52Regresión Lineal 
Residuos – Regresor o Val.Previstos
0
ix
ie
0
ix
ie
0
ix
ieLineal y homocedástico No lineal y homocedástico
Lineal y no homocedástico
0
ix
ie
No lineal y no homocedástico
Coches (ejemplo 1): Consumo ~ Peso
53Regresión Lineal 
Normalidad ok Linealidad ok y 
Homocedasticidad ok
Cars (Ejemplo 2): mpg ~ weight
54Regresión Lineal 
DESCRIPCIÓN: Datos de 391 coches (archivo:cars.txt) con 
información del siete variables: consumo (mpg), cc (engine), 
potencia (horse), peso (weight), tiempo de aceleración (accel), 
origen del coche (origin, 1=USA, 2=UE, 3=Japón) y número de 
cilindros (cylinders)
OBJETIVO: Estimar el modelo de 
regresión simple entre el consumo 
(mpg) y el peso (weight)
Cars: mpg ~ weight
55Regresión Lineal 
mpg = 49.20 0.0076 weight(0.802) (0.00025)= 0.69 = 4.34
No hay linealidad ni homocedasticidad
Figura 2.1 Figura 2.2
Cars: cons ~ weight
56Regresión Lineal 
TRANSFORMACIÓN: En lugar de medir el consumo en 
millas por galón (mpg), vamos a cambiar a “litros cada 
100 km (cons)”
cons = 235.1/mpg
Y X
…
Cars: cons ~ weight
57Regresión Lineal 
cons = 0.7689 + 0.0040 weight(0.3298) (0.00011)= 0.79 = 1.78
TRANSFORMACIÓN: En lugar de medir el consumo en 
millas por galón (mpg), vamos a cambiar a “litros cada 
100 km (cons)”
cons = 235.1/mpg
Cars: Cambio Variable
58Regresión Lineal 
Figura 2.3 Figura 2.4
Mejora la linealidad y homocedasticidad
Cars: Normalidad
59Regresión Lineal 
Figura 2.5 Figura 2.6
Normalidad no es problemática
Cars: Instrucciones con R
60Regresión Lineal 
> cars<-read.table("cars.txt",header=TRUE) % LEE EL ARCHIVO CARS.TXT
> mod_cars<-lm(mpg ~ weight, data = cars) % ESTIMA EL MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE (MOD_CARS)
> summary(mod_cars) % MUESTRA Resumen del modelo de regresión
> par(mfrow=c(1,2)) % DIVIDE LA PANTALLA GRÁFICA EN 1 FILA Y 2 COLUMNAS (ver FIGURAs 2.1 2.2)
> plot(cars$weight,cars$mpg,pch=19,col="blue") % DIBUJA Figura 2.1
> abline(mod_cars,col="red",lwd=2) % AÑADE Linea roja A la figura 2.1
> plot(cars$weight,residuals(mod_cars),pch=19,col="blue",ylab="residuos") % DIBUJA Figura 2.2
> abline(c(0,0),col="red",lty=2,lwd=2) 
61Regresión Lineal 
Tabla 2.1
Cars: Instrucciones con R
62Regresión Lineal 
> cars$cons <- 235.1/cars$mpg % cambio variable
> m2 <- lm(cons ~ weight, data = cars) % nuevo modelo
> plot(cars$weight,cars$cons,pch=19,col="blue") % Figuras 2.3 y 2.4 
> abline(m2,col="red",lwd=2)
> plot(cars$weight,residuals(m2),pch=19,col="blue",ylim=c(-10,10))
> abline(c(0,0),col="red",lwd=2,lty=2)
> abline(c(5,0),col="red",lwd=2,lty=2)
> abline(c(-5,0),col="red",lwd=2,lty=2)
> hist(residuals(m2), xlab="residuos", col="red", nclas=20) % figuras 2.5 y 2.6
> qqnorm(residuals(m2), col="blue", pch=19) 
> qqline(residuals(m2), col="red", lwd=2, lty=2)
> summary(m2) % resumen del modelo m2 (tabla 2.2)
Cars: Instrucciones con R
Forbes (Ejemplo 3) 
63Simple Linear Regression 
Ejemplo “Forbes”
En un artículo de 1857 un físico escocés llamado
James D. Forbes presentó una serie de experimentos
realizados para estudiar la relación entre presión
atmosférica y punto de ebullición del agua. Forbes
sabía que la altitud podía ser determinada a partir de
la presión atmosférica medida con un barómetro, con
menores presiones a medida que aumenta la altitud. A
mediados del siglo XIX los barómetros eran
instrumentos muy frágiles y Forbes pensó que se
podía sustituir la medidas de la presión con medidas
de la temperatura de ebullición del agua. Recogió
datos de 17 emplazamientos en los Alpes y los
montes de Escocia. En cada lugar se midió con un
barómetro la presión en pulgadas de mercurio (Pres)
y la temperatura de ebullición del agua en grados
Fahrenheit (Temp) empleando un termómetro. Los
datos se encuentran en el archivo “forbes.txt”
“forbes.txt”
Temp Pres
1 194.5 20.79
2 194.3 20.79 
3 197.9 22.40
4 198.4 22.67
5 199.4 23.15
6 199.9 23.35
7 200.9 23.89
8 201.1 23.99 
9 201.4 24.02 
10 201.3 24.01
11 203.6 25.14
12 204.6 26.57
13 209.5 28.49
14 208.6 27.76 
15 210.7 29.04
16 211.9 29.88
17 212.2 30.06
Weisberg, S. (2005). Applied Linear Regression, 3rd
edition. New York: Wiley.
Forbes: Modelo Inicial
64Regresión Lineal 
Temp Pres Pred Resid
1 194.5 20.79 20.639 0.1511552
2 194.3 20.79 20.534 0.2557337
3 197.9 22.40 22.417 -0.0166790
4 198.4 22.67 22.678 -0.0081252
5 199.4 23.15 23.201 -0.0510176
6 199.9 23.35 23.462 -0.1124638
7 200.9 23.89 23.985 -0.0953562
8 201.1 23.99 24.090 -0.0999347
9 201.4 24.02 24.247 -0.2268024
10 201.3 24.01 24.195 -0.1845131
11 203.6 25.14 25.397 -0.2571657
12 204.6 26.57 25.920 0.6499419
13 209.528.49 28.482 0.0077692
14 208.6 27.76 28.012 -0.2516277
15 210.7 29.04 29.110 -0.0697017
16 211.9 29.88 29.737 0.1428274
17 212.2 30.06 29.894 0.1659597
Pres = 81.06 + 0.523 Temp(2.05) (0.010)= 0.994 = 0.233 Tabla 3.1
Forbes: Conclusiones Modelo Inicial
65Regresión Lineal 
• Según la figura y el valor R-cuadrado (0.994) el ajuste es 
muy bueno.
• Comparando los valores Previstos con los Observados 
(Pred) observamos que las diferencias (residuos) son 
pequeñas ( = 0.233)
• Los dos parámetros del modelo son muy significativos 
(entre paréntesis se proporcionan las desv. típicas. 
estimadas de los parámetros estimados)
Figura 3.1 Figura 3.2
Forbes: Diagnosis
66Regresión Lineal 
En el gráfico de residuos frente al regresor se observa:
• La mayoría de las observaciones muestran no-linealidad
• Existe una observación atípica 
Forbes: Instrucciones R
67Regresión Lineal 
> forbes <- read.table(“forbes.txt”,header=TRUE)
> m <- lm(Pres ~ Temp, data = forbes)
> summary(m) 
68Regresión Lineal 
> forbes$Pred <- predict(m)
> forbes$Resid <- residuals(m)
> print(forbes,digits=4,print.gap=3) % proporciona tabla 3.1
Figuras 3.1 y 3.2 
> par(mfrow=c(1,2)) 
> plot(forbes$Temp,forbes$Pres,pch=19,col="blue", 
xlab="Temperatura",
ylab="Presión")
abline(m,col="red",lwd=2) 
> plot(forbes$Temp,residuals(m), pch=19, col="blue", 
ylab="Residuos",
xlab="Temperatura") 
> abline(c(0,0),lty=2,lwd=2,col="red")
Forbes: Instrucciones R (cont)
Forbes: Modelo 1
69Regresión Lineal 
Temp Pres Lpres Pred Resid
1 194.5 20.79 131.79 132.03 -0.2480225
2 194.3 20.79 131.79 131.85 -0.0688990
3 197.9 22.40 135.02 135.08 -0.0537700
4 198.4 22.67 135.55 135.53 0.0187713
5 199.4 23.15 136.46 136.42 0.0331010
6 199.9 23.35 136.83 136.87 -0.0411189
7 200.9 23.89 137.82 137.77 0.0561898
8 201.1 23.99 138.00 137.94 0.0584761
9 201.4 24.02 138.06 138.21 -0.1559337
10 201.3 24.01 138.04 138.12 -0.0844563
11 203.6 25.14 140.04 140.18 -0.1470658
12 204.6 26.57 142.44 141.08 11.3599445
13 209.5 28.49 145.47 145.47 0.0015070
14 208.6 27.76 144.34 144.66 -0.3197358
15 210.7 29.04 146.30 146.54 -0.2428181
16 211.9 29.88 147.54 147.62 -0.0791613
17 212.2 30.06 147.80 147.89 -0.0870083Lpres = 42.16 + 0.8956 Temp(3.34) (0.016)= 0.995 = 0.379 Tabla 4.1
= 100 × log
Forbes : modelo 1
70Regresión Lineal 
En el gráfico de residuos frente al regresor se observa:
• Existe una observación claramente atípica 
• Se ha corregido la falta de linealidad en el resto de las 
observaciones. 
Figura 4.1 Figura 4.2
Forbes: Modelo 1 
71Regresión Lineal 
• Se ha realizado la transformación logarítmica de la presión
para corregir la falta de linealidad (da igual utilizar
logaritmos neperianos o decimales, se ha multiplicado por
100 para evitar números muy pequeños en las
estimaciones, no tiene efecto en el análisis)
• La observación atípica tiene mucha influencia en la
estimación del modelo, se aprecia como los residuos del
resto de las observaciones no tienen media cero.
• Por lo demás el ajuste es muy bueno como se ve en la
gráfica y en la tabla 4.1, los valores previstos se parecen
mucho a los observados (los residuos son pequeños)
• Conviene eliminar la observación atípica y recalcular.
Forbes: Instrucciones R
72Regresión Lineal 
> forbes <- read.table(“forbes.txt”,header=TRUE)
> m1 <- lm(100*log10(Pres) ~ Temp, data = forbes)
> summary(m1) 
73Regresión Lineal 
> forbes$Lpres <- 100*log10(Pres)
> forbes$Pred <- predict(m1)
> forbes$Resid <- residuals(m1)
> print(forbes,digits=4,print.gap=3) % proporciona tabla 4.1
Figuras 4.1 y 4.2 
> par(mfrow=c(1,2)) 
> plot(forbes$Temp,100*log10(forbes$Pres),pch=19,
col="blue",xlab="Temperatura“)
abline(m1,col="red",lwd=2) 
> plot(forbes$Temp,residuals(m1),pch=19,
col="blue",ylab="Residuos",
xlab="Temperatura") 
> abline(c(0,0),lty=2,lwd=2,col="red")
Forbes: Instrucciones R (cont)
Forbes: Modelo 2
74Regresión Lineal 
Temp Pres Lpres Pred Resid
1 194.5 20.79 131.79 131.99 -0.2006699
2 194.3 20.79 131.79 131.81 -0.0224480
3 197.9 22.40 135.02 135.02 0.0089107
4 198.4 22.67 135.55 135.46 0.0837061
5 199.4 23.15 136.46 136.35 0.1025441
6 199.9 23.35 136.83 136.80 0.0305783
7 200.9 23.89 137.82 137.69 0.1323953
8 201.1 23.99 138.00 137.87 0.1355832
9 201.4 24.02 138.06 138.13 -0.0774742
10 201.3 24.01 138.04 138.05 -0.0064475
11 203.6 25.14 140.04 140.10 -0.0586881
12* 204.6 26.57 142.44 140.99 1.4527324
13 209.5 28.49 145.47 145.35 0.1164833
14 208.6 27.76 144.34 144.55 -0.2088168
15 210.7 29.04 146.30 146.42 -0.1224318
16 211.9 29.88 147.54 147.49 0.0466349
17 212.2 30.06 147.80 147.76 0.0401403Lpres = 41.33 + 0.8911 Temp(1.003) (0.0049)= 0.9996 = 0.1136
Tabla 5.1
= 100 × log(ELIMINANDO OBSERVACIÓN Nº 12)
La obs. 12 no se ha utilizado en 
la estimación del modelo
Forbes : modelo 2
75Regresión Lineal 
En el gráfico de residuos frente al regresor se observa:
• No existen observaciones atípicas (las líneas rojas se 
encuentran a ±2 )
• No se observa ninguna anomalía grave en el qqplot.. 
Figura 5.1 Figura 5.2
Forbes: Modelo 2 
76Regresión Lineal 
• Se ha realizado la transformación logarítmica de la presión
para corregir la falta de linealidad y se ha eliminado la
observación 12 (el propio Forbes indica en su artículo que
se trataba de un error de medida)
• Comparando el modelo 1 y 2, no se aprecian grandes
cambios en los parámetros estimados , .
• La desviación típica residual se ha reducido
considerablemente de uno a otro, pasando de 0.379 a
0.113, y como consecuencia las desviaciones típicas de los
parámetros.
• El análisis de los residuos no indican ninguna desviación
importante de las hipótesis del modelo
Forbes: Instrucciones R
77Regresión Lineal 
> # Modelo m2 de Forbes
> out <- abs(residuals(m1)) > 3*0.3792
> m2 <- lm(100*log10(Pres) ~ Temp, data = forbes[!out,])
> summary(m2)
78Regresión Lineal 
> # Tabla 5.1
> P_Lpres =c(predict(m2)[1:11],NA,predict(m2)[12:16])
> P_Lpres[12] = -41.334683 + 0.891110*Temp[12]
> forbes$Pred2 <- P_Lpres
> forbes$Resid2 <- 100*log10(Pres)-P_Lpres
> print(forbes,digits=5,print.gap=3)
> # Figuras 5.1 y 5.2
> par(mfrow=c(1,2)) 
> plot(forbes$Temp[!out],residuals(m2),
pch=19,col="blue",ylab="Residuos", 
xlab="Temperatura",ylim=c(-.5,.5)) 
> abline(c(0,0),lty=2,lwd=2,col="red") 
> abline(c(-.22,0),lty=2,lwd=2,col="red") 
> abline(c(+.22,0),lty=2,lwd=2,col="red")
> 
> qqnorm(residuals(m2),ylim=c(-.2,.2),pch=19,col="blue") 
> qqline(residuals(m2),col="red",lty=2,lwd=2)
Forbes 2: Instrucciones R (cont)
FEV (Ejemplo 4) 
79Regresión Lineal 
Ejemplo “Fev” Forced Expiratory Volume (FEV)
654 observaciones, 5 variables
Descripción: Es una muestra de 654 jóvenes entre 3 y 19 años recogidos en Boston
(USA) a finales de los 70. Se desea ver la relación entre la capacidad pulmonar (FEV) y
fumar. En este primer análisis estudiaremos la relación entre FEV y la estatura. En la
lección de regresión múltiple estudiaremos el efecto del tabaco.
Fuente:
Rosner, B. (1999), Fundamentals of Biostatistics, 5th Ed., Pacific Grove, CA: Duxbury
Variables
age años del individuo
fev variable continua en litros
ht variable continua, estatura en pulgadas
sex cualitativa (mujer=0, hombre=1)
smoke cualitativa (No-fumador=0, fumador=1)
age fev ht sex smoke
1 9 1.708 57.0 0 0
2 8 1.724 67.5 0 0
3 7 1.720 54.5 0 0
4 9 1.558 53.0 1 0
5 9 1.895 57.0 1 0
6 8 2.336 61.0 0 0
...
Tabla 6.1
FEV: Modelo Inicial
80Regresión Lineal 
• Tanto en el gráfico de dispersión de FEV y altura (ht) 
como en el de los residuos del modelo de regresión 
simple se observa la relaciónno-lineal entre las dos 
variables y la heterocedasticidad.
Figura 6.1 Figura 6.2
FEV: modelo 1
81Regresión Lineal 
Figura 6.3 Figura 6.4
log(fev) = 2.27 + 0.052 ht(0.063) (0.0010)= 0.7956 = 0.1508
FEV: modelo 1
82Regresión Lineal 
Figura 6.5 Figura 6.6
FEV: Modelo 1 
83Regresión Lineal 
• Se ha realizado la transformación logarítmica de la variable
respuesta (fev) y se ha corregido la falta de linealidad y la
heterocedasticidad como se ve en las figuras 6.3 y 6.4
• El histograma y el qqplot (figura 6.5 y 6.6) no muestran
grandes desviaciones de la normalidad.
• Existen algunas observaciones atípicas pero se puede
comprobar que al eliminarlas los resultados no cambian
sustancialmente.
• Existe una relación muy significativa entre log(fev) y ht
(altura). Un incremento de un pulgada en la estatura supone
un aumento de la capacidad pulmonar del 5% (este
resultado cambiará al considerar otras variables)
• La altura explica un 79% (R2) de la variabilidad del log(fev).
log(fev) = 2.27 + 0.052 ht(0.063) (0.0010)= 0.7956 = 0.1508log(fev)g( ) = 2.27 + 0.05250525 ht(0.063))(( )) (((0.0010))= 00..79567956 = 00..15081
FEV: Modelo m1 con R
84Regresión Lineal 
Tabla 6.2
FEV : Instrucciones de R
85Regresión Lineal 
> # FEV (ejemplo 4)
> dat <- read.table("fev.dat",header=TRUE)
> head(dat) #tabla 6.1
> m <- lm(fev~ht, data = dat) # modelo m inicial
> par(mfrow=c(1,2))
> plot(dat$ht, dat$fev,col="blue") # figura 6.1
> abline(m,col="red",lwd=2)
> plot(dat$ht,residuals(m),col="blue") # figura 6.2
> abline(c(0,0),col="red",lwd=2,lty=2)
> m1 <- lm(log(fev) ~ ht, data = dat)
> summary(m1) # modelo estimado tabla 6.2
> plot(dat$ht,log(dat$fev),col="blue") # figura 6.3
> abline(m1,col="red",lwd=2) # figura 6.3
> plot(dat$ht,residuals(m1),col="blue") # figura 6.4
> abline(c(0,0),col="red",lty=2,lwd=2)
> par(mfrow=c(1,2)) # figura 6.5 y 6.6
> hist(residuals(m1),col="red",nclass=20,xlab="Residuos")
> qqnorm(residuals(m1),col="blue")
> qqline(residuals(m1),col="red",lty=2,lwd=2)
Brains (ejemplo 5)
86Regresión Lineal 
Ejemplo “Brains” Peso del cuerpo y cerebro de mamiferos
62 observaciones, 2 variables
Descripción:
Para 62 especies de mamíferos se proporciona el peso medio del cuerpo en kilogramos y
del cerebro en gramos
Variables:
brain: Peso del cerebro (gramos)
body: Peso del Cuerpo (kilogramos)
Fuentes
Allison, T. and Cicchetti, D. (1976). Sleep in mammals: Ecology and constitutional
correlates. Science, 194, 732-734.
Weisberg, S. (2005). Applied Linear Regression, 3rd edition. New York: Wiley
Tabla 7.1OBJETIVO: Estudiar la relación entre 
peso del cerebro y peso del cuerpo.
87Regresión Lineal 
88Regresión Lineal 
Brains: Transformación
89Regresión Lineal 
• En la escala original (figura 7.1) no tiene sentido el 
modelo de regresión lineal. 
• Haciendo las transformación logarítmica de las dos 
variables (figura 7.2) se aprecia una clara relación lineal 
Figura 6.1 Figura 6.2
Brains: Modelo m1 con R
90Regresión Lineal 
Tabla 7.2TaTaTaTaTaTaTaTaTaTTTaTaTaaTTaTaTTTTTTTTTaaaaTaTaaaaaTaTTTTTTTTaaaTaaaaaaTTTTTTTTaTaTaaaTaaaaaaTTaTTTTTTTTTaTaTaaaaaaaaaaTaTTTTTaTTTTaTaTaaaTTTTTTTTTaTaaaTaaaTaTTTTTaTaTaaaaTaTTTTTTaTaTaaaaTTTTTaTaaaTTTTaTaTaaaaTaTTTTTaTaTaaaaTTTTTTTaTaaaaTTTTTTTaTaaaaaaablblblblbblblblblblblblblbblbblbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb aaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 7.7777777777.7.7777777777777777777777777.7.77777777777777777777..7777777.7777...77777.7.2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
Brains: modelo 1
91Regresión Lineal 
Figura 7.3 Figura 7.4
log(brain) = 2.13 + 0.752 log(body)(0.096) (0.028)= 0.9208 = 0.6943
Brains
92Regresión Lineal 
• La relación entre el logaritmo de peso del cuerpo y el
logaritmo del peso del cerebro es lineal como se ve en las
figuras 7.3 y 7.4
• Existen algunas observaciones atípicas pero se puede
comprobar que al eliminarlas los resultados no cambian
sustancialmente.
• El log del peso del cuerpo explica el 92% (R2) de la
variabilidad del log del peso del cerebro.
log(brain) = 2.13 + 0.752 log(body)(0.096) (0.028)= 0.9208 = 0.6943
Funciones R para Regresión Simple
93Regresión Lineal 
• m <- lm(y~x) Estima el modelo y (variable 
dependiente) y x (regresor). 
El modelo lo guarda en m
• summary(m) Modelo estimado
• plot(m) Diagnosis
• coef(m) Da los coeficientes
• residuals(m) Residuos del modelo
• fitted(m) Da los valores predichos
• deviance(m) Suma de residuos al cuadrado
• predict(m) Hace predicciones
• anova(m) Tabla ANOVA
Regresión
3: Regresión Múltiple I
95Regresión Lineal 
Ejemplo regresión múltiple
Consumo = 0 + 1 CC + 2 Pot + 3 Peso + 4 Acel + Error
Y X1 X2 X3 X4
Consumo Cilindrada Potencia Peso Aceleración
l/100Km cc CV kg segundos
15 4982 150 1144 12
16 6391 190 1283 9
24 5031 200 1458 15
9 1491 70 651 21
11 2294 72 802 19
17 5752 153 1384 14
... ... ... ... ...
Var. Independientes
o regresores
Var. dependientes
o respuesta
96Regresión Lineal 
Modelo regresión múltiple
osdesconocid parámetros:,,,,, 2
210 k
),0(
,
2
22110
Nu
uxxxy
i
ikikiii
� Linealidad
E[yi] = 0+ 1x1i+ + kxki
� Normalidad
yi| x1 ,...,xk Normal
� Homocedasticidad
Var [yi|x1 ,...,xk] = 2
� Independencia
Cov [yi, yk] = 0
Estimación
97Regresión Lineal 
),0(, 2
22110 Nuuxxxy iikikiii
1
ˆˆ
ˆˆˆˆ
ˆˆˆ
1
2
2
110
110
kn
e
syye
xxy
exxy
n
i
i
Riii
kikii
ikikii
== =
g.l. = n-k-1
kikii xxy ˆˆˆˆ 110
98Regresión Lineal 
Notación matricial
nkknnn
k
k
n u
u
u
xxx
xxx
xxx
y
y
y
2
1
1
0
21
22212
12111
2
1
1
1
1
),( 2I0U
UXY
N
99Regresión Lineal 
Estimación mínimo-cuadrática
eXY ˆ
donde el vector e cumple
mínimo es
n
i
ie
1
22e
nkknnn
k
k
n e
e
e
xxx
xxx
xxx
y
y
y
2
1
1
0
21
22212
12111
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
1
1
1
100Regresión Lineal 
Para que ||e||2 sea mínimo, e tiene que ser
perpendicular al espacio vectorial generado las
columnas de X
n
kii
n
ii
n
i
nknnn
k
k
xe
xe
e
e
e
e
xxx
xxx
xxx
1
1 1
1
2
1
21
22212
12111
0
0
0
,
1
1
1
0eX
eX
T
101Regresión Lineal 
Mínimos cuadrados
YXXXXXYX
eXXXYX
0eX
TTTT
TTT
T
1)(ˆˆ
ˆ
x1
Y
XY ˆˆ
YYe ˆ
x2
x2
x1
Y Solución MC
102Regresión Lineal 
Matriz de proyección V
1
x1
VYŶ
V)Y(IeY
VYY
YXX)X(XY
XY
T1T
ˆ
ˆ
ˆˆ
Previstos Val.
V)Y(I
VYYXYe ˆ
Residuos TT XXX(XV 1)
Simétrica V=VT
Idempotente VV=V
103Regresión Lineal 
Distribución de probabilidad 
de ˆ
1T
1TT1T
T1TT1T
T
T1T
T1TT1T
X)(X
X)X(XXX)(X
XX)(XIXX)(X
CYCCY
XXX)(XCXYC
XX)(XCCYYXX)(X
IXY
2
2
2
2
))()((
][][]ˆ[
][]ˆ[
ˆ
) siendo(ˆ
),(
T
VarVarVar
EE
Normal
N
104Regresión Lineal 
Distribución de probabilidad 
de ˆ
kkkk
k
k
T
kk
qqq
qqq
qqq
10
11110
00100
11
0
1
0
)(
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ XXQ
),(ˆ
),(ˆ
2
2
iiii qN
N 1TX)(X
)1()1()dim( kkQ
105Regresión Lineal 
Residuos
)ˆˆˆ( 110 kikiii xxye
nkknnn
k
k
n e
e
e
xxx
xxx
xxx
y
y
y
2
1
1
0
21
22212
12111
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
1
1
1
ResiduosPrevistosObservados
ˆ eXY
106Regresión Lineal 
Varianza Residual
21
2
2
1
2
2
12
1
2
2
]
1
[
1][
kn
e
E
kn
e
E
e
n
i i
n
i i
kn
n
i ieeT
2
12
2
1
2
2
ˆ)1(
1
ˆ
kn
R
n
i i
R
skn
kn
e
s
107Regresión Lineal 
0:
0:
1
0
i
i
H
H
Ho rechaza Se2/;1
1
11
2
;
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
)1,0(
ˆ
),(ˆ
kni
iiR
i
i
kn
iiRii
ii
iiii
tt
qs
t
t
qs
N
q
qN
Contraste individual i
ikikii uxxy 110
108Regresión Lineal 
0:
0:
1
0
i
i
H
H
Contrastes individuales
t /2-t /2
/2
tn-k-1
R.R. R.R
R. Acept.
1-
1)ˆ(
ˆ
kn
i
ii
i t
SE
t
Ho rechaza Se
;
)ˆ(
ˆ
2/;11
1
1
1
kntt
SE
t
/2
kikii xxy ˆˆˆˆ 110
, ( )
Con =0.05 “x” influye
significativamente en “y”
Area Azul = p-valor
0 05 “ ”
P- P-valor > 
= 0.05
0:
0:
1
0
i
i
H
H
Con =0.05 “x” NO influye
significativamente en “y”
0:1 iH 0:0 iH
P-valor
n-k-1
110Regresión Lineal 
Estimate Stand Error t value Pr(>|t|)
Intercept SE( ) = SE( )
SE( ) = SE()
SE( ) = SE( )
… … … … …
SE( ) = SE( )
Dependiente (y) ~ Independientes (x1, x2,..,xk)
Modelo estimado y contrastes
111Regresión Lineal 
log(fev) = 1.97 + 0.04399 ht + 0.0198 age(0.078) (0.0016)= 0.1476 (0.0031)
112Regresión Lineal 
Descomposición de la 
variabilidad en regresión
VNEVEVT
eyyyy
eyyyy
yeyy
exxy
n
i i
n
i i
n
i i
iii
iii
ikikii
1
2
1
2
1
2
110
)ˆ()(
)ˆ()(
)(ˆ
ˆˆˆ
 Restando
113Regresión Lineal 
Coeficiente de determinación R2
regresores los por explicado está
que VTde porcentaje el Mide
10 2R
8071.0
526.72
536.582
VT
VER
526.72990.13536.58
990.13)ˆ(
536.58)ˆ(
1
2
1
2
VT
yyVNE
yyVE
n
i
ii
n
i
i
log(fev) = 1.97 + 0.0439 ht + 0.0198 age(0.078) (0.0016) (0.0031)
114Regresión Lineal 
Coef. determinación corregido
2
2
2
ˆ)1(
ˆ)1(11
y
R
sn
skn
VT
VNE
VT
VNEVT
VT
VER
1
)(
ˆ 1
2
2
n
yy
s
n
i
i
y
1
1)1(1
1
11
ˆ
ˆ
1
2
2
2
2
kn
nR
kn
n
VT
VNE
s
sR
y
R
2R
= 1 (1 0.8071) × =0.8065
115Regresión Lineal 
0:
0:
1
210
 de distinto es algunoH
H k
Contraste general de regresión.
0H rechaza Se FF
ikikii uxxy 110
1,2
2
22
o
22
ˆ
ˆ
ˆ
cierto) es H (Siˆ
knk
R
E
R
E
F
s
sF
s
k
VEs
= 0.05
F
Rechazo H0Acep. H0
F1,n-2
= 0.05
3.01
116Regresión Lineal 
Contraste F
0H rechaza Se 01.31362
F2,651
0algún :
0:
1
210
iH
H
1362
021.0
268.29
ˆ
ˆ
021.0ˆ
268.29
2
436.58ˆ
2
2
2
2
R
E
R
E
s
sF
s
k
VEs
P-valor = 0.00000…
log(fev) = 1.97 + 0.0439 ht + 0.0198 age,(0.078) (0.0016) = 0.1476(0.0031)
117Análisis de la varianza
Tabla de Análisis de la Varianza
1)((VT) Total
2ˆ1)ˆ((VNE)Residual
ˆ
ˆ
ˆ)ˆ((VE)Explicada
FVarianzasLibertadCuadradosFUENTES
 de Gradosde Suma
2
2
2
2
22
nyy
sknyy
s
s
skyy
i
Rii
R
E
Ei
2
2
2
)(
)ˆ(
yy
yy
VT
VER
i
i
118Análisis de la varianza
Tabla de Análisis de la Varianza
653526.72(VT) Total
0215.0651990.13(VNE)Residual
1362268.292536.58(VE)Explicada
FVarianzasLibertadCuadradosFUENTES
 de Gradosde Suma
8071.0
526.72
536.582R
log(fev) = 1.97 + 0.0439 ht + 0.0198 age,(0.078) (0.0016) = 0.1476(0.0031)
Ejemplo 1: Cars
119Regresión Lineal 
…
Y X1 X2 X3 X4
RegresoresDepend
= 1.05 + 0.0058 engine + 0.0369 horse ++ 0.0020 weight + 0.0813 accel
Valores Previstos y Residuos
120Regresión Lineal 
= 1.05 + 0.0058 engine + 0.0369 horse + 0.0020 weight + 0.0813 accel
Y X1 X2 X3 X4
Datos Resultados
9.5762)(
9.1037)ˆ(
0.4725)ˆ(
1
2
1
2
1
2
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
yyVT
yyVNE
yyVE
= 1 = 1037.9386= 2.7= = 47255762.9 = 81.99
2
121Regresión Lineal 
122Regresión Lineal 
Linealidad 
Homocedasticidad
ok
Normalidad 
ok
Diagnosis
123Regresión Lineal 
DIAGNOSIS: residuos ~ regresores
124Regresión Lineal 
Resumen del modelo
Conclusiones modelo final
125Regresión Lineal 
1. No se aprecian desviaciones importantes de las hipótesis básicas del
modelo: linealidad, homocedasticidad y normalidad.
2. Se observa relación lineal significativa entre el consumo de los coches y su
peso (weight), potencia (horse) y centímetros cúbicos (engine). (Los p-
valores son menores que 0.05 en elmodelos). Los coeficientes estimados
son positivos, lo que significa que el aumento de cualquiera de las variables
independientes incrementa el consumo del vehículo. Con las cuatro
variables se explica el 81.99 % de la variabilidad del consumo.
= 1.05 + 0.0058 engine + 0.0369 horse + 0.0020 weight + 0.0813 accel= 1.64 = 81.99
Conclusiones modelo final (cont)
126Regresión Lineal 
3. En el modelo de cuatro regresores el parámetro asociado a aceleración no es
significativo. La inclusión de la variable “aceleración” no mejora
significativamente el modelo. Eso no implica que no exista relación lineal entre
aceleración y consumo (la regresión simple entre estas variables indican relación
significativa con coeficiente negativo).
4. El coeficiente asociado al peso es 0.0020, es muy significativo. Para
interpretarlo es necesario tener en cuenta las unidades: un aumento de una libra
en el peso del coche manteniendo constante el resto de las variables produce un
aumento del consumo de 0.002 litros/100 km. (Esto implica que un regresor se
puede cambiar manteniendo el resto constante, lo que sólo es posible en los
estudios experimentales.) El resto de los coeficientes se interpreta similarmente.
127Regresión Lineal 
1 2 3 4
Modelo engine horse weight accel
0,032
0,0009
0,085
0,0026
0,004
0,0001
-0,663
0,062
0,0202 0,036
0,0019 0,0053
0,01313 0,00251
0,0023 0,0002872
0,03215 0,0048
0,00108 0,041
0,0351 0,0026
0,00432 0,00019
0,1027 0,336
0,0035 0,048
0,00379 -0,1689
0,0001147 0,0351
0,0052 0,0299 0,00225
0,0025 0,005 0,0002
0,01765 0,0539 0,2282
0,0019 0,0063 0,0459
0,01006 0,0027 -0,0986
0,0026 0,000298 0,039
0,04113 0,0025 0,0639
0,0063 0,00022 0,0489
0,00587 0,03695 0,002018 0,0813
0,0026 0,0065 0,00031 0,049
1,648 81,75 81,61
1,640 81,99 81,80
1,723 80,05 79,89
1,704 80,50 80,35
1,734 79,75 79,65
1,643 81,86 81,72
1,650 81,67 81,58
1,892 75,90 75,78
1,715 80,18 80,08
1,877 76,28 76,16
78,55 78,49
3,380 22,70 22,50
1,775 78,78 78,67
1,874 76,28 76,22
2,002 72,94 72,87
1,780
134
234
1234
14
23
24
34
123
124
1
2
3
4
12
13
CARS: Todos los modelos
Conclusiones Generales
128Regresión Lineal 
1. El que la relación lineal entre dos variables sea significativa no implica que exista
relación de CAUSALIDAD entre las variables. Se debe interpretar como asociación
entre las variables: los coches con más pesos presentan mayor consumo que los
coches con menos peso.
2. Cuando se añaden o eliminan variables de un modelo los coeficientes del resto
cambian. Eso es debido a la correlación entre los regresores. Cuando estas
correlaciones son altas los coeficientes pueden cambiar mucho, incluso de signo.
Esto se puede apreciar en el coeficiente de la variable accel, cuyo efecto sobre el
cosnumo depende del resto de las variables en el modelo. La alta correlación
entre los regresores hace muy difícil interpretar el significado de los
coeficientes, a este problema se le denomina MULTICOLINEALIDAD.
Conclusiones (cont.)
129Regresión Lineal 
7. La selección del modelo depende del objetivo. Siempre el modelo con más
regresores tiene el mayor R2. Utilizando el “R2 corregido” hay tres modelos
muy parecidos 23, 123 y 1234. El mejor modelo con un regresor es el 3, con R2
igual al 78.55%, al incluir la pontencia (horse) como nuevo regresor tenemos el
modelo 23 cuyo R2 sólo aumenta un 3%, hasta 81.67%. El modelo 123, incluye
además los cc del motor (engine) como regresor con un aumento en R2
despreciable (ahora 81.86%). En este modelo los tres coeficientes son
significativos. Si añadimos la variable accel, llegamos al modelo completo con
R2 igual a 81.99%. El coeficiente de la última variable no es significativo.
8. Al ir incluyendo regresores en un modelo los residuos van disminuyendo y con
ello la variabilidad no explicada. La desviación típica residual también suele
disminuir (hay que tener en cuenta que el denominador de la varianza residual
también disminuye). Los modelos 23, 123 y 1234 tienen una desviación típica
residual muy parecida y próxima a 1.64 litros/100km. La interpretación
(aproximada) es la siguiente (con el modelo 1234): si nos proporcionan los datos
del peso (weight), potencia (horse), cc (engine) y aceleración (accel) del coche
la distribución de su consumo tiene media la proporcionada por el modelo y
desviación típica 1.64 litros/100km.
130Regresión Lineal 
Ejemplo 2: Cerezos Negros
Se desea construir un 
modelo de regresión para 
obtener el volumen de 
madera de una “cerezo 
negro” en función de la 
altura del tronco y del 
diámetro del mismo a un 
metro sobre el suelo. Se 
ha tomado una muestra 
de 31 árboles. Las 
unidades de longitudes 
son pies y de volumen 
pies cúbicos.
131Regresión Lineal 
Cerezos negros: Datos
Árbol Diametro Altura Volumen Árbol Diametro Altura Volumen
1 8,3 70 10,30 17 12,9 85 33,80
2 8,6 65 10,30 18 13,3 86 27,40
3 8,8 63 10,20 19 13,7 71 25,70
4 10,5 72 16,40 20 13,864 24,90
5 10,7 81 18,80 21 14,0 78 34,50
6 10,8 83 19,70 22 14,2 80 31,70
7 11,0 66 15,60 23 14,5 74 36,30
8 11,0 75 18,20 24 16,0 72 38,30
9 11,1 80 22,60 25 16,3 77 42,60
10 11,2 75 19,90 26 17,3 81 55,40
11 11,3 79 24,20 27 17,5 82 55,70
12 11,4 76 21,00 28 17,9 80 58,30
13 11,4 76 21,40 29 18,0 80 51,50
14 11,7 69 21,30 30 18,0 80 51,00
15 12,0 75 19,10 31 20,6 87 77,00
16 12,9 74 22,20
Cerezos
132Regresión Lineal 
133Regresión Lineal 
Gráficos x-y
1. Se aprecia relación entre las dos variables y el volumen
2. El gráfico del volumen versus diámetro presenta ligera curvatura
3. El gráfico del volumen versus altura presenta clara heterocedasticidad
134Regresión Lineal 
Primer modelo:cerezos negros 
ErrorDiametroAlturaVolumen 210
135Regresión Lineal 135Regresión Lineal 
Falta de linealidadFalta de lin
136Regresión Lineal 
Transformación
errordiámetro)altura)vol)
diámetroalturakvol
20
2
log(log(log( 1
137Regresión Lineal 
Diagnosis (modelo transformado)
ok
138Regresión Lineal 
Interpretación
� Se comprueba gráficamente que la distribución 
de los residuos es compatible con las hipótesis 
de linealidad y homocedasticidad.
� El volumen está muy relacionada con la altura y 
el diámetro del árbol (R2= 97.77%)
� El modelo estimado
log(Vol) = -6.6 + 1.12 log(Alt) + 1.98 log(Diam.) + Error
es compatible con la ecuación vol=k Alt Diam2
� La desviación típica residual es sR=0.081 que 
indica que el error relativo del modelo en la 
predicción del volumen es del 8.1%.
139Regresión Lineal 
Multicolinealidad
� Cuando la correlación entre los 
regresores es alta. 
� Presenta graves inconvenientes:
� Empeora las estimaciones de los efectos de 
cada variable i: aumenta la varianza de las 
estimaciones y la dependencia de los 
estimadores) 
� Dificulta la interpretación de los parámetros 
del modelo estimado.
140Regresión Lineal 
Multicolinealidad: efecto en la 
varianza de los estimadores
)1(
1
)1(
)1()1(
1
)1(||
~~~~
ˆ
ˆ
var
22110
2
12
2
2
2
1221
12
2
1221
12
2
12
2
112
12
2
2
2
1
2
22112
2112
2
1
2
212
12
2
121
2
1
rsrss
r
rss
r
rs
rss
sssr
ssrs
ss
ssn
iuixixy
XXXX
XXXX
TT
i
SS
SSXXXX
)1()1(
)1()1(
ˆ
ˆ
var
2
12
2
2
2
2
1221
2
12
2
1221
2
12
2
12
2
1
2
2
1
rnsrsns
r
rsns
r
rns
Ejemplo 3: Tabaco
141Regresión Lineal 
Ejemplo “Tabaco” Monóxido de Carbono (CO)
25 observaciones, 3 variables
Descripción: Se proporciona la producción de monóxido de
carbono (co) y el contenido de nicotina (nico) y alquitrán
(alq) en 25 marcas diferentes de cigarrillos americanos.
Fuente: Mendenhall, William, and Sincich, Terry (1992),
Statistics for Engineering and the Sciences (3rd ed.), New
York: (Original source: Federal Trade Commission, USA)
Variables
alq contenido en alquitrán mg
nico contenido en nicotina mg
co monóxido de carbono CO mg
Objetivo: Estudiar la relación entre CO con alquitrán 
y nicotina
CO ~ nico CO ~ alq
142Regresión Lineal 
= 1.828= 85.74 = 1.397= 91.68
= 1.413= 91.86
� El coeficiente de la variable “nico” cambia de 
12.39 a -2.36.
� En el modelo con dos regresores, el 
coeficiente de la variable “nico” no es 
significativo.
� Los standard errors de los coeficientes en el 
modelo de dos regresores han aumentado 
considerablemente respecto a los de 
regresión simple. El de “nico” pasa de 1.05 a 
3.78. El cambio para “alq” es mayor.
� Los estadísticos t se han reducido (debido al 
aumento de los standards errors)
� La desviación típica residual del modelo con 
dos regresores es mayor que en el modelo 
de regresión simple “CO ~ alq” 
143Regresión Lineal 
�
�
�= 0.9537
Efecto de la multicolinealidad
(alta correlación entre nico y alq)
Efecto de la Multicolinealidad
Estudio del efecto de “aceleración” en el consumo de gasolina
Regresión SIMPLE
145Regresión Lineal 145Regresión Lineal 
146Regresión Lineal 
Regresión Múltiple
147Regresión Lineal 
Consecuencias de la 
multicolinealidad
� El efecto (coeficiente) de aceleración 
es distinto en el modelo de regresión 
simple y en el de regresión múltiple.
� Los contrastes y p-valores cambian 
de un modelo a otro 
Regresión
4. Regresión Múltiple: Variables 
Cualitativas y Predicción
149Regresión Lineal 
Consumo Cilindrada Potencia Peso Aceleración Origen
l/100Km cc CV kg segundos
15 4982 150 1144 12 Europa
16 6391 190 1283 9 Japón
24 5031 200 1458 15 USA
9 1491 70 651 21 Europa
11 2294 72 802 19 Japón
17 5752 153 1384 14 USA
12 2294 90 802 20 Europa
17 6555 175 1461 12 USA
18 6555 190 1474 13 USA
12 1147 97 776 14 Japón
16 5735 145 1360 13 USA
12 1868 91 860 14 Europa
9 2294 75 847 17 USA
... ... ... ... ... ...
Variables cualitativas como 
regresores
150Regresión Lineal 
Variables cualitativas como 
regresores
Consumo = 0 + 1 CC + 2 Pot + 3 Peso +
+ 4 Acel + JAP ZJAP + USA ZUSA + Error
USA
Japón
Europa
Origen
EUROPA si
EUROPA si
USA si
USA si
JAPON si
JAPON si
i
i
iZ
i
i
iZ
i
i
iZ
EUR
USA
JAP
1
0
1
0
1
0
151Regresión Lineal 
Consumo Cilindrada Potencia Peso Aceleración ZJAP ZUSA ZEUR
l/100Km cc CV kg segundos
15 4982 150 1144 12 0 0 1
16 6391 190 1283 9 1 0 0
24 5031 200 1458 15 0 1 0
9 1491 70 651 21 0 0 1
11 2294 72 802 19 1 0 0
17 5752 153 1384 14 0 1 0
12 2294 90 802 20 0 0 1
17 6555 175 1461 12 0 1 0
18 6555 190 1474 13 0 1 0
12 1147 97 776 14 1 0 0
16 5735 145 1360 13 0 1 0
12 1868 91 860 14 0 0 1
9 2294 75 847 17 0 1 0
... ... ... ... ... ... ... ...
Variables cualitativas
Consumo = 0 + 1 CC + 2 Pot + 3 Peso +
+ 4 Acel + JAP ZJAP + USA ZUSA + Error
152Regresión Lineal 
Interpretación var. cualitativa
Consumo = 0 + 1 CC + 2 Pot + 3 Peso +
+ 4 Acel + JAP ZJAP + USA ZUSA + Error
• Coches europeos: ZJAP = 0 y ZUSA = 0 REFERENCIA
Consumo = 0 + 1 CC + 2 Pot + 3 Peso + 4 Acel + Error
• Coches japoneses: ZJAP =1 y ZUSA = 0
• Coches americanos: ZJAP =0 y ZUSA = 1
Consumo = 0 + JAP + 1 CC + 2 Pot + 3 Peso + 4 Acel + Error
Consumo = 0 + USA + 1 CC + 2 Pot + 3 Peso + 4 Acel + Error
153Regresión Lineal 
Interpretación del modelo
0 + JAP
0
0 + 
USA
Europeos
Japoneses
Americanos
xi
y
Ref.
154Regresión Lineal 1515151515544444RReRRRRRRRRRReReReReReReReReReRRRRReRRReReeRReRRRRReReReeRRRReRRReRRRReRRRRReeRRRRRRRRReRReRRRRRRRReeRRRRRReeeeeRRRReeeeReReeeeeRRReeeeeeeeRRRRReeeeeeeeeRReRRRReeeeeeeeeeRRRReeeeeeeRRRRRRReRRR ggrgrgrgrgrggrggrgrggrgrggrgrgrgrrgrrrrgggrrrrrrrggrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrgrrrrrrrrrrrrrreseeeseseesesesesesesesesseseseseeeeeeeeeeeessssssseseeeeeeseeeeeesssssesessssssesseeeeeeseeeesesssssssssseeeeeeeeeeeesesssssssssssseeeeeeeesssssssssssssseeeeeseeseeesssssssssssseeeesesssssssseseese ióiióióióóóóóóióióióióóóóóóóóióióióiiióióóóóóóiiiióóóóóóóióiióóóóóóóóóóóóóiióóóóóóóóiióóóóóiióóóóóióóióiióóiióóóóóóóóóóióiióóóóóóióiiióóóóóóióóóóóiiióóóóóóóóóiiiiióóóóóóóóóóóióiióóóóóóóónnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn LLLLLLLLLLLLLLLLLiLiLiiLLiLiLiLLLLLLLiLiLiiLiLiLiLLLLLLLiLiLiLLLLiLLLLLLLLLLLLLLLLiiLLLLiLLLLiLiLLLLLiiLLLLLLLLLLiLLLLLiLLLLLLLLiLLLLLLiLinnnenenenenneneenenenenenennnnenenneeeeeeenenennnnnnnnnneeeeeeeeeeenennnnnnnnneeeeeeeeeeennnnennnnnnneeeeeeeeeennnnnennnneeeeeeeeeeennnneeeeeeeenneeeeeeeen aaaaalalaaalaaalalaaaaalaaaaaaaaaaaaaalalaa 
155Regresión Lineal 
Interpretación
� Se introduce en el modelo la variable cualitativa 
origin del vehículo (USA=1, EUR=2,JAP=3). En el 
modelo se utiliza USA como referencia.
� El p-valor del coeficiente asociado a originJAP es 
0.1467 >.05, se concluye que no existe diferencia 
significativa entre el consumo de los coches 
Japoneses y Americanos (manteniendo constante el 
peso, cc, pot y acel.)
� La misma interpretación para originEUR: no existe 
diferencia en el consumo de coches EUR y USA.
� Comparando R2 =0.8212 de este modelo con el 
anterior R2=0.8199, se confirma que el modelo con 
las variables origin no suponen una mejora sensible.
156Regresión Lineal 
Modelo de regresión con 
variables cualitativas
� En general, para considerar una variable 
cualitativa con rniveles, se introducen en 
la ecuación r-1 variables ficticias
Y el nivel r no utilizado es el que actúa de 
referencia 
11
10,,21
20,11
10
121 ri
rizi
izi
iz irii nivel
nivel
nivel
nivel
nivel
nivel
iirrii
kikii
uzzz
xxy
acualitativ variable
,112211
110
Ejemplo: Body
Nombre: Body (Cuerpo Humano) Exploring Relationships in Body 
Dimensions
507 Observaciones, 25 Variables
Descripción: Este ejemplo contiene 21 medidas del cuerpo humano, además
de la edad, peso, altura y género (mujeres = 0, hombres =1) de 507 
individuos de los que 247 son hombres y 260 mujeres. Los datos fueron
recogidos entre personas que acudía frecuentemente al gimnasio en USA, 
la mayoría de ellos entre 20 y 40 años. 
Fuente: Exploring Relationships in Body Dimensions, Grete Heinz,Louis J. 
Peterson,Roger W. Johnson , Carter J. Kerk, Journal of Statistics 
Education Volume 11, Number 2 (2003), 
www.amstat.org/publications/jse/v11n2/datasets.heinz.html
OBJETIVO: Relación entre el peso y altura diferenciando entre 
hombres y mujeres. 
157Regresión Lineal 
Body
158Regresión Lineal 
Estatura Peso
Hombres 177.7cm 78.1 kg
Mujeres 164.9cm 60.6 kg
Diferencia 12.8 cm 17.5 kg
Weight = 0 + 1 Height + HOM ZHOM + Error
Weight = -56.9 + 0.713 Height + 8.366 ZHOM + Error
Interpretación
159Regresión Lineal 
8.36 kg
A igualdad de 
ESTATURA, la 
diferencia de 
PESO entre un 
hombre y una
mujer es
8.36 kgFigura 2.1.
Body: Instrucciones con R
160Regresión Lineal 
# body : modelo de regresión 
> body <- read.table("body.txt",header=TRUE)
> m.body<-lm(Weight~Height+Gender, data = body)
> summary(m.body)
# figura 2.1
> plot(body$Height,body$Weight,col=Gender+2) # Gender +2 asigna el color 
# rojo (2) a mujeres y el verde (3) a los hombres
> abline(c(-56.949,0.7129),col = "red",lwd=2) # linea de regresión de 
mujeres
> abline(c(-56.949+8.3659,0.7129),col = "green",lwd=2) # regresión hombres
FEV (Ejemplo 3) 
161Regresión Lineal 
Ejemplo “Fev” Forced Expiratory Volume (FEV)
654 observaciones, 5 variables
Descripción: Es una muestra de 654 jóvenes entre 3 y 19 años recogidos en Boston
(USA) a finales de los 70. Se desea ver la relación entre la capacidad pulmonar (FEV) y
fumar. En este primer análisis estudiaremos la relación entre FEV y la estatura. En la
lección de regresión múltiple estudiaremos el efecto del tabaco.
Fuente:
Rosner, B. (1999), Fundamentals of Biostatistics, 5th Ed., Pacific Grove, CA: Duxbury
Variables
age años del individuo
fev variable continua en litros
ht variable continua, estatura en pulgadas
sex cualitativa (mujer=0, hombre=1)
smoke cualitativa (No-fumador=0, fumador=1)
age fev ht sex smoke
1 9 1.708 57.0 0 0
2 8 1.724 67.5 0 0
3 7 1.720 54.5 0 0
4 9 1.558 53.0 1 0
5 9 1.895 57.0 1 0
6 8 2.336 61.0 0 0
...
Tabla 6.1
Modelo de regresión
162Regresión Lineal 
Log(fev) = 0 + 1 ht + 2 age + HOM ZHOM + FUM ZFUM + Error
Log(fev) = -1.9 + 0.042ht + 0.023age + 0.029 ZHOM – 0.046 ZFUM + Error
Interpretación
163Regresión Lineal 
1. Todos los coeficientes son significativamente distintos de cero.
2. A igualdad del resto de las variables, un aumento de 1cm en la 
Estatura produce un incremento en fev del 4.2%
3. A igualdad del resto de las variables, un aumento de 1 año en la 
Edad produce un incremento en fev del 2.3%
4. A igualdad del resto de las variables, los hombres tienen un 2.9% 
más de fev que las mujeres.
5. A igualdad del resto de las variables, los fumadores tienen un 
4.6% menos de fev que los no-fumadores.
IMPORTANTE: El objetivo del estudio era cuantificar el efecto de 
fumar en la capacidad pulmonar de los jóvenes, el restos de las
variables del modelo son necesarias (imprescindibles) para
detectar el efecto, aunque juegan un papel secundario. 
fev: Instrucciones con R
164Regresión Lineal 
# ejemplo 3: fev
> pulmon <- read.table("fev.dat",header=TRUE)
> m.pulmon <- lm(log(fev) ~ ht + age + sex + smoke, data = pulmon)
> summary(m.pulmon)
# sex es una variable que toma valores 0,1
# 0 mujeres
# 1 hombres
# 
# smoke es una variable 0,1, también 0 no fumador,
# y 1 fumador
#
# Cuando son variables 0,1 no es necesario convertirlas
# en variables CUALITATIVAS o FACTOR utilizando la 
# instrucción 
# genero=factor(sex,labels=c(“Mujer”,”Hombre”))
165Regresión Lineal 
Predicción
hx
hŷ
Media mh|xh Nueva Observ. yh|xh
hx
hm
hm
hy
hx
166Regresión Lineal 
Predicción de la media mh
(Regresión simple)
hx
hm
hx
hŷ
hhR vsthyhm ˆˆ 2/
))(1(1
2
2
x
h
hh
s
xx
n
v
hx
hŷ
167Regresión Lineal 
Predicción de la media mh
(Regresión multiple)
hx
hm
hx
hŷ
hhR vsthyhm ˆˆ 2/
hx
hŷ
))()(1(1 1 xxSxx hx
T
hhh n
v
168Regresión Lineal 
Intervalos de predicción para 
una nueva observación yh 
hhR vsthyhy 1ˆˆ 2/
hx
hŷ
169Regresión Lineal 
kk xxy ˆˆˆˆ 110
Límites de predicción
x
y hhR vsthyhy 1ˆˆ 2/
hhR vsthyhm ˆˆ 2/
Predicción
170Regresión Lineal 
Weight = -56.9 + 0.713 Height + 8.366 ZHOM + Error
Peso predicho para el PESO MEDIO de hombre de 175cm 
Pred_Weight = -56.9 + 0.713 x 175 + 8.366x 1 = 76.18 kg
Peso predicho para la media de la distribución del peso de las 
mujeres de 170cm de estatura
Pred_Weight = -56.9 + 0.713 x 170 + 8.366x 0 = 64.25 kg
Intervalos 
171Regresión Lineal 
Int. Confianza Previsto Lim. Inf Lim. Sup
Height=175,Sexo = 1 76.19 75.04 77.33
Height=170,Sexo = 0 64.25 63.03 65.47
Int. Predicción Previsto Lim. Inf Lim. Sup
Height=175,Sexo = 1 76.19 58.85 93.51
Height=170,Sexo = 0 64.25 49.92 81.59
95% confianza
Predicción: Instrucciones R
172Regresión Lineal 
# ejemplo 3: fev
> newbody <- data.frame(Height=170,Gender=0)
> predict(m.body, newdata = newbody,interval="confidence")
fit lwr upr
1 64.2563 63.03951 65.4731
> newbody <- data.frame(Height=170,Gender=0)
> predict(m.body, newdata = newbody,interval="prediction")
fit lwr upr
1 64.2563 46.92133 81.59128
> newbody <- data.frame(Height=175,Gender=1)
> predict(m.body,newdata = newbody,interval="confidence")
fit lwr upr
1 76.18717 75.04465 77.32969
> newbody <- data.frame(Height=175,Gender=1)
> predict(m.body, newdata = newbody,interval="prediction")
fit lwr upr
1 76.18717 58.85725 93.5171
Otros ejemplos con R
173Regresión Lineal 
> newcar <- data.frame(horse=130,engine=180,accel=12,origin="USA", weight=3000)
> predict(m, newdata = newcar, interval="confidence")
fit lwr upr
1 11.84055 11.47096 12.21014
> newboy <- data.frame(ht=160,age=17,sex=1,smoke=0)
> predict(m.pulmon, newdata= newboy, interval="confidence")
fit lwr upr
1 5.33023 5.041005 5.619455
> newcars <- data.frame(horse=c(130,140,150)
+ ,engine=c(180, 185, 190)
+ ,accel=c(10,11,12)
+ ,origin=c("USA","JAP","EUR")
+ ,weight=c(3000,2000,2500))
> pred.w.clim <- predict(m, newdata = newcars, interval="confidence")
> pred.w.clim
fit lwr upr
1 11.67788 11.197035 12.15872
2 10.13996 9.440399 10.83952
3 11.62928 11.027327 12.23123
174Regresión Lineal 
 
Modelos de regresión lineal
REGRESION SIMPLE
1. La tabla muestra los mejores tiempos mundiales en Juegos Oĺımpicos hasta 1976 en carrera
masculina para distintas distancias.
y: tiempo (sg) 9.9 19.8 44.26 103.5 214.9 806.4 1658.4 7795
x: distancia (m) 100 200 400 800 1500 5000 10000 42196
(a) Estimar la regresión lineal de y sobre x y calcular la varianza residual y el coeficiente
de correlación.
(b) Obtener intervalos de confianza para la pendiente y varianza residual (α = 0.01).
(c) Analizar si la relación lineal es adecuada, transformando las variables si es necesario.
(d) Supóngase que en aquellas Olimpiadas hubiera existido una carrera de 500 metros.
Estimar el tiempo previsto para el record oĺımpico en dicha carrera, dando un intervalo
de confianza con α = 0.05.
2. Según la ecuación de los gases ideales, la presión ejercida por un gas a volumen y temperatura
constante es proporcional a la masa. Se puede utilizarel siguiente procedimiento para estimar
el peso molecular de un gas. Se almacena el gas en un recipiente de volumen constante, y se va
soltando poco a poco gas, variando la presión, pero manteniendo la temperatura constante.
En la tabla adjunta se proporcionan mediciones de la presión (con respecto a la atmosférica,
1 atm = 14.7 psi) y de la masa del gas para el árgon.
Presión (psi) Masa (g)
52 1.028
49 0.956
44 0.880
39 0.793
34 0.725
29 0.645
25 0.593
21 0.526
19 0.500
19 0.442
11 0.373
0 0.210
(a) Para estimar el peso molecular del árgon a partir de los datos, se propone el siguiente
modelo de regresión
Pi = β0 + β1mi + ui con ui ∼ N(0, σ2).
Estimar los parámetros del modelo y contrastar si el término independiente es signi-
ficativo.
1
(b) Se considera el modelo alternativo
Pi = αmi + ui, con ui ∼ N(0, σ2).
Obtener el estimador de máxima verosimilitud del parámetro α, aśı como su varianza.
(c) Realizar el contraste H0 : α = 50 frente a H1 : α 6= 50 con nivel de significación 0.05.
(d) Para el segundo modelo, obtener un intervalo de predicción para la presión cuando la
masa es igual a 1 gramo.
(e) Obtener la varianza del estimador de E[Ph|mh], es decir del valor medio de la presión
Ph para una masa dada mh con ambos modelos. Si el modelo verdadero fuese el del
primer apartado, ¿qué efecto tendŕıa sobre la predicción adoptar el modelo alternativo?
3. Sir Francis Galton (1877) estudió la relación entre la estatura de una persona (y) y la estatura
de sus padres (x) obteniendo las siguientes conclusiones:
(a) Exist́ıa una correlación positiva entre las dos variables.
(b) Las estaturas de los hijos cuyos padres med́ıan más que la media era, en promedio,
inferior a la de sus progenitores, mientras que los padres con estatura inferior a la
media en promedio teńıan hijos más altos que ellos, calificando este hecho como de
”regresión” a la media.
Contrastar (α = 0.05) estas dos conclusiones con la ecuación ŷ = 17.8 + 0.91x resultante de
estimar un modelo de regresión lineal entre las variables (en cm.) descritas anteriormente
para una muestra de tamaño 100 si la desviación t́ıpica (estimada) de β̂1 es 0.04.
4. La ley de Hubble sobre la expansión del universo establece que dadas dos galaxias la ve-
locidad de desplazamiento de una respecto a la otra es v = Hd, siendo d su distancia y H
la constante de Hubble. La tabla proporciona la velocidad y la distancia de varias galaxias
respecto a la Via Láctea. Se pide:
Galaxia Distancia Velocidad
(millones años luz) (103Km/s)
Virgo 22 1.21
Pegaso 68 3.86
Perseo 108 5.15
Coma Berenices 137 7.56
Osa Mayor 1 255 14.96
Leo 315 19.31
Corona Boreal 390 21.56
Géminis 405 23.17
Osa Mayor 2 700 41.83
Hidra 1100 61.14
Tabla: Distancia y velocidad de desplazamiento de las distintas galaxias a la Via Lactea.
2
Nota: Obsérvese que según el modelo de Hubble la regresión debe pasar por el origen.
Tómese 1 año luz = 300 000 Km/seg x 31 536 000 seg = 9.46 1012 Km.
(a) Estimar por regresión la constante de Hubble.
(b) Como T = d/v = d/Hd = 1/H , la inversa de la constante de Hubble representa la
edad estimada del Universo. Construir un intervalo de confianza del 95% para dicha
edad .
5. Para establecer la relación entre el alargamiento en mm (Y ) producido en un cierto material
plástico sometido a tracción y la tensión aplicada en toneladas por cm2 (X) se realizaron 10
experimentos cuyos resultados se muestran en la tabla
xi 0.20 0.50 0.60 0.70 0.90 1.00 1.20 1.50 1.60 1.70
yi 23 20 33 45 67 52 86 74 98 102
Tabla: Alargamiento yi (mm) producidos por la tensión xi (Tm/cm2).
(a) Ajustar el modelo de regresión lineal E(Y |x) = β0 + β1x y contrastar (α = 0.01) la
hipótesis de que, en promedio, por cada Tm/cm2 de fuerza aplicada es de esperar un
alargamiento de 50 miĺımetros, sabiendo que la desviación t́ıpica residual vale 10.55.
(b) Si el ĺımite de elasticidad se alcanza cuando x = 2.2 Tm/cm2, construir un intervalo
de confianza al 95% para el alargamiento medio esperado en ese punto.
(c) Teniendo en cuenta que el alargamiento esperado cuando la fuerza aplicada es nula
debe ser nulo también, estimar el nuevo modelo E [Y |x] = βx con los datos anteriores
¿Cuál es el sesgo del estimador del parámetro de la pendiente si se estima según el
modelo del apartado 1?
6. Estimar por mı́nimos cuadrados los parámetros a y b de la ecuación y = a + bx2 con la
muestra de tres puntos siguientes (y, x) : (3, -1); (4, 0); (6,1).
7. La ecuación de regresión entre las ventas de un producto y y su precio x es ŷ = 320− 1.2x,
ŝR = 2 y ŝy = 4. Si el número de datos ha sido n = 50, contrastar H0 : β1
= −1 frente a la
alternativa H1 : β1 < −1.
8. Se estudia la relación entre el tiempo de reparación (minutos) de ordenadores personales y
el número de unidades reparadas en ese tiempo por un equipo de mantenimiento con los
resultados mostrados en la siguiente tabla
unidades reparadas 1 3 4 6 7 9 10
tiempo de reparación 23 49 74 96 109 149 154
Se pide:
3
(a) Construir la recta de regresión para prever el tiempo de reparación y utilizarla para
construir un intervalo de confianza (α = 0.01) para el tiempo medio de reparación de
8 unidades.
(b) Construir un intervalo de confianza (α = 0.01) del tiempo de reparación para un lote
de 14 unidades.
(c) Si los tiempos de reparación fuesen medias de 10 datos. ¿Cual seŕıa la recta de regresión?
REGRESION MULTIPLE
9. En la tabla se muestran los costes financieros mensuales en miles de euros (y) de 16 delega-
ciones de una gestora de inversiones, además se proporciona el número de nuevos préstamos
del mes (x1) y el número de préstamos pendientes (x2).
n x1 x2 y
1 80 8 2256
2 93 9 2340
3 100 10 2426
4 82 12 2293
5 90 11 2330
6 99 8 2368
7 81 8 2250
8 96 10 2409
9 94 12 2364
10 93 11 2379
11 97 13 2440
12 95 11 2364
13 100 8 2404
14 85 12 2317
15 86 9 2309
16 87 12 2328
(a) Estima la ecuación de regresión
yi = β
0
+ β
1
x1i + β
2
x2i + ui con ui ∼ N(0, σ2)
incluyendo la varianza del modelo.
(b) Realizar los contrastes individuales e interpretar los coeficientes.
(c) Realiza el contraste general de regresión o contraste de la F. Proporciona el p-valor.
(d) Proporciona la tabla con valores previstos y residuos.
(e) Comprueba las hipótesis del modelo.
4
10. Los fabricantes que utilizan rodamientos en sus productos tienen interés en la fiabilidad de
estos componentes. La medida básica de fiabilidad se denomina rating life, y consiste en el
número de revoluciones que soporta el 90% de los rodamientos antes de la fractura, a esto
se denota por L10. Los modelos teóricos indica que este valor está relacionado con la carga
(P) a la que se somete el rodamiento, el diámetro (D) del rodamiento y el número de bolas
(Z) del mismo, mediante la ecuación:
L10 =
(
kZaDb
P
)3
.
Se desea comprobar experimentalmente esta ecuación, para lo cual se realizó un experimento
con rodamientos de distintos fabricantes y tipos. Los datos se encuentran en el archivo
(ballbearing.txt), en la tabla 1 se muestra los 10 primeros datos. La información que contiene
es la siguiente:
Com: Codigo de empresa 1, 2, and 3
N: Número de ensayo (en cada empresa)
Year: Año del ensayo NA = No disponible
NB : Número de Rodamiento
P: Carga
Z: Número de bolas
D: Diámetro
L10: Percentil 10
L50: Percentil 50
Slope: Parámetro de la distribución Weibull
Btype: Tipo de rodamiento 1, 2, y 3 in la empresa 2; 0 en los demás casos.
Com N Year NB P Z D L10 L50 Slope Btype
1 1 1936 24 4240 8 .68750 19.200 84.50 1.27 0
1 2 1937 20 4240 8 .68750 26.200 74.20 1.81 0
1 3 1937 14 4240 8 .68750 11.100 68.10 1.04 0
1 4 1937 19 4240 8 .68750 11.800 66.80 1.09 0
1 5 1937 18 4240 8 .68750 13.500 79.40 1.06 0
1 6 1938 21 2530 9 .50000 5.800 25.70 1.27 0
1 7 1938 28 4240 8 .68750 18.300 44.70 2.10 0
1 8 1938 27 4240 8 .68750 5.620 73.20 0.73 0
1 9 1940 20 4240 8 .68750 15.800 82.70 1.14 0
1 10 1940 22 4240 8 .68750 8.700 41.60 1.20 0
· · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · ·
5
(a) Estima el modelo
log(L10i) = β0 + β1 log(Zi) + β2 log(Di) + β3 log(Pi) + ui con ui ∼ N(0, σ2),
y realiza los contrastes individuales y el contraste general.
(b) Según el modelo, β
3
= −3. Realiza el contraste
H0 : β
3
= −3
H1 : β3 6= −3
Proporciona el p-valor del contraste.
(c) Da un intervalo de confianza para los parámetros a y b del modelo teórico.
(d) Se definen las variables ficticias T2 y T3 para identificar los rodamientos tipo 2 y 3 del
segundo fabricante (información en la variable Btype). Estima e interpreta el siguiente
modelo de regresión:
log(L10i) = β
0
+ β
1
log(Zi) + β
2
log(Di) + β
3
log(Pi) +
α2T2i + γ2T2i × log(Zi) + δ2T2i × log(Di) +
α3T3i + γ
3
T3i × log(Zi) + δ3T3i × log(Di) + ui
(e) Compara el modelo del apartado 1 con el modelo del apartado 4.
11. La matriz de varianzas de tres variables estandarizadas es la siguiente


1 0.8 0.6
0.8 1 0.2
0.6 0.2 1


Calcular la ecuación de regresión de la primera variable respecto a las otras dos.
12. Dos variables x1 y x2 tienen la siguiente matriz de varianzas
(
1 0.5
0.5 1
)
y las regresiones simples con y son ŷ = 0.75x1 ; ŷ = 0.6x2. Calcular la regresión múltiple
entre y y las dos variables x1, x2 sabiendo que la variable y tiene media cero y varianza
unidad.
13. Para establecer la relación entre el voltaje de unas bateŕıas y la temperatura de fun-
cionamiento se han hecho unos experimentos cuyos resultados se muestran en la siguiente
tabla
Bateŕıa 1 2 3 4 5 6 7 8
Temperatura 10 10 20 20 30 30 40 40
Voltaje 7.2 7.7 7.3 7.4 7.7 9.4 9.3 10.8
6
Se pide:
(a) Contrastar la hipótesis (α = 0.05) de que no existe relación lineal entre el voltaje y la
temperatura.
(b) Las lecturas 1,3,5 y 7 fueron realizadas con unas bateŕıas de Cadmio y las 2,4, 6 y 8 con
bateŕıas de Zinc. Introducir en el análisis anterior una variable cualitativa que tenga
en cuenta los dos tipos de bateŕıas y contrastar si es significativa al 95%.
(c) Dar un intervalo de confianza para el voltaje de una bateŕıa de Cadmio que va a trabajar
a 35◦ cent́ıgrados. (Utilizar el modelo estimado en el apartado 2).
(d) Comprobar que se cumplen las hipótesis del modelo construido en los apartados ante-
riores.
14. La variable y se relaciona con las variables x1 y x2 según el modelo E(y) = β0+β1x1+β2x2;
no obstante se estima el siguiente modelo de regresión que no incluye la variable x2
ŷi = β̂
0
+ β̂
1
x1i.
Justificar en qué condiciones el estimador β̂1 es centrado.
15. Se efectúa una regresión con dos variables explicativas E[y] = β
0
+ β
1
x1 + β
2
x2. La matriz
de varianzas de x1 y x2 es
[
2 1
1 3
]
¿Cuál de los dos estimadores β̂1 y β̂2 tendrá menor varianza?
16. Con los datos de la tabla, se pide:
x -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 3
y 1.1 1.3 2.0 2.1 2.7 2.8 3.4 3.6 4.0 3.9 3.8 3.6
(a) Estimar un modelo de regresión simple con y como variable dependiente y x como
regresor. Indicar si el modelo es apropiado, justificando la respuesta.
(b) Estimar el modelo
yi = β0 + β1xi + β2x
2
i + ui
y realizar el contraste H0 : β2 = 0.
(c) Estimar el modelo
yi = β
0
+ β
1
xi + β
2
x2
i + β
3
x3
i + ui
Realizar el contraste general de regresión con α = 0.01. Seleccionar entre los tres el
modelo más adecuado, justificando la respuesta.
7
17. Una de las etapas de fabricación de circuitos impresos requiere perforar las placas y recubrir
los orificios con una lámina de cobre mediante electrólisis. Una caracteŕıstica esencial del
proceso es el grosor de la capa de cobre. Se han realizado 12 experimentos para evaluar
el efecto de 7 variables, X1: Concentración de Cobre, X2: Concentración de Cloruro, X3:
Concentración de Ácido, X4: Temperatura, X5: Intensidad, X6: Posición y X7: Superficie
de la placa. Cada variable se ha estudiado a dos niveles. Las condiciones experimentales y
los resultados de cada experimento se muestran en la tabla.
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Y
1 1 -1 1 1 1 -1 2.13
1 -1 1 1 1 -1 -1 2.15
-1 1 1 1 -1 -1 -1 1.67
1 1 1 -1 -1 -1 1 1.53
1 1 -1 -1 -1 1 -1 1.49
1 -1 -1 -1 1 -1 1 1.78
-1 -1 -1 1 -1 1 1 1.80
-1 -1 1 -1 1 1 -1 1.93
-1 1 -1 1 1 -1 1 2.19
1 -1 1 1 -1 1 1 1.61
-1 1 1 -1 1 1 1 1.70
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1.43
Responder a las siguientes preguntas aplicando el modelo de regresión múltiple: matriz
identidad de 8× 8.
(a) Estimar el modelo de regresión múltiple
yi = β0 + β1x1i + β2x2i + β3x3i + β4x4i + β5x5i + β6x6i + β7x7i + ui.
Obtener la descomposición de la variabilidad del modelo y realizar el contraste
H0 : β1 = β2 = β3 = β4 = β5 = β6 = β7 = 0
frente a la hipótesis alternativa H1: algún βj es distinto de cero.
(b) Realizar cada uno de los contrastes individuales e indicar qué variables tienen efecto
significativo.
(c) Eliminar del modelo del apartado 1 todas las variables no significativas. Estimar el
modelo y contrastar sus coeficientes. Interpretar los resultados del experimento.
18. El molibdeno se añade a los aceros para evitar su oxidación, pero en instalaciones nucleares
presenta el inconveniente de ser el causante de gran parte de los productos radioactivos. Se
ha realizado un experimento para determinar el grado de oxidación del acero en función del
porcentaje de molibdeno. Además se ha tenido en cuenta el efecto del tipo de refrigerante
utilizado (R1, R2). Los resultados se muestran en la tabla.
8
Molibdeno (%)
Refrig. 0.5% 1% 1.5% 2% Medias
R1 26.2 23.4 20.3 23.3 23.3
R2 34.8 31.7 29.4 26.9 30.7
R1 33.2 31.3 28.6 29.3 30.6
R2 43.0 40.0 31.7 33.3 37.0
Media 34.3 31.6 27.5 28.2 30.4
(a) Escribir un modelo de regresión que incluya el porcentaje de molibdeno y el tipo de re-
frigerante como regresores; estimar el modelo e indicar qué parámetros son significativos
(α = 0.05)).
(b) Los experimentos relativos a las dos primeras filas se realizaron en un tipo de instalación
y los correspondientes a las dos últimas en otra distinta. Escribir un nuevo modelo que
incluya este aspecto. Comprobar que este nuevo regresor está incorrelado con los dos
anteriores. Estimar el nuevo modelo.
(c) Demostrar que en un modelo con los regresores incorrelados, la eliminación de uno
de ellos no influye en el valor de los estimadores β̂i, (i 6= 0) restantes. ¿ Influye en
la varianza residual y en los contrastes ? Explicar este efecto en función de que el
parámetro β del regresor eliminado sea o no nulo.
19. Sea x1 la altura del tronco de un árbol y x2 el diámetro del mismo en su parte inferior. El
volumen y del tronco de árbol puede ser calculado aproximadamente con el modelo
yi = αx1ix
2
2i + ui,
según el cual, el volumen del tronco es proporcional al volumen de un cono con las medidas
x1i, x2i, siendo α el parámetro (desconocido) de proporcionalidad, más una componente
de error aleatorio ui. La tabla siguiente contiene los datos (en metros y metros cúbicos)
correspondientes a una muestra aleatoria de 15 troncos de una variedad de pino.
Obs. x1i x2i yi
1 10,1 0,117 0,062
2 11,3 0,130 0,085
3 20,4 0,142 0,204
4 14,9 0,193 0,227
5 23,8 0,218 0,470
6 19,5 0,236 0,484
7 21,6 0,257 0,623
8 22,9 0,269 0,722
9 19,8 0,297 0,821
10 26,8 0,328 1,280
11 21,0 0,351 1,034
12 27,4 0,376 1,679
13 29,0 0,389 2,073
14 27,4 0,427 2,022
15 31,7 0,594 4,630
9
(a) Estimar α por máxima verosimilitud suponiendo que las variables ui tienen distribución
normal de media cero, con la misma varianza e independientes.
(b) Un tronco tiene una altura de 20 metros y un diametro de 0.25 metros, dar un intervalo
de predicción de su volumen (95% de confianza).
(c) En el análisis de los residuos se observa que la varianza de los errores crece con el
volumen del tronco. Para obtener homocedasticidad se propone el siguiente modelo
transformado utilizando logaritmos neperianos,
log yi = β
0
+ β
1
log x1i + β
2
log x2i + ui
Contrastar (nivel de significación 0.05) si estos dos valores son aceptables.
(d) Con este modelo, dar un intervalo de predicción (95% de confianza) para el volumen
del tronco del apartado 2.
20. Ciertas propiedadesdel acero se mejoran sumergiéndolo a alta temperatura (T0 = 1525
oF ) en un baño templado de aceite (t0 = 95 oF ). Para determinar la influencia de las
temperaturas del acero y del baño de aceite en las propiedades finales del material se han
elegido tres valores de la temperatura del acero y tres del baño de aceite,
Temperatura acero (T )



1450 oF
1525 oF
1600 oF
Temperatura aceite (t)



70 oF
95 oF
120 oF
y se han realizado los siguientes experimentos:
x1i 0 0 0 0 -1 1 -1 1 0 0 -1 1
x2i 0 0 0 0 -1 -1 1 1 -1 1 0 0
yi 49.2 49.4 47.0 49.5 28.2 88.6 54.9 31.3 59.2 43.6 41.9 58.0
dónde se ha utilizado la siguiente transformación (para simplificar cálculos)
x1i =
Ti − 1525
75
y x2i =
ti − 95
25
.
Estimar el modelo de regresión
yi = β
0
+ β
1
x1i + β
2
x2i + β
3
x1ix2i + ui
e indicar qué parámetros son significativos para nivel de significación 0.05. Estimar y con-
trastar el modelo anterior empleando las variables originales Ti y ti.
10
FORMULARIO DE LA ASIGNATURA 
DISEÑO DE EXPERIMENTOS Y MODELOS DE REGRESIÓN 
Cátedra de Estadística ETSII – UPM 
Versión 2022.02 
Tema 1. Análisis de la varianza 
1) Comparación de dos tratamientos:
1.a) Modelo: ��� = �� + ���, ∀
 ∈ �1, ��, � ∈ �1, ��� ��� → �(0, �) 
I : número de tratamientos ��: número de observaciones del tratamiento i-ésimo
1.b) Comparación de medias:
(�̄�•��̄�•)�(�����)
 ̂"# �$�% �$�
→ &'�( donde )̂*( = '��+'�%'��( )̂+( + '��+'�%'��( )̂((
1.c) Comparación de varianzas: 
 )̂+(�+(
)̂((�((, → -'��+,'��+
2) Comparación de ‘k’ tratamientos:
2.a) Modelo: ��� = �� + ���, ��� → �(0, �) 
2.b) Descomposición de variabilidad:
./ = ∑ ∑ (��� − �••)('2�3+4�3+
.5 = ∑ ��(��• − �••)(4�3+
.�5 = ∑ ∑ (��� − ��•)('2�3+4�3+ = ∑ ∑ 6��('2�3+4�3+
2.c) Tabla Análisis de Varianza:
Suma de Grados de
Fuentes Cuadrados Libertad Varianzas F
Tratamientos ∑��(��• − �••)( 8 − 1 .5/(8 − 1) ∑ ��(��• − �••)(
(8 − 1))̂*(
Residual ∑∑(��� − ��•)( � − 8 )̂*( = .�5/(� − 8)
Total ∑∑(��� − �••)( � − 1
2.d) Intervalos de confianza para medias:
�� ∈ ��• ± &;/( )̂*<��
2.e) Contraste dos a dos para la diferencia de medias:
&�� = �̄�• − �̄�• − =�� − ��>
)̂*? 1�� + 1��
→ &'�4
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Tema 2. Diseño de experimentos 
1) Dos factores con interacción ���@ = � + A� + B� + AB�� + ���@ ∀
 ∈ �1, ��, � ∈ �1, C�, D ∈ �1, E� ���@ → �(0, �) ; ∑ A� = 0G�3+ ; ∑ B� = 0H�3+ ; ∑ AB�� = 0G�3+ , ∀� ; ∑ AB�� = 0H�3+ , ∀
 
I : número de niveles factor A J : número de niveles factor B m : número de replicaciones 
1.a) Descomposición de variabilidad: ./ = ∑ ∑ ∑ (���@ − �•••)(I@3+H�3+G�3+ .�5 = ∑ ∑ ∑ 6��@(I@3+H�3+G�3+ 6��@ = ���@ − ���• 
.5(J) = EC ∑ (��•• − �•••)( = EC ∑ (AK�)(G�3+G�3+ .5(L) = E� ∑ (�•�• − �•••)( = E� ∑ (BM�)(G�3+H�3+ .5(J × L) = E ∑ ∑ (AB��)(H�3+G�3+ 
1.b) Tabla de Análisis de Varianza: Fuentes Suma de Grados deVariabilidad Cuadrados Libertad. Varianza - c − valor
J EC∑(��•• − �•••)( � − 1 )̂e( = .5(J)/(� − 1) )̂e( )̂*(, ce
L E�∑(�•�• − �•••)( C − 1 )̂f( = .5(J)/(C − 1) )̂f( )̂*(, cf
J × L E∑∑(���• − ��•• − �•�• + �•••)( (� − 1)(C − 1) )̂ef( = .5(JL)/(� − 1)(C − 1) )̂ef( )̂*(, cefResidual ∑∑∑6��@( �C(E − 1) )̂*( = .�5/(�C(E − 1))Total ∑∑∑(���@ − �•••)( � − 1
 
 
1.c) Comparaciones múltiples (interacción nula): factor A ij̄k•• − j̄l•• − =mk − ml>n oKp<q/rst → uvs(r�w) 
1.d) Intervalos de confianza (interacción nula): factor A � + A� ∈ ��•• ± &;( · )̂* / <EC 
1.e) Intervalos de confianza (interacción significativa): � + A� + B� + ( AB)�� ∈ ���• ± &;/( · )̂* / √E 
2) Bloques aleatorizados ��� = � + A� + B� + ��� ∀
 ∈ �1, ��, � ∈ �1, C� ; ���@ → �(0, �) ; ∑ A� = 0G�3+ ∑ B� = 0H�3+ 
I : número de niveles Factor J : número de niveles Bloque 
2.a) Descomposición de variabilidad: 
./ = ∑ ∑ (��� − �••)(H�3+G�3+ .�5 = ∑ ∑ 6��(H�3+G�3+ 
.5(/) = C ∑ (��• − �••)(G�3+ .5(L) = � ∑ (�•� − �••)(H�3+ 
6�� = ��� − ��• − �•� + �•• 
2.b) Tabla de Análisis de Varianza: 
Fuentes Suma de Grados deVariabilidad Cuadrados Libertad. Varianza - c − valor
Factor C∑(��• − �••)( � − 1 )̂{( = .5(/)/(� − 1) )̂{( )̂*(, c{
Bloque �∑(�•� − �••)( C − 1 )̂f( = .5(L)/(C − 1) )̂f( )̂*(, cfResidual ∑∑6��( (� − 1)(C − 1) )̂*( = .�5/(� − 1)(C − 1)Total ∑∑(��� − �••)( n-1
 
2.c) Intervalo de confianza (para los tratamientos): � + A� ∈ ��• ± &;/( )̂* /<C 
2.d) Contraste dos a dos (para los tratamientos): i�̄�• − �̄�• − =A� − A�>n )̂*<2/Ct → &(G�+)(H�+) 
 
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Tema 3. Modelos de Regresión 
1) Regresión lineal simple (RLS) 
1.a) Estimación: 
BM+ = cov( ��, ��) / var( ��) BM� = � − BM+� )̂*( = ∑ �2�$2��'�( 
1.b) Distribución de estimadores: 
BM+ → �(B+, �( (�)�()⁄ ) BM� → � �B�, ��
' i1 + �̄�
 ��n� ('�() ̂"��� → �'�(( 
1.c) Contrastes: 
=BM+ − B+> i ̂"√' �nt → &'�( =BM� − B�> � ̂"√' #1 + �̄� ���t → &'�( 
1.d) Descomposición de la variabilidad: .5 = BM+( � )�( .�5 = )̂*( · (� − 2) ./ = )̂�( · (� − 1) 
2) Regresión lineal múltiple (RLM) 
2.a) Estimación: 
�� = (�{�)�+�{� )̂*( = ∑ 6�('�3+� − D − 1 
2.b) Distribución de estimadores: 
�� → �(�, �((�{�)�+) (� − D − 1))̂*(�( → �'�@�+( 
2.c) Varianza estimadores para k = 2: 
var ��BM+BM(�� =
⎝
⎜⎛
�(
�)+((1 − �+(( ) −�+(�(
�)+)((1 − �+(( )−�+(�(
�)+)((1 − �+(( ) �(
�)(((1 − �+(( ) ⎠
⎟⎞ 
2.d) Contrastes individuales y contraste general: 
C. Individuales: BM� − B�)̂*<��� → &'�@�+ C. General: .5/D)̂*( → -@,'�@�+ 
2.e) Modelo en diferencias a la media: �� = (��{��)�+��{�� = (���)�+(���) �� → �(�, �(=��{��)�+> = �(�, �((��� · �)�+) 
 
2.f) Coeficiente de determinación ( () y coeficiente de determinación corregido ( ¡ (): 
 ( = .5./ = ∑(�K� − �̄)(∑(�� − �̄)(  ¡ ( = 1 − )̂*()̂�( = 1 − .�5./ · � − 1� − D − 1 = 1 − (1 −  () · � − 1� − D − 1 
 
2.g) Cálculo de predicción e intervalo de confianza: 
- IC para la media: E¢ ∈ �K¢ ± &£� )̂*<¤¢¢ 
- IC para una nueva observación: �¢ ∈ �K¢ ± &;/()̂*<1 + ¤¢¢ 
 donde ¤¢¢ se calcula: 
- RLS: ¤¢¢ = +' i1 + (�¥��̄)�
 �� n 
- RLM (alternativa 1): ¤¢¢ = +' §1 + i(¨¢ − ¨̄){����+(¨¢ − ¨̄)n© donde ¨¢ = ª�+,¢ �(,¢ ··· �@,¢«{
 
- RLM (alternativa 2): ¤¢¢ = ¨¢{(�{�)�+¨¢ donde ¨¢ = ª1 �+,¢ �(,¢ ··· �@,¢«{
 
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4. Instrucciones Esenciales R 
0) Previo 
maquinas = read.table( 'maquinas.txt', header=T ) # lectura del archivo de texto 'maquinas.txt' 
head(maquinas) # Muestra las 6 primeras filas del 'data frame' maquinas 
View(maquinas) # Abre una ventana nueva y muestra los datos 
names(maquinas) # Proporciona los nombres de las variables del 'data.frame' maquinas 
maquinas$maq = factor(maquinas$maq) # Transforma una variable numérica a un *factor* 
?head # Con ? delante de una función nos proporciona información de la función 
 
#--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
# Cálculo de probabilidades 
dnorm(x, 0, 1) # Función densidad de una distribución normal N(0,1) 
pnorm(q, 0, 1) # Función distribución de una distribución normal N(0,1) 
qnorm(p, 0, 1) # Función distribución inversa de una distribución normal N(0,1) 
 
 F. distr. Inv. F. distrib. F. Densidad Números aleatorios 
Binomial pbinom qbinom dbinom rbinom 
Chi-Cuadrado pchisq qchisq dchisq rchisq 
Exponencial pexp qexp dexp rexp 
F pf qf df rf 
Geométrica pgeom qgeom dgeom rgeom 
Normal pnorm qnorm dnorm rnorm 
Poisson ppois qpois dpois rpois 
T-Student pt qt dt rt 
#---------------------------------------------------------------------------------------------------------Instalación del paquete DisRegETSII: 
 
1. Instalar el paquete “devtools” y cargarlo: 
install.packages("devtools") 
library(devtools) 
2. Instalar el paquete utilizando la funcion install_github de devtools 
install_github("javiercara/DisRegETSII") 
1) Comparación de dos tratamientos 
t.test(rend ~ maq, data = maquinas, 
 var.equal=T, conf.level = 0.95) # comparación e intervalo de confianza de dos medias 
t.test(maquinas$rend ~ maquinas$maq, 
 var.equal=T, conf.level = 0.95) # alternativa a la inst. anterior (válido tmb para var.test, aov) 
var.test(rend ~ maq, data = maquinas) # comparación e intervalo de confianza para dos varianzas 
2) Comparación de K tratamientos (modelo con factor) 
centeno = read.table("centeno.txt",header=TRUE) # Lee el archivo 
m = aov(rend ~ sem , data = centeno) # Análisis de la varianza (aov) de *rend* en función del factor *sem* 
anova(m) # Muestra la tabla de análisis de la varianza del modelo *m* 
model.tables(m,"means") # Proporciona las medias de los distintos tratamientos 
tapply(centeno$rend,centeno$sem,mean) # Otra forma pra proporcionar las medias de los distintos tratam. 
tapply(centeno$rend,centeno$sem,sd) # *tapply* es muy útil, puede calcular *sd*, *var*, *length*, etc 
residuals(m) # los residuos del modelo (sirve para cualquier modelo) 
predict(m) # los valores predichos para cada obs. (sirve para cualquier modelo) 
ICplot(m,'sem',alpha = 0.05) # Gráfico de los IC para las medias de cada tratamiento 
pairwise.t.test(centeno$rend, centeno$sem, 
 p.adjust.method = 'none') # Comparación de medias dos - a – dos 
3) Modelo con dos factores e interacción 
venenos = read.table("venenos.txt",header=TRUE) # Lee el archivo 
m1 = aov(tiempo ~ ant*ven , 
 data = venenos) # Realiza el aov de *tiempo* en función de dos factores con interacción 
m2 = aov(tiempo ~ ant+ven , 
 data = venenos) # Realiza el aov de *tiempo* en función de dos factores sin interacción 
anova(m1) # Tabla de análisis de la varianza del modelo *m1* 
model.tables(m1,"means") # Proporciona las medias por filas, columnas, tratamientos y la media global 
model.tables(m1,"effects") # Proporciona las estimaciones de los parámetros del modelo 
tapply(venenos$tiempo,venenos$ant,mean) # medias para cada antídoto (*ant*) 
tapply(venenos$tiempo,list(venenos$ant, 
 venenos$ven),mean) # Medias de las combinaciones *ant* y *ven* (tratamientos) 
tapply(venenos$tiempo,list(venenos$ant, 
 venenos$ven),var) # Se puede utilizar cualquier función, por ejemplo varianza 
ICplot(m1, 'ant', alpha = 0.05) # Gráfico de los IC para las medias de los cuatro *ant* 
ICplot(m1, 'ven', alpha = 0.05) # Gráfico de los IC para las medias de los tres *ven* 
source("interIC.R") # Carga en memoria interIC.R (debe estar en la carpeta) 
interIC(m1, 'ant','ven', alpha = 0.05) # Gráfico de interacción (IC para las medias de cada tratamiento) 
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4) Diagnosis del modelo 
plot(m1) # Realiza los gráficos importantes para la diagnosis 
plot(as.numeric(venenos$ven), 
 residuals(m1)) # Gráfico de residuos para cada veneno 
plot(predict(m1),residuals(m1)) # Gráfico de residuos frente a medias de tratamientos 
qqnorm(residuals(m1)) # QQ plot de los residuos para comprobar normalidad 
qqline(residuals(m1)) # añade linea al QQ plot de los residuos 
5) Regresión simple 
cars1 = read.table("cars.txt"), header = T) # carga los datos (el archivo debe estar en la carpeta) 
m0 = lm (mpg ~ horse, data = cars1) # estima el modelo de regresión: mpg = b0 + b1 horse + u 
summary(m0) # proporciona los resultados del modelo m0 
plot(cars1$horse,cars1$mpg) # gráfico de dispersión entre horse (x) y mpg (y) 
abline (m0,col="red",wd=2) # dibuja la recta de reg. estimada en m0 (color rojo y grosor=2) 
6) Regresión múltiple 
m1 = lm (mpg ~ horse + weight + 
accel, data = cars1) # estima el modelo de regresión múltiple 
m1a = lm (mpg ~ horse + 
I(horse^2) + weight + 
accel, data = cars1) # incluye el término horse al cuadrado 
m1b = lm (mpg ~ horse + weight + 
I(horse*weight) + 
accel, data = cars1) # incluye el término horse*weight 
m1c = lm (log(mpg) ~ horse + weight + 
accel, data = cars1) # utiliza el log de mpg como variable respuesta 
7) Regresión múltiple con variables cualitativas 
cars1$origin = factor( cars1$origin, 
labels = c("USA","EUR","JAP")) # Convierte "origin" a tipo "factor" y se asignan etiquetas 
m2 = lm (mpg ~ horse + weight + accel + origin, 
data = cars1) # modelo con variable cualitativa (utiliza la 1ª como referencia) 
cars1$origin = relevel(cars1$origin, 
ref = "EUR") # Cambia el nivel de referencia (por defecto el primero) 
m2a = lm (mpg ~ horse + weight + accel + origin, 
data = cars1) # modelo con variable cualitativa con EUR como referencia 
m2b = lm (mpg ~ weight + accel + origin + horse*origin, 
data = cars1) # modelo con parámetros asociados a horse distintos para cada origen 
m3 = lm (mpg ~ ., data = cars1) # utiliza todas las variables en cars1 como regresores 
anova(m3) # análisis de la varianza del modelo m3 
8) Diagnosis del modelo de regresión 
plot(m0) # diagnosis del modelo m0 
resi = residuals(m0) # residuos para las observaciones en cars1 
pred = predict(m0) # valores predichos (ajustados) para las observaciones en cars1 
plot(pred,resi) # Diagnosis: comprueba linealidad y homocedasticidad 
qqnorm(resi) # Diagnosis: comprueba normalidad 
qqline(resi) # añade recta al qqplot para comprobar normalidad 
9) Predicción 
xnueva = data.frame(engine=180, 
 horse =100,weight=3000, accel =10, 
 origin = "JAP", cylinders=4) # coche nuevo para hacer predicción del consumo 
predict(m3,xnueva,interval = "confidence") # predicción e intervalo para la media 
predict(m3,xnueva,interval = "prediction") # predicción e intervalo para una nueva observación 
10) Otras instrucciones para regresión 
m4 = step(m3) # a partir de m3 selecciona el modelo utilizando STEPWISE 
coefficients(m4) # coeficientes del modelo 
confint(m4, level=0.95) # intervalo de confianza para los coef. 
vcov(m4) # matriz de varianza de los parámetros estimados 
out = influence(m4) # diagnosis sobre datos atípicos 
5. Tablas 
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1) Distribución Normal Estándar 
 
La tabla muestra los valores ¬ tales que  (® ≤ ¬). 
 
z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 
0.0 0.50000 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.52790 0.53188 0.53586 
0.1 0.53983 0.54380 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.57535 
0.2 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.61409 
0.3 0.61791 0.62172 0.62552 0.62930 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.65173 
0.4 0.65542 0.65910 0.66276 0.66640 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.68793 
0.5 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.70540 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.72240 
0.6 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.75490 
0.7 0.75804 0.76115 0.76424 0.76730 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.78230 0.78524 
0.8 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.81327 
0.9 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.83891 
1.0 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.86214 
1.1 0.86433 0.86650 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.87900 0.88100 0.882981.2 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.89973 0.90147 
1.3 0.90320 0.90490 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91309 0.91466 0.91621 0.91774 
1.4 0.91924 0.92073 0.92220 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.93189 
1.5 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.94408 
1.6 0.94520 0.94630 0.94738 0.94845 0.94950 0.95053 0.95154 0.95254 0.95352 0.95449 
1.7 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.96080 0.96164 0.96246 0.96327 
1.8 0.96407 0.96485 0.96562 0.96638 0.96712 0.96784 0.96856 0.96926 0.96995 0.97062 
1.9 0.97128 0.97193 0.97257 0.97320 0.97381 0.97441 0.97500 0.97558 0.97615 0.97670 
2.0 0.97725 0.97778 0.97831 0.97882 0.97932 0.97982 0.98030 0.98077 0.98124 0.98169 
2.1 0.98214 0.98257 0.98300 0.98341 0.98382 0.98422 0.98461 0.98500 0.98537 0.98574 
2.2 0.98610 0.98645 0.98679 0.98713 0.98745 0.98778 0.98809 0.98840 0.98870 0.98899 
2.3 0.98928 0.98956 0.98983 0.99010 0.99036 0.99061 0.99086 0.99111 0.99134 0.99158 
2.4 0.99180 0.99202 0.99224 0.99245 0.99266 0.99286 0.99305 0.99324 0.99343 0.99361 
2.5 0.99379 0.99396 0.99413 0.99430 0.99446 0.99461 0.99477 0.99492 0.99506 0.99520 
2.6 0.99534 0.99547 0.99560 0.99573 0.99585 0.99598 0.99609 0.99621 0.99632 0.99643 
2.7 0.99653 0.99664 0.99674 0.99683 0.99693 0.99702 0.99711 0.99720 0.99728 0.99736 
2.8 0.99744 0.99752 0.99760 0.99767 0.99774 0.99781 0.99788 0.99795 0.99801 0.99807 
2.9 0.99813 0.99819 0.99825 0.99831 0.99836 0.99841 0.99846 0.99851 0.99856 0.99861 
3.0 0.99865 0.99869 0.99874 0.99878 0.99882 0.99886 0.99889 0.99893 0.99896 0.99900 
3.1 0.99903 0.99906 0.99910 0.99913 0.99916 0.99918 0.99921 0.99924 0.99926 0.99929 
3.2 0.99931 0.99934 0.99936 0.99938 0.99940 0.99942 0.99944 0.99946 0.99948 0.99950 
3.3 0.99952 0.99953 0.99955 0.99957 0.99958 0.99960 0.99961 0.99962 0.99964 0.99965 
3.4 0.99966 0.99968 0.99969 0.99970 0.99971 0.99972 0.99973 0.99974 0.99975 0.99976 
3.5 0.99977 0.99978 0.99978 0.99979 0.99980 0.99981 0.99981 0.99982 0.99983 0.99983 
3.6 0.99984 0.99985 0.99985 0.99986 0.99986 0.99987 0.99987 0.99988 0.99988 0.99989 
3.7 0.99989 0.99990 0.99990 0.99990 0.99991 0.99991 0.99992 0.99992 0.99992 0.99992 
3.8 0.99993 0.99993 0.99993 0.99994 0.99994 0.99994 0.99994 0.99995 0.99995 0.99995 
3.9 0.99995 0.99995 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99997 0.99997 
4.0 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 
4.1 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 0.99999 0.99999 
 
 Ejemplo:  (® ≤ 1,96) = 0,97500 
 
Formulario de “Diseño de Experimentos y Modelos de Regresión” ETSII-UPM 
Página 7 de 14
2) Distribución ·q
La tabla muestra los valores � tales que  (�'2 ≥ �) = A
A 
n 0.995 0.99 0.975 0.95 0.5 0.05 0.025 0.01 0.005 
1 0.00004 0.0002 0.001 0.004 0.455 3.841 5.024 6.635 7.879 
2 0.010 0.020 0.051 0.103 1.386 5.991 7.378 9.210 10.597 
3 0.072 0.115 0.216 0.352 2.366 7.815 9.348 11.345 12.838 
4 0.207 0.297 0.484 0.711 3.357 9.488 11.143 13.277 14.860 
5 0.412 0.554 0.831 1.145 4.351 11.070 12.833 15.086 16.750 
6 0.676 0.872 1.237 1.635 5.348 12.592 14.449 16.812 18.548 
7 0.989 1.239 1.690 2.167 6.346 14.067 16.013 18.475 20.278 
8 1.344 1.646 2.180 2.733 7.344 15.507 17.535 20.090 21.955 
9 1.735 2.088 2.700 3.325 8.343 16.919 19.023 21.666 23.589 
10 2.156 2.558 3.247 3.940 9.342 18.307 20.483 23.209 25.188 
11 2.603 3.053 3.816 4.575 10.341 19.675 21.920 24.725 26.757 
12 3.074 3.571 4.404 5.226 11.340 21.026 23.337 26.217 28.300 
13 3.565 4.107 5.009 5.892 12.340 22.362 24.736 27.688 29.819 
14 4.075 4.660 5.629 6.571 13.339 23.685 26.119 29.141 31.319 
15 4.601 5.229 6.262 7.261 14.339 24.996 27.488 30.578 32.801 
16 5.142 5.812 6.908 7.962 15.338 26.296 28.845 32.000 34.267 
17 5.697 6.408 7.564 8.672 16.338 27.587 30.191 33.409 35.718 
18 6.265 7.015 8.231 9.390 17.338 28.869 31.526 34.805 37.156 
19 6.844 7.633 8.907 10.117 18.338 30.144 32.852 36.191 38.582 
20 7.434 8.260 9.591 10.851 19.337 31.410 34.170 37.566 39.997 
21 8.034 8.897 10.283 11.591 20.337 32.671 35.479 38.932 41.401 
22 8.643 9.542 10.982 12.338 21.337 33.924 36.781 40.289 42.796 
23 9.260 10.196 11.689 13.091 22.337 35.172 38.076 41.638 44.181 
24 9.886 10.856 12.401 13.848 23.337 36.415 39.364 42.980 45.559 
25 10.520 11.524 13.120 14.611 24.337 37.652 40.646 44.314 46.928 
26 11.160 12.198 13.844 15.379 25.336 38.885 41.923 45.642 48.290 
27 11.808 12.879 14.573 16.151 26.336 40.113 43.195 46.963 49.645 
28 12.461 13.565 15.308 16.928 27.336 41.337 44.461 48.278 50.993 
29 13.121 14.256 16.047 17.708 28.336 42.557 45.722 49.588 52.336 
30 13.787 14.953 16.791 18.493 29.336 43.773 46.979 50.892 53.672 
40 20.707 22.164 24.433 26.509 39.335 55.758 59.342 63.691 66.766 
50 27.991 29.707 32.357 34.764 49.335 67.505 71.420 76.154 79.490 
60 35.534 37.485 40.482 43.188 59.335 79.082 83.298 88.379 91.952 
70 43.275 45.442 48.758 51.739 69.334 90.531 95.023 100.425 104.215 
80 51.172 53.540 57.153 60.391 79.334 101.879 106.629 112.329 116.321 
90 59.196 61.754 65.647 69.126 89.334 113.145 118.136 124.116 128.299 
100 67.328 70.065 74.222 77.929 99.334 124.342 129.561 135.807 140.169 
110 75.550 78.458 82.867 86.792 109.334 135.480 140.917 147.414 151.948 
120 83.852 86.923 91.573 95.705 119.334 146.567 152.211 158.950 163.648 
Ejemplo:  (χ9( ≥ 19,02) = 0,025
Formulario de “Diseño de Experimentos y Modelos de Regresión” ETSII-UPM 
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3) Distribución t-Student 
 
La tabla muestra los valores � tales que  (&� ≥ �) = A. 
A 
n 0.2 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0025 0.001 0.0005 
1 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 127.321 318.309 636.619 
2 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 14.089 22.327 31.599 
3 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.215 12.924 
4 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 7.173 8.610 
5 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 5.893 6.869 
6 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959 
7 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408 
8 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 3.833 4.501 5.041 
9 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 3.690 4.297 4.781 
10 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4.144 4.587 
11 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 4.025 4.437 
12 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 3.930 4.318 
13 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 3.852 4.221 
14 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 3.787 4.140 
15 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 3.733 4.073 
16 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.252 3.686 4.015 
17 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.222 3.646 3.965 
18 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.197 3.610 3.922 
19 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.174 3.579 3.883 
20 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.153 3.552 3.850 
21 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.135 3.527 3.819 
22 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.119 3.505 3.792 
23 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.104 3.485 3.768 
24 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.091 3.467 3.745 
25 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.078 3.450 3.725 
26 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.067 3.435 3.707 
27 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.057 3.421 3.690 
28 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.047 3.408 3.674 
29 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.038 3.396 3.659 
30 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.030 3.385 3.646 
40 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 2.971 3.307 3.551 
50 0.849 1.047 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 2.937 3.261 3.496 
60 0.848 1.045 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 2.915 3.232 3.460 
70 0.847 1.044 1.294 1.667 1.994 2.381 2.648 2.899 3.211 3.435 
80 0.846 1.043 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639 2.887 3.195 3.416 
90 0.846 1.042 1.291 1.662 1.987 2.368 2.632 2.878 3.183 3.402 
100 0.845 1.042 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626 2.871 3.174 3.390 
Inf 0.842 1.036 1.282 1.645 1.9602.326 2.576 2.807 3.090 3.291 
 
Ejemplo:  (&9 ≥ 2,262) = 0,025 
 
 
Formulario de “Diseño de Experimentos y Modelos de Regresión” ETSII-UPM 
Página 9 de 14 
4) Distribución º(m = », »¼) 
 
La tabla muestra los valores � tales que  (-E, � ≥ �) = 0,05. 
E 
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
1 161.448 199.500 215.707 224.583 230.162 233.986 236.768 238.883 240.543 241.882 
2 18.513 19.000 19.164 19.247 19.296 19.330 19.353 19.371 19.385 19.396 
3 10.128 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845 8.812 8.786 
4 7.709 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041 5.999 5.964 
5 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818 4.772 4.735 
6 5.987 5.143 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147 4.099 4.060 
7 5.591 4.737 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726 3.677 3.637 
8 5.318 4.459 4.066 3.838 3.687 3.581 3.500 3.438 3.388 3.347 
9 5.117 4.256 3.863 3.633 3.482 3.374 3.293 3.230 3.179 3.137 
10 4.965 4.103 3.708 3.478 3.326 3.217 3.135 3.072 3.020 2.978 
11 4.844 3.982 3.587 3.357 3.204 3.095 3.012 2.948 2.896 2.854 
12 4.747 3.885 3.490 3.259 3.106 2.996 2.913 2.849 2.796 2.753 
13 4.667 3.806 3.411 3.179 3.025 2.915 2.832 2.767 2.714 2.671 
14 4.600 3.739 3.344 3.112 2.958 2.848 2.764 2.699 2.646 2.602 
15 4.543 3.682 3.287 3.056 2.901 2.790 2.707 2.641 2.588 2.544 
16 4.494 3.634 3.239 3.007 2.852 2.741 2.657 2.591 2.538 2.494 
17 4.451 3.592 3.197 2.965 2.810 2.699 2.614 2.548 2.494 2.450 
18 4.414 3.555 3.160 2.928 2.773 2.661 2.577 2.510 2.456 2.412 
19 4.381 3.522 3.127 2.895 2.740 2.628 2.544 2.477 2.423 2.378 
20 4.351 3.493 3.098 2.866 2.711 2.599 2.514 2.447 2.393 2.348 
21 4.325 3.467 3.072 2.840 2.685 2.573 2.488 2.420 2.366 2.321 
22 4.301 3.443 3.049 2.817 2.661 2.549 2.464 2.397 2.342 2.297 
23 4.279 3.422 3.028 2.796 2.640 2.528 2.442 2.375 2.320 2.275 
24 4.260 3.403 3.009 2.776 2.621 2.508 2.423 2.355 2.300 2.255 
25 4.242 3.385 2.991 2.759 2.603 2.490 2.405 2.337 2.282 2.236 
26 4.225 3.369 2.975 2.743 2.587 2.474 2.388 2.321 2.265 2.220 
27 4.210 3.354 2.960 2.728 2.572 2.459 2.373 2.305 2.250 2.204 
28 4.196 3.340 2.947 2.714 2.558 2.445 2.359 2.291 2.236 2.190 
29 4.183 3.328 2.934 2.701 2.545 2.432 2.346 2.278 2.223 2.177 
30 4.171 3.316 2.922 2.690 2.534 2.421 2.334 2.266 2.211 2.165 
40 4.085 3.232 2.839 2.606 2.449 2.336 2.249 2.180 2.124 2.077 
50 4.034 3.183 2.790 2.557 2.400 2.286 2.199 2.130 2.073 2.026 
60 4.001 3.150 2.758 2.525 2.368 2.254 2.167 2.097 2.040 1.993 
70 3.978 3.128 2.736 2.503 2.346 2.231 2.143 2.074 2.017 1.969 
80 3.960 3.111 2.719 2.486 2.329 2.214 2.126 2.056 1.999 1.951 
90 3.947 3.098 2.706 2.473 2.316 2.201 2.113 2.043 1.986 1.938 
100 3.936 3.087 2.696 2.463 2.305 2.191 2.103 2.032 1.975 1.927 
Inf 3.841 2.996 2.605 2.372 2.214 2.099 2.010 1.938 1.880 1.831 
 
 5�E:  (-7,8 ≥ 3,50) = 0,05 
 
 
Formulario de “Diseño de Experimentos y Modelos de Regresión” ETSII-UPM 
Página 10 de 14 
Distribución º(m = », »¼) (continuación) 
 
La tabla muestra los valores � tales que  (-E, � ≥ �) = 0,05. 
E 
n 12 15 20 24 30 40 60 100 120 Inf 
1 243.906 245.950 248.013 249.052 250.095 251.143 252.196 253.041 253.253 254.314 
2 19.413 19.429 19.446 19.454 19.462 19.471 19.479 19.486 19.487 19.496 
3 8.745 8.703 8.660 8.639 8.617 8.594 8.572 8.554 8.549 8.526 
4 5.912 5.858 5.803 5.774 5.746 5.717 5.688 5.664 5.658 5.628 
5 4.678 4.619 4.558 4.527 4.496 4.464 4.431 4.405 4.398 4.365 
6 4.000 3.938 3.874 3.841 3.808 3.774 3.740 3.712 3.705 3.669 
7 3.575 3.511 3.445 3.410 3.376 3.340 3.304 3.275 3.267 3.230 
8 3.284 3.218 3.150 3.115 3.079 3.043 3.005 2.975 2.967 2.928 
9 3.073 3.006 2.936 2.900 2.864 2.826 2.787 2.756 2.748 2.707 
10 2.913 2.845 2.774 2.737 2.700 2.661 2.621 2.588 2.580 2.538 
11 2.788 2.719 2.646 2.609 2.570 2.531 2.490 2.457 2.448 2.404 
12 2.687 2.617 2.544 2.505 2.466 2.426 2.384 2.350 2.341 2.296 
13 2.604 2.533 2.459 2.420 2.380 2.339 2.297 2.261 2.252 2.206 
14 2.534 2.463 2.388 2.349 2.308 2.266 2.223 2.187 2.178 2.131 
15 2.475 2.403 2.328 2.288 2.247 2.204 2.160 2.123 2.114 2.066 
16 2.425 2.352 2.276 2.235 2.194 2.151 2.106 2.068 2.059 2.010 
17 2.381 2.308 2.230 2.190 2.148 2.104 2.058 2.020 2.011 1.960 
18 2.342 2.269 2.191 2.150 2.107 2.063 2.017 1.978 1.968 1.917 
19 2.308 2.234 2.155 2.114 2.071 2.026 1.980 1.940 1.930 1.878 
20 2.278 2.203 2.124 2.082 2.039 1.994 1.946 1.907 1.896 1.843 
21 2.250 2.176 2.096 2.054 2.010 1.965 1.916 1.876 1.866 1.812 
22 2.226 2.151 2.071 2.028 1.984 1.938 1.889 1.849 1.838 1.783 
23 2.204 2.128 2.048 2.005 1.961 1.914 1.865 1.823 1.813 1.757 
24 2.183 2.108 2.027 1.984 1.939 1.892 1.842 1.800 1.790 1.733 
25 2.165 2.089 2.007 1.964 1.919 1.872 1.822 1.779 1.768 1.711 
26 2.148 2.072 1.990 1.946 1.901 1.853 1.803 1.760 1.749 1.691 
27 2.132 2.056 1.974 1.930 1.884 1.836 1.785 1.742 1.731 1.672 
28 2.118 2.041 1.959 1.915 1.869 1.820 1.769 1.725 1.714 1.654 
29 2.104 2.027 1.945 1.901 1.854 1.806 1.754 1.710 1.698 1.638 
30 2.092 2.015 1.932 1.887 1.841 1.792 1.740 1.695 1.683 1.622 
40 2.003 1.924 1.839 1.793 1.744 1.693 1.637 1.589 1.577 1.509 
50 1.952 1.871 1.784 1.737 1.687 1.634 1.576 1.525 1.511 1.438 
60 1.917 1.836 1.748 1.700 1.649 1.594 1.534 1.481 1.467 1.389 
70 1.893 1.812 1.722 1.674 1.622 1.566 1.505 1.450 1.435 1.353 
80 1.875 1.793 1.703 1.654 1.602 1.545 1.482 1.426 1.411 1.325 
90 1.861 1.779 1.688 1.639 1.586 1.528 1.465 1.407 1.391 1.302 
100 1.850 1.768 1.676 1.627 1.573 1.515 1.450 1.392 1.376 1.283 
Inf 1.752 1.666 1.571 1.517 1.459 1.394 1.318 1.243 1.221 1.000 
 
 
Formulario de “Diseño de Experimentos y Modelos de Regresión” ETSII-UPM 
Página 11 de 14
5) Distribución º(m = », »q¼)
La tabla muestra los valores � tales que  (-E, � ≥ �) = 0,025. 
E 
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
1 647.789 799.500 864.163 899.583 921.848 937.111 948.217 956.656 963.285 968.627 
2 38.506 39.000 39.165 39.248 39.298 39.331 39.355 39.373 39.387 39.398 
3 17.443 16.044 15.439 15.101 14.885 14.735 14.624 14.540 14.473 14.419 
4 12.218 10.649 9.979 9.605 9.364 9.197 9.074 8.980 8.905 8.844 
5 10.007 8.434 7.764 7.388 7.146 6.978 6.853 6.757 6.681 6.619 
6 8.813 7.260 6.599 6.227 5.988 5.820 5.695 5.600 5.523 5.461 
7 8.073 6.542 5.890 5.523 5.285 5.119 4.995 4.899 4.823 4.761 
8 7.571 6.059 5.416 5.053 4.817 4.652 4.529 4.433 4.357 4.295 
9 7.209 5.715 5.078 4.718 4.484 4.320 4.197 4.102 4.026 3.964 
10 6.937 5.456 4.826 4.468 4.236 4.072 3.950 3.855 3.779 3.717 
11 6.724 5.256 4.630 4.275 4.044 3.881 3.759 3.664 3.588 3.526 
12 6.554 5.096 4.474 4.121 3.891 3.728 3.607 3.512 3.436 3.374 
13 6.414 4.965 4.347 3.996 3.767 3.604 3.483 3.388 3.312 3.250 
14 6.298 4.857 4.242 3.892 3.663 3.501 3.380 3.285 3.209 3.147 
15 6.200 4.765 4.153 3.804 3.576 3.415 3.293 3.199 3.123 3.060 
16 6.115 4.687 4.077 3.729 3.502 3.341 3.219 3.125 3.049 2.986 
17 6.042 4.619 4.011 3.665 3.438 3.277 3.156 3.061 2.985 2.922 
18 5.978 4.560 3.954 3.608 3.382 3.221 3.100 3.005 2.929 2.866 
19 5.922 4.508 3.903 3.559 3.333 3.172 3.051 2.956 2.880 2.817 
20 5.871 4.461 3.859 3.515 3.289 3.128 3.007 2.913 2.837 2.774 
21 5.827 4.420 3.819 3.475 3.250 3.090 2.969 2.874 2.798 2.735 
22 5.786 4.383 3.783 3.440 3.215 3.055 2.934 2.839 2.763 2.700 
23 5.750 4.349 3.750 3.408 3.183 3.023 2.902 2.808 2.731 2.668 
24 5.717 4.319 3.721 3.379 3.155 2.995 2.874 2.779 2.703 2.640 
25 5.686 4.291 3.694 3.353 3.129 2.969 2.848 2.753 2.677 2.613 
26 5.659 4.265 3.670 3.329 3.105 2.945 2.824 2.729 2.653 2.590 
27 5.633 4.242 3.647 3.307 3.083 2.923 2.802 2.707 2.631 2.568 
28 5.610 4.221 3.626 3.286 3.063 2.903 2.782 2.687 2.611 2.547 
29 5.588 4.201 3.607 3.267 3.044 2.884 2.763 2.669 2.592 2.529 
30 5.568 4.182 3.589 3.250 3.026 2.867 2.746 2.651 2.575 2.511 
40 5.424 4.051 3.463 3.126 2.904 2.744 2.624 2.529 2.452 2.388 
50 5.340 3.975 3.390 3.054 2.833 2.674 2.553 2.458 2.381 2.317 
60 5.286 3.925 3.343 3.008 2.786 2.627 2.507 2.412 2.334 2.270 
70 5.247 3.890 3.309 2.975 2.754 2.595 2.474 2.379 2.302 2.237 
80 5.218 3.864 3.284 2.950 2.730 2.571 2.450 2.355 2.277 2.213 
90 5.196 3.844 3.265 2.932 2.7112.552 2.432 2.336 2.259 2.194 
100 5.179 3.828 3.250 2.917 2.696 2.537 2.417 2.321 2.244 2.179 
Inf 5.024 3.689 3.116 2.786 2.567 2.408 2.288 2.192 2.114 2.048 
5�E:  (-7,8 ≥ 4,53) = 0,025
Formulario de “Diseño de Experimentos y Modelos de Regresión” ETSII-UPM 
Página 12 de 14 
Distribución F(α = 0,025) (continuación) 
 
La tabla muestra los valores � tales que  (-E, � ≥ �) = 0,025 
E 
n 12 15 20 24 30 40 60 100 120 Inf 
1 976.708 984.867 993.103 997.249 1001.414 1005.598 1009.800 1013.175 1014.020 1018.258 
2 39.415 39.431 39.448 39.456 39.465 39.473 39.481 39.488 39.490 39.498 
3 14.337 14.253 14.167 14.124 14.081 14.037 13.992 13.956 13.947 13.902 
4 8.751 8.657 8.560 8.511 8.461 8.411 8.360 8.319 8.309 8.257 
5 6.525 6.428 6.329 6.278 6.227 6.175 6.123 6.080 6.069 6.015 
6 5.366 5.269 5.168 5.117 5.065 5.012 4.959 4.915 4.904 4.849 
7 4.666 4.568 4.467 4.415 4.362 4.309 4.254 4.210 4.199 4.142 
8 4.200 4.101 3.999 3.947 3.894 3.840 3.784 3.739 3.728 3.670 
9 3.868 3.769 3.667 3.614 3.560 3.505 3.449 3.403 3.392 3.333 
10 3.621 3.522 3.419 3.365 3.311 3.255 3.198 3.152 3.140 3.080 
11 3.430 3.330 3.226 3.173 3.118 3.061 3.004 2.956 2.944 2.883 
12 3.277 3.177 3.073 3.019 2.963 2.906 2.848 2.800 2.787 2.725 
13 3.153 3.053 2.948 2.893 2.837 2.780 2.720 2.671 2.659 2.595 
14 3.050 2.949 2.844 2.789 2.732 2.674 2.614 2.565 2.552 2.487 
15 2.963 2.862 2.756 2.701 2.644 2.585 2.524 2.474 2.461 2.395 
16 2.889 2.788 2.681 2.625 2.568 2.509 2.447 2.396 2.383 2.316 
17 2.825 2.723 2.616 2.560 2.502 2.442 2.380 2.329 2.315 2.247 
18 2.769 2.667 2.559 2.503 2.445 2.384 2.321 2.269 2.256 2.187 
19 2.720 2.617 2.509 2.452 2.394 2.333 2.270 2.217 2.203 2.133 
20 2.676 2.573 2.464 2.408 2.349 2.287 2.223 2.170 2.156 2.085 
21 2.637 2.534 2.425 2.368 2.308 2.246 2.182 2.128 2.114 2.042 
22 2.602 2.498 2.389 2.331 2.272 2.210 2.145 2.090 2.076 2.003 
23 2.570 2.466 2.357 2.299 2.239 2.176 2.111 2.056 2.041 1.968 
24 2.541 2.437 2.327 2.269 2.209 2.146 2.080 2.024 2.010 1.935 
25 2.515 2.411 2.300 2.242 2.182 2.118 2.052 1.996 1.981 1.906 
26 2.491 2.387 2.276 2.217 2.157 2.093 2.026 1.969 1.954 1.878 
27 2.469 2.364 2.253 2.195 2.133 2.069 2.002 1.945 1.930 1.853 
28 2.448 2.344 2.232 2.174 2.112 2.048 1.980 1.922 1.907 1.829 
29 2.430 2.325 2.213 2.154 2.092 2.028 1.959 1.901 1.886 1.807 
30 2.412 2.307 2.195 2.136 2.074 2.009 1.940 1.882 1.866 1.787 
40 2.288 2.182 2.068 2.007 1.943 1.875 1.803 1.741 1.724 1.637 
50 2.216 2.109 1.993 1.931 1.866 1.796 1.721 1.656 1.639 1.545 
60 2.169 2.061 1.944 1.882 1.815 1.744 1.667 1.599 1.581 1.482 
70 2.136 2.028 1.910 1.847 1.779 1.707 1.628 1.558 1.539 1.436 
80 2.111 2.003 1.884 1.820 1.752 1.679 1.599 1.527 1.508 1.400 
90 2.092 1.983 1.864 1.800 1.731 1.657 1.576 1.503 1.483 1.371 
100 2.077 1.968 1.849 1.784 1.715 1.640 1.558 1.483 1.463 1.347 
Inf 1.945 1.833 1.708 1.640 1.566 1.484 1.388 1.296 1.268 1.000 
 
 
Formulario de “Diseño de Experimentos y Modelos de Regresión” ETSII-UPM 
Página 13 de 14 
6) Distribución º(m = », »w) 
 
La tabla muestra los valores � tales que  (-E, � ≥ �) = 0,01 
E 
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
1 4052.181 4999.500 5403.352 5624.583 5763.650 5858.986 5928.356 5981.070 6022.473 6055.847 
2 98.503 99.000 99.166 99.249 99.299 99.333 99.356 99.374 99.388 99.399 
3 34.116 30.817 29.457 28.710 28.237 27.911 27.672 27.489 27.345 27.229 
4 21.198 18.000 16.694 15.977 15.522 15.207 14.976 14.799 14.659 14.546 
5 16.258 13.274 12.060 11.392 10.967 10.672 10.456 10.289 10.158 10.051 
6 13.745 10.925 9.780 9.148 8.746 8.466 8.260 8.102 7.976 7.874 
7 12.246 9.547 8.451 7.847 7.460 7.191 6.993 6.840 6.719 6.620 
8 11.259 8.649 7.591 7.006 6.632 6.371 6.178 6.029 5.911 5.814 
9 10.561 8.022 6.992 6.422 6.057 5.802 5.613 5.467 5.351 5.257 
10 10.044 7.559 6.552 5.994 5.636 5.386 5.200 5.057 4.942 4.849 
11 9.646 7.206 6.217 5.668 5.316 5.069 4.886 4.744 4.632 4.539 
12 9.330 6.927 5.953 5.412 5.064 4.821 4.640 4.499 4.388 4.296 
13 9.074 6.701 5.739 5.205 4.862 4.620 4.441 4.302 4.191 4.100 
14 8.862 6.515 5.564 5.035 4.695 4.456 4.278 4.140 4.030 3.939 
15 8.683 6.359 5.417 4.893 4.556 4.318 4.142 4.004 3.895 3.805 
16 8.531 6.226 5.292 4.773 4.437 4.202 4.026 3.890 3.780 3.691 
17 8.400 6.112 5.185 4.669 4.336 4.102 3.927 3.791 3.682 3.593 
18 8.285 6.013 5.092 4.579 4.248 4.015 3.841 3.705 3.597 3.508 
19 8.185 5.926 5.010 4.500 4.171 3.939 3.765 3.631 3.523 3.434 
20 8.096 5.849 4.938 4.431 4.103 3.871 3.699 3.564 3.457 3.368 
21 8.017 5.780 4.874 4.369 4.042 3.812 3.640 3.506 3.398 3.310 
22 7.945 5.719 4.817 4.313 3.988 3.758 3.587 3.453 3.346 3.258 
23 7.881 5.664 4.765 4.264 3.939 3.710 3.539 3.406 3.299 3.211 
24 7.823 5.614 4.718 4.218 3.895 3.667 3.496 3.363 3.256 3.168 
25 7.770 5.568 4.675 4.177 3.855 3.627 3.457 3.324 3.217 3.129 
26 7.721 5.526 4.637 4.140 3.818 3.591 3.421 3.288 3.182 3.094 
27 7.677 5.488 4.601 4.106 3.785 3.558 3.388 3.256 3.149 3.062 
28 7.636 5.453 4.568 4.074 3.754 3.528 3.358 3.226 3.120 3.032 
29 7.598 5.420 4.538 4.045 3.725 3.499 3.330 3.198 3.092 3.005 
30 7.562 5.390 4.510 4.018 3.699 3.473 3.304 3.173 3.067 2.979 
40 7.314 5.179 4.313 3.828 3.514 3.291 3.124 2.993 2.888 2.801 
50 7.171 5.057 4.199 3.720 3.408 3.186 3.020 2.890 2.785 2.698 
60 7.077 4.977 4.126 3.649 3.339 3.119 2.953 2.823 2.718 2.632 
70 7.011 4.922 4.074 3.600 3.291 3.071 2.906 2.777 2.672 2.585 
80 6.963 4.881 4.036 3.563 3.255 3.036 2.871 2.742 2.637 2.551 
90 6.925 4.849 4.007 3.535 3.228 3.009 2.845 2.715 2.611 2.524 
100 6.895 4.824 3.984 3.513 3.206 2.988 2.823 2.694 2.590 2.503 
Inf 6.635 4.605 3.782 3.319 3.017 2.802 2.639 2.511 2.407 2.321 
 Ejemplo:  (-7,8 ≥ 6,18) = 0,01 
 
 
Formulario de “Diseño de Experimentos y Modelos de Regresión” ETSII-UPM 
Página 14 de 14
Distribución F(α = 0,01) (continuación) 
La tabla muestra los valores x tales que  (-E, � ≥ �) = 0,01 
m 
n 12 15 20 24 30 40 60 100 120 Inf 
1 6106.321 6157.285 6208.730 6234.631 6260.649 6286.782 6313.030 6334.110 6339.391 6365.864 
2 99.416 99.433 99.449 99.458 99.466 99.474 99.482 99.489 99.491 99.499 
3 27.052 26.872 26.690 26.598 26.505 26.411 26.316 26.240 26.221 26.125 
4 14.374 14.198 14.020 13.929 13.838 13.745 13.652 13.577 13.558 13.463 
5 9.888 9.722 9.553 9.466 9.379 9.291 9.202 9.130 9.112 9.020 
6 7.718 7.559 7.396 7.313 7.229 7.143 7.057 6.987 6.969 6.880 
7 6.469 6.314 6.155 6.074 5.992 5.908 5.824 5.755 5.737 5.650 
8 5.667 5.515 5.359 5.279 5.198 5.116 5.032 4.963 4.946 4.859 
9 5.111 4.962 4.808 4.729 4.649 4.567 4.483 4.415 4.398 4.311 
10 4.706 4.558 4.405 4.327 4.247 4.165 4.082 4.014 3.996 3.909 
11 4.397 4.251 4.099 4.021 3.941 3.860 3.776 3.708 3.690 3.602 
12 4.155 4.010 3.858 3.780 3.701 3.619 3.535 3.467 3.449 3.361 
13 3.960 3.815 3.665 3.587 3.507 3.425 3.341 3.272 3.255 3.165 
14 3.800 3.656 3.505 3.427 3.348 3.266 3.181 3.112 3.094 3.004 
15 3.666 3.522 3.372 3.294 3.214 3.132 3.047 2.977 2.959 2.868 
16 3.553 3.409 3.259 3.181 3.101 3.018 2.933 2.863 2.845 2.753 
17 3.455 3.312 3.162 3.084 3.003 2.920 2.835 2.764 2.746 2.653 
18 3.371 3.227 3.077 2.999 2.919 2.835 2.749 2.678 2.660 2.566 
19 3.297 3.153 3.003 2.925 2.844 2.761 2.674 2.602 2.584 2.489 
20 3.231 3.088 2.938 2.859 2.778 2.695 2.608 2.535 2.517 2.421 
21 3.173 3.030 2.880 2.801 2.720 2.636 2.548 2.475 2.457 2.360 
22 3.121 2.978 2.827 2.749 2.667 2.583 2.495 2.422 2.403 2.305 
23 3.074 2.931 2.781 2.702 2.620 2.535 2.447 2.373 2.354 2.256 
24 3.032 2.889 2.738 2.659 2.577 2.492 2.403 2.329 2.310 2.211 
25 2.993 2.850 2.699 2.620 2.538 2.453 2.364 2.289 2.270 2.169 
26 2.958 2.815 2.664 2.585 2.503 2.417 2.327 2.252 2.233 2.131 
27 2.926 2.783 2.632 2.552 2.470 2.384 2.294 2.218 2.198 2.097 
28 2.896 2.753 2.602 2.522 2.440 2.354 2.263 2.187 2.167 2.064 
29 2.868 2.726 2.574 2.495 2.412 2.325 2.234 2.158 2.138 2.034 
30 2.843 2.700 2.549 2.469 2.386 2.299 2.208 2.131 2.111 2.006 
40 2.665 2.522 2.369 2.288 2.203 2.114 2.019 1.938 1.917 1.805 
50 2.562 2.419 2.265 2.183 2.098 2.007 1.909 1.825 1.803 1.683 
60 2.496 2.3522.198 2.115 2.028 1.936 1.836 1.749 1.726 1.601 
70 2.450 2.306 2.150 2.067 1.980 1.886 1.785 1.695 1.672 1.540 
80 2.415 2.271 2.115 2.032 1.944 1.849 1.746 1.655 1.630 1.494 
90 2.389 2.244 2.088 2.004 1.916 1.820 1.716 1.623 1.598 1.457 
100 2.368 2.223 2.067 1.983 1.893 1.797 1.692 1.598 1.572 1.427 
Inf 2.185 2.039 1.878 1.791 1.696 1.592 1.473 1.358 1.325 1.000 
	0b intro
	1 anova1
	1 anova2
	2 diseño1
	2 diseño2
	3 regresion1
	3 regresion2
	4 Formulario_v10
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